Curso de Teoria Assintótica

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de Laplace
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Assintóticas
para
Variáveis
Aleatórias
Função
Densidade
do EMV
Exemplos da
Aproximação
de B-N
Referências
Curso de Teoria Assintótica
Gauss Cordeiro
UFRPE e UFPE
1 de janeiro de 2008

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Aproximação
de B-N
Referências
1 Expansões de Laplace
2 Expansões Assintóticas para Variáveis Aleatórias
3 Função Densidade do EMV
4 Exemplos da Aproximação de B-N
5 Referências

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Referências
A transformada de Laplace é definida para z grande por
∞
L(z) = e −zy f (y)dy.
0
A função geratriz de momentos M(t) da distribuição com
função densidade f (y) sobre os reais não-negativos é dada por
M(t) = L(−t). Para funções f (y) bem comportadas, a forma
de L(z) para z grande é determinada pelos valores de f (y)
próximos a y = 0. Expandindo f (y) em série de Taylor vem
e, então,
f (y) =
∞
L(z) = e −zy
0
r
f (r) (0) yr
r!
r
f (r) (0) yr
dy
r!

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Referências
ou
L(z) =
r
f (r) (0)
r!
∞
0
e −zy y r dy.
Como a integral acima iguala r!/z r+1 , obtém-se
L(z) =
r
f (r) (0) f (0)
=
zr+1 z + f ′ (0)
+ · · · (1)
z2 Como um simples exemplo considere a determinação da
expansão da integral da normal para z grande
Φ(z) = 1 − ∞
z φ(y)dy. Por simples mudança de variáveis vem
∞
Φ(z) = 1 − φ(z) e −zt e −t2 /2
dt.
0

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Referências
Fazendo f (t) = e −t2 /2 e calculando a expansão da integral
acima usando (1), tem-se
Φ(z) = 1 − φ(z)
1 −
z
1
3 7
+ − + . . . . (2)
z2 z4 2z6 Considere agora que a integral a ser avaliada para z −→ ∞ tem
a forma
b
w(z) =
a
e −z r(y) f (y) dy. (3)
Suponha,inicialmente, que r(y) é minimizada em ˜y ∈ (a, b) e
que r ′ (˜y) = 0, r ′′ (˜y) > 0 e f (˜y) = 0.

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Referências
Tem-se,
b
w(z) = exp{−z˜r − z(y − ˜y) 2 ˜r ′′ /2 − · · · }f (y)dy
a
com a convenção ˜r = r(˜y), ˜r ′′ = r ′′ (˜y), ˜ f = f (˜y), etc. Ainda,
w(z) = e −z˜r
2π
z˜r ′′
+∞
−∞
{ ˜ f + (y − ˜y) ˜ f ′ + . . . }φ(˜y, 1
z˜r ′′)dy,
em que φ(µ, σ 2 ) representa a função densidade da distribuição
normal N(µ, σ 2 ).

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Referências
Com alguma álgebra, demonstra-se (Barndorff-Nielsen e Cox,
1990, Seção 3.3) que w(z) pode ser escrito até ordem O(z −1 )
como
w(z) = e −z˜r
2π
z˜r ′′
˜f + 1
˜f ′′
z 2˜r ′′ − ˜r(3)˜ f ′
2˜r ′′2 − ˜r(4)˜ f
8˜r ′′2 + 5(˜r(3) ) 2˜ f
24˜r ′′3
(4)
No caso de r(y) ser minimizada em ˜y = a (ou b) e r ′ (˜y) sendo
não nulo, obtém-se
w(z) = e −z˜r
˜f
z˜r ′ + O(z−2 )
.

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Para dar um exemplo, seja o cálculo da função gama
Γ(z + 1) = ∞
0 xz e −x dx para z grande. Com a mudança de
variável y = x/z vem
Γ(z + 1) = z z+1
∞
exp(z log y − zy)dy
que é exatamente da forma (3) com f (y) = 1 e
r(y) = − log y + y. Logo, tem-se
˜y = 1, ˜r = 1, ˜r ′ = 0, ˜r ′′ = 1, ˜r (3) = −2 e ˜r (4) = 6.
0
Substituindo esses valores em (4) vem
Γ(z + 1) = √ 2πz z+1/2 e −z
1 + 1
12z + O(z−2
) , (5)
que é a expansão de Stirling. A aproximação (5) é boa para
z ≥ 1, 5.

