Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano Wilson Hugo C. Freire

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR Á
Campus Cariri
Coordenação de Engenharia Civil
Pontos Temáticos de Física
Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano
Wilson Hugo C. Freire
————–
Juazeiro do Norte - CE
Fevereiro de 2008

Conteúdo
1 Introdução 3
2 Cálculo Variacional 4
3 O Formalismo Lagrangiano 10
4 O Formalismo Hamiltoniano 13
5 Exemplos 18
6 Parênteses de Poisson 23
2

1 Introdução
Vamos apresentar as formulações lagrangiana e hamiltoniana da Mecânica Clássica, as
quais são concisamente fundamentadas em um princípio variacional, designado como
princípio de Hamilton. Estas formulações são de grande importância pois possibili-
tam uma transição natural da Mecânica Clássica para Mecânica Quântica. Além do
mais quando estendidas para o contínuo, onde surgem os campos, estas formulações
oferecem a linguagem básica e unificadora para a construção das teorias físicas como
o eletromagnetismo, a relatividade geral, teoria de campos etc.
3

2 Cálculo Variacional
Inicialmente vamos apresentar de forma breve as noções matemáticas apropriadas para
desenvolver o formalismo lagrangiano. Estas noções fazem parte do chamado Cálculo
Variacional que, a grosso modo, é o Cálculo Diferencial de funcionais. Dessa forma
enquanto o Cálculo Diferencial usual trata, por exemplo, do problema de determinar
pontos de máximo ou de mínimo local (ou, em geral, pontos críticos) de uma função de
várias variáveis g : D ⊂ R m −→ R, o Cálculo Variacional permite determinar pontos
de máximo ou de mínimo (ou, em geral, pontos estacionários) de um dado funcional
A : F −→ R, onde F é um espaço vetorial de funções suficientemente comportadas.
Assim os “pontos”(elementos) de F são funções, como por exemplo q : [t1; t2] −→ R n
que a cada t ∈ [t1; t2] associa q(t) ≡ (q1(t), ..., qn(t)) ∈ R n .
Na formalismo lagrangiano, como veremos, a dinâmica de um sistema físico é de-
scrita em termos de um funcional A, chamado ação do sistema, o qual está definido
sobre funções q que representam as possíveis trajetórias deste sistema no espaço de
configurações.
Funcionais
Neste contexto os funcionais de interesse são usualmente dados por integrais. Por
exemplo: considere um espaço de funções suficientemente diferenciáveis, digamos
e defina o funcional A : F −→ R por
F = {q : [t1; t2] −→ R n | q diferenciável C k },
A[q] =
t2
t1
n
qi(t)[ ˙qi(t)] 2 dt
i=1
4

onde ˙q = dq/dt é a derivada de q. Note que para cada q no espaço F temos que A[q]
é um número real bem definido e, então, A é de fato um funcional. Note que o valor
do funcional A no “ponto”(função ou curva de R n ) q, denotado por A[q], depende em
geral não apenas de um valor específico q(t) (de q em um certo t) mas de todos os
valores da função q.
Especificamente os funcionais que descrevem os sistemas mecânicos são da forma
A[q] =
t2
t1
L(q(t), ˙q(t), t) · dt (2-1)
onde L(q, ˙q, t) ≡ L(q1, ...qn, ˙q1, ... ˙qn, t) é uma função diferenciável a valores numéricos
(em R). No contexto da mecânica, como veremos mais adiante, L é a lagrangiana do
sistema em consideração.
Derivada Funcional
O conceito chave no Cálculo Diferencial de funções é o de derivada; no contexto das
funções de várias variáveis surgem as derivadas parciais e, em geral, as derivadas dire-
cionais ou derivadas de Gateaux (as derivadas parciais são derivadas direcionais par-
ticulares) além do conceito mais forte de diferenciabilidade (de Frechet). No Cálculo
Variacional há o conceito de derivada de um funcional (derivada funcional), o qual
desempenha para os funcionais o mesmo papel que as derivadas direcionais desempen-
ham para funções de várias variáveis (Gelfand-Fomin, Calculus of Variations, Dover
inic., 2000, pg. 27). Vejamos o conceito de derivada funcional e a noção de ponto
crítico (ou estacionário) de um funcional.
Lembremos que no caso de uma função g : D ⊂ R m −→ R a derivada direcional de g
no ponto x = (x1, ..., xm) ∈ D relativamente ao vetor v = (v1, ..., vm) ∈ R m , é denotada
5

