Heile notatet i pdf-format

hisf.no

Heile notatet i pdf-format

NOTAT

Postboks 133, 6851 SOGNDAL telefon 57676000 telefaks 57676100

TITTEL NOTATNR. DATO

Supplerende stoff til geometriske

emner i Nygaard, Hundeland,

Pettersen: AHA

24.05.02

PROSJEKTTITTEL TILGJENGE TAL SIDER

Supplerende stoff til undervisning i

geometriske emner i Matematikk 1

(Ma 300)

Åpen 29

FORFATTAR

Øistein Bjørnestad og

Frode Olav Haara

OPPDRAGSGJEVAR

FoU-delen av stillinga ved HSF

PROSJEKTLEIAR/-ANSVARLEG

Øistein Bjørnestad og

Frode Olav Haara

EMNEORD

Geometri

SAMANDRAG / SUMMARY

I læreverket AHA er noen av de geometriske emnene til dels

behandlet for knapt, og i noen grad unødvendig kryptisk og

omstendelig presentert.

Notatet legger vekt på å behandle de aktuelle emnene mer utførlig og

forståelig, og har fokus mot bruk i undervisning i Ma 300.

PRIS ISSN ANSVARLEG SIGNATUR

kr 35,-

0806-1696


Forord

Dette heftet inneholder stoff vi har hatt nytte av å bruke i tillegg til geometristoffet i læreboka

O. Nygaard, P.S. Hundeland og P. Pettersen, Aha, 2. utgave 1999.

Kapitlene 1 og 2 er skrevet av Øistein Bjørnestad, kapitlene 3 – 5 av Frode Olav Haara.

HSF ALU

22.05.02

Øistein Bjørnestad

Frode Olav Haara


Innhold

1 Litt trigonometri 1

2 Similariteter 9

3 Flislegging/tesselering av regulære mangekanter i planet 13

4 Symmetrigrupper og plane, periodiske båndmønstre 15

5 Øvingsoppgaver til symmetrigrupper og plane, periodiske båndmønstre 24

______


1

Litt trigonometri

Litt trigonometri

Notat til Aha, kapittel 10

Trig1 Hva er trigonometri?

Ordet kommer fra to greske ord, trigonon, som betyr trekant, og metron, som

betyr mål (det som brukes til å måle noe med). Trigonometri er en del av

geometrien som vi bruker til å regne ut

- lengder av sider i trekanter

- størrelser av vinkler i trekanter

når vi kjenner lengder av andre sider, evt. størrelser av andre vinkler i vedkommende

trekanter.

__________________________________________________________________________________________

Trig2 De viktigstebegrepene

Vi tenker oss en rettvinklet trekant. Se figur 1. Merk betegnelsene katet og

hypotenus. Det er bare i rettvinklede trekanter vi har kateter og hypotenus.

Hver av de to spisse vinklene i trekanten har en motstående katet og en hosliggende

katet.

C

a, motstående katet til ∠v

b, hypotenus

B

v

1 Terminologi for rettvinklede trekanter

A

c, hosliggende katet til ∠v

Lær deg de følgende begrepene:

tangens til

motstående katet til v

v = tan v =

=

hosliggende katet til v

a

c

sinus til

motstående katet til v

v = sin v =

=

hypotenusen

hosliggende katet til v c

cosinus til v = cos v =

= .

hypotenusen b

Vi sier at tangens til v er forholdet mellom (lengden av) motstående katet til

v og (lengden av) hosliggende katet til v, og tilsvarende for sinus til v og

cosinus til v. Tangens, sinus og cosinus til en vinkel er altså definert som

forhold mellom lengdene av sider i den rettvinklede trekanten vinkelen hører

til. Når du etter hvert skaffer deg kunnskaper om formlike trekanter, vil du

a

b


2

Litt trigonometri

A

45°

2 Figur til beregning av tan 45 °,

sin 45 ° og cos 45 °.

B

C

finne at tangens, sinus og cosinus til en vinkel v er tall som ikke avhenger av

størrelsen til den trekanten v hører til, men bare avhenger av formen på

trekanten. Du vil skjønne at tangens, sinus og cosiunus til v ikke avhenger av

annet enn størrelsen på vinkelen v! – Vi kan altså operere med tan 45°

,

sin 30° , cos 15°

, osv. uten å henvise til noen (rettvinklet) trekant i det hele

tatt. At tangens, sinus og cosiunus til v ikke avhenger av annet enn størrelsen

på vinkelen v betyr at disse er funksjoner av vinkelen v (vi kommer til

funksjoner senere).

Du finner de trigonometriske funksjonene tangens, sinus og cosinus på

de fleste lommeregnere. Du finner også de omvendte funksjonene. Dersom

du kjenner f.eks. tangens til en vinkel v, men ikke størrelsen på v, da kan du

finne v ved hjelp av en slik omvendt trigonometrisk funksjon. Et eksempel.

La oss si at tangens til en vinkel v er lik 1. Vi finner v slik: Tast først inn

verdien av tangens, 1. Trykk så tasten som kan hete shift eller inv, og til

slutt tasten tan. Du får fram 45 i vinduet. Det betyr at den vinkelen som har

tangens lik 1 har størrelsen 45 ° .

Eksempel 1 Se figur 2. Som sagt avhenger tangens, sinus og cosinus til en

vinkel (som her er på 45 ° ) bare av størrelsen på vinkelen. Det innebærer at

størrelsen på den rettvinklede trekanten vi plasserer vinkelen i er uten

betydning. Da kan vi gå ut fra at de to katetene begge har lengde 1. Hypotenusen

får da lengden

2 2

1 + 1 = 2.

Nå kan vi regne ut tan v , sin v og

cos v :

1

tan v = = 1 ,

1

1 2 2

sin v = = = ≈ 0,7071,

2 2 ⋅ 2 2

2

cos v = ≈ 0,7071.

2

__________________________________________________________________________________________

Øvinger til Trig2

A

3 Til øving trig2.1

D

C

B

Trig2.1 På figur 3 er ∠BAC = 20 ° og ∠BAD = 40 ° . Mål AB, BC og BD så

nøyaktig du kan, og regn ut tangens, sinus og cosinus til 20 ° og 40 ° . Kontroller

ved å bruke kalkulator.

Trig2.2 Vi skal finne avstanden mellom A og B på figur 4. Punktene ligger

på hver sin side av en fjord. Vi skal finne avstanden uten å krysse fjorden. Vi

befinner oss på samme side av fjorden som A. Vi ordner oss først med et

punkt C som ligger slik at ∠BAC = 90 ° . Avstanden AC måler vi til 265 m.

