Sudoku

math.au.dk

Sudoku

Sudoku

Jørgen Brandt

Sudoku – 1


Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

2 3 9 7

1

4 7 2 8

5 2 9

1 8 7

4 3

6 7 1

7

9 3 2 6 5

Sudoku – 2


Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Hemmeligheden bag Sudoku

2 3 9 7

1

4 7 2 8

5 2 9

1 8 7

4 3

6 7 1

7

9 3 2 6 5

Sudoku – 2


Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Hemmeligheden bag Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Det er sjovt!

2 3 9 7

1

4 7 2 8

5 2 9

1 8 7

4 3

6 7 1

7

9 3 2 6 5

Sudoku – 2


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 3


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends


B 1 B 2 B 3

B 4 B 5 B 6

B 7 B 8 B 9

Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Sudoku – 4


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends



B 1 B 2 B 3

B 4 B 5 B 6

B 7 B 8 B 9

Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Hver boks B i en 3 × 3 matrix.

Sudoku – 4


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends



Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Hver boks B i en 3 × 3 matrix.

Sudoku – 4


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends





∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Hver boks B i en 3 × 3 matrix.

Visse indgange er givne (symmetri).


Sudoku – 4


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends






∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Hver boks B i en 3 × 3 matrix.

Visse indgange er givne (symmetri).

Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene

1,2,3,4,5,6,7,8,9.


Sudoku – 4


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends







∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Hver boks B i en 3 × 3 matrix.

Visse indgange er givne (symmetri).

Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene

1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Entydig løsning.


Sudoku – 4


Spillet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends








∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

Et tal spil på en 9 × 9 matrix inddelt i 9 bokse.

Hver boks B i en 3 × 3 matrix.

Visse indgange er givne (symmetri).

Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene

1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Entydig løsning.

Ikke gætte!


Sudoku – 4


Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et udfyldt Sudoku kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat:

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 5


Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et udfyldt Sudoku kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat:

En n × n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer

fra M , hvor |M| = n.

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 5


Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Spillet

Latinske kvadrater

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Et udfyldt Sudoku kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat:

En n × n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer

fra M , hvor |M| = n.

Som regel er M = {1,2,...,n}.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 5


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Et eksempel

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 6


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

. . . . 4 . . 1 9

9 . . . 5 . . 4 3

. . . 9 . . 8 . 5

6 . 9 . . . . . .

. . 3 7 . 2 5 . .

. . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . .

5 9 . . 3 . . . 2

1 6 . . 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Skjulte singler

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

. . . . 4 . . 1 9

9 . . . 5 . . 4 3

. . . 9 . . 8 7 5

6 7 9 . . . . . .

. . 3 7 . 2 5 . .

. . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . .

5 9 . . 3 . . . 2

1 6 . . 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Skjulte singler

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

. . . . 4 . . 1 9

9 . . . 5 . . 4 3

. . . 9 . . 8 7 5

6 7 9 . . . . . .

. . 3 7 . 2 5 . .

. . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . 7

5 9 . . 3 . . . 2

1 6 . . 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Skjulte singler

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

. . . . 4 . . 1 9

9 . . . 5 . . 4 3

. . . 9 . . 8 7 5

6 7 9 . . . . . .

. . 3 7 . 2 5 . .

. . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . 7

5 9 7 . 3 . . . 2

1 6 . . 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Skjulte singler

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . . 5 . . 4 3

. . . 9 . . 8 7 5

6 7 9 . . . . . .

. . 3 7 . 2 5 . .

. . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . 7

5 9 7 . 3 . . . 2

1 6 . . 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Skjulte singler

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . . 5 7 . 4 3

. . . 9 . . 8 7 5

6 7 9 . . . . . .

. . 3 7 . 2 5 . .

. . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . 7

5 9 7 . 3 . . . 2

1 6 . . 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Skjulte singler

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Flere simple udfyldninger

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . 1 5 7 . 4 3

. . . 9 2 . 8 7 5

6 7 9 . . . . 2 .

. . 3 7 6 2 5 9 .

2 . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . 7

5 9 7 . 3 . 1 . 2

1 6 . 2 7 . . . .

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . 1 5 7 . 4 3

. . . 9 2 . 8 7 5

6 7 9 . . . . 2 .

. . 3 7 6 2 5 9 .

2 . . . . . 7 . 6

3 . 2 . . 1 . . 7

5 9 7 . 3 . 1 . 2

1 6 . 2 7 . . . .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

En single 4

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . 1 5 7 . 4 3

4 . . 9 2 . 8 7 5

6 7 9 . 2

8 3 7 6 2 5 9

2 . 7 . 6

3 2 . 1 . 7

5 9 7 3 1 . 2

1 6 2 7 .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Muligheder for 4.

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . 1 5 7 . 4 3

4 . . 9 2 . 8 7 5

6 7 9 . 2

8 3 7 6 2 5 9

2 . 7 . 6

3 2 . 1 . 7

5 9 7 3 1 . 2

1 6 2 7 . 4

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Denne er umulig!

Sudoku – 7


Eksempel

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

7 . . . 4 . . 1 9

9 . . 1 5 7 . 4 3

4 . . 9 2 . 8 7 5

6 7 9 . 4 2

8 3 7 6 2 5 9

2 4 . 7 . 6

3 4 2 . 1 . 7

5 9 7 3 1 . 2

1 6 2 7 . 4

Konsekvens: Ingen muligheder i midterste boks!

Sudoku – 7


Generaliseringer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends


Mange varianter.

Sudoku – 8


Generaliseringer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends



Mange varianter.

Størrelse: Et n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat er et n 2 × n 2 -Latinsk kvadrat

hvor hvert n × n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2 .

Sudoku – 8


Generaliseringer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

■ Mange varianter.


Størrelse: Et n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat er et n 2 × n 2 -Latinsk kvadrat

hvor hvert n × n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2 .

■ Almindelig Sudoku har n = 3.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 8


Generaliseringer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

■ Mange varianter.


Størrelse: Et n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat er et n 2 × n 2 -Latinsk kvadrat

hvor hvert n × n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2 .

■ Almindelig Sudoku har n = 3.

■ Regioner: ”gerechte design”.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 8


Generaliseringer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Eksempel

Generaliseringer

Antal Sudoku

kvadrater

■ Mange varianter.


Størrelse: Et n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat er et n 2 × n 2 -Latinsk kvadrat

hvor hvert n × n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2 .

■ Almindelig Sudoku har n = 3.

■ Regioner: ”gerechte design”. Mere senere.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 8


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Antal Sudoku kvadrater

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 9


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

■ S(3) = 6670903752021072936960

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

■ S(3) = 6670903752021072936960

■ S(4) =

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

■ S(3) = 6670903752021072936960

■ S(4) =

Ses bort fra symmetri er tallene

■ S(1) = 1

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

■ S(3) = 6670903752021072936960

■ S(4) =

Ses bort fra symmetri er tallene

■ S(1) = 1

■ S(2) = 2

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

■ S(3) = 6670903752021072936960

■ S(4) =

Ses bort fra symmetri er tallene

■ S(1) = 1

■ S(2) = 2

■ S(3) = 5472730538

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

S(n) er antal fyldte Sudoku kvadrater af størrelse n 2 × n 2

■ S(1) = 1

■ S(2) = 288

■ S(3) = 6670903752021072936960

■ S(4) =

Ses bort fra symmetri er tallene

■ S(1) = 1

■ S(2) = 2

■ S(3) = 5472730538

■ S(4) =

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 10


Antal Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

L(n) antal Latinske kvadrater of størrelse n × n.

1 1

2 2

3 12

4 576 = 2*S(2)

5 161280

6 812851200

7 61479419904000

8 108776032459082956800

9 5524751496156892842531225600

10 9982437658213039871725064756920320000

11 776966836171770144107444346734230682311065600000

L(9) ≈ 828186S(3).

