Funksjoner

www.ebok.no10 FunksjonerEn funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellomto eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, haren lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes bruttolønn avhengeav hvor mange timer hun jobber. Dette kan skrives slik:lønn ¼ kr 70 antall timerMen vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnenfor L og antall timer for t, kan vi skriveð1ÞLðtÞ ¼70 tVenstre side leses som «L av t», som betyr at lønnen L avhenger av antalltimer t. Når vi lager formler eller uttrykk, tar vi vanligvis ikke med benevninger.Skrivemåten i (1) er ganske behagelig å bruke. Hvis vi skalregne ut lønnen for en lørdag hvor Mari jobber åtte timer, kan vi skriveLð8Þ ¼70 8 ¼ 560 dvs. kr 560Tilsvarende betyr Lð2Þ og Lð23Þ hva lønnen er når hun jobber henholdsvisto og 23 timer.Eksempler på andre typer sammenhenger (funksjoner) er for eksempelat arealet av en sirkel avhenger av radius. Rentebeløp ved innskuddavhenger av innskuddsbeløp, rentefot og hvor lenge innskuddet forrentes.Disse to sammenhengene kan skrives slik:ð2ÞAðrÞ ¼p r 2der r er radius (p 3,14), ogð3ÞRðK; p; dÞ ¼ K p d100 365142

MATEMATIKK: 10 FunksjonerderR ¼ rentebeløpK ¼ kapital (innskudd)p ¼ rentefot (prosent)d ¼ dager (tid)Ivåre oppgaver vil vi ikke få funksjoner av typen (3). Funksjonene vårevil være sammenhenger mellom to variabler. De to variablene kaller vifor fri variabel og avhengig variabel. I funksjonen (1) er lønnen den avhengigevariable, i (2) er arealet den avhengige variable, osv.10.1 Lineære funksjonerf ðxÞ ¼ax þ bLikningen for en rett linje er y ¼ ax þ b. Hvis vi kjenner konstantene aog b, kan vi finne verdier for y ved å sette inn ulike verdier av x. Dettebetyr at y er en funksjon av x, og vi kan skrivey ¼ f ðxÞ og f ðxÞ ¼ax þ bFunksjonssymboler, som f ðxÞ, gðxÞ og KðxÞ, er en hensiktsmessig måteå skrive funksjonene på. Bruk av symboler er en grei måte å skille grafenefra hverandre på. Dessuten indikerer symbolene ofte hva slagsfunksjoner vi har med å gjøre. Eksempelvis bruker vi K for kostnaderog x for antall produserte enheter. KðxÞ uttrykker da at produksjonskostnadeneavhenger av hvor mange enheter som blir produsert.Likning (1) kan også skrives somy ¼ LðtÞ ¼70 x eller y ¼ LðtÞ ¼70x ðy: lønn, x: timerÞGrafisk er Maries «lønnsoppgave» en rett linje. Funksjonen kaller vi foren lineær funksjon.Lønn, y (kroner)1600140012001000800600400200timer, x0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Vi kan tegne samme graf med timer, t, langs førsteaksen og lønn på andreaksen143

www.ebok.nox 10 11 12 13y ¼ LðtÞ 700 770 840 910Stigningstallet for den rette linjen er 70. Det betyr at hvis vi øker x med1, så øker y med 70 (se tabellen). I praksis uttrykker stigningstallet hertimelønnen (øker vi timetallet med 1, øker lønnen med kr 70).En lineær funksjon er grafisk en rett linje der stigningstallet til linjen/funksjonenhar en praktisk betydning hvis linjen uttrykker etpraktisk problem.Oppgave 1Odd betaler et fast abonnement til Telenor på kr 700 per kvartal (tremåneder). I tillegg betaler han kr 0,20 per minutt for samtaler.Regn ut hva kostnaden blir for et kvartal når Odd bruker 1200 minutterpå samtaler.Sett opp et uttrykk for den kvartalsvise kostnaden når han ringer xminutter.LøsningsforslagKostnaden blirkr 700 þ kr 0,20 1200 ¼ kr 940Vi kaller kostnaden for K eller y, og antall minutter for x:KðxÞ ¼700 þ 0,20 x ðKðxÞ ¼700 þ 0,20xÞKðxÞ ¼0,20x þ 700 eller y ¼ 0,20x þ 700Vi har skrevet uttrykket (funksjonen) på formen y ¼ f ðxÞ ¼ax þ b.Kostnader, y (kroner)10009809609409209008808608408208007807607407207000 100200300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500minutter, x144

