Sigma 1P for studieforberedende, nynorsk - Gyldendal Norsk Forlag

web2.gyldendal.no

Sigma 1P for studieforberedende, nynorsk - Gyldendal Norsk Forlag

1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne

Du skal l×re

^ kor viktig det er Ô gjere overslag og vurdere kor rimeleg svaret er

^ Ô tolke, vurdere og diskutere matematisk innhald i skriftlege framstillingar

EKSEMPEL 1

«Flere og flere velger ra˚dhuset framfor kirken na˚r barnets start pa˚ livet

skal feires. Oslo har hatt en vekst pa˚ over 50 % pa˚ tre a˚r.» Dette skreiv

Aftenposten i 2005. Tabellen i margen er saksa fra˚ artikkelen.

Eit foreldrepar som hadde valt da˚p, vart intervjua. Avisa gjorde eit

poeng av at dei valde dette «selv om trenden sier navnefest uten

religiøse trekk».

Meiner du at avisa gir korrekt informasjon?

Om vi ikkje les tabellen, kan informasjonen tolkast som om det er

stor nedgang na˚r det gjeld da˚p. Men tabellen syner at det er noksa˚

stabilt kor mange som vel da˚p gjennom heile perioden.

Ein pa˚stand i teksten er at talet pa˚ namnefestar hadde ein vekst pa˚

meir enn 50 %. Stemmer det med tabellen?

50 % vekst vil seie at vi legg til halvparten av det opphavlege talet.

Dersom 50 % var korrekt, skulle overslagsrekning ha vist at

ca. 460 þ 230 ¼ 690 barn hadde namnefest. Det stemmer ikkje med tabellen.

I artikkelen stod det 50 % vekst over ein trea˚rsperiode. Tabellen viser ein firea˚rsperiode. Det kan

vere at prosenten er korrekt, ettersom tabellen gjeld Oslo og Akershus, mens det stod Oslo i artikkelen.

EKSEMPEL 2

Overslag. Kor rimeleg er svaret?

Ein dag kom Kari over billig parkett pa˚ timesal. Dette

tilbodet ville ho dra nytte av. Ho hadde ikkje tid til

a˚ fa˚ ma˚lt opp rommet sitt, men visste at det var litt under

5 meter langt og om lag 2;5 meter breitt.

Kari gjorde overslag og bestemte seg for a˚ kjøpe

17 m2 parkett.

a) Korleis kom ho fram til dette talet?

Meiner du at det var nok?

Da˚ Kari skulle betale, var rekninga pa˚ 1938 kroner.

Ho syntest det var mykje for 17 m2 parkett. Ho

kontrollrekna og fann at ho skulle betale halvparten av dette.

b) Kva kan ekspeditøren ha gjort feil?

FØR

228,- per m2 NO

75 % rabatt

UTVIKLING

Oslo og Akershus

—r

Borgarleg

namnefest DÔp

2000 464 4580

2001 467 4562

2002 479 5218

2003 578 4416

2004 633 4582

Kjelde: Human-Etisk Forbund og

Den norske kyrkja

10 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Løysing:

a) Kari ma˚ vere sikker pa˚ at ho kjøper nok om ho ikkje skulle fa˚ tak i

parkettypen seinare. 17 m 2 kan ho ha kome fram til ved a˚ gjere

overslag over breidda og rekne med ei breidd pa˚ 3m.Sa˚ har ho gonga

5 og 3 med kvarandre og lagt til 2 m 2 med tanke pa˚ svinn.

b) Dersom Kari skulle ha betalt full pris, ville det ha kosta

17 228 kroner ¼ 3876 kroner. Summen pa˚ kassa er halvparten

av dette, sa˚ ekspeditøren har nok berre trekt fra˚ 50 % rabatt.

Ein ma˚te a˚ rekne ut rett sum pa˚ er a˚ dele full pris pa˚ 4.

75 % rabatt vil seie at ho skal betale 25 % av prisen.

Det er det same som ein firedel.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.1

Gjer først overslag. Rekn sa˚ ut dei eksakte svara:

a) 23 þ 9 þ 48 þ 78 þ 129 þ 31

b) 347 62 39 117

c) 18 33

OppgÔve 1.2

Trine gjer overslag na˚r ho handlar, for a˚ vite om

beløpet ho skal betale, stemmer.

Ein dag handla ho 2 liter mjølk til 11;50 kr per liter,

ca. 2 kg eple til 22;50 kr=kg, kjøttdeig til 58;69 kr,

toalettpapir til 11;90 kr og eit tidsskrift som kosta

48;90 kr.

Gjer overslag og finn ut om lag kor mykje ho skal

betale.

OppgÔve 1.3

Det er haustsal i ein klesbutikk. Lene finn mange

gode tilbod, og ho ønskjer a˚ handle inn julepresangar

til familien. Ho har plukka med seg

tre genserar til 160 kroner per stykk, og her gjeld

«ta 3, betal for 2». Vidare ønskte ho a˚ kjøpe to

treningsdressar til 249 kroner per stykk, ei bukse

som var sett ned til 119 kroner, og ein kjole til

180 kroner. Lene har med seg 1300 kroner og

har ikkje meir pengar pa˚ bankkortet.

Gjer eit overslag og vis om ho har ra˚d til a˚ kjøpe

alt dette.

ParoppgÔve1.4

Ein ungdomsklubb vart pussa opp og modernisert.

I tillegg vart det fleire aktivitetar. Som ei følgje av

dette auka medlemstalet. Tabellen viser medlemstalet

dei fire første ma˚nadene etter oppussinga:

Ma˚nad januar februar mars april

Medlemstal 35 42 58 84

Den siste fredagen i ma˚naden blir det servert pizza,

og da˚ plar om lag 50 % av medlemmene a˚ kome.

Dei som har ansvaret for pizzakvelden i mai,

skal rekne ut kor mykje pizza dei ma˚ bestille.

Dei reknar fire personar per pizza.

a) Individuell oppga˚ve: Prøv a˚ rekne ut kor mange

medlemmer det er i mai.

b) Paroppga˚ve: Forklar korleis de har tenkt.

Samanlikn svara. Kor mange pizzaer ville de ha

ga˚tt inn for a˚ kjøpe?

Utfordring 1.5

Bjørn og Kristin ga˚r fottur. Ein dag valde dei ein

tur der ein tredel av løypa gjekk i lett terreng og

to tredelar i brattare terreng. I lett terreng held dei

ein fart pa˚ ca. 5 km=h, mens dei bruker 3 km=h

i brattare lende.

Bjørn og Kristin byrja a˚ ga˚ klokka 10 og skal ga˚

30 kilometer. Dei ha˚par a˚ na˚ fram til middag klokka

19. Vil dei rekke det?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 11


1.2 Vegen om 1 ^ ein praktisk framgangsmÔte

Du skal l×re

^ Ô lÖyse praktiske oppgÔver ved Ô gÔ ßvegen om1ý

Butikkane sel varer i ulike pakningar. For at vi forbrukarar lett skal kunne

samanlikne prisane, pliktar forretningane a˚ opplyse om prisen i for

eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter.

Gjennom nokre eksempel viser vi korleis du kan rekne med

«vegen om 1». Det vi gjer, er a˚ finne kor mykje som svarar til

éi eining. Deretter kan vi finne kor mykje ein gitt storleik svarar til.

EKSEMPEL 3

I ein butikk kostar safta Tropisk 23;90 kroner for ei flaske pa˚

1;5 liter, og 16;90 kroner for ei literflaske. Literprisen er ogsa˚ gitt

for den største flaska, men vi vil likevel kontrollrekne det.

Kva slags flasketype av Tropisk lønner det seg a˚ kjøpe?

23;90 kroner

Saft i flaska pa˚ 1;5 liter: 15;93 kroner per liter

1;5 liter

Det lønner seg a˚ kjøpe saftflaska pa˚ 1;5 liter.

EKSEMPEL 4

For ein kalkun pa˚ 3;8 kg betaler Eli 171 kroner.

a) Kva er prisen per kilogram for kalkunen?

b) Kva ville ein kalkun pa˚ 4;2 kg ha kosta?

Løysing:

171 kroner

a) Prisen er ¼ 45 kroner per kilogram

3;8 kg

b) 4;2 kg kalkun ville ha kosta 4;2 45 kroner ¼ 189 kroner.

EKSEMPEL 5

Du har fa˚tt 750 danske kroner av ei tante i Danmark.

Du vekslar inn pengane i ein norsk bank ein dag det kostar

105;30 norske kroner for 100 danske kroner.

Dette kallar vi kursen pa˚ danske kroner.

Banken krev eit vekslingsgebyr pa˚ 35 kroner.

Kor mange norske kroner fa˚r du utbetalt?

12 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Løysing:

100 danske kroner svarar til 105;30 norske kroner.

105;30 kroner

Éi dansk krone svarar til ¼ 1;053 norske kroner

100

750 danske kroner svarar til 750 1;053 kroner ¼ 789;75 kroner.

Før du fa˚r utbetalt pengane, trekkjer banken fra˚ gebyret.

Du fa˚r altsa˚ utbetalt 789;75 kroner 35 kroner ¼ 754;75 kroner.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.6

Ole og Petter skulle beise husa sine. Ole

kjøpte beis i eit tilitersspann til 498 kroner.

Per kjøpte ein annan type beis. Han betalte

188 kroner for beis i eit firelitersspann.

Kven kjøpte den billigaste beisen?

OppgÔve 1.7

I ei oppskrift pa˚ fa˚rika˚l sta˚r det at 1;2 kg kjøtt

og 1;6 kgka˚l er høveleg til fire personar.

Kor mykje kjøtt og kor mykje ka˚l ma˚ vi kjøpe inn

til fem personar?

OppgÔve 1.8

Vi skal handle sjokoladepulver. Vi plar kjøpe store

boksar pa˚ 500 gram til 36;00 kroner. Ein dag er det

tilbod pa˚ sma˚ boksar pa˚ 200 gram. Ein liten boks

kostar 23;50 kroner, men pa˚ tilbod kan vi «ta tre og

betale for to». Lønner det seg a˚ kjøpe dei sma˚

boksane?

OppgÔve 1.9

Bente trenar pa˚ stigar i ei rundløype som er 3;5 km

lang. Rekorden hennar er 14 minutt 30 sekund.

Trine plar springe ein runde pa˚ ein veg som er

4;8 km lang. Den raskaste tida ho har sprunge pa˚,

er 22 minutt.

Kven har best kilometertid?

OppgÔve 1.10

Ei forretning tilbyr pakkar med fire beger yoghurt

til 14;90 kroner. Kvart beger inneheld 125 ml

yoghurt. Den same forretninga tilbyr ogsa˚

enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner.

Samanlikn prisane per liter yoghurt for dei to

tilboda.

OppgÔve 1.11

Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen

opplyser banken at du ma˚ betale 80;40 norske

kroner for 100 svenske kroner.

Kor mange norske kroner ma˚ du betale na˚r

banken krev eit vekslingsgebyr pa˚ 40 kroner?

Utfordring 1.12

Bjørnar kjøper eit smørbrød pa˚ danskeba˚ten.

Smørbrødet kostar 40 danske kroner. Bjørnar

betaler med 100 norske kroner og fa˚r att

50 danske kroner i vekslepengar.

a) Kva for ein kurs pa˚ 100 danske kroner svarar

det til?

Da˚ Bjørnar kom heim, fann han ut at kursen den

aktuelle dagen hadde vore 104;30.

b) Samanlikn kursen rekna ut i a med den faktiske

kursen. Kommenter.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 13


1.3 Dekadiske mÔleiningar. MÔlepresisjon

Du skal l×re

^ om dekadiske mÔleiningar

^ Ô gjere om mellom dekadiske mÔleiningar

^ ommÔlepresisjon,gjeldandesi¡erogavrundingavsvar

I margen repeterer vi nokre av dei dekadiske einingane du kjenner fra˚

grunnskulen. Vi kallar einingane dekadiske fordi vi kan gjere om

mellom dei ved a˚ gonge eller dele med 10. Deka tyder ti.

Na˚r vi gjer om fra˚ ei eining til ei anna, kan vi tenkje slik:

– For kvart steg vi ga˚r oppover i trappa, deler vi med 10.

– For kvart steg vi ga˚r nedover i trappa, gongar vi med 10.

Vi lagar nye einingar ved hjelp av forstavingar: kilo tyder tusen, og

desi tyder tidel. Vi fa˚r da˚ for eksempel kilometer, km, som tyder

tusen meter, og desimeter, dm, som tyder tidelen av ein meter. I tillegg

har somme einingar eigne namn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg.

I margen gir vi eit oversyn over dei vanlegaste forstavingane.

EKSEMPEL 6

Gjer om 4;2 cm til meter.

Løysing:

Vi skal dividere med 10 to gonger. Det gjer vi ved a˚ flytte desimalkommaet

to plassar mot venstre. Vi fa˚r 4;2 cm¼ 0;042 m.

Na˚r vima˚ler avstandar i geometrien pa˚ skulen, bruker vi oftast linjal.

Har du tenkt over at vi da˚ ikkje kan ma˚le lengder heilt nøyaktig? For

eksempel ser du at lengda pa˚ figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriv «ca.» for

streke under at det ikkje er mogleg a˚ ma˚le lengda heilt nøyaktig. Vi seier at

2;4 cm er ein tilnærmingsverdi med to gjeldande siffer for den gitte lengda.

Det vil seie at den «korrekte» lengda ligg ein eller annan stad mellom

2;35 cm og 2;45 cm.

Na˚r vi treng større presisjon, ma˚ vi bruke andre ma˚lereiskapar. Det

vanlegaste i industrien er skuvelære og mikrometerskrue. Skuvelæret kan

ma˚le nøyaktig ned til ein tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan

ma˚le nøyaktig ned til ein hundredels millimeter.

Dei mest moderne ma˚tane a˚ ma˚le større avstandar pa˚ baserer seg pa˚

laserteknologi. Ein laserpuls blir send ut, reflektert og motteken i utgangspunktet.

Den tida laserlyset bruker pa˚ dette, blir sa˚ ma˚lt. Dermed kan

vi rekne ut lengda.

DEKADISKE EININGAR

km

kg hg

hl

m

dm

g cm

mm

l

dl mg

cl

ml

FORSTAVINGAR

giga G milliard

mega M million

kilo k tusen

hekto h hundre

deka da ti

desi d tidel

centi c hundredel

milli m tusendel

mikro m milliondel

0 1 2 3

14 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Na˚r vi reknar ut eit svar, ma˚ vi ikkje skrive svaret meir nøyaktig enn dei

storleikane vi gjekk ut fra˚. Na˚r vi gongar eller deler, rundar vi av svaret

til like mange gjeldande siffer som det vi starta med.

EKSEMPEL 7

Finn arealet av eit rektangel med lengda 3;6 cm og breidda 2;4 cm.

Løysing:

Dei to storleikane vi ga˚r ut fra˚, har to gjeldande siffer.

Da˚ rundar vi ogsa˚ av svaret til to gjeldande siffer.

Altsa˚: 3;6 cm 2;4 cm 8;6 cm 2 .

Vi reknar ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s:

km

h

¼ 1km

1h

¼ 1000 m

60 60 s

¼ 1000 m

3600 s

¼ 1

3;6 m=s

Vi kan altsa˚ gjere om fra˚ km=h til m=s ved a˚ dividere med 3;6.

Omvendt kan vi gjere om fra˚ m=s til km=h ved a˚ gonge med 3;6.

EKSEMPEL 8

Gjer om 25 m=s til kilometer per time (km=h).

Løysing:

Vi gongar med 3;6 ogfa˚r 25m=s ¼ 25 3;6 km=h ¼ 90 km=h.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.13

Gjer om

a) 34;7 ml til liter b) 1;57 kg til gram

OppgÔve 1.14

Vi ma˚ler høgda til ei jente. Kva fortel vi

a) dersom vi set høgda til 162 cm

b) dersom vi set høgda til 162;0 cm

OppgÔve 1.15

Rekn ut arealet av eit rektangel med lengda 4;38 dm

og breidda 3;67 dm.

OppgÔve 1.16

a) Gjer om 72 km=h til meter per sekund (m=s).

b) Gjer om 30 m=s til kilometer per time (km=h).

c) Ida syklar 20 km pa˚ 1 time 15 minutt.

Rekn ut gjennomsnittsfarten i km=h ogim=s.

SIFFERREGEL

Rund av svaret til like

mange gjeldande si¡er

som det du gjekk ut frÔ.

MELLOM km/h OG m/s

DrÖfting 1.17

Ei alen tok utgangspunkt i ei olbogelengd,

det vil seie avstanden fra˚ olbogen til fingerspissen.

Finn den gjennomsnittlege olbogelengda i klassen.

Kva er problemet med ei slik ma˚leining?

Utfordring 1.18

Ein pasient skal fa˚ tilført medisin intravenøst med

16 dropar per minutt. Vi reknar at 1 milliliter (ml)

svarar til 20 dropar.

Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til saman.

Medisineringa byrjar kl. 09:45. Na˚r er ho ferdig?

Miniprosjekt 1.19

Søk pa˚ nettet og finn ut kva Justerstellet

i Noreg arbeider med. Lag eit lite oversyn

for gruppa.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 15

m/s

3, 6

3, 6

km/h


1.4 Lommereknaren

Du skal l×re

^ reknerekkjefÖlgja ved talrekning, som ogsÔ er lagd inn i lommereknaren

^ at vi kan rekne vidare med det siste svaret ved Ô bruke Ans

^ skilnaden pÔ rekneminus og forteiknsminus

^ at vi ofte mÔ hjelpe lommereknaren med Ô setje parentesar

^ korleis vi rettar feil inntasting pÔ lommereknaren

Vi skal bruke lommereknaren mykje i dette kurset. Du skal fa˚ lære

framgangsma˚tane etter kvart som du treng dei. Men alt no skal vi øve inn

nokre grunnleggjande operasjonar. La oss med ein gong kontrollere at

lommereknaren er rett innstilt.

CASIO TEXAS

Trykk MENY og vel RUN

pa˚ Casio. Trykk SHIFT SETUP.

Nedanfor ser du korrekt oppsett.

Bruk pil ned og flytt markøren til

linjer med feil. Gjer sa˚ rett val.

Avslutt med EXIT.

Trykk MODE pa˚ Texas.

Nedanfor ser du korrekt oppsett.

Om det ikkje stemmer, bruker du

piltastane, flytter markøren til

rett felt og trykkjer ENTER.

Avslutt med 2nd QUIT.

I margen har vi repetert reknerekkjefølgja vi bruker for a˚ kunne rekne rett.

