Lab 1

Laboratorieøving 1 i TFE4120 - Kapasitans
25. februar 2013
Sammendrag
Vi skal benytte en parallelplatekondensator med justerbart gap til å
studere kapasitans. Oppgavene i forarbeidet beskrevet nedenfor må løses
i forkant av oppmøte til lab, og svar fremvises før laboratorieoppgavene
kan påbegynnes. For å få godkjent laboratorieøving må journal fremvises
med svar på laboppgavene i siste del av dette skrivet til stud. ass. før
laboratoriet forlates. Lykke til!
1 Forarbeid
1.1 Kapasitansen til en parallellplatekondensator
Fig. 1a viser oppsettet som skal brukes i denne laboratorieøvingen. I bildet
ser man en parallellplatekondensator: Den er sammensatt av to sirkulære ate
ledere med radius a separert med en avstand d.
Utled det kjente kapasitansuttrykket nedenfor ved å anta at lederne
er ideelle:
C = ɛ 0ɛ r A
, der A = πa 2 og ɛ 0 = 8.85 · 10 −12 F/m. (1)
d
Her er kapasitansen gitt som funksjon av relativ permitivitet ɛ r
til materialet mellom platene og avstanden d.
1.2 Oppsettet -kretsanalyse
Den generelle denisjonen av kapasitans mellom to legemer er:
C def
= Q V
(2)
hvor Q er ladningen på det ene legemet og V er spenningen mellom de to legemene.
Det er derfor interessant at uttrykket (1) relaterer kun geometriske størrelser
til C og ikke ladning eller spenning. Vi skal følgelig teste om vi gjennner den
lineære avhengigheten av C med ɛ r og d −1 uttrykt i (1) gjennom oppsettet vist
i g. 1a.
1

Motstand
Signalgenerator
Oscilloskop
Parallellplatekondensator
(a) Bilde av oppsett
+
−
+ V 1 −
Probe
Z 1
+
Oscilloskop
Parallelplate
Z 3
-kondensator
V 0
Z 2
V i
(b) Krettsskjema
Figur 1
−
2

Oppsettet er satt opp etter kretsskjemaet vist i g. 1b. Vi skal nå gjennomgå
hvordan denne kretsen skal brukes til å måle C.
Impedansformalisme
Vi er vant til å analysere enkle DC-kretser ved hjelp av Ohm's lov V = I · R til
å relatere spenning, strøm og resistans. For AC-kretser bruker vi imidlertid en
endret versjon av Ohm's lov:
V = I · Z, (3)
der resistansen R generaliseres til en størrelse kjent som impedans Z. Dersom
dette er nytt for deg bør du lese appendiks A hvor dette er beskrevet nærmere.
Impedansens amplitude |Z| angir hvor stor motstanden er, og impedansens komplekse
fase ∠Z angir hvordan komponenten forårsaker en forskyvning i fase av
AC-signalet generert av signalgeneratoren. Motstander får impedansen Z R = R,
spoler får impedasen Z L = jωL og kondensatorer får impedansen Z C = 1/jωC.
Den samlede impedansen til impedanser som ligger i serie (rett etter hverandre)
er
Z tot = Z 1 + Z 2 + Z 3 + · · · , (4)
og den samlede impedansen til impedanser som ligger i parallell er
Spenningsdeling
1
Z tot
= 1 Z 1
+ 1 Z 2
+ 1 Z 3
· · · . (5)
Fra kretsskjemaet i g. 1b ser vi at spenningsfallet gjennom kretsen kan oppdeles
V i = V 1 + V 0 . (6)
I henhold til denisjonen (2) forstår vi at man trenger spenningen V 0 for å
nne C. Vi vet at strømmen som forlater signalgeneratorn må være lik summen
av strømmene som forgrener seg gjennom parallellplatekondensatoren og
oscilloskopet i kretsen, altså I Z1 = I Z2 + I Z3 . Ved å bruke (3) har vi derfor:
V i
= V 0
Z 1 + Z 2 ‖Z 3 Z 2 ‖Z 3
hvor Z 2 ‖Z 3 er parallellkoblingen av elementene Z 2 og Z 3 og kan nnes ved hjelp
av (5). I kretsen representerer Z 3 en parallellkobling av oscilloskopets indre
motstand (∼ 1MΩ) og indre kapasitans (∼ 13 pF), og brukes for å beskrive
oppførselen til oscilloskopet sett utenfra. Vi skal her anta at C osc ≪ C, og
dermed antar vi at den kapasitive delen i Z 3 er neglisjerbar.
Regn ut hvor liten d må være for at C osc ≪ C ved å bruke likn.
(1). Parallellplatenes radius er ca. a = 0.08m, og for luft mellom
platene har vi ɛ r ≈ 1. Tips: Finn først hva d må være for at
C = C osc .
3

