7 MÃ¥ling og geometri

FAKTA
SI-systemet
Lengde
Masse
Volum
Et internasjonalt mÔlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet.
Den grunnleggende SI-enheten for mÔling av lengde er meter.
Symbolet for meter er m.
Den grunnleggende SI-enheten for masse er kilogram. Kg er symbolet
for kilogram.
Volum gir oss et mÔl for hvor mye noe rommer. SI-enheten for volum er
kubikkmeter,m 3 .
Volum mÔles ogsÔ i liter, l. 1 liter er det volumet som fÔr plass i en kube
med 1 dm lange sider. 1 liter er derfor det samme som 1 dm 3 .
MÔltall
MÔleenhet
Det tallet vi ¢nner ved en mÔling.
Benevningen til et mÔltall.
MÔleusikkerhet UnÖyaktigheten ved mÔling kaller vi mÔleusikkerhet. Hvor nÖyaktige
mÔlingene blir, kommer an pÔ hvor nÖyaktig vi mÔler og hvor gode
mÔleinstrumentene vÔre er. NÔr vi teller, fÔr vi et nÖyaktig antall.
Gjeldende sifre Det er spesielle regler for hvor mange sifre som skal gjelde i et mÔltall.
Sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 er alltid gjeldende.
. For eksempel er det ¢re gjeldende sifre i 235,9.
Tall med 0
. Dersom 0 er omgitt av andre sifre, er 0 et gjeldende si¡er.
Det er ¢re gjeldende sifre i 2,006.
. I et desimaltall som begynner med null, regnes ikke de innledende
nullene som gjeldende sifre.
Det er ett gjeldende si¡er i 0,5 mens det er to gjeldende sifre i 0,89.
. I tallet 10,0600 er begge de to siste nullene gjeldende, vi har seks
gjeldende sifre.
. I tallet 16 000 kan det v×re to, tre, ¢re eller fem gjeldende sifre.
For Ô presisere hvor mange gjeldende sifre tallet har, kan vi skrive
tallet pÔ standardform:
1,6 10 4 har to gjeldende sifre
1,60 10 4 har tre gjeldende sifre
178

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
StrÔle
En linje med ett endepunkt.
Linje
En linje uten endepunkter.
Linjestykke
En linje som er begrenset av
to endepunkter.
Punkt
Vinkel
Gradskive
Spiss vinkel
Et punkt har ingen utstrekning
og markeres gjerne med en
prikk eller et kryss.
To strÔler danner en vinkel.
De to strÔlene kaller vi hÖyre
vinkelbein og venstre vinkelbein.
Det felles endepunktet
kaller vi toppunktet.Vi bruker
stor bokstav som navn pÔ topppunktet
og liten bokstav som
navn pÔ vinkelen.Vinkelen mÔles
i grader. Symbolet for vinkel er ,
og symbolet for grader er .
Brukes for Ô mÔle en vinkel.
PÔ fagsprÔket kaller vi en vinkel som er mindre
enn 90 , en spiss vinkel.
Rett vinkel
En vinkel som er 90 , kaller vi en rett vinkel
og merker den med en liten ¢rkant
ved toppunktet.
Stump vinkel En vinkel som er stÖrre enn 90 ,
kaller vi en stump vinkel.
Likevinkel En vinkel som er 180 ,
kaller vi en likevinkel.
179