Vi viser ei utrekning der denne rekkjefølgja er brukt:

4 þ 5 2 3 ¼ 4 þ 5 8 ¼ 4 þ 40 ¼ 44

Denne reknerekkjefølgja er lagd inn i lommereknaren. Vi kan derfor

trykkje 4 þ 5 23 nøyaktig som det sta˚r, og avslutte med EXE pa˚ Casio og

ENTER pa˚ Texas. Legg merke til at lommereknaren har ein eigen tast for

potens, ^:

CASIO TEXAS

I uttrykket 4 þ 5 23 er det altsa˚ gale a˚ starte med a˚ leggje saman 4 og 5.

Dersom meininga var at vi skulle ha innleidd med det, ville reknestykket

sett slik ut:

ð4 þ 5Þ 2 3 ¼ 9 2 3 ¼ 9 8 ¼ 72

Dette kan vi ogsa˚ trykkje nøyaktig som det sta˚r pa˚ lommereknaren:

CASIO TEXAS

REKNEREKKJEFØLGJE

1Parentes

2Potens

3 Gonge og dele

4 Pluss og minus

16 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Na˚r vi skal bruke svaret direkte vidare i ei utrekning, for eksempel 72 ,

trykkjer vi berre gongetast og slik:

CASIO TEXAS

Lommereknaren gjer altsa˚ bruk av det siste svaret ved hjelp av Ans, som er

ei forkorting for «answer». Du oppdaga kanskje ogsa˚ at lommereknaren

har ein eigen tast for som vi bruker i staden for det unøyaktige 3;14.

Vi kan òg plassere Ans midt i ei utrekning ved a˚ trykkje SHIFT Ans pa˚

Casio og 2nd ANS pa˚ Texas:

CASIO TEXAS

I uttrykket 2 2 4 er det første minusteiknet eit forteiknsminus. 2 2 skal

jo ikkje trekkjast fra˚ noko tal. Minusteiknet i midten er eit rekneminus som

fortel at vi skal trekkje 4 fra˚ resultatet av utrekninga 2 2 . Derfor finst det

ba˚de forteiknsminus, ( ) , og rekneminus, ,pa˚ lommereknaren. Texas

gir feilmelding na˚r vi ikkje bruker rett minusteikn. Legg merke til at vi

bruker tasten x 2 for a˚ opphøgje i andre potens:

CASIO TEXAS

Brøkar og rotteikn skriv vi ofte utan parentesar, no som vi veit korleis dei

skal reknast ut. For eksempel er

5 þ 7 12

¼ ¼ 2

2 3 6

Dersom vi vil rekne ut svaret utan mellomrekning pa˚ lommereknaren, ma˚

vi hjelpe til med a˚ sla˚ parentesar om teljaren og nemnaren:

CASIO TEXAS

pffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

Pa˚ same ma˚ten ma˚ vi trykkje ð98 56Þ for a˚ fa˚ 98 56.

Vi kan ga˚

attende og rette inntastingar ved a˚ bruke venstrepil pa˚ Casio og 2nd ENTRY

og venstrepil pa˚ Texas. Læraren hjelper deg med overskriving, DEL og INS.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.20

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

a) 4 þ 8 97 3 5 4 b) 3 þ 3

2 ð92

2 5Þ

OppgÔve 1.21

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

4 5 5

a)

2

52 32 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

b) 132 122 q

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 17


1.5 ReknerekkjefÖlgje og forteikn ^ nyttige reglar

Du skal l×re

^ Ô bruke reknerekkjefÖlgja i eigne utrekningar

^ Ô rekne med forteikn

EKSEMPEL 9

Vi repeterer at lommereknaren kan gi feilmelding dersom vi ikkje

skil mellom rekneminus, , og forteiknsminus, ( ).

I reknestykket 8 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at talet 5 skal trekkjast

fra˚ talet 8. Her fungerer minus som rekneminus, og vi bruker .

I reknestykket 2 þ 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at vi har det negative

talet 2. Her er minusteiknet eit forteiknsminus, og vi bruker ( ).

Feil som kjem av galen reknerekkjefølgje, kan samanliknast med a˚ setje

komma pa˚ feil stad: «Heng han ikkje, vent til eg kjem» tyder noko heilt

anna enn «Heng han, ikkje vent til eg kjem»!

EKSEMPEL 10

Trine, Ellen og Knut har prøvd a˚ rekne ut denne oppga˚va:

2 þ 3 6 2 ð 5 þ 2Þ

Dei fekk ulike svar og kontrollerte utrekninga pa˚ lommereknaren.

Det synte seg at Ellen hadde rekna rett. Hjelp Trine og Knut med

a˚ finne ut kva dei har gjort gale.

Som reknerekkjefølgja viser, gjorde Trine feil fordi ho starta med a˚ leggje

saman dei to første tala. A˚ leggje saman og trekkje fra˚ gjer vi etter

a˚ ha fullført dei andre rekneoperasjonane.

Knut gjorde feil da˚ han skulle gonge inn i parentesen. Talet som stod utanfor

parentesen, gonga han berre med det eine talet inni parentesen. Knut ville ikkje

gjort feil i denne oppga˚va dersom han først hadde trekt saman inni parentesen.

MINUS PA˚

LOMMEREKNAREN

Rekneminus er tasten .

Forteiknsminus er tasten ( ).

REKNEREKKJEFØLGJE

1Parentes

2Potens

3 Gonge og dele

4 Pluss og minus

18 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


EKSEMPEL 11

Her viser vi korleis vi i tillegg til rett reknerekkjefølgje

ma˚ passe pa˚ forteikna:

a) 32 ð 4Þ ð 2Þ ¼9 8 ¼ 72 (reglane 2 og 3)

b) 32 þ 4 ð 2Þ ¼ 9 8 ¼ 17 (reglane 2, 3 og 4)

c) ð 3Þ 2 þ 4 ð 2Þ ¼9 8 ¼ 1 (reglane 2, 3 og 4)

d) 2 ð3 7Þ 2 ¼ 2 ð 4Þ 2 ¼ 2 16 ¼ 32

(reglane 1, 2 og 3)

Kontroller at du fa˚r same svaret pa˚ lommereknaren.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.22

Rekn ut utan lommereknar:

a) 8 þ 4 6 b) 8 : 2 3

c) 9 2 þ 18 : 3 d) 322þ6 : 2 þ 5

OppgÔve 1.23

Rekn ut med og utan lommereknar:

a) 3 ð 4Þ 2

3 þ 4 ð 2Þ

b) 23 ð 3 þ 4Þ 2

c) 3 ð 4Þ ð 2Þ : ð2 3Þ

d) 5 þ 3 ð 2Þ 4

3 7 þ 3 þ 4 ð 2Þ

OppgÔve 1.24

Trass i at vi kan la lommereknaren gi oss svaret, har

hovudrekning den fordelen at det somme gonger ga˚r

raskare. Tipset er a˚ leggje saman eller gonge to tal

som gir tal som er lette a˚ rekne med.

For eksempel kan vi raskt løyse oppga˚va

2 þ 17 þ 8 þ 3 ved a˚ leggje saman 2 þ 8og

17 þ 3 kvar for seg. Da˚ fa˚r vi10þ20 ¼ 30.

Rekn ut i hovudet:

a) 26 þ 18 þ 14 þ 42

b) 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ 10

c) 23 2 5 10

d) 3 15 0 47

ParoppgÔve1.25

Løys denne oppga˚va munnleg:

HUGS!

2 3 ¼ 6

ð 2Þ 3 ¼ 6

2 ð 3Þ ¼ 6

ð 2Þ ð 3Þ ¼ 6

Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til

19 kroner per stykk. Ein kveld han var pa˚ kino,

betalte han 80 kroner for kinobilletten, to gonger

20 kroner for togbillettane, og han kjøpte 250 gram

sma˚godt til 10 kroner per hektogram. Veka etter

fekk han utbetalt lønn for a˚ ha jobba fem timar.

Timelønna hans var 110 kroner. Ole var skuldig

Hanne 1000 kroner, og han fann ut at han kunne

betale henne tre firedelar no.

Har Ole ra˚d til a˚ ta ein ny tur pa˚ kino

til same prisen som sist?

Utfordring 1.26

Vi veit at 2 þ 3 4 ¼ 20 er gale,

mens ð2 þ 3Þ 4 ¼ 20 er rett.

Føy til parentesar slik at desse stykka

blir korrekte:

a) 2 52 þ 6 ¼ 106

b) 3 4 þ 5 6 ¼ 162

8

¼

2

4

8

¼

2

4

8

¼

2

4

8

¼

2

4

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 19


1.6 Enkel algebra

Du skal l×re

^ Ô rekne med parentesar

^ÔreknemedbrÖk

Mellom anna i formelrekning kan det vere behov for a˚ rekne med

parentesar. Vi repeterer derfor nokre reglar.

EKSEMPEL 12

Kva for reglar er nytta her?

a) 2 þðx 1Þ ¼2 þ x 1 ¼ x þ 1

b) 2 ðx 1Þ ¼2 x þ 1 ¼ x þ 3

EKSEMPEL 13

Kva er regelen na˚r eit tal skal gongast inn i ein parentes?

2 ðx 1Þ ¼2 x 2 1 ¼ 2x 2

I det neste eksemplet repeterer vi korleis vi gongar to parentesar med

kvarandre.

EKSEMPEL 14

Her har vi to parentesar som skal gongast med kvarandre.

Vi gongar da˚ kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd

i den andre:

ðx þ 4Þð2x þ 1Þ ¼x 2x þ x 1 þ 4 2x þ 4 1

¼ 2x 2 þ x þ 8x þ 4

¼ 2x 2 þ 9x þ 4

EKSEMPEL 15

I desse reknestykka finst det parentesar med berre ein type ledd.

Kva kan det da˚ vere lurt a˚ gjere?

a) 2 ð3 þ 1Þ ¼2 4 ¼ 8

b) ð3x þ xÞðx þ 2Þ ¼4x ðxþ 2Þ ¼4x x þ 4x 2 ¼ 4x2 þ 8x

Vi har ogsa˚ behov for brøkrekning i oppga˚ver. Vi repeterer den viktigaste

rekninga fra˚ grunnskulen.

REKNING MED PARENTESAR

1Plussframforparentes:

^ Parentesen kan fjernast.

2Minusframforparentes:

^ Fjern parentesen og skift

samstundes forteikn pÔ

ledda inni parentesen.

3 Tal gonga med parentes:

^Gongtaletmedkvartledd

iparentesen.

4Parentesgongamed

parentes:

^Gongkvartleddideneine

parentesen med kvart ledd

idenandre.

5 Dra saman ledda inni

parentesen dersom det berre

er e¤ in type ledd.

PARENTES MED PARENTES

Vi multipliserer kvart ledd

i den eine parentesen

med kvart ledd i den andre:

20 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


EKSEMPEL 16

Rekn ut og skriv svaret som brøk:

a) 3 7

þ

4 4

b) 2 1

3 4

c) 5

4

d) 2

3

2

3

¼ 3 þ 7

4

¼ 2 4

3 4

¼ 5 2

4 3

x þ x

3

EKSEMPEL 17

AKTIVITETAR

¼ 10

4

1 3

4 3

10

¼

12

2 x x

5 ¼ þ

3 1 3

1

ðx þ 2Þ 2x

2

¼ 5 6 2

2 6 2

¼ 8

12

¼ 5

6

5

2

5

1

¼ 5

2

3

12

¼ 8 3

12

2x 5x

¼ þ

3 3

3x

2

¼ 7x

3

x 2

¼ þ

2 2

¼ x 2

þ

2 2

OppgÔve 1.27

Rekn ut:

a) 3 ð2x þ 5Þ b) 2 ðx þ 3Þ

c) 3 ðx 2Þþ2 ð2x þ 7Þ d) 3 2 ð5 xÞ

e) 2 ðx 4xÞ ð2xþ 7Þ f) x2 x ðx 3Þ

OppgÔve 1.28

Rekn ut:

a) ðx þ 2Þðx þ 3Þ b) ðx 2Þðx 3Þ

c) ð4 2Þð2x þ 7Þ d) ð3x 2Þð2x þ 7Þ

OppgÔve 1.29

Rekn ut og skriv svaret som brøk:

a) 1 4

þ

3 3

b) 1

4

3

4

c) 1 5

þ

3 12

d) 2

5

1

6

Kontroller svara pa˚ lommereknaren.

¼ 5

12

¼ 7

3

2x þ 5

2

x

1

¼ 7

3 x

3x

2

4x 5

þ

2 2

3x

2

x

¼

4x

2

3x 2 þ 5

þ

2

¼ 6x 7

þ ¼

2 2

7

3x þ

2

OppgÔve 1.30

Rekn ut og skriv svaret som brøk:

a) 1

3

2

5

b) 12

20

5

2

c) 3

10

15

6

d) 3

5

1

2

4

3

Kontroller svara pa˚ lommereknaren.

OppgÔve 1.31

Rekn ut:

a) 2x

3

BRØK PLUSS OG

MINUS BRØK

^ Utvid eventuelt brÖkane

slik at dei fÔr lik nemnar.

^ Dra saman teljarane og

hald fast ved nemnaren.

^Kortsvaretommogleg.

BRØK GONGA MED BRØK

^Gongteljarmedteljar

og nemnar med nemnar.

^Kortsvaretommogleg.

1

2

ðx þ 2Þ b) ðx 1Þ x

3 3

Utfordring 1.32

I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom dei

to nevøane sine, Knut og Per, og naboen Hansen.

Hansen skulle fa˚ halve arven, Knut tre tidelar og

Per resten. I arveoppgjeret fekk Per 640 000 kroner.

Kor mykje fekk kvar av dei to andre?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 21

2

3


1.7 Likningar

Du skal l×re

^ Ô lÖyse enkle likningar

^ Ô setje opp og lÖyse uoppstilte likningar

I margen har vi sett opp forslag til reglar for a˚ løyse likningar. Det er

ikkje alle reglane som ma˚ brukast kvar gong. Det kjem an pa˚ oppga˚va.

Nedanfor viser vi nokre typiske eksempel.

EKSEMPEL 18

EKSEMPEL 19

5x 3 ¼ 9 x

5x þ x ¼ 9 þ 3

6x ¼ 12

6 6x

6 6

¼ 12

6

x ¼ 2

3

þ x ¼ 3 ðx þ 2Þ 4x

2

3

þ x ¼ 3x þ 6 4x

2

3 þ 2x ¼ 6x þ 12 8x

2x 6x þ 8x ¼ 12

4x ¼ 9

3

6 4x

6 4

¼ 9

4

x ¼ 9

4

... Viflytteroverogskifterforteikn

... Vi dreg saman pÔ kvar side

... Vi deler med 6 pÔ kvar side

... Vi kortar og reknar ut svaret

... Vi gongar ut parentesen

... Vi gongar overalt med 2

... Vi lÖyser som i eksempel18

Mange praktiske problem kan løysast ved at vi set opp informasjonen

som ei likning. Ein av dei ukjende kallar vi x. Ut fra˚ opplysningane

i oppga˚va finn vi ut kva dei andre ukjende ma˚ kallast.

Det kan lønne seg a˚ la den minste storleiken vere x, eller vi lèt x vere det

vi samanliknar med flest gonger.

LØYSING AV LIKNINGAR

^ Gong inn i og opne parentesane.

^ Gong alle ledd med samnemnaren.

^Samlx-ledda pÔ venstre

side og tala pÔ hÖgre side.

^SkiftforteiknnÔrdu£ytter

over ledd.

^ Dra saman x-ane og

tala kvar for seg.

^ Del med talet framfor x

pÔ begge sider. Kort

eventuelt svaret.

UOPPSTILT LIKNING

NÔr x er eit tal, har vi:

2x er det doble av talet

x þ 3 er 3 meir enn talet

2 ðx þ 3Þ er det doble av

3meirenntalet

22 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


EKSEMPEL 20

Ole, Trine og Bente er til saman 43 a˚r. Ole er dobbelt sa˚ gammal som

Trine, og Bente er tre a˚r eldre enn Trine. Kor gamle er kvar av dei?

Løysing:

I denne oppga˚va kan det vere lurt a˚ kalle den yngste for x.

Trine er da˚ x a˚r, Ole er 2x a˚r, og Bente er ðx þ 3Þ a˚r:

Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 ˚ar

x þ 2x þðxþ 3Þ ¼43

4x ¼ 40

6 4x

6 4

¼ 40

4

x ¼ 10

Trine er 10 a˚r, Ole er 20 a˚r, og Bente er 13 a˚r.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.33

Løys likningane:

a) 3x þ 2 ¼ 12 þ 2x

b) 4 ðx 2Þ ¼3 ð5xþ 2Þ

c) 3 þ 4 ðx 3Þ ¼9 2x

d) 3x þ 2 ðx 5Þ ¼ 3x

2

OppgÔve 1.34

Per er dobbelt sa˚ gammal som Ola. Kari er ti a˚r

eldre enn Ola. Til saman er dei 78 a˚r.

a) Ga˚ ut fra˚ at Ola er x a˚r gammal.

Kva blir da˚ uttrykket for alderen til Per og Kari?

b) Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei er.

OppgÔve 1.35

Geir og Line har til saman 73 kroner.

Line har 19 kroner meir enn Geir.

Kor mange kroner har dei kvar?

OppgÔve 1.36

Marit, Britt og Elin lagar keramikkfigurar som dei

sel til turistar. Ei veke har dei til saman laga

70 figurar. Britt har laga ni fleire enn Marit, og

Marit har laga fire færre enn Elin. Kor mange

figurar har kvar av dei laga?

OppgÔve 1.37

Lise, Erik og Petter har til saman 420 kroner.

Kor mange kroner har Lise, Erik og Petter kvar

na˚r Erik har dobbelt sa˚ mykje som Lise, og Erik

har 20 kroner mindre enn Petter?

Løys oppga˚va ved a˚ setje opp ei likning.

OppgÔve 1.38

Ellen, Mari og Per sel til saman 900 lodd.

Ellen sel dobbelt sa˚ mange lodd som Per,

og Mari sel 100 lodd meir enn Per.

a) Set opp ei likning og finn kor mange lodd kvar

av dei sel.

b) Noko av inntekta fra˚ loddsalet fa˚r dei som lønn.

Kor mykje fa˚r kvar av dei i lønn na˚r dei til

saman fa˚r 540 kroner?

Utfordring 1.39

I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel,

tredelen vel styrketrening, mens resten, fire elevar,

er sjuke eller har gløymt gymtøyet.

Set opp ei likning og finn kor mange elevar som er

med i gruppa.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 23


1.8 Kvadratiske likningar. Ulikskapar

Du skal l×re

^ lÖysingsformelen for ei kvadratisk likning

^ korleis vi lÖyser enkle ulikskapar

I avsnittet framanfor løyste vi enkle likningar. Men har du

tenkt over kva ei likning eigentleg er? For a˚ forsta˚ det

ma˚ du kjenne til omgrepet open utsegn.

«Eg er høgare enn deg» er ei utsegn vi kan avgjere om

er sann eller usann. Na˚r Nina seier det til Erik, er det

jo sant. Slike pa˚standar som vi kan finne ut om er sanne

eller usanne, kallar vi matematiske utsegner.

