bewijzen, redeneren en logica - Faculteit der Natuurwetenschappen ...

1
BEWIJZEN, REDENEREN EN LOGICA
Het onstaan van bewijzen
Systematische bewijzen in een samenhangend systeem ontstonden voor het eerst in de
Griekse wiskunde vanaf 500 voor Christus. Zo heeft Euclides' "Elementen" vele eeuwen
het onderwijs bepaald, en ook een bredere culturele invloed uitgeoefend, met de iedereen
bekende strakke opzet van 'gegeven, stelling, bewijs' voor meetkundig redeneren, waar
een oudere generatie Nederlanders nog als adolescenten in is getraind. Dat redeneren
vindt plaats vanuit een van te voren gegeven stelsel van axioma's en definities – zoals
Definities:
Een lijn is lengte zonder breedte.
Lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar ook bij verlenging nooit snijden.
Axioma's:
Tussen elk tweetal punten loopt een lijn.
Om elk punt met gegeven lijnstuk loopt een cirkel met dat lijnstuk als straal.
Door elk punt niet op een lijn loopt één lijn parallel aan de gegeven lijn.
Dit laatste is het beroemde 'Parallellenpostulaat' dat tweeduizend jaar na Euclides nog
werd bediscussieerd. Daarnaast bevatten de "Elementen" ook Algemene Begrippen als
Optellen van gelijken bij gelijken levert gelijken.
Dit zijn algemene regels. Hiermee worden dan stellingen afgeleid, zoals de allereerste:
Boek I.1 Bij elk lijnstuk is er een gelijkzijdige driehoek met dat lijnstuk als zijde.
De tekening maakt het bewijs duidelijk, en u kunt zelf zien welke axioma's zijn gebruikt,
uitgaande van het gegeven lijstuk AB:
C
A
B
Overigens is deze Stelling ook een z.g. constructie: Euclides denkt eigenlijk heel modern
en geeft een soort praktische algorithmen om meetkundige objecten te vinden.
Vanaf dit eenvoudige begin ontwikkelt Euclides steeds ingewikkelder stellingen. Nummer
I.47 is de beroemde Stelling van Pythagoras. Deze heette in de Middeleeuwen de 'Pons
Asinorum' (d.w.z. ezelsbrug): daar haakten namelijk de dommere leerlingen definitief af.

2
Stellingen in latere boeken zijn bijv. dat er hoogstens 5 regelmatige veelvlakken zijn in
drie dimensies, iets waarnaar reeds is verwezen in het college over symmetrie.
Een interessante historische vraag is waarom de Griekse wiskundigen eigenlijk systematisch
gingen bewijzen (dit deden Egyptenaren en Babyloniërs niet). Er bestaan hierover
vele theorieën, van wetenschappelijke tot politieke, maar geen sluitende verklaring.
Geschiedenis van bewijspatronen
Wiskundige bewijspatronen zijn er natuurlijk ook in andere gebieden. Een voorbeeld is de
rekenkunde, waar Euclides ook al belangrijke methoden bevat, zoals het 'Euclidisch
algoritme' voor het bepalen van de grootste gemene deler van twee getallen m, n. Dit is de
volgende procedure (in modern jargon – Euclides zelf formuleerde alles meetkundig,
volgens de wiskundig-filosofische mode van zijn tijd):
Euclidisch Algoritme
Bepaal de rest van m by deling door n:
m mod n
Als m mod n = 0, dan is n een deler van m, en klaar: GGD(m, n) = n
Anders is m mod n een getal r < n, en we stellen n:= r, m:= n.
Herhaal in dit laatste geval de procedure.
Euclides bewijst dat dit altijd eindigt met de correcte waarde voor GGD(m, n). Misschien
wilt u dat zelf ook eens proberen. Dit maakt Euclides tot schutspatroon voor zowel de
wiskundigen als de informatici, hetgeen de naamgeving "Euclides" verklaart voor het
gebouw van de voormalige faculteit FWI aan de Plantage Muidergracht 24. Een ander
beroemd rekenkundig bewijspatroon is natuurlijke inductie, zoals reeds uitgelegd in het
parallelcollege, hetgeen vaak wordt toegeschreven aan Johann Bernoulli (RUG, 1700).
