HØGSKOLEN I AGDER Komplekse tall og visere ... - Of the Clux

3Det følger fra figuren over at θ er i første kvadrant når både a og b er positive, i andre kvadrant nåra er negativ og b positiv, i tredje kvadrant når a og b er begge negative, og i fjerde kvadrant når a erpositiv og b er negativ. Disse observasjonene er illustrert i figuren under, hvor tallene4 + j3,− 4 + j3,− 4 − j3,4 − j3er tegnet inn.Legg merke til at vi også kan spesifisere θ som en vinkel målt med klokka fra den positive reelleakse. I elkraftteknikken er det vanlig å uttrykke θ i negative verdier når θ ligger i tredje eller fjerde°kvadrant. For eksempel kan − 4 − j3også uttrykkes som 5 ∠ −143.13 .Den grafiske fremstillingen av et komplekst tall viser også sammenhengen mellom et komplekst tallog dens konjugerte. Den konjugerte av et komplekst tall dannes ved å reversere fortegnet på denimaginære komponenten. Med andre ord, den konjugerte av a + jb er a – jb. Når vi skriver etkomplekst tall på polar form, dannes den konjugerte ganske enkelt ved å reversere fortegnet tilvinkelen θ. Derfor er den konjugerte av c ∠θlik c ∠ −θ. Det er vanlig å bruke notasjonen n* forden konjugerte av n. Figuren under viser to komplekse tall og deres konjugerte. Legg merke til atkonjugering innebærer å speile det komplekse tallet over den reelle akse.

4Aritmetiske operasjonerFor å addere eller subtrahere komplekse tall, er det best å uttrykke dem i rektangulær form.Addisjon innebærer å addere realdelene og imaginærdelene hver for seg.Eksempel addisjon:n1= 8 + j16n2 = 12 − j3n1+ n2= (8 + 12) + j(16− 3) = 20 + j13Eksempel subtraksjon:n2 − n1= (12 − 8) + j(−3−16)= 4 − j19Når tallene er gitt i polar form, omformes de først til rektangulær form før videre addisjon ellersubtraksjon.Oppgave:n1= 10∠53.13°n2= 5∠ −135°Regn ut n1 − n2og n1+ n2°(Svar: 14 .966∠50.42 og°5 .10∠61.10 )Multiplikasjon og divisjon av komplekse tall kan utføres med tallene skrevet enten i rektangulæreller i polar form.

5Eksempel multiplikasjon:n= 8 + 10 = 12.81∠51.341j°n= 5 − 4 = 6.40∠ − 38. 662j°n1n2jeller= (8 + j10)(5− j4)= 40 − j32+ j50+ 40 = 80 + 18 = 82∠12.68°n°°°°1n2= (12.81∠51.34 )(6.40∠ − 38.66 ) = 82∠12.68= 80 + j18= 82∠12.68Eksempel divisjon:n= 8 + 10 = 12.81∠51.341j°n= 5 − 4 = 6.40∠ − 38. 662j°nn128 + j10(8 + j10)(5+ j4)40 + j32+ j50− 40 j82= === = j2= 2∠902 25 − j4(5 − j4)(5+ j4)5 + 4 41°ellernn12°12.81∠51.34=6.40∠ − 38.66°= 2∠90°=j2Lommekalkulatorer for ingeniørbruk har ofte muligheten til å regne med komplekse tall, inkludertfunksjoner for å skifte mellom polar og rektangulær form.Nyttige identiteterj =±( − j)(j)= 11j =− jeej2± jπ± jπ/ 2−1= 1= ∠ ± 180°= ∠ ± 90°= −1= ± j

6VisereDefinisjonEn viser er et komplekst tall som bærer informasjon om rms-verdien (eventuelt amplituden, dersomdet skulle være ønskelig) og fasevinkelen til en sinusvarierende funksjon.Gitt følgende funksjon: ( t)= 2Vcos( ω t + θ )vrmsjθViserrepresentasjonen av denne funksjonen er V = V e = V cosθ+rmsrmsjVrmssinθVi bruker denne representasjonen når vi skal analysere systemer hvor alle størrelsene ersinusvarierende (med forskjellige fasevinkler) og frekvensen er kjent, slik som i elkraftsystemet istasjonær tilstand. I Norge er frekvensen i elkraftsystemet f = 50 Hz, slik at vinkelfrekvensenω = 2 πf = 100π.Denne representasjonen er svært nyttig fordi den reduserer analysen av det stasjonære elkraftsystemtil komplekse talls algebra.Hvisv = v + v + +12v nhvor alle spenningene på høyresiden er sinusformede spenninger, så gjelder atV = V + V + +12V nMed andre ord, viserrepresentasjonen av v er lik summen av viserne til delkomponentene.Eksempel:Gitt følgende funksjoner:y = 20cos( ω t − 301y = 40cos( ω t + 601°°))Finn y = y 1+ y2som en enkelt sinusformet funksjon,a) Ved å bruke trigonometriske identiteterb) Ved å bruke viser-konseptetSvar:a)Prøv selv!

