Ressursbok i geometri for lærerutdanningen

Ressursbok 

i geometri 

for lærerutdanningen 

Øistein Bjørnestad

Del I Hvorfor geometri? 

1 Innledning 

Plan for innhold 

2 Didaktikk og fagdidaktikk – begrepsbruk 

3 Fra drøm til virkelighet – et forsøk på reform av matematikk- 

undervisningen 

4 Er matematikk "naturlig"? 

5 Forsøk på en oppsummering 

Del II Euklidsk geometri 

6 Innledning 

7 Rette linjer, vinkler og trekanter – bok I i Euklids Elementer 

8 Sirkler 

9 Formlikhet 

Del III Geometri under synspunktet transformasjoner 

10 Tessellasjoner 

11 Transformasjoner og symmetri 

Del IV Annen geometri 

11 Ikke-euklidsk geometri

Del I 

Hvorfor geometri? 

Forsøk på en didaktisk drøfting 

av geometriens plass 

i skolematematikken

1 Innledning 

Fra omtrent 1950 og utover foregikk et arbeid for å reformere matematikkundervisningen 

i skolen. Disse anstrengelsene startet i USA. Etter en 

stund kom Europa etter. Her var innflytelsen fra Frankrike sterk. En førende 

fransk matematiker, Jean Dieudonné, uttalte på en viktig konferanse, 

"Royaumont-konferansen" ved Paris i 1959, blant annet: "Euclid must go!" 

Med dette mente han at det var på tide å gå bort fra den tradisjonelle 

skolegeometrien med trekanter, konstruksjoner, osv., det som vi gjerne 

kaller euklidsk geometri. I reformbevegelsene var det mange som så på 

denne formen for geometri omtrent slik som mange språkfolk en del 

tidligere hadde kommet til å se på latinen – som en levning fra fortiden som 

burde erstattes av noe mer tidsmessig. Det hadde vært vanlig å mene at 

latinen, og den euklidske geometrien, hadde en betydning for "menneskeåndens 

dannelse" – særlig for oppøvelsen i logisk tenkning – som en ikke 

kunne være foruten. I reformbevegelsene, både på det språklige og det 

matematiske området, ble det hevdet at en kan oppnå det samme ved å ta for 

seg mer tidsmessig stoff og på en mer moderne måte. Dieudonnés holdning 

ble nok sett på som ekstrem, og selv gjorde han retrett til en viss grad. Den 

euklidske geometrien, som for en tid og for en del ble erstattet av 

vektorregning og annet "moderne" stoff, kom tilbake. Men riktignok ble 

bevisene for setningene i denne geometrien nedtonet en hel del. Og nettopp 

bevisene var det tidligere mange som så på som selve nerven i geometrien 

(og matematikken forøvrig). I 1884 uttalte Sophus Lie, kjent norsk matematiker: 

"Maalet for Mathematikundervisningen er ... Tilegnelsen af mathematiske Begreber 

og Sætninger gjennom Forstaaelsen af Beviserne. Beviserne er og blir dog Hovedsagen." 

Den gamle begrunnelsen for å drive med geometri – "Aandens Dannelse", 

"Forstandsøvelser" – har ikke lenger appell. Men geometrien, også 

den euklidske, er altså igjen på plass i skolens lærebøker. Når synet på 

geometriens plass i skolematematikken har variert så sterkt som tilfellet er i 

løpet av noen få ti-år, viser det at geometrien har et legitimeringsproblem. 

Enkelte andre deler av matematikken har ikke i samme grad behov for 

begrunnelse. Tall er viktige. Ingen stiller spørsmål ved om det skal undervises 

om tall i skolen. Innhold og omfang er en annen sak. Til og med 

funksjoner er blitt et selvsagt tema i skolematematikken, selv om ikke alle 

vil "få bruk for funksjoner". – Men det er jo funksjonssammenhenger "overalt". 

Dessuten skal noen bli ingeniører ... – Men geometrien? Har geometri 

en legitim plass i skolens matematikk? Hvis den har det, hva bør innholdet 

være? 

Den riktige sammenhengen å reise slike spørsmål i må være didaktikken, 

den pedagogiske disiplinen som tar for seg undervisningens hvorfor, 

hva og eventuelt hvordan. 

____________________________________________________________________________________________ 

Øistein Bjørnestad 2005 

1

2 

2 Didaktikk og fagdidaktikk – begrepsbruk 

2.1 Didaktikk 

Figur 2.1 Pedagogikkens 

hovedområder. 

Figur 2.1 viser hovedområdene av pedagogikken. Det er området didaktikk 

som interesserer oss her. Begrepet didaktikk har ikke noe entydig innhold. 

Vi går inn for en vid betydning. 

Pedagogisk filosofi 

Pedagogisk historie Pedagogisk psykologi 

Didaktikk 

Undervisningens hva Undervisningens hvordan Undervisningens hvorfor 

(mål, innhold) (praktisk gjennmoføring) (teoretisk begrunnelse) 

Snever tolkning av 'didaktikk', Vid tolkning av 'didaktikk', 

til å angå undervisningens til også å omfatte den praktiske gjenmål 

og innhold og den teoretiske nomføringen av undervisningen 

begrunnelsen for disse 

Vi holder oss til en betydning av 'didaktikk' som har fått hevd i vårt land i og med boken 

til Bjørndal og Lieberg [1] fra 1978, en "vid" betydning. I Norge var det ifølge Gunn 

Imsen [6], s. 29, denne boken som først gikk inn for at didaktikken ikke bare skulle 

diskutere mål og innhold (og eventuelt metoder) i undervisningen, men også stille 

spørsmålet hvorfor ved de pedagogiske valg (av mål, innhold og metoder). I [11] finner vi 

fremhevingen av de didaktiske hvorfor hos Trond Ålvik og (mer indirekte) hos Lars 

Monsen. I Bjørg Brandtzæg Gundem [5] ser vi dette momentet i 'didaktikk' ajourført og 

understreket. 

I norsk didaktisk diskusjon er undervisningens hva, hvordan og hvorfor 

nokså entydige og allment gangbare stikkord. De tre spørsmålene stilles på 

forskjellige nivåer. Figur 2.2 er hentet fra Imsen [6], s. 30. 

Verdier og normer? 

På figur 2.2 finner vi på det "høyeste" eller mest generelle nivået (skolens 

overordnede mål – som hos oss er å finne i opplæringslovens formålsparagraf 

og dens nærmere utmynting i læreplanverkets (L97s) generelle del, se 

[7], s. 71) ikke noe eksplisitt hvorfor, men i grunnen bare et hva. Se videre 

om dette i avsnitt 2.3. Men det er alltid et hvorfor, uttalt eller uuttalt; her er 

det plassert utenfor pedagogikkens område, nemlig i den allmenne 

utdanningspolitiske diskusjon. Her atskiller Skandinavia seg fra Tyskland. 

Fra [13], s. 10, henter vi dette sitatet: 

"Medan tyska forskare, t.ex. Wolfgang Klafki, inkluderar normativa ställningstaganden 

i sin teoribildning är detta inte vanligt bland nordiska forskare. Vår linje 

har varit att inta en mera deskriptiv-analytisk hållning i målfrågor när vi ägnar oss 

åt teoribildning. Formuleringar kring undervisningens och fostrans syften har hos 

oss överlämnats till den kollektiva utbildningspolitiska diskussionen. 

Kilden til dette sitatet, [13], er en bok med bidrag av skandinaviske og tyske 

didaktikere. Den kan tjene til å belyse hvordan skandinavisk didaktikk for- 

Øistein Bjørnestad 2005

Figur 2.2 Didaktikkens tre grunnspørsmål 

– på flere nivåer. (Våre 

romertall) 

Skolens overordnede mål 

(fastsatt av Stortinget) 

Læreplaner 

(fastsatt sentralt av regjering eller Storting) 

Hva? Hvordan? Hvorfor? 

(Undervisningens (Undervisnings- (Begrunnelser 

(fag)innhold) metoder, organi- for innhold 

seringsformer, og metoder) 

arbeidsområder) 

Skolens lokale læreplan 

Hva? Hvordan? 

Hvorfor? 

Lærerens undervisningsplan 

Hva? Hvordan? 


Praktisk undervisningsvirksomhet 

holder seg til sine tyske røtter. For skandinavisk tenkning omkring utdanning 

og oppdragelse har sine røtter i kontinental, særlig tysk, tradisjon. Men 

etter 1945 vendte en seg til det anglo-amerikanske området for impulser. 

Etter hvert har dette endret seg igjen. En er på ny lydhør for røster fra 

Tyskland. Men på ett punkt har den anglo-amerikanske påvirkningen hatt 

dyptgående virkning. Det gjelder spørsmålet om verdier og normer: 

Hvordan skal en didaktisk teori forholde seg til påstander om oppdragelsens 

mål? Særlig i USA og Skandinavia har det vært et dominerende empiristisk 

trekk ved pedagogisk tenkning. (Se Reidar Myhre [10], s. 271–297, "Pedagogikk 

mellom empirisme og normativitet".) Empirismen slik den fremsto i 

tiårene omkring den andre verdenskrig, den såkalte logiske empirisme, var 

utpreget antimetafysisk. Det lar seg hevde at denne filosofien var sluttkapitlet 

i det moderne. Tro på "fornuften" og "fremskrittet" gav fremdeles 

mening. I pedagogikken var det ennå dem (især i USA) som så for seg en 

didaktikk som nærmest var en naturvitenskapelig disiplin. – I empirismen 

kan en bare forholde seg beskrivende til verdier og normer. Spørsmålet om 

gyldigheten av verdier og normer gir her ingen mening. 

Tanker om at pedagogikken skulle kunne være nøytral i verdispørsmål 

ligger ikke langt unna. I vårt eget land var det riktig nok bare i visse politiske 

kretser at en for alvor hevdet slik nøytralitet som mulig og ønskelig. I 

fagmiljøene reserverte en seg nok mot slike oppfatninger. Men det herskende 

åndsklimaet garanterte en viss halvhjertethet i så måte. I Tyskland, 

derimot, har oppgjøret med den nære ideologiske fortid gjort at verdier er 

selvsagte i den offentlig debatt. 

Hvilke verdier og normer? 

Utgangspunktet i denne del I av vårt arbeid er dette spørsmålet: Har geometri 

en legitim plass i skolens matematikk? Hvis den har det, hva bør 

innholdet være?. Den drøftingen vi legger opp til, vil være en didaktisk og 

fagdidaktisk drøfting. Vår første oppgave blir å gjøre rede for hvordan vi 

forstår de begrepene vi benytter oss av. Siden didaktikken (og pedagogikken 


I 

II 

III 

iV 

3

4 

i det hele) ikke er noen autonom disiplin, men er avhengig av især filosofis- 

ke posisjoner, må vi gjøre klart hvor vi står i så måte. Dermed blir en del av 

drøftingen vår nokså generell. På ett eller annet trinn må vi trekke inn i 

drøftingen de didaktiske rammene som for tiden gjelder her hos oss. (Se 

avsnitt 2.3.) Men foreløpig legger vi an en videre synsvinkel. 

Jeg ser det ikke som påkrevd å ta standpunkt for noen helt bestemt 

pedagogisk skoleretning. Å gjøre dette på en måte jeg kunne begrunne, ville 

for øvrig kreve en mer omfattende skolering enn jeg foreløpig har. Men jeg 

vil gjøre noen avgrensninger. 

Når en leter etter en forståelseshorisont, vender en seg i den retningen 

som ens "for-forståelse" viser. Min egen forforståelse kan jeg uttrykke i følgende 

krav til en troverdig (pedagogisk, didaktisk) forståelse: 

1 Forståelsen må være kritisk, og kritikken må selv bli gjenstand for kritisk refleksjon. 

'Kritisk' er ment i sin enkleste leksikonbetydning som innebærer prøving etter kriterier. 

Den kritiske refleksjonen må gå på kriteriene for kritikk, spesielt på om kritikken 

er av det tildekkende slaget. (Denne siste anmerkningen er meget på sin plass. 

For eksempel har anklagen om tilslørende manipulering blitt reist mot Frankfurterskolens 

"kritiske teori".) Jeg henter et sitat om kritikk fra Paul Feyerabend: 

[R]ational discussion consists in the attempt to criticize, and not to prove or to make 

probable. Every step that protects a view from criticism, that makes it safe or 'wellfounded', 

is a step away from rationality. Every step that makes it more vulnerable is 

welcome. [3], s. 151. 

2 Ethvert bør er begrunnet i filosofiske eller religiøse påstander, verdier eller normer. 

Disse må settes frem i redelighet. – Didaktikkens hvorfor skal stilles. De mest generelle 

valgene og prinsippene skal være bevisste og eksplisitte. Det er ingen grunn til 

at de skal være en arena for ideologiske kjepphester, for det politisk korrekte og for 

skjulte dagsordener. Svar på et 'hvorfor?' kan bare gis ut fra verdier og normer. 

Hvilke verdier og normer finner vi på det øverste nivået (se figur 2.2)? Hva sikter 

undervisningen og opplæringen mot? – At ideologi er vesentlig her, ser vi ikke 

minst av den nære fortid i Tyskland. Frankfurter-skolens (særlig Adornos og 

Habermas') gjøren og laden på 1960- og 1970-tallet er – betraktet med den 

nødvendige uvennlige distanse – blitt karakterisert som tilslørende manipulasjon 

under et nesten ugjennomtrengelig teppe av "vitenskapelig" sjargong. (Se Wolfgang 

Brezinka [2] og f.eks. nettstedet [4].) 

3 Forståelsen må være prinsipielt uavsluttet. 

Er det en motsetning mellom 1 og 2? Jeg mener nei. En kan innta et standpunkt 

med stor grad av fortrøstning og samtidig innse at det vel må være 

midlertidig. Redelig tenkning har slike kjennetegn, både i det daglige liv og i 

vitenskap som fortjener sitt navn. Enhver får passe på seg selv. 

Det moderne som forståelseshorisont? 

I Werner Jank og Hilbert Meyer, " Didaktikens centrala frågor," i [13], særlig s. 59f, aner 

en noe som ligner en grunnleggende konsens i tysk didaktikk (og didaktikk som har sine 

røtter der), når det heter at samtidig pedagogisk tenkning ennå bygger på sentrale idéer 

hos Rousseau, Kant, von Humboldt, Schleiermacher, ... . Hvilke idéer skulle det være? Jo, 

mennekets strev etter selvstendighet og frigjøring. – Dette er sentrale aspekter ved det vi 

kaller moderniteten eller det moderne. – Vi gjengir fra Jank og Meyer: 

"Den som tar på sig et pedagogiskt ansvar lever och verkar under de rådande historiska 

villkoren som obetingat syftar mot mänsklig myndighet. Om han vill det, vet 

det, tror det eller inte, är sekundärt. Pedagogiken arbetar emellertid utifrån detta 

som primärt: Pedagogiken rekonstruerar fostran som en emancipationsprocess, 

d.v.s att befria människan åt henne själv." [Sitat fra H. Blankertz.] 

Att pedagogiken måste ta sin utgångspunkt i det historiska arvet av upplysning 

og emancipation kan inte förklaras [erkjennes] på ett logiskt bindande sätt men det 

verkar vara det mest meningsfulla og försvarbara postulatet på en allmän nivå som 

för tilfället är tänkbart. 

Kontinental mentalitet og tenkning er langt mer enn hos oss historisk orientert og 

bestemt. Denslags forandrer seg ikke raskt. Men når det i det siste sitatet heter "Att pedagogiken 

måste ta sin utgångspunkt i det historiska arvet av upplysning og emancipation 

kan inte förklaras [erkjennes] på ett logiskt bindande sätt men det verkar vara det mest 

meningsfulla og försvarbara postulatet på en allmän nivå som för tilfället är tänkbart" så 


vil vi påpekes at det moderne ikke lenger er noen selvsagt horisont for vår selvforståelse. 

Tvert imot er det nå mange som vil si at det moderne i hovedsaken har spilt fallitt og er 

blitt avløst av det postmoderne med dets fragmenterte helhet og dets mangel på mening. 

Se [9], særlig s. 105–06 (med et etter hvert berømt sitat av filosofen Alasdair MacIntyre). 

Gjeldende formålsparagrafer i Norge og Skandinavia ellers er i høy grad bestemt av 

det moderne. En har i pedagogiske og skolepolitiske kretser ikke gjort noe som helst for å 

ta hensyn til det skifte som er ved å skje. I vår drøfting tillater vi oss å se videre enn til nåværende 

formålsparagraf og læreplan (L97), som sagt ovenfor. Vi vil ha i tankene et 

formål som vi selv tror er på sin plass "i vår tid". Dette vil måtte ha front mot det 

postmoderne, og insistere på en kritisk rasjonalitet (ikke rasjonalisme som i moderniteten). 

Ett moment ville være omtrent slik: 

Det skal legges til rette for at den enkelte kan forstå ("gjennomskue") de hva, 

hvorfor og bør han eller hun stilles overfor i skolen og ellers i livet, og for at han 

eller hun skal forholde seg til de nevnte bør som et oppreist menneske. 

Sikkert nok er det i denne formuleringen mye som er uuttalt. Spesielt: Hva er et 

'oppreist menneske'? – Denne formuleringen ønsker blant annet å gjøre den enkelte våken 

overfor autoritær og manipulerende påvirkning. Vi tror dette er viktigere nå enn noen 

gang. Vi står i en flom av informasjon med alle grader av tilforlatelighet. Denne informasjonen 

blir forsøkt påtvunget oss med alle midler. – I skolen blir elever påtvunget mangt 

som er dårlig fundert, og de blir forholdt en del som kunne være av verdi. Men hvem 

avgjør hva som er av verdi? Det finnes ingen nøytral instans (se Werner Jank og Hilbert 

Meyer, " Didaktikens centrala frågor," i [13], særlig s. 59). Og det har betydning om 

normene har humanistiske, kristne, marxistiske, nasjonalsosialistiske eller islamsk-fundamentalistiske 

røtter. 

I den skolen som de fleste i et samfunn er henvist til, og spesielt hvis skolen vil være 

en enhetsskole, må det være et mål av enighet om hva som er av verdi og hva som er bra 

og hva som er dårlig i undervisning og opplæring. En kommer vanskelig utenom at undervisningen 

må ha bredde. Videre, undervisningstilfanget er en historisk foreliggende størrelse. 