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
— tegne — lage en geometrisk ¢gur ved
hjelp av linjal, gradskive og vinkelhake.
— konstruere — lage en geometrisk ¢gur ved hjelp av passer og linjal.
PÔ konstruksjonen skal det kun stÔ bokstavene som er navn pÔ
toppunktene. Alle konstruksjoner skal v×re med blyant.
Hjelpe¢gur
En skisse av det som skal konstrueres. PÔ hjelpe¢guren skrives den
informasjonen som er gitt i oppgaven.
Normal NÔr to linjer skj×rer hverandre slik at vinkelen mellom dem er 90 ,
kan vi si at linjene stÔr vinkelrett eller normalt pÔ hverandre.
En normal er det samme som en rett vinkel.
Midtnormal
Reise opp
en normal
Nedfelle
en normal
Halvere
en vinkel
HalveringsstrÔle
Sammensatt
vinkel
Kopiere
en vinkel
NÔr normalen deler linjestykket AB midt mellom A og B, kaller vi den
midtnormalen til linjestykket.
— konstruere normalen til en linje i et punkt pÔ linja.
— konstruere en normal fra et punkt og ned pÔ en linje.
— dele en vinkel i to like store vinkler.
Den linja som deler en vinkel i to like vinkler, kaller vi halveringsstrÔle.
Ved Ô kombinere konstruksjon av 60 , 90 , dobling og halvering
av vinkler, kan vi konstruere sammensatte vinkler.
Skal du lage en vinkel som er like stor som en du har fra fÖr,
kan du kopiere den opprinnelige vinkelen.
Parallelle linjer To rette linjer som aldri skj×rer hverandre, kaller vi parallelle linjer.
To parallelle linjer har felles normaler, og avstanden mellom de to
parallelle linjene er lengden av normalene mellom dem.
Polygon
En polygon er en plan ¢gur som bestÔr av tre eller £ere sider. Polygon er
det greske ordet for mangekant.PunkteneA, B, C, D osv. er hjÖrner
i polygonen, og sidene kaller vi AB, BC, CD osv. Polygonen har navn
etter antall sider eller hjÖrner. Dersom alle vinklene er like store, og alle
sidene er like lange, sier vi at polygonen er en regul×r polygon eller en
regul×r mangekant.
180

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Trekant
Likesidet
trekant
En mangekant eller polygon med tre sider, tre hjÖrner og tre vinkler.
. Trekantens hjÖrner merkes mot klokka.
. Trekanten fÔr navn etter vinklenes toppunkter.Vi kan skrive trekanten
som er lagd av punktene A, B og C,som4ABC.
. Vinkelsummen i en trekant er 180‘.
. For Ô konstruere en trekant trenger en tre uavhengige opplysninger om
trekanten.
. HÖyden i en trekant er lengden av normalen fra et hjÖrne til den
motstÔende siden. Ettersom en trekant har tre hjÖrner og tre sider, har
den oftest tre forskjellige hÖyder.
. Areal trekant = g h
2
. I en trekant ABC der AB er diameteren i en sirkel og C ligger pÔ
sirkelen, er C alltid 90 .
. I en trekant der vinklene er 30 ,60 og 90 , er hypotenusen dobbel sÔ
lang som den minste kateten.
. I en likesidet trekant er alle sidene like lange, og alle vinklene er 60 .
. Alle de tre hÖydene er like lange.
. Hver hÖyde halverer en side og en vinkel.
. HÖydene deler trekanten i to rettvinklede trekanter med
vinklene 30 ,60 og 90 .
Likebeint
trekant
. I en likebeint trekant er to av sidene like lange, og de to sidenes
motstÔende vinkler er like store.
. NÔr vi nedfeller normalen fra toppunktet i den tredje vinkelen,
blir den likebeinte trekanten delt i to like store, rettvinklede trekanter.
. Normalen deler den tredje vinkelen i to
like vinkler.
181

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Rettvinklet
trekant
. I en rettvinklet trekant er en av vinklene 90 .
. Den lengste siden kaller vi hypotenusen.
Hypotenusen er den motstÔende siden
til 90 -vinkelen.
. De to sidene som dannes av vinkelbeina
til 90 -vinkelen, kaller vi kateter.
. Arealet av en rettvinklet trekant kan vi
ogsÔ regne ut med formelen
A =
katet katet
2
Pytagoras’
setning
I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet
pÔ hypotenusen c lik summen av arealene av
kvadratene pÔ katetene a og b.
c 2 = a 2 + b 2
Toppvinkler
Vinkler med felles toppunkt kaller vi toppvinkler.
Vinkelbeina til den ene vinkelen er en direkte
forlengelse av beina til den andre vinkelen.
Toppvinkler er alltid like store. u og v er
toppvinkler. x og y er toppvinkler.
Nabovinkler
To vinkler som ligger ved siden av hverandre,
er nabovinkler. De har felles toppunkt,
et felles vinkelbein og er til sammen 180 .
a og b er nabovinkler.
182

