Maxima - Gyldendal Norsk Forlag

web2.gyldendal.no

Maxima - Gyldendal Norsk Forlag

Sandvold | Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Thorstensen | Thorstensen

Digitalt verktøy for Sigma 1T

Maxima


Maxima Sigma 1T

Innhold

1 Om wxMaxima 4

1.1 Tilleggspakker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Regning 5

2.1 Tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Tallet π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Minne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.8 Store og små tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.9 Sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.10 n-terøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.11 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.12 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Funksjoner 10

3.1 Tegning av grafer for hånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Utregninger på grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 Finne y når du kjenner x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.2 Nullpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.3 Finne x når du kjenner y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.4 Topp- og bunnpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.6 Derivert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Lineær regresjon 18

5 Likninger 19

5.1 Likninger av andre og tredje grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Sannsynlighetsregning 21


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1 n

r

2


Maxima Sigma 1T

Innledning

Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet wxMaxima som digitalt

verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende

utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal

Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der.

Henvisninger fra boka

Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale

verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler

det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk

1T, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2009. I den elektroniske utgaven av

heftet er referansene klikkbare.

Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet

10 Tallregning 2.1

14 Regnerekkefølge 2.2

66 Likningssett 5.2

70 Regresjon 4

86 Potenser 2.11

88 Negative potenser 2.11

90 Lese standardform 2.8

91 Taste inn standardform 2.8

92 N-terot 2.10

94 Brøkeksponent 2.11

95 Lage verditabell 3.1

96 Logaritmer 2.12

136 nC r 6.1

171 Andregradslikning 5.1

202 Sinus, cosinus, tangens 2.9

206 Inversfunksjonene 2.9

245 Tegne graf 3.2

262 Informasjon fra grafer 3.3

265 Regne ut funksjonsverdi 3.1

266 Regne ut den deriverte 3.3.6

271 Finne tangent 3.4

3


Maxima Sigma 1T

1 Om wxMaxima

wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/) er et grafisk brukergrensesnitt

til Maxima (http://maxima.sourceforge.net/). Dette heftet tar utgangspunkt

i en binærdistribusjon av wxMaxima med norske menyer publisert for Windows

på http://www.moglestu.vgs.no/maxima/. Det finnes også distribusjoner

av wxMaxima for Linux og Mac OS X. Foreløpig må man da bruke engelsk.

Brukere på Linux og Mac burde likevel ha nytte av heftet.

Maxima er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. wxMaxima gjør det unødvendig

å huske alle kommandoer. Når du trykker på en knapp eller gjør valg fra

menyene, blir riktig tekstkommando skrevet inn for deg. Det er imidlertid ingenting

i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om du

husker de vanligste kommandoene.

1.1 Tilleggspakker

Det finnes nokså mange utvidelser til Maxima. En del funkasjonalitet som av ulike

grunner ikke er innebygd i Maxima kan lastes inn i programmet ved kommandoen

«load». Mange pakker med slike tilleggsfunksjoner ligger klare sammen med programmet.

For å regne med for eksempel binomisk og hypergeometrisk fordeling i

sannsynlighetsregning skriver du «load (distrib)$».

I tillegg kan man laste ned pakker som utvider Maximas funkasjonalitet fra Internett.

Gyldendal Undervisning har laget en samling kommandoer tilpasset norsk

videregående skole. Den installeres slik:

1. Last ned filen «gyldendal.mac» fra http://www.gyldendal.no/sigma/

til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents».

2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen og bla fram til den mappen du lastet ned filen

til.

3. Tast inn «gyldendal.mac» til høyre for «File name:» («Filnavn:») og klikk på

«Open» («Åpne»).

I noen Maximadistribusjoner kan du også velge «Load package…» fra File-menyen.

Per mars 2009 inneholder gyldendal.mac følgende kommandoer.

– sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader).

– cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader).

– tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader).

