Kort introduksjon til bølger relatert til tidevann i havet1 1 Bølger i hav ...

Kort introduksjon til bølger relatert til tidevann i havet 1
Helge Drange
Høst 2012
Kommentarer til helge.drange@gfi.uib.no
Oppdatert 24. oktober 2012
Observert vannstand (cm) i Bergen mellom 1. juni og 31. august 2012 (svart farge) og modellert
vannstand basert p˚a tidevannskomponentene M2, S2, N2 og K2 (rød farge). Observasjoner fra
http://vannstand.no/.
1 Bølger i hav og atmosfære
Bølger betegner fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som energi, uten
eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten. Dette i motsetning til for eksempel
geostrofisk balanse og ageostrofisk strøm i atmosfære og hav som alltid er knyttet til adveksjon
av masse. Følgelig kan bølgesignal forplantes uten eller med liten p˚avirkning av jordrotasjonen,
selv om forplantningshastigheten kan være svært stor. Dette i motsetning til adveksjon av masse
som alltid vil være p˚avirket av Corioliseffekten og som skalerer lineært med væskeelementets
hastighet.
En generell gjennomgang av sentrale egenskaper til bølger er gitt i appendiks.
1 Teorien er i hovedsak hentet fra INTRODUCTION TO GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS, Physical and
Numerical Aspects (2010): Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers, Academic Press (Publication date:
September 2010), tilgjengelig fra http://engineering.dartmouth.edu/∼cushman/books/GFD.html.
1

2 Utledning av grunntvannsligningene
2.1 Utgangspunkt og konfigurering
Utgangspunktet for grunntvannsligningene er standard form av horisontal momentumligning
∂u
∂u
+ u∂u + v
∂t ∂x ∂y
∂v ∂v ∂v
+ u + v
∂t ∂x ∂y
og kontinuitetsligningen (hvor u = (u, v))
1 ∂p
− fv = − + Fx
(1)
ρ ∂x
1 ∂p
+ fu = − + Fy
(2)
ρ ∂y
∂ρ
+ ∇ · (ρ u) = 0 (3)
∂t
Vi betrakter en homogen (ρ = ρ0), friksjonsfri (F H=0) og barotrop (∂u/∂z = ∂v/∂z = 0)
væske med fri overflate η(x, y, t) som illustrert i figur 1. Ligningene (1)-(3) kan da skrives p˚a
Figur 1: Illustrasjon p˚a en homogen væske med fri overflate η(x, y, t) og generell batymetri b(x, y).
h(x, y, t) beskriver total væskehyde. zref = H er et referanseniv˚a som beskriver overflaten uten
bølger.
formen
∂u
∂u 1 ∂p
+ u∂u + v − fv = −
∂t ∂x ∂y ρ0 ∂x
∂v ∂v ∂v
1 ∂p
+ u + v + fu = −
∂t ∂x ∂y ρ0 ∂y
(4)
(5)
∂u ∂v ∂w
+ + = 0 (6)
∂x ∂y ∂z
2

2.2 Omskrevet form av kontinuitetsligningen
Kontinuitetslignngen er gitt ved (6), der u og v er uavhengig av z (grunnet antagelsen om
barotrop væske), men ∂u/∂x = 0 og ∂v/∂y = 0, slik at vi kan ha divergent strøm.
Vi betrakter den homogene væsken som vist i figur 1 og integrerer (6) fra bunnen z = b(x, y) til
den frie overflaten z = b(x, y) + h(x, y, t). Dette gir
b+h
∂u ∂v
+ dz + w|
∂x ∂y b
b+h
b = 0 (7)
Her er w(z = b + h) bevegelsen til den frie overflaten. Denne kan uttrykkes ved hjelp av den
totalderiverte (som beskriver hvordan overflaten endrer seg med bevegelsen)
w(z = b + h) = Dz
=
Dt
D
(b + h) (8)
Dt
P˚a tilsvarende m˚ate er
b+h
= ∂
∂
∂
(b + h) + u (b + h) + v (b + h)
∂t ∂x ∂y
(9)
= ∂h ∂
∂
+ u (b + h) + v (b + h)
∂t ∂x ∂y
(10)
w(z = b) = Db ∂b ∂b
= u + v
Dt ∂x ∂y
Uttrykkene (10) og (11) innsatt i (7) gir
∂u ∂v
+ (b + h − b) +
∂x ∂y
∂h ∂
∂
∂b ∂b
+ u (b + h) + v (b + h) − u − v = 0 (12)
∂t ∂x ∂y ∂x ∂y
eller
(11)
∂h ∂ ∂
+ (hu) + (hv) = 0 (13)
∂t ∂x ∂y
som er kontinuitetsligningen uttrykt ved lokal endring av væskesøylen h og divergensen til
huH.
Alternativt, siden
kan den tidsderiverte i (13) uttrykkes ved η
h(x, y, t) + b(x, y) = H + η(x, y, t) (14)
2.3 Omskrevet form av momentumligningene
De horisontale momentumligningene er gitt ved (4) og (5).
Trykket p(x, y, z, t) er gitt ved hydrostatisk ligning
∂η ∂ ∂
+ (hu) + (hv) = 0 (15)
∂t ∂x ∂y
∂p
= −gρ0
(16)
∂z
3