MATEMATIKK: 10 FunksjonerStigningstallet til denne lineære funksjonen er 0,20, dvs. det sammesom samtalekostnadene (variabelen) per minutt. Vi ser også at vi starterpå kr 700 på y-aksen. Odd må betale kr 700 per kvartal selv om hanikke bruker telefonen.10.2 Brøkfunksjonerf ðxÞ ¼ a xþ b, x 6¼ 0HyperblerVi går tilbake til oppgave 1 og «bearbeider» denne videre. La oss finnede gjennomsnittlige kostnadene per minutt når Odd ringer 100 min,500 min, 1000 min og 1400 min.Gjennomsnittskostnadene for0,20 100 þ 700100 min:¼ 7,20100500 min:1000 min:0,20 500 þ 7005000,20 1000 þ 7001000¼ 1,60¼ 0,900,20 1400 þ 7001400 min:¼ 0,701400Alle svarene er i kroner.Dette kunne vi ha regnet ut på en enklere måte. Hvis vi tenker praktisk,vil vi ta den faste kostnaden og dele på antall minutter, og så leggetil kr 0,20. Når Odd ringer 100 min, vil den faste kostnaden per minuttbli kr 700 : 100 ¼ kr 7,00. Med kr 0,20 i samtaleutgift for hvert minuttvil «minuttprisen» bli kr 7,20. Vi kan altså sette oppkr 700100 min: þ kr 0,20 ¼ kr 7,20100kr 700500 min: þ kr 0,20 ¼ kr 1,60500Ut fra eksemplet ovenfor kan vi finne et uttrykk for gjennomsnittskostnadenenår Odd ringer x minutter:GðxÞ ¼ 700 700þ 0,20 y ¼x x þ 0,20der G står for gjennomsnittskostnaden (y ¼ GðxÞ).145

www.ebok.noSom vi ser av eksemplet, vil kostnadene per minutt bli lavere jo flereminutter Odd ringer, fordi de faste kostnadene per minutt blir lavere.Men det er viktig å få med seg at de totale kostnadene øker når antallsamtaleminutter øker.OBS! Det har ingen mening å spørre om hva kostnadene per minutter når man ikke ringer, dvs. når x ¼ 0.GðxÞ er ikke definert for x ¼ 0, og dette skriver vi slik:GðxÞ ¼ 700x þ 0,20 D G ¼h0; !iD G kalles for funksjonens definisjonsmengde. Dax ikke kan være negativeller null i dette tilfellet, sier vi at funksjonen er definert for alle verdierav x som er større enn null.Funksjonsverdien kan ikke bli mindre enn kr 0,20, fordi dette er verdienfunksjonen (kostnaden per minutt) nærmer seg når x (antall minutter)blir svært stor. Mengden av alle funksjonsverdier kaller vi forverdimengden, V G , til funksjonen:V G ¼h0,20; !iI det praktiske eksemplet vil nok den øvre grensen være kr 700,20 somvil være regningen for 1 minutt.yy = 0,20minutter, xDenne typen graf kaller vi hyperbel. Vi ser at den faller bratt i begynnelsenog deretter flater ut. Grafen kommer aldri under den horisontale(vannrette) linjen y ¼ 0,20, fordi kostnadene per minutt aldri kanbli lavere enn kr 0,20.146

MATEMATIKK: 10 Funksjoner10.3 Andregradsfunksjonerf ðxÞ ¼ax 2 þ bx þ cParablerOmkretsen av et rektangel er 40 m. Vi skal finne et uttrykk for arealetav rektanglet, og vise hvordan arealet varierer med lengden av sidene.Vi tegner et rektangel:yxVi vet atx þ x þ y þ y ¼ 402x þ 2y ¼ 402y ¼ 2x þ 40y ¼ x þ 20Arealet av et rektangel er lengde bredde.Vi kaller arealet for A og får A ¼ x y. Ovenfor har vi funnet ut aty ¼ x þ 20 og vi setter inn ð x þ 20Þ for y:A ¼ x ð x þ 20Þ ¼ x 2 þ 20xHer ser vi at arealet avhenger av verdien for x, dvs. A er en funksjon avx og kan skrivesA ¼ AðxÞ ¼x 2 þ 20xVi framstiller funksjonen grafisk:10896847260483624122 4 6 8 10 12 14 16 18 20147