4


Maxima Sigma 1T

– asind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a.

– acosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a.

– atand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a.

– ntrt(n,a): Finner n-teroten av a.

– lg(a): Finner den logaritmen til a (logaritme med grunntall 10).

– grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer.

– radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader.

2 Regning

2.1 Tallregning

Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med «⋆» for

gange og «/» for dele. Gangetegnet er obligatorisk, så 2x må tastes inn som «2 ⋆ x».

Svaret får du når du trykker enter (linjeskift).

Maxima regner eksakt. Det betyr at den unngår avrundinger og desimaltall så ofte

som mulig. Dersom du vil ha svaret i desimaltall, må du be spesielt om det. Trykk

på knappen «Til desimaltall», eller tast «float(%)», så får du det siste svaret i desimaltall.

Du kan også legge til ordet «numer» på slutten av linja etter et komma, så får du

desimaltall.

(%i1) 2/3,numer;

(%o1) .6666666666666666

2.2 Regnerekkefølge

Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det

står.

5


Maxima Sigma 1T

Utregningen 4+5·2 3 taster vi inn som det står og avslutter med enter. Maxima bruker

cirkumflex (∧) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom

etter «∧».

(%i1) 4+5*2^3;

(%o1) 44

Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser,

som for eksempel i utregningen 7 · (−4 2 − 5 · (−3)) 2 , som tastes inn slik:

(%i1) 7*(-4^2-5*(-3))^2;

(%o1) 7

2.3 Tallet π

For å skrive inn π, taster vi «%pi». Vi kan også trykke på knappen for π nederst i

vinduet. Når Maxima viser matematikk på skjermen, skriver den π som «%pi». Og

som alltid: Vil du ha et desimaltall i stedet, bruker du «float» eller «numer».

(%i1) %pi;

(%o1) %pi

(%i2) float(%pi);

(%o2) 3.141592653589793

2.4 Minne

Du kan enkelt lagre tall eller uttrykk for seinere bruk i programmets minne.

Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet «%». La oss si at du har regnet

ut (4 + 5) · 2 3 og fått 72. Om du så taster % ∗ %pi og trykker enter, vil Maxima

multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π.

(%i1) (4+5)*2^3;

(%o1) 72

(%i2) %*%pi;

(%o2) 72 %pi

(%i3) float(%);

(%o3) 226.1946710584651

I tillegg til «%», fungerer de fleste tegn og kombinasjoner av tegn som minne. Du

lagrer en verdi eller et uttrykk i et minne ved å skrive navnet etterfulgt av kolon og

så verdien du vil lagre.

6


Maxima Sigma 1T

For å lagre forrige verdi i et minne vi kaller «a», gjør vi slik:

(%i4) a:%;

(%o4) 226.1946710584651

For å lagre uttrykket 3x − 2 på «sigma» gjør vi slik:

(%i1) sigma:3*x-2;

(%o1) 3x - 2

Verdien i minnet får du fram igjen ved å skrive navnet.

(%i1) sigma;

(%o1) 3x - 2

(%i2) 2*sigma;

(%o2) 2(3x - 2)

Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene a og b og så regner ut a · b og får

142:

(%i1) a:2;

(%o1) 2

(%i2) b:71;

(%o2) 71

(%i3) a*b;

(%o3) 142

2.5 Kvadratrot

For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()», eller trykker

på kvadratrotknappen.

(%i1) sqrt(5),numer;

(%o1) 2.23606797749979

7


Maxima Sigma 1T

2.6 Parenteser

Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da

vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er

5 + 7

2 · 3

= 12

6

Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til

med å slå parenteser om telleren og nevneren.

(%i1) (5+7)/(2*3);

(%o1) 2

Ulike distribusjoner av Maxima håndterer parenteser litt forskjellig. I noen distribusjoner

får man automatisk både høyre- og venstreparentes når man taster «(». I

andre distribusjoner må man passe på å lukke parenteser selv.