Trykkvariasjoner som skyldes endringer i overflatehevningen kan da uttrykkes som
(17) kan skrives
eller
P˚a tilsvarende m˚ate, for et vilk˚arlig dyp z1 (se figur 1) gjelder
hvor ∆z = H − z1.
p| b+h
H = −gρ0(b + h − H) (17)
ps − p(H) = −gρ0η (18)
p(H) = ps + gρ0η(x, y, t) (19)
p(z1) = gρ0∆z + ps + gρ0η(x, y, t) (20)
Over tid er det generelt (meget) sm˚a romlige variasjoner i overflatetrykket ps. Vi kan derfor se
bort fra bidrag fra ∇ps. Fra uttrykkene (19) og (20) følger det da at
∂p(H)
∂x
= ∂p(z1)
∂x
∂η
= gρ0
∂x
Tilsvarende sammenheng gjelder for ∂/∂y. Det er derfor kun overflatehevningen η som gir opphav
til trykk-kraft i en homogen væske. Av denne grunn kalles sammenhengen p = gρ0η for dynamisk
trykk.
2.4 Grunntvannsligningene
Overst˚aende gir grunntvannsligningene uttrykt ved u, v, h og η
For flat bunn har vi at
3 Gravitasjonsbølger
(21)
∂u
∂u
+ u∂u + v − fv
∂t ∂x ∂y
=
∂η
−g
∂x
(22)
∂v ∂v ∂v
+ u + v + fu
∂t ∂x ∂y
=
∂η
−g
∂y
(23)
∂η ∂ ∂
+ (hu) + (hv)
∂t ∂x ∂y
= 0 (24)
h(x, y, t) = H + η(x, y, t) (25)
Gravitasjonsbølger forekommer p˚a grenselaget mellom hav og atmosære, eller mer generelt mellom
to væsker med ulik tetthet. I det følgende betrakter vi overflatebølger. Kraften som virker p˚a
disse bølgene er tyngdekraften, følgelig kalles bølgene for (overflate) gravitasjonsbølger.
Dersom vi antar at bølgenes bølgelengde er stor i forhold til vanndypet, f˚ar vi hva som kalles
grunntvannsbølger. Dersom bølgene beskriver sm˚a utslag, kan bølgeligningene (22)–(24) lineariseres.
Dette betyr at ethvert produkt av bølgevariable, som for eksempel adveksjonsleddene
i (22) og (23), kan neglisjeres. Videre neglisjeres effekten av jordens rotasjon.
4

Med f = 0 og ved ˚a betrakte en en-dimensjonal bølgebevegelse (v = 0 og ∂/∂y = 0), kan (22)
og (24) skrives som
∂u
∂t
∂η
∂t
∂η
= −g
∂x
∂u
= −H
∂x
u kan elimineres fra uttrykkene over ved ˚a betrakte ∂(26)/∂x og ∂(27)∂t, som gir den klassiske
bølgeligningen
∂2η ∂t2 − gH ∂2η = 0 (28)
∂x2 Bølgeligningen kan løses ved ˚a søke løsning p˚a formen (se avsnitt A.4)
(26)
(27)
η = Re {η0 exp[i(kx − ωt)]} (29)
hvor Re betegner reell del, η0 er amplitude, k er bølgetall i x-retningen og ω er vinkelfrekvens.
Innestting av (29) i (28) gir dispersjonsrelasjonen
−ω 2 + gH k 2 = 0 (30)
Siden en bølges fasehastighet c er gitt ved c = ω/k (se avsnitt A.4), er gravitasjonsbølgenes
fasehastighet c = c0 gitt ved
c0 = ± gH (31)
Siden fasehastighetene c0 er uavhengig av bølgetallet k er gravitasjonsbølgene ikke-dispersive
(merk at dette gjelder for bølger med stor bølgelengde i forhold til vanndypet). Dette betyr at
alle gravitasjonsbølger forplanter seg med en og samme fasehastighet, uavhengig av bølgenes
bølgetall eller -lengde.
4 Sverdrup bølger
Ogs˚a her betrakter vi lange overflatebølger. Men i tillegg til gjennomgangen over, inkluderer
vi rotasjon. Videre antar vi at væsken har uendelig, horisontal utbredelse i to dimensjoner.
De resulterende bølgene er ofte kalt Sverdrup bølger. Variasjoner i jordens rotasjon neglisjeres
neglisjeres, s˚a f = konst. De grunnleggende likningene følger da fra (22)–(24)
∂η
+ H
∂t
Dersom vi søker en løsning p˚a formen
∂u
− fv
∂t
=
∂η
−g
∂x
(32)
∂v
+ fu
∂t
∂u ∂v
+
∂x ∂y
=
=
∂η
−g
∂y
0
(33)
(34)
η ∝ exp[i (kx + ly − ωt)] (35)
5