e definida por
g(x + ɛv) − g(x)
∂vg(x) = lim
ɛ↦→0 ɛ
desde que o limite exista. Equivalentemente, pondo G(ɛ) ≡ g(x + ɛv), temos
G(ɛ) − G(0)
∂vg(x) = lim
ɛ↦→0 ɛ
= dG(ɛ)
dɛ
ɛ=0
⋆ Em resumo, a derivada direcional de g é dada por
g(x + ɛv) − g(x)
∂vg(x) = lim
ɛ↦→0 ɛ
= d
[g(x + ɛv)]
dɛ
= d
[g(x + ɛv)]
dɛ
ɛ=0
ɛ=0
.
. (2-2)
⋆ Um fato importante é que se x = (x1, ..., xm) ∈ D é um ponto crítico ou estacionário
(por exemplo, de máximo ou de mínimo) de g então esta derivada se anula, ∂vg(x) = 0,
qualquer que seja v em R m .
⋆ No caso de um funcional A : F −→ R, como o da forma (2-1), vale uma definição
análoga: a derivada (“direcional”) do funcional A no “ponto”q : [t1; t2] −→ R n relati-
vamente ao “vetor”η : [t1; t2] −→ R n é designada por
A[q + ɛη] − A[q]
δηA[q] = lim
ɛ↦→0 ɛ
= d
{A[q + ɛη]}
dɛ
ɛ=0
. (2-3)
⋆ A curva q : [t1; t2] −→ R n que torna estacionário (máximo ou mínimo, por exemplo)
o valor do funcional A deve ser tal que δηA[q] = 0 para qualquer vetor admissível η
(explicaremos o termo “admissível”mais adiante).
O problema geral que nos interessa aqui é o seguinte: Dado um espaço de funções
suficientemente diferenciáveis que descrevem curvas conectando os mesmos pontos
extremos,
F = {q : [t1; t2] −→ R n | q(t1), q(t2) fixos},
6

considere o funcional A : F −→ R,
A[q] =
t2
t1
L(q(t), ˙q(t), t) · dt (2-4)
onde L(q, ˙q, t) ≡ L(q1, ...qn, ˙q1, ... ˙qn, t) é uma função diferenciável a valores numéricos.
Dentre todas as “curvas”q conectando os pontos q(t1) = (q1(t1), ..., qn(t1)) e q(t2) =
(q1(t2), ..., qn(t2)) qual delas maximiza ou minimiza (ou, em geral, torna estacionário)
o valor do funcional A.
Para encontrar esta curva ou, pelo menos, caracteriza-la matematicamente de alguma
maneira, vamos a seguir calcular a derivada funcional δηA[q] e, na sequência, fazê-la
igual a zero. O resultado, como veremos a seguir, será constituído pelas chamadas
equações de Euler do Cálculo Variacional.
As Equações de Euler
Vamos primeiramente calcular a derivada do funcional dado pela equação (2-4), usando
a definição (2-3) que acabamos de apresentar:
δηA[q] = d
{A[q + ɛη]}
dɛ
ɛ=0
= d
t2
ɛ=0
L(q + ɛη, ˙q + ɛ ˙η, t) · dt .
dɛ t1
Tendo em vista que esta derivada é relativa a ɛ e que a integral é com respeito a t
podemos derivar sob o sinal de integração e, em seguinda, aplicar a regra da cadeia.
Denotando Q = q + ɛη e ˙q + ɛ ˙η = ˙ Q, temos
δηA[q] =
=
t2
t1
t2
t1
∂L
i
∂Qi
∂L
i
∂qi
∂Qi
∂ɛ
+ ∂L
∂ ˙ Qi
∂ ˙ Qi
∂ɛ
· ηi + ∂L
· ˙ηi dt
∂ ˙qi
ɛ=0
dt =
Realizando uma integração por partes e usando o teorema fundamental do cálculo
7

