Matematikk i praksis

Matematikk i praksis
2. Vei, fart og tid
I dette kapitlet, og neste kapitel, skal vi sette fokus på bevegelse, og vi skal gjøre oss kjent
med begreper, prinsipper og lover som beskriver bevegelse av objekter.
Kunnskap om avstand, bevegelse og tid er viktig, og vi har mye kunnskap om dette som vi
utnytter uten å reflektere over den. Vi vil for eksempel ikke hoppe ned fra et 10m høyt tak,
vi senker farten når vi skal kjøre gjennom en krapp sving og vi vet omtrent hvor lang tid
vi bruker når vi skal kjøre bil fra Halden til Oslo. Slik kunnskap er ikke medfødt, men vi
har lært å forholde oss til dette gjennom erfaring, og vi bruker den i mange forskjellige
situasjoner.
For noen år tilbake observerte jeg en liten gutt på 2-3 år som gikk på en av murene på
Fredriksten festning. Muren var ca 2.5 m høy, og området på og under muren var dekket
med gress. Hans far stod på nedsiden og ba gutten være forsiktig, og gutten var henrykt
der høyt over oss andre. Uten forvarsel hoppet han ned av muren og slo seg kraftig. Han
hadde sikkert erfaring fra å hoppe på gressplenen hjemme uten å slå seg, men nå opplevde
han at gress ikke alltid var mykt. Slike erfaringer blir etter hvert kunnskap når den
sammenholdes med andre lignende erfaringer. Kunnskapen er at når et objekt faller mot
bakken øker farten med fallhøyden, og risikoen for at objektet blir ødelagt øker med
farten.
Dette er imidlertid ikke alltid sant. Snøfnugg kommer fra stor høyde, og de faller sakte
mot bakken. Hvis snøen derimot har lagt seg på taket og raser ned derfra, kommer den
fort. Hvorfor er det slik?
De som studerer naturen oppdager at det finnes lovmessigheter som vi kan forholde oss
til, og de kan ofte beskrives med matematiske modeller. Begrepet modell innebærer at vi
forholder oss til en ide, og det er viktig å forstå at modellen ikke alltid beskriver
virkeligheten korrekt.
Sir Isaac Newton (1642-1727) blir regnet som grunnleggeren av moderne mekanikk. Vi
kaller den ofte for ”Newtons mekanikk”. Historien forteller at Newton fikk et eple i hodet,
og at denne episoden var foranledning til hans formuleringer av lovene for bevegelse og
gravitasjon. Selv om vi ikke kan uttrykke disse lovene eksplisitt, kjenner vi
konsekvensene og forholder oss automatisk til dem. Vi kaster ikke tunge gjenstander ut
fra andre etasje for at den som står under skal ta imot, og vi kjører ikke inn i garasjen med
en hastighet på 50 km/t. Hvis jeg spør hvorfor kan svaret bli; ”Det er farlig, og det er noe
alle vet!” Et slikt svar vil ofte avslutte samtalen, men hvis jeg våger fortsette kunne jeg
være fristet til å spørre; ”Hvorfor er det farlig?”
Uansett hva jeg får til svar ville jeg kunne fortsette å spørre hvorfor, men hvor lenge er det
rimelig å fortsette?
Når jeg blir henvist til en naturlov, må holdningen min til problemet endre karakter. Jeg
kan be om at konsekvensene av loven blir forklart, men jeg kan ikke lenger kreve andre til
ansvar for deres holdning.
2.1. Vei er lik fart multiplisert med tid
I fortsetningen vil vi bruke forkortelsen s for strekning eller vei, v (eng. velocity) for
fart og t for tid. Vei fart og tid kalles for størrelser, og en størrelse består av et
måltall og en enhet. Når vi angir en størrelse for vei; s = 10 m, er 10 måltall og m er
forkortelse for enheten meter.
En regel for sammenhengen mellom størrelsene vei, fart og tid, kan utrykkes
matematisk med likheten s = v·t. Denne matematiske modellen kan vi bruke til å
1

