09.07.2015 Views

STAtOR 2007 2c.indd - Universiteit Twente

STAtOR 2007 2c.indd - Universiteit Twente

STAtOR 2007 2c.indd - Universiteit Twente

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

1. Het sexe-effect: µ 1 >µ 2 en µ 3 >µ 42. Het benoemingseffect: µ 1


Als θ een waarde heeft die onder H m is toegestaan,dan verdwijnt de waarschijnlijkheid p(x|θ)uit de teller en noemer van (1). Als encompassingpriors (Klugkist, Kato en Hoijtink, 2005) wordengebruikt kan (1) nog verder worden vereenvoudigd.Voor een simpel model waarin slechts tweegemiddelden een rol spelen staat de encompassingprior p(θ|H 0 ) weergegeven in Figuur 1: hetis een niet informatieve uniforme verdeling, datwil zeggen een verdeling die vergeleken met deinformatie in de data weinig tot geen informatieover de modelparameters θ bevat. De prior verdelingvoor de parameters van het gerestricteerdemodel H m valt eenvoudig uit de encompassingprior af te leiden: het is simpelweg dat deel van deencompassing prior in overeenstemming met derestricties en vermenigvuldigd met een constanteC m zodanig dat ∫ υ p(θ|H m )dθ = 1.µ 2µ 1 =µ 2µ 1Figuur 1: Priors en posteriorsIn Figuur 1 is voor H m : µ 1 >µ 2 de prior verdelinggelijk aan de onderdriehoek vermenigvuldigdmet een constante C m =2. Meer formeel kan wordengesteld dat voor een waarde van θ die is toegestaanonder H m geldt dat p(θ|H m ) = C m p(θ|H o ).In Figuur 1 representeren de ellipsen de isodensitycontouren van de posterior verdeling vanµ 1 en µ 2 onder het niet gerestricteerde model, endezelfde contouren in de onderdriehoek de posteriorverdeling voor H m : µ 1 >µ 2 . Ook hier geldt in hetalgemeen dat, voor waarden van θ die zijn toegestaanonder H m , de posterior kansdichtheid vanhet gerestricteerde model proportioneel is aan dievan het ongerestricteerde model:p(θ|x,H m ) = d m p(θ|x,H o ).Met behulp van de afleidingen in de vorige alineakan (1) worden herschreven totBF 0m =d m /c m , (2)waarbij 1/d m gelijk is aan de proportie van deongerestricteerde posterior in overeenstemmingmet de restricties van model H m , en 1/c m de proportievan de ongerestricteerde prior in overeenstemmingmet de restricties. Dit leidt tot eeneenvoudige schatter van BF 0m : trek een steekproefuit zowel de ongerestricteerd posterior als prior,en gebruik deze om d m en c m en te schatten. Dezesteekproeven zijn eenvoudig te verkrijgen metbehulp van Markov Chain Monte Carlo methoden(zie bijvoorbeeld Gelman, Carlin, Stern en Rubin,2004).De Achilleshiel van de Bayesiaanse statistiek isdat inferenties afhankelijk zijn van de keuze vande a priori verdelingen. Voor een brede klasse vanongelijkheidsgerestricteerde modellen kan wordenaangetoond dat dit niet het geval is (Klugkist,Kato en Hoijtink, 2005). Dit kan aan de hand vanFiguur 1 worden geïllustreerd: ongeacht de grenzenvan de prior verdeling is 1/c m altijd gelijk aan.50; en als de data de prior domineren (dat is vaakzo) dan is de posterior verdeling nagenoeg onafhankelijkvan de gekozen prior en hangt ook 1/d mniet af van de grenzen van de prior. Kortom, het6<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Figuur 1: Time division multiplexingDe klassieke problemen.Het ontwerp van een netwerk is in essentie nietsmeer dan in een graaf G=(V,E) een aantal kantente kiezen zodanig dat aan bepaalde connectiviteitseisenvoldaan wordt. De connectiviteitseisenhangen af van de plaats in het netwerk: lokaal is1-samenhang vaak genoeg. In de (inter)nationalenetwerken is minstens 2-samenhang vereist, inverband met de problemen die ontstaan als ergensbreuk of uitval optreedt. Een recent voorbeeldvan grootschalige uitval is een aardbeving in deChinese zee, waardoor diverse overzeese verbindingenin Azië uitvielen. De volgende stap is hetbepalen van de hoeveelheid capaciteit, doorgaansgebaseerd op verwachte vraag tussen paren punten.Waar vroeger de capaciteit gemeten werd inaantallen circuits wordt dat nu door aantallenMegabits per seconde gedaan. Hierbij wordenroutes van het telecomverkeer vaak voor vastaangenomen bijvoorbeeld bepaald door middelvan kortste pad algoritmen. Een leuk nieuw voorbeeldis de Open Shortest Path First (OSPF) routeringin IP netwerken. Dit mechanisme bepaaltde route vaneen IP pakketje door de kortste wegin een graaf te bepalen, waarbij de lengtes vande verbindingen bepaald worden door de netwerkbeheerder.Deze zal dat zodanig doen dat hetverkeer zo weinig mogelijk bottlenecks oplevert.In [5] worden algoritmen gegeven die de lengtesvan de verbindingen zo goed mogelijk bepalenaan de hand van de vraag. Nagenoeg alle ‘oude’problemen zijn varianten van multi-commodityflow. Er wordt nog steeds veel onderzoek gedaannaar efficiënte oplossingsmethoden voor dezeproblemen. Surveys zijn [10] en recent [6].Moderne problemen in op licht gebaseerdenetwerkenIn digitale netwerken is voor het eerst het probleemvan het samenvoegen van signalen bekeken,het zogenaamde multiplexen. Dit werdgedaan door meerdere (typisch drie of vier) signalenvan een lage snelheid in een signaal van hogesneldheid te combineren. Dit gebeurt door middelvan Time Division Multiplexing (TDM), waarbij delangzame signalen tijdsloten krijgen in het snellesignaal.De introductie van licht in glasfiber heeft enormehoeveelheden capciteit tegen relatief lage prijzenbeschikbaar gemaakt. In de glasfiber netwerkendie tegenwoordig overal in de grond liggenworden probleemloos snelheden van tientallenGbits per seconde bereikt. Daarnaast is het mogelijkom verschillende lichtfrequenties tegelijkertijddoor een fiber te sturen. Alhoewel tegenwoordighonderden frequenties simultaan verstuurdkunnen worden, wordt er voornamelijk gewerktmet 16 frequenties per fiber, ieder met een snelheidvan 2.5 Gbit/s. Met zogenaamde ADMs (Add-Drop Multiplexers) kunnen op een verbindingfrequenties toegevoegd of uitgefilterd worden.Dit idee heet Wavelength Division Multiplexing(WDM). WDM is weliswaar technisch anders dan9<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


TDM, het optimaliseringsvraagstuk van waarmultiplexers te plaatsen en welke signalen samente voegen is nauwelijks verschillend.We bekijken het volgende probleem: als in eennetwerk de vraag naar bandbreedte tussen diverseparen punten bekend is (in eenheden van 2.5 Gb/s)en de route van vraag tussen twee eindpuntenvastligt, dan is het probleem om te kijken welkepaden met elkaar in één fiber gecombineerd kunnenworden. Merk op dat twee paden in dezelfdefiber niet van dezelfde frequentie gebruik kunnenmaken. In grafen terminologie: Gegeven eengraaf G=(V,E) en paden P 1 ,…,P K in G. Gevraagd eenkleuring (met zo weinig mogelijk kleuren) vande paden zodanig dat paden die een verbindinggemeen hebben verschillende kleuren gebruiken.Dit probleem is in feite een standaard kleuringprobleem. De transformatie gaat als volgt. Depunten van de nieuwe graaf worden gevormddoor de paden. Twee paden worden verbondendoor een kant als ze in G een verbinding gemeenhebben. De zo geconstrueerde graaf wordt ook welconflictgraaf genoemd: conflicten tussen tweeobjecten worden gemodelleerd door middel vankanten. Merk op dat we in feite ongericht verkeerbeschouwen. In de modellen is dat niet echtrelevant, omdat gericht verkeer gemakkelijk alsongericht verkeer gemodelleerd kan worden bijvaste routes.In onderstaand voorbeeld worden, in een netwerkvan vijf punten, vier paden geïdentificeerdaan welke een kleur toegekend dient te worden.Dit zijn de paden 123, 234, 245 en 1243. De bijbehorendeconflictgraaf is ook gegeven.Merk op dat in dat geval routes tussen puntenparenper definitie vastliggen. Speciale netwerken(topologieën) vinden veel toepassing inde huidige netwerken. De boom is op laag niveaupopulair, en daarnaast wordt de ring veel gebruiktin hogere lagen van netwerken. Het probleem isNP-moeilijk, in beide topologieën, zie [2] en [3].De ring is een populaire structuur in SONET/SDHnetwerken, doordat deze 2-samenhangend is. Dezogenoemde Self-Healing Ring wordt dan ook inde meeste SONET/SDH netwerken gebruikt. Erzijn niet of nauwelijks oplossingsmethoden voordit probleem bekend. In [2] worden greedy heuristiekenbesproken, die als voornaamste doel hebbenhet gat tussen het gebruikte aantal kleurenen de maximum load (aantal signalen over eenpFiguur 2: Constructie van de conflictgraafFiguur 3. Toplaag SDH netwerk in Nederland.10<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


