Matematikk i endring - Signe Holm Knudtzon - Høgskolen i Vestfold

shk.ans.hive.no

Matematikk i endring - Signe Holm Knudtzon - Høgskolen i Vestfold

Etterutdanningskonferanse

Voss 25. september 2007

Matematikk i endring -

faget, undervisningen eller vi?

Johan Aarnes og Signe Holm Knudtzon

NTNU HVE

Historiske milepeler

Matematikk over 5000 år

en del av

Plimton 322 ca 1860 f.Kr

Stammer fra Babylon en del av dagens Irak

Columbia University i New York

Foto Signe H. Knudtzon

21. Februar 2007

Fra Babylon til Hypatia

• Oppfinnelsen av skrift og tallsymboler,

sumererne, ca. 3500 f.Kr.

• Babylonsk matematikk, -2000.

• Egyptisk matematikk, -1600.

• Pytagoras, -500.

• Gresk matematikks blomstring, -500 til -

200, Eudoxus, Euclid, Arkimedes,

Appolonius

• Pappus, Diofantus, Hypatia (+500)

Fra Mekka til Abel

• Hindu-arabiske tall (600-800)

• Arabisk matematikk, ligningsteori, Al-Kwarizmi,

Khayaam (800-1000)

• Innføring av arabiske tallsystem til Europa ca. 1200

(Fibonacci) med null og posisjonssystem, fire

regningsarter.

• Hauks bok (ca. 1300)

• Algebraisk symbolregning, Viete, 1500-tallet

• Analytisk geometri, Descartes (1550)

• Napier, Briggs, logaritmer (1600)

• Kepler, Newton (1600-1689)

• Leibniz, differensialregning (1680)

• Differensialligninger, Euler, Bernoulli, Fourier

(1700-1807)

1


Fra Abel til Wolfram

• Ikke-euklidsk og projektiv geometri. (Bolyai;

Desargues)

• Komplekse tall og algebraiske ligninger (Gauss,

Wessel, Abel, Galois)

• Kompleks funksjonsteori, geometri (Cauchy, Riemann)

• Gruppeteori (Sylow)

• Differensialgeometri, transformasjonsgrupper (Gauss,

Lie)

• Uendelige rekker, funksjonalanalyse (Weierstrass,

Hilbert)

• Topologi (Poincare)

• Mengdelære og logikk (Cantor, Goedel)

• Computere, matematisk simulering (von Neumann)

• Spillteori (Nash, von Neumann)

• Informasjonsteori (Shannon)

• Game of life, Cellulære automater (Conway, Wolfram)

Utviklingen/oppbygningen

av matematikk har skjedd

som en vekselvirkning

mellom skapende

(undersøkende/utforskende)

prosesser og ordnende

(begrunne/bevise/bygge/veve

lage regnemåter/algoritmer)

prosesser.

Matematikk har så mye å

tilby.

Det er en sorg at elevene ofte

bare får møte en liten del av

dette, nemlig resultatene av

de ordnende prosesser, de

ferdige regnemåtene.

(fra foredrag i Trondheim

august 1998, shk)

Quadrivium

Astronomia

Geometria

Aritmetica

Matematikk matematikkundervisning

prosesser og dimensjoner

syv frie kunster

Musica

Trivium

Denne illustrasjonen stammer fra Hortus deliciarum, laget ved klosteret Odilienberg

av abedissen Herrad von Landsberg en gang på slutten av 1100-tallet.

Endring

Utvikling Forandring

Skapelsen av matematikk

Er utviklingen gradvis eller sprangvis?

Noen perioder har raske endinger, paradigmeskifter. Som

f. eks når grekerne spør etter hvorfor og krever Bevis.

Endring er i seg selv et matematiske begrep – vi snakker

om den deriverte

Enheten i ”endringen” er ikke så lett å definere. Skal det

være antall nye teoremer som blir bevist pr år, skal det

være antall artikler som blir skrevet pr år ???