Vinkelen C måler vi til 74 ,6°

. Finn avstanden mellom A og B ved hjelp av

trigonometri. [AB ≈ 962 m.]

C

B

A

4 Til øving trig2.2


3

Litt trigonometri

Trig2.3 I trekanten på figur 5 gjelder ∠A = 90 °, ∠B = 28,2 ° og AC = 12,2

m. Finn kateten AB og hypotenusen BC uten å bruke Pytagoras' setning.

[AB ≈ 22,8 m. BC ≈ 25,8 m.]

C

B

A

A

B

C

5 Til øving trig 2.3 6 Til øving trig2.4

Trig2.4 I trekanten på figur 6 har vi ∠A = 90 °, AB = 9 m og BC = 12 m.

Finn vinkelen C ved å bruke lommeregneren, og bruk så den verdien du har

funnet for vinkelen C til å finne lengden av AC ved hjelp av trigonometri.

[∠C ≈ 48,6 °, AC ≈ 7,94 m.]

Trig2.5 Punktene A og B på figur 7 ligger på hver sin side av en trang dal.

Avstanden AB skal finnes på grunnlag av disse måleresultatene:

AC = 210 m, ∠A = 142 °, ∠C = 25,4 °.

Hint: Tenk deg nedfelt normalen fra A på siden BC i trekanten. Da får du

rettvinklede trekanter og kan bruke trigonometri. [AB ≈ 413 m.]

A

B

C

7 Til øving trig2.5

__________________________________________________________________________________________


4

Litt trigonometri

Trig3 Mer om tangens,

sinus

og cosinus

Hva med for eksempel tangens til en vinkel som er større enn 90 °? Det viser

seg snart at vi kunne ønske å vite svar på slike spørsmål. Men vi har definert

tangens, sinus og cosinus ved hjelp av en rettvinklet trekant. Dersom en trekant

har en vinkel som er større enn 90 °, da kan den ikke være rettvinklet.

Vi er kommet i en situasjon som kaller på det som Piaget kalte akkomodasjon.

Vi må utvide begrepene.

Vi har nevnt at tangens, sinus og cosinus til en vinkel ikke avhenger av

størrelsen på den rettvinklede trekanten vi bruker til å definere disse

begrepene. Da kan vi spesielt velge en rettvinklet trekant der hypotenusen

har lengde 1. Vi plasserer den i et rettvinklet koordinatsystem slik som vist

på figur 8.

y

y

(x,y)

1

v

x

x

8 Til utvidelsen av begrepene tangens, sinus og cosinus

For en vinkel i første kvadrant gjelder dette:

y

tan v = ,

x

y

sin v = = y , 1

x

cos v = = x . 1

Heretter lar vi disse definisjonene gjelde for alle vinkler der det er mulig

(den eneste restriksjonen er at tan v ikke er definert dersom x = 0).

__________________________________________________________________________________________


5

Litt trigonometri

Øvinger til Trig3

Trig3.1 Vi har

tan

v = tan( v + 180°

), sin v = sin( 180° − v)

, v = cos( − v)

Forklar ved hjelp av figur 8.

cos .

Trig3.2 Bruk lommeregneren til å finne tangens, sinus og cosinus til vinklene

98 °, 225 ° og 309 °. Forklar de fortegnene du får.

__________________________________________________________________________________________

Trig4 Sinusproporsjonen

C

Det er ønskelig å kunne gjøre utregninger også for trekanter som ikke er rettvinklede.

Men for å kunne bruke tangens, sinus og cosinus i slike tilfeller må

vi gjøre et "triks". Vi må i utgangspunktet innføre noen hjelpelinjer i

figurene slik at vi skaffer oss rettvinklede trekanter. Dette "trikset" skal vi

bruke i dette avsnittet og det neste for å skaffe oss to nyttige redskaper til

trekantberegninger: sinusproporsjonene og cosinussetningen.

En proporsjon er en ligning som sier at to forhold er like store.

Et forhold mellom to størrelser s og t uttrykkes ved s eller s : t. For

t

eksempel er tangens til en vinkel definert som forholdet mellom to

sider i en rettvinklet trekant.

Sinusproporsjonen. I en trekant er det samme forhold mellom to

sider som mellom sinus til deres motstående vinkler.

Denne påstanden trenger et bevis. Se figur 9.

C

b

h

a

a

h

b

a

A

c

B

D

A

c

B

9 Til beviset for sinusproporsjonen

a) b)

Tar vi for oss to vinkler i en trekant, A og B, så kan det hende at de

begge ligger i intervallet (0,90°]. Slik er det på figur 9a. Alternativt er

én av vinklene stump, dvs. den ligger i intervallet (90°,180°). En slik

situasjon har vi på figur 9b. Vi må gjennomføre beviset for de to

situasjonene hver for seg.

a) Vinklene A og B ligger begge i intervallet (0,90°].

sin A = h , sin B = h ,

b

a

h

sin A b

sin B

= a

h

= b

.

a


6

Litt trigonometri

b) Vinkel A er stump, vinkel B er spiss.

h

sin ∠DAC = , sin B = h .

b

a

Nå har det seg slik at vinklene A og DAC har samme sinus. Slik

er det alltid med såkalte supplementvinkler, dvs. to vinkler som

har sum 180°. Dette kan en overbevise seg om ved hjelp av figur

9. Altså,

h

sin A = sin ∠DAC

= .

b

Dessuten,

h

sin B = , slik at

a

sin A

sin B

Det var det vi skulle vise.

=

h

b a

= .

h b

a

Hva kan vi så bruke sinusproporsjonen til? Vi kan bruke den til å finne

ukjente sider og vinkler i trekanter i tre typer av situsjoner:

i) Vi kjenner én side og to vinkler i trekanten.

Eksempel. I trekanten ABC vet vi at a = 1,496 m, B = 11,19°,

C = 93,21°. Vi skal finne vinkelen A (trivielt) og sidene b og c.

Løsning:

A = 180° - (11,19° + 93,21°) = 75,6°.

b B

= sin ,

a sin A

b sin 1119 ,

,

1496 , m = °

sin 75,


b = 1,496 m ⋅ 0 , 19406 = 0300 , m.

0,96858

c C

= sin ,

a sin A

c sin 93,21

,

1496 , m = °

sin 75,


c = 1,496 m ⋅ 0 ,99843

= 1542 , m.

