Statistical physics

Statitisk fysik – Minilex

Henrik Dahl

15. januar 2006

Indhold

1 Sandsynlighedsteori 2

2 Fordelinger 2

3 Eksperimentelle usikkerheder 3

4 Parameterbestemmelse 3

5 Priors, entropi 3

6 Termodynamik 4

6.1 Kanonisk ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.1.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.1.2 Eksempel: Ideal monoatomisk gas . . . . . . . . . . . . . . 4

6.2 Tryk-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6.2.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6.2.2 Eksempel: Ideal gas med indre frihedsgrader . . . . . . . . 6

6.2.3 Ligefordelingsloven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.3 Store kanoniske ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.3.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.3.2 Eksempel: Ideal gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 Kvantemekanik 7

7.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.2 Kanonisk ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.2.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.2.2 Eksempel: Frie partikler (i en æske) . . . . . . . . . . . . . 8

7.2.3 Eksempel: Harmonisk oscillator . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.2.4 Eksempel: Roterende molekyle . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1

---

1 SANDSYNLIGHEDSTEORI 2

8 Fermioner og bosoner 10

8.1 Fermioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8.1.1 Atomer, molekyler, halvledere, isolatorer . . . . . . . . . . 11

8.1.2 Metaller, tunge kerner, Fermi-energi, -gas og -tryk . . . . . 11

8.1.3 Hvide dværge og neutronstjerner . . . . . . . . . . . . . . 12

8.2 Bosoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

8.2.1 Fotongas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Sandsynlighedsteori

P (A|I) + P (A|I) = 1 (1.2)

P (AB|I) = P (B|I)P (A|BI) (1.3)

P (AB|I) = P (A|I)P (B|I) (p.12)

P (A + B|I) = P (A|I) + P (B|I) − P (AB|I) (1.5)

P (T |DI) =

P (D|T I)

P (D|I)

P (T |I) (1.11).

Generaliseret: P (T i |DI) =

P (D|T iI)P (T i |I)

∑j P (D|T jI)P (T j |I) (1.13)

2 Fordelinger

Middelværdi 〈m〉 = ∑ N

m=1

mP (m|I) (2.5)

σ 2 = ∑ N

Varians

Tilstandssum

Binom-koef

Sumregel

Produktregel

Uafhængighed

Generel sumregel

Bayes formel

Binomfordeling

Multinom-koef

m=1 (m − 〈m〉)2 P (m|I) = 〈m 2 〉 − 〈m〉 2 (2.6, p.22)

Z(λ) = 〈e λm 〉 = ∑ N

m=1 eλm P (m|I) (p.22)

Z(0) = 1, Z ′ (0) = 〈m〉, Z (n) = 〈m n 〉

( ) N N!

= (p.20)

M M!(N−M)!

Approx: ≈ N m /m! (2.20)

( ) N

P (m|I) = p

m

m (1 − p) N−m (2.3)

Middelværdi 〈m〉 = Np, varians σ 2 = Np(1 − p) (p.23), tilstandssum: Z(λ) =

(pe λ + (1 − p)) N (p.22)

B(n 1 , . . . , n k ) = N!

n 1 !···n k !

(p.24)

---

3 EKSPERIMENTELLE USIKKERHEDER 3

Multinom-ford

Poissonford

Normalford

P (n 1 , . . . , n k |I) = B(n 1 , . . . , n k )p n 1

1 · · · p n k

k

(2.9)

Tilstandssum: Z(λ 1 , . . . , λ k ) = ∑ n 1 ,...,n k

e λ 1n 1 +···+λ k n kP (n1 , . . . , n k |I) (2.10) med

〈n i 〉 = Np i , 〈n i n j 〉 = N(N −1)p i p j +Np i δ ij (2.13,2.14), så σi 2 = Np 1 (1−p i ) (2.15)

P (m|I) = µm

m! e−µ (2.21)

Tilstandssum: Z(λ) = e µ(eλ−1) (2.23), så 〈m〉 = µ og σ 2 = µ (p.30)

p(x|µ, σ) = 1 √

2πσ

e − (x−µ)2

2σ 2 (2.16)

Tilstandssum: Z(λ) = e (µ+λσ2 ) 2 −µ 2

2σ 2 (2.17)

Ophobningsloven δf =

3 Eksperimentelle usikkerheder

√ (

∂f

∂x 1

) 2

δx

2

1 + · · · +

(

∂f

∂x n

) 2

δx

2

n (3.6)

4 Parameterbestemmelse

Prior, posterior

P (D|θI)

P (θ|DI) = ∫

P (D|θI)P (θ|I)dθ

dθ(4.2). Venstre side er posterior, første led på højre

side er likelihood og andet led på højre side er prior.

