Kapittel 5

5 Geometri. Trigonometri1 I trekanten ABC er ∠A = 65°. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB.a) Regn ut sidene CD og AB.Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.b) Bestem ∠E og siden EC.2 I trekanten ABC er ∠A = 45,2°, siden AC = 11,0 cm og siden BC = 13,0 cm.Regn ut høyden fra C på AB. Bestem ∠C.3 I en trekant ABC er AB = 7,0 cm, BC = 4,0 cm og ∠A = 32°. Regn ut vinkelen C. Finnarealet av trekanten ABC. Vi øker vinkelen A mens sidene AB og BC har uendret lengde.Hvor stor kan vinkelen A bli?4 En firkantet tomt har form som på figuren nedenfor. AD = 24,5 m, BC = 18,0 m, AB =30,0 m, ∠ B = 90° og ∠BAD = 75°.

a) Finn ∠BAC og siden AC.Normalen fra D på AC treffer AC i E.b) Finn sidene DE og AE.c) Regn ut arealet av tomta.5 En vertikal mast ST er plassert mellom punktene A og B på en horisontal mark. Bestemhøyden til masten når ∠SAT = 18°, ∠SBT = 32° og avstanden AB er 100 m.6 En tomt har form som trapeset ABCD nedenfor. Sidene AB og DC er parallelle. AB =25,7 m , AD = 21,5 m, ∠A = 80,2° og ∠B = 84,9°. DE står vinkelrett på AB.a) Regn ut sidene DE, AE, BC og DC.b) Bestem arealet av tomta.7 En tomt med hjørnene A, B, C og D har mål som vist på figuren nedenfor. Siden AD =27,0 m, siden BC = 34,0 m, ∠DAC = 32,0°, ∠ACD = 35,0° og ∠B = 58,0°. DE stårnormalt på AC.

a) Finn lengden av sidene DE, CD og AC.b) Bestem ∠BAC.c) Regn ut arealet av tomta.8 En familie har arvet en tomt. Tomta har form som en trekant med hjørnene A, B og C.Siden AB = 22,0 m, siden BC = 28,0 m og ∠ABC = 115°.a) Regn ut siden AC og ∠CAB.Familien ønsker å bygge et hus på tomta. For at tomta skal bli bedre egnet for husbyggingkjøper familien et tilleggsareal med hjørnene A, C og D. Siden CD = 18,0 m og ∠BCD =78,0°.b) Hvor lang er siden AD?Grunnflaten på huset skal være 120 m 2 .c) Hvor stor brøkdel av hele tomta blir bebygd?9 Et utstillingsområde skal gjerdes inn. Området skal ha form som en regulær femkant. Allesidene har lengden 60 m. Midtpunktet i femkanten kaller vi S. S har da samme avstand tilalle hjørnene (se figuren nedenfor).a) Bestem vinklene i trekanten ABS.b) Regn ut avstanden fra midtpunktet S til hjørnene i femkanten.c) Bestem arealet av utstillingsområdet.Ved neste utstilling skal det gjerdes inn et område som har dobbelt så stort areal og densamme formen som det eksisterende området.d) Hvor langt må gjerdet da være?10 En lekeplass har form som firkanten ABCD på figuren nedenfor. ∠A = ∠CAD = 90°,∠BAC = 28°, siden AC = 88 m og siden AD = 41 m.

a) Finn lengden av sidene AB og BC.b) Finn ∠ACD og siden CD.c) Regn ut arealet av lekeplassen.d) Finn lengden av diagonalen BD.11 Figuren nedenfor viser de to sjømerkene T og S. To landemerker A og B på stranden ligger240 meter fra hverandre. Med en teodolitt (vinkelmåler) finner vi vinklene nedenfor når vimåler fra A og når vi måler fra B:– ∠SAT = 45°– ∠BAS = 29°– ∠TBA = 49°– ∠SBT = 26°a) Regn ut avstanden BT og BS.b) Hva er avstanden mellom de to sjømerkene S og T?12 I en kystby har kaiområdet form som en trekant med hjørnene A, B og C. Siden AB =200 m, siden AC = 183 m og siden BC = 84 m.a) Regn ut ∠BAC og finn arealet av området.Kaiområdet utvides slik at det samlede området får form som et trapes ABCD med AB ogDC som parallelle sider. Det nye området ACD skal være på 5000 m 2 .b) Vis at siden CD blir 130 m.Det planlegges enda en utvidelse av kaiområdet slik at hele området får form som entrekant ned hjørnene A, B og E. Hjørnet E skal plasseres slik at punktene A, D og E liggerpå en rett linje. Det samme gjør punktene B, C og E.c) Finn arealet av den planlagte utvidelsen DCE.