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 11


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Lige mange muligheder for hver boks 1

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

1 2

3 4

Lige mange muligheder for hver boks 1 (permuter)

S(2) = 4! · ...

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

1 2 3 4

3 4

Lige mange muligheder for hver 1. række (ombyt 3. og 4. søjle)

S(2) = 4! · 2 · ...

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

1 2 3 4

3 4

2

4

Lige mange muligheder for hver 1. søjle (ombyt 3. og 4. række)

S(2) = 4! · 2 · 2 · ...

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Tvungent felt

1 2 3 4

3 4

2 4

4

S(2) = 4! · 2 · 2 · ...

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

2. række mulighed

1 2 3 4

3 4 1 2

2 4

4

S(2) = 4! · 2 · 2 · ...

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

1 2 3 4

3 4 1 2

2 x 4 y

4 y 2 x

giver to muligheder: {x,y} = {1,3}

S(2) = 4! · 2 · 2 · (2+)

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

2. række mulighed

1 2 3 4

3 4 2 1

2 4

4

S(2) = 4! · 2 · 2 · (2+)

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Sudoku kvadrater for n = 2

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

1 2 3 4

3 4 2 1

2 1 4 3

4 3 1 2

giver kun en mulighed

S(2) = 4! · 2 · 2 · (2 + 1) = 288

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 12


Antal Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

L(r,n) antal Latinske r × n rektangler.


L(1,n) = n!

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 13


Antal Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

L(r,n) antal Latinske r × n rektangler.



L(1,n) = n!

L(2,n) ≈ n!2

e

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 13


Antal Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

L(r,n) antal Latinske r × n rektangler.



antal fixpunktfri permutationer i S n

L(1,n) = n!

L(2,n) ≈ n!2

e

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 13


Antal Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

L(r,n) antal Latinske r × n rektangler.




antal fixpunktfri permutationer i S n

for r ’ikke alt for stor’

L(1,n) = n!

L(2,n) ≈ n!2

e

L(r,n) ≈ n!r

e (r 2)

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 13


Asymptotisk resultat

Sudoku

Men hvad er Sudoku

L(n) 1/n2 ≈ n e 2,n → ∞

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 14


Asymptotisk resultat

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

L(n) 1/n2 ≈ n e 2,n → ∞

1 7.389056099

2 4.393559043

3 3.246210935

4 2.748244565

5 2.387383456

6 2.177399005

7 2.017871805

8 1.899196094

9 1.806525693

10 1.732133375

11 1.671031855

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 14


Asymptotisk resultat

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

L(n) 1/n2 ≈ n e 2,n → ∞

Beviset bygger på en berømt formodning af Van der Waerden (1926,

bevist 1981) og en formodning af M. Minc (1967, bevist 1973).

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 14


Permanenter

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

En n × n-matrix A har permanent givet ved

per(A) = ∑

σ∈S n i=1


n a i,σ(i)

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 15


Permanenter

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

En n × n-matrix A har permanent givet ved

per(A) = ∑

Sammenlign med determinanten

det(A) = ∑

σ∈S n i=1


n a i,σ(i)


n

(−1) s(σ)

σ∈S n i=1

a i,σ(i)

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 15


Van der Waerden’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

En n × n-matrix A hvor alle 0 ≤ a i,j ≤ 1, og hvor alle række-summer og

alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har

per(A) ≥ n!

n n

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 16


Van der Waerden’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

En n × n-matrix A hvor alle 0 ≤ a i,j ≤ 1, og hvor alle række-summer og

alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har

Lighed gælder kun for




per(A) ≥ n!

n n

1/n 1/n ... 1/n

1/n 1/n ... 1/n

.

.

. ...

1/n 1/n ... 1/n

.




Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 16


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


R er et r × n Latinsk rektangel.

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet



R er et r × n Latinsk rektangel.

A en n × n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i

søjle j i R.

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat



R er et r × n Latinsk rektangel.

A en n × n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i

søjle j i R.

■ A har konstant række/søjle-sum lig n − r.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat



R er et r × n Latinsk rektangel.

A en n × n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i

søjle j i R.

■ A har konstant række/søjle-sum lig n − r.


1

n−r

A er dobbelt stokastisk

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat



R er et r × n Latinsk rektangel.

A en n × n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i

søjle j i R.

■ A har konstant række/søjle-sum lig n − r.



1

n−r

A er dobbelt stokastisk

dvs.

per(A) ≥ (n − r) n n!/n n

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat



R er et r × n Latinsk rektangel.

A en n × n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i

søjle j i R.

■ A har konstant række/søjle-sum lig n − r.



1

n−r

A er dobbelt stokastisk

dvs.

per(A) ≥ (n − r) n n!/n n

■ per(A) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Permanenter og Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Hall’s sætning og

Sudoku



R er et r × n Latinsk rektangel.

A en n × n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i

søjle j i R.

■ A har konstant række/søjle-sum lig n − r.



1

n−r

A er dobbelt stokastisk

dvs.

per(A) ≥ (n − r) n n!/n n

■ per(A) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R.


L(n) ≥

n−1


r=0

(n − r) n n!

n n

= n!2n

n nn

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 17


Asymptotisk resultat

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Dette giver nedre grænse i

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

L(n) 1/n2 ≈ n e 2

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 18


Asymptotisk resultat

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Antal Latinske

kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater for n = 2

Antal Latinske

rektangler

Asymptotisk resultat

Permanenter

Van der Waerden’s

formodning

Permanenter og

Latinske kvadrater

Asymptotisk resultat

Dette giver nedre grænse i

L(n) 1/n2 ≈ n e 2

En anden sætning om permanenter giver den øvre grænse:

per(A) ≤

n∏

i=1

r 1/r i

i

for 0-1-matrix med rækkesummer r 1 ,r 2 ,...,r n .

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku Sudoku – 18


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Hall’s sætning og Sudoku

Sudoku – 19


Hall’s sætning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Familie af mængder A = (A 1 ,A 2 ,...,A n ).

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 20


Hall’s sætning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Familie af mængder A = (A 1 ,A 2 ,...,A n ).

En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1 ,x 2 ,...,x n ) så

x 1 ∈ A 1 ,x 2 ∈ A 2 ,...,x n ∈ A n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 20


Hall’s sætning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Familie af mængder A = (A 1 ,A 2 ,...,A n ).

En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1 ,x 2 ,...,x n ) så

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

x 1 ∈ A 1 ,x 2 ∈ A 2 ,...,x n ∈ A n

Hall’s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis

∀K ⊆ {1,2,...,n} | ⋃

A i | ≥ |K|

i∈K

Sudoku – 20


Hall’s sætning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Familie af mængder A = (A 1 ,A 2 ,...,A n ).

En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1 ,x 2 ,...,x n ) så

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

x 1 ∈ A 1 ,x 2 ∈ A 2 ,...,x n ∈ A n

Hall’s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis

∀K ⊆ {1,2,...,n} | ⋃

A i | ≥ |K|

i∈K

Mængden {x 1 ,x 2 ,...,x n } kaldes en transversal for A.

Sudoku – 20


Hall’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i Sudoku, er en

SDR for passende familie.

Sudoku – 21


Hall’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og



Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i Sudoku, er en

SDR for passende familie.

Sidebetingelser!

Sudoku – 21


Hall’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og




Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i Sudoku, er en

SDR for passende familie.

Sidebetingelser!

Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes.

Sudoku – 21


Hall’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og





Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i Sudoku, er en

SDR for passende familie.

Sidebetingelser!

Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes.

Hvis delfamilie kun har én transversal, kan den udelukkes andre steder.

Sudoku – 21


Eksempler, én familie

Sudoku

Men hvad er Sudoku

■ Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1 ,...,A k .

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 22


Eksempler, én familie

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

■ Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1 ,...,A k .

■ Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i .

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 22


Eksempler, én familie

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

■ Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1 ,...,A k .

■ Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i .