0,96858

ii)

Vi kjenner to sider og den motstående vinkel til den største av

disse sidene.

iii) Vi kjenner to sider og den motstående vinkel til den minste av

disse sidene.

En bør tegne en hjelpefigur før en begynner på regnearbeidet.

__________________________________________________________________________________________


7

Litt trigonometri

Trig5 Cosinussetningen

eller

den utvidede

Pytagoras'

setning

I rettvinklede trekanter gjelder Pytagoras' setning:

2

1

2

2

2

hypotenus = katet + katet .

En liknende setning gjelder for trekanter helt allment. Det skal vi nå

vise. Se figur 10. Vi konsentrerer oss om vinkelen A. I a) på figuren

C

b

h

a

a

h

b

a

x

x

A

D

c

B

D

A

c

B

10 Til beviset for cosinussetningen

a) b)

er A mindre enn 90°, i b) større enn 90°. (Tilfellet A = 90° dekkes av

Pytagoras' setning.)

a) Vinkelen A er spiss. På figur 10 a) ser vi at

2

2

2

2 2 2

2 2

( c − x) + h = c − 2cx

+ x h

a = BD + CD =

+

2 2 2

= ( x + h ) + c − 2cx

2 2

= b + c − 2cx.

.

Nå er cos A = x . Dermed, x = b⋅cos A og

b

b) På figur 10 b):

2

2

2 2 2

a = b + c −2bc⋅cos A.

2

2 2 2

2 2

( c + x) + h = c + 2cx

+ x h

a = BD + CD =

+

2 2 2

= ( x + h ) + c + 2cx

2 2

= b + c + 2cx.

x

Merk at cos A = − . Dette gir x =−b⋅cos A og, akkurat som i tilb

felle a),

2 2 2

a = b + c −2bc⋅cos A.

Denne formelen uttrykker den såkalte utvidede Pytagoras' setning.

Fra før har vi Pytagoras' setning, som sier at når vinkelen A er rett

2 2 2

(90°), så gjelder a = b + c . Setningen

2 2 2

a = b + c −2bc⋅cos A.

gjelder for alle vinkler A mellom 0° og 180° (husk at cos 90° = 0).

Siden denne setningen har Pythagoras' setning som spesialtilfelle, er

det rimelig å bruke betegnelsen den utvidede Pytagoras' setning på


8

Litt trigonometri

den. (Vi kan se det slik at vi har utvidet Pytagoras' setning fra bare å

gjelde tilfellet A = 90° til å gjelde alle vinkler A som kan forekomme i

en trekant.) Som nevnt i overskriften kalles setningen også cosinussetningen.

Hva kan vi så bruke cosinussetningen til? Vi kan bruke den i

trekantberegninger, til

i) å finne en ukjent side når to sider og vinkelen mellom dem er

kjent.

Eksempel. a = 122,4 m, b = 94,3 m, C = 91,7°. Vi kan finne

lengden av siden c:

2 2 2

c = a + b −2ab⋅cos

C

2

2

= ( 122,4 m) + ( 94,3 m) − 2 ⋅ ( 122,4 m) ⋅ ( 94,3 m) ⋅ cos 91, 7°

,

c = 156,7 m.

ii) å finne ukjente vinkler når alle tre sider er kjent.

__________________________________________________________________________________________

Øvinger til Trig4 og Trig5

Trig5.1 Oppgave med bruk av sinusproporsjonen: Finn de øvrige

sidene og vinklene i trekanten ABC når a = 513,8, c = 418,7 og C =

51,76°.

[ A 1 = 74,54°

, B1

= 53,70°

, b1

= 429,5, A2

= 105,46°

, B2

= 22,78°

,

b 2 = 206,4. ]

Trig5.2 Oppgave med bruk av cosinussetningen:

a) Finn de øvrige sidene og vinklene i trekanten ABC når

a = 6,017, c = 4,828 og B = 64,12°.

[b = 5,843, A = 67,86°, C = 48,02°]

b) Finn vinklene i trekanten ABC når a = 10,44, b = 87,19 og

c = 87,45.

[A = 6,85° B = 85,15°, C = 88,00°.]

Trig5.3 I et trapes ABCD er sidene AB og CD parallelle. AB = 10,000

cm; AD = 5,000 cm; DC = 8,000 cm og ∠A = 35,00 °.

a) Finn lengden av siden BC og de ukjente vinklene i trapeset.

[BC = 3,553 cm, ∠B = 126,15 °, ∠C = 53,86 °, ∠D = 145 °.]

b) Finn arealet av trapeset.

[25,811 cm 2 .]

Trig5.4 I en trekant ABC har vi AB = 8,0 cm, BC = 5,0 cm og

∠A = 30 °. To trekanter tilfredsstiller disse betingelsene. Finn (ved

regning) siden AC og de ukjente vinklene i hvert tilfelle.

[i) AC = 3,9 cm, ∠B = 23 °, ∠C = 127 °.

ii) AC = 9,9 cm, ∠B = 97 °, ∠C = 53 °.]

__________________________________________________________________________________________


9

Similariteter

Similariteter

Notat til Aha, kapittel 10

Sim1 Similaritet

eller formlikhet

Aha legger opp til en moderne behandling av kongruens og formlikhet. En

sier her at to figurer er kongruente dersom det finnes en såkalt isometri (også

kalt kongruensavbildning) som avbilder den ene figuren på den andre. På

liknende måte sier en at to figurer er formlike dersom det finnes en såkalt

similaritet som avbilder den ene figuren på den andre.

Den moderne behandlingen av disse temaene er nok elegant, og rykker

det svært viktige begrepet avbildning i forgrunnen. Men det er ikke sikkert at

denne behandlingen er lett tilgjengelig på det nivået som ellers preger

Matematikk 1. Når det gjelder formlikhet, også kalt similaritet, skal vi i

stedet starte med en mer tradisjonell fremstilling. Der sier en at to figurer er

formlike dersom de oppfyller visse egenskaper som ofte er lette å sjekke.

__________________________________________________________________________________________

Sim2 Formlike trekanter

I dette avsnittet gir vi en tradisjonell fremstilling av formlikhet for trekanter.

I avsnitt Sim3 omtaler vi formlikhet på en måte som kan være lettere tilgjengelig

for elever i grunnskolen. Endelig viser vi i avsnitt Sim4 til mer

"moderne" synsmåter på formlikhet.

