Forord

Forord 

Dette kompendiet er skrevet for å kunne brukes i kurset MA-132 Geometri, slik dette er 

definert i fagbeskrivelsen vedtatt våren 2007. Jeg har skrevet kompendiet i sin helhet, men har 

bygd videre på tidligere versjoner av kurset. Mye av stoffet i kapittel 1 bygger på Hans Erik 

Borgersens og Trygve Breiteigs kompendium ”Notater i Geometri” [1]. Mye av stoffet i 

kapittel 5 bygger på Hans Erik Borgersens kompendium ”Geometriemner” [2], og jeg har 

brukt noe stoff fra Trygve Breiteigs kompendium ”Projektiv geometri” [3] i kapittel 6. Den 

viktigste forandringen i forhold til tidligere versjoner av kurset er at det er tatt med et kapittel 

om vektorregning. Nytt er også kapitlet om Cabri, og jeg har tatt med små kapitler om 

matriser og grupper. Øvingsoppgavene er for en stor del hentet fra kompendiene til Breiteig 

og Borgersen, og også fra Alfsen og Hansens kompendium i Fo4 Vektorregning [4]. Dessuten 

er det gjengitt en rekke eksamensoppgaver fra de tidligere versjoner av geometri-kurset. 

Kompendiet vil bli foreligge både i papirversjon og i elektronisk versjon på internett. Den 

elektroniske versjonen vil inneholde lenker til løsningsforslag til de fleste av oppgavene, og 

innholdsfortegnelsen vil også fungere som lenker til de forskjellige avsnittene. 

Kristiansand, 9. august 2007 

Byrge Birkeland 

MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland

Innhold 

1 Euklidsk geometri.........................................................................................................11 

1.1 Grunnbegreper og notasjoner................................................................................11 

1.1.1 Punkt.............................................................................................................11 

1.1.2 Linje .............................................................................................................11 

1.1.3 Parallelle linjer, parallellaksiomet..................................................................11 

1.1.4 Stråle.............................................................................................................12 

1.1.5 Lengder og avstander....................................................................................12 

1.1.6 Linjestykke...................................................................................................12 

1.1.7 Vektor...........................................................................................................12 

1.1.8 Trekant..........................................................................................................13 

1.1.9 Vinkel...........................................................................................................13 

1.1.10 Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn.........................................15 

1.1.11 Firkant..........................................................................................................16 

1.1.12 Polygoner......................................................................................................16 

1.1.13 Geometriske steder, sirkler og ellipser...........................................................16 

1.2 Isometrier og kongruens........................................................................................17 

1.2.1 Isometrier og rette linjer................................................................................18 

1.2.2 Isometrier og parallellitet ..............................................................................18 

1.2.3 Isometrier og trekanter..................................................................................18 

1.3 Elementære konstruksjoner...................................................................................19 

1.3.1 Midtnormalen til et linjestykke......................................................................19 

1.3.2 Normalen til en linje i et punkt på linja..........................................................19 

1.3.3 Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja...............................................19 

1.3.4 Halveringslinja for en vinkel.........................................................................20 

1.3.5 Likesidet trekant............................................................................................20 

1.3.6 Alternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje...........20 

1.3.7 Andre vinkler................................................................................................20 

1.3.8 Likebeinte trekanter......................................................................................21 

1.4 Oppgaver..............................................................................................................21 

1.4.1.............................................................................................................................21 

1.4.2.............................................................................................................................21 

1.4.3.............................................................................................................................21 

1.4.4.............................................................................................................................21 

1.4.5.............................................................................................................................21 

1.4.6.............................................................................................................................22 

1.4.7.............................................................................................................................22 

1.5 Elementære teoremer............................................................................................22 

1.5.1 Toppvinkler...................................................................................................22 

1.5.2 Ytre vinkel i trekant ......................................................................................22 

1.5.3 Setningen om samsvarende vinkler................................................................22 

1.5.4 Summen av vinklene i en trekant...................................................................23 

1.5.5 Vinklene i likebeinte trekanter.......................................................................23 

1.5.6 Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein.............23 

1.6 Similariteter og formlikhet....................................................................................24 

1.6.1 Setninger om similariteter.............................................................................24 

1.6.2 Transversalsetningen.....................................................................................25 

1.6.3 Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold..........................................26 

1.7 Areal.....................................................................................................................26 


1.7.1 Arealet av en trekant.....................................................................................26 

1.7.2 Arealet av et parallellogram...........................................................................26 

1.7.3 Arealet av et trapes........................................................................................26 

1.7.4 Arealet av et polygon....................................................................................27 

1.8 Pythagoras’ setning...............................................................................................27 

1.8.1 Thabit ibn Qurras’ bevis................................................................................27 

1.8.2 Euklids bevis for Pythagoras’ setning............................................................28 

1.8.3 Det omvendte av Pythagoras setning.............................................................28 

1.9 Oppgaver..............................................................................................................28 

1.9.1 (Eksamen i grunnskolen 1993)......................................................................28 

1.9.2.............................................................................................................................28 

1.9.3.............................................................................................................................28 

1.9.4.............................................................................................................................29 

1.9.5.............................................................................................................................29 

1.9.6 ......................................................................................................................29 

1.9.7 ......................................................................................................................29 

1.9.8.............................................................................................................................29 

1.9.9.............................................................................................................................29 

1.9.10...........................................................................................................................29 

1.9.11...........................................................................................................................29 

1.10 Egenskaper ved sirkler..........................................................................................30 

1.10.1 Thales setning om periferivinkler..................................................................30 

1.10.2 Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen......................................31 

1.10.3 Trekant med gitt side og motstående vinkel...................................................31 

1.10.4 Sirkelens omkrets og areal. Arealet av sirkelsektorer og -segmenter..............31 

1.10.5 Et punkts potens med hensyn på. en sirkel.....................................................31 

1.10.6 Mellomproporsjonalen..................................................................................32 

1.10.7 Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant..........................33 

1.11 Trigonometriske funksjoner..................................................................................33 

1.11.1 Areal av sirkelsektor og sirkelsegment..........................................................34 

1.12 Noen egenskaper ved trekanter..............................................................................35 

1.12.1 Omsirkelen til en trekant...............................................................................35 

1.12.2 Sinussetningen..............................................................................................35 

1.12.3 Cosinussetningen eller den utvidede Pythagoras’ setning ..............................35 

1.12.4 Herons formel for arealet av en trekant..........................................................35 

1.12.5 Innsirkelen til en trekant................................................................................36 

1.12.6 Høydene i en trekant.....................................................................................36 

1.12.7 Medianene i en trekant..................................................................................36 

1.13 Egenskaper ved firkanter.......................................................................................37 

1.13.1 Varignons setning .........................................................................................37 

1.13.2 Sykliske firkanter..........................................................................................37 

1.13.3 Det gylne snitt...............................................................................................37 

1.13.4 Regulær tikant og femkant............................................................................38 

1.13.5 Papirformat...................................................................................................38 

1.13.6 Firkant og trekant med samme areal..............................................................39 

1.14 Oppgaver..............................................................................................................39 

1.14.1...........................................................................................................................39 

1.14.2...........................................................................................................................39 

1.14.3 ......................................................................................................................39 

1.14.4...........................................................................................................................39 


1.14.5...........................................................................................................................39 

1.14.6...........................................................................................................................39 

1.14.7...........................................................................................................................39 

1.14.8...........................................................................................................................39 

1.14.9...........................................................................................................................39 

1.14.10 (Eksamen i grunnskolen 1991)..................................................................40 

1.14.11 Tangentkonstruksjoner..............................................................................40 

1.14.12.........................................................................................................................40 

1.14.13.........................................................................................................................40 

1.14.14.........................................................................................................................41 

1.14.15.........................................................................................................................41 

1.14.16.........................................................................................................................41 

1.14.17.........................................................................................................................41 

1.14.18.........................................................................................................................41 

1.14.19.........................................................................................................................41 

1.14.20.........................................................................................................................41 

1.14.21.........................................................................................................................41 

1.14.22.........................................................................................................................41 

1.14.23.........................................................................................................................41 

1.14.24.........................................................................................................................42 

1.14.25.........................................................................................................................42 

1.14.26.........................................................................................................................42 

1.14.27.........................................................................................................................42 

1.14.28.........................................................................................................................42 

1.14.29.........................................................................................................................42 

1.14.30.........................................................................................................................42 

1.14.31.........................................................................................................................42 

1.14.32.........................................................................................................................42 

1.14.33.........................................................................................................................43 

1.14.34.........................................................................................................................43 

1.14.35.........................................................................................................................43 

1.14.36.........................................................................................................................43 

1.14.37.........................................................................................................................43 

1.14.38.........................................................................................................................43 

1.14.39.........................................................................................................................43 

1.14.40.........................................................................................................................43 

1.14.41.........................................................................................................................43 

1.14.42.........................................................................................................................43 

1.14.43.........................................................................................................................43 

1.14.44 Lenker til løsningsforslag..........................................................................44 

1.15 Eksamensoppgaver i euklidsk geometri.................................................................44 

1.15.1 August 2003, oppgave 3................................................................................44 

1.15.2 Mai 2002, oppgave 2.....................................................................................44 

1.15.3 Mai 2001, oppgave 2.....................................................................................44 

1.15.4 Mai 2005, oppgave 3.....................................................................................45 

1.15.5 Mai 2000, oppgave 2.....................................................................................45 

1.15.6 Mai 2000, oppgave 4.....................................................................................45 

1.15.7 Mai 1996, oppgave 4.....................................................................................46 

1.15.8 Mai 1999, oppgave 4.....................................................................................46 

1.15.9 Mai 2003, oppgave 3.....................................................................................46 


1.15.10 Mai 2007, oppgave 1.................................................................................46 

1.15.11 Mai 2007, oppgave 2.................................................................................47 

1.15.12 Mai 1994, oppgave 3.................................................................................47 

1.15.13 Mai 1996, oppgave 4.................................................................................47 

1.15.14 Mai 1997, oppgave 2.................................................................................48 

1.15.15 Mai 1999, oppgave 3.................................................................................48 

1.15.16 Mai 2001, oppgave 4.................................................................................49 

1.15.17 August 2003, oppgave 3............................................................................49 

1.15.18 Mai 2005, Oppgave 3................................................................................49 

1.15.19 Mai 2006, oppgave 3.................................................................................50 

1.15.20 Mai 2006, oppgave 4.................................................................................50 

1.15.21 September 2006, oppgave 2.......................................................................50 



1.15.24 Lenker til løsningsforslag:.........................................................................51 

2 Vektorer.......................................................................................................................52 

2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer...........................................................................52 

2.1.1 Eksempel......................................................................................................53 

2.2 Vektorprojeksjon og skalarprojeksjon...................................................................53 

2.2.1 Eksempel......................................................................................................53 

2.3 Oppgaver..............................................................................................................54 

2.3.1.............................................................................................................................54 

2.3.2.............................................................................................................................54 

2.3.3.............................................................................................................................54 

2.3.4.............................................................................................................................54 

2.3.5.............................................................................................................................54 

2.3.6.............................................................................................................................54 

2.3.7.............................................................................................................................55 

2.3.8.............................................................................................................................55 

2.3.9.............................................................................................................................55 

2.3.10 Lenker til løsningsforslag:.............................................................................55 

2.4 Koordinatsystem...................................................................................................55 

2.5 Vektoroperasjoner og koordinater.........................................................................56 

2.6 Oppgaver..............................................................................................................56 

2.6.1.............................................................................................................................56 

2.6.2.............................................................................................................................57 

2.6.3.............................................................................................................................57 

2.6.4.............................................................................................................................57 

2.6.5.............................................................................................................................57 

2.6.6.............................................................................................................................57 


2.7 Skalarproduktet av to vektorer..............................................................................57 

2.7.1 Eksempel......................................................................................................58 

2.7.2 Eksempel......................................................................................................58 

2.7.3 Eksempel......................................................................................................59 

2.8 Koordinatformler for skalarproduktet....................................................................59 

2.9 Oppgaver..............................................................................................................60 

2.9.1.............................................................................................................................60 

2.9.2.............................................................................................................................60 

2.9.3.............................................................................................................................60 


2.9.4.............................................................................................................................60 

2.9.5.............................................................................................................................60 

2.9.6.............................................................................................................................60 

2.9.7.............................................................................................................................60 

2.9.8.............................................................................................................................60 

2.9.9.............................................................................................................................60 

2.9.10...........................................................................................................................60 

2.9.11...........................................................................................................................61 

2.9.12...........................................................................................................................61 

2.9.13...........................................................................................................................61 

2.9.14...........................................................................................................................61 

2.9.15...........................................................................................................................61 

2.9.16...........................................................................................................................61 

2.9.17...........................................................................................................................61 

2.9.18...........................................................................................................................61 

2.9.19...........................................................................................................................61 

2.9.20...........................................................................................................................62 

2.9.21...........................................................................................................................62 


2.10 Vektorproduktet....................................................................................................62 

2.10.1 Eksempel......................................................................................................63 

2.11 Trippelproduktet...................................................................................................63 

2.11.1 Eksempel......................................................................................................64 

2.11.2 Eksempel......................................................................................................64 

2.12 Oppgaver..............................................................................................................64 

2.12.1...........................................................................................................................64 

2.12.2...........................................................................................................................64 

2.12.3...........................................................................................................................64 

2.12.4...........................................................................................................................65 

2.12.5...........................................................................................................................65 

2.12.6...........................................................................................................................65 

2.12.7...........................................................................................................................65 

2.12.8...........................................................................................................................65 

2.12.9...........................................................................................................................65 

2.12.10.........................................................................................................................65 

2.12.11.........................................................................................................................65 

2.12.12.........................................................................................................................65 

2.12.13.........................................................................................................................65 

2.12.14.........................................................................................................................65 

2.12.15.........................................................................................................................66 

2.12.16.........................................................................................................................66 

2.12.17.........................................................................................................................66 


2.13 Ligningen for rette linjer og plan...........................................................................66 

2.13.1 Eksempel......................................................................................................66 

2.13.2 Eksempel......................................................................................................67 

2.13.3 Eksempel......................................................................................................68 

2.13.4 Eksempel......................................................................................................68 

2.13.5 Eksempel......................................................................................................68 

2.14 Oppgaver..............................................................................................................68 


2.14.1...........................................................................................................................68 

2.14.2...........................................................................................................................68 

2.14.3...........................................................................................................................68 

2.14.4...........................................................................................................................69 

2.14.5...........................................................................................................................69 

2.14.6...........................................................................................................................69 

2.14.7...........................................................................................................................69 

2.14.8...........................................................................................................................69 

2.14.9...........................................................................................................................69 


3 Matriser og geometri....................................................................................................70 

3.1 Matriseregning......................................................................................................70 

3.1.1 Kolonnevektorer...........................................................................................70 

3.1.2 Lineære avbildninger og matriser..................................................................70 

3.2 Matriser til noen kjente avbildninger.....................................................................72 

3.2.1 Polarkoordinater............................................................................................72 

3.2.2 Rotasjoner.....................................................................................................72 

3.2.3 Speiling om en linje ......................................................................................73 

3.2.4 Homotetier....................................................................................................73 

3.2.5 Translasjoner og homogene koordinater........................................................73 

3.2.6 Gliderefleksjoner...........................................................................................75 

3.3 Oppgaver..............................................................................................................75 

3.3.1.............................................................................................................................75 

3.3.2.............................................................................................................................75 

3.3.3.............................................................................................................................75 

3.3.4.............................................................................................................................75 

3.3.5.............................................................................................................................75 

3.3.6.............................................................................................................................75 

3.3.7.............................................................................................................................75 

3.3.8.............................................................................................................................76 

3.3.9.............................................................................................................................76 

3.3.10...........................................................................................................................76 

3.3.11...........................................................................................................................76 

3.3.12...........................................................................................................................76 

3.3.13...........................................................................................................................76 

3.3.14 Lenker til løsningsforslag..............................................................................76 

4 Grupper i geometri.......................................................................................................77 

4.1 Definisjoner..........................................................................................................77 

4.1.1 Eksempel: ℤ ................................................................................................77 

4.1.2 Eksempel: ℤ n ...............................................................................................77 

4.1.3 Eksempel: Symmetrigrupper.........................................................................78 

4.1.4 Eksempel: Rotasjoner....................................................................................78 

4.2 Oppgaver..............................................................................................................78 

4.2.1.............................................................................................................................78 

4.2.2.............................................................................................................................78 

4.2.3.............................................................................................................................79 

4.2.4.............................................................................................................................79 

4.2.5.............................................................................................................................79 

4.2.6.............................................................................................................................79 

4.2.7.............................................................................................................................79 



4.3 Permutasjoner.......................................................................................................79 

4.3.1 Eksempel......................................................................................................80 

4.3.2 Eksempel......................................................................................................80 

4.4 Den n-te dihedrale gruppen...................................................................................80 

4.4.1 Eksempel: D4 ................................................................................................80 

4.5 Undergrupper........................................................................................................81 

4.6 Homomorfier og isomorfier..................................................................................81 

4.6.1 Eksempel......................................................................................................82 

4.6.2 Eksempel......................................................................................................82 

4.6.3 Eksempel......................................................................................................82 

4.6.4 Eksempel......................................................................................................82 

4.6.5 Eksempel......................................................................................................82 

4.7 Oppgaver..............................................................................................................82 

4.7.1.............................................................................................................................82 

4.7.2.............................................................................................................................83 

4.7.3.............................................................................................................................83 

4.7.4.............................................................................................................................83 

4.7.5.............................................................................................................................83 

4.7.6.............................................................................................................................83 


5 Isometrier og similariteter.............................................................................................84 

5.1 Fikspunkt og fikslinjer..........................................................................................84 

5.2 Fire typer av isometrier.........................................................................................84 

5.2.1 Speilinger om en rett linje.............................................................................84 

5.2.2 Rotasjon om et punkt.....................................................................................84 

5.2.3 Translasjon....................................................................................................85 

5.2.4 Gliderefleksjon..............................................................................................85 

5.3 Klassifikasjon av isometrier..................................................................................86 

5.3.1 Isometrier med fikspunkt...............................................................................86 

5.4 Isometrier uten fikspunkt......................................................................................87 

5.5 Oppgaver..............................................................................................................88 

5.5.1.............................................................................................................................88 

5.5.2.............................................................................................................................88 

5.5.3.............................................................................................................................88 

5.5.4.............................................................................................................................88 

5.5.5.............................................................................................................................88 

5.5.6.............................................................................................................................88 

5.5.7 Fra Eksamen mai 2000, oppgave 3b..............................................................89 

5.5.8 Fra eksamen mai 1995, oppgave 2 b,c,d........................................................89 

5.5.9.............................................................................................................................89 

5.5.10...........................................................................................................................89 

5.5.11...........................................................................................................................89 

5.5.12...........................................................................................................................90 

5.5.13 Eksamen i MA-104 27.mai 2005...................................................................90 

5.5.14 Eksamensoppgave mai 1998, oppgave 2........................................................90 

5.5.15...........................................................................................................................91 

5.6 Symmetrigruppen til en plan begrenset figurer......................................................91 

5.7 Oppgaver..............................................................................................................93 

5.7.1 Eksamensoppgave mai 1997, oppgave 3........................................................93 


5.7.2 Eksamen mai 1998, oppgave 2......................................................................94 



5.7.5 Eksamen august 2003, oppgave 2..................................................................95 

5.7.6 Mai 2005, oppgave 1.....................................................................................96 

5.7.7 Mai 2007, Oppgave 4....................................................................................96 


5.8 Klassifikasjon av similariteter...............................................................................97 

5.8.1 Eksempel: Von Kochs snøflakkurve..............................................................97 

5.9 Oppgaver..............................................................................................................99 

5.9.1.............................................................................................................................99 

5.9.2.............................................................................................................................99 

5.9.3.............................................................................................................................99 

5.9.4.............................................................................................................................99 

5.9.5.............................................................................................................................99 


5.10 Bandmønstre.........................................................................................................99 

5.10.1 Symmetrigruppen r1....................................................................................101 

5.10.2 Symmetrigruppen r11m..............................................................................101 

5.10.3 Symmetrigruppen r11g................................................................................101 

5.10.4 Symmetrigruppen r1m.................................................................................102 

5.10.5 Symmetrigruppen r2....................................................................................102 

5.10.6 Symmetrigruppen r2mm..............................................................................102 

5.10.7 Symmetrigruppen r2mg...............................................................................102 

5.11 Oppgaver............................................................................................................102 

5.11.1.........................................................................................................................102 

5.11.2.........................................................................................................................104 

5.12 Dobbeltperiodiske mønstre, fliselegging.............................................................105 

5.12.1 Generelt parallellogramnett.........................................................................105 

5.12.2 Rektangulært nett........................................................................................105 

5.12.3 Sentrert rektangulært nett............................................................................107 

5.12.4 Kvadratisk nett............................................................................................107 

5.12.5 Heksagonalt nett..........................................................................................108 

5.12.6 Andre emner om flislegging........................................................................110 

5.13 Oppgaver............................................................................................................111 

5.13.1.........................................................................................................................111 

6 Tegning av tredimensjonale figurer.............................................................................113 

6.1 Parallell-projeksjoner..........................................................................................113 

6.2 Sentralprojeksjon og perspektivtegning...............................................................113 

6.3 Perspektivtegning med ett fluktpunkt..................................................................118 

6.4 Perspektivtegning med to fikspunkt ....................................................................120 

6.5 Perspektivtegning med tre fluktpunkt..................................................................121 

6.6 Oppgaver............................................................................................................125 

6.6.1 Eksamen mai 2007, oppgave 3....................................................................125 

6.6.2 Mai 2006, oppgave 1...................................................................................127 

6.6.3 September 2006, oppgave 1.........................................................................128 

6.6.4 Mai 2005, oppgave 2...................................................................................129 

7 Innføring i Cabri.........................................................................................................129 

7.1 Pek på - menyen .................................................................................................130 

7.2 Punkt-menyen.....................................................................................................131 


7.3 Linje-menyen......................................................................................................132 

7.4 Sirkel-menyen.....................................................................................................133 

7.5 Konstruksjons-menyen........................................................................................134 

7.6 Transformasjonsmenyen.....................................................................................137 

7.7 Makro-menyen....................................................................................................138 

7.8 Spørsmåls-menyen..............................................................................................141 

7.9 Menyen for numeriske størrelser og beregninger.................................................142 

7.10 Diverse-menyen..................................................................................................144 

7.11 Format-menyen...................................................................................................146 

7.12 Øvingsoppgaver..................................................................................................148 

7.12.1 Trekant med medianer. Cabri-fil her. Løsning her.......................................148 

7.12.2 Omsirkel med makro. Cabri-fil her. Løsningsforslag her.............................149 

7.12.3 Innsirkel med makro. Cabri-fil her. Løsningsforslag her..............................149 

7.12.4.........................................................................................................................149 

7.12.5 Speilinger og translasjoner. Cabri-fil her. Løsningsforslag her.....................150 

7.12.6 Rotasjoner. Cabri-fil her. Løsningsforslag her.............................................150 

7.12.7 Parallellforskyvninger. Cabri-fil her. Løsningsforslag her............................150 

7.12.8 Flislegging med regulære sekskanter. Cabri-fil her. Løsningsforslag her......151 

7.12.9 Flislegging med regulære sekskanter, kvadrater og likesidede trekanter.......151 

7.12.10 Det gylne snitt.........................................................................................152 

7.12.11 Ellipse.....................................................................................................152 


1 Euklidsk geometri 

Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. 

Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. 

han gikk ut fra noen får grunnbegreper og aksiomer, og beviste alle setninger ved hjelp av 

disse. I denne fremstillingen skal vi ikke forsøke å bygge opp geometri på denne måten. Vi 

velger en mer intuitiv tilnærming, og trekker også inn begreper som Euklid ikke hadde med. 

En artikkel om geometriens historie finner du for eksempel i Wikipedia: 

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometry#History_of_geometry 

Du kan lese om Euklid i det norske nettleksikonet Wikipedia på følgende adresse: 

http://no.wikipedia.org/wiki/Euklid_av_Alexandria 

En liten artikkel på norsk om Euklids elementer finner du her: 

http://no.wikipedia.org/wiki/Euklids_Elementene 

En større artikkel med hele Euklids elementer finner du her: 

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html 

1.1 Grunnbegreper og notasjoner 

1.1.1 Punkt 

Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning. Vi bruker vanligvis store 

bokstaver A, B, C, … som navn på punkter og markerer dem med en 

prikk, et kryss eller lignende. Hvor et punkt ligger i planet angis ofte 

ved hjelp av punktets koordinater i forhold et kartesisk koordinatsystem, 

et begrep som bygger på begrepene lengde, vinkel og 

parallellitet, som blir gjennomgått nedenfor. Se figuren til høyre. 

1.1.2 Linje 

En (rett) linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning i begge 

retninger i én dimensjon. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver 

l, m, n….. Gitt to punkter A og B, da finnes det nøyaktig én linje som 

A l 

B 

ℓ AB , eller skrives bare linja gjennom A og B 

går gjennom A og B. Denne noteres av og til ( ) 

eller linja AB. Tre eller flere punkter som ligger på samme linje, sies å være kollineære. Tre 

eller flere linjer som går gjennom samme punkt, sies å være konkurrente. 

A B 

C 

A, B og C er kollineære 

l 

m 

n 

l, m og n er konkurrente 

1.1.3 Parallelle linjer, parallellaksiomet 

To linjer som ikke skjærer hverandre, sies å være parallelle. Vi skriver dette l||m. I euklidsk 

geometri gjelder parallellaksiomet. Dette finnes i flere ekvivalente versjoner; her er én: 

Parallellaksiomet: Gitt en rett linje l og et punkt P utenfor som ikke ligger på l. Da finnes det 

nøyaktig én linje m som går gjennom P og som er parallell med l. 

MA-132 Geometri 11 


y 

A 

1 

B 

C 

x 

P(x,y)

En annen versjon er at vinkelsummen i en trekant er 180° ; mer om dette nedenfor. Parallell- 

aksiomet virker kanskje opplagt, men det er i en særstilling blant 

Euklids aksiomer. På 1800-tallet ble det bygd opp geometrier der 

parallellaksiomet ikke gjelder, de ikke-euklidske geometriene, og 

disse har vist seg meget nyttige, for eksempel i forbindelse med 

relativitetsteorien. Det finnes utallige artikler om ikke-euklidsk 

geometri på internett, for eksempel: http://en.wikipedia.org/wiki/Non- 

Euclidean_geometry. 

1.1.4 Stråle 

En stråle er del av linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den 

er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig 

utstrekning. Hvis A er et endepunkt på en stråle og B er et punkt på 

strålen, snakker vi om strålen fra A gjennom B. 

1.1.5 Lengder og avstander 

Alle har en intuitiv forståelse av hva avstander og lengder er for noe. I matematikken kan vi 

2 

2 2 + 

+ 

definere en avstandsfunksjon i planet ℝ som en funksjon d : ℝ × ℝ →ℝ 

0 , der ℝ 0 betyr 

mengden av reelle tall ≥ 0 , altså en funksjon som tilordner et ikke-negativt reelt tall d(P,Q) – 

avstanden mellom P og Q - til hvert par (P,Q) av punkter i planet. Funksjonen må ha 

følgende egenskaper: 

a. d ( PQ , ) ≥ 0 

b. d ( PQ , ) = 0 hvis og bare hvis P = Q. 

c. d ( PQ , ) = d ( QP , ) 

d. d ( PQ , ) d ( PR , ) d ( RQ , ) 

mellom P og Q. 

≤ + med likhet hvis og bare hvis R ligger på linjestykket PQ 

Tenk over hva disse kravene betyr: (i) sier at ingen avstander er negative. (ii) sier at to 

forskjellige punkter ikke kan ha avstanden 0, men ethvert punkt har avstanden 0 til seg selv. 

(iii) sier at avstanden fra P til Q er den samme som avstanden fra Q til P. (iv) sier stort sett at 

den korteste vei mellom to punkter P og Q er linjestykket PQ. Den kalles trekantulikheten, 

og sier mer presist at lengden av en side i en trekant er lik eller mindre enn summen av 

lengdene av de to andre sidene, med likhet bare hvis trekanten er degenerert, slik at det tredje 

hjørne ligger på den motstående sida. 

1.1.6 Linjestykke 

Et linjestykke er en del av en linje som er begrenset av to 

endepunkter A og B, nemlig den delen av linja gjennom A og B 

B 

som ligger mellom A og B. Vi lar AB både betegne linjestykket fra 

A til B (eller fra B til A) og lengden av dette linjestykket, som kan A 

defineres som avstanden mellom dets endepunkter. Det vil da framgå av sammenhengen hva 

som menes. 

1.1.7 Vektor 



A 

P 

m 

l 

Parallellaksiomet 

B

En vektor kan vi i vårt geometrikurs oppfatte som et orientert 

linjestykke. Det betyr at av de to endepunktene på linjestykket, 

for eksempel A og B, er det ene utpekt som startpunkt 

 

og det 

andre som endepunkt. Vektoren fra A til B noteres 

 

AB . Vi 

 

identifiserer to vektorer AB og CD hvis de er parallelle og 

like lange og har samme retning. Det betyr at hvis vi flytter CD 

B 

A 

slik at C faller sammen med 

A, så vil D falle sammen med B. Vektorbegrepet er imidlertid mye mer omfattende enn dette, 

og er et av de nyttigste begreper i 

matematikken og fysikken. Vi skal komme 

tilbake til vektorregning i et seinere kapittel. 

C 

C 

Du kan definere summen av to vektorer ved 

 

at AB+ BC = AC , og differensen mellom to 

 

vektorer ved at AB− AC = CB . Se figuren. 

A 

a+b 

a 

b 

B A 

b 

a 

a-b 

B 

Når du har en avstandsfunksjon, kan du 

 

definere produktet av et tall og en vektor: t⋅ AB= AC , der C er et punkt på linja AB som er 

= t , og slik at C ligger på samme eller motsatt side av A i forhold til B etter som 

slik at AC 

AB 

t>0 eller t

33toppunkt i O, kan vi skrive ∠ O uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som 

u,v, w, αβθ…. , , , Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at 

vinkler som er like store, får samme format. 

At to vinkler ∠ AOB og ∠ CPD er like store, betyr at den ene vinkelen kan legges oppå den 

andre. Med andre ord: Hvis ∠ CPD flyttes slik at P faller i O og PC dekker strålen OA, så vil 

strålen PD dekke strålen OB. Det forutsetter at de to vinklene er orientert på samme måte, i 

motsatt fall må vi la strålen PD dekke OB. Størrelsen av en vinkel måles på flere ulike måter. 

For et gitt punkt O i planet tenker man seg at planet deles i 360 like store vinkler, alle med O 

som felles toppunkt. Størrelsen av en slik vinkel defineres som 1 grad, eller 1° . En rett 

vinkel er en vinkel på 90° , som dekker et kvart omløp. Hvis A, O og B ligger på en rett linje, 

er ∠ AOB = 180°, 

og ∠ AOB kalles en like vinkel, og er altså et halvt omløp. 

Alternativt kan du definere størrelsen av ∠ AOB ved hjelp av begrepet lengde på følgende 

måte: Slå en sirkel med sentrum i O og radius r. Finn lengden b av den delen av sirkelbuen 

som ligger innenfor ∠ AOB . Forholdet b 

vil da være uavhengig av r, og bare avhengig av 

r 

vinkelen, og kan derfor tas som et mål for vinkelens størrelse. En vinkel som gir forholdet 1, 

kalles en radian. Siden lengden av en hel sirkel er 2π ganger radius, vil en hel omdreining 

tilsvare en vinkel på 2π , mens en rett vinkel er π og en like vinkel er π . Vinkler målt i 

2 

radianer kalles også absolutt vinkelmåling, fordi det ikke avhenger av det tilfeldige valget av 

360 som antall grader i en hel omdreining. Dette henger for øvrig historisk sammen med at 

babylonerne antok at et år var 360 dager. Til gjengjeld bygger absolutt vinkelmåling på 

begrepet buelengde, som er relativt avanserte i forhold til elementær geometri. I elementær 

geometri brukes mest grader, men i matematikken for øvrig er det mest vanlig å måle vinkler i 

radianer. 

Vi har en rekke definisjoner som involverer vinkler: 

En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90° . En stump vinkel er en som ligger 

mellom 90° og 180° . To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler. 

To vinkler hvis bein er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler. 

Spiss vinkel Stump vinkel Rett vinkel Like vinkel Nabovinkler Toppvinkler 

I en trekant ABC kalles vinklene ∠BAC, ∠ ABC og ∠ BCA for indre vinkler, og noteres som 

regel bare ∠A, ∠ B og ∠ C . De indre vinklene i en trekant omtales ofte bare som vinklene i 

trekanten. Nabovinkelen til en vinkel i en trekant, kalles en ytre vinkel i trekanten. Når to 

linjer overskjæres av en tredje linje, oppstår 8 vinkler. Disse kan grupperes i fire sett av 

samsvarende vinkler. På figuren nedenfor er samsvarende vinkler markert med samme 

format på vinkelmerket. 

A 

C 

Indre 

vinkler Ytre vinkel 

B 

Samsvarende 

vinkler 



m 

l

Når vinkelen mellom to rette linjer l og m er 90° , sies l å være en normal til m, eller m er en 

normal til l. To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel sies å være komplementvinkler 

til hverandre. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, sies å være supplementvinkler 

til hverandre 

Normaler 

90.0 ° 

l 

m 

Normaler 

Komplementvinkler 

Supplementvinkler 

Man inndeler også trekanter i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten: En spiss 

eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90° . En stump eller 

stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90° . Ett rettvinklet 

trekant er en trekant der en av vinklene er 90° . De hosliggende sidene til den rette vinkelen 

kalles kateter, mens den motstående sida kalles hypotenusen. En likesidet trekant er en 

trekant der alle sidene er like. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60°, jfr. setning 1.5.4. 

En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like. To av vinklene blir da også like. 

Spissvinklet trekant Stumpvinklet 

trekant 

Rettvinklet 

trekant 

Likesidet 

trekant 

Likebeint 

trekant 

1.1.10 Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn. 

Du kan definere summen av to vinkler med samme toppunkt: 

Hvis ∠ AOB og ∠ COD er to vinkler med samme toppunkt, 

flytter vi (jfr. avsnittet om isometrier nedenfor) den siste slik at 

vinkelbeinet OC faller sammen med OB. Punktet D vil da flyttes D 

til et punkt E, og vi kan forutsette at dette ligger ∠ EOD ikke 

dekker ∠ AOB Vi definerer da ∠ AOB+∠ COD =∠ AOE . Du 

C E 

kan også definere differansen mellom en vinkel og en mindre 

vinkel: Hvis ∠ AOB >∠ COD , flytter vi den siste vinkelen slik 

at linja OC dekker linja OA og slik at OD flyttes til en stråle OF 

som ligger innenfor ∠ AOB . Differansen ∠AOB−∠ COD er da O 

v 

v 

v 

u-v 

u 

B 

F 

definert som ∠ BOF . Se figuren nedenfor. For vinkler som ikke 

har felles toppunkt, må vi først flytte den ene vinkelen slik at de 

A 

to vinklene får felles toppunkt før vi kan bruke definisjonen fra det tilfellet at de har felles 

toppunkt. 

Når vi har definert differensen mellom to vinkler, melder spørsmålet seg om hvordan vi skal 

forstå et mulig negativt fortegn på en vinkel eller hva det vil si at en vinkel er 0. Svaret er at vi 

setter ∠ AOA = 0, 

mens vi regner en vinkel ∠ AOB for å være positiv hvis strålen OA må 

dreies i retning motsatt urviserne for å dekke OB, negativ hvis den må dreies i samme retning 

som urviserne. Vi har da at ∠ AOB =−∠ BOA . Etter den definisjonen vil to stråler OA og OB 

0,180° og en negativ i intervallet 

kunne definere to vinkler, en positiv i intervallet [ ] 

[ 0, − 180° 

] , eller egentlig en hel rekke vinkler som skiller seg fra hverandre ved et helt 



u+v

multiplum av 360° . I geometri underforstås det som regel at en vinkel ligger i intervallet 

[ 0,180° ] . 

1.1.11 Firkant 

En firkant er bestemt av fire punkter, hjørnene i firkanten. Vi skriver for eksempel firkanten 

ABCD eller ABCD . Vanligvis forutsettes det at hjørnene i firkanter nummereres i positiv 

omløpsretning, altså mot urvisernes omløpsretning. Sidene i firkanten ABCD er linjestykkene 

AB, BC, CD og DA. Vi forutsetter vanligvis at disse sidene ikke har andre felles punkter enn 

hjørnene. To sider kan altså ikke skjære hverandre. Linjestykkene AC og BD kalles 

diagonalene i firkanten. Hvis to av sidene i en firkant er parallelle, kalles firkanten for et 

trapes. Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram. Hvis alle 

sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe. Hvis alle de indre vinklene i et 

parallellogram er rette, har vi et rektangel. Et rektangel der alle sidene er like, kalles et 

kvadrat. 

Firkant 

Diagonaler 

Trapes Parallelogram Rombe Rektangel Kvadrat 

1.1.12 Polygoner 

Figurer med tre hjørner er trekanter, med fire hjørner er det firkanter. Dette kan selvsagt 

fortsettes: Figurer med fem hjørner er femkanter, figurer med seks hjørner er sekskanter osv. 

Generelt er en figur som definert ved hjelp av n hjørner en n-kant eller et polygon (av gresk 

poly=mange, gon=hjørne) eller en mangekant med n hjørner. Spesielt ser vi på regulære nkanter. 

Det er en n-kant der alle sider er like lange og alle vinkler er like store: 

Regulære polygoner kan innskrives i en sirkel. Vi får en rekke med n kongruente likebeinte 

trekanter. Vinkelen ved sirkelens sentrum må være 360° 

n , og dermed blir de to andre vinklene 

( ) 

360 

180°− = 90°− 

. De indre vinklene i n-kanten blir dermed 180°− n og de ytre 

1 

360° 180° 

° 

2 n n 

vinklene 360° 

n . Det siste kan du også innse ved å tolke de ytre vinklene som retningsendringer 

fra å kommer fra en side til den neste: Etter n retningsendringer må du ha endret retning 

360° . 

1.1.13 Geometriske steder, sirkler og ellipser 

Ved hjelp av begrepene avstand og lengde kan vi nå definere en rekke nye begreper, som 

bygger på begrepet åpent utsagn fra logikken. Et utsagn i logikken er en språklig eller 

matematisk formulert setning som enten er sann eller gal. Sannhetsverdien av et utsagn kan 

altså ikke være gjenstand for diskusjon: ”Det er fint vær i dag” er derfor ikke et utsagn i denne 

forstand, mens ”2>3” eller ”2

med et element fra M, kalles S(x) for et åpent utsagn om elementene i mengden M. Vi kan da 

danne oss delmengder av M ved å se mengden av de x fra mengden M som er slik at S(x) er et 

sant utsagn eller mengden av de x fra mengden x som er slik at S(x) er et usant utsagn. Disse 

| ( ) x| ¬ Sx ( ) . 

mengdene skrives hhv. { x Sx } og { } 

I geometri er som regel mengden M lik planet, og S(x) er en eller annen geometrisk egenskap, 

x| Sx ( ) kalles ofte det geometriske 

ofte uttrykt ved hjelp av avstandsbegrepet. Mengden { } 

sted for de punkter som har egenskapen S. Ved hjelp av avstandsbegrepet kan vi nå definere 

det mest kjente geometriske stedet i geometrien, en sirkel: En sirkel med sentrum i punktet C 

og med radius r er det geometriske stedet for de punktene som har avstanden r til C eller 

2 

○ Cr , = P∈ ℝ | dCP ( , ) = r . Sirkler tegnes som kjent med passer, der spissen settes i 

( ) { } 

punktet C og avstanden r utspennes av beina på passeren. Linjal og passer er de eneste to 

redskapene som er tillatt i klassisk euklidsk geometri. Det tilsvarer at punkter, rette linjer og 

sirkler er de fundamentale objektene. 

Vi tar med et annet kjent eksempel på geometrisk sted, en 

ellipse. En ellipse er det geometriske stedet for de punkter hvis 

avstander til to oppgitte punkter har en bestemt sum. Se figuren. 

Ellipser kan ikke konstrueres med passer og linjal 

1.2 Isometrier og kongruens 

2 2 

En isometri eller kongruensavbildning er en avbildning (funksjon) ϕ : ℝ → ℝ som 

( P Q ) ( PQ) 

bevarer avstander. Det betyr at ( ) ( ) 

d ϕ , ϕ = d , for alle punkter P,Q i planet. Du 

kan tenke på en isometri på følgende måte: Tenk på planet som et papirark som er ubegrenset 

i alle retninger (eller på et endelig papirark som er stort nok til å inneholde de figurene du er 

interessert i). Å bruke en isometri tilsvarer å flytte arket uten å strekke eller på annen måte 

deformere det. Men du kan snu arket. En plan figur er rett og slett en delmengde av planet. 

Hvis ϕ er en isometri, og F1 og F2 er plane figurer slik at ϕ ( F1) = F2, 

sies F1 og F2 å være 

kongruente, og vi skriver F1 ≅ F2. 

Etter modellen ovenfor kan du tenke deg at F1 og F2 

ligger i hver sin kopi av planet. Så kan du flytte og eventuelt snu den ene kopien og legge den 

oppå den andre slik at figurene nøyaktig dekker hverandre. Sagt på en annen måte: Du kan 

klippe den ene figuren ut, og om nødvendig snu den, da vil den nøyaktig kunne dekke den 

andre figuren. Hvis du må snu den, kalles isometrien motsatt, ellers kalles den direkte. Hvis 

hjørnene i et polygon er regnet opp i 

C' 

rekkefølge mot urviserne, vil de tilsvarende 

hjørnene i et kongruent polygon bli regnet 

opp i samme rekkefølge hvis isometrien er 

C 

direkte, ellers vil de bli regnet opp i 

Direkte isometri 

B' 

rekkefølge med urviserne. 

A' 

Kongruens er et sentralt begrep i 

elementær geometri. Vi har følgende fire 

setninger om kongruenser, som vi her skal 

godta uten noen form for bevis, dvs. vi skal 

se på dem som aksiomer i teorien. 

A B 



r1 

Motstatt isometri 

P Q 

r1+r2=d, konstant 

B" 

A" 

r2 

C"

1. (SSS side-side-side) Hvis to trekanter har parvis like lange sider, er de kongruente. 

2. (SVS side-vinkel-side) Hvis to sider og vinkelen mellom dem er like i to trekanter, så er 

trekantene kongruente. 

3. (VSV vinkel-side-vinkel) Hvis to vinkler og den mellomliggende sida i to trekanter er 

like, så er trekantene kongruente. 

4. (SSV side–side–vinkel) Hvis to sider og den motstående vinkelen til den lengste av sidene 

er like, så er trekantene kongruente. 

A 

C 

SSS 

1.2.1 Isometrier og rette linjer. 

Setning 1.2.1. En isometri avbilder en rett linje på en rett linje og bevarer delingsforhold 

Bevis. La A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og B. Da 

d AB , = d( AP , ) + d PB , . La ϕ være en isometri, og la A’, B’ og P’ være bildene av A, 

er ( ) ( ) 

B og P ved denne isometrien. Da er 

d( A', P') + d( P', B' ) = d( ϕ( A) , ϕ( P) ) + d( ϕ( P) , ϕ( 

B) 

) = 

. 

d AP , + d PB , = d AB , = d A', B' 

( ) ( ) ( ) ( ) 

Ifølge trekantulikheten må da P’ ligge på linjestykket A’B’ mellom A’ og B’. Tilfellene at A 

ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. 

 

Vi har også at hvis AP= t⋅AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', 

vil AP ' '= t⋅AB ' '. 

Det 

, og ( ) ( ) ( ) 

følger ved et bevis som ligner på det ovenstående. 

1.2.2 Isometrier og parallellitet 

Setning 1.2.2. En isometri avbilder parallelle linjer på parallelle linjer 

Bevis: La l og m være parallelle linjer, og la l’ og m’ være bildene av l og m ved en isometri 

ϕ . Hvis l’ og m’ ikke er parallelle, finnes det et punkt C som er felles for l’ og m’. Men C må 

( ) ( ) 

være bildet av et punkt A på l og B på m, og ( ) ϕ( ) ϕ( 

) 

A=B. Det strider mot at l og m er parallelle. 