Ved å stokke om på uttrykket får vi:
V 0 = V i ·
Z 2 ‖Z 3
Z 1 + Z 2 ‖Z 3
. (7)
Dette er kjent som spenningsdeling. I henhold til g. 1b har vi følgende denisjoner:
Z 1 = R 1 (8)
Z 2 =
1
jωC
(9)
Z 3 = R osc (10)
Finn Z 2 ‖Z 3 uttrykt ved C, R osc , og ω = 2πf ved hjelp av likn.
(5). Bruk dette til å nne et uttrykk for V 0 /V i . Finn deretter
amplituden |V 0 /V i |.
Vi har altså funnet en likning som relaterer de målbare størrelsene |V i |, |V 0 |
og ω = 2πf til C. Før vi kan sette i gang med målinger må vi imidlertid først
bestemme hvilken frekvens f og størrelse R 1 som skal brukes i kretsen.
Frekvensavhengig impedans
Vi skal bruke oscilloskopet til å måle |V 0 | slik vist i g. 1b. Det er derfor viktig
at oscilloskopet ikke påvirker spenningsfallet over parallellplatekondensatoren
og at det dermed kun går en forsvinnende liten strøm gjennom oscilloskopet.
Med andre ord må vi kreve at |Z 2 | ≪ |Z 3 |. I motsatt fall, hvis |Z 2 | ≫ |Z 3 |, vil vi
nemlig ikke se eekten av at gapavstanden eller at materialet mellom platene på
parallellplatekondensatoren endres. Siden Z 2 avhenger av ω = 2πf må vi nne
en frekvens f c hvor |Z 2 | = |Z 3 | slik at vi kan sørge for å bruke vekselspenning
med frekvens f > f c i kretsen vår.
Finn et analytisk uttrykk for frekvensen f c som funksjon av C
og R osc , gitt at |Z 2 | = |Z 3 |. Vi har at R osc ∼ 1MΩ. Regn ut et
estimat for f c når d = 5mm.
For de verdiene som er blitt oppgitt bør vi operere med frekvenser en del
høyere enn ca. 5 kHz. Det eneste som nå mangler er verdien for R 1 . Siden vi skal
måle |V 0 /V i | for å nne C trenger vi å operere kretsen i et regime der forholdet
|V 0 /V i | endrer seg mye når vi varierer C. Dette får vi for eksempel til ved å
kreve at |V 0 /V i | = 1/2. Vi kan regne ut R 1 fra dette, og nner:
[
R osc √1
R 1 =
+ 3(ω2
ω 2 C 2 Rosc 2 C
+ 1
2 Rosc 2 + 1) − 1]
(11)
Siden impedansen til parallellplatekondensatoren Z 2 = 1/jωC varierer med
frekvens, vil følgelig den nødvendige verdien av R 1 for at |V 0 /V i | = 1/2 også
variere. Siden Z 2 avtar med økt frekvens, vil også den nødvendige verdien av
R 1 avta med økt frekvens.
4

Vi er interessert i å bruke kretsen for frekvenser f > f c . Bruk
likningen over til å nne en passende verdi av R 1 for frekvenser
rundt f = 10f c .
Kapasitansmåling
Vi bør altså velge en frekvens f > f c . Samtidig vet vi at kondensatorer ved
høye frekvenser begynner å oppføre seg som ledere, og en frekvens f = 10f c
vil kunne tenkes å være litt for høyt. Når dere gjør laboratorieøvingen bør dere
derfor prøve dere frem for å nne en passende frekvens.
Med R 1 og f valgt er dere nå klare for å måle C. Som diskutert ovenfor går
det kun en forsvinnende liten strøm inn i oscilloskopet under disse forholdene,
og i g. 1b kan vi derfor erstatte oscilloskopet med en brutt krets. Dette betyr
at spenningsfallet V 0 avhenger bare av Z 2 , og ved en enkel spenningsdeling som
den gjort tidligere nner vi at:
∣ ∣
|V 0 | ∣∣∣
|V i | = Z 2 ∣∣∣ 1
= √
Z 1 + Z 2 ω2 R1 2C2 + 1
(12)
Bemerkning: Legg merke til at dette uttrykket er litt forskjellig fra det dere tidligere
har funnet: Slik vi har denert parameterene burde vi lagt til (R 1 /R osc +
1) 2 ≈ 1.35 i uttrykket i steden for ettallet i kvadratroten for frekvenser f ≈ 10f c .
Feilen er likevel liten og er neglisjerbar etterhvert som vi setter f større enn f c .
Ved å stokke om på (12) uttrykk nner vi:
√
C = 1 |V i | 2
ωR 1 |V 0 | 2 − 1 (13)
Altså har vi nå funnet en likning som lar oss måle kapasitansen til parallellplatekondensatoren
i kretsen ved hjelp av størrelsene |V i |, |V 0 |, og ω = 2πf. Dette
avslutter forarbeidet: Hvis dere har forstått alle stegene så langt er dere klare
for laboratorieøvingen! Husk å ta med utregningene for fremvisning til stud. ass.
og til bruk når dere skal ha laboratorieøving.
2 På laboratoriet
2.1 Forberedelse
Før dere tar fatt på laboppgaven må dere først fremvise svarene
på forarbeidet til en studass.
Nå skal dere sette opp kretsen vist i g. 1b: Dere skal bruke en motstand,
en AC-signalgenerator med justerbar frekvens, en parallellplatekondensator og
et oscilloskop.
5