Definisjon 1. To trekanter er formlike dersom de har to par like store vinkler.

Dersom trekantene er slik at det er to par like store vinkler, da er også vinklene

i det tredje paret like store (siden summen av vinklene i enhver trekant

er 180 °). Når to trekanter er formlike, finnes det et samsvar eller en korrespondanse

mellom dem. Dersom ABC er den ene av de to trekantene, da kan

vi sette navn A’, B’ og C’ på hjørnene i den andre trekanten slik at ∠A =

∠A’, ∠B = ∠B’ og ∠C = ∠C.’ Da kan vi også snakke om samsvarende

sider AB – A’B’ osv. Nå skal vi vise at i formlike trekanter er forholdet

mellom (lengdene av) samsvarende sider det samme:

A'

B'

B'

C'

A'

C'

= = = k .

AB BC AC

Det felles forholdstallet mellom samsvarende sider har vi altså kalt k.

For å kunne vise (bevise) at forholdet mellom samsvarende sider er det

samme for alle tre parene, skal vi ta som utgangspunkt disse setningene:

- Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende

vinklene like store, og omvendt: når to linjer skjæres av en tredje linje

og samsvarende vinkler er like store, da er de to overskårne linjene parallelle.

(Se figur på neste side.)


10

Similariteter

v

u

Vinklene u og v er samsvarende vinkler. (Det er også tre andre par av samsvarende

vinkler på figuren.)

- Hvis to trekanter har samme høyde, da er forholdet mellom arealene

deres lik forholdet mellom lengdene av grunnlinjene.

h

g 1

g 2

1

1

= g h , A2

= g 2h

2

2

A1

1

A

A

1

2

1

g1h

2 g1

= = .

1 g

g

2

2h

2

Teorem. Gitt to trekanter ABC og A’B’C’ slik at ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’

A ' B'

B'

C'

A'

C'

og ∠C = ∠C.’ Da gjelder = = .

AB BC AC

C, C'

C'

B'

A'

B'

A

A'

B

Bevis. Vi tenker oss trekanten A’B’C’ flyttet bort på trekanten ABC slik at C’

faller sammen med C, C’A’ faller langs CA og C’B’ faller langs CB. Vi

finner:


11

Similariteter

A'

C'

arealet av ∆A'

B'

C'

arealet av ∆B'C'

A'

=

=

AC arealet av ∆AB'C

arealet av ∆B'

A'

A + arealet av ∆B'CA'

arealet av ∆B'C'

A'

=

arealet av ∆B'

A'

B + arealet av ∆B'CA'

arealet av ∆B'C'

A'

=

arealet av ∆BB'

A'

+ arealet av ∆B'CA'

B ' C'

= .

BC

B'

C'

A'

B'

På liknende måte finner vi at = .

BC AB

arealet av ∆B'

C'

A'

=

arealet av ∆BCA'

Hva bruker vi så dette til? I oppgaver er vi ofte i stand til å vise at to

trekanter ABC og A'B'C' har parvis like store vinkler. La oss så si at vi kjenner

lengdene av AB, BC og A'B'. Da kan vi bruke teoremet ovenfor

A ' B'

B'

C'

A'

C'

( = = ) til å finne lengden av B'C'. Tilsvarende dersom det er

AB BC AC

lengdene av andre sider som er kjente.

_____________________________________________________________________________________________

Sim3 Formlikhet

som forstørrelse/forminsking

Definisjon 2. To trekanter ABC og A'B'C' er formlike dersom de er kongruente

eller A'B'C' er en forstørrelse eller en forminsking avABC.

Vi kjenner fenomenet forstørrelse/forminsking fra vår omgang med

kopimaskiner. For eksempel, hvis vi forminsker til 71 % av originalen, da vil

alle avstander på originalfiguren bli forminsket til 71 % av hva de var.

Dermed, hvis P og Q er to punkter på originalen og P' og Q' er de tilsvarende

punktene på kopien, da vil ha

P'

Q'

= 0,71 eller P' Q'

= 0, 71⋅

PQ .

PQ

Dersom vi forminsker/forstørrer med en annen brøk enn 71/100 (71 %),

la oss si med brøken k, da vil vi ha

P'

Q'

= k

PQ

eller

P' Q'

= k ⋅ PQ .

Vi "ser" videre at samsvarende vinkler i original og kopi må være like

store. Ellers ville vi ikke ha en kopi men en fordreining av originalen. Men å

appellere til intuisjonen (vi "ser" ...) er ikke helt tilfredsstillende. Hos mange

vil det etterlate et inntrykk av at noe mangler. Derfor lar vi de tankene vi har

meddelt om forstørrelse/forminsking bare være en innledning til temaet

formlikhet som avbildning (neste avsnitt). Her blir nemlig disse tankene

strammet opp og konsekvenser av dem blir formulert og bevist.

_____________________________________________________________________________________________

Sim4 Formlikhet

som avbildning

I Aha er begrepet avbildning definert ved hjelp av begrepet funksjon. Det lar

seg høre, for begrepsmessig er funksjon og avbildning samme tingen. Men i

geometrien bruker en betegnelsen 'avbildning', ikke betegnelsen 'funksjon'.

Siden vi i dette kurset har plassert funksjonslæren etter geometrien, må vi

innføre begrepet avbildning på en litt annen måte.


12

Similariteter

Hva er en avbildning? La oss knytte an til forrige avsnitt og ta for oss

forminsking, et eksempel på en avbildning. Vi har en figur, originalen, og vil

skaffe oss en forminsking av denne. Den forminskede figuren er et bilde av

originalen. Til hvert punkt på originalen svarer et punkt på bildet.

Forskjellen mellom originalen og bildet er at avstanden mellom to og to

billedpunkter er en fast prosent, la oss si 71 %, av avstanden mellom de

tilsvarende punktene på originalen. Selve avbildningen er det som skjer med

punktene. Forminsking er ett eksempel. Forstørring er et annet. Dreiing,

forskyvning og speiling er andre eksempler. Men selvsagt kan vi tenke oss

mer komplekse avbildninger, for eksempel slike vi kjenner fra speil som

ikke er plane.

Vi sa ovenfor: "Til hvert punkt på originalen svarer et punkt på bildet".

En annen uttrykksmåte for det samme er denne: "Til hvert punkt på originalen

er det tilordnet et punkt på bildet". Lærebøker bruker ofte denne siste

uttrykksmåten.