13 En storbonde skal selge to tomter. Den ene tomta har hjørnene A, B og C. Sidene harlengdene AB = 40,0 m, AC = 75,0 m og BC = 51,5 m.a) Bestem ∠A og ∠B.b) Finn arealet av tomta.Den andre tomta har hjørnene B og C felles med den første tomta. Det tredje hjørnet Dligger på forlengelsen av AB. De to tomtene er like store.c) Hvor lang er siden BD?d) Regn ut ∠BDC.14 En bonde vil selge en tomt. Tomta har form som et trapes med hjørnene A, B, C og D.Sidene AB og DC er parallelle. Siden AB = 53,2 m, siden BC = 38,4 m og diagonalen AC= 49,6 m.a) Regn ut ∠BAC.Bonden at arealet av trekanten ACD er 460 m 2 .b) Finn arealet av tomta.c) Regn ut ∠CAD.15 To båter ligger i posisjonene A og B som vist på figuren nedenfor. Kari står på stranden ipunktet P og ser båtene i vinklene 40° og 50° i forhold til strandlinjen. I vannet rettutenfor der hvor Kari står, ligger skjæret S 190 m fra land. Punktene A, B og S ligger på enrett linje, og ∠PSB = 90°.a) Regn ut hvor langt Kari befinner seg fra hver av båtene.b) Finn avstanden mellom båtene.

16 Heron fra Aleksandria levde i det første århundret av vår tidsregning. Vi vet ikke mye omHeron, men han har fått en bemerkelsesverdig formel oppkalt etter seg. Ved hjelp avHerons formel kan vi finne arealet av en trekant dersom vi kjenner alle sidene i trekanten.Vi lar en trekant ha sidene a, b og c, og settera + b + cs = (s er altså halvparten av omkretsen til trekanten.)2Arealet, A, av trekanten er da gitt vedA = s( s − a)(s − b)(s − c)En hyttetomt har form som en trekant. Ved hjelp av målebånd finner du at sidene erhenholdsvis 39,6 m, 33,4 m og 42,0 m lange.a) Bruk Herons formel for å finne arealet av hyttetomta.Du skal grave en grøft fra hjørnet C til siden AB, som skal stå vinkelrett på AB.b) Hvor lang blir grøfta?17 En orienteringsløper starter ved post A. Hun løper til post B, som ligger 560 m fra post A.Fra post B til post C er avstanden 750 m. Post D ligger 330 m fra post C. Av kartet ser viat ∠ABC = 118° og ∠BCD = 75°. AC er diagonalen i firkanten ABCD. Postene ligger isamme høyde, og alle avstandene er målt i luftlinje.a) Regn ut avstanden mellom postene A og C.b) Finn ∠ACB.c) Regn ut avstanden mellom postene A og D.18 Figuren nedenfor viser snittet gjennom loftsetasjen i en planlagt enebolig.

Bredden AB på huset er 8,0 m. Høyden på sideveggene AD og BC er 0,6 m. Høyden MFer 1,8 m. F ligger midt mellom A og B.a) Hvor stor er vinkelen v?Eieren regner med at det nyttige arealet av loftet er den delen av etasjen der takhøyden erminimum 1,2 m. For å gjøre denne delen større får han disse to alternativene avbygningsmyndighetene:– å øke høyden MF med 0,2 m, men ha samme høyde på sideveggene som opprinneligplanlagt– å øke høyden på sideveggene med 0,2 m, men ha samme høyde MF som opprinneligplanlagtb) Hvilket av de to alternativene bør huseieren velge for at det nyttige arealet skal blistørst mulig? Begrunn svaret.19 På figuren nedenfor ser vi et snitt av en vanngrav foran en mur. I punktene A og B er detgjort vinkelmålinger mot toppen D av muren. Vinklene er henholdsvis 23,8° og 56,4°.Lengden AB er målt til 20,0 m. Vi trekker linjen BE vinkelrett på AD.a) Regn ut ∠ADB og lengdene BE og BD.b) Regn ut høyden av CD, høyden av muren, og bredden BC av vanngraven.Snittet BFGC av vanngraven er et trapes der siden FG er parallell med siden BC. ∠B =∠C = 62°. Vanngraven er 3,2 m dyp og 50 m lang.c) Hvor mange liter vann inneholder vanngraven når den er full?