verbinding, een ondergrens) zo klein mogelijk tehouden.Het probleem wordt een stukje moeilijker alsook nog de route van het verkeer (het pad) bepaaldmoet worden. Tegelijkertijd dienen nog steedskleuren aan de paden toegekend te worden zodanigdat geen conflicten optreden. Er zijn nu verschillendeoptimaliseringscriteria mogelijk: hetminimaliseren van het aantal gebruikte kleurenen het minimaliseren van het aantal ADMs (elkekeer dat een kleur toegevoegd of verwijderd wordtdient een ADM geplaatst te worden). Onderstaandvoorbeeld geeft aan dat de criteria ‘minimumaantal kleuren’ en ‘minimum aantal ADMs’ nietsimultaan kunnen worden geoptimaliseerd.7 68594123Figuur 4. Kleuren versus ADMs.Er dient een verbinding te zijn tussen ieder paar inde puntverzameling {1,2,3}, in de puntverzameling{4,5,6}, en in de puntverzameling {7,8,9}. Dit kan optwee manieren: eerst direct 12, 23, 13 etc. Dit kostper groep van drie punten twee kleuren en 5ADMs. In totaal dus twee kleuren en 15 ADMs.Een alternatief is om de verbinding tussen 1 en 3via de route 34567891 te laten lopen. Nu kan dezegroep toe met één kleur. Dit heeft als voordeeldat er voor deze groep slechts 3 ADMs nodig zijn.Als nadeel geldt dat iedere groep nu zijn eigenkleur heeft en dat er dus 3 kleuren nodig zijn en intotaal 9 ADMs.Een relaxatie van het kleuringsprobleem is deminimalisatie van de grootste load per verbinding.De load is een voor de hand liggende ondergrensvan het aantal benodigde kleuren. Ook ditprobleem is NP-moeilijk, met als interessanteuitzondering de ring indien de vraag in kleineeenheden is. Dit probleem is polynomiaal oplosbaar,zie [12]. Hier wordt ook een approximatiealgoritme besproken voor algemene vraag in ringen,met absolute garantie voor de afwijking vanhet optimum. Het laatste probleem dat we willenbespreken is een uitbreiding op bovenstaandeproblemen: we kunnen zogenaamde light-waveconverters toevoegen, zie [4]. Deze apparaten kunneneen de golflengte van een gegevensstroomwijzigen. In grafenterminologie: we kunnen eenpad opsplitsen en ieder deel zijn eigen kleurgeven. Dit kan zowel winst opleveren in aantalbenodigde kleuren als aantal benodigde ADMs.De kostenstructuur van netwerken is zodanig datwe zo weinig mogelijk gebruik willen maken vanapparatuur en dat dus het terugbrengen van hetaantal ADMs de voorkeur heeft.ADM4blauwADM5roodADM1roodADM2roodADM3ADM1roodADM2roodADM31 2 31 2 3Figuur 5. De twee oplossingen11<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Voor alle drie genoemde problemen zijn nietof nauwelijks goede algoritmen bekend op grotestructuren. Er zijn wat NP-moeilijkheids resultatenen wat approximatie-algoritmen in bovengenoemdeliteratuur. Daarnaast behandelt [8]enkele modellen en [9] ondergrenzen gebaseerdop LP. Uitdagingen zijn er nog volop in het vindenvan goede exacte en approximatieve algoritmen.Goede oplossingen leveren de telecomoperatorshandenvol geld op qua besparingen en dus is hetcommercieel interessant.Er zijn nog twee variaties die onderwerp vanonderzoek zijn op dit moment:- multicasting, het versturen van data naar verschillendeontvangers tegelijkertijd;- het dynamisch routeren van verkeer, dit hoortsinds kort tot de mogelijkheden omdat ADMsen light-wave converters tegenwoordig softwarematigop afstand te bedienen zijn. Dit geeftmogelijkheden voor on-line algoritmen.Andere problemenOok in de mobiele telefonie kwamen nieuweproblemen voor: het bepalen van de frequentiewaarover antennes moeten communiceren, zie[1]. Grappig is dat in beide gevallen electromagnetischegolven gebruikt worden en dat in beidegevallen kleuringsproblemen (weliswaar vantotaal verschillend type) optreden als te optimaliserenprobleem.Een laatste probleemtype is het prijzen van verbindingenin netwerken. Hierbij moet een operatorproberen de prijzen van zijn verbindingen zodanigvast te stellen dat aan de ene kant klanten van zijnverbindingen gebruik maken, en aan de anderekant de revenuen zo groot mogelijk zijn. Dit is eenspeltheoretisch probleem, dat met zogenaamdebilevel programs gemodelleerd kan worden. Hier isde afgelopen tijd veel aandacht aan besteed in deliteratuur, zie voor een overzicht [7].Een zeer recent boek dat over alle (oude ennieuwe) onderwerpen in de telecommunicatieinformatie bevat is [11].Literatuur1. K.I. Aardal, C.P.M. van Hoesel, A.M.C.A. Koster,C.Mannino, A.Sassano. Models and solution techniquesfor the frequency assignment problem. 4OR,1(4):261--317, 2003.2. I. Caragiannis, C. Kaklamanis, P. Persiano.Wavelength routing in all-optical tree networks: Asurvey. Computers and Informatics, 20:95--120, 2001.3. T. Erlebach, K.Jansen. The complexity of path coloringand call scheduling. Theoretical ComputerScience, 255(1-2):119--137, 2001.4. T. Erlebach, S. Stefanakos. Wavelength conversionin networks with bounded treewidth. Tikreport 132, Institut für Technische Informatik undKommunikationsnetze, ETH Zürich, 2002.5. B. Fortz, M. Thorup. Internet traffic engineering byoptimizing OSPF weights. INFOCOM (2), pages 519--528, 2000.6. C.P.M. van Hoesel. Optimization in telecommunicationnetworks. Statistica Neerlandica, 59(2):180--205,2004.7. C.P.M. van Hoesel. An overview of stackelberg pricingin networks. European journal of OperationalResearch, to appear, <strong>2007</strong>.8. A.M.C.A. Koster, M. Scheffel. A routing and networkdimensioning strategy to reduce wavelength continuityconflicts in all-optical networks. In Proceedingsof INOC <strong>2007</strong>, Spa, Belgium, <strong>2007</strong>. InternationalNetwork Optimization Conference.9. A.M.C.A. Koster, A. Zymolka. Tight LP-based lowerbounds for wavelength conversion in optical networks.Statistica Neerlandica, 61(1), <strong>2007</strong>.10. M. Minoux. Network design and optimum networkdesign problems: Models, solution methods andapplications. Networks, 19:313--360, 1989.11. M.G.C. Resende, P.M.Pardalos (eds.). Handbook ofOptimization in Telecommunications. Springer, 2006.12. A. Schrijver, P. Seymour, P. Winkler. The ring loadingproblem. SIAM J. Discrete Mathematics, 11(1):1--14,1998.Stan van Hoesel is hoogleraar Operation Researchaan de Faculteit der Economische Wetenschappen enBedrijfskunde van de <strong>Universiteit</strong> Maastricht. Email:12<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Rolgordijnen en Operations Research:THEORIE EN PRAKTIJKRolgordijnen en operations research (OR); op het eerste gezicht lijken deze twee weinigmet elkaar te maken te hebben. Maar als u zich realiseert dat een rolgordijn niets meeris dan een op maat gezaagde buis met daar omheen gerold een op maat gesneden stukstof en één van de standaard OR-problemen het snijprobleem is, is de link wellicht al eenstuk duidelijker.*Edgar de GelderDit artikel is geschreven op basis van een onderzoeknaar afvalminimalisatie bij één van de grootsterolgordijnfabrikanten van Nederland [2] en hetdaaruit volgende implementatietraject. De fabrikant,die omwille van bescherming van bedrijfsgevoeligeinformatie niet zal worden genoemd, levertklantspecifieke rolgordijnen. Dat wil zeggen dat deklant naast het kiezen van een bepaald dessin ookde afmetingen kan bepalen (in mm nauwkeurig).Als gevolg hiervan is iedere order uniek en is hetonmogelijk voorgezaagde buizen en/of voorgesnedenstukken stof op voorraad te houden.13<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