Vi nevner en ting til. Når vi tenker original → bilde, tar vi ikke de øvrige punktene i

planet (eller rommet, alt ettersom) med i betraktningen. Men heretter skal vi tenke oss at

alle punktene i planet (eller rommet) blir berørt av avbildningen. Men punktene på

originalen er jo på et vis fremhevet i forhold til de andre punktene i planet, rett og slett ved

å tilhøre figuren. Likedan punktene på bildet. Vi avbilder alle punktene, men er egentlig

bare interessert i de punktene som utgjør originalfiguren og bildene av dem.

I matematikken er det vanlig å sette navn på avbildninger. Vi kunne for

eksempel kalle forminskingen i eksemplet vårt fm71. Dersom et punkt på

originalen kalles p, da blir tilsvarende punkt på bildet kalt fm71(p). Merk

denne skrivemåten.

La oss bruke betegnelsen d(P 1 ,P 2 ) for avstanden mellom punktene P 1

og P 2 .

Definisjon 3. En similaritet er en avbildning med følgende egenskap: Dersom

P 1 og P 2 er to vilkårlige punkter og P 1 ' og P 2 ' er billedpunktene ved

d(

P1

',

P2

')

denne avbildningen, da gjelder

= k , der k er et fast tall.

d(

P , P )

1

Kortere kan vi si at en similaritet er en avbildning som forminsker/forstørrer

alle avstander like mye.

Vi ser at en forminsking eller en forstørrelse nettopp er en similaritet.

Tallet k som gir forholdet mellom avstander i bildet og tilsvarende avstander

i originalen kaller vi av og til similaritetens konstant.

La oss nevne en form for avbildning som vi alle kjenner godt, nemlig

den som består i at et terreng avbildes på et kart. Vi snakker for eksempel

om målestokken 1 : 50000. Det betyr at 1 cm på kartet svarer til 50000 cm

(eller 500 m) i terrenget. Vi kan si dette annerledes: 1 cm i terrenget svarer

til 1/50000 cm på kartet. Vi skjønner at vi her har en avbildning med konstanten

1/50000. Målestokken 1 : 50000 eller 1/50000 er altså avbildningens

konstant.

En similaritet med konstant 1 kalles en isometri. Det er en avbildning

som bevarer avstander.

Definisjon 4. To trekanter (eller figurer generelt) er formlike dersom det

finnes en similaritet som avbilder den ene trekanten på den andre.

Se sidene 560–62 i Aha. Der er to viktige egenskaper ved similariteter

bevist. Vi ser at definisjon 4 er en omformulering og sammenfatting av

definisjon 1 og teoremet i avsnitt Sim2. For praktis oppgaveløsning i dette

kurset er de sistnevnte mer anvendelige enn definisjon 4.

_________________________________________________________________________________________________________

2


13

Flislegging/tessellering av regulære

mangekanter i planet

Flislegging/tessellering av

regulære mangekanter i planet

Tillegg til Aha, kapittel 10

Du har sikkert latt deg forundre over alle ulike typer fliser og belegningsstein som er å finne på ulike baderom,

svømmehaller, oppkjørsler, etc. Det virker som om det er en ubegrenset mengde ulike mønstre.

Dersom man åpner for å bruke "fliser" med forskjellig form alt etter behov (mosaikk), vil man fort få en mengde

ulike mønstre, men dersom man holder seg til bruk av mangekanter med bestemte former, vil det i essens ikke

være særlig mange flismønster å finne.

Bruk av regulære mangekanter til flislegging:

Dersom du tar deg en tur på den lokale flisbutikken vil du sannsynligvis finne fliser som er formet som regulær

trekant (likesidet trekant), regulære firkant (kvadrat, mest vanlig flistype?), regulær sekskant, samt kanskje

regulær åttekant og tolvkant.

Men du vil neppe finne fliser formet som en regulær femkant. Vi skal se på hvorfor.

Når du betrakter et flislagt gulv ser du at fliser møtes i et hjørne, for eksempel:

Rundt hjørnet hvor flisene møtes er det mulig å slå en sirkel. Dvs. at om dette hjørnet er det 360°. (I våre

eksempler ser vi at dette må stemme, da hjørnet i et kvadrat er 90°, og det er fire hjørner som møtes, dvs. at

summen av vinklene som møtes i et hjørne er 4⋅90° = 360°, og at sekskant-vinkelen som bidrar til å lage en sirkel

er 120°, og at 3⋅120° = 360°.)

Vi vet at en regulær mangekant har to spesielle egenskaper:

1) Alle sider er like lange.

2) Alle vinkler er like store.

Videre vet vi at vinkelsummen i en mangekant er gitt ved formelen (n-2 ⋅ 180°), der n er antall kanter/vinkler i

mangekanten.

Vinkelen som dannes på innsiden av to sidekanter i en regulær mangekant er da:

(n-2 ⋅ 180°) , der n er antall kanter/vinkler i mangekanten.

n

For at vi skal kunne danne et flismønster om et hjørne, må summen av vinklene som danner hjørnet være 360°,

ikke mer og ikke mindre.

For å sjekke om det er mulig å flislegge ved hjelp av regulære mangekanter, må vi altså sjekke om vinklene som

møtes i et hjørne til sammen er 360°. Dersom summen ikke blir 360° kan vi altså ikke legge flismønsteret, eller

tessellere flismønsteret som er et annet ord for det samme.

Noen fakta:


14

Flislegging/tessellering av regulære

mangekanter i planet

Dersom du vil bruke regulære mangekanter av bare en type, fins det bare tre typer mangekanter som vil tesselere;

likesida trekanter, kvadrat og regulære sekskanter. (Finn selv ut hvor det ikke er flere)

Det er mulig å flislegge ved blanding av ulike regulære mangekanter. Kriteriet er det samme; summen av

vinklene som danner et hjørne må være 360°. Dette kaller vi en semi-regulær flislegging.

Eksempel:

To regulære åttekanter og ett kvadrat:

Sum av vinkler som møtes i hjørnet:

2⋅135° + 1⋅90° = 360° (Det skal altså være mulig å legge dette mønsteret.)

Vi ser at mønsteret lar seg lage.

Her er det mulig å lage flere mønster. Det er bare å prøve seg fram. Pass bare på at sidekantene i de ulike

mangekantene er like lange, slik at hjørnene passer til hverandre.

Hva så med mønster som ikke er mulig å lage?