7b)°Y1= 20∠ − 30 = 17.32 − j10°Y1= 40∠60= 20 + j34.64Y°( 17.32 − j10) + ( 20 + j34.64) = 37.32 + 24.64 = 44.72∠33.= Y + Y =431 2jVed å transformere oss tilbake til tidsplanet, kan vi nå skrivey = 44.72cos( ω t + 33.43°)(I dette eksempelet valgte vi å bruke toppverdi istedenfor rms-verdi i representasjon avviseren. Dette er et valg man står fritt til å gjøre. For en sinusformet funksjon er jotoppverdien lik kvadratroten av to ganger rms-verdien, så dersom man er konsekvent og vetom man opererer med toppverdi eller rms-verdi, er ikke dette noe problem. Men man måpasse på å være konsekvent. I elkraftteknikken er det vanlig å bruke effektivverdi.)Hvis du selv prøvde å løse eksempelet som angitt i punkt a, ble du forhåpentligvis overbevist om atvisermetodikken er enklere.De passive kretselementeneNår vi skal analysere en elektrisk krets i viserplanet, må alle størrelsene i kretsen først representeressom komplekse tall. I praksis betyr dette spenninger, strømmer, motstander (R), induktanser (L) ogkapasitanser (C). De passive kretselementene R, L og C har følgende representasjoner i viserplanetnår vi behandler dem som impedanser:Element Tidsplan ViserplanResistans R RSpole L jωL = jX LKondensator C− j ω C =−jXCStørrelsene X L = ωL og –X C = –1/ωC kalles reaktans. Reaktansen til en induktans er positiv, mensreaktansen til en kapasitans er negativ, som vi ser av uttrykkene.Regnereglene fra kretsteknikk gjelder også i viserplanet:• Kirchoffs spenningslov gjelder (KVL – Kirchoff’s Voltage Law)• Kirchoffs strømlov gjelder (KCL – Kirchoff’s Current Law)• Den generaliserte Ohms lov V = ZI gjelder, der Z er kompleks impedansRegnereglene for seriekopling og parallellkoplinger av motstander gjelder også i viserplanet, og damer generelt siden reglene gjelder også for alle mulige kombinasjoner av serie- ogparallellkoplinger av R, jX L og –jX C . Det man må passe på er at man regner med komplekse tall, ogfølgelig må følge regnereglene for slike.Ofte slår man sammen passive kretselementer sammen til en impedans Z. Generelt er en impedanset komplekst tall.

8Eksempel:Seriekopling av R og L i viserplanet. R = 1 Ω, L = 1 mH. Hva er impedansen Z 1 ?−3Svar: Z 1 = R + jωL = 1+j 100π ⋅1⋅10= 1+j0.3142 ΩParallellkopling av Z 1 og Z 2 = – j0.15 Ω. Hva blir total impedans Z 3 ?Z 3 = Z 3 Z 3 =Z1Z2Z + Z12(1 + j0.3142)(− j0.15)=1+j0.3142− j0.15= 0.0219 −j0.154= 0.155∠ − 81.9°ΩLegg merke til at impedans kan representeres enten i rektangulær form eller på polar form, påsamme måte som alle andre komplekse tall.Det er også vanlig å benytte admittans. Admittans Y er ganske enkelt den inverse av impedans, oger definert som:Y=1Z=1R + jX= G +jBR og X er henholdsvis resistansen og reaktansen til impedansen Z, mens G og B kalles henholdsviskonduktansen og susceptansen til admittansen Y. Parallellkopling av to admittanser Y 1 og Y 2 erekvivalent med en admittans lik Y 1 + Y 2 .De passive kretselementene har følgende representasjoner i viserplanet når vi behandler dem somadmittanser:Element Tidsplan ViserplanKonduktans G GSpole L –j/ωL = –jB LKondensator CjωC = jB CStørrelsene –B L = –1/ωL og B C = ωC kalles susceptans. Susceptansen til en induktans er negativ,mens susceptansen til en kapasitans er positiv, som vi ser av uttrykkene.Resistans og reaktans måles i Ω, mens konduktans og susceptans måles i siemens.Løsningsmetodikk for stasjonær sinusanalyseMetodikken for å løse en krets i viserplanet blir altså:1. Finn viserne til alle kjente spenningskilder og strømkilder2. Representer passive kretselementer i viserplanet, som vist over3. Løs kretsen på vanlig måte ved hjelp av KVL, KCL og Ohm’s lov4. Men husk at du nå regner med komplekse tall, slik at regnereglene for komplekse tall måfølges!

