Notat om Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning Introduksjon

ulven.biz

Notat om Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning Introduksjon

Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

Notat om Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

H-P Ulven

Aøs, 3mx

Formål. Peke på noen viktige poenger og gi noen nyttige tips.

Introduksjon

Dette notatet er for det meste repetisjon av tilsvarende stoff i 2mx.

Formålet med kapitlet er å forsyne oss med det vi trenger av kombinatorikk og

sannsynlighetsregning for å kunne løse problemer i kapittel 7 og 8 (statistikk), nærmere bestemt:

Repetisjon: Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Begreper: Tilfeldighet, hending/hendelse, forsøk, resultat, utfall,mengder,

sannsynlighetsmodell, avhengighet, betinget sannsynlighet, mm

Regneregler: P(AB), P(AB), P(A|B), Total sannsynlighet, Bayes setning

Viktige tips: Bruk av figurer: Venndiagram, sannsynlighetstrær, tabeller

Oversikt over ting dere bør kunne fra 2mx:

Kombinatorikk

Kombinatorikk er læren om hvordan vi kan gruppere og ordne et utvalg av elementer, og brukes

til å regne ut sannsynligheter.

Hvis vi trekker ut r elementer fra en mengde på n elementer, har vi 4 hovedtilfeller:

Med tilbakelegging Uten tilbakelegging

Ordnet nr nr nr1

n Uordnet r r

Tips: Prøv å gjøre om alle kombinatorikkoppgaver til et lappetrekkingseksperiment, der du

skal trekke ut r av de n lappene. Still deg selv spørsmålene:

Spiller rekkefølgen på de r uttukne lappene noen rolle? (Ordnet/uordnet utvalg?)

Kan samme lappen trekkes flere ganger? (Med/uten tilbakelegging?)

Eksempler:

MTL/O Det skal spilles 5 fotballkamper i en serie, hvor mange utfall kan vi få?

Har n3 lapper hvor vi har skrevet H,U eller B. Trekker r5 lapper.

Rekkefølgen spiller rolle, fordi hver lapp er resultatet på en spesiell kamp.

Vi må legge tilbake lappen vi trekker hver gang, da flere kamper kan få samme resultat.

Altså: Ordnet, med tilbakelegging: n r 3 5 243

UTL/O Vi har 28 elever og skal ta ut et stafettlag på 4 personer. På hvor mange måter kan dette

gjøres?

Skriver navnene på n28 lapper. Trekker ut r4 lapper.

Rekkefølgen spiller rolle, forskjell på å bli trukket ut til første eller siste etappe.

Hver løper kan trekkes ut bare en gang.

Altså: Ordnet, uten tilbakelegging: n r 28 4 28 27 26 25 491400

LR: 6 nPr 4

UTL/U: Du skal trekke ut 5 kort fra en kortstokk. Hvor mange forskjellige hender kan du få?

Kortstokken er allerede n52 lapper, ferdig påskrevet.

Rekkefølgen spiller ingen rolle, du har den samme hånden uansett hvordan du stiller den

opp.

1 Sannsynlighet.tex


Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

Hvert kort kan bare trekkes en gang.

n 52

Altså: Uordnet, uten tilbakelegging: r 13

525150...40 635013559600

131211...1

LR: 52 nC4 13

MTL/U: (Egentlig ikke pensum, sjelden variant, men for fullstendighetens skyld)

Du skal kjøpe r10 aksjer fra n15 forskjellige selskaper. På hvor mange måter kan du sette

opp porteføljen din?

Rekkefølgen spiller ingen rolle.

Du kan kjøpe samme aksje flere ganger.

nr1 15101

Altså: Uordnet, med tilbakelegging: r 10

242322...15 1961256

1098...1

LR: 24 nC4 10

Sannsynlighetsfordelinger

To viktige sannsynlighetsfordelinger ble introdusert i 2mx:

Binomisk fordeling:

Forsøk: Kaste en mynt n5 ganger og observere antall kron. P(K)P(M)0.5

Sannsynligheten for å få x kron blir da: PX x n x px1pnx 5 x 0.5 x0.5 5x

Formelen kan utledes ved kombinatorikk. La oss se på muligheten for å få 3 kron. Mulige

forsøksserier er f.eks. KKKMM, KKMMK, KMMKK osv. Sannsynligheten for å få akkurat en av

disse blir da 0.5 30.5 2

5

Vi innser at vi har slike serier, da vi kan få seriene ved å trekke ut n 5 forskjellige

3

plasseringer for r 3 kron som en uordnet trekning uten tilbakelegging.

