Sigma Teknikk og industriell produksjon, bokmål - Gyldendal Norsk ...

web2.gyldendal.no

Sigma Teknikk og industriell produksjon, bokmål - Gyldendal Norsk ...

Karl Erik Sandvoll m.fl.

Sigma1

Helse- og sosialfag

Gyldendal undervisning


# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006

1. utgave, 1. opplag

Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det

yrkesfaglige utdanningsprogrammet teknikk og industriell produksjon.

Printed in Norway by PDC Tangen, 2006

ISBN 13: 978-82-05-34936-0

ISBN 10: 82-05-34936-3

Redaktør: Ellen Semb

Bilderedaktør: Sissel Falck

Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel

Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as

Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne

Omslagsdesign: Hild Mowinkel

Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images

Bilder, illustrasjoner:

Illustratører: Anja Ruud: side 14, s. 33, s. 38 n.t.v., s. 58, s. 71, s.78 t.v., s. 82, s. 84, s. 141, s. 159 t.v.,

s.164 n.t.h., s. 167 t.v., s. 197, s. 199, s. 203, s. 209, s. 218, s. 222,

Bjørn Norheim: s. 11, s. 16, s. 17, s. 20 t.v., s. 24, s. 31 m., s. 35 t.v., s. 36, s. 42 ø.t.h., s.52-55, s. 57 n.t.v.,

s. 69, s. 74, s. 75, s. 79, s.139 n., s.152 n., s.161 ø.t.h., s.164 n.t.v., s. 166 t.h.m.

Bilder og øvrige illustrasjoner:

Side 4: Ole Moksnes AS, s. 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Scanpix, s. 13: Corbis/Scanpix, s. 18: ø. Ole

Moksnes AS, n. George Widman/Scanpix, s. 19: Jason Reed/Scanpix, s. 22: Ørn E.Borgen/Scanpix,

s. 29: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 32: GBA/Photodisc,

s. 44: Sverre A. Børretzen/Scanpix, s. 50: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 51: Stanley Brown/Getty Images,

s. 61: Scanpix, s. 65: Ole Moksnes AS, s.74: ø.t.v. Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 78: t.h. John Lund/Getty

Images, s. 80: Hugh Sitton/Getty Images, s. 96: Ole Moksnes AS, s. 100: Berit Roald/Scanpix, s. 101: Wenche

Dypbukt, s. 102: Anne Langdalen, s. 104: Daly & Newton/Getty Images, s. 108 n., 109 ø.t.v.: Ulf Carlsson,

s. 120 n.t.v., s. 122 n.t.v.: John Arne Eidsmo, s. 128: Jason Reed/Scanpix, s. 138: #Trondheim kommune,

Kart-og oppma˚lingskontoret, s. 139: ø.t.h. Ole Moksnes AS, s. 142 ø.t.h. og s. 143 n.t.h.: #2006 The LEGO

Group, s. 148 og s.163 n.t.h.: M.C.Escher’s «Symmetry Drawing E18» #2006 The M.C.Escher Company-

Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.159: ø.t.h. Unni Brakestad, n.t.h. # Casterman/Distr. by

PIB Copenhagen 2006, s. 160: Heimdal Eiendomsmegling, s. 161: ø.t.v. Ole Moksnes AS, s. 165: GBA,

s. 168: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of

Modern Art (MoMA) . Olje pa˚ lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA,

Firenze, s. 171: Knut Falch/Scanpix, s. 172, 173, 174: Ole Moksnes AS, s. 174 n.: E.H.Shepard Copyright under

the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd., s. 175: GBA/Photodisc, s. 176: Liv Hegna/

Scanpix, s. 178: Ole Moksnes AS, s. 179: Ragnar Axelsson/Scanpix, s. 186, 190: Ole Moksnes AS,

s. 194: Adam Gault/Getty Images, s. 196: Ole Moksnes AS, s. 204: Trygve Indrelid/Scanpix,

s. 207: GBA/Photodisc, s. 214: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 226, 227: Diplom-is.

Det ma˚ ikke kopieres fra denne boka i strid med a˚ndsverkloven eller avtaler om

kopiering innga˚tt med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk.

Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning,

og kan straffes med bøter eller fengsel.

Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til:

Gyldendal Undervisning

Postboks 6860 St. Olavs plass

0130 Oslo

E-post: undervisning@gyldendal.no


FORORD

Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige

utdanningsprogrammet for teknikk og industriell produksjon. Boka er en

alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver.

Vi har lagt stor vekt pa˚ a˚ gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med

forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en

dobbeltside. Pa˚ neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er

laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til

sammen skal hjelpe deg til a˚ na˚ ma˚lene i læreplanen. Mange oppslag

inneholder en utfordring som kan være med pa˚ a˚ gjøre faget mer spennende.

Her kan du ogsa˚ fa˚ utfordret din egen forsta˚else.

Kapitlene blir innledet med læreplanma˚l og en kort, motiverende tekst. Etter

oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det

skal hjelpe deg til a˚ sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et

sammendrag og test-deg-selv-oppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere

graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele

kapitlet.

Denne boka skal hjelpe deg til a˚ løse aktuelle matematiske problemstillinger

innen fagomra˚det teknikk og industriell produksjon, og i din hverdag i og

utenfor skolen. Læreplanma˚lene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og

vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke

matematiske metoder og hjelpemidler til a˚ løse problemer fra ulike fag- og

samfunnsomra˚der. Vi har i denne boka valgt a˚ ha med et bredt spekter av

oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver til oppgaver som krever andre

løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel pa˚ slike oppgaver. Det kan

være a˚ utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker

og pa˚ nettet. Denne informasjonen ma˚ du bearbeide og sammenfatte, for sa˚

a˚ presentere for andre. Vi ha˚per dette skal føre til faglige samtaler om

matematikk – gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for a˚ lære.

Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder

sider ba˚de for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive

oppgaver og fordypningsstoff. Pa˚ lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg,

tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag og annet.

I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende,

kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi ha˚per dere

griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen

kan forega˚ pa˚ en aktiv ma˚te.

Vi vil takke konsulenter og andre bidragsytere for konstruktive innspill og

gode ra˚d underveis.

