CURSUS WISKUNDE TSO - Ondernemersschool

THUISSTUDIE
PROEFHOOFDSTUK
WISKUNDE TSO
www.centrumvoorafstandsonderwijs.be
1

Beste student,
Bedankt voor je interesse in onze opleiding wiskunde TSO!
Op de volgende pagina bieden we je graag een gratis proefles aan van de thuisstudie
wiskunde TSO. Je vindt hierin de volledige inhoudstafel, één hoofdstuk van de cursus en
een vragenreeks terug. Ook lees je er de manieren waarop je je professionele docent
persoonlijk kan contacteren wanneer je vragen hebt. Door deze gratis proefles kan je
alvorens je in te schrijven al eens rustig bekijken op welke manier en uit welke delen de
cursus is opgebouwd. Daarnaast kom je ook meer te weten over het reilen en zeilen van de
school, de manier waarop je je taken inlevert bij je docent, stage loopt,… Dankzij deze
proefles weet je kortom waar je je aan kan verwachten!
Zou je graag de volledige cursus inkijken alvorens je in te schrijven? Kom dan eens langs in
één van onze vestigingen in Antwerpen, Gent of Hasselt. Onze medewerkers zullen je graag
verder helpen en je inzage geven in een exemplaar van de cursus die je graag wil volgen!
Onze secretariaten zijn gevestigd op volgend adres:
Secretariaat Antwerpen: Frankrijklei 127, 2000 Antwerpen
Secretariaat Gent: Elfjulistraat 39a, 9000 Gent
Secretariaat Hasselt: Simpernelstraat 27, 3511 Kuringen
Op de volgende pagina’s geven we je een voorproefje van de cursus. Hierin vind je:
- De volledige inhoudstafel van de cursus
- Een gratis hoofdstuk uit de cursus
- Een representatieve vragenreeks voor het examen
- Een inschrijvingsformulier en Informatie over de opleiding en de school
2

INHOUDSOPGAVE
1 Functies
1.1. Begrip functie
1.2. Veeltermfuncties
1.2.1 Functies van de eerste graad
1.2.2 Functies van de tweede graad
1.2.3 Functies van de derde graad
1.3. Exponentiële functies
1.3.1 Lineaire groei
1.3.2 Exponentiële groei
1.3.3 Exponentiële functies
1.4. Logaritmische functies
1.4.1 Logaritme
1.4.2 Rekenregels voor logaritmen
1.4.3 Logaritmische functies
1.5. Oefeningen
1.5.1 Begrip functie
1.5.2 Functies van de eerste graad
1.5.3 Functies van de tweede graad
1.5.4 Functies van de derde graad
1.5.5 Exponentiële functies
1.5.6 Logaritmische functies
3

2 Afgeleide van veeltermfuncties
2.1. Limieten van functies
2.2. Veranderingen
2.2.1 Gemiddelde verandering
2.2.2 Ogenblikkelijke verandering
2.3. Begrip afgeleide
2.3.1 Definitie
2.3.2 Vergelijking van de raaklijn
2.3.3 Stijgen en dalen van een functie
2.3.4 De afgeleide functie
2.4. Afgeleide van veeltermfuncties
2.4.1 Nulde graad
2.4.2 Eerste graad
2.4.3 Tweede en hogere graad
2.4.4 Afgeleide van een veelvoud
2.4.5 Afgeleide van een som
2.4.6 Extremumvraagstukken
2.5. Oefeningen
2.5.1 Limieten
2.5.2 Veranderingen
2.5.3 Afgeleide van veeltermfuncties
4

3 Integralen
3.1. Bepaalde integralen
3.2. Eigenschappen van bepaalde integralen
3.3. Primitieve functie
3.3.1 Substitutiemethode
3.4. Oefeningen
4 Matrices
4.1. Begrippen
4.2. Bewerkingen
4.2.1 Optelling
4.2.2 Scalaire vermenigvuldiging
4.2.3 Vermenigvuldiging
4.3. Stelsels oplossen met matrices
4.3.1 Methode Gauss-jordan
4.3.2 Praktische werkwijze
4.4. Interpreteren van het resultaat
4.5. Matrices met het grafisch rekentoestel
4.6. Oefeningen
4.6.1 Begrippen
4.6.2 Bewerkingen
4.6.3 Stelsels oplossen met matrices
5 Statistiek
5

5.1. Inleiding
5.2. Centrum en spreidingsmaten
5.3. Histogrammen
5.4. Normaalverdeling
5.4.1 Z-score
5.5. Oefeningen
5.5.1 Inleiding
5.5.2 Normaalverdeling
6 Financiële algebra
6.1. Enkelvoudige interest
6.2. Samengestelde intrest
6.3. Gelijkwaardige rentevoet
6.4. Annuïteiten
6.4.1 Postnumerando kapitaalsvorming en schuldaflossing
6.4.2 Hypothecaire lening
6.4.3 Consumentenkredieten
6.5. Oefeningen
6.5.1 Enkelvoudige intrest
6.5.2 Samengestelde intrest
6.5.3 Gelijkwaardige rentevoeten
6.5.4 Annuïteiten
6