«Heia Rosenborg» kan vi derimot ikkje ta standpunkt til pa˚

denne ma˚ten. Det er ikkje ei matematisk utsegn.

«x er mindre enn 3» kan vi først ta standpunkt til na˚r vifa˚r

vite kva x er. Er x lik 2, blir utsegna sann. Er x lik 4, blir ho

usann. Vi kallar det ei open utsegn med variabelen x.

Likningar og ulikskapar er slike opne utsegner. A˚ løyse ei likning eller ein

ulikskap vil seie a˚ finne alle verdiane av x som gjer at utsegna blir sann.

Na˚r variabelen i ei likning er opphøgd i andre potens, har vi ei kvadratisk

likning. Likninga x 2 ¼ 9 er derfor eit eksempel pa˚ ei kvadratisk likning.

A˚ løyse likningar vil seie a˚ finne alle verdiar av x som gjer at likninga blir

oppfylt. Vi ser med ein gong at x2 ¼ 9 er oppfylt na˚r x ¼ 3 , fordi x2 ¼ 32 ¼ 9.

Likninga har ogsa˚ løysinga x ¼ 3, for vi har ogsa˚ x2 ¼ð 3Þ 2 ¼ 9.

Vi skriv dei to løysingane til likninga x2 ¼ 9 under eitt som x ¼

Sidan 3 ¼

3.

ffiffi p

9,

fa˚rvi løysingsformelen som er skriven i margen.

EKSEMPEL 21

Løys dei kvadratiske likningane:

a) 2x2 ¼ 32 b) ðx þ 3Þ 2 ¼ 25

Eg er

høgare enn deg.

Løysing:

a) I likninga 2x2 ¼ 32 dividerer vi med 2 pa˚ begge sider.

Vi fa˚r likninga x2 pffiffiffiffiffi ¼ 16, som har løysinga x ¼ 16 ¼ 4.

b) I likninga ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 ser vi pa˚ x þ 3 som ein ny ukjend.

Da˚ kan vi bruke løysingsformelen for kvadratiske likningar.

ðx þ 3Þ 2 pffiffiffiffiffi ¼ 25 gir x þ 3 ¼ 25 ¼ 5

Sa˚ reknar vi ut for pluss og minus kvar for seg:

x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 2

x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 8

KVADRATISKE

LIKNINGAR

Likninga

x 2 ¼ a

har løysinga

pffiffi

x ¼ a

24 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Vi løyser enkle ulikskapar pa˚ same ma˚ten som vi løyser likningar. Men det

er ein skilnad, nemleg na˚r vi multipliserer eller dividerer pa˚ begge sider av

ulikskapsteiknet med eit negativt tal. Vi skal forklare det med 4 < 6, som

vi veit er sant. Na˚r vi dividerer begge tala med 2, fa˚r vi desse verdiane:

4

¼ 2 og

2

6

¼ 3

2

Men 2 er som kjent større enn 3. For at ulikskapen framleis skal vere

sann, ma˚ vi derfor snu ulikskapsteiknet og skrive 2 > 3. Tilleggsregelen

blir altsa˚ at vi ma˚ snu ulikskapsteiknet na˚r vi multipliserer eller dividerer

pa˚ begge sider av ulikskapen med eit negativt tal.

EKSEMPEL 22

2 3x

x þ 3 >

3 2

1

3

6 6 2 2

6 3 x þ 6 3 > 6 63 3x

6 2

AKTIVITETAR

4x þ 18 > 9x 2

4x 9x > 2 18

5x > 20

5x

5

< 20

5

x < 4

OppgÔve 1.4 0

Løys likningane:

a) x2 ¼ 25 b) 3x2 ¼ 27

c) ðx þ 2Þ 2 ¼ 36

6 6 2 1

6 3

OppgÔve 1.41

Løys ulikskapane:

a) 2x > 12 b) x þ 3 < 4x 3

c) 4

x

< 1

2

x

3

d) 1

x > 2

3

3x

6

... Vi multipliserer alle ledd

med samnemnaren 6

... Vi kortar og multipliserer ut

... Viflytteroverogskifterforteikn

... Vi reknar saman

... Vi dividerer pÔ begge sider med

talet framfor x. Sidan talet er negativt,

mÔ vi snu ulikskapsteiknet.

... Vi kortar og reknar ut x

OppgÔve 1.42

Elham er seljar og fa˚r to tilbod om ma˚nadsbetaling:

A: Kr 6000 fast og i tillegg kr 500 per sal

B: Ingenting fast, men kr 800 per sal

Ga˚ ut fra˚ at Elham har x sal per ma˚nad.

Set opp ein ulikskap og finn ut na˚r det lønner seg

med tilbod A.

Utfordring 1.43

Løys likninga x ðx 2Þþ 2

3

ENKLE ULIKSKAPAR

Vi bruker reglane for enkle

likningar. I tillegg mÔ vi

hugse pÔ Ô snu ulikskapsteiknet

nÔr vi multipliserer

eller dividerer pÔ begge sider

av ulikskapen med eit

negativt tal.

¼ 1

2 x

5

2 ðx x2 Þ.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 25


1.9 Rekning med formlar

Du skal l×re

^ kva vi meiner med ein matematisk formel

^Ôbrukeeinmatematiskformel

Ordet formel kjem fra˚ latin og tyder «liten regel». I matematikk

bruker vi mange formlar. Dersom vi kjenner radien i ein sirkel, finn

vi for eksempel arealet av sirkelen ved hjelp av formelen A ¼ r 2 .

Formlar er ogsa˚ vanlege a˚ bruke i andre fag som økonomi og naturfag,

og i mange yrke.

I rekning med formlar kan vi ofte velje mellom fleire framgangsma˚tar.

Somme gonger er det enkel rekning fordi den ukjende sta˚r a˚leine pa˚

venstre side i formelen. Andre gonger fa˚r vi ei likning som ma˚ løysast.

Vi kan eventuelt gjere om pa˚ formelen, slik at vi slepp a˚ rekne med

likningar. Ein tredje variant er a˚ bruke ferdig oppsette «trekantformlar».

EKSEMPEL 23

Ein sirkel har eit areal pa˚ 95;0 cm 2 . Kor lang er radien?

Løysing:

Formelen for arealet av ein sirkel er gitt ved A ¼ r2 .

Na˚r vi set inn det gitte arealet i formelen,

fa˚r vi ei likning som ma˚ løysast:

95;0 ¼ r 2

95;0 ¼ r 2

30;24 r 2

r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p

30;24

Radien er 5;5 cm lang.

EKSEMPEL 24

5;5

Pa˚ ein 185 km lang biltur var gjennomsnittsfarten 74 km=h.

Kor lenge varte bilturen?

Løysing:

Vi har formelen strekning ¼ fart tid, som vi kan skrive s ¼ v t.

Ettersom det er tida t vi skal finne, kan vi først gjere om pa˚

formelen. Da˚ slepp vi a˚ ma˚tte løyse ei likning. Vi fa˚r t ¼ s

v .

Tida t som bilturen varte, er

185 km

¼ 2;5 h.

74 km=h

ALTERNATIVE

FRAMGANGSMA˚TAR

^ Set inn tall i formelen for

det som er kjent. LÖys oppgÔva

som ei likning.

^ Gjeromformelenslikat

den ukjende kjem Ôleine

pÔ venstre side.Finn svaret.

^Skrivformelensomein

ßtrekantformelý (sjÔ neste

side). Finn svaret.

95,0 cm 2

26 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

r


EKSEMPEL 25

Else sprang 400 meter pa˚ 64 sekund. Kor stor fart heldt ho?

Vi kan bruke same formelen som i eksemplet framanfor.

Men denne gongen vel vi a˚ bruke ein sa˚kalla «trekantformel».

Vi set inn for s og t og finn at farten v er lik

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.44

a) Oda ga˚r med farten 6 km=h.

Kor langt kjem ho etter 1;5 timar?

b) Ein bilførar køyrer med farten 80 km=h.

Kor lang tid bruker han pa˚ a˚ køyre 280 km?

c) Simen brukte 8;2 sekund pa˚ 60-meteren.

Rekn ut farten hans i meter per sekund.

DrÖfting 1.45

Sja˚ pa˚ skrivema˚tane nedanfor.

Veit de kva dei sta˚r for?

O ¼ 2 r H2O

C4 ¼ B3 A2=100 U ¼ R I

Diskuter i gruppa:

a) Kva for uttrykk ovanfor er matematiske formlar?

b) Kva tyder dei ulike symbola?

c) Finst det reglar for val av symbol?

d) Kva er fordelen med a˚ bruke formlar?

e) Kven bruker formlar?

OppgÔve 1.46

Snikkarverkstaden AS har spesialisert seg pa˚ a˚

lage gardinstenger. Materialet til ei gardinstong

kostar 15 kroner, mens faste kostnader som lønn,

straumutgifter og leige av lokale utgjer 2600 kroner

dagen.

a) Snikkarverkstaden AS produserer x gardinstenger

om dagen. Forklar at formelen for

samla kostnader per dag, K, kan skrivast

K ¼ 15x þ 2600.

b) Rekn ut kor store dei samla kostnadene blir

ein dag dei produserer 120 gardinstenger.

c) Kor mange gardinstenger vart produserte da˚

dei samla kostnadene var 3950 kroner?

400 m

64 s

¼ 6;25 m=s.

TREKANTFORMEL

DrÖfting 1.47

Kroppsmasseindeksen KMI er eit ma˚l pa˚ forholdet

mellom kor mange kilogram du veg,

og kvadratet av høgda di.

Formelen kan skrivast slik: KMI ¼ m

.

h2 Her ma˚ler vi m i kilogram og h i meter.

a) Rekn ut KMI for ein gut som veg 66 kg og

er 1;76 m høg.

b) Ei jente som er 1;66 m høg, har KMI lik 20;9.

Kor mykje veg jenta?

c) Kva meiner de om bruken av ein slik indeks?

Utfordring 1.4 8

Ida og Sara har same typen telefonabonnement.

Dei betaler ein fast sum i tillegg til at dei betaler

for kor mange teljarskritt dei ringjer. Den siste

telefonrekninga var pa˚ 480 kroner for Ida,

som hadde ringt 225 teljarskritt, mens Sara

hadde ringt 175 teljarskritt og ma˚tte betale

440 kroner.

Lag ein formel som viser kor mykje som ma˚

betalast na˚r dei ringjer x teljarskritt.

s

v t

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 27


1.10 SmÔ og store tal

Du skal l×re

^ korleis vi kan skrive smÔ og store tal pÔ standardform

^ korleis lommereknaren reknar med smÔ og store tal

Du hugsar kanskje at vi gongar med 10 ved a˚ flytte desimalkommaet

ein plass mot høgre: 75;43 10 ¼ 754;3.

Pa˚ same ma˚ten deler vi med 10 ved a˚ flytte desimalkommaet ein plass

mot venstre: 75;43 : 10 ¼ 7;543.

Potensen 10 2 fortel at vi skal gonge med 10 to gonger. Vi flytter

desimalkommaet to plassar mot høgre og fa˚r 75;43 10 2 ¼ 7543.

I matematikk er det vanleg a˚ bruke skrivema˚ten 10 2 na˚r vi skal dele

med 10 to gonger. Altsa˚ flytter vi desimalkommaet to plassar mot venstre

og fa˚r 75;43 10 2 ¼ 0;7543.

Lommereknaren forsta˚r denne skrivema˚ten. Vi tastar 75:43 10 ^ 2

og fa˚r det same svaret. Her ma˚ vi hugse a˚ bruke forteiknsminus ( )

pa˚ lommereknaren.

EKSEMPEL 26

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

1

a) 24 000 000 5630 b)

128 000

Løysing:

a) Svaret pa˚ lommereknaren er 1:3512 E 11.

Det sta˚r for talet 1;3512 1011 ¼ 135 120 000 000.

b) Svaret pa˚ lommereknaren er 7:8125 E - 6.

Det sta˚r for talet 7;8125 10 6 ¼ 0;000 007 812 5

Eit hydrogenatom veg 1;67 10 27 kg. Na˚r vi skriv talet pa˚ desimalform,

fa˚r vi 0;000 000 000 000 000 000 000 000 001 67.

Avstanden fra˚ sola til planeten Pluto er 5;96 10 9 km.

Dette er ein annan skrivema˚te for talet 5 960 000 000.

Du ser kor oversiktleg det kan vere a˚ skrive tala med tiarpotensar!

Vi seier at tala er skrivne pa˚ standardform.

I dei neste to eksempla skal vi øve oss pa˚ denne skrivema˚ten.

VI FLYTTER

DESIMALKOMMAET

10 2 vil seie Ô gonge med 10

to gonger.V| £ytter desimalkommaet

to plassar mot

hÖgre.

10 2 vil seie Ô dele med 10

to gonger.V| £ytter desimalkommaet

to plassar mot

venstre.

SKRIVEMA˚TEN

PA˚ LOMMEREKNAREN

8:3E5stÔr for talet

8,3 10 5 ¼ 830 000

8:3E - 5 stÔr for talet

8,3 10 5 ¼ 0,000 083

TAL PA˚

STANDARDFORM

a 10 k

^ a er eit tal mellom

1 og 10

^ k er eit heilt tal

28 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


EKSEMPEL 27

Skriv tala pa˚ standardform:

a) 5200 b) 0;000 063

Løysing:

a) 5200 ¼ 5;2 1000 ¼ 5;2 103 b) 0;000 063 ¼ 6;3 : 100 000 ¼ 6;3 10 5

EKSEMPEL 28

Planeten Saturn er 1;43 10 12 meter unna oss. Lyset ga˚r med

ein fart pa˚ 3;0 10 8 meter per sekund. Ein romsonde sender

eit signal til jorda fra˚ Saturn. For a˚ finne kor lang tid signalet

bruker, ma˚ vi dividere strekninga med farten:

Tid ¼ strekning

fart

¼

1;43 10 12 meter

3;0 10 8 meter per sekund

4770 sekund

Na˚r vi bruker lommereknar til a˚ rekne med tal pa˚ standardform, er det av

og til nødvendig a˚ setje parentesar for a˚ unnga˚ feil. Vi kan sleppe a˚ setje

parentesar dersom vi skriv inn tala pa˚ denne ma˚ten:

Casio: Talet 8;3 105 skriv vi inn som 8:3 EXP 5.

Texas: Talet 8;3 105 skriv vi inn som 8:3 2nd EE 5.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.49

Rekn ut ved hjelp av lommereknaren og skriv

svara ba˚de pa˚ standardform og som vanlege tal:

a) 7 020 000 820 000 b) 2 900 000 51 000

c)

73

19 000 000 000

d)

850

271 000 000

OppgÔve 1.50

Skriv svara pa˚ standardform:

a) Gjer om 13;2 meter til millimeter.

b) Gjer om 7;5 kilometer til centimeter.

c) Gjer om 2 desimeter til kilometer.

OppgÔve 1.51

Eit lysa˚r er den avstanden lyset ga˚r pa˚ eit a˚r.

Eit lysa˚r er lik 9;46 1015 meter.

a) Gjer om talet fra˚ standardform til vanleg tal.

b) Kor mange meter per sekund er lysfarten?

DrÖfting 1.52

Bakteriane økslar seg ved at ei bakteriecelle

deler seg og blir til to celler. Dersom bakteriane

har nok mat og plass, kan denne delinga skje

kvar time. Etter éin time er det to bakteriar,

etter to timar er det 2 2 ¼ 4 bakteriar,

og sa˚ vidare.

a) Kor mange bakteriar kan det teoretisk bli

etter eitt døgn? Skriv svaret pa˚ standardform.

b) Kan denne auken halde fram vidare i same

tempoet? Kommenter.

Utfordring 1.53

Kvart hydrogenatom har massen 1;67 10 27 kg.

Kor mange atom er det i 1 kg hydrogen?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 29


1.11 Forholdstal ^ kor mykje av kvar del?

Du skal l×re

^ Ô rekne med forhold og forholdstal i praktiske oppgÔver

I mange situasjonar i dagleglivet gjer vi bruk av talforhold.

Kart, arbeidsteikningar og blandingsforhold er nokre eksempel.

EKSEMPEL 29

Pa˚ ei flaske hushaldssaft sta˚r det at vi skal blande éin del

saft med fire delar vatn. Forholdet mellom saft og vatn skriv

vi da˚ 1 : 4. Motsett er forholdet mellom vatn og saft lik 4 : 1.

a) Kor mykje vatn ma˚ blandast med 3 dl saft?

b) Kor mykje saft har vi brukt dersom vi set til 6 dl vatn?

c) Kor mykje rein saft ma˚ blandast med vatn for a˚ lage 2 liter

ferdigblanda saft?

Løysing:

a) Éin del saft skal blandast med fire delar vatn. Da˚ ma˚ 3 dl saft

blandast med 3 dl 4 ¼ 12 dl vatn.

b) Det skal vere fire gonger sa˚ mykje vatn som saft. Det gir 6dl

¼ 1;5 dl saft.

4

c) Ferdigblanda saft inneheld éin del saft og fire delar vatn.

Saftmengda er derfor 1=5 av den totale blandinga. Vi gjer om

til desiliter og fa˚r 2 liter ¼ 20 dl. Mengda av rein saft er

EKSEMPEL 30

a) Eit sim-kort har lengda 2;5 cm og breidda 1;5 cm.

Kva er forholdet mellom lengda og breidda?

b) Eit rektangel med lengda 21 cm er formlikt med sim-kortet.

Kor breitt er rektanglet?

20 dl

5

¼ 4 dl.

Løysing:

2;5 cm

a) Forholdet mellom lengda og breidda er

1;5 cm 1;67.

b) Her kan vi rekne ut det motsette talforholdet.

1;5 cm

Forholdet mellom breidda og lengda av sim-kortet er ¼ 0;6.

2;5 cm

Breidda av rektanglet blir da˚ 21 cm 0;6 ¼ 12;6 cm.

Vi kunne òg ha delt lengda med talforholdet i a.

21 cm

Det gir 12;6 cm.

1;67

30 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Orienteringskart har ofte ma˚lestokken 1 : 10 000. Vi seier «ein til ti tusen».

1cmpa˚ kartet er 10 000 cm i terrenget, som er det same som 100 m.

EKSEMPEL 31

Vi har eit orienteringskart i ma˚lestokken 1 : 10 000.

a) Kor mange meter i terrenget er det i luftlinje mellom

to postar na˚r avstanden pa˚ kartet er 5;7 cm?

b) Kor mange centimeter er det mellom to innteikna postar

pa˚ eit kart na˚r det i luftlinje er 1200 meter mellom postane?

Løysing:

a) Her gongar vi med 10 000 fordi vi ga˚r fra˚ kart til terreng.