Sett opp kretsen i henhold til kretsskjemaet og de verdiene dere
fant på forarbeidet (la oscilloskopet og signalgeneratoren forbli
plassert i hylla over labplassen slik at det blir mindre å rydde
opp). Sett signalgeneratoren til et AC-signal med en frekvens
f > f c dere nner passelig. Juster tidsaksen og spenningsskalaen
på oscilloskopet slik at dere ser 2-4 perioder av signalet på
oscilloskopskjermen. NB! Husk å stille proben på 1X på
kanalene dere bruker.
Med en avstand på ca. d = 5 mm mellom kondensatorplatene,
sjekk om dere får |V 0 /V i | ≈ 1/2 slik dere designet kretsen.
Juster frekvensen litt for å få dette til. Tilplass amplituden på
spenningssignalet slik at dere får tilstrekkelig måleamplitude for
å måle |V 0 | uten støy.
2.2 Målinger
Se at C varier lineært med d −1
Bruk oscilloskopet til å måle |V 0 | i g. 1b. Det kan være lurt å
måle |V i | med oscilloskopet også: Dette gjøres ved å koble proben
til spenningskilden. Ved å trykke på oscilloskopets measureknapp
kan man velge å måle amplituden til signalene (pk-pk).
Man bør også måle frekvensen f (denne målingen er muligens
mer nøyaktig enn den oppgitt på signalgeneratoren).
Sett kondensatorplatene ca. 5 mm fra hverandre. Prøv og se at
hvis du gjør frekvensen f liten går |V 0 /V i | → 1, og at hvis du
gjør f stor går |V 0 /V i | → 0. Hvorfor skjer dette? Velg deretter
en frekvens større enn f c slik at |V 0 /V i | er rundt 1/2.
Lag en tabell som vist nedenfor der dere ytter kondensatorplatene
nærmere hverandre med en halv millimeter av gangen.
Dere vil se at amplituden |V 0 | endrer seg mens |V i | forblir uendret.
Regn ut kapasitansen ved hjelp av likn. (13). Tabellen og
utregningene kan for eksempel gjøres i Matlab eller Excel, men
skriv ned verdiene i journalen slik at de kan vises til stud. ass.
d [m] |V 0 | [V] |V i | [V] C [F/m]
0.004 0.95 0.99 · · ·
0.0035 0.88 0.99 · · ·
· · · · · · · · · · · ·
Bruk dataen til å plotte C vs. d −1 . Blir grafen lineær?
Frivillig: Bruk lineær regresjon til å nne stigningstallet til kurven.
Bruk dette stigningstallet til å regne ut arealet til kondensatorplatene
etter likn. (1). Stemmer dette sånn noenlunde?
6