En skal ikke uten nøye overveielse forholde elevene elementer av kunnskap som 

historisk har vært viktig. Kontakt med andres erfaring – historien – har med selvforståelse 

å gjøre. Og selvforståelse har med det oppreiste menneske å gjøre. Men det har også dette: 

at opplæringen hjelper oss til å forstå den verden vi lever i. – Foreløpig lar vi disse 

momentene til en læreplantenkning bare være antydet. I de neste to kapitlene henter vi fra 

de siste tiårs diskusjon momenter til et standpunkt i læreplanspørsmål for matematikken, 

og særlig i det som har med geometrien å gjøre. 

____________________________________________________________________________________________ 

2.2 Didaktikk, 

fagdidaktikk 

og fagmetodikk 

Figur 2.3 Didaktikkens 

områder 

Vi går altså inn for en vid betydning av 'didaktikk', omtrent slik vi finner den 

i Bjørndal og Lieberg [1]. Figur 2.3 viser den oversikten over didaktikkens 

områder vi finner der. Nå kan det se ut til at forfatterne på ett vis ikke er helt 

konsekvente. For mens de lar didaktikken gå på pedagogikkens hva, 

hvordan og hvorfor, innskrenker de fagdidaktikken til å dreie seg om bare to 

av disse momentene (hva og hvorfor). Men saktens sier de også (s. 33) at én 

av fagdidaktikkens sentrale oppgaver må være "å vurdere og ta standpunkt 

til ... hvilke retningslinjer en bør følge ved utformingen av 

undervisningsmetodik- 

Didaktikk (i vid betydning) 

Læreplanteori Fagdidaktikk Fagmetodikk Undervisningsorganisering 

ken i faget". I våre dager er forresten det som på 1970-tallet het fagmetodikk 

blitt tonet kraftig ned. For eksempel har lærerutdannelsen ikke lenger 

"metodikklærere". 

I [11], s. 15–16 har Trond Ålvik en oversikt over fagdidaktikkens 

område (med unntak av momentet hvordan) i form av sju spørsmål: 


5

6 

- Hva er grunnene til at mitt fag i sin tid oppsto som del av vår kultur? 

- Hvorfor består faget fremdeles? Hvilke endringer har det undergått i tidens 

løp? 

- Hva er det karakteristiske for mitt fag når det gjelder innhold, begreper 

og metoder? 

- Hvilke egenskaper er det ved faget som gjør at det er funnet verdig til 

en plass i skolen? 

- Hva er hensikten med dette faget i undervisningssammenheng? 

- Hvilke deler av fagets innhold (problemer, begreper, metoder) kan og 

bør brukes i undervisningen? Hvorfor? 

- Hvordan kan elevene best arbeide med dette innholdet? Hvorfor? 

De to første spørsmålene dreier seg om de historiske og samtidige betingelsene 

for fagets plass i læreplanen. De åpner mot den arenaen der grunnleggende 

betingelser for faget overveies og der beslutninger om faget tas (se 

[11], s. 16). Ålvik spør videre: 

- Hvem bestemmer hva som er (viktig) kunnskap? Hvorfor gjør de det? 

- Hvilke interesser tjener denne kunnskapen? Hvem har nytte av den? 


Ålviks pregnante og radikale spørsmål er etter mitt syn et mønster på 

hvordan en kan nærme seg et viktig men ideologisk rotet område som 

didaktikk og fagdidaktikk. (Så vidt jeg kan forstå er den holdningen til pedagogiske 

og didaktiske spørsmål jeg selv har prøvd å antyde i forrige avsnitt 

noenlunde bra i overensstemmelse med den holdningen som skinner 

gjennom i Ålviks spørsmål.) 

Digresjon 

Før 1970-årene var begrepet fagdidaktikk knapt brukt i Norge. En kunne vel tro at 

begrepet måtte ha endret seg siden Bjørndal og Liebergs bok [1] kom ut i 1978. Går vi 

imidlertid 20 år frem, ser vi i Lorentzen o.a. [8] at dette på mange måter ikke er tilfelle. 

Den nokså presise språkbruken hos Bjørndal og Lieberg er fremdeles langt på vei adekvat. 

Men i [8] fremstår begrepet fagdidaktikk på et vis som mer "dynamisk" enn i [1]. 

Fagdidaktikken oppfattes i [8] (enda) mindre enn før som en autonom disiplin med klare 

grenser, men heller som et "skjæringspunkt mellom didaktikk og fag". Og dessuten, som 

sagt, er fagmetodikken i stor grad blitt trukket inn i fagdidaktikken. Også hos Bjørndal og 

Lieberg [1] kan en lese at det er "lite formålstjenlig å etablere et skarpt skille mellom 

fagdidaktikk og fagmetodikk. Et gjennomtenkt fagmetodisk opplegg bør alltid begrunnes 

ut fra aktuelle og sentrale fagdidaktiske ideer og synspunkter". (Men i [1] er fagdidaktikken 

og fagmetodikken behandlet hver for seg.) Allerede i 1983, i og med [11], er en 

for øvrig kommet et godt stykke i retning av de oppfatningene om fagdidaktikk en 

finner i [8]. 

Generelle utsagn er jo ofte vanskelige å få tak på. En kan skaffe seg et bedre inntrykk 

av den fagdidaktiske debatten i senere tid ved for eksempel å ta for seg Norsk pedagogisk 

tidsskrift, nr. 5 og nr. 6, 1989. Her finner en bidrag av Svein Sjøberg (naturfag), 

Lars Monsen (pedagogikk) og Stieg Mellin-Olsen (matematikk) (utførlig omtalt i [8]). 

Særlig siden 1968 ("studentopprøret") har det i den akademiske verden og i samfunnet 

forøvrig blitt selvsagt at det stilles spørsmål ved det etablerte. Selv om denne nye 

trenden ikke alltid er påfallende selvkritisk, er kritikk blitt legitim. Autoritet og alt som 

gjør krav på menneskers tid og oppmerksomhet må avkreves begrunnelse og legitimasjon. 

I vår sammenheng her er vi opptatt av muligheter for, og problemer ved, å legitimere 

geometrien som et viktig tema i grunnskolens matematikk. Og vi har da ønsket å begynne 

drøftingen med didaktiske og fagdidaktiske presiseringer. 

I Lorentzen o.a. [8] finner vi følgende omtale av fagdidaktikken, i et 

referat fra Laila Aase (1990): 

Fagdidaktikk er alle de refleksjoner en kan knytte til et fag og undervisningen 

av dette faget, som kan gi økt kunnskap om fagets beskaffenhet, om fagets 

legitimering og økt kunnskap om hvordan faget kan læres, undervises og 

utvikles. 


2.4 Fagdidaktiske momenter 

I [8] omtales denne formuleringen saktens som en "maksimumsvariant", 

men så vidt vi forstår reflekterer den nåtidig tenkning omkring fagdidaktikk 

her i landet. Vi ønsker å holde oss til denne begrepsbruken. – Når det gjelder 

matematikkens fagdidaktikk finner vi liknende synsmåter hos den tyske 

matematikkdidaktikeren Erich Wittmann [14]. 

Vårt mål i denne del I av arbeidet vårt er å avklare geometriens legitimeringsproblem, 

momentene hva og hvorfor i omtalen ovenfor. Vi har 

prøvd å tilegne oss en vid betydning av 'fagdidaktikk' fordi vi i senere deler 

av arbeidet vårt vil gjøre oss tanker om fremgangsmåte (hvordan). Og vi 

ønsker ikke at dette skal fremstå som et spørsmål om "oppskrifter" 

(fagmetodikk i banal forstand). 

Didaktisk refleksjon vil for oss i siste instans også dreie seg om undervisningen 

i lærerutdanningen og i grunnskolen. De to er helt sikkert ikke 

uavhengige av hverandre. 

Hva og hvorfor 

Figur 2.4 viser en sammenlignende liste over fagdidaktiske momenter 

for lærerutdannelsen og grunnskolen. 

Lærerutdanningen: 

- Det foreligger en rammeplan, med 

noen valgmuligheter. Hvilke deler av 

faget bør være med? ("Innhold") 

- Hvordan bør de enkelte delene av 

faget vektes i undervisningen? 

("Innhold") 

- Hvordan kan fagets plass og omfang i 

undervisningen begrunnes? ("Mål") 

- Hva bør være fagets bidrag til studen- 

tens identitet som person i kulturen 

("almendanning") og som lærer? 

("Mål") 

Hvordan 

Grunnskolen: 

- Det foreligger en læreplan. Det er 

valgt et læreverk i faget. Hvordan bør 

de enkelte delene av faget vektes i 

undervisningen? ("Innhold") 

- Hvordan bør faginnhold fordeles på de 

enkelte klassetrinn? ("Innhold") 

- Hvilke idéer bør ligge under den 

praktiske utformingen av undervisnin- 

gen (se også under 'Fagmetodiske 

spørsmål' nedenfor)? – Et punkt som 

dette viser hvor vanskelig det er å dele 

didaktikken opp i adskilte områder. 

F.eks. kommer lærerens pedagogiske 

filosofi og hans eller hennes oppfat- 

ning av læring inn i bildet her. ("Mål") 

- Hva bør være fagets bidrag til elevens 

identitet? ("Mål") 

I læreplanverket for den 10-årige grunnskolen (L97), [7], (under "Prinsipp 

og retningslinjer for opplæringa i grunnskulen") står det en del om arbeidsmåter 

i matematikk.. Forslag til aktiviteter finner en generelt i læreplanen og 

mer detaljert i lærerpermene til en del av læreverkene. 

I de senere delene av dette arbeidet vil en finne beskrevet en del aktiviteter. Disse er 

av lignende art som dem en vil finne i mange grunnskolebøker. Aktivitetene er tenkt som 

orienteringspunkter for egen fagdidaktisk refleksjon. Vi håper at studenter vil bruke disse 

som en anledning til å avklare sitt eget forhold til matematiske begreper. 

____________________________________________________________________________________________ 

2.3 Overordnede 

mål og norske 

læreplaner (L97) 

På figur 2.2 har vi "øverst" i planverket de overordnede mål for skolen. 

Veien fra overordnede mål til læreplaner er ikke svært direkte. Vi tillater oss 

å henvise til de tankene vi har satt frem i avsnitt 2.1. 

Det er i denne situasjonen vi skal forsøke å drøfte et bestemt 

fagområdes (geometriens) hvorfor. Mens vi foran har argumentert og 

resonnert nokså 


7

8 

generelt, skal vi her trekke inn i drøftingen de didaktiske rammene som 

eksisterer hos oss i dag. Disse er uttrykt i opplæringslovens formålsparagraf 

og dens nærmere utmynting i læreplanverkets (L97s) generelle del. 

Fra Lov om grunnskolen og den vidaregåande opplæringa ([12], s.14.) 

§1–2 Formålet med opplæringa [Fastsatt 17. juli 1198. Vedtatt uten endringer 

av Stortinget] 

Grunnskolen skal i samarbeid og forståing med heimen hjelpe til med å gi elevane ei 

kristen og moralsk oppseding, utvikle evnene og føresetnadene deira, åndeleg og 

kroppsleg, og gi dei god allmennkunnskap, slik at dei kan bli gagnlege og sjølvstendige 

menneske i heim og samfunn. 

Den vidaregåande opplæringa skal ... vere med på å utvide kjennskapen til og 

forståinga av dei kristne og humanistiske grunnverdiane, den nasjonale kulturarven 

vår, dei demokratiske ideane og den vitskaplege tenkjemåten og arbeidsmåten. 

Opplæringa i grunnskolen ... skal fremje menneskeleg likeverd og likestilling, 

åndsfridom og toleranse, økologisk forståing og internasjonalt medansvar. 

Opplæringa skal leggje eit grunnlag for vidare utdanning og for livslang læring 

og støtte opp under eit felles kunnskaps-, kultur- og verdigrunnlag og eit høgt 

kompetansenivå i folket. 

Opplæringa skal tilpassast evnene og føresetnadene hjå den enkelte eleven ... 

Det skal leggjast vekt på å skape gode samarbeidsformer mellom lærarar og 

elevar, ... , mellom skole og heim, ... Alle som er knytte til skolen ... skal arbeide for 

å hindre at elevar ... kjem til skade eller blir utsette for krenkjande ord og handlingar. 

Fra forordet til L97 vil vi fremheve to punkter (omtalt som generelle 

mål og prinsipper for den videre utviklingen av grunnskolen): 

• 

Ei opplæring som medverkar til eit felles kunnskaps-, verdi- og kulturgrunnlag hos 

alle, og som sikrar behovet for kompetanse både hos den enkelte og i samfunnet 

• Ei opplæring som gir god fagleg og pedagogisk samanheng mellom barnehagen, 

grunnskulen og den vidaregåande opplæringa. 

I [7], generell del, finner vi idéer om hvordan de overordnede målene 

bør komme til syne i opplæringen. – Her kan en være enig eller uenig. I lys 

av de synsmåtene jeg har presentert i avsnitt 2.1 kan jeg for min del ikke 

være enig i alt. 

Idéene er samlet under sju store overskrifter. Vi siterer/kommenterer ut 

fra vårt synspunkt: 

• Det meningssøkende menneske 

Under denne overskriften står det forunderlig nok ingen ting om mennesket som 

et vesen som søker mening. (Men under Det skapende menneske står det noe om 

verdien av "søking på ulike områder", selv om et store ordet mening ikke er 

nevnt.) 

Kulturarv og identitet 

Her sies det lite eller ingen ting om vår avhengighet av den europeiske kulturarv. 

For meg står det slik at en her overser historiske fakta. 

• Det skapende menneske 

Tre tradisjoner 

"Opplæringen må ... tuftes på og vise tidligere tiders bidrag, slik de har nedfelt 

seg i menneskenes store tradisjoner for skapende arbeid, søking og opplevelse. 

Kjennskapet til disse tre tradisjonene [den første knyttet til praktisk virke og læring 

gjennom erfaring, den andre hvor ny viten er hentet gjennom teoretisk 

utvikling og den tredje som er vår kulturelle tradisjon] viser at hver generasjon 

kan føye nye innsikter til de foregåendes erfaring, at vanetenking kan brytes og 

kunnskap kan ordnes på nye måter ..." 

Undervisningen skal inngi respekt for det som tidligere tider har frembrakt, 

men i samme monn oppmuntre til å krysse grenser – både slike som ligger i egen 

uvitenhet og vegring og slike som ligger i etablerte tankebygninger. 

Det undrer oss at den tredje tradisjonen, den kulturelle, ikke tenkes å innbefatte 

vitenskap og teknologi. 


Vitenskapelig arbeidsmåte og den aktive elev 

"Menneskene har opp gjennom historien bygget en felles arv av kunnskap som 

er nedfelt i ulike vitenskaper. ... Det er ... vesentlig at elevene får del i denne 

kultur-arven gjennom opplæringen. Samtidig er det viktig at de ikke oppfatter 

vitenskap og teori som evige og absolutte sannheter. Utdanningen må finne den 

vanskelige balansen mellom respekt for etablert viten og den kritiske holdning 

som er nødvendig for utvikling av ny viten ..." 

• Det arbeidende menneske 

"Undervisningen må legges opp med nøye omtanke for samspillet mellom 

konkrete oppgaver, faktisk kunnskap og begrepsmessig forståelse." 

• Det allmenndannede menneske 

Konkret kunnskap og helhetlige referanserammer 

"Erfaring og forskning viser at jo mindre en har med seg av forhåndskunnskaper 

som en kan knytte ny kunnskap til, desto langsommere og mindre overkommelig 

blir læringen. Særlig viktig er de grunnleggende referanserammene i de forskjellige 

fagene." 

• Det samarbeidende menneske 

• Det miljøbevisste menneske 

• Det integrerte menneske 

I og med den skandinaviske tilbakeholdenheten i verdispørsmål (se 

avsnitt 2.1), blir L97 etter mitt syn preget av en monumental gråhet. Det er 

videre en del appeller til baron von Münchhausens tvilsomme metode med å 

trekke seg selv opp etter håret. 

I læreplanene for de ulike fagene i [7] ser vi så hvordan (de anonyme) 

forfatterne tenker seg de overordnede idéene (mål og prinsipper) nedfelt i 

undervisningen. Når det gjelder matematikken, er det få egentlige overraskelser. 

Alle momentene "ligger i tiden". 

____________________________________________________________________________________________ 

Henvisninger 2 

[1] Bjørndal, Bjarne og Sigmund Lieberg. Nye veier i didaktikken? Aschehoug, Oslo, 1978. 

[2] Brezinka, Wolfgang. Erziehung und Kulturrevolution. Die Pädagogik der Neuen Linken. Ernst Rein- 

hardt Verlag, München, 1974. 

[3] Feyerabend, Paul. Against Method. 3. utg. Verso, London, 1993. 

[4] Flasch, Kurt. "Mitten im geistigen Leben der Gegenwart." 

http://www.BerlinOnline.de/kultur/lesen/sach/.html/sach.199945.01.html. 

(Kurt Flasch er prof. em. i filosofi ved Ruhr-Universität Bochum.) 

[5] Gundem, Bjørg Brandtzæg. Skolens oppgave og innhold: En studiebok i didaktikk. 4. utgave. Univer- 

sitetsforlaget, Oslo, 1998. 

[6] Imsen, Gunn. Lærerens verden: Innføring i generell didaktikk. Tano Aschehoug, Oslo, 1997. 

[7] Kirke-, utdannings- og forskningsdepartementet. Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen. Nasjonalt 

læremiddelsenter, Oslo, 1996. – Refereres til som L97. 

[8] Lorentzen, Svein og andre. Fagdidaktikk: Innføring i fagdidaktikkens forutsetninger og utvikling. Uni- 

versitetsforlaget, Oslo, 1998. 

[9] Lyon, David. Postmodernity. 2. utg. Open University Press, Buckingham, 1999. 

[10] Myhre, Reidar 1966. Grunnlinjer i pedagogikkens historie. 2. utgave. Ad Notam Gyldendal, Oslo. 

[11] Skagen, Kaare og Tom Tiller (red.) 1983. Fag – skole – samfunn. Aschehoug, Oslo. 

[12] Stette, Øystein (red.) 1999. Opplæringslova med forskrift. Forarbeid og kommentarer. PEDLEX Norsk 

Skoleinformasjon, Oslo. 

[13] Uljens, Michael (redaktør) 1997. Didaktik – teori, reflektion och praktik. Studentlitteratur, Lund. 

[14] Wittmann; Erich 1981. Grundfragen des Mathematikunterrichts. 6., omarbeidede opplag. Vieweg, Braun- 

schweig. 

____________________________________________________________________________________________ 


9

10 

3 Fra drøm til virkelighet – et forsøk på 

reform av matematikkundervisningen 

3.1 En brannfakkel: 

"Euclid must go!" 