Oslo, mars 2006

Wenche Dypbukt Silja Mustaparta Snorre Evjen

Bjørn Fosdahl Arne S. Kaldahl Rubi Skøyum Karin Øiseth

FORORD 3


INNHOLD

Kapittel 1

M—LING OG BEREGNINGER

1 Sa˚nn cirka –

avrunding, overslag og nøyaktighet........ 10

2 Ma˚lenheter for lengde ..................... 12

3 Omkrets – hele veien rundt................ 14

4 Kappe- og klippelengder .................. 16

5 Flatema˚l................................... 18

6 Areal av enkle figurer ..................... 20

7 Areal av sammensatte figurer ............. 22

8 Ma˚lenheter for

massetetthet, vekt og volum ............... 24

9 Megastore og mikroskopiske tall .......... 26

10 Sammensatt eksempel ..................... 28

SAMMENDRAG .................................. 30

TEST DEG SELV .................................. 31

Òvingsoppgaver ............................. 32

Kapittel 2

REGNING OG FORMLER

1 Problemløsing – husk a˚ være lur! ......... 46

2 Regnerekkefølge .......................... 48

3 Alle de sma˚ reglene – formelregning ...... 50

4 Formler for skjærhastighet og

omdreiningstall............................ 52

5 Lag dine egne formler..................... 54

6 Forholdstall og brøker..................... 56

7 Veien om 1. ............................... 58

8 Sammensatte eksempler ................... 60

SAMMENDRAG .................................. 62

TEST DEG SELV .................................. 63

Òvingsoppgaver ............................. 64

Kapittel 3

PROSENT

1 Hvor mange prosent er dette?............ 82

2 Prosentfaktor – hva er det? .............. 84

3 Vekstfaktor – sparer deg for arbeid ...... 86

4 Na˚r grunnlaget er ukjent................. 88

5 Prosentpoeng – ikke det samme som

vanlig prosentregning .................... 90

6 Sammensatt eksempel ................... 92

SAMMENDRAG................................. 94

TEST DEG SELV................................. 95

Òvingsoppgaver............................ 96

Kapittel 4

GRAFISKE FRAMSTILLINGER OG

PROPORSJONALITET

1 Grafisk presentasjon ..................... 106

2 Kan du stole pa˚ grafiske framstillinger? . 108

3 Vi finner sammenhenger grafisk ......... 110

4 Proporsjonale størrelser .................. 112

5 Omvendt proporsjonale størrelser ........ 114

6 Sammensatt eksempel ................... 116

SAMMENDRAG................................. 118

TEST DEG SELV................................. 119

Òvingsoppgaver............................ 120

6 INNHOLD


Kapittel 5

MER OM M—LING OG AREAL

1 Pytagoras og sidelengder ................. 130

2 Omkrets og areal ved hjelp av

Pytagoras’ setning ........................ 132

3 Formlikhet ............................... 134

4 Tangens og dreiing av konuser ........... 136

5 Ma˚lestokk................................ 138

6 Perspektivtegning ........................ 140

7 Arbeidstegninger ......................... 142

8 Mangekanter ............................. 144

9 Tesselering med regulære mangekanter . . . 146

10 Tesselering med andre grunnfigurer ...... 148

11 Sammensatt eksempel .................... 150

SAMMENDRAG ................................. 152

TEST DEG SELV ................................. 153

Òvingsoppgaver ............................ 154

Kapittel 6

VOLUM OG OVERFLATE

1 Romma˚l – hvor stort er innholdet? ....... 170

2 Volum av prismer og sylindrer ........... 172

3 Volum av kjegler, kuler og pyramider .... 174

4 Volum av sammensatte figurer ........... 176

5 Overflata av enkle og

sammensatte figurer ...................... 178

6 Sammensatt eksempel .................... 180

SAMMENDRAG ................................. 182

TEST DEG SELV ................................. 183

Òvingsoppgaver ............................ 184

Kapittel 7

ÒKONOMI

1 Indekser – da kroneisen kostet en krone . . 196

2 Indeksformelen –

leses like godt bak fram ................. 198

3 Gir mer penger alltid bedre ra˚d?

Reallønn og kroneverdi .................. 200

4 Lønn som fortjent? Timelønn og akkord . . 202

5 Provisjon, bonusordninger og

frynsegoder.............................. 204

6 Hva har vi a˚ rutte med?

Lønn, feriepenger og skatt ............... 206

7 Vi spleiser pa˚ godene –

skatter og avgifter ....................... 208

8 Sparing – forsiktig eller va˚gal? .......... 210

9 La˚n – røverkjøp eller landeveisrøveri? . . . 212

10 Forbruksmuligheter –

kjøp na˚, betal etter hvert! ................ 214

11 Budsjett og regnskap –

viktige redskap i planlegging ............ 216

12 Sammensatt eksempel ................... 218

SAMMENDRAG................................. 220

TEST DEG SELV................................. 221

Òvingsoppgaver............................ 222

Fasit ........................................ 236

Stikkord ................................... 261

L×replan i matematikk ............... 262

INNHOLD 7


1

M—LING OG BEREGNINGER


1.1 SÔnn cirka ^ avrunding, overslag og nÖyaktighet

Du skal l×re

^ Ô avgjÖre nÔr det er behov for nÖyaktighet i matematiske beregninger,

og nÔr vi kan gjÖre overslag

^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nÖyaktighet

Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe

mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene

utenat! Men trenger vi alltid a˚ være sa˚ nøyaktige?

Tenk deg at du er pa˚ IKEA og kjøper bilder. Du har dette i handlekurven:

«Rød rose»: kr 167;50=kg

«Epler»: kr 218;50=kg

«Solsikke»: kr 107;50=kg

Du har en femhundrelapp pa˚ deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet

om du har nok penger? Knepet er a˚ gjøre et overslag, det vil si at du runder

av tallene.

Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi

skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Er denne

desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av

nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi pa˚ andre desimal pa˚ samme

ma˚te, og sa˚ videre.

EKSEMPEL 1

a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for a˚ finne ut om

bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner?

b) Du ønsker a˚ ramme inn «Solsikke» pa˚ nytt. Bildet har form

som et rektangel med bredden b ¼ 37;43 cm og høyden

h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du

bestille?

Løsning:

a) Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen:

167;50 170 og 218;50 220 og 107;50 110

kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500

Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok!

b) Vi runder av til én desimal og legger sammen:

37;43 cm 37;4 cm og 62;56 cm 62;6 cm

2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ2 62;6 cm¼200;0 cm

Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes?

TALLET

er definert som omkretsen

av en sirkel

dividert med diameteren

¼ O=d.Vanligvis nÖyer

vi oss med to desimaler

og skriver 3,14.

Avrunding av 7,2356

nærmeste titall 10

nærmeste heltall 7

1 desimal 7,2

2 desimaler 7,24

3 desimaler 7,236

10 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


Er det noen forskjell pa˚ tallene 7;2 mmog7;20 mm? Ja, det er det.

Na˚r vi oppgir en lengde som 7;20 mm, vil det si at vi har ma˚lt den

med større nøyaktighet enn om vi oppgir den til a˚ være 7;2 mm.

–Na˚r vi oppgir lengden til a˚ være 7;2 mm, er det underforsta˚tt at

lengden ligger mellom 7;15 mm og 7;24 mm.

–Na˚r vi oppgir lengden til a˚ være 7;20 mm, er det underforsta˚tt at

lengden ligger mellom 7;195 mm og 7;204 mm.

Toleransen er avviket fra det ma˚let vi ønsker.

EKSEMPEL 2

a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let pa˚ denne gjenstanden?

b) Hvor stor er toleransen?

Løsning:

a) Største ma˚l: 150 þ 3 ¼ 153 mm

Minste ma˚l: 150 3 ¼ 147 mm

b) Toleransen er 3 þ 3 ¼ 6mm.

AKTIVITETER

Oppgave 1.1

Rund av til én desimal:

a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96

d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849

Oppgave 1.2

Rund av til to desimaler:

a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968

d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445

Oppgave 1.3

Du er i dagligvarebutikken og handler mat.

I handlekurven har du

– 1 purreløk: kr 9,50

– 3 liter melk à kr 9,00 per liter

– 1 brød: kr 14,50

– 500 g kjøttdeig: kr 40,50

Du sta˚r ved kassa og har en hundrelapp i lomma.

Gjør overslag og bruk hoderegning for a˚ finne ut om

du unnga˚r en pinlig situasjon.

Oppgave 1.4

Klara skal regne ut jordas omkrets rundt ekvator.

Jordas radius ved ekvator er 6378 km.

Klara runder av til 6400 km før hun regner ut

omkretsen. Hvor stort avvik fra det korrekte

svaret, ma˚lt i kilometer, fa˚r hun pa˚ grunn av

avrundingen?

Oppgave 1.5

100 mm ± 2 mm

MA˚LENØYAKTIGHET

Meterstokk: 1 mm

M˚aleb˚and: 1 mm

St˚alm˚alelinjal: 0,5 mm

Skyvelære: 0,1 mm

Mikrometer: 0,01 mm

M˚aleur: 0,01 mm

Mikrokator: 0,001 mm

150 mm ± 3 mm

a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let pa˚

denne gjenstanden?

b) Hvor stor er toleransen?

c) Hvilket ma˚leverktøy kan du bruke her for a˚ fa˚

god ma˚lenøyaktighet?

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 11


1.2 MÔlenheter for lengde

Du skal l×re

^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for lengde

Den kinesiske mur ble pa˚begynt rundt 300 f.Kr. Muren er om lag

6 000 000 m lang og ca. 1500 cm høy pa˚ sitt høyeste.

Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter?

Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste ma˚lenhetene for lengde:

mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter

mil km m dm cm mm

10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Vi gjør om fra centimeter til meter ved a˚ dele med 100.

Det er det samme som a˚ flytte kommaet to plasser mot venstre.

Den kinesiske mur er altsa˚ rundt 1500 cm ¼ 1500

m ¼ 15 m høy.

100

Vi gjør om fra meter til kilometer ved a˚ dele med 1000.

Det er det samme som a˚ flytte kommaet tre plasser mot venstre.

Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang.

EKSEMPEL 3

a) Hvor mange meter er 120 cm?

b) Hvor mange meter er 2,7 km?

Løsning:

a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100:

120 cm ¼ 1;2 m

120 cm ¼ 120

m ¼ 1;2 m

100

b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000:

2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m

2;7 km¼2;7 1000 m 2700 m

PREFIKSER

kilo ¼ 1000

hekto ¼ 100

deka ¼ 10

desi ¼ 1

10

centi ¼ 1

100

milli ¼ 1

1000

LENGDEMA˚L

Meter er grunnenheten

for lengde. Hektometer

og dekameter er sv×rt

lite brukt. 1 mil svarer

til 10 km.

OMGJØRING AV ENHETER

NÔr vi regner om fra stÖrre

til mindre mÔlenheter,

bruker vi ofte -tegnet.

Det gjÖr vi fordi stÖrre

enheter gjerne inneholder

usikkerhet.

12 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


EKSEMPEL 4

Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris–

Moskva pa˚ 14 dager. I luftlinje ma˚ler denne distansen om lag 2500 km.

a) Hvor mange meter svarer det til?

b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst?

c) En engelsk mile er 1609 m.

Hvor lang er distansen Paris–Moskva i miles?

Løsning:

a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde:

2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter

b) En mil svarer til 10 km:

2500 km ¼ 2500

mil ¼ 250 mil

10

Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen!

c) Vi gjør om fra meter til miles:

2 500 000

2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles

1609

AKTIVITETER

Oppgave 1.6

Gjør om til meter:

a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm

d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles

Oppgave 1.7

Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent

17 m høy.

a) Hvor høy er monolitten i centimeter?

b) Tommer er et annet lengdema˚l. En tomme svarer

til 2;54 cm. Hvor høy er monolitten omregnet i

tommer?

Oppgave 1.8

Gjør alle ma˚l om til centimeter og regn ut:

a) 1;2 mþ 2;7 dmþ320 cm þ 30 mm

b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm

c) 3;5 tommer þ 2dmþ40 mm

Oppgave 1.9

Gjør alle ma˚l om til meter og regn ut:

a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm

b) 3 dm 4;5 tommer þ 12 cm þ 30 mm

c) 4 km þ 1;243 miles 990 dm

LØPERKONGEN

Mensen Ernst ble fÖdt

i Sogn og Fjordane i1795

og dÖde i Egypt i1843.

PÔ1800-tallet ble han

beundret for sine lÖperprestasjoner

over hele

Europa.

Oppgave 1.10

Obelisken pa˚ Petersplassen i Vatikanet er om

lag 25 m høy.

a) Hvor høy er obelisken omregnet i fot?

(1 fot ¼ 0,3048 m)

b) Hvor høyt er dette kunstverket ma˚lt i tommer?

c) Hvor mange tommer er det i en fot?

Utfordring 1.11

a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst

i gjennomsnitt per dag pa˚ turen Paris–Moskva?

b) Vi antar at han løp 11 timer per dag.

Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer

per time.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 13


1.3 Omkrets ^ hele veien rundt

Du skal l×re

^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer

EKSEMPEL 5

Ola skal legge beslag rundt en treplate med lengden 400 mm og

bredden 220 mm. Hvor mange millimeter beslag trenger han?

Løsning:

Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle

geometriske figurer. Omkretsen blir

O ¼ 2 l þ 2 b ¼ 2 400 mm þ 2 220 mm ¼ 1240 mm

Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest

spektakulære pariserhjul, med en radius pa˚ 21 meter.

Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette

pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For a˚ regne ut det ma˚ vi finne

omkretsen av hjulet.

Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske

figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen

O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m

Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du?

Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg

12 O ¼ 12 132 m ¼ 1584 m 1;6 km

Vi gjør om til kilometer og runder av grovere enn ovenfor.