GRATIS PROEFHOOFDSTUK
Hieronder vind je een gratis onderdeel uit de cursus terug. Bepaalde termen of woorden
worden in eerdere hoofdstukken uitgelegd. Dit deel bouwt hierop verder. Heb je je
ingeschreven voor de volledige cursus en heb je toch nog vragen of wens je wat extra
voorbeelden? Dan kan je steeds terecht bij je professionele docent Stijn Auwers. Tijdens
deze opleiding heb je recht op één jaar gratis begeleiding van je docent via e-mail. Hij
antwoordt op al jouw vragen, zodat je de cursus volledig begrijpt!
HOOFDSTUK 1 : FUNCTIES
1.1. Begrip functie
Een functie wordt voorgesteld door een functievoorschrift. Hierbij schrijf je de afhankelijke y-
waarde in functie van de veranderlijke x-waarde.
Bijvoorbeeld: y = x + 4 of f(x) = x + 4
De grafiek van een functie stel je voor in een x,y-assenstelsel. Hierin wordt elke x-waarde
gekoppeld aan de bijhorende y-waarde en voorgesteld als een punt in het assenstelsel. De
verbinding van deze punten geeft de grafiek van de functie.
Bijvoorbeeld:
Elke x-waarde heeft hoogstens één bijhorende y-waarde. Andersom kan een y-waarde
wel bij meerdere x-waarde horen.
7

Voorbeeld van een grafiek die geen functie is.
Voorgaande grafiek is geen functie, omdat er x-waarden zijn die meer dan één y-waarde
hebben. Zo hoort bij x-waarde 4 de y-waarden 2 en -2.
Voorbeeld van een grafiek welke wel een functie is.
Bovenstaande grafiek is een functie, want elke x-waarde heeft hoogstens één y-waarde. Er
zijn wel y-waarden waarbij meerdere x-waarden horen. Zo hoort bij de y-waarde 0.5 de x-
waarden -10, -2 en 14. Dat is wel toegestaan.
De nulwaarden van een functie zijn de x-waarden waarvoor de y-waarde nul is. Dit zijn
eveneens de snijpunten van de grafiek met de x-as. Deze waarden bekom je door in het
functievoorschrift y te vervangen door nul of door in de grafiek de snijpunten met de x-as af
te lezen.
De snijpunten met de y-as vind je door in het functievoorschrift x gelijk te stellen aan nul.
8

Het domein van een functie is het interval van x-waarden waarvoor een y-waarde bestaat.
Dit leid je af uit het functievoorschrift of uit de grafiek. Let bij deze laatste manier wel op, je
krijgt vaak maar een deel van de grafiek te zien! Weet dat deze lijnen vaak oneindig ver
doorlopen. Notatie voor domein is Dom f(x).
Het beeld van een functie is het interval van y-waarden die bestaan. Dit interval lees je af
op de y-as. Notatie voor beeld is Bld f(x).
Deze nieuwe begrippen worden verduidelijkt aan de hand van het voorbeeld f(x) = x² - 1
De nulwaarden leid je af uit de grafiek. Je merkt dat de grafiek de x-as snijdt voor de
waarden x = -1 en x = 1.
Deze twee waarden zijn ook te vinden door in het functievoorschrift, f(x) = x² - 1, f(x) gelijk te
stellen aan nul. Je krijgt dan x² - 1 = 0. Als je deze vergelijking oplost, vind je dezelfde
waarden.
Het snijpunt met de y-as is y = -1, af te lezen uit de grafiek of door x gelijk te stellen aan nul.
y = 0² - 1.
Dom f(x) = , je kan immers eender welk getal in x invullen.
Bld (f(x) = [ -1, +∞ [, het interval aan y-waarden dat je kan bekomen.
1.2. Veeltermfuncties
1.2.1 Functies van de eerste graad
Een eerstegraadsfunctie f is een reële functie met als functievoorschrift f(x) = a.x + b waarbij
a 0 en b .
9

De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte. (niet horizontaal of verticaal)
Een horizontale rechte is een constante functie met als voorschrift f(x) = c met c .
Een verticale rechte kan per definitie geen functie voorstellen, één x-waarde heeft immers
meerdere y-waarden.
We onderzoeken de betekenis van a en b aan de hand van enkele voorbeelden.
De blauwe grafiek met als functievoorschrift y = x nemen we als standaard.
Merk op dat de rode grafiek met voorschrift y = 2x steiler verloopt. De gele functie met a
gelijk aan ½ verloopt minder steil dan de standaard. Deze drie functies zijn stijgend.
De groene en de paarse functie zijn dalend omdat a negatief is.
De letter a in y = ax + b zegt dus iets over de richting van de rechte en is dan ook de
richtingscoëfficiënt (kortweg rico).
Een positieve rico geeft een stijgende rechte, een negatieve rico een dalende rechte.
Hoe groter de getalwaarde van de rico, hoe steiler de rechte verloopt.
10