temos
δηA[q] =
t2
t1
∂L
−
∂qi
d
∂L
ηi · dt +
dt ∂ ˙qi
∂L
∂ ˙qi
i
i
ηi
t2
− ∂L
∂ ˙qi
ηi
t1
Lembremos que a definição de derivada do funcional envolve a expressão A[q + ɛη], de
modo que, por consistência, q +ɛη deve residir no espaço F das funções que descrevem
curvas conectando os extremos fixos q(t1) e q(t2); logo
q(t1) + ɛη(t1) = q(t1) =⇒ η(t1) = 0,
q(t2) + ɛη(t2) = q(t2) =⇒ η(t2) = 0.
Aí estão os η’s admissíveis: eles devem ser tais que η(t1) = η(t2) = 0. Assim
δηA[q] =
t2
t1
∂L
−
∂qi
d
∂L
ηi · dt.
dt ∂ ˙qi
i
Se “a curva q(t)”que liga q(t1) à q(t2) torna estacionário o valor de A então
δηA[q] =
t2
t1
∂L
−
∂qi
d
∂L
ηi · dt = 0,
dt ∂ ˙qi
i
para todo vetor admissível η (tal que η(t1) = η(t2) = 0). Mas como η é bastante
arbitrário isto nos leva a suspeitar que
d
dt
∂L
∂ ˙qi
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, ..., n;
esta conclusão é na verdade consequência do lema mostrado a seguir.
Lema: Se f : [t1; t2] −→ R é contínua e
t2
t1
f(t)η(t)dt = 0
para qualquer η : [t1; t2] −→ R contínua satisfazendo η(t1) = η(t2) = 0 então f(t) = 0
para todo t ∈ [t1; t2].
8
.

Prova do Lema: Suponha que f é não nula, digamos f(ξ) > 0 em um certo ξ ∈ [t1; t2]
(o caso “f(ξ) < 0”é provado de forma inteiramente análoga). Então, pela continuidade
de f, esta função é extritamente positiva nalgum intervalo [a; b] ⊂ [t1; t2] tal que
ξ ∈ [a; b]. Vamos tomar η : [t1; t2] −→ R definida para todo t ∈ [t1; t2] da seguinte
maneira: η(t) = (t − a)(b − t) se t ∈ [a; b] e η(t) = 0 se t /∈ [a; b]. Esta função η é
contínua e η(t1) = η(t2) = 0. Para ela temos
t2
t1
f(t)η(t)dt =
b
a
f(t)(t − a)(b − t)dt > 0,
que contradiz a hipótese. Logo f(t) = 0 para todo t ∈ [t1; t2].
A conclusão é que se q minimiza ou maximiza ou, em geral, torna estacionário o valor
do funcional A então q deve ser solução das equações
d
dt
∂L
∂ ˙qi
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, ..., n, (2-5)
que são chamadas de equações de Euler e constituem um sistema de n equações difer-
enciais de segunda ordem em geral acopladas. Para que a solução q seja bem definida
consideramos usualmente 2n condições de contorno que fixam q(t1) e q(t2).
9

3 O Formalismo Lagrangiano
Coordenadas Generalizadas
Em geral, os sistemas físicos estão sujeitos a condições denominadas vínculos os quais
restringem o número de coordenadas necessárias para descrever o movimento destes
sistemas. Se considerarmos um sistema de N partículas cujo movimento é descrito por
{ra}a=1,...,N e se este sistema está submetido a K vínculos, K < 3N, equacionados por
ψβ(r, t) = 0, β = 1, ..., K,
os quais são chamados vínculos holonômicos, podemos notar que das 3N coordenadas
(xa, ya, za), a = 1, ..., N, podemos selecionar 3N−K ≡ n coordenadas independentes (o
número n é chamado número de graus de liberdade). Mais ainda, o uso de coordenadas
cartesianas não é obrigatório: Podemos escolher n = 3N − K coordenadas, digamos
{q ≡ (q1, ..., qn)},
que possibilite descrever completamente o movimento do sistema. Tais coordenadas
são englobadas sob o nome de coordenadas generalizadas e uma escolha conveniente
de tais coordenadas depende de cada problema específico.
Princípio de Hamilton e Equações de Euler-Lagrange
Uma configuração (ou estado) do sistema é definido por um conjunto de valores que
suas coordenadas generalizadas (q1, ..., qn) podem assumir. Uma tal configuração é
imaginada como sendo representada por um ponto q = (q1, ..., qn) no chamado espaço
de configurações do sistema. A medida que o tempo t vai passando o sistema pode
10