In feite komt ook deze methode reeds bij Euclides voor, in de equivalente vorm
Kleinste Getal Principe
Voor elke eigenschap van natuurlijke getallen E geldt: als er een n is met E(n),
dan is er een kleinste getal met die eigenschap: een n met E(n) ¡ ¬¢ m

3
Een interessante vraag is overigens de volgende. Komen er wel nieuwe bewijsfiguren bij
in de wiskunde? Natuurlijk komen er steeds nieuwe theorieën bij, naarmate meer
wiskundige structuren worden ontdekt en onderzocht. Een voorbeeld is de al eerder
genoemde topologie in het begin van de 20ste eeuw, die ruimtelijke structuren bloot legt
die in de klassieke meetkunde en analyse niet expliciet waren onderkend. En ook de
verzamelingenleer aan het eind van de 19de eeuw was zo'n geval. Redeneren daarover
betreft doorgaans axioma's voor het gedrag van die structuren. Maar komen er ook
nieuwe methoden bij in het verder ontwikkelen van consequenties uit die axioma's? Een
kandidaat is Cantor's diagonaalargument, dat wij zagen in het bewijs dat de reële getallen
niet aftelbaar zijn. Het ontstond in de verzamelingenleer, maar inmiddels bewijst het ook
fundamentele resultaten in logica en informatica, zoals we later in het college zullen zien.
Groeiende precisie en abstractie
Is Euclides sluitend? Eeuwenlang zijn de Elementen in brede kring (zowel in de Grieks-
Romeinse als vroege Arabische tijd) geaccepteerd als het toonbeeld van exactheid, hoewel
van meet af aan discussie is geweest onder experts over extra principes die nodig zijn. Zo
veronderstelt meteen al het eerste bewijs dat de getrokken cirkels een snijpunt C hebben.
Maar waarom zou dat zo moeten zijn? In de 19de eeuw werden systematisch verdere
principes toegevoegd om de gaten te dichten, zoals
Axioma van Pasch
Elke lijn door een hoekpunt van een driehoek en
een punt in het inwendige snijdt de overstaande zijde.
B
A
D
E!
C
Oudere discussie betrof wél aanwezige axioma's. Met name leek het Parallellenpostulaat
P5 door zijn 'oneindige' karakter veel wiskundigen minder evident dan de overige vier.
In de 18de eeuw trachtte men dit postulaat uit de overige te bewijzen door zijn negatie
¬P5 aan te nemen en dan een contradictie af te leiden. Dit is uiteindelijk niet gelukt, en
men ontdekte de z.g. 'niet-Euclidische meetkundes' die andere genres ruimte beschrijven.
Dit zijn zeer abstracte theorieën waarbij gewone ruimtelijke intuïtie met plaatjes minder
helpt, waardoor strenge bewijsvoering belangrijker wordt als garantie voor correctheid.
Een soortgelijke wending naar abstracte theorievorming is in de 19de eeuw te zien in de
analyse, waar eerdere intuïtieve methoden van Euler soms enigszins 'shaky' bleken,
hetgeen leidde tot het werk van de grote theoretici als Cauchy en Weierstrasz. Ook hier
gold: abstracte theorieën, bijv. van gedrag van reëelwaardige functies, hebben voor hun
consistentie meer 'tucht' nodig van strenge bewijsvoering. Ook de groepentheorie van

4
Galois past geheel en al in deze trend naar abstractie. Hierbij 'kantelde' langzamerhand
het beeld van een wiskundige theorie als beschrijving van één uniek stukje werkelijkheid
naar de beschrijving van een klasse abstracte structuren die zich overal kunnen voordoen.