1.2.3 Isometrier og trekanter 

B 

A 

C 

SVS 

d AB , = d A , B = d CC , = 0. 

Da må 

Setning 1.2.3. En isometri er entydig bestemt ved virkningen på en trekant. 

Bevis. La ABC være en trekant som avbildes på en trekant A’B’C’ ved 

en isometri ϕ . La P være et punkt. Da kan vi trekke en parallell med 

AC gjennom P som skjærer AB i B” og en parallell med AB gjennom P 

 

som skjærer AC i C”. Da er AP" = AB" + AC " . Da finnes det reelle tall 

 

x og y slik at AB" = x⋅AB og AC" = y⋅AC . Men da må 

B 

A 

B B" 



A 

C 

VSV 

B 

A 

C 

C 

SSV 

C" 

B 

P

AB ' '= x⋅ AB ' '+ y⋅AC ' ', 

siden isometrier bevarer parallellitet og delingsforhold. 

Jeg minner om begrepet bijeksjon. En bijeksjon er en funksjon A→ B som er slik at alle 

elementer i B er bildet av nøyaktig ett element i A. Et annet ord for en bijeksjoner er en 1-1korrespondanse, 

eller en avbildning som er både injektiv (1-1) og surjektiv (på). 

Setning 1.2.4. En isometri er en bijeksjon 

Bevis. Anta at isometrien ϕ er gitt ved at trekanten ABC avbildes på trekantene A’B’C’. Da 

kan vi definere den inverse til ϕ ved at trekanten A’B’C’ avbildes på ABC. Da må ϕ være en 

bijeksjon. 

1.3 Elementære konstruksjoner 

1.3.1 Midtnormalen til et linjestykke 

Konstruksjonen går slik: Linjestykket AB er gitt. Du velger en 

passende radius i passeren – litt mindre enn lengden AB – og slår 

sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. Da er 

AD=BD og AC=CB. P.g.a. SSS-kongruenssetningen ovenfor er da 

∆ABD ≅∆ ABC . Da er ∠ ACD =∠ BCD og dermed 

∆ACE ≅∆ BCE etter kongruenssetningen SVS. Da må AE=BE, og 

∠ AEC =∠ BEC . Siden summen av disse vinklene er 180° . Må 

hver av dem være 90° . Vi har dermed både at AE=BE og at 

∠ AEC = 90°. 

Men da er DC midtnormalen på AB. 

Midtnormalen på AB er det geometriske sted for de punkter som 

har samme avstand fra A og B. 

1.3.2 Normalen til en linje i et punkt på linja 

Her har vi gitt en linje l og et punkt A på linja. Vi starter med å velge en passende radius i 

passeren, og slår en sirkel eller to sirkelbuer med denne 

radien, slik at vi får to punkter B og C slik at AB=AC. Så 

velger vi en annen større radius og slår sirkler eller sirkelbuer 

D 

med denne radien fra B og C. Disse har to skjæringspunkt, og 

vi kaller det ene av dem D. Da er BD=BC. 

m 

Kongruenssetningen SSS gir da at ∆BAD ≅∆ ACD . Siden 

∠ BAD =∠ CAD , og summen av dem er en like vinkel, må 

∠ BAD være en rett vinkel. 

B 

A 

C 

l 

1.3.3 Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja 

Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel med sentrum i P som 

har stor nok radius til å skjære linja l i to punkter A og B. 

Velg så en ny radius, og slå sirkler eller sirkelbuer fra A og 

B med denne radien. La skjæringspunktet på motsatt side 

av l i forhold til P være C. Da er PC normalen til l gjennom 

P. Dette kan begrunnes slik: Siden AP=BP og CA=CB, 

følger det av kongruenssetningen SSS at ∆ACP ≅∆ PCB 

og dermed ∠ APD =∠ CPB . La D være skjæringspunktet 

mellom PC og l. Kongruenssetningen SVS gir da at 

∆ADB ≅∆ BDP og derfor at ∠ ADP =∠ PDB , Siden disse 

vinklene også er supplementvinkler, må de begge være 



A 

A 

P 

D 

D 

C 

E 

C 

B 

B 

l

ette vinkler. 

Avstanden PD er for øvrig definert som avstanden fra punktet P til linja l. Avstanden 

mellom to parallelle linjer er definert som avstanden fra et punkt på den ene linja til den andre 

linje. 

1.3.4 Halveringslinja for en vinkel 

Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller sirkelbue med sentrum 

i vinkelens toppunkt O og med passende radius. La skjæringspunktene 

med vinkelbeina være A og B. Velg en radius som er 

O 

større enn halve avstanden mellom A og B, og slå sirkler fra A og 

B med denne radien. La skjæringspunktet være C. Da er OC 

halveringslinja for vinkelen. Dette kan begrunnes slik: Siden 

OA=OB og AC = BC, følger av kongruenssetningen SSS at 

∆OAC ≅∆ OBC . Da må ∠ AOC =∠ BOC , og dette betyr at OC er halveringslinja for 

vinkelen AOB. 

Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for de punkter som har samme avstand 

fra vinkelbeina. 

1.3.5 Likesidet trekant 

Gitt et linjestykke AB. Du skal konstruere en likesidet 

trekant der dette linjestykket er en av sidene. Da bruker du 

lengden AB som radius og slår sirkler eller sirkelbuer med 

radius r og sentrum i A og deretter i B. Du får to skjæringspunkter 

C og C’, og altså to mulige løsninger. Vinklene i en 

likesidet trekant må være 60°, så du har altså samtidig en 

metode til å konstruere en vinkel på 60°. 

1.3.6 Alternativ konstruksjon for å oppreise 

normalen i et punkt på en linje 

Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller en sirkelbue med 

sentrum i det gitte punktet A. La B være et av skjæringspunktene 

med linja m. Slå en sirkel eller sirkelbue med samme radius AB og 

sentrum i B. Skjæringspunktet med den første sirkelen er C. Slå en 

sirkel med sentrum i C og samme radius. Skjæringspunktet med 

den første sirkelen er D. Halver vinkelen CAD ved hjelp av 

metoden som er gitt ovenfor, jfr. figuren til høyre. Da blir ∆ ABC 

og ∆ ACD likesidet, og dermed blir ∠ ABC = 60° 

og 

∠ CAD = 60°, 

AE blir halveringslinje for ∠ DAC . Da må 

1 

∠ BAE = 60°+ ⋅ 60°= 90°, 

så AE blir en normal til linja m. 

2 

1.3.7 Andre vinkler 

Ved hjelp av vinkelhalveringskonstruksjonen og konstruksjonen av en seksti graders vinkel 

kan du i prinsippet konstruere enhver vinkel som kan skrives som en endelig sum på formen 

⎛ a1 a2 

a3an⎞ 60°⋅ 

⎜a0 + + + + ⋯ + 

2 3 

n 

2 2 2 2 

⎟, 

der { a i} 

er en følge av ikke-negative hele tall. Nedenfor 

⎝ ⎠ 

ser du eksempler. 



C 

D 

E 

B 

A 

A 

C 

m 

B 

A 

B 

C 

C'

15.0 ° 

45.0 ° 75.0 ° 

1.3.8 Likebeinte trekanter 

Du får som regel oppgitt den sida som ikke er lik noen av de andre, og deretter høyden, eller 

lengden av de to like sidene eller de to like vinklene eller toppvinkelen: 

Likebeint trekant med 

oppgitt side og høyde 

1.4 Oppgaver 

Likebeint trekant 

med oppgitte 

sider 



22.5 ° 

67.5 ° 

1.4.1 

Tegn et linjestykke AB, og oppreis midtnormalen på linjestykket. 

Likebeint trekant med oppgitt 

side og hosliggende vinkel 

1.4.2 

Tegn en rett linje og merk av et punkt utenfor linja. Konstruer normalen fra punktet på linja. 

1.4.3 

Tegn en rett linje, og merk av et punkt på linja. Konstruer normalen på linja i punktet. Halver 

den rette vinkelen, så du får en vinkel på 45°. Konstruer en vinkel på 22.5°. 

1.4.4 

Konstruer en vinkel på 60 grader. Konstruer så vinkler på 30 grader, 15 grader, 75 grader. 

1.4.5 

Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja har lengde 3 cm, og de to like lange sidene er 5 

cm. Konstruer så en likebeint trekant der grunnlinja er lengde 3 cm, og høyden er 4 cm.

1.4.6 

Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja er 4 cm, og vinkelen ved grunnlinja er 67.5° . 

Konstruer så en likebeint trekant der toppvinkelen er 30° og de like lange sidene er 4 cm. 

1.4.7 

Ta for deg kongruenssetning SSV. Finn på et eksempel som viser at ordene ”til den lengste 

sida” er nødvendige å ha med. 

1.5 Elementære teoremer 

Nedenfor gjengir vi en del elementære setninger i euklidsk geometri. Bevisene gjør ikke krav 

på å være strenge i aksiomatisk forstand, så de kalles begrunnelser snarere enn bevis. 

1.5.1 Toppvinkler 

Setning 1.5.1. Toppvinkler er like 

Bevis. På tegningen er ∠ u+∠ v = 180° 

og 

∠ v+∠ w= 

180°. 

Vi trekker fra, og får ∠u−∠ v = 0 

eller ∠ u =∠ v. 

1.5.2 Ytre vinkel i trekant 

Setning 1.5.2. En ytre vinkel i en trekant er større de to indre 

vinklene som ikke dens supplementvinkel. 

Bevis. Vi ser på trekanten ABC med den ytre 

vinkelen CBD. Vi finner midtpunktet E på BC, 

trekker linja AE, og avsetter AE=EF. 

∠ AEC =∠ BEF som toppvinkler og dermed 

∆AEC ≅∆ BEF etter kongruenssetningen SVS. Men 

da er ∠ ACE =∠ EBF . Siden 

∠ CBD =∠ CBF +∠ FBG , må 

∠ CBD >∠ CBF =∠ C. 

På tilsvarende måte vises at 

∠ CBD >∠ A. 

Denne setningen har som konsekvens setningen om 

samsvarende vinkler: 

1.5.3 Setningen om samsvarende vinkler 

Setning 1.5.3. La l og m være to linjer som overskjæres av en tredje linje n. Da er 

samsvarende vinkler like store hvis og bare hvis linjene l og m er parallelle. 

Bevis. 

B 

n 

A 

v 

u 

l 

m 



A 

B 

n 

v 

u 

A 

l 

m 

C 

D 

A 

w 

v 

x 

E 

C 

u 

C 

B 

B 

F 

G 

D

Hvis l og m skjærer hverandre i punktet C, er ∠ u =∠ BAC en ytre vinkel i trekanten ABC og 

derfor større enn ∠ v =∠ CBA ifølge forrige setning. Hvis ∠ u og ∠ v er like store, må derfor 

l og m være parallelle. Anta så at de er parallelle, men ∠u ≠∠ v. 

Vi kan da trekke en linje k 

gjennom B slik at vinkelen mellom k og n er u. Da har vi i så fall to ulike paralleller med u 

gjennom B. Det er umulig etter parallellaksiomet. 

Denne setningen kan brukes til å konstruere en parallell med 

en oppgitt linje gjennom et oppgitt punkt. Se figuren til høyre. 

Du starter med å trekke en linje m fra et vilkårlig punkt B på 

den oppgitte linja og slår sirkler eller sirkelbuer med samme 

radius og sentrum i B og P. Korden CD i sirkelen omkring B 

bruker vi så som radius i en sirkel med sentrum i 

skjæringspunktet F mellom m og sirkelen gjennom P. Da blir 

linja. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er E. Vi 

trekker så linja PE, som blir parallell med l. 

1.5.4 Summen av vinklene i en trekant 

Setning 1.5.4. Summen av vinklene i en trekant er 180° 

Bevis. Vi trekker en parallell BE med AC gjennom B, 

jfr. figuren. ∠ A= u og ∠ EBD er samsvarende vinkler 

når linja AD skjærer de to parallelle linjene AC og BE 

og dermed like. ∠ CBE er toppvinkel til en vinkel som 

er samsvarende med ∠ C = v når linja BC skjærer de 

to parallelle linjene AC og BE. Dermed er 

∠ CBE =∠ C = v. 

Da er 

∠ A+∠ B+∠ C =∠ ABC +∠ CBE+∠ EBD = 180°. 

Av dette beviset følger også: 

Setning 1.5.5. En ytre vinkel i en trekant er summen av de to andre vinklene. 

1.5.5 Vinklene i likebeinte trekanter 

Setning 1.5.6. Gitt et linjestykke AB. AB er grunnlinje (dvs. den sida som ikke er en av de to 

like lange sidene) i en likbeint trekant ABC hvis og bare hvis ∠ CAB =∠ CBA. 

Bevis. Anta at AB er grunnlinja i den likebeinte trekanten ABC, der 

AC=BC. La M være midtpunktet på AB Da er ∆AMC ≅∆ CMB ifølge 

kongruenssetningen SSS. Men da må ∠ MAC =∠ MBC . Omvendt, anta at 

∠ BAC =∠ ABC . Vi konstruerer normalen fra C på AB, og antar at 

skjæringspunktet er M. Da er ∠ AMC =∠ BMC = 90°. 

Etter kongruenssetningen 

VSV er da ∆AMC ≅∆ CMB , og da må AC=BC. 

1.5.6 Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale 

vinkelbein 

Setning 1.5.7. Hvis to vinkler har bein som er parvis 

parallelle eller står parvis normalt på hverandre, er de like. 



A 

u 

B 

C 

v 

P 

D 

C 

w 

A 

l 

v 

v 

B 

F 

E 

E 

u 

m 

C 

M 

D 

B

B 

u v 

C 

A 

B' 

C' 

u 

v 

A' 

A' 

B 

Bevis. De parallelle vinkelbeina peker enten i samme retning eller i motsatt retning. Setningen 

for parvis parallelle vinkelbein følger enkelt av setningen om samsvarende vinkler ved 

parallelle linjer i tilfellet da vinkelbeina har samme retning. I tilfelle de har motsatt retning må 

du i tillegg bruke at toppvinkler er like store. Se figuren ovenfor. 

I det tilfellet at vinkelbeina står parvis normalt på hverandre, kan vi 

først bruke setning for parvis parallelle vinkelbein til om 

nødvendig å flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene har felles 

toppunkt. Etter det ser situasjonen ut som på figuren til høyre. Her 

er ∠ AOB+∠ BOC = 90° 

og ∠ BOC+∠ COD = 90°. 

Subtraksjon 

gir ∠AOB−∠ COD = 0 eller ∠ AOB=∠ COD . 

1.6 Similariteter og formlikhet 

2 2 

En similaritet eller formlikhetsavbildning er en avbildning ϕ : ℝ → ℝ slik at det finnes et 

tall k>0 slik at ( ) ( ) 

( , ) ( , ) 

d ϕ P ϕ Q = k⋅ d PQ , der d er avstandsfunksjonen. 

M.a.o. blir alle avstander multiplisert med et det samme positive tallet. To plane figurer sies å 

være formlike eller similære hvis den er bildet av den andre ved en similaritet. Den ene er da 

en forminsket eller forstørret utgave av den andre. Eller du kan oppfatte dem som samme 

figur i to ulike målestokker.Eller: Alle vinkler er like, og alle lengder er multiplisert med en 

konstant faktor. 

Prototypen på en similaritet er en homoteti (eller dilatasjon). En homoteti er bestemt et 

homotetisentrum O og en homotetifaktor k ≠ 0 slik at et punkt P avbildes på et punkt Q 

 

som ligger på strålen OP og slik at OQ= k⋅OP . Se figuren til høyre, der homotetisenteret er 

O. Den originale figuren er lengst til høyre, deretter har vi en kopi med homotetifaktor 0,5 og 

deretter en kopi med homotetifaktor -0,7. 

Similariteter har mange av de samme egenskapene som isometrier, og bevisene for disse 

egenskapene er også svært like. Vi tar ikke med alle bevisene. 

1.6.1 Setninger om similariteter 

Setning 1.6.1 

i. En similaritet avbilder en linje på en linje. 

ii. En similaritet avbilder parallelle linjer på parallelle linjer 

iii. En similaritet er entydig bestemt ved virkningen på en trekant 

iv. Enhver similaritet er en bijeksjon 

v. En similaritet bevarer vinkler 

Bevis for i.:La A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og 

d AB , = d( AP , ) + d PB , . La ϕ være en similaritet med faktor k>0, og la A’, B’ 

B. Da er ( ) ( ) 

og P’ være bildene av A, B og P ved denne similariteten. Da er 



C' 

C 

B' 

A 

E 

D 

D 

v 

C 

O 

u 

B 

A

( ϕ ϕ ) ( ϕ( ) ϕ( 

) ) 

( ) ( ) ( ) ( ) 

⋅ ( , ) + ⋅ ( , ) = ⋅ ( , ) = ( ', ') 

d A', P' + d P', B' = d A , P + d P , B = 

. 

k d AP k d PB k d AB d A B 

Ifølge trekantulikheten må da P’ ligge på linjestykket A’B’ mellom A’ og B’. Tilfellene at A 

ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. 

 

Vi har også at hvis AP= t⋅AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', 

vil AP ' '= t⋅AB ' '. 

Det 

, og ( ) ( ) ( ) 

følger ved et bevis som ligner på det ovenstående. 

1.6.2 Transversalsetningen 

Setning 1.5.2: Transversalsetningen. To linjer l og m skjærer over en vinkel A. Det ene 

vinkelbeinet skjærer l i B og m i B’, det andre vinkelbeinet skjærer l i C og m i C’ Da gjelder 

AB AC 

følgende: l || m ⇔ = . 

AB' AC ' 

Bevis. Hvis l og m er parallelle, har ∆ BCB' 

og ∆ BCC ' samme grunnlinje BC og samme 

høyde, avstanden mellom l og m. De må da ha samme areal. Derfor må også ∆ AB'C og 

∆ ABC ' ha samme areal. ∆ ABC og ∆ AB'C har samme høyde, nemlig avstanden fra C til 

AB’. Forholdet mellom deres arealer må da være det samme som forholdet mellom deres 

AB 

grunnlinjer, altså . Pa samme måte har ∆ ABC og ' 

AB ' 

ABC ∆ samme høyde, og forholdet 

AC 

mellom deres arealer må være det samme som forholdet mellom deres grunnlinjer altså 

AC ' 

. 

AB ( ABC) ( ABC) 

AC 

Men da må = = = . 

AB' AB'C ABC' AC ' 

Anta omvendt at 

( AB'C) ( ABC ') 

( BB'C) ( BC'C) ( ) 

( ) 

AB AC 

= . Da har vi 

AB' AC ' 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

ABC AB AC ABC 

= = = . Da må 

AB'C AB' AC' ABC ' 

= . Men ∆ ABC er felles for disse to trekantene, så vi må også ha at 

= . Men disse to trekantene har felles grunnlinje BC, så for å få samme areal 

må disse to trekantene også ha samme høyde. Det betyr at avstandene fra B’ og C’ til l er de 

samme. Linjene l og m må da være parallelle. 

Transversalsetningen er fundamental i studiet av formlikhet. Her er et par konsekvenser: 

Setning 1.6.3. To trekanter som har de samme vinkler, er formlike. 

B 

C 

A 

B' 

B 

C 

C' 

A'=A 

B=B' 

C 

A 

C' 

A' 



B' 

B 

A 

C'=C 

Bevis. Vi kan flytte ∆ ABC rundt på ∆ABC ' ' 'slik 

at A faller sammen med A’ eller B faller 

sammen med B’ eller C faller sammen med C’. I hvert av tilfellene blir BC || BC, ' ' hhv. 

AC || AC ' ', 

hhv. AB|| AB ' ' Transversalsetning gir i hvert tilfelle: 

A'

AB AC AB BC AC BC 

AB AC BC 

= , = og = . Vi har da = = , og det betyr 

AB ' ' AC ' ' AB ' ' BC ' ' AC ' ' BC ' ' AB ' ' AC ' ' BC ' ' 

at △ ABC og △ ABC ' ' ' er formlike. 

Legg merke til at dette er spesielt for trekanter, det gjelder ikke for polygoner med mer enn tre 

hjørner. For eksempel har ethvert rektangel de samme vinklene som et kvadrat, men de er 

ikke formlike. 

1.6.3 Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold 

La oss si at du har et linjestykke AB som skal deles 

i et bestemt forhold, for eksempel 5:3. Da trekker 

du først en stråle gjennom A eller B og avsette 

5+3=8 like deler langs dette stykket. Fra det siste 

A B 

punktet trekker du en linje til B. Så trekker du en 

parallell med denne gjennom det femte 

delingspunktet. Skjæringspunktet med AB blir da 

det søkte punktet. Dette følger nå av transversalsetningen. 

m 

1.7 Areal 

Når vi har definert en avstand, lengde og vinkel, kan vi definere arealet 

av et rektangel med sider b og h som bh ⋅ . Arealet av andre plane figurer 

begrenset av rette linjestykker kan så beregnes ved hjelp av denne 

definisjonen. Arealet av en polygon ABC… skrives ofte (ABC…) 

1.7.1 Arealet av en trekant 

Gitt en rettvinklet trekant ABC. Vi trekker en linje gjennom A 

parallell med BC, og en linje gjennom C parallell med AB. 

Linjene skjæres i D. Trekantene ABC og ACD blir kongruente 

etter setningen om samsvarende vinkler, og kongruenssetning 

VSV. De to trekantene har da samme areal, som må være 

halvdelen av arealet av rektanglet ABCD, altså 1 

2 bh ⋅ . Vi kan nå 

finne arealet av en vilkårlig trekant ved å dele den opp i to 

rettvinklede trekanter, se figuren nedenfor til høyre. I alle tilfelle 

blir arealet 1 

2 g⋅ h, 

der g er lengden av en av sidene, mens h er 

høyden fra det motstående hjørnet. 

1.7.2 Arealet av et parallellogram 

Arealet av et parallellogram er lengden av en av sidene ganger 

avstanden mellom denne og den siden som er parallell med denne. 

Det kan du se ved å nedfelle et par normaler og flytte en rettvinklet 

trekant slik at du kan sammenligne med arealet av et rektangel, jfr. 

figuren til høyre. 

1.7.3 Arealet av et trapes 

Arealet av et trapes finnes også ved å rekke to normaler, slik at vi får 

fram et rektangel med side a og h, der a er den lengste av de parallelle 

sidene, og h er avstanden mellom disse. Da har vi et areal som er så 

mye større enn arealet av trapeset som arealet av de to skraverte 

trekantene på trekanten til høyre. Disse har til sammen et areal på 



D 

b 

Areal: b h 

C 

h 

A b B 

A 

g 

h 

a 

b 

C 

h 

b 

D 

B 

h 

h

1 

2 

1 1 

( b−a) ⋅ h, 

så arealet av trapeset er ah ⋅ − ( a−b) ⋅ h= ( a+ b) ⋅ h. 

2 2 

1.7.4 Arealet av et polygon 

Ethvert polygon kan trianguleres, dvs. det kan deles opp i trekanter. 

Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset 

av rette linjer. 

1.8 Pythagoras’ setning 

Setning 1.8.1: Pythagoras’ setning. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik 

summen av kvadratene på hypotenusen. 

Denne setningen er eldre enn Pythagoras, og har røtter tilbake 

til det gamle Egypt og Babylon, og det finnes utallige bevis 

for den. Det hører med til allmenndannelsen å kjenne til noen 

av bevisene. 

Det første beviset for setningen framgår av følgende figur: 

Ideen i beviset er at det samme arealet kan dekkes av fire ganger den aktuelle trekanten, samt 

enten kvadratene på de to katetene eller kvadratet på hypotenusen. 

Pythagoras’ setning er kanskje den mest kjente av alle setninger i elementær geometri, og er 

også kanskje den mest brukte setningen i elementære geometrioppgaver. En 

eksamensoppgave i elementær euklidsk geometri er nærmest utenkelig. 

1.8.1 Thabit ibn Qurras’ bevis 

Les om Thabit ibn Qurras her. 

Ideen er her at man dreier 

∆ABE 90° om E, og 

∆ BDG 90° 

om G i negativ 

retning, og ser at det samme 

arealet som i figuren til 

venstre dekkes av kvadratene 

på de to katetene, dekkes av 

kvadratet på hypotenusen i 

figuren til høyre. 

E 

A B C D A B C D 



F 

G 

E 

c 

a b 

F 

H 

G

1.8.2 Euklids bevis for Pythagoras’ setning 

La (AB…) bety arealet av polygonet (AB…). □ MLNC og 

∆ ANC har samme grunnlinje NC og samme høyde NL, og 

MLNC 2 ANC ACKH = 2 ⋅ KBC ; 

derfor er ( ) = ⋅ ( ) . Men ( ) ( ) 

disse har også felles grunnlinje KC og samme høyde KH. 

Videre er ∆ ANC og ∆ KBC kongruente, fordi den ene 

framkommer av den andre ved rotasjon 90° om punktet C. 

MLNC = 2⋅ ANC = 2⋅ 

KBC = ACKH . 

Det følger at ( ) ( ) ( ) ( ) 

På tilsvarende måte vises at ( AGFB) = ( MBDL) 

. Til sammen 

gir dette ( ACKH) + ( GFBA) = ( BDNC) 

Det motsatte av Pythagoras’ setning gjelder også: 

1.8.3 Det omvendte av Pythagoras setning 

Setning 1.8.2: Dersom summen av kvadratene på to av sidene i en trekant er lik kvadratet på 

den tredje sida, så er vinkelen mellom de to første sidene rett. 

2 2 2 

Bevis. Anta at trekanten ABC er slik at AC + BC = AB . Vi 

konstruerer da en trekant DBC der ∠ BCD er rett, mens DC = AC , jfr. 

figuren. Ifølge Pythagoras’ setning har de to trekantene de samme 

sidelengdene og må derfor være kongruente ifølge kongruenssetningen 

SSS. Men da må ∆ ABC være rettvinklet og ∠ C = 90°. 

1.9 Oppgaver 

1.9.1 (Eksamen i grunnskolen 1993) 

I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm. 

Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og ∠ A = 45°. 

Konstruer normalen fra D på AB, og kall det punktet hvor normalen treffer AB, for E. Trekk 

diagonalen AC. Kall skjæringspunktet med DE for F. Forklar hvordan du konstruerte 

parallellogrammet ABCD. Konstruksjonen og forklaring skal føres på et ark uten ruter. 

a. Hvor stor er ∠ B ? Begrunn svaret. 

b. Hvor lang er AE? Forklar hvordan du kom fram til svaret. 

c. Regn ut AD. 

d. Vis at ∆AEF ∼ ∆CDF 

. 

e. Regn ut arealet av firkanten EBCF. 

1.9.2 

Tenk deg at du skal legge fliser på et areal som bare skal bestå av regulære mangekanter. 

Hvilke kan det bli tale om? 

1.9.3 

I en femkant er alle vinklene 108° . Må femkanten være regulær? I en trekant er alle vinklene 

60°. Er trekanten regulær? Kan du komme med et setning om hva som skal til for at en 

mangekant der alle vinklene er like, nødvendigvis er regulær? 



K 

H 

C 

A 

G 

B 

N 

M 

C 

L 

F 

B 

D 

A 

D

1.9.4 

En utvendig vinkel i en mangekant er den vinkelen som framkommer hvis en side forlenges 

forbi hjørnet. Forklar hvorfor summen av de utvendige vinklene i en mangekant er 360° . 

n −2 ⋅ 180°. 

Bruk det til å vise at vinkelsummen i en n-kant er ( ) 

1.9.5 

I en trekant ABC er CE halveringslinja til den utvendige vinkelen til C. Denne halveringslinja 

deler motstående side i trekanten utvendig i samme forhold som forholdet mellom de 

hosliggende sidene. Det vil si at AE:EB=CA:CB. Bevis det. 

1.9.6 

Et parallellogram er gitt som på figuren. P er et 

punkt på diagonalen AC. EG og FH er parallelle 

med sidene i parallellogrammet og går gjennom P. 

a. Finn par av trekanter med like stort areal på 

figuren. 

b. Vis at arealene av de to parallellogrammene 

EBFP og HPGD er like store. 

1.9.7 

To kvadrater er hengslet sammen i det ene hjørnet. Det er 

trukket linjestykker mellom hjørner i de to kvadratene, slik 

figuren viser. Vis at arealene av de to trekantene som 

framkommer, er like store. Konstruer en regulær trekant, 

firkant, sekskant, åttekant og 12-kant. 

1.9.8 

Del ved konstruksjon linjestykket AB = 13 cm i 7 like store stykker. 

1.9.9 

a. Avsett et nytt linjestykke PS = 16 cm. Punkt Q ligger på PS slik at PQ : QS = 3 : 2, og 

punkt R ligger på QS slik at QR : QS = 2 : 3. 

b. Konstruer punktene Q og R på PS. 

c. Regn ut PR. 

1.9.10 

Gitt et linjestykke a: |---------------------------| 

a. Konstruer 2 a og 5 a . 

b. Konstruer en trekant ABC slik at AC = 8 a, 

BC = 3 a og ∠C = 90°. 

c. Finn AB uttrykt ved a. Kontrollmål! 

1.9.11 

Lenker til løsningsforslag: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 



A 

D G 

P 

C 

H 

F 

E 

B

1.10 Egenskaper ved sirkler 

En sirkel med sentrum i O og radius r er altså det geometriske sted for de punktene som har 

avstanden r fra punktet O. Selve sirkelen omtales også som sirkelperiferien. En bue er en 

sammenhengende del av sirkelperiferien. 

Korde 

Diameter Sekant 

Tangent 

En korde i en sirkel er et linjestykke med endepunkter på sirkelen. En diameter i en sirkel er 

en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En radius i en sirkel er et linjestykke fra 

sentrum til et punkt på sirkelen. En sekant er en rett linje som skjærer sirkelen. En tangent til 

sirkelen er en rett linje som har ett punkt – berøringspunktet eller tangeringspunktet - felles 

med sirkelen. Du kan tenke på en tangent som grensestillingen for en sekant når de to 

skjæringspunktene nærmer seg hverandre. Vi gjengir en del setninger om sirkler uten bevis: 

Setning 1.10.1. 

i. Midtnormalen på en korde går gjennom sirkelens sentrum 

ii. En radius som står normalt på en korde, halverer korden. 

iii. To like buer svarer til like lange korder. 

iv. En tangent står normalt på radien til tangeringspunktet. 

1.10.1 Thales setning om periferivinkler 

La C være en sirkel med sentrum i O. En vinkel med toppunkt i O kalles en sentralvinkel i 

sirkelen C, mens en vinkel med toppunkt på C og bein som skjærer C, kalles en 

periferivinkel i C. 

Setning 1.10.2: Thales setning: Hvis en periferivinkel og en sentralvinkel skjærer av samme 

bue, er periferivinkelen halvdelen så stor som sentralvinkelen. Spesielt legger vi merke til at 

alle periferivinkler over samme bue er like store. 

Bevis. Jfr. figuren. Trekanten AOB er likebeint, og derfor er 

∠ OAB =∠ OBA. 

∠ AOC er ytre vinkel i ∆ AOB og derfor lik 

∠ OAB+∠ OBA= 2 ⋅∠ ABC . Sentralvinkelen ∠ AOC er derfor det 

dobbelte av periferivinkelen ∠ ABC . 

Et viktig spesialtilfelle er følgende: 

Korollar 1.10.3. En periferivinkel som spenner over en diameter i sirkelen, er 

rett. 

v 

v 

A 

u O 

MA-132 Geometri 30 Byrge Birkeland 

B 

P

1.10.2 Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. 

Korollaret etter Thales setning og setningen om at en tangent 

står normalt på en radius kan vi bruke til å konstruere 

tangenten til en sirkel C med sentrum i O fra et punkt P utenfor 

sirkelen, se figuren til høyre. 

Vi konstruerer først midtpunktet M på linjestykket O. Så slår vi 

en sirkel C2 med sentrum i M og radius OM=MP. De to 

sirklene har skjæringspunkter A og B. P.g.a. korollaret til 

Thales’ setning er vinklene ∠ OAP og ∠ OBP rette. Men OA 

og OB er radier i C, så da må AP og BP være tangenter. 

1.10.3 Trekant med gitt side og motstående vinkel 

Thales setning er en av de mest brukte 

setningene i elementære geometrioppgaver. 

La oss se på en annen anvendelse. Du skal 

konstruere en trekant, og får oppgitt en side 

AB i trekanten og dessuten den motstående 

vinkelens størrelse v. Spørsmålet er hvor det 

tredje hjørnet kan ligge. Svaret er at det må 

ligge på en sirkel der AB er en korde som 

spenner over en bue som tilsvarer en sentralvinkel 

på 2 ⋅ v . Denne kan forholdsvis lett 

konstrueres slik som på figuren til høyre. 

Tenk igjennom konstruksjonen! 

90-v 

v 

1.10.4 Sirkelens omkrets og areal. 

Arealet av sirkelsektorer og -segmenter. 

Å beregne sirkelens areal hører egentlig hjemme i en helt annen matematisk disiplin enn 

elementær geometri, nemlig matematisk analyse. Her skal vi derfor bare minne om at 

omkretsen av en sirkel er proporsjonal med diameteren: Omkrets = 2⋅π⋅ 

r, 

og at 

proporsjonalitetsfaktoren er et irrasjonalt tall som kalles π (pi). De første sifrene i π er 

2 

3.1415926535897932…. Areal av en sirkel med radius r er π ⋅ r . Opp igjennom historien har 

man beregnet størrelsen på π stadig mer nøyaktig, og i våre dager er det ingen grenser hvor 

nøyaktig den kan beregnes. 

1.10.5 Et punkts potens med hensyn på. en sirkel 

Potensen til et punkt P med hensyn på en sirkel er definert slik: Trekk en sekant gjennom P, 

og finn avstandene d1 og d2 fra punktet P til hvert av skjæringspunktene med sirkelen. Da er 

potensen til punktet med hensyn på sirkelen definert som d1⋅ d2. 

For at dette skal ha mening, 

må vi vise at potensen er uavhengig av hvilken korde v i trekker. 

Setning 1.10.4. La P være et punkt som ikke ligger på en sirkel med radius r og sentrum i O, 

og la d være avstanden fra P til O. Hvis P ligger utenfor sirkelen, vil produktet av avstandene 

fra P til de to skjæringspunktene mellom sirkelen og en sekant gjennom P som skjærer 

sirkelen – punktets potens med hensyn på sirkelen -, være uavhengig av hvilken korde som 

2 2 

brukes. Hvis P ligger innenfor sirkelen, er potensen r − d . Hvis P ligger utenfor sirkelen, er 

2 2 

potensen d − r , og potensen er lik kvadratet av lengden av tangentstykket mellom P og 

sirkelen. 


63.0 ° 

C 

O 

B 

A 

M 

63.0 ° 

C2 

P 

63.0 °

A 

D 

F 

O 

A O 

OP=d PO=d Q 

P 

r 

P 

D 

E 

C 

C B 

Bevis. Vi ser først på det tilfellet at P ligger innenfor sirkelen, jfr. figuren til venstre nedenfor 

Vi trekker to korder AB og CD gjennom P. Da er ∠ ACD og ∠ ABD periferivinkler over 

samme bue AD og dermed like, mens ∠ CAB og ∠ CDB er periferivinkler over samme bue 

AP DP 

CB og dermed like. Derfor er ∆CAP∼ ∆BCP 

, og dermed er = og derfor 

PC PB 

AP⋅ PB= PC⋅ PD . Det viser at potensen er uavhengig av hvilken korde som brukes. Spesielt 

kan vi se på en diameter, altså en korde gjennom sentrum O. Hvis der avstanden fra P til O er 

2 2 

r−d ⋅ r+ d = r − d 

potensen definert ved hjelp av denne korden ( ) ( ) 

La oss så se på det tilfellet at punktet P ligger utenfor sirkelen. Vi finner at ∠ PBD=∠ PCA 

AP DP 

som periferivinkler over samme bue AD, og dermed at ∆PBD∼ ∆PAC 

. Da må = og 

PC PB 

dermed PA⋅ PB= PD⋅ PC . Spesielt kan vi se på sekanten gjennom sentrum i sirkelen. Da blir 

2 2 

potensen ( d −r) ⋅ ( d + r) = d − r . La oss så trekke en tangent til sirkelen fra P til 

tangeringspunktet T. Da blir ∆ POT rettvinklet, og Pythagoras’ setning gir 

2 2 2 

PT = d − r = d −r ⋅ d + r . Potensen er altså lik kvadratet av tangentstykket PT. . 

( ) ( ) 

1.10.6 Mellomproporsjonalen 

Et gammelt problem er rektanglets kvadratur: Gitt et rektangel med sider a og b, finn et 

2 

kvadrat med samme areal, altså et kvadrat med side x slik at x 

spørsmålet kan besvares ved en av to mulige konstruksjoner: 

= a⋅ b eller x = a⋅ b. 

Dette 

x 

D 

AC=a CB=b A'C'=a C'B'=b 

A O C B A' O' C' B' 

I figuren til venstre avsetter vi de to lengdene a og b etter hverandre: AC=a og CB=b på en 

linje og finner midtpunktet på linjestykket AB. Vi trekker så en sirkel med denne som 

diameter .og oppreiser en normal i punktet C. Denne skjærer sirkelen i D. Nå er 

∠ ADB =∠ DCB = 90° 

og ∠ CAD =∠ CDB fordi vinkelbeina står parvis normalt på 

AC a CD x 

hverandre. Da er ∆ ACD og ∆ DCB formlike, og derfor er = = = 

CD x CB b 


T 

D' 

x' 

B

På figuren til høyre avsetter vi først a=A’B’ og deretter i motsatt retning b=B’C’ .Så 

konstruerer vi en sirkel med A’B’ som diameter. Vi oppreiser en normal i C’; denne skjærer 

sirkelen i D’. Vi har da to formlike trekanter ∆ ABD ' ' ' og ∆ DBC ' ' ', 

og da er 

AB ' ' a BD ' ' x 

= = = . Konstruksjonen som løser problemet med rektanglets kvadratur ser 

BD ' ' x BC ' ' b 

da slik ut: 

12.01 cm² 

12.01 cm² 

1.10.7 Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant 

Setning 1.10.3. Halveringslinja for en vinkel i en trekant skjærer den motstående sida i 

samme forhold som de hosliggende sidene i trekanten 

Bevis. CD er halveringslinja for ∠ BCA . BE trekkes parallell med 

AC. Da er ∠ ACE =∠ CEB som samsvarende vinkler. Da er ∆ CEB 

likebeint, og EB=BC. Trekantene ∆ EBD og ∆ ADC er formlike, og 

BD EB BC 

= = . 

AD CA CA 

Denne setningen er ofte brukt i elementære geometrioppgaver. 

1.11 Trigonometriske funksjoner 

La ABC være en rettvinklet trekant, der B er den rette 

C' 

vinkelen. Hvis AB’C’ er annen rettvinklet trekant der B’C’ er 

parallell med BC og dermed ∆ABC ∼ ∆AB'C', 

følger det av 

C 

BC BC ' ' 

transversalsetningen at = . Det betyr at når vinkelen 

AC AC ' 

A er den ene vinkelen i en rettvinklet trekant, så er forholdet 

A B B' 

mellom den motstående kateten og hypotenusen uavhengig av trekantens størrelse, og derfor 

bare avhengig av vinkelen. Dette forholdet defineres som sinus til vinkelen, og sin A er et 

eksempel på en trigonometrisk funksjon. Det finnes flere av dem, nemlig cosinus, tangens, 

og mer sjeldent brukt, cotangens, secans og cosecans. De er definert slik: 

BC motstående katet AB hosliggende katet 

sin A = = , cos A = = , 

AC hypotenus 

AC hypotenus 

BC motstående katet 

1 

1 

1 

tan A = = , cot A = , sec A = , cosec A = 

AB hosliggende katet tan A cos A sin A 


A 

u 

D 

E 

C 

u 

B

Disse definisjonene av de trigonometriske funksjonene gir 

bare mening når vinkel ligger mellom 0 og 90° . For andre 

vinkler defineres funksjonene slik: Tegn en sirkel med 

radius 1. For en gitt vinkel v, la den positive x-aksen være 

det ene vinkelbeinet. Roter den positive x-aksen vinkelen v 

for å få det andre vinkelbeinet. La skjæringspunktet P med 

enhetssirkelen ha koordinater x og y. Da er de 

trigonometriske funksjonene definert slik 

y x 

sin v = y, cos v = x, tan v = , cot v = , 

x y 

1 1 

sec v = , cosec v = 

x y 

De trigonometriske funksjonene er et viktig verktøy for å finne vinkler i geometrioppgaver. 

Grunnen er at verdiene av dem er beregnet i detalj, og er tatt med på de fleste kalkulatorer. 

Kalkulatorene inneholder også de inverse til de trigonometriske funksjonene. Det vil si: Gitt 

for eksempel at sinv = 0.5, 

hvor stor er v? De inverse trigonometriske funksjonene skrives 

tradisjonelt Arcsin, Arccos, Arctan osv. i matematikken, men på kalkulatorer skrives de som 

−1 −1 − 1 

regel som sin ,cos ,tan osv. Nå fins det mange vinkler som har samme verdi av sinus, 

eller cosinus eller tangens. For eksempel er sin30°= sin150° 

og 

cos30°= cos330°= cos( − 30 ° ) . Det har derfor vært nødvendig å velge hvilke intervaller de 

inverse trigonometriske funksjonene skal ligge i. Resultatet er Arcsinv∈− [ 90 ° ,90° 

] , 

Arccosv∈ [ 0,180 ° ° ] , Arctanv∈ − 90 ° ,90° 

. 

Studiet av de trigonometriske funksjonene er et ganske omfattende emne, og vi skal ikke gå 

inn i alle detaljer. Det er pensum i 2. klasse i videregående skole, og de vanligste formlene 

står i matematiske tabeller for videregående skole. I vår sammenheng er det stort sett nok å 

kunne definisjonene, forstå de to trigonometriske setningene sinussetningen og 

cosinussetningen, og å kunne bruke de trigonometriske funksjonene på kalkulatoren. 

1.11.1 Areal av sirkelsektor og sirkelsegment 

En sirkelsektor er begrenset av to radier i sirkelen og 

buen som begrenses av dem. Et sirkelsegment er 

Sirkelsektor Sirkelsegment 

begrenset av en korde og den buen som begrenses av 

korden. Arealet av en sirkelsektor kan beregnes når du 

kjenner vinkelen som buen utspennes. Arealet vil da 

forholdet seg til arealet av hele sirkelen som denne 

v 2 

vinkelen forholder seg til 360° : A= ⋅πr 

. 

360° 

v u 

Arealet av et sirkelsegment kan da beregnes som differensen mellom arealet av en sirkelsektor 

u 2 1 ⎛u⎞ ⎛u⎞ ⎛ u 1 ⎞ 2 

og en trekant: A= ⋅πr −2⋅ r⋅cos⎜ ⎟⋅r⋅ sin⎜ ⎟ = ⎜ ⋅π − sin u⎟r . Her har vi 

360° 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝360° 2 ⎠ 

brukt formelen sin2v = 2sinvcosv, som er en av de elementære trigonometriske formlene 

som du kan finne i matematiske formelsamlinger. 


P 

y 

1 

x 

y 

v 

x

1.12 Noen egenskaper ved trekanter 

1.12.1 Omsirkelen til en trekant 

Setning 1.12.1. Midtnormalene på sidene i en trekant 

skjærer hverandre i ett punkt, trekantens omsenter. 

Bevis.. Sentrum i en sirkel som skal gå gjennom A og B, må ligge 

like langt fra A og B og derfor på midtnormalen på AB. Det må 

også like langt fra B og C og derfor på midtnormalen på BC. 

Skjæringspunktet mellom disse normalene ligger da like langt fra 

A, B og C og derfor spesielt like langt fra A og C, dvs. på 

midtnormalen på AC. 

1.12.2 Sinussetningen 

Setning 1.12.2: Sinussetningen. I en vilkårlig trekant ABC er lengdene av sidene a=BC, 

a b c 

b=AC, c=AB og radius i den omskrevne sirkelen R. Da er = = = 2R 

sin A sinB sin C 

Bevis. Vi trekker en diameter gjennom B og O som skjærer 

c 

omsirkelen i D. Da er ∆ DAB rettvinklet, så sin ∠ ADB = . 

2R 

Men ∠ ADB og ∠ C er periferivinkler over samme bue AB og 

c c 

derfor like. Det betyr at sin C = eller = 2R 

. Vi kan 

2R 

sin C 

gjøre akkurat det samme med hjørnene A og B, slik at 

a b c 

= = = 2 R. 

