Øvelse i termisk analyse - dirac

dirac.ruc.dk

Øvelse i termisk analyse - dirac

Øvelseitermiskanalyse

FysiskteknikvedBoJakobsen

(baseretpånoterafN.BoyeOlsen)

Forår2009

1 Baggrund

Øvelsenhartilformålatsættejerindienmetodetilatbestemmeetmateriales

frekvensafhængigevarmekapacitet.Målemetoden,somikkeerfærdigudviklet,indgårienrækkemetodersomanvendesivæskelaboratoriet.Dissemetoder,somtildelserudvikletherpåstedet,eretableretmeddetformålatkunne

måleetfuldstændigtsætafelektriskeogtermo-mekaniskeresponsefunktioner.Etsådantsæt,somendnuikkeertilgængeligilitteraturen,vilhavestor

værdiforudviklingenafgrundlæggendevæsketeorier.

Iskalsomforberedelsetildenneøvelselæsedennevejledninggrundigtsamt

forsøgeatregnedeforskelligeopgaverheri.Efterøvelsensgennemførelseudarbejdesenrapportsomindeholderengennemgangafteorienbagmetoden

(detvilsigemindstengennemregningafdeflesteopgaveridennenote),samt

engrundiganalyseafdeudførtemålinger.Demåltestørrelserskalfærdigbehandlesogresultaternesammenholdesmedtabelværdierogteori.

HjertetimetodenudgøresafensåkaldtNTC-modstand(negativtemperatur

koefficient),dennesmodstand,R,afhængeraftemperaturen.Princippetimetodenbeståriatmodtandenpåsammetidkanleverevarme(Joulevarme)

ogregistreredettilvarmeproduktionensvarendetemperaturresponse.Vedat

sendeenkendtelektriskstrømgennemmodstandenogmålespændingenover

dennekanmansåledesberegnebådevarmeproduktionogtemperaturresponse.

NTC-modstandenharformafenlilleperle.Denharenstrukturmedenenindrehalvlederdelogenydreglaskapsel,ogforbindesmedomverdenengemmentilhørendeben(elektroder)(sefigure1).NTC-modstandenanbringesiet

termostateretkammer.Viantageratkammeretsvægge,sombestårafmassivt

kobber,kantermostateressåledesattemperaturenherikkeafhængerafden

varmestrømsomgenereresafNTC-modstanden.

1


NTC−Modstand

Elektroder

Perle

NTC

Kryostat

Kobber væg

Indre halvleder del

Glas kapsel

Figur1:Venstre Skitseafperlemedindredelogglaskapsel.HøjrePerleni

kryostaten.

Idenneøvelsekanvip.g.a.tidnøddogkunbestemmeperlensvarmekapacitet,

samtvarmeledningtilomgivelserne(kryostatenskammer).

2 Moddeleringafdettermiskesystem

Hvisnumodstandenertermiskkoblettilenstofprøve,kandennestermiske

egenskaberberegnes.Ilaboratorietarbejdervimedtoforskellige„geometrier“,entyndogentyk.Identyndegeometripåføresvæskeperlenoghænger

somendråbeomkringdenne(p.g.a.overfladespændingen).Væskensspecifikkevarmekapacitetkansåbestemmesudfradråbensvægt,densamledevarmekapacitetsamtperlensvarmekapacitet.Identykkegeometri,anbringesperlen

ienkugle(somermegetstørreendperlen)fyldtmedvæske.Dissetogeometrierharhverderesfordeleogulemper.

Foratforstådetermiskeegenskaberafsystemetbeståendeafperlenogkryostaten,erdetenfordelatopstilleen„nætværks“model.Idennemodellader

vispændingenværetemperatureforskellenmellemperlenogkryostaten(∆T)

ogstrømmenervarmestrømmen(P).

Meddissedefinitionerkanvitaleomtermiskimpedans(Z = ∆T/P),termisk

admitans(Y =P/∆T)ogtermiskekapacitet(C =Q/∆T,hvorQerdensamledevarmemængde,altsåintegraletoverstrømmen).

Determiskeegenskaberafsystemetkanbeskrivesveddetelektriskenetværk

somsespåfigur2.

