Introduksjon til MATLAB ® Høgskolen i Agder ... - Of the Clux

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________21. BLOKKREDUKSJON I MATLAB_____________________________________31.1 Parallell G1(s) G2(s)_____________________________________________________ 31.2 serie G1(s) G2(s) ________________________________________________________ 31.3 Luket sløyfe____________________________________________________________ 41.4 Tilbakekopling _________________________________________________________ 41.5 Eksempel på et sammensatt system ________________________________________ 42. Simulering i tidsplanet_______________________________________________62.1 Sprang respons _________________________________________________________ 62.2 Impuls respons _________________________________________________________ 72.3 Responsen til et tilfeldig inngangs signal ____________________________________ 72.4 Sprangresponsen til et anneordens system med varierende verdier på ξ __________ 83. Frekvensplan analyse _______________________________________________83.1 Bode diagrammet _______________________________________________________ 83.2 Fase og amplitude margin ________________________________________________ 94. S-plan analyse ____________________________________________________114.1 ANENORDENS SYSTEM PÅ STANDARDFORM(K, ξ , ω 0 ) _________________ 114.2 Samenhengen mellom Polenes plasering og systemets sprangrespons ___________ 114.3 Rotlocus metoden ______________________________________________________ 125. Tilstansdrom modeller ______________________________________________146. Forskjelige representasjon av lineære systemer i Matlab __________________207. Introduksjon til simulink ____________________________________________23M.Ottestad− 2 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________31.BLOKKREDUKSJON I MATLAB%1. prosess G1(s)num1=[1]; %Slik setter vi inn teller polynomet 1⋅s 0den1=[1 10]; %Slik setter vi inn nevner polynomet 1⋅s 1 +10⋅s 0%2. prosess G2(s)num2=[1 1]; %Slik setter vi inn teller polynomet 1⋅s 1 +1⋅s 0den2=[1 6]; %Slik setter vi inn nevner polynomet 1⋅s 1 +6⋅s 0Printsys(num1,den1) %skriver ut G1(s)Printsys(num2,den2) %Skriver ut G2(s)num/den = 1------s + 10num/den = s + 1-----s + 61.1 Parallell G1(s) G2(s)[nump,denp]=parallel(num1,den1,num2,den2);printsys(nump,denp)num/den = s^2 + 12 s + 16---------------s^2 + 16 s + 601.2 serie G1(s) G2(s)[nums,dens]=series(num1,den1,num2,den2); %Serie kopler G1(s)med G2(s)printsys(nums,dens)%Skriver utt resultatnum/den = s + 1---------------M.Ottestad− 3 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________4s^2 + 16 s + 601.3 Luket sløyfe[numl,denl]=cloop(nums,dens); %Finner lukket sløyfe transferfunksjonprintsys(numl,denl)num/den = s + 1---------------s^2 + 17 s + 611.4 Tilbakekopling[numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2);%Finner lukket sløyfe transferfunksjon når det er dynamikk i%tilbakekoplingenprintsys(numf,denf)num/den = s + 6---------------s^2 + 17 s + 611.5Eksempel på et sammensatt systemTrinn 1:sett transferfunksjonene inn i matlabTrinn 2:Flytt H 2 bak G 4Trinn 3:Eliminere G 3 G 4 H 1 sløyfenTrinn 4:Eliminere sløyfen som inneholder H 2Trinn 5.Eliminere den siste sløyfenM.Ottestad− 4 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________5ng1=[1]; dg1=[1 10]; %trinn1ng2=[1]; dg2=[1 1];ng3=[1 0 1]; dg3=[1 4 4];ng4=[1 1]; dg4=[1 6] ;nh1=[1 1]; dh1=[1 2];nh2=[2]; dh2=[1];nh3=[1]; dh3=[1];[n1,d1]=series(nh2,dh2,dg4,ng4); %trinn2[n2a,d2a]=series(ng3,dg3,ng4,dg4); %trinn3[n2,d2]=feedback(n2a,d2a,nh1,dh1,+1);[n3a,d3a]=series(ng2,dg2,n2,d2); %trinn4[n3,d3]=feedback(n3a,d3a,n1,d1);[n4,d4]=series(ng1,dg1,n3,d3);%trinn5[num,den]=cloop(n4,d4);printsys(num,den)num/den =s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 6 s^2 + 5 s + 2----------------------------------------------------------------12 s^6 + 205 s^5 + 1066 s^4 + 2517 s^3 + 3128 s^2 + 2196 s + 712M.Ottestad− 5 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________6Figur 7 viser hvordan en trinnvis blokkreduksjoner foretas samt resulterendetransferfunktion2. Simulering i tidsplanet2.1 Sprang respons5s+ 2Sprang responsen til en prosessen med transferfunksjon Hs ()=Vi ser2s + 3⋅ s+12hvordan utgangen til prosessen vil reagere på et enhets sprang på inngangenSprang respons til en transfer funksjon fines på følgende måte:num=[5 2];den=[1 3 12];printsys(num,den)step(num,den)grid%teller transferfunksjn%nevner transferfunksjn%plot sprang respons%tegner ruternum/den =5 s + 2--------------s^2 + 3 s + 12Amplitude10.90.80.70.60.50.40.30.20.10Av sprang responsen kan vi finne1 Oversvings faktoren2 Stigetid3 Innstillingtid4 svingefrekvensM.Ottestad− 6 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________72.2 Impuls responsImpuls responsen til prosessen med transferfunksjon H(s) viserHvordan utgangen til prosessen vil reagere på en enhets impuls på inngangen7Impuls respons til en transfer funksjon Hs () =fines på følgende måte:2s + 06 . ⋅ s+4num=[7];%teller transferfunksjnden=[1 0.6 4];%nevner transferfunksjnimpulse(num,den) %plot impuls responsgrid%tegner ruterAmplitude32.521.510.50-0.5-1-1.5-20 5 10 15 20Time (secs)2.3 Responsen til et tilfeldig inngangs signalResponsen til en prosess når den påtrykkes et tilfeldig inngangs signal fines påfølgende måte:t=0:0.01:4*pi;%Definerer simulerings tidu=sin(3*t); %Genererer inngangssignal sin( t)num=1;%Teller transferfunksjnden=[1 0.6 1];%Nevner transferfunksjn[x,y]=lsim(num,den,u,t);%Simulererplot(t,[u' x]);grid1M.Ottestad− 7 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________82.4Sprangresponsen til et anneordens system med varierende verdier påξt=[0:0.1:20];i=1;for del =0.1:0.1:1n=1;d=[1 2*del 1];y(:,i)=step(n,d,t);i=i+1;endmesh(y,[-120 30])21.510.5010502502001501005003.Frekvensplan analyse3.1 Bode diagrammetNår et system påtrykkes en ren sinus på inngangen vil det etter en tid gi en ren sinuspå utgangen,men denne vil oftest ha en annen amplitude og fase en inngangen.I avsnitt 2.3 så vi at inngangs signalet hadde en amplitude på 1 mens utgangs signaletinnstiller seg på en amplitude på ca 0.1 (0.1 =-20 dB)og en fase dreining på nær 180 .Avsnitt 2.3 gir informasjon om amplitude og fase ved en enkelt frekvens ( =3).MensBode diagrammet gir informasjon om1 Forsterkningen til systemet ved forskjellige frekvenser2 Fase dreiningen gjennom systemet ved forskjellige frekvensernum=1;%Teller transferfunksjnden=[1 0.6 1];%Nevner transferfunksjnbode(num,den)%tegner bode plot for H(s)M.Ottestad− 8 −