. 

sinA sinB sin C 

1.12.3 Cosinussetningen eller den utvidede Pythagoras’ setning 

Setning 1.11.3: Cosinussetningen. La ABC være en trekant med sider a, b og c motstående 

2 2 2 

til vinklene A, B og C. Da gjelder c = a + b −2⋅a⋅b⋅ cosC 

Bevis. På figuren ser vi at 

BD = BC + CD = a+ b⋅ cos( 180°− v) = a−b⋅ cos v og 

c 

AD = b⋅ sin( 180°− v) = b⋅ sinv. 

v b 

Pythagoras’ setning gir da: 

B a 

C 

2 

c = a−b⋅ cosv 2 2 2 2 2 2 2 

+ b ⋅ sin v = a −2a⋅b⋅ cosv+ b cos v+ b sin v = 

( ) 2 

2 2 

a + b − ⋅a⋅b⋅ v 

2 cos . Altså er: 

2 2 2 

c a b 2 a b cosv 

= + − ⋅ ⋅ ⋅ . 

1.12.4 Herons formel for arealet av en trekant 

1 

Hvis ABC er en trekant med sider a, b og c, og s = 2 ( a+ b+ c) 

er halve 

omkretsen, er arealet er gitt ved formelen A= s( s−a)( ⋅ s−b)( ⋅ s− c) 

. 

Dette er bevist i en oppgave nedenfor. 


A 

A 

b 

D 

c 

b 

c 

O 

C 

a 

B 

C 

a 

A 

D 

B

1.12.5 Innsirkelen til en trekant 

Setning 1.12.4. Halveringslinjene for vinklene i en trekant går gjennom ett punkt, 

innsenteret, og dette punktet er sentrum i trekantenes innskrevne sirkel eller innsirkel. 

Bevis. Halveringslinja for vinkel A består av alle punkter 

som har samme avstand til linjene AB og AC. 

Halveringslinja for vinkelen B består av alle punkter som 

har samme avstand til linjene BA og BC. Skjæringspunktet 

har da samme avstand til AB, AC og BC. Spesielt har det 

samme avstand til CA og CB, og ligger derfor på 

halveringslinja for vinkel C. 

Legg merke til at radius i innsirkelen må konstrueres 

særskilt. Du må nedfelle normalen fra innsenteret på en av 

sidene. 

Du kan finne radien i innsirkelen ved å sette opp to uttrykk for arealet av trekanten. Det ene 

kan være beregnet ved hjelp av formelen 1 

2 g⋅ h eller på annen måte, avhengig av hvilke 

opplysninger som er gitt. Det andre uttrykket er summen av arealene av trekanter, alle med 

1 

2A 

radien i innsirkelen som høyde: A= 2 ( a+ b+ c) r. 

Vi får da r = . 

a+ b+ c 

1.12.6 Høydene i en trekant 

Setning 1.11.5. Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett 

punkt. 

Bevis. Se figuren til høyre. Vi trekker en linje gjennom C 

parallelt med AB, en linje gjennom B parallelt med AC og en 

linje gjennom A parallelt med BC. Da får vi fire kongruente 

trekanter og en trekant A’B’C’ dere disse parallellene er sidene. 

Omsirkelen til ∆ ABC ' ' ' har som sentrum skjæringspunktet 

mellom høydene i ∆ ABC . 

Høydenes skjæringspunkt kalles trekantens ortosenter. 

C' 

1.12.7 Medianene i en trekant 

En median i en trekant er et linjestykke som forbinder et hjørne med midtpunktet på den 

motstående sida. 

Setning 1.12.6. Medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, 

og deler hverandre i forholdet 2:1. 

Bevis. La R, S og T være midtpunktene på hhv. AB, BC og CA. 

Skjæringspunktet mellom CR og TB er G. Trekantene ABC og ART 

må være formlike p.g.a. transversalsetningen. Da må RT:BC=1:2. 

Videre må trekantene RGT og CGB være formlike, så 

RT:BC=RG:GC=1:2. Da er RG=RC/3. 

La så H være skjæringspunktet mellom CR og AS, jfr. den øverste 

trekanten på figuren. Vi finner på nøyaktig samme måte som 

ovenfor at RH=RC/3. H og G må da være det samme punktet. 

Medianenes skjæringspunkt kalles også for trekantens 

tyngdepunkt eller gravitasjonssenter. Hvis trekanten er laget av 


A' 

C 

B 

B' 

O 

A 

B' 

C 

C 

C' 

C 

B 

A 

T 

H 

S 

A R B 

T 

G 

S 

A R B 

A'

et homogent materiale, vil den balansere hvis den understøttes i tyngdepunktet. 

1.13 Egenskaper ved firkanter 

1.13.1 Varignons setning 

Setning 1.12.1. Midtpunktene på sidene i en firkant danner hjørnene i et parallellogram. 

Bevis. La firkanten være ABCD og midtpunktene være PQRS, jfr. 

figuren. Av transversalsetningen følger at SP||BD||RQ, og 

PQ||AC||SR. 

1.13.2 Sykliske firkanter 

En firkant som kan innskrives i en sirkel, kalles en syklisk firkant. 

Setning 1.12.2. En firkant er syklisk hvis og bare hvis summen av motstående vinkler i 

firkanten er 180° . 

Bevis. Anta at firkanten ABCD er syklisk, og at den deler sirkelen i 

buene x=DA, y=AB, u=BC og v=CD. Thales’ setning 

1 

1 

A u v ∠ C = x+ y og dermed 

∠ = 2 ( + ) og 2 ( ) 

A C 1 ( u v x y ) 360° 

∠ +∠ = + + + = = °. Da må også 

∠ B+∠ D = 180°. 

2 2 180 

1.13.3 Det gylne snitt 

Du kan lese en artikkel om det gylne snitt i det norske Wikipedia her 

http://no.wikipedia.org/wiki/Det_gylne_snitt 

h b 

Når et rektangel med sider h og b har en slik form at = , sies rektanglet å være et 

b h− b 

gyllent rektangel. Da er det altså slik at bredden er mellomproporsjonalen mellom høyden og 

differensen mellom høyden og bredden. Denne formen på et rektangel har tradisjonelt av 

mange vært ansett som den optimale formen på et lerret som brukes til et maleri. Du vil finne 

formen igjen på mange klassiske malerier. Den dukket også opp i romanen ”Da Vinci-koden”. 

b h−b b h 

Vi snur brøkene på hodet = eller = − 1, 

setter 

h b h b 

h 

b = x og får 1 

= x − 1 og 

x 

2 

1 

x −x− 1= 0. 

Dette er en annengradsligning med løsningen x = 2 ( 1± 5) 

. Vi må ha et 

1 

positivt tall som løsning, så 2 ( ) 

2⋅( 5 −1) 

( 5 + 1) ⋅( 5 −1) 

x = 1+ 5 ≈ 1.618 , og vi finner 

( ) 

1 1 

= = 5 −1 ≈ 0.618 . Den siste verdien går under navnet ψ - psi. 

x 

2 


A 

x 

A 

S 

P 

D 

B 

y 

D 

Q 

v 

R 

B 

C 

C 

u

La oss nå se på konstruksjonen av det gylne snitt: Vi starter med å konstruere et rettvinklet 

trekant ABC, der AB er det gitte sida s og AC er halvdelen av 

denne. Etter Pythagoras’ setning er da 

D 

BC = s 

2 2 

+ s = 1 2 2 

s + 4s = 1s 

1 

5. 

Siden AC = s, 

må 

C 

1 

BE BF s 

( ) ( ) 

2 4 2 

( ) 

= = 2 5−1 ≈ 0.618. 

Det betyr at ABFD er et gyllent 

rektangel. 

1.13.4 Regulær tikant og femkant 

Konstruksjonen av en regulær tikant henger sammen med det gylne snitt. Vi ser på en regulær 

tikant med side s og tar ut en trekant ABC, der A og B er hjørner i tikanten og C er sentrum i 

den omskrevne sirkelen, som har radius r. ABC er da en likebeint trekant med toppvinkel 

360 

1 

36 

180°− 36° = 72°. 

Vi konstruerer så en ny 

10 

° = °. Vinklene ved grunnlinja blir da ( ) 

2 

likebeint trekant ABD der AB=AD. Da blir ∠ CAD = 72°− 36°= 36°, 

slik at også ∆ CAD er 

AB s BD r −s 

likebeint og AB = AD = CD = s. 

Da blir ∆BDA∼ ∆ABC 

, og vi får = = = . 

AC r AB s 

rs er forhold som det gylne snitt. Konstruksjonen av en regulær tikant 

Det betyr at paret ( , ) 

og dermed også femkant går derfor som på figuren til høyre nedenfor. 

C 

3.6 

A 

C 

B 

r 

36.0 ° 

36.0 ° 

s 

D 

72.0 ° 

72.0 ° 

A B 

36.0 ° s 

s 

1.13.5 Papirformat 

Vanlige A4-ark er ikke et gyllent rektangel. Prinsippet for A-formatene er slik: I utgangspunktet 

er et A0-ark på 1 m 2 . For å komme fra et papirformat til det neste skal arket bare deles 

på midten. Det betyr at kortsida x må være mellomproporsjonalen mellom langsida a og halve 

a langsida 2 . Da må 

A0-ark må da være gitt ved at 

blir da 

4 4 

( 2 ) 

2 a 1 2 

a a 

x = a⋅ 2 = 2a 

og x= = 2 2 eller a= 2⋅ 

x. 

Den lengste sida s i et 

s m 

2 

s 2 

4 ⋅ = 1 og 2 1.189 

2 


2 

s = m≅ m. 

Den lengste sida i et A4-ark 

4 2 2 

2 

m= m≈ 297 mm , mens kortsida blir ≈ 210mm 

. 

4 

4 

4 2 

Ta for deg et A4-ark og kontroller at dette stemmer. 

A 

E 

F 

B

1.13.6 Firkant og trekant med samme areal 

Gitt en firkant ABCD. Du får i oppgave å konstruere en trekant med 

samme areal. Løsningen ser du på figuren til høyre. Vi konstruerer en 

parallell med diagonalen DB gjennom C. Enhver trekant med 

grunnlinje DB og det tredje hjørnet på denne parallellen må da ha 

samme areal som trekanten DBC. Spesielt kan vi se på trekanten DBE, 

der E er skjæringspunktet mellom parallellen og AD. ∆ ADB er felles 

for ABCD og ABDE , og vi må ha 

( ABE) = ( ABD) + ( DBE) = ( ABD) + ( DBC) = ( ABCD) 

1.14 Oppgaver 

1.14.1 

Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. 

1.14.2 

A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel på 

45° og hvis bein går gjennom A og B. 

1.14.3 . 

A og B er to punkter i planet med avstand 6 cm. Du skal konstruere en trekant ABC der 

∠ C = 30°. 

a. Arealet av ∆ ABC skal være 21 cm 2 . Konstruer trekanten. 

b. Arealet av ∆ ABC skal være maksimalt. Konstruer ∆ ABC . 

1.14.4 

Av alle trekanter ABC der størrelsen av ∠ A og BC er gitt, vil den likebeinte trekanten med A 

som toppunkt være den som har størst areal. Hvorfor? 

1.14.5 

De to linjestykkene a og b er lik 4 og 7 cm. Konstruer mellomproporsjonalen mellom a og b 

1.14.6 

Et rektangel har sider 5 og 9 cm. Konstruer et kvadrat med like stort areal 

1.14.7 

Du har gitt to kvadrater, Konstruer et nytt kvadrat med areal lik summen av de to. 

1.14.8 

Gitt en vinkel, der beina skjærer en sirkel og skjærer over buer på henholdsvis x og y (grader). 

Uttrykk størrelsen av vinkelen v, i de to tilfellene at vinkelens toppunkt er utenfor eller inni 

sirkelen. Se figuren i neste oppgave. 

1.14.9 

En korde-tangent-vinkel har størrelse v. Vis at den skjærer av en bue på 2v. 


D 

E 

C 

A B

x 

y 

v 

x 

v 

1.14.10 (Eksamen i grunnskolen 1991) 

a. Slå en sirkel med radius 4,0 cm, og kall sentrum i sirkelen S. Sett av to punkter A og B på 

sirkelperiferien slik at AB blir 120° . 

b. Konstruer en tangent til sirkelen i punkt A og en tangent i punkt B. 

Forleng tangentene til de skjærer hverandre. Kall skjæringspunktet for T. 

c. Regn ut AT 

Forleng linjestykket TS slik at det skjærer sirkelen. Kall dette skjæringspunktet for R. 

d. Tangenten i R skjærer forlengelsen av TA i punktet D og TB i punktet C. Vis at trekanten 

TSB er formlik med trekant TDR. 

e. Regn ut CD. 

1.14.11 Tangentkonstruksjoner 

a. Slå en sirkel med radius 3,5 cm om et punkt O. Avsett AO=7,0 cm, og konstruer tangenten 

til sirkelen gjennom A 

b. Trekk ei linje m gjennom A og O. Punktet B ligger på m utenfor sirkelen slik at AB>AO og 

1 

slik at linja m og tangenten gjennom B danner en vinkel på 67 2 ° . Konstruer denne 

tangenten. 

c. Tangenten gjennom A og tangenten gjennom B skjærer hverandre i punkt C slik at vinkel 

C er spiss. Regn ut ∠ ACB . 

1.14.12 

Sidene i en firkant ABC har lengder a, b og c., der a er motstående til A osv. Radius i den 

omskrevne sirkelen er R. Vis at følgende er uttrykk for arealet T av trekantene ABC: 

a. 

d. 

T = absin C 

1 

2 

abc 

T = 

4R 

1.14.13 

I en trekant ABC er følgende oppgitt. Du skal regne ut alle de tre sidene og de tre vinklene. 

a. A=4,7 cm, c=6,9 cm og ∠ C = 56°. 

b. c=7,2 cm, ∠ A = 51° 

og ∠ C = 72° 

c. ∠ B = 48°, 

a=8,0 cm og c= 5,3 cm. 


y 

v

1.14.14 

Gitt trekanten 

A 

b 

c 

C 

a 

B 

a. Vis at a= b⋅ cosC+ c⋅ cos B 

b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise at sinA= sinB⋅ cosC+ sinC⋅ cos B 

1.14.15 

Gitt en trekant ABC. 

a. Konstruer en sirkel S1 som går gjennom A og som tangerer linja BC i B 

b. Konstruer en sirkel S2 som går gjennom A og tangerer BC i C. 

c. Vis følgende: Dersom S1 har radien s og S2 har radien t, så er st=R2, der R er omradius til 

ABC. 

1.14.16 

I en trekant ligger omsenteret på en av sidene i trekanten. Hva kan vi si om denne trekanten? 

1.14.17 

Forklar at omsenteret og ortosenteret til en stumpvinklet trekant ligger utenfor trekanten. 

1.14.18 

Gitt en trekant ABC. Konstruer en ny trekant DEF med sider lik medianene i ABC. Undersøk 

forholdet mellom arealene av de to trekantene. 

1.14.19 

Er en trekant med to like lange medianer en likebeint trekant? Begrunn svaret. 

1.14.20 

Er en trekant med to like lange høyder en likebeint trekant? Begrunn svaret. 

1.14.21 

Vis at omradien i en trekant kan beregnes som R = abc 

4A 

, der a, b og c er sidene i trekanten og 

A er arealet av trekanten. Vink: Bruk sinussetningen. 

1.14.22 

En rettvinklet trekant har sider 3, 4 og 5. Regn ut innradien og omradien 

1.14.23 

Vis Herons formel for arealet av en trekant. Du kan gå fram slik: 

1 

a. Arealet er T = bc⋅ sin A 

2 

b. Cosinussetningen gir et uttrykk for cos A. 

c. Av a. og b. får du uttrykk for sin A og cos A. Disse settes inn i relasjonen 

2 2 

sin A+ cos A= 

1. 


d. Vis av dette at ( ) 2 

2 2 2 2 2 2 

T = bc − b + c − a 

16 4 

2 2 

x − y = 

e. Bruk konjugatsetningen ( x− y) ⋅ ( x+ y) 

1.14.24 

Tegn en vilkårlig trekant ABC, og trekk medianen AM. Halver nabovinklene AMB og AMC, 

og kall halveringslinjenes skjæringspunkter med AB og AC for henholdsvis P og Q. Bevis at 

PQ er parallell med BC. 

1.14.25 

a. Konstruer trekanten ABC, der AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. 

b. Halveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene x og y. Beregn disse stykkene. 

c. Gjenta utregningen når AB=c, BC=a og AC=b. 

1.14.26 

Konstruer en trekant der du har gitt to sider a og b og lengden av den mellomliggende 

vinkelens halveringslinje innefor trekanten. Hva er betingelsen for løsningen? 

1.14.27 

I trekanten ABC er ∠ C = 90°, 

∠ A = 30° 

og AB=s. Halveringslinja for ∠ C deler AB i to 

stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier. 

1.14.28 

Konstruer en trekant der forholdet mellom to sider er 3:4., den mellomliggende vinkelen er 

75°, og lengden av denne vinkelens halveringslinje innenfor trekanten er 5 cm. 

1.14.29 

Gitt et trapes ABCD med parallellsidene AB og CD. Diagonalene skjærer hverandre i E, og 

sidene AD og BC skjærer hverandre i F. Bevis at den rette linja EF halverer AB og CD. 

1.14.30 

I en sirkel med radius 5 cm er innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange 

sidene, og ∠ C = 45°. 

a. Konstruer trekanten, og regn ut sidene, Høyden fra C på AB forlenges til den skjærer 

sirkelen i E. 

b. Finn arealet av firkanten AEBC 

1.14.31 

I en trekant ABC er AB=10 cm, BC=6 cm, høyden fra C på AB er 3 3 cm, og ∠ B er spiss. 

a. Konstruer trekanten og den innskrevne sirkelen i trekanten. 

b. Hvor lang er siden AC? 

c. Hvor lang er radius i den innskrevne sirkelen? 

1.14.32 

a. Konstruer et trapes ABCD der avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD er lik et 

gitt linjestykke a: |------------------------------|, ∠ BAD = 90° 

og ∠ BAC = 30°. 

Diagonalene skjærer hverandre i punktet E slik at AE:EC=2:1. 

b. Finn diagonalene AC og BD uttrykt ved a. 


.

1.14.33 

Konstruer en firkant ABCD der AB=6 cm, BC=4 cm, AD=7,5 cm, CD=5 cm og diagonalen AC 

er 8 cm. Halver vinklene B og D, og bevis at halveringslinjene må slkjære hverandre på AC. 

Hvor langt ligger dette skjæringspunktet fra A? Undersøk tilsvarende halveringslinjene for 

vinklene A og C. 

1.14.34 

På en linje l er merket av to punkter A og B. En annen linje m skjærer l utenfor AB. Finn det 

punktet P på m som gjør vinkelen APB så stor som mulig. 

1.14.35 

Gitt et kvadrat ABCD med side 4 cm. Finn midtpunktet M på BC, og bestem ved konstruksjon 

et punkt P på siden CD slik at vinkelen APM blir så stort som mulig. Regn så ut avstanden CP 

både i eksakt form og i cm med to desimaler. 

1.14.36 

På en 54 m høy holme står et 42 m høyt fyrtårn. Hvor langt fra tårnets fotpunkt i vannflatens 

nivå må en ro ut for å se tårnet under størst mulig vinkel, forutsatt at en kunne ha øyet i 

vannflaten? 

1.14.37 

r a. Gitt en sirkel med radius r og et punkt P i en avstand 2 fra sentrum. Konstruer gjennom P 

en korde som blir delt av P i forholdet 1:2. Regn ut den minste delen av korden. 

b. Gjenta konstruksjonen og beregningen når P har avstanden d fra sentrum. Hva er 

betingelsen for at oppgaven kan løses? 

1.14.38 

a. Gjør ved konstruksjon et gitt rektangel om til et like stort kvadrat. 

b. Gjør det samme med en gitt trekant 

1.14.39 

Gitt en vilkårlig femkant. Konstruer et like stort kvadrat. 

1.14.40 

Gitt en vilkårlig trekant. Konstruer en linje som er parallell med en av sidene og halverer 

trekantens areal. 

1.14.41 

Hva er den minste mulige verdien et punkts potens kan ha? For hvilke punkter har punktets 

potens denne verdien. 

1.14.42 

Hva er det geometriske sted for alle punkter hvis potens er konstant? 

1.14.43 

En sirkel med radius 3 cm er gitt. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier i svarene der du 

får kvadratrøtter, ikke tilnærmingsverdier. 

a. Konstruer en sekant som skjærer av buen AB = 90° 

av sirkelen. Regn ut lengden av 

korden AB. 


. Sett av et punkt C på sekanten utenfor B slik at BC = 2⋅ 

AB . Regn ut punktet C’s potens 

med hensyn på sirkelen, og regn ut lengden av tangentstykket fra C til sirkelen. 

c. Konstruer så en trekant ACD slik at hjørnet D ligger på sirkelen og DB blir halveringslinje 

for ∠ ADC . Regn ut sidene i trekanten, og finn ∠ C . 

1.14.44 Lenker til løsningsforslag 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 

1.15 Eksamensoppgaver i euklidsk geometri 

1.15.1 August 2003, oppgave 3 

Linjestykket a er gitt a 

Gitt et kvadrat ABCD der AB=a. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik at 

2 3 

AE = BF = a. 

AE og BF skjærer hverandre i M 

3 

a. Konstruer kvadratet ABCD. 

Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes 

ved a. 

b. Finn lengden av AM, BE og CE. 

c. Vis at firkant MECF er syklisk og konstruer omsirkelen 

d. Punktet Q ligger på AD slik at BQ halverer ∠ ABD . Finn lengden av AQ, DQ og BQ. 

e. AC skjærer omsirkelen til firkant MECF i punktet P. Finne lengden av AP. 

f. Finn lengden av CM. 

1.15.2 Mai 2002, oppgave 2 

Gitt sirkelen S1 og korden AB på S1. La C være et vilkårlig punkt på S1 forskjellig fra A og B 

og slik at lengden AC er større enn lengden BC. La M være midtpunktet på sirkelbuen ACB. 

La E ligge på linja gjennom AC slik at C ligger mellom A og E og CE=BC. La ∠ BEC = θ og 

S2 omsirkelen til ∆ ABE . 

a. Uttrykk ∠ BCA og ∠ BMA ved θ . Grunngi svaret. 

b. Grunngi at sentrum til S2 er M. 

c. Vis at D er fotpunktet for normalen fra M hvis og bare hvis AD = DC + CB . 

Anta nå at D er fotpunktet for normalen fra M, og la F være midtpunktet på AB. 

d. Vis at DF er parallell med halveringslinja til ∠ BCA . 

1.15.3 Mai 2001, oppgave 2 

a. Linjestykket a er gitt: a 

I kvadratet ABCD er sida lik a. 

1 

Punktene P og Q ligger på henholdsvis AB og BC slik at AP = BQ = 3 a. 

Konstruer kvadratet ABCD og vis hvordan du finner P og Q ved konstruksjon. 

Trekk linjene AC, AQ og DQ. 



ved a. 

b. Regn ut AC, DP og DQ 

c. DP og AQ skjærer hverandre i punktet R. Vis at trekant ARP og trekant ABQ er formlike. 

Regn ut AR. 

d. Diagonalen AC skjærer DQ i punktet S. Regn ut DS og SQ. 

e. Konstruer omsirkelen til trekant CDQ. 

Omsirkelen skjærer AC i punktet T. Begrunn hvorfor sirkelen også går gjennom R. Regn 

ut AT. 

1.15.4 Mai 2005, oppgave 3 

Et linjestykke a er gitt. _______a________________. I et trapes ABCD er AB og CD de 

 

parallelle sidene, og AB=3a, BC=2a, ∠ ABC = 60 . Diagonalen BD deler diagonalen AC i 

forholdet 3:2. 

a. Konstruer trapeset. 

I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved 

tilnærmingsverdier. 

b. Beregn avstanden fra hjørnet C til sida AB. 

c. Beregn lengden av diagonalen AC. 

d. Finn lengden av CD. 

e. Finne lengden av diagonalen DB. 

f. Kall diagonalenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene av DE og EB. 

g. Finn til slutt ∠ AED og lengden av AD. 

1.15.5 Mai 2000, oppgave 2 

a. Linjestykket a er gitt: a 

I trekanten ABC er AC=BC, og D er midtpunktet på AB. CD er 2a, og radien i innsirkelen 

a er 2 . Kall sentrum i innsirkelen for O. Konstruer trekanten. 


ved a. 

b. Innsirkelen tangerer AC i punktet E. Regn ut CE. 

c. Vis at trekanten EOC og trekantene DBC er formlike. Regn ut sidene i trekanten ABC. 

d. Den rette linjen gjennom A og O skjærer BC i punktet F. Regn ut BF og FC. 

e. Høyden CD skjærer sirkelen i et punkt K. Regn ut AK. 

f. L er det andre skjæringspunktet mellom AK og sirkelen. Regn ut korden KL. 

1.15.6 Mai 2000, oppgave 4 

Trekant ABC er gitt. Normalen fra punktet C på sida AB skjærer punktet AB i punktet D. 

Omsirkelen til trekant ABC har sentrum O og diameter CE, slik figuren viser. 

a. Vis at ∆ ADC og ∆ EBC er formlike 

b. Anta at i ∆ ABC er ∠ A større enn ∠ B . Vis at da gjelder ∠ DCE =∠A−∠ B. 


1.15.7 Mai 1996, oppgave 4 

Gitt en trekant ∆ ABC og en sirkel S gjennom 

C, som har sentrum O. CO skjærer AB i F. 

Sirkelen S skjærer BC i D, AC i E og CF i G. 

a. La CF være normal på AB. Vis at da er 

∠ FAC =∠ EGC og at ∆ ABC og ∆ DEC 

O 

D 

er formlike. Vis at firkant ABDE har en 

E 

omsirkel. 

b. Omvendt, la firkant ABDE ha omsirkel. 

Vis at da er ∆ ABC formlig med ∆ DEC . 

Undersøk om CF i dette tilfellet er normal 

G 

på AB. 

c. Formuler en setning på grunnlag av punkt 

A F 

a) og b), som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at firkant ABDE har en 

omsirkel. Knytt formuleringen til retningen til tangenten til S i C. 

1.15.8 Mai 1999, oppgave 4 

En sirkel er omskrevet en firkant ABCD, og diagonalene 

AC og BD står normalt på hverandre i punktet P. Ei linje 

gjennom P står samtidig normalt på ei av sidene i 

firkanten. For eksempel står ei linje gjennom P normalt 

på side BC i punktet F. Denne normalen PF skjærer AD i 

punktet G. Se figuren. 

a. Vis at ∠ DPG =∠ GDP . 

b. Vis at AG=GD. 

1.15.9 Mai 2003, oppgave 3 

Linjestykket a er gitt: a 

Gitt et trapes ABCD der AB||CD. AB=2a, og avstanden mellom de parallelle linjene er a. 

∠ BAD = 60°. 

Normalen til AB i B skjærer CD i E, og BC skjærer AE i forholdet 2:1 målt fra 

A. Normalen til AB i A skjærer CD i F. 

a. Konstruer trapeset ABCD. 


ved a. 

b. Finn lengden av AD, BC og CD. 

c. AE og BC skjærer hverandre i punktet H. Finn lengdene av AH og HE. 

d. Konstruer omsirkelen til trekant ADF, og finn lengden av radius i omsirkelen. 

Konstruer innsirkelen til trekant ABE, og finn lengden av radius i innsirkelen. 

e. Punktet T ligger på omsirkelen til trekanten ADF, på buen AD, slik at CT er tangent til 

omsirkelen. Finn lengden av CT. 

f. AD og BC skjærer hverandre i punktet G. Finn lengden av CG. 

1.15.10 Mai 2007, oppgave 1 

Et kvadrat ABCD har side lik s, som du velger selv. 


S 

B 

A 

F 

P 

C 

G 

C 

D 

B

E er midtpunktet på AB og F er midtpunktet på BC. Diagonalen BD skjærer AF i H. DE 

skjærer AF i G. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier og ikke erstatte røtter med 

tilnærmingsverdier. De ulike lengdene skal uttrykkes ved s. 

a. Tegn kvadratet. Regn ut AF. 

b. Hvorfor er trekantene AEG og AFB formlike? Regn ut lengden av AG, GF og DG. 

c. Hvor store er vinklene ABD og DBC? Regn ut AH og HF. 

d. Hvorfor vil CE gå gjennom H? 

1.15.11 Mai 2007, oppgave 2 

Gitt en sirkel med radius r og sentrum i S.: |________________________| 

I denne sirkelen skal det innskrives en firkant ABCD, der disse kravene skal være oppfylt: 

AB skjærer av en bue på 90°. Diagonalen AC er diameter i sirkelen. Diagonalen BD skjærer 

diagonalen AC i E, slik at AE : EC = 2 : 1. 

I alle utregninger nedenfor skal du bruke eksakte verdier, ikke tilnærmingsverdier, alle uttrykt 

ved r. 

a. Konstruer sirkelen og firkanten. 

b. Hvorfor er DB halveringslinje for ∠D ? Regn ut lengden av sidene i firkanten. 

c. Hva blir sidene i ∆SBE ? 

d. Regn ut DE. 

La høyden fra B på AD skjære AD i T, og høyden fra B på DC skjære DC (forlenget) i R. 

e. Hvorfor vil RT gå gjennom S? 

1.15.12 Mai 1994, oppgave 3 

Gitt et punkt P på en sirkel C og en linje L 

som ikke skjærer sirkelen C. Konstruer 

sirkler gjennom P som tangerer L og C. 

Anta at to slike sirkler tangerer L i T1 og 

T2. Vis at tangenten til C i P går gjennom 

midtpunktet på T1T2. 

1.15.13 Mai 1996, oppgave 4 

Gitt en trekant ∆ ABC og en sirkel S 

gjennom C, som har sentrum O. CO 

skjærer AB i F. Sirkelen S skjærer BC i D, AC 

i E og CF i G. 

a. La CF være normal på AB. Vis at da er 

∠ FAC =∠ EGC og at ∆ ABC og ∆ DEC 

er formlike. Vis at firkant ABDE har en 

omsirkel. 

b. Omvendt, la firkant ABDE ha omsirkel. 

Vis at da er ∆ ABC formlig med ∆ DEC . 


A 

S 

E 

F 

O 

G 

C 

O 

P 

C 

D 

L 

B

Undersøk om CF i dette tilfellet er normal på AB. 

c. Formuler en setning på grunnlag av punkt a) og b), som gir en nødvendig og tilstrekkelig 

betingelse for at firkant ABDE har en omsirkel. Knytt formuleringen til retningen til 

tangenten til S i C. 

1.15.14 Mai 1997, oppgave 2 

Gitt et punkt S i planet og en linje l som ikke går gjennom S. Normalen fra S på l skjærer l i 

v 

G. R er rotasjon om S en vinkel v. Anta at R ( l) = l'. 

v 

S 

a. Hvorfor er vinkelen mellom l og l’ lik v: ( , ') 

S 

∠ ll = v? 

Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten ABC er det tegnet tre likesidede trekanter 

∆AC' B, ∆ BA'Cog ∆ CB'A. b. Vis, for eksempel ved å se på en rotasjon om A med rotasjonsvinkel v = 60°, 

at 

CC' BB' 

∠ CCBB ' , ' = 60°. 

Kall skjæringspunktet mellom C’C og BB’ for F. 

= og at ( ) 

Vis at omsirkelen til ∆ AC'B går gjennom F. 

F kalles trekantens Fermatpunkt. 

c. Vis at ∠ AFC = 120°, 

og at firkanten AFCB’ er syklisk (dvs. at den har en omsirkel). 

Hvorfor er også ∠ CFB = 120°, 

og firkanten BA’CF også syklisk? 

Anta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene ∆AC' B, ∆ BA'Cog ∆ CB'A er P, Q 

og R henholdsvis. 

d. Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er ∆ PQR likesidet? 

1.15.15 Mai 1999, oppgave 3 

Gitt et linjestykke med lengde a: a 

I en sirkel med sentrum O og radius a 2 er det innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og 

BC er de like lange sidene, og ∠ C = 45°. 

a. Konstruer et linjestykke med lengde a 2 . 

Konstruer trekanten ABC (Har du ikke konstruert linjestykket med lengden a 2 , kan du 

måle lengden av a og – i selve konstruksjonen av trekanten ABC – bruke 

tilnærmingsverdien for radius). 

Kall fotpunktet for høyden fra C på AB for D 

b. Finn sidene i trekantene ABC uttrykt ved a. 

Forlengelsen av CD skjærer sirkelen i E. 

Punktet F ligger på sirkelen slik at AF er diameter. 

c. Vis at firkanten AEFC er et rektangel og at dette har like stort areal som firkanten AEBC. 

Forlengelsen av AE og forlengelsen av BC skjærer hverandre i G. 

Halveringslinja til vinkel AGC skjærer AC i H. 

d. Finn forholdet mellom AH og HC. 


1.15.16 Mai 2001, oppgave 4 

Gitt en sirkel med kordene PR og QR, der PR er den korteste, slik figuren viser. S er 

midtpunktet på buen fra P til Q via R, og 

normalen fra S på QR skjærer QR i T. Punktet 

V ligger på forlengelsen av QR slik at VT=TQ 

R 

og slik at R er mellom V og T. 

a. Fullfør konstruksjonen ut fra opplysningene 

ovenfor. Trekk PS, PQ, QS, SV og PV. Vis 

at trekantene VTS og QTS er kongruente. 

b. Vis at ∠ RPS =∠ RVS og at 

∠ SPQ =∠ SQP . 

c. Vis at trekant PSV er likebeint og at 

PR+ RT = TQ . 

1.15.17 August 2003, oppgave 3 

Linjestykket a er gitt 

a 

Gitt et kvadrat ABCD der AB=a. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik at 

2 3 

AE = BF = a. 

AE og BF skjærer hverandre i M 

3 

a. Konstruer kvadratet ABCD. 


ved a. 

b. Finn lengden av AM, BE og CE. 

c. Vis at firkant MECF er syklisk og konstruer omsirkelen 

d. Punktet Q ligger på AD slik at BQ halverer ∠ ABD . Finn lengden av AQ, DQ og BQ. 

e. AC skjærer omsirkelen til firkant MECF i punktet P. Finne lengden av AP. 

f. Finn lengden av CM. 

1.15.18 Mai 2005, Oppgave 3. 

Et linjestykke a er gitt. _______a________________. I et trapes ABCD er AB og CD de 

 

parallelle sidene, og AB=3a, BC=2a, ∠ ABC = 60 . Diagonalen BD deler diagonalen AC i 

forholdet 3:2. 

a. Konstruer trapeset. 

I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved 

tilnærmingsverdier. 

b. Beregn avstanden fra hjørnet C til sida AB. 

c. Beregn lengden av diagonalen AC. 

d. Finn lengden av CD. 

e. Finne lengden av diagonalen DB. 

f. Kall diagonalenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene av DE og EB. 

g. Finn til slutt ∠ AED og lengden av AD. 


P 

Q

1.15.19 Mai 2006, oppgave 3 

Gitt en sirkel med radius r. På en diameter AB ligger et punkt C slik at 

a. Konstruer figuren nedenfor og tangentene fra C til sirkelen. 

b. Tangeringspunktene er D og E. Beregn avstanden CD uttrykt ved r. 

c. Finn lengden av korden DE. 

d. Korden DE skjærer AB i F. Finn lengden av FB. 

3 

BC = r 

2 

1.15.20 Mai 2006, oppgave 4 

I en trekant ABC er AB=4a, BC=2a og AC=3a der a er linjestykket |________a__________|. 

Alle lengder i oppgaven skal uttrykkes ved hjelp av a. 

a. Konstruer trekanten. 

b. Finn arealet av ∆ ABC og ∠ A . 

c. Halveringslinja for ∠ B skjærer AC i D, og normalen på denne halveringslinja gjennom B 

skjærer forlengelsen av AC i E. Finn lengdene av AD, DC og CE. 

d. Konstruer innsirkelen til ∆ ABC , og finn radien i denne. 

e. Konstruer omsirkelen til ∆ ABC , og finn radius i denne. 

f. La midtpunktet på BC være F, og trekk AF. La skjæringspunktet mellom BD og AF være 

G, og trekk CG til skjæring med AB i punktet H. Vis så hvordan Cevas setning kan 

brukes til å finne lengdene av AH og HB. 

g. Beregn avstanden mellom innsenteret og omsenteret ved hjelp av Eulers setning. 

1.15.21 September 2006, oppgave 2 

a. Bruk svararket til oppgave 2. Ta utgangspunkt i den øverste trekanten ABC, der ∠ B er 

rett. Konstruer en parallell med AB gjennom C, og avsett et punkt E på denne parallellen 

slik at CB=CE, og slik at A og E ligger på hver sin side av BC. Trekk linja AE, og kall 

skjæringspunktet med BC for F. Konstruer en parallell med AB gjennom F, og kall 

skjæringspunktet med AC for G. Konstruer til slutt en parallell med BC gjennom G, og 

kall skjæringspunktet med AB for H. (Du skal ikke skrive forklaring til konstruksjonen.) 

b. Hvorfor er ∆ ABF og ∆ECF formlike? 

c. Hvorfor er ∆ ABC og ∆ GFC formlike? 

d. Bruk b) og c) til å bevise at FB=GF, slik at □ HBFG er et kvadrat. 

Vi skal nå generalisere konklusjonen i oppgave d) til å gjelde trekanter ABC som ikke 

nødvendigvis er rettvinklede. Ta utgangspunkt i den nederste figuren på svararket til oppgave 

2, der det er tegnet en vilkårlig spissvinklet trekant ABC. Konstruer normalen fra C på AB. La 


fotpunktet for normalen være D. Konstruer en parallell med AB gjennom C, og avsett et punkt 

E på denne slik at CE=CD, og slik at E og A ligger på hver sin side av CD. 

Trekk AE, og kall skjæringspunktet med BC for F. 

Trekk en parallell med AB gjennom F, og kall skjæringspunktet med AC for G. 

Trekk en parallell med CD gjennom G, og kall skjæringspunktet med AB for H. 

Trekk endelig en parallell med CD gjennom F, og kall skjæringspunktet med AB for I. 

e. Vis at □ HIFG er et kvadrat. (Vink: Se på ∆ AFG og ∆ AEC samt på ∆ AIF og ∆ AJE , 

der J er fotpunktet for normalen fra E på AB.) 


Gitt to sirkler, 1 C med radius 1 r og sentrum O, og 2 C med radius r2 og sentrum Q, som 

berører hverandre utvendig, og slik at r1 > r2. 

I tillegg til den felles tangenten gjennom 

berøringspunktet har de to sirklene en annen fellestangent som har tangeringspunkter P på 1 C 

og T på C 2 . Bruk svarark nr. 1 til oppgave 3.. 

2 

a. Trekk opp QR|| PT slik at R ligger på OP, og bevis at PT = 4rr 

1 2(Vink: 

Bruk 

Pythagoras). Forklar hvordan dette kan brukes til å konstruere et linjestykke med lengden 

PT, gitt r 1 og r 2 . 

QS QS + r1+ r2 

b. La S være skjæringspunktet mellom tangenten PT og linja OQ. Vis at = . 

r r 

2 1 

c. Vis hvordan resultatene ovenfor kan brukes til å konstruere fellestangenten til to sirkler 

som berører hverandre utvendig. Bruk svarark nr. 2 til oppgave 3. 

d. Konstruer fellestangentene til to vilkårlige sirkler med forskjellige radier som ikke skjærer 

eller berører hverandre. Jfr. svarark nr. 3 til oppgave 3. (Vink: Bevis en likhet som 

tilsvarer den i oppgave b.) 


Gitt et kvadrat ABCD. La E, F, G og H være punkter på hhv, CD, 

AB, DA og BC. Vis at hvis GH står normalt på EF, så er GH og 

EF like lange. 

1.15.24 Lenker til løsningsforslag: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 


D 

A 

G 

F 

E 

J 

I 

C 

H 

B

2 Vektorer 

Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står 

generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er 

forflytning, hastighet, akselerasjon, kraft osv. 

I geometri skal vi bruke ordet vektor om orienterte rette linjestykker, og vi illustrerer en 

vektor ved å tegne en pil, der pilhodet viser orienteringen til linjestykket, og vi identifiserer to 

slike orienterte rette linjestykker som er like lange parallelle og ensrettede. På figuren til 

 

høyre, som er tegnet med Cabri, er AB = a = DC og BC = b = AD . Legg merke til 

notasjonene for vektorer: Du bruker enten vektorenes endepunkter med en pil over eller et 

navn, som regel en enkel bokstav, enten i fet skrift eller med en pil over. 

2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer 

Summen av to vektorer 

 

defineres slik: Hvis vektor a 

er representert ved AB , og vektor b er representert ved 

 

BC (altså slik at a slutter der b begynner), så er a+b 

 

representert ved AC . Vi har altså AB+ BC = AC . En 

D 

a 

C 

b 

vektor som begynner og slutter i samme punkt, 

 

0= 

AA= BB , vil da virke som nullelement ved denne 

b 

a+b a-b 

addisjonen: AB+ BB = AB . Den kalles derfor for 

 

B 

nullvektoren. Vi ser 

 

videre 

 

at AB+ BA= AA = 0 , og 

vi definerer derfor − AB = BA . Videre ser vi at 

a 

 

A 

AD+ DB = b+ DB = AB = a 

 

, så differensen 

 

mellom 

to vektorer er definert ved at AB− AD = DB . Husk at a-b er den vektoren du må legge til b 

for å få a. Se figuren ovenfor. 

Hvis a er en vektor, definerer vi lengden av a som lengden av et av de orienterte rette 

linjestykkene som representerer a, og noterer den |a|. 

Hvis t ∈ ℝ , altså et reelt tall, og a er en vektor, definerer vi vektoren t ⋅a eller t a ved at dens 

lengde er t ⋅ a , og dens retning er parallell med og ensrettet med eller motsatt rettet med 

retningen til a etter som t er positiv eller negativ. Omvendt, hvis vektoren a og b er parallelle, 

vil det alltid finnes et reelt tall t slik at b = t ⋅a. 

Hvis a og b har samme retning, er t>0, ellers 

er t

a 1 

Vi kan også definere en vektor a dividert på et tall t ≠ 0 ved at = a . En enhetsvektor er 

t t 

en vektor med lengde 1. Hvis a er en vilkårlig vektor ≠ 0 , kan definere enhetsvektoren i 

retning av a som vektoren 1 a , som vi også skriver 

a 

a 

a . 

En mengde der det er definert to operasjoner som tilfredsstiller regnereglene ovenfor, kalles et 

vektorrom, og dette er det sentrale begrepet i lineær algebra. 

2.1.1 Eksempel 

Summen av medianvektorene i en trekant er 0. Med medianvektor menes her en vektor fra et 

hjørne til midtpunktet av den motstående sida. 

A 

B' 

b 

b' 

C 

c' 

C' 

a' 

a 

A' 

a-b 

Med betegnelser som på figuren har vi: 

1 1 a'=b+ (a-b)= a+b 1 b'=-a+ b 1 c'=-b+ a og dermed 

( ) 

( ) 

2 2 2 2 

a'+b'+c'= a+b -a+ b-b+ a=0 

1 1 1 

2 2 2 

2.2 Vektorprojeksjon og skalarprojeksjon 

Hvis vi har to vektorer a og b i rommet, kan vi alltid 

sørge for at de har felles startpunkt ved om 

nødvendig å flytte den ene vektoren. De kan dermed 

legges i ett plan, slik som på figuren til høyre. Vi 

nedfeller normalen fra C på linja gjennom a. 

Fotpunktet for denne normalen er D. Vektoren AD 

 

er 

da parallell med a = AB , og det finnes da et reelt tall 

 

t slik at AD = t⋅AB Vektoren AD kalles da for 

vektorprojeksjonen av b på a, og t kalles for skalarprojeksjonen av b på a. 

a ⋅ cos a,b . 