Hypergeometrisk fordeling:

En klasse har N 28 elever hvorav A 10 er jenter. Vi trekker ut n 5elever. Hvaer

A NA

10

x nx

x

sannsynligheten for at x av disse er jenter? Her får vi PX x

Hypergeometrisk fordeling: Avhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker uten tilbakelegging!

Binomisk fordeling: Uavhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker med tilbakelegging. (Eller

har så stor n at sannsynligheten holder seg konstant uansett.)

9.1 Hendinger og mengder

Matematikken gir oss i de andre naturvitenskapene tallmessig oversikt over hva som vil skje i

eksperimenter, forsøk og virkelige situasjoner når vi kjenner en del forutsetninger og premisser.

Resultatet er altså ofte forutsigbart.

Når vi derimot kaster en terning, er det umulig å si noe sikkert om resultatet. Likevel er det

fruktbart å kunne si noe om hva som kan skje og prøve å tallfeste de forskjellige mulighetene.

Sannsynlighetsregning prøver å kvantifisere (tallfeste) tilfeldighet.

Dette gjøres ved å angi en sannsynlighet (sjanse, odds) til de forskjellige, mulige resultater.

Tilfeldig, stokastisk Umulig å forutsi resultatet

Forsøk Kaste en mynt og observere om vi får M eller K, kaste en terning og observere om vi

får 6, kaste to terninger og observere summen av antall øyne, trekke 2 kuler fra en krukke og

observere om de har lik farve, osv.

Legg merke til at vi må angi både hva som skal gjøres og hva som skal observeres!

”Kaste en terning” er intet stokastisk forsøk, vi må spesifisere hva som skal observeres:

Observere antall øyne

Observere om vi får like antall øyne

Observereomvifår3eller4 N n

2810

5x

28

5

2 Sannsynlighet.tex


Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

Utfall, elementær begivenhet Et mulig enkeltresultat av et forsøk. Alle utfall er mulige,

gjensidig utelukkende og utgjør tilsammen

Utfallsrommet til et forsøk.

Hendelse, hending, begivenhet Samling av flere utfall, delmengder av utfallsrommet.

Sannsynlighet Tall mellom 0 og 1 (0 og 100% brukes av vanlige folk, men ikke

matematikere/statistikere!). At sannsynligheten for å få 6 med et terningkast er P(seks) 1

6

betyr i praksis at hvis vi gjentar eksperimentet 6000000 ganger, så kan vi regne med at ca.

1000000 av kastene gir sekser. (”De store talls lov”)

Eksempler:

Gjøremål Observasjon Utfallsrom med utfall Eksempler på hendelser

A. Kaste mynt Kron eller mynt S{M,K} {M},{K},{M,K}

B. Kaste terning Sekser? S{J,N} {J},{N},{J,N}

C. Kaste terning Antall øyne? S{1,2,3,4,5,6} {1},{2,4,6},{1,3,5}

D. Kaste to terninger Sum øyne? S{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} {7},{3,6,9,12}

E. Undersøke lyspære Hvor lenge lyser den? S0, 0,1000 ,1000,

F. Trekke ut en rekrutt Observere høyde S 150,250 (f.eks.) 180,250 , 150, 180

Legg merke til:

A.,B.,C. og D. har endelige utfallsrom, E. og F. har uendelige utfallsrom

A.,B.,C. og D. har diskrete utfallsrom, E. og F. har kontinuerlige utfallsrom

I E. og F. kan ikke utfall defineres (f.eks. 180), kun hendelser (f.eks. 179.5, 180.5) da

ingen lyspære varer nøyaktig 180 timer og ingen rekrutt er nøyaktig 180 cm. Må angi

intervaller i disse to tilfellene.

Hendelsen {M,K} angir ikke noe som kan skje (umulig å få M og K samtidig), men en

samling av flere mulige utfall.Vi kan derfor si at P({M,K})1, da enten M eller K må skje.