5 Priors, entropi

Jeffreys

Entropi

MaxEnt

p(m) = p(1)/m (5.3)

S(p) = − ∑ i p i ln p i (5.10)

Problem: Maksimer S(p) = − ∑ i p i ln p i (5.13) s.t. ∑ i f k(x i )p i = 〈f k 〉 = F k for

k = 1, . . . , m (5.12) og ∑ i p i = 1.

Løsning: p i = Z −1 e − ∑ k λ kf k (x i ) (5.15) med Z = ∑ i e− ∑ k λ kf k (x i ) .

Egenskaber:

Entropi: S = ln Z + ∑ k λ kF k (5.19)

Middelværdier: ∂ ln Z

∂λ k

= −〈f k 〉 = −F k (5.20)

Kovarianser: ∂2 ln Z

∂λ k ∂λ l

= 〈f k f l 〉 − 〈f k 〉〈f l 〉 (5.21)

Lagrangemultiplikatorer:

∂S

∂F k

= λ k (5.22)

---

6 TERMODYNAMIK 4

Varme: δS = ∑ k λ kδQ k (5.24) med δQ k ≡ δ〈f k 〉 − 〈δf k 〉 = ∑ i f k(x i )δp i (5.25)

6 Termodynamik

Energi

Faserum

Ensembler

E(r, p) = ∑ N p 2 n

n=1 2m n

+ V (r 1 , . . . , r N ) (6.1)

{p 1x , p 1y , p 1z , . . . , p Nx , p Ny , p Nz , x 1 , y 1 , z 1 , . . . , x N , y N , z N } (p.70) med dimension 6N.

Kanoniske ensemble: U = 〈E〉 statistisk og kendt. V, N fuldstændig bestemte.

λ ∼ T (p.72)

Tryk-ensemble: U = 〈E〉 og 〈V 〉 statistiske og kendte. N fuldstændig bestemt.

λ ∼ T, p (p.72)

Store kanoniske ensemble: U = 〈E〉 og 〈N〉 statistiske og kendte. V fuldstændig

bestemt. λ ∼ T, µ (kemisk potentiale) (p.72)

Mikrokanoniske ensemble: E, V, N fuldstændig kendt (Opg.6.4)

6.1 Kanonisk ensemble

6.1.1 Generelt

Maksimer S = − ∑ i p i ln p i s.t. ∑ i p i = 1 og 〈E〉 = ∑ i p iE i = U (6.2, 6.3)

Løsning: p i = Z −1 e −βE i

, Z = ∑ i e−βE i

, eller Z = ∫ d 3N r ∫ d 3N pe −βE(r,p) (6.4,6.5,6.6)

Varme

Varmefylde

dQ = T dS (p.77). Varme svarer til ændring af systemets tilstandssandsynligheder,

mens arbejde svarer til ændringer af E i (hver faserumscelles energi) (p.80)

C = dQ

dT (p.77) (bør kaldes C V da V er fastholdt (p.85))

Arbejde Arbejde er arbejde udført på systemets omgivelser δW

δW = −pδV (6.23)

= − 〈 ∂E

∂a

〉

δa (6.20).

Helmholtz

energi

fri

F = − ln Z = U − T S (6.26,6.27). Fortolkning: Det arbejde systemet kan udføre

β

ved konstant temperatur.