2


∆T

P

C ntc Y S

Y L

Y E

Figur2:Elektrisknetværksmodelafdettermiskesystem

T 0

r 2

r 1

Figur3:Skitseaftokugletilberegningafthermiskeadmitans

Strømgeneratorenrepræsenteredenindredelafperlen.Detsesatstrømgeneratorensenderenstrømindienparallelforbindelseafperlensvarmekapacitet

ogtretermiskeadmitanser.Determiskeegenskaberafperlenogomgivelserne

repræsenterestypiskveddensamledetermiskeimpedansZ th = ∆T/P.

Opgaver

IdefølgeneopgaverskalIovervejehvordandetermiskeadmitanserkanfindes.

Hvorforerde4elementerparallelkoblet?HvilkevarmeledningsevnerrepræsentererY

S ,Y L ogY E ?HvodanberegnerviC NTC ogdensamledeledningsevne

udfradenmåltetermiskeimpedansZ th ?

Tænkpåetstofmeddenspecifikkevarmeledningsevne λ,hvorideranbringestokoncentriskekugleskallermedradiusr

1 ogr 2 (sefigure3).Hvisvinu

fastholdertemperaturenT 0 idenydersteskalogsenderenvarmestrømI 0 fra

denindreskaludimediet,hvilkentemperaturtilvæksten ∆Tfåssåiligevægt

veddenindreskal.Ladnuperlenværedenindreskalogkryostatendenydre,

beregnetudtrykfordentermiskeadmitanssomsesveddenindrerand.

Beregnetudtrykfordentermiskeadmitansnårvarmentransporteresviastråling.Beregnendvidereetudtrykforelektrodernestermiskeadmitans.

Ikammeretkanluftensvarmeledningsevneændresvedatændretrykket,hvordanafhængervarmeledningskoefficienten,

λ,aftrykket?.

3


U

R(T)

V

R pre

0

Figur4:Målekredsløb,Uerinputspændingen,Verdenmåltespændingen

overformodstandenR pre ogR(T)erdentemperaturafhængigemodstandaf

NTCmodstanden.

Overvejhvordandenteoretisketermiskeimpedansserudsomfunktionaffrekvenshvismanharetharmoniskstrøminput.

Iøvelsenskalimåledensamledevarmeledningsevnevedforskelligetrykog

temperaturer,overvejhvordanivilbestemmedeforskelligeindividuellebidraghertil.

Perlenselektriskstrøm/spændingsforholdmålesv.h.a.kredsløbetsomsespå

figur4.NTCmodstandenanbringesiensåkaldtspændingsdelersammenmed

enkendtformodstand,R pre ,somerentemperaturuafhængig.

3 Detelektriskesetupogdegrundlæggendeligninger

SpændingsgeneratorenerspecielbyggetafværkstedetoglevereentidsafhængigspændingU(t)

= Acos(t),hvoramplitudenAkanvælgesmellem0og

10Vi256step,mensfrekvensen νkanvarieresmellem1mHzog100Hz.

DentidsafhængigeoutputspændingU(t)målesv.h.a.et26bitdigitalvoltmeter.Målingerneforeliggersometarrayaf512målingertagetmedensafstand

overenperiodeafinputsignalet.Ikonstruktionenafopstillingenerdergjort

megetforatholdestyrpåfasenmelleminputspændingenogdenmåltespænding.

4


Opgave

Udledspændingsdelerformlen:

V(t) =

R pre

U(t). (1)

R pre +R(T(t))

PerlenstemperaturafhængighedkanbeskrivessomR(T) =R ∞ e T a/T ,hvorfor

det?

Antagatperlenstemperaturertætpåkryostattemperaturen,T 0 ,ogudtryk

Rsomfunktionaf ∆Ttilførsteorden,somR = R 0 (1 + α∆T)(hvor ∆Ter

afvigelsenfrakrysotattemperaturen).HvadudtrykkerR 0 ?

Visattemperaturkoefficienten αkanfindessom α = dlnR

dT ,ogopskriveet

udtrykfordensafhængighedafT,R ∞ ogT a .

