Eksamenoppgaver om mekanikk uten rotasjon. - Universitetet i Tromsø

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.Her er en samling tidligere eksamensoppgaver som er gitt ved ingeniørutdanningen vedHøgskolen i Tromsø / Universitetet i Tromsø. Denne samlingen inneholder kun oppgaver iklassisk mekanikk uten rotasjon. Oppgaver innen andre deler av fysikken finnes i andresamlinger.Oppgavene har vært gitt i tidsrommet 1994 – 2009, og er derfor tilpasset forskjellige pensumvarianterog forskjellige lærebøker.Oppgave 1:PθAθQBEi snor er festet i punktet P, og kan gli utenfriksjon over ei lett trinse i punktet Q. Enkloss A kan gli uten friksjon på snora. Enkloss B er festet i enden av snora.Tegn inn de kreftene som virker på klossene,og finn snoras vinkel θ med horisontalplanetuttrykt ved klossenes masser mAog mBnårsystemet er i likevekt.Oppgave 2:En kasse ligger på et lasteplan. Friksjonstallet mellomkasse og lasteplan er µ = 0.20 , og vi skiller ikke mellomstatisk og kinetisk friksjon. Lasteplanet er hele tidenhorisontalt.a) Kassen ligger på lasteplanet uten noen surring.1) Hva er den største akselerasjonen bilen kan ha uten at kassen begynner å gli?2) Bilen kjører med konstant fart i en sving med svingradius R = 20m . Hva er denstørste farten bilen kan ha uten at kassen begynner å gli?b) ABKassen sikres med et tau A-B fra toppen av kassen tillasteplanet slik figuren viser. Tauet er 1.00m langt, ogkassen er 0.60m høy. Hvor stor er strekk-kraften i tauet når2bilens akselerasjon er a = 4.00m/s , og kassens masse erm = 100kg ? Lasteplanet er fremdeles horisontalt.Oppgave 3:RθEn kjegleflate står med spissen ned. Flata danner en vinkel θmed aksen. Et rett spor er frest ut i flata fra spissen og oppover.En partikkel kan gli uten friksjon i sporet. Kjegleflata (ogpartikkelen) roterer med vinkelfart ω om symmetriaksen.Tegn inn de kreftene som virker på partikkelen, og bestem(uttrykt ved ω og θ ) den radien R som gjør at partikkelen blirstående i ro i sporet.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.Oppgave 4:REn trommel roterer om sin symmetriakse med konstantvinkelfart ω . En partikkel befinner seg inni trommelen.Friksjonstallet mellom partikkelen og trommelveggener µ . Finn (uttrykt ved trommelens radius R ogvinkelfarten ω ) hvor stor µ minst må være for atpartikkelen skal "henge" i veggen uten å gli nedover.Oppgave 5:En ustrekkelig, masseløs snor er festet i taket med sin ene ende, gårT Bunder en masseløs trinse TA, videre over en annen masseløs trinse TBsom også er festet til taket, og til et lite legeme B med masse m. Et annetlite legeme A som også har masse m er festet til trinsa TA. Trinsene kanrotere uten friksjon. Se figuren.Ta) Tegn inn de kreftene som virker på klossene A og B, og på de toAtrinsene.b) Systemet holdes i ro, og slippes. Begrunn at:A B1) Når systemet slippes, vil legemet A begynne å bevege segoppover og B nedover.2) Når akselerasjonene til A og B kalles henholdsvis aAog aB, eraB= 2aA(vi ser kun på størrelsene, ikke på retningene tilakselerasjonene).c) Finn akselerasjonene til klossene A og B uttrykt ved m og tyngdeakselerasjonen g.Oppgave 6 – 8 forutsetter at du kan løse differensiallikninger.Oppgave 6:a) En båt med masse m går med konstant motorkraft F0. Vannmotstanden er gitt vedFR= − bvder v er båtens fart og b er en konstant. Båten går med konstant fart. Finn denne konstantefarten uttrykt ved b og F0.b) Ved tidspunktet t = 0 begynner motoren å fuske, slik at motorkraften avtar etter formelenF( t) = Fe −kt0der k er en konstant. Sett opp Newtons 2. lov for bevegelsen, og vis at farten vedtidspunktet t er gitt vedF0⎛b−ktmk − mv( t) e et ⎞= ⎜ − ⎟b − mk ⎝ b ⎠bnår farten ved t = 0 er den farten du fant i a). Forutsett at k ≠ .mx t som båten går etter at motoren begynte å fuske.c) Finn et uttrykk for strekningen ( )Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.Oppgave 7:En båt påvirkes av to krefter: En motorkraft Fmog en motstandskraft − kv der v er båtens fart.Begge kreftene virker i båtens fartsretning, slik at kraftsummen i denne retningen blirF = Fm− kv .a) Det trengs en motorkraft på Fm= 5000 N for å holde en konstant fart på 10 m/s . Bruk dettetil å beregne verdien av konstanten k.b) Båten har masse m. Sett opp Newtons 2. lov i fartsretningen.Vi forutsetter at motorkraften Fmer konstant. Vis at Newtons 2. lov kan omformes til endifferensiallikning med v og t som variabler, og k, m og Fmsom konstanter.Løs denne differensiallikningen, og vis at løsningen blir− ktkm 1− t mv t = ve + F − e .