Introduksjon til MATLAB ®___________________________________________________________________920Gain dB0-20-4010 -1 10 0 10 10Frequency (rad/sec)Phase deg-90-18010 -1 10 0 10 1Frequency (rad/sec)ved å sammenholde figur 11 og 12 ser vi at di er i god overensstemmelse ved ω =3 ifig 12 har vi en demping på ca -20dB og en fase dreining på nær 180° .3.2 Fase og amplitude marginDer som vi påtrykker en prosess et sinus signal med varierende frekvenser(fig 13) vilvi ved en gitt frekvens kunne få 180° fase dreining gjennom prosessen.SignalGenerator500s 3+15s 2+50sTransfer FcnScopeDersom vi ved denne frekvens har en forsterkning F ≥ 1( F ≥ 0 dB)ser vi av fig 14 at signalet på utgangen vil værestørre eller lik signalet på inngangen samtidig som det er 180° grader etter i fase+500Dersom vi luker sløyfen som i fig 15 samtidig som vi slår av signalgeneratoren vilprosessen fremdeles ha same eller større inngangs signal som før.[(-) tegnet isumatoren gir 180 ° fasedreining i tillegg til di 180° vi hadde fra prosessen,Totaltgir dette 360° eller 0° fase dreining]M.Ottestad− 9 −