UdnytnudenneførsteordensapproksimationtilatopskriveV(t)somfunktion

afU(t)ogR(T)til1.ordeni∆Tsom:

V = 1 (

1 − Aα )

A +1 1 +A ∆T U. (2)

Udledendeligtfølgendetoudtrykforeffektenafsatiperlen,

(

1 A

P =

R pre (1 +A) 2 1 + 1 −A )

1 +A α 1∆T U 2 (tilførsteordeni∆T) (3)

P =

(U −V)V

, (4)

R pre

hvaderfordelenvedhvertafdissetoudtryk?

4 Etkortintermezzoomkompleksnotation

Idetfølgendebrugervikompleksnotationtilatrepræsentereetperiodisksignal.Detteharduformodentligstøtpåfør,menidennesammenhængervi

nødttilatværelidtmeregrundige.Detteskyldesatsystemetikkeerlienært

ogviderfor,somdetsenerevilbliveklart,ernødttilateksplicitopskrivedet

reelletidsafhængigeperiodiskesignal.

EtperiodisksignalA(t)kangenereltskrivessomensumafharmonisketermer:

A =A 0 + |A 1 |cos(ωt + φ 1 ) +... + |A n |cos(nωt + φ n ) (5)

5


hvorA 0 ,|A k |erreelleamplituderog φ k faserne.Etsådansumafharmoniske

termerkanskrivessom(hvisduikkekansedetteumiddelbartsåregnpådet)

A = 1 2

(

A 0 +A 0 + |A 1 |e i(ωt+φ 1) + |A 1 |e −i(ωt+φ 1) +... + |A n |e i(nωt+φ n) + |A n |e −i(nωt+φ n) ) .

VedatintroduceredenkomplekseamplitudeA k = |A k |e iφ kogenkortnotation

E k =e ikωt kansummenskrivessom

A = 1 2 (A 0 +A 1 E 1 +... +A n E n +c.c.), (7)

hvor +c.c.betyderatmanskallæggedenkomplekstkonjugeredeafalletermer

iparentesentil(inklusivafdenreellekonstant).

Etparregnereglersesatgælde(overbevisdigomdet):

E 0 =1,E k E l =E k+l ,andE k E ∗ l

=E k−l .

(6)

Opgave

LadA = 1 2 (A 0 +A 1 E 1 +c.c.)ogB = 1 2 (B 0 +B 1 E 1 +c.c.),beregnA ·Bog

udtrykdetidenovenståendenotation(dvs.angivedekomplekseamplituder).

5 Fratidsdomænetilfrekvensdomæne

VimålersombeskrevetdettidsafhængigesignalV(t),nårmanpåtrykkeret

periodisksignalU(t).Viønskeratomsættedettesignaltilensumafharmoniskebiddrag.Dettegøresicomputerenvedatbrugeensåkaldt„FastFourier

transform“(FFT).

Imatlabserdetsåledesud

x=fread(multi,512,’int32’)*iscale;

xfft=fft(x)/256;

Førstelinjehenterde512målingerafspændingen(dennegangesmedenfaktor

somstammerfravoltmeteret).IandenlinjetagesdendiskreteFouiertransform

afdettesignal(foratfådeabsolutteværediertilatpasseskalmandividere

meddethalveantalpunkter(seevt.matlabhelpsidenomfft)).Resultateter

etarrayhvor1.pladsindenholder2gangeamplitudentilden0’teharmoniske,2.pladsendenkomplekseamplitudetilden1.harmoniske,3.pladsenden

komplekseamplitudetilden2.harmoniskeogsåvidere(grundentilatvifår

2gangeamplitudentilden0’teharmoniskeliggeidefinitionenafdenFouiertransformerende,hvilketviikkekommernærmereindpåher).Etsimple

eksempelsesifigur5.

6


%number of points

n=512

% array with evenly spaced points between 0 and 2pi

x=linspace(0,2*pi,n)

%A function

y=1+0.5*cos(x+12/180*pi)+0.75*cos(2*x+30/180*pi)

% the FFT transform scaled by n/2

yfft=fft(y)/n*2

2.5

2

1.5

Real(y)

1

0.5

0

−0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

nr

0.4

0.3

Imag(y)

0.2

0.1

0

−0.1

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

nr

Figur5:Eksempelpådeværdiersomfremkommeriresultatarrayetefteren

FFTtransformationafetsignalsampletoverenperiode.Herviseskundeførste5arraypladser.