In plaats daarvan worden standaardbuizenmet een lengte van 5 m en standaardrollen stofvan 25 m lang en 2 m breed op voorraad gehoudenen worden daaruit de benodigde stukken gezaagdrespectievelijk gesneden. Dit proces is wel gemechaniseerdmaar niet geautomatiseerd. Dat wilzeggen dat elke buis en elk stuk stof afzonderlijkwordt gezaagd en gesneden waarbij de operatorde volgorde van de orders bepaalt. Het feit datde operator wordt afgerekend op snelheid enkwaliteit heeft tot gevolg dat het onvermijdelijkeafval (overgebleven stukjes buis/stof die nietmeer gebruikt kunnen worden) enorm is. Kortom,een ‘ideale’ situatie waar een ‘OR-hart’ sneller vangaat kloppen.In theorie kan allesDe beschrijving in de vorige paragraaf maakt duidelijkdat we hier te maken hebben met een eenentwee-dimensionaal Cutting Stock Problem (CSP).Zoals al eerder gemeld is dit één van de standaardOR-problemen, maar helaas geeft de literatuurgeen standaardoplossing. Het CSP is NP-moeilijk [1]met als gevolg dat er geen praktisch bruikbare optimalisatiealgoritmesbestaan. Algemeen bekendis de kolomgeneratie heuristiek van Gilmore enGomory [3,4] en hun uitbreiding voor twee of meerdimensies [5]. Echter, deze methode levert de optimaleoplossing van de lineaire relaxatie van hetprobleem waarna een heuristiek wordt gebruiktom de uiteindelijke oplossing geheeltallig te krijgen.Deze laatste stap levert goede oplossingen opvoorwaarde dat de multipliciteit van de geselecteerdepatronen hoog is. Aangezien de rolgordijnenvoornamelijk worden verkocht aan particulieren ishet aantal identieke rolgordijnen laag (gemiddeld2,1). De multipliciteit van de patronen is dus nogkleiner. De oplossing van de lineaire relaxatie vanhet CSP zal voornamelijk waardes tussen 0 en 1opleveren met als gevolg dat een geheeltalligheidsheuristiekwaarschijnlijk oplossingen genereertdie ver van het optimum afliggen.Naast het feit dat boven beschreven redeneringeen kolomgeneratie methode afwijst, levert eennadere bestudering van het daadwerkelijke zaagensnijproces nog meer voorwaarden waarmee deoplossingsmethodiek rekening moet houden.Zagen van buizenHet zaagproces kan worden beschreven metbehulp van vier eigenschappen: verschil in standaardlengtes,relatieve orderlengte, multipliciteiten probleemgrootte. Zoals in de inleiding beschrevenis er slechts één standaardlengte (5 m) diekan worden gebruikt, maar daarnaast wordenreststukken boven een bepaalde lengte bewaardom eventueel bij een volgende batch alsnog tekunnen gebruiken. De gemiddelde orderlengteis ongeveer 1,2 m, wat betekent dat de relatieveorderlengte (ten opzichte van de standaardlengte)groot is. De multipliciteit van de orders is laag ende batchgrootte is gemiddeld 50 tot 100 items.Het feit dat er naast een ‘oneindige’ hoeveelheidvan standaardlengtes ook een aantal reststukken(met eindige hoeveelheid) kan wordengebruikt is een extra complicatie die, net alsde lage multipliciteit, nogmaals onderstreeptdat kolomgeneratie niet de juiste methode is.Ondanks dat de relatieve orderlengte groot is ende batchgrootte klein lijkt is een volledige enumeratie(of branch-and-bound) ook geen oplossing.Er vanuit gaande dat er nooit meer dan vijfitems uit één standaardlengte worden gehaald(wat hoogstwaarschijnlijk niet waar is) is het aantalmogelijke patronen namelijk gigantisch, in deorde van grootte van100 100 100 100 100( 5 ) + ( 4 ) + ( 3 ) + ( 2 ) + ( 1 ) = ± 80 M14<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Deze redenering heeft geleid tot een oplossingsmethodiekwelke is opgebouwd uit tweefases. In de eerste fase wordt een groot aantalveelbelovende patronen gegenereerd (circa 750)voor de standaardlengte van 5 m waaruit metbehulp van branch-and-bound een selectie wordtgemaakt. Aangezien slechts een deel van allemogelijke oplossingen wordt bekeken kan eengeldige oplossing van het IP-probleem niet wordengegarandeerd. Derhalve wordt de hoeveelheidsrestrictieop de verschillende items gerelaxeerdmet als consequentie dat de resulterendeoplossing overproductie bevat.In het begin van de tweede fase wordt overproductieuit de oplossing ‘gesneden’ door eenaantal slechte patronen te laten vervallen. Deovergebleven oplossing zal wederom niet voldoenaan de hoeveelheidsrestrictie. In plaats vanoverproductie zal er nu sprake zijn van onderproductie.De niet-geproduceerde items, een aantalstandaardlengtes en de reststukken zijn inputvoor Gradisar’s Sequential Heuristic Procedure. [6]Deze heuristiek is een item-georiënteerde oplossingsmethodiek,wat wil zeggen dat het metname geschikt is voor CSP’s waarbij het aantalstandaardlengtes groot is en de probleemgroottebinnen de perken blijft.Verschillende configuraties van een patroon.Snijden van stofIn tegenstelling tot het zaagproces bevat het snijprocesnogal wat specifieke kenmerken. Naastde vier eigenschappen van het zaagproces (diehetzelfde zijn voor het snijproces) wordt het snijprocesgekenmerkt door nog vier eigenschappen:orthogonaliteit, guillotinesnijden, oriëntatierestrictiesen fouten in de stof. Orthogonaliteit enguillotinesnijden zijn bekende eigenschappenvoor 2D CSP’s. Dit betekent dat alleen horizontaalen verticaal kan worden gesneden en dat elkesnede moet worden afgemaakt (dus altijd de stofin zijn geheel doorsnijden, halverwege stoppenis onmogelijk). Oriëntatierestricties zijn ook nietongebruikelijk, echter, voor sommige rolgordijnstoffengeldt dat een product gedraaid uit de stofmag worden gesneden maar dan en slechts danals alle producten van dezelfde klant ook gedraaidgesneden worden (in verband met ‘nerven’ in destof). Tot slot, de meest complicerende factor is hetfeit dat de stof weeffouten bevat welke niet in hetproduct terecht mogen komen. Doordat stofrollenvan tevoren worden gescand is wel de exacte locatievan deze fouten a priori bekend.Ook dit 2D CSP wordt opgelost in een tweetalfases. In de eerste fase wordt, vergelijkbaarmet het zaagproces, een groot aantal veelbelovendepatronen gegenereerd (circa 750) waarnamet behulp van branch-and-bound een selectiewordt gemaakt. In deze fase wordt geen rekeninggehouden met eventuele fouten in de stof,maar wel met de eventuele oriëntatierestrictie.Analoog aan het zaagproces wordt de hoeveelheidsrestrictiegerelaxeerd, resulterend in overgeproduceerdeitems. Na het verwijderen van deslechtse patronen (met overgeproduceerde items)wordt de oplossing bewaard en wordt de hele faseopnieuw uitgevoerd. Ditmaal met de overgeblevenniet-geproduceerde items. Deze ‘loop’ eindigtzodra alle items precies voldoende worden geproduceerd.15<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


De volgende fase in de oplossingsheuristiekis de door ons geïntroduceerde Defects AvoidingSequence (DAS). Deze heuristiek maakt gebruikvan het feit dat de volgorde waarin de verschillendepatronen zullen worden gesneden nog nietbepaald is evenals de opbouw van de 2D patronen.Door deze opbouw (configuratie) van de patronente veranderen en de onderlinge volgorde van deverschillende patronen te wisselen kan er eenoplossing ontstaan waarbij de fouten in rest/afvalmateriaal terecht komen. In Figuur 1 is eenvoorbeeld gegeven van een patroon met 3 items(A, B en C) welke in twee verschillende configuratieskan worden gebruikt om ‘om de fout heen tesnijden’ (het zwarte rechthoekje). Uiteraard dienthet deel tussen het begin van de rol tot aan ditpatroon te worden gevuld met andere patronen.Merk op dat beide configuraties kunnen schuivenzonder dat de fout in één van de items terechtkomt. De DAS-heuristiek gaat op zoek naar zo’noplossing. Mocht dit niet mogelijk zijn dan zal deheuristiek de additionele hoeveelheid afval proberente minimaliseren.ResultaatMet behulp van simulaties is aangetoond dat deoplossingsmethodieken die hier in het kort zijnbeschreven, aanzienlijk beter presteren dan deoude werkmethodiek. De hoeveelheid afval voorhet 1D en 2D materiaal kan met respectievelijkruim 80% en 50% worden gereduceerd. Deze resultatenwaren aanleiding om de oplossingsmethodiekdaadwerkelijk in praktijk toe te passen.In praktijk valt het altijd tegenHet toepassen van theoretische oplossingen in depraktijk is altijd lastig. Tijdens de ontwikkelingvan software-tools voor het eenvoudig dagelijksoplossen van 1D en 2D CSP’s bleek al snel dat detheorie een heleboel aannames doet die in depraktijk lang niet altijd geldig zijn. Zo moet erin praktijk rekening worden gehouden met hetfeit dat iedere zaagsnede een verlies oplevert van3mm. Uiteraard is dat niet veel maar het betekentwel dat een patroon dat precies passend is, inpraktijk net iets te groot is.Daarnaast blijkt dat in praktijk een inklembreedteaanwezig is. In het 1D geval betekent ditdat er altijd een reststuk moet overblijven vanminimaal 50 mm (1% extra afval). Het wiskundig‘verkleinen’ van de standaard lengtes met 50 mmis voldoende. Echter, in het 2D geval (snijden vanstof) geldt eenzelfde restrictie welke niet zo eenvoudigop te lossen is. Voor een rolgordijn geldtdat de hoogte iets overschreden mag wordenmaar dat de breedte exact moet worden afgesneden.Dit betekent dus dat een randje kleiner dan50 mm afsnijden van de breedte van een rolgordijnonmogelijk is maar van de hoogte niet nodigis. Als gevolg daarvan dient tijdens de generatievan verschillende patronen na te worden gegaanof het betreffende patroon wel mogelijk is en voorwelke configuraties dit dan geldt.Er zijn tientallen voorbeelden van dit soortpraktische randvoorwaarden welke over het algemeengoed op te lossen zijn zonder daarbij teveelaan kwaliteit van de oplossing in te leveren. Eengroter probleem van de implementatie is de keuzevan de nieuwe werkvolgorde. Zo zou men kunnenpleiten voor een werkvoorbereider welke de softwarebedient en de output (zaag- en snijplannen)gebruikt om de operators aan te sturen. Voordeelvan zo’n opstelling is het feit dat slechts enkeleexpert-users de ontwikkelde software zullen gaangebruiken. Nadeel van deze werkvolgorde is hetverlies aan flexibiliteit. Wat te doen als een reststukom onverklaarbare redenen niet aanwezigis? Wat te doen als door een productiefout eenbepaald item opnieuw dient te worden geproduceerd?16<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