eregne den ene størrelsen hvis de to andre er gitt. Trekanten under kan være til hjelp
for å huske formelen.
Dersom du skal bestemme strekningen holder du fingren over s, og siden v og t står
ved siden av hverandre skal de multipliseres.
Skal du finne tiden holder du fingeren over t-en, og siden s står over v, skal s
divideres med v for å finne verdien på t.
Tilsvarende finner du v ved å dividere s med t.
Eksempel 1
En bil kjører 50 km på 45 minutter. Hva er bilens gjennomsnittsfart?
s 50km
v 66,
7km/
time
t 0,
75time
Noter at enheten for fart (km/t) kommer fram gjennom divisjonen av vei med tid.
Dette prinsippet gjelder for alle enheter. Når man utfører aritmetiske operasjoner på
størrelser, utfører man de samme operasjonene på størrelsenes enheter. Det betyr at
når man får oppgitt en enhet kan man ut fra den forstå hvordan størrelsen har
framkommet. Alternativt kan man utrykke en størrelse på forskjellige måter ved å
endre størrelsens enheter I all praktisk regning er enhetene for størrelsene en god
hjelp når man skal kontrollere svaret.
Hvis vi skal regne om fart fra m/s til km/t, utnytter vi det faktum at det er 3600
sekunder i en time (60 min/t · 60 sek/min) og 1000m i en kilometer. Vi multipliserer
først størrelsen med 3600 og får farten omregnet til meter pr time. Deretter dividerer
vi resultatet med 1000 og farten får enheten kilometer pr time. Dette kan vi omregne
3600s
/ t
til en faktor Faktor 3,
6s
km/
t m .
1000m
/ km
Følgende regler gjelder for omregning mellom m/s og km/t:
Regel 1: Fra km/t til m/s: del på 3,6
Regel 2: Fra m/s til km/t: gang med 3,6
Reglene over kan vi også begrunne med et regnestykke hvor vi bruker enheter.
Eksempel 2
2

s 50km
50km1000m
/ km 50000m
v
18,
5m
/ sek
t 0,
75time
0,
75t
3600sek
/ t 2700sek
I eksempel 2 har vi regnet om farten fra km/t til m/s. Dette oppnår vi ved å omregne
kilometer til meter og timer til sekunder. Noter at vi multipliserer i teller og nevner
med omregningsfaktorer, og at det er forskjellig fra å utvide brøken. Uten bruk av
enheter i regnestykket blir resultatet meningsløst. Betrakter vi omregningsfaktorene
for seg, får vi følgende regnestykke:
Eksempel 3
50km
1000m
/ km 66,
7 km/
t m / km 66,
7 m
v 66,
7km/
t
18,
5m
/ s
0,
75t
3600s
/ t 3,
6 s / t 3,
6 s
Likheten s = v·t er en matematisk modell av sammenhengen mellom vei, fart og tid,
hvor vi går ut fra at det er en lineær sammenheng mellom de tre størrelsene. At
sammenhengen er lineær betyr at hvis vi øker farten med en faktor k, og holder tiden
konstant, så vil veien øke med den samme faktoren k.
Dette kan vi utrykke slik k·s =k·v·t. Det betyr at om vi øker tiden med en faktor k og
holder farten konstant, eller vi øker farten med en faktor k og holder tiden konstant,
så blir resultatet det samme.
Vei (km)
Tid (timer)
Figur 1 viser sammenhenger mellom vei og tid for konstante hastigheter på hhv 80
km/t, 50 km/t og 30 km/t. Siden linjene er rette sier vi at det er en lineær sammenheng
mellom tid og veistrekning når hastigheten er konstant.
Nå er det lett å falle for fristelsen å tro at det alltid er slik, men naturen har alltid noen
overraskelser å by på.
Da det ble kjent at lyshastigheten var konstant ca 300 000 000 m/s, uavhengig hvor vi
observerer lyset fra, var dette i strid med vår oppfatning av fart i vår egen virkelighet.
Hvis du skyter ut en pil med en hastighet på 50 m/s i forhold til deg selv, vil den som
3
Figur 1