De rico van een functie leid je af uit de grafiek, deze methode volgt nog in dit hoofdstuk.
We nemen de blauwe functie weer als standaard.
De rode grafiek ligt twee waarden hoger dan de blauwe en dit voor elke x-waarde. Dit komt
omdat b gelijk is aan 2. Voor de groene grafiek is b gelijk aan -2, deze grafiek ligt twee
waarde lager dan de blauwe.
Merk ook op dat het snijpunt met de y-as steeds gelijk is aan b. Voor een
eerstegraadsfunctie kunnen we dus stellen dat het snijpunt met de y-as gelijk is aan (0,b).
Voor de rode grafiek is dit dus (0,2), voor de blauwe (0,0) en voor de groene (0,-2).
In bovenstaande functies is a steeds gelijk aan 1, al deze rechten zijn evenwijdig. Dit is
steeds zo voor rechten met eenzelfde rico.
De nulwaarden van een eerstegraadsfunctie kunnen we zoals altijd aflezen als het snijpunt
met de x-as, maar ook door de vergelijking op te lossen met y gelijkgesteld aan nul. We
werken dit uit voor de groene functie. y = x -2 dit geeft 0 = x -2 of x = 2. Deze waarde kan je
ook aflezen uit de grafiek.
We kunnen de nulwaarden van een eerstegraadsfunctie ook bepalen voor het algemene
functievoorschrift. y = ax + b, dit geeft 0 = ax + b of x = -b/a. Voor een eerstegraadsfunctie
kunnen we deze formule steeds gebruiken om de nulwaarde te bepalen.
11

Deze nulwaarde is van belang bij het maken van een tekentabel. Een tekentabel geeft weer
voor welke x-waarde of de functiewaarden negatief, positief of nul zijn. De nulwaarde is de x-
waarde waarvoor de functiewaarde nul is. We verduidelijken het begrip tekentabel aan de
hand van een voorbeeld.
Voor deze functie is a gelijk aan 1 en b gelijk aan -3. De nulwaarde is dan volgens de
formule gelijk aan - (-3) / 1 of gewoon 3. Hieronder wordt de tekentabel opgesteld.
Merk op dat links van de nulwaarde het toestandsteken van f(x) gelijk is aan –a en rechts
gelijk is aan a. In een tabel geeft dit.
Zoals eerder aangehaald, is a de rico van de rechte. Het zegt iets over de richting van de
rechte. De functiewaarde zal met a veranderen per keer dat de x-waarde één waarde
opschuift naar rechts.
Nu je dit weet kan je in veel gevallen a meteen aflezen uit de grafiek, maar deze methode
is niet altijd toepasbaar dus een andere methode dringt zich op.
12

De rico van een grafiek kan bepaald worden aan de hand van 2 punten P 1 (x 1 ,y 1 ) en
P 2 (x 2 ,y 2 ). Deze punten kan je aflezen uit de grafiek of zijn gewoon gegeven. De
richtingscoëfficiënt a is dan gelijk aan
een voorbeeld.
y
x
y
. Dit wordt weer verduidelijkt aan de hand van
x
2 1
2 1
Om de rico te bepalen, kiezen we eerst twee punten die we goed kunnen aflezen,
y2 y1
1 2 3 3
bijvoorbeeld P 1 (0,2) en P 2 (-2,-1). a
x2 x1
2 0 2 2
Uit de grafiek kunnen we aflezen dat b = 2, dus f(x) = 3/2 x + 2
Soms moet je het functievoorschrift bepalen zonder dat de grafiek gegeven is. Dit kan
dan aan de hand van volgende formule y y1 a( x x1)
. We illustreren dit aan de hand van
de gekozen punten hierboven.
3 3 3
y 2 ( x 0) y 2 x y x 2
2 2 2
Zoals je ziet is het bekomen voorschrift hetzelfde als datgene dat we konden afleiden uit de
grafiek.
Voor het domein en het beeld van een eerstegraadsfunctie kunnen we kort besluiten dat
dit altijd gelijk is aan .
13

1.2.2 Functies van de tweede graad
De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool. Parabolen vinden we terug in de
kunst, bij satellietschotels, in de luchtvaart…
Een tweedegraadsfunctie wordt algemeen gegeven door het functievoorschrift
f(x) = ax² + bx + c met a 0 en b,c .
De betekenis van a wordt geïllustreerd aan de hand van enkele voorbeelden.
Voor de blauwe en rode grafiek is a positief. We krijgen dan een dalparabool.
Voor de groene en paarse grafiek is a negatief. We bekomen dan een bergparabool.
Merk op dat hoe groter de waarde van a is, hoe smaller de grafiek wordt.
14

In bovenstaande voorbeelden is de top van de functie steeds het punt (0,0). Verschuivingen
worden geïllustreerd in een voorbeeld.
De top van een parabool verschuift naar boven of onder als er bij de functie een getal wordt
opgeteld of afgetrokken. Tel je bij x² een getal op, dan verschuift de top met deze waarde
naar boven. Trek je een getal af, dan verschuift de top met deze waarde naar beneden.
De top van een parabool verschuift over de x-as als in het functievoorschrift een getal wordt
opgeteld of afgetrokken.
Algemeen
f(x) = x²
-f(x) = -x²
a.f(x) = ax²
f(x-p) = (x-p)²
spiegeling om de x-as
uitrekking in richting van de y-as met factor a
verschuiving over de x-as met waarde p
f(x) + q = x² + q verschuiving over de y-as met waarde q
Dit alles samen geeft f(x) = a(x-p)² + q.
p en q bepalen het coördinaat van de top T(p,q).
p bepaalt daarenboven de symmetrieas x = p.
15