De andere optie is het real-time optimaliserenvan de verschillende CSP’s. Dit betekent datiedere operator een computer tot zijn beschikkingkrijgt welke hem helpt het afval te minimaliseren.Naast de enorme flexibiliteit heeft dezemethodiek nog een aantal positieve neveneffecten,zoals verhoging van de productiviteit, registratievan productie en traceerbaarheid van eenbepaald item. Een groot nadeel is het feit dat hetsoftwarepakket dusdanig flexibel en makkelijk tegebruiken dient te zijn dat ook een operator metweinig verstand van computers het programmakan bedienen. Bovendien moet de optimalisatiesnel zijn afgerond om de productie niet te veel tevertragen.Aangezien flexibiliteit een enorm belangrijkefactor op de productievloer is, is er gekozen voorde tweede optie. Gebruiksvriendelijke software isontwikkeld welke het mogelijk maakt eenvoudigen snel tussentijds te heroptimaliseren als bijvoorbeeldeen nieuwe weeffout is ontdekt die descanner per abuis had overgeslagen. Diegene diedenkt dat daarmee de implementatie succesvolis afgerond moeten wij teleurstellen. Veruit degrootste uitdaging van het gehele project moetdan nog komen: de acceptatie.Ondanks dat het softwarepakket aan alleflexibiliteits- en eenvoudigheidseisen voldeedbleek het lastig te zijn om werknemers te overtuigenom de software te gaan gebruiken. Deangst dat de computer hun werk zou overnemen(wat totaal niet aan de orde is) bleek eenbelangrijke reden om niet met de software tewillen werken. Veruit de belangrijkste redenvoor de negatieve houding is simpelweg de verandering.Angst voor verandering is menselijken tijdens de acceptatie een groot struikelblok.Maar in diezelfde angst schuilt ook een grootvoordeel: nu, inmiddels een jaar later, is iedereengewend en wil niemand meer terug naar deoude situatie!Tot slotZoals hierboven reeds aangegeven draait de software,met daarin de heuristieken zoals kort in ditartikel beschreven, inmiddels een jaar naar alletevredenheid. Naast tevredenheid bij de werknemersis er ook tevredenheid bij de directiewelke haar afvalpercentages heeft zien dalenmet respectievelijk 70% en 40% voor het zaag- ensnijproces. Kortom, in theorie kan alles, in praktijkvalt het altijd tegen, maar gelukkig is nietsonmogelijk!* Edgar de Gelder ontving voor zijn onderzoek een eervollevermelding van de jury van de VVS-scriptieprijsvoor Statistiek en Operationele Research 2006.Literatuur1. E.E. Bischoff (1995). Cutting and packing. EuropeanJournal of Operations Research, 84(3), pp. 503-505.2. E.R. de Gelder (2005). The one and two-dimensionalcutting stock problem within the roller blind productionprocess – theory and application. Master’s thesis,Erasmus <strong>Universiteit</strong> Rotterdam.3. P.C. Gilmore and R.E. Gomory (1961). A LinearProgramming Approach To The Cutting StockProblem. Operations Research, 9(60), pp. 849-859.4. P.C. Gilmore and R.E. Gomory (1963). A LinearProgramming Approach To The Cutting StockProblem - Part II. Operations Research, 11(6), pp. 863-888.5. P.C. Gilmore and R.E. Gomory (1965). MultistageCutting Stock Problems of Two and More Dimensions.Operations Research, 13(1), pp. 94-120.6 M. Gradiçar, M. Kljajić, G. Resinovi˘c, and J. Jesenko(1999). A sequential heuristic procedure for onedimensionalcutting. European Journal of OperationalResearch, 114(2), pp. 557-568.Edgar de Gelder is werkzaam bij Pointlogic waar hijzich voornamelijk bezig houdt met loonkostensimulatiesen TV-(reclame-)planning.E-mail: 17<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


c o l u m nEdinburgh Mathematical Society Colloquium in St Andrews in 1964. Op de vierde rij in het midden staat Aida BeatrijsPaalman-de MirandaBlack is beautifulFred SteutelToen ik me afvroeg wat er in een mogelijk artikelover ‘Vrouwen in de Statistiek’ zou kunnen staan,kwam ik op het idee om na te denken over andereherkenbare ‘minderheden’ in de kansrekening enstatistiek – vrouwen vormen in de samenlevingnatuurlijk geen minderheid. Je kunt daarbij vanalles bedenken: roodharigen, linkshandigen ofstotteraars in de statistiek. Uiteindelijk leek ‘zwartenin de statistiek’ me wel wat, al is een bezwaardat zelfs mensen die maar voor een achtste ofnog minder niet-blank (‘niet-Kaukasisch’) zijn,zich ‘zwart’ noemen. We hebben eigenlijk geengeschikt woord voor ‘zwarten’. Vroeger zeiden we‘negers’, maar dat is nu een taboewoord. Ik beslootop internet te gaan zoeken bij ‘zwarte statistici’,maar dan in het Engels. Het groepje eminentezwarte statistici dat u hieronder aantreft, is subjectiefgekozen; sommigen van hen heb ik persoonlijkontmoet. Mijn losse opmerkingen overhen zijn niet bedoeld als beknopte biografieën.De zoekterm ‘black statisticians’ leverde weinigop: pagina’s over casino’s en een artikel over‘Death Sentences Linked to History of Lynching inStates’. De enige bruikbare pagina betrof een interviewvan Albert Marshal met William Birnbaum,geen van beiden zwart. De link met ‘black statisticians’betreft een passage over de achterstellingvan zwarte statistici en andere zwartewiskundigen in, speciaal, de zuidelijke staten vande VS, waarover straks meer. Omdat het woord‘black’ in de VS al bijna even erg is als ‘neger’ bijons, besloot ik ‘black’ te vervangen door ‘Afro-American’. Daarnaast heb ik ‘statisticians’ uitgebreidtot ‘mathematicians’.Met de zoekterm ‘Afro-American mathematicians’vond ik veel excellente wiskundigen, enhet enige wat mij te doen stond was daar de statistici(inclusief kansrekenaars) uit te selecteren.18<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Verreweg de beroemdste van allemaal is DavidBlackwell (nomen est omen). Zijn carrière begonin een periode van nog ernstige discriminatie, ookin het Noorden van de VS. In 1941 werd Blackwellbenoemd aan het Institute for Advanced Studiesin Princeton. Door die benoeming werd hij automatischvisiting fellow van Princeton University,onder heftig protest van de president van de universiteit,die eerder de beroemde zwarte zangerPaul Robeson buiten de deur had weten te houden.Blackwell mocht toch even blijven. Na kortebenoemingen aan een aantal zwakkere ‘zwarteuniversiteiten’, belandde hij op de beste zwarteuniversiteit van de VS, Howard University inWahington, D.C. Later werkte hij onder meer aanUCLA en Berkeley. Kansrekenaars en mensen uitde stochastische OR (bijvoorbeeld wachttijdtheorie)kennen Blackwell van de naar hem genoemdelimietstelling in de vernieuwingstheorie, de statisticikennen de ongelijkheid voor de variantievan schatters, genoemd naar Rao en Blackwell.Na Blackwell is Charles Bell mogelijk de bekendstezwarte statisticus. Hij was actief op allerleiterreinen van de statistiek, met name order statistics,signaaldetectie en parametervrije methoden.Hij was in 1964 in Nederland, waar hij ook hetMathematisch Centrum (CWI) bezocht. Ik herinnerme dat hij al in de VS vrij goed Nederlands hadgeleerd, maar dat tot zijn verdriet bijna iedereenin het Engels met hem wilde converseren.Bharucha-Reid heette in zijn jeugd AlbertTurner Reid. Na zijn huwlijk met de IndiaseBharucha voegde hij haar naam aan de zijne toe.Ook hij bezocht het MC/CWI. Hij heeft verschillendeboeken geschreven, waaronder een overMarkov-processen en hun toepassingen, ondermeer in de wachttijdtheorie. In dat boek heefthij een artikel van Runnenburg overgenomenwaar een fout in zat; een heel subtiele kwestieover (on)afhankelijkheid, waar Runnenburg zelfal eens op gewezen had. Deze omstandigheid waser mogelijk de oorzaak van dat Runnenburg nietveel waardering voor Bharucha-Reid had. In deVerenigde Staten had hij een status niet zo heelveel onder die van Blackwell; misschien wel watveel eer. Hij had nog twee bijzonderheden: hijheeft nooit een proefschrift geschreven – vond hijzonde van zijn tijd – en, volgens geruchten op hetMC, droeg hij altijd een pyjama onder zijn kleren;hij had het vaak koud.Ernest Wilkins was een expert op het gebiedvan random polynomen. Hij is in zijn jeugdeen keer onheus behandeld door de AmericanMathematical Society, en heeft daarna nooit meeriets met die club te maken willen hebben. Ik hebhem nooit ontmoet.Er lijken geen befaamde zwarte vrouwelijkestatistici te zijn. Maar er is natuurlijk een websitemet Black Women in the Mathematical Sciences. Desuccesvolste die we daar vinden, is de in Engelandgeboren Katherine Adebola (Kate) Okikiolu,dochter van de zeer productieve Nigeriaansewiskundige George Okikiolu (95 vermeldingenin de Mathematical Reviews). Zij is opgeleid inCambridge en aan de UCLA, en nu werkzaam aande UC in San Diego. We vinden op deze site natuurlijkook de Surinaams-Nederlandse Aida Beatrijs(Ietje) Paalman-de Miranda, in 1951 een jaargenootvan mij aan de <strong>Universiteit</strong> van Amsterdam.Zij is geen statisticus, maar heeft toch een artikelgeschreven met Gilbert Helmberg – deels kansrekenaar– over wel-verdeelde rijen. Ik ontmoettehaar nog onlangs op het oud-medewerkersfeestjevan het 60-jarige CWI. Black is beautiful!Fred Steutel is emeritus hoogleraar kansrekening aande TU Eindhoven. Hij is redacteur van <strong>STAtOR</strong>.E-mail: 19<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