Bijv. Hilbert's "Grundlagen der Geometrie" bevat een beroemde beginpassage waarin de
auteur zegt dat 'punten, lijnen en vlakken' elke willekeurige verzameling objecten zijn die
aan de gegeven axioma's voldoen. Deze kanteling in het denken over een wiskundige
theorie weerspiegelt zich ook in het taalgebruik. Was "Ruimte" een eigennaam voor een
uniek object tot 1800, tegenwoordig spreken wiskundigen van alle mogelijke "ruimtes":
de eigennaam is een zelfstandig naamwoord geworden dat een meervoud toelaat.
Het nut van bewijzen
Bewijzen hebben dus velerlei nut. Ze geven een dwingende rechtvaardiging voor een
wiskundig inzicht: de eerste associatie voor veel mensen. Maar bewijzen zorgen ook voor
systematiek; ze brengen wiskundige beweringen met elkaar in verband, en suggereren
nieuwe inzichten door generalizaties, identificeren van belangrijke hulpbeweringen, e.d.
Wiskunde vormt een steeds maar groeiend spinneweb van definities en beweringen,
verbonden door bewijzen. Bewijzen dienen ook toenemende abstractie, doordat ze de
algemene vorm vinden achter het redeneren over een specifieke structurr, en daarmee
leveren ze een 'denkpatoon' dat vaak ook in heel andere structuurverwante situaties
toepasbaar is. En de functies van bewijzen groeien zelfs. Zo zijn Euclides' bewijzen vaak
tegelijkertijd concrete constructies om een meetkundig object te maken. In de moderne
logica en informatica is dit aspect systematisch uitgewerkt tot formele systemen die uit
(geschikte) bewijzen voor het bestaan van een wiskundig object automatisch algorithmen
of programma's maken om dat object ook daadwerkelijk te berekenen.
Grondslagenonderzoek van de wiskunde
Ondanks de groeiende precisie van de 19de eeuwse wiskunde doken aan het eind toch
nog tegenspraken op in zulke fundamentele theorieën als de verzamelingenleer, waar veel
andere wiskunde op is gebaseerd. Een bekend probleem is de Russell Paradox over de
verzameling {x x¥ | x}, die we in minder virulente vorm als kapperspuzzle aantroffen.
Hiermee ontstond de wens deze problemen 'eins für allemal aus der Welt zu schaffen',
zoals Hilbert dat uitdrukte. 'Hilbert's Programma' (1900) behelsde het bewijzen van de
consistentie van een 'opgeschoonde' wiskunde – en dat zelf weer met wiskundige
middelen. Kan zoiets eigenlijk wel? Wordt vervolgd in Week 5 van dit college…
Logica: redeneerpatronen
Euclides' periode van de klassieke Oudheid (ruwweg rond 300 v.Chr.) zag ook de
geboorte van de logica bij Aristoteles en de Stoicijnse filosofen, als systematische studie
van bewijspatronen in de wiskunde, maar ook gewoon redeneren in filosofie en politiek.

©
5
Er wordt zelfs wel beweerd dat Euclides' eigen terminologie uit de debatsfeer komt. Het
woord 'axioma' betekent letterlijk 'wat gevraagd wordt' en dit slaat op de uitgangspunten
waarvan men een tegenstander 'for the sake of argument' verzoekt deze niet ter discussie
te stellen. Zowat het omgekeerde dus van de rotsvaste bijklank die dit woord nu voor ons
heeft, hoewel veel dichter bij de bovengenoemde abstracte interpretatie als 'postulaten'.
Zo is het volgende genre redeneerpatronen al bekend sinds de Oudheid:
A¦
A§
B, ¬A dus B geldig
B, A dus B geldig
A§
A§
B, ¬A dus ¬B ongeldig
B, ¬B dus ¬A geldig
Dat het derde ongeldig is kunnen we zien aan een wiskundig tegenvoorbeeld:
Als x >5, dan x>3 geldt voor alle getallen x. Dus i.h.b.: als 4>5, dan 4>3.