“evoluir”ou “se mover”de uma configuração q(t1) = (q1(t1), ..., qn(t1)) para outra con-
figuração q(t2) = (q1(t2), ..., qn(t2)).
♣ O problema geral da mecânica passa ser formulado nos seguintes termos: dentre
todas as trajetórias ligando q(t1) à q(t2) no espaço de configurações do sistema, qual
é aquela que o sistema segue. O guia para resposta é o Princípio de Hamilton:
♣ Princípio de Hamilton: A trajetória q(t) = (q1(t), ..., qn(t)) que descreve o movi-
mento do sistema da configuração q(t1) para a configuração q(t2) é tal que o funcional
ação do sistema,
A[q] =
t2
t1
L(q, ˙q, t)dt,
assume um valor mínimo (mais geralmente, estacionário). Aqui a função L(q, ˙q, t) é
uma função que caracteriza o sistema, chamada lagrangiana deste sistema, a qual é
usualmente dada por
L = T − V
onde T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema em consideração.
Estamos nos referindo a um sistema que admitam uma função energia potencial V ,
por exemplo um sistema conservativo.
Pelo que vimos anteriormente, a “trajetória q(t)”que “mapeia”o movimento do sistema
no espaço das configurações, a qual torna estacionário o valor do funcional ação deste
sistema, deve ser solução das equações de Euler,
d
dt
∂L
∂ ˙qi
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, ..., n, (3-6)
com as condições de contorno que fixam os pontos extremos q(t1) e q(t2). Estas
equações passaram então a se chamar equações de Euler-Lagrange (o nome Euler está
11

ligado ao Cálculo Variacional e o nome Lagrange ao problema geral correspondente
na Mecânica que ora estamos tratando, de onde se originou o formalismo lagrangiano
aqui apresentado).
Conexão com o Formalismo Newtoniano
Considere uma partícula de massa m sujeita a uma força derivada de um potencial,
F = −∇V . Adotando (q1, q2, q3) ≡ (x, y, z) ≡ (x1, x2, x3) temos
L(x1, x2) = 1
· m
2
3
˙xi − V (x1, x2, x3).
Pelas equações de Euler-Lagrange temos, para cada j = 1, 2, 3,
d ∂L
−
dt ∂ ˙xj
∂L
∂xj
i=1
= d
dt (m ˙xj) + ∂V
∂xj
∴ m ¨ r = −∇V = F
que é a equação de movimento newtoniana.
12
= 0 ∴

4 O Formalismo Hamiltoniano
Preliminares. O Momento Canônico e a Hamiltoniana
Ainda no contexto do formalismo lagrangiano, temos que para um sistema mecânico
com n graus de liberdade descrito pela lagrangiana L(q, ˙q, t) as equações de movimento
são as equações de Euler-Lagrange (3-6):
d
dt
∂L
∂ ˙qi
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, ..., n.
Note que se a lagrangiana L não depender explicitamente de uma coordenada qj
(chamada coordenada cíclica), embora dependa de ˙qj para não modificar o número
de graus de liberdade, então a correspondente equação de movimento nos fornece uma
quantidade conservada durante o movimento do sistema:
d
dt
∂L
∂ ˙qj
= 0 =⇒ ∂L
∂ ˙qj
= const. de movim.
A quantidade ∂L/∂ ˙qi recebe uma denominação especial, mesmo que não se conserve,
ou seja, mesmo que qi esteja explicita em L (ou, que qi não seja cíclica). Tal quantidade
é denominada momento generalizado canônico conjugado à coordenada qi e denotada
como
pi = ∂L
. (4-7)
∂ ˙qi
Por outro lado se L não depender explicitamente do tempo (tempo cíclico!) temos
∂L/∂t = 0 e, então, levando em conta as equações de Euler-Lagrange,
dL
dt
∂L
=
j
∂qj
˙qj + ∂L
¨qj =
∂ ˙qj
d
dt
j
∂L
13
∂ ˙qj
˙qj + ∂L
¨qj =
∂ ˙qj
d ∂L
˙qj ,
dt ∂ ˙qj
j

