Introduksjon til spenning

ansatte.hin.no

Introduksjon til spenning

HIN IBDK RA 02.11.05

Side 1 av 8

Mekanisk spenning i materialer

F

A

Tenk på et tungt legeme som skal bæres av en konstruksjon.

Konstruksjonens må tåle kraften som ”går” fra lasten til underlaget. Denne

kraften virker på konstruksjonen og fordeler seg i materialet i

konstruksjonen. Årsaken til kraften er lasten og underlaget, og materialet i

konstruksjonen må være i stand til å overføre kraften.

Kraft måles i Newton, N. Kraften er for eksempel tyngden av et legeme.

Hvis legemet har massen 5 kg blir tyngden

2 2

5 kg ⋅ 9,81 m/s = 49,05 kg ⋅ m/s = 49,05 N .

Tallet 9,81 m/s 2 er en konstant for tyngdefeltet på jordoverflaten.

Når en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger.

Spenning angis med den greske bokstaven sigma og defineres som kraft pr flate

F

σ = , F : Kraft [N]. A: Areal

A

2

Eks. F = 1000 N, A = 0,

01m

1000

2

σ = = 100000

N/m = 100000 Pa = 0,1MPa

(strekkspenning på figuren).

0,

01

Spenning er den lokale virkningen av de indre kreftene. Ved beregning av spenningen i

klossen (figuren) og i regnestykket over, går vi ut fra at kraften fordeler seg jevnt ut over

tverrsnittet slik at spenningen er det samme i alle materialpartikler. I en aksialstav er dette

oppfylt så lenge man ikke nærmer seg innfestingen av staven.

Ifølge norsk standard benyttes megapascal, MPa, som enhet for spenning. Mange bruker

fortsatt Newton pr kvadratmillimeter. Omregningen er enkel, idet tallet blir det samme:

1 N

mm

2

1 N

6

10 m

= −

2

= 1MPa

I det generelle tilfellet virker kraften ikke bare vinkelrett på betraktet flate. Kraften

dekomponeres da til en komponent som står normalt på flaten, og en annen komponent som er

parallell med flaten. Komponenten vinkelrett på flaten kalles normalkraften. Den kraften som

er parallell med betraktet flaten kalles skjærkraften. Ut fra dette defineres to hovedtyper av

spenning, nemlig normalspenning (σ) og skjærspenning (τ, den greske bokstaven tau).

Normalspenningen gis en fortegnsdefinisjon slik at strekkspenning er positiv og

trykkspenning er negativ. Skjærspenningen kan også gis fortegn, men det får vi ikke bruk for

nå.


HIN IBDK RA 02.11.05

Side 2 av 8

Oppgaver

1) En lastebil med tyngde 200 kN står på en plattform med 4 betongsøyler med tverrsnitt

75 x 75 mm. Hva blir trykkspenningen i søylene dersom vi antar at kraften fordeler

seg jevnt i alle 4 søyler? (svar 8,9 MPa).

2) En person med masse 70 kg klatrer i et tau med diameter 10 mm. Hva blir

strekkspenningen i tauet? (svar 8,74 MPa).

3) To metallstykker er 100 x 50 x 0,5 cm. De limes sammen med en overlapp på 10 cm

og belastes med 15 kN.

100

500

Elastisk og plastisk deformasjon.

Spenningstyper

F

F

A

Skjærspenning

F

τ =

A

F

Hva er kravet til skjærfasthet i

limskjøten? (svar 0,3 MPa)

Hvis man drar ut en strikk, vil den gå tilbake til sin opprinnelige form når dra-kraften fjernes.

Hvis en lang stålstang bøyes moderat, vil den fjære tilbake. Disse deformasjonene kalles

elastiske.

F

A

Normalspenning

+ strekk

- trykk


HIN IBDK RA 02.11.05

Side 3 av 8

Hvis stålstangen bøyes kraftig, kan den få en varig formendring. Dette kalles en plastisk

deformasjon. Merk spesielt at når man vil bøye stålet til en bestem form, må man bøye litt

ekstra av hensyn tiltilbakefjæringen”. Den elastiske deformasjonen er altså til stede sammen

med evt. plastisk deformasjon, helt til de ytre kreftene fjernes.

Langt fra alle materialer kan deformeres plastisk. Strikken går alltid tilbake til opprinnelig

lengde, drar vi for hardt ryker den, en glasstav brekker når man prøver å bøye den til varig

formendring. Derimot kan alle materialer deformeres elastisk. Dersom du drar i en stålstav,

blir den faktisk litt lenger! Ikke mye naturligvis, men litt.