We tonen dit aan voor de voorbeelden uit de laatste grafieken.
y = x² -1 hier is q = -1 en p = 0, symmetrieas: x = 0 en T(0,-1)
y = x² +1 hier is q = 1 en p = 0, symmetrieas: x = 0 en T(0,1)
y = -(x-3) hier is q = 0 en p = 3, symmetrieas: x = 3 en T(3,0)
y = -(x+3) hier is q = 0 en p = -3, symmetrieas: x = -3 en T(-3,0)
Het domein van een tweedegraadsfunctie is net zoals bij een eerstegraadsfunctie .
Het beeld is afhankelijk van het type, berg- of dalparabool, en van q.
y = x² + 1 dit is een dalparabool met q = 1, Bld f(x) = [0, [
y = -(x-3) dit is een bergparabool met q = 0, Bld f(x) =] ,0]
Tot nu toe hebben we enkel gewerkt met het voorschrift f(x) = a(x-p)² + q, maar vaak is het
voorschrift f(x) = ax² + bx + c gegeven. Je kan bewijzen dat volgende gelijkheden gelden:
b 4 ac b²
D
p en q , met D de discriminant. .
2a 4a 4a
De symmetrieas, coördinaat van de top en het beeld bepaal je door p en q te berekenen
met bovenstaande formules.
De nulwaarden bepaal je door de tweedegraadsvergelijking ax² + bx +c = 0 op te lossen.
b D b D
Ter herinnering: D b² 4 ac x1 en x2
2a
2a
Voor een negatieve discriminant is er geen oplossing.
Als D = 0 dan x 1 = x 2.
Met deze nulwaarden stel je een tekentabel op.
We doen dit voor de functie y = x² + 8x +7
8 36 8 36
D 8² 4.1.7 36 x1 =-1 en x2
7
2.1 2.1
16

De algemene tekentabel voor een tweedegraadsfunctie is als volgt:
Wanneer de discriminant gelijk is aan nul en er maar één nulwaarde is:
Wanneer de discriminant negatief is, heeft f(x) steeds het teken van a:
1.2.3
17

Functies van de derde graad
Voor functies van de derde graad (en hoger) bekijken we enkel hoe je de nulwaarden van
dergelijke functie bepaalt en deze invult in een tekentabel.
Het bepalen van de nulwaarden doe je aan de hand van het schema van Horner. Hiermee
kan je een functie van een derde of hogere graad ontbinden in factoren en dus schrijven
als een product van eerste en tweedegraadsfuncties. Voor een eerste en
tweedegraadsfunctie kunnen we de nulwaarden vinden en een tekentabel opstellen. Door
het product te maken vinden we de nulwaarden en tekentabel van de gevraagde functie.
Dit alles wordt verduidelijkt aan de hand van een voorbeeld.
Bepaal de nulwaarden en stel de tekentabel op van f(x) = -6x³ - 17x² + 4x +3.
We vinden van deze veelterm een deler van de vorm (x-a) en zijn quotiënt met het schema
van Horner.
De mogelijke a-waarden zijn voor deze functie alle delers van 3 (de term van de nulde graad)
3, 1, -1, -3.
We vullen deze mogelijkheden in f(x) in: f(3) = -300, f(1) = -16, f(-1) = -12 en f(-3) = 0.
We vinden dus dat x = -3 een nulwaarde is. We weten dan ook dat (x+3) een deler is van
f(x). Het quotiënt vinden we met het schema van Horner.
Hieruit volgt dat f(x) kan geschreven worden als (x+3)(-6x² + x + 1).
Ter herinnering: de werkwijze van het schema is als volgt.
Links schrijf je de nulwaarde, hier is dat -3.
De bovenste rij zijn de coëfficiënten van f(x), van de hoogste macht naar de laagste.
Opgelet! Als een graad niet voorkomt in je functie dan moet je een nul in de plaats
schrijven.
De onderste rij begin je met hetzelfde getal als de bovenste.
18

Nu vermenigvuldig je dit getal met de nulwaarde en vul je dit één vakje naar boven
rechts in, hier -6 maal -3 is 18.
Je telt de bovenste en de middelste rij op en vult dit in de onderste rij in, hier -17 plus
18 is 1.
Dit herhaal je tot je helemaal rechts onderaan uitkomt.
Als je nulwaarde juist is en je hebt goed gerekend dan moet je hier een nul
uitkomen!
De onderste rij tussen de twee streepjes zijn de coëfficiënten van het quotiënt. De
eerste coëfficiënt hoort bij een graad die één graad lager is dan f(x). Hier is f(x) van
de derde graad dus -6 staat hier bij x², de volgende coëfficiënten horen steeds bij één
graad lager. Zo krijg je voor het quotiënt de vergelijking -6x² + x +1. De nulwaarden
zijn -1/3 en1/2, welke we vonden met de discriminant.
Om de tekentabel op te stellen, doe je dit dus eerst voor de eerste en tweedegraadsfunctie.
Je maakt dan van de tekens het product om het resultaat voor f(x) te kennen.
Merk op dat de nulwaarden van de eerste en tweedegraadsfunctie ook de nulwaarden van
f(x) zijn.
19