www.ebok.nox 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20y ¼ A 0 36 64 84 96 100 96 84 64 36 0Av tabellen ovenfor ser det ut som om det er symmetri om x ¼ 10, ogat vi får det største arealet når x ¼ 10. Samtidig ser vi at vi ikke har noeareal når x er henholdsvis 0 og 20. Når x ¼ 0 eller x ¼ 20, vil lengdeneller bredden i rektanglet være 0, og da har vi ikke noe rektangel. Dettebetyr at definisjonsmengden til funksjonen erD A ¼h0, 20iUt fra figuren ser vi også at det høyeste punktet ligger midt imellomnullpunktene (x ¼ 0ogx ¼ 20). Dette er en egenskap vi skal utnytteved andregradsfunksjoner.Verdimengden til funksjonen er V A ¼h0, 100Š.La oss ta en ny andregradsfunksjon før vi strukturerer en mulig framgangsmåte:f ðxÞ ¼x 2 2x 3 D f ¼ Rx 2 1 0 1 2 3 4f ðxÞ 5 0 3 4 3 0 5Av tabellen ser vi at grafen er symmetrisk om x ¼ 1, og at vi har detlaveste punktet når x ¼ 1. Nullpunktene (y ¼ 0) har vi når x ¼ 1og x ¼ 3 (se tabellen), og det laveste punktet ligger midt imellom nullpunktene.Bunnpunktet har koordinatene ð1, 4Þ. Legg også merke til hvorgrafen skjærer y-aksen. Verdimengden til funksjonen f erV f ¼½ 4, !i.y–4 –3 –2654321–2–3–41 2 3 4 5x148

MATEMATIKK: 10 FunksjonerGrafen til de to andregradsfunksjonene som vi har tegnet, kaller vi forparabler. Av de to grafene ser vi at den første vender den «hule» sidenned, og den andre vender den «hule» siden opp. Det som avgjør omparablene er «sure» eller «blide», er fortegnet foran x 2 . Hvis fortegneter minus, er parabelen «sur», og hvis fortegnet er pluss, er parabelen«blid».La oss oppsummere:Generell andregradsfunksjon:y ¼ f ðxÞ ¼ax 2 þ bx þ ca < 0: parabelen er «sur»a > 0: parabelen er «blid»c: angir hvor parabelen skjærer y-aksenFunksjonens nullpunkter finnes vedf ðxÞ ¼0 dvs. ax 2 þ bx þ c ¼ 0:Symmetrilinjen finnes ved formelenx ¼b2aog minimalverdien eller maksimalverdien finnes ved å regne ut fb2a.Forslag til framgangsmåte (algoritme)Gitt funksjonenf ðxÞ ¼x 2 þ x 2 D f ¼ Ra) Dette er en «blid» parabel (þ foran x 2 ).b) Parabelen skjærer y-aksen i 2.c) Nullpunktene: f ðxÞ ¼0x 2 þ x 2 ¼ 0x ¼ 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 2 4 1 ð 2Þ¼ 1 p ffiffi92 12x 1 ¼ 1 _ x 2 ¼ 2dÞ Symmetrilinje: x ¼ 12 1 ¼ 1 ð¼ 0,5Þ2Fordi parabelen er «blid», har den en minimalverdi¼ 1 32149