( ) 0 k m ( 1 )I resten av oppgaven skal svar oppgis ved v0, m, k og/eller Fm.c) Hva skjer med båtens fart v i disse tilfellene:1) Tiden t = 0 .2) Tiden t går mot uendelig.13) Startfarten v0 =kFm.d) Vi lar startfarten være lik null, og lar båten gå med konstant motorkraft Fm. Hva er denstørste farten båten kan få?Hvor lang tid tar det før båten når halvparten av sin maksimale fart?e) Når båten går med en fart v0, slår vi plutselig bakk i motoren slik at Fmerstattes medHvor lang tid tar det før båten stopper?f) Vi laster båten slik at massen fordobles, mens k og Fmer uendret. Hvilke følger får dettefor svarene i d) og e)?−FmOppgave 8:Et lite legeme med masseF( t) = − Fe −kt0m = 0.500 kg påvirkes av en kraft F( t ) som er gitt ved−1der F0= 5.00 N og k = 0.200s .a) Sett opp Newtons 2. lov for legemet. Vis ved integrasjon at legemets fart er gitt ved−−( 0.200s )( ) ( )1 ⋅tv t = v0 −50 1−e m/sder v0er legemets startfart.b) Hvor stor må startfarten være dersom legemet skal stanse når t går mot uendelig?c) Finn et uttrykk for legemets posisjon som funksjon av tiden (anta at startposisjonen erx0= 0m).d) Hvor langt beveger legemet seg med den startfarten du fant i b)?e) Dersom startfarten er halvparten så stor som den startfarten du fant i b), vil legemet snu ogbevege seg tilbake. Beregn hvor lang tid det vil ta før legemet snur, og hvor langt det dahar beveget seg.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.Oppgave 9:a) En kloss glir uten å rotere nedover et skråplan som har en helningsvinkel θ medhorisontalplanet. Bruk Newtons 2. lov til å vise at så lenge klossen glir, har den enakselerasjonak = g( sinθ − µ cosθ)ned langs skråplanet, der g er tyngdens akselerasjon og µ er friksjonskoeffisientenmellom kloss og skråplan. Vi skiller ikke mellom statisk og kinetisk friksjon.b) Skråplanet gis en helningsvinkel θ = 30 med horisontalplanet. Så sender vi en partikkelrett oppover skråplanet fra skråplanets fot med en startfart v0= 5.00m/s . Det er ingenfriksjon mellom partikkelen og skråplanet. Partikkelen kommer da akkurat til toppen avskråplanet før den snur.1) Hvor langt er skråplanet?2) Hvor lang tid tar det fra partikkelen starter til den snur på toppen av skråplanet?c) Skråplanet har fremdeles en helningsvinkel θ = 30 med horisontalplanet. Vi plassererklossen fra del a) av oppgaven på toppen av skråplanet, og slipper den samtidig som visender partikkelen fra del b) av oppgaven rett oppover fra skråplanets fot med en startfartv0= 5.00m/s . Partikkelen og klossen kolliderer ikke. Klossen bruker like lang tid på å glined skråplanet som partikkelen bruker på å bevege seg opp skråplanet og tilbake, slik atpartikkelen og klossen kommer samtidig ned til skråplanets fot.Finn friksjonskoeffisienten µ mellom kloss og skråplan.Oppgave 10:I denne oppgaven skal vi leke med en liten kloss med masse m som glir på et skråplan.I hele oppgaven kan du betrakte klossen som en partikkel.Skråplanet har en helningsvinkel θ med horisontalplanet.Alle svar skal uttrykkes ved m, θ og/eller tyngdeakselerasjonen g.a) Vi antar først at friksjonstallet µ mellom skråplanet og klossen er konstant.1) Vi justerer helningsvinkelen θ slik at klossen glir nedover med konstant fart når dengis et lite puff. Vis at da er µ = tanθ. Bruk denne sammenhengen i resten avdeloppgave a).2) Vi fester en lett tråd i klossen, og trekker den oppover skråplanet med konstant fart.Tråden er hele tiden parallell med skråplanet. Finn det arbeidet som vi har utført nårvi har trukket klossen en strekning L oppover langs skråplanet.3)ϕΘVi trekker fremdeles klossen med konstant fartved hjelp av en tråd parallell med skråplanet.Men nå trekker vi slik at klossen glir langs enhorisontal linje på skråplanet (se figuren tilvenstre). Hvor stor kraft trekker vi med, og hvorstor vinkel ϕ danner tråden med denhorisontale linja?Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.b)θLI denne deloppgaven bruker vi et skråplan der detikke er friksjon mellom planet og klossen. Vifester klossen i enden av en tråd med lengde L, ogfester den andre enden av tråden i skråplanetsøvre kant. Vi holder tråden langs skråplanets øvrekant (som er horisontal), og slipper klossen utenstartfart. Klossen beskriver da en sirkelbue påskråplanet. Finn snordrags-kraften idet klossenpasserer sitt laveste punkt på skråplanet.Oppgave 11:3lAlEn takbjelke har kvadratisk tverrsnitt med sidekant l.Bjelken ligger horisontalt. Ei snor med lengde 3l er festettil bjelkens øverste kant. I den andre enden av snora er detfestet ei lita kule med masse m. Snora holdes stram oghorisontal, og slippes. Finn (uttrykt ved m, l og/ellertyngdeakselerasjonen g):a) Hvor stor fart har kula idet den passerer det laveste punktet A?b) Hvor stor er snorstrammingen (kraften i snora) like før kula passerer A?c) Hvor stor er snorstrammingen (kraften i snora) like etter at kula har passert A?Oppgave 12:RθEn sylinder med radius R ligger med horisontal akse. En litenpartikkel med masse m kan gli uten friksjon på utsiden avsylinderflata. Partikkelen plasseres på toppen av den liggendesylinderen. Den begynner å gli med neglisjerbar startfart. Viforutsetter at partikkelen hele tiden befinner seg påsylinderflata.a) Vis at når linja fra partikkelen til sylinderaksen danner en vinkel θ med vertikalplanet(se figuren), er partikkelens fartv = 2gR 1− cosθ.( )b) Tegn inn de kreftene som virker på partikkelen i den angitte posisjonen.c) Hvor stor er da normalkraften fra sylinderen mot partikkelen?d) Ved hvilken vinkel θ forlater partikkelen sylinderflata?Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.Oppgave 13:En vinterdag skal du være med din lille nevø Petter i akebakken. Den er 50 m lang, og har enhelningsvinkel på 20 med horisontalplanet. Kjelken med Petter på har masse m = 30kg .Friksjonstallet mellom kjelkemeiene og bakken er 0.15.a) Hvor stor fart har kjelken ved foten av bakken når du gir den en startfart på 3.0m/s påtoppen av bakken?b) Deretter må du skyve kjelken med Petter på oppover bakken med konstant fart. Duskyver med horisontal kraft. Sett opp en likning for kreftene langs bakken, og en likningfor kreftene vinkelrett på bakken, og bruk disse likningene til å finne hvor stor kraft dumå skyve med.Oppgave 14:Likevektx1= 20.0cmEn kloss med masse m = 0.800 kg er festet tilden ene enden av ei fjær som har fjærkonstantk = 98.1N/m . Fjæras andre ende er festet til envegg slik figuren nedenfor viser. Klossen kan glipå et horisontalt underlag. Det er friksjonmellom klossen og underlaget.x2= 16.0cmVi trekker klossen en strekning x1= 0.200 m tilside for likevekt, og slipper klossen. Første gangklossen har passert likevekt, er klossens størsteutslag på den andre siden av likevektx2= 0.160m . Finn friksjonstallet µ mellomklossen og underlaget. Se bort fra friksjonmellom fjæra og underlaget.Oppgave 15:Ei elastisk fjær er fastmontert nederst på et skråplan med helningsvinkel 30° som vist påfiguren over. Fjæra har fjærstivheten 500 og er presset sammen 5.00cm . En kloss medNmmassen 20.0g er plassert på toppen av den spente fjæra. Når vi slipper fjæra, skytes klossenoppover skråplanet. Avstanden fra klossens posisjon når fjæra er i likevekt og til toppen avskråplanet er 1.00m.a) Hvor langt fra enden av skråplanet vil klossen lande dersom det ikke virker friksjonmellom klossen og skråplanet?Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.mb) Dersom det skulle vise seg at klossen har farta 6.50søverst på skråplanet, hvor stor måfriksjonsfaktoren mellom klossen og skråplanet da være?c) Når vi skyter ut klossen, ser vi at den treffer underlaget 4.50m fra enden av skråplanet.Bestem ut fra dette farta til klossen øverst på skråplanet.Oppgave 16:En liten vogn A med masse m beveger seg på etBAhorisontalt, friksjonsfritt underlag med fart v 0mot en annen liten vogn B som har masse 2m ogsom står i ro.En masseløs spiralfjær med fjærkonstant k er festet til B, og sørger for at vognene støtersammen i et fullstendig elastisk, rettlinjet støt.a) Finn hastighetene til vognene etter støtet uttrykt ved v0.b) Ved ett bestemt tidspunkt under støtet har de to vognene samme fart. Finn (uttrykt ved v0og k) hvor mye fjæra da er presset sammen.Oppgave 17:XEn partikkel A med masse m ligger i ro i origo. Enmystisk partikkel X med ukjent masse mXkommermed ukjent fart uXlangs negativ x-akse, og treffer A.vEtter støtet har A en fart vA= 4.5m/s , og retningenAu X 53.1 danner en vinkel på 53.1 med positiv x-akse. X har enoA -36.9 ofart vX= 2.5m/s , og retningen danner en vinkel påv X−36.9 med positiv x-akse.Finn mXuttrykt ved m, og finn uX.Oppgave 18:To partikler beveger seg uten friksjon i et horisontalt plan.uA= 2.0m/sPartikkel A har masse m og fart uA= 2.0 m/s ˆi.A ( −6,0)Partikkel B har masse 2m og fart uB=1.0 m/s ˆj.B( 0, −3)uB= 1.0m/s I start-tidspunktet t = 0 er A i posisjon b−6,0g , og B er iposisjon b0,−3g . Se figuren.a) Anta at partiklene til sammen utgjør et legeme. Finn posisjon og fart til dette legemetsmassesenter når t = 0 .De to partiklene kolliderer i origo.b) Finn partiklenes fart etter kollisjonen dersom kollisjonen var uelastisk.c) Anta isteden at partikkel A etter kollisjonen har fart vA=1.0m/s ˆj. Hvilken fart har dapartikkel B etter kollisjonen?Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.

Fysikk for ingeniører – oppgaver.Klassisk mekanikk uten rotasjon.Oppgave 19:To partikler A og B kan bevege seg på samme rette linje. Partikkel A har masse m og fart u0.Den kolliderer i et rettlinjet støt med partikkel B som har masse 2m og ligger i ro.a) Anta først at støtet er fullstendig uelastisk.1) Finn partiklenes fart etter støtet uttrykt ved u0.2) Finn også hvor stor del av den opprinnelige kinetiske energien som er igjen somkinetisk energi etter støtet.b) Anta så at støtet er fullstendig elastisk. Finn partiklenes fart etter støtet.Oppgave 20:En partikkel A med masse m og fart u0støter sammen med en annen partikkel B som harmasse 2m og fart − u0. Støtet er rettlinjet og sentralt, og det er fullstendig elastisk. Sett oppde bevaringslovene som gjelder for dette støtet, og bruk disse lovene til å finne partikleneshastigheter vAog vBetter støtet uttrykt ved u0.Oppgave 21:Ei katt med masse mk= 5.00kg sitter på ei huskesom har masse mh= 1.50kg . Se bort fra massen tiltauene som holder huska oppe. Plutselig dukker enhund opp, og katta hopper ned fra huska for ågjemme seg. Idet katta hopper av, svinger huskabakover.hGå ut fra at katta hopper ut horisontalt, og at bådekatta og huska er partikler. Se bort fra alle former forfriksjon.sa) Finn farten til katta idet den forlater huska når du vet at høyden h = 0.545m , og at denhorisontale strekningen s = 0.62m .b) Bruk resultatet ovenfor til å finne hvor høyt over sitt laveste punkt huska kan komme.Dersom du ikke har løst del a), kan du sette opp og begrunne de likningene som måbenyttes.Oppgave 22:AAdBBTo fjærer ligger på et horisontalt underlag. De erfestet til hver sin vegg slik figuren nedenfor viser.Fjær A har fjærkonstant kA= k mens fjær B har3fjærkonstant kB= k. Når fjærene er i likevekt, er5avstanden mellom dem d.Vi hekter nå fjærene sammen. Hvor mye vil hver avfjærene forlenges når fjærene er kommet til ro?Svaret skal uttrykkes ved d, og skal begrunnes.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2012.