Tryk

6.1.2 Eksempel: Ideal monoatomisk gas

p = − ∂F

∂V

for fastholdt T (6.29)

Antagelse

Antagelse: Ingen vekselvirkning mellem atomer, dvs. V (r 1 , . . . , r N ) = 0 og m n =

---

6 TERMODYNAMIK 5

m, så E(r, p) = ∑ N

n=1

p 2 n

2m

Tilstandssum

Middelenergi

Entropi

Temperatur

Boltzmanns

konstant

Z = ∫ d 3N r ∫ ( ) 3N/2

d 3N pe −βp2 /2m = V N 2πm

β (6.7)

U = − ∂ ln Z

∂β

S = ln Z + βU = N ln

T = β −1 (p.75)

= 3N = 3 NT (6.8)

2β 2

( )

2πmV e 3/2

(p.73)

β 3/2

k B = T ′ /T [J/K] = 1.38 · 10 −23 J/K (6.13)

Varmefylde C = δU = δT −β2 ∂2 ln Z

∂β

og T dS = CdT (6.18)

= 3 N (6.14, 6.15, p.72)

2

Arbejde

Entropiændring

Helmholtz fri

energi

Tilstandsligning

δ ln Z = βδW ved uændret temperatur (6.21)

δS = βδQ = β(δU + δW ) (6.22) (Korr. T δS = δU + δW (1.HS).

( )

F = N − T ln 2πmV e 3/2

(6.30)

β β 3/2

pV = NT (6.31)

Antagelser

6.2 Tryk-ensemble

6.2.1 Generelt

〈V 〉 og 〈E〉 = U kendt, N og T = β −1 givet (p.83)

Sandsynligheder p i (V ) = Z −1 e −βE i(V )−αV (p.83)

〈 〉

Lagrangemultiplikator α = β

= pβ (6.33)

− ∂E(V )

∂V

= p T

Tilstandssum

Entropi

1. HS

Varmefylde

Z(T, p) = ∑ i

∫ ∞

0

dV e −β(E i(V )+pV (6.34)

S = ln Z + β(U + pV ) (6.35)

dU = T dS − pdV (6.39)(tilført varme - minus arbejde på væggen)

C p = ∂U

∂T + p ∂V

∂T

(6.43) - for konstant tryk

---

6 TERMODYNAMIK 6

Gibbs fri energi

G(T, p) = − ln Z = U + pV − T S (6.53, 6.54), så dG = −SdT + V dp + dW (6.55):

β

Fortolkning som arbejde, der kan udføres af systemet ved konstant temperatur

og tryk.

Energi

Tilstandssum

6.2.2 Eksempel: Ideal gas med indre frihedsgrader

E(V ) = ∑ [( )

]

N p 2

n

n=1

+ V (x 2m n − x) + E indre (r n , p n )

Z = ∑ ∫ ( ) 3N/2 ∞

i

dV e −β(E i(V )−pV ) = N!(βp) −N 2m Zi (β) N (6.44,6.45), hvor Z

0 β

i er

tilstandssum for molekyle, der ligger stille.

Tilstandsligning 〈V 〉 = − 1 d ln Z

= N β dp βp

U = − ∂ ln Z

⇔ pV = NT (p.86)

Middelenergi

− pV = 3N + Nu ∂β

2β i(β) (6.46) med u i (β) = − d ln Z i

dβ

enkelt molekyle.

som middelenergi i

Varmefylde

6.2.3 Ligefordelingsloven

C p = 3N 2

+ N du i

dT + N (6.47) og C V = 3N 2 + N du i

dT (6.48)

Tema

Vibrationer

Translation

Rotationer

Molekyle

Varmefylde for harmonisk oscillator med energi E(p, x) = p2

fast temperatur T = β −1

Z vib = ∫ ∞

−∞ dp ∫ ∞

−∞ dxe−βE(p,x) = π

βω (p.87). U vib = − d ln Z

Z tr =

√

2πm

, U β tr = T/2 og C tr = 1/2 (6.50)

√

Z rot = ∫ ∞

−∞ dL ∫ 2π

0

dφe −βE(L,φ) = 2π

C = Ntr

2

+ N vib + Nrot

2

(6.52)

2m + mω2 x 2

2

(6.49) med

dβ

= T (p.87), så C vib = 1

2πI

β

med U rot = T/2 og C rot = 1/2 (6.51)

Helmholtz fri

energi

Kemisk potential

6.3 Store kanoniske ensemble

6.3.1 Generelt

Variabelt antal partikler, men 〈N〉 kendt.

F (T, V, N) = −β ln(Z/N!) (6.84)

µ = ∂F

∂N (6.85)

---

7 KVANTEMEKANIK 7

Tilstandssum

Entropi

Z = ∑ N

∑

e −βE i (N)

i

e βµN (6.86)

N!