står ved siden av deg også observere at pilen har en hastighet på 50 m/s.
Hvis du derimot skyter ut pilen i fartsretningen fra en bil, som kjører med en hastighet
av 20 m/s, vil pilen ha en hastighet på 50 m/s sett fra din posisjon, men en person som
står stille ved veien vil oppfatte at pilen har en hastighet på (50+20)m/s=70m/s. Vi
kaller de to posisjonene for referanseposisjoner.
Hvis du derimot tender en lykt i bilen og måler lyshastigheten, og den andre personen
måler lyshastigheten fra sin posisjon på veien, vil dere måle samme hastighet på lyset.
Her skiller lyset seg fra pilen, og denne observasjonen fikk konsekvenser for vår
forståelse av blant annet tid.
Albert Einstein viste at når hastigheten øker vil tiden gå saktere, og når vi reiser med
2
v
lysets hastighet vil tiden stå stille. Dette uttrykte han med likheten t t 1 , hvor
2
c
t er tiden som har gått inne i fartøyet, t er tiden som har gått utenfor fartøyet, v er
fartøyets hastighet og c er lysets hastighet. Det betyr at når vi reiser med hastigheter
som nærmer seg lyshastigheten vil tiden gå ulikt i og utenfor fartøyet, og da gjelder
ikke likheten Vei = Fart x Tid uten videre. Teorien som ble utviklet rundt dette
fenomenet kalles den spesielle relativitetsteorien.
Eksempel 4
Et romfartøy skal reise fra Jorden til Pluto, og vi vet at avstanden mellom planetene
tilsvarer den veien som lyset tilbakelegger på ca 5 timer. Vi kaller det 5 lystimer. Når
vi skal regne på så enorme avstander og hastigheter, bruker vi gjerne begreper som
lystimer, lysår og lyshastighet for å få et visst begrep om størrelsene. Vi vet at lyset
går med en hastighet som er c= 299,792,458 m/s. Omregnet til kilometer pr time blir
c=1079252849 km/t, og tilsvarende er en lystime=1079252849 km og et
lysår=9454254955000 km. Så store tall er det nesten umulig å fatte.
Hvis fartøyet beveger seg med en hastighet som er halvparten av lyshastigheten
(v=0,5c), vil det være framme etter ca 10 timer siden avstander er 5 lystimer. Sett fra
jorden vil det være slik, men inne i fartøyet vil tiden som har gått være
t 10 timer *
2
( 0,
5c)
1
8
timer
2
c
40 min utter . Øker vi hastigheten til v=0,9c, vil
fartøyet være fremme etter ca 5 timer og 30 minutter, mens tiden i fartøyet vil bli
t 5, 5 timer *
2
( 0,
9c)
1
2
timer
2
c
24 min utter , det vil si at tiden har gått mer enn
dobbelt så fort på Jorden som tiden inne i fartøyet.
Eksempel 4 viser at våre modeller ikke alltid passer eksakt med virkeligheten. Når vi
reiser fra Halden til Oslo med tog eller bil, tar vi det for gitt at armbåndsuret vårt
oppfører seg likt med de som befinner seg i Halden og Oslo, men slik er det ikke.
Forskjellen er imidlertid så liten at vi ser bort fra den.
4

Relativ tid
Figur 2 viser hvordan forholdet mellom tiden i og utenfor et fartøy, som beveger seg
med hastigheter som nærmer seg lyshastigheten, forandrer seg.
I dette avsnittet har vi sett nærmere på den matematiske modellen s=vt, og vist at
matematiske modeller kan være unøyaktige. Vi har også lært at fysiske størrelser
består av et måltall og en enhet, og at enheten er helt nødvendig for å tolke måltallet
rett.
Oppgave 2.1.1
En skøyteløper har følgende personlige rekorder hvor tidene er oppgitt på formatet
minutt:sekund:hundredel:
500m : 0:35:95 1000m: 1:10:12 1500m : 1:47:50
3000m : 3:40:52 5000m : 6:15:45 10000m:12:50:20
a) Beregn gjennomsnittshastighetene med enheten m/s som løperen har hatt på
hver distanse.
b) Gjør om gjennomsnittshastighetene til størrelser med enheten km/t.
c) Tegn et diagram som viser hvordan gjennomsnittshastigheten utvikler seg
med distansene.
Oppgave 2.1.2
En rakett har hastighet på 39000 km/t
a) Hvor langt vil raketten nå på 1 døgn 10 timer og 30 sekunder?
b) Hvilken fart har raketten i hhv m/s, km/s og km/min?
Oppgave 2.1.3
Du står ved en kløft. På andre siden av kløften er en loddrett fjellvegg. Du skriker
”Hei”, og 6 sekunder senere hører du ekkoet. Hvor langt er det til den loddrette
fjellveggen?
Lyden har en hastighet på 340 m/s.
5
Figur 2
v/c