Tenk gjennom hvorfor.

HUSK

NÔr du skal regne ut

omkretsen av en geometrisk

figur, mÔ alle

lengdene ha samme

enhet!

Rektangel

b

l

O = 2l + 2b

Kvadrat

s s

O = 4s

Parallellogram

s

g

O = 2s + 2g

Trapes

c

d b

a

O = a + b + c + d

Trekant

c

a

O = a + b + c

Sirkel

O = 2pr

14 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

r

b


EKSEMPEL 6

Klara skal sette pa˚ en reim som skal ga˚ rundt to like store hjul,

se figuren. Hvor lang ma˚ reima være?

Løsning:

Klara ser at reima ga˚r langs et rektangel med en halvsirkel i hver ende.

Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Omkretsen av reima

blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og av rektanglets to

langsider:

O ¼ 2 l þ d ¼ 2 360 mm þ 180 mm ¼ 1285;49 mm 1286 mm

Her runder Klara av oppover. Hvorfor det?

Hun tar ikke med kortsidene pa˚ rektanglet i omkretsen av reima.

Studer figuren og finn ut hvorfor!

AKTIVITETER

Oppgave 1.12

Regn ut omkretsen av figurene:

a) 17 m b)

c) 13 cm

e)

g)

26 cm

26 cm

17 m

r = 12,40 dm

×

d = 52 m

13 cm

h)

d)

28 mm

21 mm

19 mm

f) 37 cm

22 cm

r = 35 mm

Oppgave 1.13

Hvor stor er omkretsen av en sirkel med

a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm

c) d ¼ 0,637 km

i)

22 cm

7 dm

180 mm

360 mm

Oppgave 1.14

Regn ut omkretsen i centimeter av et rektangel med

a) b ¼ 20 cm og l ¼ 40 cm

b) b ¼ 30 cm og l ¼ 17 dm

c) b ¼ 4 fot og l ¼ 2 tommer

Oppgave 1.15

Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor lang

reisevei er det mellom to punkter pa˚ ekvator

som ligger nøyaktig pa˚ hver sin side av jorda?

Gi svaret i mil.

Oppgave 1.16

Ernst er nesten ferdig med oppussingen og skal

legge gulvlister i stua. Rommet har form som et

rektangel med lengden 6 m og bredden 4 m. Pa˚ den

ene kortveggen er det en dør med bredden 70 cm

inn til kjøkkenet. Pa˚ den ene langveggen er det en

tilsvarende dør ut mot gangen.

Hvor mange meter listeverk bør Ernst kjøpe?

Utfordring 1.17

En rull med hønsenetting er rullet som en sylinder

med lengden 80 cm og diameter lik 20 cm.

a) Hvor stor er omkretsen av rullen?

b) Omtrent hvor mange runder er nettingen tvinnet

rundt sylinderen na˚r lengden av hønsenettingen

er 5 m?

c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er

i svaret du fikk i b.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 15


1.4 Kappe- og klippelengder

Du skal l×re

^ Ô regne ut klippelengden pÔ plater som skal knekkes

Na˚r vi knekker et arbeidsstykke, strekker det seg i knekkpunktet:

– For plater som er tynnere enn 4 mm, regner vi ut klippelengden etter den

innvendige knekken.

– For plater tykkere enn 4 mm er den innvendige strekken sa˚ stor at vi ma˚

ta den med na˚r vi regner ut klippelengden.

EKSEMPEL 7

Regn ut klippelengden til denne plata, som er 2 mm tykk.

Ma˚lene pa˚ figuren er innvendige ma˚l.

Løsning:

Plata er tynnere enn 4 mm, sa˚ klippelengden er summen

av innvendige ma˚l. Klippelengden blir 30 mm þ 80 mm ¼ 110 mm.

EKSEMPEL 8

Du skal knekke en platebit med tykkelsen t ¼ 5mm i90 vinkel.

Knekkradien R skal være 10 mm, og de utvendige ma˚lene skal

være 80 mm þ 80 mm. Hvor lang ma˚ den totale klippelengden være?

Løsning:

Du ser pa˚ arbeidstegningen at lengden av plata er satt sammen av

to rette partier og en bue. De rette partiene har lengden

80 mm ðt þ RÞ ¼80 mm ð5 þ 10Þ mm ¼ 80 mm 15 mm ¼ 65 mm

Lengden av buen er omkrets

4

¼

2 r

4 ¼

r

2

Som radius i buen bruker du radien som ga˚r midt i plata:

r ¼ 10 mm þ t

5

¼ 10 mm þ

2 2

mm ¼ 10 mm þ 2;5 mm¼ 12;5 mm

12;5 mm

Buens lengde er

¼ 19;6 mm

2

Total klippelengde: 65 mm þ 19;6 mmþ65 mm ¼ 149; 6mm

65 mm 19,6 mm

65 mm

5 mm

30 mm

80 mm

R = 10 mm

80 mm

16 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

80 mm

t

r R

2

5 mm


AKTIVITETER

Oppgave 1.18

100 mm

60 mm

3 mm

Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist pa˚

figuren. Regn ut klippelengden.

Oppgave 1.19

50 mm

70 mm

60 mm

40 mm

2 mm

Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist pa˚

figuren. Regn ut klippelengden.

Oppgave 1.20

R = 10 mm

6 mm

En 6 mm tykk plate skal knekkes 90 med en

innvendig radius pa˚ 10 mm.

a) Hvor stor blir den utvendige radien?

b) Hvor stor blir nøytralradien

(radien midt i plata)?

c) Hvor langt blir buestykket?

Oppgave 1.21

40 mm

R = 10 mm

120 mm

8 mm

En 8 mm tykk plate skal knekkes 90 .

Knekkradien R skal være 10 mm, og de

utvendige ma˚lene skal være 40 mm þ 120 mm.

Regn ut klippelengden.

Oppgave 1.22

Dersom du hadde regnet ut platelengden

i eksempel 8 ved a˚ legge sammen utvendige

ma˚l (80 mm þ 80 mm), hvor mye for lang ville

plata blitt?

Oppgave 1.23

Lengden av en sirkelbue pa˚ 90 er en firedel av

omkretsen.

a) Hvor stor del av omkretsen utgjør 45 ?

b) Hvor stor del av omkretsen utgjør 60 ?

c) Hvor stor del av omkretsen utgjør 120 ?

Utfordring 1.24

Du har samme situasjon som i eksempel 8, men

skal knekke platebiten i 60 vinkel. Platetykkelsen t

er 5 mm, knekkradien R skal være 10 mm, og de

utvendige ma˚lene skal være 80 mm þ 80 mm.

Hvor lang ma˚ den totale klippelengden være?

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 17


1.5 FlatemÔl

Du skal l×re

^ at areal er et mÔl for stÖrrelsen av en flate

^ hvordan du kan regne mellom ulike mÔlenheter for areal

En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate

er bare representert ved lengden og bredden. Til a˚ oppgi størrelsen av

en flate bruker vi betegnelsen areal.

Tabellen viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for areal.

kvadratkilometer

kvadrathektometer

kvadratdekameter

kvadratmeter

kvadratdesimeter

kvadratcentimeter

kvadratmillimeter

km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2

1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001

Na˚r vi skal gjøre om fra m2 til dm 2 ,ma˚ vi gange med 100. Det er det

samme som a˚ flytte kommaet to plasser mot høyre. For hver kolonne

vi flytter oss i tabellen, ma˚ vi altsa˚ flytte kommaet to plasser.

14;25 m2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2

Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved a˚ dele med 1 000 000.

Det er det samme som a˚ flytte kommaet seks plasser mot venstre:

70 000

1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2

EKSEMPEL 9

a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2 ?

b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2 ?

b) En serviett har et areal pa˚ 4dm 2 .

Hvor mange kvadratmeter utgjør det?

d) New York by har et areal pa˚ 787 km 2 .

Gjør om til kvadratmeter.

Løsning:

a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre:

17 400 cm2 ¼ 1;74 m2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre:

560 000 mm2 ¼ 0;56 m2 c) Vi deler pa˚ 100:

4dm 2 ¼ 4

100 m2 ¼ 0;04 m 2

d) Vi ganger med 1 000 000:

787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m2 787 000 000 m2 EUKLIDS DEFINISJONER

^ Et punkt er noe som ikke

kan deles.

^ Ei linje er en lengde uten

bredde.

^ En £ate er noe som bare

har lengde og bredde.

ENHETER FOR AREAL

Kvadratmeter, m 2 ,er

grunnenheten for areal.

Kvadratdekameter og

kvadrathektometer brukes

sv×rt sjelden.

18 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


EKSEMPEL 10

Pentagonbygningen i Arlington i USA er en av verdens største

kontorbygninger. Den dekker 117 000 m2 og har et bruksareal

pa˚ 3 700 000 fot 2 . Parken i midten er ca. 20;2 ma˚l.

a) Hvor mange ma˚l dekker Pentagon?

b) Hvor mange kvadratkilometer er parken i midten?

c) Hvor mange hektar er bruksarealet? ð1 fot ¼ 0;3048 mÞ

Løsning:

a) Vi gjør om fra kvadratmeter til ma˚l:

117 000 m2 ¼ 117 000 m2 : 1000 ¼ 117 m˚al

b) Først gjør vi om fra ma˚l til kvadratmeter:

20;2 m˚al ¼ 20;2 1000 m2 ¼ 20 200 m2 Deretter gjør vi om til kvadratkilometer:

20 200 m2 ¼ 0;202 00 km 2

0;2 km 2

c) Vi gjør om fra kvadratfot til kvadratmeter:

1 fot 2 ¼ 0;3048 m 0;3048 m ¼ 0;0929 m2 3 700 000 fot 2 ¼ 3 700 000 0;0929 m 2 ¼ 343 741 m 2

Sa˚ gjør vi om til hektar:

343 741 m2 ¼ 343 741 m2 : 10 000 34;3 hektar

AKTIVITETER

Oppgave 1.25

Gjør om til kvadratmeter:

a) 180 cm2 b) 2500 mm2 c) 132 dm 2

d) 3;04 km 2

e) 0;2 m˚al f) 250 000 cm 2

Oppgave 1.26

Gjør om til passende enhet, og regn ut.

a) 23 dm 2 þ 14 cm2 þ 0;2 m2 b) 4000 m2 þ 0;3 km 2 þ 16 m˚al

c) 5 hektar 17;2 m˚al 7840 m2 Oppgave 1.27

Arealet av et A4-ark er 625 cm 2 .

Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter?

STORE FLATER

1m˚al ¼ 1000 m 2

1hektar¼ 10 000 m 2

Oppgave 1.28

Arealet av et lite landomra˚de, for eksempel

en hustomt, blir ofte oppgitt i ma˚l.

Ett ma˚l svarer til 1000 m2 .

a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt

pa˚ 4,5 ma˚l?

b) Hvor mange ma˚l er et landomra˚de pa˚ 6,3 km2 ?

Oppgave 1.29

Kunstneren David A˚ berg fra Helsingborg har malt

et maleri med et areal pa˚ hele 4000 m 2 . Dette er

verdens største maleri malt pa˚ lerret av en kunstner.

Hvor mange ma˚l er arealet av maleriet?

Oppgave 1.30

En plate pa˚ 1200 mm 2000 mm har arealet

2 400 000 mm 2 . Gjør om til en enhet som gjør det

lettere a˚ forsta˚ hvor stor plata er.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 19


1.6 Areal av enkle figurer

Du skal l×re

^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer

Trekanter, firkanter og sirkler er eksempler pa˚ enkle geometriske figurer

som har vært brukt fra gammelt av. Tabellen i margen viser formler

for arealet av noen enkle geometriske figurer.

For et kvadrat med side lik 5 cm blir arealet

A ¼ s s ¼ s 2 ¼ 5cm 5cm¼ 25 cm 2

For et trapes der a ¼ 4cm,b ¼ 5cm og h ¼ 3 cm, blir arealet

A ¼

EKSEMPEL 11

ða þ bÞ h

2

¼

ð4cmþ 5cmÞ 3cm

2

¼ 13;5 cm 2

Et salongbord er formet som et rektangel med lengden 2;4 mog

bredden 130 cm.

a) Hvor stort er arealet av bordflata?

b) Bordet er formet som en kasse med høyden 50 cm.

Hvor stor er overflata av bordet?

Løsning:

a) For a˚ fa˚ samme enhet pa˚ lengden og bredden av bordet gjør vi om

bredden fra centimeter til meter:

130 cm ¼ 1;3 m

A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m2 b) Først gjør vi om fra centimeter til meter: 50 cm ¼ 0;5 m.

Deretter bretter vi ut kassa:

2,4 m

130 cm

50 cm

Langside: 2;4 m 0;5 m¼ 1;2 m 2

Kortside: 1;3 m 0;5 m¼ 0;65 m 2

Overflata av bordet: topp þ 2 langside þ 2 kortside ¼

3;12 m 2 þ 2 1;2 m 2 þ 2 0;65 m 2 ¼ 6;82 m 2

Rektangel

b

l

A = l ⋅ b

Kvadrat

s s

A = s ⋅ s = s 2

Parallellogram

h

g

A = g ⋅ h

Trapes

b

h

a

(a + b) ⋅ h

A =

2

Trekant

h

g

g ⋅ h

A =

2

Sirkel

r

A = π ⋅ r 2

HUSK

NÔr du skal regne ut arealet

av en geometrisk figur, mÔ

alle lengdene ha samme

enhet!

20 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


EKSEMPEL 12

a) En trekant har grunnlinje 1 dm og høyde 6 cm.

Hvor stort blir arealet av trekanten?

b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen?

Løsning:

a) – Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja:

1dm¼10 cm.

– Vi bruker formelen for arealet av en trekant:

A ¼

g h

2

¼ 10 cm 6cm

2

¼ 30 cm 2

b) – Radien i en sirkel er halvparten av diameteren:

1;4 dm

¼ 0;7 dm

2

– Vi bruker formelen for arealet av en sirkel:

AKTIVITETER

Oppgave 1.31

Regn ut arealene:

a)

d)

26 cm

r = 15 cm

×

13 cm

A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmÞ 2 ¼ 1;5394 dm 2

26 cm

b)

13 cm

d = 2 dm

e)

c)

48 cm

17 m

Oppgave 1.32

Regn ut arealet av en trekant med grunnlinja 2 dm

og høyden 5 cm.

Oppgave 1.33

Et A4-ark med arealet 625 cm2 kan maksimalt

brettes seks ganger. (Bare prøv!) Regn ut arealet av

et A4-ark som er brettet seks ganger.

17 m

23 cm

1;5 dm 2

Oppgave 1.34

En metallplate har form som et trapes med

ma˚l som vist pa˚ figuren. Hvor mange kvadratmeter

er arealet av plata?

6 dm

55 cm

120 cm

6 cm

1,4 dm

1 dm

Oppgave 1.35

Ernst skal bruke plateknekking for a˚ lage

en boks der grunnflata er et kvadrat med sider

pa˚ 0;3 m. Hvor stort blir arealet av plata na˚r boksen

skal være 15 cm høy? (Boksen skal ikke ha lokk,

og du trenger ikke ta hensyn til strekk i materialet.)

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 21


1.7 Areal av sammensatte figurer

Du skal l×re

^ Ô regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer

Nye Bislett Stadion er et eksempel pa˚ en sammensatt geometrisk figur.

Na˚r vi skal regne ut arealet av en sammensatt geometrisk figur, ma˚ vi

først finne ut hvilke delfigurer den er satt sammen av. Sa˚ regner vi ut

arealene av delfigurene hver for seg. Deretter ma˚ vi studere figuren nøye.

Noen ganger ma˚ vi legge sammen arealene, andre ganger kan det være

lurt a˚ trekke fra.

EKSEMPEL 13

Svært forenklet kan vi si at arenaen pa˚ Bislett Stadion omfatter

et rektangel med lengden 105 m og bredden 90 m pluss en halvsirkel

med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen?

Løsning:

Formelen for arealet av arenaen blir

A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel

¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2

Vi setter inn i formelen ovenfor:

A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 45 2 ¼ 15 811;725

Arealet av arenaen er om lag 15 800 m 2 .

Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor?

REGNING UTEN ENHETER

NÔrduarbeidermedlitt

stÖrre regnestykker, kan

det ofte v×re greit Ô slÖyfe

enhetene underveis, som

i eksempel13. Men det er

viktig at du vet hvilken

enhetsvaretskalha!

45 m

105 m 105 m

22 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

90 m

90 m

45 m


EKSEMPEL 14

Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut.

Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske

flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm.

Hvor stort areal dekker det hvite omra˚det i det japanske

flagget?

Løsning:

Vi finner først det totale arealet av flagget:

A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2

Sa˚ finner vi arealet av sola i midten:

A ¼ r 2 ¼

24

2 cm

2

¼ ð12 cmÞ 2

Arealet av det hvite omra˚det i det japanske flagget blir

A ¼ 2400 cm 2

452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm 2

AKTIVITETER

Oppgave 1.36

Regn ut arealet av disse flatene:

a)

8 cm

b) 45 mm

d)

f)

25 mm

0,8 dm

10 cm

6 cm

4 cm

55 mm

7 cm

6 cm

3 cm

17 cm

c)

e)

20 cm

3 dm

93 mm

30 cm

45 cm

20 cm

30 cm

16 cm

20 cm

20 cm

452;389 cm 2

1948 cm 2

452;4 cm 2

Oppgave 1.37

En plate har ma˚l og form som vist pa˚ figuren. Regn

ut arealet av plata.

90 cm

200 cm

18 dm

Oppgave 1.38

Lengdeforholdene i det norske flagget er som vist

pa˚ figuren. Finn det samlede arealet av de hvite og

de bla˚ omra˚dene i flagget. Alle ma˚l er i desimeter.

6

1

2

1

6

60 cm

6 1 2 1 12

Utfordring 1.39

I en likesidet regulær sekskant er alle

sidene 8 cm lange. Tegn figur og regn ut

arealet av sekskanten.

40 cm

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 23


1.8 MÔlenheter for massetetthet, vekt og volum

Du skal l×re

^ hvordan vi gjÖr om mellom ulike mÔlenheter for vekt

^ hvordan vi gjÖr om mellom ulike mÔlenheter for volum

Vi har to like store plater, den ene av sta˚l og den andre av aluminium.

Sta˚lplata er ca. tre ganger sa˚ tung som aluminiumsplata fordi sta˚l har

ca. tre ganger sa˚ høy massetetthet som aluminium. Massetettheten sier

hvor mye vekt et materiale har per volumenhet, for eksempel hvor

mange kilogram et materiale veier per kubikkdesimeter.

Metallene kan deles inn i lettmetaller og tungmetaller, og skillet ga˚r

ved 5 kg=dm 3 .

1,7 2,7 5,0 6,8 7,2 8,9

Magnesium Aluminium

Krom Stål Kopper

Støpejern Nikkel

EKSEMPEL 15

Lettmetaller Tungmetaller

Massetettheten til aluminium er om lag 2;7 kg=dm 3 .

Hvor mye veier en aluminiumsplate med et volum pa˚ 10 dm 3 ?

Løsning:

Vekt av plata ¼ % volum ¼ 2;7 kg=dm 3 10 dm 3 ¼ 27 kg

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for vekt:

kilogram hektogram dekagram gram desigram centigram milligram

kg hg g dg cg mg

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

For a˚ gjøre om fra gram til milligram ma˚ vi gange med 1000.