Introduksjon til MATLAB ®10___________________________________________________________________SignalGenerator+-Sum500s 3+15s 2+50sTransfer FcnScopeVi har nå en tibakekoplet prosess som leverer sit eget inngangs signal slik at den vilbli stående å svinge med konstant amplitude,eller verre den vil svinge med stadigstørre amplitude,vi har en ustabil prosessUt fra dette kan vi sette opp stabilitetsbetingelsene for et tilbake koplet system iåpen sløyfestabilitetsbetingelseneNår vi har en fasedreining på 180° måforsterkningen være mindre en 1 (0 db)for å finne fase og forsterknings marginen til en prosess gjør vi som følger:num=500;%Teller transferfunksjnden=[1 15 50 0];%Nevner transferfunksjnmargin(num,den)Warning: Divide by zero50Gm=3.522 dB, (w= 7.071) Pm=11.42 deg. (w=5.716)Gain dB0-50Phase deg-10010 -1 10 0 10 1 10 2Frequency (rad/sec)0-90-180-270-36010 -1 10 0 10 1 10 2Som vi ser av fig 16. har vi Pm =FASEMARGIN φm = 11,42 ved ωc = 5.715Gm =FORSTERKNINGSMARGIN ∆K =3.52 dB ved ω180 = 7.071M.Ottestad− 10 −

Introduksjon til MATLAB ®12___________________________________________________________________Periodetid Tp:Er den tiden mellom to påhverandre føgende topper i sprangresponsen13 .Tr =2ω0⋅ 1 −ξInnstilingstid Ti : Er den tiden det tar før sprangresponsen er innenfor et bånd sombegrenses av ±ε % av stasjonærverdienTr = − ⋅ − 2ln( ε 1 ξ )ω ⋅ξ0Oversvings faktor δ: Er forholdet mellom maks oversving og stasjonærverdientil sprangresponsen.δ =ξπ ⋅−ξe 1 2eller ξ =π− ln( δ )+ (ln( δ))2 24.3 Rotlocus metodenPå figur 19 ser vi et tilbakekoplet system med en prosess H(s).Avvikssignaletforsterkes med en forsetkning Kp1Vi kan nå finne transferfunksjonen til den lukede sløyfenTransferfunksjomen for luket sløyfe1Hs ()=s 3 + 3s 2 + 2sRøtene til nevneren i T(s) vil endres med endret verdi på KpDersom vi endrer Kp i små trin vil vi se at røtene(polene)M.Ottestad− 12 −

Introduksjon til MATLAB ®13___________________________________________________________________til T(s) vil bevege seg langs en bane en bane i s-planetse fig 18Dersom vi nå tegner inn linjene for =[0.1 0.2 0.3 ...0.9 1]og linjene for 0Dersom vi nå velger den Kp Verdien som liger i sjeringspunktet mellom rotbanen og=0.6 linjen vil luketsløyfe få en relativdempning på 0.6EKSEMPELnum=1;%Teller i transfer funksjnden=[1 3 2 0];%Nevner i transferfunksjnrlocus(num,den)% Tegner rot banenesgrid % Tegner linjer for ξ og ω 0Imag Axis43210-1-2-3-4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Real AxisSelect a point in the graphics window% Nårdu har valg punktet får du fløgende opplysningerk = 1.4157 %Kp =p =-2.4145-0.2927 + 0.7076i-0.2927 - 0.7076i% Polene er plasertM.Ottestad− 13 −