7


Idetfølgendearbejderviudelukkendeifrekvensdomænet.Videfinerealtså

generelt(hvorderkunermedtagetoptil4.ordensled)

V(t) =

U(t) =

P(t) =

∆T(t) =

1 2 (V 0 +V 1 E 1 +V 2 E 2 +V 3 E 3 +V 4 E 4 +c.c.)

1

2 (U 0 +U 1 E 1 +U 2 E 2 +U 3 E 3 +U 4 E 4 +c.c.)

1

2 (P 0 +P 1 E 1 +P 2 E 2 +P 3 E 3 +P 4 E 4 +c.c.)

1

2 (T 0 +T 1 E 1 +T 2 E 2 +T 3 E 3 +T 4 E 4 +c.c.).

Ligeledesdefineresdentermiskeimpedansforalledeharmoniske,såviharat

.

Z th,1 = U 1 /P 1

Z th,2 = U 2 /P 2

.

.

Opgaver

GenereltmålervidenfrekvensafhængigetermiskeimpedansZ th,i (ω).Hvader

sammenhængenmellemZ th,1 (ω)ogZ th,2 (ω)?.

Overbevisdigomatdeværdiersomsesifigure5passermeddenfunktion

somerblevettransformeret.

6 Kalibreringafperlenstemperaturafhængigemodstand

NårperlensidderikryostatenkandennestemperaturafhængigemodstandbestemmesvedatmåleVvedforskelligetemperaturerogpåforhåndmåleUog

R pre somikkeafhængeraftemperaturen.NårRpådennemådemålesvedat

sendeenstrømgennemdenne,vilperlenikkehavesammetemperatursom

kryostaten.

Antagidetfølgendeatgeneratorener„perfekt“detvilsigeatdenlevereetrent

harmonisksignal,U = 1 2 (U 1E 1 +c.c.),ogatdenmåltespændingkanskrives

somV = 1 2 (V 0 +V 1 E 1 +c.c.)(detvilsigeatviserbortfraevt.højereordens

harmoniskeled).

8


Opgaver

VisatDCamplitudeafvarmeeffektenkanskrivesom:

P 0 = 1

4R pre

((U 1 −V 1 )V ∗ 1 + (U∗ 1 −V∗ 1 )V 1) (8)

Visatdenførsteharmoniskeidetmåltesignal(V 1 )kanskrivessom

V 1 = 1 (

U

A +1 1 −


1 +A T 0U 1 − 1 )


21 +A T 2U1


(9)

(hvorA=R 0 /R pre ).

Udtrykvarmeeffektenfraperlensomenharmoniskeserievedatbrugeligning

4,hvaderdedominerendeled?Hvordankommertemperaturentilatvariere

påperlen(hvilkeledskalmedtageshvisdenneskrivessomensumafharmoniskeled).

VedatmålevedforskelligeamplituderafUkanmanvedekstrapolationbestemmeRveddenaktuellekryostattemperatur,hvordan?(Bemærkatledet

1

21+A AαT

2U1 ∗kanantagesatværelille).

DeterpåbaggrundafdetteudtrykogsåmuligtatfindeDCniveauetafden

termiskeimpedans(Z 0 ),hvordan?

7 3ωmetoden

Viharnu(forhåbentlig)setatetrentharmoniskinput,giveranledningtilen

varmestrømsomvarieresom2ω,ogdermedtilentemperatursomvarieremed

2ω.Damodstandenertemperatureafhængig,vildensmodstandogsåvariere

med2ω.SpændingsfaldetoverdenergivevedOhms-lov(produktetafmodstandogstrøm)ogdastrømmenharetdominerende1.harmoniskled,fåset3

harmoniskledispændingenovermodstanden.

Mankanaltsåfindetemperaturamplitudenvedatstudereden3.harmoniskei

detmåltesignal.