Særlig i de tre første tiårene etter den andre verdenskrig var det sterke 

krefter i gang for å reformere matematikkundervisningen. Synspunktene 

som der kom frem er så viktige for vårt forsøk på å drøfte geometriens plass 

i skolematematikken at vi ønsker å omtale reformbestrebelsene ganske 

omfattende. En viktig kilde har vært Gunnar Gjones store arbeid [2]. 

I USA ble det under og etter den andre verdenskrig ført en omfattende 

diskusjon om matematikkens plass og innhold i skolen. I [2] nevnes tre omstendigheter 

som bidro til dette: 

- Utviklingen av matematikken i sammenheng med krigsteknologien. 

Blant annet sannsynlighetsteori og statistikk og forskjellige grener av 

det som nå kalles diskret matematikk fikk stor betydning 

- Det ble registrert svake kunnskaper i matematikk blant rekrutter. I lys 

av den betydningen matematikken ble tillagt for krigsteknologien, ble 

dette sett på som betenkelig 

- Allerede før krigsslutt begynte en å diskutere hva form amerikansk 

skole skulle få etter krigen. 

Misnøyen med rådende forhold i skolen var omkring 1950 så stor at 

behovet for å gå nye veier var klart for mange. Det var en "atmosfære for 

reform". Matematikken ble den første arenaen for endring. Matematikere 

ved universitetene ble førende i de ulike reformprosjektene. 

Det ble stilt grunnleggende spørsmål, ikke bare til organisering og 

metoder i matematikkundervisningen, men til selve det matematiske "curriculum". 

The College Entrance Examination Board spurte for eksempel: 

[Is it] appropriate, in the second half of the twentieth century, for an examination in 

secondary school advanced mathematics to be devoted, in approximately equal 

parts, to trigonometry, advanced algebra, and solid geometry. ... [W]as this what 

the schools should be teaching? 

Mot slutten av 1950-årene ble det kontakt og samarbeid mellom amerikanske 

og europeiske reformkretser. En svært viktig hendelse i denne 

sammenhengen var "Royaumont-konferansen" i 1959 (på Cercle Culturel de 

Royaumont i Asnières-sur-Oise nær Paris). Fremtredende personer fra 

amerikansk og europeisk reformbevegelse bidro. Se [2], del II, s. 56–62 og 

den offisielle rapporten etter konferansen [8]. 

Ikke bare er det slik at "a considerably greater portion of the student's time in 

school will have to be devoted to science and mathematics" – men 

matematikkundervisningen selv må også reformeres – "so as to adapt and 

strengthen it for its utilitarian role of carrying the ever heavier burden of the 

scientific and technological superstructure which rests upon it" 

het det i innledningsforedraget, holdt av den amerikanske matematikeren 

Marshall H. Stone. Men mest oppmerksomhet vakte foredraget til en førende 

fransk matematiker, Jean Alexandre Dieudonné. (Foredraget er gjengitt i sin 

helhet i [8], s. 31–46.) Hva krever Dieudonné av en første-årsstudent ved et 

universitet eller en ingeniørhøgskole? Vedkommende bør, 

on the one hand, be familiar with a certain number of elementary techniques in 

which it takes a long time to achieve proficiency, and which are essential for further 

progress – such as elementary linear algebra, analytic geometry, trigonometry and 

some calculus. On the other hand, the student should already be fairly well trained 

in the use of logical deduction and have some ideas of the axiomatic method. ([8], s. 

32) 


Dieudonné tar det forbehold at matematikkundervisningen i den 

videregående skole også har andre hensyn å ivareta – hans oppgave var å se 

saken fra universitetslærerens synspunkt (og slik sett står det dårlig til, 

mente han). ('Videregående skole' er vår oversettelse av 'secondary school', 

som begynner på vidt forskjellige årstrinn i forskjellige land. I Frankrike og 

Tyskland den gang ved år 11, i Storbritannia ved år 12, f.eks.) Dieudonné 

går inn for en radikal reform av innholdet av matematikken for elever 14–18 

år, for å spare tid og for å avlaste universitetene. Første punkt: "Euclid must 

go!". Han hevder at vurdert ut fra anvendeligheten for moderne forskning 

kunne det viktigste av euklidsk plangeometri undervises på to eller tre timer, 

– one of them being occupied by the description of the axiom system, one by its 

useful consequences and possibly a third one by a few mildly interesting exercises. 

Everything else which now fills volumes of "elementary geometry" – and by that 

I mean, for instance, everything about triangles (it is perfectly feasible and desirable 

to describe the whole theory without even defining a triangle!), almost everything 

abour inversion, systems of circles, conics, etc. – has just as much relevance to 

what mathematicians (pure and applied) are doing today as magic squares or chess 

problems! ([8], s. 35f) 

Hva mener han med "useful consequences" av aksiomene? Jo, todimensjonal 

lineær algebra samt ortogonalitet, sirkler, rotasjoner, symmetrier, vinkler og 

gruppen av isometrier. 

Videre: 

In contrast with this "ideal" way of teaching geometry, I do not have to tell you what 

is actually done at present in the secondary schools. The basic notions (point, line, 

distance, angle) are never given a strict axiomatic definition; they are introduced by 

direct appeal to intuition, although their exact relation to the physical objects they 

are supposed to "idealise" is never made very clear. As no complete system of 

axioms is ever stated, it is, of course, completely impossible to check the 

correct[ness] of any proof. 

Finally, through a fantastically laborious and complicated process ..., one reaches, 

as so called "theorems", the simple properties listed ... [han sikter til aksiomer for 

todimensjonale vektorer med skalarprodukt], after having, in addition, spent months 

and years over all the mathematical trifles which I mentioned above. 

... 

I am convinced that if these mathematicians [de store matematikere i fortid og 

nåtid] had been taught nothing at all until the age of, say, 16, they would, in all probability, 

have done just as well, and all the mathematicians of my generation know 

by experience what pains they had to go through in order to shed the bad habits and 

wrong viewpoints which had been drilled into them by an old-fashioned education. 

([8], s. 37f) 

Hvordan undervise? Han understreker to prinsipper: 

[A] mathematical theory can only be developed axiomatically in a fruitful way when 

the student has already acquired som familiarity with the corresponding material – a 

familiarity gained by working long enough with it on a kind of experimental, or 

semi-experimental basis, i.e., with constant appeal to intuition. 

... when logical inference is introduced in some mathematical question, it should 

always be presented with absolute honesty – that is, without trying to hide gaps or 

flaws in the argument ... 

I have espacially in mind the way in which the beginnings of geometry are taught 

at present, with the parade of "definitions" which do not define anything and of 

pseudo "proofs" which cannot undergo [her menes trolig 'stand up to'] logical analysis. 

It therefore appears a disgrace not to be able to present to the student a completely 

deductive theory, starting all the way from the basic axioms ... 

For my own part, I see nothing wrong or dishonorable in starting with a premise 

which is not an axiom ... as soon as it is possible to show without any logical flaw 

that the given statement implies another one. Not only would this be much more 

instructive, it would also put in its true light the nature of logical inference and its 

relative character, which is often obscured by the manner in which it is hopelessly 

mixed up with the metaphysical notion of "truth". ([8], s. 39–40) 

Dieudonné går over til å skissere et "moderne opplegg". Vi begrenser 

oss stort sett til det han sier om geometri. 

Opp til 14 år: 


11

12 

The goal is to make the student thoroughly familiar with the technique of computation 

with letters ...I would like to see more hours spent on algebra than on geometry 

at that stage. 

[Dieudonné refererer til forskning og utprøving hvor geometrien undervises nærmest 

som en del av fysikken.] I think this development should be highly encouraged, 

provided it puts the emphasis not on such artificial playthings as triangles, but on 

basic notions such as symmetries, translations, composition of transformations, etc. 

... in all these "experimental" mathematics, the language and notations now universally 

in use should be introduced as soon as possible: there is nothing mysterious 

... in abbreviating "belong to" by ∈, or "implies" by ⇒, or in speaking of "subset" 

instead of "geometrical locus". ([8], s. 40f) 

15 år: 

By this time the previous study of plane geometry from the "experimental" 

standpoint should have prepared the student for the statement of [aksiomer for 

todimensjonale vektorer med skalarprodukt]. As usual, the emphasis should be on 

the linear transformations, their various types and the groups they form. Matrices 

and derminants of order 2 appear, of course, in a natural way during this 

development. ([8], s. 43) 

Alle aksiomene for den matematikken elevene hittil har vært gjennom er nå 

formulert. En kan i det videre arbeidet legge hovedvekten på den tekniske 

eller den begrepsmessige siden av de idéene som blir innført. Dieudonné 

hevder (litt uventet) at nytt stoff blir lettere tilegnet gjennom de ferdighetene 

som hører med enn ved å dvele ved subtile logiske poenger. 

16 år: 

The axiomatic part should further develop the consquences of the axioms, with a 

deeper study of the groups of plane geometry, and, in particular, the use of angles 

and of trigonometric functions. The "measure" og angles should be defined in a 

precise way (as a homomorphism of the group of real numbers onto the group of 

rotations) but its existence admitted withour proof. ([8], s. 43f) 

Til slutt understreker Dieudonné at han langt fra mener at geometrien er 

uviktig. Tvert om er språk og idéer tatt fra geometrien viktigere i høyere 

matematikk enn noen gang før. Det er ikke geometrien, men måtene å 

undervise den på han angriper. En burde basere undervisningen, ikke på 

kunstige begreper og resultater som er uten betydning for de fleste anvendelser 

(begrepet trekant er etter hans mening et slikt kunstig begrep, og det 

har nesten ingen anvendelser utenfor de spesialiserte områdene astronomi og 

landmåling), men på de fundamentale begrepene som er egnet til å beherske 

og klargjøre alle spørsmål der geometri inngår. 

"Bourbaki" 

Noen ord om det klimaet som hersket i matematikken på den tiden. Det 

hadde utviklet seg en stadig dypere kløft mellom ren og anvendt 

matematikk. Den dominerende impulsen innenfor ren matematikk skyldtes 

Nicolas Bourbaki. Dette navnet var et pseudonym for en liten gruppe 

franske matematikere som ønsket å sanere matematikken fra grunnen av. 

Resultatene av deres arbeid kom som som en lang rekke bøker (hefter) med 

fellestittelen Éléments de mathématique fra 1939 av. – To av innlederne ved 

Royaumont-konferansen hørte til Bourbakigruppen, nemlig Jean Dieudonné 

og Gustave Choquet. – Ved svært mange universiteter i Europa og USA var 

det Éléments de mathématique som avgjorde hva som var seriøs 

matematikk. Slik ble det værende til i hvert fall ut på 1960-tallet. En kan 

merke seg at makt omfatter også rå politisk makt! 

Eventually they conquered essentially the entire world of mathematics, even trying 

to breach the walls of high school in the disastrous episode of the 'new math'. (David 

Mumford, 1991; se [11]) 

Hos Bourbaki bygges hele matematikken (og matematikk var for dem ren 

matematikk) opp på et bestemt grunnlag, det såkalt mengdeteoretiske (som 

noen riktig nok regnet til det formalistiske, et annet standpunkt i grunnlagsforskningen). 

Enhetlighet søkes oppnådd ved algebraisering. 


Bourbaki hadde kritikere, som en skjønner av sitatet ovenfor. 

Benoit Mandelbrot, skaperen av fraktalgeometrien, setter i en artikkel 

fra 1989 opp mot hverandre to tilnærmingsmåter til kunnskap: top-downmåten, 

som bygger alt omkring ett prinsipp eller én struktur, og bottom-upmåten, 

som organiserer seg omkring en problemkrets. Den førstnevnte 

"finds its over-fulfillment and destructive caricature in Bourbaki" (se [11]). 

Endelig om den filosofiske nimbus som Bourbaki fremsto med. 

"Bourbaki did not adopt formalism with full philosophical commitment, but rather 

as a facade to avoid philosophical difficulties." ... Bourbaki gave the impression of 

elevating their choices in mathematics above all dispute: but that was all it was – 

just an impression. (Se [11]) 

Ingen har nektet for at Élements de mathématique er resultatet av et 

enormt arbeid og vitner om stort skarpsinn. 

Vi har på denne måten, før vi presenterer historien videre og kritikken 

mot den "nye matematikken", ville antyde det grunnperspektivet på matematikken 

og matematikkens forhold til vitenskapene som vi ønsker å gjøre 

gjeldende. Det innebærer avstand til den holdningen og de oppfatningene 

som drev reformen frem. Derunder distanse til et filosofisk element som det 

ikke er argumentert for med troverdighet: en "fasade". Endelig innebærer det 

at matematikken når troverdighet bare hvis den klarer å hjelpe oss med å 

forstå den virkelige verden. 

Men ennå befinner vi oss omkring 1960. 

____________________________________________________________________________________________ 

3.2 Reaksjoner på 

"Euclid must go!" 

Anbefalinger fra 

Royaumont- 

konferansen 

Det var sterke reaksjoner, positive og negative, på Dieudonnés foredrag. 

Noen momenter fra diskusjonen: 

- Noe av den tradisjonelle geometrien bør beholdes, da nesten alle mate- 

matiske emner har behov for én eller annen geometrisk illustrasjon 

- Selv trekanten lar seg forsvare, for denne figuren har dype røtter i den 

intellektuelle utviklingen hos mennesket, og den har stor betydning i 

praktiske fag og i livet forøvrig 

- Euklidsk geometri har i lang tid vært den viktigste innføringen elever har 

hatt til deduktiv tenkning. Dieudonné hadde påpekt at slike logiske 

resonnementer ofte ikke har holdt mål. En god del av bevisene i tradisjonell 

geometri er korrekte. Der hvor det svikter, må det påpekes i undervisningen 

- Når det gjelder kravet til rigorøse resonnementer, så er det jo slik at bare 

et fåtall av elevene vil studere matematikk ved universitet eller høyskole. 

De som kan ha utbytte av undervisning i matematikk på det høye nivået 

som anbefales, må få gå i egne klasser. 

Dieudonné hadde snakket om årstrinnene fra og med 14 år, men det er 

klart at de endringene han ba om ville ha følger også på lavere årstrinn. 

Det ble sagt annet om geometri på Royaumont-konferansen som må 

nevnes. Otto Botsch (Oberstudiendirektor ved Helmholtz-Gymnasium, Heidelberg) 

anbefalte som ledestjerne det som gjerne kalles transformasjonsgeometri. 

(Denne har fått et visst innpass i norske lærebøker for grunnskolen 

under overskriften flyttinger): Noen punkter fra innlegget: 

- En må starte med det konkrete, med speilinger, rotasjoner og parallellforskyvninger, 

for så etter hvert å innføre grupper av transformasjoner. 

Begrepet transformasjon (avbildning) illustreres passende med 

figurer som er symmetriske om en akse; en gjør utstrakt bruk av papirbretting 

og klipping og liming; endelig tar en i bruk linjal og passer i 

tradisjonell geometrisk konstruksjon. 

- Opp til 12–13 år bør geometriundervisningen omfatte studiet av passende 

fysiske gjenstander som kan illustrere viktige begreper: for 


13

14 

eksempel parallelle linjer og normaler på murstein o.l. 

- Vektorer må innføres så tidlig det lar seg gjøre. 

Også dette innlegget vakte en del diskusjon: 

- Det ble uttrykt bekymring for at en kunne miste det som var positivt i 

den tradisjonelle geometriundervisningen. Særlig at en der skiller klart 

mellom premisser og konklusjon. Videre at en forsøker å gjøre klart 

hvor induktiv arbeidsmåte slutter og deduktiv arbeidsmåte tar over. Det 

er slett ikke umulig å gjøre euklidsk geometri til en "dynamisk" 

læreopplevelse, forskjellig fra blott og bar memorering og resitering av 

teoremer. Det har alltid vært mulig å oppnå klarhet i bruk av begreper 

innenfor den euklidske geometrien 

- I transformasjonsgeometrien kan det være vanskelig å vite hva en blir 

bedt om å godta intuitivt og hva som tenkes å være aksiomer. Likedan 

hva som er aksiomer og hva som er teoremer. Her må det ryddes opp 

- Det bør brukes mindre tid enn før på euklidsk geometri. Men de 

grunnleggende idéene må beholdes. Det meste av konstruksjoner kan 

sløyfes. Antallet av teoremer en tar for seg kan reduseres kraftig. 

I sammendraget og anbefalingene ("Summary and conclusions of the 

seminar", [8], s.105-25) er de viktigste punktene understreket. Sammendraget 

er ikke alltid helt konsistent. Et inntrykk av at holdningen til geometrien 

er uavklart, blir lett hengende igjen. 

Noen få momenter fra sammendraget – ett om geometri og to mer allmenne: 

- Det vesentlige av euklidsk geometri kan læres ved intuitive metoder fra 

år 11 til år 14. Deretter kan det brukes noen få måneder på å forklare 

aksiomsystemet, studere noen nyttige konsekvenser og løse noen få utvalgte 

oppgaver. Vektormetoder må innføres tidligst mulig 

- Moderne notasjon hentet fra mengdelære og logikk bør en ta i bruk så 

tidlig som mulig 

- Algebraisering av matematikken er et overordnet krav. 

De to siste momentene er ikke uventet. Nærværet av to fremtredende Bourbaki-medlemmer 

(Dieudonné og Choquet) blant innlederne gjorde sitt. 

Dessuten hvilte Bourbakis ånd over hele universitetsmatematikken på den 

tiden. 

Anbefalingene fra Royaumont-konferansen fikk en oppfølging året 

etter. En ekspertgruppe møttes i Dubrovnik i det daværende Jugoslavia. 

Rapporten fra samlingen [9] inneholdt detaljerte forslag til pensum for en 

del matematikk for årstrinnene 11–18 år. 

Abstraksjonsnivået er høyt. Første-, andre- og tredje-års matematikkstudenter 

ved våre universiteter i dag ville på en del punkter ha sin fulle hyre 

med å følge med. 

Hva geometrien angår, ser gruppen for seg en omfattende algebraisering. 

Så snart elevene kan makte det, innføres koordinater, vektorer, enkle 

transformasjoner (avbildninger), trigonometri. F.eks., på programmet til 15åringer 

står vektorrom med indre produkt i to og tre dimensjoner. 16-åringene 

går videre til vektorrom med vilkårlig dimensjon, og til lineær uavhengighet 

i slike rom. La oss ta med fra innledningen til "The Geometry Program. 