www.ebok.nof ð 0,5Þ ¼ð 0,5Þ 2 þð 0,5Þ 2 ¼ 2,25ellerf12¼1 2 þ2122 ¼ 9 41Bunnpunktet er ð 0,5, 2,25Þ eller2 ; 94. Du kan bruke desimalbrøkeller vanlig brøk. Men en «tommelfingerregel» kan være atvi bruker vanlig brøk nårbrøkene ikke går opp ved omgjøring. Har9vi uekte brøker 4, kan vi selvfølgelig skrive disse som blandede tall2 4 1 .Verdimengden V f ¼½ 2,25; !i7654321y–4 –3 –2 –1–1–21 2 3 4 5x–3–4Når vi skal tegne denne parabelen, markerer vi først symmetrilinjen(stipler en vertikal linje gjennom ð 0,5Þ på x-aksen) og avsetter y-verdienpå 2,25 på denne linjen. Deretter markerer vi hvor grafen skjærerbåde x- ogy-aksen. Trenger vi flere punkter, finner vi disse på«tabellmenyen» på lommeregneren. For å få en fin graf er det lurt åha flest punkter der hvor grafen krummer mest.10.4 PolynomfunksjonerLineære funksjoner og parabelfunksjoner er eksempler på det vi kallerpolynomfunksjoner. Poly betyr «flere», og vi kan si at et polynom er et«flerleddet» uttrykk.150

MATEMATIKK: 10 FunksjonerVi vil også måtte kunne behandle funksjoner somf ðxÞ ¼ax 3 þ bx 2 þ cx þ dgðxÞ ¼ax 4 þ bx 3 þ cx 2 þ dx þ eosv:For å løse problemer knyttet til polynomer av høyere grad enn 2, vil visom regel bruke lommeregneren.Eksempel 1Gitt funksjonenf ðxÞ ¼x 3 þ 3x 2 4 D f ¼ RBruk lommeregneren til å finne funksjonens nullpunkter og ekstremalpunkter(topp-/bunnpunkter).LøsningsforslagVi tegner grafen til funksjonen f både i arbeidsboken og på lommeregneren(GRAPH-meny).7654321y–4 –3 –2 –1–11 2 3 4 5x–2–3–4–5Å finne nullpunkter er det samme som å løse likningen f ðxÞ ¼0.På lommeregneren gjør vi dette ved å ta SHIFT F5 (G-SOLV),F1(ROOT).Vinduet viser x ¼ 2 (og y ¼ 0). y er alltid null i nullpunktene!For å finne flere nullpunkter bruker vi høyre pil (") på«pilhjulet».151

MATEMATIKK: 10 Funksjonerter. Poenget er at vi trykker ned piltasten " (på pilhjulet) så mangeganger at det som står i vinduet ikke forandrer seg.Bunnpunktene finner vi ved F3 (MIN) på G-SOLV, og disse erð 0,66, 4,25Þ og ð1,91, 0,05Þ.Toppunktene, F2, gir ð1, 1Þ. Vifår fram ett toppunkt ved å bruke G-SOLV.Vi må også regne ut funksjonsverdien i randpunktene, dvs. hð 2Þ oghð3Þ. hð 2Þ ¼28 og hð3Þ ¼13.Vi ser da at det absolutte (globale) toppunktet er punktet ð 2, 28Þ,mens ð3, 13Þ og ð1, 1Þ er relative (lokale) toppunkter.Bunnpunktet ð 0,66, 4,25Þ er absolutt (globalt).Verdimengden er samlingen av y-verdiene som strekker seg fra detabsolutte bunnpunktet til det absolutte toppunktet.Verdimengden V f ¼½ 4,25, 28Š.10.5 Potensfunksjonerf ðxÞ ¼a x bI de forrige avsnittene hadde vi funksjoner der den ukjente var opphøydi første, andre og tredje potens, og vi så at verdien på den ukjentekunne være både positiv og negativ. I det «praktiske liv» kan vi opereremed funksjoner som opphøyer den ukjente i hvilket som helst positivttall, og der verdien på den ukjente er positiv.Funksjoner som skrives på formenf ðxÞ ¼a x bder x > 0ogb > 0, kaller vi potensfunksjoner.De enkleste potensfunksjonene ery ¼ x; y ¼ x 2 ; y ¼ x 3 ; osv.Hvis b ¼1, har vi en hyperbel:y ¼ a x 1 ¼ a xEksempel 3De variable kostnadene (i kroner) i en bedrift følger funksjonenf ðxÞ ¼1000 x 0;5for produksjonsmengder fra og med 0 enheter til og med 2500 enheter.a) Framstill grafen i et diagram.153