Oppgave 2.1.4
En bilist kjører 42 km på 36 minutter. Hvor langt kjører han på 1 time og 45 minutter
dersom han kjører med samme gjennomsnittsfart?
Oppgave 2.1.5
For overlydsfly bruker vi ofte fartsenheten mach. 1 mach tilsvarer lydens hastighet
som er 340 m/s. Regn om farten til flyene i tabellen under til mach med en desimal.
Flytype Maks.fart (Km/t) mach
Lochhead SR-71 3400
Viggen JA 37 2500
Concorde 2300
Boing 747 990
Oppgave 2.1.6
Farten til sjøs, og vindhastighet, oppgis ofte i knop. 1 knop tilsvarer 1 nautisk mil pr
time, og 1 nautisk mil tilsvarer 1852 meter.
a) Hva er opprinnelsen til enheten nautisk mil?
b) Vind av orkan styrke betyr at vindhastigheten er over 63 knop.
Hva er nedre grense for orkan vind i enheten m/s?
c) Beaufort har gitt opphav til en skala for vindstyrke med verdier fra 0 til 12.
Hva betyr styrke 6 i Beauforts skala uttrykt i knop og m/s?
Oppgave 2.1.7
Rolfsen og Olsen er naboer og har også hytte på samme sted. En fredag startet de
samtidig hjemmefra og kjørte samme vei til hyttene sine. Rolfsen kjørte med en
gjennomsnittsfart på 70 km/t og Olsen 60 km/t. Rolfsen kom til hytta akkurat ½ time
før Olsen. Hvor langt var det hjemmefra til hyttene?
6

2.2. Enheter
Standard størrelse for vei eller lengde har enhet meter, som vi gir forkortelsen m.
Denne størrelsen er vedtatt som lengdeenhet i SI som er en internasjonal forkortet
betegnelse på Det internasjonale system for enheter (Système International d'Unités),
vedtatt av den 11. Generalkonferansen for mål og vekt (CGPM) i 1960. Den
internasjonale standardiseringsorganisasjonen (ISO) og de fleste andre internasjonale
organisasjoner som fatter vedtak om fysiske størrelser, anbefaler bruk av SI, og det
samme gjør Norges Standardiseringsforbund og tilsvarende organisasjoner i de fleste
andre land.
SI bygger på sju grunnenheter: meter (m) for lengde, kilogram (kg) for masse, sekund
(s) for tid, ampere (A) for elektrisk strøm, kelvin (K) for temperatur, mol for
stoffmengde og candela (cd) for lysstyrke.
Øvrige enheter i SI blir avledet av grunnenhetene; f.eks. er enheten for fart
meter/sekund, m/s eller m · s -1 . Antall avledede enheter er i prinsippet ubegrenset.
Enheten meter, kommer fra gresk metron, som betyr 'mål', og har symbol m.
I 1799 ble det laget en målestav i platina med lengde en mètre, definert som
1/10 000 000 av avstanden fra pol til ekvator.
Ved Meterkonvensjonen (1875) ble meter vedtatt som internasjonal enhet, og det ble
besluttet å lage en ny standard i en legering av platina og iridium. I 1889 forelå den
nye meterstaven, og det ble utarbeidet en rekke kopier med lengdeforskjeller mindre
enn 0,01 mm. En av dem ble valgt som internasjonal standard.
Selv om Storbritannia og USA tidlig sluttet seg til Meterkonvensjonen, beholdt de
sine egne nasjonale standarder for lengdeenheten yard. Først i 1959 ble yard fastlagt i
forhold til meteren i USA. I 1963 fulgte Storbritannia etter. Dermed var meter fullt ut
godtatt som internasjonal grunnenhet for lengde.
Det finnes en rekke måleenheter for lengde i bruk i forskjellige sammenhenger, og vi
skal se nærmere på noen av dem. Først og fremst er det mange lengdebegreper basert
på meter som grunnstørrelse. Eksempler på dette er:
10 000 m 1000 m 1/10 m 1/100 m 1/1000 m
Mil Kilometer Desimeter Centimeter Millimeter
Andre lengdebegreper, som er mye brukt, er tomme, fot, alen, yard, nautisk mil og
engelsk mile, og alle disse har en lengdedefinisjon i meter. Andre lengdeenheter er
mer vage som for eksempel en dagsreise.
Standard størrelse for tid har enhet sekund, som blir forkortet s eller av og til sek.
Helt frem til det 20. århundre var sekund definert som 1/3600 time, og time som 1/24
døgn. For å få en nøyaktigere definisjon ble begrepet et midlere soldøgn innført, men
også dette var upresist. I 1967 vedtok Generalkonferansen for mål og vekt den
nåværende definisjonen som er knyttet til en bestemt elektromagnetisk bølgelengde.
Definisjonen av et sekund er ikke noen enkel sak, men vi kjenner oss likevel fortrolig
med denne størrelsen.
Tid har spilt en betydelig rolle i mange disipliner, og spesielt har filosofene vært
engasjert i innholdet av dette begrepet. Vi kan føle at tiden går fort eller sakte, og
klokketid ikke alltid er i samsvar med våre erfaringer. For at samfunnet skal fungere
er vi avhengig av en objektiv definisjon av tid, og størrelser basert på enheten sekund
brukes i de fleste sammenhenger. Vi sier at Jorden dreier rundt sin egen akse på 24
7