20 Et oljeselskap planlegger å føre olje fra et felt ute i havet til en terminal inne på landgjennom en rørledning.Figuren ovenfor viser situasjonen. Oljefeltet ligger i punktet A, 24 km fra land. Den rettelinjen gjennom punktene B og C markerer kysten. Terminalen befinner seg i punktet T,10 km fra kysten. Punktene B og C ligger slik at ∠ABC = ∠BCT = 90°. Avstandenmellom B og C er 50 km.Vi ser bort fra eventuelle høydeforskjeller. Det koster 2000 kroner per meter å leggerørledning i sjøen og 1000 kroner per meter å legge rørledning på land.a) Vis at det vil koste ca. 99 millioner kroner å legge rørledningen i rett linje fra A til B,og deretter i rett linje fra B til T.b) Hva vil det koste å legge rørledningen i rett linje fra A til C, og direkte fra C til T?Oljeselskapet vurderer å føre oljen i land i et punkt D på linjen mellom B og C. Ledningenvil da gå i rett linje fra A til D, og videre i rett linje fra D til T.La avstanden mellom B og D være x km.c) Bruk lommeregneren til å bestemme hvilken verdi av x som gir lavest kostnad vedlegging av rørledningen.

21 Radien i en rett kjegle er R = 0,80 m, og høyden er h = 2,10 m.a) Regn ut volumet av kjeglen.b) Finn siden AT i kjeglen.En kule med radius r ligger på kjeglens grunnflate, som vist på figuren ovenfor. Kulenberører sideflaten i kjeglen.c) Regn ut volumet av kulen.22 Vi sammenlikner overflaten til en kule med overflaten til en rett kjegle. Kulen har enradius på 8,5 cm. Grunnflaten i kjeglen har også en radius på 8,5 cm. Kjeglen er tre gangerså høy som radien. Er det kulen eller kjeglen som har størst overflate?23 En fabrikk lager ulike typer blykuler og blylodd. En type av blyloddene har sylinderform.Radien i grunnflaten er 1,2 cm, og høyden er 4,0 cm.a) Hvor stor er overflaten og volumet til et slikt blylodd?En annen type blylodd har kjegleform. De har samme grunnflate og høyde som loddenemed sylinderform i a).b) Hvor stor er overflaten til et slikt blylodd?Av en viss mengde bly kan fabrikken lage 300 sylinderformede blylodd.c) Hvor mange kjegleformede blylodd kan fabrikken lage av den samme blymengden?En type blykuler har diameter 3,4 cm.d) Regn ut volumet av en blykule. Skriv svaret på standardform med bådekvadratcentimeter og kvadratmeter som enhet (se avsnitt 9.2 i læreboka).e) Hvor mange blykuler kan fabrikken lage av 0,85 m 3 bly?

24 I en kommune stilte de fire politiske partiene A, B, C og D liste til kommunevalget i 1991.Resultatet av valget er vist i tabellen nedenfor.Parti A B C DAntall stemmer 3205 2510 802 1235a) Finn den relative (prosentvise) fordelingen av stemmene.Resultatet skal presenteres i et sektordiagram.b) Regn ut gradtallet for hver sektor og skisser sektordiagrammet.Sektordiagrammet nedenfor viser resultatet ved stortingsvalget i 1993 for de samme firepartiene. Partiet D fikk 1950 stemmer i 1993.c) Hvor mange stemmer fikk partiene A, B og C ved valget i 1993?25 Kåre kjøper en kjeks-is. Den kjegleformede kjeksen med sidekant 12 cm er helt fylt medis. Toppen av isen er formet som en halvkule med diameter 6 cm.a) Hvor stor er overflaten av kjeksen?b) Regn ut volumet av isen.26 Vi regner med at én liter maling dekker et areal på 12 m 2 .a) Hvor tykt er laget med maling i dette tilfellet?Diameteren i den sirkelformede åpningen til en tannkremtube er 7 mm. Tuben inneholder75 ml tannkrem.b) Hvor lang «tannkremstreng» får du ut av en slik tube?

27 Anne vil bygge tak over en del av terrassen utenfor huset sitt (se figuren nedenfor).Utbygget har tverrsnittet ABC. De nødvendige målene står på figuren.a) Regn ut sidene CD og AD.b) Hvor langt ut kommer taket (AB)?c) Finn avstanden CE.28 En sandhaug har form som en kjegle med diameter 2,6 m og høyde 1,8 m.a) Finn volumet av kjeglen.Sanden skal legges på en rett vei som er 3,0 m bred.b) Hvor lang veistrekning kan dekkes når sandlaget skal være 2 cm tykt?29 Figuren nedenfor viser en isblokk med form som et rett prisme med lengde 7 cm, bredde4 cm og høyde 5 cm. Vi tenker oss at isblokken smelter slik at både lengden, bredden oghøyden minker med like mange centimeter. Etter en stund har volumet av isblokkenminket til halvparten av det opprinnelige volumet.Bruk lommeregneren til å finne ut hvilken lengde, bredde og høyde isblokken har ettersmeltingen.30 En 12,0 m høy mast står på en slette. Masten er festet med de to bardunene TA og TC.Bardunen TA går fra toppen av masten T til punktet A på bakken. Bardunen danner envinkel på 52° med bakken. Bardunen TC går fra mastetoppen til et punkt C på en loddrettmur, 3,5 m over bakken. Fra punktet A på bakken til murveggen er det 25,0 m.