Notasjonseksempler med mengder:

A.: P({M}) 1 ,P({M,K})1, P({})0

2

C.: P({2,4,6}) 1

2

eller

L {2,4,6}: Like antall øyne U{1,3,5}: Ulike antall øyne

P(L) 1

2

,P(U) 1

2

D.: L{2,4,6,8,10,12}: Like tall D3{3,6,9,12}: Delelig med 3

P(L) 18

36

,P(D3) 12

36 (Se lenger ned hvis du ikke skjønner hvorfor.)

F. Dette kommer vi tilbake til i kapittel 8 (normalfordelingen), men det kan være lurt å bli kjent

med funksjonsuttrykket for en normalfordeling:


P(høyde over 190) P 190, nxdx

190

1 x

1 der nx e 2

2 2 der gjennomsnittet er 180 og standardavviket er 7

(LR: DISTR, 2:normalcdf(190,250,180,7) 0.0766)

3 Sannsynlighet.tex


9.2 Sannsynlighetsmodeller

Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

Som sagt: Hvis P(seks) 1

1

, så betyr dette at ca. av et stort antall kast vil gi seks.

6 6

Dette kan formuleres som De Store Talls lov:

antall seks

" Pseks limn n 1

6 "

Anførselstegn, da dette ikke er helt riktig, korrekt formulering er:

antall seks

limnP n 1 1

6

Hvis det første uttrykket hadde vært riktig, hadde vi hatt determinisme istedenfor tilfeldighet!

Dette problemet, som bøker ikke nevner, er faktisk utgangspunktet for at man isteden valgte å

definere sannsynlighetsregningen aksiomatisk.

Da gjør man seg uavhengig av, og trenger ikke ta hensyn til problemene med de store talls lov.

Aksiomene baserer seg altså ikke på de store talls lov, men de store talls lov (korrekt

formulering) kan utledes av aksiomene.

Viktige resultater:

Motsatt sannsynlighe P(A 1 PA

er viktig fordi det ofte er letter å regne ut det motsatte av det det spørres om!

Addisjonssetningen PA B PA PB PA B

når A og B ikke er disjunkte, dvs A B ikke er tom mengde.

Produktsetningen PA B PAPB

når A og B er uavhengige, dvs når hendelsene A og B ikke influerer på hverandre.

(Avhengighet: Se betinget sannsynlighet senere.)

Når vi skal finne sannsynligheter, er de vanligste mulighetene:

Empirisk sannsynlighet Brukes når det er umulig å utlede noen teoretisk sannsynlighet. Da

må vi basere oss på erfaring. P(guttefødsel) er litt større enn P(jentefødsel) og tallfestingen

av disse er kun basert på empirisk vurdering av fødselsstatistikker. Tegnestifteksemplet fra

2MX må også undersøkes empirisk.

Geometrisk/Symmetrisk sannsynlighet Pseks p 1

6

for et terningkast er basert på at alle

utfall er like sannsynlige, da det rent geometrisk ikke er noen grunn til at et resultat skal

være mer sannsynlig enn de andre.Med 6 like sannsynlige utfall må da

p p p p p p 1 p 1

6

Tilfeller med like sannsynlige utfall kalles Uniforme sannsynlighetsmodeller. Her gjelder

den viktige huskeregelen:

Pnoe skjer

antall gunstige enkeltutfall

antall mulige enkeltutfall

Sammensatte sannsynligheter I mer komplekse tilfeller må man se på modellen som en

sammensetning av uniforme modeller, slik at p gunstige

kan brukes. Det vil si at utfall idet

mulige

forsøket vi studerer betraktes som hendelser satt sammen av utfall i et enklere, uniformt

forsøk!

Eksempel på sammensatte sannsynligheter:

E. Kast med to terninger hvor summen av øyne studeres.

Utfallsrom: S {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Utfallene her kan sees på som hendelser i et annet forsøk, nemlig kast med to terninger hvor

man observerer øyne og i hvilken rekkefølge vi fikk dem. I dette forsøket har vi utfallsrommet:

S{

4 Sannsynlighet.tex


Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

} og dette utfallsrommet er uniformt med p 1

36

utfallet 7 er f.eks. hendelsen {(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)} i det uniforme forsøket. Vi får

P(7)P((6,1))P((5,2))...P((1,6))pppppp 6

36

disjunkte)

Vi får sannsynlighetsfordelingen:

(da utfallene i det uniforme forsøket er

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Xx) 1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

9.3 Betinget sannsynlighet

6

36

5

36

4

36

Her anbefaler jeg meget sterkt at dere lærer dere til å bruke tabeller og sannsynlighetstrær, slik

det blir vist lenger ned!