La en stang med lengde l bli belastet med en liten strekkraft. Stangen vil da forlenges med et

lite stykke ∆ l . Vi definerer tøyningen som

∆l

ε =

l

I praksis må vi måle lenden før og etter belastning. Vi definerer dette som nominell tøyning:

l − l0

ε N =

l0

Tøyningen er dimensjonsløs, og blir et brøk-tall, en desimalbrøk, eller vi kan gange med 100

og få den prosentvise tøyningen.

Tøyningene kan være elastiske (de som går vekk når den ytre kraften fjernes) elle de kan være

plastiske (som vedvarer etter at den ytre kraften er fjernet). Den samlede deformasjonen er lik

summen av elastisk og plastisk deformasjon

ε = ε

elastisk

+ ε

plastisk

Elastisk deformasjon, Hooke’s lov

Når det ikke blir brudd eller plastisk deformasjon, kan den elastiske tøyningen uttrykkes med

Hooke’s lov for de materialer 1 :

σ

ε = , eller σ = E ⋅ ε

E

E er proporsjonalitetskonstanten ved elastisk deformasjon. Den kalles elastisitetsmodulen, og

omtales oftest som E-modulen. Spenningen kan være både positiv (strekk) eller negativ

(trykk). E-modul har samme enhet som spenning, men den er for mange materialer et stort tall

og angis i GPa. Den har stor variasjon: gummi har E-modul på ned mot 0,001 GPa, plast har

ofte 1 GPa, glassfiberkompositt har typisk 10 – 30 GPa, aluminium har 70 GPa og stål 210

GPa. Perfekt diamant kan ha E-modul opp mot 1000 GPa.

1

Hooke’s lov for en fjær formuleres som F = kx , der k er fjærkonstanten [N/m].


HIN IBDK RA 02.11.05

Side 4 av 8

Oppgaver

1) Det er også vanlig å angi E-modul med [N/mm 2 ]. Hva blir E-modulen for aluminium

og stål da?

2) Ta utgangspunkt i Hooks lov for en fjær (du har lært om den på forkurs/videregående),

F = kx , der F er kraften, k er fjærkonstanten og x er forlengelsen. Divider denne

ligningen med et areal og forklar at du får Hooks lov for materialer.

3) Hva er tøyningen ved spenning lik 100 MPa i stål? (svar 0,0005 eller 0,05 %)

4) Hva er tøyningen ved spenning lik 10 MPa i trevirke? (svar: omkring 0,1 %)

5) Hva er spenningen i Al ved tøyning til 0,2 % (dersom vi ikke får plastisk

deformasjon)? (svar: 140 MPa).

6) Hvor mange mm strekker en stålstav med lengde 10 m seg ved aksiell spenning

100MPa? (svar: 5 mm).

7) Aksielle tøyninger er små. Ved bøyning blir de maksimale forskyvningene mye større.

1L

Strekkprøving av materialer, standarder.

F

t x t

En utkragebjelke med massivt, kvadratisk

tverrsnitt får en nedbøyning i enden som er

3

4L

F

δ = 4

Et

Hva blir nedbøyningen dersom bjelken er av

stål med tykkelse t = 50 mm og lengde 5 m

når den belastes med 500 N? (svar ca 0,2 m)

Prøvestaver

Strekkprøving er en mekanisk belastningsprøving som skal avdekke strekk-egenskapene til et

material. Ved strekkprøving belastes et avlangt prøvelegeme med strekk i sin lengderetning.

Prøvestykket er utformet som på Figur 1, der den tynne delen er selve prøveområdet.

Prøvestaven har fortykninger i endene som sikrer at det er tilstrekkelig med material til å tåle

de konsentrerte kreftene fra innspenningen. Alle plutselige geometriendringer fører til

konsentrasjon av kreftene, såkalt kjervvirkning. Overgangen mellom de tykke delene og den

tynnere prøvingsdelen på midten må derfor være jevn og gradvis med en hulkil. Jo sprøere

materialet er, jo større må tykkelsesforskjellen mellom innspenningsdeler og prøvestykker

være og jo større er kravet til overgangsradier.

Uansett kan man ikke forhindre at kreftene fordeler seg ujevnt i geometrien. Derfor er det

viktig at resultater som skal sammenlignes stammer fra prøvinger som utføres på en nøye

beskrevet måte. For å oppnå dette er det laget standardiserte metoder. Videre er det

forskjellige standarder for forskjellige typer av materialer, altså for metaller, keramer, plaster,

armerte plaster osv.