hvor l = 2π/λy er bølgetallet i y-retningen (λy ier tilhørende bølgelengde, se avsnitt A.4), gir
dette følgende algebraiske sammenhenger
−iωu − fv = −igkη0
−iωv + fu = −iglη0
(36)
(37)
−iωη0 + iH(ku + lv) = 0 (38)
Ligningene (36)-(38) er tre ligninger med tre ukjente, og kan uttrykkes p˚a vektorform
⎛
−iω −f igk
⎞ ⎛ ⎞
u
⎝ f −iω igl ⎠ ⎝ v ⎠ = 0 (39)
iHk iHl −iω η
Ikke-triviell løsning finnes n˚ar ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir følgende sammenheng
ω[ω 2 − f 2 − gH(k 2 + l 2 )] = 0 (40)
eller, for det horisontale bølgetallet k 2 h = k2 + l 2 ,
eller uttrykt med gravitasjonsbølgenes fasehastighet c 2 0 = gH
ω[ω 2 − f 2 − gHk 2 h] = 0 (41)
ω[ω 2 − f 2 − c 2 0k 2 h] = 0 (42)
Uttrykkene (41) og (42) er Sverdrupblgenes dispersjonsrelasjon. Det er generelt ulik fysisk mekanisme
for de ulike løsningene gitt ved en dispersjonsrelasjon. Derfor tolkes gjerne de ulike
løsningene hver for seg.
Siden uttrykket i klammeparantes i (41) og (42) gir at fasefarten c = ω/kh avhenger av bølgetallet
kh, vil resulterende bølger med ulik bølgelengde bre seg med ulik fart. Sverdrupbølger er derfor
dispersive bølger (se avsnitt A.5).
4.1 Løsning ω = 0
Løsningen ω = 0 av (41) er konsistent med ∂/∂t = 0. Fra de grunnleggende ligningene (32) og (33)
ser vi at denne løsningen gir geostrofisk kraftbalanse. Den stasjonære (det vil si tidsinvariante)
løsningen av grunntvannsligningene er alts˚a geostrofisk balanse.
4.2 Løsning ω 2 = f 2 + c 2 0 k 2 h
Denne løsningen viser at |ω| ≥ |f| for alle bølgeløsninger.
Videre er dispersjonsrelasjonen symmetrisk med hensyn p˚a x- og y-retningene. Dette betyr at
verken x- eller y-retningen har en spesiell betydning for bølgefeltet. Vi orienterer derfor koordinatsystemet
slik at x-aksen er rettet i retning av bølgens forplantning. Da vil kh = k og l = 0.
Den resulterende dispspersjonsrelasjonen er da
ω 2 = f 2 + c 2 0 k 2
6
(43)

Bølgens fasehastighet c bestemmes fra sammenhengen c = ω/k. Dette gir
c = ω
k
1 2 2
= f + c0 k
k
21/2 1/2
2 f
= c0 + 1
= c0
k 2 c 2 0
1 + 1
k 2 L 2 ρ
hvor Lρ = c0/f er Rossby deformasjonsradius. Fra uttrykket over framkommer det at c øker med
avtagende bølgetall eller økende bølgelengde.
Bølgens gruppehastighet er gitt ved cg = dω/dk. Differensieres dispersjonsrelasjonen (43), f˚ar
vi
2ω dω = 2kc 2 0 dk (47)
eller
cg = k
ω c20 = c20 c
1/2
Følgelig gjelder cgc = c 2 0. Gruppehastigheten avtar derfor med økende bølgelengde.
Løsningen av (43) er illustrert i figur 4. For sm˚a bølgetall k (lange bølger), vil bølgeegenskapene
Figur 2: Grafisk framstilling av dispersjonsrelasjonen gitt ved (43). I tillegg er dispersjonsrelasjonen
til gravitasjonsbølger (avsnitt 3) og treghetsbølger (avsnitt 5) vist. Lρ er Rossby deformasjonsradius,
TBR betegner omr˚adet hvor jordrotasjonen er viktig (treghetsbølgeregime) og GBR
betegner omr˚adet hvor jordrotasjonen spiller liten rolle (gravitasjonsbølgeregime).
nærme seg treghetsbølger (se avsnitt 5) og virkningen av jordens rotasjon f er viktig. For store
bølgetall (korte bølger) er jordroatasjones virkning liten. Vi er da i regimet tilhørende gravitasjonsbølger
(avsnitt 3).
4.2.1 Resulterende bølgebevegelse
For l = 0 har vi fra (36) og (37) at
−iωu − fv = −igkη0
7
(44)
(45)
(46)
(48)
(49)