timer, eller 86400 sekunder, men er det riktig og hvorfor innførte man i så fall
begrepet midlere soldøgn?
Vi setter opp en tabell over enheter som er omregnet til sekunder:
Døgn Time Minutt Sekund Millisekund Mikrosekund
86400
sekunder
3600
sekunder
60
sekunder
1
sekund
Vi kan fylle inn med enheten uke i tabellen om ønskelig, men måned og år lar seg
ikke uten videre omregne til sekunder.
Siden Jorden er rund, og vi regner tiden i forhold til solens posisjon på himmelen, vil
vi ikke ha samme klokketid over hele Jorden. Når klokken er 12.00 i London er
klokken 13.00 i Oslo og 07.00 i New York. Dette kalles tidssoner, og øst for London
har tiden kommet lenger enn vest for London. Det vil si at om du reiser mot øst taper
du tid, men om jeg samtidig reiser mot vest vinner jeg tid. Midt i stillehavet møtes vi
på datolinjen, og når vi passerer den vinner eller taper vi et døgn. Hvorfor er det slik?
I gammel tid hevdet man at dagen har 12 timer og natten likeså, og at en dag var
definert fra soloppgang til solnedgang. I Norge ville en slik definisjon skape store
problemer. Nord for polarsirkelen ville vi ikke ha dag i det hele tatt visse deler av
året, og bare dag andre deler av året. Selv om vi hadde hatt sol hver dag ville begrepet
time på et solur variere kraftig.
Begrepet fart er definert som lengde dividert med tid. Det vil si en størrelse som
beskriver tilbakelagt distanse, dividert med en størrelse som forteller hvor lang tid
man har brukt på dette. Hvis man har syklet 60 km på 3 timer kan hastigheten
60km
60 km km
beregnes på følgende måte: 20 20km/
t .
3t
3 t t
Vi kan konstruere våre egne lengde- og tidsenheter, og ut fra disse definere nye
fartsenheter.
Side med lengdenheter: http://no.wikipedia.org/wiki/Kategori:Lengdeenheter
Oppgave 2.2.1
Vi har en rekke gamle norske lengdeenheter. Fire av dem er Rast, Fjerding, Pilskudd
og Steinkast.
a) Hvilken sammenheng er det mellom disse lengdeenhetene?
b) Finn lengden av disse enhetene i meter.
Oppgave 2.2.2
Et fly starter fra Gardemoen flyplass kl 08.30 lokal tid og lander på Kennedy Airport i
New York kl 09.00 lokal tid samme dag. Hvor lang tid har flyturen tatt?
Oppgave 2.2.3
Concorde flyet fløy mellom London og New York, og flyturen tok 3 timer. Et
Concorde fly starter i New York kl 1200 lokal tid. Når lander flyet i London?
8
1/1000
sekund
1/1000000
sekund