■ Skjult single: {i|x ∈ A i } = {j}. Her skal x bruges for A j .

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 22


Eksempler, én familie

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

■ Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1 ,...,A k .

■ Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i .

■ Skjult single: {i|x ∈ A i } = {j}. Her skal x bruges for A j .


Par: A i1 ∪ A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1 ,A i2 . De kan

udelukkes fra de øvrige.

Sudoku – 22


Eksempler, én familie

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

■ Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1 ,...,A k .

■ Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i .

■ Skjult single: {i|x ∈ A i } = {j}. Her skal x bruges for A j .



Par: A i1 ∪ A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1 ,A i2 . De kan

udelukkes fra de øvrige.

Skjult par: {i|{x,y} ∩ A i ≠ ∅} = {i 1 ,i 2 }. Her skal x,y bruges for

A i1 ,A i2 . De kan udelukkes fra de øvrige.

Sudoku – 22


Eksempler, én familie

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

■ Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1 ,...,A k .

■ Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i .

■ Skjult single: {i|x ∈ A i } = {j}. Her skal x bruges for A j .




Par: A i1 ∪ A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1 ,A i2 . De kan

udelukkes fra de øvrige.

Skjult par: {i|{x,y} ∩ A i ≠ ∅} = {i 1 ,i 2 }. Her skal x,y bruges for

A i1 ,A i2 . De kan udelukkes fra de øvrige.

etc.

Sudoku – 22


Eksempler, to familier

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Familiepåvirkning B → R. Muligheder for •:

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

I B-familien skal • ∈ B 5 eller B 6 .

B 1 ,B 2 ,...,B 9

R 1 ,R 2 ,...,R 9

Sudoku – 23


Eksempler, to familier

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Familiepåvirkning B → R. Muligheder for •:

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Derfor kan • ikke ligge i R 1 ,R 3 ,R 7 eller R 8 .

B 1 ,B 2 ,...,B 9

R 1 ,R 2 ,...,R 9

Sudoku – 23


Eksempler, to familier

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Familiepåvirkning B → R. Muligheder for •:

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Flere konsekvenser.

Sudoku – 23


Matching teori (Eksemplet fra tidligere)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

7 4 1 9

9 1 5 7 4 3

4 9 2 8 7 5

6 7 9 2

8 3 7 6 2 5 9

2 7 6

3 2 1 7

5 9 7 3 1 2

1 6 2 7

Sudoku – 24


Matching teori (Eksemplet fra tidligere)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Muligheder for placering af 4:

7 4 1 9

9 1 5 7 4 3

4 9 2 8 7 5

6 7 9 2

8 3 7 6 2 5 9

2 7 6

3 2 1 7

5 9 7 3 1 2

1 6 2 7

A 4 = {4,6,7,9},A 5 = {2,9},A 6 = {2,3,4,6}

A 7 = {2,4,7},A 8 = {4,6},A 9 = {3,6,7,9}

Sudoku – 24


Matching teori, 2-delt graf

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6}

A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9}

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 25


Matching teori, 2-delt graf

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6}

A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9}

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

A 4

A 5

A 6

A 7

A 8

A 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Sudoku – 25


Matching teori, 2-delt graf

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

A 4

A 5

A 6

A 7

A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6}

A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9}

1

2

3

4

5

6

7

A 8 8 A 8

8

A 9

9 A 9

9

A 4

A 5

A 6

A 7

1

2

3

4

5

6

7

Sudoku – 25


Matching teori

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

1

2

3

4

5

6

7

8

9

En matching, men ikke til Sudoku.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Sudoku – 26


Matching teori

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Matchingen svarer til

7 4 1 9

9 1 5 7 4 3

4 9 2 8 7 5

6 7 9 4 2

8 4 3 7 6 2 5 9

2 4 7 6

3 2 4 1 7

5 9 7 3 4 1 2

1 6 2 7 4

Sudoku – 27


Matching teori

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Matchingen svarer til

der er Latinsk, men ikke Sudoku

7 4 1 9

9 1 5 7 4 3

4 9 2 8 7 5

6 7 9 4 2

8 4 3 7 6 2 5 9

2 4 7 6

3 2 4 1 7

5 9 7 3 4 1 2

1 6 2 7 4

Sudoku – 27


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

■ Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

■ Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:


— ∅ ∈ M

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:


— ∅ ∈ M

— Q ⊆ P ∈ M ⇒ Q ∈ M

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:


— ∅ ∈ M

— Q ⊆ P ∈ M ⇒ Q ∈ M

— P,Q ∈ M, |P | > |Q| ⇒ ∃x ∈ P \Q : Q ∪ {x} ∈ M

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:



— ∅ ∈ M

— Q ⊆ P ∈ M ⇒ Q ∈ M

— P,Q ∈ M, |P | > |Q| ⇒ ∃x ∈ P \Q : Q ∪ {x} ∈ M

Vektor matroider.

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:




— ∅ ∈ M

— Q ⊆ P ∈ M ⇒ Q ∈ M

— P,Q ∈ M, |P | > |Q| ⇒ ∃x ∈ P \Q : Q ∪ {x} ∈ M

Vektor matroider.

Regulære matroider.

Sudoku – 28


Transversaler og Matroider

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie.

■ M mængden af alle PT for A.

■ M er en (transversal) matroide:





— ∅ ∈ M

— Q ⊆ P ∈ M ⇒ Q ∈ M

— P,Q ∈ M, |P | > |Q| ⇒ ∃x ∈ P \Q : Q ∪ {x} ∈ M

Vektor matroider.

Regulære matroider.

Grafiske matroider.

Sudoku – 28


Ufuldendte Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og


Et n × n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et

ufuldstændigt Latinsk kvadrat.

Sudoku – 29


Ufuldendte Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og



Et n × n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et

ufuldstændigt Latinsk kvadrat.

Hvilke ufuldstændige Latinske kvadrater kan fuldendes

Sudoku – 29


Ufuldendte Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og




Et n × n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et

ufuldstændigt Latinsk kvadrat.

Hvilke ufuldstændige Latinske kvadrater kan fuldendes

Delvist løst.

Sudoku – 29


Ufuldendte Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og





Et n × n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et

ufuldstændigt Latinsk kvadrat.

Hvilke ufuldstændige Latinske kvadrater kan fuldendes

Delvist løst.

Generelt et svært problem: NP-komplet.

Sudoku – 29


Ufuldendte Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og






Et n × n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et

ufuldstændigt Latinsk kvadrat.

Hvilke ufuldstændige Latinske kvadrater kan fuldendes

Delvist løst.

Generelt et svært problem: NP-komplet.

Er Sudoku lettere

Sudoku – 29


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

r

A 1 A 2 A n

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

■ Gyldig række r + 1 ≡ SDR for A = (A 1 ,...,A n ).

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

■ Gyldig række r + 1 ≡ SDR for A = (A 1 ,...,A n ).

■ |A i | = n − r, x tilhører netop n − r af mængderne A i .

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

■ Gyldig række r + 1 ≡ SDR for A = (A 1 ,...,A n ).

■ |A i | = n − r, x tilhører netop n − r af mængderne A i .

|{(x,A i )|x ∈ A i ,i ∈ J}|

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

■ Gyldig række r + 1 ≡ SDR for A = (A 1 ,...,A n ).

■ |A i | = n − r, x tilhører netop n − r af mængderne A i .

|{(x,A i )|x ∈ A i ,i ∈ J}| = |J|(n − r)

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

■ Gyldig række r + 1 ≡ SDR for A = (A 1 ,...,A n ).

■ |A i | = n − r, x tilhører netop n − r af mængderne A i .

|A(J)|(n − r) ≥ |{(x,A i )|x ∈ A i ,i ∈ J}| = |J|(n − r)

Sudoku – 30


Ufuldstændige Latinske rektangler

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et r × n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n × n Latinsk

kvadrat.

n

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

A 1 A 2 A n

■ A i = {1,2,...,n}\ søjle i.