Vi regner dagens endring som ”rask”, to av grunnene er

ny teknologi som gir nye muligheter og at det er mange

flere ”hoder” som arbeider med matematikk.

• Lover

• Planer

• Undervisning

• Bøker

• Lærerutdanning

Skole

Skoler

[fra gresk skhole: lek,

fritidsaktvitet]

Fra en skole for frelse til en skole

for borgerdannelse

Fra en skole for noen få,

til dagens skole for alle

2


Norske skolelover regulerer undervisningen ved

offentlige og private skoler i Norge

• 1739 Norge fikk sin første skolelov med fagene kristendom, lesing,

Forordning (KUD og skoleloven av 1827 føyde til skrivning og regning )

• 1860 Lov om allmueskolene på landet - den første store reformloven

om skolen etter 1814.

• 1869 Lov om offentlige skoler. Norge får 6-årig middelskole og 3-årig

gymnas.

• 1889 Folkeskolelovene skulle åpne veien til høyere utdannelse

for alle

• 1890 Den første normalplanen for folkeskolen.

• 1896 Gymnasloven

• 1936 Folkeskolelovene av 1936. Enhetsskole.

• 1959 Folkeskolelovene av 1959. Obligatorisk 7-årig skolegang.

• 1969 Lov om grunnskolen. Pliktig skolegang utvidet til 9 år.

• 1998 Lov om grunnskolen og den vidaregåande opplæringa

opplæringslova som omhandler rettigheter og plikter forbundet med

opplæring og skolegang i Norge.

Hentet fra «http://no.wikipedia.org/wiki/Norske_skolelover» (noe justert)

Vekselskolen

Vekselskolen baserte

undervisningen på at de eldste

og flinkeste barna kunne

undervise de minste.

Slik kunne én lærer ha en

klasse på 200 elever.

I Bergen ble vekselskolen drevet fram

til 1848, men resultatene fra

undervisningen var så dårlige at man

forlot vekselundervisningen både i

Bergen og resten av landet.

I diskusjonen om matematikkfagets innhold

på gymnasets latinlinje ble det sagt:

At der skulle undervises:

I det uendelig lille og i det uendeligt store

For derigjennom

at kunne fatte Guds Storhet

En fattig skole

Første halvdel av 1800-tallet

Bethlemen skole var Nykirkens skole

«I almueskolerne lærer man at stave og læse indenad

og udenad Luthers Katekisme og Pontoppidans

forklaring, og når det gaar høit, lærer man endnu

nogle Bønner, Evangelier osv. udenad. Og saa lærer

man nogle faae at skrive, det vil sige Bogstavtræk, og

nogle endnu færre at regne de 4 Species. Anden

Undervisning, hvorved de kunde dannes til duelige

Arbeidere, Tjenestefolk, lykkelig Mennesker og gode

Borgere finder ikke sted.»

Dette skrev Lyder Sagen og Hermann Foss om

fattigskolen i 1824.

Dragkamp om skolens innhold

Utover på 1800-tallet argumenterte mange

for at skolen måtte bli mer praktisk.

På den ene siden sto de som forsvarer

studiet av de klassiske språk (gresk og

latin), på den andre siden de som så

behovet for økt kjennskap til realfag og

moderne språk.

I 1850 etableres Tanks skole.

Har nå vært :

En av de frie kunster

matematikk

en støtte for at kunne fatte Guds Storhet

3


Plan hvorefter Undervisningen og

Disiplinen i Almueskolerne på Landet

skal indrettes og Instruks for Lærerne

ved Almueskolerne.

1834

§ 6. Ved undervisning i Læsning,

Skrivning og Regning bør, saavidt muligt,

for de første Begyndere

Verelundervisnings-Methoden anvendes,

og de dertil fornødne Tabeller og Tavler

anskaffes for enhver Skole.


Den Regnebog og de Forskrivter, som

Departementet for Kirke- og

Undervisningsvæsenet har besørget

udgivne, skulle benyttes ved

Underviisning i Regning og Skrivning.