Oppgave 2.2.4
Du har sneket deg om bord på romfartøyet Nextdecade og blir med på en ferd til
planeten Omega langt ute i melkeveien. Året er 2004 og fartøyet reiser med en
hastighet som er 99,9 % av lyshastigheten. Turen tar tre måneder, og vel framme
bestemmer du deg for å reise tilmake til Jorden dagen etter med samme fartøy. Turen
varer totalt i seks måneder.
a) Hvilket år kommer du tilbake?
b) Din lillesøster var 5 år yngre enn deg da du dro.
Hvordan er aldersforskjellen når du kommer tilbake?
2.3. Akselerasjon og retardasjon
Begrepet akselerasjon kommer fra latin og betyr påskynde. Vi bruker begrepet om
hastighetsøkning, og forkorter den med a. Vi definerer akselerasjon som fartsendring
v2
v1
dividert med den tiden endringen har tatt, a , med enheten m/s
t2
t1
2 .
Vanlige verdier på akselerasjonen for en bil er 1 m/s 2 – 3 m/s 2 . Når farten avtar er
akselerasjonen negativ. Negativ akselerasjon kalles retardasjon som kommer fra latin
og betyr forsinkelse.
Et legeme i fritt fall øker farten med konstant akselerasjon a = 9,8m/s 2 . Dette skyldes
gravitasjonskraften som virker på all masse på jorden. Akselerasjonen kalles tyngdens
akselerasjon, og angis med symbolet g for gravitasjon.
På samme sted på Jorden får alle legemer samme akselerasjon i fritt fall. Tyngdens
akselerasjon varierer litt fra sted til sted. Ved polene er den 9,83 m/s 2 , ved 45° n.br.
9,806 m/s 2 , ved ekvator 9,78 m/s 2 . Internasjonalt vedtatt standardverdi er 9,80665
m/s 2 ., men vi vil bruke tilnærmingen g=9,8 m/s 2 .
Når vi regner med akselerasjon, vil vi alltid regne den som konstant. Dette forenkler
regnestykkene betydelig. Da kan vi uttrykke hastigheten som v=a·t. La oss se på et
eksempel:
Eksempel 5
En bil akselererer med a=2 m/s 2 . Hvor stor fart har bilen etter 10 sekunder?
2
v a t
2m/
s 10s
20m
/ s
Vi ser at bilen får en hastighet på 20 m/s, i løpet av 10 sekunder, hvis den starter fra
null, men hva blir dette om vi ønsker farten oppgitt i km/t?
For å finne ut det må vi bruke regel 2, fra avsnitt 2.1, og multiplisere resultatet med
faktoren 3.6. Vi får v 20m/ s 20
3,
6km/
t 72km/
t
Vi ser at det er en lineær sammenheng mellom fart, akselerasjon og tid, på samme
måte som det er en lineær sammenheng mellom vei, fart og tid. Det betyr at vi kan
lage et diagram, lik den vi har i figur 1, hvor vi kan avlese tid eller hastighet når
akselerasjonen er konstant.
9

v (m/s)
I figur 3 er tegnet inn de lineære sammenhengene for akselerasjonene 1 m/s 2 , 2 m/s 2 ,
4 m/s 2 og 9,8 m/s 2 . Vi ser av figuren at vi kan avlese tiden når hastigheten og
akselerasjonen er gitt, og hastigheten når tiden og akselerasjonen er gitt.
Eksempel 6
Hvor langt har en bil kjørt når den har akselerert med 4 m/s 2 i 10 sekunder?
Vi ser av diagrammet i figur 3 at bilen får en fart på v=40 m/s etter 10 sekunder, og
siden akselerasjonen er konstant i 10 sekunder vil gjennomsnittshastigheten være
v=½ · 40 m/s = 20 m/s.
Da har bilen kjørt s = v·t = 20 m/s · 10 s = 200 m.
Det betyr at når akselerasjonen er konstant blir distansen som er tilbakelagt:
1 1 2 1 2 2
s v t
a t
t
at 4m
/ s ( 10s)
200m
.
2 2 2
Dette tilsvarer arealet i den skraverte trekanten i figur 3.
Fra eksempel 6 får vi følgende matematiske modell for sammenhengen mellom vei,
akselerasjon og tid: s= ½·a·t 2 .
Eksempel 7
Vi slipper en stein fra et punkt 10 meter over bakken. Hvor lang tid vil det ta før
steinen treffer bakken, og hvor stor fart har den da?
Vi kjenner s = 10m og a = 9,8 m/s 2 og skal finne tiden t. Vi regner ut t med likheten
s= ½·a·t 2, , og deretter hastigheten med likheten v=a·t.
1
10m
9,
8m
/ s
2
v a t
9,
8m
/ s
Tid (sekunder)
2
2
t
2
t
10
4,
9
1,
43s
14m
/ s
2
s
2
t
10
Figur 3
10
s 1,
43s
4,
9