Introduksjon til MATLAB ®15___________________________________________________________________⋅m ⋅ V = K ⋅( X − X ) + B⋅( V −V)2 2 s 1 2 1 2⋅ KsBV X Xmm V V2= ⋅( 1−2) + ⋅( 1−2)22Samenheng mellom hastighet og posisjon⋅X = V⋅1 1X2 = V1Vi har nå fire ligninher som beskriver hjulophenget:⋅X1 = V1⋅ KWVm U X Ksm X X Bm V V1= ⋅( −1) − ⋅( 1−2) − ⋅( 1−2)⋅X2= V11⋅ KsBV X Xmm V V2= ⋅( 1−2) + ⋅( 1−2)22Ved å ordne lit på ligningene kan vi få dem på følgende form;0X1 1 V1 0 X2 0 V⎡.X ⎤ ⎡⋅ ⋅ ⋅2 ⎤K K bXV m m V Km X bmV01⎢s w 1s1. ⎥ ⎢ ( + ) − −⎥ ⎡ ⎤K11 22 w⎢ ⎥ ⎢−⋅ ⋅ ⋅mU111 1 1⎥ ⎢ ⋅ ⎥⎢ . ⎥ = ⎢⎥ + ⎢ 1 ⎥0X V X VX1010212⎢02 ⎥ ⎢⋅ ⋅ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥.KsV m X bm V Ksm X −b⎢ ⎥ ⎢m V 1⋅1⋅2 ⋅⎥ ⎢ ⎥2 0⎣ 2 ⎦ ⎣⎢2222 ⎦⎥ ⎣ ⎦Ligning A1Vi har nå en beskrivelse av alle systemets tilstander som første ordens dif ligningerDenne måten å beskrive lineæresystemet kalles tilstandsrom form eller state spaceformI state space for beskrives altid ligningene på følgende form:⋅X = A⋅ X+ B⋅UY = C⋅XLigning Bder X er tilstands vektoren ,A er systemmatrisen, B pådrags matrisen C er målematrisen i hjulophenget velger vi bilens posisjon X1 til være utgangen YDa blir⎡ 0 1 0 0 ⎤K K b K b X⎢ (s+w)− −s−⎥ ⎡ ⎤ ⎡ 0 ⎤1 11Kw⎢ m m m m ⎥ ⎢ V ⎥ ⎢ ⎥11 1 11A = ⎢⎥ X = ⎢ ⎥ B = ⎢ m ⎥0 0 0 1,, ,, 1 ,, C = [ 1 0 0 0]⎢XKsb Ks−b⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢V⎥ ⎢ ⎥⎣⎢m m m m ⎦⎥⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦2 2 2 2Sett disse verdiene inn i ligning 2 multipliser ut å sjek at resultatet er ioverenstemmelse med ligning 1M.Ottestad− 15 −