de modo que, considerando a definição de momento canônico,
=⇒
j
∂L
∂ ˙qj
d ∂L
˙qj − L = 0 =⇒
dt ∂ ˙qj j
˙qj − L =
pj ˙qj − L = const. de movim.
j
A quantidade
j pj ˙qj − L, independente de se conservar ou não (L sem dependência
ou com dependência explícita de t ), é chamada hamiltoniana do sistema:
H =
pj ˙qj − L. (4-8)
j
A hamiltoniana se identifica com a energia total do sistema se supormos que a energia
cinética é quadrática nas velocidades generalizadas e o potencial depende apenas das
coordenadas generalizadas:
De fato
L = 1
2
i
H =
i
j
aij(q) ˙qi ˙qj − V (q) ≡ 1
2
∂L
˙qi − L =
∂ ˙qi
i
= 1
˙qi
2
i
=
aij ˙qi ˙qj −
ij
∴ H = 1
2
que é a energia total do sistema.
aij ˙qi ˙qj − V (q).
1 ∂
˙qi ajl ( ˙qj ˙ql) − L =
2 ∂qi ˙
jl
ail ˙ql +
aji ˙qj − L =
l
1
2
j
ij
aij ˙qi ˙qj − V
ij
aij ˙qi ˙qj + V = T + V,
ij
14
∴

As Equações de Hamilton
Retomemos a hamiltoniana de um sistema
onde
H =
pj ˙qj − L, (4-9)
j
pj = ∂L
∂ ˙qj
≡ fj(q, ˙q, t).
Se admitirmos que as funções fj podem ser invertidas para fornecer os ˙qj como funções
de (q, p, t) então a hamiltoniana passa a ter q, p e t como variáveis independentes ao
invés de q, ˙q e t:
H(p, q, t) =
pj ˙qj(q, p, t) − L(q, ˙q(q, p, t), t).
j
Isto pode ser verificado também tomando diretamente a diferencial de H na expressão
(4-9):
dH =
( ˙qjdpj + pjd ˙qj) − dL =
j
=
˙qjdpj + pjd ˙qj −
j
∂L
dqj −
∂qj
∂L
d ˙qj −
∂ ˙qj
∂L
dt =
∂t
=
˙qjdpj + pj − ∂L
d ˙qj −
∂ ˙qj
∂L
dqj −
∂qj
∂L
∂t dt
j
e com a definição de momento canônico (4-7) obtemos
o que nos indica que H = H(p, q, t).
dH =
˙qjdpj − ∂L
j
j
∂qj
dq j − ∂L
∂t dt
Vale salientar que para se chegar a este resultado não se usou as equações de movi-
mento (3-6) mas apenas a definição de momento pj de modo que H é função de (p, q, t)
independentemente do princípio de Hamilton e, portanto, está definida como função
15

até em pontos que não constituem a trajetória seguida pelo sistema. Mas se consider-
armos somente os pontos da trajetória seguida pelo sistema então, pelas equações de
Euler-Lagrange (3-6), temos
dH =
˙qjdpj −
d ∂L
dqj −
dt ∂ ˙qj
∂L
dt ∴
∂t
j
∴ dH =
˙qjdpj −
Por outro lado, sendo H(p, q, t), temos
j
dH = ∂H
dpj +
∂pj
∂H
∂qj
Comparando estas duas últimas equações
j
j
j
j
˙pjdq j − ∂L
∂t dt.
dq j + ∂H
∂t dt.
˙qj = ∂H
, (4-10)
∂pj
˙pj = ∂H
, (4-11)
∂qj
− ∂L
∂t
∂H
= . (4-12)
∂t
A terceira destas equações é uma consequência da definição de H:
∂H
∂t
∂
= pj ˙qj(q, ˙q, t) − L(q, ˙q(p, q, t), t) =
∂t
j
=
j
pj
∂ ˙q
∂t
− ∂L
∂ ˙qj
∂ ˙qj
−
∂t
∂L
∂t ;
tendo em vista a definição de momento canônico (4-7), obtemos portanto
∂H
∂t
As duas outras equações, (4-10) e (4-11),
= −∂L
∂t .
˙qj = ∂H
,
∂pj
16

˙pj = ∂H
, j = 1, ..., n,
∂qj
são as equações de Hamilton que correspondem as equações de movimento no formal-
ismo hamiltoniano para o sistema em consideração. Neste formalismo os estados do
sistema são representados por pontos (p, q) no chamado espaço de fases deste sistema.
Note que as equações hamiltonianas formam um sistema de 2n equações diferenciais
de primeira ordem em (p, q) de modo que sua solução geral, digamos
pj = pj(t; C1, ..., Cn),
qj = qj(t; D1, ..., Dn),
envolve 2n constantes de integração, as quais podem ser determinadas univocamente
mediante condições iniciais, como p(t0) = P e q(t0) = Q.
O quadro abaixo compara paralelamente os formalismos lagrangiano e hamiltoniano:
(figura)
17