S = ln Z + β(U − µN) (6.87)

Termodynamisk Ω = − ln Z = U − T S − µN (6.88). Vi får T dS = dU − µdN + dW og dΩ =

β

potential −SdT − Ndµ + dW (6.89, 6.90)

Tryk

pV = − ln Z

β

(6.93)

Tilstandssum

Termodynamisk

potential

Middelantal

partikler

Tilstandsligning

6.3.2 Eksempel: Ideal gas

( (

∫

d 3 pe −β p 2

Z = ∑ N

Ω = − V β

(

V N

N!

) 3/2

2πm

β e βµ (6.95)

〈N〉 = − ∂Ω

∂µ = − Ω β (6.96).

pV = 〈N〉T (6.97)

)) N

2m −µ = e V ( 2πm

β ) 3/2 e βµ (6.94)

7 Kvantemekanik

Tæthedsmatrix

7.1 Generelt

ρ = ∑ i w i|ψ i 〉〈ψ i | (p.109) med ∑ i w i = 1 og 0 ≤ w i ≤ 1. Der gælder, at Tr[ρ] = 1

(7.3).

Middelværdi 〈A〉 =Tr[Âρ] (7.2)

Entropi S = −Tr[ρ ln ρ] (7.7)

MaxEnt

Problem: Find ρ, der maksimerer S = −Tr[ρ ln ρ] med 〈f k 〉 =Tr[ ˆf k ρ] = F k (7.8)

Løsning: ρ = Z −1 e − ∑ k λ k ˆf k (7.9)

Tilstandssum

Middelværdier

Entropi

Z =Tr[e − ∑ k λ k ˆf k] (7.10)

−〈 ˆf k 〉 = ∂ ln Z

∂λ k

= −F k (7.11)

S = ln Z + ∑ k λ kF k (7.12)

---

7 KVANTEMEKANIK 8

Lagrangemultiplikatorer

Kontekst

MaxEnt ssh

Tilstandssum

∂S

∂F k

= λ k (7.13)

7.2 Kanonisk ensemble

7.2.1 Generelt

Middelenergi 〈H〉 er kendt (p.111)

ρ = Z −1 e −βH (7.14). Diagonal, hvis der anvendes energiegentilstande. Da er E i

egenenergierne, og p i = e−βE i

(7.15).

Z

- og Z = ∑ i e−βE i

(7.16)

7.2.2 Eksempel: Frie partikler (i en æske)

Antagelser

Hamilton (1

part)

Egentilstande

Dimensioner L x , L y , L z kendte, V = L x L y L z givet, ingen vekselvirkning, ingen

indre frihedsgrader, ens partikler (p.112)

H = p2

2m (p.112)

ψ k (r) = eik·r/ √

V

(p.112)

Egenenergier

ɛ k = 2 k 2

2m

(p.112)

Bølgetal

Tilstandssum

k x = π L x

n x med n x = 1, 2, . . . (p.113)

∫

Z 1 =

V

(2π) d 3 ke −β

2 2m (k2 x +k2 y +k2 z ) (7.18), dvs. Z 1 = V

ikke ) - Antagelse - tilstrækkeligt stor kasse.

Z = Z N 1 = V N (

2πm

βh 2 ) 3N/2

(7.20)

N partikler

T k ≡ 2 π 2

(

2πm

βh 2 ) 3/2

(7.19) (NB: h og

Karakteristisk

temperatur

Regler

2mL 2 k B

Hvis T k ≫ T - Kvantemekanik - ellers klassisk OK. Ex. T k ≈ 10 4 K for elektron i

nm-kasse, 10 3 K for atom i fast stof. Jo større m, T, L jo mere klassisk er systemet.

7.2.3 Eksempel: Harmonisk oscillator

Hamilton (1

part)

Egenenergier

H = p2

2m + mω2 x 2

2

(p.115)

ɛ n = ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . . (p.115)

---

7 KVANTEMEKANIK 9

Tilstandssum

Middelenergi

Z = ∑ ∞

n=0 e−βɛn = e−βω/2 (7.21)

1−e −βω (

〈H〉 = U = − ∂ ln Z

∂β

= ω

1

e βω −1 + 1 2

)

(7.22)

Middelkvantetal 〈n〉 = 1 (7.23)

e βω −1

S = ln Z + βU =

Entropi

Varmefylde

Egenskaber

C = ∂U

∂T

Se p.116

= −β2

∂U

∂β =

x − ln(1 − e x −1 e−x ) med x = βω (7.24)

x2 e x

(e 2 −1) 2 (7.25)