(50) gir at
som innsatt i (49) gir
−iωv + fu = 0 (50)
u = i ω
v (51)
f
v = −i f
η
kH
(52)
(52) innsatt i (51) gir
u = ω
η
kH
(53)
Siden |ω| ≥ |f|, følger det at |u| ≥ |v|, eller at bølgen forplanter seg i x-retningen.
Bare reell del av løsningen har en fysisk mening. Dersom vi antar at amplituden η0 er reell, har
vi at
η = Re{η0 exp[i(kx − ωt)]} = η0 cos(kx − ωt) (54)
(54) innsatt i (53) og (52) gir
u = ω
kH η0 cos(kx − ωt) (55)
v = f
kH η0 sin(kx − ωt) (56)
Det følger at det er ingen effekt av jordrotasjonen i x-retningen, mens y-retningen p˚avirkes av
jordrotasjonen.
Bølgens bevegelse i et fast punkt i rommet, for eksempel for x = 0, og p˚a den nordlige halvkule
(f > 0) gir følgende sammenhenger (for enkelhets skyld bruker vi A = η0/kH i det
følgende):
ωt = 0 : u = ωA > 0, v = 0 (57)
ωt = π/2 : u = 0, v = −fA < 0 (58)
ωt = π : u = −ωA < 0, v = 0 (59)
Hastighetskomponentene spenner ut en ellipse som vist i figur 3 med en resulterende bevegelse
rettet med klokken p˚a den nordlige halvkule. Videre er ellipsens hovedakse rettet i x-retningen,
det vil si i retning av bølgens forplantningsretning. Forholdet mellom ellipsens amplituder er gitt
ved forholdet |ω|/|f|.
Bølgens karakteristikk for et fast tidspunkt, for eksempel for t = 0, gir følgende sammenhenger
(A = η0/kH som over, og vi antar vi er p˚a nordlige halvkule, f > 0):
kx = 0 : u = ωA > 0, v = 0 (60)
kx = π/2 : u = 0, v = fA > 0 (61)
kx = π : u = −ωA < 0, v = 0 (62)
kx = 3π/2 : u = 0, v = −Af < 0 (63)
Den tilhørende bevegelsen er vist med ellipsene nederst i figur (4). Hastighetskomponenten i
bølgens forplantningsretning, u, er vist med røde horisontale piler i samme figur. Det følger at
det er konvergens i venstre halvdel og divergens i høre del av figuren. Dette medfører at overflaten
heves hvor det er konvergens og senkes hvor det er divergens (røde, vertikale piler i figuren). Siden
bølgens form er bevart med bevegelsen, betyr dette at bølgen forplanter seg i positiv x-retning.
Det er alts˚a væskepakkenes oscillasjon i x-retningen som driver bølgen framover.
8
(64)

Figur 3: Illustrasjon av u- og v-komponentenes endring med tiden t p˚a den nordlige halvkule.
Den resulterende bevegelsen er rettet med klokken p˚a den nordlige halvkule.
Figur 4: Illustrasjon av bølge- og partikkelbevegelse til en Sverdrupbølge p˚aden nordlige halvkule.
Fra (91) følger det at v og η har motsatt fortegn. Se tekst for beskrivelse av figuren.
9

5 Treghetssvingninger
N˚ar ω → f vil partikkelbanen som beskrevet i avsnittet g˚a over til ˚a være sirkulære. Dispersjonsrelasjonen
(41) og (42) gir da at kh → 0, s˚a de resulterende bølgene har ingen romlige variasjoner,
inkludert ingen trykkgradient.
De resulterende ligningene, fra (22) og (23), blir da
For u(t = 0) = u0, v(t = 0) = 0, gir dette
∂u
− fv
∂t
= 0 (65)
∂v
+ fu
∂t
= 0 (66)
u = u0 cos ft (67)
v = −u0 sin ft (68)
hvor u 2 0 = u 2 + v 2 . Uttrykkene over beskriver en sirkelbevegelse i retning med klokken p˚a den
nordlige halvkule. Merk at denne bevegelsen vil vare til evig tid n˚ar en ser bort fra friksjon, dette
p˚a tross av at trykkgradienten er null.
Banen til en partikkel gitt med posisjonen (xp, yp) følger fra uttrykkene
Dette gir
eller
u = dxp
dt
xp − x0 = u0
f
yp − y0 = u0
f
og v = dyp
dt
(xp − x0) 2 + (yp − y0) 2 = u2 0
f 2
(69)
sin ft (70)
cos ft (71)
Det følger da at partikkelen beveger seg i en lukket sikrel rundt punktet (x0, y0). Sirkelens radius
er gitt ved r = u0/f. For u0 = 10 cm s −1 og f = 10 −4 s −1 , som er en representativ verdi for
Coriolisparameteren p˚a midlere breddegrader, er r = 1 km og T = 2π/f ∼ 17 timer.
N˚ar tidevannsfrekvensen er tilnærmet lik frekvensen til treghetssvingningene vil det generelt
oppst˚a sterk vekselvirkning (resonnans) mellom de to bølgebevegelsene. De breddegradene dette
skjer for – rundt 30 og 75 grader sør og nord – blir gjerne kalt kritiske breddegrader. For disse
breddegradene kan det forventes spesielt sterk blanding grunnet overgang fra tidevannsenergi til
sm˚askala, vertikal blanding.
6 Kelvinbølge mot kyst
6.1 Utgangspunkt
Vi betrakter en overflatebølge som brer seg langs en kyst, for eksempel langs y-aksen som vist i
figur 5. Det kan ikke være hastighet p˚a tvers av kysten, s˚a
10
(72)

