6 Likninger og ulikheter

6
6
6
6
FAKTA
Likning
En likning inneholder alltid et likhetstegn og minst e¤n ukjent. Den
ukjente kaller vi som regel x eller y, men alle bokstavene i alfabetet kan
brukes.
— lÖse likninger gÔr ut pÔ Ô ¢nne den
ukjente verdien som gjÖr at
venstresiden blir lik hÖyresiden.
Likninger egner seg godt Ô bruke
nÔr noe er avhengig av hverandre
eller forholder seg til hverandre.
Multiplikasjonsregelen
Vi kan multiplisere med samme faktor pÔ begge sider av likhetstegnet
i en likning.
x
5 =2
1
x 5
=2 5
5
1
x =10
Divisjonsregelen
Vi kan dividere med samme faktor pÔ begge sider av likhetstegnet
i en likning.
6x =12
1
6 x
= 12
6 6
1
x =2
Addisjons- og
subtraksjonsregelen
Vi kan addere og subtrahere det samme leddet pÔ begge sider av
likhetstegnet i en likning.
x 6=13
x +4=7
x 6+6=13+6 x +4 4=7 4
x =19
x =3
190

EMNE 6–LIKNINGER OG ULIKHETER 2
FAKTA
Over£yttingsregelen/£yttebytte-regelen
Denne regelen sier det samme som addisjons- og subtraksjonsregelen:
Vi kan £ytte et ledd fra den ene siden av likhetstegnet til den andre
dersom vi samtidig forandrer fortegnet til leddet.
x 6 =13 x + 4 =7
x =13+6 x =7 4
x =19
x =3
Flere regler i NÔr vi skal lÖse en likning og mÔ bruke e¤n eller £ere av reglene,
samme oppgave kan det lÖnne seg Ô bruke reglene i denne rekkefÖlgen:
I Addisjons- og subtraksjonsregelen/over£yttingsregelen
II Multiplikasjonsregelen
III Divisjonsregelen
ProblemlÖsning NÔr tallene i en oppgave er avhengige av hverandre eller stÔr i forhold til
hverandre, kan den lÖses som en likning.
— sette prÖve — sette prÖve pÔ en likning er det samme som Ô kontrollere om
venstresiden er lik hÖyresiden nÔr vi har satt den verdien vi har funnet for
den ukjente, inn i den opprinnelige likningen.
Flere ledd med
samme ukjent
NÔr vi har likninger som har £ere ledd med den samme ukjente, samler vi
alle leddene med den ukjente pÔ den ene siden og trekker dem sammen
etter de reglene vi har l×rt i algebraen.Talleddene samler vi pÔ den andre
siden fÖr vi lÖser likningen pÔ vanlig mÔte.
Likninger med Vi bruker fÖrst reglene fra algebra og sÔ reglene fra likninger nÔr vi lÖser
parenteser likninger med parenteser.
4ð3x 4Þ ð3x +6Þ =2ð2x 1Þ
ð12x 16Þ ð3x +6Þ =ð4x 2Þ
12x 16 3x 6=4x 2
12x 3x 4x = 2+16+6
5x =20
1
6 5x
= 20 6 5 5
1
x =4
191

EMNE 6–LIKNINGER OG ULIKHETER 2
FAKTA
Andregradslikninger
Andregradslikninger eller kvadratiske likninger er likninger der minst ett
av leddene er et ukjent ledd opphÖyd i andre potens. NÔr vi skal lÖse slike
likninger, mÔ vi kombinere det vi har l×rt om algebra, likninger,
kvadrattall og kvadratrot.
x 2 =16
p ffiffiffiffi pffiffiffiffiffi
x 2 = 16
p
x =
ffiffiffiffiffi
16
x = 4
x =+4eller x = 4 fordi begge svarene gir x 2 =16.
p ffiffi
Kvadratrota, , er alltid positiv, men nÔr vi har en likning med x 2 ,blir
bÔde kvadratrota og minus kvadratrota lÖsninger fordi x 2 =ð xÞ 2 .
Flere brÖkledd
Er det £ere brÖkledd i likningen, multipliserer vi alle leddene med
nevnerne og forkorter. SÔ lÖser vi likningen pÔ vanlig mÔte.
x 6
2
x
2 + 1 3 = 5 6
+ 1 6
1 = 5 6
6
3x +2=5
3x =3
x =1
Den ukjente
inevneren
Den ukjente kan like godt v×re under brÖkstreken som over brÖkstreken
i likninger med brÖker. OgsÔ her mÔ vi multiplisere med fellesnevneren.
I likninger med en ukjent x i nevneren kan ikke den ukjente v×re 0.
Vi skriver at x 6¼ 0.
Eksempel 1:
6
x =3
6 x
x
=3 x
6=3x
x =2
Eksempel 2:
1 6x
2x
+ 1 6x
3
1
2x + 1 3 + 1 x = 1 2
+ 1 6x
x
= 1 6x
2
3+2x +6=3x
x =9
192

EMNE 6–LIKNINGER OG ULIKHETER 2
FAKTA
To ukjente
Likninger kan ha to stÖrrelser som vi ikke kjenner verdien av. Da bruker
vi som oftest x og y om de ukjente. Dersom to likninger har de samme to
ukjente, kan vi lÖse dem som et likningssett.
Addisjons- I 3x + y =3
metoden II x y =5
Vi adderer likningene og ¢nner verdien av den ene ukjente.
I 3x + y =3
II x y =5
I+II 4x =8
4x
4 = 8 4
x =2
Vi setter inn x =2i den ene likningen og ¢nner y.
II x y =5
2 y =5
y =5 2
y
1 = 3 1
y = 3
Innsettings- I 3x + y =3
metoden II x y =5
Vi gjÖr om den ene likningen slik at den ene ukjente blir uttrykt ved hjelp
av den andre ukjente.
II x y =5
x =5+y
193

EMNE 6–LIKNINGER OG ULIKHETER 2
FAKTA
Vi setter inn den omgjorte likningen i den andre.
I 3x + y =3
3ð5 +yÞ + y =3
15 + 3y + y =3
4y =3 15
4y
4 = 12
4
y = 3
Vi setter inn y =
I 3x + y =3
3x + ð 3Þ =3
3x 3=3
3x
3 = 6 3
x =2
3 ilikningIog¢nnerx.
Ulikhet
Over£yttingsregelen
for
ulikheter
Divisjonsregelen
for
ulikheter
NÔr vi bruker tegnene eller i et uttrykk med e¤n eller £ere
ukjente, kaller vi uttrykket en ulikhet.
Tall og bokstaver kan £yttes fra det ene siden av ulikheten til den andre
siden dersom vi skifter fortegn.
Vi kan dividere med et positivt tall eller en bokstav pÔ begge sider av
ulikheten. Dersom vi dividerer med et negativt tall eller en bokstav med
negativt fortegn pÔ begge sider, mÔ vi snu ulikhetstegnet for at
ulikheten skal stemme.
Multiplikasjons- Vi kan multiplisere med et positivt tall eller en bokstav pÔ begge sider av
regelen for ulikheten. Dersom vi multipliserer med et negativt tall eller en bokstav
ulikheter med negativt fortegn pÔ begge sider, mÔ vi snu ulikhetstegnet for at
ulikheten skal stemme.
2 3x > 17
3x > 17 2
3x 15
<
3 3
x < 5
x
3 < 2
x ð 3Þ
> 2 ð 3Þ
3
x > 6
194