Second Cycle. Ages 15–18" ([9], s. 188): 

In studying [the properties of euclidean space] from 15 to 16 years of age we shall 

seek the affine structure embedded in it, and study important affine properties before 

entering the study of euclidean metric space. From 16 to 17 years an autonomous 

study of affine coordinate geometry can be developed and thus prepare the way for 

an axiomatic study of geometries in the last year of the cycle (age 17 to 18 years). A 

study of quadratic forms, and symmetrical bilinear forms associated with them, would 

lead from the affine properties to those of euclidean geometry. 


In the last year of the second cycle, the student will also be introduced to the 

fundamental concepts of projective, descriptive, and conformal geometries. 

To ting ble igjen og igjen understreket av dem som argumenterte for en 

endret matematikkundervisning: 

1 Matematikken må fremstå enhetlig. Etter moderne synsmåte har alle 

disiplinene (algebra, geometri, analyse, ...) har en dyp indre sammenheng. 

For at undervisningen skal få frem denne sammenhengen, som er 

den eneste veien til virkelig forståelse, må den understreke matematikkens 

struktur, særlig ved bruk av begreper og symboler fra mengdelæren 

2 Det bør undervises ren matematikk. Å trekke inn anvendelser av matematikken 

vil fungere som "støy". 

Punkt 1 

Dette var en top-down tilnærming til stoffet, fra det generelle til det 

spesielle. Dette var ikke unaturlig, siden foregangsmennene i reformbevegelsene 

var universitetsmatematikere fascinert av moderne grunnlagsforskning 

og av "Bourbaki". – Også kognitiv psykologi, representert ved psykologen 

Jerome Seymour Bruner, må nevnes her. – Både innholdet i lærebøkene 

og undervisningsmåten skulle ha fagets grunnleggende struktur som 

fokus. For matematikk er kort og godt "vitenskapen om formelle systemer" 

([2], del II, s. 8). Ut fra et slikt syn blir det selve strukturene som er det 

interessante ved matematikken. 

Morris Kline, professor i matematikk ved New York University, var den 

førende skikkelsen bak et memorandum som ble offentliggjort i 1962, 

underskrevet av 64 matematikere. (Memorandumet er gjengitt i sin helhet i 

kapittel 9 av [7].) Der lød det andre toner: 

... to introduce unifying concepts where there is no experience to unify, is worse 

than useless ... 

Videre tok memorandumet for seg dilemmaet induktiv arbeidsmåte – formelle 

bevis. Det gikk inn for en uformell arbeidsmåte. For det er slik matematikere 

arbeider, ved intuisjon og gjetting. Det formelle beviset er bare 

en legitimering av det som er oppnådd ved intuisjonens hjelp. Formelle resonnementer 

bør ikke unngås, men bør ikke komme for tidlig. Undervisningen 

bør innrettes etter det "genetiske prinsipp": Den bør følge de store 

linjer i den historiske utviklingen av matematikken (uten de mange feilene i 

detaljer!). De som sto bak memorandumet var helt enige i at det var behov 

for reform av matematikkundervisningen. De trakk frem at faget tradisjonelt 

ble presentert i deler uten innbyrdes sammenheng, ofte som "knep", og at det 

var isolert fra naturvitenskapene. Dette bringer oss til 

Punkt 2: 

Mange var for. Det amerikanske College Entrance Examination Board 

nedsatte en komité som i 1959 kom med en viktig rapport. Her het det: 

It would be most unfortunate to attempt to justify the four year study of mathematics 

solely as preparation for a wide and ever increasing range of applications. 

Mathematics is eminently worthy of study in its own right: it is a vital and shining 

example of mankind's creativity, one of the great cultural achievements of the ages. 

([2], del I, s. 31) 

Men det var også røster som talte mot. John (opprinnelig Johann) von 

Neumann, stor matematiker, skrev: 

As a mathematical discipline travels far from its empirical source, or still more, if it is 

a second or third generation only indirectly inspired by the ideas coming from 

'reality', it is beset with very grave dangers. ([2], del I, s. 18) 

Memorandumet var ikke helt avvisende til alt i reformarbeidet. For eksempel 

het det at det var vel verdt å innføre grunnleggende begreper som 

kunne skape enhetlighet i presentasjonen, og spesielt at en forstandig bruk 

av mengdelære og abstrakt algebra kunne bidra til slik enhetlighet. Men ikke 


15

16 

minst understreket en at det er viktig å se sammenhengen mellom matematikken 

og naturvitenskapene. 

____________________________________________________________________________________________ 

3.2 Kritikk for døve 

ører – foreløpig 

I reformkretsene var det ulike reaksjoner på memorandumet. Noen var velvillige 

mens andre oppfattet det som "a grave and unnecessary discourtesy" 

til dem som hadde engasjert seg i reformarbeidet. Denne siste reaksjonen er 

det ikke lett å forstå i dag. De som satte sine navn under memorandumet 

borger for sobert og kompetent innhold. (En finner Lars Ahlfors og Garrett 

Birkhoff fra Harvard University, George Pólya fra Stanford University og – 

underlig nok – André Weil fra Institute for Advanced Study, én av grunnleggerne 

av Bourbaki-gruppen!) Memorandumet var en oppfordring om å 

korrigere kursen i reformarbeidet. – I reformens tidlige fase hadde tanker om 

læring ved oppdaging og en genetisk undervisningsmåte vært sterkt fremme 

(forøvrig i tråd med oppfatningene i memorandumet). Men nå var tendensen 

annerledes, mer i retning av "ready-made" matematikk, som det het – med 

beklagelse – hos matematikkdidaktikeren Hans Freudenthal i begynnelsen 

av 1970-tallet ([4], s. 114). 

Hadde memorandumet noen betydning for det videre reformarbeidet? 

Klines protest førte nok til visse forsonende manøvrer, men aldri til en ærlig 

revurdering av hovedprinsippene i den nye matematikken (se sitat i [2], del 

II, note 16 på side 50). 

Hva så med den videre gangen i reformarbeidet? En finner en del 

ønsketenkning, som også enkelte personer i reformbevegelsene reagerte 

negativt på. Vi nevner at det i 1963 ble det holdt en konferanse i Cambridge, 

Massachusetts, der en rekke toppmatematikere og noen få andre deltok 

(blant disse psykologen Jerome S. Bruner). Meningene som kom frem i 

rapporten var ganske ekstreme. Det het at i en undervisning etter deres idéer 

skulle 

a student who has worked through the full thirteen years of mathematics in grades K 

to 12 [årene 5 til 18] ... have a level of training comparable to three years of top-level 

college training today ..." (se [2], del II, s. 39) 

Det var også læreplanforslag. På trinnene K–2 (årene 5-8) sto blant annet 

dette på planen: tallinjen (med negative tall fra starten av) – idéen om en 

omegn til et punkt på tallinjen – inverse operasjoner. På trinnene 3-6 (årene 

8-12): kartesiske koordinater i 3 dimensjoner – polarkoordinater – vektorer. 

Mye av dette ville jo være påkrevd om en skulle presse 3 års college-matematikk 

inn i den videregående skolen. Som nevnt var Bruner deltaker på 

konferansen. Han hadde den oppfatningen at på sett og vis kan alt undervises 

på ethvert årstrinn, når det bare blir gjort på den rette måten. Denne 

oppfatningen kan en ane i rapporten i forbindelse med en kritikk av Piaget. 

(Denne mente jo at visse idéer og visse grader av abstraksjon ikke kan læres 

før en viss alder er oppnådd; Bruner var kritisk til Piaget på dette punktet.) 

Richard Phillip Feynman, amerikansk teoretisk fysiker, Nobelprisvinner 

(1965) og legendarisk lærer, kan godt nevnes her. I 1964 gjennomgikk han, 

som medlem av California State Curriculum Commission, et stort antall 

lærebøker ("18 feet of shelf space") i matematikk for trinnene 1–8 i 

kalifornisk grunnskole. Momenter av kritikk (hentet fra [3]): 

- Many of the books go into considerable detail on subjects that are only of interest to 

pure mathematicians. Furthermore, the attitude toward many subjects is that of a pure 

mathematician. But we must not plan only to prepare pure mathematicians. In the first 

place, there are very few pure mathematicians and, in the second place, pure 

mathematicians have a point of view about the subject which is quite different from 

that of the users of mathematics. A pure mathematician ... is purposely disinterested 

in ... the meaning of the symbols and letters and ideas; he is only interested in logical 

interconnections of the axioms, while the user of mathematics has to understand the 

connection of mathematics to the real world. 


- [W]hether it is wise to use "new," in the sense of very modern, mathematics is questionable. 

Mathematics which is used in engineering and science – in the design, for 

example, of radar antenna systems, in determining the position and orbits of the satellites, 

..., and in the most esoteric forms of theoretical physics – is really old mathematics, 

developed to a large extent before 1920. 

- "Ord": 

When we come to consider the words and definitions which children ought to learn, 

we should be careful not to teach "just" words. It is possible to give an illusion of 

knowledge by teaching the technical words which someone uses in a field ... without 

at the same time teaching any ideas or facts using these words. Many of the math 

books that are suggested now are full of such nonsense – of carefully and precisely 

defined special words that are used by pure mathematicians in their most subtle and 

difficult analyses, and are used by nobody else. 

... 

It will be very easy for students to learn the new words when, and if, they become 

pure mathematicians ... 

- Presist språk: 

The real problem in speech is not precise language. The problem is clear language. It 

is only necessary to be precise when there is some doubt as to the meaning of a 

phrase, and then the precision should be put in the place where the doubt exists. It is 

really quite impossible to say anything with absolute precision, unless that thing is so 

abstracted from the real world as to not represent any real thing. 

Pure mathematics is just such an abstraction from the real world, and pure 

mathematics does have a special precise language for dealing with its own special and 

technical subjects. But this precise language is not precise in any sense if you deal 

with the real objects of the world, ... 

- It will perhaps surprise most people who have studied the textbooks to discover that 

the symbol ∪ or ∩ representing the union and intersection of sets and the special use 

of the brackets { } and so forth ... almost never appear in any writings in theoretical 

physics, in engineering, in business arithmetic, computer design, or other places 

where mathematics is being used. I see no need or reason for this all to be explained 

or to be taught in school. ... It is claimed to be precise, but precise for what purpose? 

De kritiske røstene vi har nevnt, var foreløpig enslige røster i ørkenen. 

____________________________________________________________________________________________ 

3.3 Reform på retur 

Mot slutten av 1960-tallet hadde reformbevegelsene vind i seilene som aldri 

før eller senere. Året 1967 nevnes som et høydepunkt(se [2], del V, s. 1). 

Det gjaldt både i USA og i Europa med Norden. Men kritikken fikk etter 

hvert større tyngde. Tidlig på 1960-tallet var kritikeren som sagt stort sett 

den enslige røsten i ørkenen. Og det var tro mot tro. Etter hvert kom det 

resultater av undersøkelser. En amerikansk undersøkelse på 1960-tallet 

omfattet 110 000 elever. Det lot til at regneferdigheten hos elever som fulgte 

et "moderne" opplegg var betydelig svakere enn hos slike som fulgte et tradisjonelt 

opplegg. (Riktignok var regneferdighet prioritert lavere i den første 

gruppen enn i den andre.) Begrepsforståelsen syntes å være litt bedre i den 

første gruppen. Når det gjaldt problemløsning, var resultatene "inconclusive". 

Etter om lag 1967 ble en del "moderne" opplegg forlatt i USA. 

I avsnitt 3.1 omtalte vi Dieudonnés foredrag på Royaumontkonferansen 

i 1959, med bredsiden mot "Euklid". I 1970 kom en artikkel fra 

René Frédéric Thom (fransk matematiker, førende geometer, opphavsmann 

til den såkalte katastrofeteorien), meget kritisk til den "moderne" 

matematikken i skolen [10]. Det kom et svar fra Dieudonné i 1973 [1]. Når 

en leser disse to artiklene sammen, forstår en bedre noe av det som lå bak 

reformstrevet. 

Thom reflekterer blant annet over hva bevis og deduktiv tilrettelegging 

er for noe, og over "Limits and necessity of axiomatization". Av Dieudonnés 

svar blir det klart at når han dømmer "Euklid" nord og ned og insisterer på 

aksiomatisering selv i skolematematikken, så er hans anliggende ikke av det 

fundamentale filosofiske slaget som Thom har regnet med. 


17

18 

But [Thom's] interpretation of "axiomatization" is a very narrow one. ... What [most 

working mathematicians] mean by an axiomatic theory is a rational and ordered way 

of presenting definitions and theorems that clarifies "intuition" rather than suppresses 

it. 

Utgangspunktet for Dieudonné er en frustrasjon som stammer fra hans egen 

erfaring med "Euklid" i fransk skole omkring 1920. 

Geometry was taught at age twelve, starting right away with the Euclidean axioms, 

mixed up (as of necessity they must be, since they do not form a complete system) 

with appeals to intuition disguised as "obvious facts." 

... 

My own recollection of those school years is that I never understood ... , and the 

idea of proof remained a mystery to me for a long time. 

Bort med det! La oss få i stedet en fremstilling som er begripelig og redelig 

og mer i tråd med hvordan vanlige matematikere av idag (ikke grunnlagsforskere) 

arbeider. – Omtrent slik ser det ut til at Dieudonné må ha følt og 

tenkt. 

Thom var provosert av det pretensiøse i mye av reformstrevet, og kjørte 

frem en omfattende og ytterst interessant filosofisk argumentasjon til fordel 

for å nedtone det aksiomatiske innslaget i skolematematikken. 

Dersom vi tolker [10] og [1] riktig, så har det ikke vært fritt for at de to, 

og ytterfløyene i striden, et stykke på vei har snakket forbi hverandre. 

Thom beklager tendensen til å erstatte geometri med algebra. Han 

mener tendensen bør snus. Han understreker forskjellen mellom algebra og 

geometri sett fra lærerens synspunkt: 

Exaggerating only slightly, one can say that any question in algebra is either trivial or 

impossible to solve. By contrast, the classic problems of geometry present a wide 

range of challenges. 

Dieudonné argumenterer – i alle fall tilsynelatende – noe nær "rent faglig". 

Thom trekker inn et videre område av motiver og refleksjoner – kulturelle, 

filosofiske og pedagogiske. 

In order to judge fully the capabilities of a student, it is necessary to place him in an 

active role and to call on his individual initiative and enterprising spirit. None of this 

is conceivable within a framework of "useful" studies, where all the elements, included 

because of their technical utility, are dogmatically taught and where scholarly 

excellence is defined as exact and rapid memorization of given material. [Thom 

tenker her på det algebraiske elementet i forslagene til pensa fra reformbevegelsene.] 

Only those topics which have a quality of "play" have educational value, and of all 

such games, Euclidean geometry, with its constant references to underlying intuitively 

understood fundamentals, is the [most] gratuitous and the richest in meaning 

[vår kursivering]. 

Thom (og Feynman, som vi så) argumenterer mot det ekstreme kravet 

til presist språk som var vanlig i reformkretser. Han går inn for det genetiske 

prinsippet i undervisningen (og hevder at nettopp geometrien er et egnet 

eksempel her). Videre uttrykker han skepsis til den vekten som legges på 

mengdelære og formell logikk. Endelig hevder han at de viktigste impulsene 

til matematikken kommer fra "den ytre verden". 

Dieudonné og Thom var begge matematikere av høyeste orden. Men 

deres mentalitet var svært forskjellig. L'art pour l'art, i overført mening, er 

fjernt fra Thoms holdning, men er ikke ukjent i den ekstreme delen av 

reformbevegelsene (der Dieudonné hørte hjemme). 

På denne tiden, begynnelsen av 1970-tallet, var reformbevegelsen blitt 

sårbar, og kritiske røster ble nå hørt. Den viktigste kritikeren ble nok Morris 

Kline (hovedmannen bak memorandumet fra 1962). I 1973 kom han med 

boken Why Johnny Can't Add – The Failure of the New Math [7]. Kline var 

professor ved Courant Institute of Mathematical Sciences, New York 

Univer- 

sity, og var forfatter av en rekke bøker kjennetegnet ved forstand og 

overlegent vidd. (Således den tre bind store Mathematical Thought from 


Ancient to Modern Times (1972), et verk som i følge en anmelder er "the 

most ambitious and comprehensive history in the English language of 

mathematics and its relation to science".) Kjærlighet til matematikken, 

respekt for dens kronglete tilblivelseshistorie – og vidd – kjennetegner også 

Why Johnny Can't Add. Sistnevnte kjennetegn var nok ikke mye å glede seg 

over for dem kritikken gikk utover, for det var helst lite vidd og humor i de 

kretsene. 

Klines poenger i Why Johnny Can't Add er ikke svært ulike dem vi 

foran har forsøkt å hente fra striden om reformen. Men fremfor bare å referere 

Klines poenger, har vi altså foretrukket å gå inn i reformens historie. 

I siste kapittel i sin bok legger Kline frem sine tanker om hvilken 

retning den riktige reformen etter hans mening burde ha: 

Put roughly for the moment, the direction should be diametrically opposite to that 

taken by the new mathematics. ([7], s. 144) 

____________________________________________________________________________________________ 

3.4 Idéer til en alter- 

nativ tilnærming 

Vi har omtalt noen av de idéene vi finner hos reformens talsmenn når det 

gjelder innholdet av skolematematikken. La oss huske på at bakgrunnen for 

reformbevegelsene var behovet for å mestre samfunnets mekanismer, som i 

stadig økende grad er dominert av matematikk. "Alle" var enige om at nivået 

på matematikk-kunnskapene måtte høynes. Men hvordan? 

I avgjørende grad var det matematikere ved universiteter og høyskoler 

som påtok seg å gi råd om reformens retning. Til overmål var de fleste av 

disse rene matematikere, med et uavklart eller til og med uvillig forhold til 

matematikkens anvendelser i vår felles virkelighet. Sentrale stikkord for 

retningen av reformen var 

- abstraksjon 

- presist språk 

- aksiomatisk fremstilling 

- ren (dvs. ikke anvendt) matematikk. 

På 1970-tallet var reformen på defensiven. Det kom frem motforestillinger 

til alle fire stikkord for retningen av reformen. Tydeligst hos Feynman, 

Thom og Kline. Kline er det viktigste navnet her. Merk at ingen av 

disse gikk inn for status quo. Kanskje var Kline den som mest ubarmhjertig 

påpekte hvorfor og hvordan den tradisjonelle matematikkundervisningen 

hadde sviktet. (Dette gjorde han på en bedre måte enn "ny matematikk"reformens 

talsmenn, for hans syn for matematikkens verdi var dypere fundert. 