Maar kennelijk niet 4>5. Toch geldt wel 4>3.
Maar ook het alledaagse leven geeft tegenvoorbeelden. 'Als u de trein neemt, dan komt u
in Amsterdam'. Stel verder 'U neemt de trein niet'. Er hoeft dan helemaal niet te gelden
dat u niet in Amsterdam komt, want misschien fietst, loopt, of vliegt u erheen.
Een ander bekend geldig redeneerpatroon is 'Bewijs uit het ongerijmde'. Dit werd
gebruikt in het bewijs dat de reële getallen niet aftelbaar zijn: "stel dat een lijst wel een
aftelling was van R, dan volgt een tegenspraak". Het patroon hier is:
A § (B ¨ ¬B) dus ¬A
De geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde toonde de geldige variant
¬A § (B ¨ ¬B) dus A
Dit zijn allemaal redeneerpatronen met Boolese operaties. Soortgelijke patronen voor
kwantoren zijn de klassieke syllogismen van Aristoteles, zoals
Alle A zijn B, alle B zijn C dus Alle A zijn C
Sommige A zijn B, geen B zijn C dus Niet alle A zijn C
Geldige gevallen met herhaalde kwantoren zijn patronen als:
Iemand houdt van iedereen dus Iedereen wordt door iemand bemind
x y Rxy dus y © x Rxy
Het omgekeerde patroon is ongeldig. Ieder wordt bemind door zijn moeder (hopen we),
maar er hoeft niemand te zijn die iedereen bemint (behalve misschien de Maagd Maria).
Of weer een tegenvoorbeeld in de wiskunde: voor elk natuurlijk getal is er een groter
getal, maar er is geen getal dat groter is dan elk getal.

6
Wiskundige taal, ook voor redeneerpatronen
Om redeneerpatronen expliciet te maken hebben we weer taal nodig. Hiervoor kunnen we
uitstekend de wiskundige taal nemen van Week 1 en 2. De opbouw daarvan was met
Basisbeweringen
Boolese operaties
Kwantoren
s=t, s

7
1 Jan komt als Marie of Anne (M komt A) J
2 Anne komt als Marie niet komt ¬M A
3 Als Anne komt, dan komt Jan niet A ¬J
Een oplossing. Als Anne komt, dan komt Marie of Anne, dus dan komt Jan (met 1).
Maar met 3: Jan komt niet: tegenspraak. Dus Anne komt niet. Met 2 dan: Marie komt
wel. Dan komt dus Marie of Anne, en weer met 1: Jan komt. De redeneerstappen zijn hier
precies te bepalen: en ze blijken grosso modo hetzelfde als voor wiskundig bewijzen!
Nog maar een voorbeeld, uit de Nationale Wetenschapsquiz 2001:
"Jantje zegt dat Pietje liegt. Pietje zegt dat Klaasje liegt.
Klaasje zegt dat Jantje en Pietje liegen. Wie liegt er wel, en wie niet?"
We geven dit weer als:
J ¬P, P ¬K, K (¬J ¬P)
Oplossing: J en K onwaar, P waar. Vind zelf de propositionele bewijsstappen!
Kwantorlogica
Dit systeem is ingewikkelder dan de propositielogica, maar essentieel voor wiskunde en
gewoon redeneren. We geven slechts enkele voorbeelden. Geldige patronen omvatten
x (x) (t) voor elk object t
x y Rxy
x y Rxy
x (Px Qx) x Px x Qx
y x Rxy
y x Rxy
Ongeldig zijn bijv.
y x Rxy
x (Px Qx) x Px x Qx
x y Rxy
U zult weinig moeite hebben dit in te zien. Lastiger wordt het al met andere kwantoren
besproken in Week 1. Laten we eens schrijven
!x (x) 'er is precies één x met '
Geldt nu de gevolgtrekking !x !y Rxy !y !x Rxy ?