Introduksjon til MATLAB ®16___________________________________________________________________Du kan enten skrive komandoene ret inn matlab command window eller du kanskrive alle komandoene inn i en m-fil og så kjøre filen. legg m-filene i same direktorysom du kjører matlab fraLag en m-fil i Notepad som du kaller test1.mtast inn følgende linjer:m1 = 10;m2 = 250;Kw = 500000;Ks = 10000;b = 10000;Dette programet definerer en rekke konstantene Gå over i matlab command windowog skriv : test1 Matlab vil nå lese inn innholdet av filen "test1.m" Du vil ikke få noenrespons fra matlab når du kjører "test1" dersom du ikke har glemt et semikolon iprogramet, men konstantene er definert i matlab slik at du kann bruke demDette kan du teste ved å skriveKwMatlab vil da svare medKw =500000Gå tilbake til notepadVi skal nå skrive matrisene A,B,C,D inni m-filen test1skriv inn følgende linjerA = [0 1 0 0-(Ks+Kw)/m1 -b/m1 Ks/m1 b/m10 0 0 1Ks/m2 b/m2 -Ks/m2 -b/m2];B = [0Kw/m100];C = [1 0 0 0];D = [0];husk å lagre filen NÅLeg merke til at det må være space melom hvert tall i en matrise og at rekkeneadskiles med linjeskift.Dersom du ønsker å benytte linjeskift uten at det skal oppfatessom en ny linje må du avslutte linjen med tre punktum (...)Eksempel , Skriv følgende inn i matlablist = [1 2 3 ...4 5 6] (ikke avslut linjen med semi kolon)og samenlign dette medlist = [1 2 34 5 6]En ekvivalent måte å skrive inn matriser på er å skile rekkene med semikolonB = [0; Kw/m1; 0; 0];Du kunne også ha benyttet transponer opperatoren(') får å skrive inn B matrisenB = [0 Kw/m1 0 0]' ;Kjør m-filen test1 for å få lest A,B,C,D inn i matlabDu vil fremdeles ikke se noen respons fra malab når du kjører filenVi har nå nok informasjon til å finne sprangresponsen til systemet.Skriv innen sistelinje i programet test1:step(A,B,C,D,1)M.Ottestad− 16 −

Introduksjon til MATLAB ®18___________________________________________________________________Når du nå kjører m-filen din vil du få et resultat som i figuren ovverIstede for å plote sprangresponsen kan vi lagre den i en variabel y som vi kan plotesenerey = step(A,B,C,D,1,t);Vi kan nå plotte y som funksjon av t ved å benytte plot komandoenplot(t,y)1.41.210.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1Vi ser av figuren over at første variabel (t)kommer på horisontal aksen og andrevariabel (y)kommer på vertikal aksen .Vi kan skifte linje stil ved å endre påplotkomandoenplot(t,y,':')1.41.21M.Ottestad− 18 −

Introduksjon til MATLAB ®19___________________________________________________________________Vi ser at linjen blir dottetVi kan endre farge på linjene vedplot(t,y,'r:')Andre muligheter du kan prøve ersolid - red rdashed -- green gdotted : blue bdashdot -. white wEller prøv help plotfor mer informasjonMerking av akserVi kan sette navn på akkser og titel på plotet ved å skrive inn føgende linger i m-filen.plot(t,y)xlabel('Tid i sekunner');ylabel('Hjul posisjon i meter');title('Sprangrespons for bilhjul -- b = 10000 -- M.Ott, Regtek ,test1');1.4Sprangrespons for bilhjul -- b = 10000 -- M.Ott, Regtek , test11.2Hjul posisjon i meter10.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1Tid i sekunnerVi har nå plottet hjulets posisjon Whew! The wheel position after the step input isdone.:Vi kan nå plote bilens posisjon ved å endre målematrisen CCbil = [0 0 1 0];ybil = step(A,B,Cbil,D,1,t);plot(t,y,'r--',t,ybil,'g-');xlabel('Tid i sekunner');ylabel('Hjul posisjon i meter');title('Sprangrespons for bilhjul og bil -- b = 10000 -- M.Ott, Regtek,test1')text(0.15,1.1,'Bilens posisjon')text(0.1,1.3,'hjulets posisjon')M.Ottestad− 19 −