■ Gyldig række r + 1 ≡ SDR for A = (A 1 ,...,A n ).

■ |A i | = n − r, x tilhører netop n − r af mængderne A i .

|A(J)|(n − r) ≥ |{(x,A i )|x ∈ A i ,i ∈ J}| = |J|(n − r)

dvs. |A(J)| ≥ |J|, er opfyldt. Hall’s sætning giver SDR.

Sudoku – 30


Ryser’s sætning

Sudoku

s

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

n

n

Ryser’s Sætning: r × s-rektangel kan fuldendes til n × n Latinsk kvadrat

hvis og kun hvis ∀x : N(x) ≥ r + s − n.

Sudoku – 31


Ryser’s sætning

Sudoku

s

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

r

n

Ryser’s Sætning: r × s-rektangel kan fuldendes til n × n Latinsk kvadrat

hvis og kun hvis ∀x : N(x) ≥ r + s − n.

N(x) er antal gange x forekommer.

n

Sudoku – 31


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

Et eksempel

6

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

6

9

6 × 6-del helt udfyldt

9

Sudoku – 32


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

Et eksempel

6

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

6

9

9

Sudoku ⇒ ∀x : N(x) = 4

Sudoku – 32


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

Et eksempel

6

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

6

9

9

N(x) = 4 > 6 + 6 − 9 = r + s − n

Sudoku – 32


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

Et eksempel

6

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

6

9

9

N(x) = 4 > 6 + 6 − 9 = r + s − n

Det ufuldstændige Sudoku kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat.

Sudoku – 32


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

Et eksempel

6

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

6

9

9

N(x) = 4 > 6 + 6 − 9 = r + s − n

Det ufuldstændige Sudoku kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat.

Altid et Sudoku kvadrat.

Sudoku – 32


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Sætning: Et ufuldstændigt n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat med de

(n − 1) × (n − 1) øverste venstre bokse udfyldt på Sudoku vis, kan altid

fuldendes til et Sudoku kvadrat.

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 33


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sætning: Et ufuldstændigt n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat med de

(n − 1) × (n − 1) øverste venstre bokse udfyldt på Sudoku vis, kan altid

fuldendes til et Sudoku kvadrat.

Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så

N(x) = (n − 1) 2 > (n − 1)n + (n − 1)n − n 2

Sudoku – 33


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sætning: Et ufuldstændigt n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat med de

(n − 1) × (n − 1) øverste venstre bokse udfyldt på Sudoku vis, kan altid

fuldendes til et Sudoku kvadrat.

Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så

N(x) = (n − 1) 2 > (n − 1)n + (n − 1)n − n 2

så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser’s sætning.

Sudoku – 33


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sætning: Et ufuldstændigt n 2 × n 2 -Sudoku kvadrat med de

(n − 1) × (n − 1) øverste venstre bokse udfyldt på Sudoku vis, kan altid

fuldendes til et Sudoku kvadrat.

Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så

N(x) = (n − 1) 2 > (n − 1)n + (n − 1)n − n 2

så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser’s sætning.

Det fuldendte kvadrat er nødvendigvis også Sudoku.

Sudoku – 33


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

1 2 3 4 5

4 5 6 7 8

7 8 9 1 2

3 1 6 2 4

2 4 8 5 7

Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) ≥ 1 = 5 + 5 − 9)

Sudoku – 34


Ryser’s sætning og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Ufuldstændigt Sudoku kvadrat:

1 2 3 4 5

4 5 6 7 8

7 8 9 1 2

3 1 6 2 4

2 4 8 5 7

Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) ≥ 1 = 5 + 5 − 9), men ikke til et

Sudoku kvadrat.

Sudoku – 34


Evan’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Uden struktur på de udfyldte pladser gælder

Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n − 1

udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n.

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Sudoku – 35


Evan’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Hall’s sætning

Hall’s sætning og

Sudoku

Eksempler, én familie

Eksempler, to familier

Matching teori

(Eksemplet fra

tidligere)

Matching teori, 2-delt

graf

Matching teori

Matching teori

Transversaler og

Matroider

Ufuldendte Latinske

kvadrater

Ufuldstændige

Latinske rektangler

Ryser’s sætning

Ryser’s sætning og

Sudoku

Ryser’s sætning og

Uden struktur på de udfyldte pladser gælder

Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n − 1

udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n.

n − 1 er bedst mulig.

Sudoku – 35


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Kompleksitet og Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 36


Kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends


Hvor svært er Sudoku (for vilkårlig n)

Sudoku – 37


Kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends



Hvor svært er Sudoku (for vilkårlig n)

Sudoku er NP komplet.

Sudoku – 37


Kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends




Hvor svært er Sudoku (for vilkårlig n)

Sudoku er NP komplet.

Beviset er for generel Sudoku.

Sudoku – 37


Kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends





Hvor svært er Sudoku (for vilkårlig n)

Sudoku er NP komplet.

Beviset er for generel Sudoku.

Hvad med ’rigtig’ Sudoku med entydig løsning

Sudoku – 37


Kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends






Hvor svært er Sudoku (for vilkårlig n)

Sudoku er NP komplet.

Beviset er for generel Sudoku.

Hvad med ’rigtig’ Sudoku med entydig løsning

Algoritmer kan bruge denne information.

Sudoku – 37


Kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends







Hvor svært er Sudoku (for vilkårlig n)

Sudoku er NP komplet.

Beviset er for generel Sudoku.

Hvad med ’rigtig’ Sudoku med entydig løsning

Algoritmer kan bruge denne information.

Universet er mindre.

Sudoku – 37


Entydighed

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

8 9 7 1

1 2 9 4

6

4 7 9 1

3 5

8 1 2 4

6

4 2 8 5

1 6 7 3

Situation hvor entydighed kan bruges.

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 38


Entydighed

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

8 6 3 9 7 1

1 2 9 6 4

6 7 1

4 7 9 8 1

1 3 4 5 9

8 6 1 2 5 4

8 1 3 7 4 9 6

4 2 8 6 5 1 7

1 6 7 9 5 4 3

’Normale metoder’ giver dette

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 38


Entydighed

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

hvor x ∈ {2,5} og y ∈ {2,3,5,6}.

8 6 3 9 7 1

1 2 9 6 4

6 7 1

4 x y 7 9 8 1

1 3 4 5 9

8 6 1 2 5 4

8 x x 1 3 7 4 9 6

4 2 8 6 5 1 7

1 6 7 9 5 4 3

Odds and Ends

Sudoku – 38


Entydighed

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

8 6 3 9 7 1

1 2 9 6 4

6 7 1

4 x y 7 9 8 1

1 3 4 5 9

8 6 1 2 5 4

8 x x 1 3 7 4 9 6

4 2 8 6 5 1 7

1 6 7 9 5 4 3

Entydighed udelukker mulighederne 2 og 5 fra y!

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 38


Entydighed

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

* 8 * * 6 3 9 7 1

* * 1 * 2 9 6 4 *

6 * * * 7 1 * * *

4 5 2 7 9 8 1 * *

* 1 * 3 4 5 * * 9

* * 8 6 1 2 * 5 4

8 2 5 1 3 7 4 9 6

* 4 * 2 8 6 5 1 7

1 6 7 9 5 4 * 3 *

Hvis dette er en løsning,

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 38


Entydighed

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

* 8 * * 6 3 9 7 1

* * 1 * 2 9 6 4 *

6 * * * 7 1 * * *

4 2 5 7 9 8 1 * *

* 1 * 3 4 5 * * 9

* * 8 6 1 2 * 5 4

8 5 2 1 3 7 4 9 6

* 4 * 2 8 6 5 1 7

1 6 7 9 5 4 * 3 *

er dette en anden løsning!