Een typisch voorbeeld van redeneren met kwantoren (en Boolese operatoren) is dit
voorbeeld van Russell over een dorpskapper (recent nog actueel in Afghanistan):
Er is niemand die precies de niet zelf-scheerders scheert
¬ x y (Sxy ¬Syy)

8
Bewijs
Stel dat wel x y (Sxy ¬Syy). Zeg, r is zo'n x. Daarvoor geldt dan:
y (Sry ¬ Syy). Dus dan zeker voor r zelf: Srr ¬ Srr Maar elke bewering van
de vorm P ¬P is een tegenspraak in propositielogica! Dus is de aanname weerlegd.
In wezen hetzelfde logisch patroon treffen we aan als we de precieze structuur nagaan van
Cantor's bewijs dat de machtsverzameling P(x) nooit een bijectie heeft met x zelf.
Formele wiskundige theorieën
Wiskundig bewijzen in de praktijk is een mengsel van een beroep op axioma's en
logische stappen. Om dat eerste goed weer te geven is niet alleen algemene logica nodig,
maar ook een volledige formele axiomatizering van de betreffende wiskundige theorie.
Een voorbeeld is de formele rekenkunde (Peano, rond 1900), waarin het eerdere
bewijsprincipe van natuurlijke inductie voorkomt als het wiskundige axioma
( (0) x ( (x) !" (x+1)) ! x (x)
Evenzo is Cantors' verzamelingenleer geformalizeer door Zermelo en Fraenkel, waarbij
de centrale axioma's het bestaan van allerlei verzamelingen {x | (x)} garanderen voor
geschikte condities . Formele bewijzen voor stellingen zijn dan eindige ketens van hele
kleine logische bewijsstappen, met hier en daar een beroep op een axioma.
Logische bewijssystemen
Er bestaan vele meer precieze logische bewijssystemen. Eén daarvan staat in de
uitgebreide eerdere versie van dit Hoofdstuk, de z.g. 'sematische tableaus' (bedacht
door onze stadgenoot Beth, 1955). Andere zijn meer als wiskundige bewijssystemen,
met axioma's en regels. De homepage van de cursus zal meer voorbeelden aandragen.
Misschien is nog aardig te vermelden dat de eerste volledige versie van de meetkunde
met Hilbertse precizie voor de wiskundige axioma's en een volledig expliciet logisch
bewijssysteem werd gegeven door Tarski in de jaren 1940. Toen bleek onder meer dat er
zelfs een mechanische procedure bestaat om de correctheid van elementaire meetkundige
stellingen te testen – die inmiddels op de computer is geïmplementeerd.
Geldigheid, correctheid en volledigheid
Geldigheid van een gevolgtrekking P 1
, .., P k
# C definiëren we als volgt:
in elke situatie met P 1
, .., P k
waar is ook C waar
Dit drukt uit dat de waarheid van de uitgangspunten altijd die van de conclusie afdwingt.
Voor ongeldigheid hoeven we dus slechts één situatie te vinden waar de premissen P i
allemaal waar zijn, en de conclusie C niet. Dit zijn de eerdere 'tegenvoorbeelden'.
Hiermee hebben we het begrip geldig redeneren in principe omschreven. Een specifiek
logisch bewijsssyteem kan men dan zien als een voorstel om, beperkt tot een bepaalde taal

9
met een zeker aantal logische begrippen (Boolese operaties, kwantoren, e.d.), deze
geldige gevolgtrekkingen meer concreet te beschrijven. Hierbij spelen twee belangrijke
noties een rol, die ook veel algemener voorkomen in de informatica en elders:
Correctheid van een bewijssysteem:
Elke bewijsbare gevolgtrekking is geldig.
Volledigheid van een bewijssysteem:
Elke geldige gevolgtrekking is bewijsbaar.