De COMPLEXITEIT van deVereenvoudigde ArbeidstijdenwetDit artikel beschrijft een aantal recente veranderingen van de Arbeidstijdenwet en hetArbeidstijdenbesluit en de gevolgen daarvan voor het maken en controleren van dienstroosters.Met name wordt ingegaan op de gevolgen van het Jaeger-arrest, dat bepaaltdat aanwezigheidsdiensten als arbeid gerekend moeten worden. Hoewel sprake is vanvereenvoudigde wetgeving kunnen daar vanuit een wiskundig perspectief vraagtekens bijgezet worden.Laurens Fijn van Draat, John Poppelaars en Gerhard PostEen recente uitspraak van de rechtbank in DenHaag bepaalde dat brandweerlieden minder mochtengaan werken, met behoud van het salaris. Eenaantrekkelijk vooruitzicht voor de brandweerliedennatuurlijk, maar minder aantrekkelijk voor degemeenten die hierdoor met een aanzienlijke kostenstijgingte maken krijgen. De motivering van deuitspraak moet gezocht worden in veranderingen20<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


ATW OverlegregelingV-ATWCAOATW StandaardregelingCAOArbeidstijdenbesluitArbeidstijdenbesluitSituatie voor 1 april <strong>2007</strong> Situatie na 1 april <strong>2007</strong>Figuur 1. Regelgeving rondom arbeidstijden oud en nieuw.van de wetgeving rondom arbeidstijden: de invoeringvan de Vereenvoudigde Arbeidstijdenwet(v-ATW) op 1 april <strong>2007</strong> en de aanpassing van hetArbeidstijdenbesluit (ATB) in juli 2006, naar aanleidingvan het Jaeger-arrest. In dit artikel gaanwe in op de complexiteit van deze veranderingen.Heeft het vorige kabinet haar motto ‘meer werk,minder regels’ waargemaakt? We laten zien datdit nog tegenvalt. Zo moet voor het controlerenvan één van de nieuwe regels uit het ATB eenknapzakprobleem opgelost worden, een probleemdat in de complexiteitstheorie bekend staat alsmoeilijk probleem.Regels voor arbeidstijdenDe wijzigingen van de Arbeidstijdenwet (ATW) enhet Arbeidstijdenbesluit vloeien voort uit afsprakenop Europees niveau (European working timedirective en het Jaeger-arrest) en de ambitie vanhet kabinet om meer over te laten aan werkgeversen werknemers. Naast de ATW en het ATB is ookde CAO van invloed op de inzetmogelijkheden vanpersoneel. In Figuur 1 staan de onderlinge verhoudingentussen ATW, ATB en CAO weergegeven.In de oude situatie, tot 1 april <strong>2007</strong>, was ersprake van een standaard- en een overlegregelingbinnen de ATW. De standaardregeling wasop iedereen van toepassing, tenzij er in de CAOof via een andere collectieve afspraak (met deOndernemingsraad) van afgeweken was. Welwaren de (ruimere) grenzen uit de overlegregelingabsoluut; die mochten in geen geval overschredenworden. In het Arbeidstijdenbesluitzijn uitzonderingen op de ATW opgenomen dienoodzakelijk zijn vanwege de arbeidsomstandighedenin specifieke branches. Hierbij kangedacht worden aan de gezondheidszorg, politie,brandweer en de horeca. Vaak gaat het om verruimingenvan regels uit de overlegregeling dieanders tot onwerkbare situaties zouden leiden.21<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Figuur 2. De controle van de arbeidstijd per 16 weken.De v-ATW geeft voor het overgrote deel van deregels nog maar één norm. Het verschil tussenstandaardregeling en overlegregeling is daarmeebijna geheel verdwenen.Wat is er zoal veranderd?De v-ATW beperkt zich zoveel mogelijk tot regelsdie nodig zijn voor de bescherming van de veiligheid,gezondheid en welzijn van de werknemer.Er staan minder regels in dan in de oudeArbeidstijdenwet. Er zijn bijvoorbeeld nog maarvier regels over de maximum arbeidstijd tegenovertwaalf in de oude wet. De maximum arbeidstijdis 12 uur per dienst geworden en maximaal 60uur per week. Een aanzienlijke verruiming omdatin de standaardregeling van de ATW maximaal9 uur per dienst en 45 uur per week mocht wordengewerkt. In een periode van 4 weken mageen werknemer gemiddeld 55 uur per week werken(was 50 uur) en per 16 weken gemiddeld 48uur. De periode van 16 weken is nieuw, in de oudewet was de maximale referentieperiode 13 wekenvoor de maximale arbeidsregels. Om deze regelte controleren zal een week waarin 60 uur wordtgewerkt 16 keer in een periode van 16 weken(over een periode van 15 weken in het verledentot 15 weken in de toekomst) worden betrokken,zie figuur 2. Het zal duidelijk zijn dat het controlerenvan regels die een dergelijke lange periodebeslaan een tijdrovende zaak is, zeker in een dynamischeomgeving waar veel veranderingen in hetrooster plaatsvinden. Overigens bestaan er CAO’smet regels over maar liefst 52 weken.Door deze verruiming van de regels neemt deinzetbaarheid van het arbeidspotentieel per jaarmet 20% toe. Dat zal de werkgevers zeker aanspreken.Of die extra ruimte ook daadwerkelijk doorwerkgevers kan worden benut, is afhankelijk vanof het werk er ook is en of het vanuit kostenoverwegingenwenselijk is. De uren die medewerkers22<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