9Eksempel:En resistans på 60 Ω, en spole med induktans 320 mH og en kondensator med kapasitans 50 µF erkoplet over en sinusformet spenningskilde som vist i figuren nedenfor. Spenningskilden kan°uttrykkes som v s= 750cos(314t+ 30 ) volt. Vi skal løse denne kretsen med hensyn på strømmen ikretsen ved å bruke metodikken for stasjonær sinusanalyse.R60 ohmL320 mHv sC50E-6 FSteg 1:750°°Vs= ∠30= 530.33∠30volt2Steg 2:Impedansen til motstanden: 60 Ω−3Impedansen til spolen: j ω L = j314⋅320⋅10= j100.48 Ω11Impedansen til kondensatoren: − j = − j= − j63.69−6 ωC314 ⋅ 50 ⋅10Ω(Legg merke til at ω = 314 er gitt fra uttrykket for spenningen.)Kan nå tegne kretsen i viserplanet, som vist nedenfor.R60 ohmjwLj100.48 ohmVs1/jwC-j63.69 ohm

10Steg 3:De tre impedansene er koplet i serie, og den totale impedansen sett fraspenningskilden kan derfor finnes ved å summere dem:Z tot =60 + j5°j 100.48 − j63.69= 60 + 36.79 = 70.38∠31.ΩBruker nå Ohm’s lov V s = Z tot I, som vi løser med hensyn på I:V530∠30°s°I = == 7.53∠ −1.5 ampere°Ztot 70.38∠31.5Strømmens effektivverdi er altså 7.53 A, og dens fasevinkel er –1.5º. (Dette betyr atden ligger 31.5º etter spenningen siden spenningen hadde en fasevinkel på 30º.)Uttrykt i tidsplanet er strømmen:°°i = 2 ⋅ 7.53cos(314t−1.5) = 10.65cos(314t−1.5) ampereTillegg: Utledning av den komplekse impedansen til en spoleSpenningen v L over en spole med induktans L er som kjent gitt avvL =diLLdthvor i L er strømmen gjennom spolen.La nå v L være en sinusformet funksjon gitt avvL= V cos( ω t + θ ) (hvor θ v er spenningens fasevinkel)mvVi regner ut i L ved å integrere1VmiL = Vmt +vd t = t +v+ kL cos( ω θ ) ( ω ) sin( ω θ )ωLVi antar at spolen ikke har likestrømskomponent, og konstanten k blir derfor lik null. †Vi kan derfor skriveiLVmVmsin( ωt+ θv) = cos( ωt+ θ − 90ωLωL=v°)°hvor vi har benyttet oss av at sin( α ) = cos( α − 90 ) .† En faktisk spole vil alltid ha en viss resistans. En eventuell likestrømskomponent vil derfor etter hvert dø ut, og istasjonær sinustilstand regner vi med at alle likestrømskomponenter som måtte ha vært i systemet, er borte.

11Basert på uttrykkene over skal nå uttrykke spenningen og strømmen som visere°VmVL= Vrms∠θv(hvor Vrms= )2ILVrms=ωL∠° Vrms°( θv− 90 ) = ∠ − 90 ∠θvωLMen vi vet atIL= Vjrmsvω ∠θL∠ − 90°e j °− 90 1= = − j = slik at strømviseren også kan uttrykkes somjForholdet mellom spenningsviseren og strømviseren blirVILL=Vrms∠θvVrms∠θvjωL=jωLDette forholdet kan ses på som selve definisjonen av den komplekse impedansen til en spole medinduktans L, og vi har nå utledet at denne er likZL=jωLSom før sagt, kalles størrelsen ω L = X reaktans.Oppgave:Bruk samme metodikk som over og,La) utled den komplekse impedansen for en kondensator med kapasitans C.b) utled den komplekse impedansen for en motstand med resistans R.Svar:a)1ZC=jωCb) ZR= R1= − jωC