Avstanden i terrenget blir 5;7 10 000 cm ¼ 57 000 cm ¼ 570 m.

b) 1200 m er lik 120 000 cm. Vi deler pa˚ ma˚lestokken ð10 000Þ

fordi vi ga˚r fra˚ terreng til kart.

Avstanden pa˚ kartet blir

AKTIVITETAR

120 000 cm

10 000

¼ 12 cm.

OppgÔve 1.54

Eit turkart har ma˚lestokken 1 : 50 000.

a) Kva viser denne ma˚lestokken i praksis?

b) Kor lang er ein tur som ma˚ler 11;5 cmpa˚kartet? c) Avstanden mellom to fjelltoppar er 14 km

i luftlinje. Kva svarar det til pa˚ kartet?

ParoppgÔve 1.55

Ei arbeidsteikning er laga i ma˚lestokk 1 : 10,

mens ei anna arbeidsteikning er i ma˚lestokk 10 : 1.

Kva er skilnaden?

Prøv a˚ finne eksempel som kan passe til dei

to ma˚lestokkane.

OppgÔve 1.56

Ein dag betalte vi 7;90 norske kroner for 1 euro.

a) Kor mange norske kroner fekk vi da˚ for

117 euro?

b) Kor mange euro fekk vi for 3500 norske kroner?

DrÖfting 1.57

Ei lightsaft skal blandast i forholdet 1 : 9, det vil

seie éin del saft og ni delar vatn. Arne vil rekne ut

kor mykje saft som ga˚r med til a˚ lage 5 liter ferdigblanda

saft. Han set opp dette reknestykket:

5 liter 1

0;56 liter ¼ 5;6 dl

9

Forklar korfor utrekninga til Arne er feil.

Rekn ut den korrekte saftmengda.

Miniprosjekt 1.58

a) Vi har to linjestykke pa˚ 1;2 m og 1;5 m.

Rekn ut det lineære talforholdet mellom den

lange og den korte linja.

b) Vi har to kvadrat, det eine med sider

pa˚ 1;2 m og det andre med sider pa˚ 1;5 m.

Kva er forholdet mellom areala av det store

kvadratet og det vesle kvadratet?

c) Forklar kva forholdstalet mellom det største og

det minste volumet er na˚r vi har to kubar med

sidene 1;2 m og 1;5 m.

d) Kva slags samanheng er det mellom talforholda

for volum, areal og rette linjer?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 31


1.12 Prosent og prosentpoeng ^ kva er skilnaden?

Du skal l×re

^ Ô lÖyse oppgÔver med prosent nÔr vi kjenner den opphavlege verdien og prosenten

^ Ô rekne med prosentpoeng

^ Ô forklare skilnaden pÔ prosentvis endring og prosentpoeng

Na˚r vi reknar med prosent, er det viktig a˚ vere klar over at prosenten

heng saman med kva som er grunnlaget. 10 % rabatt pa˚ eit par sokkar

er mykje mindre i kroner enn 10 % rabatt pa˚ ei dyr jakke.

EKSEMPEL 32

Ein haust sel ei sportsforretning syklar med 35 % rabatt.

Line vurderer a˚ kjøpe ein sykkel som har kosta 5600 kroner.

Kor mange kroner blir rabatten pa˚?

Løysing:

opphavleg verdi prosent

Rabatt ¼

100

Rabatten blir 1960 kroner.

EKSEMPEL 33

¼

5600 kr 35

100

¼ 1960 kr

I skulea˚ret 2005–2006 var det 660 elevar ved ein vidarega˚ande skule.

A˚ ret etter hadde elevtalet auka med 5 %.

Kor mange elevar hadde skulen i 2006–2007?

Løysing:

Vi bruker same formelen som ovanfor. I tillegg ma˚ vi hugse pa˚

a˚ leggje auken til den opphavlege verdien:

660 elevar 5

Auke ¼ ¼ 33 elevar

100

660 elevar þ 33 elevar ¼ 693 elevar

I skulea˚ret 2006–2007 hadde skulen 693 elevar.

Mange bruker prosent og prosentpoeng om kvarandre. Prosentpoeng

er vanleg a˚ bruke na˚r vi for eksempel skal presentere framgang og

tilbakegang for politiske parti. Vidare ga˚r indeksrekning (kapittel 5) ut pa˚

a˚ samanlikne endringar i prosentpoeng.

PROSENT

Prosent tyder per hundre

eller hundredel.

For eksempel er

7%¼ 7

¼ 0,07

100

ENDRING

Vi finn endringa som

opphavleg verdi prosent

100

NY VERDI

Ny verdi ved ein auke:

opphavleg verdi þ auke

Ny verdi ved ein nedgang:

opphavleg verdi nedgang

32 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


EKSEMPEL 34

Lise har fa˚tt ein renteauke fra˚ 2;5 % til 3;0 % pa˚ eit bustadla˚n.

Kor stor var renteauken

a) i prosentpoeng b) i prosent

Løysing:

a) Auke i prosentpoeng: 3;0 2;5 ¼ 0;5

Renteauken var pa˚ 0;5 prosentpoeng.

endring 100 % 0;5 100 %

b) Auke i prosent: ¼ ¼ 20 %

opphavleg verdi 2;5

Renteauken var pa˚ 20 %.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.59

Kor mykje er

a) 5 % av 340 kroner

b) 27 % av 125 000 kroner

c) 0;65 % av 860 gram

d) 230 % av 12;40 kroner

OppgÔve 1.60

Rekn ut:

a) Ei bukse kosta opphavleg 920 kroner.

Prisen vart sett ned 70 %.

Kor mykje kosta buksa pa˚ sal?

b) Ein bustad steig i verdi med 28 %. Kvavar

verdien etter denne stigninga na˚r bustaden

i utgangspunktet var verd 960 000 kroner?

c) Ein fotballspelar ønskjer a˚ auke treningsmengda

med 40 %. Han trenar gjennomsnittleg

12;5 timar i veka. Kor mykje ma˚ han trene per

veke for a˚ greie ma˚lsetjinga si?

OppgÔve 1.61

Truls Olsen har ei a˚rslønn pa˚ 205 000 kroner.

Under eit lønnsoppgjer fa˚r han eit lønnstillegg

pa˚ 5;2 %.

a) Kor mange kroner var lønnsauken pa˚?

b) Kva blir den nye lønna til Truls Olsen?

PROSENT OG PROSENTPOENG

I prosentrekning mÔ vi ta utgangspunkt

i opphavleg verdi.

Prosentpoeng er di¡eransen

mellom to prosenttal.

DrÖfting 1.62

Det blir gjort ein del feil ved bruk av prosent.

Vi kan tenkje oss dette sitatet: «Tilskot til lag

og foreiningar har i gjennomsnitt ga˚tt ned med

5 %, fra˚ 30 % til 25 %, dei siste a˚ra.»

Korfor er dette feil? Gi ei forklaring.

Utfordring 1.63

Fra˚ Aftenposten i 2002 saksar vi: «SAS har mistet

tillit i det norske folk. Hele 43 % oppgir at de har

et negativt inntrykk av bedriften. Siden a˚ret før

har andelen nordmenn med et da˚rlig inntrykk av

selskapet økt med 25 prosentpoeng.»

Kor stor var auken i prosent fra˚ 2001

til 2002?

Utfordring 1.64

Eit par damesko kosta 1250 kroner. Skoa kjem pa˚

sal, og prisen blir sett ned 15 %.

Etter salet blir prisen sett opp att 15 %.

a) Forklar utan a˚ gjere utrekningar korfor skoa

ikkje vil koste det same som i utgangspunktet.

Blir skoa billigare eller dyrare enn

1250 kroner?

b) Rekn ut kor mykje skoa kosta etter at prisen

vart sett opp att.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 33


1.13 Prosentrekning ^ nÔr prosenten er ukjend

Du skal l×re

^ Ô rekne ut prosenten nÔr vi kjenner den opphavlege verdien og endringa

^ Ô rekne ut prosenten nÔr vi kjenner den opphavlege verdien og den nye verdien

I somme situasjonar i kvardagen kan det vere interessant a˚ rekne ut kor stor

prosenten er. Eit eksempel kan vere kor mange prosent ein bil har tapt seg i

verdi. Vi viser to reknema˚tar: «vegen om 1» og rekning med formel.

EKSEMPEL 35

Per og Anne skulle løyse ei oppga˚ve: Billigmøblar AS ønskjer a˚ selje

ut kommodane dei har pa˚ lager. Store kommodar er sette ned med

350 kroner fra˚ 1200 kroner, og sma˚ kommodar med 200 kroner fra˚

750 kroner. Kva slags kommodetype har størst prosentvis avslag?

Per løyste oppga˚va ved a˚ bruke formel:

Stor kommode:

350 kroner 100 %

Prosent ¼

1200 kr

29;2 %

Liten kommode:

200 kroner 100 %

Prosent ¼

750 kr

26;7 %

Anne løyste oppga˚va ved a˚ ga˚ «vegen om 1»:

Stor kommode:

1200 kroner

1 % svarar til ¼ 12 kroner.

100

350 kroner svarar til 350

%

12

29;2 %.

Liten kommode:

750 kroner

1 % svarar til ¼ 7;50 kroner.

100

200 kroner svarar til 200

%

7;50

Den store kommoden har størst prosentvis avslag.

26;7 %.

EKSEMPEL 36

Ein bustad steig i pris fra˚ 1 270 000 kroner til 1 358 900 kroner.

Kor stor var prisstigninga?

Løysing:

Vi reknar først ut endringa. Sa˚ bruker vi ein av reknema˚tane ovanfor.

Auke i verdi: 1 358 900 kr 1 270 000 kr ¼ 88 900 kr

Prosent med formel:

Prisstigninga var 7 %.

endring 100 % 88 900 kr 100 %

¼ ¼ 7 %

opphavleg verdi 1 270 000 kr

VI FINN PROSENTEN

Formel:

endring 100 %

Prosent ¼

opphavleg verdi

ßVegen om 1ý:

Opphavleg verdi er 100 %.

opphavleg verdi

^ 1 % er .

100

^ Del endringa med dette

talet.

34 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


AKTIVITETAR

OppgÔve 1.65

Kor mange prosent utgjer

a) 12 av 20

b) 12 av 200

c) 24 av 200

d) 6 av 200

OppgÔve 1.66

Silje har nettopp sett personleg rekord i lengde pa˚

4;78 meter. Den gamle rekorden var 4;69 meter.

Kor mange prosent var forbetringa pa˚?

OppgÔve 1.67

Av 280 bilar som passerte ein fartskontroll,

køyrde 35 for fort. Sju av desse bilførarane miste

førarkortet.

a) Kor mange prosent køyrde for fort?

b) Kor mange prosent køyrde for fort, men miste

ikkje førarkortet?

c) Kor mange prosent av dei som køyrde for fort,

miste førarkortet?

OppgÔve 1.68

Tiril er 159 cm høg, mens Marion er 172 cm høg.

a) Kor mange prosent høgare er Marion enn Tiril?

b) Kor mange prosent la˚gare er Tiril enn Marion?

c) Kommenter svara.

OppgÔve 1.69

Eit gartneri reklamerer med at kundane kan velje

tre rosebuskar og betale for to.

Diskuter kor mange prosent avslaget er pa˚.

(Tips: Na˚r det ikkje er gitt tal i prosentoppga˚ver,

kan du sjølv setje inn tal.)

DrÖfting 1.70

Ved ein vidarega˚ande skule arbeidde elevra˚det

med a˚ setje i verk tiltak for a˚ redusere elevfra˚været

ved skulen. Dei ha˚pa at fra˚været skulle

ga˚ ned fleire hundre prosent.

Diskuter om dette er mogleg.

Miniprosjekt 1.71

Omar og Karl vurderer a˚ kjøpe heimekinoanlegg.

Dei ser pa˚ eit anlegg fra˚ Sony til 12 000 kroner.

Under romjulssalet er prisen sett ned 50 %. Siste

salsdagen blir prisen sett ned ytterlegare 30 %.

«Flott,» seier Karl, «no har eg ra˚d til a˚ kjøpe

heimekinoanlegget, for no er det sett ned 80 %.

No skal eg berre betale 2400 kroner.»

Omar er ikkje samd i resonnementet til Karl.

Han meiner at Karl skal betale 4200 kroner.

Kven har rett?

Kor mange prosent er prisen sett ned totalt?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 35


1.14 Prosentrekning ^ nÔr opphavleg verdi er ukjend

Du skal l×re

^ Ô rekne ut den opphavlege verdien nÔr du kjenner prosenten og endringa

^ Ô rekne ut den opphavlege verdien nÔr du kjenner prosenten og den nye verdien

Na˚r den opphavlege verdien er ukjend, kan vi ga˚ «vegen om 1».

I neste kapittel skal vi lære a˚ løyse slike problem med vekstfaktor.

Vekstfaktoren høver godt na˚r det er fleire prosentvise tillegg,

men vi kan òg bruke metoden pa˚ oppga˚vene i dette kapitlet.

EKSEMPEL 37

I ein annonse for langrennsski sta˚r det at skia er sette ned 60 %.

Det svarar til 1260 kr i avslag. Kor mykje kosta skia opphavleg?

Løysing:

Her er endringa 1260 kr. Det svarar til 60 %:

1 1 % svarar til

1260 kr

¼ 21 kr.

60

Vi skal finne den opphavlege verdien, som svarar til 100 %:

2 100 % svarar til 100 21 kr ¼ 2100 kr.

Skia kosta opphavleg 2100 kr.

EKSEMPEL 38

Stig og Anne Hansen selde huset sitt for 2 520 000 kroner.

Det var 80 % meir enn dei sjølve hadde betalt for huset.

Kor mykje kosta huset da˚ dei kjøpte det?

Løysing:

Ein auke pa˚ 80 % gir ein «total prosent» pa˚ 100 % þ 80 % ¼ 180 %.

Den nye verdien er altsa˚ 180 % av den opphavlege verdien.

Den nye verdien er 2 520 000 kr. Det svarar til 180 %.

Vi skal finne den opphavlege verdien, som svarar til 100 %:

1 1 % svarar til

2 520 000 kr

¼ 14 000 kr.

180

2 100 % svarar til 100 14 000 kr ¼ 1 400 000 kr.

Huset kosta 1 400 000 kr da˚ Stig og Anne kjøpte det.

OPPHAVLEG VERDI

NA˚R VI KJENNER

PROSENTEN OG ENDRINGA

Rekninga gÔr i to etappar:

1Finnkva1 % svarar til.

2Opphavlegverdier100 %.

OPPHAVLEG VERDI

NA˚R VI KJENNER

PROSENTEN OG NY VERDI

FÖrst mÔ vi rekne ut den

ßtotale prosentený.

Deretter bruker vi dei same

to etappane som ovanfor:

ny verdi

1Finn1 % som

«total prosent»

2Opphavlegverdier100 %.

36 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


AKTIVITETAR

OppgÔve 1.72

Finn den opphavlege verdien na˚r

a) 20 % utgjer 350 kroner

b) prisen er 13 000 kroner etter at han

er sett opp 8 %

c) prisen er 740 kroner etter at han er sett ned 38 %

d) 135 % utgjer 420 kroner

OppgÔve 1.73

Ulrik arbeider som flyteknikar. Kvar ma˚nad bruker

han 7500 kroner til a˚ betale faste utgifter. Det

svarar til 40 % av det han fa˚r utbetalt kvar ma˚nad.

Kor mykje fa˚r Ulrik utbetalt i ma˚naden?

OppgÔve 1.74

Ein bilforhandlar ma˚ auke utsalsprisen pa˚ bruktbilar

med 2;5 % pa˚ grunn av endra valutakursar.

a) Kva blir den nye prisen pa˚ ein bil som tidlegare

kosta 150 000 kroner?

b) Ein bil kostar no 248 000 kroner.

Kor mykje kosta denne bilen før prisauken?

OppgÔve 1.75

Tine kjøper ein mobiltelefon til 1999 kroner etter at

prisen er sett ned 20 %. Kor mykje kosta mobiltelefonen

ordinært?

OppgÔve 1.76

Familien Moe har redusert straumforbruket

med 8 % i 2005 til 29 850 kWh.

Kor stort var straumforbruket i 2004?

OppgÔve 1.77

Ein klesbutikk kjøpte inn klede for 35 000 kroner

medrekna meirverdiavgift pa˚ 25 %.

Kor mykje kosta desse kleda utan meirverdiavgift?

Utfordring 1.78

Fra˚ 2004 til 2005 gjekk løyvingane til ein

sjukeheim ned med 4;5 %. Fra˚ 2005 til 2006

auka løyvingane med 3;0 %. Kor stor var løyvinga

i 2004 na˚r ho var 2 150 000 kroner i 2006?

Utfordring 1.79

Ein familie har ei fast inntekt per ma˚nad.

I august brukte dei 3600 kroner til mat.

Matutgiftene i september var 1;5 % høgare.

a) Kor store var matutgiftene i september?

b) I september utgjorde matutgiftene 12 % av

inntekta. Kor stor var inntekta?

c) Vi reknar med at resten av inntekta ga˚r til anna

forbruk og sparing. Kor mange prosent av

inntekta ga˚r til sparing na˚r anna forbruk utgjorde

15 400 kroner i september?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 37


1.15 ProblemlÖysing ^ mange vegar til mÔl

Du skal l×re

^ Ô analysere og lÖyse praktiske oppgÔver

^ Ô bruke varierte lÖysingsmetodar

EKSEMPEL 39

Kari leigde bil til ein ferietur. Ho ma˚tte betale ein fast sum pa˚

1200 kroner, i tillegg til 1;60 kroner per kilometer. Da˚ ho kom attende

fra˚ ferien, betalte ho 2600 kroner. Kor langt hadde Kari køyrt?

Løysing:

Vi kan starte med a˚ trekkje fra˚ den faste summen:

2600 kroner 1200 kroner ¼ 1400 kroner

Vi finn kor mange kilometer Kari køyrde, ved a˚ dele 1400 kroner

1400 kroner

pa˚ prisen per kilometer. Kari køyrde ¼ 875 km

1;60 kr=km

EKSEMPEL 40

Familien til Per driv ein kennel, og i hagen har dei ein stor

andedam. Na˚r Per blir spurt om kor mange hundar og ender dei

har, svarar han: «Vi har 40 dyr, og dei har 116 bein til saman.»

Anne, Bente og Cato greidde a˚ løyse problemet. Som du ser,

løyste dei problemet pa˚ ulike ma˚tar:

Prøv-deg-fram-metoden

Anne prøvde seg fram. Dersom det er 10 hundar, blir det til

saman 4 10 ¼ 40 bein. Da˚ ma˚ det i sa˚ fall vere 30 ender,

med til saman 60 bein. Anne legg saman og finn at det

berre blir 100 bein. Sa˚ prøver ho med 20 hundar og

20 ender. Det blir 80 þ 40 bein, altsa˚ fire bein for mykje.