Vi flytter altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som

a˚ ga˚ tre kolonner til høyre:

40 g ¼ 40 1000 mg ¼ 40 000 mg

For a˚ gjøre om fra gram til kilogram ma˚ vi dele pa˚ 1000. Vi flytter

altsa˚ kommaet tre plasser mot venstre. Det er det samme som a˚ ga˚

tre kolonner til venstre:

600 g ¼ 600 : 1000 kg ¼ 0;6 kg

MASSETETTHET (%),

VEKT OG VOLUM

% ¼ vekt

volum

kg kg

¼ ¼ 3

dm liter

vekt ¼ % volum ð¼ kgÞ

volum ¼ vekt

% ð¼ literÞ

ENHETER FOR VEKT

Gram er grunnenheten for

vekt. De mest brukte vektenhetene

i Norge er gram,

kilogram og milligram.

1tonnsvarer til1000kg.

24 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


EKSEMPEL 16

a) Hvor mange gram er 27 kg?

b) En kopperplate pa˚ 10 dm 3 veier 89 000 gram.

Gjør om til kilogram.

Løsning:

a) 27 kg ¼ 27 1000 g 2700 g

b) 89 000 g ¼ 89 000 : 1000 kg ¼ 89 kg

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike ma˚lenheter for

volum:

hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter

hl l dl cl ml

100 10 1 0,1 0,01 0,001

For a˚ gjøre om fra liter til milliliter ma˚ vi gange med 1000. Vi flytter

altsa˚ kommaet tre plasser mot høyre eller ga˚r tre kolonner til høyre:

2 l ¼ 2 1000 ml ¼ 2000 ml

Vi gjør om fra liter til hektoliter slik:

20 l ¼ 20

hl ¼ 0;20 hl

100

AKTIVITETER

Oppgave 1.4 0

Gjør om til gram:

a) 2,670 kg b) 3,75 hg

c) 27,4 mg d) 14 cg

e) 120 mg f) 1,37 tonn

Oppgave 1.41

Gjør om til liter:

a) 2,670 dl b) 0,34 hl

c) 7,3 cl d) 207 ml

e) 12,137 hl f) 1,04 kubikk

Oppgave 1.42

Gjør om til en passende enhet og regn ut:

a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4clþ740 ml

b) 210 mg 0;2 gþ 50 cg 0;3 dg

Oppgave 1.43

Ranger fra største til minste verdi:

a) 4551 mg, 25 cg, 5,21 g

b) 0,066 l, 6 dl, 70 ml

ENHETER FOR VOLUM (HULMA˚L)

Liter er grunnenheten for volum.

Dekaliter er sv×rt lite brukt.

1000 liter kaller vi ofte ßen

kubikký.

Oppgave 1.44

Hva veier mest:

a) en aluminiumsplate pa˚ 20 dm 3 eller en

jernplate pa˚ 0;5 dm 3

b) en kopperplate pa˚ 17 dm 3 eller en jernplate

pa˚ 20 dm 3

Oppgave 1.45

Ola har fisket 1;3 hektoliter reker. Han selger

rekene for 30 kr per liter. Hvor mye tjener han?

Miniprosjekt 1.46

Hvor mange liter luft rommer en fotball?

Hjelpemidler: vannbalje og literma˚l

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 25


1.9 Megastore og mikroskopiske tall

Du skal l×re

^ om mÔlenheter i elektroteknikken

^ Ô skrive store og smÔ verdier pÔ den formen som er vanlig i elektroteknikk

Ma˚linger og beregninger innenfor elektroteknikken fører ofte til at vi

arbeider med svært sma˚ eller svært store tall. For a˚ fa˚ til det ma˚ vi bruke

tierpotenser eller prefikser na˚r vi skal skrive verdiene. Før vi ga˚r inn pa˚

elektroteknikken, skal vi ta for oss to eksempler med tierpotenser:

10 6 ¼ 10 10 10 10 10 10 ¼ 1 000 000

Vi ser at 106 er et ettall med seks nuller etter.

10 6 ¼ 1

1

¼

¼ 0;000 001

106 10 10 10 10 10 10

Her kommer ettallet pa˚ den sjette plassen bak komma. Effekter kan

ha størrelser helt opp i terawatt (TW). Nedenfor har vi illustrert

denne størrelsen:

1 terawatt ¼ 10 12 W ¼ 1 000 000 000 000 W

Kondensatorer kan være i størrelser fra femtofarad (fF) og oppover.

Vi illustrerer ogsa˚ dette tallet:

1 femtofarad ¼ 10 15 F ¼ 0;000 000 000 000 001 F

Det er vanlig a˚ skrive enhetene i elektroteknikk enten med prefikser

som vist i margen, eller med tiereksponenter som svarer til prefiksene.

EKSEMPEL 17

Energibruken av elektrisitet blir ma˚lt i wattimer (Wh). Et a˚r

var det norske elektrisitetsforbruket 212 000 000 000 000 Wh.

Skriv dette forbruket ba˚de som tierpotens og med prefiks.

Løsning:

212 000 000 000 000 Wh ¼ 212 10 12 Wh ¼ 212 TWh

EKSEMPEL 18

En vanlig størrelse pa˚ kondensatorer er 10 mF. Skriv denne verdien

først som tiereksponent og deretter uten prefiks og eksponent.

Løsning:

10 mF ¼ 10 10 6 F ¼ 0;000 01 F

10 µF

PREFIKSER

tera ¼ T ¼ 10 12

giga ¼ G ¼ 10 9

mega ¼ M ¼ 10 6

kilo ¼ k ¼ 10 3

milli ¼ m ¼ 10 3

mikro ¼ m ¼ 10 6

nano ¼ n ¼ 10 9

piko ¼ p ¼ 10 12

femto ¼ f ¼ 10 15

26 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


Strøm kan variere fra milliampere (mA) til megaampere (MA). Legg

merke til forskjellen pa˚ stor og liten m. En feil her kan fa˚ katastrofale

konsekvenser!

EKSEMPEL 19

Hvor mange ganger mer er 12 MA enn 12 mA?

Løsning:

12 MA 12 000 A

¼ ¼ 1 000 000 000

12 mA 0;012 A

12 MA er en milliard ganger mer enn 12 mA.

AKTIVITETER

Oppgave 1.47

Skriv opp resistansen til motstanden pa˚ figuren

uten prefiks

a) som tierpotens b) som vanlig tall

120 MΩ

Oppgave 1.4 8

Skriv opp induktansen til spolen pa˚ figuren

a) som tierpotens b) med prefiks

0.003 H

Oppgave 1.49

Skriv opp kapasiteten til kondensatoren pa˚ figuren

uten prefiks

a) som tierpotens b) som vanlig tall

120 pF

Oppgave 1.50

a) Hvor mange ganger mer er 120 mF enn 240 nF?

b) Gjør om 12 pF til nanofarad (nF).

c) Gjør om 30 nH til millihenry (mH).

d) Hvor mange kiloohm (k ) er 240 G ?

e) Gjør om 220 til megaohm (M ).

Oppgave 1.51

a) Fem motstander pa˚ 270 k blir koplet

i serie. Hvor mange megaohm blir den totale

resistansen?

b) A˚ tte kondensatorer pa˚ 300 pF blir koplet

i parallell. (Da ma˚ du summere kondensatorverdiene.)

Hvor mange nanofarad blir den

totale kapasitansen?

c) 14 motstander pa˚ 910 k blir koplet i serie.

Hvor mange gigaohm blir den totale resistansen?

Oppgave 1.52

Inngangssignalet pa˚ en forsterker ma˚ler 50 mV.

Pa˚ utgangen er det 38 V. Hvor mange ganger

blir spenningen forsterket?

Utfordring 1.53

En norsk familie har et a˚r en energibruk pa˚

25 000 kWh.

a) Hvor stort blir dette forbruket ma˚lt

i megawattimer (MWh)?

b) Hvor mange wattimer (Wh) bruker familien

hver dag?

Utfordring 1.54

Innenfor elektronikken er det vanlig a˚ arbeide

med kiloohm (k ) og milliampere (mA).

Forklar hvorfor dette blir ekstra enkelt na˚r vi

bruker Ohms lov ðU ¼ R IÞ.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 27


1.10 Sammensatt eksempel

EKSEMPEL 20

Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et

tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel.

1 2

1,6 dm 16 cm 0,8 dm

16 cm

a) Regn ut arealet og omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis

kvadratcentimeter og centimeter som enheter.

b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter og omkretsen av

figur 2 til meter.

Løsning:

a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene:

1;6 dm¼16 cm og 0;8 dm¼8cm Deretter regner vi ut arealet og omkretsen av figur 1:

A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm

Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det

klipt bort et omra˚de som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm.

Til sammen er det altsa˚ klipt bort et omra˚de tilsvarende en hel

sirkel med radius 4 cm.

Arealet av figur 2 blir dermed

A ¼ Akvadrat Asirkel ¼ 16 16 42 205;73 205;7

Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 205,7 cm 2 .

Omkretsen av figur 2 besta˚r av fire sider med lengde 8 cm og

fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til

sammen en hel sirkel.

Omkretsen av figur 2 blir da

O ¼ 4 8cmþ2 4cm 57;13 cm 57;1 cm

Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57,1 cm.

HUSK

NÔr du skal regne ut

arealet og omkretsen av

geometriske figurer, mÔ

alle lengdene ha samme

enhet!

REGNING UTEN ENHETER

NÔrduarbeidermedlitt

stÖrre regnestykker,

kan det ofte v×re greit Ô

slÖyfe enhetene underveis.

Men det er viktig at

du vet hvilken enhet

svaret skal ha!

28 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


) Na˚r vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter,

ma˚ vi flytte kommaet fire plasser mot venstre.

Det er det samme som a˚ dele pa˚ 10 000:

256 cm 2 ¼ 0;0256 m 2 256

eller

10 000 m2 ¼ 0;0256 m 2

Na˚r vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter,

ma˚ vi flytte kommaet to plasser mot venstre.

Det er det samme som a˚ dele pa˚ 100:

57;1 cm¼0;571 m eller 57;1

m ¼ 0;571 m

100

AKTIVITETER

Oppgave 1.55

Regn ut arealet og omkretsen av figurene:

a)

12 m

12 m

b)

6 m

12 m

6 m

12 m

Oppgave 1.56

CERN («Conseil Europèen pour la Recherche

Nuclèaire») er et intereuropeisk anlegg for

partikkel- og kjernefysikkforskning.

