Formelark

Institutt for fysikk 2012
Formelliste
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme
Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas å være kjent. Symbolbruk som i forelesningene.
Siste revisjon: 20.1.12; 5.3.12(retta feil i R = ...) (2 sider).
Q, ρ og σ uten indeks viser til frie ladninger. Q i , ρ i og σ i er indusert ladning.
I og ⃗ J uten indeks er ledningsstrøm (conducting current), Id og ⃗ Jd er forskyvningsstrøm (displacement current).
Coulombs lov: ⃗F 12 = 1 q 1 q 2
4πɛ r ˆr 2 12
⃗E = 1 q
4πɛ r ˆr 2
Gauss’ lov integralform:
∫∫
○ ⃗D · d ⃗A = Q
∫∫
○ ⃗E · d ⃗A = Q/ɛ
∫∫
○ ⃗P · d ⃗A = −Q i
∫∫
○ ⃗B · d ⃗A =0
Gauss’ lov differensialform: div ⃗ D = ρ div ⃗ E = ρ/ɛ div ⃗ P = −ρi div ⃗ B =0
∫∫
Fluks: Φ E =
∫∫
⃗E · dA ⃗ Φ=
∫∫
⃗D · dA ⃗ = ɛ Φ E Φ B =
⃗B · d ⃗ A
Amperes lov:
Faradays lov:
∮
(
⃗B · d⃗s = μ I + ɛ ∂Φ ) ∮
E
∂t
E = − ∂Φ B
∂t
= −L dI
dt
∮
⃗H · d⃗s = I + ∂Φ
∂t
⃗E · d⃗s = − ∂Φ B
∂t
curl ⃗ H = ⃗ J + ∂ ⃗ D
∂t
curl ⃗E = − ∂ ⃗ B
∂t
Maxwells likninger: div ⃗ D = ρ div ⃗ B =0 curl ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
Forskyvningsstrøm: I d = ∂Φ
∂t , Jd ⃗ = ∂ D ⃗
∂t
∑
Elektrisk dipolmoment: ⃗p = qd ⃗ ⃗p
(fra – til +) Polarisering: ⃗P =
volum
∑ ⃗μ
Magnetisk (dipol)moment: ⃗μ = ⃗m = I ⃗A Magnetisering: ⃗M =
volum
curl ⃗ H = ⃗ J + ∂ ⃗ D
∂t
⃗D = ɛ 0
⃗E + ⃗P = ɛ ⃗E = ɛ r ɛ 0
⃗E ⃗P = χ e ɛ 0
⃗E ɛ r =1+χ e
⃗B = μ 0
⃗ H + μ0 ⃗ M = μ ⃗ H = μr μ 0
⃗ H ⃗ M = χm ⃗ H μr =1+χ m
∫ a
∫
Elektrisk potensial: V a − V b = − ⃗E · d⃗s, E ⃗ = −∇V, ⃗
dq
Relativt ∞: V (r) =
b
4πɛr
Energi og energitetthet: U = 1 ∫∫∫
V dq Elektrisk: u = 1 D
2
2 ⃗ · ⃗E Magnetisk: u = 1 B
2 ⃗ · ⃗H
Kondensatorer:
C = Q V
Kulekondensator: C =4πɛ 0 R Energi: U = 1 2 QV = 1 2 CV 2
Platekondensator: C = ɛ A Parallellkopling: C = ∑ C i Seriekopling:
d
i
Kraft på strømførende leder: dF ⃗ = Id⃗s × B ⃗ ( )
Lorentzkrafta: F ⃗ = q ⃗E + ⃗v × B ⃗
1
C = ∑ i
1
C i
Biot-Savarts lov: B ⃗
μ 0 q⃗v × ˆr
=
4π r 2 dB ⃗ = μ 0 Id⃗s × ˆr
4π r 2
H-felt rundt ∞ lang leder: H θ = I
2πr
H-felt i lang, tynn solenoide:
H = I · n = I · N
l
1

Ohms lov: V = RI , R = ρ l A = 1 l
σ A ;
P = VI
σ ⃗E = ⃗J , der strømtetthet = ⃗J = nq⃗v d
og ⃗v d = μ ⃗E = driftsfart.
Induktans:
E = −L dI
dt
dI 1
E 2 = −M 21
dt , M 21 = M 12 Spoler: L = N Φ B
I
U = 1 2 LI2
Lenz lov: En indusert strøm er alltid slik at den forsøker å motvirke forandringen i den magnetiske fluks
som er årsak til strømmen.
Nablaoperatoren:
Kartesiske koordinater (x, y, z), med enhetsvektorer henholdsvis î , ĵ og ˆk :
gradV = ∇V ⃗ = î ∂V
∂x
divD ⃗ = ∇· ⃗ ⃗D = ∂D x
∂x
+ ĵ ∂V
∂y
+ ∂D y
∂y
⃗∇ 2 V = ∂2 V
∂x 2 + ∂2 V
∂y 2
∣ curl D ⃗ = ∇× ⃗ D ⃗ î ĵ ˆk ∣∣∣∣∣
=
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ D x D y D z
+ ˆk
∂V
∂z
+ ∂D z
∂z
+ ∂2 V
∂z 2
Sylinderkoordinater (r, φ, z), med enhetsvektorer henholdsvis ˆr , ˆφ og ˆk :
⃗∇V = ˆr ∂V
∂r
+ ˆφ 1 ∂V ∂V
+ ˆk
r ∂φ ∂z
⃗∇· ⃗D = 1 ∂
r ∂r (rD r) + 1 ∂D φ
r ∂φ
⃗∇ 2 V = 1 (
∂
r ∂V )
+ 1 ∂ 2 V
r ∂r ∂r r 2 ∂φ 2
Kulekoordinater (r, θ, φ), med enhetsvektorer henholdsvis ˆr , ˆθ, ˆφ :
⃗∇V = ˆr ∂V
∂r
⃗∇· ⃗D = 1 r 2 ∂
∂r
⃗∇ 2 V = 1 r 2 ∂
∂r
+ ∂D z
∂z
+ ∂2 V
∂z 2
+ ˆθ 1 ∂V
r ∂θ
+ ˆφ 1 ∂V
r sin θ ∂φ
( r 2 ) 1 ∂
D r +
r sin θ ∂θ (D 1 ∂D φ
θ sin θ) +
r sin θ ∂φ
(
r 2 ∂V )
(
1 ∂
+
sin θ ∂V )
+
∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ
1
r 2 sin 2 θ
∂ 2 V
∂φ 2
Divergensteoremet og Stokes’ teorem for et tilfeldig vektorfelt F ⃗ :
∫∫ ∫∫∫
○ ⃗F · d ⃗A = ⃗∇· ⃗F dτ
∮ ∫∫ (⃗ )
⃗F · d⃗s = ∇× ⃗F · d ⃗A
Infinitesimale volumelement:
dτ = dx dy dz
dτ = r 2 dr sin θ dθ dφ kulesymmetri −→ 4πr 2 dr
dτ = r dr dφ dz syl.symmetri −→ 2πr dr l
2