2.7 Brøk

Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser

om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Svaret blir oppgitt i

brøk. Dersom du vil ha desimaltall, trykker du som vanlig på «Til desimaltall».

Skal vi for eksempel regne ut

2 + 3

3

= 2

− 8

7 − 3

slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får:

Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi

regne ut brøken

1

2

1

3

taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken.

8


Maxima Sigma 1T

2.8 Store og små tall

Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform.

I utgangspunktet får du 16 desimaler. Du velger selv om du taster inn på standardform

eller ikke. Skal du taste inn 6700000000, kan du velge å taste «6.7⋆10∧9.

Regnestykket

6700000000 · 0,0002

kan du velge å regne ut som 6,7 · 10 9 · 2 · 10 −4 ved å taste slik:

(%i1) 6.7*10^9*2*10^(-4);

(%o1) 1340000.0

2.9 Sinus, cosinus og tangens

Maxima har innebygget sinus, cosinus og tangens, men de innebygde funksjonene

bruker et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Og radianer kommer du ikke

borti før i Vg3. For å regne med grader, må du laste inn Gyldendal Undervisnings

pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1.

De trigonometriske funksjonene for grader taster du inn med «sind()», «cosd()» og

«tand()». For å finne sin 45, taster du inn «sind(45)».

(%i1) sind(45);

(%o1) .7071067811865475

For å gå tilbake, bruker vi «asind()», «acosd()» og «atand()»: For å finne hvilken

vinkel som har cosinus-verdi 1

, taster vi «acosd(1/2)».

2

(%i1) acosd(1/2);

(%o1) 60.0

2.10 n-terøtter

Maxima har ikke innebygget noen funksjon for n-terøtter, med du kan laste inn

Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr.

avsnitt 1.1.

For å regne ut n-terøtter, bruker vi «ntrt». Eksempel: For å beregne 5 7,34 gjør vi

slik:

(%i1) ntrt(5,7.34);

(%o1) 1.489838565112205

9


Maxima Sigma 1T

2.11 Potenser

Potenser tastes inn med cirkumflex, ∧. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ∧ 5.

(%i1) 2^5;

(%o1) 32

For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om

eksponenten. Vi regner ut 2−5 ved å taste 2 ∧ (−5) og 2 2

3 ved å taste 2 ∧ (2/3).

2.12 Logaritmer

Maxima har ikke innebygget noen funksjon for logaritmer med grunntall 10, med

du kan laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående

skole, jfr. avsnitt 1.1.

Vi finner lg 25 slik:

(%i1) lg(25),numer;

(%o1) 1.397940008672037

3 Funksjoner

Det er to måter å angi navn på funksjonsuttrykk i Maxima. Du kan tilordne en

variabel et navn f slik:

(%i1) f:2*x+5;

(%o1) 2 x + 5

Men du kan også lage en maxima-funksjon med funksjonsnavnet slik:

10


Maxima Sigma 1T

(%i1) f(x):=2*x+5;

(%o1) f(x) := 2 x + 5

Begge metoder har sine fordeler. I dette heftet har vi brukt den første metoden.

3.1 Tegning av grafer for hånd

Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regne

ut funksjonsverdier for funksjonen. Først definerer vi funksjonen ved å sette en

variabel til den funksjonen.

Eksempel: Om vi skal arbeide med funksjonen f(x) = 0,023x 1,7 , gjør vi slik:

Så vi setter vi inn 0 for x med funksjonen «ev»:

Dersom vi ønsker å regne ut en flere verdier i en tabell, taster vi inn x-verdiene i en

liste inni «[» og «]» slik:

Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og

tegner en glatt kurve gjennom dem.

8

6

4

2

10

20 30

11


Maxima Sigma 1T

3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet

Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager

vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1. Det hender oppgaven ber oss om et

spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det.

Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = 15

for x < 15. Først definerer vi

x

funksjonen:

Så lager vi verditabell. Vi lar tabellen gå fra 1 til 15.

Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 1 til 15, må y være mellom 1 og 15. Nå

velger vi «Graf 2d…» fra Grafer-menyen. Vi fyller inn feltene for «Uttrykk» og

«Variabel» slik:

Vi trykker OK og får tegnet grafen:

12


Maxima Sigma 1T

Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du gå på «Grafer 2d…» igjen

og endre vindusinstillingene.

3.3 Utregninger på grafen

Maxima gjør ikke beregninger på selve grafen, men regner eksakt. Nedenfor finner

du metoder for hvordan du kan bruke Maxima til å regne ut svar som også kan finnes

for eksempel ved avlesning på grafen. Maxima gir deg imidlertid det eksakte svaret.

3.3.1 Finne y når du kjenner x

Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x, «bruker vi «ev()».

Eksempel: Vi lar f være f(x) = −0, 001x 3 + 0, 09x 2 + 10. Vi regner ut f(10) slik:

Altså er f(10) = 18.

3.3.2 Nullpunkter

Du finner nullpunkter ved å skrive «solve» (eller klikke på «Nullpunkter»-knappen).

Eksempel: La f(x) = −0,5x 3 + 2x 2 + 3x − 6. Vi skal finne nullpunktene.

13


Maxima Sigma 1T

Dersom en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at løsningen er et

såkalt komplekst tall. Slike løsninger tar vi ikke med. Eksempel: La f(x) = −x 2 −

5x − 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter.

Vi ser at begge løsningene inneholder «%i». Funksjonen f har derfor ingen nullpunkter.

Dersom funksjonen har et nullpunkt, men Maxima ikke finner det eksakt, kan vi

finne en tilnærmingsverdi (med så stor nøyaktighet vi måtte ønske). Da må du tegne

grafen til funksjonen, jfr. avsnitt 3.2. Så må du finne et intervall langs x-aksen som

nullpunktet ligger i. Så bruker du «find root» til å finne nullpunktet.

Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 2,3 x − 6. Vi prøver først å løse den med

«solve»:

Vi tegner grafen.

14


Maxima Sigma 1T

Vi ser at nullpunktet ligger mellom 0 og 4 på x-aksen. Vi bruker «find root»:

3.3.3 Finne x når du kjenner y

Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, løser vi likningen

f(x) = a. Dette gjør vi på samme måte som når vi finner nullpunkter, jfr. avsnitt

3.3.2, men i stedet for å bruke «solve(f)», bruker vi «solve(f=a)».

Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 3 − 4x 2 + 3x + 12. Vi skal finne når f(x)

oppnår verdien 4.

Vi kan kun bruke løsningen som ikke inneholder «%i». Svaret er at f oppnår verdien

4 når x = −1.

3.3.4 Topp- og bunnpunkter

Topp- og bunnpunkter finner vi ved å regne ut den deriverte med «diff» og sette

denne lik null. For å avgjøre om vi da finner et toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt,

tegner vi grafen til funksjonen.

15


Maxima Sigma 1T

Eksempel: La f(x) = −0,5x 3 +2x 2 +3x −6. Vi skal finne bunnpunktet. Vi definerer

f og trykker på «Deriver» (eller skriver «diff(f,x)»):

Deretter finner vi når f ′ (x) er null («solve») og hvilken verdi f har da («ev»):

Til slutt tegner vi grafen for å avgjøre hva slags ekstremalpunkt det er.

Altså er det et bunnpunkt til venstre og et toppunkt til høyre. Koordinatene til bunnpunktet

er (−0, 6; −7, 0) og koordinatene til toppunktet er (3, 3; 7, 7).

16


Maxima Sigma 1T

3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer

Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å løse likningen f = g. Vi

taster «solve(f=g)».

Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = −0, 5x 3 + 2x 2 + 3x − 6

og g(x) = x + 2. Vi definerer f og g og taster «solve(f=g)».