1.3. Exponentiële functies
1.3.1 Lineaire groei
Een lineaire toename (of afname) is een functie van de eerste graad. Er is sprake van een
lineaire groei als er per tijdseenheid steeds eenzelfde toename is. Deze toename noemen
we het groeiverschil en krijgt het symbool v.
Het functievoorschrift is van de vorm f(x) = b + v.x, met b de beginwaarde op tijdstip nul, v
het groeiverschil en x de tijdsvariabele.
Een kind dat elke week 5 euro in zijn spaarpot steekt is een eenvoudig voorbeeld van
lineaire groei. Elke week zal er 5 euro bijkomen in de spaarpot. Stel dat er per 1 januari al
200 euro in de spaarpot zit dan schrijf je het bedrag in de spaarpot met de volgende
functiewaarde: f(x) = 200 + 5x. De beginwaarde is 200 euro en per week komt er 5 euro bij.
De x die je invult, moet dus in weken zijn. Het bedrag in de spaarpot na een aantal weken
kan eenvoudig gevonden worden door x te vervangen door het aantal weken. Bijvoorbeeld
na 6 weken zit er 230 euro in de spaarpot, want 200 + 5.6 = 230.
Aangezien een lineaire groei geschreven wordt als een functie van de eerste graad is de
grafische voorstelling van een lineaire groei een rechte. De rechte snijdt de y-as bij de
beginwaarde en steeds wanneer we één tijdseenheid naar rechts opschuiven, zal de grafiek
met v toenemen.
20

1.3.2 Exponentiële groei
Bacteriën in een kweekschaal kennen een exponentiële groei zolang de omgeving gunstig is.
We bestuderen de groei van zo’n bacterie. We enten in een kweekschaal 1 kolonie. 12 uur
later merken we dat er 2 kolonies aanwezig zijn. Nog eens 12 uur later zijn er 4 kolonies
aanwezig, enzovoort. We zien dat elke 12 uur het aantal kolonies verdubbelt. Deze groei is
een exponentiële functie met als voorschrift f(x) = 2 x met x het aantal halve dagen. 2 is hier
de groeifactor. Elke halve dag wordt het aantal kolonies vermenigvuldigd met 2. Na 3
dagen, 6 halve dagen, zijn er 2 6 kolonies. Dus na amper drie dagen vinden we in onze
kweekschaal 64 kolonies terug.
Een tweede voorbeeld van exponentiële groei is het uitzetten van spaargeld op een rekening
met samengestelde interest, bijvoorbeeld de gewone spaarrekening. We zetten 5000 euro uit
op een spaarrekening met 2,5 % interest. In de veronderstelling dat we geen extra geld op
de rekening zetten en de interestvoet niet gewijzigd wordt, schrijven we het geld op onze
spaarrekening als f(x) = 5000.(1,025 x ) met x in jaren. 5000 is de beginwaarde en 1,025 is de
groeifactor. Na 10 jaar staat er 5000.(1,025 10 ) euro of 6400 euro op de spaarrekening.
21

Algemeen schrijven we de functie voor een exponentiële groei als f(x) = b.q x , met
beginwaarde b, groeifactor q en x de tijdseenheid. De functie snijdt de y-as bij de
beginwaarde en steeds we één tijdseenheid naar rechts opschuiven zal de grafiek met een
factor q toenemen.
1.3.3 Exponentiële functies
De functie met als voorschrift f(x) = b.a x met
is een exponentiële
functie met b de beginwaarde en a het grondtal. De veranderlijke x staat als macht van a.
Het beeld van de functie is b voor x = 0.
De exponentiële functie wordt besproken aan de hand van vier voorbeelden.
22

Bij deze voorbeelden valt meteen op dat exponentiële functies dalend zijn voor een
grondtal tussen nul en één. Voor grondtallen groter dan één zijn de functies stijgend.
Alle functies hebben de x-as als horizontale asymptoot. Functies met grondtal tussen nul
en één hebben een asymptoot voor x gaande naar plus oneindig, functies met grondtal
groter dan één voor x gaande naar min oneindig.
Al deze functies snijden de y-as in één, aangezien de beginwaarde telkens één is. De
functie 5.2 x (is niet afgebeeld) snijdt de y-as in vijf.
Het domein is steeds heel
nul 0.
, het beeld blijft beperkt tot de positieve reële getallen zonder
Tot slot is het zo dat stijgende functies steiler zijn voor grote grondtallen en dalende
functies steiler zijn voor kleine grondtallen.
1.4. Logaritmische functies
1.4.1 Logaritme
Een logaritme van de vorm
a
log b , het a logaritme van b, zoekt een antwoord op de vraag
tot welke macht moet ik a verheffen om b te bekomen.
Bijvoorbeeld 2 log8 3, want je moet 2 tot de 3 de macht nemen om 8 te bekomen.
Algemeen schrijven we:
grondtal a.
a
log
y
b y a b
. Hierin noemen we y de logaritme van b met
Logaritmen met als grondtal 10, tiendelige of Briggse logaritmen zijn de enige logaritmen
die we met een gewoon rekentoestel kunnen uitwerken. Voor deze logaritmen schrijven we
het grondtal niet, bijvoorbeeld log100 2.
Logaritmen van 1 zijn steeds gelijk aan 0! Eender welk
grondtal moet je namelijk tot de 0 de macht verheffen om 1
te bekomen.
Logaritmen van 0 bestaan niet, want je kan geen enkel
grondtal tot een macht verheffen om 0 te bekomen.
23