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 38


Sudoku kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends


At fuldende partielle Latinske kvadrater L af orden n er NP-komplet

Sudoku – 39


Sudoku kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends



At fuldende partielle Latinske kvadrater L af orden n er NP-komplet

Indbyg L i et ufuldstændigt Sudoku kvadrat

Sudoku – 39


Sudoku kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends




At fuldende partielle Latinske kvadrater L af orden n er NP-komplet

Indbyg L i et ufuldstændigt Sudoku kvadrat

Løs Sudoku

Sudoku – 39


Sudoku kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends





At fuldende partielle Latinske kvadrater L af orden n er NP-komplet

Indbyg L i et ufuldstændigt Sudoku kvadrat

Løs Sudoku

Udtag det fuldendte L

Sudoku – 39


Sudoku kompleksitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends






At fuldende partielle Latinske kvadrater L af orden n er NP-komplet

Indbyg L i et ufuldstændigt Sudoku kvadrat

Løs Sudoku

Udtag det fuldendte L

Sudoku er NP-komplet

Sudoku – 39


Reduktionen

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

2

2 1

3

Sudoku – 40


Reduktionen

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

2

2 1

L indlejres i n 2 -Sudoku S så Sudoku udfyldninger af S er 1-1 med

Latinske udfyldninger af L.

3

1 2 4 5 7 8

4 5 7 8 1 2

7 8 1 2 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 1 2 3

7 8 9 1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 8 9 1

5 6 7 8 9 1 2 3 4

8 9 1 2 3 4 5 6 7

Sudoku – 40


Reduktionen

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

2

2 1

L indlejres i n 2 -Sudoku S så Sudoku udfyldninger af S er 1-1 med

Latinske udfyldninger af L.

3

1 2 6 4 5 3 7 8

6 4 5 7 8 1 2

7 8 9 1 2 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 1 2 3

7 8 9 1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 8 9 1

5 6 7 8 9 1 2 3 4

8 9 1 2 3 4 5 6 7

Sudoku – 40


Reduktionen

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

2

2 1

L indlejres i n 2 -Sudoku S så Sudoku udfyldninger af S er 1-1 med

Latinske udfyldninger af L.

3

9 1 2 6 4 5 3 7 8

6 4 5 3 7 8 9 1 2

3 7 8 9 1 2 6 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 1 2 3

7 8 9 1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 8 9 1

5 6 7 8 9 1 2 3 4

8 9 1 2 3 4 5 6 7

Sudoku – 40


Reduktionen

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Kompleksitet

Entydighed

Sudoku kompleksitet

Reduktionen

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

3 2 1

2 1 3

1 3 2

Sudoku algoritmen giver altså en Latinsk kvadrat algoritme.

Kompleksiteten er af samme type.

9 1 2 6 4 5 3 7 8

6 4 5 3 7 8 9 1 2

3 7 8 9 1 2 6 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 1 2 3

7 8 9 1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 8 9 1

5 6 7 8 9 1 2 3 4

8 9 1 2 3 4 5 6 7

Sudoku – 40


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 41


Ortogonale kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


A og B er n × n-matricer på {1,2,...,n}.

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 42


Ortogonale kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater



A og B er n × n-matricer på {1,2,...,n}.

A⊥B: De n 2 par (a i,j ,b i,j ) er indbyrdes forskelllige.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

a i,j

b i,j

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 42


Ortogonale kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater



A og B er n × n-matricer på {1,2,...,n}.

A⊥B: De n 2 par (a i,j ,b i,j ) er indbyrdes forskelllige.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

a i,j

b i,j

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

R =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 8 8 8

9 9 9 9 9 9 9 9 9

Sudoku – 42


Ortogonale kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater



A og B er n × n-matricer på {1,2,...,n}.

A⊥B: De n 2 par (a i,j ,b i,j ) er indbyrdes forskelllige.

Hall’s sætning og

Sudoku

a i,j

b i,j

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

R =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 8 8 8

9 9 9 9 9 9 9 9 9

R⊥S

S =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sudoku – 42


Ortogonale kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater



A og B er n × n-matricer på {1,2,...,n}.

A⊥B: De n 2 par (a i,j ,b i,j ) er indbyrdes forskelllige.

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

a i,j

b i,j

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

B =

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

4 4 4 5 5 5 6 6 6

4 4 4 5 5 5 6 6 6

4 4 4 5 5 5 6 6 6

7 7 7 8 8 8 9 9 9

7 7 7 8 8 8 9 9 9

7 7 7 8 8 8 9 9 9

Sudoku – 42


Ortogonale Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


A en n × n-matrix på {1,2,...,n}.

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 43


Ortogonale Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis



A en n × n-matrix på {1,2,...,n}.

A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 43


Ortogonale Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku




A en n × n-matrix på {1,2,...,n}.

A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S

A⊥R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler.

Sudoku – 43


Ortogonale Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku





A en n × n-matrix på {1,2,...,n}.

A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S

A⊥R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler.

A⊥S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler.

Sudoku – 43


Ortogonale Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku






A en n × n-matrix på {1,2,...,n}.

A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S

A⊥R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler.

A⊥S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler.

A er et Sudoku kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S ∧ A⊥B

Sudoku – 43


Ortogonale Latinske kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku







A en n × n-matrix på {1,2,...,n}.

A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S

A⊥R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler.

A⊥S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler.

A er et Sudoku kvadrat hvis og kun hvis

A⊥R ∧ A⊥S ∧ A⊥B

A⊥B er ækvivalent med at hver boks indeholder alle symboler.

Sudoku – 43


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis



Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4|n.

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis




Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4|n.

Euler viste (mere eller mindre) at n ∈ {2,6} er umulige.

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku





Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4|n.

Euler viste (mere eller mindre) at n ∈ {2,6} er umulige.

Euler’s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske kvadrater

af orden n hvis og kun hvis n ≢ 2 (mod 4).

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater


Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku



Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4|n.

Euler viste (mere eller mindre) at n ∈ {2,6} er umulige.

■ Euler’s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske kvadrater

af orden n hvis og kun hvis n ≢ 2 (mod 4).

■ Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n ∈ {2,6}.

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater


Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku



Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4|n.

Euler viste (mere eller mindre) at n ∈ {2,6} er umulige.

■ Euler’s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske kvadrater

af orden n hvis og kun hvis n ≢ 2 (mod 4).

■ Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n ∈ {2,6}.


Er der ortogonale Sudoku kvadrater

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater


Findes der Latinske kvadrater L 1 ,L 2 af orden n så

L 1 ⊥L 2

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku



Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4|n.

Euler viste (mere eller mindre) at n ∈ {2,6} er umulige.

■ Euler’s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske kvadrater

af orden n hvis og kun hvis n ≢ 2 (mod 4).

■ Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n ∈ {2,6}.



Er der ortogonale Sudoku kvadrater

Det vender vi tilbage til

Sudoku – 44


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 45


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku



For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

A = [ab] G×G ,B = [a −1 b] G×G

Sudoku – 45


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku




For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

A = [ab] G×G ,B = [a −1 b] G×G

A og B er klart Latinske kvadrater

Sudoku – 45


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku





For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

A = [ab] G×G ,B = [a −1 b] G×G

A og B er klart Latinske kvadrater

Givet x,y ∈ G, find a,b ∈ G : ab = x,a −1 b = y

Sudoku – 45


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku






For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

A = [ab] G×G ,B = [a −1 b] G×G

A og B er klart Latinske kvadrater

Givet x,y ∈ G, find a,b ∈ G : ab = x,a −1 b = y

x = ab = a 2 a −1 b = a 2 y

Sudoku – 45


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku






For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

A = [ab] G×G ,B = [a −1 b] G×G

A og B er klart Latinske kvadrater

Givet x,y ∈ G, find a,b ∈ G : ab = x,a −1 b = y

x = ab = a 2 a −1 b = a 2 y, a = √ xy −1 der findes når |G| ulige

Sudoku – 45


Euler’s formodning

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku







For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af

orden n ortogonale

A = [ab] G×G ,B = [a −1 b] G×G

A og B er klart Latinske kvadrater

Givet x,y ∈ G, find a,b ∈ G : ab = x,a −1 b = y

x = ab = a 2 a −1 b = a 2 y, a = √ xy −1 der findes når |G| ulige

x ↦→ x 2 er surjektiv når |G| er ulige.