Til slutt regner vi ut funksjonsverdien av x-verdiene til skjæringspunktene.

Altså er skjæringspunktene (−2, 0), (2, 4) og (4, 6).

3.3.6 Derivert

Du finner den deriverte til en funksjon f med «diff(f,x)».

Eksempel: La f være funksjonen f(x) = −0,001x 3 + 0,09x 2 + 10. Vi skal finne f ′ (x)

og f ′ (10). Vi definerer f, vi lar f1 være den deriverte av f og finner verdien av den

deriverte når x er 10:

Dette betyr at f ′ (10) = 1, 5

17


Maxima Sigma 1T

3.4 Tangent

Maxima regner ikke ut tangenten for deg, men kan hjelpe deg i utregningen av

tangenten for eksempel ved hjelp av ettpunktsformelen. Eksempel: La f være funksjonen

f(x) = x 2 − 4x + 5. Vi skal finne likningen til tangenten til kurven for x = 1.

Først definerer vi funksjonen f og regner ut y-koordinaten til tangeringspunktet:

Altså går tangenten gjennom punktet (1, 2).

Så finner vi stigningstallet til tangenten ved å finne uttrykket for den deriverte og

så verdien av den deriverte i punktet:

Altså er stigningstallet −2. Da kan vi bruke ettpunktsformelen y − y 1 = a(x − x 1).

Vi taster inn ettpunktsformelen med x 1 = 1, y 1 = 2 og a = −2 og løser uttrykket

vi da får med hensyn på y.

Altså er likningen til tangenten y = −2x + 4.

4 Lineær regresjon

Velg «Regresjon» fra Funksjonsanalyse-menyen. Der taster du inn x- verdiene og

y-verdiene med komma mellom. Eksempel: Vi legger inn følgende verditabell:

Da blir det slik:

x −10 −5 0 5

y 868 735 566 448

18


Maxima Sigma 1T

Så klikker vi på OK. Da åpnes programmet gnuplot som viser et bilde av punktene

fra verditabellen. Når vi skifter tilbake til wxMaxima, kommer funksjonsuttrykket

til syne.

Dette betyr at regresjonslinja er y = −28,6x + 582,8.

5 Likninger

5.1 Likninger av andre og tredje grad

Likninger løser vi med «solve». Eksempel på andregradslikning: Vi løser likningen

slik:

−1, 2388x 2 + 3, 423x − 4

= 0

3

Løsning på likningen er altså at x er 0, 47 eller 2, 29.

Eksempel på tredjegradslikning:

3x 3 − x 2 − 12x + 4 = 0

19


Maxima Sigma 1T

Hvis en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at tallet er såkalt komplekst.

Denne løsningen tar vi ikke med. Eksempel: Vi løser likningen

x 2 + 3x + 3 = 0

Begge løsningene inneholder konstanten «%i». Da svarer vi at likningen ikke har

noen løsning.

5.2 Likningssett

Likningssett løses ved å velge «Løs likningssett…» fra Likninger-menyen.

Eksempel: Vi skal løse likningssettet

3x − 2y = 4

x + 2y = 4

Vi velger «Løs likningssett…» fra Likninger-menyen og taster inn at antall ukjente

er 2. Vi trykker OK. Da får vi opp et vindu hvor vi skriver inn de to likningene våre.

Når vi klikker OK, får vi opp løsningen:

Altså er løsningen x = 2 og y = 1.


20


Maxima Sigma 1T

6 Sannsynlighetsregning

6.1 n

r


Antall kombinasjoner av r ut fra n, finner vi ved å velge «Binomialkoeffisient…»

fra Sannsynlighet-menyen.

Eksempel: Vi skal regne ut 3 . Vi velger «Binomialkoeffisient…» fra Sannsynlighet-

2

menyen og taster inn

Vi klikker på OK og får:

Altså er 3 = 3.

2

21

More magazines by this user
Similar magazines