Ny pedagogikk.

Arbeidsskole i praksis ved Nordnes skole i 1930.

Pultene har måttet vike plass for løse stoler og bord.

I matematikken fikk elevene mer praktiske oppgaver.

I all undervisning skulle barnas opplevelse stå i sentrum.

• Normalplanen av 1939

• Vektlegger arbeidsskolen

• Helga Eng var sentral i utarbeidelsen av

planen.

Mye om at elevene arbeider selvstendig

med egne valgte oppgaver enten i grupper

eller individuelt. – mye av dette har ikke

kommet fram til dagens grunnskole. (shk)

Plan fra 1877

Regning.

Ved dette fag tiltrenges det endnu mer end ved

de foregående at Undervsningen anlegges

planmessigt, da her det Følgende maa støttes til

det Foregagne, som derfor alltid maa være vel

tilegnet, førend man kan gaa videre.

I flere Skoler vil det være nødvendigt, at

Børnene ved Undervisningen i Tavleregning

efter sine forskjellige Standpunkter deles i

Partier, men Læreren maa strebe hen til at

partienes antall maa bliver saa lidet som muligt.

Hovedregning gaar altid forud for og afveksler

med Tavleregning.

• M87

• Thorvald Tveiten sentral i utarbeidelse av

planen.

• Problemløsning blir et eget hovedemne.

(hovedemne nummer en av ti) (dette er i

tråd med det som skjer i mange andre land)

• Problemløsning skal både være et eget

hovedemne og være en del av alle de

andre hovedemnene (som metode ved innføringen av disse?)

4


Eleven skal finne fram til regnemåter. En

diskuterer ulike løsninger.

Dette krever mye av lærerne.

Se Heidi S. Måsøval og Frode Rønnings innspill til NMR

(norsk matematikkråds møte om krav til kompetanse for

lærere som underviser i matematikk på barnetrinnet).

Nettadresse:

http://www.math.ntnu.no/nmr/dokumenter/2007-

06_hist_KravUndervisningskompetanse.pdf

vidrlagning

afdráttr

tvifaldan

helmingaskipti

margfaldan

skipting

taka rót undan

= tillegging

= fratrekking

= tofolding

= halvdeling

= mangfolding

= deling

= ta rot av

= addisjon

= subtraksjon

= dobling

= halvering

= multiplikasjon

= divisjon

= rotutdraging

"I sju er denne kunstens greiner delt: den første heter tillegging,

den andre fratrekking, den tredje tofolding, den fjerde halvdeling,

den femte mangfolding, den sjette deling, den sjuende å ta rot av.

Og denne greina går i to retninger:

den ene er å ta rot av firkanta tall,

den andre er å ta rot av åttehjørna tall som har terningform."

Det var Norsk Kathedralskole i fire norske byer fra tolvhundretallet

• Johan Amos Comenius utgav i 1656 den

første illustrerte leseboken for barn , Orbis

pictus

• En dansk oversettelse kom i 1672.

Hauks bok

Haukr Erlendsson ( ? -1334).

Den matematiske delen av Hauksbok kalles

Algorismus og utgjør ca. 6-7 A4-sider. Dette er

den eldste regnebok med "våre" tall på et

nordisk språk.

Algorismus i Hauksbok starter med å forklare

posisjonssystemet. Boka navngir bare de to

første plassene. Enerne kalles finger og tierne

kalles ledd, mens de andre kalles sammensatt

tall. Vi finner her også norrøne navn på 7

regningsarter:

Aritmetica Danica

1645

Den lidle Norske Regnebog

Av Tyge Hansøn i Trondheim

Utgitt i København

Kilde: Geir Botten, 1999. Matematikk med mening

De Umistelige Bøger

De eldste norske ABC-bøker

Høgskolen i Vestfold, biblioteket.