Likheten s= ½·a·t 2 kan framstilles grafisk i et diagram med tidsakse og lengdeakse.
s( meter)
t (sek)
Figur 4 (s = ½·a·t 2 )
Figur 4 viser vei/tid diagram for akselerasjonene 9.8 m/s 2 , 4 m/s 2 og 2 m/s 2 .
Vi ser av figuren at etter et fritt fall på 4 sekunder vil en stein ha falt ca 78 meter.
Regner vi det ut eksakt med formelen finner vi s = ½ · 9,8m/s 2 · (4s) 2 = 78,4m
Eksempel 8
Dette eksemplet viser hvordan en stein beveger seg vertikalt i gravitasjonsfeltet.
Tidsaksen viser tiden som har gått fra steinen settes i bevegelse, og høydeaksen viser
høyden over bakken. Steinen slippes fra et punkt 10 meter over bakkenivå, alternativt
kastes vertikalt opp fra bakkenivå og et punkt 10 meter over bakkenivå. Vi regner
akselerasjonen til å være a=g=9,8 m/s 2 .
Høyde (m)
Tid (sek)
11
Figur 5

Når steinen slippes fra et punkt 10 meter over bakken vil den nå bakken etter ca 1,5
sekunder. Vi regner ut dette eksakt med likheten s= ½·a·t 2 .
1 2 1 2 2 210
s at 10
9,
8
t t t 1,
43sek
Steinens hastighet ved
2 2
9,
8
bakken regner ut til å bli v=at=9,8·1,43=14 m/s.
Når steinen kastes fra bakkenivå med en vertikal hastighet lik v=14 m/s. Vi ser at
steinen når et toppunkt 10 meter over bakken før den faller tilbake. Denne kurven er
symmetrisk om en vertikal linje gjennom toppunktet, og svevetiden for steinen blir
t=2·1,43s=2,86s.
Den tredje kurven viser hvordan steinen beveger seg i gravitasjonsfeltet når den
kastes vertikalt opp, fra et punkt 10m over bakken, med en hastighet på 14 m/s.
Legg merke til at de trekurvene har mye felles.
Oppgave 2.3.1
En bil kjører langs en rett strekning. I de første 30 sekundene øker farten fra 0 til 72
km/t. Denne farten holder bilen i 90 sekunder. Så bremser føreren, og bilen stanser
etter 60 sekunder. Bilens akselerasjon og retardasjon er konstant i de tre
tidsintervallene.
a) Hvor stor er bilens akselerasjon i det første tidsintervallet?
b) Hvor langt forflytter bilen seg i det første tidsintervallet?
c) Hvor stor er bilens akselerasjon i det andre tidsintervallet?
d) Hvor langt forflytter bilen seg i det andre tidsintervallet?
e) Hvor stor er bilens retardasjon i det tredje tidsintervallet?
f) Hvor langt forflytter bilen seg i det tredje tidsintervallet?
g) Tegn et fart/tid diagram for bilturen.
h) Beregn bilens totale forflytning ved hjelp av diagrammet i pkt g.
Oppgave 2.3.2
En 100 meterløper akselererer fra 0 m/s til 12 m/s med konstant akselerasjon. Så
holder han hastigheten 12 m/s til mål. Tiden blir 11 sekunder.
a) Beregn tiden som løperen akselererer.
b) Hvor langt har løperen kommet etter 8 sekunder?
Oppgave 2.3.3
En stein kastes rett opp med en utgangsfart 15 m/s. Steinen er da 1,5 m over bakken.
Vi ser bort fra luftmotstanden.
a) Etter hvor lang tid når steinen sitt høyeste punkt?
b) Hvor høyt over bakken er steinens høyeste punkt?
c) Etter hvor lang tid treffer steinen bakken?
d) Hvilken fart har steinen ved landingen?
e) Steinen er 3 m over bakken ved to tidspunkt, hvilke?
12