Det var basert, ikke på snevre faglige og fagpolitiske argumenter, men 

på en begrunnet overbevisning om matematikkens store verdi i vår kultur.) 

For å se hvordan en alternativ reform kunne se ut går vi til Kline [7]. 

(Men Kline trekker Feynmans og Thoms synspunkter inn i sin argumentasjon.) 

Forslagene er generelle. Mer spesifikke forslag og drøftinger må utstå 

til vi kommer til de faglige delene av dette arbeidet. (Sidetall til sitater i 

resten av dette avsnittet gjelder Klines bok [7], om ikke annet er sagt.) 

- Matematikkfaget bør være allmenndannende 

På småskoletrinnet og på mellomtrinnet bør det ikke skjeles til høyskolenes 

og universitetenes behov. Knapt nok i ungdomsskolen og i den videregående 

skolen. Bredde bør være stikkordet, heller enn dybde. Elevene bør lære en 

del matematikk. Men fagets rolle i vår kultur og i våre samfunn og 

matematikkens sammenheng med andre menneskelige interesser bør komme 

til syne med tyngde. Er dette mulig på de lavere trinnene i grunnskolen? 

spør 

Kline (s. 146). Selvsagt, svarer han: hvis nemlig ikke matematikken selv på 

de lavere trinn var nært knyttet til sentrale anliggender i vår kultur, ville 


19

20 

faget ikke kunne forsvare den plassen det har i læreplanen. 

Whether or not mathematics should be combined with science, by presenting mathematics 

as a part of man's efforts to understand and master his world we would be 

giving students the historically and currently valid reason for the great importance of 

the field. This is also the primary reason for the presence of mathematics in the 

curriculum. 

… 

The new approach would present what is interesting, enlightening, and culturally 

significant – restricted only by a slight need to include earlier concepts and techniques 

that will be used later. (S. 148) 

- Hvert emne som innføres må motiveres 

Mathematics proper does not appeal to most students and they constantly ask the 

question, "Why do I have to learn this material?" This question is thoroughly 

justified. 

... 

[N]umbers and geometrical figures are insignificant properties of real objects. (S. 

149) 

Intellectual challenge may arouse som people, but one could hardly refute those 

who would maintain that the challenges of building a more humane society and 

securing honest leaders are more important. 

Hence, motivation for the nonmathematician cannot be mathematical. ... [I]t is 

pointless to motivate complex numbers for the general student by asking for solutions 

of x 2 + 1 = 0. Since nonmathematicians don't care to solve x - 2 = 0 why should they 

care to solve the former equation? 

... 

The natural motivation is the study of real, largely physical, problems. Practically 

all the major branches of mathematics arose in response to such problems and 

certainly on the elementary level this motivation is genuine. ... For most people, including 

the great mathematicians, the richness and values that do attach to mathematics 

derive from its use in studying the real world. Mathematics is a means to an end. 

One uses the concepts and reasoning to achieve results about real things. (S. 150) 

Kline siterer den engelske filosofen og matematikeren Alfred North Whitehead, 

selv kjent for abstrakt arbeid på høyeste plan (Principia Mathematica, 

sammen med filosofen Bertrand Russell): 

Elementary mathematics ... must be purged of every element which can only be justified 

by reference to a more prolonged course of study. There can be nothing more 

destructive of true education than to spend long hours in the acquirement of ideas and 

methods which lead nowhere. (S. 146) 

[T]he elements of mathematics should be treated as the study of a set of fundamental 

ideas, the importance of which the student can immediately appreciate; ... 

every proposition and method which cannot pass this test, however important for a 

more advanced study, should be ruthlessly cut our. (S. 147) 

Kline spør: 

Would real problems meet the interests of young people? They live in the real world 

and, like all human beings, either have some curiosity about real phenomena or can 

be far more readily aroused to take an interest in them than in abstract mathematics. 

... But if it is not the complete answer, then further work must be done to secure the 

effective motivation. If puzzles, games, or other devices serve at particular age levels, 

these too can be used – though they cannot be the major source of motivation, else 

students will get the wrong impression of the value of mathematics. (S. 151–52) 

– Kanskje bør elementet lek ha en viktigere plass enn Kline tenker seg? Til 

og med en egenverdi? Det er nok i dag ting som tyder på at lek er en fundamental 

menneskelig virksomhet. Da er det rimelig at den utnyttes på helt 

annen måte enn som erstatning for noe som tenkes å være mer verdifullt. – 

Et slikt perspektiv på lek kan en finne i [6]. – Vi minner om Thoms oppfatning, 

referert i avsnitt 3.3: 


Only those topics which have a quality of "play" have educational value, and of all 

such games, Euclidean geometry, with its constant references to underlying intuitively 

understood fundamentals, is the [most] gratuitous and the richest in meaning. 

Kline snakker om "tekstoppgaver": 

One of the greatest difficulties that students encounter in mathematics is solving verbal 

problems. They do not know how to translate the verbal information into mathematical 

form. Under the usual presentation in the traditional and modern mathamatics 

curricula this difficulty is to be expected. Mathematics is presented in and for itself, 

divorced from physical meaning, and then the students are called upon to relate this 

isolated, meaningless mathematics to real situations. Clearly they have no foundation 

on which to think about such situations. On the other hand, if the mathematics is 

drawn from real problems, the difficulty of translation is automatically disposed of. 

(S. 153–54) 

- Matematikken bør utvikles ikke deduktivt men "konstruktivt" 

Hva betyr 'konstruktivt' her? Kline forklarer med et av 1970-årenes pedagogiske 

moteord, oppdagende læring. Det innebærer at eleven selv arbeider 

seg frem til teoremer og beviser. Selvsagt dreier det seg om å gjenskape 

disse med en lærers hjelp. Dette er mulig hvis eleven får lov til, og 

oppmuntres til, å bruke intuisjon, gjetting, prøving og feiling, generalisering 

av kjent stoff, geometriske illustrasjoner av algebraiske uttrykk ... I 

prosessen med å gjenskape et resultat må han ikke være for engstelig for å 

gjøre feil. – Feil er saktens en "skade", men i matematikken er skaden ikke 

uopprettelig. For feil vil før eller senere bli oppdaget. – På den annen side 

bør han påvirkes til å vurdere egen tenkning kritisk. Alt i alt, 

matematikkundervisningen bør være en øvelse i, og en oppmuntring til, å 

tenke selv. 

Ingen har sagt at dette er enkelt. 

I matematikkdidaktikken settes ofte deduktiv tilnærming i motsetning til 

induktiv tilnærming. Men 'induktiv' er nok et begrep som hører hjemme i 

naturvitenskapenes metodologi (om noe sted). I matematisk sammenheng 

bør vi kanskje heller snakke om deduktiv tilnærming og intuitiv/heuristisk 

tilnærming (eventuelt oppdagende læring)? 

It is our contention that understanding is achieved intuitively and that the logical presentation 

is at best a subordinate and supplementary aid to learning and at worst a 

decided obstacle. Hence, instead of presenting mathematics as rigorously as possible 

one should present it as intuitively as possible (s. 160). 

Hva med bevis? 

Does the reliance upon intuition, whether or not backed by physical demonstration, 

mean that deductive proof and rigor will play no role in elementary mathematics edudation? 

Not at all. After the student has thoroughly understood a result and appreciates 

that the argument for it is merely plausible, the teacher can consider a deductive 

proof. ... [T]he level of rigor must be suited to the level of the student's development. 

The proof need only convince the student. He should be allowed to accept and use 

any facts that are so obvious to him that he does not realize he is using them. (S. 162) 

… 

Fortunately, young people will accept as rigorous and acquire a feeling for proof 

from proofs that are really not rigorous. Is this deception? No! It is pedagogy. At any 

rate, it is no more deception than we practice on ourselves. As our own capacity to 

appreciate more rigorous proofs increase, we are able to see flaws in the cruder proofs 

taught to us and to master sounder proofs. … But let us not forget that there are no 

final rigorous proofs. (S. 164) [Våre kursiveringer] 

- Konkret heller enn abstrakt presentasjon 

In place of abstract concepts we should as far as possible present concrete examples. 

Thus it does not matter if a student cannot give a general definition of a function. It 

suffices if he knows concrete functions such as y = 2x and y = x 2 and learns how to 

work with them. After some experience with functions the student will be able to 

make his own definition. And if after further experience the definition has to be 

modified, no calamity has occurred. … Piaget has pointed out that young people 


21

22 

need to build up layers of experience before they can master abstractions. … As 

Whitehead has put it, "There is no royal road to learning through an airy path of 

brilliant generalizations. … The problem of education is to make the pupil see the 

wood by means of the trees". (S. 164) 

Kline argumenterer for å holde terminologi og symbolbruk på et minimum. 

"Symbols scare students." 

Her kan det passe å nevne et intervju med hjerneforskeren Terrence 

Sejnowski fra året 2000 [5]. Sejnowski trekker frem den reformen av matematikkundervisningen 

som er tema for dette avsnittet: "Undervisningen i 

mengdelære slo feil fordi menneskehjernen ikke fungerer slik. Etter det vi 

vet i dag lærer hjernen først det konkrete og forankrer så det abstrakte i det. 

... Mengdelæren forsøkte å gå nøyaktig den motsatte veien." Dette er en 

autoritativ konstatering av noe som i en del år har vært gjeldende visdom. 

- Hva med innholdet i matematikkfaget i skolen? 

Fortunately, it is possible to teach most of the standard material of the traditional 

curriculum with the proper motivation and exposition of its significance. Though 

fortunate, this fact is not fortuitous [tilfeldig]. The standard material, except for a few 

topics and possible reordering in algebra, is the material that has been found useful – 

and this is why it has been taught in preference to many other possible topics. 

However, one should not hesitate to depart from some of it if a richer and more vital 

course can be fashioned. ... 

There is nothing intrinsically wrong with set theory ... But it does not warrant time 

on the elementary and high school levels. Arithmetic, algebra and geometry are far 

more important, and set theory does not contribute to the learning of these subjects. 

Analogous remarks apply to Boolean algebra, congruences, symbolic logic, matrices 

and abstract algebra. (S. 165–66) [ Vår kursivering] 

Kline kommenterer slagordet "Euclid must go!" slik: 

Such a step would be tragic. Not only is synthetic geometry an essential part of 

mathematics in which Euclidean geometry is the base, but geometry furnishes the 

pictorial interpretation of much analytic work. Mathematicians usually think in terms 

of pictures, and geometry not only furnishes the pictures but suggest new analytical 

theorems. It is incredible that knowledgeable mathematicians should seek to oust synthetic 

geometry. (S. 166) 

Til slutt: 

As far as mathematical content is concerned all of the desirable changes amount to no 

more than minor modifications of the traditional curriculum, and all talk about modern 

society requiring a totally new kind of mathematics is sheer nonsense. (S. 166) 

Alt i alt foreslår altså Kline at innholdet i skolematematikken ikke 

endres drastisk, men at fokus flyttes fra matematikk som studiet av abstrakte 

strukturer til matematikkens kilder og dens anvendelser. 

____________________________________________________________________________________________ 


[1] Dieudonné, Jean A. "Should We Teach 'Modern' Mathematics?" American Scientist, 61 (1973), 16–19. 

[2] Gjone, Gunnar. "Moderne matematikk" i skolen: Internasjonale reformbestrebelser og nasjonalt lære- 

planarbeid. 2 b. Universitetsforlaget, Oslo, 1985. 

[3] Feynman, Richard P. "New Textbooks for the 'New' Mathematics." Engineering and Science, 28 (1965), 

9–15 

[4] Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel, Dordrecht, 1973. 

[5] Klein, Stefan. "Training fürs Köpfchen: Wie Schulen lehren müssten. Ein Gespräch zur Neurobiologie des 

Lernens mit dem Hirnforscher Terrence Sejnowski". Die Zeit 24 (8. juni 2000), 36. 

[6] Kauke, Marion. Spielintelligenz: Spielend lernen – Spielen lehren? Spektrum Akademischer Verlag, 

Heidelberg ⋅ Berlin ⋅ New York, 1992. 


[7] Kline, Morris. Why Johnny Can't Add – The Failure of the New Math. St. Martin Press, New York, 1973. 

Dansk utgave. Hvorfor kan Jørgen ikke regne? – Den nye matematiks fallit. Gyldendal, København, 1977. 

[8] Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD]. New Thinking in School Mathematics. 

O.E.C.D. Publications, Paris, 1961. [Opprinnelig offentliggjort av Organisation for European Economic 

Co-operation and Development, OEEC.] 

[9] Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD]. Synopses for Modern Secondary 

School Mathematics. O.E.C.D. Publications, Paris, 1961. 

[10] Thom, René. "'Modern' Mathematics: An Educational and Philosophic Error?" American Scientist, 59 

(1971), 695–99. Oversatt fra fransk original, "Les mathématiques 'modernes': une erreur pédagogique et 

philosophique?" L'Age de la science, 3 (1970), 225-36. 

[11] Weintraub, E. Roy og Philip Mirowski. "The Pure and the Applied: Bourbakism Comes to Mathematical 

Economics." 

 

____________________________________________________________________________________________ 


23

24 

4 Er matematikk "naturlig"? 

I dette kapitlet tar vi for oss spørsmålet om matematikk og kultur på en 

annen måte og i et videre perspektiv enn i forrige kapittel. Med 1960- og 

1970-årenes kamp på avstand er det muligheter for roligere ettertanke og 

nye synsvinkler. Vi baserer oss på Mathematical Enculturation [1] av Alan 

Bishop (1991). 

Det er fremdeles avveininger omkring de (fag)didaktiske hvorfor og hva 

som motiverer oss når vi studerer brytninger omkring matematikkundervisning 

som har fått nedslag i litteraturen. 

____________________________________________________________________________________________ 

4.1 Matematikk 

og kultur 

[D]o we really know what the reasons are for the mathematical activity which goes 

on in schools? Do we really have confidence in our criteria for judging what's important 

and what isn't? Do we really know what we should be doing? ([1], forord) 

Svaret må bli 'nei'. 

Vårt tema er saktens geometrien og dens didaktikk og fagdidaktikk, 

men i håp om å nå frem til et sikrere perspektiv skal vi følge Bishop et 

stykke på vei inn i en videre matematisk sammenheng. 

Hva med matematikkundervisning i kulturer som er randfenomener i 

forhold til vår vestlige tekniske kultur? spør Bishop. Fra én side sett kan 

dette spørsmålet ikke være særlig påtrengende her hos oss. Men det kan 

bidra til en mistanke om at vår matematikkundervisnings hva og hvorfor 

ikke har opplagte svar. Bishop vil bringe inn, i bredere forstand enn hva som 

er vanlig, et kulturelt perspektiv på matematikken: 

My aim is to create a new conception av Mathematics which both recognises and 

demonstrates its relationship with culture – the notion of mathematics as a cultural 

product, the environmental and societal activities which stimulate mathematical 

concepts, the cultural values which mathematics embodies – indeed the whole 

cultural genesis of mathematical ideas ([1], xi). 

I kapitlet "Environmental Activities and Mathematical Culture" ser 

Bishop matematikk som et resultat av menneskelige tilbøyeligheter, behov 

og aktiviteter som later til å være noe nær universelle. I kapitlet "The Values 

of Mathematical Culture" ser han etter kulturelle verdier nedfelt i 

matematikken. I "Mathematical Enculturation – The Curriculum" trekker 

han konklusjoner for utformingen av læreplaner for skolematematikken. 

Nøkkelidéen er mathematical enculturation, innføring/innleving i matematikken 

som del av vår kultur. 

____________________________________________________________________________________________ 

4.2 En (ny) elendig- 

hetsbeskrivelse. 

En annerledes 

start? 

Et viktig dilemma for matematikkundervisningen ([1], s. 2) er dette: På den 

ene siden blir matematikken nesten overalt tillagt stor betydning. Bare 

morsmålet har større plass i skolens undervisning. Alle "vet" at den som "vil 

noe", må ta matematikken alvorlig. Noen lykkes – de lærer å får de riktige 

svarene og består eksamen. Men et stort flertall mislykkes. De fornemmer 

nok at faget er viktig, men de opplever det som vanskelig, besynderlig, 

meningsløst og kjedelig. I forskjellig grad avviser, misliker og frykter de 

matematikken, og hvis de fortsetter med faget ut over det absolutt nødvendige, 

tyr de til pugg for å klare kravene. 

Vi lever i en teknologisk sammenheng som skifter raskt. I dag er det 


lommeregnere og datamaskiner "overalt". Matematisk kunnskap og matematisk 

forståelse er viktigere enn noen gang, om enn behovene endrer seg 

en del med teknologien. 

Vi ser nok at vi har en matematikkundervisning som ikke yter det som 

er ønskelig og som vår teknologiske sivilisasjon krever. Saktens er matematikkundervisningens 

hvordan et moment når vi vil forsøke å gjøre noe med 

denne situasjonen. – Men endring på dette punktet forutsetter dyktigere og 

mer motiverte matematikklærere. Botemidler som tar utgangspunkt her, 

minner for mye om å trekke seg selv opp etter håret. – Drøftingen hos 

Bishop dreier seg om undervisningens hva og hvorfor. At dette kan ha noe 

for seg ser vi bedre hvis vi flytter blikket til land der 'lykkes' betyr 'overleve', 

og der utdannelse står som veien ut av håpløs fattigdom. Hvor relevante blir 

da f.eks. algoritmer for å dividere flersifrede tall med hverandre og setninger 

om formlikhet eller glidespeiling? "Hvorfor skal læreplaner for utviklede 

land tas som modeller for mindre utviklede land? De svikter jo også i de 

utviklede land" ([1], s.2). 

Vi gjengir noen momenter fra Bishops syn på status for matematikkundervisningen. 

Det er en elendighetsbeskrivelse, slett ikke ulik den Kline 

gav av den tradisjonelle undervisningen i faget (se avsnitt 3.4). 

Vår matematikkundervisning fører så ofte til misforståelser. Disse har i 

sin tur en tendens til å blokkere for videre forståelse. Selv når forståelsen er 

"korrekt", er den ofte ganske begrenset. Og av begrenset verdi, for det er 

ofte så uklart hva kunnskapene kan brukes til. 

Selv blant dem som lykkes, vil ytterst få sette spørsmålstegn ved 

innholdet i den matematikkundervisningen de får. Et par momenter til de 

didaktiske hva og hvorfor: 

- Få vil få bruk for matematikkunnskaper mye utover de fire regneartene 

og prosentregning. Hvorfor skal de måtte bruke tid og krefter på en mer 

omfattende skolering? 

- Svært få vil i tradisjonell matematikkundervisning få innsikt i hvorfor, 

når og hvordan kunnskapene skal anvendes. 