5 Exemplos
Partícula Livre Relativística
Vamos construir a lagrangiana de uma partícula livre relativística. Uma quantidade
invariante de Lorentz envolvendo diretamente as coordenadas do espaço-tempo (de
Minkowiski, sem gravidade) é a métrica descrita pelo elemento de linha
ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 .
em que c é a velocidade da luz no vacuo. A ação da partícula livre relativística pode
ser proporcional a integral de qualquer potência de ds. Vamos, por simplicidade,
considerar a ação na forma
A = α
√c
ds = α 2dt2 − dr 2 = α 1 − v2
dt,
c2 onde α é uma constante a ser determinada e v = dr/dt. Aqui podemos identificar a
lagrangiana da partícula por
No limite não-relativístico, v ≪ c, temos
L ≈ αc
L = αc 1 − v2
c2 1/2 .
1 − 1
2
v2 c2
= αc − 1 α
2 c v2 .
O primeiro termo desta equação é uma constante, que não altera as equações de
movimento pois estas são obtidas por derivação de L. O segundo termo −(1/2)(α/c)v 2
deve deve ser identificado com a energia cinética não relativística +(1/2)mv 2 (m é a
massa de repouso da partícula); então α = −mc. Logo
L = αc
1 − v2
= −mc2
c2 18
1 − v2
.
c2

Daqui podemos obter quantidades importantes como o momento relativístico e a en-
ergia relativística da partícula. Vejamos primeiro o momento relativístico. Notando
que v 2 = 3
j=1 ˙x2 j temos
pi = ∂L
∂ ˙xi
2 ∂
= −mc
∂ ˙xi
∴ pi =
1 −
m ˙xi
1 − v 2 /c 2
j ˙x2 j
c2 1/2
2 1
j
= −mc 1 −
2
˙x2 j
c2 −1/2 i = 1, 2, 3 =⇒ p =
m
1 − v 2 /c 2 v.
(−2xi) ˙
c2 A energia desta partícula é identificada com a sua hamiltoniana (note que a lagrangiana
desta partícula não depende explicitamente do tempo e, então, a sua hamiltoniana é
uma constante de movimento). Temos:
H = p v − L =
∴ H =
mv2
+ mc 1 −
1 − v2 /c2 v2
c2 mc 2
1 − v 2 /c 2
Partícula Carregada num Campo Eletromagnético
Vamos encontrar a lagrangiana e a hamiltoniana para uma partícula com carga e
movendo-se em uma região onde há um campo eletromagnético, descrito pelos vetores
E e B. Para isto precisamos saber qual a função energia potencial V que fornece a
força de Lorentz sobre a partícula,
F = e E + v
c ×
B
.
(unidades gaussianas),
que é uma força dependente da velocidade! No formalismo lagrangiano este potencial
é obtido de forma natural da maneira descrita a seguir. Pondo L = T −V nas equações
de Euler -Lagrange (3-6), temos
d ∂T
−
dt ∂ ˙qj
∂T
∂qj
= d
∂V
−
dt ∂ ˙qj
∂V
,
∂qj
19
∴
∴

em que a expressão do lado direito define a força generalizada:
Qi = d
∂V
−
dt ∂ ˙qj
∂V
. (5-13)
∂qj
A idéia é a seguinte: escrever a expressão da força de Lorentz F em termos dos
potenciais eletromagnéticos, mediante
E = − ∇Φ − 1 ∂
c
A
∂t ,
B = ∇ × A,
e então colocar F numa forma que permita compara-la com a expressão da força gen-
eralizada Qj e daí identificar o potencial V . Vamos proceder desta forma. Inicialmente
temos:
F = e E + v
c ×
B = e
− ∇Φ − 1
c
∂ A
∂t
v
+
c × ( ∇ ×
A) .
Vamos manipular o termo v × ( ∇ × A) usando a identidade vetorial
∇(a b) = (a ∇) b + ( b ∇)a + a × ( ∇ × b) + b × ( ∇ × a)
pondo a = A e b = v e tendo em vista que r e v representam variáveis independentes,
temos
Com isto temos
F = e
∇( A v) = ( A ∇)v + (v ∇) A + A × ( ∇ × v) + v × ( ∇ × A) =⇒
− ∇Φ − 1
c
∂ A
∂t
=⇒ ∇( A v) = (v ∇) A + v × ( ∇ × A) ∴
∴ v × ( ∇ × A) = ∇( A v) − (v ∇) A.
v
+
c × ( ∇ ×
A) = e
20
− ∇Φ − 1
c
∂ A
∂t
1
+
c [ ∇( A v) − (v ∇)
A]