HIN IBDK RA 02.11.05

Side 5 av 8

Standardiserte prøver

En standard for strekkprøving er et dokument som gir en tilstrekkelig nøyaktig beskrivelse av

prøvestykke, fremgangsmåte og prøvingsbetingelser til at forskjellige utøvere skal få

sammenlignbare resultater. Standarden kan f.eks. brukes i kontraktsforhold mellom

leverandør og kunde. Når en kunde kjøper et material med spesifiserte egenskaper, så

henvises det gjerne til en standard

50

slik at egenskapene kan etterprøves

på en veldefinert måte. Tidligere

hadde de fleste land nasjonale

standarder. Nå er det et godt utvalg i

internasjonale standarder så som ISO

60

(verdensomfattende), EN (europeisk)

og landene kan tilslutte seg disse. De

internasjonale standardene blir dog

neppe enerådende i nær fremtid, da

amerikanske (eks. ASTM) og

japanske (JIS) standarder står ganske

sterkt (og kan være lovpålagt i disse

landene).

Figur 1. Strekkstav før og etter brudd.

Eksempel på målelengder [mm].

Vi 2 skal benytte den europeiske standarden, som også er tatt inn som norsk standard, NS-EN

10 002, ”Metalliske materialer. Strekkprøving.”

Detaljer i strekkprøvingen

Standarden angir tillatte utforminger av prøvestykket. Prøvingsmaskinen måler lasten F og en

forskyvning ∆ l . Kun prøvingsmaskiner med måling direkte på prøvestykket, såkalt

ekstensiometer, kan brukes til å beregne tøyning. (Enklere maskiner måler kun gripebommens

forskyvning inklusiv setning og glidning i innspenningen.). Så beregnes nominell spenning σ ,

F

∆l

σ= , som plottes mot nominell tøyning ε , ε= , der lengdeøkningen, ∆ l , fås fra

A0

l0

ekstensometeret. Det prinsipielle forløpet for duktilt karbonstål blir som på Figur 2, heltrukket

kurve.

Kurven går gjennom origo, O. Stykket OA kalles proporsjonalitetsområdet, idet kurven OA er

en rett linje med vinkelkoeffisienten E ∆σ

= ∆ε , altså E-modulen. Området AB er et ikke-

proporsjonalt elastisk område, som oftest meget lite. For materialer som ikke har veldefinert

flytegrense, går kurven over i det plastiske område fra og med B. Duktilt karbonstål har en

2 Industriteknikk


HIN IBDK

Side 6 av 8

RA 02.11.05

spesiell oppførsel med en toppverdi ved C for deretter å ha et kort, nesten horisontalt stykke 3 .

Dette finnes ikke for andre metaller 4 , heller ikke herdet stål.

For karbonstål kreves det fra punkt D plutselig økt spenning for å øke tøyningen. Det betyr at

stålet blir fastere, flyter vanskeligere. Dette beregnes med fastning eller arbeidsherding.

O

Figur 2

σNominell

B

A

∆σ

∆ε

ε

pl

C

D

1 1

ε

1tot

ε

el

E

Andre metaller begynner å flyte gradvis ved B og får også fastning opp til punkt E.

I punkt E har vi den maksimale spenningen som prøven kan bære. Fra E faller spenningen og

bruddet kommer ved F. Fallet i spenning er egentlig et fall i anvendt kraft idet 2.-aksen viser

F

nominell spenning, dvs. σ N = , der A0 er det opprinnelige tverrsnittsarealet. Egentlig er det

A0

feil å dividere med det opprinnelige tverrsnittsarealet, for under strekkingen blir strekkprøven

tynnere, og nevneren regnes feil. Det byr på praktiske problemer å måle det virkelige arealet

(den virkelige diameter), og det er kun etter noe flyting at feilen er merkbar.

Det er kun i området OA at kurven at vi kan lese av E-modulen. Merk likevel at det i den

totale tøyningen εtot alltid inngår en andel av elastisk tøyning, ε el . Den oppnådde plastiske

tøyningen når lasten tas vekk kan uttrykkes:

ε pl =εtot −ε el

3 Det er ofte fluktuasjoner på dette stykket.

4 Dvs. vi finner det for alle duktile metaller når vi tester enkrystaller. Ingen tekniske metaller er enkrystaller. Av

bruksmetaller er det kun karbonstål som har dette området i vanlig, flerkrystallinsk form.

F

εNominell

Nominell spenning - tøyningskurve for et metall. Det er kun

duktilt karbonstål som har kurven gjennom C og D.


