Løsningsforslag til øving 6 - Institutt for elektronikk og ...

NTNU
INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON
RADIOTEKNIKK
TTT4165 RADIOTEKNIKK
Løsningsforslag til øving 6
Pkt. 1
Det totale elektriske fjernfeltet finnes ved å superponere feltene fra de 4 dipolene. Da er
det viktig å ta hensyn til fasen ved å erstatte r med r-[(x’cosφ + y’sinφ)sinθ + z’cosθ] for
hver enkelt dipol. En får
η
e
⎛π
⎞
cos⎜
cosθ
⎟
− jk0r
4
0
2
Eθ
= j I0
∑ e
2π
r sinθ
⎣
n=
1
⎛π
⎞
− jk cos cos
0r
θ
η0
e
⎜ ⎟
2
= j I
⎝ ⎠
0
2π
r sinθ
⎝ ⎠ jk0( yn'sinφsin θ+
zn'cosθ
⎡
)
⎤
⎛b a ⎞ ⎛ b a ⎞ ⎛ b a ⎞ ⎛b
a ⎞
⎡ jk0⎜ sinφsinθ+ cosθ⎟ jk0⎜− sinφsinθ+ cosθ⎟ jk0⎜− sinφsinθ−
cosθ⎟
jk0⎜
sinφsinθ−
cosθ⎟⎤
⎝2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝2
2 ⎠
⋅ ⎢e + e + e + e
⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎛π
⎞
− jk cos cos
0r
θ
a
a
η
0 cos
0 cos
0
e
⎜ ⎟
2 ⎡ ⎛ b ⎞ jk θ
jk
2 ⎛ b ⎞ − θ
2 ⎤
= j I
⎝ ⎠
0
2cos k0 sinφsinθ e 2cos k0
sinφsinθ
e
2π
r sinθ
⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2 2
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
⎛π
⎞
− jk cos cos
0r
θ
η0
e
⎜ ⎟
2
b a
j I
⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
0
2cos⎜k0 sinφsinθ⎟2cos⎜k0
cosθ⎟ 2π
r sinθ
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛π
⎞
− jk cos cos
0r
θ
η0
e
⎜ ⎟
2
⎛ b ⎞ ⎛ a ⎞
= j
⎝ ⎠
4I0cos⎜k0 sinφsinθ⎟cos⎜k0
cosθ⎟
2π
r sinθ
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Elementfaktoren som er et nomalisert fjernfelt fra en dipol med enhets matestrøm blir
⎛π
⎞
cos cosθ
η
⎜ ⎟
0 2
e( θ ) = j
⎝ ⎠
(1)
2π
sinθ
Gruppefaktoren blir
⎛ b ⎞ ⎛
F( θ , φ) = 4I0cos⎜k0 sinφsinθ⎟cos⎜k a
0
cosθ ⎞ ⎟ (2)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Det totale fjernfeltet kan derfor skrives
− jk0r
e
Eθ ( r, θφ , ) = e( θ) F( θφ , )
(3)
r
⎦