oven het aantal afgesproken contracturen wordeningezet zijn vaak met een extra toeslag belast.Daarnaast speelt dat als er gedurende de nachtwordt gewerkt, de maximale arbeidstijd per periodevan 16 weken daalt naar 40 uur gemiddeldper week.Naast de verruiming van de grenzen zijn ookenkele regels versoepeld en aangepast. Zo is depauzeregeling vrijer, is de regeling voor oproepennachtdiensten sterk verbeterd voor werknemersen is de consignatieregeling tot een goedniveau verbeterd, aldus FNV Bondgenoten.Knapzakprobleem in het ArbeidstijdenbesluitOok in het ATB zijn de nodige aanpassingen doorgevoerd,met name in de regels met betrekking totde rust na aanwezigheidsdiensten. Voornaamsteaanleiding hiervoor was het Jaeger-arrest uit 2003van het Europese Hof van Justitie dat bepaaltdat diensten, waarbij het verplicht is aanwezigte zijn, als arbeid gerekend moeten worden.Dergelijke diensten, vaak aanwezigheidsdienst ofslaapdienst genoemd, worden gebruikt als snelleaanwezigheid vereist is, zoals in de gezondheidszorgen bij de brandweer. In het geval dat eenwerknemer één of meer aanwezigheidsdienstenuitvoert, is een regel voor wekelijkse rust in hetATB van toepassing:‘De werkgever organiseert de arbeid zodanigdat de werknemer in elke aaneengeslotentijdruimte van 7 maal 24 uren een rusttijdheeft van tenminste 90 uren, welke rusttijdbestaat uit een onafgebroken rustperiodevan tenminste 24 uren alsmede 6 onafgebrokenrustperioden van tenminste 11 uren,welke 6 rustperioden in elke aangeslotentijdruimte van 7 maal 24 uren ten hoogsteeenmaal mogen worden ingekort tot 10 urenalsmede eenmaal tot 8 uren. Onafgebrokenrustperioden kunnen aaneengesloten zijn.’Om de regel correct te controleren zal iedereperiode van 168 uur gecontroleerd moeten worden.De regel vertelt niet waar deze periode magbeginnen. Dit maakt natuurlijk wel verschil:de grens kan net door één van de rustperiodeslopen, die daardoor te kort wordt. Het controlerenvan de totale rusttijd is eenvoudig: we kunnensimpelweg alle losse blokjes rusttijd binneniedere controle-periode bij elkaar optellen envergelijken met de norm van 90 uur. Het vervolgvan de regel betreft de verbrokkeling van de rustperiodes.Er dient één rustperiode te zijn van tenminste24 uur, vier van tenminste 11 uur, één vantenminste 10 en één van tenminste 8 uur. Ook ditvalt met enig inzicht nog redelijk eenvoudig tecontroleren. De rustperiodes kunnen aflopend oplengte gesorteerd worden, en één voor één vergelekenworden met de gevraagde periodes van 24,11, 11, 11, 11, 10 en 8 uur. Het venijn van deze regelzit ’m echter in de staart. Door de toevoeging:‘Onafgebroken rustperioden kunnen aaneengeslotenzijn’ is de laatste controle niet meer zoeenvoudig. Wiskundig gezien is het probleem nueen (meervoudig) knapzakprobleem (knapsackproblem) geworden, welke in zijn algemeenheidmoeilijk is om op te lossen.Om het controleren van de regel te vertalenin het knapzak probleem laten we elke rustperiodevan de medewerker corresponderen meteen knapzak. De grootte van een knapzak is hetaantal uren van de rustperiode. In deze knapzakkenproberen we zeven artikelen ter grootte van24, 11, 11, 11, 11, 10 en 8 (de vereiste rustperiodes)mee te nemen. Als dit lukt, dan hebben we aande regel over wekelijkse rust voldaan, als hetniet lukt, dan is de regel overtreden. Figuur 323<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Figuur 3. De knapzakken voor rustperiodes van 32, 31 en 28 uur.geeft de situatie weer, waarbij een medewerkerslecht drie perioden van rust heeft, van respectievelijk32, 31 en 28 uur.Kunnen de zeven artikelen verdeeld wordenover de drie knapzakken? Dat is niet direct duidelijk.Een voor de hand liggende (gretige) keusis om de 24 en 8 in de knapzak van 32 te stoppen.Enig puzzelen leert dat de overgebleven artikelenvan grootte 11, 11, 11, 11 en 10 niet in de overgeblevenknapzakken van 31 en 28 passen. Betekentdit dat we de regel hebben geschonden? Nee.Een andere mogelijkheid is om 11, 11 en 10 in deknapzak van 32 op te bergen. Als we dan 24 in deknapzak van 28 doen, passen 11, 11 en 8 in die van31. Aan de regel wordt (voor deze periode van 168uur) dus voldaan.wordt gekeken. In het voorbeeld van de brandweerwordt getracht de bestaande roosters aante passen om ze aan de nieuwe regels te latenvoldoen, met een productiviteitsdaling tot gevolg.Beter zou zijn afstand te nemen van de huidigeroosters en te bekijken wat overall een betereoplossing zou zijn, bijvoorbeeld door de aanwezigheidsdienstte vervangen door een reguliere ploegendienstom de 24-uurs bezetting van de postente garanderen. Een wiskundige benadering vandeze vraagstelling kan hierin duidelijkheid verschaffen.Roosterplanningssystemen, zoals ORTECHARMONY TM , zijn in dit proces door de ingewikkelderegels in veel situaties onmisbaar; enerzijds bijhet controleren van (handmatig) geconstrueerderoosters, anderszijds bij het automatisch genererenvan dienstroosters.ConclusieAls gevolg van het Jaeger-arrest en de v-ATWis het maximale aantal aanwezigheidsdienstendat mag worden gelopen, voor de brandweer,gedaald van 121 naar 103 per jaar. Hierdoor looptde beschikbare arbeidstijd per jaar met 12% terug.Dit betekent een aanzienlijke stijging in de kosten.Vanuit deze optiek lijkt de v-ATW in combinatiemet het Jaeger-arrest een verslechtering.Dit is echter ook een gevolg van het perspectiefvan waaruit er naar de wijziging in de regelsLaurens Fijn van Draat is in 2000 afgestudeerd als econometristen als econoom aan de Vrije <strong>Universiteit</strong> vanAmsterdam. Sindsdien werkt hij bij ORTEC bv als consultant.E-mail: .John Poppelaars is senior consultant bij de afdelingLogistieke Consultancy van ORTEC bv. Hij is in 1990 afgestudeerdals econometrist aan de Erasmusuniversiteit enheeft zich gespecialiseerd in personeelsplanning.E-mail: .Gerhard Post is part-time werkzaam bij ORTEC bv, binnende afdeling voor algoritmiek ontwikkeling. Tevensis hij part-time universitair docent bij de afdelingToegepaste Wiskunde van de <strong>Universiteit</strong> <strong>Twente</strong>.E-mail: .24<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Foto: PieterBoschRandomized Response Techniekenvoor sociaal gevoelige vragenin beleidsonderzoek*Gerty Lensvelt-MuldersHet onderzoek van sociaal gevoelige onderwerpenSociaal gevoelig zijn alle onderwerpen die psychischof sociaal bedreigend zijn voor respondenten.Een onderzoek is psychisch bedreigend wanneerde vragen gaan over onderwerpen die zeerpersoonlijk en /of stresserend zijn voor de respondenten waarvan de antwoorden mogelijk afbreukdoen aan zijn zelfbeeld. Sociaal bedreigend is eenonderwerp wanneer er een maatschappelijk taboeop rust. Binnen onze onderzoeksgroep ontwikkelenwe designs en statistische analysetechniekenvoor onderzoek naar gevoelige onderwerpen, metonderzoek naar sociale fraude en integriteitschendingbij de politie (in samenwerking metde VU) als voorbeelden van sociaal gevoeligeonderwerpen en onderzoek naar pesten en eenzaamheidbij leerlingen van de basisschool alsvoorbeeld van een psychisch gevoelig onderwerp.25<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Het is noodzakelijk om onderzoek te doen naarhet verbeteren van instrumenten voor gevoeligevragen, omdat de kwaliteit van dit onderzoek optwee manieren wordt bedreigd: respondentenwillen liever niet meewerken aan dergelijk onderzoek,wat leidt tot hoge en selecte non-response,en respondenten hebben een neiging tot hetgeven van sociaal wenselijke of veilige antwoorden.Beiden processen leiden tot vertekende resultaten(Rasinski, Willis, Baldwin, Yeh en Lee, 1999).De randomised response techniekwaar de zuivere schatter van λ, λ^ de geobserveerdeproportie ‘waar’-antwoorden in onze steekproefis, p is de kans dat de respondent het eerstestatement moet beantwoorden, en p-1 de kans dathet tweede statement moet worden beantwoord.De steekproefvariantie is gelijk aanVar(π^ ) = π(1-π) +p(1-p)n n(2p-1) 2Uit de tweede vergelijking blijkt ook het nadeelvan de RR, namelijk dat de variantie fors toeneemt.In 1965 beschreef Warner een onderzoekstechniekdie, door het totaal waarborgen van de privacy vanrespondenten, zou moeten leiden tot een verminderingvan non-response en het geven van sociaalwenselijke antwoorden op gevoelige vragen.Warner’s Randomised Response (RR) design kannog steeds worden gebruikt om de algemene basisprincipesvan RR technieken te demonstreren.Een respondent krijgt twee uitspraken voorgelegdin de volgende vorm:• Ik heb gevoelig gedrag A vertoond (wel eens XTCgenomen op een feestje)• Ik heb gevoelig gedrag A niet vertoond (nooitXTC genomen op een feestje)Met behulp van een kansspelletje (met bijvoorbeelddobbelstenen) wordt bepaald welke uitspraakmoet worden beantwoord. Omdat alleende respondent weet welke uitspraak hij of zij heeftbeantwoord, heeft het individuele antwoord geenenkele betekenis. Door kennis van het randomisatieprocesis het wel mogelijk om een populatieschattingvan het gevoelige gedrag (π^) te maken.π^ = λ^ + (p-1)2p-1RR is dus veel minder efficiënt dan conventionele‘directe vragen’-designs. Wanneer we de methodevan Warner gebruiken kan dit betekenen dat desteekproef tot acht maal zo groot moet wordenom vergelijkbare betrouwbaarheidsintervallen teverkrijgen. Daarom zijn er nieuwe RR designs ontwikkeld,die meer efficiënt zijn (zie bijvoorbeeldLensvelt-Mulders, Hox en Van der Heijden, 2005).Op dit moment is de best onderzochte methode deForced Response techniek (FR).Bij FR wordt aan de respondent slechts 1 vraagvoorgelegd. Met behulp van een randomizerwordt de respondent ‘geforceerd’ om een antwoordte geven. Om een goede verhouding tussenhet waarborgen van de privacy van respondentenenerzijds en de efficiëntie van FR anderzijdste verkrijgen kan het design het best zo wordeningericht dat p 1 , de kans op een waar antwoord,rond de 75% ligt, p 2 , de kans op een geforceerd jaantwoordop 15 % en p 3 , de kans op een geforceerdnee-antwoord op 10%.Dit FR design is toegepast in onderzoek naarfraude met sociale uitkeringen, waarbij de randomizeruit 2 dobbelstenen bestond (van derHeijden, van Gils, Bouts en Hox, 2000), en inonderzoek naar integriteitsschending bij de poli-26<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


tie, met als randomizer een digitale spinner (despinners kunnen worden geprobeerd op (Peeters, 2005, Peeters, Lensvelt-Muldersen Lasthuizen, submitted). Ook is de FR toegepastin een computergestuurd onderzoek bij kinderenin een game-based environment (Lensvelt, 2006).Het voordeel van het gebruik van de spinner isdat het heel eenvoudig wordt om het standaarddichotome RR design uit te breiden met een andertype antwoordcategorieën zoals bijvoorbeeldLikertschalen.Validiteit van RR resultatenEen meta-analyse van de resultaten van 35 jaarvergelijkend RR onderzoek heeft uitgewezen datmet behulp van RR meer valide uitkomsten wordenverkregen dan met andere, meer conventioneledataverzamelingsmethoden, zoals schriftelijkeen telefonische enquêtes en face-to-face interviews(Lensvelt-Mulders, Hox en van der Heijden,en Maas, 2005). Dat wil zeggen dat er minder sociaalwenselijke antwoorden worden gegeven opde gevoelige vragen. Dit positieve effect is groternaarmate de onderwerpen meer sociaal gevoeligzijn. Het gebruik van RR leidt daardoor tot eenbetere kennis van het voorkomen van sociaalgevoelig gedrag in de samenleving en een beterinzicht in sociaal gevoelige fenomenen kan bijdragentot het verbeteren van de besluitvormingvoor het beleid.Analyse van FR data; het maken van puntschattingenzieker voorgedaan dan u eigenlijk bent om uwuitkering niet in gevaar te brengen?) waarvoorde populatie dichotoom is. Als π de onbekendekans is op een waar ja-antwoord, dan is de kansop een ja-antwoord in de steekproef gelijk aanλ = p 2 +p 1 π. Met behulp van deze kennis kunnenwe met behulp van de geobserveerde proportieja-antwoorden λ,π^ schattenOmdat het in de praktijk van onderzoek naargevoelige onderwerpen natuurlijk ook interessantis om, naast het voorkomen van gevoeliggedrag, ook de hoeveelheid te schatten, gevenwe hier ook de berekening voor het schatten vankwantitatieve variabelen (Peeters, 2005).Neem weer het gevoelige gedrag X (word jewel eens gepest op school? nee, dat gebeurt nooit;ik word wel eens een beetje gepest, maar dan kanik wel om lachen; ja, dat gebeurt soms wel eensen dat is niet leuk; ja, dat gebeurt best vaak en datis niet leuk; ja, dat gebeurt elke dag en daar baalik van).Weer wordt er een aselecte steekproef getrokkenwaarbij i = 1,…,i,…n. Wat we willen schatten isde onbekende populatie parameter µ x . Om dat tedoen maken we X discreet, met waarden x 1 ,…, x nen onbekende ware proporties π 1 ,…, π n . In plaatsvan ons te focussen op de totale gemiddelde score,schatten we de populatie proporties in elke categorieapart (Peeters 2005). Oftewel we schatten π i ,waar i = 1,…,i,…n.Laat p de selectiekans voor een waar antwoordzijn en p j de kans op een geforceerd antwoord,waarbij geldt j = 1,…,i,…n en ∑ p j = 1 – p. Als γ i is dejkans op een bepaalde kwantitatieve respons, danblijkt dat :γ i = pπ i + p i (i = j)De basisanalyse van FR resultaten is eenvoudig.Neem gevoelig gedrag X (heeft u zich wel eensMet behulp van deze gegevens kan weer π^ wordengeschat.27<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