2.4. Sammensatte bevegelser
Når en stein kastes horisontalt ut fra et punkt over bakken vil den falle mot bakken i
gravitasjonsfeltet som beskrevet over. Uavhengig hvor høy den horisontale
hastigheten er vil akselerasjonen mot bakken være den samme. Det betyr at tiden det
tar for steinen å nå bakken bare er avhengig av høyden over bakken når steinen kastes
horisontalt ut.
Eksempel 9
Vi kaster en stein horisontalt ut fra et punkt 2 meter over bakken med hastigheter
30m/s, 50m/s og 100m/s.
Høyde (m)
Figur 6 viser hvordan steinen beveger seg og treffer bakken etter hhv ca 20 meter, 32
meter og 64 meter.
Tiden t, som det tar for steinen å nå bakken, er uavhengig av hvor stor horisontal
hastighet steinen har når den kastes. Vi kan regne ut tiden t med likheten s= ½ at 2 ,
hvor s=2m og a=9,8m/s 2 .
1
2 2
2m
Vi får: 2m 9,
8m
/ s t
t 2
0,
64s
2
2
9,
8m
/ s
Vi forutsetter, for enkelhets skyld, at steinens horisontale hastighet ikke endrer seg
under luftferden. Dette er naturligvis ikke helt sant siden luftmotstanden vil bremse
opp steinen noe. Vi bruker likheten s=v·t og får:
1. s=30m/s·0,64s=19,2m når utgangshastigheten er 30m/s.
2. s=50m/s·0,64s=32m når utgangshastigheten er 50m/s.
3. s=100m/s·0,64s=64m når utgangshastigheten er 100m/s.
Dette stemmer godt overens med diagrammet over.
13
Figur 6
Lengde (m)

Et viktig prinsipp for hastighet er at horisontale og vertikale hastighetskomponenter
kan regnes på uavhengig av hverandre. Det betyr at vi kan regne på komponentene
uavhengig av hverandre.
En kulestøter gir kula en fartsretning som er skrå oppover. Det gir lengst støt.
Etterfølgende eksempel viser hvordan kula oppfører seg med et skrått utkast.
Eksempel 10
Kulestøteren gir kula utgangsfarten V=10m/s i en retning 30 over horisontallinjen.
Kula forlater kulestøterens hånd 1,80m over bakken.
Vi skal beregne kulas svevetid, og hvor langt kula svever. Figuren under viser
situasjon skjematisk.
Avstanden 1,8m, over bakken ved utkastet, og den vertikale hastighetskomponenten
Vy bestemmer svevetiden for kula.
Vi antar at den horisontale hastighetskomponeneten Vx er konstant under hele svevet.
Vi beregner Vy og Vx med trigonometri:
Vy=V·sin30=10m/s·0,5=5m/s
Vx= V·cos30=10m/s·0,87=8,7m/s
For å beregne svevetiden, må vi finne ut hvor lang tid det tar for kula å nå toppunktet
i banen. Deretter beregner vi hvor høyt kula er over bakken i toppunktet, og hvor lang
tid det tar for kula å falle fra toppunktet til bakken. Summen av stigetiden og
falletiden blir svevetiden T for kula. Når vi kjenner svevetiden kan vi beregne hvor
langt kula svever.
5m
/ s
Stigetiden ts blir: ts 0,
51s
2
9,
8m
/ s
1
2
2
Toppunktet st blir da: st 1,
8m
9,
8m
/ s ( 0,
51s)
3,
1m
2
1
2 2
3,
1 9,
8m
/ s t
t 0,
8
Falltiden tf for kula blir: m f f s
2
Svevetiden T=ts+tf=0,51s+0,8s=1,31s
Siden kulas horisontale hastighet er konstant 8,7m/s under hele svevtiden, vil kula
sveve s=8,7m/s·1,31s=11,4m.
14

Oppgave 2.4.1
En tennispiller server ballen med en horisontal utgangsfart på v=23m/s. Ballen starter
sin ferd mot nettet 2,4m over bakken. Nettet er 0,9m høyt og befinner seg 12m fra
spilleren. Vi regner at ballen har konstant hastighet i hele svevebanen.
a) Vil ballen komme over nettet?
b) Hvor vil ballen lande?
Oppgave 2.4.2
En stuntmann skal hoppe med motorsykkel fra en rampe som danner en vinkel på 35
grader med horisontalplanet. 15m fra rampen står en vegg som er 2m høyere en
toppen av rampen. Hvor stor hastighet må motorsykkelen ha når den forlater rampen
for å komme over veggen?
15