Reglene for betinget sannsynlighet er særlig aktuelle ved sammensatte hendelser og forsøk som

går i flere trinn, eller er sammensatt av flere forsøk Også aktuelt når man bare kjenner

sannsynligheter for hendelser, altså sammensatte utfall.

Forsøk: Trekke kort fra kortstokk og observere valør.

E: Ess

H: Honnørkort

S: Spar

Begrepet og notasjonen for betinget sannsynlighet er enkel nok:

a) PEss, når vi vet at det er en spar PE|S (sier E gitt S)

b) PEss, når vi vet at det er en honnør PE|H (sier E gitt H)

Men hvordan regner vi det ut?

a)

Vi befinner oss i praksis i et redusert utfallsrom, nemlig de 13 forskjellige sparkortene.

Av disse er bare ett ess og vi får PE|S 1

og S; 13.

13 eller forholdet mellom antall muligheter i E S; 1

1

I et uniformt utfallsrom kan vi regne: 13

1

52

13

52

PES

b)

PS

Redusert utfallsrom er her de 16 honnørene, og da vi har 4 ess får vi: PE|H 4

16

som også kunne vært skrevet PEH

PH

4

52

16

52

4

16

Regel for betinget sannsynlighet: PA|B PAB

PB

som gir to andre regler:

PA B PBPA|B eller PA B PAPB|A

3

36

2

36

1

36

5 Sannsynlighet.tex


9.4 Uavhengige hendelser

Legg merke til at PE 4

52

1

13

Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

som er lik PE|S men forskjellig fra PE|H.

Hendelsen E er derfor uavhengig av S, men avhengig av H.

To hendelser A og B er uavhengige hvis:

PA|B A ellerpåenannenmåtePA B PAPB

Betingede sannsynligheter kommer kanskje best frem hvis man tegner Venn-diagrammene som

tabeller eller sannsynlighetstrær:

Eksempel:

Vi skal trekke en elev fra en gruppe på 100 elever, der vi har 60 jenter og 40 gutter. Av jentene

røyker 18, av guttene 10. Vi tegner venndiagrammet som oppdelt i de fire mulighetene:

J G

R

R

R J R G

R J R G

Som kan illustreres med tabeller:

Med antall:

J G

R 18 10

R

60 40 100

Med sannsynlighet:

J G

R 0.18 0.1

R

0.6 0.4 1

Fordelen med tabeller er at vi kan regne ut det meste rett fra tabellen uten å tenke så mye på

formlene med betinget sannsynlighet:

PR J 18 0.18 og PJ 100

PR|J

60

100 0.6

18 0.18 PRJ

60 0.6 PJ

Tilsvarende:

PR|G 10

40

Dessuten:

0.1 0.4

PRG

PG

PR 1810

100 0.18 0.1 PR J PR G

9.5 Total sannsynlighet

I mange oppgaver kan de betingede sannsynlighetene være oppgitt f.eks. slik:

PJ 0.6, PG 0.4, PR|J 0.3 og PR|G 0.25

I tabell:

J G

R 0.6 0.3 0.4 0.25

R

0.6 0.4 1

fordi PR J PJPR|J 0.6 0.3 og PR G PGPR|G 0.4 0. 25

Da kan vi regne ut PR PR J PR G 0.6 0.3 0.4 0.25 0.28

6 Sannsynlighet.tex


Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

Vi kunne også ha skrevet PR PJPR|J PGPR|G som er setningen for total

sannsynlighet.

(Forsøk på formulering: Hvis utfallsrommet er delt opp i D1,D2,...der Di er disjunkte og

tilsammen utgjør hele utfallsrommet, så kan en mengde skrives som unionen:

A A D1 A D2 ...)