=⇒ F = e
= e
− ∇
Φ − 1
c
A v − 1
(v
c
∇) A + ∂ A
∂t
− ∇
Φ − 1
c
A v
= e −
∇ Φ − 1
c A v
Mas ∇vΦ = 0 pois Φ = Φ(r, t), daí
ou seja,
− 1
c
− 1
c
d
A
=
dt
d
dt [ ∇v(
A v)] .
F = e −
∇ Φ − 1
c
A v + d
∇v Φ −
dt
1
c
A v ,
F =
d
dt
∇v eΦ − e
c
A v −
∇ eΦ − e
c
A v
. (5-14)
Finalmente comparando esta expressão com a da força generalizada (5-13), podemos
identificar
isto é,
V (r, v, t) = eΦ(r, t) − e
c A(r, t) v,
V (r, ˙ r, t) = eΦ(r, t) − e
c A(r, t) ˙ r.
Dessa forma a lagrangiana da partícula em consideração (não relativística) é
O momento canônico é dado por
ou
L(r, ˙ r, t) = 1
2 m ˙ r 2 − eΦ(r, t) + e
c A(r, t) ˙ r.
pi = ∂L
∂ ˙xi
= m ˙xi + e
c Ai(r, t), i = 1, 2, 3,
p = mv + e
c A
que, como podemos ver, não é simplesmente mv: parte do momento canônico fica no
potencial magnético!
21
=

A correspondente hamiltoniana é
H = p v − L =
p + e
c
A v − 1
2 mv2 + eΦ − e
c A v =
= 1
2 mv2 + eΦ = 1
2m (mv)2 + eΦ ∴
∴ H = 1
p −
2m
e
c
A + eΦ.
22

6 Parênteses de Poisson
Uma forma conveniente de analizar a evolução temporal de uma variável dinâmica
F (p, q, t) referente a um sistema é através dos chamados parênteses de Poisson, definidos
a seguir. Primeiro vamos tomar a derivada total de F com respeito ao tempo, temos
dF
dt
∂F
=
j
∂pj
˙pj + ∂F
˙qj +
∂qj
∂F
∂t .
Para acompanhar como F “evolui”durante o movimento do sistema usamos as equações
de movimento hamiltonianas, de modo que
ou
onde
dF
dt
∂F
=
j
∂pj
=
∂F ∂H
∂qj ∂pj
j
dF
dt
− ∂H
+
∂qj
∂F
∂qj
− ∂F
∂pj
∂H
∂pj
∂H
∂qj
= {F, H} + ∂F
∂t
{F, H} =
∂F ∂H
j
∂qj ∂pj
que é chamado parêntese de Poisson entre F e H.
− ∂F
∂pj
+ ∂F
∂t
+ ∂F
∂t =
∂H
∂qj
(6-15)
A equação (6-15) nos diz que a hamiltoniana do sistema “governa”a evolução da
variável dinâmica F . Mais ainda, esta equação contém as equações hamiltonianas
de movimento pois, como p = (p1, ..., pn) e q = (q1, ..., qn) constituem coordenadas
independentes, então
˙qi = {qi, H} =
∂qi ∂H
∂qj ∂pj
j
23
− ∂qi
∂pj
∂H
∂qj
= ∂H
,
∂pi

˙pi = {pi, H} =
∂pi ∂H
∂qj ∂pj
j
− ∂pi
∂pj
Note que, fazendo F = H na equação (6-15), obtemos
dH
dt
= {H, H} + ∂H
∂t
∂H
∂qj
= ∂H
∂t .
= − ∂H
.
∂qi
reconfirmando que se a hamiltoniana H não depende explicitamente do tempo (o que
equivale a ocorrer o mesmo com a lagrangiana, pois ∂H/∂t = −∂L/∂t) então ela é
uma constante de movimento. De uma forma geral, se {F, H} = 0 e F não depende
explicitamente do tempo então, pela (6-15), F é uma constante de movimento.
Uma Ponte para Mecânica Quântica: Para finalizar vale salientar que o proced-
imento quantização canônica, introduzido por Dirac, é inspirado nos parênteses de
Poisson fazendo substituições apropriadas de variáveis dinâmicas por operadores e dos
parênteses de Poisson por comutadores.
24