Daar we in logaritme enkel met positieve grondtallen werken, kunnen we ook geen
logaritmen nemen van getallen kleiner dan 0, want je kan geen positief grondtal tot een
macht verheffen om een negatief getal te bekomen.
De uitkomst van het logaritme is
een getal groter dan 1 voor logaritmen van een getal groter dan het grondtal
een getal tussen 0 en 1 voor logaritmen van een getal tussen 1 en het grondtal
een negatief getal voor logaritmen van een getal tussen 0 en 1
Enkele voorbeelden om bovenstaande te illustreren.
log125 3; log1,9 0,4; log1 0; log0,04 2; log0 error ; log( 1)
error
5 5 5 5 5 5
1.4.2 Rekenregels voor logaritmen
De meeste rekenregels worden duidelijk gemaakt aan de hand van enkele eenvoudige
voorbeelden.
Een logaritme van een product is gelijk aan de som van de logaritmen.
Bijvoorbeeld: log10.100 log1000 3 log10 log100
a a a
Algemeen: log( bc . ) log( b) log( c)
.
Een logaritme van een quotiënt is gelijk aan het verschil van de logaritmen.
Geef hier zelf een voorbeeld van en tracht een algemene rekenregel op te stellen.
24

Een logaritme van een macht is gelijk aan het product van die macht met het
logaritme.
Bijvoorbeeld 3 log9² 4 2.( 3 log9)
a n a
Algemeen: log x n. log x .
Een laatste en heel belangrijke rekenregel is de volgende:
Een a-delig logaritme van een getal is gelijk aan de verhouding van
een logaritme van datzelfde getal op eenzelfde logaritme van a.
In symbolen:
a
c
logb
logb
.
c
log a
Deze rekenregel is enorm belangrijk, omdat we enkel 10-delige logaritmen kunnen
berekenen met het rekentoestel. Met bovenstaande rekenregel kunnen we echter eender
log200
welk logaritme berekenen zoals in het voorbeeld: 6 log200 2,96 .
log6
Logaritmen zijn handig om een antwoord te geven op de vraag tot welke macht je een getal
moet verheffen om het gegeven getal te bekomen. Klinkt ingewikkeld maar eigenlijk is dit
een vraag uit het voorgaande deel, meer bepaald de exponentiële groei.
Neem terug de kweekschaal waarin een bacterie groeit waarvan het aantal kolonies elke
halve dag verdubbelt. Je hebt gegeven dat na een bepaalde tijd 14 kolonies aanwezig zijn.
De tijd is gevraagd. Uit het hoofdstuk van exponentiële groei weten we 2 x 14 .
Voor deze vergelijking kunnen we x niet zomaar uit het hoofd vinden. We zoeken dus tot
welke macht we 2 moeten verheffen om 14 te bekomen en dat is precies wat een logaritme
inhoudt.
log14
2 log14 geeft een antwoord op die vraag en 2 log14 3,81 .
log2
Het duurt dus 3,81 halve dagen voordat er 14 kolonies zijn, of 45,72 uur.
25

1.4.3 Logaritmische functies
We vergelijken eerst de functie 2 x
met 2 log x om het verband tussen deze twee nog eens
in de verf te zetten.
X -1 0 1 2 3 4 5 6
2 x ½ 1 2 4 8 16 32 64
X ½ 1 2 4 8 16 32 64
2 logx -1 0 1 2 3 4 5 6
Zetten we deze twee functies uit in een grafiek dan zien we dat de functies elkaars inverse
zijn. Je kan de ene grafiek bekomen door de andere te spiegelen over y=x.
Uit de groene grafiek kunnen we ook al enkele eigenschappen aflezen van een logaritmische
functie.
Zo is het domein van een logaritme beperkt tot de strikt positieve reële getallen .
Let op: voor de functie log(x-2) moet x strikt groter zijn dan 2, want als je de haakjes uitwerkt
moet je een getal bekomen dat strikt positief is.
Het beeld van een logaritmische functie is in het algemeen alle reële getallen.
26

Het snijpunt met de x-as is voor elk logaritme het punt (1,0). Ook hier de opmerking: voor
een log(f(x)) moet je ervoor zorgen dat f(x) gelijk is aan 1.
Tot slot merk je op dat de verticale rechte x = 0 een verticale asymptoot is. Laat je x
naderen naar nul, dan gaat de y-waarde naar oneindig. De grafiek zal echter nooit de rechte
x=0 raken, want de functie heeft geen beeld voor x = 0.
Voor grondtallen groter dan 1 gaat y naar min oneindig, voor grondtallen kleiner dan 1
gaat y naar plus oneindig. Ook hier de opmerking dat de asymptoot daar valt waar het
logaritme naar nul gaat. Voor bijvoorbeeld de functie log(x+5) zal x = -5 de verticale
asymptoot zijn.
27

Vragenreeks
Op het einde van elk hoofdstuk (of na enkele hoofdstukken) vind je oefeningen die je thuis
kan maken. Je kan deze gedurende één jaar (via e-mail) naar jouw persoonlijke docent
Stijn Auwers sturen. Hij zal deze oefeningen dan verbeteren en je vervolgens feedback
bezorgen. Door het maken van deze oefeningen ben je beter voorbereid op de vragen van
het examen!
1) Voldoet de grafiek van een aandeel aan de voorwaarden om een functie te
zijn?
a. Ja / nee
2) Welke van onderstaande grafieken zijn een functie?
Ja/nee
28

Ja/nee
Ja/nee
Ja/nee
29

3) Geef voor de twee gegeven functievoorschriften het domein en het beeld.
4) f(x) = x² g(x) = √x
Dom f(x) = Dom g(x) =
Bld f(x) = Bld g(x) =
5) Geef voor de gegeven grafiek de nulwaarden, snijpunt met de y-as, domein
en beeld.
Nulwaarde(n): Snijpunt met y-as: Dom f(x) Bld f(x)
Nulwaarde(n): Snijpunt met y-as: Dom f(x) Bld f(x)
30