Bishop er på jakt etter en bedre matematikkundervisning, som vi 

skjønner: Fremfor å "gi alle matematikkundervisning" (teaching mathematics 

to all) trenger vi å "utdanne (educate) alle i matematikk", sier han ([1], 

s.3). Med 'utdanne i matematikk' mener han, ikke bare å lære folk en del 

matematikk, men å sette fokus på verdiene som ligger "bakom" matematikken 

og problemene med å føre barn inn i disse. Utdannelsen i matematikk 

må omfatte tilegnelsen av et metaperspektiv på faget. Det ville gi oss 'a way 

of knowing' heller enn 'a way of doing'. 

Matematikkundervisning er altfor ofte begrenset til en tilegnelse av teknikker 

og ferdigheter. Og mer utpreget jo svakere lærerens grep på stoffet er. 

En slik undervisning vil ikke fremelske forståelse, opplevelse av mening 

eller utvikling av en kritisk holdning innenfor eller utenfor matematikken. 

Den vil ikke utdanne ([1], s. 8). For en elev som lykkes, er den i beste fall 

øvelse. For den som mislykkes, er den en ulykke. Det er også tankevekkende 

at tilegnelse av teknikker i mange tilfeller på én måte sett er overflødig. For 

regnearbeid kan vi ofte overlate til lommeregnere og datamaskiner, som 

regner raskere og sikrere enn noe menneske. Mer og mer blir det klart at en 

matematikkundervisning med mening må gå på annet og mer enn tilegnelse 

av teknikker og ferdigheter, hevder Bishop. 

Der hvor teknikker og ferdigheter blir satt i fokus, blir personen på en 

2 

2 

måte uviktig. Nå er det jo slik at ( a b) 

= a + 2ab + b 

+ gjelder uansett. 

Svært mange spørsmål i matematikk har jo udiskutable svar. Ifølge Bishop 

betyr ikke det at utdannelsen i faget må være ens overalt, og at elevens personlighet 

og kulturelle sammenheng kan ignoreres. Et moment i det nødven- 

dige metaperspektivet på matematikken er mening. Det kan ha å gjøre med 

forbindelser vi ser eller opplever mellom matematiske idéer på den ene siden 


2 

25

26 

og på den andre siden våre daglige liv, andre fag, opplevelser med 

mennesker, fantasier og indre bilder. 

Bishop blir ([1], s. 3) en talsmann for at matematikkundervisning bør 

skje i et kulturelt perspektiv. Dette er han ikke alene om, som vi så i avsnitt 

3.4 (Kline). Vil slike klare å overbevise andre enn dem som er overbevist fra 

før om matematikkens verdi – for dem? Det er ikke så sikkert. – Men i sin 

bok lar Bishop forfattere komme til orde som ikke skriver som matematikere, 

men som historikere og antropologer. Kanskje en ved å anlegge 

en annerledes, antropologisk synsvinkel kan imøtekomme dem som faller 

gjennom i den nåværende matematikkopplæringen? Kan en på den måten 

komme frem til en "utdannelse i matematikk" for alle? 

Et forbehold – "ferdigheter" 

Bishop setter i fingeren på ømme punkter. Mange av oss som er engasjert i 

matematikkundervisning går med et ønske om å kunne gi en undervisning 

som er bedre enn tradisjonell undervisning ofte er. Vi føler at en slik undervisning 

også vil måtte være "annerledes", men er usikre på hvilken vei vi 

skal gå. Nå er det vel lett å miste bakkekontakten når en slik prøver å strekke 

seg mot den ideelle undervisning. Hva med undervisning av "ferdigheter"? 

En kommer lett til å se ned på innlæring av teknikker og ferdigheter. Men så 

opplever vi kanskje at vår undervisning, tenkt å skulle gi forståelse fremfor 

bare ferdigheter, har som resultat at studentene avslutter sine matematikkurs 

uten ferdigheter og uten forståelse! – Hadde studenten i det minste på riktig 

måte kunnet konstruere en tangent til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen, 

så fikk det heller være (eventuelt til senere) med innsikten i at 

konstruksjonen faktisk er riktig. Ville studentens kunnskap, uten egentlig 

forståelse, da være verdiløs? Den som ser etter dyp og varig innsikt, kan 

kanskje mene det. Men for studenten kan denne begrensede kunnskap være 

av verdi. Forsøk på en analogi: Den som i et fattig og tilbakestående 

samfunn har fått lære å lese og skrive, har muligheter til å "komme seg 

frem" som andre ikke har, selv om kunnskapene hans skulle være av 

beskjeden kvalitet. – I noen henseender vil synsmåter som Bishops bli 

interessante helst for dem som har ressurser over et visst nivå og lever i en 

sammenheng over et visst nivå av kompleksitet. 

Et forbehold – "matematikken er over alt" 

En trend går ut på at vi bør "se etter matematikk" i virkeligheten omkring 

oss. For "vi finner matematikk overalt." Denne innstillingen kan av og til 

virke krampaktig. Et hvorfor? trenger seg på. En oppfordring som ikke har 

noen overbevisende begrunnelse vil ikke være en robust tilskyndelse til 

handling og refleksjon. Matematisk aktivitet, som all annen kulturell aktivitet, 

er avhengig av at en bestemt betingelse er til stede, nemlig at det finnes 

et visst mål av nysgjerrighet og trang til å finne ut. 

Barn kan gå inn i tilrettelagte aktiviteter langt på vei uten å kny. Men 

når barna kommer i ungdomsalderen begynner de å spørre hvorfor de skal 

gjøre dette eller hint. Dette bringer oss igjen i kontakt med geometriens 

legitimasjonsproblem, som vi her kan gi en spesiell utforming: Vi ønsker å 

finne ut om den delen av matematikken vi kaller geometri er en rimelig og 

rasjonal beskjeftigelse eller til og med beror på en indre, grunnleggende 

tilbøyelighet. Vi vender oss til Bishops bok [1] for hjelp til å besvare dette 

spørsmålet. 

____________________________________________________________________________________________ 

4.3 Matematikk som 

kulturfenomen 

Det finnes matematiske forestillinger i alle kulturer. Svært ofte har idéer 

bakgrunn i aktiviteter og prosesser. Hvilke aktiviteter og prosesser kunne 


ligge bakom matematiske idéer? 

I [1] (s. 22) tar Bishop for seg seks aktivitetsområder som han hevder 

har ført til utvikling av matematiske idéer: 

- lokalisering og formgiving 

- telling og måling 

- lek og forklaring. 

Han argumenterer for at vi finner disse seks aktivitetene i alle kulturer, og at 

det nettopp er disse som har ført til utviklingen av matematikk. (Ut fra dette 

måtte en vente at alle kulturer utvikler matematikk.) 

Lokalisering 

At vi trenger å ha et begrepsmessig forhold til våre omgivelser er helt klart. 

Å vite hvor en finner vann og mat, å kunne finne fram på land og til vanns 

har hatt med overlevelse å gjøre. 

Forskjellige kulturer finner ut av dette på deres egen måte. Men alle 

"refererer til den samme sol, måne og jord ... og alle gjør dette ved hjelp av 

de samme grunnleggende 'redskaper' for å vinne kunnskap og forståelse, 

nemlig ved å manipulere med hendene, ved å se på verden gjennom samme 

slags øyne, ved å bevege seg omkring på samme vis, og så videre" (sitert av 

Bishop etter Pinxten o.a., The Anthropology of Space, 1983). 

Urbefolkningen i Australia er kjent for evnen til å finne frem i et (for 

oss) helt pregløst landskap. De kjenner himmelretningene ved å observere 

solen og ved å merke seg blant annet vindens temperatur ... De kjenner i 

detalj landskapets topografi over store avstander. Uttrykk for å gå seg vill 

finnes ikke hos dem. 

Det vi har nevnt så langt kunne vi forresten trolig også ha sagt om dyr. Og disse har 

ofte et langt sikrere tak på disse tingene enn vi mennesker. 

Polynesiske sjøfarere gjør bruk, ikke uventet, av sol, stjerner og vind, 

men også av detaljert kunnskap om eiendommeligheter ved havet – bølgemønstre, 

for eksempel. De har hatt kart laget av stein og tre hvor havområdets 

topografi er kodet på forskjellig vis. 

Den forunderlige evnen til å "finne tilbake" som er kjent hos trekkfugler og fisk kan 

gi opphav til én og annen tanke. Hos mennesker oppstår ved behov matematiske begreper, 

f.eks. knyttet til stjernehimmelen. Men mennesker involverer seg også i aktiviteter som 

det ikke finnes noe tvingende behov for, som f.eks. for renessansemennesker å reise til 

Amerika eller for nåtidsmennesker å reise til månen. Begreper som hjelper oss til å mestre 

slike selvpålagte utfordringer ser ut til å være egne for oss mennesker. – Men hva med 

trekkfuglenes ferd: har de noe "behov" for å dra så langt avgårde? Kunne de ikke ha nøyd 

seg med å reise til "Syden", f.eks.? 

Telling 

"En – to – mange." Dette er en populær karikatur av telling i såkalte primitive 

kulturer. Det finnes nok samfunn som har navn for bare to eller tre 

grunntall, men "telling på kroppen", der navnet på en kroppsdel tjener som 

navn på et grunntall, er utbredt. Fingrer og tær tillater på opplagt måte 

telling til 20. – For eksempel, hos eskimoer har en funnet uttrykksmåten 'på 

den tredje mannen, tre på den første foten' for 53. – Også med bruk av 

kroppsdeler i tillegg til fingrer og tær kan en godt telle lenger enn til 20, 

f.eks. til 33 i noen islamske samfunn og 68 i samfunn på Papua New Guinea. 

Enkle samfunn har i det store og hele ikke behov for store tall. Men i 

slike samfunn har en funnet et språklig raffinement i omgangen med små tall 

som ikke finnes i større og mer komplekse samfunn. 

En undersøkelse av C. Zaslavsky (Africa counts, 1973) viste at det ved 

behov er oppstått systemer for å representere store tall også i "primitive" 

kulturer. Beskrivelser av tall som 24 000, 64 000 og endatil 96 000 000 er 

kjent. 

Til slutt, det finnes samfunn – blant annet over hele Afrika – der telling 


27

28 

er forbundet med visse tabuforestillinger (knyttet til tallmystikk, astrologi, 

forutsigelser, religion), og der indirekte måter å telle på har utviklet seg. 

Tall er ikke "bare tall". 

Måling 

Bishop ([1], s. 35) forteller om et samfunn i Papua New Guinea hvor sammenlikning 

av noenlunde rektangulære eiendommer ble gjort ved å legge 

sammen lengden og bredden. Praksisen med å sammenlikne arealer var "den 

hvite manns system". På skolen multipliserte de, hjemme adderte de. 

Måling tillater oss å sammenlikne størrelser (avstand, lengde, volum, 

tid, ...) på en ordentlig og kontrollerbar måte. Behovet for slik sammenlikning 

har nok meldt seg i alle kulturer. Men ikke nødvendigvis på samme 

måte. For eksempel har noen undersøkelser i den australske urbefolkningen 

faktisk ikke avdekket ord for volum. Det kan bare bety at det i disse samfunnene 

ikke har oppstått noe behov for å sammenlikne volumer. 

Sammenlikning av tre eller flere gjenstander gir opphav til begreper om 

orden, mest direkte uttrykt i ordenstallene. 

Måleenheter og systemer av måleenheter er et sluttstadium i utviklingen 

av begreper for sammenlikning av størrelser. Jo viktigere en størrelse er i en 

kultur, desto mer raffinerte enhetssystemer vil en forvente å finne. 

Nøyaktighet er et interessant begrep her. I naturvitenskap og økonomi er 

nøyaktighet helt nødvendig. I vår kultur, gjennomsyret av vitenskapelige 

idéer, har vi en tendens til å mene at nøyaktighet alltid er en dyd, og kanskje 

til å mene at det som ikke kan måles nøyaktig ikke er viktig. I Papua New 

Guinea spurte Bishop ut en informant om størrelsen på hager. Han tegnet to 

rektanglene på et papir. Rektanglene hadde omtrent samme form, men var av 

forskjellig størrelse. På spørsmål om hvilken av de to han ville foretrekke, 

hvis rektanglene var hager, fikk han til svar at det ville avhenge av mange 

ting: jordsmonnet, om det var skygge, drenering, ... For informanten var 

arealet ikke den mest interessante egenskapen ved en hage. 

Formgiving (designing) 

Her er det snakk om å omforme den fysiske virkelighet, som for eksempel 

ved å lage kokekar og biler, eller ved å bygge hus, anlegge hager, veier og 

byer. Det dreier seg om å pålegge naturen en struktur, kan vi si. 

Vi kan se på formgiving som en abstraksjonsprosess i forhold til 

naturen. Det som er viktig når vi snakker om utdanning i matematikk er 

planen, strukturen, relasjonen mellom en gjenstand og dens formål, den 

abstraherte formen og abstraksjonsprosessen selv. 

Struktur og form eksisterer jo i naturen, men det er først i formgiving at 

formen selv kommer i fokus. Når vi representerer natur, som i hulemalerier 

og rituelle figurer, så blir naturen stilisert ([1], s. 40) Noen trekk fremheves, 

mens andre overses. 

Det er tydelig behov for å kunne studere en form uten å lage den 

gjenstanden den skal representere. Dette kan skje ved at en for eksempel 

tegner på papir, lager en modell i gips eller tegner på en dataskjerm. Behovet 

melder seg når produksjonsmaterialet er kostbart eller sjeldent, og når det 

dreier seg om store gjenstander som fly og bygninger. Et viktig moment i 

denne sammenhengen er at formgiveren ikke alltid har noe klart indre bilde 

av hva han vil frem til! Da har han behov for en modell han kan manipulere. 

I behovet for å kunne representere gjenstander kan vi se kimen til 

fremveksten av viktige begreper knyttet til form, størrelse, målestokk, mål 

og andre geometriske begreper. Noen spesifikke begreper: 

- Rette vinkler finner vi i konstruksjon og formgiving i mange kulturer. 

- Sirkler har hatt en særlig betydning i India, hvor den såkalte mandala 

har en dyp symbolsk betydning 


- Kvadrater, trekanter, femkanter (pentagoner), pentagrammer (femkantede 

stjerner), sjukanter og åttekanter har hatt symbolsk mening i en 

rekke sammenhenger 

- De fem platonske legemene (det regulære tetraeder – begrenset av fire 

likesidede trekanter, det regulære oktaeder – begrenset av åtte likesidede 

trekanter, det regulære ikosaeder – begrenset av tjue likesidede trekanter, 

det regulære heksaeder – kuben og det regulære dodekaeder – 

begrenset av tolv regulære femkanter) oppsto ikke i det gamle Hellas, 

men har vært gjenstander for interesse og studium minst 1000 år før den 

greske gullalder ([1], s. 41). 

- Spiralen har saktens vært av betydning i fremstillingen av gjenstander 

(som leirkrukker, stråmatter og kurver av strå), men har utover dette hatt 

en helt særegen symbolsk appell (se [5]). 

Ovenfor pekte vi på at vi i behovet for å representere gjenstander kan se 

kimen til viktige geometriske begreper. Men ut over dette siterer vi Bishop, 

hvor han minner oss om at 

Lek 

- mathematical thinking is concerned essentially with imagination and not with manufacture, 

and that our imagination is fed by feelings and beliefs, just as much as it is by 

figures and objects ([1], s. 42). 

Bishop ([1], s. 43) viser til Vygotskij for lekens betydning i et barns utvikling. 

La oss sitere fra dennes Mind in Society [6], hvor han snakker om lek 

under synspunktene handling og mening (s. 96–100): 

Det er her barnet lærer å handle i en kognitiv snarere enn i en ytre visuell sammenheng, 

tilskyndet av indre fremfor ytre incentiver. En studie ... konkluderer med at for 

et lite barn er det ting som foreskriver for barnet hva det må gjøre: en dør må åpnes 

og lukkes, det må klatres opp en trapp, det må trykkes på en ringeknapp. 

... 

Men i leken mister tingene sin avgjørende betydning. Barnet ser én ting, men 

handler på annen måte i forhold til hva det ser. Altså har barnet nådd et stadium der 

det begynner å handle uavhengig av hva det ser. 

... 

[D]et er ikke mulig for et lite barn å skille mening fra det som ses. ... Goldstein og 

Gelb beskriver pasienter som er ute av stand til å si noe som ikke stemmer overens 

med fakta. Gelb forteller om en kjevhendt pasient som var ute av stand til å skrive 

setningen 'Jeg skriver bra med høyre hånd'. Ofte finner vi at en pasient med en taleforstyrrelse 

ikke klarer å gjenta meningsløse setninger som f.eks. 'Snø er svart', mens 

andre setninger av liknende konstruksjon ikke volder problemer. ... Dette båndet 

mellom mening og det som sanses kan iakttas i barns språkutvikling. 

[Når barnet nærmer seg skolealderen, kan en observere at] i leken skilles tanken fra 

gjenstander og handling bestemmes av idéer og ikke av gjenstander. Dette er et skifte 

i barnets forhold til den faktiske, umiddelbare, konkrete situasjon som knapt kan 

[overvurderes]. 

Leken er et overgangsstadium her, når en gjenstand (f.eks. en pinne) blir et holdepunkt 

for å skille begrepet hest fra en virkelig hest. 

Men leken er et overgangsfenomen, nemlig mellom mening knyttet til 

gjenstander og ren manipulasjon av symboler. For barnet kunne det f.eks. 

være slik at pinnen betyr en hest, mens en fyrstikk eller et postkort ... ikke 

betyr en hest. Barnet har ikke nådd frem til den voksnes bevisste bruk av 

symboler. Barnet kan ennå ikke følge med dersom vi sier "La oss tenke oss 

at dette postkortet er en hest". 

Kan en her finne røttene til hypotetisk tenkning ([1], s. 43)? Selv tror jeg ikke det. 

For hypotetisk tenkning beror på logikk, på forskjellige former for kondisjonalsetninger 

eller "implikasjoner" (hvis ..., så ...). Jeg tror ikke dette er noe opplagt element i lek. 

Heller ville jeg se på lek som en forberedelse eller hjelp til å kunne abstrahere. 