Anne forsta˚r at det ma˚ vere to færre hundar. Per ma˚ ha

18 hundar og 22 ender for at det skal bli 116 bein til saman.

Talet pa˚ bein er 18 4 þ 22 2 ¼ 72 þ 44 ¼ 116.

Logisk resonnement

Cato veit at talet pa˚ bein endrar seg med 4 per hund og med 2 per and.

Om Per berre hadde hatt hundar, ville det ha vore 116=4 ¼ 29 hundar.

For kvar hund mindre blir det to ender meir for at talet pa˚ bein skal

vere det same. Det skulle vere 40 dyr i alt, slik at med 11 færre hundar

ma˚ det vere 11 2 ¼ 22 ender for at talet pa˚ bein framleis skal vere 116.

Per hadde da˚ 29 11 ¼ 18 hundar.

38 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


Likningssett

Bente hugsa at dei lærte likningssett pa˚ ungdomsskulen.

Ho kallar talet pa˚ hundar x og talet pa˚ ender y:

Likning I: hundar i alt þ ender i alt ¼ 40

x þ y ¼ 40

Likning II: bein p˚a hundane þ bein p˚a endene ¼ 116

4x þ 2y ¼ 116

Da˚ ho løyste dette likningssettet, fekk ho x ¼ 18 og y ¼ 22.

Altsa˚ var det 18 hundar og 22 ender.

Som eksempel 40 viser, er det ofte fleire framgangsma˚tar som fører til

svaret. Det er bra, for vi tenkjer jo ikkje likt!

Na˚r du arbeider med problemløysing, er det viktig a˚ sja˚ etter om det er

noko mønster i opplysningane, og a˚ jobbe systematisk. Det er lurt a˚

tenkje gjennom kva slags løysingsmetodar som kan passe. I margen har

vi skrive opp ein del nyttige tips til problemløysinga.

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.80

Kva blir dei tre neste tala?

a) 2; 4; 6; ... b) 1; 4; 7; 10; ...

c) 1; 3; 6; 10; 15; 21; ...

OppgÔve 1.81

1 4 9

Vi kan tenkje oss at dei tre tala 1, 4 og 9

dukkar opp som vist pa˚ figuren.

a) Kva blir det neste talet (tal nummer 4)?

b) Kva blir tal nummer 8?

c) Kva kallar vi desse tala?

OppgÔve 1.82

Det skal setjast opp gjerde rundt eit jorde. Jordet

har form som eit rektangel, der den stuttaste sida

er 23 meter. Kor lang er den lengste sida na˚r det ga˚r

med 116 meter gjerde?

PROBLEMLØYSING

1Teiknsituasjonen.

2 Skriv ned det du veit.

3 PrÖv Ô finne ut kva som er

problemet.

4 Er det nokre opplysningar

som manglar?

OppgÔve 1.83

Ei stor balje rommar 200 liter. Na˚r vasskrana er

skrudd pa˚ fullt, renn det 16 liter per minutt.

a) Kor lang tid tek det a˚ fylle balja?

Ein dag vart balja fylt med vatn fra˚ ein hageslange

i tillegg til vasskrana. Da˚ tok det a˚tte minutt a˚ fylle

balja.

b) Kor mange liter per minutt rann det gjennom

hageslangen?

Utfordring 1.84

Ola tenner to stearinlys som er like lange.

Det eine lyset bruker fem timar pa˚ a˚ brenne ned,

det andre berre tre timar. Ola lèt lysa brenne

ei stund før han blæs dei ut. Da˚ er det eine

lyset tre gonger sa˚ langt som det andre.

Kor lenge lét Ola lysa brenne?

(Tips: Teikn deg fram til svaret.)

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 39


1.16 Samansett eksempel

EKSEMPEL 41

Dersom ei trapp skal vere god a˚ ga˚ i, bør steghøgda

(oppsteget) ikkje vere større enn 170 mm, og innsteget bør

vere minst 230 mm. Trappeformelen kan uttrykkjast slik:

To oppsteg pluss eitt innsteg utgjer til saman 630 mm:

a) Korfor trur du det er laga ein trappeformel?

b) Set opp trappeformelen med ditt eige val av

symbol.

c) Kor langt ma˚ innsteget vere etter trappeformelen

dersom oppsteget er 150 mm?

INNSTEG

d) Kor langt ma˚ oppsteget vere etter trappeformelen

dersom innsteget er 290 mm?

e) Vi ønskjer a˚ byggje ei trapp i ei 4;25 meter høg skra˚ning.

Finn ut om det ga˚r opp i eit heilt tal trappesteg na˚r vilèt

oppsteget vere først 150 mm og deretter 170 mm.

Vi ønskjer a˚ lage ei trapp i tre og studerer prisane hos ulike

trelasthandlarar. Det billigaste alternativet pa˚ trykkimpregnerte plankar

er 8;60 kroner per meter. Firmaet gir 7 % rabatt ved kontant betaling.

f) Kor mykje kostar dei trykkimpregnerte plankane per meter

med 7 % rabatt?

Naboen har ogsa˚ kjøpt plankar til trappa si hos denne trelasthandlaren.

Han betalte 4700 kroner for materialane. Da˚ hadde han fa˚tt rabatt,

for den ordinære prisen var 5370 kroner.

g) Vi vil finne ut kor mange prosent rabatt naboen fekk, for a˚ krevje det

same dersom dette tilbodet var betre. Kor mange prosent rabatt

fekk naboen?

Løysing:

a) Det blir tilra˚dd a˚ følgje trappeformelen na˚r vi skal lage

ei god trapp a˚ ga˚ i. Har trappa for sma˚ steg, blir ho

slitsam a˚ ga˚ i, mens for høge oppsteg kan vere

brysamt særleg for barn og eldre.

b) Vi kallar oppsteget o og innsteget i. Da˚ fa˚r vi formelen

2 o þ i ¼ 630

c) Na˚r vi skal finne innsteget, kan vi gjere om formelen og skrive

i ¼ 630 2 o

Det gir

i ¼ 630 2 150 ¼ 630 300 ¼ 330

Innsteget ma˚ vere 330 mm.

OPPSTEG

40 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


d) Na˚r oppsteget er ukjent, kan vi skrive o ¼ 630 i

2 2 .

290

Vi set inn og fa˚r o ¼ 315 ¼ 315 145 ¼ 170.

2

Oppsteget ma˚ vere 170 mm.

e) Med oppsteg pa˚ 150 mm:

4250 mm

150 mm

28;3 trappesteg

Med oppsteg pa˚ 170 mm:

4250 mm

¼ 25 trappesteg

170 mm

Det ga˚r opp i eit heilt tal trappesteg na˚r oppstega er 170 mm.

8;60 kroner 7

f) Rabatten er

100

0;60 kroner.

Plankane kostar 8;60 kroner 0;60 kroner ¼ 8;00 kroner.

g) Naboen fekk rabatt pa˚ 5370 kroner 4700 kroner ¼ 670 kroner.

5370 kroner

1 % svarar til ¼ 53;70 kroner.

100

670 kroner

Rabatten i prosent var 12;5 %.

53;70 kroner

AKTIVITETAR

OppgÔve 1.85

Samanhengen mellom temperaturen ma˚lt i grader

celsius og i grader fahrenheit er gitt ved formelen

F ¼ 9

C þ 32

5

a) Kor høg er temperaturen ma˚lt i fahrenheitgrader

na˚r det er 25 grader celsius ð25 CÞ?

b) Gjer om formelen slik at celsiusgrader blir

uttrykt ved fahrenheitgrader.

c) Kor mange grader celsius er det na˚r det er

50 grader fahrenheit ð50 FÞ?

Ein temperaturskala som blir brukt i fysikken, er

kelvinskalaen. Det er den absolutte temperaturen

som blir ma˚lt i kelvin ðKÞ, og samanhengen mellom

kelvin og grader celsius er gitt ved formelen

C ¼ K 273;15

d) Rekn ut kor mange celsiusgrader som svarar

til 150 kelvin.

e) Kor mange kelvin er dobbelt sa˚ høg temperatur

som 0 grader celsius?

OppgÔve 1.86

Tonehøgda ma˚ler vi i talet pa˚ svingingar per

sekund, som vi kallar frekvens. Eininga for frekvens

er hertz ðHzÞ.

1 Hz er lik éi svinging per sekund.

I musikk har tonane pa˚ skalaen eit fast forhold til

kvarandre. Ein la˚g C har frekvensen 264 Hz.

Her er forholdstala for nokre av dei andre tonane

i høve til la˚g C:

D: 9 5 4

; E: ; F:

8 4 3

Desse forholdstala ma˚ stemme for at vi skal

oppfatte musikken som «rein». Na˚r eit piano,

ein fiolin eller ein gitar er ustemd, er ikkje

forholdet mellom tonane korrekt lenger.

a) Bruk det gitte forholdstalet for D i høve til la˚gC.

Kva er frekvensen til D?

b) Kva er forholdet mellom G og la˚g Cna˚r G har

frekvensen 396 Hz?

c) Rekn ut frekvensforholdet mellom F og G.

d) Pa˚ eit piano hadde E frekvensen 330 Hz.

Finn ut om pianoet var ustemt.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 41


SAMANDRAG

MÔlepresisjon og gjeldande si¡er. s. 14 ^ 15.

Storleiken 3;74 m har tre gjeldande siffer. Storleiken

1;8 har to gjeldande siffer. Produktet 3;74 1;8 m 2

skal da˚ ha den la˚gaste siffermengda av dei gitte

storleikane, nemleg to. Svaret blir 6;7 m 2 .

ReknerekkjefÖlgje og forteiknsreglar. s. 18^19.

1 Parentes 2 Potens

3 Gonge og dele 4 Pluss og minus

– I uttrykket 3 þ 4 6 «bind» gongeteiknet sterkare

enn plussteiknet, slik at vi reknar ut 4 6 først.

Vi fa˚r 3þ4 6 ¼ 3 þ 24 ¼ 27.

Merk at ð3 þ 4Þ 6 ¼ 7 6 ¼ 42.

– Hugs forteiknsreglane:

«minus gonger minus er pluss»

«minus gonger pluss er minus»

Enkel algebra. s. 20 ^ 21.

–Na˚r vi skal multiplisere eit tal med ein

parentes, multipliserer vi talet med kvart

ledd inni parentesen:

2 ðx þ 3Þ ¼2 x þ 2 3 ¼ 2x þ 6

– Med minus framfor ein parentes opnar vi

parentesen og skifter forteikn:

5 ð3x 1Þ ¼5 3x þ 1 ¼ 6 3x

– Ved multiplikasjon av to parentesar multipliserer

vi kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd

i den andre:

ð3x þ 9Þðx 3Þ ¼3x 2

9x þ 9x 27 ¼ 3x 2

27

BrÖkrekning. s. 21.

–Na˚r vi skal leggje saman to brøkar, gjer vi om

til same nemnaren og summerer teljarane:

2 1 4 3 4 þ 3 7

þ ¼ þ ¼ ¼

3 2 6 6 6 6

– Ved multiplikasjon av to brøkar multipliserer vi

teljar med teljar og nemnar med nemnar og kortar:

3

4

5

6

¼ 3 5

4 6

¼ 15

24

¼ 5

8

LikningslÖysing. s. 22 ^ 23.

Dei viktigaste hovuddraga na˚r viskalløyse

likningar, er:

– Gong inn i parentesane og opne dei.

– Gong alle ledd med samnemnaren.

– Saml ledda med x pa˚ venstre side.

– Skift forteikn na˚r du flytter over ledd.

– Divider med talet framfor x og kort brøken.

Kvadratiske likningar. s. 24.

For den kvadratiske likninga x2 ¼ a gjeld

x 2 pffiffiffi

¼ a ða 0Þ gir x ¼ a

LÖysing av ulikskapar. s. 25.

Ved ulikskapar ga˚r vi fram som ved likningar,

men med éi endring:

– Vi snur ulikskapsteiknet na˚r vi multipliserer eller

dividerer med eit negativt tal.

Formelrekning. s. 26 ^ 27.

Vi har sett pa˚ tre alternative framgangsma˚tar ved

formelrekning:

– Vi set inn tal i formelen og løyser formelen som

ei likning.

–Vifa˚r den ukjende a˚leine pa˚ venstre side.

– Somme formlar kan setjast opp som «trekantformlar».

Standardform. s. 28^ 29.

Eit tal pa˚ standardform er skrive slik: a 10 k .

a er eit tal mellom 1 og 10, og k er eit heilt tal.

Talet 236 000 pa˚ standardform blir 2;36 105 .

Vi flytter kommaet fem plassar mot venstre.

Pa˚ lommereknaren skriv vi: 2:36 E 5

Talet 0;000 41 blir 4;1 10 4 pa˚ standardform.

Vi flytter kommaet fire plassar mot høgre.

Pa˚ lommereknaren skriv vi: 4:1 E-4 Prosent. s. 32 ^ 35.

– Prosent tyder per hundre, slik at

85 % ¼ 85

¼ 0;85

100

– Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttal.

– Vi finn endringa som

opphavleg verdi prosent

endring ¼

100

– Vi finn prosenten som

endring 100 %

prosent ¼

opphavleg verdi

— f|nne opphavleg verdi.s. 36 ^ 37.

Vi bruker «vegen om 1». Opphavleg verdi svarar

til 100 %. Ein pris har auka med 15 % til kr 276.

Vi skal finne den opphavlege prisen:

115 % utgjer kr 276.

1 % utgjer: kr 276

¼ kr 2;40

115

100 % utgjer da˚ kr 240.

42 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


TEST DEG SJÒLV

Test 1.A

Hege skal kjøpe plantar i hagesenteret. Ho ønskjer

a˚ kjøpe minst fire ulike planteslag. Gjer eit

overslag og finn ut kva Hege kan kjøpe for om lag

1250 kroner na˚r roser kostar kr 55, georginar kr 29,

løytnantshjarte kr 38, rododendron kr 120 og

spirea kr 70.

Test 1.B

Gjer om til meter:

a) 253 cm b) 17 mm c) 1;48 km

Test 1.C

Rekn ut og skriv svaret sa˚ enkelt som ra˚d:

a) 5 þ 23 3 b) 5ð2þxÞð4þxÞ c) 1

4

þ 5

6

3

2

1

2

Test 1.D

Løys likningane:

a) 5 þ 2x ¼ 3x þ 7 b) 4ðxþ2Þ ¼5 ðxþ 2Þ

x 2

c)

3

3 ¼ x 5

Test 1.E

Massing er ei legering av sink og kopar.

Kor mange prosent sink er det i ein massinglysestake

na˚r vektforholdet mellom sink og kopar

er 1 : 4?

Test 1.F

Arealet av ein trekant er gitt ved formelen

g h

A ¼

2

a) Rekn ut arealet av ein trekant med grunnlinja

4;0 cm og høgda 3;0 cm.

b) Ein annan trekant har eit areal pa˚ 9;6 cm2 .

Grunnlinja er 4;0 cm. Kor stor er høgda?

Test 1.G

a) Ein genser kosta 450 kroner.

Kor mykje kostar genseren na˚r prisen steig 6 %?

b) Pa˚ tilbod er prisen pa˚ ein tannkremtube sett

ned fra˚ 15;90 kroner til 11;50 kroner.

Kor mange prosent er prisen pa˚ tannkremtuben

nedsett?

c) Ein bil blir seld for 228 900 kroner etter ein

prisauke pa˚ 9 %. Kor mykje kosta bilen

opphavleg?

Test 1.H

Simen har eit bustadla˚n pa˚ 850 000 kroner. Han

betaler 5 % rente i a˚ret, men fa˚r vite fra˚ banken

at renta skal hevast til 6;45 % per a˚r.

a) Kor mange prosentpoeng aukar renta?

b) Kor mange prosent aukar renta?

c) Kor mange kroner utgjer renteauken per a˚r na˚r

vi tek utgangspunkt i det opphavlege la˚net?

Test 1.I

a) Ein gigabyte er 1 012 048 064 byte.

Skriv dette talet pa˚ standardform.

b) Ei nautisk mil er 1852 meter. Vis at dette talet

har sitt opphav i omkrinsen av jorda ved ekvator

pa˚ 4;0 107 m, gradtalet til jorda pa˚ 360 og

minuttalet 60.

Test 1.J

Dei to nabofamiliane Eng og Bakke reiste til ei

felles feriehytte. Familien Eng tok raskaste vegen

til hytta, mens familien Bakke drog pa˚ ein 15 mil

lengre tur rundt eit vakkert fjellomra˚de. Etter at

hytteferien var over, reiste Bakke raskaste vegen

heim, mens Eng tok ein veg som var dobbelt sa˚ lang.

Dei to familiane køyrde 143 mil til saman.

Kor langt var det til feriehytta?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 43


ÒvingsoppgÔver

1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne

A1.87

Gjer først eit overslag. Rekn deretter ut dei eksakte

svara:

a) 27 þ 12 þ 15 þ 24 36 þ 17

b) 248

c) 29 31

32 67 50

A1.88

Ada kjøper inn tre flasker brus til kr 8;90 per flaske,

tre sjokoladar til kr 9;90 per stykk og 0;5 kg eple

til kr 22;30 per kilogram. Gjer eit overslag og

finn ut om ho har nok pengar dersom ho berre

har 70 kroner i pungen.

A1.89

Artikkelen er fra˚ VG, som gjorde ei undersøking

av prisane i ein butikk. Gjer hovudrekninga som er

nemnd i artikkelen.

B1.90

Per Olav er skuleelev og har ekstrajobb pa˚ laurdagar.

Han har ei fast timelønn pa˚ kr 125 heile den tida

han jobbar. Per Olav har ei eiga timeliste pa˚ jobben

der han skriv opp tidspunktet na˚r han kjem, og na˚r

han ga˚r. Han fa˚r lønn for heile den tida han er til

stades pa˚ jobben.

Til jobben: Fr˚a jobben:

09.33 16.08

09.44 16.32

10.05 16.07

09.59 16.04

Kor mykje skal Per Olav ha i lønn denne ma˚naden?

B1.91

Per og Kari ga˚r pa˚ skule og har tilleggsjobb i ein

kiosk. Per arbeider kvar a˚ttande ettermiddag, og

Kari arbeider kvar sjette ettermiddag. Ein ettermiddag

er begge pa˚ jobben. Kor mange dagar ga˚r

det før begge pa˚ nytt arbeider same ettermiddagen?

B1.92

Tala 1; 2; 4; 7 og 14 er dei heile tala som er

mindre enn 28 og ga˚r opp i 28. Det vil seie at 28

er deleleg med desse tala. Men vi har ogsa˚ at

28 ¼ 1 þ 2 þ 4 þ 7 þ 14

Det vil seie at 28 er eit tal som er lik summen av

alle tala mindre enn 28 som ga˚r opp i 28. Det er

vanleg a˚ kalle slike tal perfekte tal.

a) Finn ut om 24 er eit perfekt tal.

b) Finn det minste perfekte talet.

c) Vis at 496 er eit perfekt tal.