Sudoku – 45


Funktionen N(n)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske kvadrater af

størrelse n

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 46


Funktionen N(n)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

■ N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske kvadrater af

størrelse n

■ Euler’s formodning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ≢ 2 (mod 4)

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 46


Funktionen N(n)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

■ N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske kvadrater af

størrelse n

■ Euler’s formodning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ≢ 2 (mod 4)

■ Sætning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ∉ {2,6}

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 46


Funktionen N(n)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

■ N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske kvadrater af

størrelse n

■ Euler’s formodning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ≢ 2 (mod 4)

■ Sætning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ∉ {2,6}

■ n = 3

1 2 3

2 3 1

3 1 2


1 2 3

3 1 2

2 3 1

Sudoku – 46


Funktionen N(n)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

■ N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske kvadrater af

størrelse n

■ Euler’s formodning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ≢ 2 (mod 4)

■ Sætning: N(n) ≥ 2 ⇔ n ∉ {2,6}

■ n = 3

■ n = 4

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 1 2

4 3 2 1

1 2 3

2 3 1

3 1 2



1 3 4 2

2 4 3 1

3 1 2 4

4 2 1 3


1 2 3

3 1 2

2 3 1


1 4 2 3

2 3 1 4

3 2 4 1

4 1 3 2

Sudoku – 46


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku



F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis




F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

L a er et Latinsk kvadrat

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis





F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

L a er et Latinsk kvadrat

For a,b ∈ F ∗ q ,a ≠ b er L a ⊥L b

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku



F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

■ L a er et Latinsk kvadrat

■ For a,b ∈ Fq ∗ ,a ≠ b er L a ⊥L b

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) ≥ q − 1

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku



F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

■ L a er et Latinsk kvadrat

■ For a,b ∈ Fq ∗ ,a ≠ b er L a ⊥L b

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) ≥ q − 1

■ Sætning: N(nm) ≥ min{N(n),N(m)}

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku



F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

■ L a er et Latinsk kvadrat

■ For a,b ∈ Fq ∗ ,a ≠ b er L a ⊥L b

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) ≥ q − 1

■ Sætning: N(nm) ≥ min{N(n),N(m)}

■ Heraf følger N(n) ≥ 2 for n ≢ 2 (mod 4)

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige legemer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku



F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens)

Definer q × q-kvadrater L a for a ∈ Fq ∗ ved

L a (i,j) = i + aj

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

■ L a er et Latinsk kvadrat

■ For a,b ∈ Fq ∗ ,a ≠ b er L a ⊥L b

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) ≥ q − 1

■ Sætning: N(nm) ≥ min{N(n),N(m)}

■ Heraf følger N(n) ≥ 2 for n ≢ 2 (mod 4)

■ Man kan endda bevise at

N(n) → ∞ for n → ∞

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 47


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 48


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q − 1

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 48


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q − 1

■ N(n) = n − 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af

orden n

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 48


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q − 1

■ N(n) = n − 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af

orden n


Kendes kun for n en primtalspotens

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 48


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q − 1

■ N(n) = n − 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af

orden n



Kendes kun for n en primtalspotens

For n ≡ 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for

a,b ∈ Z

Sudoku – 48


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q − 1

■ N(n) = n − 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af

orden n




Kendes kun for n en primtalspotens

For n ≡ 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for

a,b ∈ Z

Fx for n = 6 findes ingen projektiv plan

Sudoku – 48


Endelige Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

■ Der gælder altid N(n) ≤ n − 1

■ Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q − 1

■ N(n) = n − 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af

orden n




Kendes kun for n en primtalspotens

For n ≡ 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for

a,b ∈ Z

Fx for n = 6 findes ingen projektiv plan

■ For n = 10 findes ingen projektiv plan (men 10 = 1 2 + 3 2 )

Sudoku – 48


Planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Affin plan af orden 3 og projektiv plan af orden 2.

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 49


Gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Gerechte design (1956, W.U.Behrens):

Et n × n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1 ,...,R n så hvert

symbol forekommer netop en gang i hver region.

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 50


Gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku



Gerechte design (1956, W.U.Behrens):

Et n × n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1 ,...,R n så hvert

symbol forekommer netop en gang i hver region.

Sudoku fås hvis regionerne er underkvadraterne.

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 50


Gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku




Gerechte design (1956, W.U.Behrens):

Et n × n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1 ,...,R n så hvert

symbol forekommer netop en gang i hver region.

Sudoku fås hvis regionerne er underkvadraterne.

Ortogonalitet: A et Latinsk kvadrat, R i cellerne indeholdende

symbolet i. Et gerechte design er da en ortogonal mage til A.

Sudoku – 50


Ortogonale gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Regioner R 1 ,...,R n af n × n matricen.

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 51


Ortogonale gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku



Regioner R 1 ,...,R n af n × n matricen.

Sætning: Der er højst n − d indbyrdes ortogonale gerechte designs,

hvor

d = max

L≠R

over alle linier L og regioner R.

|L ∩ R|

Sudoku – 51


Ortogonale gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku




Regioner R 1 ,...,R n af n × n matricen.

Sætning: Der er højst n − d indbyrdes ortogonale gerechte designs,

hvor

d = max

L≠R

over alle linier L og regioner R.

|L ∩ R|

Korollar: Der er højst 6 indbyrdes ortogonale Sudoku kvadrater.

Sudoku – 51


Ortogonale gerechte designs

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku





Regioner R 1 ,...,R n af n × n matricen.

Sætning: Der er højst n − d indbyrdes ortogonale gerechte designs,

hvor

d = max

L≠R

over alle linier L og regioner R.

|L ∩ R|

Korollar: Der er højst 6 indbyrdes ortogonale Sudoku kvadrater.

Korollar: Der er højst n − 1 indbyrdes ortogonale Latinske kvadrater af

orden n.

Sudoku – 51


Bevis

Sudoku

R

c

c

Men hvad er Sudoku

L

1 1

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

1

1

⊥ ...

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

S 1 S 2

■ Indbyrdes ortogonale S 1 ,...,S k .

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 52


Bevis

Sudoku

R

c

c

Men hvad er Sudoku

L

1 1

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

1

1

⊥ ...

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

S 1 S 2

■ Indbyrdes ortogonale S 1 ,...,S k .

■ Vælg celle c ∈ L \ R.

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 52


Bevis

Sudoku

R

c

c

Men hvad er Sudoku

L

1 1

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

1

1

⊥ ...

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

S 1 S 2

■ Indbyrdes ortogonale S 1 ,...,S k .

■ Vælg celle c ∈ L \ R.

■ Permuter symboler i S i så c = 1.

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 52


Bevis

Sudoku

R

c

c

Men hvad er Sudoku

L

1 1

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

1

1

⊥ ...

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

S 1 S 2

■ Indbyrdes ortogonale S 1 ,...,S k .

■ Vælg celle c ∈ L \ R.

■ Permuter symboler i S i så c = 1.


I R\L har hver S i et 1-tal. Pladser er forskellige!

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 52


Bevis

Sudoku

R

c

c

Men hvad er Sudoku

L

1 1

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

1

1

⊥ ...

Ortogonalitet

Ortogonale kvadrater

Ortogonale Latinske

kvadrater

Euler’s formodning

Euler’s formodning

Funktionen N(n)

Endelige legemer

Endelige Planer

Planer

Gerechte designs

Ortogonale gerechte

designs

Bevis

S 1 S 2

■ Indbyrdes ortogonale S 1 ,...,S k .