Figur 5: Illustrasjon p˚a en overflatebølge som brer seg langs en kyst, i dette tilfellet langs y-aksen
(x = 0).
u = 0 ved x = 0 (73)
Vi antar videre at u = 0 over alt, slik at bølgen brer seg kun i y-retningen. De lineariserte
grunntvannsligningene (32)–(34) blir da
6.2 Løsningsmetode
−fv = −g ∂η
∂x
∂v
∂t
= −g ∂η
∂y
(74)
(75)
∂η ∂v
+ H = 0 (76)
∂t ∂y
Kelvinproblemet kan løses ved ˚a søke løsning p˚a formen (se avsnitt A.4)
(v, η) = Re {(v0, η0) exp[i(kyy − ωt)]} (77)
Merk at v0, η0 kan ha en x-avhengighet, slik at v0 = v0(x) og η0 = η0(x). Dette betyr at
v = v(x, y, t) og η = η(x, y, t) i (77), der x-avhengigheten kommer fra amplituden v0, η0, mens yog
t-avhengigheten kommer fra bølgeformen exp[i(kyy − ωt)].
Uttrykk (77) innsatt i (74)-(76) gir
−fvo = −g ∂η0
∂x
−iωv0 = −igkyη0
11
(78)
(79)

I der første uttrykket er det brukt at η0 = η0(x).
−iωη0 + iHkyv0 = 0 (80)
De to siste ligningene kan uttrykkes p˚a vektorform
−iω
iHky
igky
−iω
v0
= 0 (81)
Ikke-triviell løsning finnes n˚ar ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir
eller
Bølgens fasefart er derfor
c = ω
η0
−ω 2 + gHk 2 y = 0 (82)
ω = ±ky gH (83)
ky
= ± gH = ±c0
Siden c ikke avhenger av ky er dette en ikke-dispersiv bølge, det vil si at enhver bølgekomponent
brer seg med samme hastighet (se avsnitt A.5). Videre er bølgens gruppehastighet (avsnitt
A.5)
cg = ∂ω
= ±
∂ky
gH = ±c0
(85)
Alts˚a er bølgens fasehastighet og gruppehastighet lik.
Bølgens x-avhengighet følger ved ˚a eliminere v0 fra (78) og (80)
Siden ω/ky = c og gH = c 2 0, gir dette
f ω
η0 = g
Hky
∂η0
∂x
∂η0
∂x
= ± f
|c0| η0
Uttrykket over sier at løsningen kan ha begge fortegn. For positivt fortegn er fasehastigheten
c positiv og bølgen brer seg i positiv y-retning (se 84). For negativt fortegn er fasehastigheten
negativ og bølgen brer seg i negativ y-retning.
Uttrykket over har løsning
η0 = η ∗ 0e ±xf/|c0|
hvor η ∗ 0 = η(x = 0) er bølgens høyde ved kysten. P˚a den nordlige halvkule (f > 0) krever fysisk
løsning at minustegnet velges, ellers ville bølgens amplitude g˚a mot uendelig for økende x (det
vil si n˚ar vi beveger oss bort fra kysten). Følgelig forplanter bølgen seg i negativ y-retning (det
vil si at c = cg < 0), eller med kysten til høyre for bevegelsen.
Løsningen kan n˚a skrives p˚a formen
(84)
(86)
(87)
(88)
u = 0 (89)
η = η ∗ 0 cos(kyy − ωt)e −x/Lρ (90)
g
v = − η (91)
H
12