Skalarprojeksjonen av b på a er ( ) 

B 

c' 


Gitt en terning med hjørner A, B, C, D, A’, B’, C’ og D’. Da er 

 

 

∠ ( AB, CC') = 90 ° , ∠ ( AB, BD ' ') = 135 ° , ∠ ( AB, DC ') = 45° 

. Vektorprojeksjonen av AC 

 

på 

 

AB er AB 

 

, av BD ' 

 

på AB er BA , av CC ' på AB er 0 . Skalarprojeksjonen av AC på 

 

AB er 1, av BD ' på AB er -1, av CC ' på AB er 0. 


b' 

a'

2.3 Oppgaver 

2.3.1 

I trekanten i eksemplet ovenfor lar vi M betegne det punktet på medianen AA’ som er bestemt 

 

2 

ved at AM = AA' 

. Vis at de to andre medianene går gjennom punktet M. Formuler den 

3 

plangeometriske setningen som dermed er bevist. 

2.3.2 

 

La ABCDEF være en regulær sekskant. Uttrykk vektorene CD, DE, EF og FA ved hjelp av 

 

AB og BC . 

2.3.3 

Vis at diagonalene i parallellogram halverer hverandre. 

2.3.4 

I en trekant OPQ er R et punkt på sida PQ som deler PQ slik at PR 

= k , der [ ] 

PQ 0,1 k ∈ . Vis at 

 

OR = 1−k 

⋅ OP+ k⋅OQ . Forklar hvordan punktet R beveger seg langs PQ når k varierer fra 

0 til1. 

( ) 

2.3.5 

I trekanten ABC trekker vi halveringslinjene for vinklene. Skjæringspunktene med de 

 

motstående sidene er hhv. A’, B’ og C’. Uttrykk vektorene AA' 

, BB' 

og CC ' ved hjelp av 

 

AB = a og AC = b . 

2.3.6 

Gitt et tetraeder med hjørner i A, B, C 

og D. La vektorene langs sidekantene 

 

være AB = p, AC = q, AD = r. 

Midtpunktet på sida AB kalles M AB , 

midtpunktet på BC kalles M BC osv. 

Tyngdepunktet (medianenes 

skjæringspunkt) i sideflata ABC kalles 

M , tyngdepunktet i sideflata ABD 

D 

kalles MC osv. 

a. Uttrykk alle medianvektorene 

 

AM A, BM B osv. ved hjelp av p, q 

og r. 

b. Vis at alle medianene går gjennom 

 

1 

det punktet P som er bestemt ved at AP = ( p+q+r) 

c. Bestem delingsforholdene AP: PM A osv. og M ABP: PM CD osv. 

A 

4 

MAD 


MAB 

MC 

r 

MB 

D 

MD 

p 

B 

MDC 

q 

MA 

MBC 

C

2.3.7 

La ABCD være en vilkårlig firkant. Merk av midtpunktene E, F, G og H på hver av sidene, og 

trekk linjene som forbinder to og to nabopunkter blant disse. Vis at firkanten EFGH alltid er 

et parallellogram. 

2.3.8 

La ABC være en trekant, M midtpunktet på AC og P midtpunktet på BC. Vis at MP er parallell 

med AB. 

2.3.9 

La ABC være en trekant, og trekk medianene i trekanten. Vis at medianene etter en passende 

parallellforskyvning danner en trekant. 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

2.4 Koordinatsystem 

Koordinatsystem i planet. Den franske matematikeren René 

Descartes oppfant det kartesiske koordinatsystem i planet. Det 

består i at man legger inn to akser i planet, x-aksen og yaksen. 

De er begge kopier av den reelle tallinja, og står 

normalt på hverandre. Koordinatene til en bestemmes ved at 

man finner normalprojeksjonene av punktet på hver av 

aksene, jfr. figuren til høyre. 

I rommet bruker man også kartesiske koordinatsystem, 

men vi må ha tre akser, jfr. figuren til høyre. I rommet 

er det viktig hvordan aksene er orientert. Vanligvis er 

aksene orientert slik at vi får et høyre-system. Det 

betyr at hvis du legger høyre hånd på xy-planet slik at 

håndrota er over et punkt på den positive x-aksen og 

fingerspissene over et punkt på den positive y-aksen, 

så vil tommelfingeren peker i retning av den positive 

z-aksen. 

z-akse 

y-akse 


x 

z 

P(x,y,z) 

Når vi har et kartesisk koordinatsystem i rommet, kan 

et ethvert punkt i rommet beskrives og identifiseres 

x-akse 

ved hjelp av det koordinater i forhold til dette koordinatsystemet. Rommet kan identifiseres 

3 

ℝ = xy , | xyz , , ∈ℝ 

av reelle talltripler. På samme måte kan planet kan 

{ } 

= { xy , | xy , ∈ } 

med mengden ( ) 

identifiseres med mengden 

2 

( ) 

ℝ ℝ av reelle tallpar. Vi kan også definere 

koordinatene til en vektor som koordinatene til endepunktet P: ( xyz , , ) for vektoren, når 

den starter i origo. Vektoren fra origo til et punkt P kalles for øvrig for punktets stedvektor. 

Ekvivalent kan vi si at vektorens koordinater er differensen mellom koordinatene til 

A a , a , a B = b , b , b er to punkter i rommet, 

endepunktet og startpunktet: Hvis = ( 1 2 3) 

og ( 1 2 3) 

 

så er AB vektoren med koordinater ( b −a , b −a , b − a ) . 

1 1 2 2 3 3 

 

Enhetsvektorene langs koordinataksen kalles gjerne i,jog k eller i, j og k. 

Disse kalles 

koordinatsystemets basisvektorer eller grunnvektorer. Hvis koordinatene til en vektor a er 

( a , a , a ) , vil a = a1⋅ i+ a2 ⋅ j+ a3 

⋅k. 

Koordinatene ( a , a , a ) kalles også vektorens 

1 2 3 

1 2 3 

Y 

y 

Koordinatsystem i planet 

P(x,y) 

x 

X 

y

skalarprojeksjoner, og a1 ⋅ i , 2 a ⋅ j , a3 ⋅ k kalles for vektorens vektorprojeksjoner eller 

vektorkomponenter. 

I planet har vi følgene sammenheng mellom koordinatene til et 

P xy , og cosinus til vinklene mellom strålen fra O til P 

punkt ( ) 

og koordinataksene: 

cosu 

= 

x 

x + y 

2 2 

Hvis spesielt P ligger på enhetssirkelen, der 

cosu = x og cosv = sin u = y. 

, 

cosv = sin u = 

2 2 


y 

x + y 

2 2 

x + y = 1, 

er 

I rommet kan vi på tilsvarende måte se på vinklene u, v, 

og w mellom strålen fra origo O til punktet Pxyz ( , , ) .og 

koordinataksene og få de tilsvarende sammenhengene 

x 

y 

cosu 

= 

, cosv 

= 

, 

2 2 2 

2 2 2 

x + y + z 

x + y + z 

z 

cos w = 

. De tre cosinusverdiene kalles 

2 2 2 

x + y + z 

også for retningscosinene til retningen bestemt ved 

 

vektoren OP . 

2.5 Vektoroperasjoner og koordinater 

Vektoraddisjon a+b og multiplikasjon av vektor 

med skalar t ⋅ a tilsvarer komponentvise 

a = a , a , a 

operasjoner på koordinatene: Hvis 

og b = ( b1, b2, b3) 

, er 

a+b = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) 

, 

a-b= ( a1 −b1, a2 −b2, a3 −b3) 

og 

t⋅ a = ( t⋅a , t⋅a , t⋅a ) 

( 1 2 3) 

1 2 3 

2.6 Oppgaver 

y1+y2 

2.6.1 

Vis at koordinatene til en vektor ikke forandres ved en parallellforskyvning av 

koordinatsystemet. 

x 

y2 

. 

y1 

y1 

z 

u 

b 

w 

y 

v 

x1 

v 

u 

x 

P(x,y,z) 

a+b 

a 

P(x,y) 

x2 x2 

x1+x2 

y

2.6.2 

Gitt punktene A( 5,2, 3, ) B( 1, 9,8 ) , C( 3,3,4, ) D( 

7,15,0) 

− − − − . Skriv opp koordinatene for 

 

vektorene AB, CD og AC , og vis at AB+ CD = AC . Hvordan ligger punktene B, C og D? 

2.6.3 

Hjørnene i et tetraeder har koordinater A : ( 3,0,4) 

, B : ( − 2,5,1) 

, : ( 3, 3,0) 

D :1,3, ( − 6) 

. 

C − og 

 

a. Beregn koordinatene til vektorene AB , AC og AD 

b. Beregn koordinatene til medianvektorene. En median i et tetraeder er et linjestykke fra et 

hjørne til tyngdepunktet i den motstående sideflata. 

c. Finn koordinatene til medianenes skjæringspunkt. 

d. Hva blir koordinatene i tetraederet i forhold til et koordinatsystem der aksene har samme 

retning som det opprinnelige, mens origo er lagt i punktet A? 

2.6.4 

Komponentene til en vektor langs en rett linje kalles et retningstallsett for linja. Skriv opp et 

retningstallsett for linja L gjennom punktene A(3,0,-2) og B(-5,4,-1). 

2.6.5 

Skriv opp et retningstallsett for linja L gjennom punktene A:(3,-2,6) og B:(5,-1,4). Hva er 

betingelsen for at tallsettet skal være et sett av retningscosiner? Finn retningscosinene for L 

 

dersom positiv retning på L velges ensrettet med AB ? 

2.6.6 

Undersøk om linja gjennom punktet A(5,2,-3) med retningstall (3:-1:5) innholder punktene 

P:(-3,2,0) , Q:(-1,4,-13). 


1 2 3 4 5 6 

2.7 Skalarproduktet av to vektorer 

Skalarproduktet av to vektorer a og b er et tall definert slik 

Skalarproduktet av vektorer: 

a⋅ b = a ⋅ b ⋅cos 

ab , 

( ) 

Men ⋅ cos ( , ) 

b ab er lengden av b’s 

vektorprojeksjon på a, eller b’s skalarprojeksjon 

på a, så a⋅ber lengden av a multiplisert med b’s 

skalarprojeksjon på a. Omvendt: Hvis vi kjenner 

skalarproduktet a⋅b, har vi: 

Skalarprojeksjonen av b på a er 

a⋅b a og 

a⋅b a a⋅b Vektorprojeksjonen av b på a er ⋅ = a . 2 

a a a 


v 

|b| cos v 

a 

b 

|a|

Vi merker oss at skalarproduktet er et tall, ikke en vektor. Vi 

ser også at hvis vinkelen mellom to vektorer er rett, så er 

skalarproduktet av dem lik 0. 

Vinkelen ∠( a,b ) mellom to vektorer er pr. definisjon alltid 

en vinkel mellom 0 og π , så derfor er 

cos( ∠ b,a ) = cos( ∠ a,b ) . Det følger da at a⋅ b = b⋅a. ( ) ( ) 

Skalarproduktet er en kommutativ operasjon. Derimot er skalarproduktet ikke assosiativt: 

a⋅b ⋅c 

er et tall ganger vektoren c og er derfor selv en vektor parallell med c, mens 

( ) 

a⋅( b⋅c ) er vektoren a multiplisert med tallet b⋅cog derfor en vektor parallell med a. Derfor 

er generelt a⋅( b⋅c) ≠ ( a⋅b) ⋅c. 

Men skalarproduktet er distributivt: a⋅ ( b+ c) = a⋅ b+ a⋅c. Det kan du se av følgende figur: Vektorprojeksjonen av b+c på a er vektorsummen av 

vektorprojeksjonene av b og c på a. Vi kan da sette opp følgende regneregler for 

skalarproduktet: 

a⋅ b = b⋅a ( t⋅a) ⋅ b = t⋅( 

a⋅b) ( ) 

a⋅ b+c = a⋅ b+ a⋅c Av definisjonen følger også 

a⋅ b = 0 ⇔ a = 0eller b = 0eller a ⊥b 

Spesielt kan vi se på tilfellet a=b: cos ( , ) 


2 

a⋅ a = a ⋅ a ⋅ aa = a , så vi har altså a = a⋅a, slik 

a a a 

at en enhetsvektor i retning av vektoren a er e = = = 

a a⋅a a 

2 

, der 

2 

a er a⋅a. 2.7.1 Eksempel 

I mekanikk er både krefter og veilengder vektorstørrelser. Dersom en konstant kraft 

representert ved en vektor K virker langs en vei representert ved en vektor s, er det arbeidet 

som kraften utfører, gitt som skalarproduktet K⋅s. 2.7.2 Eksempel 

b⋅a Vektorprojeksjonen av vektor b på vektor a er ⋅ a . 2 

a 

Bevis. 

( ) 

b⋅a b ⋅ a ⋅cos 

a,b 

a 

⋅ a = ⋅ a = b ⋅cos 2 

( a,b) 

⋅ 

a 

a ⋅ a a 

projeksjonen av b på a, mens a 

a 

. Her er cos( 

) 

er en enhetsvektor i samme retning som a. 

b 

b ⋅ a,b ⋅lengden 

av 

c 

b+c a


Finn lengden av en diagonal AC’ i en terning 

ABCDA’B’C’D’. Fin også lengden av projeksjonen 

AB av AB på AC’. 

1 

Løsning. Vi har 

( ) 2 

2 

AC' = AC⋅ AC = AB+ BC + CC ' = 

2 2 2 

AB + BC + CC' + 2⋅AB⋅ 

BC + 

 

2⋅AB⋅ CC'+ 2⋅BC⋅ CC '= 

A 

B1 

B' 

D 

C' 

2 2 2 

AB + BC + CC ' = 1+ 1+ 1= 3 

C 

 

Det gir AC ' = 3. 

Projeksjonen AB 1 av AB på AC’ er 

B 

 

AB⋅ AC' AB AB BC CC 

AB1 = ⋅ AC'= 2 2 

AC' AB BC CC' 

2 2 

AB + AB⋅ BC+ AB⋅CC' AB 

⋅ AC'= ⋅ AC'= ⋅AC 

' 

3 3 

1 1 1 

= AC'og AB1 = AC' 

= 3 

3 3 3 

⋅ ( + + ') 

( + + ) 

2.8 Koordinatformler for skalarproduktet 

La oss nå uttrykke vektoren a og b på koordinatform: a = a1⋅ i+ a2 ⋅ j+ a3 

⋅k 

og 

b = b1⋅ i+ b2 ⋅ j+ b3 

⋅k. 

Siden basisvektorene i, j og k står normalt på hverandre og har lengde 

1, og skalarproduktet er distributivt og kommutativt, har vi 

a⋅ b = ( a1⋅ i+ a2 ⋅ j+ a3 ⋅k) ⋅( b1⋅ i+ b2 ⋅ j+ b3 ⋅ k) = ab 1 1i⋅ i+ ab 1 2i⋅ j+ ab 1 3i⋅k 

. Derfor er 

+ ab j⋅ i+ ab j⋅ j+ ab jk ⋅ + abk⋅ i+ ab k⋅ j+ abk⋅ k = ab + ab + ab 

2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 

a⋅ b = ab 1 1 + ab 2 2 + ab 3 3 

Spesielt er 

a = a⋅ a = a + a + a 

2 2 2 

1 2 3 

Koordinatformlene gjør det enkelt å beregne skalarproduktet av to vektorer som er gitt ved 

sine koordinater. Vi kan da bruke definisjonen av skalarproduktet og en kalkulator til å finne 

vinkelen mellom vektorene ved å uttrykke cos( a,b) ved hjelp av skalarproduktet av a og b: 

1 1 2 2 3 3 

( ab) 

= = 

cos , 

a⋅b a ⋅ b + ab + ab 

a ⋅ b a + a + a ⋅ b + b + b 

2 2 2 2 2 2 

1 2 3 1 2 3 

Hvis spesielt = ( e1, e2, e3) 

cos ( i,e) , cos ( j,e) , cos( 

k,e ) 

e er en enhetsvektor, er 

= e = e = e 

1 2 3 


A' 

D'

2.9 Oppgaver 

2.9.1 

Regn ut (a) k⋅( i+j ) , (b) ( i−2k) ⋅ ( j+ 3k 

) , (c) ( 2 − + 3 ) ⋅ ( 3 + 2 − ) 

2.9.2 

Hvis a = i+ 3j−2k og b = 4i− 2j+ 4k, 

finn 

(a) a⋅b, (b) a , (c) b , (d) 3 + 2 

2.9.3 

Finn vinkelen mellom 

a. a = 3i+ 2j−6k og b = 4i− 3j+ 

k 

b. c = 4i− 2j+ 4k 

og d = 3i−6j−2k. a b , (e) ( 2a+ b) ⋅( a−2b ) 

i j k i j k . 

2.9.4 

For hvilke verdier av t står vektorene a = t ⋅i− 2j+ 

k og b = 2t⋅ i+ t⋅j−4k 

normalt på 

hverandre? 

2.9.5 

Finn retningscosinene til linja som forbinder (3,2,-4) og (1,-1,2). 

2.9.6 

Finn skalarprojeksjonen av vektoren 2i− 3j+ 6k 

på i+ 2j+ 2k. 

2.9.7 

Finn en enhetsvektor som står normalt på både a = 4i− j+ 3k 

og b =− 2i+ j−2k 2.9.8 

Vis at hvis punktet C ligger på en halvsirkel der AB er diameter, så er C en rett vinkel. 

2.9.9 

La = a1 a2 a3 

a ( , , ) være stedvektoren til et gitt punkt i rommet og r = ( xyz , , ) stedvektoren til 

et punkt i rommet. Beskriv de mengdene som er beskrevet ved følgende vilkår: (a) r-a = 3, 

(b) ( r-a) ⋅ a = 0 , (c) ( ) ⋅ = 0 

r-a r . 

2.9.10 

La A, B, C og D være fire punkter i rommet. 

 

a. Bevis at AB⋅ CD+ AC⋅ DB+ AD⋅ BC = 0 

b. Vis at vi av formelen ovenfor kan utlede følgende to geometriske setninger: 

c. Når to motstående sider i et tetraeder står parvis normalt på hverandre, gjør også det tredje 

paret det. 

d. Høydene i en trekant møtes i ett punkt. 

 

Vink: Uttrykk alle vektorene ved AB = p, 

AC = q og AD = r 


2.9.11 

 

I en trekant OAB settes OA= a, 

OB = b. 

Uttrykk høyden OP fra O på AB ved a og b . 

2.9.12 

Gi et bevis for cosinussetningen ved å benytte skalproduktet av vektorer. 

2.9.13 

Bevis følgende setning: Et parallellogram er en rombe hvis og bare hvis diagonalene står 

normalt på hverandre. 

2.9.14 

La, a, b og c være egentlige vektorer (dvs. ≠ 0). Hva er den nødvendige og tilstrekkelige 

a⋅b ⋅ c = a⋅ b⋅c ? 

betingelsen for at ( ) ( ) 

2.9.15 

Hjørnene i en trekant har koordinater P(-3,2,1), Q(2,2,-1) og R(3,0,6) i forhold til et kartesisk 

koordinatsystem. 

a. Finn lengden av sidene. 

b. Finn cosinus til vinklene.. 

2.9.16 

Hjørnene i et tetraeder har koordinater 

A(0,0,0), B(5,0,0), C(3,4,2) og D(2,2,7) i 

forhold til et kartesisk koordinatsystem. La 

AE betegne høyden fra A på BC og DF 

høyden fra D på AE. Beregn: 

 

a. Koordinatene til AE 

b. Koordinatene til en enhetsvektor 

 

med 

samme retning som AE 

 

c. Koordinatene til AF 

d. Delingsforholdet AF:FE 

 

e. cos ( AD, AE) 

 

f. Kontroller til slutt regningen ved å regne ut DF⋅AE . Løsning her. 

Vink: AF er projeksjonen av AD 

A 

 

på AE . 

2.9.17 

Linjene 1 

L og L 2 har retningstall hhv. (3:-5:1) og (1:3:-2) Finn retningstall for en linje som 

står normalt på både 1 L og L 2 . 

2.9.18 

Finn ligningen for et plan som står normalt på vektoren a=2i+3j+6k og går gjennom 

punktet B(1,5,3). 

2.9.19 

Finn avstanden fra origo til planet i forrige oppgave. 


F 

D 

B 

E 

C

2.9.20 

Finn skalarprojeksjonen av a=i-2j+k på b= 4i-4j+ 7k. 

2.9.21 

Finn vektorprojeksjonen av a på b, der a og b er som i oppgave 35. 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 

2.10 Vektorproduktet 

Ovenfor har vi sett at skalarproduktet av to vektorer 

ikke er en vektor, men en skalar, altså et tall. Det 

finnes også et produkt a×b som gir en ny vektor. 

Det er definert slik Vi tenker oss et plan gjennom 

vektorene a og b, eventuelt etter at a eller b er blitt 

parallellforskjøvet slik at de starter i samme punkt. I 

det felles startpunktet oppreiser vi så en normal. 

Langs normalen avsetter vi så en vektor c. c skal ha 

a ⋅ b ⋅sin 

ab , av det parallello- 

størrelse lik arealet ( ) 

grammet som utspennes av a og b. Retningen skal 

være slik at a, b og c danner et høyre-system. Det 

a 

betyr at hvis du legger høyre hånds håndrot over spissen av vektor a slik at fingertuppene på 

pekefingeren, langfingeren, ringfingeren og lillefingeren ligger over spissen av vektor b, så 

skal tommelfingeren peke i retning av vektor c. Vektoren c kalles vektorproduktet eller 

kryssproduktet av a og b. 

a×bstår normalt på a og b slik at a, b og a×bdanner et høyre-system, og 

a×b = a ⋅ b ⋅sin 

a,b 

( ) 

Definisjonen ovenfor gir at a× b skifter fortegn når vi bytter om på rekkefølgen av a og b 

(hvorfor?), slik at 

b×a=-a×b 

Spesielt kan vi se på kryssproduktet av basisvektorene i, j og k. Vi finner 

i×j=k j×k=i k×i=j j×i=-k k×j=-i i×k=-j 

i×i=j×j=k×k=0 

Ved hjelp av disse kan vi nå finne en koordinatformel for kryssproduktet: 

a b ( a1 i a2 j a3 k) ( b1 i b2 j b3 

k) 

( ab −ab ) ⋅ i+ ( ab −ab ) ⋅ j+ ( ab −ab) 

k 

× = ⋅ + ⋅ + ⋅ × ⋅ + ⋅ + ⋅ = 

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 

For å huske denne formelen er det vanlig å sette opp et skjema: 

i j k i j 

a1 a2 a3 

a1 a2 

b1 b2 b3 b1 b2 


a´b 

v 

b 

|a| |b| sin v

Ledd som svarer til helopptrukken strek nedover til høyre, skal ha positivt fortegn. Ledd som 

svarer til stiplet strek oppover til høyre, skal ha negativt fortegn. 


( 3, 3,2, ) ( 4,1, 3) 

a = − b = − 

Vi får følgende skjema: 

i j k i j 

3 -3 2 

3 

-3 

4 1 -3 4 1 

Dermed blir ( ) ( ) 

( ) ( ( ) ) 

a×b = 9−2 ⋅ i+ 8− −9 ⋅ j+ 3− −12 ⋅ k = 7⋅ i+ 17⋅ j+ 15⋅k, 

og a×b 

har koordinatene (7,17,15). 

2.11 Trippelproduktet 

Gitt tre vektorer a, b og c. Da kan vi ta kryssproduktet 

a×bog skalarmultiplisere det med 

a× b ⋅c, 

som kalles 

vektoren c. Da får vi et tall ( ) 

trippelproduktet eller trevektorproduktet av a, 

b og c. Noen skriver det også [ a,b,c ] . 

[ a,b,c] = a⋅ ( b×c) = ( a×b) ⋅c 

Trippelproduktet har en interessant geometrisk betydning: Det er volumet av det 

parallellepipedet som utspennes av vektorene a, b og c hvis disse utgjør et høyre-system; 

ellers er det minus dette volumet. Se figuren til høyre. 

Det følger av dette at hvis vi permuterer vektorene a, b og c syklisk, så får vi samme 

trippelprodukt. Hvis vi bytter om på to vektorer, får vi minus det samme trippelproduktet: 

[ a,b,c ] = [ c,a,b ] = [ b,c,a] 

[ b,a,c ] = [ a,c,b ] = [ c,b,a ] =-a,b,c [ ] 

Trippelproduktet tilfredsstiller også de distributive regnereglene, og skalarer kan settes 

utenfor: 

[ a 1 +a,b,c 2 ] = [ a,b,c 1 ] +a,b,c [ 2 ] 

[ a,b 1 +b,c 2 ] = [ a,b,c 1 ] +a,b [ 2,c] 

[ a,b,c 1 +c 2] = [ a,b,c 1] +a,b,c [ 2] 

[ a,b, t⋅ c] = [ a, t⋅ b,c] = [ t⋅ a,b,c] = t⋅[ 

a,b,c ] 

Vi kan finne koordinatuttrykk for trippelproduktet: 

[ abc , , ] ( ( a1 i a2 j a3 k) ( b1 i b2 j b3 k) ) ( c1 i c2 j c3 

k) 

( ( ab 2 3 −ab 3 2) ⋅ i+ ( ab 3 1 −ab 1 3) ⋅ j+ ( ab 1 2 −ab 2 1) k) ⋅( c1⋅ i+ c2 ⋅ j+ c3 

⋅ k) 

= 

( ab −ab ) ⋅ c + ( ab −ab ) ⋅ c + ( ab −ab ) ⋅ c = 

= ⋅ + ⋅ + ⋅ × ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = 

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 

abc + abc + abc −abc −abc −abc 

1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3 


axb 

v 

c 

|c| cos v 

u 

b 

a 

|a x b| = |a| |b| sin u

[ a,b,c] 

= abc 1 2 3 + abc 2 3 1 + abc 3 1 2 −abc 3 2 1 −abc 1 3 2 −abc 

2 1 3 

Denne formelen kan også huskes ved hjelp av et skjema, akkurat som for kryssproduktet, og 

regelen er den samme som for vektorproduktet: Ledd som svarer til helopptrukken strek 

nedover til høyre, skal ha positivt fortegn. Ledd som svarer til stiplet strek oppover til høyre, 

skal ha negativt fortegn. 

a1 a2 a3 a1 a2 

b1 b2 b3 b1 b2 

c1 c2 c3 c1 c2 

Vi merker oss at [ a,b,c ] = 0 hvis og bare hvis a, b og c kan legges i samme plan. 


La = ( 5, − 2,3, ) = ( 2,1,4, ) = ( 1,1, −3) 

a b c . Vi setter opp skjemaet: 

5 -2 3 5 -2 

2 1 4 2 1 

1 1 -3 1 1 

og får [ abc , , ] = 51 ⋅ ⋅( − 3) + ( −2) ⋅41 ⋅ + 3⋅21 ⋅ −(113 ⋅ ⋅ + 14 ⋅ ⋅ 5+ ( −3) ⋅2⋅( − 2) =− 52 


Gitt punktene A:1, ( −2,2, ) B: ( 3, − 2,5 ) , C: 

( 2,0,3) 

. Punktet D med koordinater 

 

( 6, − 8,11) 

ligger i plan med ABC, fordi AB = ( 2,0,3, ) AC = ( 1,2,1 ) , AD = ( 5, −6,9) 

 

får ⎡AB, AC, AD⎤ 

⎣ ⎦ 

= 36+ 0−18− 30+ 12− 0 = 0 ifølge følgende skjema: 

2 0 3 2 0 

1 2 1 1 2 

5 -6 9 5 -6 

2.12 Oppgaver 

2.12.1 

Regn ut (a) i×j=k, (b) j×k=i, (c) k×ì=j, (d) k×j=-j×k=-i , (e) i×i=0, 

(f) j×j=0. 

2.12.2 

La a = 2i−3j−k og = + 4 −2 

2.12.3 

b i j k. Finn (a) a×b, (b) b×a, (c) ( ) ( ) 

La a = 3i− j+ 2k, 

b = 2i+ 

j−k og = − 2 + 2 

a+b × a-b .. 

c i i k. Finn (a) ( a×b ) ×c, (b) ( ) 

a× b×c . 

og vi 


2.12.4 

Finn arealet av trekanten med hjørner P(1,3,2), Q(2,-1,1), R(-1,2,3). 

2.12.5 

Forklar hvorfor ( a×b ) × ( a×c ) er parallell med a. 

2.12.6 

2 2 

Bevis at ( ) ( ) 

2 2 

a×b + a⋅ b = a ⋅b 

. 

2.12.7 

 

Vis at hvis A, B og C er hjørner i en trekant, så er AB× BC = BC× CA= CA× AB . Vis 

sinA sinB sin C 

hvordan sinusproporsjonen = = følger av dette. 

a b c 

2.12.8 

Vis at om A, B, C og D er fire punkter i rommet, så er 

 

AB× CD = DA× DB+ CB× CA= AC× AD+ BD× BC . 

2.12.9 

Regn ut ( 2 −3 ) ⋅ ( ) × ( 3 − ) 

2.12.10 

Vis at 

a⋅ a×c = .. 

a. ( ) 0 

i j ⎡⎣ i+j-k i k ⎤⎦. 

b. a× ( b× c) = b( a⋅c) −ca ( ⋅b 

) . 

c. ( a× b) × c = b( a⋅c) −ab ( ⋅c 

) 

d. ( a× b) ⋅ ( c× d) = ( a⋅c)( b⋅d) −( a⋅d)( b⋅c ) . 

e. a× ( b× c) + b× ( c× a) + c× ( a× b) = 0. 

f. [ abc , , + t⋅ a+ u ⋅ b] = [ abc , , ] . 

g. [ a+ bb , + cc , + a] = 2 ⋅[ 

abc , , ] . 

2.12.11 

 

1 

Forklar at volumet av et tetraeder med hjørner A, B, C og D er V = ⎡AB, AC, AD⎤ 

6 ⎣ ⎦ 

. 

2.12.12 

Beregn volumet av tetraederet med hjørner A(-2,3,0), B(1,7,-2), C(-2,7,-5) og D(1,5,-3). 

2.12.13 

A(1,3,-1), B(5,2,1), C(2,4,3), A’(2,-1,6), B’(6,-2,8) og C’(3,0,10) er seks punkter i rommet. 

Vis at de er hjørner i et trekantet prisme, og beregn volumet av dette prismet. 

2.12.14 

Punktene A(4,0,1), B(3,-1,5) og C(2,3,6) bestemmer et plan. 

a. Hva må til for at et punkt P(x,y,z) skal ligge i dette planet? 


. Påvis at punktet Q(3,2,1) ikke ligger i planet. 

c. Bestem punktene A(a,0,0), B(0,b,0) og C(0,0,c) slik at QA, QB og QC alle parallelle med 

planet ABC. 

d. Undersøk om noen av punktene D(1,4,-3), E(-5,3,0) eller F(3,3,3) ligger på samme side 

som Q av dette planet. 

2.12.15 

 

Vis ved å bruke regnereglene for trippelproduktet at hvis ⎡AB, AC, AD⎤ 

⎣ ⎦ 

= 0, 

så er også 

 

 

⎡AD, BD, CD⎤ 

⎣ ⎦ 

= 0. 

Hva uttrykker ligningen ⎡AB, AC, AD⎤ 

⎣ ⎦ 

= 0 geometrisk? 

2.12.16 

Vis at [ ] [ ] 2 

× , × , × = , , 

2.12.17 

a bb cc a abc . 

La a, b og c være tre vilkårlige vektorer, og la 

a. Vis at hvis [ ] 

' = b c 

a 

× 

abc , ' = c a 

b 

[ , , ] 

× 

abc og ' = a b 

c 

[ , , ] 

× 

abc . 

[ , , ] 

abc , , ≠ 0, 

så er (a) a'⋅ a = b'⋅ b = c'⋅ c = 1 og a'⋅ b = a'⋅ c = 0, b'⋅ a = b '⋅ c = 0 

b. Hvis [ abc , , ] = V , så er [ a b c ] 

', ', ' = 1V 

c. Vis at hvis a, b og c ikke ligger i ett plan, så ligger heller ikke a’, b’ og c’ i ett plan. 

Ligningene for rette linjer og plan 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 

2.13 Ligningen for rette linjer og plan 

En rett linje er bestemt ved et punkt A på linja og en vektor u langs linja. Hvis P er et vilkårlig 

 

punkt på linja, må 

 

AP være 

 

parallell 

 

med u, og da må det finnes et reelt tall t slik at 

AP = t⋅ueller 

ekvivalent OP = OA+ t⋅u. 

En parameterfremstilling for en rett linje gjennom A med retningsvektor u er 

 

OP = OA+ t⋅u. 


Den rette linja gjennom A(1,2,3) med retningsvektor = ( 2,1,2) 

 

OP = xyz = + t⋅ 

( , , ) ( 1,2,3) ( 2,1,1) 

eller ekvivalent 

u har parameterfremstillingen 

⎧x 

= 1+ 2t 

⎪ 

⎨ y = 2 + t 

⎪ 

⎩ z = 3 + t 

Spesielt kan u være gitt ved at vi har to punkter A og B på linja. 

 

En parameterfremstilling for en rett linje gjennom punktene A og B er OP = OA+ t⋅ AB 


⎛x⎞ ⎛a1 ⎞ ⎛R1 ⎞ ⎛x⎞ ⎛a1 ⎞ ⎛b1 −a1 

⎞ 

eller på koordinatform: 

⎜ 

y 

⎟ 

= 

⎜ 

a 

⎟ 

+ t⋅ ⎜ 

R 

⎟ 

eller 

⎜ 

y 

⎟ 

= 

⎜ 

a 

⎟ 

+ t⋅ ⎜ 

b −a ⎟ 

, t∈ℝ 

. 

⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 

⎜z⎟ ⎜a ⎟ ⎜ 

3 R ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 

⎜z⎟ ⎜a ⎟ ⎜ 

3 b3 a ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − 3 ⎠ 

x−a1 y−a2 z−a3 Du kan også eliminere t mellom koordinatligningene og få = = . 

b −a b −a b −a 

1 1 2 2 3 3 


Den rette linja gjennom A(-1,1,2) og B(3,2,4) har parameterfremstilling 

⎧x 

=− 1+ 4t 

⎪ 

( xyz , , ) = ( − 1,1,2) + t⋅( 3−( −1,2 ) −1,4− 2) = ( − 1,1,2) + t⋅ 

( 4,1,2) 

eller ⎨ y = 1+ 

t 

⎪ 

⎩ z = 2+ 2t 

Vi kan eliminere t og få 

x+ 1 y−1 z −2 

= = 

4 1 2 

Et plan kan også være definert på flere forskjellige måter: 

Du kan ha gitt et punkt A i planet og en vektor n som 

 

står normalt på planet. Et punkt P(x,y,z) 

ligger da i planet hvis og bare hvis n står normalt på AP . Uttrykt ved hjelp av 

skalarproduktet: 

Ligningen for et plan gjennom A med n som normalvektor er: 

 

n ⋅ OP− OA = n ⋅ x− a + n ⋅ x− a + n ⋅ x− a = 

( ) 0 

eller 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 0 

Ligningen for et plan gjennom et punkt P0( x0, y0, z 0) 

med normalvektor 

altså n ⋅ PP 0 = 0 

= ( n1, n2, n3) 

 

. Avstanden fra et punkt ( , , ) 

n er 

P xyz , som ikke nødvendigvis ligger i planet, til 

planet er skalarprojeksjonen av vektoren 0 PP 

 

på normalen n, altså 

 

n ⋅ PP 

n 0 

1( x− x0) + n2 ( y− y0) + n3( z− z0) 

eller på koordinatform 

. 

n 

2 2 2 

n + n + n 

1 2 3 

Hvis ligningen for et plan er A⋅ x+ B⋅ y+ C⋅ z+ D = 0 , er avstanden med fortegn fra et 

A⋅ x+ B⋅ y+ C⋅ z + D 

vilkårlig punkt Pxyz ( , , ) til planet 

. Hvis fortegnet er +, ligger P på 

2 2 2 

A + B + C 

samme side av planet som normalen ( ABC , , ) peker mot, ellers ligger det på motsatt side. 

Vi kan også sette opp en parameterfremstilling av planet: 

Parameterfremstillingen for et plan gjennom punktet A med vektorer u og v i planet er 

⎛x⎞ ⎛a1 ⎞ ⎛u1 ⎞ ⎛v1 ⎞ 

 

OP = OA+ t⋅ u+ s⋅v 

eller koordinatvis 

⎜ 

y 

⎟ ⎜ 

a 

⎟ 

2 t 

⎜ 

u 

⎟ 

2 s 

⎜ 

v 

⎟ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ ⎟ 

+ ⋅ 

⎜ ⎟ 

+ ⋅ 

⎜ 2 ⎟ 

for ts∈ , ℝ .. 

⎜z⎟ ⎜a ⎟ ⎜ 

3 u ⎟ ⎜ 

3 v ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ 



La = ( 2,-1,3) 

( ) ( x y z ) ( x ) ( y ) ( z ) 

n og A=(2,3,1). Ligningen for planet gjennom A normalt på n er da 

2, −1,3 ⋅ − 2, + 1, − 3 = 0⇔ 2 −2 − + 1 + 3 − 3 = 0 

⇔ 2x− y+ 3z = 14 

Avstanden fra origo til dette planet er 

2⋅0−10 ⋅ + 30 ⋅ −14 

14 

=− =− 

2 2 

2 + − 1 + 3 14 

( ) 2 

Du kan også ha gitt planet ved tre punkter A, B og C i planet. Dette tilfellet kan vi føre tilbake 

til det forrige: Ett 

 

av punktene 

 

spiller rollen som A, og n beregnes for eksempel som 

kryssproduktet AB× AC . Ligningen for planet kan da skrives ved hjelp av trippelproduktet: 

 

Ligningen for et plan gjennom tre oppgitte punkter A, B og C: ⎡AB, AC, OP− OA⎤ 

⎣ ⎦ 

= 0. 


Ligningen for planet gjennom A(1,2,-1), B(3,1,-2) og C(4,-2,5) er 

3−1 1−2 −2− −1 2 −1 −1 

( ) 

( ) 

4−1 −2−2 5− − 1 = 3 − 4 6 = 

x−1 y− 2 z+ 1 x−1 y− 2 z+ 

1 

( x ) ( ) ( y )( ) ( z ) ( ) 

−1 ⋅ −6− 4 + −2 −3− 12 + + 1 ⋅ − 8+ 3 = 0 

eller 

−10 x−1 −15 y−2 − 5 z+ 1 =−10x−15y− 5z+ 10+ 30− 5= 0⇔ 

( ) ( ) ( ) 

10x+ 15y+ 5z = 35⇔ 2x+ 3y+ z = 7 


En parameterfremstilling av planet fra forrige eksempel er 

⎛x⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

⎧ x = 1+ 2t + 3u 

⎜ 

y 

⎟ 

= 

⎜ 

2 

⎟ 

+ t⋅ ⎜ 

− 1 

⎟ 

+ u⋅ 

⎜ 

−4 

⎟ 

⎪ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

eller på komponentform: ⎨ y = 2−t −4u 

. 

⎜z⎟ ⎜−1⎟ ⎜−1⎟ ⎜ 6 ⎟ 

⎪ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎩z 

=−1− t+ 6u 

Her svarer A til t=u=0, B til t=1, u=0 og C til t=0, u=1. 

2.14 Oppgaver 

2.14.1 

Skriv opp en ligning for planet gjennom origo med normalretning (1:3:-2). 

2.14.2 

Skriv opp en ligning for planet gjennom punktet (2,-11,4) normalt på y-aksen. 

2.14.3 

Finn en ligning for planet gjennom A(3,0,-2), B(6,3,1) og C(3,-2,3). 


14

2.14.4 

La fem plan αβγδε , , , , være gitt ved ligningene: 

α :3x− 2y+ z− 5= 0 β :5x− y− z+ 2= 0 γ :4x+ 5y+ 2z− 1= 0 

δ : x− 3y+ 3z− 12 = 0 ε :2x− 6y+ 6z+ 5= 0 

Vis at: 

a. α, β og γ skjærer hverandre i ett punkt. 

b. α, β og δ skjærer hverandre langs en linje. 

a. α, β og ε har intet punkt felles, men skjærer hverandre to og to langs tre parallelle linjer. 

2.14.5 

Finn den enhetsvektoren langs normalen til planet 3x+ 4y− 2z+ 8= 0 som peker til samme 

side av planet som punktet A(-5,-1,2) ligger. 

2.14.6 

Finn cosinus til vinkelen mellom planene α og β i oppgave 62. Vink: Vinkelen mellom 

planene er lik vinkelen mellom normalene. 

2.14.7 

Gjør rede for at skjæringslinja mellom to plan er parallell med vektoren a× b, når a og b er 

normaler til hver sitt av de to planene. Bruk dette til å finne et retningstallsett for linja som er 

skjæringslinja mellom planene med ligninger 

2x− 5y+ 4z− 3= 0 3x− y+ 2z+ 4 = 0 

2.14.8 

Finn skjæringspunktet mellom planet med ligningen 2y− 4z + 5= 0 og linja i forrige 

oppgave. 

2.14.9 

La punktene A(2,0,0), B(0,4,3), C(2,3,1) og P(-3,5,1) være gitt. Finn avstanden fra P til planet 

gjennom A, B og C. 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 


3 Matriser og geometri 

3.1 Matriseregning 

3.1.1 Kolonnevektorer 

Et punkt i planet, hhv. i rommet, kan identifiseres med et par P(x,y) av koordinater, hhv. et 

 

trippel P(x,y,z), eller med stedvektoren OP .. Ofte skrives koordinatparet i en kolonne 

⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎜ 

y 

⎟.(eller 

⎜ 

y 

⎟ 

⎜ ⎟ 

i rommet). Mengden av slike kolonner kan organiseres til et vektorrom ved å 

⎝ ⎠ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ 

definere addisjon og multiplikasjon med et reelt tall slik: 

⎛x⎞ ⎛z⎞ ⎛x+ z⎞ ⎛x⎞ ⎛t⋅x⎞ i) ⎜ ii) t 

y 

⎟+ ⎜ 

u 

⎟ = ⎜ ⋅ = 

y+ u 

⎟ ⎜ 

y 

⎟ ⎜ 

t⋅ y 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Disse operasjonene tilfredsstiller regnereglene for de tilsvarende vektoroperasjonene, jfr. 

avsnittet 2.1 om vektorer. 

3.1.2 Lineære avbildninger og matriser 

2 2 

3 3 

En avbildning A : ℝ → ℝ av planet eller ℝ → ℝ av rommet kan oppfattes som en 

funksjon som til hver kolonne x 

⎛x⎞ ⎛x'⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 

y 

⎟ (eller 

⎜ 

y 

⎟ 

⎛x'⎞ ⎜ ⎟ 

) tilordner en ny kolonne ⎜ 

⎝ ⎠ ⎜z⎟ y ' 

⎟ (eller 

⎜ 

y ' 

⎟ 

⎜ ⎟ 

). En 

⎝ ⎠ ⎜ 

⎝ ⎠ 

z ' ⎟ 

⎝ ⎠ 

viktig klasse av slike avbildninger er de lineære avbildningene, som er de som bevarer 

vektorromsstrukturen: 

Lineære avbildninger A er definert ved at 

(i) A( x+y) = A( x) + A( y) og ( ii) At ( ⋅ x) = t⋅A( x ) , 

der x og y er kolonnevektorer og t er et reelt tall. 

Vi må da ha at 

⎛⎛x⎞⎞ ⎛ ⎛1⎞ ⎛0⎞⎞ ⎛⎛1⎞⎞ ⎛⎛0⎞⎞ A⎜⎜ ⎟⎟ = A⎜x⋅ ⎜ ⎟+ y⋅ ⎜ ⎟⎟ = x⋅ A⎜⎜ ⎟⎟+ y⋅A⎜⎜ ⎟⎟ 

⎝⎝y⎠⎠ ⎝ ⎝0⎠ ⎝1⎠⎠ ⎝⎝0⎠⎠ ⎝⎝1⎠⎠ Hvis vi setter 

⎛⎛1⎞⎞ ⎛a11⎞ A⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ , 

0 a 

⎟ 

⎝⎝ ⎠⎠ ⎝ 21⎠ ⎛⎛0⎞⎞ ⎛a12 ⎞ 

A⎜⎜ 

⎟⎟ 

= ⎜ 

1 a 

⎟ 

⎝⎝ ⎠⎠ 

⎝ 22 ⎠ 

, kan vi skrive: 

⎛⎛x⎞ ⎞ ⎛a11⎞ ⎛a12 ⎞ ⎛a11x+ a12 y⎞ 

A⎜⎜ ⎟⎟ 

= x⎜ y 

y a 

⎟+ ⎜ = 

21 a 

⎟ ⎜ 

22 a21x+ a22 y 

⎟ 

⎝⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛a11 Et rektangulært tallskjema A = ⎜ 

⎝a21 a12 

⎞ 

a 

⎟ kalles for en matrise, og vi kan definere: 

22 ⎠ 


⎛a11 Produktet av en matrise A = ⎜ 

⎝a21 a12 

⎞ 

a 

⎟ og en koordinatvektor X 

22 ⎠ 

⎛a11 A⋅ X = ⎜ 

⎝a21 a12 ⎞ ⎛x1 ⎞ ⎛a11x1 + a12x2 ⎞ 

a 

⎟⋅ ⎜ 

22 x 

⎟ = ⎜ 

2 a21x1 + a22x ⎟ 

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 

⎛x⎞ er definert ved at 

⎝ ⎠ 

1 

= ⎜ 

x 

⎟ 

2 

Legg merke til at det som står i rad nr. n (for n=1,2) i A⋅ X er skalarproduktet av radvektor 

nr. n i A og kolonnevektoren X. På figuren nedenfor kan du se effekten av å forandre på 

elementene i matrisen A og vektoren X: 

Her er en lenke til en Cabri-fil der du kan variere elementene i en matrise og i vektoren X og 

se hvilken effekt det har på vektoren A⋅ X . 