For oversiktens skyld, tabellen fullstendig utfyllt:

J G

R 0.18 0.1 0.28

R 0.42 0.3 0.72

0.6 0.4 1

Legg merke til at summering av rader og kolonner stemmer hele veien. Dette gir gode

muligheter for å kontrollere svar!

Med sannsynlighetstre:

Å trekke ut en person kan omformes til et såkalt to-trinns-forsøk der vi først undersøker kjønn og

deretter undersøker om personen røyker. Dette kan illustreres med et sannsynlighetstre der alle

muligheter listes opp slik:

R J


J

R J

R G

G


R G

For å få en jente som røyker må vi først få en jente, deretter en jente som røyker, dvs først J og

deretter R|J hvilket fører til at PR J PJPR|J 0.6 0.3 0.18

Tilsvarende PR G PGPR|G 0.4 0.25 0.1

Samler vi opp alle som røyker, uavhengig av kjønn, får vi:

PR PR J PR G PJPR|J PGPR|G 0.18 0.1 0.28

Vi har igjen sett et eksempel på total sannsynlighet:

Hvis utfallsrommet S er fullstendig oppdelt i O1,O2,O3,...,On og vi har gitt

PA|O1,PA|O2,...,PA|On i tillegg til PO1,PO2,...,POn har vi

PA PO1PA|O1 PO2PA|O2 ...POnPA|On

(Med fullstendig oppdeling mener vi at O-ene dekker hele S og at alle O-ene er disjunkte.)

Dette kan illustreres slik med en tabell:

O1 O2 ... On

A PO1PA|O1 PO2PA|O2 ... POnPA|On PA

A

PO1 PO2 ... POn 1

7 Sannsynlighet.tex


Eksempel på et ”rent” fler-trinns-forsøk:

Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

I rene fler-trinns-forsøk er det som regel sannsynlighetstre som gir best oversikt.

Vi har en urne med 2 røde, 3 svarte og 4 hvite kuler.

Vi trekker to kuler og observerer farven og rekkefølgen vi trekker farvene i.

Vi bruker notasjonen H1for hvit kule trukket først og H2 for hvit kule trukket sist osv.

Uten tilbakelegging: (Avhengighet)

Vi trekker uten tilbakelegging og får derfor avhengighet, sannsynligheter for den andre kulen

avhenger av hva den første var.

Vi ønsker å regne ut sannsynligheten for at en, og bare en, av kullene er hvit.


H1 H2

H1

H1 H2

H1 H2

H1

H1 H2

Sannsynligetstreet over viser at P(en hvit) kan settes sammen av hendelsene H1 H2 og H1 H2

og vi får derfor:

P en hvit PH1 H2 P( H1 H2 PH1PH2|H1 PH1PH2|H1

4

9

5

8

5

9

4

8

40

79

5

9

I tabell kan det fremstilles slik:

H1

H1

H2 H2

4

9

5

9

4

9

3

8

4

8

4

9

5

9

5

9

5

8

4

8

4

9

5

9

Med tilbakelegging: (Uavhengighet)

1

Hvis vi legger tilbake den første kulen før vi trekker den andre, vil sannsynligheter for den andre

kulen være helt uavhengig av hva den første var, og vi kan bruke multiplikasjonsregelen uten

betinging.

Vi får samme sannsynlighetstreet, men i utregningen forsvinner alle betinginger:

P en hvit PH1 H2 P( H1 H2 PH1PH2 PH1PH2

4

9

5

9

5

9

4

9

40

81

I tabell blir det seende slik ut:

8 Sannsynlighet.tex


H1

H1

H2 H2

4

9

5

9

4

9

4

9

4

9

4

9

5

9

5

9

5

9

5

9

4

9

5

9

1

Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning

Jeg håper disse eksemplene illustrerer at det er lettere å takle oppgaver med betinget

sannsynlighet og setningen for total sannsynlighet, hvis dere alltid tegner sannsynlighetstrær

eller tabeller. Tabellene har også den fordelen at det er lett å kontrollere om man har regnet

riktig. Med sannsynligheter i alle ruter skal alle vannrette og loddrette summer stemme og til

slutt gi 1 nederst i høyre hjørne.

9 Sannsynlighet.tex

More magazines by this user
Similar magazines