In een juridische analogie: het gaat om 'The whole truth, and nothing but the truth'. Voor
equationele logica, propositielogica en kwantorenlogica zijn diverse correcte en volledige
systemen bekend. Dit slaat echter slechts op de logische component! Het wil nog niet
zeggen dat die logische systemen ook alle ware wiskundige beweringen produceren
wanneer we ze een wiskundig axioma-systeem meegeven. In College 5 zullen we zien dat
dit zelfs niet altijd kan: dit is Gödel's beroemde Onvolledigheidsstelling.
Computer-bewijzen
Logische bewijssystemen zijn volledig expliciet, en dus in principe programmeerbaar.
Inderdaad bestaan allerlei automatische stellingbewijzers voor wiskundige stellingen.
Deze worden gebruikt voor elke taak die is op te vatten als een afleidingsproces, zoals:
Redeneren van experts (rechters, artsen),
Ontleden van natuurlijke taal,
'Logisch programmeren' (PROLOG).
In zulke concrete situaties kunnen ook nog verdere eigenaardigheden aan het licht treden.
Een aardig voorbeeld is juridisch redeneren – naast de wiskunde een van de oudste
bronnen van systematische bewijsvoering in onze cultuur.
In de rechtszaal Drie personen worden verdacht bij een moord, en het volgende
bewijsmateriaal ligt ter tafel – wellicht op grond van getuigenverklaringen:
(1) A was aanwezig of B $ A B
(2) A was aanwezig of C $ A C
(3) C is een maatje van A % A C
(4) incompabiliteit (A & C) % ¬B
De aanklager beweert nu:
De advocaat zegt daarentegen:
"A was aanwezig!"
"Nee, dat hoeft niet."
Let op het verschil in bewijslast. De aanklager moet een bewijs geven van A uit de
gegevens. De advokaat hoeft daarentegen alleen de consistentie aan te tonen van de 4
gegevens en de bewering ' A. (Dit is de logische zin van het Romeinse rechtsprincipe

10
van 'onschuldig zijn tot het tegendeel is bewezen'.) Hiertoe volstaat een of ander
scenario: de advocaat hoeft niet te bewijzen dat A het niet gedaan heeft.
Wie kan in deze gegeven situatie winnen: de aanklager of de advocaat? (Deze terminologie
is niet toevallig: argumentatie heeft vaak iets weg van een 2-speler spel! Zie College 7.)
Overigens is dit samenleven van bewijzen en consistentie heel algemeen. In een gesprek
gaat het vaak om handhaven van consistentie in wat de spreker vertelt. Bewijzen worden
door de toehoorder gebruikt als kleine tests of voor de hand liggende gevolgtrekkingen uit
wat de spreker beweert niet meteen tot absurde consequenties leiden.
'Gewoon' redeneren
Ons dagelijkse redeneren lijkt in eerste instantie niet ver af te staan van wiskundig
bewijzen. Omgekeerd bezien: wiskundig bewijzen is op te vatten als gewoon gezond
verstand, maar langer volgehouden dan we normaal plegen te doen. Maar bij nader inzien
zijn er toch ook wel verdere eigenaardigheden aan dagelijks redeneren. Deze zijn met
name sterk naar voren gekomen in de Kunstmatige Intelligentie, toen men ging proberen
menselijk redeneren preciezer te formalizeren. In het byzonder valt dan op het frequente
gebruik van meer conclusies dan strikt logisch mag. Een bekend verschijnsel zijn
Default aannamen
'Als ik de trein neem, kom ik doorgaans in Amsterdam.
Ik neem de trein. Dus ik kom in Amsterdam'.
Verzwegen aanname bij dat 'doorgaans': 'de NS functioneert' of iets dergelijks.
A volgt niet geldig uit T en ( (T&N) A.
Er kan blijken ) dat N.