C1.93

Nokre gode venner var ute pa˚ restaurant. Kvar av

dei bestilte nøyaktig det same, og rekninga for

kvar av vennene var eit heilt tal. Den samla

rekninga kom pa˚ kr 4913. Kor mange venner var

det i selskapet?

C1.94

Per og Kari har kvar si gamle klokke. Pers klokke

saktnar litt jamført med Karis. Dei stiller klokkene

likt. Na˚r det har ga˚tt 40 minutt etter Karis klokke,

syner Pers klokke at det har ga˚tt 39 minutt.

Kor lenge ga˚r det til begge klokkene pa˚ nytt viser

same tid?

44 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


1.2 Vegen om 1 ^

ein praktisk framgangsmÔte

A1.95

Vi betaler 47;25 kroner for 2;5 kg eple.

Kva er prisen per kilogram?

A1.96

Kor mange norske kroner fa˚r vi for 9000 japanske

yen na˚r 1 japansk yen svarar til 6;00 kroner?

A1.97

I ei oppskrift pa˚ biff sta˚r det at vi treng 600 gram

biff til fire personar. Kor mange gram biff ga˚r med

til sju personar?

A1.98

Eit stearinlys er forma som ein sylinder med høgda

20 cm. Vi tenner lyset for første gong og lèt det

brenne i 40 minutt. Da˚ er det att 18 cm av lyset.

Kor lang tid kan vi rekne med at dette stearinlyset

framleis kan brenne?

B1.99

Kor mange engelske pund fa˚r vi for kr 5800 na˚r

1 engelsk pund svarar til 11;60 norske kroner?

B1.100

Per skal lage gresk salat og vurderer om han skal

kjøpe raudlauk i buntar til kr 24;90 eller i laus vekt

til 29;90 kr/kg. Han finn at bunten veg 0;6 kg.

Samanlikn prisane.

B1.101

Vi kjøper 5000 danske kroner. Denne dagen

opplyser banken at vi ma˚ betale 108 norske kroner

for 100 danske kroner. Kor mange norske kroner

ma˚ vi betale na˚r banken krev eit vekslingsgebyr

pa˚ kr 40?

B1.102

Vi fyller tanken pa˚ bilen heilt full med bensin.

Etter a˚ ha køyrt 75 mil ma˚ vi fylle 60 liter pa˚

tanken for at han skal bli full att.

a) Kor mange liter har vi brukt per mil?

b) Kor mange mil har vi køyrt per liter?

B1.103

Pa˚ ein skule er det 320 elevar. Fordelinga av jenter

og gutar er 5 : 3. Kor mange jenter og kor mange

gutar er det pa˚ skulen?

C1.104

Knut landar pa˚ Seychellane. Han veit ikkje kursen

pa˚ seychelliske rupiar (SCR), men vekslar inn

200 euro og fa˚r 1742;07 SCR. Kor mange norske

kroner svarar 100 rupiar til na˚r 1 euro er 7;40 kroner

og vi ser bort fra˚ gebyr?

C1.105

Du kappspring 100 meter med ein sprintar. Ho kjem

ima˚l na˚r du har att 10 meter av distansen. Som ein

gest til deg føresla˚r ho at de skal springe 100 meter

ein gong til, men at ho denne gongen skal starte

10 meter bak startlinja. Kven vinn denne gongen?

1.3 Dekadiske mÔleiningar.

MÔlepresisjon

A1.106

Gjer om til liter:

a) 15 ml b) 13;4 dl

A 1.107

a) Gjer om 34;7 ml til liter.

b) Gjer om 1;57 kg til gram.

c) Gjer om 1;3 l til centiliter.

d) Gjer om 3;2 g til hektogram.

e) Gjer om 2;7 m til millimeter.

f) Gjer om 4;8 mm til meter.

g) Gjer om 2;1 dm til millimeter.

h) Gjer om 4;3 ml til desiliter.

A1.108

Finn arealet av eit rektangel med lengda 4;32 m

og breidda 7;73 m.

A1.109

a) Gjer om 0;42 kg til gram.

b) Gjer om 43;3 mm til meter.

c) Gjer om 2;3 dl til milliliter.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 45


A1.110

Gjer om til kilometer per time (km=h):

a) 12 m=s b) 19 m=s

A 1.111

Gjer om til meter per sekund (m=s):

a) 100 km=h b) 37 km=h

A1.112

Kva slags ma˚lereiskap vil du bruke til a˚ ma˚le

a) diameteren pa˚ ein leidning

b) tjukkleiken pa˚ papir

A1.113

a) Rekn ut arealet av ein sirkel med radius 2;5 m.

b) Rekn ut arealet av ein sirkel med radius 2;55 m.

B1.114

Ein bil bruker ein og ein halv time pa˚ a˚ køyre 95 km.

Rekn ut gjennomsnittsfarten i kilometer per time og

i meter per sekund.

B1.115

Ellen og Erik ga˚r ein fast kveldstur rundt eit vatn.

Turen er pa˚ 4;7 km, og dei bruker 45 minutt.

Rekn ut gjennomsnittsfarten i meter per sekund

og i kilometer per time.

B1.116

Gjer om til mikroliter ðmlÞ:

a) 15 ml b) 0;014 l c) 1;25 dl

B1.117

Ein pasient blir medisinert fra˚ kl. 14:10 til kl. 16:50

med 15 dropar per minutt. Kor mange dropar blir

det i alt? Kor mange liter væske blir det na˚r vi

reknar at 20 dropar svarar til éin milliliter?

C1.118

Ein 10 000-meterløpar forbetrar tida fra˚ 27:11;08

til 27:10;50. Banen er 400 m. Tidene blir oppna˚dde

pa˚ to ulike banar. Kor nøyaktig ma˚ banane vere

ma˚lt for at det verkeleg er ei forbetring?

1.4 Lommereknaren

A1.119

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

a) 2 ð3þ 4 3Þ 5 6 b) 32422 3

A1.120

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

a) 4 1;52 2;32 b) 32 3 2

c) ð 3Þ 2

3 2

A1.121

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

a)

3 þ 39

3 2

b)

4 5 2

2 4

A1.122

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

pffiffiffiffiffiffiffi

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

a) 169 b) 12 13 þ 133

B1.123

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

a) 3 4 2 52 þ 32 4

b) 2 4 ð22 3Þþ5 ð1 22Þ 4 5

c)

2 5 42 4 52 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

d) 122 112 p

B1.124

Rekn ut pa˚ lommereknaren:

4 þ

a)

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

144 102 p

2 3

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

5 2 13

b) 2 102 p

2 3

c)

C1.125

52 42 42 32 32 22 22 12 c)

c)

4 2 3

3 2 2 4

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

52 42 p

Vi opplyser at x og y er gitt ved x ¼ 1;742 2

og y ¼ 3 x2 þ 4x 1. Rekn ut verdien av y

sa˚ nøyaktig som ra˚d pa˚ lommereknaren.

46 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

pffiffiffi

3


1.5 ReknerekkjefÖlgje og

forteikn ^ nyttige reglar

A1.126

Rekn ut utan lommereknar:

a) 3 þ 4 2 b) ð3 þ 4Þ 2

c) 2 32 d) ð2 3Þ 2

A1.127

Rekn ut utan lommereknar:

a) 3 ð 4Þ þ 5 3

b) 2 ð7 2Þ ð 3Þ ð 2Þ

A1.128

Rekn ut utan lommereknar:

a) 32 b) 42 c) ð 5Þ 2

d) ð 6Þ 2

A1.129

Rekn ut utan lommereknar:

a) 2 32 3 2 b) 2 32 3 22 þ 4

c) 2 42 3 22 2 d) 2 32 5 3 22 5

A1.130

Rekn ut utan lommereknar:

a) 2 ð32 3Þ 2 b) ð2 32 þ 1Þ 4

c) 2 ð2 32 4Þ 5

B1.131

Rekn ut i hovudet:

a) 37 þ 58 þ 13 8 b) 2 179 5 þ 300 : 30

B1.132

Rekn ut utan lommereknar:

a) 32 2 ð 4Þ

b) ð 3Þ 2

2 ð 3Þ

c) ð 3Þ 2

2 ð 3Þ 2

d) 2 ð 3Þ 2

3 ð 2Þ 3

C1.133

Rekn ut 1 þ 2 þ 3 þ ...þ 1000.

1.6 Enkel algebra

A1.134

Rekn ut:

a) 3 þðx 3Þ b) 4x ðx 2Þ

c) 4 ð4 xÞ d) 2 ðx 3Þ

e) 2 ðx 4Þ f) 3 2 ð4 2xÞ

A1.135

Rekn ut:

a) ðx þ 3Þðx þ 4Þ b) ðx 3Þðx þ 3Þ

c) ð2x 3Þð3x 2Þ d) ð3x 4Þð5 2xÞ

A1.136

Rekn ut:

a) 3 ðx 2Þ 2 ðx þ 3Þ b) 4x ðx 3Þ 3x ðx 4Þ

A1.137

Rekn ut som brøk:

a) 3 3

þ

4 4

5

4

b) 1

4

A1.138

Rekn ut som brøk:

a) 1 1

b)

3 4

2 2

þ

5 3

2

3

c) 4 5

2

c) 1 2

þ

2 3

A1.139

Ved eit skuleval røysta 1=3 av elevane pa˚ Arbeidarpartiet,

mens 1=6 av elevane røysta pa˚ Sosialistisk

Venstreparti. Kor stor del av elevane røysta pa˚ desse

to partia til saman?

B1.140

Pa˚ ein skule er det 120 elevar i 1. klasse, 100 elevar

i 2. klasse og 80 elevar i 3. klasse. Av elevane

i 1. klasse er 2=3 jenter. I 2. klasse er jentedelen 3=5,

og i 3. klasse lik 1=2.

Kor mange jenter er det i alt pa˚ denne skulen?

B1.141

Rekn ut:

a) x 1

x

ðx 2Þ b)

2 2 5

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 47

3

5

x

3

3

4

5


B1.142

Rekn ut:

a)

2

3

1

2

1

1

7

b) 2

3

B1.143

Eva lèt etter seg ein formue. Ektefellen arvar 2=3,

eit humanitært fond fa˚r 1=12, og resten skal delast

likt mellom tre nevøar. Kor stor brøkdel av arven

fa˚r kvar av nevøane?

C1.144

I eit selskap kom 1=2 av gjestene i bil, 1=4 kom

med buss, mens dei tre siste gjestene kom til fots.

Kor mange gjester kom til selskapet?

1.7 Likningar

A1.145

Løys likningane:

a) 3x ¼ 15 b) 4x 12 ¼ 0

c) 8x 3 ¼ 4x þ 5 d) 3t2¼5þ4t A1.146

Løys likningane:

a) x

x

¼ 7 b) 2þ

3 2

c) 1

x 4 ¼ 2

2

x

3

d) x

3

A1.147

Løys likningane:

a) 2 ðx 1Þ ¼3 2x

b) x 2 ð3x 2Þ ¼ ðx 3Þ

c) 3 5 ðx 3Þ ¼4 4 ðx 5Þ

1

2

1

3

¼ 3 x

x 1

¼ x þ

2 6

A1.148

Eva er tre gonger sa˚ gammal som dottera Pia.

Til saman er dei 52 a˚r. La alderen til Pia vere x a˚r,

set opp ei likning og finn alderen hennar.

9

5

A1.149

Na˚r du set deg i ei drosje, sta˚r taksameteret

pa˚ 42 kr. Sjølve køyringa kostar 10 kr per kilometer.

Du har berre 100 kr pa˚ deg. La x vere den køyrde

distansen i kilometer. Set opp ei likning og

finn kor langt du kjem for pengane dine.

B1.150

Løys likningane:

a) x

3

b) 1

2 x

2 ðx 1Þ ¼x ð2 xÞ

1

ðx 3Þ ¼2 ðx 1Þ

3

B1.151

To firma konkurrerer i same bransjen. Eit a˚r sel

firmaet Datasoft for 7;8 millionar kroner og firmaet

Bytes for 9;5 millionar kroner. Etter planane som

leiinga i begge firma legg, skal Datasoft auke salet

med 0;75 millionar kroner per a˚r og Bytes

med 0;47 millionar kroner per a˚r.

a) Set opp uttrykka for kva Datasoft og Bytes etter

planane skal selje for om x a˚r.

b) Kor mange a˚r ga˚r det før begge firma har

like stor omsetning?

B1.152

Eli og Espen har laga bollar for a˚ selje dei under

eit idrettsstemne. Bollane vart selde for kr 5 per stk.

Da˚ fekk dei 22 bollar til overs. Dersom dei i staden

hadde selt bollane for kr 4;50 per stk., ville dei fa˚tt

selt alle saman og fa˚tt den same inntekta.

Kor mange bollar hadde dei bakt?

C1.153

Om to a˚r er Kari dobbelt sa˚ gammal som Per var

for tre a˚r sidan. Kari er ti a˚r eldre enn Per.

Kor gamle er dei?

48 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


1.8 Kvadratiske likningar.

Ulikskapar

A1.154

Løys ulikskapane:

a) 5x 12 > 0 b) x 4 > 2x þ 3

c) x

2

1

3

1

> x 1 d) x 2 < x 3

4

A1.155

Løys likningane:

a) x2 ¼ 121 b) x2 81 ¼ 0

c) 2x2 162 ¼ 0

B1.156

Løys likningane:

a) ðx 3Þ 2 ¼ 25 b) ða þ 5Þ 2 ¼ 62 c) 3ðy 10Þ 2 ¼ 363

B1.157

Kostnadene ved a˚ produsere x einingar av ei vare

er K ¼ 4000 þ 120x. Inntektene ved sal av

x einingar er I ¼ 500x. Avgjer na˚r kostnadene er

større enn inntektene.

B1.158

Ein seljar av mobiltelefonar fa˚r to tilbod:

A: kr 120 for kvar telefon ho sel

B: ein fast sum pa˚ kr 2000 og kr 85 for kvar

telefon ho sel

Lag ein ulikskap og finn kor mange telefonar

som ma˚ seljast for at tilbod A skal vere betre

enn tilbod B.

B1.159

Ein gong kjem det kanskje symjebasseng pa˚ ma˚nen?

Dersom vi hoppar fra˚ høgda h meter,

er farten i meter per sekund na˚r vira˚kar vatnet,

gitt ved

v 2 ¼ 3;2h

Finn farten na˚r vi hoppar fra˚ h ¼ 3;0 m.

1.9 Rekning med formlar

A1.160

Ei forretning har studert samanhengen mellom talet

pa˚ kundar og omsetninga. Dei er komne fram

til formelen

O ¼ 94;00 k

der O er omsetninga i kroner, og k er talet pa˚ kundar.

a) Forklar denne formelen med ord.

b) Kor stor vart omsetninga ut fra˚ formelen ein dag

det var 188 kundar innom butikken?

c) Kor mange kundar kan vi rekne med var innom

butikken ein dag omsetninga var kr 11 300?

A1.161

a) Magnus brukte 36 minutt pa˚ ein 5 km lang

joggetur. Kor stor var farten hans i kilometer

per time?

b) Den raskaste farten systera hans har hatt

pa˚ same joggeturen, er 12;5 km=h.

Kva er da˚ persen hennar?

A1.162

Arealet av eit rektangel er gitt ved A ¼ l b.

a) Kor stort er arealet av eit rektangel na˚r lengda

l ¼ 4 cm og breidda b ¼ 3 cm?

b) Kva er lengda av eit rektangel na˚r breidda

er 2;4 m og arealet er 15;6 m2 ?

c) Kor stor er breidda av eit rektangel med lengda

20;0 dm og eit areal lik 272;0 dm 2 ?

A1.163

a) Omkrinsen av ein sirkel er gitt ved formelen

O ¼ 2 r

1 Rekn ut omkrinsen na˚r radien er 2;0 cm.

2 Rekn ut omkrinsen na˚r radien er 4;0 cm.

3 Rekn ut radien na˚r omkrinsen er 35;2 cm.

b) Arealet av ein sirkel er gitt ved formelen

A ¼ r 2

1 Rekn ut arealet na˚r radien er 2;0 cm.

2 Rekn ut arealet na˚r radien er 4;0 cm.

3 Rekn ut radien na˚r arealet er 116;9 cm2 .

c) Kva skjer med omkrinsen og arealet na˚r vi

doblar radien i ein sirkel?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 49


B1.164

Ohms lov seier at U ¼ RI, der U er spenninga

ma˚lt i volt ðVÞ, R er resistansen ma˚lt i ohm ð Þ,

og I er straumen ma˚lt i ampere ðAÞ.

a) Finn spenninga na˚r resistansen er 10 og

straumen er 5 A.

b) Finn straumen na˚r spenninga er 220 V og

resistansen er

1) 2;0 2) 4;0 3) 10

B1.165

Effekt er energi per tidseining:

P ¼ E

t

Her er E energien ma˚lt i joule ðJÞ, ogt er tida

i sekund ðsÞ. Effekten er ma˚lt i watt ðWÞ.

a) Løys formelen med omsyn til t.

b) Kor lenge ma˚ vi bruke ein effekt pa˚ 40 W

for a˚ fa˚ ein energi pa˚ 500 J?

C1.166

Finn t na˚r

a) p ¼ bt b) q ¼ 1

2 bt2

1.10 SmÔ og store tal

c) q ¼ a

t 2

A1.167

Rekn ut pa˚ lommereknaren og skriv svara ba˚de

pa˚ standardform og som vanlege tal:

a) 10 20 30 40 50 60 70

b) 560 000 21 000

c) 1 : 123 456 789

d) 0;000 83 0;0004

e) 750 000 94 000

A1.168

Ei eske har kvadratisk botn med sider

lik 48;1 cm. Høgda i eska er 86;5 cm.

Kor stort volum ði cm 3 Þ har eska na˚r formelen

for volumet er lengda breidda høgda?

Rund av svaret og skriv det pa˚ standardform.

A1.169

Skriv pa˚ standardform:

a) 1014 b) 0;012

c) 2500 102 d) 0;013 10 4

A1.170

Skriv som vanlege tal:

a) 1;2 103 b) 1;41 10 3

c) 0;87 10 2 d) 1;15 10 5

B1.171

I kraftig regnvêr svarar fire vassdropar til 1 ml vatn.

I ein regnma˚lar pa˚ Blindern hadde det samla seg

0;86 liter vatn.

a) Kor mange vassdropar var det i ma˚laren?

b) Kva blir volumet av éin million vassdropar?

c) Kor mange dropar ga˚r det pa˚ eitt tonn vatn?