www.ebok.nob) Hvor mange enheter må produseres for at de variable kostnadeneskal utgjøre kr 25 000?c) Hva er verdimengden?LøsningsforslagBegrensningen for funksjonen: D f ¼½0, 2500Š. Fra potensregningenvet vi at x 0;5 p¼ x 1 2 ¼ffiffi x . Dette betyr at vi kan skrive funksjonen sompf ðxÞ ¼1000ffiffi x D f ¼½0, 2500Ša) Vi bruker «table»-menyen og får følgende tabell:x 0 100 400 900 1600 2500f ðxÞ 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 00050 00045 00040 00035 00030 00025 00020 00015 00010 0005 000200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400b) Her setter vi f ðxÞ lik 25 000:pffiffi1000 x ¼ 25 000Vi dividerer med 1000:pffiffix ¼ 25pffiffiVi vet at ð x Þ 2 ¼ðx 1 2Þ 2 ¼ x 1 ¼ x. For å finne x kan vi kvadrere påbegge sider:pffiffið x Þ 2 ¼ 25 2x ¼ 625De variable kostnadene vil utgjøre kr 25 000 når produksjonen erpå 625 enheter.154

MATEMATIKK: 10 FunksjonerpffiffiAlternativ måte å løse likningen x ¼ 25 på:x 0;5 ¼ 250;5p ffiffiffiffiffiffiffix 0;5 ¼0;5p ffiffiffiffiffi25x ¼ 625(På lommeregneren slår vi inn 0,5c) Verdimengden V f ¼½0, 50 000Šj Vi tar 0,5. roten på begge sider:xp ffiffiffiffiffi25 .)Eksempel 4Vi får i oppgave å lage en potensfunksjon som er best tilpasset punktenegitt i tabellen:x 200 400 600 950 1200f ðxÞ 13,9 48,3 100,2 229,0 348,8RegresjonVi bruker her CASIO CFX–9950GB PLUS ved forklaringen nedenfor.Når vi skal finne den beste tilpasningen til en del punkter, kaller vidette for regresjon. Ivårt tilfelle kan vi kalle det for potensregresjon– eller «power regression» (PWR) på engelsk.LøsningsforslagPå lommeregneren bruker vi «STAT-meny» og setter inn henholdsvisx- og y-verdiene på List1 og List2. Vi trykker F1 (GRPH) og F1(GPH1). Vi ser i vinduet at punktene er plottet inn i et aksesystem.For å få en potensfunksjon må vi trykke F6 og F3 (PWR).Vinduet (displayet) visera ¼ 1,0097 E 03 ða 0,001Þb ¼ 1,798 579 69 ðb 1,80Þy ¼ a x b(Tallene for r viser hvor godt punktene er tilpasset grafen og har ingenbetydning for våre oppgaver.)Funksjonen blir day ¼ f ðxÞ ¼0,001 x 1;80 D f ¼h0, !iSkrivemåten h0, !i betyr alle verdier av x fra 0 og høyere, i dette tilfelletfra 0 til «uendelig». Hvis vi har å gjøre med en praktisk oppgave,vil det som regel være en øvre begrensning.Vi tegner grafen ved å trykke F6 (DRAW).155

www.ebok.no10.6 Eksponentialfunksjonerf ðxÞ ¼k a xEn eksponentialfunksjon er av typenf ðxÞ ¼a x der a > 0 (k og a er konstanter)I denne type funksjoner er variabelen en eksponent med et kjentgrunntall (en potens).Hvis Harald setter inn kr 1000 i banken til 4 % rente p.a. og vi skalfinne ut hvor mye som står påkontoen etter x år, har vi en eksponentialfunksjon.Vekstfaktoren er1 þ 4 ¼ 1,04100og antall år erx. Kapitalen f ðxÞ etter x år kan skrivesf ðxÞ ¼1000 1,04 xGrafisk framstilling av funksjonen:y, kapital2000100018x, årx år 1 2 4 8 15 20f ðxÞ kr 1040 1081,60 1169,80 1368,50 1800,90 2191,10I dette tilfellet er a ¼ 1,04, altså a > 1, og grafen stiger «sakte» i begynnelsen.Etter hvert stiger den raskere og raskere og nærmer seg enloddrett (vertikal) stigning. Vi ser også at det tar nesten 18 år før innskuddethar vokst til det dobbelte.For å finne nøyaktig hvor lang tid det tar før kapitalen er fordoblet,kan vi løse denne likningen:156