7.2.4 Eksempel: Roterende molekyle

H = p2 1

2m 1

+ p2 2

Hamilton, 1

2m 2

+ V (r 2 − r 1 ) (7.29).

part Transformation i CM-bevægelse og relativ bevægelse (7.29):

Giver

M = m 1 + m 2

P = p 1 + p 2

s = r 2 − r 1

R = m 1r 1 + m 2 r 2

M

p = m 1p 2 − m 2 p 1

M

m = m 1m 2

M

H = P 2

2M + p2

2m + V (s) = H T + H i

Approksimation af V til 2. orden giver harmonisk oscillator potential. Desuden

opskrivning i sfæriske koordinater:

H i ≈ p2 s

2m + mω2 (s − s 0 ) 2

+ V (s 0 ) + L2

2

2ms 2 0

Rotationsdelen: H r = L2

2I

2l + 1.

med egenværdier ɛ l = l(l + 1) 2

2I

(7.30) med udartning

Tilstandssum,

rotation

Z = ∑ ∞

β2

l=0

(2l + 1)e−l(l+1) 2I

For lav temperatur: Z ≈ 1 + 3e − β2

I

(7.31). For høj temperatur: Z ≈ 2I , U ≈ T , C ≈ 1.

β

( ) 2

, U ≈ 32 β2

2

e− I , C ≈ 3

2I e

− β2

I (p.119)

β 2

2I

---

8 FERMIONER OG BOSONER 10

8 Fermioner og bosoner

Definition

Pauliprincip

Slaterdeterminant

Fermioner: Antisymmetrisk bølgefunktion, dvs. Ψ(r 1 , r 2 ) = −Ψ(r 2 , r 1 ). Bosoner:

symmetrisk bølgefunktion, dvs. Ψ(r 1 , r 2 ) = Ψ(r 2 , r 1 ).

To identiske fermioner kan ikke eksistere i samme tilstand

Baggrundsmodel: Ikke-vekselvirkende fermioner H = ∑ N

i=1 H 1(r i , p i ) med f.eks.

H 1 = p2

+ V (r), og V (r) = V ∫

2m 0(r) +

e ρ(s)

4πɛ 0 |r−s| d3 s for elektroner (8.1, 8.2, 8.3)

Løsning til en-partikelproblem: H 1 φ(r) = εφ(r) (8.4)

Løsning til mange-partikelproblem: HΨ(r 1 , . . . , r N ) = EΨ(r 1 , . . . , r N ) med Ψ(r 1 , . . . , r N ) =

φ i1 (r ) · · · φ iN (r N ) og E = ε 1 + · · · + ε N (8.5, 8.6, 8.7)

Slater-determinant (8.8):

∣ ∣∣∣∣∣∣

Ψ(r 1 , . . . , r N ) = √ 1 φ i1 (r 1 ) · · · φ iN (r 1 )

.

. .. .

N!

φ i1 (r N ) · · · φ iN (r N )

∣

Egenskaber: Normeret, har korrekt energi, antisymmetrisk, opfylder Pauli-pricippet.

Tilsvarende for bosoner: Bose-permanent.

Besættelsestal

Energiegentilstande |n 1 , n 2 , . . .〉 hvor n i er besættelsestallet for i’te energitilstand.

Energien er da E = ∑ i n iε i og samlet antalpartikler N = ∑ i n i (8.9, 8.10, 8.11).

For fermioner er n i = 0, 1, for bosoner er n i ≥ 0 (p.126)

NB!

Bemærk: Bundne tilstande af elementarpartikel-fermioner kan være fermion (ulige

antal elementarpartikler) eller bosoner for lave energier. Ex. p + , n er 3 quarks,

dvs. fermioner. Ex. Kerner med ulige antal nukleoner er fermioner, men kerner

med lige antal nukleoner kan være bosoner, f.eks. He 4 kerne eller -atom. (p.141).

Klassen af bosoner er i praksis meget større end af fermioner.