RR analyses gericht op interventiesNaast het schatten van de prevalentie en frequentievan het gevoelige gedrag is het voor beleidsonderzoekersook belangrijk om gedrag te verklaren.Met dergelijke informatie kan meer gericht beleidworden gevoerd. Met behulp van gewogen logistischeregressietechnieken is het mogelijk omde FR resultaten te verklaren. Op deze manier isbijvoorbeeld regelovertreding bij sociale uitkeringenverklaard aan de hand van onder meer kennisvan de regels voor het recht op een uitkering, dewaargenomen redelijkheid van deze regels en degeschatte kans om gepakt te worden bij overtreding.Het standaard logistische model wordt alsvolgt gedefinieerd:Als π 1|i is de kans dat het antwoord ‘nee’ is enπ 2|i de kans dat het antwoord ‘ja’ is, beiden alsfunctie van covariaat vector i. Laat dan de k decovariaat waarde in de vector geïndexeerd zijn alsi gedefinieerd als x ik , waar x ik zowel een continueals een dummy variabele kan zijn. Dan is β k deregressieparameter voor de relatie tussen verklarendevariabele k en het gegeven antwoord. Destandaard logistische regressie wordt danπ 1|i =11 + exp(∑x ik β k )kVoor een nee-antwoord geldt dat w i het gewichtis voor respondent i waarbij (n i1 ,n i2 ) is (1,0) envoor een ja-antwoord geldt (n i1 ,n i2 ) met (0,1). Danwordt de loglikelihood geven door:log(L)=∑w i n i1 log(π 1|i ) + ∑w i n i2 log(π 2|i )iiDit algemene model kan worden aangepast voorde RR vraag, zodanig dat kan worden gecorrigeerdvoor ware en geforceerde antwoorden.Voor meer informatie over statistische methodenom RR modellen te schatten verwijzen wenaar van den Hout and van der Heijden (2004),Van den Hout en Lensvelt-Mulders (2005) enLensvelt-Mulders, van der Heijden, Laudy en vanGils (2006).Het controleren voor bias in RRTenslotte wil ik de lezer nog een blik in de keukenvan de randomized response techniek gunnen,door het geven van een korte samenvatting vande allerlaatste ontwikkelingen op het terrein vanRR: het corrigeren voor vertekening door noncompliancemet RR. De basisaanname van de RRis dat, doordat de privacy volledig beschermd is,respondenten eerlijk antwoord zullen geven opgevoelige vragen. Meta-analyse van RR-onderzoekwees uit dat RR inderdaad de meest valideschatters geeft bij onderzoek naar gevoeligeonderwerpen. Datzelfde onderzoek wijst ook uitdat de RR schatters toch niet helemaal onvertekendzijn. Böckenholt en van der Heijden hebbenmet behulp van multivariate modellen deze vertekeninggemodelleerd. Twee soorten vertekeningkonden daarbij worden onderscheiden: vertekeningdoordat de respondent toch weigert eeneerlijk antwoord te geven, en vertekening omdatde respondent geen geforceerd ‘ja’-antwoordwil geven. Het corrigeren voor deze vertekeningenleidt tot hogere schatters van het gevoeligegedrag. Voor een meer volledige beschrijving vandeze technieken wordt verwezen naar Böckenholten Van der Heijden (<strong>2007</strong>), Böckenholt, Barlas, enVan der Heijden (<strong>2007</strong>) en Cruijff, Van den Hout,Van der Heijden, en Böckenholt (<strong>2007</strong>).Samenvatting en conclusieDe RR techniek is een methode voor het onderzoekenvan gevoelige vragen die zowel methodologenals statistici al ruim 40 jaar bezighoudt.28<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


Onderzoek heeft aangetoond dat RR leidt tot meervalide schatters van gevoelig gedrag, maar ook dater nog veel onverklaarde variantie tussen studieresultatenis. Ik hoop met dit artikel duidelijk tehebben gemaakt dat met behulp van RR techniekenintensievere analyses gedaan kunnen wordendan alleen rechte tellingen uitdraaien. De laatstejaren is er op het terrein van de RR statistisch enormevooruitgang geboekt. Maar het aardige van RRis dat het onderzoek een mooi voorbeeld is vanhet samengaan van methoden en statistiek ommeer valide inzichten in gevoelige onderwerpente verkrijgen. Praktijkonderzoek waarbij verschillendeRR designs worden vergeleken is daarvoornoodzakelijk. Wilt u meer weten over de toepassingsmogelijkhedenvan RR dan kunt u terecht opde website vooreen handleiding.LiteratuurBöckenholt, U. en van der Heijden, P.G.M. (<strong>2007</strong>,forthcoming). Item randomized-response models formeasuring non-compliance: Risk-return perceptions,social influences, and self-protective responses.Journal of Applied Econometrics.Böckenholt, U., Barlas, S., en van der Heijden, P.G.M.(<strong>2007</strong>). Do randomised-response designs eliminateresponse biases? An empirical study of non-compliancebehavior. Psychometrica.Cruijff, M.J.L.F., van den Hout, A., van der Heijden,P.G.M., en Böckenholt, U. (<strong>2007</strong>). Log-linear randomized-responsemodels taking cheating into account.Sociological Methods and Research.Lensvelt, L.G.A. (2006). X-quizit of Game-based vragenlijstonderzoekmet kinderen. Ongepubliceerdebachelorscriptie via www.rlmedia.nl/portfolio.Lensvelt-Mulders, G., Van der Heijden, P. G. M., Laudy,O., van Gils, Ger (2006). A validation of a computerassisted randomized response survey for measuringfraud in social security, Journal of the Royal StatisticalSociety: Series A, Statistics in Society: 69, 2, 305-318.Lensvelt-Mulders, G.J.L.M., Hox, J.J., and Van derHeijden, P.G.M. (2005). How to improve the efficiencyof randomized response designs. Quality andQuantity, 39, 3: 253-265Lensvelt-Mulders, G.J.L.M., Hox, J.J., van der Heijden,P.G.M., en Maas, C.J.M. (2005). Meta-analysis of randomizedresponse research: Thirty-five years of validation.Sociological Methods and Research, 33, 319-348.Peeters, C.F.W. (2005). Measuring Politically SensitiveBehavior. Using Probability Theory in the Form ofRandomized Response to Estimate Prevalence andIncidence of Misbehavior in the Public Sphere: A Teston Integrity Violations. Amsterdam: Dynamics ofGovernance, Faculteit der Sociale Wetenschappen,Vrije <strong>Universiteit</strong>.Peeters, C.F.W., Lensvelt-Mulders, G.J.L.M. enLasthuizen, K. (submitted). A unified randomized-responseframework for eliciting sensitive dichotomousand quantitative information.Rasinski, K. A., Willis, G. B., Baldwin, A. K., Yeh, W., andLee, L. (1999). Methods of datacollection, perception ofrisks and losses, and motivation to give truthful answersto sensitive survey questions. Applied CognitivePsychology, 465-484.Van den Hout, A. en van der Heijden, P.G.M. (2004).The Analysis of Multivariate Misclassified Data WithSpecial Attention to Randomized Response Data.Sociological Methods and Research 32: 310-336.Van den Hout, A. D. L., and Lensvelt-Mulders, G. J. L. M.(2005). On a 2 by 2 factorial design where the use ofrandomized response is one of the factors. StatisticaNeerlandica, 59: 4, 434-447.Van der Heijden, P.G.M., van Gils, G., Bouts J., en Hox,J.J. (2000). A comparison of randomized responseCASI and face-to-face direct questioning: elicitingsensitive information on the context of welfare andunemployment benefit. Sociological Methods andResearch, 28: 505-537.Warner, S. L. (1965). Randomized response: A surveytechnique for eliminating evasive answer bias.Journal of the American Statistical Association, 60:63-69.Noot* Bij het departement Methoden en Technieken van de<strong>Universiteit</strong> Utrecht loopt sinds 1998 een onderzoeksprojectmet als doel het valideren en verder ontwikkelenvan RR procedures voor toepassing in de praktijk.Dit artikel berust op het werk van deze onderzoeksgroep.Gerty Lensvelt-Mulders is hoofddocent-onderzoekerbij de capaciteitsgroep Methodenleer en Statistiek van de<strong>Universiteit</strong> Utrecht.E-mail: 29<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