C1.172

Avstanden fra˚ midten av jorda til midten av

ma˚nen er 3;84 108 m. Ma˚neradien er 1740 km,

og jordradien er 6371 km.

a) Vi sender eit lyssignal med farten

v ¼ 3;0 108 m=s fra˚ jordoverflata til ma˚nen.

Kor lang tid ga˚r det før signalet kjem

attende etter a˚ ha vorte reflektert?

b) Tenk deg at du reiser til ma˚nen. Farten er

1000 m=s. Kor lang tid tek turen?

Gi svaret i ei høveleg eining.

1.11 Forholdstal ^

kor mykje av kvar del?

A1.173

Marte og faren var i jordbæra˚keren. Faren plukka

i snitt 3 korger for kvar korg Marte greidde a˚ plukke.

a) Kor mange korger greier Marte a˚ plukke

dersom faren plukkar 18 korger?

b) Kor mange korger plukkar dei til saman

dersom Marte plukkar 4 korger?

c) Da˚ dei var ferdige, hadde dei plukka 36 korger

til saman. Kor mange korger hadde faren plukka,

og kor mange hadde Marte plukka?

50 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


A1.174

Ein ma˚nad sende A˚ se 70 tekstmeldingar. Det kosta

48;30 kroner. Ma˚naden etter sende ho 90 tekstmeldingar.

Kor mykje kosta det a˚ sende 90 tekstmeldingar

na˚r prisen per melding var den same?

A1.175

Kari skal kjøpe gardinstoff. Ho har funne ein

stofftype som ho liker godt.

I «Stoffbua» kostar stoffet 1596 kroner for ein

rull pa˚ tolv meter.

I «Klipp og Sy» kostar stoffet 1088 kroner for

ein rull pa˚ a˚tte meter.

Vurder kvar Kari bør kjøpe stoffet.

A1.176

Eit kart har ma˚lestokken 1 : 50 000.

a) Avstanden mellom to stader pa˚ kartet er 7;3 cm.

Finn avstanden mellom dei to stadene

i terrenget.

b) Avstanden mellom to postar i eit orienteringsløp

er 2;7 km. Kor langt er det mellom desse to

postane pa˚ kartet?

A1.177

a) Ein sirkel med diameter lik 12;0 cm har

ein omkrins pa˚ 37;7 cm.

Rekn ut talforholdet omkrins

diameter .

b) Ein annan sirkel har diameter lik 5;8 cm og ein

omkrins pa˚ 18;2 cm. Rekn ut talforholdet

mellom omkrinsen og diameteren i denne

sirkelen òg.

c) Kva tal fa˚r vina˚r vi deler omkrinsen pa˚

diameteren?

B1.178

Ole skulle blande fugemasse. Pa˚ pakken stod det at

fugemasse og vatn skulle blandast i forholdet 3 : 1.

Ole tok 5 dl fugemasse, men ved eit mistak tok

han 2 dl vatn slik at fugemassen vart for flytande.

Kor mykje meir fugemasse ma˚tte han tilsetje for at

blandingsforholdet skulle bli korrekt?

B1.179

I tilknyting til vegutbygging vart det reist

ein 2 meter høg støyskjerm. I endane av støyskjermen

brukte dei stuttare plankar for a˚ lage ei gradvis

avslutning. Fra˚ a˚ vere 2;00 m lang ma˚lte neste planke

1;60 m, deretter 1;28 m, 1;024 m og 0;819 m.

a) Forklar at den som var hjernen bak dette, ma˚ ha

tenkt forholdstal. Kva slags forholdstal er det

rekna med?

b) Kor lang ville den a˚ttande planken ha vore

dersom dei hadde ga˚tt vidare med systemet?

C1.180

Ein biolog ønskte a˚ finne ut kor mange rein det var

i eit omra˚de. I staden for a˚ telje alle reinsdyra gjorde

han eit overslag ved a˚ trekkje eit utval. Denne

stikkprøvemetoden ga˚r utpa˚ at vi først samlar inn

nokre dyr som vi merkjer. Dyra blir sa˚ sleppte fri,

og etter ei stund samlar vi inn nokre dyr att.

Dersom dyra er tilfeldig blanda og ingen dyr er

døde eller fødde eller har vandra til og fra˚ omra˚det,

kan metoden gi eit bra overslag.

Ved første innsamling hadde biologen 42 reinsdyr,

som han merkte. I neste fangst samla han inn 70 dyr.

Av dei var 14 merkte.

Finn ut om lag kor mykje rein det var i omra˚det.

C1.181

Ein brannbil er utstyrt med ein skuvbar stige. Stigen

byrjar 2;2 m over bakken. Na˚r stigen er pressa

saman med maksimal stigning, er han 3;1 m lang,

og det øvste punktet er 4;8 m over bakken.

Fullt utstrekt ma˚ler stigen 11;0 m. Rekk stigen opp

til eit vindauge 11;0 m over bakken?

C1.182

Ein sirkel med radius 2;0 cm skal illustrere folketalet

i by A, som utgjer 225 000. To andre byar har

folketal pa˚ 500 000 (by B) og 150 000 (by C).

Illustrer folketalet i byane B og C pa˚ same ma˚ten,

slik at alle tre sirkelareala stemmer innbyrdes.

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 51


1.12 Prosent og prosentpoeng ^

kva er skilnaden?

A1.183

Ein sykkel kostar kr 6500. Prisen blir sett ned 30 %.

a) Kor stort var prisavslaget i kroner?

b) Kva er tilbodsprisen?

A1.184

Ein bil kostar kr 450 000. Kor mykje kostar bilen

a) na˚r prisen aukar 12 %?

b) na˚r prisen minkar 12 %?

A1.185

Du har lyst pa˚ eit stereoanlegg som kostar

6990 kroner, men har berre 6000 kroner. Butikkinnehavaren

seier at han kan gi deg 15 % rabatt.

Har du nok pengar til a˚ kjøpe stereoanlegget?

A1.186

Prisen pa˚ ein oppvaskmaskin i El-Butikken var

5000 kroner, mens den same maskinen kosta

5800 kroner hos El-Giganten. Oppvaskmaskinen

kjem pa˚ sal i begge butikkane. El-Butikken set ned

prisen 25 %, mens El-Giganten set ned prisen 35 %.

Kvar lønner det seg a˚ kjøpe oppvaskmaskinen?

A1.187

Jakker med ein normalpris pa˚ kr 1200 fa˚r eit

prisavslag pa˚ 10 %. Bukser med ein normalpris

pa˚ kr 650 blir sette ned 20 %.

a) Vurder utan a˚ bruke lommereknar kva for eit

plagg som blir sett ned mest i kroner.

b) Kor mykje ma˚ vi betale for to jakker og

tre bukser til nedsett pris?

B1.188

30.6.2005 uttalte sentralbanksjefen at renta skulle

aukast fra˚ 1;75 % til 2;00 % (Aftenposten).

a) Kor mange prosentpoeng auka renta?

b) Kor mange prosent auka renta?

c) Forklar skilnaden mellom prosentvis endring

og prosentpoeng.

B1.189

Ingvill fa˚r eit brev fra˚ banken om at renta pa˚ la˚net

hennar er sett ned fra˚ 3;75 % per a˚r til 3;25 %.

a) Kor mange prosentpoeng er rentesatsen endra?

b) Kor mange prosent er renta sett ned?

B1.190

I 2005 var Framstegspartiet og Arbeidarpartiet dei

store vinnarane av skulevalet i dei vidarega˚ande

skulane. Ap gjekk fram 10;1 prosentpoeng til 21;8 %.

Størst oppslutning hadde FrP med 24;9 %. Det var

ein framgang pa˚ 10;8 prosentpoeng.

Som vi ser, auka FrP litt meir enn Ap na˚r vi tek

for oss prosentpoenga. Kva for eit parti auka mest

i prosent?

B1.191

Anne tente 247 000 kroner i 2003. Dei to neste

a˚ra fekk ho ein lønnsauke pa˚ først 3;4 %

og deretter 2;7 %.

a) Forklar korfor vi ikkje kan leggje saman dei

to prosentane og rekne med 6;1 % i staden for

først a˚ rekne 3;4 % og sa˚ 2;7 %.

b) Dersom vi hadde rekna med 6;1 % i staden,

trur du svaret ville ha vorte større eller mindre

enn den reelle lønna?

c) Rekn ut kor mykje Anne har i lønn etter dei

to lønnspa˚slaga. Rekn ogsa˚ ut kor stor lønna

ville ha vorte om ho hadde fa˚tt ein lønnsauke

pa˚ 6;1 % i staden.

B1.192

Ei jakke til kr 1500 blir sett ned 30 %. Dei siste

salsdagane blir tilbodsprisen sett ned enda˚ 40 %.

a) Kor mykje kostar jakka dei siste salsdagane?

b) Somme trur nok at prisen no er sett ned 70 %

totalt. Forklar korfor prisen faktisk er sett ned

mindre enn 70 %.

c) Kor stort var det samla prosentavslaget?

Prøv deg fram.

C1.193

Ein tøyrull inneheld 21 meter tøy. Ein seksdel av

tøyrullen blir seld til full pris, halvparten blir seld

med 20 % rabatt, mens resten blir seld til halv pris.

Da˚ har forretninga fa˚tt inn i alt 2310 kroner for rullen.

Kva var full pris per meter?

52 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


1.13 Prosentrekning ^

nÔr prosenten er ukjend

A1.194

a) Kor mange prosent er kr 150 av kr 500?

b) Kor mange prosent er kr 3;50 av kr 70?

c) Kor mange prosent er kr 11;50 av kr 355?

A1.195

a) Av kr 152;50 i ei lommebok er kr 12;50

sma˚myntar. Kor mange prosent utgjer

sma˚myntane?

b) Pa˚ ein skule er det 240 jenter og 172 gutar.

Kor mange prosent er gutar?

c) Ein sykkel er sett ned kr 2000. Førprisen var

kr 8900. Kor mange prosent er avslaget pa˚?

B1.196

Ein familie kjøper inn to løpejakker og tre trøyer

til tilbodsprisane i annonsen. Kor mange prosent

sparer dei jamført med rettleiande prisar?

B1.197

Familien Dahl omfattar to vaksne og tre barn.

Dei skal feriere i Syden og ventar med a˚ bestille

billettar til prisen er sett ned fra˚ kr 8200 til kr 7200

for vaksne og fra˚ kr 4200 til kr 3600 for barn.

a) Kor mange prosent sparte dei i alt?

b) Kva for ein pris vart redusert mest i prosent?

C1.198

Ein restaurant har kvar dag ein dagens rett til fast

pris. For a˚ fa˚ nye faste kundar kjem restauranten

med eit tilbod: Kvar sjette gong du et dagens rett,

slepp du a˚ betale. Ein gjest et ein ma˚nad

dagens rett 14 gonger. Kor mange prosent har han

spart pa˚ denne ordninga jamført med a˚ betale

normal pris for alle ma˚ltida?

C1.199

Prisen pa˚ ei vare som opphavleg kosta 3250 kroner,

aukar først 4 % for sa˚ a˚ bli sett ned 3 %.

Til sist blir prisen sett opp 7 %.

Finn den samla prosentvise endringa av prisen.

C1.200

Meirverdiavgifta pa˚ klede auka fra˚ 24 % til 25 %.

Kor mange prosent dyrare vart det a˚ kjøpe klede?

1.14 Prosentrekning ^ nÔr

opphavleg verdi er ukjend

A1.201

a) Eit par ski er sette ned 40 % og kostar no kr 2400.

Kor mykje kosta dei i utgangspunktet?

b) Etter at prisen pa˚ eit fjernsynsapparat er sett ned

20 %, kostar det kr 7400. Kor mykje kosta

apparatet opphavleg?

c) Etter at prisen er sett ned 25 % kostar eit par

joggesko kr 720. Kor mykje kosta skoa før

prisnedgangen?

A1.202

Ved ein rideskule auka timeprisen for a˚ ri ein hest

med kr 25. Det utgjorde ein auke pa˚ 11 %.

Kva var den opphavlege timeprisen?

B1.203

Folketalet i ein kommune auka 2;4 % fra˚ eit a˚r til

eit anna. A˚ rsaka var at 20 personar døydde, 69 vart

fødde, og 38 personar var innflyttarar til kommunen.

Kor mange innbyggjarar var det i kommunen det

første a˚ret?

B1.204

Ved kontroll av speedometeret pa˚ ein bil fann ein

at det viste 7 % for mykje. Kor stor var den verkelege

farten na˚r speedometeret synte 85 km=h?

B1.205

a) Etter ein prisauke pa˚ 8 % kostar ei vare 540 kroner.

Kor mykje kosta vara før prisauken?

b) Kva er full pris na˚r 20% rabatt utgjer 1500 kroner?

c) Kva er full pris na˚r vi betaler 150 kroner etter

a˚ ha fa˚tt 25 % rabatt?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 53


1.15 ProblemlÖysing ^

mange vegar til mÔl

A1.206

Kan du plassere tala 1; 2; 3; ...; 9 i rutene pa˚ eit

ark med 3 3 ruter slik at du fa˚r same summen

na˚r du summerer kvar rad, kvar kolonne og kvar

av dei to diagonalane? (Tips: Start med talet

i midten.)

A1.207

Dei tre brørne Per, Pa˚l og Espen er til saman

58 a˚r. Per er fem a˚r eldre enn Pa˚l. Espen er

tre a˚r eldre enn halvparten av alderen til Per.

Kva er alderen til kvar av brørne?

A1.208

Eit tal minus to tredelar av talet blir 18.

Kva for eit tal er det?

B1.209

I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel,

ein tredel vel styrketrening, mens resten, a˚tte elevar,

er sjuke eller har gløymt gymtøyet.

Kor mange elevar er med i gymtimen?

B1.210

Ein bonde hadde tre barn. Han fastsette at den eldste

skulle arve 2=5 av dyra, den mellomste 1=3 og den

yngste resten.

a) Kor stor del arva den yngste?

b) Kor mange dyr var det pa˚ garden na˚r

den yngste arva tolv dyr?

B1.211

Pa˚ ein juletrefest var det 124 personar til stades.

Billettprisen for barn var kr 40, mens vaksne betalte

kr 70. Til saman var billettinntektene kr 6310.

Kor mange barn og kor mange vaksne var med

pa˚ juletrefesten?

1.16 Blanda oppgÔver

OppgÔve 1.212

Ein vaksen person har eit dagsbehov for vitamin C

pa˚ 30 mg. Kva er det samla dagsbehovet for

vitamin C na˚r viga˚r ut fra˚ at det er 3;4 millionar

vaksne personar i Noreg?

OppgÔve 1.213

Ei forretning sel poteter for kr 5,90 per kilogram.

Forretninga tilbyr dei same potetene i posar med

2,5 kg for kr 16,50. Kor mange prosent dyrare er

potetene i posar jamført med dei same potetene

i laus vekt?

OppgÔve 1.214

Vi kjøper 3000 svenske kroner. Denne dagen

opplyser banken at du ma˚ betale 80;40 norske kroner

for 100 svenske kroner. Kor mange norske kroner

ma˚ vi betale na˚r banken krev eit vekslingsgebyr

pa˚ kr 40?

OppgÔve 1.215

Pa˚ ei eske Casco husfix sta˚r det at pulveret skal

blandast med vatn i forholdet éin vektdel vatn til

fire vektdelar pulver.

a) Kor mange gram vatn og pulver ma˚ du bruke

for a˚ fa˚ 250 g ferdig blanding?

b) Du har 600 gram pulver med husfix.

Kor mykje vatn ma˚ du blande i pulveret for

a˚ fa˚ rett blanding?

OppgÔve 1.216

I denne oppga˚va skal du ikkje bruke lommereknaren.

a) Rekn ut:

1) 2 þ 3 ð4 2Þ 2) 2 ð 3Þ 2

42 b) Rekn ut:

1) 3

þ 2

4

3

2

c) Løys likningane:

1) 3x

1

3

¼ x

2

d) Løys likninga: x

2

x

3

2)

1

2

1

3

2) 2x 2 ¼ 50

¼ 1

4 x

e) Rekn ut:

1) 4 ðx 3Þ 3 ðx 4Þ 2) ð2x 1Þðx 2Þ

54 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

1

3

5

2

4

2


OppgÔve 1.217

Ei legering (blanding) av to metall, A og B,

inneheld 120 g av A og 200 g av B.

a) Kor mange prosent av metallet A er det

i legeringa?

b) Kor mange gram av metall A ma˚ vi tilføre

legeringa dersom det skal bli 50 % av kvart

metall?

OppgÔve 1.218

I 1997 kosta ein laserskrivar kr 3800. Prisen steig

med 8 % i 1998, men vart sa˚ sett ned 15 % i 1999.

a) Kor mykje kosta laserskrivaren i 1999?

b) Kor stor prosentvis endring i prisen fra˚

1997 til 1999 svarar det til?

c) Forklar korfor svaret ikkje er lik

8 % 15 % ¼ 7 %.

OppgÔve 1.219

Eit fat olje rommar 259 liter. Oljeprisen er

66;50 dollar per fat. Rekn ut prisen for ein liter olje

i norske kroner na˚r kursen pa˚ dollar er 7;50.

OppgÔve 1.220

Halva˚rstala fra˚ Opplysningsra˚det for Vegtrafikken

(OFV) viser at Peugeot-importørane har hatt minst

auke. Mens den samla auken i bilsalet har vore

27;5 %, har Peugeot berre auka salet med 3;3 %

eller rundt 100 bilar. Peugeot sit att med ein

marknadsdel pa˚ 7;1 %. Det er ein tilbakegang pa˚

1;3 prosentpoeng samanlikna med a˚ret før.

a) Kva meiner vi med at Peugeot har hatt

tilbakegang?

b) Kor stor var Peugeots prosentvise tilbakegang

na˚r det gjeld marknadsdelar?

OppgÔve 1.221

Eit medisinfirma hadde 240 tilsette i 2003, mens

det i 2004 berre var 185 tilsette. Fra˚ 2004 til 2005

gjekk talet pa˚ tilsette ned med 11;2 %.

a) Kor stor prosentvis endring var det i talet pa˚

tilsette fra˚ 2003 til 2004?

I 2006 rekna bedrifta med a˚ auke talet pa˚ tilsette

med 15;2 %.

b) Kor stor prosentvis endring var det i talet pa˚

tilsette fra˚ 2003 til 2006?

OppgÔve1.222

Ei kule som fell loddrett, har etter tida t falle

ei strekning s, der s ¼ 1

2 gt2 . Vi ser bort fra˚

luftmotstanden, og g ¼ 9;8 m=s2 .

a) Rekn ut s na˚r t ¼ 2;1 s.

b) Kor lang tid t har kula falle na˚r s ¼ 19;8 m?

c) Finn ein formel for t uttrykt ved s og g.

OppgÔve 1.223

Pa˚ eit vegskilt sta˚r det at ein radiostasjon sender pa˚

103;2 MHz.

a) Kor mange hertz (Hz) er det?