På den annen side er lek faktisk også en (viktig) voksen aktivitet. Formalisert 

lek, spill, finnes i alle kulturer. Australieren Walter E. Roth foreslo 

sju kategorier av spill. Bishop ([1], s. 44) slår fast at en i alle kulturer finner, 

ikke bare alle Roths kategorier av spill, men også til dels nøyaktig de samme 


29

30 

spillene. En av Roths kategorier er imiterende spill, bl.a. slike hvor naturlige 

gjenstander og trekk ved naturen etterlignes, f.eks. i snor-spill. Kunst og 

estetikk er aspekter ved disse. Et annet og mer grunnleggende trekk ved spill 

er at de er behersket av regler. Dette, enda mer enn de estetiske assosiasjonene, 

gjør veien til matematikken kort. Universelle spill som brettspill og 

hasardspill setter strategisk tenkning, kombinasjonsevne og logikk. i fokus. 

Forklaring 

De aktivitetene vi har omtalt så langt er knyttet til spørsmål som 'hvor?', 

'hvor mange?', 'hva?', 'hvordan utføre?' Forklaring er knyttet til det mer 

dyptgående og komplekse spørsmålet 'hvorfor?' En forklaring vil avdekke 

det som holder virkeligheten sammen, om en så kan si: "Den søker etter 

enhet bak mangfold, enkelhet bak det komplekse, orden bak inntrykket av 

uorden, regelbundethet bak tilsynelatende avvik" ([1], s. 48). 

Et av de enklere aspektene ved forklaring er klassifisering. Vi bare 

nevner at de for oss velkjente hierarkiske klassifikasjonsmåtene ikke er universelle 

([1], s. 50). – I matematikken er klassebegrepet fundamentalt. 

Mer komplekse forklaringer støtter seg til en "fortelling" (story): 

folkeeventyr – astrologi – vitenskapelige teorier – filosofier – religioner. 

Noen av disse har hatt mye å si for fremvekst av matematikk. Ikke minst 

astrologien (!), som har tilskyndet regneteknikk, forutsigelse, oppstilling av 

kalendere, interesse for mønster og for kontroll. Matematikkens forbindelse 

til spådomskunst er dyptgående og viktig. 

Det kan passe å nevne her noen av de forhold som hjelper til med å holde virkeligheten 

sammen tankemessig, nemlig de logiske og grammatiske strukturene som tillater oss 

å stille sammen utsagn. Disse har fått nedslag i logiske og grammatiske bindeord som 'og', 

'eller', 'fordi', 'ikke' og svært mange andre. Det tankemessige apparatet som tillater oss å 

stille opp forklaringer, gir oss strukturen i all matematikk (i det minste i vår vestlige 

kultur). I forlengelsen av dette finner vi selve sannhetsbegrepet og kriteriene for å dømme 

om sannhet (se [1], s. 54). 

____________________________________________________________________________________________ 

4.4 Verdier som pre- 

ger matematik- 

ken som kultur- 

fenomen 

Bishop hevder (i mangt med utgangspunkt i Leslie A. White, The Evolution 

of Culture, 1959) at dersom en skal forstå en kultur, eller et aspekt ved en 

kultur, må en gå til de verdiene som ligger bakom. I sin redegjørelse for 

verdier som ligger, uttalt eller uuttalt, i matematikken og i undervisningen av 

den understreker han at vårt forhold til disse verdiene bør være bevisst og 

eksplisitt. I stedet er det ofte ubevisst, implisitt – og ukritisk. 

De seks aktivitetsområdene i avsnitt 4.3 mener Bishop er universelle. 

De seks "verdiene" vi omtaler nedenfor mener han derimot ikke trenger å 

være universelle. Han ser dem som bestemmende for matematikken i den 

vestlige kulturen. 

Rasjonalitet 

Ifølge Bishop ([1], s. 62: "Rationalism is at the heart of Mathematics." Han 

siterer Kline til støtte for dette utsagnet. Men det er rasjonalitet Kline 

snakker om. Rasjonalismen, modernitetens fremste kjennetegn, var en verdensanskuelse, 

dermed i mangt en lukket holdning, mens rasjonalitet meget 

vel kan være en åpen holdning – et håp og en tro på at virkeligheten lar seg 

forstå, i hvert fall et stykke på vei. 

Rasjonalitet har som ett av sine uttrykk det logiske resonnementet, 

tydeligst til stede i beviset. Abstraksjon er et annet uttrykk. 

"Objektisme" 


Uttrykket er Bishops. Han bruker det til å kjennetegne et syn på verden 

"dominated by images of material objects" ([1], s. 65). Motsetningen skulle 

være et verdensbilde dominert av "prosesser". Den vestlige kulturs objektisme 

er i stor utstrekning avhumanisert. Orden, forutsigbarhet og regelmessighet 

er først og fremst å finne i naturen. – À propos, i afrikansk kultur er 

det ikke i naturen men blant menneskene en finner det som får tilværelsen til 

å fremtre som stabil og tilforlatelig. 

Matematikk i vestlig kultur er i utgangspunktet om objekter (ting), og 

matematiske idéer oppleves nesten alltid som en slags objekter. – I vår 

kultur oppmuntrer vi barn til å gjøre abstrakte idéer konkrete ([1], s. 67). 

Pythagoréerne mente at alt var bygd opp av tall. Og tall var uatskillelig 

knyttet til ting. Ja, de var ting – småstein og liknende lagt ut i mønstre som 

vi kjenner fra tallæren. Selv etter at abstraksjon hadde begynt å prege gresk 

matematikk, "var tanker om tall fremdeles begrunnet i det som er tellbart – i 

ting". Pythagoréerne var "atomister" i sin begrepsmessige holdning til 

virkeligheten. Kan denne holdningen ha dannet bakgrunn for aksiomatisk 

tenkning? spør Bishop ([1], s. 68). Aksiomer er jo en slags begrepsmessige 

grunnbestanddeler som mer komplekse utsagn er bygd opp av. – Logisk 

resonnement (se forrige punkt) har med rasjonalitet å gjøre, og kanskje har 

aksiomatisk tenkning sin rot i letingen etter de enkleste bestanddeler av 

argumenter? 

Kontroll 

At det finnes et behov hos de fleste av oss for det stabile og tilforlatelige er 

ikke mye å tvile på. Én side ved dette behovet er ønsket om forutsigbarhet 

og kontroll. Kunnskap er forutsetningen for kontroll over våre omgivelser, 

og matematikk er nok den viktigste delen av slik kunnskap. For matematikk 

hjelper oss til å forstå hvordan ting henger sammen, i hvert fall tilstrekkelig 

til å skaffe oss herredømme over tingene. Slikt herredømme er jo nerven i all 

teknologi. 

Om matematikk kan hjelpe oss til å forstå våre sosiale omgivelser (og 

oss selv) vet vi ikke. Det finnes grunner til å tvile på det. Men ønsket om å 

teknifisere hele virkeligheten ligger dypt hos mange mennesker. Også hos 

slike med makt. 

Bishop refererer tanker om kontroll som et slags tveegget sverd. For 

matematisk kunnskap, konkretisert i teknologien, har evnen i seg til å gjøre 

mennesket til et hjul i maskineriet, bastet og bundet i et system av sikkerhetsmekanismer. 

Fremskritt 

Det å mestre våre omgivelser, gjennom teknologi og dermed matematikk, 

har også en annen side, i første omgang mindre egnet til å inngi pessimisme, 

nemlig utvikling, endring, "fremskritt". 

Fremskritt er ikke uten sammenheng med sikkerhet og kontroll. Et 

enkelt eksempel: I grunnskolen lærer vi først om tall som er slik at multiplikasjon 

gjør større, divisjon gjør mindre. Så kommer vi til brøkene, og 

tryggheten vakler, eller blir i hvert fall utfordret. Når mentale skjemaer modifiseres 

i akkomodasjon (Piaget), gjenopprettes sikkerhet og kontroll. Samtidig 

har eleven opplevd fremgang. 

Men erfaring har vist at vi ofte narrer oss selv: Fremskrittet var kan-skje 

bare tilsynelatende (DDT, thalidomid, hydrogenbomben). Den reservasjonen 

mot teknologi og teknokrati som mange har utviklet de siste 30 

årene eller så, er også blitt ført videre til rasjonaliteten selv. Vi har fått postmodernismen, 

der mangel på sammenheng og mening ikke lenger oppleves 

som noen trussel. Tvert i mot. –At vår teknologisk kultur dermed undermineres, 

er en annen sak. 

En skal ikke kunne si at matematikk ikke har med verdier å gjøre. 


31

32 

Åpenhet 

Matematiske idéer er offentlige, i prinsippet åpent tilgjengelige for alle. De 

er ikke bundet til personer: Pythagoras' setning er "min" like så mye som 

"din". Matematikken har noe demokratisk ved seg! Men matematikken med 

dens rasjonalitet og ubønnhørlighet kan på den annen side utfordre strukturer 

i våre samfunn (og sinn) som står i motsetning til rasjonalitet og åpenhet. 

I slik konfrontasjon kan det vel hende at rasjonalitet, åpenhet og andre 

av matematikkens verdier trekker det korteste strået. 

Mysterium 

Hva er matematikk? Følgende spissformulering stammer fra Bertrand Russell: 

"Matematikken er slik at vi egentlig aldri vet hva vi snakker om, heller 

ikke om det vi sier er sant." – På sitt "høyeste" er en kultur skjør og sårbar. 

Matematikk er nok et "mysterium" for den jevne mann, og akkurat i 

denne sammenhengen er det svært mange "jevne menn". Men i tillegg har vi 

å gjøre med mysterier som går en del dypere: 

Forklaring dreier seg om å etablere sammenhenger mellom idéer. Men 

kan en også tenke seg forbindelser mellom fenomener? Hva skulle det være? 

Newton (lik mange andre matematikere på hans tid) trodde Gud hadde 

dannet universet i overensstemmelse med matematiske prinsipper. Var dette 

var noe mer enn et forsøk på å knytte sammen forestillingen om en Gud og 

forestillingen om en altomfattende matematisk forklaring på naturlige 

fenomener? Skulle det være et forsøk på å knytte en faktisk Gud til faktiske 

naturfenomener ([1], s. 81)? Men en forklaring forbinder jo idéer, ikke 

fenomener, med hverandre. Vi har slik kommet i kontakt med et mysterium: 

Hvorfor kan matematikk anvendes på virkeligheten? (Se Popper [4], s. 201– 

14.) Et annet, større, mysterium ligger i forlengelsen av dette: Hva er 

virkelig? 

Henger disse verdiene og tendensene sammen på annet enn en helt labil 

og prekær måte? Kan skolen i sin undervisning tilby en balanse mellom dem 

som er i stand til å vekke tillit? 

____________________________________________________________________________________________ 

4.5 En kulturell til- 

nærming til lære- 

planen i mate- 

matikk 

Bishop tenker seg fem prinsipper for oppbygningen av en slik læreplan. De 

anmerkningene han har i tilknytning til de forskjellige prinsippene er ikke 

alle like aktuelle her hos oss. Vi tar bare med de punktene vi selv ser som 

viktige: 

1 Læreplanen må være representativ for matematikken som fenomen i 

vår kultur 

Det har vært en tendens til å fremstille matematikken som objektive fakta, saktens en 

hovedbestanddel i vår følelse av kontroll over våre omgivelser (gjennom vitenskap og 

teknologi), men i det store og hele et mysterium. Bishop ønsker å nedprioritere disse 

verdiene, til fordel for rasjonalitet (blant annet ved å oppvurdere beviser i 

matematikken), fremskritt og åpenhet. ([1], s. 83) 

2 Læreplanen må sikte på det formelle nivået ved matematikken 

Bishop ser matematikken fungere på forskjellige nivåer i vår kultur: på et teknisk nivå 

– der den skapes og kritiseres (nemlig som regel på universitetene), på et 

formelt nivå – der den kommer til bevisst og eksplisitt anvendelse (av ingeniører, 

økonomer, oa., og der andre hensyn enn de matematiske kan bli gjort gjeldende) og 

på et uformelt nivå – der presisjonsnivået er lavt og presisjon kanskje lite viktig. Til 

dette siste kunne en tenke seg en situasjon der en venn er opprørt over en sak, og 

betror oss sine følelser. I en slik situasjon ville det være uakseptabelt å kritisere 

logikk og sammenheng i det han sier ... 


Bishop ser det slik at læreplanen bør ha sitt tyngdepunkt på det formelle nivået, 

men at forbindelsen til det uformelle nivået bør være tydelig og at en innføring til det 

tekniske nivået ikke bør mangle. De seks aktivitetsområdene fra avsnitt 4.3 burde 

være en rimelig bakgrunn når elevene skal eksponeres for den matematiske 

begrepsverden. 

3 Læreplanen må være tilgjengelig for alle elevene 

Dette kravet er nødvendig når matematikkundervisningen skal bidra til å føre elevene 

inn i vår kultur. – For å sette saken på spissen, "moderne matematikk"-tilnærmingen 

til læreplanen med dens sanseløse krav til abstraksjon, presist språk og aksiomatisk 

fremstilling var i grunnen nødt til å mislykkes på dette punktet. 

Læreplanen må ikke sikte over elevenes intellektuelle nivå. Men det finnes 

elever som har en særlig begavelse for matematikk. Disse bør gis muligheter til å 

utvikle sine evner og interesser. Dette blir et krav til lærebøkene og til lærerne (et 

krav som kanskje ikke alltid kan tilfredsstilles, særlig dersom en har elever med 

utviklingshemninger). 

4 Læreplanen må gi rom for matematikkens evne til å forklare 

Det er matematikkens evne til å forklare som har gitt den dens dominerende plass i 

vår kultur. Dette trekket må finnes i læreplanen. Men fenomener som velges for å 

vise matematikkens forklarende evne må være tilgjengelige for alle elevene. Slike 

fenomener finnes i barns omgivelser, fysiske og sosiale. – I forskjellige deler av 

verden og i forskjellige slags samfunn vil en da kunne ha noe forskjellige læreplaner. 

Selv på individplanet kan en tenke seg forskjeller. Det bør stilles krav til 

individualitet i barns møte med læreplanen. 

5 Læreplanen må være bred og elementær 

Kravet om bredde ligger i forlengelsen av punkt 4. For de sammenhengene som 

trekkes inn for å vise matematikkens forklarende evne må være mange og varierte. 

Disse gir også det beste svaret på elevenes (berettigede) "Hva er det godt for". 

Siden bredde er et uomgjengelig krav, og tiden en har til rådighet i skolen er 

begrenset, følger det at innhold og presentasjonsmåte i matematikkundervisningen må 

være forholdsvis elementære. Men selv en fremtidig matematiker vil ha nytte av å få 

øynene åpnet for matematikkens kulturelle fundament. 

____________________________________________________________________________________________ 

4.6 Innholdet i (den 

tenkte) lære- 

planen 

Aktivitetsområdene fra avsnitt 4.3, verdiene fra avsnitt 4.4 og prinsippene 

fra avsnitt 4.5 bruker så Bishop til å diskutere innholdet i læreplanen ([1], s. 

98–123) og gi idéer til gjennomføringen ([1], s. 124–59). 

Aller først foreslår han at tenkningen ordnes inn under tre overskrifter: 

- Symbolsk del 

Denne delen skal omfatte begrepsdannelsene i matematikken. Den har med verdiene 

rasjonalitet og "objektisme" å gjøre. Den skal vise elevene hvilke idéer vi mener de 

bør bruke tid på å tilegne seg. Begrep kan være stikkordet. 

- Samfunnsorientert del 

Denne bringer inn verdiene kontroll og fremskritt. Den skal vise elevene hvordan 

matematiske idéer blir brukt. Prosjekt kan være et stikkord. 

- Kulturorientert del 

Den kulturorienterte delen skal vise hvordan – og kanskje hvorfor – matematiske 

idéer er oppstått, og reflektere over hva matematikk er. Åpenhet skal oppmuntres, 

følelsen av mysterium bekjempes. Utforskning blir et viktig stikkord her. 

Symbolsk del 

Matematikkens begreper har sin bakgrunn i de seks aktivitetsområdene vi 

omtalte i avsnitt 4.3. Bishop understreker at de stikkord han foreslår ikke må 

forstås som en liste av emner som skal undervises. De er organiserende 

begreper som undervisningen skal 


33

34 

- nærme seg gjennom kontekster som elevene kjenner 

- utforske med hensyn på mening og logisk sammenheng 

- generalisere til andre kontekster for å gi begrepet et videre innhold og 

for å vise dets evne til å forklare. 

Lokalisering (geometri for posisjon og bevisst forflytning) 

Preposisjoner (frem, tilbake, til høyre, til venstre, opp, ned, ...) – rutebeskrivelser – kompassretninger. 

Reiser (distanse) – rette og krumme linjer – vinkel som dreining – rotasjon. 

Polarkoordinater – kartesiske koordinater – avbildning. 

Geografisk bredde og lengde. 

Geometriske steder – sirkel – ellipse – vektor – spiral. 

Må ikke begrenses til arbeid med blyant og papir, men relateres til konkrete 

aktiviteter: utvikling av språk for posisjon og forflytning, kart, foto, målestokk. 

Må sammenholdes med Formgiving. Bishop hevder at polarkoordinater 

trolig virker mer naturlige enn kartesiske koordinater på yngre barn. 

Han viser til erfaringer med LOGO. Geometriske steder – forklaring. 

Telling 

"Kvantorer" (alle, hver, mange, noen, ingen) – telling på fingre osv. – opptelling – tall. 

Plassverdi – null – grunntall 10 – operasjoner på tall – kombinatorikk. 

Nøyaktighet – tilnærmede verdier – brøker – desimalbrøker. 

Positive og negative tall – uendelig stor – grenseverdi. 

Tallmønstre – potenser. 

Algebraiske generaliseringer. 

Hendelser – sannsynligheter – frekvensfordelinger. 

Måling 

Sammenlignende kvantorer (lengre, tynnere, fortere, ...). 

Ordning – kvaliteter (egenskaper ved ting). 

Nøyaktighet – estimering. 

Lengde – areal – volum – tid – temperatur – masse ("vekt"). 

Enhetskonvensjoner – det metriske enhetssystemet – penger – sammensatte enheter. 

Måling dreier seg om å sammenligne gjenstander som har en felles egenskap. 

Veien frem mot standardiserte enheter må vises. Spesielle problemer 

ved sammenligning av kontinuerlige størrelser (som lengde) sammenlignet 

med diskrete størrelser (som antall personer). Men er ikke lengde, tid, osv. 

fysiske snarere enn matematiske størrelser? Bishop avviser en slik innvending. 

For disse begrepene har vært helt vesentlige for utviklingen av matematikken 

opp gjennom tiden. Dessuten er jo disse størrelsene viktige i 

barns hverdag. 

Formgiving (designing) 

Fasong/form – estetikk – abstraksjon. 