c o l u m nChristiaan HuygensOnno Boxma‘There iz a right place and a right time feur everything’,placht Inspector Clouseau alias PeterSellers te zeggen. Welnu, er is geen betere dag omdeze column te schrijven dan 27 april <strong>2007</strong>, engeen betere plaats dan Zuilichem. In Zuilichem,een rustig dorpje aan de Waal, staat niet alleenhet huis van mijn schoonfamilie, maar het is ookde plek waar Christiaan Huygens verscheidenejaren heeft gewoond, als ‘Heer van Zuylichem’.CanonWij kansrekenaars weten dat Huygens ookbelangrijke bijdragen heeft geleverd aan ons vakgebied.Zo was hij degene die als eerste werkteaan het begrip mathematische verwachting. Hijdeed dat in een boek, De ratiociniis in ludo aleae’waaraan hij de laatste hand legde op 27 april 1657– vandaag precies 350 jaar geleden! Drie jaar laterverscheen het in een Nederlandse vertaling, onderde titel Van Rekeningh in spelen van geluck.De laatste regels van het op 27 april 1657 gedateerdevoorwoord zijn aardig, en tekenend voor deonderzoekmores van die tijd:Bij de recente discussies over de geschiedeniscanonwerd door velen geklaagd over het ontbrekenvan Christiaan Huygens, wellicht de grootstegeleerde die ons land heeft voortgebracht. Mendenkt dan vooral aan zijn verhandelingen overbotsingswetten, zijn uitvinding van het slingeruurwerk,zijn grote bijdragen aan de theorie vande voortplanting van het licht (het principe vanHuygens), en zijn ontdekking van de ringen vanSaturnus.‘Voorts is te weeten, dat al over eenighentijdt, sommige van de vermaertste wiskonstenaersvan geheel Vranckrijck (hij bedoeltPascal en Fermat) met dese soorte van rekeninghzijn besigh geweest, op dat niemandthier in, de eer van de eerste inventie die demyne niet en is, my toe en schrijve. Dochsy luyden, offe wel sich onder malkanderenmet veele swaere questien ter proevestelden, soo hebben se nochtans elck sijn30<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


maniere van uytvinding bedeckt gehouden.Soo dat ick van noode gehad heb, allesvan vooren aen selfs te ondersoecken ente doorgronden: ende daerom oock nochniet verseeckert en ben, of wy hier in eenselfde eerste beginsel getroffen hebben.Maer de uytkomste belangende, heb ick inveele questien ondervonden dat de mynevan de haere geensins en verscheelt. U E.sal vinden dat ick in’t eynde van dit tractaet,noch eenige van die questien bygevoegthebbe, achterlaetende nochtans dewerckingh; eensdeels om dat ick te veelmoeyte te gemoet sagh, indien ick allesnae behooren wilde afdoen; ten anderenom dat my raetsaem dacht, iets overigh telaeten, ‘twelck onse lesers (soo der eenigesijn sullen) mochte dienen tot oeffening entijdt-verdrijf.’U E. dienstwilligen dienaer Chr. Huygensvan ZuylichemDe laatste zin toont Huygens van een bescheidenen geestige kant. Dat Huygens er ‘niet verseeckerten ben’ of hij de methoden uit het boek als eerstehad bedacht hangt samen met het feit dat veelgeleerden uit die tijd hun methoden voor zichhielden, en slechts het probleem en de oplossingpubliceerden. Ik ontleen dit voorwoord aan dezeer aardige bewerking van Huygens’ boek doorWim Kleijne [2]. Men treft hier de oorspronkelijketekst rechts in het boek aan, en de moderne tekstlinks. Kleijne geeft ook aanwijzingen voor hetlezen van de tekst van Huygens.De propositiones van HuygensHet eerste ‘Voorstel’ (Propositio) van Huygensluidt: Als ik gelijke kans heb op a of b, dan is mijdit (a+b)/2 waard. Ook voorstellen 2 en 3 doendit soort uitspraken over verwachtingswaarden.De redenering die tot deze, nu triviaal ogende,resultaten leidt is geraffineerd. Het schijnt datde overeenkomst met zijn berekeningen aan botsingswetten(De motu, uit 1656) Huygens hetidee gaf tot de afleiding van deze resultaten in dekansrekening.De voorstellen 4 tot en met 9 behandelenvariaties op een problem of stakes dat Chevalierde Méré had gesteld aan Pascal en Fermat: Steldat ik tegen een ander om drie gewonnen spelenspeel, dat ik al twee spelen heb gewonnenen de ander maar één. Als wij niet zouden willendoorspelen, maar als wij wat ingezet is opeen rechtmatige wijze zouden willen verdelen,dan zou ik willen weten hoeveel van de inzetaan mij zou toekomen. Huygens correspondeerdemet Pascal, en pikte dit soort problemenop tijdens zijn verblijf in Parijs, midden jarenvijftig.Ook Newton kan fouten makenDe laatste vijf voorstellen zijn gewijd aan problemenmet dobbelstenen. In een prachtige lezingin het Lunterencongres van november 2006 hieldStephen Stigler een geestige verhandeling overhet kansrekening werk van Huygens en Newton.Hij onthulde daarin dat ook Newton, in reactie opvragen van Samuel Pepys, werkte aan een probleemmet dobbelstenen, te weten: Welk van devolgende drie gebeurtenissen heeft de grootstekans van optreden?A. Gooi minstens één 6 in 6 worpen met een zuiveredobbelsteen.B. Gooi minstens twee keer 6 in 12 worpen meteen zuivere dobbelsteen.C. Gooi minstens drie keer 6 in 18 worpen met eenzuivere dobbelsteen.Newton gaf het goede antwoord, wat u niet zalverbazen. Pepys bleef echter doorvragen naar de31<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2


aanpak die Newton had gevolgd, en Stigler merktop dat Newton een aantoonbaar incorrecte aanpakvolgt! De geïnteresseerde lezer treft in [3] eenuitgebreide bespreking aan van Newton’s aanpak.Er zijn geen andere kansrekeningstudies vanNewton bekend – wellicht besefte hij dat dit vakvoor hem wat te moeilijk was...Tot slotHuygens was een uitzonderlijk groot geleerde,een der weinige tijdgenoten van Newton die nietgeheel verbleekte bij deze reus. Canon of niet,het is goed als, onder meer, nieuwe generatieswis- en natuurkundestudenten horen van zijnwerk en, via boekjes als dat van Kleijne, inzichtkrijgen in zijn redeneertrant. Een uitgebreidebiografie over Huygens (met ook veel aandachtvoor zijn familie, waaronder vader Constantijn,de dichter en diplomaat!) is geschreven doorAndriesse [1]. Op pagina 376 van dat boek vindt ueen moderne bespiegeling van Huygens, in diensposthuum gepubliceerde boek Kosmotheoros,over de vraag of er leven is op andere planeten.Huygens spreekt in termen van kansen, en achtbuitenaards leven erg waarschijnlijk. In al zijnnatuurwetenschappelijk werk ging het trouwensal om de vraag of iets meer of minder waarschijnlijkis. Andriesse citeert een uitspraak vanHuygens uit 1673: ‘Er is niets dat we met volledigezekerheid weten, maar alles met waarschijnlijkheid,en er zijn sterke verschillen in de mate vanwaarschijnlijkheid.’Literatuur1. C.D. Andriesse. Titan kan niet slapen. UitgeverijContact, Amsterdam, 1993.2. Christiaan Huygens. Van Rekeningh in spelen vangeluck. Vertaald en toegelicht door Wim Kleijne.Epsilon Uitgaven, Utrecht, 1998.3. S. Stigler. Isaac Newton as a probabilist. StatisticalScience 21(3), 2006, pp. 400-403.Onno Boxma is hoogleraar Stochastische Besliskunde bijde Faculteit Wiskunde en Informatica van de Technische<strong>Universiteit</strong> Eindhoven en wetenschappelijk directeur vaneurandom. E-mail: A G E N D A25 juni - 1 juli <strong>2007</strong>Workshop Innovations in Mathematical Financewill be held at Hotel Alexandra in Loen, Norway,in the period 25 June – 1 July, <strong>2007</strong>. More informationin the Events section of the web page ofthe workshop http://www.cma.uio.no/conferences/<strong>2007</strong>/amamef_workshop.html.4 - 7 maart 2008GOCPS 2008 provides an international forum forpresentation and discussion of new results in probabilityand statistics. Participants from universities,business, administration, and industry arewelcome. Conference website: http://gocps2008.rwth-aachen.de.29 juli - 2 augustus <strong>2007</strong>The LOC of ISCB-28 warmly invites you to participatein ISCB’s annual conference. Deadline forAbstracts and Conference Awards applications: 15Febr. <strong>2007</strong>. Final date for early registration: 15 May<strong>2007</strong>. Please visit www.iscb<strong>2007</strong>.gr for details onthe program.26 - 28 juni 2008We would like to invite you to participate inthe Workshop on Nonparametric Inference –WNI2008, which will be held in Coimbra, Portugal,on June 26-28, 2008. For more information pleasesee the attached file and our website http://www.mat.uc.pt/~wni2008.32<strong>STAtOR</strong> juni <strong>2007</strong>/2

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!