La oss nå se hva som skjer hvis vi setter sammen avbildningen A ovenfor med en annen 

⎛b11 b12 

⎞ 

lineær avbildning B som har matrisen ⎜ 

b21 b 

⎟. 

Vi finner 

⎝ 22 ⎠ 

( ( ) ) 

⎛⎛a x+ a y⎞⎞ ⎛b b ⎞ ⎛a x+ a y⎞ 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ = 

⎝⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

11 12 11 12 11 12 

B A X B⎜ ⎟ 

a21x+ a22y b21 b22 a21x+ a22 y 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

⎛b11 a11x+ a12y + b12 a21x+ a22y ⎞ ⎛ ba 11 11 + b12a21 x+ b11a12 + b12a22 y ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ 

⎟ = 

b a x+ a y + b a x+ a y b a + b a x+ b a + b a y 

⎝ 21 11 12 22 21 22 ⎠ ⎝ 21 11 22 21 21 12 22 22 ⎠ 

⎛ba 11 11 + b12a21 ba 11 12 + b12a22 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟⋅ b a + b a b a + b a 

⎜ 

y 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎝ 21 11 22 21 21 12 22 22 ⎠ 

Basert på denne utregningen er det nærliggende å definere; 

Produktet av matrisene til B og A er definert ved at:: 

⎛b11 B⋅ A= 

⎜ 

⎝b21 b12 ⎞ ⎛a11 b 

⎟⋅ ⎜ 

22⎠ ⎝a21 a12 ⎞ ⎛ba 11 11 + b12a21 a 

⎟ = ⎜ 

22⎠ ⎝b21a11 + b22a21 ba 11 12 + b12a22 ⎞ 

b21a12 + b22a ⎟ 

22 ⎠ 

Legg merke til at det som står i rad nr. r og kolonne nr. k i B⋅ A er skalarproduktet av den r-te 

radvektoren i B og den k-te kolonnevektoren i A. 

Matrisemultiplikasjon har mange av de samme egenskapene som vanlig multiplikasjon av 

reelle tall, men ikke alle: 

⎛1 0⎞ 

1. Identitetsmatrisen I2 

= ⎜ ⎟ virker som nøytralt element ved matrisemultiplikasjon. 

⎝0 1⎠ 

2. Matrisemultiplikasjon er en assosiativ operasjon (dvs. ( A⋅B) ⋅ C = A⋅( B⋅ C) 

), men 

3. Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ (dvs. generelt er A⋅B ≠ B⋅ A). 

4. Du kan ikke finne en multiplikativ invers til enhver matrise. For at den inverse til en 

det A = a a − a a være ≠ 0.det(A) 

eller A kalles for 

matrise A skal eksistere, må ( ) 11 22 21 12 

determinanten til A. Den inverse er i så fall 

1 1 a − ⎛ 22 

A = ⎜ 

det( A) ⎝−a21 −a12⎞ 1 ⎛ a22 a 

⎟ = 

⎜ 

11 ⎠ a11a22 −a21a12 

⎝−a21 −a12 

⎞ 

a 

⎟. 

11 ⎠ 


3.2 Matriser til noen kjente avbildninger 

Før vi går gjennom matrisene til noen kjente avbildninger trenger vi å minne om begrepet 

polarkoordinater, som vi trenger i forbindelse med rotasjonsmatriser: 

3.2.1 Polarkoordinater 

Vanligvis gir vi koordinatene (x,y) til et punkt P i 

planet eller rommet i forhold til et rektangulært 

eller kartesisk koordinatsystem. I mange 

sammenhenger er det imidlertid vel så praktisk å 

, r, θ , 

oppgi punktets polarkoordinater ( rv ) eller ( ) 

der r er avstanden fra origo (0,0) til punktet og v er 

den vinkelen som den positive x-aksen må roteres for 

å få den til å falle sammen med strålen fra origo til P. 

Sammenhengen mellom rektangulære og polare 

koordinater er 

2 2 2 

r = x + y 

⎫ 

x = r⋅cosθ 

⎫ ⎪ 

⎬ og y x y 

y r sin tan θ ,cos θ ,sinθ 

⎬ 

= ⋅ θ⎭ 

= = = 

x 2 2 2 2 

x + y x + y 

⎪ 

⎭ 

Mange kurver kan uttrykkes enklere i polarkoordinater enn i kartesiske koordinater. F. eks. 

blir ligningen for en sirkel med radius R og sentrum i origo rett og slett r=R, mens den i 

2 2 2 

kartesiske koordinater som kjent er x + y = R . Et annet eksempel er Archimedes’ spiral, 

som i polarkoordinater har ligningen r = k⋅ θ , der k er en konstant. ser ligningen slik ut: 

2 2 

Arctan y 

x + y = k⋅ 

, og man kan vise at dette kan omformes til en sjettegradsligning i x 

x 

og y. Polarkoordinater er derfor det beste til å beskrive denne kurven på en enkel måte. 

3.2.2 Rotasjoner 

Et punkt P(x,y) kan altså uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater ( r, θ ) , der 

x rcos ( θ) , y r sin ( θ) 

rotasjonene ( r, θ α) 

= = . Hvis punktet roteres en vinkel α , blir polarkoordinatene etter 

+ . Følgende formler er pensum i videregående skoles matematikk- 

pensum, og du kan finne dem matematiske formelsamlinger: 

cos( θ + α) = cosθ ⋅cosα −sinθ ⋅sinα 

sin( θ + α) = sinθ ⋅ cosα + cosθ ⋅sinα 

Derfor er: 

( cosθ cosα sinθ sinα) 

( sinθ cosα cosθ sinα) 

⎛r⋅ cos( θ + α) 

⎞ ⎛r⋅ ⋅ − ⋅ ⎞ 

⎜ 

r sin( θ α) 

⎟ = ⎜ ⎟ = 

⎝ ⋅ + ⎠ ⎝r⋅ ⋅ + ⋅ ⎠ 

og dermed: 

⎛cosα −sinα⎞⎛r⋅cosθ⎞ ⎛cosα −sinα⎞⎛x⎞ 

⎜ 

sinα cosα ⎟⎜ = 

r⋅sinθ ⎟ ⎜ 

sinα cosα 

⎟⎜ 

y 

⎟ 

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 

Matrisen til en rotasjon vinkelen α om origo er 

⎛cosα −sinα⎞ 

Rot ( α ) = ⎜ 

sinα cosα 

⎟ 

⎝ ⎠. 

P(x,y) = P(r,v) 


v 

r 

x = r cos v 

y = r sin v

3.2.3 Speiling om en linje 

Speiling om x-aksen avbilder punktet ( xy , ) på punktet ( x, y) 

⎛ x ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ = ⋅ 

−y ⎟ ⎜ 

0 − 

⎟ ⎜ 

1 y 

⎟, 

og det betyr: 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Speiling om x-aksen er en lineær avbildning med matrise 

− . Men 

⎛1 0 ⎞ 

⎜ 

0 −1 

⎟. 

⎝ ⎠ 

Speiling om en annen linje L enn x-aksen gjennom origo kan vi få til slik: Hvis vinkelen 

mellom x-aksen og linja er v, roterer vi først punktet vinkelen -v om origo, deretter speiler vi 

om x-aksen, og så roterer vi tilbake igjen vinkelen v. 

y 

v 

v 

v 

P 

L 

P' 

P" 

P"' 

x 

Speiling om en linje gjennom origo 

som danner vinkelen v med x-aksen 

P->P' rotasjon -v 

P'->P" speiling om x-aksen 

P"->P"' rotasjon v 

Matrisen til denne sammensatte avbildningen er 

⎛cosα ⎜ 

⎝sinα −sinα⎞ 

⎛1 cosα ⎟⋅⎜ ⎠ ⎝0 0 ⎞ ⎛ cosα ⋅ 

− 

⎟ ⎜ 

1⎠ ⎝−sinα sinα ⎞ ⎛cosα cosα ⎟ = ⎜ 

⎠ ⎝sinα sinα ⎞ ⎛ cosα ⋅ 

−cosα ⎟ ⎜ 

⎠ ⎝−sinα sinα 

⎞ 

= 

cosα 

⎟ 

⎠ 

2 2 

⎛ cos α −sin α cosα⋅ sinα + sinα ⋅cosα⎞ ⎛cos2α sin2α 

⎞ 

⎜ 2 2 ⎟ = ⎜ 

⎝sinα⋅ cosα + cosα ⋅sinα sin α −cos α ⎠ ⎝sin2α 

−cos2α 

⎟ 

⎠ 

Matrisen til en speiling om en linje som danner vinkelen α med x-aksen, er 

⎛cos2α sin2α 

⎞ 

S( α ) = ⎜ 

sin2α − cos2α 

⎟ 

⎝ ⎠ 

3.2.4 Homotetier 

Similariteter og homotetier er definert i avsnitt 1.5. En homoteti er prototypen på en 

similaritet. Det er en avbildning som multipliserer alle avstander fra ett bestemt punkt, 

homotetisenteret, med et bestemt tall r, homotetifaktoren. 

⎛t0⎞ Matrisen til en homoteti med homotetifaktor t og origo som homotetisenter er ⎜ 

0 t 

⎟ 

⎝ ⎠ 

3.2.5 Translasjoner og homogene koordinater. 

Vi har nå sett at rotasjoner om origo og speilinger om en linje som går gjennom origo, kan 

uttrykkes ved hjelp av matriser med 2 rader og 2 kolonner. Rotasjoner og speilinger er begge 

isometrier eller kongruensavbildninger. Vi mangler imidlertid en viktig klasse av kongruens- 


avbildninger, nemlig translasjoner eller parallellforskyninger. En parallellforskyvning virker 

⎛x⎞ ⎛x+ a⎞ ⎛x⎞ ⎛a⎞ som et konstant tillegg til hver av koordinatene: ⎜ 

y 

⎟ ↦ ⎜ = + 

y+ b 

⎟ ⎜ 

y 

⎟ ⎜ 

b 

⎟. 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Translasjoner kan ikke uten videre uttrykkes som produktet av en 2× 2−matrise 

med 

koordinatvektoren x ⎛ ⎞ 

⎜ 

y 

⎟. 

Det finnes en løsning på dette problemet: homogene koordinater. 

⎝ ⎠ 

Det går ut på at man bruker en ekstra koordinat, 1, slik at koordinatvektoren til et punkt er 

⎛x⎞ ⎜ 

y 

⎟ 

⎜ ⎟ 

istedenfor 

⎜1⎟ ⎝ ⎠ 

x ⎛ ⎞ 

⎜ 

y 

⎟. 

⎝ ⎠ 

⎛x⎞ De homogene koordinatene til punktet P(x,y) er 

⎜ 

y 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜1⎟ ⎝ ⎠ 

Matriser til lineære avbildninger må da ha 3 rader og 3 kolonner istedenfor 2 rader og 2 

kolonner. Vi utvider bare de tilsvarende matrisene for kartesiske koordinater med en ekstra 

rad og en ekstra kolonne av 0-er, bortsett fra elementet nederst til høyre, som er 1: 

⎛cosθ −sinθ 

0⎞ 

Matrisen til en rotasjon vinkelen θ i homogene koordinater er 

⎜ 

sinθ cosθ 0 

⎟ 

⎜ ⎟ 

. 

⎜ 0 0 1⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛1 0 0⎞ 

Matrisen til en speiling om x-aksen i homogene koordinater er 

⎜ 

0 1 0 

⎟ 

⎜ 

− 

⎟ 

. 

⎜0 0 1⎟ 

⎝ ⎠ 

Matrisen til en speiling om en linje gjennom origo som danner vinkelen α med x-aksen, er i 

⎛cos2α homogene koordinater 

⎜ 

⎜ 

sin2α ⎜ 

⎝ 0 

sin2α − cos2α 0 

0⎞ 

0 

⎟ 

⎟ 

1⎟ 

⎠ 

La oss så se på translasjon: Multiplikasjon av en matrise med en kolonnevektor og av en 

matrise med en annen matrise defineres som for matriser med 2 rader og 2 kolonner. Da blir: 

⎛1 0 a⎞ ⎛x⎞ ⎛1⋅ x+ 0⋅ y+ a⋅ 1⎞ 

⎛x+ a⎞ 

⎜ 

0 1 b 

⎟ ⎜ 

y 

⎟ ⎜ 

0 x 1 y b 

⎟ ⎜ 

y b 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⋅ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ 

⋅ + ⋅ + 

⎟ 

= 

⎜ 

+ 

⎟ 

⎜0 0 1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⋅ x+ 0⋅ y+ 

11 ⋅ ⎟ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Vi kan da konkludere: 

Matrisen til en translasjon vektoren a 

⎛1 0 a⎞ 

⎛ ⎞ 

⎜ 

b 

⎟ er i homogene koordinater 

⎜ 

0 1 b 

⎟ 

⎜ ⎟ 

. 

⎝ ⎠ 

⎜0 0 1⎟ 

⎝ ⎠ 

Alle isometrier, dvs. rotasjoner, speilinger, translasjoner og sammensetninger av disse, kan 

nå beskrives ved hjelp av 3× 3−matriser, 

og vi får en enkel måte å sette sammen alle typer av 

isometrier på ved hjelp av matrisemultiplikasjon. Vi kan også finne matrisen til en homoteti 


med et vilkårlig homotetisentrum som sammensetning av to translasjoner og en homoteti med 

origo som homotetisentrum. 

3.2.6 Gliderefleksjoner 

En gliderefleksjon er en sammen setning av en translasjon og en 

speiling. En gliderefleksjon er bestemt ved et punkt på speilaksen 

og en vektor langs speilaksen, som da også brukes som 

translasjonsvektor. Alternativt kan vi oppgi et punkt på speilaksen, 

vinkelen mellom speilaksen og x-aksen og lengden av 

translasjonsvektoren. Matrisen til en gliderefleksjon kan nå 

beregnes ved hjelp av homogene koordinater. Se oppgavene nedenfor. 

3.3 Oppgaver 

3.3.1 

⎛1 .La A = ⎜ 

⎝3 −2⎞ , 

4 

⎟ 

⎠ 

⎛3 B = ⎜ 

⎝2 −1⎞ , 

1 

⎟ 

⎠ 

⎛−2 C= ⎜ 

⎝ 0 

3 ⎞ 

, 

−1 

⎟ 

⎠ 

⎛ 2⎞ a = ⎜ , 

-1 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛0⎞ b = ⎜ , 

1 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛−1⎞ c = ⎜ 

2 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Regn ut (a) A⋅a, (b) B⋅b, (c) C⋅c, (d) A⋅B, (e) ⋅ ⋅ ⋅ A⋅ B⋅C 3.3.2 

B A, (f) ( A B) C, (g) ( ) 

Kontroll at A⋅ I = I ⋅ A= A, 

der A er en vilkårlig 2× `2 −matrise, og 

identitetsmatrisen. 

3.3.3 

Kontroller at 

A 

⎛1 0⎞ 

I = ⎜ 

0 1 

⎟ er 

⎝ ⎠ 

−1 

a11 a 1 

12 1 a22 −a12 1 a22 −a 

− 12 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 

⎜ ⎟. 

a a det( A) −a a a a −a 

a −a 

a 

3.3.4 

La A, B og C være som i oppgave 1. 

a. Finn 

A B C 

−1 −1 − 1 

, og . 

⎝ 21 22 ⎠ ⎝ 21 11 ⎠ 11 22 21 12 ⎝ 21 11 ⎠ 

b. Finn ( ) 1 

A B − 

⋅ og verifiser at ( ) 1 − −1 −1 

A B B A 

⋅ = ⋅ . Gjelder dette generelt? 

3.3.5 

a. Hva er matrisen til en rotasjon 90° om origo? 

b. Hva blir bildet av et punkt P(x,y) ved en slik rotasjon? 

c. Kontroller ved matrisemultiplikasjon at punktet P blir avbildet på seg selv, når rotasjonen 

anvendes 4 ganger etter hverandre. 

3.3.6 

Kontroller at matrisen til en rotasjon vinkelen α etterfulgt av en rotasjon vinkelen β er det 

samme som matrisen til en rotasjon vinkelen α + β .. 

3.3.7 

Kontroller at den inverse av matrisen til en rotasjon vinkelen α er det samme som matrisen 

til en rotasjon vinkelen − α . 


3.3.8 

Finn matrisene til speiling om (a) y-aksen, (b) linja y=x, (c) linja som danner 30 graders 

vinkel med x-aksen. 

3.3.9 

Finn matrisen i homogene koordinater til en rotasjon vinkelen θ om et vilkårlig punkt A(a,b). 

3.3.10 

Finn matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje gjennom (a,b) som danner 

vinkelen θ med den positive x-aksen. 

3.3.11 

a. Linjene l og m går gjennom origo. Linja l danner vinkelen θ med x-aksen, og linja m 

danner vinkelen θ + α med x-aksen, slik at linjene danner vinkelen α hverandre. Sett 

opp matrisene til speilingene l S og S m om de to linjene. Finn så matrisen til sammensetningen 

av de to speilingene. Hva slags avbildning blir dette? 

b. Finn matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje som går gjennom et 

punkt A(a,b) og danner vinkelen θ med den positive x-aksen. 

c. To parallelle linjer l og m danner vinkelen θ med den positive x-aksen. u er en vektor 

som står normalt på begge linjene og har startpunkt på l og endepunkt på m. Finn matrisen 

til sammensetningen av speiling om l med speiling om m. Hva slags avbildning blir dette? 

3.3.12 

Finn matrisen i homogene koordinater til en homoteti med homotetifaktor t og homotetisenter 

i et vilkårlig punkt A(a,b). 

3.3.13 

a. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon langs den positive x-aksen en 

distanse d. Kontroller resultatet på et punkt, for eksempel (1,1) med d=2. 

b. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon langs en rett linje gjennom 

origo som danner vinkelen θ med x-aksen og med translasjonsdistanse d. 

c. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon med speilakse bestemt ved en 

linje gjennom et punkt A(a,b) som danner vinkelen θ med x-aksen og med 

translasjonsdistanse d. 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 


4 Grupper i geometri 

4.1 Definisjoner 

La G være en mengde. En binær operasjon på mengden G er en funksjon : G× G →G, 

altså en funksjon som til hvert par av elementer ( gh , ) tilordner et nytt element g h. 

Funksjonsnavnet skrives altså mellom argumentene; dette kalles infix notasjon. Vi bruker i 

utgangspunktet tegnet for en binær operasjon for at man ikke skal tenke på en bestemt kjent 

operasjon, som addisjon, multiplikasjon osv., selv om disse er eksempler på binære 

operasjoner. Begrepet gruppe er sentralt i mange deler av matematikken og dens anvendelser. 

En gruppe er en mengde G sammen med en binær operasjon som tilfredsstiller følgende 

aksiomer: 

1. er assosiativ: ( ) = ( ) 

a bc ab cfor alle abc , , ∈ G 

2. Det finnes et (multiplikativt) nøytralt element e∈ G slik at ea= a e= a for alle 

a∈ G. 

3. For hvert element g∈ G finnes det et element 

kalles den (multiplikativt) inverse til g. 

−1 g ∈ G slik at 

−1 −1 

g g = g g = e 

. 

Gruppeoperasjonen tilfredsstiller ikke nødvendigvis den kommutative lov ab = b a for alle 

a∈ G. 

Hvis den gjør det, sies gruppen å være kommutativ eller abelsk. 

Akkurat som for reelle tall kan vi definere potenser av et element rekursivt: 

0 

g = e og 

n n 1 

g g g − 

= for n>0. Noen grupper består bare av det nøytrale elementet e og potenser av et 

element g, som i så fall kalles for en generator for gruppen. En slik gruppe sies å være 

2 3 

egg , , , g ,... . En gruppe G kan ha et endelig 

syklisk. En syklisk gruppe er altså på formen { } 

antall elementer, og dette antallet kalles i så fall ordenen til gruppen og skrives G eller 

ord G . En endelig syklisk gruppe av orden n er da på formen { } 1 n 

eg , , , g − 

Sykliske grupper er nødvendigvis kommutative: 

… , der 

m n m+ n n+ m n m 

g g = g = g = g g . 

n 

g = e. 

4.1.1 Eksempel: ℤ 

Mengden av hele tall ℤ danner en gruppe med operasjonen +. Det nøytrale elementet er 0, og 

det inverse til n ∈ℤ er − n . ℤ er en uendelig syklisk, abelsk gruppe. Mengden av reelle tall 

ℝ er også en gruppe ved operasjonen +. Mengden av reelle tall modulo 2π danner også en 

ℝ ved gruppeoperasjonen xy , Mod( x y,2 π ) + ↦ . 

gruppe 2π 

4.1.2 Eksempel: n ℤ 

Mengden ℤ = { 0,1, … , n −1} 

danner en gruppe under operasjonen ( ) 

n 

xy , ↦ Mod( x+ yn , ) 

(eller resten ved divisjonen ( x+ y): n). 

Det nøytrale elementet er 0, og det inverse elementet 

til a er n-a. ℤ n er en endelig abelsk syklisk gruppe av orden n generert av 1. 

For endelige grupper kan vi sette opp en multiplikasjonstabell, for eksempel: 


1 

g −

ℤ 0 1 2 

3 ℤ 0 1 2 

0 0 1 0 0 1 2 

1 1 0 1 1 2 0 

2 2 0 1 

Du kan da bruke denne tabellen til å finne ethvert produkt ved å ta første faktor fra første 

kolonne, andre faktor fra første rad og produktet ved ”krysspeiling” i tabellen. Du kan også 

finne den inverse til ethvert element g ved å lete etter det nøytrale element i den raden (eller 

kolonnen) der g er. Det inverse elementet finner du da i øverst i den tilsvarende kolonnen (evt. 

til venstre i den tilsvarende raden). 

4.1.3 Eksempel: Symmetrigrupper 

I vårt geometrikurs er det symmetrigrupper som er den viktigste anvendelsen av 

gruppebegrepet: 

2 

2 2 

La F være en plan figur, en delmengde av planet ℝ . En bijeksjon ϕ : ℝ → ℝ som er slik at 

ϕ ( F) = F kalles en symmetri av F. Mengden av symmetrier av F danner en gruppe ved 

funksjonssammensetning, symmetrigruppen til F. 

4.1.4 Eksempel: Rotasjoner 

1 

Mengden av rotasjoner omkring et fast punkt danner en gruppe S ved funksjons- 

Rot α står for rotasjon vinkelen α om origo, og vi har 

sammensetning. Hvis ( ) 

α ( β) = α + β 

Rot( ) Rot Rot( ) . Gruppeoperasjonen tilsvarer da addisjonen i gruppen ℝ 2π av 

reelle tall modulo 2π , eventuelt ℝ 360 av reelle tall modulo 360, hvis vinkler måles i radianer. 

4.2 Oppgaver 

4.2.1 

Vis at hvis 1 g og 2 

4.2.2 

Undersøk om følgende er grupper. 

− − − 

1 2 2 1 

g er to elementer i en gruppe, så er ( ) 1 1 1 

g g = g g 

a. Mengden ℤ + av naturlige tall ved addisjon 

b. Mengden ℚ av rasjonale ved addisjon 

c. Mengden av 2× 2-matriser 

ved addisjon. 

d. Mengden av 2× 2-matriser 

ved matrisemultiplikasjon. 

e. Mengden av 2× 2 matriser 

multiplikasjon. 

⎛a11 a12 

⎞ 

⎜ 

a a 

⎟ 

⎝ 21 22 ⎠ 

slik at a11a22 −a21a12 ≠ 0 ved matrise- 


4.2.3 

+ 

a⋅b I mengden ℚ av rasjonale tall >0 er det definert en binær operasjon ved at a b = . 

2 

+ 

Vis at ℚ blir en gruppe ved denne operasjonen. Hva blir det nøytrale element? Hva blir det 

inverse av g 

4.2.4 

+ 

∈ ℚ ? 

Vis at hvis ( , ) 

ba = c a⇒ b = c. 

4.2.5 

Vis hvis ( , ) 

G er en gruppe, så gjelder forkortingslovene: ab = a c⇒ b = c og 

G er en gruppe, så har ligningene a x = b og x a = b entydige løsninger i G. 

4.2.6 

Vis at det bare kan være ett nøytralt element i en gruppe, og at det inverse til et gitt element er 

entydig bestemt. 

4.2.7 

⎛a0⎞ La G være mengden av 2× 2-matriser 

på formen ⎜ 

0 b 

⎟, 

der a og b er 1 eller -1. Vis at G er 

⎝ ⎠ 

en gruppe ved matrisemultiplikasjon, og sett opp en multiplikasjonstabell. 


1 2 3 4 5 6 7 

4.3 Permutasjoner 

La An= {1,2, … , n} 

. En permutasjon av n A er en avbildning : σ An → An 

som er 1-1 og på. 

Det betyr at til hvert element x∈ Ani 

n A tilordnes ett og bare element ( ) σ x ∈ An., 

og 

omvendt: Til hvert element y∈ Anfins 

det ett og bare ett element x An 

y = σ x . 

Det betyr å arrangere de n tallene i en eller annen rekkefølge. Det er et kjent resultat fra 

n! = n n−1 n−2 

⋯ 321 ⋅ ⋅ måter. 

elementær kombinatorikk at dette kan gjøres på nøyaktig ( )( ) 

∈ slik at ( ) 

Mengden av slike permutasjoner kalles den symmetriske gruppen S n på n bokstaver. En 

permutasjon oppgis ofte ved at man setter opp en matrise med 2 rader. I første rad står tallene 

1,2, … ,ni 

den naturlige rekkefølgen. I andre rad står bildene av tallene ved permutasjonen. 

{ } 

Elementene i den symmetriske gruppen Sn er altså permutasjoner, som er bijektive 

avbildninger av n A på seg selv. Gruppeoperasjonen i Sn er funksjonssammensetning. 



⎛1 ⎜ 

⎝3 2 

1 

3⎞ 

2 

⎟ er den permutasjonen som avbilder 1 på 3, 2 på 1 og 3 på 2. Vi kan spesielt se på 

⎠ 

⎛1 permutasjonen ⎜ 

⎝2 2 

3 

3 

4 

… 

… 

n⎞ 

1 

⎟, 

som kalles en syklisk permutasjon, og ofte noteres 

⎠ 

1 2 3 … n . 

( ) 


⎛1 ρ1 

= ⎜ 

⎝2 2 

3 

3 

4 

4⎞ 

⎛1 1 

⎟, 

ρ2 

= ⎜ 

⎠ ⎝4 2 

3 

3 

2 

4⎞ 

⎛1 1 

⎟. 

Da er ρ1 ρ2 

= ⎜ 

⎠ 

⎝1 2 

4 

3 

3 

4⎞ 

2 

⎟, 

som vi kan 

⎠ 

ρ2 ρ1 

ρ2 ρ1 

ρ2 ρ1 

ρ2 ρ1 

”beregne” slik: 1⎯⎯→4⎯⎯→ 1, 

2⎯⎯→3⎯⎯→ 4, 

3⎯⎯→2⎯⎯→ 3, 

4⎯⎯→1⎯⎯→ 2. 

⎛1 2 3 4⎞ 

Det nøytrale elementet er identitetsavbildningen, som for S4 kan skrives ⎜ 

1 2 3 4 

⎟, 

og vi 

⎝ ⎠ 

kan finne den inverse til en permutasjon ved å lese matrisen ”nedenfra og opp”: Hvis P er 

matrisen til en permutasjon som vi skal invertere, setter vi opp en ny matrise Q med 2 rader 

og med tallene 1,2,…,n i første rad. Så finner vi 1 i andre rad av P, og ser hvilket tall som står 

over dette i første rad. Dette tallet setter vi så under 1 i Q. Vi gjør så tilsvarende med 2 osv. 

−1 −1 

⎛1 2 3 4⎞ ⎛1 2 3 4⎞ ⎛1 2 3 4⎞ ⎛1 2 3 4⎞ 

F. eks. er ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝4 3 2 1⎠ ⎝4 3 2 1⎠ ⎝3 4 2 1⎠ ⎝4 3 1 2⎠ 

4.4 Den n-te dihedrale gruppen 

En regulær n-kant har n rotasjonssymmetrier, nemlig rotasjonene vinklene 2π 

n ⋅ i for 

i = 0,1,..., n− 

1. 

I tillegg har den n speilsymmetrier om diagonalene gjennom origo hvis n er et 

partall og midtnormalene på sidene. Symmetrigruppen for den regulære n-kanten kalles den 

dihedrale gruppen D n . Vi kan identifisere disse symmetriene med de tilsvarende 

permutasjonene av hjørnene. 

Symmetrigruppen til den regulære n-kanten kalles for den dihedrale gruppen Dn og består 

av n rotasjoner og n speilinger om linjer gjennom origo som danner vinkelen π / n 

(180° n )med hverandre. 

4.4.1 Eksempel: D4 

For en regulær firkant, altså et kvadrat, har vi følgende 

symmetrier: 

R 

R 

R 

0 

1 

2 

⎛1 = ⎜ 

⎝1 2 

2 

3 

3 

4⎞ 

4 

⎟, 

identitetsavbildningen, 

⎠ 

⎛1 = ⎜ 

⎝2 2 

3 

3 

4 

4⎞ 

1 

⎟, 

rotasjon 90° 

⎠ 

⎛1 = ⎜ 

⎝3 2 

4 

3 

1 

4⎞ 

2 

⎟, 

rotasjon 180° , 

⎠ 


3 

S4 

y 

R2 

2 

R3 

4 

R1 

S3 

S2 

1 

S1 

x

⎛1 R3 

= ⎜ 

⎝4 2 

1 

3 

2 

4⎞ 

3 

⎟, 

rotasjon 270°, 

⎠ 

⎛1 S1 

= ⎜ 

⎝1 2 

4 

3 

3 

4⎞ 

⎛1 2 

⎟, 

speiling om x-aksen, S2 

= ⎜ 

⎠ 

⎝2 2 

1 

3 

4 

4⎞ 

3 

⎟, 

speiling om linja y=x, 

⎠ 

⎛1 S3 

= ⎜ 

⎝3 2 

2 

3 

1 

4⎞ 

⎛1 4 

⎟, 

speiling om y-aksen, S4 

= ⎜ 

⎠ 

⎝4 2 

3 

3 

2 

4⎞ 

1 

⎟, 

speiling om linja y=-x. 

⎠ 

Vi kan nå sette opp en multiplikasjonstabell for gruppen D4: 

D4 I R1 R2 R3 S1 S2 S3 S4 

I I R1 R2 R3 S1 S2 S3 S4 

R1 R1 R2 R3 I S2 S3 S4 S1 

R2 R2 R3 I R1 S3 S4 S1 S2 

R3 R3 I R1 R2 S4 S1 S2 S3 

S1 S1 S4 S3 S2 I R3 R2 R1 

S2 S2 S1 S4 S3 R1 I R3 R2 

S3 S3 S2 S1 S4 R2 R1 I R3 

S4 S4 S3 S2 S1 R3 R2 R1 I 

4.5 Undergrupper 

I tabellen ovenfor legger vi merke at hvis vi multipliserer sammen to rotasjoner, blir resultatet 

alltid selv en rotasjons. En slik mengde galles en undergruppe. 

La { G, } være en gruppe. En delmengde H ⊆ G kalles en undergruppe av G hvis den er 

lukket under gruppeoperasjonen og inversjon, dvs. vi har alltid g h∈H og 

g∈ H og h∈ H . 

−1 g ∈ H hvis 

Vi har da at mengden av rotasjoner Sn av den regulære n-kanten er en undergruppe av den 

dihedrale gruppen Dn. Den er en syklisk gruppe, og derfor en syklisk undergruppe av Dn. Vi 

har også andre undergrupper med bare to elementer, én for hver av speilingene: 

I, S , IS , , I, S , IS , . 

{ } { } { } { } 

1 2 3 4 

4.6 Homomorfier og isomorfier 

En homomorfi er en avbildning mellom grupper ϕ : ( G, ) →( 

H,* 

) slik at 

ϕ( g1 g2) = ϕ( g1) * ϕ( 

g2) 

i H er bildet av nøyaktig ett element i G), kalles en isomorfi. ( G, ) og ( ,* ) 

isomorfe. 

.En homomorfi som er bijektiv (dvs. som er slik at hvert element 

H sies da å være 

En homomorfi bevarer altså gruppeoperasjonene i de to gruppene. Det er vanlig å identifisere 

to grupper som er isomorfe, siden de har like mange elementer, og oppfører seg nøyaktig likt 

ved gruppeoperasjonen. 



Avbildningen ϕ : → S 

1 

ℝ definert ved at t Rot ( t) 

( x 2 ) ( x) 

1 

S kan skrives som ( t ) 

↦ er slik at ϕ( x y) ϕ( x) ϕ( 

y) 

+ = og 

ϕ + π = ϕ 

1 

. Det betyr at ϕ kan betraktes som en homomorfi 2π 

S → ℝ . Enhver 

rotasjon i 

ϕ for en t ∈ [ 0,2π 

) , så ϕ er en isomorfi. 


Mengden ℝ av reelle tall er en gruppe ved addisjon. Mengden ℝ + av reelle tall >0 er en 

gruppe ved multiplikasjon. Vi kan definere en isomorfi ℝ → ℝ + ved hjelp av 

x 

eksponentialfunksjonen x ↦ e . At dette er en homomorfi følger av regneregelen 

x+ y x y 

e = e ⋅ e . Den er også en bijeksjon med invers funksjon den naturlige 

logaritmefunksjonen x ↦ ln x. 


Mengden av rotasjoner om et fast punkt er 

sekskanten er en syklisk undergruppe av 

med ℤ 6 . 


1 

S . Rotasjonssymmetriene av den regulære 

1 

S som er generert av ( 3 ) 

Rot π , og den er isomorf 

⎛1 La oss se på en syklisk permutasjon σ = ⎜ 

⎝2 2 

3 

3 

4 

4⎞ 

1 

⎟ og så danne alle mulige potenser av 

⎠ 

2 ⎛1 denne: σ = ⎜ 

⎝4 2 

1 

3 

2 

4⎞ 

3 ⎛1 3 

⎟, 

σ = ⎜ 

⎠ ⎝4 2 

1 

3 

2 

4⎞ 

4 ⎛1 3 

⎟, 

σ = ⎜ 

⎠ ⎝1 2 

2 

3 

3 

4⎞ 

= I 

4 

⎟ , eller identitets- 

⎠ 

m n 

avbildningen. Disse vil danne en syklisk undergruppe av S 4 , og vi har σ σ 

Mod( m+ n,4) 

= σ , 

( ) 1 − 

n 4−n 

σ = σ . Men det betyr at denne gruppen er isomorf med ℤ 4 . Generelt er undergruppen 

⎛1 2 ⋯ n ⎞ 

av potenser av den sykliske permutasjonen ⎜ 

2 3 1 

⎟en 

undergruppe av S n som er 

⎝ ⋯ ⎠ 

isomorf med ℤ n . Men denne er også isomorf med en symmetrigruppe generert av en rotasjon 

vinkel 2 π /n. 


⎛1 Permutasjonen S = ⎜ 

⎝2 2 

1 

3 

3 

4⎞ 

3 

⎟ tilsvarer en speiling av et kvadrat. Siden 

⎠ 

en syklisk undergruppe av den symmetriske gruppen S4. 

4.7 Oppgaver 

2 

S I 

4.7.1 

Gitt følgende permutasjoner: 

⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ 

σ = ⎜ , , 

3 1 4 5 6 2 

⎟ τ = ⎜ µ 

2 4 1 3 6 5 

⎟ = ⎜ 

5 2 4 3 1 6 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

2 

2 

−2 −1 Finn (a) τ σ , (b) τ σ , (c) µ σ , (d) σ τ , (e) σ τ 

σ 

= , er { IS , } 


4.7.2 

⎛1 2 3 4 5⎞ 

La ρ være permutasjonen ⎜ 

2 4 5 1 3 

⎟. 

Beregn 

⎝ ⎠ 

2 3 4 5 

ρ , ρ , ρ , ρ og 

4.7.3 

Skriv opp permutasjonene i den dihedrale symmetrigruppen D3 for den regulære trekanten, og 

sett opp en multiplikasjonstabell for den. 

4.7.4 

Hva er symmetrigruppen for et rektangel? Sett opp en multiplikasjonstabell. 


6 

ρ . 

4.7.5 

Hva er symmetrigruppen for en rombe (en firkant der alle sidene er like lange)? 

4.7.6 

Hva er symmetrigruppen for et generelt parallellogram? 


1 2 3 4 5 6

5 Isometrier og similariteter 

Vi har gjennomgått definisjonen og de grunnleggende egenskapene til isometrier i avsnitt 1.3. 

I dette avsnittet skal vi studere isometrier nærmere, og spesielt se på symmetrier av en plan 

figur. 

5.1 Fikspunkt og fikslinjer 

La 

2 2 

U: ℝ →ℝ 

er en avbildning av planet på seg selv. 

Definisjon 5.1.1 

2 

A ∈ ℝ kalles et fikspunkt hvis U( A) = A 

2 

En linje ℓ⊆ℝ kalles en fikslinje hvis ( ) 

En linje 

U = 

U ℓ = ℓ 

2 

ℓ⊆ℝ kalles en fikspunktlinje hvis ℓ er en fikslinje bestående av fikspunkter: 

( ℓ) ℓ og ( ) 

U P = P for alle P ∈ ℓ 

En isometri kalles direkte hvis den bevarer omløpsretningen på en trekant. 

En isometri kalles motsatt hvis den snur omløpsretningen på en trekant 

5.2 Fire typer av isometrier 

5.2.1 Speilinger om en rett linje 

La m være en linje i planet, P et punkt. Speilbildet av P om m 

konstrueres slik: Du konstruerer normalen n fra P på m. 

Skjæringspunktet mellom m og n er F. På motsatt side av m 

avsettes avstanden PF, slik at vi får et punkt P’ slik at 

PF=FP’. Altså: P’ er bestemt ved at PP'⊥ m og 

d( PF , ) = d( FP , ') . Avbildningen P ↦ P'noteres 

S m fra nå 

av. En speiling er en motsatt isometri med speilaksen m som 

fikspunktlinje. I forrige kapittel så vi at matrisen til en speiling 

om en linje gjennom origo som danner vinkelen u med den 

⎛cos2u sin2u 

⎞ 

positive x-aksen, er ⎜ 

sin2u − cos2u 

⎟ 

⎝ ⎠ 

5.2.2 Rotasjon om et punkt 

Gitt en vinkel θ, rotasjonsvinkelen, og et punkt O, rotasjonssenteret. Hvis P er et punkt i 

planet, konstrueres bildet av P ved rotasjon vinkelen θ om O ved at man avsetter vinkelen θ 

fra linjestykket OP og deretter slår en sirkel om O med radius OP, slik at altså ∠ POP ' = θ og 

OP = OP ' . Avbildningen P ↦ P'noteres 

R θ eller om nødvendig RO θ . En rotasjon er en 

direkte isometri med rotasjonssenteret som fikspunkt. Det er ingen fikslinjer eller 

fikspunktlinjer. En rotasjon vinkel v kan settes sammen av to speilinger som danner vinkelen 

v/2 med hverandre. Se figuren til høyre nedenfor. Fra forrige kapittel vet vi at matrisen til en 

⎛cosv −sin 

v⎞ 

rotasjon vinkelen v er Rv 

= ⎜ 

sinv cosv 

⎟. 

⎝ ⎠ 


m 

P 

n 

F 

P'

u u 

O 

P' 

Ru 

P 

v/2 v P" 

5.2.3 Translasjon 

Gitt en vektor a. Det translaterte bildet P’ av et punkt P vektoren a 

 

er da definert ved at PP ' = a . Avbildningen P ↦ P'noteres 

Ta fra 

nå av. Vektoren a kalles translasjonsvektoren, En translasjon er en 

direkte isomorfi uten fikspunkt. Enhver linje parallell med 

translasjonsvektoren er en fikslinje, men ikke fikspunktlinje. 

I forrige underavsnitt så vi at sammensetningen av to 

speilinger om to linjer gjennom samme punkt O er en 

rotasjon omkring dette punktet. Translasjoner kan også 

skrives som produktet av to speilinger, men nå omkring to 

parallelle speilakser. De to speilaksene står normalt på 

translasjonsvektoren og har avstand lik halve lengden av 

translasjonsvektoren. 

En translasjon kan ikke uttrykkes ved hjelp av 2× 2- 

matrise, men vi så i avsnitt 3.2.5 hvordan den kan uttrykkes 

⎛1 0 a⎞ 

ved hjelp av 

⎜ 

3× 3−matrisen 

0 1 b 

⎟ 

⎜ ⎟ 

i homogene 

⎜0 0 1⎟ 

⎝ ⎠ 

koordinater, der (a,b) er translasjonsvektoren. 

5.2.4 Gliderefleksjon 

En gliderefleksjon er sammensetningen av en 

speiling og en translasjon langs en vektor a 

som er parallell med symmetriaksen m for 

speilingen. En gliderefleksjon er en motsatt 

isometri uten fikspunkt, men med speilaksen 

som fikslinje, men ikke fikspunktlinje. 

Gliderefleksjoner kan ikke uttrykkes som en 

2× `2 −matrise, siden den inneholder en 

translasjon, men vi kan uttrykke den ved hjelp av homogene koordinater og 3× 3-matriser. 


v/2 

P' 

P 

l 

P 

S1 

P 

m 

a 

T 

a 

a 

S2 

a 

P' 

P'

5.3 Klassifikasjon av isometrier 

5.3.1 Isometrier med fikspunkt 

Vi skal nå klassifisere isometrier ved hjelp av opplysninger om isometrien har fikspunkt, 

fikslinje, fikspunktlinje, og om de er direkte eller motsatte. 

Teorem 5.3.1. Hvis U er en isometri med minst to fikspunkter A og B, 

gjelder: 

1. U er identitetsavbildningen, hvis U er direkte. 

2. U er en speiling om linja ( AB , ) 

ℓ , hvis U er motsatt. 

Bevis. Velg en trekant ABC. Når A og B er fikspunkt, avbildes ∆ ABC 

på en trekant ∆ ABC ' , slik at d( AC , ') = d( AC , ) og 

D 

( BC ) ( BC) 

d , ' = d , . Det gir to muligheter for C’: C eller D, jfr. 

figuren. Hvis C’ er C, har vi identitetsavbildningen. Hvis C’ er D, har 

ℓ AB , . 

C 

vi en speiling om ( ) 

Teorem 5.3.2. Hvis en isometri U har minst ett fikspunkt A, er 

1. U en rotasjon om U, hvis U er direkte 

2. U en speiling om en linje gjennom A, hvis U er motsatt 

Bevis. Velg en trekant ABC, der A er fikspunktet. 

1 

Anta først at U er direkte, og la θ =∠ BAB' 

. La R være rotasjonen om A vinkelen θ . R − er 

-1 

da rotasjon vinkelen − θ , og dette er en direkte isometri. R U er da en direkte isometri som 

-1 

har A og B som fikspunkt. Etter teorem 5.3.1 er da R U=I, og U=R. 

Anta så at U er motsatt. La m være 

halveringslinja for ∠ BAB' 

, og la S være 

speiling om m. S er da en motsatt 

isometri, og SU blir en direkte isometri 

med to fikspunkt A og B. Etter teorem 4 

-1 

er da SU=I, og U=S =S. 