Her er tre regulære femkanter forsøkt lagt som fliser om et hjørne. Vi ser at det ikke fungerer, da det blir en stor

"glipe" oppe til venstre. Vi sjekker kriteriet om 360°: 3⋅108° = 324°

(Vi får altså for få grader!)

(Ikke er det nødvendig å sjekke med 4 femkanter heller, da det vil bli altfor mye…)

Kriteriet vårt gjelder altså.

Et "irriterende" unntak er det dog, og det er en fin, liten øvingsoppgave for arbeid med flislegging:

Finn den samlede vinkelsummen av vinklene som møtes fra to regulære femkanter og en regulær tikant. Forsøk

så å tegne dette flismønsteret. (Du vil oppdage at det ikke er mulig! Dette er altså et unntak fra regelen ovenfor.)


plane,

Symmetrigrupper og plane,

periodiske båndmønstre

15

Symmetrigrupper og

periodiske båndmønstre

Notat til Aha, avsnitt 10.5-10.6 og 12.9

Innledning

Symmetri knyttes ofte til utsmykning og stilistiske uttrykk. "Det var et symmetrisk bilde", og "For et usymmetrisk

hus!" er uttrykk som kan høres i dagligtalen. Vi har alle en formening om symmetri og "det symmetriske".

Dette kapittelet er tenkt som et forklarende tillegg til de deler av avsnitt 10.5, 10.6 og 12.9 i Aha (2.utgave) som

omhandler symmetri og symmetriske mønstre. Kapittelet innledes med en oversikt over emnets vektlegging i L-

97 og rammeplan for allmennlærerutdanning. Det settes så fokus på de symmetritypene vi finner, og hvordan vi

deler symmetriske figurer inn i grupper etter hvilke, og hvor mange symmetrier de har.

Videre blir det sett på plane båndmønstre hvor mønstrene gjentas i det uendelige, og hvordan disse kan

klassifiseres i symmetrigrupper etter isometriene som er i bruk.

Kapittelet avsluttes med noen øvingsoppgaver.

L-97

Matematikkdelen i mønsterplanen for grunnskolen (L-97) består av en generell og betraktende del knyttet til

fagets plass i skolen, arbeidsmåter og struktur, og en detaljert del knyttet til mål og hovedmomenter for de

enkelte klassetrinn.

L-97 trekker fram matematikkens lange tradisjoner knyttet til kultur, kunst og kunnskap, og hvordan matematikk

har vært en del av ulike samfunn gjennom historien. I den sammenheng legges det vekt på at matematikk er et fag

hvor det er mulig for elevene å bruke sine kreative evner og oppleve fagets estetiske sider, for eksempel i

forbindelse med kunst og håndverk.

Læreplanen poengterer også at det er viktig å knytte nære forbindelser mellom matematikken på skolen og

matematikken i verden utenfor skolen.

Knyttet til symmetri er det naturlig at disse sidene ved faget blir inkludert. Figurer, utsmykninger og mønstre fra

vår egen og andres kulturer blir en del av faget. I tillegg blir naturen tilknyttet faget på enda en måte.

Under Mål og Hovedmomenter for små-, mellom- og ungdomstrinnet er symmetri og arbeid med symmetri et

gjennomgangstema. Fem sitater fra hovedmomenter for 1., 2., 5. og 10.klasse viser dette:

Hovedmoment for 1.klasse/førskolen (L-97, s.159):

I opplæringen skal elevene gjennom lek og varierte aktiviteter eksperimentere med og lage forskjellige former,

figurer og mønstre.

Hovedmoment for 2.klasse (L-97, s.160):

I opplæringen skal elevene oppleve og prøve ut speilsymmetri i konkrete tilfeller ved å observere og lage figurer

på forskjellige måter.

Hovedmoment for 5.klasse (L-97, s.163):

I opplæringen skal elevene lage figurer, former og mønstre, og arbeide med å finne ut egenskaper ved dem.

Hovedmoment for 10.klasse (L-97, s.170):

I opplæringen skal elevene utføre og beskrive geometriske avbildninger, slik som parallellforskyvning, speiling

og rotasjon og kombinasjoner av dem, og utnytte geometriske avbildninger til å skape og analysere mønstre.

Hovedmoment for 10.klasse (L-97, s.170):

I opplæringen skal elevene arbeide med geometri i sammenheng med estetikk i for eksempel natur, kunst,

håndverk og arkitektur og i et historisk perspektiv.

Fra Rammeplanen for allmennlærerutdanning


plane,

16

Symmetrigrupper og

periodiske båndmønstre

I Rammeplanen for allmennlærerutdanning blir matematikk definert som vitenskapen om struktur, orden og

sammenhenger. Under tittelen Matematikk i kultur og samfunn blir det gjort spesielt oppmerksom på at en

allmennlærer skal kunne gi eksempler på bruk av geometri i ulike kulturer, og kunne identifisere og gjøre rede

for hvordan matematikk…forekommer blant annet i musikk, drama, kunst, arkitektur og håndverk, og

sammenhengen med utforminger i natur, kunst og håndverk er en av mange tilknytninger som blir gjort til faget.

Videre legges det vekt på at matematikk skal inngå som del i tverrfaglige opplegg i grunnskolen, og at

grunnskoleelevene skal kunne få tilbud om variert, fleksibel og tilpasset undervisning.

Symmetri er et emne som innbyr til slik kontakt, og slik undervisning.

Symmetri

I likhet med begrepet sannsynlighet er symmetri et begrep som appellerer til det intuitive i oss. Vi har alle en

følelse knyttet til det symmetriske, eller ikke-symmetriske, i noe vi betrakter.

Hva betyr det så at noe er symmetrisk?

I Aha (s.555) finner vi følgende definisjon:

En plan figur er symmetrisk dersom det fins en ekte isometri som avbilder figuren på seg selv.

Det fins fire isometrier: Speiling, rotasjon, translasjon og glidespeiling.

Alle plane (flate) figurer kan roteres 360°, og se ut slik de var før rotasjonen. Derfor har alle plane figurer en

isometri som avbilder figuren på seg selv (Rotasjon 360°). Plane figurer som kun har en slik isometri omtales

ikke som symmetriske, da den eneste isometrien de har er identitetsavbildningen (De er da u-symmetriske/asymmetriske).

Denne isometrien kalles derfor en uekte isometri, mens alle andre isometrier da er ekte isometrier.

Det fins bare to isometrier som har mulighet til å avbilde en plan figur på seg selv. Det er speiling og rotasjon.