■ Vælg celle c ∈ L \ R.

■ Permuter symboler i S i så c = 1.


I R\L har hver S i et 1-tal. Pladser er forskellige!

■ Altså er k ≤ n − d.

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Sudoku – 52


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Lineær Algebra og Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 53


AG(4, 3)

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

x 3

x 4

x 1 x 2

Celler koordinatiseret (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) med x i ∈ F 3 .

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 54


Nogle planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Rækker: Sideklasser til planen

R = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 2 = 0}

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 55


Nogle planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode



Rækker: Sideklasser til planen

Søjler: Sideklasser til planen

R = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 2 = 0}

S = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 3 = x 4 = 0}

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 55


Nogle planer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode




Rækker: Sideklasser til planen

Søjler: Sideklasser til planen

Bokse: Sideklasser til planen

R = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 2 = 0}

S = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 3 = x 4 = 0}

B = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 3 = 0}

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 55


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode



P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode




P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Q + w i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode





P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Q + w i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q

Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode






P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Q + w i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q

Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i

Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode







P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Q + w i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q

Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i

Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i

S(P) ⊥ S(Q) ⇔ P ∩ Q = {0}

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode








P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Q + w i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q

Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i

Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i

S(P) ⊥ S(Q) ⇔ P ∩ Q = {0}

Parret (i,j) findes præcis på pladserne p + v i = q + w j

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og ortogonalitet

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet







P,Q ⊂ AG(4,3) 2-dimensionale underrum

P + v i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P

Q + w i ,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q

Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i

Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i

S(P) ⊥ S(Q) ⇔ P ∩ Q = {0}

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

■ Parret (i,j) findes præcis på pladserne p + v i = q + w j

■ v i − w j = p − q entydig løsning hviss P ∩ Q = {0}

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 56


Planer og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 57


Planer og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode



S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B

P ⊂ AG(4,3) en plan

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 57


Planer og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode




S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B

P ⊂ AG(4,3) en plan

S(P) er et Sudoku kvadrat hvis og kun hvis

P ∩ R = P ∩ S = P ∩ B = {0}

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 57


Planer og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode





S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B

P ⊂ AG(4,3) en plan

S(P) er et Sudoku kvadrat hvis og kun hvis

hvor

P ∩ R = P ∩ S = P ∩ B = {0}

— R = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 2 = 0}

— S = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 3 = x 4 = 0}

— B = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 3 = 0}

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 57


Planer og Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode






S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B

P ⊂ AG(4,3) en plan

S(P) er et Sudoku kvadrat hvis og kun hvis

hvor

P ∩ R = P ∩ S = P ∩ B = {0}

— R = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 2 = 0}

— S = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 3 = x 4 = 0}

— B = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )|x 1 = x 3 = 0}

Et lineært Sudoku kvadrat S(P)

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 57


Ortogonal Lineær Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Lad P og Q være to planer der hver giver lineær Sudoku.

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 58


Ortogonal Lineær Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

■ Lad P og Q være to planer der hver giver lineær Sudoku.

■ S(P) ⊥ S(Q) ⇔ P ∩ Q = {0}

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 58


Ortogonal Lineær Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

■ Lad P og Q være to planer der hver giver lineær Sudoku.

■ S(P) ⊥ S(Q) ⇔ P ∩ Q = {0}

■ Findes de

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 58


Ortogonal Lineær Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

■ Lad P og Q være to planer der hver giver lineær Sudoku.

■ S(P) ⊥ S(Q) ⇔ P ∩ Q = {0}

■ Findes de

■ Ja!

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 58


Sudoku og koder

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med

hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt).

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 59


Sudoku og koder

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku



Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med

hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt).

Ikke-nul vektorerne i H kan højst have en 0-koordinat, minimum

Hammingvægt er 3.

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 59


Sudoku og koder

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends




Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med

hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt).

Ikke-nul vektorerne i H kan højst have en 0-koordinat, minimum

Hammingvægt er 3.

En sådan kode findes:

Span F3 {(0,1,1,1),(1,0,1,2)} =

[0,0,0,0],[0,1,1,1],[0,2,2,2],

[1,0,1,2],[2,0,2,1],[1,1,2,0],

[1,2,0,1],[2,1,0,2],[2,2,1,0]

Sudoku – 59


Hamming kode

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum:


H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)}

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 60


Hamming kode

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum:



H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)}

H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)}

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 60


Hamming kode

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum:




H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)}

H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)}

H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)}

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 60


Hamming kode

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum:





H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)}

H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)}

H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)}

H 4 = Span{(0,1,1,2),(1,0,2,2)}

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 60


Hamming kode

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum:






H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)}

H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)}

H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)}

H 4 = Span{(0,1,1,2),(1,0,2,2)}

S(H i ) giver 4 indbyrdes ortogonale Sudoku kvadrater.

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 60


6 ortogonale Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes

ortogonale Sudoku kvadrater

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 61


6 ortogonale Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes

ortogonale Sudoku kvadrater

■ H 1 ,H 2 ,H 3 ,H 4

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 61


6 ortogonale Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes

ortogonale Sudoku kvadrater

■ H 1 ,H 2 ,H 3 ,H 4

■ P 5 = Span{(1,0,0,2),(0,1,2,0)}

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 61


6 ortogonale Sudoku kvadrater

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes

ortogonale Sudoku kvadrater

■ H 1 ,H 2 ,H 3 ,H 4

■ P 5 = Span{(1,0,0,2),(0,1,2,0)}

■ P 6 = Span{(1,0,0,1),(0,1,1,0)}

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 61


S(H 1 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 5 9 2 6 7 3 4 8

8 3 4 9 1 5 7 2 6

6 7 2 4 8 3 5 9 1

4 8 3 5 9 1 6 7 2

2 6 7 3 4 8 1 5 9

9 1 5 7 2 6 8 3 4

7 2 6 8 3 4 9 1 5

5 9 1 6 7 2 4 8 3

3 4 8 1 5 9 2 6 7

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 62


S(H 1 ) perfektion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

Kuglen med radius 1.

1 5 9 2 6 7 3 4 8

8 3 4 9 1 5 7 2 6

6 7 2 4 8 3 5 9 1

4 8 3 5 9 1 6 7 2

2 6 7 3 4 8 1 5 9

9 1 5 7 2 6 8 3 4

7 2 6 8 3 4 9 1 5

5 9 1 6 7 2 4 8 3

3 4 8 1 5 9 2 6 7

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 63


S(H 1 ) perfektion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

To kugler med radius 1.

1 5 9 2 6 7 3 4 8

8 3 4 9 1 5 7 2 6

6 7 2 4 8 3 5 9 1

4 8 3 5 9 1 6 7 2

2 6 7 3 4 8 1 5 9

9 1 5 7 2 6 8 3 4

7 2 6 8 3 4 9 1 5

5 9 1 6 7 2 4 8 3

3 4 8 1 5 9 2 6 7

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 63


S(H 1 ) perfektion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 5 9 2 6 7 3 4 8

8 3 4 9 1 5 7 2 6

6 7 2 4 8 3 5 9 1

4 8 3 5 9 1 6 7 2

2 6 7 3 4 8 1 5 9

9 1 5 7 2 6 8 3 4

7 2 6 8 3 4 9 1 5

5 9 1 6 7 2 4 8 3

3 4 8 1 5 9 2 6 7

To kugler med radius 1.