Elementarpartikler

8.1 Fermioner

( ) ( )

νe νµ

e − ,

µ − ,

farver r, g, b)

(

ντ

τ − )

,

( u

d

)

,

( c

s

) ( t

,

b

)

(p.141) (+ antipartikler og

---

8 FERMIONER OG BOSONER 11

Model

Tilstandssum

Middelbesættelsestal

Fermi-fordeling

HOMO

LUMO

Model: Store kanoniske ensemble: ∑ i n i = N, ∑ i n iε i = E, med n i = 0, 1 (8.12,

8.13)

Z = ∑ e −β(E−µN) = ∏ i (1 + e−β(εi−µ) ) (8.14, 8.15).

∂ ln Z

β = U − µ〈N〉 = ∑ ∂ i (ε 1

i − µ) (8.16)

e β(ε i −µ) +1

〈n i 〉 =

1

e β(ε i −µ) +1 (8.18)

1

n F (ɛ) = (8.18). Giver antal fermioner i en en-partikeltilstand med energi

e β(ɛ−µ) +1

ɛ i system med kemisk potential µ. Kan tænke på den som step-funktion (fuld

besættelse for T ≪ µ og tomme tilstande for T ≫ µ (p.128)

Den højest besatte molekylære orbital (”Highest Occupied Molecular Orbital”)

med energi ɛ H (p.128)

8.1.1 Atomer, molekyler, halvledere, isolatorer

Generelt

Den laveste ubesatte molekylære orbital (”Lowest Unoccupied Molecular Orbital”)

med energi ɛ L (p.128)

Kemisk potential

med udartning

d.o. varmefylde

Konklusion

Betragter elektroner i situationer, hvor der er energigab ɛ L − ɛ H ∼ 1 eV

Molekyle med HOMO-energiniveau-udartning g√ H , LUMO-energiniveau-udartning

g L giver kemisk potential µ(T ) = ɛ H+ɛ L

+ T ln

gH

2 g L

for T ≪ ɛ L − ɛ H (Opg. 8.2)

For samme molekyle er varmefylden for T ≪ ɛ L −ɛ H C µ = (g L ɛ L −g H ɛ H ) ɛ L−ɛ H

2T 2

(Opg. 8.3)

e − ɛ L −ɛ H

2T

Elektronernes bidrag til varmefylden for T ≪ ɛ L −ɛ H er eksponentielt undertrykt

(p.130)

8.1.2 Metaller, tunge kerner, Fermi-energi, -gas og -tryk

Model

Tilstandstæthed

En-partikeleergier meget tætliggende, ikke noget energigab - så se på partikel

i en kasse med sidelængde L. Det giver en-partikel-spektrum ɛ k = 2 k 2

med

2m

k = (k x , k y , k z ) = (n x , n y , n z ) π og n L x, n y , n z ∈ Z + (8.24)

For L stor haves spektrum med tilstandstæthed ρ(ɛ). Den findes ved at betragte

funktion R(ɛ), som angiver antal tilstande med energi mindre end ɛ. Da

er ρ(ɛ) = R ′ (ɛ). Tilstande med samme energi ɛ er kugle med radius k =

√

2mɛ

2

(8.25). R-funktionen bliver lig med rumfanget af den positive oktant af en kugle

---

8 FERMIONER OG BOSONER 12

med radius k, divideret med størrelsen af en tilstand, dvs. R(ɛ) = 1 4

8

. Udregning

giver R(ɛ) = V k3

6π 2

(

= V 2m

) 3/2

6π 2 ɛ 3/2 og ρ(ɛ) = 3 2 2

(

V 2m

6π 2

3 πk3

π 3

L 3

2 ) 3/2 √ ɛ (8.26, 8.27)

Fermi-energi

Partikeltal og -

tæthed

Degenereret

Fermi-gas

Partikeltal

Fermi-energien ɛ F er det kemiske potential for T = 0, som adskiller fyldte fra

tomme tilstande (p.131,133)

Der gælder 〈N〉 = R(ɛ F ) og n = N V = 1

6π 2 ( 2m

2 ) 3/2

ɛ

3/2

F

(8.28, 8.29)

Fermigas ved T ≪ ɛ F (p.133)

Rækkeudvikling

∫

i T/ɛ F , som er lille for T ≪ ɛ F . Ser på energi-integral I(f) =

∞ f(ɛ)n −∞ F (ɛ)dɛ. Stamfunktion for f(ɛ) kaldes F (ɛ). Rækkeudvikling af F (ɛ)

omkring µ til anden orden giver I(f) = F (µ) + π2

6 f ′ (µ)T 2 (8.30, 8.31, 8.32,

8.33)