√
I (90) er ω = −ky gH og Lρ = |c|/f.
Siden ω = −|c0|ky fra (84), kan (90) ogs˚a uttrykkes som
η = η ∗ 0 cos[ky(y + |c0|t)]e −x/Lρ (92)
(90) og (92) sier at bølgens amplitude avtar n˚ar vi fjerner oss fra kysten og at Lρ er lengdeskalaen
for bølgedempingen. Videre sier (92) at bølgen brer seg i negativ y-retning. Dette følger siden
bølgens fase, ky(y + |c0|t), er bevart med bevegelsen. S˚a for økende tid t m˚a y avta for at
y+|c0|t = konst. At bølgen brer seg i negativ y-retning er konsistent med at bølgens fasehastighet
c < 0 (fra 84).
6.3 Egenskaper
• Kelvinbølger brer seg langs en kyst med kysten til høyre p˚a nordlige halvkule og til venstre
p˚a sørlige halvkule.
• Bølgefarten (b˚ade fasehastighet og gruppehastighet) er konstant og absuluttverdien er gitt
ved √ gH. Kelvinbølge langs en kyst er derfor ikke-dispersiv.
• Bølgefart for havdyp H = 100 og 1000 m er p˚a henholdsvis 32 og 100 m s −1 .
• Bølgetopp og bølgebunn er rettet normalt p˚a kysten.
• Bølgetopp og bølgebunn avtar eksponensielt fra kysten med lengdeskala gitt ved Rossby
deformasjonsradius Lρ = √ gH/f.
• P˚a 40 breddegrader og for et havdyp p˚a 100 m, er Lρ ≈ 340 km.
• Kraftbalansen normalt p˚a kysten er geostrofisk (fra 74), som betyr at det er ingen bølgeforplantning
i x-retningen.
• Kraftbalansen langs kysten,
∂v
∂t
= −g ∂η
∂y
(se 75), er drevet av trykkforskjellen generert av overflatehevningen som forklart i figur 6.
• Mens Kelvinbølgen brer seg med konstant fart √ gH i negativ y-retning, beskriver væsken
en sirkulær bevegelse i yz-planet (figur 6).
• Kelvinbølger er generert av tidevann og av vind nær kyst.
• Nordg˚aende Kelvinbølger forklarer hvorfor tidevannsutslagene er mye større p˚a fransk relativt
til engelsk side av Den engelske kanal.
• Kelvinbølger brer seg langs ekvator fra vest mot øst (for begge halvkuler); en kan da
betrakte ekvator som en vegg slik at de ekvatorielle Kelvinbølgene forplanter seg med
ekvator (veggen) p˚a høyre side p˚a den nordlige halvkule og med ekvator til venstre p˚a den
sørlige halvkule. Se oppgave 3 fra eksamen i GEOF110, 14. juni 2010.
13

Figur 6: Mekanisme for en Kelvinbølge som brer seg langs en kyst som er rettet langs y-aksen
(p˚a den nordlige halvkule, se figur 5). Fra (91) følger det at v og η har motsatt fortegn. Positiv
bølgeamplitude svarer da til negativ v-komponent, og vice versa, vist med svarte piler. Det er
følgelig vekselvis konvergens og divergens mellom bølgetopp og bølgebunn (svarte, vertikalstiplede
linjer). Overflaten m˚a stige der det er konvergens og falle der det er divergens, vist med røde
piler. Dette, sammen med at bølgens form er bevart med bevegelsen (uttrykk 90), medfører at
endring i overflateniv˚aet grunnet konvergens og divergens (røde piler) kan kun skje ved at bølgen
brer seg i negativ y-retning, vist med lang bl˚a pil.
14

A Generelt om bølger
A.1 Hva er en bølge
En bølge i atmosfæren og havet kan forklares som
fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som for eksempel energi,
uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten, og som brer seg med
fart og retning som generelt er ulik den generelle atmosfære- eller havsirkulasjonen
A.2 Størrelser og egenskaper i én romlig dimensjon
Enhver perturbasjon (liten endring) kan uttrykkes som summen av trignometriske (sinus eller
cosinus) bølger, hvor hver bølge generelt har ulik amplitude, bølgelengde, periode og fase.
A.2.1 Stasjonær bølgeform
En stasjonær bølgeform i x-retningen, i tilfellet under uttrykt med havniv˚a η (enhet m), kan
skrives p˚a formen
η(x) = a cos 2π x
λx
(93)
Bølgeformen η er karakterisert ved
Amplitude a, slik at η varierer mellom ±a. Enhet som for den avhengige variabel,
i dette tilfellet m.
Bølgelengde λx. Bølgens form repeteres n˚a x = ±nλx, der n er et heltall. Enhet er
m.
A.2.2 Bølgeform som brer seg i tid
En bølgeform vil generet forplante seg i tid. Bølgens
Fart, alternativt fasefart benevnes cx, se ogs˚a fasefart under. Bølgen kan bre seg
i positiv og negativ x-retning. Dette kan betegnes med fasefart ±cx, hvor cx > 0.
Alternativt kan cx ta b˚ade positive og negative verdier. Enhet er m s −1 .
Siden fart = avstand/tid, vil bølgen bre seg en avstand x ′ = ±cxt i løpet av tiden t. (93) kan da
skrives p˚a formen
2π
η(x, t) = a cos (x ± cxt)
λx
(94)
Bølgen over er karakterisert ved
Fase gitt ved argumentet 2π(x ± cxt)/λx (enhet rad). Punkt med konstant fase
er punkter hvor bølgeformen har samme verdi, for eksempel bølgetopp eller
bølgebunn.
15