5


11

De Umistelige Bøger

De eldste norske ABC-bøker

Høgskolen i Vestfold, biblioteket.

Om prosjektet "De Umistelige Bøger"

I n n h o l d :

Schultz, Christian. 1779

Forsøg Til En forbedret Abc-Bog, Ungdommen

til Beste, og med Foresattes Samtykke, udgivet

i Trykken af C. Schultz. Ihlens Skole den 16de

Julii 1779. Andet Oplag, Tronhjem.: Trykt paa

Autors Bekostning. 32 s., pag. 2 ill.

ABC. 1804

Christiansand: Trykt af Peder Høeg. 16 s.,

upag.

Kildal, Simon. 1806

Øvelses-Bog til Bogstav-Kjendskab, Rigtig-

Staven og Ret-Læsning bestemt til Veiledelse

for Forældre og Ungdomslærere, som ville

opfylde deres vigtige Kald: at anføre deres

Børn paa en fornuftig Maade, til at læse,

tænke og frygte Gud. Til Brug for Pigebørn.

Andet forbedrede og omarbeidede Oplag.

Kjøbenhavn: Trykt paa Forfatterens Forlag, 64

s.

paa hver haand? la os tæl-le ef-ter. en, to, tre,

fi-re, fem. du har fem fin-gre paa den haand,

kom nu med den an-den. der er jo og-saa fem

fin-gre paa den. ved en-den af hver fin-ger har

du en negl. den e-ne af de to hæn-der hed-der

den høj-re haand, og den an-den hed-der den

ven-stre. o-ven-for hver haand har du en arm.

Carl! hvor man-ge fød-der har du? en, to.

du har to fød-der. hvor man-ge tæ-er har du

paa hver fod? lad os tæl-le ef-ter. en, to, tre, fire,

fem. du har fem tæ-er paa den fod. kom nu med

den an-den. der er jo og-saa fem tæ-er paa den.

ved en-den af hver taa har du en negl. den e-ne

af de to fød-der hed-der den høi-re fod, og den

an-den hed-der den ven-stre. o-ven-for hver fod

har du et ben.

hvor man-ge ben har en hest? et ben, to, tre,

fire.en hest har fi-re ben. en ko har fi-re ben. en

hund har fi-re ben. og en kat og-saa. men hvor

man-ge ben har en hø-ne? kan du si-ge mig det,

carl? en, to. en hø-ne har ba-re to ben. en krage,

en skjæ-re, en spurv har og-saa ba-re to ben.

al-le fug-le har to ben. men fug-le-ne har to vinger,

som de kan fly-ve med. det har ik-ke carl, og

det har hel-ler ik-ke he-sten og ko-en, og hun-den.

fug-le-ne har in-gen tæn-der, men saa har de et

næb, som de spi-se med.

hvor man-ge ben har fi-ske-ne? fi-ske-ne har

slet in-gen ben. men hvor-dan bær de sig da ad

Note:

Merk de to skriveformene højre og høire.

Cappelens regneverk

1962

1. klasse

30

31

32_____

Forsøg

til

en hensigtsmæssig Barnets

første Bog,

af

M. C. Hansen

_______________

Christiania 1842.

Trykt i R. Hviids Enkes Bogtrykkeri og paa hendes Forlag

af G. Hansen.

4 Gange 4 er 16

Multiplikationstabellen.

Legg merke til at du ikke trenger

6 gange 5 når en allerede har hatt

5 gange 6 osv (shk)

De romerske Taltegn

I II III IV V VI VII VIII IX X

XI XII o.s.v. 91

L.C. D. M.

6


1989

Sokrates ca 470 – 399 f.Kr

Dialogen

Menon skrevet av Platon

Lærerutdanning

• 1749-1751 utdannet Latinskolen i Bergen 38

lærere, ellers var det den lokale presten som ”lærte

opp” skoleholderen

• 1821 – 1839 opprettes 6 seminarier. Det første på

Trondenes (alle utenom byene)

Først i 1890 åpnes disse for kvinner.