Isometriene med minst ett fikspunkt er 

altså enten en rotasjon om dette 

fikspunktet eller en speiling om en linje 

gjennom dette punktet. Vi kan anta at 

A B 

fikspunktet er origo O:(0,0). I kapittel 3 om matriser så vi at matrisen til et en slik isometri 

⎛cosθ enten på formen Rθ = ⎜ 

⎝sinθ −sinθ⎞ 

cosθ 

⎟ for en rotasjon vinkelen θ eller 

⎠ 

⎛cosα Sα = ⎜ 

⎝sinα sinα 

⎞ 

α 

−cosα 

⎟ for speiling om en linje som danner vinkelen med x-aksen.. 

⎠ 

2 

C' 


B' 

C 

A 

B 

B' 

A B

5.4 Isometrier uten fikspunkt 

En isometri uten fikspunkt er enten en translasjon eller en gliderefleksjon: 

Teorem 5.4.1: En isometri U uten fikspunkt er 

(i) en translasjon hvis den er direkte og 

(ii) en gliderefleksjon hvis den er motsatt. 

Bevis. Velg en trekant ∆ ABC , som U avbilder på en kongruent 

trekant ∆ ABC ' ' '. 

vi. Anta at U er direkte. La L være midtnormalen på linjestykket AA’, 

og la S være speiling om L. SU er da en motsatt isometri med A 

som fikspunkt. Den er dermed en speiling S’: SU = S. 

Dermed er 

−1 

U = S S'= SS'. 

Siden U ikke har fikspunkt, må da U være en translasjon. 

 

1 

vii. Anta at U er motsatt., og la T være translasjon vektoren AA' 

. T U 

− 

er da en motsatt 

1 

isometri med A som fikspunkt. T U 

− 

A' 

er derfor en speiling 

−1 

S om en linje L: T U = S. 

Da er U = TS . La L2 være 

U(L) 

midtparallellen mellom L og U(L). La T” være 

 

translasjonen 

 

vektoren 

 

AF 

 

og T’ translasjonen vektoren 

FA' 

. Siden AA'= AF + FA', 

er 

U = TS = ( T" T') S = T" ( T' S) = T" ( ( S" S) S) = T" S" 

Det 

 

er en gliderefleksjon om L2 vektoren AF . 

A 

A' M 

L 

Korollar 5.4.2. Enhver plan isometri kan skrives som et produkt av høyst tre speilinger. 

Eller ekvivalent: Gruppen av plane isometrier er generert av speilingene. 

Vi kan nå oppsummere resultatene om isometrier i følgende tabell: 

De plane 

isometriene 

Med fikspunkt Uten fikspunkt 

Direkte Rotasjon= Produktet av to 

speilinger 

Translasjon= 

Produktet av to speilinger 

Motsatt Speiling Gliderefleksjon= 

Produktet av tre speilinger 

Denne tabellen er nøkkelen til å løse mange av oppgavene i dette stoffet: Som regel er det 

enkelt å avgjøre om en isometri er direkte eller motsatt, f. eks. ved å telle antallet speilinger i 

en sammensetning. Når det er gjort, må du se etter fikspunkt for å avgjøre hvilken kolonne 

vedkommende isometri skal plasseres i. Så må du finne eventuelle rotasjonssentre, rotasjonsvinkel, 

translasjonsvektor, speilsymmetriakse, alt etter hva slags isometri du er kommet til at 

du har fått oppgitt. 


A 

L

5.5 Oppgaver 

5.5.1 

Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. 

5.5.2 

Bruk matriseregning med homogene koordinater til å vise at en translasjon er sammensetning 

av to speilinger. 

5.5.3 

Bruk matriseregning med homogene koordinater til å finne matrisen til en gliderefleksjon. 

5.5.4 

La R α være rotasjon om origo vinkel α , og S β speiling om en linje gjennom origo som 

danner vinkelen β med den positive x-aksen. Bestem avbildningene 

(a) Rα Rβ 

, 

5.5.5 

Hvis 

2 

Rα , 

⎛a b⎞ 

A = ⎜ 

c d 

⎟ 

⎝ ⎠ 

a. Vis at hvis 

R α 

, 

− 1 

, (b) Sα Sβ 

2 

Sα , 

S α 

− 1 

, (c) Rα Sβ 

er en 2× 2-matrise, 

er den transponerte 

T 

A⋅ A = I, 

så er A enten på formen 

⎛cosα sinα 

⎞ 

Sα = ⎜ 

sinα −cosα 

⎟. 

⎝ ⎠ 

b. Vis at ( ) T T T 

A B B A 

⋅ = ⋅ og ( ) T 

T 

A = A 

c. Vis at alle de reelle 2× 2-matrisene 

som er slik at 

matrisemultiplikasjon 

, S R 

β α 

T 

A definert ved at 

T ⎛a c⎞ 

A = ⎜ 

b d 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛cosθ −sinθ⎞ 

Rθ = ⎜ 

sinθ cosθ 

⎟ eller på formen 

⎝ ⎠ 

T 

A⋅ A = I, 

danner en gruppe ved 

d. Vis at gruppen i c. er isomorf med gruppen av plane isometrier med fast fikspunkt. 

5.5.6 

Vi bruker følgende betegnelser for kongruens-avbildninger eller isometrier: 

La l være en gitt linje. Da lar vi S l eller enklere L bety speiling i linja l. 

La O være et gitt punkt og v en gitt vinkel. Da lar vi RO vinkel lik v i positiv dreieretning (mot urviserne). 


v 

betegne rotasjon om punktet O en 

La α være en geometrisk vektor, et linjestykke med retning. Da lar vi T α betegne 

parallellforskyvningen bestemt ved vektoren α . 

Hvis X og Y er to isometrier, lar vi XY bety den sammensatte isometrien ved at Y brukes først, 

og så X. 

Vis følgende: 

a. Er S en speiling, så er S 2 = I

. Er l og m to linjer som skjæres i et punkt P, og der ∠(l, m) = v så er produktet av de to 

2v 

speilingene ML = RP u 

v 

c. Er RP og RQ to rotasjoner så er produktet en rotasjon med rotasjonsvinkel (u + v). 

u v w 

Altså: RQ RP = RK Vis dette, og vis at w = u + v. Bestem sentrum K. 

5.5.7 Fra Eksamen mai 2000, oppgave 3b 

Gitt to linjer l og m som skjærer hverandre i et punkt A. Vinkelen mellom, ( lm , ) 

∠ , er 60° . 

Et annet punkt B ligger også på l, og i den rettvinklede trekanten ABC er ∠ ABC = 60°, 

slik 

figuren viser: 

A 

60.0 ° 

m 

60.0 ° 

C 

B 

l 

Sl er speiling om linja l, Sm er speiling om linja m, og 

Bestem følgende tre isometrier: 

(1) SmS l ( S l anvendt først) (2) 

60 

SmSR l A 

° (3) 

60 

R A 

° er rotasjon 60° om punktet A. 

R SS 

60° 

A l m 

5.5.8 Fra eksamen mai 1995, oppgave 2 b,c,d 

Gitt en linje ℓ og et punkt P. La S være speiling om ℓ , og la R være rotasjon om P 180° . 

a. Bestem RS (S anvendes først), SRS og RSR når P ligger på ℓ . 

b. Bestem RS, SRS og RSR når P ikke ligger på ℓ . 

c. Gitt en likebeint, rettvinkla trekant ∆ ABC med A 90 

∠ = °, og la = ( AC , ) 

ℓ ℓ . Tegn den 

figuren som framkommer ved gjentatt bruk av R og S eller en kombinasjon av disse, når 

(i) P=A og når (ii) P=B. 

5.5.9 

Vis at produktet av to rotasjoner om to punkter A og B med A≠ B begge en vinkel π /2 er 

det samme som rotasjon en vinkel π om midtpunktet av et kvadrat med AB som side. 

5.5.10 

Gitt tre punkter O, P og P’ på ei linje l i planet. La T være en translasjon PO 

, og la S være 

speiling om midtnormalen på linjestykket OP’. Vis at ST (T anvendes først) er speiling om 

midtnormalen på linjestykket PP’. Bestem avbildningen STS. 

5.5.11 

I planet er gitt to punkter A= ( a,0) 

og B ( 0, b) 

= , der a > 0, b > 0, 

La G1 være 

 

gliderefleksjonen definert ved OA og x-aksen, og la G2 være gliderefleksjonen definert ved 

 

OB og y-aksen. 

a. Finn bildet av et vilkårlig punkt P(x,y) ved G1, G2 og sammensetningen G2 G1, der G1 

anvendes først. 

b. Vis at G2 G1 er en rotasjon 180° , og bestem rotasjonssenteret. 


5.5.12 

La A og B være to forskjellige punkter i planet. La R være rotasjon en vinkel v om punktet A 

som ikke er identitetsavbildningen og T en translasjon gitt ved at A avbildes på B. 

a. Vis at TR (der R anvendes først) er en rotasjon. 

b. Konstruer fikspunktet til TR, og vis at rotasjonsvinkelen er v. 

c. Vis at det fins en translasjon T’ slik at RT’=TR. 

5.5.13 Eksamen i MA-104 27.mai 2005 

 

a. Tegn en trekant ABC der ∠ C = 90 . Konstruer innsirkelen til trekanten, og kall sentrum i 

denne for I. Nedfell normalene fra I på hver av de tre sidene. Kall fotpunktene for 

normalene for hhv. A′ (på BC), B′ (på AC) og C′ (på AB). 

b. Vis at ∠ AIB = 135°. 

Vi skal se på følgende isometrier: 

• SA, SB, S C er speilinger om linjene hhv. AI, BI og CI 

• SAB, SBC, S AC er speilinger om sidene AB, BC og AC i trekanten 

• RA, RB, R C er rotasjoner hhv. ∠ A om A, ∠ B om B og ∠ C om C. Bruk positiv 

omløpsretning på alle rotasjonene. 

c. Hvordan kan rotasjonen A R kan skrives som et produkt av to speilinger, der S A er den ene 

av dem? 

d. Se på symmetrien SS B A ( S A anvendes først). Har denne symmetrien fikspunkt, og i så fall 

hvilket? Hva slags symmetri er det? Uttrykk symmetrien på en enkel måte. 

e. Uttrykk SCR C som en enkel isometri. 

f. Vis at RR A B = SS A B. 

Uttrykk også denne isometrien på en enkel måte. 

g. La T være isomorfien RRR A B C. 

Vis at B′ er et fikspunkt for T. Hvordan virker T? 

5.5.14 Eksamensoppgave mai 1998, oppgave 2 

Gitt et punkt S i planet og en linje l som ikke går gjennom S. Normalen fra S på l skjærer l i 

v 

G. R er rotasjon om S en vinkel v. Anta at R ( l) = l'. 

v 

S 

a. Hvorfor er vinkelen mellom l og l’ lik v: ( , ') 

S 

∠ ll = v? 

Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten ABC er det tegnet tre likesidede trekanter 

∆AC' B, ∆ BA'Cog ∆ CB'A. b. Vis, for eksempel ved å se på en rotasjon om A med rotasjonsvinkel v = 60°, 

at 

CC' BB' 

∠ CCBB ' , ' = 60°. 

Kall skjæringspunktet mellom C’C og BB’ for F. 

= og at ( ) 

Vis at omsirkelen til ∆ AC'B går gjennom F. 

F kalles trekantens Fermatpunkt. 

c. Vis at ∠ AFC = 120°, 

og at firkanten AFCB’ er syklisk (dvs. at den har en omsirkel). 

Hvorfor er også ∠ CFB = 120°, 

og firkanten BA’CF også syklisk? 

Anta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene ∆AC' B, ∆ BA'Cog ∆ CB'A er P, Q 

og R henholdsvis. 


d. Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er ∆ PQR likesidet? 

5.5.15 

Lenker til løsningsforslag: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

5.6 Symmetrigruppen til en plan begrenset figurer 

I det følgende skal vi benytte oss av følgende teorem, som vi her må godta uten bevis. 

Setning 5.6.1 La F være en plan begrenset figur. Da finnes det en minste sirkel C(F) slik at 

F ⊆ C 

En følge av denne setningen er: 

Setning 5.6.2 C(F) er invariant under symmetriene på F: Hvis F er en plan begrenset figur, og 

U er en symmetri av F, vil U(C(F))=C(F). 

Bevis. Anta at det fins en isometri U slik at 

U(F)=F og UCF ( ( )) ≠ CF ( ) . Men siden U er en 

isometri, må U(C(F)) være en sirkel, fordi 

avstandene til sentrum i sirklene C(F) hhv. 

U(C(F)) må være de samme. Vi må da ha et bilde 

som ser ut som på figuren til høyre. Både C(F) 

C(F) 

U(C(F)) 

og U(C(F)) må omfatte figuren F. F må derfor 

være inneholdt i snittet mellom de to sirklene, og 

dette snittet vil være inneholdt i en sirkel D, som 

D 

må ha mindre diameter enn C(F), dersom de to sirklene C(F) og U(C(F)) ikke er identiske. 

Det er umulig, siden C(F) er den minste sirkelen som inneholder F. Derfor må 

U(C(F))=C(F), og sirkelens sentrum må være et fikspunkt for U. 

Sentrum i C(F) er altså felles fikspunkt for alle symmetriene på F. Av teorem 5.3.2 følger da: 

Setning 5.6.3 De mulige symmetrioperasjonene på en plan begrenset figur er rotasjoner om et 

fast punkt og speilinger om linjer gjennom dette punktet. 

Anta nå at F er en plan, begrenset og lukket figur. Lukket betyr at den innholder alle sine 

randpunkter: Hvis enhver sirkel med sentrum i et punkt P i planet inneholder et punkt fra F, 

ligger punktet P selv i F. Vi skiller da mellom to tilfeller: F er speilsymmetrisk eller F er ikke 

speilsymmetrisk. 

Tilfelle 1: F har ikke speilsymmetrier. 

Hvis F ikke har speilsymmetrier, må alle symmetrier være rotasjoner. F kan da ikke bestå av 

bare konsentriske sirkler eller områder begrenset av konsentriske sirkler, fordi F da ville være 

speilsymmetrisk om enhver akse gjennom sirklenes sentrum. 

Da vil enhver rotasjon være en symmetri, og symmetrigruppen vil være isomorf med gruppen 

ℝ , som er gruppen av reelle tall med gruppeoperasjon ( xy , ) ↦ Mod( x+ y,360) 

, resten 

360 

ved divisjonen (x+y)/360. Hvis vinkelen er målt i radianer, blir symmetrigruppen ℝ 2π . 

Da må det finnes en minste vinkel α slik at rotasjonen Rα er en rotasjonssymmetri for F. 

Hvis β ∈ [ 0,2π) 

er en annen vinkel slik at Rβ er en rotasjonssymmetri for F, kan vi bruke 

Euklids divisjonsalgoritme på paret ( , ) 

αβ og skrive β = k⋅ α + r , der 0 ≤ r < α . Da er 


( ) 

R = RR = RR = R R , og dette må også være en symmetri av F, siden 

1 k 

−k− r β −ka ⋅ β α β α 

symmetriene danner en gruppe. Men siden α er den minste vinkelen som gir 

rotasjonssymmetri, er dette bare mulig hvis r = 0 . Derfor må β = k ⋅ α , alle 

rotasjonssymmetrier må være på formen k R ⋅ α . Spesielt må 2 R ⋅ π være blant disse, så α må 

° 2π 

(eller hvis vinkelen er målt i radianer). Symmetrigruppen består da av 

være på formen 360 

n 

⎧⎪ ⎫⎪ 

⎨R 360 ° | k∈{ 0,1,2,..., n−1} 

⎬ 

k⋅ 

⎪⎩ n 

⎪⎭ 

R ↦ k . 

isomorfien 360° 

k⋅ 

n 

Tilfelle 2: F har speilsymmetrier. 

n 

, og denne er isomorf med ℤ n av hele tall modulo n ved 

Det enkeleste tilfellet er når F har bare en speilsymmetri. Da består symmetrigruppen bare av 

denne speilsymmetrien i tillegg til identitetsavbildningen. 

Anta så at F har minst to speilsymmetrier S1 og S2, og anta at speilaksene skjærer hverandre i 

fikspunktet under en vinkel α . Vi har da at SS 2 1 = R2α, slik at F også må ha rotasjonssymmetrier. 

Det må da være en minste positiv vinkel som gir rotasjonssymmetri, og vi kan 

360° 

anta at 2α 

= er denne minste positive vinkelen. α er da den minst mulige positive 

n 

vinkelen mellom to speilakser. Symmetrigruppen består da av de n rotasjonene 

180° 

{ I, R2α, R4α, … , R2( 

n−1) 

α } samt de n speilingene { S1, S2, … , Sn} 

som danner vinkelen α = 

n 

med hverandre. Denne gruppen kalles som kjent den n-te dihedrale gruppen Dn. 

Endelig kan det tenkes at F består av bare konsentriske sirkler og områder begrenset av slike. 

Da er enhver rotasjon om senteret og enhver speiling om en linje gjennom senteret en 

symmetri, og symmetrigruppen er gruppen av alle isometrier med fast fikspunkt, som er 

T 

isomorf med gruppen O2 av alle 2× 2−matriser 

slik at A⋅ A = I, 

jfr. oppgave 5.5.5. 

V i resymerer resultatene fra dette avsnittet i følgende setning: 

Setning 5.6.3 La F være en plan, begrenset og lukket figur. 

1. Hvis F ikke bare består av konsentriske sirkler eller sirkelbånd, så er F’s symmetrigruppe 

gitt ved eller isomorf de endelige gruppene 

{I} hvis F ikke har noen symmetrier 

ℤ n hvis F bare har rotasjonssymmetrier og 360° 

er den minste positive vinkelen som gir 

n 

rotasjonssymmetri. 

D , den n-te dihedrale gruppen hvis F speilsymmetrier og rotasjonssymmetrier, og 360° 

n 

er den minste positive vinkelen som gir rotasjonessymmetri. D n består av n 

rotasjonssymmetrier og n speilsymmetrier om akser som danner vinkelen 180° 

med 

n 

hverandre. 

2. Hvis F består av konsentriske sirkler eller sirkelbånd, er symmetrigruppen hele O 2 , 

gruppen av isometrier med fast fikspunkt. 


n

5.7 Oppgaver 

Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til 

eksamen i geometri. De er som regel enkle å løse. Her er et utvalg: 

5.7.1 Eksamensoppgave mai 1997, oppgave 3 

a. Hvilken symmetrigruppe har hver av disse skissene (tilnærmet)? Skissene er hentet fra 

arkitekturen. 

b. Betrakt følgende figur: 

Figuren har en rotasjonssymmetri R, med minste positiv 

vinkel. Hvor stor er denne vinkelen? Anta at symmetrien 

L er en speiling om linja l. Hvilke symmetrier er da RL 

og LR? 

c. Anta nå at R er en rotasjon en gitt vinkel v om et gitt 

punkt P. Anta også at T er en parallellforskyvning 

bestemt ved en gitt vektor a . Bestem da 

avbildningene TR (R anvendes først), RT og 

−1 

T RT . 


n 

o 

p 

m 

l

5.7.2 Eksamen mai 1998, oppgave 2 

Bestem symmetrigruppene til hver av disse figurene: 


d. Skriv ned symmetrigruppene til følgende figurer: 

e. Tegn inn det felles fikspunkt for isometriene i symmetrigruppa til figur G1 nedenfor. Gjør 

det tilsvarende for figur G2. 

G 1 

G 2 



Skriv ned symmetrigruppene til hver av følgende seks figurer: 

5.7.5 Eksamen august 2003, oppgave 2 

a. Bestem symmetrigruppene til de seks figurene under: 

Gitt en trekant en trekant ABC = α , der hjørnet A har koordinater (1,1), B=(5,1) og C=(3,3). 

I x , x = − x , x I x , x = −x , − x I x , x = x , x − 4 

Gitt også isometriene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 2 

b. Klassifiser isometriene ved å se på I ( ) , I ( ) 

α α og I ( α ) . 

1 2 

c. Klassifiser homotetien S hvor S( x , x ) ( 3 x ,3x 6) 

1 2 1 2 

forstørrelsesfaktoren og sentrum til homotetien. 


3 

= − . Det vil sis å finne

5.7.6 Mai 2005, oppgave 1 

Gitt en firkant ABCD med hjørner A:(4,0), B:(7,2), C:(5,4) og D:(2,1). Denne firkanten er 

motivet i en symmetrisk figur. 

a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z 4 . 

b) Tegn figuren, når den skal ha symmetrigruppe D 4 . 

c) Konstruer figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z 6 . 

d) Gitt symbolet . Skriv ned symmetrigruppen for symbolet, og oppgi koordinatene til 

et polygon som genererer symbolet ved denne symmetrigruppen. 

5.7.7 Mai 2007, Oppgave 4 

a. På svarark 3 er det gitt 12 figurer. Skriv ned symmetrigruppen for hver av figurene på 

svararket. Skriv korte begrunnelser for svarene. Marker på svararket eventuelle 

rotasjonssenter og speilsymmetriakser. 

S10 

S7 

S1 

S4 

S2 

S5 

S8 S9 

S11 


1 2 3 4 5 6 7 


S3 

S6 

S12

5.8 Klassifikasjon av similariteter 

I avsnitt 1.5 gjennomgikk vi definisjoner og elementære egenskaper ved similariteter. 

Vi skal nå klassifisere similaritetene på tilsvarende måte som vi gjorde med isometrier. 

En similaritet som har tre fikspunkter som ikke ligger på linje, må være identitetsavbildningen, 

siden en similaritet er bestemt ved virkningen på en trekant. En similaritet som 

har to fikspunkt, bevarer avstanden mellom disse, og må derfor være en isometri. En ekte 

similaritet (dvs. med faktor ≠ 1) 

kan derfor ha høyst ett fikspunkt. Men den har også alltid 

minst ett fikspunkt: 

Setning 5.8.1 En similaritet som ikke er en isometri, har et fikspunkt. 

Bevis. La U være en similaritet med faktor k1, ser vi på følgen 

−n 

A P| n = 1,2,... . 

{ } 

Klassifikasjon av similariteter foregår nå ved hjelp av følgende setning: 

Setning 5.8.2 Anta at L er en similaritet med faktor k ≠ 1 med fikspunkt E. Da er L 

i. produktet av en rotasjon og en homoteti med felles fikspunkt E hvis L er direkte. 

ii. produktet av en speiling og en homoteti med felles fikspunkt E hvis L er motsatt 

Bevis. Vi velger en trekant ∆ ABC , som avbildes ved L på 

∆ AB'C'. Avsett AB”=AB langs AB’ og AC”=AC langs AC’. 

C" 

Trekantene ∆ ABC og ∆ AB" C" 

definerer entydig en isometri U 

B" 

med A som fikspunkt. Hvis nå Ak er homotetien med sentrum i 

A og faktor k, vil L og AkU ha samme virkning på trekanten 

ABC og derfor være like: L=AkU. Siden Ak er direkte, vil L 

være L være direkte eller motsatt etter som U er direkte eller 

motsatt. 

C' 

B' 

C 

Vi kan derfor stille opp et skjema som kan brukes til å 

A B 

klassifisere similariteter på samme måte som skjemaet for isometrier i avsnitt 5.4: 

De plane similaritetene Med fikspunkt Uten fikspunkt 

Direkte Produktet av rotasjon og 

homoteti med felles 

fikspunkt 

Motsatt Produktet av speiling og 

homoteti med felles 

fikspunkt 

Translasjon 

Gliderefleksjon 

5.8.1 Eksempel: Von Kochs snøflakkurve 

Fraktaler er et populært emne innenfor datagrafikk, og en klasse av fraktaler kan definerer ved 

hjelp av similariteter. Her er et eksempel. Vi starter med et linjestykke L med lengde 1 fra 

origo til punktet (1,0). Vi lar H være homotetien med sentrum i origo og faktor 1 

3 . Så 

definerer vi fire isometrier: I1=Identiteten, I2= Rotasjon 60° etterfulgt av translasjon vektor 


1 ( 3 ) ,0 , I3 = Rotasjon 60 

2 vektor ( ,0 ) . 

3 

1 1 

− ° etterfulgt av translasjon vektor ( 2 6 ) 

Vi ser deretter på similaritetene T1⋅H, T2 ⋅H, T3 ⋅ H og T4⋅ H . Hvis vi 

nå bruker alle disse similaritetene etter tur på linjestykket L. Resultatet 

blir en figur som ser slik ut: 

I neste omgang anvender vi de samme similaritetene på den nye 

figuren: 

, 3 , og I4=Translasjon 

Slik fortsetter vi inntil vi ikke ser noen endring. I praksis betyr det at du kommer ned under 

oppløsningen som skjermen eller skriveren kan håndtere. Denne figuren heter von Kochs 

snøflakkurve (etter oppfinneren Helga von Koch), og er altså et eksempel på en fraktal. DE 

første seks av dem ser slik ut: 

Hvis vi lager tre kopier av den siste og avsetter dem langs sidene i en likesidet trekant, får vi 

en figur som ser slik ut, og som rettferdiggjør betegnelsen snøflakkurve: 


5.9 Oppgaver 

5.9.1 

a. Hva er matrisen til en homoteti med origo som sentrum og homotetifaktor k? 

b. Hva er matrisen til en homoteti med sentrum i (a,b) og faktor k? 

c. Undersøk fikspunkt og fikslinjer for en homoteti. Er en homoteti direkte eller motsatt? 

5.9.2 

Vis at mengden av homotetier med fast fikspunkt O danner en gruppe ved 

funksjonssammensetning, Begrunn at denne gruppen er isomorf med gruppen av reelle tall 

≠ 0 ved multiplikasjon. 

5.9.3 

Vis at de plane similaritetene utgjør en gruppe ved funksjonssammensetning, og at 

isometriene er en undergruppe av denne. 

5.9.4 

a. Gitt parabelen 

2 

y x 

parabelen ved homotetien H 

= og homotetien H ved at ( xy , ) ( 2,2 x y) 

↦ . Bestem bildet av 

b. Vis at det fins en homoteti med sentrum i oriogo som avbilder parabelen 

på parabelen 

2 

y = b⋅ x (b>0). 

2 

y = a⋅ x (a>0) 

c. Vis at hvis P1 og P2 er to vilkårlige parabler i planet, så fins det en similaritet f slik at 

f( P) = P . 

5.9.5 

1 2 

La t P være homotetien med sentrum i P og faktor t og Q u homotetien med sentrum i Q og 

faktor u. P og Q er to forskjellige punkter. 

a. Sett t=u=2. Angi på en tegning bildene av P og Q ved den sammensatte avbildningen 

QP, u t der P t anvendes først. Tegn også bildet av et punkt R som ikke ligger på linja PQ. 

b. Vis at QP u t er en homoteti, og bestemt sentrum og homotetifaktor for denne. 

c. Hva blir QP u t hvis 

t = 2, u = 

1 

2 

d. Bestem den minste transformasjonsgruppe som er slik at den inneholder alle t P og Q u for 

tu∈ , ℝ . Er denne gruppa abelsk? 


1 2 3 4 5 

5.10 Bandmønstre 

I dette avsnittet skal vi se på enkeltperiodiske mønstre eller band-mønstre. Vi ser på figurer 

eller delmengder av planet som er ubegrenset i x-retningen, men begrenset av et intervall 

aa , 

ℝ ×−aa 

, ; la oss kalle 

[ − ] i y-retningen. Figuren er altså en delmengde av mengden [ ] 

dette et bånd. x-aksen kalles i denne forbindelsen for lengdeaksen, og enhver linje parallell 

med y-aksen kalles en tverrakse. Hvis figuren bare består av vannrette linjer (dvs. linjer som 

er parallelle med x-aksen) vil enhver translasjon parallell med x-aksen være en symmetri av 


åndet. Symmetrigruppen vil da være isomorf med { ℝ ,+ } . Vi skal anta at båndet har et motiv 

som gjentas periodisk. Da finnes en minste lengde v slik at vektoren v = {,0} v er en 

translasjonssymmetri for båndet. Enhver annen translasjonssymmetri av båndet kan da skrives 

som k ⋅ v . Dette kan bevises ved hjelp av Euklids divisjonsalgoritme på samme måte som i 

ℤ ,+ . Men i tillegg kan vi kombinere med 

avsnitt 5.6. Symmetrigruppen er da isomorf med { } 

en eller flere av følgende isometrier, som alle har lengdeaksen som fikslinje: 

• Speiling om lengdeaksen 

• Gliderefleksjon om lengdeaksen 

• Speiling om tverrakser 

• Rotasjon 180° om et punkt på lengdeaksen. 

Følgende teorem (som vi her godtar uten bevis) gjelder: 

Setning 5.10.1. Det finnes nøyaktig 7 ulike båndmønstre, som er gitt i tabellen nedenfor: 

Eksempel 

Symmetrigruppe med 

generatorer 

r1: bare translasjoner: ℤ . 

I de andre har vi 

translasjoner og i tillegg 

I de andre båndmønstrene har vi translasjonssymmetriene fra gruppen r1 ≅ ℤ , men i tillegg 

andre symmetrier, som er beskrevet nedenfor: 

r11 - speiling om 

lengdeaksen, isomorf med 

ℤ × D1 

r11g – gliderefleksjon a/2 

langs lengdeaksen. 

Isomorf med ℤ 

r1m – og speilinger om to 

tverrakser i avstanden a/2. 

Isomorf med D. 

r2 – og halvrotasjon om 

cellens midtpunkt. 

Isomorf med D. 

A B 

m 

n 

r2mg – halvrotasjoner om 

A og speiling om tverrakse. 

Isomorf med D× ℤ 2 

r2mm – speiling om 

tverrakser i avstanden a/2 

og om lengdeaksen, 

isomorf med D×D 1 

Når vi skal tegne et bånd, bestemmer vi først symmetritypen etter tabellen ovenfor og ett eller 

flere motiver. Disse motivene utgjør det som kalles et fundamentalområde. For et gitt bånd 

kan fundamentalområde kan fundamentalområdet velges på mange måter. Vi må bare sørge 

for at det genererer alle figurene i båndet uten at noen del av det blir tegnet flere ganger. Så 

bruker vi symmetriene til å tegne båndet. 


Det er klart at symmetrigruppen r1 er isomorf med gruppen { ℤ ,+ } . La oss tilsvarende gå 

gjennom de sju tilfellene i tabellen ovenfor og vise eksempler. De to første eksemplene er 

laget med programmet Tess, resten med Cabri 2 Plus. 

5.10.1 Symmetrigruppen r1 

Som nevnt er symmetrigruppen isomorf med { ℤ ,+ } . Skal vi tegne et bånd med denne 

symmetrigruppen, må vi velge et motiv som ikke har noen symmetrier. 

5.10.2 Symmetrigruppen r11m 

Her er et eksempel: 

Fundamentalområde 

Et fundamentalområdet for båndet tegnet til høyre. 

Symmetriene for dette båndet består altså av translasjonsgruppen, som er isomorf med ℤ , og 

dessuten speilingene om lengdeaksen, som utgjør den dihedrale gruppen D1. Gruppen r11m er 

derfor isomorf med det kartesiske produktet 1 D × ℤ . 

5.10.3 Symmetrigruppen r11g 


Siden sammensetningen av to gliderefleksjoner er en translasjon, vil alle isometriene i dette 

båndet genereres av én gliderefleksjon med translasjonsvektor 1 

2 a . Symmetrigruppen r11g er 

derfor isomorf med ℤ . 


5.10.4 Symmetrigruppen r1m 


Her vil sammensetning av to speilinger om to vertikale akser i i avstanden 1 

2 a være det 

samme som translasjonen med translasjonsvektor a . Det betyr at alle isometrien kan 

genereres av speilingene om slike vertikale linjer. Symmetrigruppen er da D, den uendelige 

a dihedrale gruppen av speilinger om akser med avstand 2 . 

5.10.5 Symmetrigruppen r2 


Her ser vi at sammensetningen av to halvrotasjoner om punkter på lengdeaksen som ligger 

a med en avstand på 2 , blir translasjon vektor a . Vi får derfor nøyaktig den samme 

gruppestrukturen som i forrige eksempel, selv om den geometriske betydningen ikke er den 

samme. 

5.10.6 Symmetrigruppen r2mm 


Her er isometriene halvrotasjoner om midtpunktet av en halvcelle og speilinger om 

tverraksene. Det blir en gruppe som er isomorf med D× ℤ 2 . 

5.10.7 Symmetrigruppen r2mg 


Her er isometriene speiling om tverraksene og om lengdeaksene. Symmetrigruppen blir 

isomorf med D× D1. 

5.11 Oppgaver 

5.11.1 

Skriv opp symmetrigruppene til følgende båndmønstre: 

a. 


. 

c. 

d. 

e. 

f. 

g. 

h. 

i. 

j. 

k. 

l. 

m. 


n. 

o. 

p. 

q. 

r. 

s. 

t. 

5.11.2 

Prøv å tegne noen av båndmønstrene ovenfor med Cabri eller Tess. 


5.12 Dobbeltperiodiske mønstre, fliselegging 

I dette avsnittet skal vi se på overdekninger av planet. Vi tenker oss at planet er ubegrenset i 

alle retninger og at det skal dekkes av fliser. Spesielt skal vi se på overdekninger som er 

periodiske i to retninger, dobbeltperiodiske mønstre eller tapetmønstre. Da fins det to 

vektorer a og b som er slik at translasjonene med translasjonsvektor a eller b blir 

symmetrioperasjoner for overdekningen. Vi kan anta at disse to er minimale i den forstand at 

ikke noen vektorer parallelle med a eller b, men kortere, kan brukes som translasjonsvektorer 

for en symmetri. Det betyr at den figuren som er begrenset av et parallellogram utspent av a 

og b, vil bli gjentatt i begge retninger. Et slikt område kalles en celle for flislegningen, og vi 

snakker om flisleggingens nett av celler. De to translasjonene langs a og b genererer en 

symmetrigruppe som er isomorf med ℤ× ℤ. Spørsmålet er hvilke andre isometrier som kan 

opptre. Svaret avhenger av hva slags celle vi har i nettet - et generelt parallellogram, et 

rektangel, et kvadrat eller en rombe som er to ganger en likesidet trekant, som kalles et 

heksagonalt nett. 

Man kan vise at det finnes 17 forskjellige symmetrigrupper for tapetmønstre, og vi 

gjennomgår dem kort nedenfor. Dette emnet er meget omfattende og det faller utenfor 

rammen av dette kurset å gå inn i alle detaljer. 

5.12.1 Generelt parallellogramnett 

Et generelt parallellogram har bare én ikke-triviell symmetri, halvrotasjon om midtpunktet i 

cellen: 

Symmetrigruppen p1 omfatter bare translasjonssymmetrier. 

p1 

Symmetrigruppen p2 omfatter, i tillegg til translasjoner, rotasjonen omkring midtpunktet i 

cellen. 

p2 

5.12.2 Rektangulært nett 

For rektangulære nett får vi en rekke mulige speilinger og gliderefleksjoner. 

Symmetrigruppen pm omfatter, i tillegg til translasjonene, speilsymmetri om den horisontale 

midtlinja i cellen. 


pm 

Symmetrigruppen pg omfatter, i tillegg til translasjonene, gliderefleksjon om den horisontale 

midtlinja i cellen med halve lengden av cellen 

pg 

Symmetrigruppen pmm omfatter, i tillegg til translasjoner, speilinger om den horisontale og 

den vertikale midtlinja. 

pmm 

Symmetrigruppen pmg omfatter, i tillegg til translasjoner, en gliderefleksjon halvveis langs 

den horisontale midtlinja. 

pmg 

Symmetrigruppen pgg omfatter, i tillegg til translasjoner, gliderefleksjoner halvveis gjennom 

cellen i horisontal og vertikalretning. Kopi nr. 2 fra venstre av motivet er bildet av den siste 

kopien i neste celle til høyre ved den horisontale gliderefleksjonen translatert et trinn mot 

venstre. 


pgg 

5.12.3 Sentrert rektangulært nett 

Her er cellen en rombe som du får ved å sette to like rektangler ved siden av hverandre og 

1 w= u+v , jfr. 

trekke diagonalene. Translasjonsvektorene er u og w eller v og w, der ( ) 

figuren: 

u 

w 

v 

Her har vi to mulige symmetrigrupper. 

Symmetrigruppen cm består av translasjoner generert av u og w eller v og w, og i tillegg 

speiling om lengdeaksen. 

u 

w 

v 

cm 

Symmetrigruppen cmm består av translasjoner generert av u og w eller v og w, og i tillegg 

speiling om lengdeaksen og om tverrakser med avstand halve cellelengden. 

u 

w 

v 

cmm 

5.12.4 Kvadratisk nett 

I kvadratiske nett kan vi få speilsymmetri omkring diagonalene i cellene og 90° s rotasjoner 

om sentrum i cellene. 

Symmetrigruppen p4 består av de tre rotasjonene 90 ,180 ,270 

° ° ° om cellens midtpunkt, i 

tillegg til translasjonene. 


2

p4 

Symmetrigruppen p4m består av de tre rotasjonene 90 ° ,180 ° ,270° 

om cellens midtpunkt og 

speilinger om diagonalene, i tillegg til translasjonene. 

p4m 

Symmetrigruppen p4g består av de tre rotasjonene 90 ° ,180 ° ,270° 

om cellens midtpunkt og 

speilinger om diagonalene i kvartcellene, i tillegg til translasjonene. 

p4g 

5.12.5 Heksagonalt nett 

Cellene er her parallellogrammer satt sammen av to likesidete trekanter: 

Symmetrigruppen p3 består av tre rotasjon om den ene trekantens midtpunkt, i tillegg til 

translasjonene. 


p3 

Symmetrigruppen p3m1 består av de tre rotasjonene om en av trekantenes midtpunkt, 

speilingene om høydene i denne trekanten i tillegg til translasjonene. 

p3m1 

Symmetrigruppen p31m består av de tre rotasjonene om en av trekantenes midtpunkt, 

speiling om en av trekantenes sider, i tillegg til translasjonene. 

p31m 

Symmetrigruppen p6 består av de tre rotasjonene omkring en av trekantenes midtpunkt, en 

halvrotasjon om cellens sentrum, i tillegg til translasjonene. 

p6 

Symmetrigruppen p6m består av består av de tre rotasjonene omkring en av trekantenes 

midtpunkt, speilinger om høydene i trekanten, speiling om en av trekantens sider, i tillegg til 

translasjonene: 


p6m 

Eksemplene ovenfor er laget ved hjelp av matematikkprogrammet Mathematica 5.2, og er tatt 

fra en artikkel om tessellasjoner som jeg har skrevet i tidsskriftet ”Mathematica in Education 

and Research”. Du kan også bruke Cabri eller Tess. Her er lenker til Cabrifiler som 

inneholder noen av de samme tapetmønstrene som ovenfor: 

p1 p2 pm pg pmm pmg pgg cm cmm 

p4 p4m p4g p3 p3m1 p31m p6 p6m 

5.12.6 Andre emner om flislegging 

Emnet fliselegging er imidlertid langt fra uttømt med dette. Du kan for eksempel hvilke 

mønstre det er mulig å få til med bare én type av regulære mangekanter. Svaret på dette er at 

flisene må være enten likesidede trekanter, kvadrater eller sekskanter. Du kan også stille 

spørsmålet om det er mulig å bruke bare kvadrater og åttekanter, eller i det hele tatt en 

kombinasjon av regulære polygoner med ulike antall kanter. Eller du kan blande sammen 

stjerneformede fliser med regulære mangekanter. Her er lenker til noen Cabri-filer der du ser 

eksempler på slike, som alle dobbeltperiodiske tapetmønstre. 

Flislegging med regulære mangekanter: 

MedTrekanter.fig MedKvadrater.fig MedSekskanter.fig 

Fliselegging med regulære mangekanter med ulike antall kanter: 

MedKvadraterOgTrekanter.fig Semi12_6_4_3.fig Semi4_3_3_4_3.fig 

FliserSemi6_3_3_3_3.fig Semi6_4_3_4.fig 

Fliselegging med regulære mangekanter og stjerner: 

Stjerne3_6__6 Stjerne4_4__4 Stjerne12_3_12_3 

Stjerne3_12_3_3_12 Stjerne3_3__3_3 Stjerne3_3_8_4_8 

Stjerne3_4_6_3_12 Stjerne4_6_4_6 Stjerne4_6_4_6_4_6 

Stjerne4_6_6_6 Stjerne6_3_3 Stjerne8_3_4 

Alle fliseleggingene vi har sette på hittil, har vært 

dobbeltperiodiske, altså med translasjonssymmetrier i to 

retninger. Andre typer av fliselegginger har også vært studert. 

Vi avslutter med en som skyldes Johannes Kepler: 


5.13 Oppgaver 

5.13.1 

Avgjør hvilken av de 17 symmetritypene for tapetmønstre som følgende mønstre hører til: 

a. b. c. 

d. e. f. 

g. h. i. 

j. k. l. 


m. n. 

o. p. 

q. r. 


6 Tegning av tredimensjonale figurer 

Å tegne en tredimensjonal figur på et papirark byr på fundamentale prinsipielle problemer: 

Papiret er todimensjonalt, mens gjenstandene som skal avbildes, er tredimensjonal. Vi må 

nøye oss med et todimensjonalt bilde. Hvilken metode som brukes, vil være avhengig av hva 

som er formålet med figuren. Hvis figuren skal gi grunnlag for å måle avstander, er det best å 

bruke en eller flere parallellprojeksjoner. Hvis vi skal etterligne det som øyet vårt vil se, er 

det best med en sentralprojeksjon eller perspektivprojeksjon. 

6.1 Parallell-projeksjoner 

Den enkleste måten å tegne et tredimensjonalt objekt, er å tegne det sett ovenfra og langs en 

eller flere horisontale retninger. Vi velger en grunnlinje. Nedenfor grunnlinja tegner vi 

objektet i horisontalprojeksjon (dvs. sett ovenfra), og ovenfor grunnlinja tegner vi en 

vertikalprojeksjon. Se figuren til venstre nedenfor. 

Du kan også velge å tegne objektet fra sett fra flere horisontale retninger. Du trekker da 

grunnlinja i et profilplan der du kan se objektet sett fra sida fra en passende valgt synsvinkel. 

Utenfor denne tegner vi profilprojeksjonen av objektet i et plan som går gjennom denne 

profilplangrunnlinja og stå normalt på horisontalplanet. Se figuren til høyre nedenfor. 

Vertikalprojeksjon 

Grunnlinje 

Horisontalprojeksjon 

Vertikalprojeksjon 


Profilprojeksjon 

6.2 Sentralprojeksjon og perspektivtegning. 

Når du tegner et objekt ved hjelp av to eller flere parallellprojeksjoner, får du en tegning som 

gir et godt bilde av dimensjonene i objektet, og av hvordan det ser ut ”på lang avstand”. 

Tegningen gir imidlertid ikke et godt inntrykk av hvordan objektet vil se ut når du ser det eller 

fotograferer fra kort avstand. Til det trengs en metode som tilsvarer det som foregår ved 

fotografering, nemlig sentralprojeksjon eller perspektivprojeksjon. Prinsippet for 

perspektivtegning er vist i figuren nedenfor, som er tegnet ved hjelp av programmet Cabri3d.. 

I det horisontale planet ligger et kvadrat, som skal fotograferes eller betraktes ved hjelp av et 

kamera der filmen tenkes plassert i et punkt – øyepunktet - over det vannrette planet og 

filmen ligger i det mørkere planet – billedplanet eller projeksjonsplanet. Bildet av et punkt i 

kvadratet finner vi nå ved å trekke en rett linje fra øyepunktet til punktet i kvadratet. 

Skjæringspunktet med projeksjonsplanet er da bildet av punktet. 


Øyepunkt 

Billedplan 

Grunnplan 

La oss nå spesialisere billedplanet til å stå normalt på grunnplanet. Da ser Cabri 3d-tegningen 

ut slik: 

Legg merke til hvordan projeksjonen i grunnplanet av projeksjonsstrålen kan brukes til å 

finne sentralprojeksjonen i grunnplanet: Vi trekker disse projeksjonene til skjæring med 

grunnlinja og oppreiser en normal. Skjæringspunktet mellom denne normalen og 

projeksjonsstrålen blir projeksjonen av linja ved sentralprojeksjonen. 


