Svar till tentamen i TNA007 080325 1. Greens formel ger ...

Svar till tentamen i TNA007 080325
1. Greens formel ger, orienteringen moturs ger +
(x 2 + 10xy + y 2 )dx + (5x 2
+ 5xy)dy = 10x + 5y − (10x + 2y)dxdy
L
där D är kvadraten. Beräkning ger
D
2 2
3ydxdy = ( 3ydy)dx = 12.
2. Vi räknar med Gauss’, normalriktning är vald s˚a vi f˚ar +,
○ A · ˆndS = ∇ · Adxdydz = 2x + xdxdydz =
S
D
1 1−x 1−x−y
= ( (
0
0
0
0
0
D
D
3xdz)dy)dx = · · · = 1
8 .
3. Vi har ett skalärfält V : ((r, θ, ϕ) sfäriska kooordinater)
V =
2 sin θ cos ϕ
r 2
(a) Vi beräknar riktningsderivatan: ∇V · v, där v är en enhetsvektor i
den önskade riktningen:
∇V · v = (−2 √ 2er + √ 2eθ) · ( 1
√ 2 er − 1
√ 2 eϕ) = −2.
(b) I gradientens riktning, i riktningen: −2er + eθ.
4. Vi räknar med Stkoes’
(sin θeθ + sin θeϕ) · dr = ( 2 cos θ
L
S
sin θ
er −
r r eθ +
sin θ
) · ˆndS =
r
L˚ater vi S vara den del av enhetssfären som ligger i första oktanten blir
ˆndS = −err 2 sin θdθdϕ, med orientering vald enligt Stokes’. Vi f˚ar
π/2 π/2
= − (
0
0
2 cos θ sin θdθ)dϕ = · · · = − π
2 .
5. Beräknar direkt, med ˆndS = ρeρdϕdz = 2eρdϕdz
S
π 3
A · ˆndS = ( 2z 2 dz)dϕ = · · · = 18π.
Vi har valt normalriktning ut fr˚an cylindern.
0
1
0

6. Ett koordinatsystem med koordinater (R, θ, ϕ) ges av sambanden, där
(x, y, z) är de vanliga koordinaterna.
⎧
⎨
⎩
där a är en konstant och R < a.
x = (a − R cos θ) cos ϕ
y = (a − R cos θ) sin ϕ
z = R sin θ
Avgör om (R, θ, ϕ) bildar ett ortogonalt kroklinjigt koordinatsystem, och
bestäm skalfaktorer hR, hθ och hϕ.
Vi ser p˚a ortsvektorn
r = (x, y, z) = ((a − R cos θ) cos ϕ, (a − R cos θ) sin ϕ, R sin θ)
Ortogonalt blir det om ∂r
∂u
blir ortogonala, d˚a u är de nya koordinaterna
∂r
= (− cos θ cos ϕ, − cos θ sin ϕ, sin θ)
∂R
∂r
= (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ)
∂θ
∂r
= (−(a − R cos θ) sin ϕ, (a − R cos θ) cos ϕ, 0)
∂ϕ
Vi ser att vektorerna är ortogonala. Skalfaktorer är beloppen av dessa
vektorer
hR = 1, hθ = R, hϕ = a − R cos θ.
7. (a) Divergensen av A blir:
∇ · A =
1
r 2 sin θ
∂ 2 1
f(r)r sin θ = ∇ · A =
∂r
r2 ∂ 2
r f(r) = 0
∂r
Löser vi ekvationen f˚ar vi att f(r) = C
r2 . Integralen ger värdet p˚a C,
vi f˚ar att C = Q
Q
4π . Vi har d˚a att f(r) = 4πr2 . Beräkning av rotationen
ger att ∇ × A = 0.
(b) Eftersom ∇ × A = 0 är integrationen oberoende av väg. Vi har att
dr = erdr + . . . , eftersom fältet A endast har er komponent, är det
allt som är intressant. Vi ska integrera fr˚an (0, 4, 0) till (0, 4, 3)
L
5
Q
Q
A · dr = dr = · · · =
4πr2 80π .
4
2