Opgave

Visatamplitudenafden3.harmoniskeidetmåltesignal(V 3 )kanskrivessom

V 3 = − 1 2


(A +1) 2T 2U 1 . (10)

9


Visdesudenatamplitudentilden2.harmoniskeivarmeeffektenkanskrives

som:

P 2 = 1

2R pre

(U 1 −V 1 )V 1 . (11)

Udnytligning8,9,10og11,tilatfindedenfrekvensafhængigetermiskeimpedansogDCimpedansen.

Vedhvilketermiskfrekvensevalueresdenfrekvensafhængigetermiskeimpedans?

8 Øvelse

1.øvelsesgang

NTC-modstandenmonteresienprøveholdersammenmedformodstanden

R pre ,hvisværdi(ca.10Kohm)betstemmesv.h.a.universalmeteret.Prøveholderenanbringesikryostatenogforbindestilmåleopstillingen,hvisvirkemåde

afprøves.

NTC-modstandenstemperaturafhængighedfindesvedatmåleVogUved3

forskelligeamplituder(50,75og100)vedtreforskelligetemperaturer(300K,

275Kog250K).Målingenforetagesved10Hz.Påbaggrundafdissemålinger

findesT a ogR ∞ samtetførstegætpådentermiskeDCimpedans,samtDC

temperaturamplituden(overvejhvordandennehængersammenmedamplitudenafden2.harmoniskevarmestrøm).

Overvejhvordanvi„online“kanfølgeomtemperaturenerkommetiligevægt.

2.øvelsesgang

Vedenpassendetemperaturf.eks.200KmålesVogUsomfunktionaffrekvens

iintervallet0.1til100Hz,ogresultatetanalyseres.

Kammeretevakueresogmålingegentages.

HvisIvilkanvinulaveennogetlængeremålingoveretpardage,såvifår

bedrelavfrekvensdata.

Dentermiskeimpedansberegnesnupåtomåderh.h.v.ved„DC-metoden“og

„3ω-metoden“.

Luftensvarmeledningsevneogperlensvarmekapacitetbestemmesudfrade

tomålinger.

10


9 Baggrundslitteratur

Denedenståendeartiklerindenholderendelafbaggrundenfordendiskuteredemetode.Deterikkenødvendigtatlæsedisseforatlaveøvelsenellerskrive

rapportenmenreferencernetagesmedherforforstændighedensskyld.

Målingafdenfrekvensafhængigevarmefyldevedbrugafperlenogenmeget

tyktvæskelag.Indenholderendetaljeretgennemgangaf3ωteknikken:

• BoJakobsen,NielsBoyeOlsen&TageChristensen.Frequencydependent

specificheatfromthermaleffusioninsphericalgeometry.arXiv:0809.4617v1

[cond-mat.soft],2008.

Målingafdenfrekvensafhængigevarmefylde,vedbrugafperlenogettyndt

væskelag:

• TageChristensen&NielsBoyeOlsen.Thermoviscoelasticityofglassformingliquids.J.Non-Cryst.Solids,1998,235–237,296–301.

Detaljeretbeskrivelseafkryostatogelektrisksetupfindesifølgendetoartikler:

• B.Igarashi,T.Christensen,E.H.Larsen,N.B.Olsen,I.H.Pedersen,T.

Rasmussen&J.C.Dyre.Acryostatandtemperaturecontrolsystemoptimizedformeasuringrelaxationsofglass-formingliquids.Rev.Sci.Instrum.,2008,79,045105

• B.Igarashi,T.Christensen,E.H.Larsen,N.B.Olsen,I.H.Pedersen,T.

Rasmussen&J.C.Dyre.Animpedance-measurementsetupoptimized

formeasuringrelaxationsofglass-formingliquids.Rev.Sci.Instrum.,2008,

79,045106.

Enintroduktiontilmodelleringviaelektriskenetværksmodeller,kanfindesi:

• „NotertilFysikB–Kurset“,NielsBoyeOlsen.(Kanfinespåminhjemmesidehttp://dirac.ruc.dk/~bojunder„Teaching“)

11

More magazines by this user
Similar magazines