Matematiklærerdag 11. marts 2005 - Institut for Matematik - Aarhus ...

math.au.dk
  • No tags were found...

Matematiklærerdag 11. marts 2005 - Institut for Matematik - Aarhus ...

Global Position System - GalileoMatematiklærerdag11. marts 2005Johan P. Hansenmatjph@imf.au.dkInstitut for Matematiske FagAarhus Universitetmatematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.1/18


GPS og Galileomatematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.2/18


Baggrund• Som en del af den kolde krigs våbenkapløb besluttede US Department of Defenseat udvikle et positionssystem, der gjorde det muligt for en ubåd hurtigt og præcistat bestemme sin position og affyre sine våben. Raketter var allerede så præsice,at de kunne ramme, hvad som helst blot de kendte affyringspositionen. Detkostede 12 milliarder US dollars og er nu tilgængeligt for alle.• USSR har et tilsvarende militært system.• Galileo er et nyt europæisk system under udvikling, der forventes at være i fulddrift i 2008. Systemet vil kunne arbejde sammen med og supplere GPS.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.3/18


Galileo: Europe shows the wayThe deployment phase for GALILEO, the European programme of civil radio-navigationby satellite is imminent. It will begin in 2006. GALILEO is compatible and interoperablewith the American GPS, but will furnish a more precise, continuous and guaranteedsignal. It will allow a multitude of applications for the general public and professionals ona worldwide scale as from it becoming operational in 2008. The recently operationalEGNOS system is the precursor of GALILEO. The economic benefits expected fromGALILEO are staggering and explain the commercial attraction of the programme andthe commitment of the private sector. Precision, reliability, the multiple applications ofGALILEO and its global coverage explain why many third countries wish to participate inthe programme.http://europa.eu.int/comm/dgs/energy_transport/galileo/index_en.htmmatematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.4/18


GalileoGalileo vil, når det i 2008 er i endelig drift, bestå af• 30 satellitter i 3 planer - i nøjagtigt bestemte baner 24.000 km oppe. Satelitterne erudstyret med præcise atomure, som angiver tiden med stor nøjagtighed - afvigelsehøjst 10 −8 sekund pr. døgn, hvilket giver en meters unøjagtighed ipositionsbestemmelsen.• et antal jordstationer, der nøje korrigerer for unøjagtigheder i baner ogsynkroniserer tiden i satelliturene.• Personlige modtagere, der kan købes til en pris af 1000 kr.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.5/18


Virkemåde - rumlig triangulering• Den personlige modtager bestemmer afstanden til 3 af satelitterne, ved atbestemme tiden det tager for et signal at komme frem.• Det giver 3 ligninger til at bestemme de 3 koordinater til positionen (x, y, z).Geometrisk udtrykker ligningerne, at positionen er på fællesmængden af 3kugleflader - altså forventeligt 2 løsninger, hvoraf den ene kan forkastes udfra enrimelighedsbetragtning.Princippet er enkelt, men forudsætter• at den personlige modtager har et MEGET nøjagtigt ur, der går synkront medurene i satellitterne. En fejl på 10 −3 sekund resulterer i en positionsfejl på 300 km.• at der er en effektiv og nøjagtig metode til afstandsbestemmelse underforudsætning af synkrone ure.Hvordan disse 2 forudsætgninger sikres ved hjælp af matematik er foredragets temaer.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.6/18


Virkemåde - synkronisering af det lokale urDet meget præsice ur haves selvsagt ikke på den lokale modtager til en pris af 1000 kr.;men kan laves på en elegant matematisk måde.• Betragt fejlen på uret i din lokale modtager som en variabel ∆.• Mål ikke til 3 men til 4 satelitter for at opstille 4 ligninger til bestemmelse af de 4variable x, y, z,∆.En lokal modtager bestemmer altså ikke blot positionen; men er også et meget nøjagtigtur, fordi det ved hjælp af matematik synkroniserer til satellit-urene.Nu skal vi se hvordan.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.7/18


Matematisk synkroniseringLad (x, y, z) være koordinaterne til den ukendte position og (x k , y k , z k ), i = 1,2, 3,4 dekendte koordinater til 4 satelitter. Fejlen i uret på den lokale modtager, betegner vi ∆, såvi måler med en fejl på d = c∆, hvor c er lysets hastighed. Den målte afstand er derford k =q(x − x k ) 2 + (y − y k ) 2 + (z − z k ) 2 + dsom medfører, at(x 2 k + y2 k + z2 k − d2 k ) − 2(x kx + y k y + z k z − d k d) + (x 2 + y 2 + z 2 − d 2 ) = 0Disse 4 sammenhørende ligninger kan med fordel løses ved skift matrix notation.Bemærk, at vi vil bestemme de med rødt angivne variable.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.8/18


Matematisk synkroniseringDefiner et skalarprodukt på R 4 ved〈a,b〉 := a t Mb, M =011 0 0 00 1 0 0B@ 0 0 1 0 CA0 0 0 −1og ladr =0 1xy, rB@ zCk =Ad0 1x ky kB@ z kCAd kI denne notation kan ligningerne skrives12 〈r k,r k 〉 − 〈r k ,r〉 + 1 2 〈r,r〉 = 0matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.9/18