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Samsvarende
vinkler
Like store
samsvarende
vinkler
NÔr to linjer skj×res av en tredje linje, fÔr vi
samsvarende vinkler. De samsvarende vinklene
har enten hÖyre eller venstre vinkelbein felles.
De har ikke samme toppunkt. a og b har hÖyre
vinkelbein felles. De er samsvarende vinkler.
NÔr to parallelle linjer skj×res av en tredje linje,
fÔr vi like store samsvarende vinkler. m er
parallell med n, m k n. a og a 0 og b og b 0 er
samsvarende vinkler og like store siden
m og n er parallelle.
Formlike
¢gurer
Figurer som har samme form, men ulik stÖrrelse, kaller vi formlike
¢gurer. Symbolet for formlikhet er . I formlike ¢gurer er alle vinklene
parvis like store, og linjestykkene mellom de parvis like store vinklene
stÔr i samme forhold til hverandre.
Formlike 4ABC 4DEF nÔr A = D, B = E
trekanter og C = F. I formlike trekanter stÔr
linjestykkene mellom de parvis like
store vinklene i samme forhold til
hverandre.
AB
DE = BC
EF = CA
FD
Kongruente Kongruente ¢gurer er bÔde formlike og like store.
¢gurer MÔlestokken mellom kongruente ¢gurer er 1 : 1.
Diagonal
Firkant
En rett linje som gÔr fra det ene hjÖrnet til det motstÔende hjÖrnet i en
¢rkant kaller vi diagonal.
En mangekant eller polygon med ¢re sider kalles for en ¢rkant.
Det ¢nnes mange forskjellige ¢rkanter, men felles for dem,
er at de har ¢re sider og ¢re hjÖrner.
. Vi merker ¢rkanten pÔ samme mÔte som trekanten.
HjÖrnene fÔr navn i alfabetisk rekkefÖlge mot klokka.
. Diagonalen deler ¢rkanten i to trekanter.
. Firkanter kan konstrueres som to trekanter.
183

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
. Vinkelsummen i en ¢rkant er
2 180 = 360 .
. For Ô konstruere en ¢rkant trenger vi
fem uavhengige opplysninger.
. Toppunktet pÔ den vinkelen vi skal navngi,
skal alltid stÔ i midten nÔr vi navngir en vinkel
med tre bokstaver. A = DAB = BAD
Kvadrat . Firkant der alle sidene er like lange og parallelle.
. Alle vinklene er 90 .
. Diagonalene i et kvadrat er like lange
og stÔr vinkelrett pÔ hverandre.
. Diagonalene halverer hverandre og deler
vinklene i to vinkler pÔ 45 .
. Diagonalene deler ogsÔ kvadratet i ¢re
kongruente, likebeinte trekanter.
. A = s s
Rombe . Firkant der alle sidene er like lange, og motstÔende sider er parallelle.
. Diagonalene halverer hverandre og stÔr vinkelrett pÔ hverandre.
. Diagonalene halverer vinklene og deler romben i ¢re kongruente
trekanter.
. MotstÔende vinkler er like store og
hÖyden stÔr alltid vinkelrett
pÔ grunnlinja.
. A = g h eller A = diagonal 1 diagonal 2
2
Rektangel . Firkant der to motstÔende sider er like
lange og parallelle.
. Diagonalene halverer hverandre og
deler rektangelet i ¢re likebeinte
trekanter, der motstÔende trekanter
er kongruente.
. Alle vinklene er 90 .
. A = l b eller A = l h
184