Kvinner kunne formelt ikke undervise i allmueskolen

før 1860 på landet og 1869 i byene. (kvinner fikk omtrent

halv lønn)

Lærerutdanning de siste 20 -40 år

Start 1969 Oslo off. 2 årig utdannelse. Ikke

undervisning i matematikk, men matematikkdidaktikk.

Start 1973 Oslo off. Moderne matematikk. (uforståelig

for mange)

3-årig allmennlærerutd. 4-årig fra 1998

1988/89 ca 30 ansatte 2007 ca 150 ansatte

Studenter (allmennlærerutdanning):

1988/89 ca 1000 pr år 2007 ca 2000 pr år

Av disse Av disse

Ca 42 % 5 vekttall Alle har 10 vt (30stp)

Ca 14 % 10 vektall ca 10 % har 60 stp

Ca 10 min utdrag av Menon

Sokrates av Johan Aarnes

Menon av Signe Holm Knudtzon

”Gutt” (Menons slave) av Lisbet Karlsen

Handler om sidelengden i det dobbelte kvadrat – og om at

Sokrates ”ikke lærer gutten noe”

”ordene er alle hans egne”

Oversatt fra engelsk til norsk av Johan Aarnes

7


Pedagogisk plattform for

matematikk i skolen

Konsensus må omfatte:

• Hva faget har å tilby barn og unge mennesker

• Lærerens holdning til og oppfatning av hva

matematikk er

• Hvordan barn og unge best lærer matematikk

• Hvordan faget bør undervises

• Fagets mål og innhold

• Fagets rolle i samfunnet

Endring i antall studenter som tar

/har matematikk

Alle må ha 30 stp

Noen har 60 og 90 stp og noen master

Flere studenter regner seg nå som

matematikklærere når de begynner å

arbeide som lærer.

Nye kompetansekrav for ungdomsskolen

Og - nye krav for barnetrinnet? (se NMR .)

1989

Karl Øivind Jordell

Hva bestemmer nyutdannede læreres

undervisning? ”det viktigste først”

1 Sånn gjør vi det her (skolekulturen der de

kommer)

2 Egen erfaring som elev

3 Lærerutdanningen

Vi har fått :

Nr 1 1990

8


Konferanser for lærere (LAMIS og

Novemberkonferansen)

30 stp matematikk for allmenlærere

Krav om 60 stp for å undervise i ungdomsskolen

Ønsker krav for barnetrinnet

Bedre samarbeid med NMR

http://www.matematikksenteret.no/

9


ESM

Educational

Stud in Math.

Reasoning Key Stage 3 11-13 år England

• explore, identify, and use pattern and symmetry in

algebraic contexts, investigating whether particular

cases can be generalised further and understanding the

importance of a counter-example; identify exceptional

cases when solving problems; make conjectures and

check them for new cases

• show step-by-step deduction in solving a problem;

explain and justify how they arrived at a conclusion

• distinguish between a practical demonstration and a

proof

• recognise the importance of assumptions when deducing

results; recognise the limitations of any assumptions that

are made and the effect that varying the assumptions

may have on the solution to a problem.

Oppgave til M3

Arbeid med guidede tur nr 2 – Medianer i

C

Geometer

A

Skriv ned svarene du får i punkt 8

Arbeid med punkt 9

CF/GF = 3 Bevis dette

F

E

G

B

D

Eksempler på artikler om Bevis i EMS:

How can the relationship between

argumentation and proof be analysed?

Author Bettina Pedemonte

Keith Jones, Ángel Gutiérrez and Maria A.

Mariotti, the “influence of dynamic

geometry software on students’

conceptions of mathematical proof.”

(Jones, Gutiérrez, and Mariotti, 2000).

Hvor mange av våre studenter kan:

distinguish between a practical

demonstration and a proof

?

Hva karakteriserer undervisning

der elevene gjør det godt?