Vi skal nå imitere denne prosessen i en todimensjonal tegning. Vi tenker oss objektet og 

øyepunktet tegnet i horisontalprojeksjon og profilprojeksjon. Billedplanet blir sett rett ovenfra 

og rett fra sida. For å unngå å legge perspektivprojeksjonen oppå horisontalprojeksjonen 

tenker vi oss at billedplanet blir parallellforskjøvet og deretter lagt ned ved å dreie det 90° om 

skjæringslinja med horisontalplanet. Resultatet ser slik ut: 

Øyepunkt 

Billedplan 

Øyepunkt 

Tegning ovenfor kan du i prinsippet konstruere ved hjelp av bare passer og linjal. Men 

konstruksjon av normal forekommer gjentatte ganger, og til dette bør du bruke en vinkelhake 

eller en linjal der du kan bruke centimetermerkene til å trekke normaler. 

La oss se hvordan man gjøre det med Cabri. Her er et forslag: 

• Start med å tegne en loddrett linje l på midten av arket. 

• Velg tre punkter A, B og C på l, og oppreis normaler på l gjennom A, B og C. Marker linja 

l og de to normalene gjennom B og C som tykkere streker. På normalen gjennom B 

merker du av fire punkter D, E, F, G i tillegg til B. Normalen gjennom B skal du tenke på 

som billedplanet, sett ovenfra til venstre for l og sett fra sida til høyre for l. Punktene D, A 

og E bestemmer sammen øyepunktet: D gir y-koordinaten, A gir x-koordinaten, og E gir 

z-koordinaten. Du nedfeller normalene fra D og E på normalen gjennom A for å finne hhv. 

horisontal- og profilprojeksjonen av øyepunktet. 

• Cabri har en funksjon for å trekke en normal på en linje gjennom et oppgitt punkt Denne 

trekker imidlertid en hel rett linje, ikke et linjestykke. Men ofte vil du bare ha linjestykket, 

ikke linja. Det kan du få til ved å bruke makroen NormalPåLinje, som du kan laste ned 

herfra. 


Hjelpelinje, avgrensing av billedflaten 

G 

Horisont 

Perspektiv-projeksjon av P 

z 

Kopi av billedplan 

Horisontalprojeksjon av P Profilprojeksjon av P 

Bildeplan sett 

ovenfra 

Hjelpelinje, avgrensing av 

billedflaten 

y 

Horisontalplan 


av øyepunkt 

x 

C 

Profilplan 

B 

A 

z 

Billedplan sett fra sida 


E 

Profilprojeksjon av 

øyepunkt 

• Velg punktet G til venstre for B på normalen gjennom B, og oppreis en normal i G. Denne 

skal brukes til å avgrense billedflaten og som hjelpelinje når vi seinere skal trekke 

normaler. 

• Velg et punkt F til høyre for E på normalen gjennom B. Nedfell en normal fra F på 

normalen til l i C., slå en kvartsirkel og trekk en normal på l gjennom kvartsirkelens 

endepunkt normalt på normalen gjennom G. Denne skal også avgrense billedflaten og 

brukes som hjelpelinje for å nedfelle normaler. Nå er oppsettet ferdig. Jeg har lagret det i 

en egen fil, som du kan hente her. 

• Nå kan du begynne å projisere punkter. Du starter med horisontalprojeksjonen av et punkt 

P, som du plasserer til venstre for l mellom normalene gjennom B og C. Du må bruke 

Punkt eller Punkt på objekt eller Skjæringspunkt, avhengig av kravene som følger av 

det objektet du skal tegne. Så trekker du en normal fra punktet til normalen gjennom F. 

Bruk Cabris innebygde normal eller makroen NormalPåLinje som nevnt ovenfor. På 

denne normalen merker du av eller konstruerer et punkt som gir profilprojeksjonen av 

punktet P. 

• Trekk nå linjestykker mellom horisontalprojeksjonen av øyepunktet og horisontalprojeksjonen 

av P, og mellom profilprojeksjonen av øyepunktet og profilprojeksjonen av 

P. De to skjæringspunktene med grunnlinja (normalen gjennom B) gir da hhv. horisontalprojeksjonen 

og profilprojeksjonen av sentralprojeksjonen av P. 

• Nå skal du tenke deg at bildeplanet parallellforskyves slik at det står normalt på 

grunnplanet og skjærer dette langs normalen gjennom C. Da må projeksjonen av P bevege 

seg på en vannrett linje langs l. Vi trekker da en normal fra horisontalprojeksjon på 

F

linja/buen/linja gjennom F og en normal fra profilprojeksjonen normalt på normalen 

gjennom C. 

• Kopien av billedplanet gjennom C tenker du nå blir dreid 90° om normalen gjennom C. 

Da vil kopien av det projiserte bildet av P bevege seg langs en rett linje parallelt med l i 

horisontalprojeksjon, og langs en sirkel i profilprojeksjon. Vi må da trekke en kvartsirkel 

fra profilprojeksjonen til skjæring med l. Dette kan du gjøre ved hjelp av makroen 

KvartSirkel, som du kan hente her. Deretter trekker du en normal fra dette 

skjæringspunktet ned på hjelpelinja gjennom G. Vi finner da bildepunktet som 

skjæringspunktet mellom to rette linjestykker, jfr. figuren. 

• Denne prosedyren må nå gjentas for hvert hjørne i figuren, og det kan bli ganske 

komplisert å holde rede på skjæringspunktene, dersom figuren inneholder mange punkter. 

La oss vise fremgangsmåten på et mer komplisert eksempel, nemlig et monopolhus: 

Horisont 


Som du ser, er det en ganske komplisert oppgave å lage en perspektivtegning på denne måten. 

Men den kan forenkles, og den forenklede metoden vil gi mulighet for å gi øvingsoppgaver 

som er mer realistiske enn den ovenfor når det gjelder vanskelighetsgrad. Metoden bygger på 

følgende to regler: 

1. En linje l som er parallell med billedplanet, er parallell med sin projeksjon 

2. Parallelle linjer som ikke er parallelle med billedplanet, har projeksjoner som møtes i ett 

punkt. Dette punktet kalles fluktpunktet eller forsvinningspunktet for retningen til de 

parallelle linjene. 

3. Hvis linjene er vannrette, vil fluktpunktet alltid ligge på horisonten. Horisonten er linja 

som utgjør projeksjonene av de punktene som ligger i høyde med øyepunktet. 

Disse prinsippene fører til at det i mange tilfeller er nok å oppgi fluktpunktene for en eller to 

retninger, hvis alle linjene i de objektene som skal tegnes, går i noen få retninger. 

6.3 Perspektivtegning med ett fluktpunkt 

Aller enklest blir det, hvis vi tenker oss at billedplanet er parallelt med to av hovedretningene, 

en vannrett og en loddrett. Da trenger vi bare ett fluktpunkt. Her er huset ovenfor tegnet med 

bare ett fluktpunkt: 

Horisont Fluktpunkt 


Her er det nok å kjenne fem punkter i perspektivbildet i tillegg til horisonten for å være i stand 

til å fylle ut de konturene som mangler. Du skal tegne et monopolhus i perspektiv. 

Billedplanet er parallelt med en av gavlene i huset. På tegningen nedenfor har du gitt: 

C 

E 

D 

Horisont 

A B 

• En vannrett kant AB og en loddrett kant AC og toppunktet D i den nærmeste gavlen. D 

ligger på midtnormalen mellom A og B. 

• Horisonten. 

• En vannrett kant AE som går innover i bildet 

Løsningen ser slik ut: 

Horisont 

Nå er oppgaven mye enklere. Vi finner fluktpunktet for alle vannrette linjer som peker 

innover i bildet som skjæringspunktet mellom linja AE og horisonten, Så trekker vi linjer fra 

dette fluktpunktet til punktene B, C og D for å finne de vannrette kantene gjennom disse 

punktene. Videre bruker vi at parallelle linjer parallelle med billedplanet forblir parallelle i 

perspektivprojeksjon, og vi finner midtpunktet i grunnflata ved å trekke diagonalene. 

Oppgaver av denne typen er egnet til eksamensoppgaver, kanskje i motsetning til de 

eksemplene som er vist tidligere. De svarer også ganske godt til en praktisk situasjon: Man 

tegner noen få streker i landskapet man ser foran seg, og konstruerer resten av tegningen ved 

hjelp av disse. 


6.4 Perspektivtegning med to fikspunkt 

Hvis vi skal avbilde et rektangulært objekt, som for eksempel en bygning, og ingen av 

hovedretningene i bygningene er parallelle med projeksjonsplanet, vil det være behov for to 

fluktpunkter. Her er huset igjen: 

Horisont 

For å tegne dette huset vil det være nok å gi de samme opplysningene som oppgaven med ett 

fluktpunkt. Oppgaven kan da formuleres slik: 

Du skal tegne et ”monopolhus” i perspektiv. Billedplanet skal være loddrett. På tegningen er 

AB og AC to kanter i husets grunnflate. Husets møne er parallelt med kanten AB og 

vertikalprojeksjonen av det deler grunnflata i to like rektangler. Du skal selv velge høyden på 

mønet. AD er den nærmeste loddrette kanten, og du har gitt horisonten. Tegn huset. 


C D B 

Horisont 

A 

Løsningen ser du nedenfor. Legg merke til at denne oppgaven kan gis som en ”papir og 

blyant”-oppgave, siden det ikke er et uoverkommelig antall streker å holde greie på, og det 

holder at man bruker centimeterinndelingen på linjalen for å nedfelle normaler på horisonten. 

Legg spesielt merke til hvordan man finner midtpunktet på sida AC: Du trekker diagonalene i 

grunnflata og deretter en linje til fluktpunktet for retningen. 

C B 

D 

A 

Horisont 

6.5 Perspektivtegning med tre fluktpunkt 

Hittil har vi krevd at billedplanet skal være vertikalt. Dette er imidlertid et krav som ikke er 

særlig realistisk i forhold en praktisk situasjon. I praksis fokuserer vi på et punkt i 

landskapet, og sørger dermed for at projeksjonsplanet kommer til å stå normalt på 

synsretningen. Ovenfor har vi tatt med et eksempel der du kan velge fokus hvor du vil i 

landskapet, dog med den begrensingen at synsretningen står normalt på grunnlinja. 

Projeksjonsplanet lar vi så stå normal på synsretningen, som er linja som forbinder øyepunkt 

med fokus. Utgangspunktet for denne tegningen er fila StandardOppsett2.fig: 


Ramme Ramme 

Øye 

P' 

P P 

Fokus Fokus 

På neste side ser du fila StandardOppset2.fig, som du kan åpne i Cabri her. 


Øye

Slike oppgaver kan også gis i en forenklet versjon ved at man oppgir noen få kanter og 

eventuelt horisonten, nok til å få bestemt fluktpunkt for hovedretningene i figuren. Slik kan 

oppgaven formuleres: 

Du skal tegne et monopolhus sett på skrå ovenfor På tegningen nedenfor ser du hva som er 

oppgitt: A er det nærmeste hjørne i grunnplanet. AB og AC er horisontale kanter i grunnplanet. 

BC er en loddrett kant. Gjennom A går dessuten en stråle som viser retningen av den loddrette 

kanten i A. Mønet skal gå parallelt med kanten AC, og projeksjonen på AB skal dele AB på 

midten. Velg selv høyden på mønet. Se figuren på neste side. 

Løsningen ser du på neste side. Vi forlenger BD og strålen til skjæring. Dette blir fluktpunktet 

for loddrette kanter. For forlenger vi AB og AC til skjæring med horisonten. Det blir 

fluktpunktene for to horisontale retninger. Vi bruker så disse punktene til å trekke resten av 

kantene. Mønet finnes ved trekke diagonalene i grunnflata. Skjæringspunktet blir midtpunktet 

i grunnflata. 


Oppgave: 

Løsningsforslag: 

Horisont 

D 

D 

B 

B 

A 

A 


C 

C

6.6 Oppgaver 


Du skal tegne et firkantet prisme P i perspektiv. Du får oppgitt: 

• To vannrette kanter AB og BC som ligger i horisontalplanet 

• En loddrett kant BD 

• Horisonten 

På svarark 1 skal du gjøre følgende: 

a. Fullfør konstruksjonen av prismet P. 

b. Dette prismet skal utvides med et trinn, et nytt prisme til høyre for og bak P, like bredt og 

dypt som P, men halvparten så høyt. Tegn figuren på svarark 1. 

På svarark 2 er det gitt de samme opplysningene som på svarark 1, men i tillegg er det gitt en 

punktformet lyskilde L, som står på en loddrett stang KL, der K ligger i horisontalplanet. På 

svarark 2 skal du gjøre følgende: 

c. Fullfør perspektivtegningen av prismet, som i oppgave a. Tegn og skraver skyggen av 

prismet i horisontalplanet. 

Vink: Projeksjonen i horisontalplanet av en lysstråle LP gjennom et punkt P som har 

projeksjon Q i horisontalplanet, er linja KQ. For eksempel er projeksjonen av LD lik KB. 

Eksamen i MA-104 Geometri 

14.mai 2007 

Svarark nr. 1 

Kandidat nr. _______________ 

A 

horisont 


D 

B 

C

Eksamen i MA-104 Geometri 

14.mai 2007 

Svarark nr. 2 

Kandidat nr. _______________ 

A 

horisont 


D 

B 

C

6.6.2 Mai 2006, oppgave 1 

På svarark 1 er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant ABC 

som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE (”flaggstang”) som står normalt på 

trekanten i punktet D. Videre er det gitt et øyepunkt O og en lyskilde plassert i et punkt L. 

a. Konstruer perspektivprojeksjonen av trekanten ABC med O som øyepunkt. Merk de 

projiserte punktene med A’, B’ og C’. 

b. Konstruer perspektivprojeksjonen av linjestykket DE med O som øyepunkt. Merk de 

projiserte punktene med D’ og E’. 

c. Konstruer det punktet der en lysstråle sendt ut fra L gjennom E treffer horisontalplanet. 

Her skal du finne ut hvor punktet ligger sett ovenfra og fra sida. Sett navnet F på dette 

punktet. 

d. Konstruer perspektivprojeksjonen av skyggen av linjestykket DE. 

MA-104 Geometri 22. mai 2006 

Svarark nr. 1 

Kandidat nr. 

_________________ 

A 

O 

C 

D,E D 

E 

A 

B 


C 

B 

L L


En bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en 

prismeformet åpning (plass) i midten. Sett ovenfra ser det omtrent slik ut (den lysegrå delen): 

Plassen i midten er halvdelen så lang og brei som gården, og den er sentrert i forhold til 

kvartalet. Tegn en perspektivtegning av gården basert på følgende opplysninger. Bruk 

svararket til oppgave 1. 

• Den nærmeste vertikale kanten er gitt som linjestykket AB. 

• D og C er nederste endepunkt på hver sin av to vertikale kanter. 

• Horisonten er tegnet inn på svararket. 

• Billedplanet er vertikalt. 

Ma-104 Geometri 

Svarark til oppgave 1 

Kandidat nr. 

________________ 

horisont 

D 

B 

A 


C

6.6.4 Mai 2005, oppgave 2 

Et legeme er framkommet ved at en rett firkantet pyramide er satt oppå et rett firkantet 

prisme, slik at pyramidens grunnflate akkurat dekker prismets toppflate. 

a. Tegn et perspektivbilde av legemet ved hjelp av følgende opplysninger, jfr. svararket. 

• Projeksjonsplanet er loddrett. 

• Horisonten er vannrett. 

• De perspektiviske bildene av to av de loddrette kantene på prismet er gitt som 

linjestykkene AB og CD. 

• Det laveste punktet på en tredje loddrett kant er gitt som punktet E. 

• Pyramidens topp er rett over midtpunktet i grunnflata. 

• Velg selv toppunktet i pyramiden. 

b. Tegn en dør på den ene veggen som er sentrert i horisontal retning. Bredde og høyde skal 

være halvdelen av veggens bredde og høyde. 

c. Tegn et vindu på den andre veggen som er sentrert både horisontalt og vertikalt, og som er 

halvdelen så høyt og breit som veggen. 

E 

A 

B 

7 Innføring i Cabri 

I dette kapitlet skal vi se på dataprogrammet Cabri II Plus. Det kan brukes som alternativ til 

passer og linjal, og gir i første omgang en mulighet for å lage geometriske figurer som kan 

behandles elektronisk ved hjelp av en datamaskin. Dette er selvsagt nyttig, hvis du skal skrive 

lærebok eller oppgaveløsninger som skal kunne brukes i forbindelse med undervisning på 

datamaskiner. I tillegg gir det mange nye muligheter som er umulig med bare passer og linjal. 

Det viktigste er at figurene blir dynamiske, dvs. de kan enkelt endres etter at de er opprettet. 


D 

C

Dette gir muligheter for å komme på geometriske sammenhenger ved at man kan undersøke 

om en hypotese holder hvis man endrer figuren. Du får også mulighet for å måle avstander og 

arealer, som blir automatisk oppdatert når figuren forandres og utføre beregninger. 

Det finnes gode manualer og referansehåndbøker for Cabri II, for eksempel her: 

http://download.cabri.com/data/pdfs/manuals/cg2p/en/user_manual_uk.pdf 

http://download.cabri.com/data/pdfs/manuals/cg2p/en/reference_uk.pdf 

Det er sterkt å anbefale at du går gjennom disse. Eller du kan nøye deg med å gå gjennom 

teksten nedenfor. Det er viktig at du prøver alle eksemplene, og løser øvingsoppgavene. 

Vi skal gå gjennom menysystemet og gi eksempler underveis nedenfor. Den mest effektive 

måten å lære Cabri er å bruke det til å løse konkrete oppgaver. Etter gjennomgangen av 

menysystemet nedenfor har jeg lagt inn pekere til en oppgavesamling, som du bør gå 

gjennom. 

Start opp Cabri. I utgangspunktet ser menysystemet slik ut: 

Første menyrad ”Fil-Rediger- osv.” inneholder en rekke systemvalg, som vi ikke skal gå 

systematisk gjennom her. Vi skal gå gjennom nedtrekks-menyene i andre rad. Merk at du kan 

få en kort veiledning om de enkelte menyvalgene ved å trykke F1 eller velge Hjelp – Hjelp. 

Nedenfor bruker vi av og til følgende forkortede uttrykksmåte: Istedenfor ”Velg Linjestykke 

og trekk et linjestykke” skriver vi Trekk et Linjestykke. Skrifttypen signaliserer altså at vi 

skal velge en bestemt kommando i Cabris menysystem. 

7.1 Pek på - menyen 

Pek på 

Roter 

Denne brukes til å peke på et objekt som man eventuelt skal flytte eller endre. Du 

kan flytte et objekt ved å dra med musa selv om du står inne i et annet menyvalg. 

Eksempel 1 

Tegn en trekant ved hjelp av menyvalget Trekant. Velg Pek på, og flytt 

trekanten. Trykk F9 eller velg Valg – Vis stilvalg, slik at du får en loddrett meny 

til venstre på skjermen. Pek på trekanten, og velg med musa formatet 

. Trekanten blir trukket med tykkere strek. 

Denne brukes til å rotere et objekt om et punkt, rotasjonssenteret. 

Rotasjonssenteret er i utgangspunktet tyngdepunktet for objektet, men du kan 

også klikke på et eksisterende punkt før du drar i objektet og så bruke dette som 

rotasjonssenter. . 


Strekk 

Roter 

og 

strekk 

Eksempel 2 

Fortsett med trekanten fra eksempel 1. Velg Roter, og trekk i trekanten. Den blir 

rotert omkring tyngdepunktet. Merk av et Punkt.. Pek på dette punktet, og trekk 

så i trekanten med musa. Trekanten blir rotert omkring punktet. 

Denne brukes til å strekke, dvs. forstørre eller forminske et objekt. Det er det som 

kalles en homoteti: Alle avstander fra et gitt punkt, homotetisenteret, 

multipliseres med ett og samme tall. Hvis du bare drar i objektet, vil 

homotetisenteret automatisk bli valgt som figurens tyngdepunkt. Hvis du peker på 

et eksisterende punkt først, vil dette punktet bli valgt som homotetisenter. 

Eksempel 3 

Fortsett med trekanten fra de forrige eksemplene. Test kommandoen Strekk på 

trekanten først uten å velge noe punkt som homotetisenter, og deretter ved å velge 

punktet fra eksempel 2 som homotetisenter. 

Denne er en kombinasjon av de to ovenfor. Hvis du velger Roter og strekk og 

drar i et objekt med musa, vil det bli stukket og rotert med tyngdepunktet som 

homotetisenter og rotasjonssenter. Hvis du peker på et eksisterende punkt før du 

drar i objektet, vil dette punktet bli brukt som homotetisenter og rotasjonssenter. 

Eksempel 4 

Prøv kommandoen Roter og strekk på trekanten og punktet fra de forrige 

eksemplene. 

7.2 Punkt-menyen 

Punkt 

Punkt på 

objekt 

Skjæringspunkt 

Denne brukes naturlig nok til å merke av punkter. Hvis du ikke ser noen tekst 

nær muspekeren, kan du plassere punktet hvor som helst. Hvis du ser en tekst 

som ”Dette skjæringspunktet” eller ”Dette linjestykket”, kan punktet bare 

plasseres på et eksisterende objekt. Hvis du trenger å plassere punktet tett ved et 

objekt, men ikke på det, plasserer du punktet først lengre fra objektet og trekker 

det deretter tettere til objektet. Denne kommandoen har du allerede brukt i de 

foregående eksemplene. 

Denne brukes til å sette av et punkt på et allerede eksisterende objekt. Du vil 

ikke avsette et nytt punkt uten at du er i nærheten av et eksisterende objekt. 

Denne brukes til å merke av skjæringspunktet mellom to eksisterende objekter. 

Du er nødt til å stå i nærheten av et slikt skjæringspunkt for at du skal kunne 

avsette et punkt med denne kommandoen. 

Eksempel 5 


7.3 Linje-menyen 

Linje 

Linjestykke 

Stråle 

Vektor 

Start en ny tegning ved å velge Fil – Ny. Trekk to rette linjer (bruk linje) som 

skjærer hverandre. Merk av et punkt utenfor linjene, ett punkt på hver av 

linjene og skjæringspunktet. Prøv å sette av et punkt så tett ved en av linjene 

at du ser teksten ”På denne linjen”. Dette går ikke. Merk av et punkt lengre fra 

linja, og trekk så dette punktet nærmere linja. Start så en ny tegning, og tegn to 

sirkler som skjærer hverandre. Velg Punkt på objekt, og prøv å merke av et 

punkt som ligger utenfor sirklene. Dette går ikke. Merk av et punkt på en av 

sirklene. Velg så skjæringspunkt, og prøv å avsette et punkt som ikke er i 

nærheten av et skjæringspunkt. Dette går ikke. Merk til slutt av 

skjæringspunktene mellom de to sirklene. 

Denne brukes til å trekke en linje. Velg Linje, og klikker på et punkt som 

linja skal gå gjennom. Det neste stedet du klikker på, blir et nytt punkt på 

linja, og linja trekkes. Det første punktet vises, det andre ikke. Du kan etterpå 

trekke i linja (velg Pek på) for å rotere den om det første punktet eller trekke 

i punktet for å flytte den. 

Denne brukes selvsagt til å trekke et linjestykke mellom de to punkter. 

En stråle er en del av en linje begrenset av et punkt. Kommandoen krever at 

du først merker av et punkt som brukes som startpunkt og deretter musklikker 

på et annet punkt, som brukes til å trekke strålen. Det første punktet 

blir markert, det andre ikke. 

Eksempel 6 

Start en ny tegning. Trekk en linje, et linjestykke og en stråle. 

En vektor er i Cabri et orientert linjestykke, og markeres som en pil. 

Kommandoen Vektor virker ellers som Linjestykke, men rekkefølgen av de 

punktene du markerer, spiller en rolle. Vektorer brukes av en annen 

kommando, Parallellforskyv. 

Eksempel 7 

Tegn en trekant til å tegne en trekant. Tegn en vektor ved hjelp av 

kommandoen Vektor. Bruk kommandoen Parallellforskyv til å lage en ny 

kopi av trekanten: Klikk på trekanten og deretter på vektoren. Trekk i 

vektorens endepunkt og se hvordan trekanten flyttes. 


Trekant 

Mangekant 

Regulær 

mangekant 

7.4 Sirkel-menyen 

Sirkel 

Bue 

Kjeglesnitt 

Denne kommandoen brukes til å trekke trekanter. Den brukes når trekanten 

skal oppfattes som et objekt, ikke som tre separate linjestykker. Den kan da 

flyttes, fylles, strekkes under ett. 

Med denne får du trukket en mangekant, og du får en ny side for hvert punkt 

du klikker på. Mangekanten lukkes ved enten å dobbeltklikke på det siste 

hjørnet, eller ved å klikke en gang til på det første hjørnet. Skal du tegne en 

trekant, er det bedre å bruke Trekant, fordi den vil lukkes automatisk når det 

tredje hjørnet er fastsatt. 

Denne brukes til å tegne en regulær mangekant eller en stjerne. Det første 

punktet du merker av, brukes til sentrum i den omskrevne sirkelen. Det andre 

punktet blir et av hjørnene. Deretter drar du musa for å bestemme antall 

hjørner, som være høyst 30. Hvis du drar i negativ retning, altså med 

utviserne, får du en vanlig konveks regulær mangekant. Hvis drar i positiv 

retning, får du en stjerne. Inne i stjerna ser du en brøk i klammeparenteser, 

for eksempel {16/5} eller {5/2}. {16/5} betyr at stjerna har 16 hjørner og 

består av korder i den omskrevne sirkelen, slik at første korde går fra spiss nr. 

1 til spiss nr. 1+5=6, andre korde går fra spiss nr. 2 til spiss nr. 2+5=7 osv. 

Det første punktet du merker av, blir sentrum i sirkelen. Trekk i musa. Det 

neste stedet du klikker, blir et punkt på periferien. Det andre punktet blir ikke 

merket av, og du kan endre sirkelens radius ved å trekke i hvilket som helst 

punkt på periferien. 

En sirkelbue er bestemt ved tre punkter. Denne kommandoen er meget nyttig 

bl.a. hvis du vil tegne en tegning med Cabri som ser ut som om den var tegnet 

med passer og linjal. 

Eksempel 8 

Sett av et linjestykke AB. Slå en sirkel med A som sentrum og AB som radius, 

og deretter en sirkel med B som sentrum og AB som radius. Merk av 

skjæringspunktene mellom sirklene. Slå en liten sirkel rundt hvert av disse 

skjæringspunktene. Bruk Bue til å definere de delene av de store sirklene som 

ligger innenfor de små sirklene som buer. Velg Skjul/Vis, og klikk på de to 

store sirklene og de to små sirklene, og eventuelt på punkter. Trekk deretter en 

linje gjennom skjæringspunktene, Da har du en figur som ser ut omtrent som 

den ville ha gjort dersom du hadde brukt passer og linjal til å konstruere en 

midtnormal. 

Et kjeglesnitt er bestemt hvis fem punkter på det er oppgitt. 

Eksempel 9 

Velg Kjeglesnitt, og merk av fem punkter. Velg Likning og koordinater, og 

se likningen for kjeglesnittet. Trekk i punktene, og se hvordan kjeglesnittet og 


likning forandrer seg. 

7.5 Konstruksjons-menyen 

Normal 

Parallell 

Midtpunkt 

Midtnormal 

Denne brukes til å konstruere en normal på et objekt fra linjemenyen, altså en 

linje, en stråle, et linjestykke eller en side i en trekant eller mangekant. Hvis 

du skal oppreise en normal i et punkt på linje-objektet, klikker du først på 

objektet og deretter på et punkt på objektet. Hvis du skal nedfelle en normal 

fra et punkt utenfor objektet, klikker du først på punktet og deretter på 

objektet. 

Eksempel 10 

Tegn en trekant, og nedfell normaler fra to av hjørnene på den motstående 

sida. Merk av skjæringspunktet mellom disse normalene. Trekk så 

normalen fra det siste hjørnet ned på den motstående sida. Velg Ligger på?, 

og klikk først på skjæringspunktet og deretter på den siste normalen. Flytt 

musa til et passende sted og klikk. Du får teksten ”Dette punktet ligger på 

objektet”. Vi har dermed demonstrert (ikke ”bevist”) at høydene i en trekant 

skjærer hverandre i ett punkt. 

Denne brukes til å trekke en parallell med et objekt fra linje-menyen, altså 

med en linje, en stråle, et linjestykke eller en side i en trekant eller 

mangekant. Klikk på punktet og deretter på linje-objektet. 

Denne brukes til å finne midtpunktet av et linjestykke eller mellom to 

punkter, eller på en side i en mangekant. 

Eksempel 11 

Tegn en trekant, og merk av midtpunktene på hver av sidene. Trekk to av 

medianene (dvs. linjestykker fra et hjørne til midtpunktet på den motstående 

sida), og merk av skjæringspunktet mellom dem. Trekk den siste medianen. 

Velg Ligger på?, og klikk først på skjæringspunktet og deretter på den siste 

medianen. Flytt musa til et passende sted og klikk. Du får teksten ”Dette 

punktet ligger på objektet”. Vi har dermed demonstrert (ikke ”bevist”) at 

medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. 

Denne brukes til å oppreise midtnormalen av et linjestykke eller en vektor 

eller mellom to punkter eller på en side i en mangekant 

Eksempel 12 

Tegn en trekant, og oppreis midtnormalene på to av sidene. Merk av 

skjæringspunktet mellom disse normalene. Oppreis midtnormalen på den 

siste sida. Velg Ligger på?, og klikk først på skjæringspunktet og deretter på 


Vinkel- 

halverings- 

linje 

Vektorsum 

Passer 

Avsett mål 

den siste midtnormalen. Flytt musa til et passende sted og klikk. Du får 

teksten ”Dette punktet ligger på objektet”. Vi har dermed demonstrert (ikke 

”bevist”) at midtnormalene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Slå til 

slutt omsirkelen til trekanten 

For å trekke halveringslinja for en vinkel, må du klikke på tre punkter: Først 

et på det vinkelbeinet, deretter på vinkelens toppunkt og så på et punkt på det 

andre vinkelbeinet. 

Eksempel 13 

Tegn en trekant, og trekk vinkelhalveringslinjene for to av vinklene. Merk 

av skjæringspunktet mellom disse normalene. Trekk vinkelhalveringslinja 

for den siste vinkelen. Velg Ligger på?, og klikk først på skjæringspunktet 

og deretter på den siste halveringslinja. Flytt musa til et passende sted og 

klikk. Du får teksten ”Dette punktet ligger på objektet”. Vi har dermed 

demonstrert (ikke ”bevist”) at halveringslinjene for vinklene i en trekant 

skjærer hverandre i ett punkt. Nedfell så en normal fra skjæringspunktet 

mellom vinkelhalveringslinjene på en av sidene, og slå til slutt innsirkelen til 

trekanten. 

Denne brukes til å konstruere summen av to gitte vektorer. Vektoren kan 

være plassert hvor som helst, og behøver ikke å ha felles startpunkt. Klikk på 

hver av vektorene og deretter på et punkt som du vil bruke som startpunkt for 

vektorsummen. 

Eksempel 14 

Tegn to vektorer med felles startpunkt, og tegn en figur som illustrerer 

”kreftenes parallellogram”, dvs. to parallelle kopier av hver vektor, samt 

vektorsummen. 

Denne brukes til tegne en sirkel med gitt radius. Radien kan være gitt på en 

av tre måter: (i) Som avstanden mellom to gitte punkter; da må du først 

klikke på punktene, (ii) som et linjestykke; da må du peke på dette 

linjestykke eller (iii) som et antall centimeter; da må du først ha skrevet inn et 

tall ved hjelp av Rediger tall. Til sist klikker du på et punkt som skal være 

sentrum i sirkelen. 

Eksempel 15 

Start en ny tegning. Velg Passer, og klikk på tre punkter. Du får trukket en 

sirkel. De to første punktene blir brukt til å definere radius i sirkelen, og det 

siste blir brukt som sentrum. Trekk så et linjestykke. Velg Passer, klikk på 

dette linjestykket og deretter på et punkt. Dette punktet blir sentrum i en 

sirkel med lengden av linjestykket som radius. Velg så Rediger tall, og skriv 

inn for eksempel 2.5. Velg Passer, og klikk på dette tallet og deretter på et 

punkt. Du får trukket en sirkel med dette antallet centimeter som radius. Velg 

Rediger tall igjen, og endre tallet ved hjelp av pilene. Observer hvordan 

sirkelen endres. 

Denne brukes til å avsette et bestemt lengde langs en stråle eller en 

buelengde fra et punkt langs en sirkelbue. Du må først opprette et tall ved 

hjelp av Rediger tall, og du må ha enten en stråle eller en sirkel og et punkt 

på sirkelen. Du klikker da først på tallet og deretter på enten strålen eller på 

sirkelen og punktet. 


Lokus 

(geometrisk 

sted) 

Definer på 

nytt 

Eksempel 16 

Opprett tallet 2.5 ved hjelp av Rediger tall. Tegn en stråle, og slå en sirkel, 

og merk av et punkt sirkelen. Velg Avsett mål, og klikk på tallet, og deretter 

på strålen. Klikk på tallet igjen, og deretter på sirkelen og punktet. Du får 

avsatt punkter langs strålen eller sirkelen i den valgte avstanden fra 

startpunktet. Velg Rediger tall igjen, klikk på tallet 2.5, og endre dette ved 

hjelp av pilene til høyre i boksen. Observer hva som skjer ved negative 

verdier av tallet. 

Denne er en av de mest interessante mulighetene i Cabri. Prinsippet er slik: 

Et punkt P kan bevege seg på et objekt Q. Et annet sted på tegningen har vi et 

punkt X som avhenger av P slik at X vil flytte seg når P flytter seg på Q. 

Spørsmålet er hvilken kurve X vil beskrive når P flytter seg på Q. For å få 

fram denne kurven velger du Lokus (geometrisk sted), og så klikker du 

først på X og deretter på P. Du kan finne ligningen for denne kurven ved 

hjelp av Likning og koordinater. 

Eksempel 17 

En ellipse er det geometriske sted for de punkter hvis avstander til to gitte 

punkter, brennpunktene, har en konstant sum. Start med å tegne en stråle, og 

gi startpunktet navnet A – bruk Sett navn på. Merk av et punkt B på strålen 

og marker linjestykket AB; dette skal nå spille rollen som den konstante 

summen av avstandene fra et punkt på ellipsen til brennpunktene. Bruk 

Punkt på objekt til å velge et punkt P på dette linjestykket. Du får valget 

mellom strålen og linjestykket, og velger altså linjestykket. Marker 

linjestykkene AP og PB. Velg to punkter – brennpunktene, og bruk Passer 

til å slå sirkler fra disse med radier hhv. AP og PB. Marker skjæringspunkter 

X og Y mellom de to sirklene. Velge Lokus, pek på X og P og så på Y og P. 

Ellipsen trekkes. Finn likningen med Likning og koordinater. 

Denne brukes å omdefinere avhengighetsforhold mellom objekter uten å 

slette dem først. Hvis du har valgt Definer på nytt og klikker på et punkt, får 

du opp en meny 

. 

Punkt betyr at du kan løsrive punktet fra et objekt og flytte det vekk fra 

objektet. Punkt på objekt betyr at du kan feste punktet på et annet objekt. 

Du klikker først på punktet og deretter på objektet som punktet skal festes på. 

Skjæringspunkt betyr at du kan omdefinere punktet til å bli et 

skjæringspunkt. Klikk først på punktet og deretter på et skjæringspunkt. 

Overfør til annet objekt betyr at du kan overføre punktet til et annet punkt, så 

du må på forhånd ha et annet punkt å overføre til. 

Hvis har valgt Definer på nytt og klikker på en linje, får du følgende meny: 

Med menyvalget Linje kan du frigjøre en linje som er konstruert til en som 


fritt valgt. Med Normal kan du gjøre om en linje til normalen på et linjeobjekt. 

Med Parallell/Midtnormal/Vinkelhalveringslinje kan du gjøre en 

linje om til en Parallell/Midtnormal/Vinkelhalveringslinje. 

Hvis du har valgt Definer på nytt og klikker på et linjestykke, en stråle, en 

sirkel, en vektor, en bue eller et kjeglesnitt, får du en meny som ser slik ut: 

Øverste menyvalg Linjestykke erstattes eventuelt med navnet på 

vedkommende objekttype. Da kan du bare opprette et nytt objekt av samme 

type hhv. overføre objektet til et eksisterende objekt av samme type. 

Eksempel 18 

Tegn en sirkel, og merk av et punkt på sirkelen. Velg Definer på nytt, og 

klikk på punktet. Velg Punkt i menyen, og deretter Pek på. Trekk punktet 

vekk fra sirkelen. Velg Definer på nytt igjen, og klikk på punktet. Velg nå 

Punkt på objekt og klikk på sirkelen. Punktet blir festet til sirkelen igjen. 

Trekk en linje som skjærer sirkelen. Velg igjen Definer på nytt, klikk på 

punktet, og velg denne gangen Skjæringspunkt. Klikk på et av 

skjæringspunktene mellom sirkelen og linja. Punktet blir flyttet dit. Prøv også 

å omdefinere en halveringslinje til en midtnormal osv. Å omdefinere andre 

objekter enn punkter og linjer er knapt så interessant; effekten blir ikke stort 

annerledes enn å flytte eller slette. Prøv dette på andre objekter. 

7.6 Transformasjonsmenyen 

Speil om 

linje 

Speil om 

punkt 

Denne brukes til speile et objekt omkring en linje, et linjestykke eller en stråle. 

Objektet kan være av en hvilken som helst type: Punkt, linjestykke, sirkel osv. 

Klikk først på objektet som skal speiles, deretter på speilaksen. 

Eksempel 19 

Tegn en linje eller et linjestykke eller en stråle. Tegn et linjestykke, en sirkel, en 

mangekant en vektor og et kjeglesnitt, og bruk Speil om linje til å finne 

speilbildene av objektene. 

Denne brukes til å speile om et punkt, som er det samme som å rotere 180 

grader om punktet. Klikk på objektet og deretter på punktet som det skal speiles 

omkring. 

Eksempel 20 

Merk av et punkt P. Tegn et linjestykke, en sirkel, en mangekant en vektor og et 

kjeglesnitt, og bruk Speil om punkt til å tegne de symmetriske bildene av 

objektene om punktet P. 


Parallellforskyv 

Rotasjon 

Strekk 

Konstruer 

invers 

Denne brukes til å foreta en translasjon ved hjelp av en vektor. Klikk først på 

objektet som skal parallellforskyves og deretter på vektoren. 

Eksempel 21 

Merk av en vektor. Tegn et linjestykke, en sirkel, en mangekant en vektor og 

et kjeglesnitt, og bruk Parallellforskyv til å tegne de translaterte bildene av 

objektene. 

Denne brukes til å foreta en rotasjon av et objekt omkring et punkt. Du trenger 

et objekt som skal roteres, og fire punkter. Det første punktet blir 

rotasjonssenteret. Det andre punktet skal være et punkt på det ene vinkelbeinet, 

det andre vinkelens toppunkt og det tredje et punkt på det andre vinkelbeinet. 

Eksempel 22 

Tegn et objekt, for eksempel en mangekant, og merk av tre punkter. Klikk på 

objektet, og deretter på de tre punktene i riktig rekkefølge. 

Denne brukes til å foreta en homoteti av et objekt fra et gitt punkt med en 

numerisk faktor som er opprett ved hjelp av Rediger tall. 

Eksempel 23. 

Tegn en mangekant (eller et annet objekt), og merk av et punkt P. Velg 

Rediger tall, og skriv tallet 2.1. Velg Strekk, og klikk på mangekanten, og så 

på punktet og til sist på tallet 2.1. Velg Rediger tall, og endre tallet ved hjelp av 

pilene til høyre i feltet. Observer spesielt hva som skjer nå tallet blir negativt. 

Denne brukes til konstruere den inverse til et punkt med hensyn på en sirkel. 

Dette er definert slik: Gitt en sirkel med sentrum P og radius r, og et punkt Q i 

avstanden r1 fra sentrum i sirkelen Det inverse punktet T til Q med hensyn til 

2 

sirkelen ligger på strålen PQ, og avstanden r2 til sentrum P er slik at r1 ⋅ r2 = r . 

Denne funksjonen virker bare på punkter. Skal du invertere større objekter, må 

du invertere punkter i objektet, og sette punktene samme til et nytt objekt. Eller 

du kan bruke Lokus (geometrisk sted). 

Eksempel 24 

Tegn en sirkel med sentrum i et punkt P, og merk av et punkt Q utenfor P. 

Trekk strålen PQ, og merk av skjæringspunktet S med sirkelen. Velg Konstruer 

invers, klikk på Q og deretter på sirkelen. Du får et nytt punkt, som du kaller T. 

Bruk Avstand og lengde til å finne avstandene PQ, PS og PT. Velg Beregn, 

2 

og finn produktene PQ⋅ PT og PS . Kontroller at de stemmer overens. Prøv å 

invertere en sirkel. (Vink: Bruk Lokus (geometrisk sted).) 

7.7 Makro-menyen 

Startobjekter 

Av og til kan det være at du skal foreta den samme konstruksjonen 

mange ganger, og denne konstruksjonen finnes ikke i Cabris 

menysystem, men den kan utføres ved hjelp av de funksjonene som er 

innebygd. Først utfører du konstruksjonen 

Så velger du Startobjekter, og klikker på alle objekter som var 

utgangspunktet for konstruksjonen. 


Sluttobjekter 

Definer makro 

Så velger du Sluttobjekter, og klikker så på det eller de objektene som 

skal være resultatet av konstruksjonen. 

Til slutt velger du Definer makro, og får fram dialogboksen nedenfor. 

”Navn på konstruksjon” er det navnet som vises i menysystemet. 

Makroen blir føyd til som en hvilken som helst kommando i 

menysystemet etter Definer Makro. ”Navn på det første sluttobjektet” 

vises når muspekeren nærmer seg sluttobjektet på samme måte som 

”Dette punktet” eller ”Denne linja” når muspekeren nærmer seg et 

punkt eller en linje. ”Hjelp til denne makroen” brukes som forklaring på 

makroenden nederste del av skjermen når Hjelp er aktivisert (trykk F1). 

”Password for this macro” brukes for å passordbeskytte makroen. 

”Lagre til fil” krysses av hvis du vil gjøre makroen tilgjengelig fra alle 

Cabri-filer. Den blir lagret som en egen fil, og kan hentes inn ved å 

velge Fil-Åpne og velge filtype Macrofiler (*.MAC) i 

nedtrekksmenyen. ”Edit Tool Icon” brukes til å lage et ikon som vises 

når makroen er valgt. 

Eksempel 25 

Du skal lage en makro som kan brukes til å konstruere et linjestykke 

istedenfor en linje som gjennom et oppgitt punkt og står normalt på en 

oppgitt linje. 


Tegn en linje L, og merk av et punkt P utenfor linja. Trekk en normal 

M fra punktet til linja, og merk av skjæringspunktet Q mellom L og M. 

Merk av linjestykket PQ. Velg Startobjekter, og klikk på linja L og 

punktet P. Velg Sluttobjekter, og klikk på linjestykket PQ. Velg 

Definer Makro, og fyll ut dialogboksen: Jeg gir ikke noen detaljert 

beskrivelse av hvordan dette gjøres; det meste er enkelt. Klikk OK til 

slutt. ”NormalStykke” blir nå føyd til i Makro-menyen. Tegn en linje, 

og merke av et punkt. Velg NormalStykke, klikk på linja og på 

punktet. Normallinjestykket blir konstruert. 

Du vil så gjerne bruke makroen Normalstykke til å konstruere høydene 

i en trekant. Du tegner en vilkårlig trekant, og prøver å bruke makroen 

på et hjørne i en trekant og den motstående sida. Dette går ikke, fordi du 

har en linje som startobjekt, ikke et linjestykke. Du vil utvide makroen 

til også å kunne brukes på et linjestykke og et punkt utenfor dette. Du 

tegner da et linjestykke AB og merker av et punkt P utenfor linja. Så 

trekker du en linje L gjennom A og B, og bruker samme konstruksjon 

som ovenfor til å få et linjestykke fra P ned på L. Du velger 

Startobjekter, og klikker på linjestykket AB og punktet P. Så velger du 

Sluttobjekter, og klikker på linjestykket. Så velger du Definer makro, 

og fyller ut dialogboksen en gang til med samme navn, men sørger for 

at beskrivelsen også gir rom for den muligheten at et linjestykke også 

kan være startobjekt. Når du prøver å lagre dette, får du følgende 

dialogboks: 


7.8 Spørsmåls-menyen 

På linje? 