Se at C er konstant mhp. f
Still kondensatorplatene slik at de har en avstand på ca. 2 mm
mellom seg. Velg en frekvens større enn f c slik at |V 0 |/|V i | ≈ 1/2.
Lag en tabell som vist nedenfor der dere øker frekvensen på
signalgeneratorn mellom hver måling. Regn ut kapasitansen ved
hjelp av likn. (13).
f [Hz] |V 0 | [V] |V i | [V] C [F/m]
15k 0.78 1.99 · · ·
20k 0.60 1.99 · · ·
· · · · · · · · · · · ·
Bruk dataen til å plotte C vs. f. Forblir C uendret?
Se at C øker med ɛ r
Sett en bunke papir mellom kondensatorplatene og still avstanden
slik at papirene nesten klemmes fast. Velg en frekvens større
enn f c slik at |V 0 | ≈ |V i |/2.
Regn ut C papir . Ta deretter ut papiret, og mål C luft . Finn ɛ papir =
C papir /C luft .
Bruk musematta dere har på arbeidsbenken: Regn ut C musematte
Sammenlign verdiene med tabellverdier på nettet.
Parallell- og seriekobling av kondensatorer (frivillig)
Samarbeid med et annet team slik at dere har to parallellplatekondensatorer
til rådighet (evt. spør stud.ass. om det nnes noen
til overs). Koble dem først i parallell og deretter i serie, og mål
kapasitansen i hvert tilfelle ved hjelp av det samme oppsettet
dere har brukt før. Foreslå en lov om parallell- og seriekoblede
kondensatorer og sammenlikn med likn. 2.95 og 2.97 i kompendiet
(s. 40-41).
Kapasitansen til en Coax-kabel (frivillig)
Hvis vi bytter ut parallellplatekondensatoren i kretsskjemaet
med en Coax-kabel kan vi bruke det samme oppsettet med modiserte
verdier til å måle Coax-kabelens kapasitans. Vi vet at
Coax-kabler typisk har kapasitansverdier av størrelsesorden 100
pF/m. Prøv om dere klarer å måle dette!
7

Figur 2: Slik skal labplassen se ut når den forlates
3 Rydding av labplass og godkjenning
Se g. 2: For å få godkjent lab må dere sørge for å forlate labplassen seende slik
ut. Spør en studass hvor parallellplatekondensatoren skal lagres. Finn deretter
en studass, vis at dere har gjort alt som står i labteksten og svart på alle spørsmålene.
Etter dette gjenstår det bare å takke studassene for deres hjelp og ha
en n dag!
A
Impedanser
Vi skal her nne sammenhengen mellom strøm og spenning for en impedans,
i form av en resistans (motstand), en kapasitans (kondensator), eller en seriekobling/parallellkobling
av slike. Vi kobler en ideell vekselsignalgenerator, med
harmonisk spenningsvariasjon
v(t) = Re{V exp(jωt)}, (14)
til impedansen, se g. 3. Her er vinkelfrekvensen ω = 2πf, der f er frekvensen
og j = √ −1. Spenningen V er en kompleks amplitude. Legg merke til at hvis
V er reell, fås v(t) = V cos(ωt). Hvis ikke, dvs. at V = |V | exp(jφ), vil vi få en
ekstra fase inne i argumentet til cosinus-funksjonen:
v(t) = Re{|V | exp(jφ) exp(jωt)} = |V | cos(ωt + φ). (15)
Den komplekse fasen φ (argumentet) til V innebærer altså en faseforsinking av
signalet.
8

v i (t)
Z
Figur 3: Krets med en vekselspenningkilde koblet over en impedans.
Vi ser først på tilfellet der impedansen er en motstand. Da har vi at strømmen
igjennom motstanden er
i(t) = v(t) { }
V
R = Re R exp(jωt) (16)
i henhold til Ohms lov. For en kapasitans har vi at i(t) = Cdv/dt, og derfor
{ }
V
i(t) = C Re{jωV exp(jωt)} = Re
Z exp(jωt) , (17)
der Z = 1
jωC
kalles impedansen til kondensatoren. Vi ser at Z opptrer i (17)
på samme måte som R opptrer i (16), så impedansen Z er å anse som en
generalisert resistans.
Det er praktisk å denere en kompleks strøm I:
slik at
I = V Z , (18)
i(t) = Re{I exp(jωt)}. (19)
Om vi hadde kjent strømmen igjennom resistansen eller kapasitansen, i form
av (19), ville vi kunne regne oss tilbake til spenningen, på tilsvarende vis som
ovenfor. Dette gir (14), der V = ZI.
Hva nå om vi parallellkobler to impedanser Z 1 og Z 2 ? Siden den samme
spenningen er over de to impedansene, får vi strømmene
i 1 (t) = Re{ V Z 1
exp(jωt)},
i 2 (t) = Re{ V Z 2
exp(jωt)},
(20a)
(20b)
og derfor
i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) = Re
{( V
+ V ) } { }
V
exp(jωt) = Re
Z 1 Z 2 Z exp(jωt) , (21)
9

der
1
Z = 1 Z 1
+ 1 Z 2
. (22)
Dette er altså uttrykket for impedansen til en parallellkobling. På tilsvarende
måte kan vi vise uttrykket
Z = Z 1 + Z 2 (23)
for en seriekobling. Man bruker da at strømmen er den samme igjennom de to
impedansene.
10