Den underjordiske LEP-tunnelen («Large Electron

Positron collider») har tilnærmet sirkelform med

en radius pa˚ om lag 4,3 km.

SPS-tunnelen (protonakseleratoren) har en radius

pa˚ om lag 1,1 km.

a) Hvor lang er radien i LEP-tunnelen ma˚lt

i meter?

b) Regn ut lengdene av begge tunnelene.

c) Hvor stort er arealet av landomra˚det som

ligger innenfor LEP-tunnelen, men utenfor

SPS-tunnelen pa˚ bildet?

d) I LEP-tunnelen blir partikler akselerert opp

til en fart nær lysfarten pa˚ 300 000 km=s.

Dersom en partikkel har en fart pa˚

290 000 km=s, hvor mange runder

i LEP-tunnelen klarer den pa˚ ett sekund?

Nettoppgave 1.57

Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av

Peterskirken i Vatikanet.

Under begravelsen til pave Johannes Paul 2.

i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt

300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod

i gatene omkring.

a) Klarer du ut fra dette a˚ gjøre et overslag over

arealet av Petersplassen?

b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets

Internett-adresse er www.vatican.va) og prøv

a˚ finne Petersplassens virkelige areal.

Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a?

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 29


SAMMENDRAG

Avrundingsregler

Na˚r vi runder av et desimaltall til nærmeste

hele tall, ser vi pa˚ første desimal. Hvis denne

desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover.

Hvis ikke, runder vi av nedover. Dersom vi skal

runde av til en desimal, ser vi pa˚ andre desimal

pa˚ samme ma˚te og sa˚ videre.

Tallet 6,2736 kan vi dermed runde av til:

6 6;3 6;27 6;274

Pref|kser

tera ¼ 1012 kilo ¼ 1000 desi ¼ 1

10

giga ¼ 109 hekto ¼ 100 centi ¼ 1

100

mega ¼ 106 deka ¼ 10 milli ¼ 1

1000

MÔleenheter for lengde

Meter (m) er grunnenheten for lengde.

Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:

. 10 . 10 . 10

m dm cm mm

: 10 : 10 : 10

mikro ¼ 10 6

nano ¼ 10 9

pico ¼ 10 12

femto ¼ 10 15

Vi gjør om fra m til cm ved a˚ gange med 100.

Dette tilsvarer a˚ flytte kommaet 2 plasser mot høyre:

6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm

Omkrets

Rektangel Kvadrat Parallellogram

b

l

s

s

s

g

O = 2l + 2b O = 4s O = 2s + 2g

Trapes Trekant Sirkel

d

c

a

b c b

r

a

O = a + b + c + d O = a + b + c O = 2pr

Kappe- og klipplengder

Na˚r du knekker plater som er tynnere enn 4 mm

regner du ut klipplengden etter innvendig knekk. Na˚r

platen er tykkere enn 4 mm er den innvendige

strekken sa˚ stor at den ma˚ regnes med na˚r du

beregner klipplengde.

Samsvar mellom enhetene

Na˚r du skal regne ut omkretsen eller arealet av

en geometrisk figur, ma˚ alle lengder du bruker

være oppgitt med samme enhet.

MÔleenheter for areal

Kvadratmeter ðm2Þ er grunnenheten for areal.

Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:

. 100 . 100 . 100

m 2 dm 2 cm 2 mm 2

Areal av enkle f|gurer

: 100 : 100 : 100

Rektangel Kvadrat Parallellogram

b

l

A = l ⋅ b A = s ⋅ s = s 2 A = g ⋅ h

Trapes Trekant Sirkel

h

b

a

A = π ⋅ r 2

s h

s g

h g

(a + b) ⋅ h

A =

2

r

g ⋅ h

A =

2

MÔleenheter for vekt

Gram ðgÞ er grunnenheten for vekt.

Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:

. 10 . 10 . 10

g dg cg mg

: 10 : 10 : 10

MÔleenheter for volum

Liter ðlÞ er grunnenheten for volum.

Vi kan regne mellom de ulike enhetene slik:

. 10 . 10 . 10

l dl cl ml

: 10 : 10 : 10

Massetetthet ( )

Massetettheten sier hvor mye vekt et materiale

har per volumenhet, f.eks. kg=dm 3 .

¼ vekt

volum

30 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


TEST DEG SELV

Test 1. 5 8

Rund av til én desimal:

a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67

Rund av til to desimaler:

d) 4,234 e) 13,456 f) 19,554

Test 1. 59

En gjenstand skal ha lengden 50 0;2.

a) Hva er det største og det minste tillatte

ma˚let pa˚ denne gjenstanden?

b) Hvor stor er toleransen?

Test 1. 6 0

Gjør om til meter og regn ut:

70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ600 mm

Test 1. 61

Ranger lengdene fra største til minste verdi:

12 dm, 119 cm, 1,21 m, 998 mm

Test 1. 62

Gjør om til gram:

a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg

Gjør om til liter:

d) 200 ml e) 2 dl f) 32 cl

Test 1. 63

Gjør om til en passende enhet og regn ut:

a) 2 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml

b) 0;3 kgþ200 g þ 1302 g þ 20 hg

Test 1. 6 4

Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med

a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5cm

Test 1. 65

Regn ut arealet og omkretsen av et rektangel med

a) b ¼ 10 cm og l ¼ 50 cm

b) b ¼ 2m ogl ¼ 5m

Test 1. 6 6

Gjør om til kvadratmeter:

a) 700 cm2 b) 4018 mm2 c) 2 km 2

Test 1. 67

Regn ut arealet og omkretsen av figurene:

a) 15 cm

b)

20 cm

0,8 dm

Test 1. 6 8

Regn ut klippelengdene til disse platene:

a)

b)

20 mm

50 mm

2 mm

20 mm

R = 8 mm

50 mm

Test 1. 69

a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje

lik 3 cm og høyden 13 cm.

b) Regn ut arealet av et kvadrat med side lik 33 m.

Test 1.70

Regn ut arealene av de røde feltene pa˚ figurene:

a)

b)

10 cm

10 cm

10 cm

10 cm

Test 1.71

En kondensator har størrelsen 0;000 012 F.

Skriv verdien som tiereksponent og med prefiks.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 31

6 mm


Òvingsoppgaver

1.1 SÔnn cirka ^ avrunding, overslag og nÖyaktighet

A1.72

Rund av til nærmeste hele tall:

a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877

d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459

A1.73

Rund av til én desimal:

a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677

d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252

A1.74

Rund av til to desimaler:

a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555

d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99

A1.75

10 +

– 0,5

a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let

pa˚ denne gjenstanden?

b) Hvor stor er toleransen?

c) Hvilket ma˚leverktøy kan du bruke her?

A1.76

150 +

– 0,3

a) Hva er det største og det minste tillatte ma˚let

pa˚ denne gjenstanden?

b) Hvor stor er toleransen?

c) Hvilket ma˚leverktøy kan du bruke her?

A1.77

Du skal designe en reklameplakat for et firma

som leier ut dykkerutstyr. Du har fa˚tt denne

figuren til ra˚dighet:

Plakaten skal være 1;5 m 1;5 m. Bruk linjal og

regn ut hvor mange ganger bildet ma˚ forstørres.

B1.78

Du har vært pa˚ kunstauksjon og kjøpt bildet

«Taj Mahal». Bildet skal rammes inn, og det kan

gjøres pa˚ to ulike ma˚ter. Studer figurene nedenfor:

1 2

Størrelsen pa˚ bildet, inkludert passe-partout, er

42,53 cm 73,42 cm. Ramma skal være 4,0 cm bred.

a) Gjør et overslag og regn ut hvor mange

centimeter rammeverk du ma˚ bestille dersom

du velger innrammingsmetode 1.

b) Hvilken av de to innrammingsmetodene krever

mest rammeverk?

32 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


B1.79

Ernst har fa˚tt sommerjobb pa˚ et lakseoppdrettsanlegg

og skal finne ut hvor mye laks det er

i anlegget. Han merker 80 lakser og slipper dem ut

igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser,

seks av dem er merket.

a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette

oppdrettsanlegget?

b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg

fram til?

1.2 MÔlenheter for lengde

A1.80

Gjør om til centimeter:

a) 112 mm b) 0,457 m

c) 12,5 km d) 0,50 mm

e) 0,0034 dm

A1.81

Gjør om til desimeter:

a) 112 mm b) 0,457 m

c) 12,5 cm d) 430,50 mm

e) 0,0034 km

A1.82

Gjør om til en passende enhet og regn ut:

a) 0;034 km 20 m þ 2 tommer 120 dm

b) 12 cm þ 1 fot 190 mm þ 1dm

c) 0;03 mil þ 1km 700 m 5000 dm

d) 1 mm þ 1cmþ1dm 0;110 m

ð1 tomme ¼ 2;54 cm, 1 fot ¼ 0;3048 mÞ

A1.83

Johan og Eva gikk mange skiturer i pa˚skeuka og førte

opp følgende turer pa˚ skikortene sine:

Eva Johan

Mandag: 3;7 km

Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km

Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m

Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil

Fredag: 3450 m

Hvem av de to gikk lengst pa˚ ski i pa˚sken?

A1.84

Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt i 1937,

er 2,7 km lang.

a) Finn lengden av brua i meter og i millimeter.

b) Hvor lang er brua i miles?

(1 miles ¼ 1609 m)

c) Bruta˚rnene er 227 m høye.

Hvor mange tommer svarer det til?

d) Bruas hovedspenn er 1280 m.

Gjør om til fot.

A1.85

Ranger lengdene fra største til minste verdi:

a) 6 m, 2 tommer, 19,8 fot

b) 1 mile, 1,608 km, 530 fot

c) 0,03 mil, 299 m, 0,185 miles

d) 100 m, 33 tommer, 0,06 miles, 329 fot

B1.86

Tekst skrevet med skrifttypen Times New Roman

i 12 punkter har en linjeavstand pa˚ ca. 0,5 cm

per linje.

a) En tettskrevet tekst med Times New Roman

omfatter 45 linjer. Hvor mange centimeter av

arkets høyde ga˚r med til tekst?

