Matematiklærerdag handouts - Institut for Matematik

math.au.dk

Matematiklærerdag handouts - Institut for Matematik

Heisenbergs usikkerhedsrelationer

Nils Byrial Andersen

Institut for Matematik

Matematiklærerdag 2013

1 / 17

Abstrakt

Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid

både kan bestemme en partikels sted og dens impuls nøjagtigt. I

matematikken kan det formuleres som at man ikke på samme tid kan

lokalisere både en funktion og dens Fourier transformation. Jeg giver et

forholdsvist enkelt bevis for Heisenbergs usikkerhedsrelation for Fourier

transformationen, og diskuterer andre versioner af Heisenbergs

usikkerhedsrelation, f.eks. for funktioner på en cirkel (dvs. periodiske

funktioner) og deres Fourier rækker.

2 / 17

Hvorfor

1 Fordi jeg synes det er interessant! (og del af min egen forskning)

2 Det er forholdsvist simpelt (og noget de fleste kender).

3 Synergi mellem matematik og fysik.

4 (mange) Forskellige beviser / fremgangsmåder for samme resultat.

5 Specielt: abstrakt tilgang giver mere forståelse og overblik (og lettere

bevis) - kan generaliseres.

3 / 17

Funktionsrum

L 1 (R): målelige funktioner på R som er integrable, dvs.

∫ ∞

−∞

|f (x)| dx < ∞.

L 2 (R): målelige funktioner på R som er kvadratisk integrable, dvs.

∫ ∞

−∞

|f (x)| 2 dx < ∞.

L 2 (R) er et Hilbert rum!

C ∞ c (R): differentiable funktioner med kompakt støtte (dvs. f (x) = 0

udenfor en lukket og begrnset mængde).

S(R): Schwartz funktioner, dvs. differentiable funktioner som aftager

hurtigere end ethvert polynomium.

4 / 17


Fourier transformationen

Lad f ∈ L 1 (R) (eller f ∈ C ∞ c (R) eller f ∈ S(R), ...)

Definition af Fourier transformationen


1 ∞

̂f (y) = √ f (x)e −ixy dx,


Inversionsformel

Lad f ∈ S(R). Så gælder

−∞

(y ∈ R).

f (x) = 1 √


∫ ∞

−∞

̂f (y)e ixy dy,

(x ∈ R).

Transformation af differentiation...

Lad f ∈ S(R). Ved at bruge partiel integration fås

̂f ′ (y) = iŷf (y).

5 / 17

Fourier transformationen kan udvides til L 2 (R), og

Plancherel formel

Lad f , g ∈ L 2 (R). Så gælder

∫ ∞

−∞

L 2 -normen ‖f ‖ 2 givet ved

Plancherel formlen giver så

f (x)g(x) dx =

∫ ∞

−∞

̂f (y)ĝ(y) dy.

(∫ ∞

1/2

‖f ‖ 2 = |f (x)| dx) 2 .

−∞

‖f ‖ 2 = ‖̂f ‖ 2 .

6 / 17

Vigtige funktioner

Gauss funktion / Normalfordelingsfunktion

)

(x − µ)2

f (x) = C exp

(−

2σ 2 .

Lad µ = 0 og σ = 1, da fås den 0’te Hermite funktion

h 0 (x) = e −x2 /2 ,

som opfylder

ĥ 0 = h 0 .

7 / 17

lidt harmonisk analyse

Hvis f er defineret på et begrænset interval...

Paley–Wiener sætningen (1934) giver bl. a.

Antag at f har kompakt støtte, så kan ̂f ikke have kompakt støtte (da ̂f

er en holomorf funktion).

(tid og frekvens kan ikke begge være begrænsede)

Hvis f og ̂f begge går meget hurtigt mod nul i uendeligt...

Hardys Usikkerhedsprincip (1933)

Antag |f (x)| ≤ Ce −α|x|2 og |̂f (y)| ≤ Ce −β|y|2 , hvor C, α, β er positive

konstanter.

Så er f = 0 hvis αβ > 1 4 .

(Hvis αβ = 1 4 , er f (x) = Ce−αx2 . Kan reformuleres v.h.a. varmekernen)

8 / 17


Heisenbergs usikkerhedsrelation (centreret)

Sætning

Lad f ∈ L 2 (R). Så gælder

eller,

eller,

∫ ∞

−∞

∫ ∞

x 2 |f (x)| 2 dx y 2 |̂f (y)| 2 dy ≥ 1 (∫ ∞

2

|f (x)| dx) 2 ,

−∞ 4 −∞

‖xf ‖ 2 ‖ŷf ‖ 2 ≥ 1 2 ‖f ‖2 2,

‖xf ‖ 2 ‖f ′ ‖ 2 ≥ 1 2 ‖f ‖2 2.

Miinimum antages (!) af Gauss funktioner (som opfylder differential

ligningen f ′ (x) = kxf (x)).

9 / 17

Bevis

Beviset er ikke så svært... Lad f ∈ C ∞ c

(R). Så gælder

∫ ∞

=

(fra Cauchy–Schwartz)

−∞

∫ ∞

x 2 |f (x)| 2 dx

−∞

∫ ∞

−∞

y 2 |̂f (y)| 2 dy

∫ ∞

x 2 |f (x)| 2 dx |f ′ (x)| 2 dx

−∞

(∫ ∞

) 2

≥ |xf ′ (x)f (x)|dx

−∞

(og da real delen er mindre end normen...)