6) Bepaal a en b voor volgende voorschriften (schrijf steeds eerst in de vorm
y= ax + b)
y3x4
yx
2y4x2
y4
x
a=
a=
a=
a=
b=
b=
b=
b=
7) Bepaal van onderstaande grafieken het functievoorschrift en maak een voor
elke functie een tekentabel.
Functievoorschrift:
…………………………..
Tekentabel:
8) Bepaal het functievoorschrift voor volgende eerste graadfuncties wanneer
de rico gelijk is aan 3 en het punt (0,2) deel uit maakt van de functie.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
9) Een schrijnwerker verdient per uur 46€, een elektricien 52€ en een loodgieter
49€, samen hebben ze 23 u gewerkt, de schrijnwerker werkte 4 uur minder
dan de loodgieter en samen hebben ze 1103€ verdiend, hoeveel uur heeft
ieders gewerkt?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
31

10) Welk functievoorschrift hoort bij welke grafiek? Geef voor elke functie het
beeld en het domein.
f(x) = x² - 3
f(x) = -(x-3)²
f(x) = -x² - 3
f(x) = (x+3)²
11) Bepaal q zodat f(x) = x² + q door het punt (2,6) gaat.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
12) Maak een tekentabel voor volgende functies. (op een apart blad)
f(x) = x² - 3x + 2
g(x) = 2x² + 8x – 6
h(x) = -3x² + 4x + 1
f(x) = 2x³ + 6x² + 4x (tip, ontbinden in factoren, gemeenschappelijke factor)
f(x) = x³ - 6x² + 3x +10
f(x) = 2x³ + x² - 13x + 6
f(x) = 8x³ - 6x – 2
32

13) Stel dat je betovergrootvader bij de onafhankelijkheid van België (1830) een
halve euro had uitgezet met 4 % samengestelde interest. Hoeveel zou dit dan
zijn in 2030? Welk type groei is dit?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………….
14) Los op zonder rekentoestel
log64 log1
4 24
1
log27 log 8
3 2
15) Los op met rekentoestel
log9
log2
4 0,25
95 100
log(6.10 ) log(2,5.10 )
16) Schrijf als één logaritme
log a log4b 2log2c
3log
y
17) De beleggingsadviseur van jouw bank vertelt je dat hij verwacht dat de
aandelen van zijn bank de komende jaren steeds met 10% zullen stijgen.
Hoelang duurt het dan vooraleer de aandelen zullen verdubbeld zijn?
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
33

Handleiding bij de opleiding
Hoe kan ik huistaken inzenden?
Bij elk hoofdstuk in de cursus zal je oefeningen en huistaken vinden. De oplossingen zijn
vaak terug te vinden op de studentenpagina. Je kan deze taken ook steeds doorsturen naar
je persoonlijke docent via e-mail of met de post. Deze zal je taken dan verbeteren en je er
feedback op geven. Uiteraard kan je je docent ook steeds via e-mail contacteren als je
vragen hebt in verband met de cursus!
Hieronder vind je de mogelijkheden om je huistaken naar je docent te sturen:
A. Huistaken versturen via e-mail:
1. Zodra je één of meerdere huistaken hebt afgewerkt, kan je deze via e-mail doorsturen
naar het e-mailadres van je docent.
2. Vermeld duidelijk je naam, voornaam en studentennummer.
B. Huistaken versturen via de post:
1. Zodra je één of meerdere huistaken hebt afgewerkt, kan je deze ook opsturen via de post.
2. Je stuurt best een kopie van je werk op, zodat je het origineel zelf kan bewaren.
3. Stuur altijd een lege retourenveloppe mee met je huistaken. Voorzie deze enveloppe van
voldoende postzegels en schrijf je adres erop. Zorg ervoor dat je je enveloppe voldoende
gefrankeerd hebt, zodat je docent je taken gemakkelijk naar jou kan terugsturen.
4. Stuur je huistaken naar: Ondernemersschool, Frankrijklei 127, 2000 Antwerpen
34

Hoe kan ik inloggen op mijn persoonlijke studentenpagina?
Inloggen op de studentenpagina is heel eenvoudig. Je surft naar www.studentenpagina.be
in de titelbalk bovenaan. Je komt terecht op volgende pagina:
JOUW LOGIN:
studentxx
JOUW PASWOORD:
xxxxxxx
Vervolgens wordt er een login en een paswoord gevraagd. Bij login typ je studentxx’ in. Het
paswoord is xxxxxx’. Let er wel op dat je enkel kleine letters gebruikt en dat je alles aan
elkaar typt. Klik vervolgens op het vakje ‘enter’.
Opgelet: deze informatie wordt regelmatig geüpdatet. Je kan dus best regelmatig een kijkje
nemen op deze studentenpagina.
Hoe kan ik mijn examen afleggen?
Als je heel de cursus hebt doorgenomen en alle huistaken hebt doorgestuurd, kan je examen
afleggen. Alle inschrijvingsdocumenten kan je verkrijgen via de school. Je kan telefonisch
een afspraak maken op het nummer 03/292.33.30.
Hoe kan ik stage doen?
Om de praktijk onder de knie te krijgen, kan je stage doen bij jou in de buurt. Deze stage is
volledig vrijblijvend, maar wordt wel sterk aangeraden. Het is een goede referentie om later
professioneel aan de slag te gaan en praktijkervaring op te doen. Dit stagecontract vraag je
aan bij het centrale secretariaat in Antwerpen.
35