MATEMATIKK: 10 Funksjoner1000 1,04 x ¼ 20001,04 x ¼ 2 j Log på begge siderx log 1,04 ¼ log 2x ¼ log 2log 1,04 ¼ 17,7Det tar nesten 18 år åfordoble innskuddet.Folketallet i en kommune sank med 2 % per år i en tiårsperiode. Førnedgangen var folketallet 18 230. Ut fra dette skal vi finne et matematiskuttrykk som viser utviklingen i denne tiårsperioden. 2Vekstfaktor: 1 ¼ 0,98100Antall år: tFolketall: FFolketall: F ¼ FðtÞ ¼18 230 0,98 t t 2½0, 10ŠOBS! Det er naturlig å bruke t som variabelen her, fordi det er snakkom tid (vi slår inn x på lommeregneren).Verditabell:t år 0 2 4 6 8 10FðtÞ 18 230 17 508 16 814 16 148 15 509 14 895Folketall, F18 50018 23018 00017 50017 00016 50016 00015 50015 0001 2 3 4 5 6 7 8 9 10t, i årDenne grafen er avtakende. Den faller raskest i begynnelsen, og deretterflater den mer og mer ut. For denne funksjonen er 0 < a < 1.157

www.ebok.no10.7 ProporsjonalitetProporsjonale størrelserHvis vi går tilbake til Maries lørdagsjobb, så fant vi ut at hennes bruttolønnville avhenge av hvor mange timer hun arbeidet. Dess flere timerhun jobbet, dess høyere lønn ville hun få. Vi fant ut at det var enlineær sammenheng (rett linje) mellom lønn og antall timer.En annen måte å uttrykke dette på er å si at lønnen er proporsjonalmed antall timer, og at proporsjonalitetsfaktoren er 70 (i gjeldende eksempel).Generelt kan vi sette opp likningeny ¼ k xder k er proporsjonalitetsfaktoren. k kan ha hvilken som helst verdi,unntatt null. Størrelsen y avhenger av størrelsen x.Den generelle sammenhengen kan vi også skrive slik:yx ¼ kHvis vi sammenlikner dette med den generelle formelen for en rettlinje y ¼ ax þ b, ser vi at k ¼ a og b ¼ 0. Dette betyr at y ¼ kx eren rett linje som går gjennom origo (kx ¼ k x).y4321–4 –3 –2–11 2 3 4 5x–2–3I det økonomiske liv kan noen av kostnadene være proporsjonale(f.eks. råvarekostnadene), og inntekten kan være proporsjonal (ved fastpris). Hvis du går i butikken og handler epler til kr 17,90 per kg, vilutgiften avhenge av hvor mange kg du kjøper.Utgift y ¼ 17,90 x (kg)Kg x 0,790 1,318 1,714 1,989 2,398 2,547Utgift y 14,14 23,59 30,68 35,60 42,92 45,51158

MATEMATIKK: 10 FunksjonerHvis vi tar utgiften og deler på mengdenyx ¼ 14,140,790 ¼ 23,59 45,51¼ ...¼1,318 2,537 ¼ 17,90får vi at proporsjonalitetsfaktoren er 17,90, som er det samme somkiloprisen.Ved en grafisk framstilling ville vi ha fått en stigende rett linje derstigningstallet ville ha vært 17,90. Dette er den geometriske tolkningenav kiloprisen.Poteter kan kjøpes i poser på 2,5 kg, 5 kg, 10 kg og i løs vekt. Følgendeopplysninger er gitt i en butikk:Vekt, kg 2,5 5 10 1 (løs vekt)Pris, kr 17,90 31,90 54,90 4,90Vi ser av opplysningene i tabellen at det blir dyrere jo flere kg poteter vikjøper. Men størrelsene er ikke proporsjonale. Dette kan vi finne ut vedå dele pris med antall kg:17,902,5 ¼ 7,16, 31,90¼ 6,38,554,9010 ¼ 5,49Iløs vekt koster potetene kr 4,90 per kg. Dette betyr at sammenhengenikke er proporsjonal, da vi ikke har en fast faktor.Omvendt proporsjonale størrelserHvis to størrelser var proporsjonale, ville det si det samme som at nården ene størrelsen økte, så økte også den andre størrelsen med et gitttall. Men fra dagliglivet kjenner vi også til det motsatte, dvs. at når énstørrelse øker, så synker en annen størrelse. Hvis vi går tilbake til Oddstelefonregning, vil vi kunne se at den faste utgiften per samtale ville blilavere jo flere samtaler Odd ringte. Den totale faste utgiften var satt likkr 700. Vi kan sette opp:Fast utgift per samtale antall samtaler ¼ kr 700y x ¼ 700der y ¼ fast utgift per samtale, og x er antall samtaler. Vi kan skrivelikningen slik:y ¼ 700x159