(∫ ∞


−∞

1

2 x(f ′ (x)f (x) + f ′ (x)f (x))dx

) 2

10 / 17

(produktreglen)

(partiel integration)

= 1 4

(da f (−∞) = f (∞) = 0)

= 1 (∫ ∞

x(f (x)f (x)) ′ dx

4 −∞

) 2

(

∫ ∞

) 2

[x · |f (x)| 2 ] ∞ −∞ − |f (x)| 2 dx

−∞

= 1 (∫ ∞

2

|f (x)| dx) 2 .

4 −∞

Vedr. minimum, husk da at Cauchy–Schwartz uligheden bliver en lighed

præcis når de to funktioner er proportionale.

11 / 17

Heisenbergs usikkerhedsrelationer

Sætning

Lad f ∈ L 2 (R), og lad a, b ∈ R. Så gælder

∫ ∞

−∞

∫ ∞

(x − a) 2 |f (x)| 2 dx − b)

−∞(y 2 |̂f (y)| 2 dy ≥ 1 4

(∫ ∞

2

|f (x)| dx) 2 .

−∞

Hvis xf (x) og ŷf (y) er i L 2 (R), gælder ligheden for funktioner af typen

hvor c, d ∈ R.

f (x) = ce ibt e −dt2 ,

12 / 17


Periodiske funktioner

Lad f være en 2π-periodisk funktion.

Vi vil betragte f som en funktion på intervallet ] − π, π] eller på cirklen S 1 .

Fourier koefficienter

̂f (k) =

1


∫ π

−π

f (x)e −ikx dx,

(k ∈ Z).

Fourierrækker

f (x) ∼ ∑ k∈Z

̂f (k)e ikx .

Hvor ∼ er et lighedstegn (evt. punktvist) hvis f er en pæn funktion.

13 / 17

Sætning

Lad f ”være pæn”, og antag f (θ 0 ) = 0. Så gælder

‖(θ − θ 0 )f ‖ 2 ‖f ′ ‖ 2 ≥ 1 2 ‖f ‖2 2.

Bevis: Kan antage θ 0 = π, dvs. f (−π) = f (π) = 0. Nu kan gammelt bevis

genbruges.

Problem: ikke fysisk... Og hvad med konstante funktioner

Breitenbergers usikkerhedsrelationer

Lad f ”være pæn”, og a, b ∈ R. Så gælder

∥( )


∥(e iθ ∥∥∥ d

− a)f ∥

2 dθ − b f

∥ ≥ 1

2


∫ π

−π

e iθ |f (θ)| 2 dθ.

Specielt kan højresiden være nul! (når f (θ) = ce ikθ , k ∈ Z)

Venstresiden kan forøvrigt også være nul...

14 / 17

Abstrakt Set-up

H: Hilbert rum med indre produkt 〈·, ·〉 og ‖ · ‖ = 〈·, ·〉 1/2 .

A, B: lineære operatorer med domæner D(A), D(B).

[A, B] := AB − BA, med domæne D(AB) ∩ D(BA).

Forventet værdi af A m.h.t. f ∈ D(A):

τ A (f ) := 〈Af , f 〉

〈f , f 〉 ,

Standard afvigelsen, eller variancen, af A m.h.t. f ∈ D(A):

σ A (f ) := ‖Af − τ A (f )f ‖ = min ‖(A − a)f ‖.

a∈C

Bemærk at τ A (f )f er den ortogonale projektion af Af på f .

Bemærk at 〈Af , f 〉 ∈ R hvis A er selvadjungeret. (og at observable i

kvantemekanikken svarer til selvadjungerede operatorer på Hilbertrum)

15 / 17

En operator ulighed

Sætning

Antag A, B symmetriske eller normale operatorer på H, da er

‖(A − a)f ‖‖(B − b)f ‖ ≥ σ A (f )σ B (f ) ≥ 1 |〈[A, B]f , f 〉|,

2

for alle 0 ≠ f ∈ D(AB) ∩ D(BA), og alle a, b ∈ C.

Med smarte valg af H, og operatorerne A, B, kan vi genfinde de klassiske

resultater...

Eksempel (Heisenberg usikkerhedsprincip)

H = L 2 (R), Af (x) = xf (x) og Bf (x) = if ′ (x).

Eksempel (Breitenburger usikkerhedsprincip)

H = L 2 (−π, π), Af (x) = e ix f (x) og Bf (x) = if ′ (x).

16 / 17


Sammenhæng mellem de to...

Bernstein rummet BR 2 = ̂ L2 ([−R, R]). (eller f ∈ L 2 (R) så ‖f ′ ‖ 2 ≤ R‖f ‖ 2 )

hvor δ ∈ (0, 1].

A δ f (x) =

f (x) − f (x − δ)

δ

(f ∈ B 2 R , x ∈ R),

Bf (x) = xf (x)

(f ∈ Ḃ 2 R , x ∈ R).

Som før fås

‖(A δ − a)f ‖ 2

‖(B − b)f ‖ 2

≥ 1 |〈f (· − δ), f 〉|,

2

for 0 ≠ f ∈ ḂR 2 , og alle a, b.

δ → 0 giver Heisenbergs usikkerhedsprincip (A δ → d dx )

δ = 1 og R = π giver Breitenburgers usikkerhedsprincip.

17 / 17

More magazines by this user
Similar magazines