Når en figur er symmetrisk, er det om et punkt eller en linje, og punktet/linjen kan ikke forflytte seg. Da får vi

nemlig en annen figur! En slik forflytning finner sted ved en translasjon eller en glidespeiling, og disse to

isometriene er derfor unødvendige å sjekke når vi skal avgjøre om en plan figur er symmetrisk.

Rotasjonssymmetri

Vi foretar en rotasjon, når vi dreier den plane figuren en vinkel v ∈


plane,

17

Symmetrigrupper og

periodiske båndmønstre

Speilingssymmetri

Det er mulig å foreta en speiling både om et punkt og om en linje. Speiling om midtpunktet i en plan figur er

egentlig det samme som å rotere en vinkel v = 180° rundt punktet (Se figur 2). Dette vil altså kun være en aktuell

speilingssymmetri i tilfeller der rotasjonsvinkelen v = 180° er representert (se figur 2), og derfor er speiling om et

punkt egentlig en overflødig egenskap når vi skal finne symmetriene i en figur.

Figur 2: To trekanter inne i en sirkel

Om vi speiler om sentrum i sirkelen, eller roterer 180° om sentrum i sirkelen, er likgyldig så lenge

rotasjonsvinkelen er v = 180°.

Å speile om en linje betyr at alt som er på den ene siden av speilingslinjen, skal avbildes nøyaktig like langt fra

speilingslinjen på den andre siden. Det betyr at en plan figur har en speilsymmetri dersom vi kan trekke en

speilingslinje gjennom sentrum av figuren. Dersom vi kan trekke to speilingslinjer gjennom sentrum har figuren

to speilingssymmetrier, osv.

Eksempel 2: Mercedes-stjerna nok en gang.

Vi tegner inn speilingslinjer på stjerna, slik at "figuren kan brettes om denne linja, og de to delene av figuren

dekker hverandre fullstendig".

Vi ser at det kan trekkes tre speilingslinjer i Mercedes-stjerna. Den har altså tre speilingssymmetrier.

(Observasjon: Mercedes-stjerna har altså tre rotasjonssymmetrier, og tre speilingssymmetrier!)

Vi oppsummerer så langt:

1) Symmetriene til en plan figur har alle ett felles punkt (Midtpunktet i figuren).

2) De mulige symmetrioperasjonene til en plan figur er rotasjon om et fast midtpunkt, og speiling om linjer

gjennom dette midtpunktet.

Å gjenkjenne rotasjons- og speilingsymmetrier

Vi har nå sett at det fins plane figurer som har både rotasjons- og speilsymmetrier. Men ikke alle plane figurer

som er symmetriske er både rotasjons- og speilsymmetriske.


18

Symmetrigrupper og

plane,

periodiske båndmønstre

Vi har allerede sett at Mercedes-stjerna har tre rotasjonssymmetrier og tre speilingsymmetrier.

Vi vet at stjerna består av tre vinkler hver på 120°. Når vi innfører speilingslinjene i Mercedes-stjerna ser vi at

vinklene på 120° blir halvert!

To speilsymmetrier gir altså rotasjonsymmetri en vinkel v = 2⋅vinkelen mellom speilingslinjene.

Resultat 1:

Det betyr at dersom en plan figur har speilsymmetri(er), vil den ha akkurat like mange rotasjonssymmetri(er)!

Det fins altså ikke plane figurer som har speilsymmetri, men ikke rotasjonssymmetri. Det motsatte gjelder

derimot ikke.

Studér figuren under (figur 3):

Vi ser at det ikke er mulig å tegne inn speilingslinjer i figuren. Figuren har altså ingen speilingssymmetrier. Vi

aner likevel at den har symmetrier. En rotasjon en vinkel v = 90° gir oss samme figur som vi startet med. Når

360 ° = 4

90°

har vi da at figuren har fire rotasjonssymmetrier.

Resultat 2:

En plan figur kan ha bare rotasjonssymmetrier.

Klassifisering av symmetrigrupper

Vi har altså to hovedtyper av symmetriske figurer: Figurer med både rotasjons- og speilsymmetri, og figurer med

kun rotasjonssymmetri.

Disse klassifiseres etter sine symmetriegenskaper, og navnsettes etter felles egenskaper (med grupper av tall i

algebra, uten at vi skal gå nærmere inn på disse egenskapene her). Vi nøyer oss med identifisering og

navnsetting:

1) En figur med n rotasjonssymmetrier, og ingen speilingssymmetrier betegnes Z n .

2) En figur med m rotasjonssymmetrier, og m speilingssymmetrier betegnes D m .

Eksempel 3: Rektangel


plane,

19

Symmetrigrupper og

periodiske båndmønstre

Vi ser at vi kan legge inn to speilingslinjer, og at rektangelet kan roteres 180° og 360°. Rektangelet har altså to

speilingssymmetrier, og to rotasjonssymmetrier.

Symmetrigruppa for rektangelet er da D 2 .

Eksempel 4: Vindmølle-armer

Vi makter ikke å legge inn speilingslinjer, men 90° rotasjon er mulig. Symmetrigruppa er Z 4 .

Eksempel 5: Studentskulptur HSF

Studentarbeidet tilhører symmetrigruppa D 6 . Plassér speilingslinjene som bekrefter dette selv.

Eksempel 6: NHO - logo

Logoen tilhører symmetrigruppa Z 3 . Umulig å plassere speilingslinjer.

(Det er oppgaver til emnet bakerst i notatet.)


og

Plane, periodiske båndmønstre

20

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

Her er et bilde av et bunadbelte fra Hardanger. Mønsteret i beltet gjentar seg med jevne mellomrom.

Når vi studerer border, mønster eller figurrekker i for eksempel bunadbelter, gitarreimer og tapetmønstre, virker

det som om det er mulig å skape en uendelig mengde av forskjellige, periodiske mønstre. Det stemmer ikke. Det

utseendemessige kan naturligvis varieres på utallige måter, men de grunnleggende mønstrene som ligger bak er

fåtallige. De kan derfor deles inn i symmetrigrupper etter isometriene som benyttes.

De fire isometriene

Vi husker at det er fire isometrier:

1) Speiling om linje

2) Rotasjon om punkt

3) Translasjon (parallellforskyvning) langs linje

4) Glidespeiling langs linje (translasjon langs linje + speiling om linje)

I tilfeller med periodiske båndmønster kan vi si at "en utgangsfigur" (Mønsterenhet som gjentas) flyttes langs en

linje. Det er altså hele tiden en konstant forflytning (Se for eksempel på bunadbeltet ovenfor). Alle plane,

periodiske båndmønstre inneholder derfor en translasjon av konstant lengde parallell med båndets midtakse.