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 33


) Eirin har fa˚tt utlevert en artikkel hun mener

ma˚ være minst en halv kilometer lang. Hvor

mange sider er i sa˚ fall artikkelen pa˚?

(Artikkelen er skrevet pa˚ A4-ark i 12 punkts

Times New Roman med vanlig linjeavstand.)

c) Eirin overdrev litt – artikkelen er bare pa˚ 98 sider.

Hvor mange meter lang er den da?

B1.87

Et lysa˚r er den avstanden lyset ga˚r i løpet av ett a˚r.

Lysets fart er 300 000 km=s.

a) Hvor mange kilometer er et lysa˚r?

b) Avstanden mellom jorda og sola er

150 000 000 km. Hvor mange ganger lengre

enn dette er et lysa˚r?

1.3 Omkrets ^ hele veien rundt

A1.88

Regn ut omkretsen av et rektangel der

a) b ¼ 10 cm og l ¼ 2dm

b) b ¼ 2m ogl ¼ 500 cm

c) b ¼ 240 mm og l ¼ 0,8 m

A1.89

Regn ut omkretsen av en sirkel der

a) r ¼ 5cm b) r ¼ 8,5 dm

c) d ¼ 10 mm

A1.90

Regn ut omkretsen av figurene:

a)

b)

5 cm

5 cm

5 cm

c)

d)

e)

f)

5,5 cm 4,0 cm

5,0 cm

12,3 mm

5,0 cm

123 mm

g) 45 m

h)

45 m

45 m 500 dm

250 dm

6540 cm

A1.91

Ma˚l og regn ut omkretsen av

a) tavla

b) en dataskjerm

c) en pult

d) toppen av en kopp

e) en ska˚l

f) gulvet i klasserommet

6,5 cm

34 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


A1.92

Vi skal dekke et bord til 20 personer.

Hver person trenger 60 cm bordplass.

a) Hvor mange meter bordplass trengs det?

b) Vi har to bord som er 3 meter lange og 1 meter

brede. Hvor mange personer fa˚r vi plass til rundt

bordene na˚r de sta˚r fritt?

c) Borddukene skal være 40 % større enn bordet

i bredden og 13 % lengre enn bordet.

Hvor lange og hvor brede blir hver av dukene?

d) Hvor mange kvadratmeter ma˚ler dukene

til sammen?

A1.93

Du har bestemt deg for a˚ prøve ut pariserhjulet til

Tummelumsk. Radien i hjulet er 21 m.

a) Hvor mange meter har du beveget deg etter

30 runder med hjulet?

London Eye er et av verdens største pariserhjul

med en diameter pa˚ rundt 130 m.

b) Hvor langt har du beveget deg etter sju runder

med dette hjulet?

c) Hvor mange runder med London Eye tilsvarer

30 runder med Tummelumsk-hjulet?

B1.94

Regn ut omkretsen av figurene:

a)

b)

20 cm

40 cm

B1.95

Et avlangt bord er formet som et rektangel med

en halvsirkel i hver ende. Bordet er 2 m langt og

1 m bredt.

2 m

1 m

Hvor mange personer er det plass til rundt bordet

na˚r hver person skal ha 60 cm?

B1.96

Regn ut omkretsen av figurene:

a)

b)

5 cm

c)

6 cm

12 cm

d)

2 dm

2 dm 1 dm

7 cm

1 dm

B1.97

Big Ben er navnet pa˚ uret pa˚ parlamentsbygningen

i London. Minuttviseren i uret er omtrent 4 m lang.

Hvor langt beveger spissen av minuttviseren seg

i løpet av 4 minutter?

1.4 Kappe- og klippelengder

A1.98

43 mm

57 mm

3 mm

Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist pa˚

figuren. Regn ut klippelengden.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 35


A1.99

18 mm

42 mm

2 mm

Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist pa˚

figuren. Regn ut klippelengden.

A1.100

R = 14 mm

En 8 mm tykk plate skal knekkes 90 med en

innvendig radius pa˚ 14 mm.

a) Hvor stor blir den utvendige radien?

b) Hvor stor blir nøytralradien (radien midt i plata)?

c) Hvor langt blir buestykket?

A1.101

40 mm

R = 8 mm

40 mm

En 10 mm tykk plate skal knekkes 90 . Knekkradien

R skal være 8 mm, og de utvendige ma˚lene skal

være 40 mm þ 40 mm. Regn ut klippelengden.

A1.102

50 mm

R = 8 mm

100 mm

8 mm

10 mm

8 mm

En 8 mm tykk plate skal knekkes 90 . Knekkradien

R skal være 8 mm, og de utvendige

ma˚lene skal være 50 mm þ 100 mm.

Regn ut klippelengden.

B1.103

24

Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist pa˚

figuren. Regn ut klippelengden.

B1.104

14

8

7 7

Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist pa˚

figuren. Regn ut klippelengden.

B1.105

100 mm

21

R = 10 mm

100 mm

En 6 mm tykk plate skal knekkes 90 . Knekkradien R

skal være 10 mm, og de utvendige ma˚lene skal

være 100 mm þ 100 mm.

a) Regn ut klippelengden.

b) Dersom du hadde regnet ut platelengden

ved a˚ legge sammen utvendige ma˚l

(100 mm þ 100 mm), hvor mye for lang

ville plata blitt?

B1.106

Lengden av en bue pa˚ 90 er en firedel av omkretsen.

a) Hvor stor del av omkretsen utgjør 15 ?

b) Hvor stor del av omkretsen utgjør 30 ?

c) Hvor stor del av omkretsen utgjør 135 ?

36 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER

10 mm


1.5 FlatemÔl

A 1.107

Gjør om til kvadratmeter:

a) 6000 mm2 b) 324 cm2 c) 0,034 km 2

d) 1,35 dm 2

e) 6700 cm2 f) 0,405 cm2 A1.108

Gjør om til kvadratcentimeter:

a) 3000 mm2 b) 0;30 m2 c) 0;034 dm 2

d) 1;35 dm 2

e) 6700 mm 2 f) 0;0405 m 2

A1.109

Gjør om til kvadratdesimeter:

a) 7000 mm2 b) 0;20 m2 c) 0;040 m 2 d) 10;35 cm 2

e) 68 000 mm 2 f) 0;45 m 2

A1.110

Gjør om til samme enhet og regn ut:

a) 67 dm 2 þ 398 cm2 þ 2;1 m2 b) 380 m2 þ 0;4 km 2 þ 64;8 m˚al

c) 64 hektar 13;5 m˚al 3400 m2 d) 64 m 2 þ 13 675 mm 2 3780 cm 2

A 1.111

a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt pa˚ 18 ma˚l?

b) Johan eier en kvadratisk tomt med side lik

1750 m. Sofie har en tomt pa˚ 2km 2 .

Hvem eier mest land av de to?

c) Ka˚re eier tre tomter pa˚ 2000 m2 ,4ma˚l og

2,5 km 2 . Hvor mange kvadratmeter land eier

han til sammen?

A1.112

Oslo kommune har et areal pa˚ ca. 454 km 2 .

a) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?

b) Gjør om til enten ma˚l eller hektar.

Hva er mest praktisk?

A1.113

En plate har disse ma˚lene:

63 mm

165 mm

a) Regn ut arealet av plata i kvadratmillimeter.

b) Hvor mange kvadratmeter svarer det til?

B1.114

Inch (in) eller tomme er et gammelt britisk

lengdema˚l. 1 tomme svarer til 2,54 cm.

Hvor stort areal har plata i forrige oppgave ma˚lt

i kvadrattommer ðin 2 Þ?

1.6 Areal av enkle figurer

A1.115

Regn ut arealet av figurene i kvadratcentimeter:

a)

b)

c)

e)

15 cm

1 dm

25 cm

25 dm

200 cm

5 m

f) 1 fot

15 in

1,1 dm

d)

Husk: 1 inch ¼ 1 tomme ¼ 2;54 cm,

1 fot ¼ 0,3048 m.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 37

1 in

1 in

1 in


A1.116

Regn ut arealet av et rektangel med

a) lengde 23 cm og bredde 17 cm

b) lengde 0;85 m og bredde 55 cm

c) lengde 0;75 m og bredde 7,2 dm

A1.117

I et trapes er den ene av de to parallelle

sidene 7 m. Den andre er dobbelt sa˚ lang.

Avstanden mellom de to parallelle sidene er 30 dm.

Finn arealet av trapeset i kvadratmeter.

A1.118

a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 15 cm.

b) Regn ut arealet av en sirkel med diameter 2 dm.

c) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje 2 dm

og høyde 5 cm.

A1.119

a) En tallerken har form som en sirkel med radius

1,5 dm. Regn ut arealet av tallerkenen.

b) Hva blir arealet av a˚tte slike tallerkener til

sammen?

c) Hvor mange slike tallerkener kan vi dekke

pa˚ et rektangulært bord som er 8 dm bredt og

12,5 dm langt?

A1.120

En plate har ma˚l og form som vist pa˚ figuren.

Regn ut arealet av plata i kvadratmeter:

2 m 2 m

2 m

6 m

35 dm

A1.121

Radien i en sirkel er 1 dm.

a) Hvor mange ganger større blir arealet av sirkelen

dersom radien øker til det femdobbelte?

b) Hvor mange ganger mindre blir arealet av sirkelen

dersom radien minker til en firedel?

B1.122

Ei geit er tjoret fast til en pa˚le med et tau.

Tauet er 6 m langt. Bakken er dekket av gress.

a) Hvor stort areal har geita a˚ beite pa˚?

b) Hvor mange ekstra kvadratmeter fa˚r geita a˚

beite pa˚ dersom vi forlenger tauet med 3 m?