Introduksjon til MATLAB ®21___________________________________________________________________Matrisene på foregående side skrives i matlab som sist;A = [0 1 0 0-(Ks+Kw)/m1 -b/m1 Ks/m1 b/m10 0 0 1Ks/m2 b/m2 -Ks/m2 -b/m2];B = [0Kw/m100];C = [1 0 0 0];D = [0];Transferfunksjonen til et system er Laplace transformasjonen av inngangen dividertpå utgangenY(s) b 0 s m + b 1 s (m-1) + ... + b mH(s) = ------ = ------------------------------------------U(s) s n + a 1 s (n-1) + ... + a (n-1) s + a nI matlab forkortes transferfunksjon med tfI matlab representeres transferfunksjonen ved hjep av to vektorer som inneholder iteller og nevner polynomet teller = [b 0 b 1 ... b m ]nevner = [a 0 a 1 a 2 ... a n ]transfer funksionen til hjulopphenget fra del1 kan vi finne vef hjelp av komandoenss2tf som tar ss representasjonen og gjør den om til tflegg følgende komandoene til m-filen test1 og kjør den:[teller,nevner] = ss2tf(A,B,C,D);step(teller,nevner,t)1.41.21Amplitude0.80.60.402Som vi ser av figuren over blir resultatet det samme som simuleringen vi gjore iforige kapitel step(A,B,C,D,1,t) .Vi kan verifisere dette ved å plote begge i sammevindusubplot(2,1,1);step(A,B,C,D,1,t);title('Sprangrespons for state-space ligning');[teller,nevner] = ss2tf(A,B,C,D);subplot(2,1,2);step(teller,nevner,t);M.Ottestad− 21 −

Introduksjon til MATLAB ®23___________________________________________________________________7. Introduksjon til simulinkSimulink er et grafisk verktøy for simulering av dynamiske system, Simulink startesfra matlab command window ved å skrive SIMULINKSimulink består av flere bibiliotek med blokker som kan knyttes sammen, bibilioteketer bygget opp som verktøyskister (sources,Sinks,...osv)Ved å dobbelt klikke på en vektøyskiste vil du få se de blokkene som kisteninneholderSources Sinks Discrete Linear NonlinearConnectionsExtrasSIMULINK Block Library (Version 1.3c)dersom du dobbelt klikker på Sources vil følgende vindu åpne segSignal Source LibraryClockSignalGeneratorSine Waveuntitled.matFrom File12:34Digital Clock1ConstantStep Input[T,U]FromWorkspaceRepeatingSequencePulseGeneratorChirp SignalRandomNumberBand-LimitedWhite NoisePrøv å åpne di forsjkelge verktøys kistene å se på innholdet i demM.Ottestad− 23 −

Introduksjon til MATLAB ®24___________________________________________________________________+Sum1/sIntegrator1Gain1s+1Transfer FcnLinear LibraryKMatrixGain.InnerProductdu/dtDerivative1.317SliderGain(s-1)s(s+1)Zero-Polex' = Ax+Buy = Cx+DuState-SpaceSignal Sinks LibraryScopeGraphAuto-ScaleGraphXY GraphyoutTo Workspaceuntitled.matTo FileSTOPStop SimulationHit CrossingConnectionsLibrary1Inport1OutportMuxMuxDemuxDemuxFør vi kann begyne å simulere med simulink må vi opprete en arbeidstavle.Dette gjøe vi ved å gå inn på menyen File i simulink og velger NEWVi vil da få en blank arbeisd tavleVi kann nå åpne de forskjelige verktøskistene og dra de blokkene vi ønsker inn innpå arbeidstavla .(Vi brukker musa dra og slip)M.Ottestad− 24 −

Introduksjon til MATLAB ®25___________________________________________________________________Ved hjelp av musa kan vi så trekke forbindelserMellom di forskjelige blokkeneSignalGenerator+-Sum1s+1Transfer FcnMuxMuxAuto-ScaleGraphVi kann endre innholdet i blokkene ved å dobbelt klikke på dem for eksempel kan vidobbelt klikke på transfer Fcn og følgende bilde dukker oppVed å endre Numerator til [1 1] og Denominator til [1 0.7 1] vil bliokkskjemaetendres tilSignalGenerator+-Sums+1s 2+0.7s+1Transfer FcnMuxMuxAuto-ScaleGraphFør vi kan begyne å simulere må vi gå inn i menyen SIMULATION og velge noenhensiktsmessige parameter (se fig på neste side)Vi må velge Integrasjons metode (Øverste felt) Lin simSimuleringstid (stopptid-Starttid ) 9.9-0Skritlengde (Max step size) 0.1M.Ottestad− 25 −

Introduksjon til MATLAB ®26___________________________________________________________________Simuleringen av over stående system gav følgende resultat:10.50-0.5-1M.Ottestad− 26 −