Sammenligning av gjenstander med hensyn på form – formlikhet, kongruens. 

Egenskaper ved former – vanlige geometriske former i 2 og 3 dimensjoner. 

(Over)flater – tesselleringer. 

Symmetri – forhold – forstørrelse/forminskelse. 

Det er her vi har det mest opplagte og direkte mentale bindeleddet mellom 

barn og omgivelser. Det finnes former overalt, og mange av dem "går igjen". 

Vi har like, liknende og forskjellige former. Noen av disse har med stabilitet 

å gjøre. Vi kan tenke på cellene i en bikube. 

Lek 

Moro – gåter – paradokser. 

Modell-laging – tenkt virkelighet. 

Regelbunden aktivitet – hypotetisk tenkning. 

Fremgangsmåter – planer – strategier. 


Sjanse – forusigelse. 

Merk at det står 'moro'. Bishop ser for seg en utvikling fra leker til matematiske 

leker til matematikken som en lek. Den "estetiske" siden ved matematikken 

mener han ikke skal undervurderes i forhold til den kognitive. 

Lek er avbildning av virkeligheten, og kan være en ytterst seriøs 

aktivitet (se [2]). 

Forklaring 

Likheter – klassifiseringer – konvensjoner. 

Språklige forklaringer: Logiske bindeord – logiske resonnementer – beviser. 

Symbolske forklaringer: Ligninger – ulikheter – algoritmer – funksjoner. 

Grafiske forklaringer: Funskjonsgrafer – diagrammer – matriser. 

Matematisk modellering. 

Her fokuseres på hvordan og hvorfor matematikk forklarer, hva slags 

spørsmål som er tilgjengelige for matematisk behandling og hva slags svar 

en kan få. I beste fall vil det skje en internalisering av matematikken hos 

barnet. Matematikken kan bli noe som barnet forholder seg til, reflekterer 

omkring og forstår. Barnet har da tilegnet seg et metaperspektiv på 

matematikken. 

For at et barn skal gripe matematikkens evne til å forklare, kan begrepene 

i opplistingene ovenfor ikke undervises som emner, men må utvikler 

gjennom egnede aktiviteter på barnets nivå, i kontekster som er tilgjengelige 

og meningsfulle for barnet. Fokus må være på begrepene og deres evne til å 

forklare omgivelsene. 

Samfunnsorientert del 

Bishop ([1], s. 110) ønsker å utvikle hos elevene en kritisk oppmerksomhet 

omkring matematikken i samfunnet. Hvordan ble matematikken brukt av 

tidligere samfunn? Hvordan blir den brukt nå? Er det mulig for oss å si noe 

om den fremtidige bruken av matematikk? Dette historiske perspektivet 

mener Bishop er nødvendig for at elevene skal kunne utvikle den ønskede 

kritiske oppmerksomhet. 

I Symbolsk del ovenfor var oppmerksomheten unektelig rettet mot at 

elevene skulle tilegne seg matematikken som symbolsk teknologi ([1], s. 56) 

– et apparat av begreper og ferdigheter (opp til et visst nivå). Under den 

overskriften vi befinner oss nå passer det å trekke frem det eksemplariske 

prinsipp: at en gjennom eksempler åpner en vei til videre teoretiske sammenhenger. 

Elevene bør gjøres fortrolige med "paradigmatiske situasjoner" 

som kan gjøre vekselvirkningen mellom matematikken og samfunnet tilgjengelig 

for analyse, kritikk og forståelse. Bishop ser på prosjektarbeid som 

den mest egnede arena for fordypning i slike paradigmatiske situasjoner. (På 

sidene 111–14 gir han et stort antall forslag til slike prosjekter, tenkt utført 

individuelt eller i små grupper i løpet av én eller to uker og avsluttet med en 

rapport.) 

Kulturorientert del 

Hvordan oppsto matematiske idéer, og hvorfor? Hva er matematikk "egentlig"? 

Dette bringer elevene i kontakt med matematikkens tekniske nivå, og 

det må overveies hvor langt det er mulig å gå. Også her foreslår Bishop som 

tilnærmingsmåte det såkalte eksemplariske prinsipp (se under Samfunns- 

orientert del). For å forstå litt av meningen med matematisk aktivitet "i og 

for seg", foreslår Bishop en utforskende tilnærmingsmåte. 

Ett av de problemene han foreslår for slik utforskning er dette: Hva er det som kjennetegner 

geometriske former som er i stand til å tessellere? (At en geometrisk form kan 

tessellere betyr at kopier av en slik form kan dekke hele det uendelige planet uten gliper 


35

36 

og uten overlappinger.) 

Et annet: Klassen blir bedt om å finne en brøk mellom 1/2 og3/4, og foreslår 2/3. 

Læreren sier: "Utforsk!" 

I utforskning tar en opp utfordringer ved abstrakte matematiske idéer og 

driver kreativt matematisk arbeid. "Fasit" er ikke gitt. Bishop understreker at 

rapport må skrives. Dette relaterer han til verdien "åpenhet" fra avsnitt 4.4. 

_____ 

Når det gjelder progresjon gjennom læreplanen, har Bishop ett og annet 

å si: 

Nærhet: Fluktrutene ved brann på skolen kan være en forstandigere vei 

inn i rutingsproblemer enn gatenettet i en by. 

Tiltagende kompleksitet: Problemer knyttet til sykkelen (rotasjon, 

omdreininger pr. sekund, vinkler, geometriske steder, tyngdepunkt) bør 

komme foran problemer knyttet til bilen. 

Fins det en korrekt rekkefølge for presentasjon av matematiske idéer? 

Kretsene bak "moderne matematikk" mente det. Bishop avviser dette: For 

eksempel, i Symbolsk del spilles det på seks mer eller mindre parallelle 

aktivitetsområder … (Men av disse står nok Forklaring i en særstilling ved 

i nokså stor grad å bygge på de fem øvrige aktivitetsområdene.) – Viktigere 

enn sekvenseringen ser han samspillet mellom de tre delene av læreplanen. 

For eksempel, etter at tidsmåling er studert i Symbolsk del, anbefaler han 

prosjekter eller utforskninger knytte til vannur, sandur og solur. 

En læreplan kan bare tilby forslag, kriterier, idéer og en ramme for 

strukturering (her aktivitetsområdene fra avsnitt 4.3, verdiene fra avsnitt 4.4 

og prinsippene fra avsnitt 4.5). Bare læreren kan dømme om innholdet av 

undervisningen for den enkelte elev på det stadiet han eller hun befinner seg. 

Læreplanen må gi rom for elevens individualitet. 

____________________________________________________________________________________________ 

4.7 Kommentarer 

I opplistingene av punkter i 4.6 har jeg i forhold til Bishop [1] foretatt 

omorganiseringer og utelatelser. Til hver av opplistingene angir Bishop i en 

viss forstand kontekster for undervisningen. Jeg har tatt med noen få av 

disse, og har føyet inn noen egne refleksjoner. 

Opplistingene av punkter røper nok den bakgrunnen Bishop har i britisk 

praksis, med detaljerte examination syllabi. Understrekningen av at 

punktene i listene ikke må forstås som emner som skal undervises, men som 

organiserende begreper for undervisningen, er vel litt mindre viktig her hos 

oss. De punktene en finner opplistet i L97 er ikke altfor forskjellige fra 

Bishops punkter (bortsett fra L97s ulykksalige 'skal'). – Riktig nok mangler i 

L97 innordningen av de enkelte punktene under fundamentale begreper. (I 

stedet har en 'matematikk i dagliglivet', 'tall og algebra', 'geometri', 

'behandling av data' og 'grafer og funksjoner'.) 

Er matematikk "naturlig"? Fra Bishops argumentasjon ser det ut til at 

mennesker overalt, for å klare sin tilværelse, har utviklet aktiviteter med 

matematisk innhold. I den forstand er matematikk "naturlig". 

____________________________________________________________________________________________ 


[1] Bishop, Alan J.. Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. 

Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991. 

[2] Kauke, Marion. Spielintelligenz: Spielend lernen – Spielen lehren? Spektrum Akademischer Verlag, 


Heidelberg ⋅ Berlin ⋅ New York, 1992. 


Dansk utgave. Hvorfor kan Jørgen ikke regne? – Den nye matematiks fallit. Gyldendal, København, 1977. 

[4] Popper, Karl R[aimund]. Conjectures and Refutations. 4. utgave. Routledge and Kegan Paul, London, 1972. 

[5] Purce, Jill. The Mystic Spiral. Avon Books, New York, 1974. 

[6] Vygotsky, L.S. Mind in Society: The Development of Higher Psychological Processes. Harvard Uni- 

versity Press, Cambridge, Mass., 1978 

____________________________________________________________________________________________ 


37

38 

5 Forsøk på en oppsummering 

Jeg ble selv eksponert for "ny matematikk"-reformen i 1974, i et miljø som 

var svært innstilt på å fremme denne reformen. Den troen på "mengdelære" 

som jeg møtte der, inngav meg en skepsis som jeg ikke har funnet noen 

grunn til å modifisere. Heller tvert om. 

De viktigste kildene jeg hadde å støtte meg til den gangen, var Black 

[1], Feynman [3] og Kuntzmann [5]. Kline [4] kjente jeg dessverre ikke. 

Max Black, fremragende analytisk filosof, tok for seg selve mengdebegrepet 

og forsøkte å avkle emnet uklarhet og nimbus som har preget det 

siden Georg Cantors dager. Dette renset luften (for meg). 

Jean Kuntzmann, fransk matematiker, angrep den abstrakte 

tilnærmingen til matematikken som han hadde funnet i franske 

forsøksopplegg for matematikkundervisning på 1960-tallet. Han spådde en 

pedagogisk fiasko når den "nye" matematikken etter hvert mistet nyhetens 

interesse. Det er liten tvil om at spådommen slo til. 

Egen undervisningserfaring forsterket siden mine forbehold til abstrakt 

tilnærming og aksiomatisk fremstilling. For eksempel, i undervisning av 

"diskret matematikk" for informatikkstudenter erfarte jeg når det gjaldt 

logikken at det gikk greitt så lenge det hele ble holdt på et uformelt nivå. 

Feilaktige tankemønstre var et interessant tema. Men tok vi det hele så langt 

at vi satte opp sannhetstabeller for logiske bindeord, så forsvant interessen 

for "logikk" og kom ikke tilbake. – Saktens arbeidet jeg hverken i grunnskolen 

eller lærerutdanningen, men gjorde meg jo tanker om didaktikk og 

fagdidaktikk. Det ble tydelig for meg at det trengtes en annerledes tilnærming 

til matematikkundervisning og kanskje også nye kriterier for 

utvelgelse av fagstoff. Hos Kline og hos Bishop har jeg funnet radikale 

synsmåter på hva som burde gjøres. Å knytte utdanning i matematikk til 

1 samfunnet og dets behov 

2 historie 

3 kultur og kulturell identitet 

4 trangen til å forstå våre omgivelser, 

står for meg (nå) som helt nødvendig om en vil avhjelpe matematisk hjelpeløshet 

og følelse av meningsløshet i matematikkundervisningen. 

Det er mange vitnesbyrd om at matematikkundervisning fremdeles 

kommer negativt ut. Jo Boaler har fulgt ca. 1000 engelske elever gjennom 

de siste fire år av den obligatoriske skolegangen, "klassene" 8–11, og skriver 

om sine erfaringer i en artikkel fra 2000 [2]. En rapport om ensformighet og 

mangel på mening. Men hva så – i en tid som vår? Det heter gjerne at vi nå 

lever i det postmoderne eller postmoderniteten. Det sies at en i det postmoderne 

med lett sinn avfinner seg med fragmentering og mangel på 

mening: endelig frihet fra sammenhengens og rasjonalitetens tyranni. Mon 

det. 

Det moderne, eller moderniteten, er det ideologiske klimaet som har 

behersket vår forholdsvis nære fortid, grovt sett fra opplysningstiden og 

frem til 1950- eller 1960-årene. (Noen setter modernitetens avslutning til 

1989, med kommunismens fall.) Viktige ord i det moderne er fornuft og 

fremskritt. Det ville uten tvil være galt å tenke seg at moderniteten i ett og alt 

hører fortiden til, selv om det skulle være riktig at den "egentlig" har mistet 

sin kraft. I L97, for eksempel, er den lys levende til stede. Og ikke bare er 

L97 preget av troen på fornuft og fremskritt. Også kontroll må nevnes: 

elevene skal ... – Om da dette ikke simpelthen springer ut av et autoritært 

drag hos enkelte av læreplanens arkitekter. 


Dette er ikke stedet for å tenke inngående om hva som har ført til (den 

påståtte) fremveksten av det postmoderne. Men en kan gjøre seg noen tanker 

og mot-tanker om realiteten i begrepet. En kan bli slått av ambivalensen 

mellom på den ene side frustrasjon over mangel på sammenheng og mening 

i den personlige livssituasjon og på den annen side uvilje mot det store ordet 

mening. Kan holdninger som inngår i det postmoderne i noen grad oppfattes 

som en kodifisering av resignasjon og opprørstrang? At disse to følelsene er 

rikelig til stede i vår tid, det vet vi. Hydrogenbomben, den økologiske 

krisen, politisk og økonomisk sammenbrudd i store deler av Øst-Europa, 

grinende armod i mange "utviklingsland", krig – alt dette kan knekke troen 

på at noe nytter, eller eventuelt, hos sterke personligheter, spore til opprør. 

Mange kan ha merket seg at i sammenhenger der en grad av mening 

etableres for et menneske – om det så bare gjelder at en 5-åring en dag klarer 

å sykle uten hjelp, eller at en 6.-klassing plutselig forstår dette med brøk – 

der oppleves dette av vedkommende som positivt. Noe bygges opp. En kan 

undres på om resignasjon og benektelse av mening er genuine saker, om de 

kommer fordi et menneske har innsett "hvordan tingene egentlig er", eller 

om de har slektskap med nevrosen, der følelser benektes. 

Ved starten av avsnitt 4.4 trakk vi frem det synet Bishop er talsmann for 

når det gjelder kulturen og dens verdier: Skal en forstå en kultur, må en gå 

til de verdiene som ligger bakom. Og vårt forhold til disse verdiene bør være 

bevisst og eksplisitt i stedet for, som det ofte er, ubevisst, implisitt og 

ukritisk. Nå har vi prøvd å antyde at de verdiene Bishop selv regner med i 

utpreget grad er modernitetens verdier. Dersom det faktisk er slik at et 

omfattende skifte i vår kulturs bærende idéer er i ferd med å skje, da blir det 

nødvendig å stille spørsmålstegn ved de verdiene Bishop baserer sin 

læreplantenkning på. Nye bærende idéer kan det være svært vanskelig å få 

øye på. En kan ane (se for eksempel [6]) at slike ville måtte bære preg av 

fragmentering, oppløsning, rasjonalisering (i psykologisk forstand)! Dette 

lar det seg ikke bygge mye på. I hvert fall ikke en læreplan. I avsnitt 2.1 

gjorde jeg det klart at jeg ikke deler postulatene i det postmoderne, men tvert 

om vil insistere på rasjonalitet (ikke rasjonalisme som i moderniteten). Lyon 

[6] trekker frem en premoderne livs- og verdensforståelse som den eneste 

som kunne ha troverdighet. Vi må la det bli med antydninger her, for det er 

så mye som er uklart. 

Sett mot 1950- og 1960-årenes firkantede kamp for en reform av 

matematikkundervisningen, opplevde jeg Klines mot-tanker som en lise. 

Grunnelementene i min egen holdning til spørsmålene har jeg hentet der. 

Men Bishops tanker (som jeg ble kjent med i et foredrag av Trygve Breiteig, 

Høgskolen i Agder) står for meg som en ytterligere – om ikke endegyldig – 

begrunnelse. Så vidt jeg kan forstå må hans idéer til en læreplan for matematikk, 

med deres fundamentering i klart grunnleggende intellektuelle, 

samfunnsmessige og kulturelle forhold, være et skjellsettende bidrag til 

diskusjonen om matematikkundervisningens mål og mening. Desto viktigere 

blir det å diskutere enkelthetene i det foreslåtte fundamentet. Viktigst blir 

verdiene, nemlig ut fra den premiss at menneskelig intellektuell konstitusjon 

og "det å være menneske" er nokså permanente forhold og at det bakom 

kulturelle ytringer og forandringer som har en viss substans alltid ligger 

filosofiske idéer, "ideologi", verdier. 

Både i kapittel 3 og i kapittel 4 orienterte vi oss langt videre enn bare 

om geometrien. I matematikken henger jo tingene sammen. Ikke minst i 

kapittel 4 trakk vi inn hele spektret av elementære matematiske emner. 

Geometrien har nok klarest sitt opphav i lokalisering og formgiving. Men 

også måling må nevnes. Og vi kan ikke unngå å nevne forklaring, som 

finner et slags høydepunkt i bevisene i geometrien og i matematikken 

forøvrig. Og det går en linje fra det som er sagt om lek, til det logiske og 

argumenterende aspektet ved matematikken som viser seg aller klarest i 


39

40 

beviset. 

Den som måtte lese disse sidene, kan vel synes at resultatet av drøftingen 

er noe vagt og gir lite av en rettesnor for læreplantenkning. (Men det 

gjelder jo også for eksempel L97, generell del.) Videre drøfting, og utmynting 

av de idéene som er valgt ut og presentert, vil skje i forbindelse med 

fremleggingen av lærestoffet. 

Punktene 1–4 ovenfor kan jeg se på som overskrifter for min egen 

holdning og mine egne anstrengelser når det gjelder utdanning i matematikk. 

I fortsettelsen må de didaktiske hvorfor, hva og hvordan drøftes i de 

forskjellige didaktiske sammenhengene ("nivåene" på figur 2.2). 

____________________________________________________________________________________________ 


[1] Black, Max. "The Elusiveness of Sets." The Review of Metaphysics, 24 (1971), 614–36. 

[2] Boaler, Jo. "Mathematics from Another World: Traditional Communities and the Alienation of Learners." 

Journal of Mathematical Behavior, 18 (4) (2000), 379–97. 

[3] Feynman, Richard P. "New Textbooks for the 'New' Mathematics." Engineering and Science, 28 (1965), 

9–15. 


[5] Kuntzmann, Jean. Où vont les mathématiques? Réflections sur l'enseignement et la recherche. Hermann, 

Paris, 1967. 

[6] Lyon, David. Postmodernity. 2. utg. Open University Press, Buckingham, 1999. 

____________________________________________________________________________________________

Ressursbok i geometri for lærerutdanningen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?