A.2.3 Bølgetall
I stedet for ˚a bruke bølgelengde λx, er det vanlig ˚a uttrykke bølgen med bølgens
Bølgetall kx (enhet m−1 ). Sammenhengen mellom bølgetall og bølgelengde er gitt
ved
kx = 2π
(95)
Bølgetallet er antall bølgelengder begrenset av lengden 2π. For eksempel vil en
bølge med bølgelengde 100 km ha et bølgetall 6.3×10 −5 m −1 . Bølgetallet trenger
derfor ikke ˚a være et heltall.
Sies det at en bølge i atmosfæren har bølgetall én, betyr dette at én bølge dekker
hele jordens omkrets (for eksempel rundt jorden p˚a 60 ◦ N). For bølgetall fire vil
det være fire fulle bølger rundt jorden.
Ved hjelp av (95) kan (94) skrives p˚a formen
A.2.4 Andre definisjoner
λx
η(x, t) = a cos[kx(x ± cxt)] (96)
Perioden T er tiden det tar for et punkt til ˚a repetere seg selv. T m˚a følgelig være
lik tiden bølgen bruker for ˚a bre seg en bølgelengde
T = λx/cx
Vinkelfrekvensen (ogs˚a kalt vinkelhastigheten) ω er er et m˚al p˚a rotasjonshastigheten
ω = 2π
(98)
T
Fasefarten cx er farten til bølgen, for eksempel hvor raskt en bølgetopp eller -bunn
brer seg
cx = λx
T
= ω
kx
hvor vi har brukt (95) og (98) i den andre overgangen.
Uttrykt med ω og kx, kan (96) skrives p˚a formen
(97)
(99)
η(x, t) = a cos(kxx ± ωt) (100)
Uttrykkene (94), (96) og (100) uttrykker det samme: For fast tid t = t0 beskriver η en bølgeform
i x-retningen som repeterer seg selv med bølgelengde λx, det vil si bølgens form repeteres for
x = ±nλx, hvor n er et heltall. Tilsvarende, for et fast punkt x = x0 beskriver η en st˚aende bølge
med periode T , det vil si en bølge som repeterer seg selv for t = ±nT .
Endelig,
Fasen til en bølge er gitt ved argumentet kxx ± ωt og uttrykker hvor i bølgesyklusen
en befinner seg. Fasen varierer fra 0 til 2π.
16

A.3 Størrelser og egenskaper i to romlige dimensjoner
Overst˚aende kan utvides til flere dimensjoner. I to dimensjoner gjelder
der
η = a cos(kxx + kyy ± ωt) = a cos(k · x ± ωt) (101)
bølgetallsvektor k = (kx, ky) = kxˆx + ky ˆy, med lengde
og retning
Fasehastigheten er
og bølgelengden er
hvor bølgetallet k er gitt ved (102).
k 2 = k 2 x + k 2 y
ˆk = k
k
c = ω
k
λ = 2π
k
A.4 Størrelser og egenskaper uttrykt med kompleks notasjon
(102)
(103)
(104)
(105)
I stedet for ˚a regne med cosinus- (eller sinus-) bølger som beskrevet over, letter det analysen ˚a
uttrykke en bølge p˚a kompleks form
Re {a exp[i(k · x ± ωt)]} (106)
Her betegner Re reell del, a er (kompleks) amplitude, k = kxˆx + ky ˆy er bølgetallvektor i x- og
y-retning, x = xˆx + yˆy er posisjonsvektor og ω er vinkelfrekvens.
Siden
uttrykker (106) standard bølge p˚a formen
exp iψ = cos ψ + i sin ψ (107)
a cos(k · x ± ωt) eller a sin(k · x ± ωt) (108)
avhengig av om amplituden a er reell (som i dette tilfellet gir en cosinus-bølge) eller kompleks (i
dette tilfellet en sinus-bølge).
Bølgeformen gitt ved (106) er særdeles hensiktsmessig grunnet eksponensialfunksjonens egenskap
at den deriverte av funksjonen er lik funksjonen selv, korrigert med noen algebraiske koeffisienter.
Dette fører til at derivasjonsoperatorene kan erstattes med algebraiske koeffisienter
∂
→ ikx,
∂x
∂
∂y → iky og ∂
→ ±iω (109)
∂t
Dette betyr at for eksempel grunntvannsligningene kan uttrykkes som et sett av algebraiske
ligninger som kan løses direkte. Løsningen gir alle mulige kombinasjoner av bølgeparametre og
ligningsparametre som tilfredsstiller de kontinuerlige ligningene. Dette, sammen med en fysisk
tolkning av bølgeløsningen, gir en fullverdig beskrivelse av bølgene.
17

