21. februar, Dimensjoner

Forelesning 2008-02-21
Husk:
V vektorrom med basis B = b 1
,/, b n
.
Koordinattransformasjonen V/= n , x 1 x B
c 1
Linær isomorfi av vektorrom. Husk x = c 1
b n
C/Cc n
b n
5 x B
=
«
c n
Eks
V = = n med basis B =
b 1
,/, b n
La P B
= b 1
/ b n
, invertibel matrise. x B
=
c 1
«
5 x = c 1
b 1
C/Cc n
b n
c n
c 1
P B
x B
= P B
«
c n
= c 1
b 1
C/Cc n
b n
.
Dermed x B
= P B
K1 x.
4.5 Dimensjon
"En vektors dimensjon er lik antallet elementer i basen"
Må først sjekke at to baser for et vektorrom V har samme antall element.
Anta at V har en basis B =
Teorem
b 1
,/, b n
med n elementer. Hvis p O n, da er
Bruker koordinattransformasjonen V/= n x 1 x B
og får p-vektorer i = n v 1 B
,/, v p B
som er
lineært avhengige.
Derfor finnes c 1
,/, c p
ikke alle null slik at c 1
v 1 B
C/Cc p
v p B
= 0.
Dermed er også c 1
v 1
C/Cc p
v p
= 0 og vi ser at v 1
,/, v p
er lineært avhengige.
enhver mengde av vektorer v 1
,/, v p
lineært avhengige.
Bevis
Husk: P vektorer i = n er lineært avhengige hvis p O n
Teorem
Hvis
A = a 1
,/, a m
og B = b 1
,/, b n
er baser for et vektorrom V, da er m = n.
Bevis

a 1
,/, a m
er lineært uavhengige og b 1
,/, b n
er en basis 0 m % n
b 1
,/, b n
er lineært uavhengige og a 1
,/, a m
er en basis 0 n % m.
Konklusjon: m = n.
Definisjon
Et vektorrom V er endelig dimensjonalt hvis d B = b 1
,/, b n
. Da er dimensjonen til V lik antallet
elementer i en basis.
dim V = n.
For V = 0 er dim V = 0.
Hvis V ikke har en endelig basis er V uendelig dimensjonalt.
Eks
C = er uendelig dimensjonal.
Eks
V = = n . Standard basis gitt ved B = e 1
,/, e n
Eks
Underrom av = 3 er klassifisert av dimensjonen:
dim V = 0 0 V = 0
dim V = 1 0 V = span v , v s 0. V er en linje gjennom O.
dim V = 2 0 V = span v 1
, v 2
, v 1
, v 2
lineært uavhengige. V er et plan gjennom O.
dim V = 3 0 V = span v 1
, v 2
, v 3
, v 1
, v 2
, v 3
lineært uavhengige. Dermed er V = = 3 .
Eks
P n
vektorrommet av polynom grad høyst n.
Basis P 0
t = 1, P 1
t = 1,/, P n
t = t n .
dim P n
= n C1
Teorem:
La H være et underrom av et endelig dimensjonalt vektorrom V. Da kan enhver lineær uavhengig mengde
av vektorer i H utvides til en basis for H og dim H % dim V
Eks
P er vektorrommet av alle polynom. P n
4 P underrom.
Da dim P n
= n C1 kan P ikke ha endelig dimensjon
Repetisjon:
Basisteoremet
La være et p-dimensjonalt vektorrom, p R 1.
- Hvis p vektorer i V er lineært uavhengig da er de en basis
- Hvis p vektorer i V genererer V, da danner de en basis.
Dimensjon av Nul(A) og Col(A)
Nul A har en basisvektor for hver fri variabel. A er m#n.

Dermed dim Nul A = #` `frie variabler = n K# pivoteringsposisjoner
Col A har en basisvektor for hver pivoteringsposisjon ( ): pivoteringssøylene)
dim Col A = # pivoteringsposisjoner.
Merk: dim Nul A C dim Col A = n
10
n = 10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
Eks
K3 6 K1 1 K7
1 K2 0 K1 3
A =
1 K2 2 3 K1
reduced row-echelon form
0 0 1 2 K2
, 3 #5
2 K4 5 8 K4
0 0 0 0 0
dim Nul A = 3, dim Col A = 2
dim Nul A C dim Col A = 5
Oppgaver
a)
La A være en 5 #8-matrise slik at dim Col A = 5.
i) Er likningen Ax = b konsistent c b 2 = 5 ?
ii) Finn antallet frie variabler til Ax = b.
b)
i) Hva er den minst mulige dimensjon av Nul A , hvis A er 4 #7.
ii) Finn en 4 #7-matrise slik at dim Nul A er minst mulig.
Svar
a)
i) Det er 5 pivoteringsposisjoner, og 5 rekker. Da er likningen konsistent.
Col A 4 = 5 og dim Col A = 5 0 Col A = 5.
Col A = Ax x 2 = n . Så for hver b 2 = 5 finnes x 2 = 8 slik at Ax = b.
ii) Det er n Kdim Col A frie variabler. 8 K5 = 3.

)
i) Nullrommet minst når flest pivoteringsposisjoner. Max 4 posisjoner: 7 K4 = 3. min dim Nul A = 3
dim Nul A = 7 Kdim Col A R 7 K4 = 3
Col A 4 = 4 0 dim Col A % 4
1 0 0 0 0 0 0
ii)
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
. Nul A = Span e 5
, e 7
, e 8