9 kugler med centrum i fast symbol udfylder rummet perfekt, da

minimumafstand er 3 og

( 4

9(1 + 2 ) = 3

1)

4

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 63


S(H 2 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 8 6 2 9 4 3 7 5

9 4 2 7 5 3 8 6 1

5 3 7 6 1 8 4 2 9

4 2 9 5 3 7 6 1 8

3 7 5 1 8 6 2 9 4

8 6 1 9 4 2 7 5 3

7 5 3 8 6 1 9 4 2

6 1 8 4 2 9 5 3 7

2 9 4 3 7 5 1 8 6

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 64


S(H 3 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 9 5 2 7 6 3 8 4

6 2 7 4 3 8 5 1 9

8 4 3 9 5 1 7 6 2

4 3 8 5 1 9 6 2 7

9 5 1 7 6 2 8 4 3

2 7 6 3 8 4 1 9 5

7 6 2 8 4 3 9 5 1

3 8 4 1 9 5 2 7 6

5 1 9 6 2 7 4 3 8

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 65


S(H 4 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 6 8 2 4 9 3 5 7

5 7 3 6 8 1 4 9 2

9 2 4 7 3 5 8 1 6

4 9 2 5 7 3 6 8 1

8 1 6 9 2 4 7 3 5

3 5 7 1 6 8 2 4 9

7 3 5 8 1 6 9 2 4

2 4 9 3 5 7 1 6 8

6 8 1 4 9 2 5 7 3

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 66


S(P 5 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 4 7 2 5 8 3 6 9

2 5 8 3 6 9 1 4 7

3 6 9 1 4 7 2 5 8

4 7 1 5 8 2 6 9 3

5 8 2 6 9 3 4 7 1

6 9 3 4 7 1 5 8 2

7 1 4 8 2 5 9 3 6

8 2 5 9 3 6 7 1 4

9 3 6 7 1 4 8 2 5

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 67


S(P 6 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 7 4 2 8 5 3 9 6

3 9 6 1 7 4 2 8 5

2 8 5 3 9 6 1 7 4

4 1 7 5 2 8 6 3 9

6 3 9 4 1 7 5 2 8

5 2 8 6 3 9 4 1 7

7 4 1 8 5 2 9 6 3

9 6 3 7 4 1 8 5 2

8 5 2 9 6 3 7 4 1

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 68


S(H 1 ) : S(H 1 )⊥S(P 6 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 5 9 2 6 7 3 4 8

8 3 4 9 1 5 7 2 6

6 7 2 4 8 3 5 9 1

4 8 3 5 9 1 6 7 2

2 6 7 3 4 8 1 5 9

9 1 5 7 2 6 8 3 4

7 2 6 8 3 4 9 1 5

5 9 1 6 7 2 4 8 3

3 4 8 1 5 9 2 6 7

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 69


S(P 6 ) : S(H 1 )⊥S(P 6 )

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

AG(4, 3)

Nogle planer

Planer og ortogonalitet

Planer og Sudoku

Ortogonal Lineær

Sudoku

Sudoku og koder

Hamming kode

6 ortogonale Sudoku

kvadrater

Perfekt kode

1 7 4 2 8 5 3 9 6

3 9 6 1 7 4 2 8 5

2 8 5 3 9 6 1 7 4

4 1 7 5 2 8 6 3 9

6 3 9 4 1 7 5 2 8

5 2 8 6 3 9 4 1 7

7 4 1 8 5 2 9 6 3

9 6 3 7 4 1 8 5 2

8 5 2 9 6 3 7 4 1

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Sudoku – 70


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Minimal Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

Odds and Ends

Sudoku – 71


Hvor mange er nok

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku


Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

Odds and Ends

Sudoku – 72


Hvor mange er nok

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel



Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning

n = 2: 4 er minimum, fx

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

1

3

2

1

1

3

4

2

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

Odds and Ends

Sudoku – 72


Hvor mange er nok

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel



Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning

n = 2: 4 er minimum, fx

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

1

3

2

1

1

3

4

2

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

Odds and Ends


n = 3: Er 17 minimum

Sudoku – 72


Minimal Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

4

2

1

5 4 7

8 3

1 9

3 4 2

5 1

8 6

Odds and Ends

Sudoku – 73


Sudoku med 2 løsninger

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

1 5

3

2 4

3 4 7

2 6 1

2 5

7 3

1

Kun 16 givne felter. Hvis der er løsninger er der mindst to.

Odds and Ends

Sudoku – 74


Sudoku med 2 løsninger

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Hvor mange er nok

Minimal Sudoku

Sudoku med 2

løsninger

Sudoku med 2

løsninger

Kun 8 og 9 mangler.

1 3 6 7 4 2 5

4 6 5 3 2 1 7

7 5 2 1 4 6 3

6 2 1 4 7 3 5

5 3 4 1 7 6 2

7 2 5 6 3 4 1

2 1 6 3 5 7 4

7 5 6 2 4 1 3

3 4 7 1 2 5 6

Odds and Ends

Sudoku – 75


Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Odds and Ends

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer

Sudoku – 76


Perl minimalistisk

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

use integer;@A=split//,;sub R{for$i(0..80){next if$A[$i];my%t=map{$_/9

==$i/9||$_%9==$i%9||$_/27==$i/27&&$_%9/3==$i%9/3$A[$_]:0=>1}0..80;R($A[

$i]=$_)for grep{!$t{$_}}1..9;return$A[$i]=0}die@A}R

(Eccles & Toad)

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer

Sudoku – 77


Samme program

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer

use integer;

@A = split //, ;

sub R {

for $i ( 0 .. 80 ) {

next if $A[$i];

my %t = map {

$_ / 9 == $i / 9

|| $_ % 9 == $i % 9

|| $_ / 27 == $i / 27 && $_ % 9 / 3 == $i % 9 / 3

$A[$_]

: 0 => 1

} 0 .. 80;

R( $A[$i] = $_ ) for grep { !$t{$_} } 1 .. 9;

return $A[$i] = 0;

}

die @A;

}

R

(Eccles & Toad)

Sudoku – 78


X-ray diffraktion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer


Veit Elser (Cornell)

Sudoku – 79


X-ray diffraktion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer



Veit Elser (Cornell)

Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen

Sudoku – 79


X-ray diffraktion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer




Veit Elser (Cornell)

Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen

Difference-map algoritme

Sudoku – 79


X-ray diffraktion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer





Veit Elser (Cornell)

Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen

Difference-map algoritme

To uafhængige set af sidebetingelser

Sudoku – 79


X-ray diffraktion

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer






Veit Elser (Cornell)

Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen

Difference-map algoritme

To uafhængige set af sidebetingelser

Løser også Sudoku

Sudoku – 79


Er der matematik i Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer

Sudoku – 80


Er der matematik i Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer


Ja, på trods af udsagn som

”Does not require MATH.

Can be solved using reasoning and logic alone.”

Sudoku – 80


Er der matematik i Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

■ Ja, på trods af udsagn som

”Does not require MATH.

Can be solved using reasoning and logic alone.”

■ Er der noget der ikke er Sudoku i

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer

Sudoku – 80


Er der matematik i Sudoku

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

■ Ja, på trods af udsagn som

”Does not require MATH.

Can be solved using reasoning and logic alone.”

■ Er der noget der ikke er Sudoku i

■ Endnu et argument for at der er matematik i alting.

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer

Sudoku – 80


Referencer

Sudoku

Men hvad er Sudoku

Et eksempel

Antal Sudoku

kvadrater

Hall’s sætning og

Sudoku

Kompleksitet og

Sudoku

Ortogonalitet

Lineær Algebra og

Sudoku

Minimal Sudoku

Odds and Ends

Perl minimalistisk

Samme program

X-ray diffraktion

Er der matematik i

Sudoku

Referencer




A Course in Combinatorics, Van Lint & Wilson, Cambridge

Sudoku, gerechte designs, resolutions, affine space, spreads, reguli,

and Hamming codes R. A. Bailey, Peter J. Cameron, Robert Connelly,

(Preprint)

Complexity and Completeness of Finding Another Solution and Its

Application to Puzzles, Takayuki YATO & Takahiro SETA. IPSJ SIG

Notes 2002-AL-87-2, 2002

Sudoku – 81

More magazines by this user
Similar magazines