Parallelle? 

Normalt 

på? 

Med 

samme 

avstand? 

Velg Utvid, hvis du vil at det skal være mulig å bruke både linjer og 

linjestykker som startobjekt i tillegg til et punkt. Hvis du velger Erstatt, 

vil det bare være mulig å velge det siste settet av startobjekter. Tegn så 

en trekant, og bruk makroen på et hjørne og den motstående sida. 

Denne brukes til å avgjøre om tre gitte punkter ligger på linje 

Eksempel 26 

Tegn en trekant. Konstruer ortosenteret H (for eksempel ved hjelp av makroen 

i forrige eksempel)som er høydenes skjæringspunkt, deretter 

gravitasjonssenteret G, som er medianene skjæringspunkt, og trekantens 

omsenter O, som er skjæringspunktet mellom midtnormalene på trekantens 

sider. Bruk På linje? til å avgjøre at de ligger på linje. Bruk Avstand og 

lengde og Beregn til å vise at OG:GH=1:2. Dette resultatet skyldes Leonhard 

Euler. 

Denne brukes til å avgjøre om to linjer parallelle. 

Eksempel 27 

Bruk Mangekant til å tegne en vilkårlig firkant. Finn midtpunktene på hver av 

sidene, og trekk den firkanten ABCD der disse midtpunktene er hjørner. Bruk 

Parallelle? til a vise at AB||DC og BC||AD. Dette resultatet tilskrives Pierre 

Varignon (1654-1722) 

Denne brukes til å avgjøre om en to linjer står normalt på hverandre. 

Eksempel 28 

Slå en sirkel, og trekk en linje gjennom sirkelens sentrum. Finn 

skjæringspunktene A og B mellom linja og sirkelen. AB er da en diameter i 

sirkelen. Merk av et punkt C på sirkelen. Bruk Normalt på? til å konstatere at 

AC står normalt på CB. 

Denne brukes til å avgjøre om det første av tre punkter har samme avstand til 

de to siste punktene. 

Eksempel 29 

Tegn en trekant, og trekk to midtnormaler, og merk av skjæringspunktet. 


Ligger på? 

Bruk Med samme avstand? til å avgjøre at skæringspunktet har samme 

avstand til alle tre hjørnene. 

Denne brukes til å avgjøre om et punkt ligger på et objekt 

Eksemplene 10-13 viser bruk av Ligger på? 

7.9 Menyen for numeriske størrelser og beregninger 

Avstand og 

lengde 

Areal 

Stigningskoeffisient 

Vinkel 

Likning og 

koordinater 

Denne brukes til å måle avstanden mellom to punkter, lengden av et 

linjestykke eller omkretsen av en mangekant, sirkel eller kjeglesnitt. 

Eksempel 30 

Tegn to punkter, et linjestykke, en sirkel, en mangekant, en regulær 

mangekant og et kjeglesnitt. Velg Avstand og lengde, og mål avstanden 

mellom punktene, lengden av linjestykket og omkretsen av resten av 

objektene. 

Denne brukes til å arealet av et objekt, som må være en mangekant, en sirkel 

eller en ellipse. 

Eksempel 31 

Finn arealene av sirkelen, mangekanten, den regulære mangekanten og 

kjeglesnittet fra forrige eksempel. 

Denne måler stigningskoeffisienten for en linje, et linjestykke, en stråle eller 

en vektor, altså tangens til vinkelen mellom objektet og den positive x-aksen. 

Eksempel 32 

Tegn en linje, et linjestykke, en stråle og en vektor. Velg Stigningskoeffisient, 

og klikk på objektene. 

Denne måler en vinkel. Du klikker først på et punkt på ett vinkelbein, 

deretter på vinkelens toppunkt, og så på et punkt på det andre vinkelbeinet. 

Eksempel 33 

Tegn en trekant. Velg Vinkel, og mål vinklene i trekanten Trekk i hjørnene 

for å se at vinklene endres. 

Denne gir koordinatene for et punkt, eller likningen for en linje, en sirkel 

eller et kjeglesnitt. Den kan også bruke den på geometriske steder. 

Eksempel 34 

Merk av et punkt, og tegn en linje, en sirkel og et kjeglesnitt. Velg Likning 

og koordinater, og klikk på disse objektene. Slett så alle objektene. Tegn en 


Beregn 

Apply an 

Expression 

Lag tabell 

sirkel og en ellipse utenfor sirkelen (kjeglesnitt). Velg et punkt P på ellipsen, 

og konstruer den inverse Q av P med hensyn på sirkelen. Velg 

Lokus(geometrisk sted), pek på Q, og deretter på P. Velg Likning og 

koordinater, og klikk på det geometriske stedet. Du får en likning av tredje 

eller fjerde grad i x og y. 

Denne brukes til å utføre numeriske beregninger du får en dialogboks 

Du skriver inn uttrykk ved å klikke på numeriske størrelser som er målt ved 

hjelp av de andre funksjonene på denne menyen og på knappene på dialog- 

boksen. Når du er ferdig, klikker du på , og resultatet kommer fram i 

feltet øverst til høyre. Du trekker så resultatet til et passende sted på skjermen 

med musa. Du kan redigere en formel ved å velge Beregn og dobbeltklikke 

på resultatet. 

Eksempel 35 

Merk av tre punkter A, B og C. Trekk linjestykkene AB, BC og CA. Mål 

lengdene av dem. Trekk så trekanten ABC, og finn omkretsen av den med 

Avstand og lengde og arealet av den. Velg Beregn, og finn halve 

omkretsen s. Skriv så inn et uttrykk som tilsvarer Herons formel 

s( s−a)( s−b)( s− c) 

. Observer at dette uttrykket stemmer med arealet. 

Her må du ha skrevet inn et matematisk uttrykk med korrekt syntaks ved 

hjelp av Expression på neste meny, og en numerisk verdi ved hjelp av 

Rediger tall for hver av variablene som inngår i uttrykket. Variablene må ha 

navn fra a til z. Så velger du Apply an Expression og klikker først på 

uttrykket, og deretter på et tall for hver av variablene. Hvis uttrykket 

inneholder bare én variabel x og altså er en funksjon av x, kan du få fram 

grafen til funksjonen ved først å klikke på uttrykket og deretter på x-aksen. 

Da må du ha brukt Vis akser slik at aksene er synlige. 

Eksempel 36 

Velg Expression, og skriv inn uttrykket x^2+y^2. Velg Rediger tall, og 

skriv inn for eksempel 2.1, og deretter et nytt tall 3.2 et annet sted. Velg 

Apply an expression, og klikk deretter på 2.1 og så på 3.2. Du får en verdi 

som du kan flytte til et passende sted med musa. Velg så Expression igjen, 

og skriv inn uttrykket sin(x). Velg Vis aksene på neste meny for å få fram 

aksene, hvis de ikke allerede er synlige. Velg Apply an Expression igjen. 

Klikk på uttrykket sin(x) og deretter på x-aksen. Du får tegnet grafen til xaksen 

Denne brukes til å opprette en tabell av verdier av en målt numerisk størrelse 

eller en tabell av sammenhørende verdier av flere numeriske variabler. Du 

kan ikke bruke en numerisk verdi som er opprettet med Rediger tall i 

utgangspunkt, det må være en målt eller beregnet verdi. Du kan bruke 

Beregn, men ikke Apply an expression. 

Eksempel 37 

Trekk en linje gjennom et punkt P. Slå en sirkel med P som sentrum, og en 


7.10 Diverse-menyen 

Sett navn 

på 

Skriv 

kommentar 

Rediger tall 

Expression 

Marker 

vinkel 

bue som dekker halve sirkelens periferi begrenset av linjen Skjul sirkelen. 

Velg et punkt Q på buen, og nedfell normalen fra Q på diameteren. Kall 

lengden av normalen mellom Q og diameteren for z, og de to delene som 

diameteren deles i, for x og y. Sett opp en tabell med verdier for x, y, x⋅ y og 

2 

z . Hva tyder tabellen på? 

Denne brukes til å sette på et navn. Klikk på objektet, og skriv inn et navn og 

trykk Enter. 

Denne brukes til å skrive en kommentar et vilkårlig sted på skjermen. 

Denne brukes på to forskjellige måter. Hvis en numerisk verdi skal brukes i 

en konstruksjon som Avsett mål, klikker du på et ledig sted på arket og 

skriver inn et tall. Du får føyd til piler etter tallet , og disse kan du 

bruke til å endre tallet etterpå. Du kan også bruke Rediger tall til å føye til 

variabelnavn til et tall som er fremkommet som resultatet av en måling eller 

en beregning. Klikk på tallet, klikk på Home og skriv inn en tekst. 

Denne brukes til å skrive inn et uttrykk, som du deretter kan beregne verdien 

av ved hjelp av Apply an Expression. 

Denne brukes til å markere en vinkel med et symbol, som er en eller flere 

buer med små linjestykker. Du kan endre symbolet ved først å velge Valg- 

Vis stilvalg, så du får en loddrett meny til venstre på skjermen. Klikk på 

vinkele, og trekk musa til det ønskede formatet på vinkelen. Alternativt 

velger du Endre utseende fra den siste menyen. 

Eksempel 38 

Tegn en trekant, sett navn på hjørnene og sidene, og marker vinklene med 

hver sitt symbol. 

Fastsett/ Denne brukes til å hindre, hhv. muliggjøre at et valgt eller konstruert punkt 


fristill 

Spor På/Av 

Animer 

Multippel 

animasjon 

kan flyttes. Hvis du fastsetter et skjæringspunkt, vil ikke de objektene som 

definerer skjæringspunktet, kunne flyttes. 

Denne avgjør hvorvidt det skal tegnes kopier av et objekt underveis når du 

trekker i et objekt. Klikk først på objektet, og dra i det eller endre det. Du får 

tegnet en rekke kopier underveis. Kopiene kan fjernes ved å velge Rediger- 

Frisk opp figur eller trykke Ctrl+F. Du kan sette spor på-egenspen ut av 

kraft ved å holde nede skift-tasten og trykke på et tomt sted på skjermen. 

Eksempel 39 

Tegn en sirkel, og velg Spor På/Av, og klikk på sirkelen. Velg Pek På, og 

trekk i sirkelens periferi. Du får en rekke konsentriske sirkler. Klikk Ctrl/F 

for å fjerne alle unntatt den siste sirkelen. Velg Spor På/Av igjen, og klikk 

på sirkelen. Velg Pek på, og dra i sirkelens sentrum. Du får tegnet en rekke 

ikke-konsentriske sirkler. Prøv det samme med andre objekter. 

Denne brukes til å animere et objekt som kan beveges eller endres ved at 

punkt på et objekt flytter seg. 

Eksempel 40 

Merk av et punkt P, og slå en sirkel C1 med P som sentrum. Trekk en 

horisontal tall linje gjennom sentrum, og merk av det høyre skjæringspunktet 

Q med sirkelen. Tegn en regulær 12-kant innskrevet i denne 

sirkelen med ett hjørne i Q. Gi hjørnene i 12-kanten navn fra 1 til 12 som på 

en urskive, og slå en sirkel til utenfor tallene. Velg et punkt X på sirkelen, og 

trekk vektoren PX. Velg Animer, og klikk på vektoren. Dra så i X mot 

urviserne for å starte animasjonen. 

Denne brukes når en tegning avhenger av flere av flere størrelser. Du får 

menyen til venstre. Knappen brukes for å klikke på de punktene (på 

objekter) som figuren er avhengig av. Når du har sluppet knappen kan du dra 

musa i motsatt retning av den veien du vil at animasjonen skal ta. Du ser en 

”fjær” som viser at punktet skal flyttes under animasjonen. Lengden av fjæra 

vil indikere hvor fort animasjonen skal gå. Du kan fjerne en fjær ved hjelp av 

knappen . Du setter animasjonen i gang ved hjelp av knappen , 

som blir endret til , som du kan stoppe animasjonen med. Knappen 

brukes til å starte animasjonen på nytt. 

Eksempel 41 

Tegn to linjestykker AB og CD, og merk av et punkt P på AB og et punkt Q 

på CD. Mål avstandene x=AP og y=CQ. Tegn så en vannrett stråle X og en 

loddrett stråle Y med felles startpunkt O. Avsett målet x langs X til et punkt 

Px og avsett målet y langs Y til et punkt Py. Trekk en linje gjennom Px 

parallell med Y og en linje gjennom Py parallell med X. Sett navn T på 

skjæringspunktet. Velg Spor Av/På, og klikk på T. Velg Multippel 

animasjon, og sørg for at punktene P og Q blir animert. Sett i gang 

animasjonen. 


7.11 Format-menyen 

Skjul/Vis 

Hide/Show Button 

Velg farge 

Mange av formateringsmulighetene på denne menyen kan du 

også få ved å trykke F9 eller velge Valg – Vis stilvalg fra 

øverste menylinje slik at du fram en loddrett menylinje. Du kan 

også utvide menyen som kommer fram under Endre utseende 

ved å klikke på en av ikonene på den loddrette menyen. 

Denne er meget nyttig, og brukes ofte til å skjule objekter som er 

nødvendige underveis i en konstruksjon, men som bidrar til å rote til 

tegningen. 

Eksempel 42 

Tegn et linjestykke, og konstruer et kvadrat med linjestykket som en av 

sidene. Skjul alle objekter som ikke er en del av det endelige kvadratet. 

Denne gir mulighet for å slå av/på funksjonen Skjul på et eller flere 

objekter, slik at det er lettere å se hvordan en konstruksjon er utført. Du 

oppretter en skjul/vis-knapp ved å velge Hide/Show Button og dra ut 

et passende rektangel på skjermen. Så velger du Skriv kommentar, 

klikker på knappen, og skriver inn en forklaring på knappen. Så velger 

du Hide/Show Button igjen, klikker på knappen, og deretter på alle 

objekter skal kunne slås av og på. 

Eksempel 43 

Fortsett med forrige eksempel. Gjør alle objekter synlige igjen ved å 

velge Skjul/Vis og klikke på alle usynlig objekter etter tur. Opprett så 

en knapp ved hjelp av Hide/Show Button som kan brukes å gjøre de 

samme elementene synlige eller usynlige. 

Denne bruker du til å skifte farge på objekter. Du får en fargepalett: 


Fyll ut 

Text Color 

Velg 

strektykkelse 

Velg stiplet 

Endre utseende 

Klikk på en farge, og deretter på et objekt som skal ha denne fargen. 

Legg merke til at dette verktøyet bare påvirker omrisset av et objekt, 

ikke en eventuell fyllfarghe. 

Du får den samme fargepaletten, og velger en farge og klikker på et 

objekt som skal fylles med denne fargen. Objektet må være en sirkel, 

en bue (der man trekker et linjestykke fra første til siste punkt) eller en 

mangekant. 

Eksempel 44 

Tegn en sirkel, en trekant, en mangekant, en bue og kjeglesnitt. Fyll de 

fire første objektene med hver sin farge, og prøv å fylle kjeglesnittet. 

Du får den samme fargepaletten igjen. Klikk på teksten eller tallet som 

skal ha en annen farge. 

Du får følgende valg: 

Velg i menyen, og klikk på det objektet som skal ha en annen 

strektykkelse. 

Du får følgende valg: 

Velg i menyen, og klikk på det objektet som skal ha et annet 

strekformat. 

Her får du menyene, og du kan altså skifte format på punkt, 

vinkelsymboler, linjestykker, linjer og koordinatsystem med rutenett. 


Vis aksene 

Nye akser 

Definer rutenett 

7.12 Øvingsoppgaver 

Legg merke til linjeformatet, som gir deg muligheter for bare å trekke 

en begrenset del av en linje eller stråle. Linjestykke-formatet gjør det 

mulig for eksempel å merke like linjestykker likt. 

Denne slår av eller på koordinataksene. 

Her kan du føye til nye koordinatakser. Du klikker på tre punkter. Det 

første gir origo, det andre gir et punkt på x-aksen og det tredje gir et 

punkt på y-aksen. Hvis du skal ha koordinatene eller ligningen for et 

objekt i forhold et koordinatsystem som ikke er standardkoordinatsystemet, 

må du velge Likning og koordinater, og så klikke 

først på punktet, og så på en av aksene. 

Denne tegner prikker i punkter med heltallige koordinater i forhold det 

valget aksekorset som klikker på. 

7.12.1 Trekant med medianer. Cabri-fil her. Løsning her. 

a. Merk av tre punkter, og sett navn A, B og C på dem. Trekk trekanten ABC. 

b. Finn midtpunktene A' på BC, B' på AC og C' på AB, og sett navn på dem. 

c. Trekk to av medianene (forbindelseslinja mellom et hjørne og midtpunktet på den 

motstående sida) AA' og BB' som linjestykker og merk av og sett navn på 

skjæringspunktet D. 

d. Trekk den siste medianen CC' som linjestykke. 

e. Bruk Ligger På? til å påvis at D ligger på CC' 

f. Mål AD og DA' ved hjelp av Avstand og lengde, og beregn AD':DA'. 

g. Hvilken plangeometrisk setning svarer denne oppgaven til? 

h. Her er referanser til beslektede eksempler: 

Eulerlinja (Word), Eulerlinja(Cabri), 

Trekant med ortosenter (Word), Trekant med ortosenter (Cabri), 


7.12.2 Omsirkel med makro. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Tegn en trekant ABC. 

b. Oppreis midtnormaler på sidene AB og AC 

c. Merk av og sett navn på skjæringspunktet D mellom disse midtnormalene 

d. Oppreis en midtnormal på sida BC. 

e. Bruk Ligger På? til å vise at D ligger på midtnormalen på BC. 

f. Slå en sirkel med sentrum i D som går gjennom A (og B og C). Kommentér. 

g. La oss si at du gjentatte ganger har bruk for å finne omsirkelen til en trekant. Du vil lage 

en makro for å ta seg av dette. 

h. Velg X-> (Startobjekter), og klikk på trekanten ABC. 

i. Velg Y-> (Sluttobjekter), og klikk på punktet D og sirkelen. 

j. Velg så Definer Makro, og fyll ut dialogboksen. Gi makroen navnet Omsirkel, og merk 

av Lagre til fil. Tegn eventuelt et passende ikon. 

k. Test makroen på noen nye trekanter. 

7.12.3 Innsirkel med makro. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Tegn en trekant ABC, og sett navn på hjørnene. 

b. Trekk vinkelhalveringslinjene for vinklene A og B. Sett navn a og b på linjene. 

c. Merk av skjæringspunktet for de to vinkelhalveringslinjene og sett navnet D på det. 

d. Trekk vinkelhalveringslinja for vinkel C, og sett navnet c på den. 

e. Bruk Ligger på? til å vise at D ligger på C. 

f. Nedfell en normal fra D på AB, og merk av skjæringspunktet E. 

g. Trekk en sirkel med sentrum i D som går gjennom E. 

h. Nå har du konstruert innsirkelen til trekantene ABC. 

i. Lag og test en makro på samme måte som i oppgave 2 der du konstruerer innsirkelen med 

sentrum i en gitt trekant. 

7.12.4 

Du skal tegne et rektangel basert på et linjestykke og et punkt på en kant normalt på dette 

linjestykket. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Merk av og sett navn på to punkter A og B, og trekk linjestykket AB. 

b. Oppreis en normal på AB i A og en normal i B. 

c. Merk av et punkt D på normalen i A. Bruk Punkt på objekt. 

d. Trekk en linje parallell med AB gjennom D. 

e. Merk av og sett navn på skjæringspunktet C mellom parallellen og normalen gjennom 

B. 

f. Trekk opp firkanten ABCD som mangekant. 

g. Skjul parallellen og normalene, slik at bare firkanten ABCD blir synlig. Bruk Skjul/Vis. 

h. Klikk på og trekk i hvert av punktene A, B og D for å se effekten. 

i. Klikk på C og prøv å trekke i det. Dette er ikke mulig, fordi C er resultatet av en 

konstruksjon, ikke et valg, slik som A, B og D er. Det er viktig å holde styr på hvilke 

punkter som kan trekkes i, og det kan være nyttig å markere disse med et annet utseende 

enn andre punkter. Dette kan du gjøre på følgende måte: Velg først i menyen på øverste 


linje på skjermen: Valg - Vis stilvalg (eller trykk F9). Hold så nede Skift-tasten og klikk 

etter tur på punktene A, B og D. Trekk deretter i punktformatverktøyet (nr. 5 nedenfra) til 

du kommer til en firkant, og slipp. Trekk deretter i linjetykkelsesverktøyet (nr. 5 ovenfra) 

og trekk til den tykkeste linja og slipp. 

j. Finn midtpunktene E og F på hver av sidene AB og CD. 

k. Trekk opp firkantene AEFD og EBCF som mangekanter. 

l. Nå har du en figur som vi seinere kan bruke som horisontalprojeksjonen av et hus med 

møne. 

7.12.5 Speilinger og translasjoner. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Tegn en linje og sett navnet l på linja. 

b. Tegn en trekant ABC. 

c. Merk av et punkt D. 

d. Trekk en linje og sett navnet l på linja. 

e. Velg Speil om linje, og klikk på trekanten ABC, deretter på linja l. Se hva som skjer. 

f. Velg Speil om punkt, og klikk på trekanten ABC og deretter på punktet D. Se hva som 

skjer. 

g. Trekk en vektor, og sett navnet v på den. 

h. Velg Parallellforskyv, og klikk på trekanten ABC, deretter på vektoren v. 

i. Da i A, B, C, trekanten ABC, linja l punktet D, vektoren v og i v's endepunkter og observer 

hva som skjer. 

7.12.6 Rotasjoner. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Tegn to stråler med felles startpunkt O, og sett navn m og n på dem 

b. Tegn en vilkårlig mangekant, og gi den navnet P 

c. Velg Rotasjon, klikk så først på mangekanten P, og deretter på et punkt på m og så på O 

og så på et punkt på n. Observer hva som skjer. 

d. Trekk i strålene, mangekanten og O og observer. 

e. Dette er det verktøyet som kan brukes til å tegne symmetriske flislegginger, som er nevnt i 

geometripensummet i 2PX. 

7.12.7 Parallellforskyvninger. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Merk av tre punkter og sett navn A, B og C på dem. 

b. Trekk linjene AB og AC 

c. Trekk en parallell med AB gjennom C og en parallell med AC gjennom B. 

d. Merk av skjæringspunktet mellom parallellene, og sett navnet D på det, 

e. Trekk opp mangekanten ABDC. 

f. Skjul de fire linjene, slik at bare parallellogrammet er synlig 

g. Trekk opp vektorene AB og AC. 

h. Velg Parallellforskyv. Klikk på mangekanten ABDC og deretter på vektoren AB. 

i. Klikk på mangekanten ABDC og deretter på vektoren AC. 

j. Gjenta på kopiene inntil du har fått dekket et parallellogramformet område. 

k. Fyll ut med passende farger. 


l. Trekk i punktene A, B og C og observer. 

7.12.8 Flislegging med regulære sekskanter. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Velg Regulær mangekant, og tegn en regulær sekskant med sentrum i O og et hjørne i 

A. 

b. Sett navn B, C, D, E og F på de andre hjørnene i retning mot urviserne. 

c. Trekk vektoren DB 

d. Velg Parallellforskyv. Klikk på sekskanten og deretter på vektoren DB. Da får du en kopi 

av sekskanten "oppover til høyre". 

e. Trekk en vektor v gjennom D og A som spenner over en side til i kopien. 

f. Trekk vektoren EC. 

g. Bruk Parallellforskyv til å lage flere kopier av sekskanten til den dekker et noenlunde 

rektangulært område. 

h. Fyll ut sekskantene i passende farger 

i. Her er lenker til beslektede filer: 

Fliser med trekanter 

Fliser med trekanter 

7.12.9 Flislegging med regulære sekskanter, kvadrater og likesidede trekanter. 

I denne oppgaven trenger du tre makroer, som jeg har laget på forhånd. Velg Fil - Åpne... i 

den øverste menyen, velg filtypen Makrofiler (*.mac) og hent inn etter tur makroene 

Kvadrat og RegulærTrekant. Disse konstruerer et kvadrat, hhv. en likesidet trekant basert 

på to gitte punkter. Hjørnene blir gjennomløpt i positiv omløpsretning ut fra de to oppgitte 

punktene. Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

j. Start med å trekke et linjestykke, f.eks. loddrett. 

k. Finn midtpunktet av linjestykket. 

l. Konstruer en regulær mangekant med midtpunktet som sentrum og et hjørne i det 

øverste punktet på linjestykket. Trekk i muspekeren til du får en regulær sekskant. 

m. Bruk makroen Kvadrat til å tegne et kvadrat utenfor sekskanten på tre av sidene. Velg 

dem slik at de peker mot nordvest, nordøst og sørøst. 

n. Fyll ut mellomrommene mellom de tre kvadratene med trekanter ved å bruke makroen 

RegulærTrekant. 

o. Fyll ut sekskanten i én farge, kvadratene i en annen farge og trekantene i en tredje farge. 

p. Nå har du nok fliser til å dekke et noenlunde rektangulært område ved 

parallellforskyvning. 

q. Trekk passende vektorer og bruk dem til å lage parallellforskjøvne kopier av flisene. 

r. Her er lenker til beslektede filer: 

FliserSemi4_3_3_4_3.fig FliserSemi6_3_3_3_3.fig 

FliserSemi6_4_3_4.fig FliserSemi12_6_4_3.fig 

FliserSemi12_6_4_3.fig 

s. Her er lenker til Cabrifiler med flislegginger der noen av flisene er stjerneformede: 

Fliser_Stjerne3_6__6.fig Fliser_Stjerne4_4__4.fig 

FliserStjerne3_3_8_4_8.fig FliserStjerne3_3__3_3.fig 

FliserStjerne3_4_6_3_12.fig FliserStjerne3_12_3_3_12.fig 

FliserStjerne4_6_4_6.fig FliserStjerne4_6_4_6_4_6.fig 


FliserStjerne4_6_6_6.fig FliserStjerne6_3_3.fig 

FliserStjerne8_3_4.fig FliserStjerne12_3_12_3.fig 

t. Her er lenker til Cabrifiler med flislegginger som har andre symmetrier i tillegg til 

translasjonssymmetrier: 

Fliser/Cabri/Fliser_cm.fig Fliser/Cabri/Fliser_cmm.fig 

Fliser/Cabri/Fliser_p2.fig Fliser/Cabri/Fliser_p3.fig 

Fliser/Cabri/Fliser_p3_1.fig Fliser/Cabri/Fliser_p3_2.fig 

Fliser/Cabri/Fliser_p3m1.fig Fliser/Cabri/Fliser_p4g.fig 

Fliser/Cabri/Fliser_p4m.fig Fliser/Cabri/Fliser_p6.fig 

Fliser/Cabri/Fliser_p6m.fig Fliser/Cabri/Fliser_pg.fig 

Fliser/Cabri/Fliser_pmg.fig Fliser/Cabri/Fliser_pmm.fig 

7.12.10 Det gylne snitt. 

I denne oppgaven skal vi konstruere et rektangel der sidene er som i det gylne snitt, og lage en 

makro som konstruerer et slikt rektangel automatisk, gitt den lengste sida. Cabri-fil her. 

Løsningsforslag her. 

a. Start med å trekke et linjestykke AB. 

b. Finn midtpunktet M av AB 

c. Oppreis en normal på AB i A. 

d. Slå en sirkel med sentrum i A og radius AM . 

e. Merk av skjæringspunktet C med normalen i A. 

f. Trekanten ABC er nå en rettvinklet trekant med kateter AB og AB/2 Etter Pythagoras er da 

hypotenusen √5/2 AB. 

g. Slå en sirkel med radius AB/2 og sentrum i C. 

h. Merk av skjæringspunktet D med hypotenusen. 

i. Slå en sirkel med radius BD og sentrum i D. 

j. Marker skjæringspunktet E med normalen i B. 

k. Trekk en parallell med AB gjennom E og marker skjæringspunktet F med normalen i A. 

l. Lengden av linjestykket BD er nå AB (√5−1)/2, og dette er den riktige verdien i det gylne 

snitt. Kontroller dette: 

m. Bruk Avstand og lengde til å finne lengdene av AB og BE. 

n. Bruk Beregn til å finne forholdet mellom dem. 

o. Lag og test en makro som gir et rektangel i det gylne snitt, gitt et linjestykke. 

7.12.11 Ellipse. 

I denne oppgaven skal vi konstruere en ellipse ut fra definisjonen: En ellipse er det 

geometriske sted for de punkter hvis avstander til to oppgitte punkter har en konstant sum. 

Cabri-fil her. Løsningsforslag her. 

a. Merk av to punkter (brennpunkter) A og B. 

b. Trekk en vannrett stråle (langt unna A og B) som starter i et punkt D. Merk av et punkt E 

på strålen (Punkt på objekt), og marker linjestykket DE. 

c. Linjestykket DE skal nå spille rollen som summen av avstandene til de to brennpunktene 

fra et punkt på ellipsen. 

d. Skjul strålen, og merk av et punkt F på linjestykket DE. 


e. Marker linjestykkene DF og FE, som skal være de to avstandene. 

f. Velg Passer, og slå en sirkel om A med DF som radius (klikk på A og deretter på DF) og 

så en sirkel om B med radius FE. Marker skjæringspunktene P og Q. 

g. Velg Lokus (geometrisk sted). Klikk på P og deretter på F. Klikk så på Q og deretter på 

F. Nå har du fått trukket ellipsen. 

h. Trekk i punktene A, B, F og E og observer. 

i. Animer figuren: Velg Animer, klikk på P og trekk deretter i F. 

j. Lenker til lignende filer: 

Tekstfil: Cabri-fil: 

Hyperbel.doc Hyperbel.fig 

Parabel.doc Parabel.fig 

ArchimedesSpiral.doc ArchimedesSpiral.fig 

Hyposykloide.doc Hyposykloide.fig 

Episykloide.doc Episykloide.fig 

KastUtenLuftmotstand.doc KastUtenLuftmotstand2.fig 

Sykloider.doc Sykloide1.fig Sykloide2.fig 

Ur.doc Ur.fig 


Stikkordregister 

A 

abelsk;77; 99 

absolutt vinkelmåling;14 

aksiom;11; 12; 17; 77 

areal;25; 26; 27; 28; 29; 31; 32; 39; 43; 48 

avstand;16; 19; 20; 26; 36; 39; 43; 85; 102; 107; 113; 141 

avstandsfunksjon;12; 13 

B 

Babylon;27 

bijeksjon;19; 24; 78; 82 

billedplan;113; 114; 115; 117; 118; 119; 121 

binær operasjon;77; 79 

buelengde;14; 135 

bånd;99; 100; 101 

båndmønstre;100; 102 

C 

Cabri;1; 52; 71; 101; 104; 110; 114; 115; 122; 129; 130; 

132; 133; 136; 139; 148; 149; 150; 151; 152; 153 

Cabri 3d;114 

celle;105; 106 

cosecans;33 

cosinus;33; 34; 56; 61; 69 

cosinussetningen;34; 61 

cotangens;33 

delingsforhold;18; 19 

determinant;71 

diagonal;28; 29; 39; 43; 45; 47; 49; 59 

diameter;30; 32; 33; 35; 45; 47; 48; 50; 60; 91; 141 

differensen mellom to vinkler;15 

dihedral gruppe;80; 81; 101 

dilatasjon;24 

direkte isometri;17; 84; 85; 86; 87; 97; 99 

dobbeltperiodisk;105; 110 

D 

E 

Egypt;27 

ellipse;17; 136; 142; 152 

endepunkt;12; 13; 76; 116; 128; 132 

enhetsvektor;53; 58; 59; 60; 61 

Euklid;11; 12; 17; 22; 27; 44 

F 

fikslinje;84; 85; 86; 99; 100 

fikspunkt;84; 85; 86; 87; 88; 90; 91; 92; 94; 97; 99; 120 

fikspunktlinje;84; 85; 86 

firkant;16; 28; 29; 37; 39; 40; 42; 43; 44; 46; 47; 48; 49; 

55; 80; 83; 90; 96; 141; 149; 150 

fluktpunkt;118; 119; 120; 121; 123 

formlik;24; 25; 26; 32; 33; 36; 40; 45; 46; 47; 50 

forsvinningspunkt;118 

fraktaler;97 


G 

generator;77 

geometrisk sted;17; 136; 138; 142; 153 

gliderefleksjon;75; 76; 85; 87; 88; 100; 101; 106 

gravitasjonssenter;36 

grunnlinje;23; 25; 28; 39; 113 

gruppe;77; 78; 79; 81; 82; 88; 92; 99; 102 

gylne snitt;37; 38; 152 

H 

heksagonalt nett;105 

Herons formel;35; 41; 143 

hjørne;13; 16; 17; 35; 37; 80; 133; 134; 141; 142; 144; 

145; 149; 151 

homogene koordinater;73; 74; 75; 76; 85; 88 

homoteti;24; 73; 74; 76; 97; 99; 131; 138 

homotetier;73; 99 

horisont;118; 119; 120; 121; 123 

horisontalprojeksjon;113; 115; 116; 117 

hosliggende;13; 15; 29; 33 

hypotenus;15; 27; 33; 152 

høyde;25; 28; 36; 109; 118; 129; 134; 139 

høyre-system;55; 62; 63 

I 

identitetsmatrisen;75 

ikke-euklidsk;12 

indre vinkler;14 

infix;77 

innsenteret;36; 50 

innsirkel;36 

isometri;15; 17; 18; 19; 24; 73; 74; 84; 85; 86; 87; 88; 89; 

90; 91; 92; 94; 95; 97; 99; 100; 101; 102; 105 

isomorfi;81; 82; 85; 88; 91; 92; 99; 100; 101; 102; 105 

K 

kartesisk;11; 13; 55; 61; 72 

kollineære;11 

kolonnevektor;74 

komplementvinkler;15 

kongruens;16; 17; 18; 26; 28; 36; 49 

konkurrente;11 

koordinater;11; 13; 34; 55; 56; 57; 59; 61; 64; 70; 72; 73; 

74; 75; 76; 95; 133; 136; 142; 147; 148 

korde;30; 31; 32; 34; 39; 43; 133 

kryssprodukt;62; 63; 64; 68 

kvadrat;16; 26; 32; 39; 43; 44; 46; 49; 50; 51; 80; 82; 89; 

105; 113; 146; 151 

kvadratur;32; 33 

L 

lengde;11; 12; 14; 16; 19; 20; 21; 26; 31; 42; 43; 44; 45; 

46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53; 57; 58; 59; 61; 75; 85; 

97; 100; 106; 135; 138; 141; 142; 143; 148; 152 

lengdeaksen;99; 100; 101; 102; 107

likebeint;15; 21; 22; 30; 33; 38; 41; 42; 48; 49; 89 

likesidet;15; 20; 48; 91; 98; 105; 151 

lineær algebra;53 

lineær avbildning;74 

linjal;17; 115; 129; 133 

linje;11; 12; 13; 14; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 26; 30; 32; 

36; 40; 43; 46; 47; 48; 57; 61; 66; 69; 73; 74; 76; 84; 

85; 86; 87; 88; 89; 90; 92; 97; 99; 113; 115; 116; 117; 

118; 121; 131; 132; 133; 134; 135; 136; 137; 139; 

141; 142; 143; 145; 147; 149; 150 

linjestykke;12; 13; 19; 20; 21; 23; 26; 29; 30; 36; 42; 45; 

48; 49; 51; 57; 88; 97; 115; 127; 130; 132; 133; 134; 

135; 136; 137; 138; 139; 142; 146; 147; 148; 149; 

151; 152 

M 

Mathematica;110 

matrisemultiplikasjon;71; 74; 75; 78; 79; 88 

matriser;70; 71; 73; 74; 75; 78; 79; 80; 85; 86; 88; 92 

median;36; 41; 54; 55; 57; 134; 141; 148 

medianvektor;53 

mellomproporsjonalen;37; 38; 39 

midtnormal;19; 21; 35; 87; 89; 119; 133; 134; 137; 149 

modulo;77; 78; 92 

motsatt isometri;13; 14; 15; 17; 19; 24; 33; 52; 67; 84; 

85; 86; 87; 97; 99; 145 

motstående;12; 13; 15; 18; 26; 29; 31; 33; 35; 36; 37; 40; 

53; 54; 57; 60; 134; 139; 148 

multiplikasjonstabell;77; 79; 81; 83 

N 

nabovinkler;14 

nett;105; 107; 108 

normal;15; 19; 20; 21; 23; 28; 32; 33; 36; 44; 46; 47; 48; 

49; 50; 51; 53; 62; 67; 69; 84; 114; 115; 116; 117; 

121; 134; 135; 136; 139; 143; 149; 152 

normalvektor;67 

omkrets;31 

omsenter;35; 141 

orden;77 

O 

P 

papirformat;38 

parallell;11; 13; 18; 23; 26; 33; 39; 42; 43; 44; 50; 51; 52; 

53; 55; 58; 65; 66; 69; 74; 85; 99; 118; 134; 145; 149; 

150; 152 

parallellaksiom;11; 12; 23 

parallellogram;16; 26; 28; 29; 37; 54; 55; 61; 83; 105; 

135 

parallellogramnett;105 

parallellprojeksjon;113 

parameterfremstilling;66; 67; 68 

passer;17; 115; 129; 133 

periferivinkel;30 

permutasjon;79; 80; 82; 83 

perspektivprojeksjon;113; 115; 119; 127 

perspektivtegning;113; 118; 128 

plan;17; 53; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69; 78; 84; 87; 91; 

92; 113 

polarkoordinater;72 

polygon;16; 17; 26; 27; 28; 29; 96; 133; 134; 137; 138; 

142; 147; 149; 150; 151 

potens;31; 32; 43; 44; 77; 82 

produktet av et tall og en vektor;13 

profilplan;113 

profilprojeksjon;113; 115; 116; 117 

projeksjonsplan;113; 120; 121 

punkt;11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 23; 24; 

29; 30; 31; 35; 36; 39; 40; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 50; 

51; 52; 54; 55; 56; 60; 62; 65; 66; 67; 68; 69; 70; 72; 

73; 74; 75; 76; 78; 82; 84; 85; 88; 89; 90; 91; 93; 97; 

99; 100; 102; 113; 115; 116; 117; 118; 119; 121; 125; 

127; 130; 131; 132; 133; 134; 135; 136; 137; 138; 

139; 141; 142; 143; 144; 145; 147; 148; 149; 150; 

151; 152 

Pythagoras;27; 28; 32; 35; 38; 51; 152 


R 

radian;14 

radius;14; 17; 19; 20; 23; 30; 31; 34; 35; 36; 38; 40; 42; 

43; 46; 47; 48; 50; 51; 72; 84; 133; 135; 138; 152; 153 

regulær;16; 28; 29; 38; 54; 80; 81; 82; 83; 110; 133; 142; 

145; 151 

regulær femkant;28; 38; 43 

regulær tikant;38 

rektangel;16; 26; 32; 37; 38; 39; 43; 48; 83; 105; 146; 

149; 152 

rektangulært nett;107 

René Descartes;55 

retningscosinus;56; 57; 60 

rettvinklet;15; 26; 27; 28; 32; 33; 35; 38; 41; 152 

rotasjon;73; 74; 78; 80; 81; 82; 89; 90; 91; 107 

rotasjonssenter;84; 89; 96; 130; 131; 138 

rotasjonsvinkel;84; 90 

S 

samsvarende vinkler;14; 22; 23; 24; 26; 33 

secans;33 

sekant;30; 31; 43 

sentralprojeksjon;113; 114; 116 

sentralvinkel;30; 31 

side;12; 13; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 23; 26; 28; 29; 33; 35; 

36; 37; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 54; 55; 

61; 80; 83; 90; 98; 134; 135; 141; 144; 146; 149; 150; 

151; 152 

similaritet;24; 73; 84; 97; 99 

sinus;33; 34 

sinussetningen;34; 41 

sirkel;14; 16; 17; 19; 20; 23; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 

37; 39; 40; 41; 42; 43; 46; 47; 48; 49; 50; 72; 84; 91; 

117; 133; 135; 136; 137; 138; 141; 142; 143; 145; 

147; 149; 152; 153 

sirkelbue;14; 19; 20; 23 

sirkelperiferi;30; 40 

sirkelsegment;34 

sirkelsektor;31; 34 

skalarkomponent;13 

skalarprodukt;57; 58; 59; 62; 67; 71 

skalarprojeksjon;53; 57; 60; 62; 67 

speilakse;75; 76; 84; 85; 137 

speiling;73; 74; 75; 76; 80; 81; 84; 85; 86; 87; 88; 89; 90; 

91; 92; 93; 97; 100; 102; 105; 106; 107; 108; 109 

speilsymmetri;80; 91; 92 

speilsymmetrier;92; 105; 107 

spiss vinkel;14 

spissvinklet;14; 15; 40; 42; 50; 133 

SSS;18; 19; 20; 23; 28 

SSV;18; 22

startpunkt;12; 13; 53; 76; 132; 135; 145; 150 

stråle;12; 15; 26; 123; 132; 134; 135; 136; 137; 142; 145; 

147; 152 

stump vinkel;14 

stumpvinklet;14; 15; 41 

summen av to vinkler;15 

supplementvinkler;15; 19 

SVS;18; 19; 22 

syklisk;37; 44; 48; 49; 63; 77; 80; 81; 82; 90 

syklisk permutasjon;80; 82 

syklisk undergruppe;81; 82 

symmetrigruppe;78; 82; 83; 91; 92; 93; 96; 101; 105; 107 

symmetrisk gruppe;79; 82 

T 

tangens;33; 34; 142 

tangent;30; 31; 32; 39; 40; 46; 50 

tapetmønstre;105; 110; 111 

Tess;101; 104; 110 

Thabit ibn Qurras;27 

Thales;30; 31; 37 

toppunkt;13; 14; 15; 20; 24; 30; 39; 135; 138; 142 

toppvinkler;14; 22; 24 

translasjon;74; 75; 85; 87; 88; 89; 90; 97; 99; 100; 101; 

102; 105; 106; 107; 138; 150 

translasjonsvektor;75; 87; 101; 102; 105 

transversalsetningen;26; 33; 36; 37 

trapes;16; 26; 42; 45; 46; 49 

trekant;12; 13; 14; 15; 18; 20; 21; 22; 23; 24; 26; 27; 28; 

29; 31; 33; 34; 35; 36; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 

46; 47; 48; 49; 50; 53; 54; 55; 60; 61; 65; 84; 86; 87; 

89; 90; 95; 97; 98; 105; 127; 130; 132; 133; 134; 135; 

139; 141; 142; 144; 147; 149; 150; 151; 152 

trekantulikheten;12; 18; 25 

trigonometri;33; 34 

trippelprodukt;63; 66; 68 

tverrakse;99; 100; 107 

tyngdepunkt;36; 131 

undergruppe;81; 82; 99 

U 


V 

Varignon;37 

vektor;13; 52; 53; 55; 56; 57; 58; 59; 60; 61; 62; 63; 66; 

67; 69; 70; 71; 74; 75; 76; 85; 87; 88; 93; 97; 100; 

102; 105; 132; 134; 135; 136; 137; 138; 142; 145; 

150; 151 

vektordifferens;13; 52 

vektorkomponent;13; 56 

vektorprodukt;62; 64 

vektorprojeksjon;57 

vektorrom;53; 70 

vektorsum;13 

vertikalprojeksjon;113 

vinkel;11; 13; 14; 15; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 

28; 29; 30; 31; 33; 34; 36; 39; 40; 42; 43; 48; 58; 59; 

60; 69; 72; 73; 74; 75; 76; 78; 80; 82; 84; 86; 88; 89; 

90; 91; 92; 93; 135; 142; 144; 149 

vinkelbein;13; 23; 24; 142 

vinkelhalveringslinje;20; 29; 33; 36; 42; 44; 47; 50; 86; 

135; 137 

Von Kochs snøflakkurve;97 

VSV;18; 23; 26 

Wikipedia;11; 37 

ytre vinkel;14; 22; 23; 30 

øyepunkt;113; 115; 116; 118 

åpent utsagn;16 

W 

Y 

Ø 

Å

Referanser 

[1] Hans Erik Borgersen og Trygve Breiteig: Notater i geometri. Hia 2002. 

[2] Hans Erik Borgersen: Notater i geometri. Hia 1985. 

[3] Trygve Breiteig: Projektiv geometri. Hia 2001. 

[4] Erik M. Alfsen og Erling R. Hansén: Fo4. Universitetsforlaget 1960.

Forord

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?