Matematisk synkroniseringMed notationen01x 1 y 1 z 1 d 1x 2 y 2 z 2 d 2B :=, α =B@ x 3 y 3 z 3 d 3CAx 4 y 4 z 4 d 40 1〈r 1 ,r 1 〉〈r 2 ,r 2 〉, e =B@〈r 3 ,r 3 〉 CA〈r 4 ,r 4 〉0 111, Λ := 1 B@ 1C2 〈r,r〉A1kan ligningerne skrivesog løsningen bliverα − BMr + Λe = 0r = MB −1 (Λe + α).Sætter vi ovenstående udtryk for r ind i Λ := 1 〈r,r〉 får vi, idet vi udnytter at2〈M(a), M(b)〉 = 〈a,b〉, en andengradsligning til bestemmelse af Λ〈B −1 e, B −1 e〉Λ 2 + 2〈B −1 e, B −1 α〉Λ + 〈B −1 α, B −1 α〉 = 0matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.10/18


AfstandsbestemmelseMåler den tid et radiosignal er undervejs fra satelit til modtager. Dertil bruges engenerator af tilfældige tal.• Satellitten udsender følgende:11011111011 . . .et tal for hvert klokkeslag.• GPS-modtageren har samme generator.• GPS-modtageren sammenligner egen følge med den modtagne.• En forskydning her er udtryk for en tidsforsinkelse.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.11/18


Lineære skifte registreGeneratoren af tilfældige tal, der bruges i GPS-systemet er et Lineært skifte register afbloklængde 10. Faktisk bruges der 2 registre og militæret bruger et af længde 12. Detvirker sådan her:• Registret har en starttilstand1000110111• Første tal udlæses, de øvrige flyttes en plads til venstre.• Sidste plads gives en vædi svarende til en bestemt lineær sum af de 10foregående tal, hele tiden beregnet modulo 2.• Det kunne for eksempel være summen af 3. og 10. tal. Det ville give sekvensen00011011110011011111hvilket faktisk er den ene af de to, der bruges i GPS.• Efter 1023 klokkeslag, står vi med det register vi startede med. Vi siger, atperioden er 1023matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.12/18


Registre og maksimal periodeDe værdier, som registret af bloklængde r udlæser udgør en følge af binære tala 0 , a 1 , a 2 , . . .og der er en rekursionsligning:a n = c 1 a n−1 + c 2 a n−2 + . . . c r a n−r mod 2,hvor c i er konstanter lig med 0 eller 1. Startværdierne benævnes a −r , . . . , a −1 .For et register af længde r er der 2 r mulige tilstande, idet der på hver af de r pladser kanstå enten 0 eller 1. Specialtilfældet, hvor alle pladserne er 0, har periode 1. For andreer det maksimale antal tilstande 2 r − 1, som dermed er den maksimale periode for etregister.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.13/18


Generende funktionDen genererende funktion erVi harG(x) :=∞Xn=0a n x n .G(x) =∞X rXc i a n−i x n =n=0 i=1rX X∞c i x i a n−i x n−i =i=1 n=0rXc i x i (a −i x −i +· · ·+a −1 x −1 +G(x))i=1Vi får, atPolynomietG(x) =P ri=1 c ix i (a −i x −i + · · · + a −1 x −1 )f(x) = 1 −1 − P ri=1 c ix irXc i x ii=1i nævneren kaldes det karakteristiske polynomium for registret.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.14/18


De karakteristiske polynomier i GPSDe to registre, der bruges i GPS-systemets civile del, har de karakteristiske polynomier :1 + x 3 + x 10 , 1 + x 2 + x 3 + x 8 + x 9 + x 10Ved en kombination af de to registre sender satellitten et periodisk signal med en periodepå ca. 1,5 sek., svarende til ca. 450.000 km. (Militærets signal har en periode på ca. enuge).matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.15/18


PeriodenSætning.Antaga −1 = a −2 = · · · = a −r+1 = 0, a −r = 1.Perioden er lig med det mindste hele tal p, så det karakteristiske polynomium f(x) er endivisor i 1 − x p .Bevis: Med de givne startværdier og periode p har vi, atG(x) = 1f(x) = a 0 + a 1 x + . . . a p−1 x p−1 +x p (a 0 + a 1 x + . . . a p−1 x p−1 ) +x 2p (a 0 + a 1 x + . . . a p−1 x p−1 ) + . . .= (a 0 + a 1 x + . . . a p−1 x p−1 )11−x pSåf(x)(a 0 + a 1 x + . . . a p−1 x p−1 ) = 1 − x pog f(x) er en divisor i 1 − x p .matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.16/18


PeriodenAntag omvendt, at f(x) er en divisor i 1 − x q . Altså, atf(x)(b 0 + a 1 x + . . . b p−1 x p−1 ) = 1 − x q .Så erG(x) = 1f(x) = b 0 + a 1 x + . . . b p−1 x p−11 − x q = (b 0 +a 1 x+. . . b p−1 x p−1 )(1+x q +x 2q +x 3q +. . . )Da G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . har vi, at q = p, at a i = b i for alle i og at perioden erlig med p.matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.17/18


Perioden• Hvis registret har maksimal periode, så er det karakteristiske polynomiumirreducibelt. Vises ved brug af ovenstående sætning.• Det omvendte gælder ikke: 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 er irreducibelt; men registret harkun periode 5.• Hvis det karakteristiske polynomium er irreducibelt, så er perioden en divisor i2 r − 1.• Hvis 2 r − 1 er et primtal, så giver ethvert irreducibelt polynomium anledning til etregister af maksimal længde 2 r − 1.• Primtal på formen 2 r − 1 kaldes Mersenne primtal. Det største man kender er2 6972593 − 1matematikdag.tex – Global Position System - Galileo – Johan P. Hansen – 14/3/2005 – 11:18 – p.18/18

More magazines by this user
Similar magazines