Når et mønster skal "gjenta seg selv" langs en midtakse i en mønsterenhet, er det begrenset hvor mange

symmetrioperasjoner som er mulig, i tillegg til translasjon langs midtaksen. De samme operasjonene må gjentas

for hver translasjon, slik at mønsterenheten alltid ser lik ut, og avstandene til midtaksen må være konstante

(Midtaksen er en fast linje).

Ved translasjon av mønsterenheten langs midtaksen fins da kun fire mulige symmetrioperasjoner når

mønsterenheten skal avbildes på seg selv:

1) Speiling om midtaksen

2) Rotasjon 180° om et punkt på midtaksen

3) Speiling om akse normalt på midtakse (tverrakse)

4) Glidespeiling om midtaksen

Alle andre symmetrioperasjoner vil alltid føre til at båndets retning blir endret i forhold til den faste midtaksen

ved avbildning av mønsterenheten, og da er ikke kravet til et plant, periodisk båndmønster oppfylt.

Klassifisering av plane, periodiske båndmønster i symmetrigrupper


og

21

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

Innenfor forskning på krystalliseringer (Studier av ulike stoffers form) fins en standardisert 4 tegns beskrivelse av

de forskjellige båndmønstrene, som også er navn på de tilhørende symmetrigruppene:

1) Første tegn: p for translasjon (Selvfølgelig alltid med!).

2) Andre tegn: m dersom speiling om tverrakse (vertikal refleksjon), 1 ellers.

3) Tredje tegn: m dersom speiling om midtakse (horisontal refleksjon), a dersom glidespeiling

(uten horisontal refleksjon), 1 ellers.

4) Fjerde tegn: 2 for rotasjon 180°, 1 ellers.

Forskning har vist at det fins i alt kun 7 plane, periodiske båndmønstre. Gjengitt med den standariserte 4-

tegnsbeskrivelsen er de:

p111 , p1m1 , p1a1 , pm11 , p112 , pmm2 , pma2

(Når vi skal klassifisere et plant, periodisk båndmønster betyr det derfor at ett av de 7 nevnte båndmønstre er det

korrekte. Det fins ingen andre kombinasjoner!)

De syv plane, periodiske båndmønstrene (De syv én-dimensjonale symmetrigruppene)

Type p111 (Bare translasjon):

Grunnenheten, som i seg selv ikke har noen symmetrier, gjentas bortover med jevn avstand.

Eksempel 1:

Type p1m1 (Translasjon og speiling om midtaksen):

Grunnenheten speiles om båndets midtakse. Den "doble" enhet som oppstår, blir så translatert.

Eksempel 2:


og

Type p1a1 (Translasjon og glidespeiling om midtaksen):

22

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

En glidespeiling betyr at grunnenheten først speiles om midtaksen, og så translateres en bestemt avstand parallellt

med midtaksen. Den "doble" enheten som oppstår etter glidespeilingen blir så translatert.

Eksempel 3:

Type pm11 (Translasjon og speiling om tverrakse):

Grunnenheten speiles om en tverrakse (akse normalt på midtaksen). Den "doble" enheten som oppstår etter

speilingen blir så translatert.

Eksempel 4:

Type p112 (Translasjon og rotasjon 180° om punkt på midtaksen):

Grunnenheten roteres 180° rundt et punkt på midtaksen. Den "doble" enhet som oppstår etter rotasjonen blir så

translatert.

Eksempel 5:


og

23

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

Type pmm2 (Translasjon og speiling både om tverrakse og midtakse. Gir av nødvendighet

også rotasjon 180° om punkt på midtaksen.):

Grunnenheten blir speilet både om midtaksen og om en tverrakse (normalt på midtaksen). En enhet bestående av

fire grunnenheter blir dannet, og denne enheten blir translatert.

Eksempel 6:

Type pma2 (Translasjon, speiling om tverrakse og glidespeiling om midtaksen. Gir av

nødvendighet også rotasjon 180° om punkt på midtaksen.):

Grunnenheten blir først speilet om en tverrakse (akse normalt på midtaksen), og så blir denne "doble" enheten

glidespeilet om midtaksen. En enhet bestående av fire grunnenheter blir dannet, og denne enheten blir translatert.

Eksempel 7:

Plane, periodiske båndmønstre - kultur og historie

Avslutningsvis bør det gjøres oppmerksom på at de syv forskjellige båndmønstrene er med på å skape kontakt

mellom matematikkfeltet og samfunnet. Vi finner de samme båndmønstre i forskjellige kulturer. Båndmønstrene

brukes for eksempel i norsk og samisk folkekunst. Funn fra historiske befolkningskulturer fra alle verdensdeler

viser at også indianere, kinesere, maurere, osv. benyttet og benytter seg av de samme båndmønstrene som vi

bruker.

(Det er oppgaver til emnet bakerst i notatet.)


og plane,

24

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

Øvingsoppgaver til symmetrigrupper

og plane, periodiske båndmønstre

1. Bestem den eventuelle symmetrigruppa til figurene under (Se bort fra fargenyanser):


og plane,

2. Bestem den eventuelle symmetrigruppa til figurene og båndmønstrene under (Se bort fra

fargenyanser):

25

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

Fasit for øvingsoppgaver til symmetrigrupper og plane, periodiske båndmønstre


og plane,

26

Symmetrigrupper

periodiske båndmønstre

1. (Fra venstre mot høyre, radvis nedover):

D 4 , Z 2 (Evt. intet), D 4 , Z 4 (Evt. intet), Z 3 , D 2 , Z 2 , D 12 (Evt. D 1 ), D 8 (Evt. intet), Z 8 ,

Z 6 , Z 2

2. Del 1 (Fra venstre mot høyre, radvis nedover):

D 8 , Z 14 (Evt. intet), Z 16 , D 1 , D 4 , D 1 , Z 8 , D 6 , Z 4 , Z 4 , Z 2 , Z 6

Del 2 (Venstre kolonne først, lest nedover):

pmm2, pmm2, pmm2, p112, pma2, pmm2, pma2, pmm2, pmm2, pm11, pmm2,

pmm2, pma2, p112, pm11, pm11, pm11, pm11

More magazines by this user
Similar magazines