HIN IBDK

Side 7 av 8

RA 02.11.05

I en standard for materialprøving betegnes spesielle spenningsverdier ikke med σ , men med

bokstaven R og indekser. Standardiserte prøvingsverdier er nominelle spenninger (opprinnelig

areal i nevner). Bruddspenningen, Rm, leses av i punkt E.

Tøyningsmålet som benyttes ved strekkprøving er nominell tøyning 5 .

l−l0∆l ε=ε N = =

l0 l0

Hele kurven frem til brudd kalles ofte arbeidskurven fordi arealet under kurven er et uttrykk

for det plastiske arbeidet frem til brudd. Et material med lang arbeidskurve sies å ha god

duktilitet.

Før det blir innsnøring på prøvestaven kan vi regne med at det er jevn tøyning i hele

prøvestykket. Under bruddet er det betydelig innsnøring og man bruker å angi duktilitetsmålet

bruddforlengelse, A, (ikke tøyning, fordi tøyningen er svært ujevnt fordelt over prøvestykket).

Uttrykket blir:

lu−l0 A =

l0

der lu er lengden av målelengden når de to bitene av prøven holdes tett sammen (Figur 1).

Den heltrukne kurven på Figur 2 viser karbonståltyper. I punkt C leser vi av flytespenningen

R EH . Like til høyre for C kan vi lese av R EL . Metaller som ikke har en slik veldefinert

flytespenning får kurver som den stiplede linja på Figur 2. Da benyttes Rp0,2 som uttrykk for

flytespenning, dvs. den spenningen som gir en plastisk (varig) tøyning på 0,2 %, Se Figur 3.

Figur 3 Strekkprøving av aluminium (HiN-Lab)

Spenning, tøyning og avlesing av Rp02

Ved styrkeberegninger av

konstruksjoner benyttes fastheter

som skal tas fra

konstruksjonsstandarder. Disse

betegnes f og kan baseres på

flytespenning eller på

bruddspenning (forskjellige tall

naturligvis). f-verdiene vil ofte

variere med dimensjonen som

benyttes. Ved grovere bjelker

skal det benyttes lavere

flytespenninger. Som eksempel

skal nevnes stål S235JRG2 (en

fasthetsklasse som tidligere ble

omtalt som ”st37”). For dette

stålet skal tillatt spenning (flyt)

regnes som følger:

Nominell tykkelse ≤ 16 mm: f = 235 MPa.

Nominell tykkelse 80 - 100 mm: f = 215 MPa.

Nominell tykkelse 200 - 250 mm: f = 175 MPa.

l

5 dl l

I motsetning til logaritmisk tøyning (akkumulert tøyning) ε = ⌠⎮ = ln

⌡l

l l

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 0

.


HIN IBDK

Side 8 av 8

RA 02.11.05

I lab.-oppgaven 6 ”Strekkprøving” skal dere finne ut mer om betegnelser som benyttes ved

materialprøving av metalliske materialer. Dere skal også finne duktilitetsverdier så som

bruddforlengelse og bruddkontraksjon.

MPa

600

Figur 4

Prinsipielle spenning -tøynings kurver for noen materialtyper. GRP (glassfiber armert

plast), f.eks. epoxyimpregnert glassfiberduk herdet ved 160 °C. HDPE: High density

polyetylen – en plasttype. Tallene er ment som illustrasjon.

På Figur 4 vises det prinsipielle forløpet for strekkprøvingskurven til en del forskjellige

materialer. Bemerk at forskjellige materialtyper skal prøves etter forskjellige standarder.

Oppgaver 6

Ved strekkprøving av et metall fant man følgende verdier for spenning og tøyning:

σ [MPa] 35 70 140 244 266 278

ε [%] 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2

a) Tegn et tydelig diagram som viser spenning som funksjon av tøyning.

b) Finn E-modulen for metallet.

c) En vanlig brukt verdi for flytespenning er Rp02, dvs. spenning ved 0,2 % plastisk

tøyning. Les av denne.

d) En 5 meter lang stang i dette materialet belastes med 244 MPa. i) Hvor lang er den

under belastning? Så avlastes den så det ikke virker noen belastning på den. ii) Hvor

lang er den nå? Oppgi svarene med 1 mm nøyaktighet.

e) Beregn bruddforlengelse A, for tallverdiene i Figur 1.

6 Industriteknikk

σNominell

0,5 %

Herdet stål

Herdet aluminium

GRP

Duktilt stål

20 %

εNominell

MPa

20

σNominell

HDPE

5 %

100 %

Gummi

εNominell

More magazines by this user
Similar magazines