Pkt.2
I planet y = 0 (E-plan) blir φ = 0, og vi finner e(θ) og F(θ,φ) som funksjon av θ. Av (1)
får vi (som før)
⎛π
⎞
cos cosθ
η
⎜ ⎟
0 2
e( θ ) = j
⎝ ⎠
(4)
2π
sinθ
Av (2) får vi
⎛ a ⎞ ⎛
F( θ ,0) = 4I0cos( 0)
cos⎜k0 cosθ⎟=
4I0cos⎜k a
0
cosθ ⎞ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
(5)
I planet z = 0 (H-plan) blir θ = π/2, og vi finner e(θ) og F(θ,φ) som funksjon av φ. Av (1)
får vi
⎛π
π ⎞
cos cos
π η
⎜ ⎟
0 2 2 η0
e( ) = j
⎝ ⎠
= j = konstant
(6)
2 2π
π
sin
2π
2
Av (2) får vi
π ⎛ b π ⎞ ⎛ a π ⎞ ⎛ b ⎞
F( , φ) = 4I0cos⎜k0 sinφsin ⎟cos⎜k0 cos ⎟=
4I0cos⎜k0
sinφ⎟
(7)
2 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 ⎠
Tallverdier:
a = 3λ
4 gir
a
0
k0
= 3π
4 = 135
2
b= λ 2 gir
b
0
k0
= π 2=
90
2
I planet y = 0 (E-plan) får vi av (4) og (5)
⎛π
⎞
cos cosθ
η
⎜ ⎟
0 2
e( θ ) = j
⎝ ⎠
(dipol-diagram)
(8)
2π
sinθ
⎛3π
⎞
F( θ ,0) = 4I0
cos⎜ cosθ
⎟ ⎝ 4 ⎠
(9)
I planet z = 0 (H-plan) får vi av (6) og (7)
π η0
e( ) = j = konstant
2 2π
(10)
π
⎛π
⎞
F( , φ) = 4I0
cos⎜ sinφ
⎟
2 ⎝ 2 ⎠
(11)
Figurene 1 og 2 viser normaliserte polardiagram for elementfaktor, gruppefaktor og
totalfelt for planene y = 0 og z = 0. Figurene her er laget ved hjelp av MATLAB, men til
eksamen forlanges det bare grove skisser som viser hovedtrekkene.

z
Figur 1. Normaliserte polardiagram for planet y = 0 (E-plan).
Stiplet linje: Elementfaktor
Prikket linje: Gruppefaktor
Hel linje: Totalfelt

x
Figur 2. Normaliserte polardiagram for planet z = 0 (H-plan).
Stiplet linje: Elementfaktor (sirkel)
Hel linje: Gruppefaktor og totalfelt
Pkt. 3
På grunn av symmetri får alle dipolene samme aktive inngangsimpedans. Spenningen på
dipol 1 er
V1 = z11I1 + z12I2 + z13I3 + z14I4 = ( z11 + z12 + z13 + z14)
I0
Den aktive inngangsimpedansen blir derfor
V1 V1
Zin
= = = z11 + z12 + z13 + z14
I1 I0
Tallverdier:
Z = (73+ j43−13− j30 − 7 + j2 + 2 − j8) Ω= (55+ j7)
Ω
in
(12)

Pkt. 4
Direktiviteten i retningen (θ,φ) kan uttrykkes ved hjelp av fjernfelt og utstrålt effekt på
følgende måte:
2
r
2
2
4 π ⋅ ⎡ Eθ( r, θφ , ) Eφ( r, θφ , ⎤
2η
⎢
+
⎣
⎥⎦
0
D( θφ , ) = (13)
Prad
Av f.eks. (10) og (11) har vi at
− jk0r − jk0r − jk0r
⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞e
η0 e 2η0
e
Eθ
⎜r, ,0 ⎟= e⎜ ⎟F⎜ ,0⎟
= j 4I0 = j I0
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ r 2π
r π r
2 2
4η0
2 1
=
2 0 2
⎛ π ⎞
Eθ
⎜r, ,0⎟
I
⎝ 2 ⎠ π r
Siden antennen er tapsfri, blir utstrålt effect lik 4 ganger tilført effect til hver dipole.
1
2 2
Prad = 4⋅ Re[ Zin ] I0 = 2Rin
I
0
2
Innsatt i (13) får vi
2 2
r 4η
0
2 1
4π
I
2 0 2
⎛π
⎞ 2η0
π r 4η
0
D ⎜ ,0⎟
=
= (14)
2
⎝ 2 ⎠ 2R
R
in
I π
0
in
Tallverdier:
⎛ 4 120
D π ⎞ ⋅
⎜ ,0⎟
π = = 8.7 = 9.4 dB
(15)
⎝ 2 ⎠ π ⋅55