A.5 Dispersjonsrelasjon
Det algebraiske forholdet mellom ω og k, uttrykt som ω = f(k) (det vil si at ω er en funksjon
av k), kalles bølgens dispersjonsrelasjon.
A.5.1 Ikke-dispersive bølger
Dersom ω har en lineær avhengighet til k, det vil si at ω ∝ k, kalles bølgen ikke-dispersiv. I dette
tilfellet forflytter bølger seg med samme fasehastighet, se (99) og (104), uavhengig av bølgens
bølgelengde.
A.5.2 Dispersive bølger
Dersom ω ikke har en lineær avhengighet til k vil enhver bølge med ulik bølgelengde forflytte seg
med ulik fasehastighet. I dette tilfellet er bølgen dispersiv.
A.6 Gruppefart
For dispersive bølger forplanter ikke energien seg med én bølge, men med “totalbidraget” fra
de ulike bølgene. Det er dette “totalbidraget” vi ser som en bølge, eksempelvis som en gravitasjonsbølge
i et vannbasseng, ikke de ulike bølgekomponentene. Følgelig er gruppefarten,
som representerer farten til alle bølgene sett som en helhet, gjerne mer viktig enn de ulike
bølgekomponentenes fasefart.
Gruppefart er gitt av uttrykket
cg = ∂ω
(110)
∂k
En god illustrasjon p˚a forholdet mellom fasefart og gruppefart er gitt p˚a siden
http://www.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/Tutorial_files/Web-further-dispersive.htm.
A.6.1 Utledning
Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum.
(110) kan vises ved ˚a betrakte to bølger med nesten like bølgetall og bølgefrekvenser, for eksempel
Fra identiteten
følger det at
Med
og
η = η0 cos(k1x − ω1t) + η0 cos(k2x − ω2t) (111)
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b (112)
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos a cos b (113)
a = 1
1
(k1 + k2)x − (ω1 + ω2)t (114)
2 2
b = 1
1
(k2 − k1)x − (ω2 − ω1)t (115)
2 2
18

kan (111) skrives p˚a formen
η = 2η0 cos
1
2
1
1
(k1 + k2)x − (ω1 + ω2)t cos
2 2
1
(k2 − k1)x − (ω2 − ω1)t
2
Siden bølgene antas ˚a være tilnærmet like, m˚a k1 ≈ k2 og ω1 ≈ ω2, og vi kan definere
k =
Innsatt i (116) gir dette
k1 + k2
2
, ω =
ω1 + ω2
2
En mulig variant av (118) er illustrert i figur (7).
(116)
, ∆k = k2 − k1 , ∆ω = ω2 − ω1 (117)
1 1
η = 2η0 cos ∆k x − ∆ω t cos(kx − ωt) (118)
2 2
Figur 7: Illustrasjon av en lineær kombinasjon av to bølger med nesten lik bølgelengde og
bølgefrekvens. Bølgeformen brer seg mot høyre med fasehastighet c = ω/k og bølgelengde λ = 2π/k
(heltrukken linje), mens amplituden for bølgepakken er 2η0 cos(∆k x/2 − ∆ω t/2), bølgelengden
λ ′ = 4π/δk, perioden 4π/δω og gruppehastigheten cg = ∂ω/∂k (stiplede linjer).
(118) er en bølge som dels brer seg som en standard bølge med formen cos(kx − ωt) med fasefart
c = ω/k, men hvor amplituden 2η0 er modulert med en sakte varierende bølge cos(∆k x/2 − ∆ω t/2)
med (lang) bølgelengde 4π/∆k og (lang) periode 4π/∆ω. Sistnevnte bølge brer seg med fart gitt ved
bølgelengde/periode, det vil si
∆ω
(119)
∆k
eller, for sm˚a ∆ω og ∆k,
∂ω
(120)
∂k
Det er sistnevnte størrelse som angir bølgens gruppefart, som kan sees p˚a som bølgens “totalbidrag”.
Forplantning av energi knyttet til bølgen er derfor assosiert med gruppefarten, ikke de individuelle
bølgenes eller totalbølgens fasefart.
19

B Tidal analysis
coming...
20

Figur 8: Computed (from top) M2, M2+S2, M2+S2+K2 and M2+S2+K2+N2 tides in Bergen.
21

Figur 9: Observed (black) and computed M2+S2+K2+N2 (red) tides in Bergen.
22