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Parallellogram . Firkant der to motstÔende sider er like lange og parallelle.
. Diagonalene halverer hverandre og
deler parallellogrammet i ¢re
trekanter, der motstÔende
trekanter er kongruente.
. MotstÔende vinkler er like
store.
. HÖyden stÔr alltid vinkelrett
pÔ grunnlinja.
. A = g h
Trapes . Firkant der to av sidene er parallelle, og de
to andre sidene ikke er parallelle.
. HÖyden i et trapes stÔr vinkelrett pÔ de
parallelle sidene.
. Dersom de to ikke-parallelle sidene er
like, er trapeset likebeint.
. A =ða + bÞ h 2
Sirkel . En sirkel deles inn i 360 .
. I en sirkel med sentrum S ligger
alle punktene i en bestemt avstand
fra S.
. Avstanden fra periferien til sentrum
kaller vi radius.
. En rett linje trukket fra periferien,
gjennom sentrum og til periferien igjen,
kaller vi diameter.
. A = r 2
. O =2r
(pi)
er en gresk bokstav.Tallet er forholdet mellom omkretsen og
diameteren i en sirkel.Tallet er et irrasjonalt tall og kan ikke skrives
som en eksakt brÖk. = 3,141592653589793238 ...
NÔr vi regner med desimaler er det vanlig Ô bruke & 3,14,
men brÖken 22 7 gir ogsÔ en god tiln×rming. 185

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Sirkelsektor
En sirkelsektor er en del av sirkelen med toppunkt i sirkelens sentrum.
En sektorvinkel har to radier som vinkelbein. Den delen av omkretsen
som hÖrer til sektoren, kaller vi en sirkelbue.
A sirkelsektor = r 2
n
360
der n er antall grader pÔ sektorvinkelen. Lengden av en sirkelbue ¢nner vi
ved denne formelen:
b =2r
n
360
der n er antall grader pÔ sektorvinkelen.
Tangent
Korde
Sekant
Rom¢gur/
Romlegeme
En tangent er en rett linje som berÖrer sirkelen i ett punkt. Dette punktet
kaller vi tangeringspunktet.Tangenten stÔr normalt pÔ radien i
tangeringspunktet.
Et linjestykke som har endepunkter pÔ sirkelen. Midtnormalen til en
korde gÔr gjennom sentrum i sirkelen. Midtnormalene til to ikke
parallelle korder har skj×ringspunkt i sentrum av sirkelen.
En sekant er en rett linje som skj×rer sirkelen i to punkter.
Tredimensjonale ¢gurer som for eksempel et rett prisme, en sylinder
og en kule. Over£aten av en rom¢gur mÔles blant annet i kvadratcentimeter
(cm 2 ), kvadratdesimeter (dm 2 ) og kvadratmeter (m 2 ).
Volumet av en rom¢gur mÔles blant annet i kubikkmillimeter (mm 3 ),
kubikkcentimeter (cm 3 Þ, kubikkdesimeter (dm 3 ) og kubikkmeter (m 3 ).
Volumet av en rom¢gur kan ogsÔ mÔles i liter, dl, cl og ml.
186

