DETERMINANTER KAPITTEL 5

DETERMINANTER KAPITTEL 5
Mål Vi skal lære å beregne determinanter
Determinanter av orden 2
Vi skal løse lineære ligningssett vha determinanter
Ligningssystem a11x1 + a12x2 = b1
Koeffisientmatrise A =
a21x1 + a22x2 = b2
a11 a12
a21 a22
Determinanten |A| = = a11a22 – a21a12
til matrisen A a21 a22
a11
1
a12
Eksempel x1 + 2x2 = 2
Koeffisientmatrise A =
2x1 – x2 = 4
1 2
2 -1
1 2
Determinanten |A| = = 1 (-1) - 22 = - 5
til matrisen A 2 -1
NB! Determinanten er et tall

UTLEDNING AV CRAMERS FORMLER
Løsning av a11x1 + a12x2 = b1
ligningssystemet a21x1 + a22x2 = b2
Eliminerer x2 a11x1 + a12x2 = b1 | a22 a11 a22x1 + a12 a22x2 = b1 a22
a21x1 + a22x2 = b2 | a12 a21 a12x1 + a22 a12x2 = b2 a12
Vi trekker ligning 2 fra ligning 1 -- da faller x2 bort
a11 a22x1 - a21 a12x1 = b1 a22 - b2 a12 ( a11 a22 - a21 a12 ) x1 = b1 a22 - b2 a12
x1 =
b1 a22 - b2 a12
a11 a22 - a21 a12
Vi kjenner igjen nevneren |A| = a11a22 – a21a12 =
Telleren kan også skrives som determinant
Vi at hvis vi gjør tilsvarende beregning for x2 får vi x2 =
2
a11 a12
a21 a22
b1 a12
b2 a22
b1 a21 - b2 a11
a11 a22 - a21 a12
b1 a12 a11 b1
b2 a22 a21 b2
Cramers formler x1 = x2 =
|A| |A|
Determinanten i telleren fremkommer ved at vi i |A| erstatter den ukjentes koeffisienter
med b1 og b2

Eksempel (fortsetter eksemplet over) x1 + 2x2 = 2
3
2x1 – x2 = 4
|A| = -5
2 2 1 2
4 -1 2 4
Cramers formler x1 = = 2 x2 = = 0
-5 -5
Determinanter av orden 3
Ligningssystem a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
a11 a12 a13
Koeffisientmatrise A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
Determinanten | A | = a21 a22 a23
til matrisen A
a31 a32 a33

Sarrus’ regel Gjelder bare for determinanter av orden 3
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 Multiplisere langs
pilene
a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 nedoverpil : +
oppoverpil : -
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a31 a22 a13 - a32 a23 a11 - a33 a21 a12
Eksempel Beregn etter Sarrus
Cramers formler tilsvarende som for orden 2
x
1
b
b
b
1
2
3
a
a
a
12
22
32
A
a
a
a
13
23
33
x
2
4
3
A 1
Eksempel Løs ligningssystemet med Cramers formler
a
a
a
11
21
31
2x1 + 2x2 – x3 = -3
4x1 + 2x3 = 8
b
b
b
6x2 – 3X3 = -12
1
2
3
A
a
a
a
13
23
33
5
0
1
2
2
0
3
x
3
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
A
22
32
b
b
b
1
2
3

Viktige setninger om determinanter
1. Hvis alle elementene i en linje /kolonne i A er 0 er |A| = 0
1 0 2
Eksempel Beregn |A| = 1 0 0
1 0 4
2. Hvis B er matrisen vi får ved å multiplisere hvert element
i en linje/kolonne i A med et tall t, er |B| = t |A|
2 2 -1
Eksempel Beregn |A| = 4 0 2
0 6 -3
Multipliser hvert ledd i 1 linje med 2 og regn ut determinanten du da får
3. Hvis du bytter plass på to linjer/kolonner i en matrise vi determinanten skifte fortegn
Eksempel Regn ut a b og b a
c d d c
4. Hvis to linjer/kolonner i A er like eller proposjonale er |A| = 0
2 6 -6
Eksempel Regn ut -3 1 9
2 0 -6
5

5. Hvis et multiplum av en linje/kolonne legges til en annen linje/kolonne,
vil determinantens verdi ikke endres
Eksempel Regn ut determinanten -3 2 -1
8 0 2
-12 6 -3
Multiplisér linje 2 med 2 , legg dette til linje 1 og regn deretter ut determinanten
-3 2 -1
8 0 2 2
-12 6 -3
6. Determinanten til produktet av to kvadratiske matriser A og B
er lik produktet av determinantene til A og B
|AB| = |A| |B|
Eksempel Regn ut AB, |AB| , |A| ,|B| og |A| |B|
a) 1
2
A
0
1
0 1
B
3
2
b)
1
A 1
3
5
1
2
1
3
1
3
B
1
5
6
0
1
2
2
0
3

Elementære operasjoner på determinanter er nesten som på matriser
1. Bytte plass på to linjer eller kolonner determinanten skifter fortegn
2. Multiplisere en linje / kolonne med et tall c 0
determinanten blir multiplisert med c
da må vi multiplisere med 1/c
3. Addere et multiplum av en linje / kolonne til en annen linje / kolonne
Regne ut determinanter av orden > 3
Diagonalmetoden Utføre elementære operasjoner til vi får bare 0-er under diagonalen
Eksempel 2 0 3 -1
0 4 0 0
0 1 -1 2
3 2 5 -3
|A| = produktet av diagonalleddene
Kofaktormetoden Kofaktor til et element er den underdeterminanten vi får
når vi stryker linje og kolonne som elementet står i
a11 a12 a13 C11 er kofaktor til a11
| A | = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Tilsvarende er kofaktor til a21 og a31
a
C11
a
a
C21
a
Kofaktorenes fortegn bestemmes ved å summere linje og kolonnenr
+ for partall og – for oddetall
7
22
32
12
32
a
a
a
a
23
33
13
33
a
C31
a
12
22
a
a
13
23

Utregnet C11 = a22a33 – a32a23
C21 = -(a12a33 - a32a13 )
C31 = a12a23 – a22a13
Determinantens |A| = a11 C11 + a21C21+ a31C31
verdi
Eksempel 1 Regn ut determinanten
8
3
A 1
2
Eksempel 2 Vis at A 1 b b ( b a)(
c a)(
c b)
1
1
a
c
Kombinasjons- Utføre elementære operasjoner til vi får ett ledd 0
metode og resten 0-er i en linje eller kolonne.
Da får kofaktorutviklingen bare ett ledd.
Prosessen gjentas til underdeterminanten er av orden 2 eller 3.
Eksempel Beregn determinantene etter denne metoden
3 -1 2
a) 0 -1 -1
6 1 2
2 0 3 -1
b) 0 4 0 0
0 1 -1 2
3 2 5 -3
a
c
2
2
5
0
1
2
2
0
3