• Starter med et åpnet spørsmål, et nytt problem

• Elevene kommer fram med sine forslag til

løsning

• Dette drøftes, oppsummeres, konkluderes

• Lærerne danner/har ofte støttegrupper – der de

diskuterer hvordan et bestemt emne kan

undervises, forslag til oppgaver

10


”Generelt sitter vi imidlertid med et inntrykk av at

det er lite systematisk og oppsummert refleksjon

rundt de ulike aktivitetenes læringspotensiale,

hvilket igjen bidrar til at elevene vanskelig kan

akkumulere kunnskap basert på systematiske

erfaringer. Det faktum at det brukes lite tid til

avrunding og oppsummering av de ulike

aktivitetene bidrar videre til at de ulike

aktivitetenes intensjoner blir uklare for elevene,

og det etableres en svak relasjon mellom å gjøre

noe og å lære noe.”

(Klette 2003, s. 73)

Hva skjer?

Oppgavediskursen råder

Noe spirer noen steder

Undersøkelse, utforskning, diskusjoner,

aktivitet, begrunnelse

En utfordring å ”bygge dette sammen” å

oppsummere, hva har vi lært, hva vet vi nå

som vi ikke visste i morges?

Hva mer vil vi undersøke?


The Curriculum Focal Points are the most

important mathematical topics for each

grade level. They comprise related ideas,

concepts, skills, and procedures that form

the foundation for understanding and lasting

learning.

• http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=

270

Hva kjennetegnerundervisningen i

matematikk i norsk skole?

Norske matematikklærere har et generelt høyt

utdanningsnivå, men svak matematikkfaglig utdanning.

Norske matematikklærere deltar også i påfallende liten

grad i etter- eller videreutdanning som er relevant for

matematikkundervisning.

I mindre grad enn i mange andre land preges norsk

matematikk-undervisning av at noen faglige temaer tas

opp ofte.

Matematikkundervisningen i Norge er preget av at elevene

i stor grad arbeider på egen hånd med oppgaver, og av

at norske elever i mindre grad enn i mange andre land

hører lenge på at læreren snakker om et emne.

I Norge har man god tilgang på datamaskiner i matematikk,

men de blir lite brukt.

Norge skiller seg ikke ut når det gjelder å gi lekser til

elevene, men leksene følges i liten grad opp av lærerne

TIMMS

Hvor er vi? Hvor vil vi?

• Hva er flaskehalsene?

• Lærerne / lærerutdanning

• Rektorer !!!!

• Praksis Undervisning i skolene

• Standards

• ICTM 2000

• Vekt på ”proof”

Dette er et tema som får mye plass på

internasjonale konferanser og tidsskrift

11


Videostudien knyttet til TIMSS i 1995, hvor matematikkundervisningen i

USA,Japan og Tyskland ble sammenliknet, viste at det var til dels

store forskjeller på hvordan undervisningen ble drevet (Stigler &

Hiebert 1999).

Men forskjellen gikk ikke på om elevene hørte på læreren

eller ikke, men mer på hvilken type refleksjon hos

elevene læreren la opp til, på hvilken måte aktiviteter

ble integrert i resten av undervisningen, og på

bruken av oppsummeringer av det elevene hadde

arbeidet med.

Etter vår oppfatning er det nettopp disse fagdidaktiske

sidene ved undervisningen i realfag som er avgjørende

for god læring. Og god undervisning i denne forstand

stiller store krav til læreren om både faglig og

fagdidaktisk kompetanse.

S 11 i http://www.timss.no/rapport2003/Kap_11_2003.pdf

Pedagogisk plattform for

matematikk i skolen

Konsensus må omfatte:

• Hva faget har å tilby barn og unge mennesker

• Lærerens holdning til og oppfatning av hva

matematikk er

• Hvordan barn og unge best lærer matematikk

• Hvordan faget bør undervises

• Fagets mål og innhold

• Fagets rolle i samfunnet

12

Similar magazines