We nemen vaak aan dat die uitzonderlijke omstandigheden zich niet voordoen, zolang we
niet expliciet weten dat ze zich wél voordoen. Dit werkt sneller, en is ook meestal
gerechtvaardigd. Maar er is een prijs: als onverhoopt de NS niet functioneert, dan moeten
we de conclusie A alsnog intrekken, en onze hele informatie opnieuw bezien. Naast dit
gretige redeneren boven logische gevolgtrekkingen uit, hebben we dus een compenserend
mechanisme nodig: de systematische herziening van eerdere conclusies als we te maken
krijgen met recalcitrante feiten. Overigens bestaan ook hiervoor wiskundige modellen.
Psychologie van redeneren
Cognitieve psychologen beweren vaak dat echt redeneren heel anders gaat dan de logica
beweert. Beroemd is de Wason Kaart Test (1970), die twee dingen lijkt aan te tonen:
(a) conditionele beweringen gedragen zich anders anders dan in de logica,
(b) redeneren is afhankelijk van inhoud, en niet formeel.

11
Een veelbesproken experiment loopt als volgt. Beschouw de volgende regel over een
aantal kaarten, die aan de ene kant een letter hebben, en aan de andere kant een cijfer:
Als er een klinker op de ene kant staat, dan een oneven getal op de andere kant.
U krijgt nu een rij kaarten te zien. Welke kaarten moet u omdraaien en van achter inspecteren
om na te gaan of de genoemde regel opgaat in de volgende – ietwat schietgrage – rij?
A K 4 7
Mensen doen dit doorgaans fout, en noemen niet de twee kaarten die volgens de logica
moeten worden omgekeerd. (Citaat: "Even professional logicans have been known to fail
in an embarrassing manner…") Dit zou kunnen wijzen op een bias tegen negatieve
noties, zoals ¬B* weerleggen: ¬A is lastiger A* dan B, hoewel logisch equivalent.
Bovendien blijkt dat het 'logische correcte antwoord' wel veel vaker wordt gegeven als de
test een concrete inhoud krijgt: bijv. kaarten met aan de ene kant leeftijden en aan de
andere al dan niet drinken, die testen of alleen meerderjarigen drank tot zich nemen.
Conclusie van veel psychologen: redeneren is onderwerp-afhankelijk. Logici uit Amsterdam
en Edinburgh zijn momenteel in de tegenaanval, met alternatieve modellen van wat
de personen doen in de test, die wel kloppen met het 'correcte antwoord'. Zulke contacten
zien we in het net opgerichte Cognitive Science Centre Amsterdam, www.csca.uva.nl
Redeneren in beeld
Tenslotte nog een ander mogelijk onderscheid tussen echt redeneren en logisch bewijzen.
Onze analyse was sterk taal- en symboolgericht. Maar veel van de voorbeelden uit het
eerste college-uur waren visueel. Denk ook aan de meetkunde, met zijn rol van plaatjes en
diagrammen. Een heel oude discussie betreft de vraag of plaatjes bewijskracht hebben.
Momenteel is de interesse groeiende in 'grafisch redeneren', maar de grote open vraag
blijft, zowel in informatica als cognitiewetenschap: wat is visuele informatie eigenlijk, en
wat zou bijv. rechtstreeks visueel 'rekenen' zijn? En als we dat dan al weten, hoe
integreren we dat dan met talige informatie en redeneren – zoals mensen kennelijk doen?
Logica in driedubbelrol
We begonnen met logica als abstracte vorm van wiskundig bewijzen. Doel daarbij was
analyse der grondslagen van wiskundige theorieën. Vervolgens blijken logische systemen
ook computer-implementeerbaar, wat leidt tot mechanisch bewijzen en Kunstmatige Intelligentie.
Het doel is dan veeleer het creëeren van een nieuwe virtuele redeneerpraktijk! En
tenslotte is er nog de oceaan van ons alledaags redeneren waarin ons leven zich afspeelt.
Een derde doel van de moderne logica is beschrijven van dat echte redeneren, voorzover
niet bestaand uit incoherente foutenmakerij. Wiskundige analyse van de mechanismen die
daarbij een rol spelen bovenop het zuivere grondslagenonderzoek is heel goed mogelijk.