Ben je overtuigd van de professionele kwaliteit van onze cursus? Dan kan je je
inschrijven via onderstaand inschrijvingsformulier.
INSCHRIJVINGSFORMULIER WISKUNDE TSO
Firmanaam en BTW-nummer
Naam
Voornaam
Straat + huisnummer
Postcode + gemeente / stad
Telefoon
GSM
E-mailadres 1
Geboortedatum
Heeft u reeds les bij ons gevolgd?
Wenst u een factuur?
JA / NEE – CURSUS:
JA / NEE
Handtekening
Gelieve het cursusgeld te storten op rekeningnummer 001-5806085-32 van CVA, Frankrijklei 127 te
2000 Antwerpen met vermelding van je naam + naam thuisstudie + je adres. Je inschrijving is pas
definitief geldig nadat je het inschrijvingsgeld met de juiste vermeldingen hebt overgeschreven. Bij
annulatie of stopzetting van de opleiding wordt het inschrijvingsgeld niet terugbetaald. Meer
inlichtingen kan je verkrijgen via e-mail op info@centrumvoorafstandsonderwijs.be, op de website
www.centrumvoorafstandsonderwijs.be of op het nummer 03/292.33.30. Bij ondertekening van
het inschrijvingsformulier verklaar je akkoord te gaan met onze algemene voorwaarden.
36

Waarom kiezen voor Centrum Voor Afstandsonderwijs (CVA)?
CVA is een erkende opleidingsverstrekker
• CVA is erkend opleidingsverstrekker van de overheid. Zo ben je zeker van de
kwaliteit en kan je van subsidies genieten.
• CVA heeft het ISO 9001-2000 certificaat. Dit is een onafhankelijk kwaliteitslabel
dat na een grondige audit aan onze school werd toegekend. Zowel ons
cursusmateriaal als de docenten en de secretariaatswerking kregen een positieve
beoordeling. Regelmatige controles garanderen de kwaliteit volgens de laatste
normen.
• CVA is erkend door een groot aantal beroepsfederaties.
CVA staat voor professionalisme en kwaliteit
• Al onze opleidingen en cursussen worden ontwikkeld en geschreven door
zelfstandige specialisten met jarenlange beroepservaring.
• Wij garanderen een maximaal contact tussen studenten en docenten.
• CVA wil jouw carrière zo ver mogelijk op weg helpen. Daarom bieden wij onze
thuisstudenten ook de mogelijkheid om privélessen of workshops te volgen.
CVA staat voor klantvriendelijkheid en flexibiliteit
• Je bepaalt zelf wanneer je aan je nieuwe toekomst werkt. Je kan onze opleiding
starten en de cursus instuderen wanneer het voor jou het beste uitkomt.
• Je kan een gratis hoofdstuk op onze website downloaden. Op deze manier krijg
je een beter beeld van de specifieke opleiding. Deze eerste hoofdstukken helpen
je bij het maken van de juiste studiekeuze.
• Bovendien kan je de cursus die je interesse wekt voor aanvang van de thuisstudie
eens rustig komen inkijken op één van onze secretariaten.
• Indien je twijfels of vragen hebt, ben je ook steeds welkom op ons secretariaat
voor een vrijblijvend, adviserend gesprek.
37

CVA houdt de financiële drempel zo laag mogelijk
• Voor het examen worden geen extra kosten aangerekend. Bovendien krijg je
een onbeperkt aantal herkansingen indien je de eerste keer niet slaagt. Ook
voor deze herkansingen moet je niet extra betalen.
• CVA zorgt ervoor dat de thuiscursussen zo voordelig mogelijk zijn voor de student
door ze op een economische manier te laten drukken zonder dat ze iets van hun
kwaliteit en duidelijke structuur verliezen.
CVA heeft een sterke reputatie
• Binnen de branche van afstandsleren heeft onze school een sterke reputatie
uitgebouwd. Onze diploma’s zijn hierdoor een mooi visitekaartje, waarmee je bij
je cliënten of toekomstige werkgever meteen een positieve indruk maakt.
• Veel afgestudeerde studenten startten reeds hun eigen succesvolle zaak door
het volgen van een thuiscursus bij ons. Kijk eens rond in je omgeving en je kent
vast en zeker wel iemand die bij ons een opleiding heeft gevolgd!
38

Deze cursus wordt uitgegeven door:
Centrum Voor Afstandsonderwijs, onderdeel van de Ondernemersschool
Frankrijklei 127 – 2000 Antwerpen
Telefoon: 03.292.33.30
Mail: info@thuisstudie.be
Ondernemingsnummer: 0811.009.080
Erkenningsnummer: DV.0107588
Copyright
© Centrum Voor Afstandsonderwijs, Frankrijklei 127, 2000 Antwerpen
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen
in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige
wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of op enige andere
manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de auteur.
Ondanks al de aan de samenstelling van de tekst bestede zorg, kan noch de auteur, noch de
uitgever aansprakelijkheid aanvaarden voor eventuele schade die zou kunnen voortvloeien
uit enige fout die in deze uitgave zou kunnen voorkomen.
39