MATEMATIKK: 10 FunksjonerHer har vi funnet et uttrykk for bredden, y. Vi lager en tabell:x (lengde) 5 10 20 25 40 50 100y (bredde) 20 10 5 4 2,5 2 1Produktet av lengden og bredden er, som vi ser, 100. Det betyr at vikan ha «uendelig» mange rektangler som har et areal på 100 m 2 . Grafiskframstilling vil også her gi en hyperbel.Konklusjony ¼ k x y er proporsjonal med x k ¼ y xy ¼ k xy er omvendt proporsjonal med xk ¼ y xNB! Merk forskjellene.10.8 Datering av historiske funnNår arkeologene skal finne ut når en gjenstand ble lagt i jorden, benytterde ofte den såkalte C14-metoden. Både planter, dyr og menneskertar opp i seg radioaktivt karbon ( 14 C) så lenge de er i live. Etter dødenreduseres antall 14 C-atomer i et bestemt tempo, og det gjør det mulig åbestemme alderen på gjenstanden. Det er beregnet at antall 14 C-atomerhalveres i løpet av ca. 5730 år. For å gjøre dateringen mer nøyaktig kanresultatet av slike undersøkelser sammenholdes med for eksempel årringsanalysernår det gjelder trevirke på stedet.Når det gjelder aldersbestemmelse av bergarter, brukes den radioaktivekaliumisotopen 40 K. Her er halveringstiden 1,3 milliarder år. Detstabile sluttproduktet er argon ( 40 Ar).Vi kaller f ðxÞ for antall 14 C-atomer som er igjen etter x år – regnet iprosent. Funksjonsuttrykket kan da skrives slik:f ðxÞ ¼ 1 2 x5730Vi ser at funksjonen må skrives slik, for når x ¼ 5730, er antallet 14 C-atomer (f ðxÞ) halvert:5730f ð5730Þ ¼ 1 57301 1¼ ¼ 1 2 2 2Vi kan lage en tabell for noen verdier av x (antall år):161

www.ebok.nox 200 1000 1500 2000 4000 11 460 17 190f ðxÞ 0,976 0,886 0,834 0,785 0,616 0,250 0,125Eksempel 5Ved en arkeologisk utgraving ble det funnet en tresleiv der antallet 14 C-atomer var på 86,5 % av opprinnelig verdi. Hvor gammel var tresleiva?Løsningsforslag86,5 % kan skrives som 0,865. Da kan vi sette opp følgende uttrykk: x 1 5730 1¼ 0,86522 ¼ 0,5Dette er en eksponentiallikning, og slike likninger løser vi ved å brukelogaritmer:x lg 0,865¼ ¼ 0,2092 j57305730 lg 0,5x ¼ 1198,716Tresleiva er ca. 1200 år gammel. Hvis vi sammenlikner svaret med tallenei tabellen ovenfor, ser vi at svaret er rimelig.Vi kan også løse problemet ved å bruke «GRAPH-meny» på lommeregneren.Vi slår innY 1 ¼ 0,5Y 2 ¼ 0,865x5730Vi går inn på V-Window for å sette inn relevante x og y-verdier:x-min: 0x-max: 5730scale: 1000y-min: 0y-max: 1scale: 0,1I displayet får vi en avtakende funksjon og en vannrett (horisontal)linje. G-solv og ISCT gir skjæringspunktet mellom grafene derx ¼ 1198,876223 og y ¼ 0,865:Funksjonen f ðxÞ i dette avsnittet er en eksponentialfunksjon der0 < a < 1, jamnfør avsnitt 10.6.162