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Polyeder
Platonsk
legeme
En rom¢gur eller romlegeme som har polygoner som side£ater.
Dersom en rom¢gur bestÔr av kongruente polygoner, kaller vi den
et platonsk legeme.
Rett prisme . Et rett prisme har en mangekant som grunn£ate og side£ater som stÔr
vinkelrett pÔ grunn£aten.
. Grunn£aten i et rett prisme kan v×re trekantet, ¢rkantet, femkantet
osv. Er alle sidene i et rett prisme kvadratiske, kaller vi prismet en
terning eller en kube.
. Over£aten av et rett prisme ¢nner vi
ved Ô beregne arealet av hver av sidene
pÔ prismet og sÔ addere arealene.
. Volumet av et rett prisme er arealet av
grunn£aten multiplisert med hÖyden.
V = G h
der G stÔr for arealet av grunn£aten.
Pyramide . En pyramide bestÔr av en grunn£ate og £ere trekanter som mÖtes i et
punkt pÔ toppen.
. Grunn£aten kan v×re en hvilken som helst mangekant. Dersom
alle sidene er likesidede trekanter, er pyramiden et platonsk legeme,
et tetraeder.
. Bretter vi ut en pyramide med kvadratisk grunn£ate, fÔr vi en ¢gur
som bestÔr av et kvadrat og ¢re likebeinte trekanter.
. Volumet av alle pyramider:
V = G h
3
G er arealet av grunn£aten og h er hÖyden i pyramiden.
. HÖyden i en pyramide mÔles fra toppen av
pyramiden, i trekantenes toppunkt, og
vinkelrett ned pÔ grunn£aten. HÖyden i en
pyramide med kvadratisk grunn£ate stÔr
vinkelrett pÔ grunn£aten der diagonalene
skj×rer hverandre.
187

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Sylinder . En sylinder er en rom¢gur som bestÔr av en sirkul×r eller en elliptisk
grunn£ate, og side£ater som stÔr vinkelrett pÔ grunn£aten.
. Over£aten av en sirkul×r sylinder ¢nner vi ved formelen
A sylinder =2r 2 +2rh =2rðr + hÞ
der h er hÖyden i sylinderen.
. Volumet av en sylinder regner vi ut med formelen
V = G h
der G er arealet av grunn£aten i sylinderen.
Kjegle . En kjegle bestÔr av en grunn£ate og side£ater som mÖtes i en spiss.
. Grunn£aten kan v×re en sirkel eller en ellipse.
. Volumet av en sirkelformet kjegle er 1 3 av
volumet av en sylinder som har samme
grunn£ate og hÖyde.
V = G h
3
V = r2 h
3
der h er hÖyden fra toppunktet vinkelrett
pÔ grunn£aten.
Kule . En kule er en perfekt, symmetrisk geometrisk ¢gur. Den har ingen
kanter og er derfor ikke et polyeder.
. Alle punktene pÔ over£aten har samme avstand (radius) fra sentrum.
. Over£aten av en kule kan vi regne ut med formelen
A =4r 2
. Volumet av en kule kan vi regne ut
med formelen
V = 4r3
3
188

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
Tabeller
MÔltall med
mÔleenhet
Navn
Antall meter
1 mil mil 10 000 m
1 km kilometer 1000 m
1 m meter 1 m
1 dm desimeter
1
10 m = 0,1 m
1 cm centimeter
1
100 m = 0,01 m
1 mm millimeter
1
1000 m = 0,001 m
MÔltall med
mÔleenhet
Navn Antall gram Antall kilogram
1 tonn tonn 1 000 000 g 1000 kg
1kg kilogram 1000g 1kg
1 hg hektogram 100 g
1
10
kg = 0,1 kg
1 gram gram 1 g
1
1000
kg = 0,001 kg
1mg milligram
1
1000 g = 0,001 g 1
1 000 000 kg
= 0,000 001 kg
1 g mikrogram
1
1000 000 g
= 0,000 001 g
1
1 000 000 000 kg
= 0,000 000 001 kg
MÔltall med
mÔleenhet
Navn Antall m 3
1 m 3 kubikkmeter 1m 1m 1m =1m 3
1 dm 3 kubikkdesimeter 0,1 m 0,1 m 0,1 m
= 0,001 m 3 = 1
1000 m3
1 cm 3 kubikkcentimeter 0,01 m 0,01 m 0,01m
= 0,000 001 m 3 1
=
1 000 000 m3 189

EMNE 7–MÅLING OG GEOMETRI
FAKTA
MÔltall med
mÔleenhet Navn Antall liter
1 l liter 1 liter
1 dl desiliter
1
10
liter = 0,1 liter
1 cl centiliter
1
100
liter = 0,01 liter
1 ml milliliter
1
1000
liter = 0,001 liter
190