a) Regn ut lengden av bardunen TA og avstanden AB fra punktet A til masten.b) Regn ut lengden av bardunen TC. Bestem vinkelen BTC som bardunen danner medmasten.31 Den generelle formelen for en sirkel som har sentrum i origo, erx 2 + y 2 = r 22 2a) Vis at y = ± x − rb) Tegn en sirkel med radius 5 cm. Lag en x- og y-tabell for x-verdiene 0, 1, 2, 3, 4 og 5.Bruk menyen «conics» på lommeregneren. (På grunn av det rektangulære vinduet pålommeregneren blir sirklene ellipseformede.)32 Den generelle formelen for en sirkel som har sentrum i et vilkårlig punkt (x 1 , y 1 ) ikoordinatsystemet, er(x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 = r 2a) Tegn en sirkel med sentrum i punktet (1, 2) med en radius på 4 cm. Lag en x- og y-tabell for x = 0, 1, 2, 3, 4 og 5.Bruk menyen «conics» på lommeregneren.b) Vis at likningen for denne sirkelen kan skrives somx 2 + y 2 – 2x – 4y – 11 = 033 Finn en hyssing som er 10 cm lang. Fest en tegnestift i hver ende av hyssingen og festendene på et papir slik at de er 6 cm fra hverandre. Bruk en blyant og tegn den kurven dufår når du lar blyanten gå hele veien langs hyssingen (hyssingen skal være stram).a) Hva slags kurve får du?b) Hva kaller du de punktene der tegnestiftene står?c) Hva er spesielt med disse punktene?

34 Den generelle formelen for en ellipse som har sentrum i origo, erxa22+by22= 1der a og b er ellipsens halvakser. a er den store halvaksen som går langs x-aksen. b er denlille halvaksen som går langs y-aksen (se figuren nedenfor). Vi kan vise at uttrykket for ykan skrives somy = ±Prøv selv!baa2− x2a) Lag en verditabell der x = –5, – 4, – 3, ... , 5 når du bruker a = 5 cm og b = 4 cm.b) Tegn grafen i koordinatsystemet. Bruk 1 cm som enhet på begge aksene.Den grafen du får, likner mye på den du fikk i oppgave 33. Av figuren ser du at ellipsenskjærer x-aksen i –5 og 5, og y-aksen i –4 og 4. Punktene B 1 og B 2 kaller vi brennpunkter,og avstanden mellom disse to punktene er 6 cm i denne oppgaven. Avstanden fra etbrennpunkt til ellipsens sentrum kaller vi c.Ved bruk av Pytagoras’ får via 2 = b 2 + c 2Vi hadde oppgitt at a = 5 og b = 4. Av setningen ovenfor kan vi finne c.5 2 = 4 2 + c 2c = 3Det vil si at avstanden fra et brennpunkt til sentrum er 3 cm.Bruk «conics»-menyen for å kontrollere svaret.

Forholdet mellom avstanden fra brennpunktet til ellipsens sentrum kaller vi ellipsenseksentrisitet, e, dvs.e = acDenne brøken forteller hvor «flatklemt» ellipsen er. Hvis e = 1, er «ellipsen» en sirkel.35 a) Finn stoff om den tyske astronomen og fysikeren Johannes Kepler og hans teorier ellerlover om planetbevegelsene.b) Er planeten Tellus sentrum i vårt verdensbilde? I så fall, har det alltid vært slik?c) Finn stoff om jorda, sola og deres posisjoner, slik de gamle greske tenkerne (og andre)så det.36 Gjør rede for ellipsens refleksjonsegenskaper. Hvilken betydning tillegger vibrennpunktene?37 En generell formel for en parabel med topp-/bunnpunkt i origo, og der symmetriaksen erparallell med y-aksen, ery = ax 2 , a ≠ 0Formelen for en parabel som har topp-/bunnpunkt i punktet (x 1 , 0), ery = a(x – x 1 ) 2 , a ≠ 0Symmetriaksen er også her parallell med y-aksen.Formelen for en parabel med topp-/bunnpunkt i punktet (x 1 , y 1 ) og med symmetriakseparallell med y-aksen, ery – y 1 = a(x – x 1 ) 2Det er disse tre variantene som er brukt i kapittel 10 i læreboka om funksjoner.Vi har også parabler med symmetriakse som er parallell med x-aksen. Likningen for enparabel som har toppunkt i origo (vi kaller punktet for toppunkt), ery 2 = 4pxder avstanden fra origo til brennpunktet er p. Hvis p er positiv, vender parabelen til høyre.Hvis p er negativ, vender den mot venstre.a) Tegn parabelen for p = 1, og bruk x-verdiene fra og med 0 til og med 10.