For degenereret Fermi-gas givet ved 〈N〉 = ∫ ρ(ɛ)n F (ε)dɛ. Sommerfeld giver

N = R(µ) + π2

6 ρ′ (µ)T 2 (8.35, 8.36)

Sommerfeldudvikling

Kemisk potential

2 π

6

- for fri partikel

For degenereret Fermi-gas givet ved rækkeudvikling omkring µ = ɛ F : µ = ɛ F −

ρ ′ (ɛ F )

T 2

ρ(ɛ F

(8.37, 8.38, 8.39)

)

(

µ = ɛ F

(

1 − π2

12

) ) 2

T

ɛ F

(8.40). Konklusioner: Kemisk potential afviger kun lang-

somt fra ɛ F , og korrektion afhænger kun tilstandstætheden omkring ɛ F (p.134)

Varmefylde

Fermitryk

C = π2

π2 T

ρ(µ)T = N

3 2 ɛ F

(8.41,8.42). Gælder frie urelativistiske partikler. Konklusion:

Elektroner bidrager ikke til varmefylde i et metal. Varmefylde proportional

med T/ɛ F ∼ 10 −2 N ved stuetemperatur (p.135)

( )

p = 2 N

ɛ 5 V F 1 + 5π2 T 2

(8.43, 8.44, 8.45, 8.46). Konklusion: Fermitryk meget

12 ɛ 2 F

højere end klassisk tryk. Der gælder p

p kl

= 2 ɛ FT

∼ 180 ved stuetemperatur (8.47).

5

Skyldes Fermi-princippet, som giver høj elektronimpuls også ved lav temperatur

(p.136)

8.1.3 Hvide dværge og neutronstjerner

Se p. 136-141

---

8 FERMIONER OG BOSONER 13

Elementarpartikler

Model

8.2 Bosoner

γ, W ± , Z, g (p.141)

Partikeltal N = ∑ i n i, E = ∑ i ɛ in i , Z = ∏ i Z i med Z i = ∑ n i

e −β(ɛ i−µ)n i

=

1

(8.69, 8.70, 8.71, 8.72, 8.73, 8.74)

1−e −β(ɛ i −µ)

Bose-funktion n B (ɛ) = 〈n i 〉 = 1 ∂ ln Z i 1

= (8.75)

β ∂µ e β(ɛ i −µ) −1

( 1/3

Karakteristisk T B = e l (2π) 4/3 med e l = 2

V

l =

2ml 〈N〉)

(8.81, 8.82). Jo større tæthed, n, desto

2

temperatur kortere afstand l, desto højere karakteristisk temperatur T B .

Varmefylde

T c = g 1/2 (1) −2/ T B med g 1/2 (e −βµ ) = ∫ ∞

0

(

)

C = 〈N〉

(8.90, 8.91)

5 g 3/2 (z)

− 9 g 1/2 (z)

2 g 1/2 (z) 2 g −1/2 (z)

√ x

dx (8.79, 8.86)

e −βµ e x −1

(

for T > T c og C = 〈N〉 5 2

) 3/2

T g3/2 (1)

for T < T T c g 1/2 (1) c

8.2.1 Fotongas

Model

Tilstandstæthed

Kritisk temperatur

Kemisk potential

Temodynamisk

potential

Fotonantal

Tryk

ɛ = pc = ck (relativistisk partikel, 8.92)

R(ɛ) = 2 1 8

µ = 0

4π

3 ( c) ɛ 3

= V π ɛ 3

, ρ(ɛ) = V π ɛ2 (8.93, 8.94)

( 2π L ) 3 3 (hc) 3 (hc) 3

Ω = −pV = − 1 β ln Z = V π 3

1 π 4

T 4 = aT 4 (8.95)

(hc) 3 15

n = 〈N〉

V

= 2π

(hc) 3 ζ 3 T 3 med ζ = 2.4041 (8.97)

p = 90ζ 3

nT = 3.49nT (8.98) - svarende til klassisk.

π 3

Stefan-

Boltzmans

lov

u = U V

= − 1 V

∂ ln Z

∂β

= −β ∂p

∂β = T ∂p

∂T = σT 4 (8.99)