B1.123

a) Hvor stor overflate har en prismeformet ost med

ma˚lene 10 cm 12 cm 20 cm?

b) Dersom du deler osten i terninger pa˚

2cm 2cm 2 cm, hvor stor overflate fa˚r alle

osteterningene til sammen?

1.7 Areal av

sammensatte figurer

A1.124

Regn ut arealet av figurene nedenfor:

a)

b)

6 cm

11,0 cm

70 cm

11,0 dm

38 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


c)

d)

25,4 m

12 cm

110,0 dm

18,5 m

A1.125

Regn ut arealet av figuren:

65,5 cm

15,5 dm

A1.126

Skissen nedenfor viser ei hytte:

1,4 m

0,8 m

2,5 m

2,0 m

2,0 m

3,5 m

10,5 dm

0,9 m

a) Regn ut arealet av de to veggene uten dør

og vindu.

b) Regn ut arealet av hele taket medregnet

kortveggene.

2,4 m

A1.127

Figurene nedenfor viser flaggene til Sverige og

Kongo:

4

2

4

2

5 2 9 1 2

a) Regn ut arealet av det gule omra˚det i det svenske

flagget. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i desimeter.

b) Regn ut arealet av det gule omra˚det i Kongos

flagg. Ga˚ ut fra at alle ma˚l er i meter.

c) Hvilket av de to flaggene har størst andel

gulfarge?

B1.128

Regn ut arealet av figurene:

a) 20 cm

c)

e)

20 cm

20 cm

15 cm

6 cm

12 cm

f)

b)

2 dm

2 dm 1 dm

d)

40 cm

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 39

1 dm

7 cm


B1.129

Yang og Yin symboliserer en idé innenfor taoismen

om balansen mellom motsetningene i universet

(jord og himmel, dag og natt, ild og vann osv.).

Figuren viser en forenklet versjon av symbolet for

Yang og Yin:

Arealet av den store sirkelen er delt i fire like store

deler. Bevis dette ved regning.

B1.130

a)

4

4

Regn ut arealet av de røde feltene pa˚ figur a og b.

1.8 MÔlenheter for

massetetthet, vekt og volum

A1.131

Gjør om til en passende enhet og regn ut:

a) 24 g þ 2g 7000 mg þ 0;003 kg

b) 0;03 «kubikk» 29 l þ 13 dl þ 1hl

c) 140 cg þ 1hgþ15 mg þ 2g

d) 1 ml þ 1clþ1dl 0;110 l

b)

5

A1.132

Hva veier mest:

a) en aluminiumsplate pa˚ 5dm 3 eller en

kromplate pa˚ 0;5 dm 3

b) en kopperplate pa˚ 20 dm 3 eller en kromplate

pa˚ 25 dm 3

B1.133

a) Eva og Olav har leid tilhenger for a˚ frakte sand

til ga˚rdsplassen sin. Maksimal lasteevne for

tilhengeren er 500 kg, og ett spadetak svarer til

0,6 kg. Hvor mange spadetak trengs det for a˚

fylle tilhengeren?

b) Stone er et amerikansk vektma˚l.

1 stone ¼ 6,35 kg. Vil en tilhenger med en

lasteevne pa˚ 150 stone ta˚le en last som svarer

til 920 spadetak à 0,6 kg?

B1.134

I USA og Storbritannia bruker en ofte volumenheten

gallon. En britisk gallon svarer til 4,546 l, mens

en amerikansk gallon svarer til 3,785 l.

a) Hvor mye bensin ma˚lt i amerikanske gallon kan

du fylle pa˚ en biltank som rommer 60 l?

b) Hvor mye diesel ma˚lt i britiske gallon kan du

fylle pa˚ en lastebiltank som rommer 200 l?

c) Hvor mange amerikanske gallon svarer til en

britisk gallon?

B1.135

a) En karat svarer til 200 mg. Hvor mange gram

er 1 karat?

b) Kuhinoor-diamanten veier 109 karat.

Gjør om til gram.

c) Cullinan-diamanten veide opprinnelig 3106 karat.

Hvor mange kilogram svarer det til?

B1.136

a) Vera har et smykke i hvitt gull sm veier 4800 mg.

Hvor mange gram veier smykket?

b) Hvitt gull besta˚r av sølv, platina, palladium og

gull. Ifølge reglene skal gullinnholdet utgjøre

minst 585 promille av den totale vekta.

Hvor mange karat reint gull er det minste

i smykket?

c) Vera har ogsa˚ en forlovelsesring av reint gull.

Ringen veier 4 g. Regn ut volumet av ringen

na˚r gull har massetettheten % ¼ 19;3 g=ml.

40 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


1.9 Megastore og

mikroskopiske tall

A1.137

Skriv opp resistansen til motstanden pa˚ figuren

uten prefiks

a) som tierpotens b) som vanlig tall

A1.138

300 mH

160 kΩ

Skriv opp induktansen til spolen pa˚ figuren

a) som tierpotens b) som vanlig tall

A1.139

120 nF

Skriv opp kapasiteten til kondensatoren pa˚ figuren

uten prefiks

a) som tierpotens b) som vanlig tall

A1.140

a) Hvor mange ganger mer er 12 nF enn 240 pF?

b) Gjør om 3800 mF til farad.

c) Gjør om 450 000 mH til henry.

d) Hvor mange kiloohm er 0,001 80 G ?

B1.141

a) Ni motstander pa˚ 120 k blir koplet i serie.

Hvor mange megaoohm blir den totale

resistansen?

b) 30 kondensatorer pa˚ 12 pF blir koplet i parallell.

(Da ma˚ du summere kondensatorverdiene.)

Hvor mange nanofarad blir den totale

kapasitansen?

B1.142

Utgangssignalet pa˚ en forsterker er 32 V.

Signalet er forsterket 44 ganger.

Hvor stort var inngangssignalet?

B1.143

Et a˚r har en norsk familie et strømforbruk

pa˚ 28 MWh. Det er fire personer i familien.

a) Hvor stort blir dette forbruket i kilowattimer?

b) Hvor mange wattimer bruker hvert familiemedlem

per dag i gjennomsnitt?

c) Hvor mange megawattimer bruker familien

pa˚ seks a˚r?

B1.144

Jørgen ønsker seg en bærbar datamaskin med

prosessoren Intel Pentium 4 630 HT (3,0 GHz),

1024 MB minne og 100 GB harddisk.

Hvor mange hertz har prosessoren, og hvor mange

byte minne og harddiskkapasitet har datamaskinen?

Blandede oppgaver

A1.145

Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med

a) radius lik 15,9 cm

b) diameter lik 8 m

c) diameter lik 1 tomme

A1.146

Regn ut arealet og omkretsen av figuren:

35 cm

A1.147

a) Et kvadrat har en omkrets pa˚ 20 m.

Regn ut arealet av kvadratet.

b) I et rektangel er lengden dobbelt sa˚ lang som

bredden. Omkretsen av rektanglet er 30 dm.

Regn ut arealet av rektanglet.

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 41


A1.148

En gressplen har form som en sirkel med r ¼ 2m.

a) Regn ut arealet og omkretsen av plenomra˚det.

b) Plenen er del av et hageomra˚de. Det skal legges

et 20 cm bredt steinbed i form av et kvadrat

rundt plenen. Regn ut den ytre omkretsen av

steinbedet.

A1.149

Johan eier et landomra˚de i Norge med arealet

1906 m2 . I tillegg eier han et omra˚de pa˚ 0;020 km 2

i England.

a) Hvor mange ma˚l land eier Johan totalt?

b) Johan ønsker a˚ bygge curlingbaner pa˚ tomta

i Norge. En curlingbane har lengden 44,5 m og

bredden 4,75 m. Hvor mange curlingbaner fa˚r

han plass til pa˚ den norske tomta?

c) Pa˚ den engelske tomta ønsker Johan a˚ bygge

landingsplasser for helikoptre. Hver landingsplass

skal være sirkulær med radius 25 m.

Hvor mange slike landingsplasser kan han

bygge?

d) Hvilken usikkerhet ligger i svarene du fikk

i b og c?

A1.150

Et rundt bord har diameter lik 5 m.

a) Regn ut omkretsen av bordet.

b) Hvor stort er arealet av bordet?

c) Dersom vi regner at hver person opptar 70 cm,

hvor mange personer er det da plass til rundt

bordet?

B1.151

Du skal lage en boks uten lokk som utbrettet

ser slik ut:

220 mm

220 mm

140 mm

a) Hvor stor blir overflata av boksen?

b) Hvor stor plate ma˚ du bruke?

c) Plata er av aluminium og 3 mm tykk.

Hvor tung blir boksen?

d) Hvor tung ville boksen blitt om du hadde

brukt sta˚l? (Sta˚let har en massetetthet

pa˚ 7850 kg=m3 .)

B1.152

Et smykkeanheng i reint gull er designet slik

figuren viser:

Diameteren i den ytre sirkelen er 3 cm,

og diameteren i den indre er 2 cm.

a) Finn omkretsen av hver av de to sirklene.

b) Anhenget har fire hull. Regn ut det samlede

arealet av disse hullene.

c) Hvor stor blir omkretsen av de fire hullene

til sammen?

d) Anhenget veier 6 g. Hvor mange karat svarer

det til? (1 karat ¼ 200 mg)

e) Hvor mange milliliter reint gull besta˚r

anhenget av? (%gull ¼ 19;3 g=mlÞ

42 KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER


B1.153

Et baderom har ma˚l og form som vist pa˚ figuren.

I det ene hjørnet er det montert et dusjkabinett med

form som en kvartsirkel med radius 1 m.

1,6 m

2,6 m

2,2 m

2,0 m

a) Regn ut omkretsen av badet.

b) Regn ut arealet av badet.

c) Gulvet skal flislegges med kvadratiske

fliser med side lik 5 cm.

Hvor mange fliser trengs til dette?

d) Omtrent hvor mange fliser ligger innenfor

dusjkabinettet?

KAPITTEL1 M—LING OG BEREGNINGER 43

More magazines by this user
Similar magazines