I eit e-verk blir det lese av eit forbruk pa˚ 103 GW.

b) Kor mange watt (W) er det?

OppgÔve 1.224

Vi har gitt tala a ¼ 42 000 og b ¼ 0;000 076.

Bruk dette til a˚ rekne ut

a) a b b) a

b

c) b

a

d) a 2 b 3

OppgÔve 1.225

Det trengst 4200 J til a˚ varme opp éin liter vatn 1 C.

a) Kor mykje energi trengst det til a˚ varme opp

250 liter vatn 1 C?

b) Kor mykje energi trengst det til a˚ varme opp

250 liter vatn 30 C?

Ved eit karbad ga˚rviutfra˚ein person bruker 250 liter

vatn som er varma opp fra˚ 10 C til 40 C.

c) Kor mykje kostar eit karbad na˚r

1 kWh ¼ 3;6 MJ kostar ca. kr 0;50?

OppgÔve 1.226

Ei straumrekning omfattar ei fast avgift pa˚ kr 2500

og i tillegg kr 0;34 per kilowattime. Ein student

leiger eit rom i ein bustad og fa˚r sin eigen

straumma˚lar. Ho betaler for eigne kilowattimar og

i tillegg sin del av den faste avgifta. Forholdet

mellom det ho skal betale i fast avgift, og kr 2500,

er lik forholdet mellom forbruket hennar og heile

bustaden. Ma˚laren til studenten viser 3769 kWh,

mens resten av bustaden har 8260 kWh.

Kor mykje skal ho betale?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 55


OppgÔve 1.227

Ei forretning set ned prisen pa˚ ei vare fra˚

kr 56;50=kg til kr 51;30=kg.

a) Kor mange prosent er avslaget pa˚?

Forretninga reknar med ein auke i salet pa˚ 35 %

pa˚ grunn av prisavslaget. Tidlegare vart det selt

50 kg av vara per dag.

b) Kor mange kilogram reknar forretninga no

med a˚ selje per dag?

c) Kva blir salsverdien per dag?

d) Kor mange prosent auka salsverdien per dag?

OppgÔve 1.228

(Eksamen 1MY)

Avstanden fra˚ Oslo til Trondheim ma˚lt langs vegen

er om lag 500 km. Avstanden fra˚ Kristiansand til

Kirkenes ma˚lt langs vegen er om lag 3000 km.

a) Kor mange gonger ma˚ ein bil køyre strekninga

Oslo–Trondheim for at det skal svare til

avstanden fra˚ Kristiansand til Kirkenes?

b) Ein bil bruker 0;7 liter bensin per mil.

Kor mykje kostar det a˚ køyre fra˚ Kristiansand

til Kirkenes na˚r bensinen kostar 8;50 kroner

per liter?

OppgÔve 1.229

(Eksamen 1MY)

Sommaren 2002 vann nordmannen Thor Hushovd

ein etappe i Tour de France. Han brukte 4 timar

28 minutt 28 sekund pa˚ etappen. Favoritten

Lance Armstrong brukte 11 minutt 42 sekund meir.

a) Kor lang tid brukte Armstrong?

Etappen var 176;5 km lang.

b) Kor stor var gjennomsnittsfarten til Thor

Hushovd i meter per sekund og i kilometer

per time?

OppgÔve 1.230

(Eksamen 1MY)

Arne vinn 5 millionar kroner i lotto. Som kjent

er ikkje lottomillionærar som andre millionærar,

og Arne krev a˚ fa˚ heile gevinsten utbetalt

i tikronestykke. For ein tikroning gjeld:

– Vekta er 6;80 g.

– Tjukkleiken er 2;00 mm.

a) Kor høg er ein stabel der 50 tikroningar ligg

oppa˚ kvarandre? Kor høg ville stabelen ha vore

dersom alle tikroningane i lottogevinsten la˚g

oppa˚ kvarandre?

b) Kor mykje veg premien dersom han blir

utbetalt i tikroningar? Gi svaret i kilogram.

c) Arne vil telje tikroningane for a˚ kontrollere at

han har fa˚tt det han har krav pa˚. Gjer fornuftige

overslag over kor raskt han tel, og finn ut

kor lang tid han bruker pa˚ a˚ telje pengane.

OppgÔve 1.231

(PISA 2003)

Biletet syner fotavtrykka til ein mann som ga˚r.

Steglengda P er avstanden mellom bakre kant av

to etterfølgjande fotavtrykk. For menn gir formelen

n=P ¼ 140 eit tilnærma forhold mellom n og P,

der n er talet pa˚ steg per minutt, og P er steglengda

i meter.

a) Dersom formelen gjeld for Haralds ma˚te a˚ ga˚ pa˚,

og Harald tek 70 steg i minuttet, kva blir

steglengda til Harald? Vis korleis du fann svaret.

b) Bjarte veit at steglengda hans er 0,80 meter.

Formelen gjeld for hans ma˚te a˚ ga˚ pa˚.

Rekn ut kor fort Bjarte ga˚r i meter per minutt

og i kilometer per time. Vis utrekningane dine.

56 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


OppgÔve 1.232

Samanhengen mellom temperaturar ma˚lte i grader

celsius ð CÞ og i grader fahrenheit ð FÞ er gitt ved

formelen

C ¼ 5

ðF 32Þ

9

a) Gjer om desse temperaturane til celsiusgrader:

1) 4 F 2) 90 F

b) Gjer om desse temperaturane til fahrenheitgrader:

1) 0 C 2) 37 C 3) 100 C

OppgÔve 1.233

I 1976 var utsleppa av fosfor til vatn 5500 tonn,

mens dei i 1985 var 4500 tonn.

a) Kor stor var nedgangen i utslepp i prosent

fra˚ 1976 til 1985?

Fra˚ 1970 til 1976 var det ein nedgang

i fosforutsleppa pa˚ 19;1 %.

b) Kor store var utsleppa i 1970?

I 1985 fordelte utsleppa seg slik:

– fra˚ bustader: 2500 tonn

– fra˚ industri og landbruk: 500 tonn

– fra˚ naturen sjølv: 1500 tonn

Vi tenkjer oss at utsleppa fra˚ bustader kan halverast

fra˚ 1985 til 1990, mens dei andre utsleppa er

konstante.

c) Kor mange prosent vil det totale utsleppet

ga˚ ned i denne perioden?

OppgÔve 1.234

I juli 1986 var oljeproduksjonen i OPEC-landa

20;5 millionar fat i døgnet. Av denne produksjonen

stod Irak for 1;9 millionar fat. Alle landa bortsett

fra˚ Irak vart samde om a˚ redusere produksjonen

med 20 %. Irak heldt produksjonen pa˚ same niva˚et

som før.

a) Kore stor vart den nye samla døgnproduksjonen

for OPEC-landa?

b) Kor mange prosent fall den samla døgnproduksjonen?

Før reduksjonen var oljeprisen 9;8 dollar per fat.

Etter reduksjonen steig prisen til 15;2 dollar per fat.

c) Kor mange prosent steig da˚ Iraks oljeinntekter?

d) Finn den prosentvise endringa i dei samla oljeinntektene

for OPEC-landa ved denne nedgangen

i produksjonen.

OppgÔve 1.235

Sommaren 1983 undersøkte Norges Automobilforbund

korleis prisane pa˚ reservedelar varierte

hos forhandlarane.

a) Hos ein forhandlar kosta ein bestemt reservedel

210 kroner. Hos ein annan forhandlar var den

same delen 21 % dyrare. Kor mykje kosta

delen hos denne forhandlaren?

b) Hos forhandlar A kosta bremseskiva til ein viss

bil 349 kroner. Den same bremseskiva ma˚tte ein

betale 836 kroner for hos forhandlar B. Kor mange

prosent dyrare var bremseskiva hos forhandlar B

enn hos A?

OppgÔve 1.236

Etter a˚ ha fa˚tt tillegg i lønna to gonger hadde

Anne ei ma˚nadslønn pa˚ 4620 kroner. Det første

tillegget i lønna var pa˚ 200 kroner, mens det andre

utgjorde 5 % av ma˚nadslønna etter det første

tillegget. Rekn ut kor stor ma˚nadslønn Anne hadde

like før ho fekk det første tillegget i lønna.

OppgÔve 1.237

(Nasjonal prøve)

Finn talet som høver til denne forklaringa:

– Talet er mindre enn 30.

– Faktoriserer du talet ved hjelp av berre primtal,

blir faktorane berre 3-tal og 2-tal.

– Dersom du legg saman sifra i talet, fa˚r du eit

kvadrattal. Kva for eit tal er det?

OppgÔve 1.238

(PISA 2000)

Ein bonde plantar epletre i eit kvadratisk mønster.

For a˚ skjerme trea mot vind plantar han na˚letre

kring frukthagen. Nedanfor ser du eit diagram som

viser mønsteret av epletre og na˚letre for ymse rader

(n) av epletre:

n = 1 n = 2 n = 3

x x x

x x

x x x

x = nåletre

= epletre

x x x x x

x x

x x

x x

x x x x x

x x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x x xx

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 57


a) Fullfør tabellen:

n Epletre i alt Na˚letre i alt

1 1 8

2

3

4

5

4

b) Det er to formlar du kan bruke for a˚ rekne ut

talet pa˚ epletre og na˚letre i mønsteret som er

vist framanfor:

epletre i alt ¼ n 2

n˚aletre i alt ¼ 8n

der n er talet pa˚ rader av epletre.

Det finst ein verdi av n der talet pa˚ epletre

er lik talet pa˚ na˚letre. Finn denne verdien av

n og vis utrekningane dine.

c) Tenk deg at bonden vil lage ein mykje større

frukthage med mange rader av tre. Na˚r han

gjer frukthagen større, kva aukar da˚ raskast:

talet pa˚ epletre eller talet pa˚ na˚letre?

Forklar korleis du kom fram til svaret.

OppgÔve 1.239

(PISA 2000)

Fart

(km/h)

Farten til ein racerbil langs ein 3 km bane

(andre runde)

Denne grafen viser korleis farten til ein racerbil

varierer i den andre runden av ein flat bane pa˚

3 kilometer.

a) Kor stor er den omtrentlege avstanden fra˚

startstreken til byrjinga av den lengste rette

strekninga pa˚ banen?

b) Kvar vart den la˚gaste farten ma˚lt i den andre

runden?

c) Kva kan du seie om farten til bilen mellom

merka for 2;6 kmog2;8 km?

A Farten til bilen er konstant.

B Farten til bilen aukar.

C Farten til bilen minkar.

D Farten til bilen kan ikkje finnast ut fra˚

grafen.

d) Her er figurar av fem banar:

S

A

s: startpunkt

S

S

Langs kva for ein bane vart bilen køyrd

for a˚ lage fartsgrafen som er vist framanfor?

OppgÔve 1.240

(TIMSS 2003)

Pa˚ ei framføring var 3=25 av tilskodarane barn.

Kor mange prosent av tilskodarane utgjorde det?

OppgÔve 1.241

(TIMSS 2003)

Ein ny motorveg reduserer den gjennomsnittlege

reisetida mellom to byar fra˚ 25 minutt til

20 minutt. Kor mange prosent ga˚r reisetida mellom

dei to byane ned?

OppgÔve 1.242

(TIMSS 2003)

Ein lærar og ein lege har 45 bøker kvar. Na˚r 4=5 av

bøkene til læraren og 2=3 av bøkene til legen er

romanar, kor mange fleire romanar har da˚ læraren

enn legen?

OppgÔve 1.243

(TIMSS 2003)

John og Carina vart bedne om a˚ dele eit tal med 100.

Ved eit mistak gonga John talet med 100 og fekk

svaret 450. Carina delte heilt rett talet med 100.

Kva vart svaret hennar?

58 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

S

B

E

C

S

D


OppgÔve 1.244

(TIMSS 2003)

Bensintanken pa˚ ein bil rommar 45 l. For kvar 100

km som bilen køyrer, bruker han 8;5 l bensin.

Ved starten pa˚ ein 350 km lang tur er tanken full.

Kor mange liter bensin var det att pa˚ tanken da˚

turen var over?

OppgÔve 1.245

(TIMSS 2003)

Ein dataklubb hadde 40 medlemmer, og av dei var

60 % jenter. Seinare vart 10 gutar med i klubben.

Kor mange prosent av medlemmene er no jenter?

OppgÔve 1.246

(TIMSS 2003)

Figurane nedanfor er bygde opp av fyrstikker etter

eit mønster.

Figur 1 Figur 2

Figur 3

Kor mange fyrstikker treng vi til den tiande figuren

dersom mønsteret held fram?

OppgÔve 1.247

(TIMSS 2003)

Geir har dobbelt sa˚ mange bøker som Bjørn.

Cato har seks bøker meir enn Bjørn. Dersom Bjørn

har x bøker, kva for eit uttrykk nedanfor viser

kor mange bøker dei tre gutane har til saman?

a) 3x þ 6 b) 3xþ8 c) 4xþ6 d) 5x þ 6 e) 8xþ2 OppgÔve 1.248

(TIMSS 2003)

Kva slags alternativ er korrekt na˚r

L ¼ 4, K ¼ 6 og M ¼ 24?

a) L ¼ M

K

b) L ¼ K

M

d) L ¼ K þ M e) L ¼ M K

c) L ¼ KM

OppgÔve 1.249

(TIMSS 2003)

Dei tre figurane nedanfor er delte inn i sma˚ og like

trekantar.

1

2

1 2 3 4

5

6

7

8

Figur 1 Figur 2 Figur 3

a) Fullfør tabellen nedanfor. Fyll først ut kor mange

sma˚ trekantar det er pa˚ figur 3. Finn sa˚ kor

mange sma˚ trekantar det vil vere pa˚ figur 4

dersom rekkja held fram.

Figur Talet pa˚ sma˚ trekantar

1 2

2 8

b) Rekkja held fram til figur 7. Kor mange sma˚

trekantar er det pa˚ figur 7?

c) Rekkja med figurar held fram til figur 50.

Forklar utan a˚ teikne og telje korleis vi kan

finne kor mange trekantar det er pa˚ figur 50.

OppgÔve 1.250

(TIMMS 1995)

For a˚ lage ma˚ling med ein særskild farge blandar

Arne 5 liter raudma˚ling, 2 liter bla˚ma˚ling og 2 liter

gulma˚ling. Kva er forholdet mellom volumet av

raudma˚linga og volumet av heile blandinga?

OppgÔve 1.251

(TIMMS 1995)

I ein klasse er det 28 elevar. Forholdet mellom talet

pa˚ jenter og talet pa˚ gutar er 4 : 3.

Kor mange jenter er det i klassen?

OppgÔve 1.252

(TIMMS 1995)

I to grupper med turistar var det 60 personar

i kvar gruppe. 3=4 av den første gruppa og 2=3 av

den andre gruppa reiste vidare til eit museum.

Kor mange fleire personar fra˚ den første gruppa

reiste vidare enn fra˚ den andre gruppa?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 59


OppgÔve 1.253

(TIMMS 1995)

Børre skal finne tre heile tal som følgjer etter

kvarandre na˚r summen av dei tre tala er 81.

Han skreiv denne likninga:

ðn 1Þþn þðnþ 1Þ ¼81

Kva sta˚r n for?

OppgÔve 1.254

(TIMMS 1995)

Ekspertar seier at i 25 % av alle alvorlege sykkelulykker

fa˚r syklisten hovudskadar, og av alle

hovudskadane er 80 % dødstrugande.

Kor stor prosent av alle alvorlege sykkelulykker

fører til dødstrugande hovudskadar?

OppgÔve 1.255

(TIMMS 1995)

Fra˚ eit parti med 3000 lyspærer vart 100 pærer

plukka ut tilfeldig for a˚ bli testa. Ein fann at

fem av desse pærene var ubrukande. Kor mange

lyspærer av heile partiet kan vi rekne med er

ubrukande?

OppgÔve 1.256

(TIMMS 1995)

Systrene Bjørklund kom med pa˚standane nedanfor.

Dersom Vera fortalde sanninga, kven av dei andre

fortalde da˚ ogsa˚ sanninga?

Lill: «Dersom teppet er i bilen, er det ikkje

i garasjen.»

Silje: «Dersom teppet ikkje er i bilen, er det

i garasjen.»

Vera: «Dersom teppet er i garasjen, er det i bilen.»

Klara: «Dersom teppet ikkje er i bilen, er det ikkje

i garasjen.»

OppgÔve 1.257

(Nasjonal prøve)

Pa˚ Harda˚s skule skal 24 elevar delast inn i grupper

pa˚ anten tre, fire eller fem elevar. Det skal vere

minst éi gruppe av kvar storleik. Kor mange

ulike kombinasjonar av gruppestorleikar ga˚r det an

a˚ lage med desse 24 elevane?

OppgÔve 1.258

(Nasjonal prøve, litt endra)

Skriv eit rekneuttrykk som passer til kvar av

oppga˚vene nedanfor:

a) Prisen pa˚ pærer er 12;90 kr=kg.

Kor mykje kostar 2;6 kg?

b) Morten kjøper sma˚godt til 7;60 kr=hg.

Kor mykje fa˚r han for 36 kroner?

c) 1 kg pølser kostar 79;90 kroner.

Kor mykje kostar 0;68 kg?

OppgÔve 1.259

(Nasjonal prøve)

Set inn det som manglar i tabellrutene:

a b 2a þ b a2b 2b a

2 3 7 12 4

4 9

10 5

OppgÔve 1.260

(Nasjonal prøve)

Eit tal er skrive med fire siffer. Du fa˚r desse

opplysningane om sifra:

– Det første sifferet er eit primtal som er

mindre enn 6.

– Det andre sifferet er eit oddetal som er

mindre enn det første sifferet.

– Det tredje sifferet er lik summen av dei

to første sifra.

– Det fjerde sifferet er eit partal som er

mindre enn det tredje sifferet.

Finn tre tal som kan vere løysingar til oppga˚va.

OppgÔve 1.261

(Nasjonal prøve)

a) Dersom a þ b ¼ 27, sa˚ blir a þ b þ 2 ¼ ...

b) Dersom e þ f ¼ 8, sa˚ blir e þ f þ g ¼ ...

60 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS


OppgÔve 1.262

(Nasjonal prøve)

a) Skriv 1=8 som prosenttal.

b) Skriv 0;373 som brøk.

c) Skriv 8;3 % som desimaltal.

OppgÔve 1.263

(Nasjonal prøve)

Kakao blir seld i ulike pakningar til ulik pris.

Nadia fann ut at ho hadde desse vala:

– Merke A: 450 g kakao til 34;90 kroner

– Merke B: 96 g kakao til 11;90 kroner

– Merke C: 250 g kakao til 13;90 kroner

Kva for eit merke bør ho kjøpe for a˚ fa˚ mest

for pengane?

KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 61

More magazines by this user
Similar magazines