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Algumas vezes é mais fácil aproximar as variáveis aleatórias de
interesse diretamente do que obter aproximações através de suas
funções de distribuição. Sejam X0, X1 e X2 variáveis aleatórias
contínuas com funções densidade marginais não dependentes de
n e tendo suporte nos reais. Considere a seqûencia de variáveis
aleatórias Yn definida quando n −→ ∞ por
Yn = X0 + n −1/2 X1 + n −1 X2 + Op(n −3/2 ). (6)
Calcula-se Fn(y) = P(Yn ≤ y) até ordem n −1 em termos das
funções de distribuição F0(y) = P(X0 ≤ y) e densidade
f0(y) = dF0(y)
dy de X0 e de certos valores esperados de X1 e X2
condicionados a X0 = y (Teorema de Cox e Reid, 1987).

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Referências
A função de distribuição Fn(y), supondo certas condições
gerais, é dada até ordem O(n −1 ) por
Fn(y) = F0(y){1 + n −1/2 a1(y) + n −1 a2(y)}, (7)
em que as funções a1(y) e a2(y) são determinadas a partir das
equações
e
F0(y)a1(y) = −E(X1|X0 = y) f0(y), (8)
F0(y)a2(y) = −E(X2|X0 = y) f0(y)+ 1 ∂
2 ∂y {E(X 2 1 |X0 = y)f0(y)}.
(9)

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Referências
Como ilustração da aplicabilidade do teorema de Cox e Reid
mostra-se como obter a expansão de Edgeworth para a função
de distribuição de Yn a partir da sua expansão de
Cornish-Fisher. Assim, a expansão estocástica assintótica de Yn
até ordem O(n −1 ) é dada por
Yn = Z + ρ3
6 √ n (Z2 − 1) − ρ2 3
36n (2Z3 − 5Z) + ρ4
24n (Z3 − 3Z)
com Z ∼ N(0, 1). Identificando X0 = Z, f0(y) = φ(y),
X1 = ρ3(Z 2 −1)/6 e X2 = −ρ 2 3(2Z 3 −5Z)/36+ρ4(Z 3 −3Z)/24,
vem
E(X1|Z = y) = ρ3(y 2 − 1)/6 ,
E(X2|Z = y) = −ρ 2 3 (2y3 − 5y)/36 + ρ4(y 3 − 3y)/24 ,
E(X 2 1 |UZ = y) = ρ2 3 (y2 − 1) 2 /36

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e
∂
∂y {ρ2 3(y 2 − 1) 2 φ(y)/36} = −ρ 2 3(y 5 − 6y 3 + 5y)φ(y)/36.
Logo, de (8) e (9) obtém-se
e
ou
F0(y)a1(y) = −ρ3(y 2 − 1)φ(y)/6
F0(y)a2(y) = {−ρ4(y 3 − 3y)/24 + ρ 2 3(2y 3 − 5y)/36}φ(y)
−ρ 2 3(y 5 − 6y 3 + 5y)φ(y)/72
F0(y)a2(y) = −ρ4H3(y)φ(y)/24 − ρ 2 3H5(y)φ(y)/72 .
Finalmente, substituindo-se em (7) chega-se à expansão de
Edgeworth para a distribuição de Yn.

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Como um outro exemplo, suponha uma variável aleatória
qui-quadrado padronizada Yn = (χ 2 n − n)/ √ 2n cujos terceiro e
quarto cumulantes são ρ3 = 2 √ 2 e ρ4 = 12. Mostra-se aqui
como se obtém a inversão de Cornish-Fisher para Yn a partir da
expansão de Edgeworth para a sua função de distribuição até
O(n −1 ) dada por
Fn(y) = Φ(y) − φ(y)
√
2
3 √ n H2(y) + 1
2n H3(y) + 1
9n H5(y)
.
Define-se X0 = Z ∼ N(0, 1) e, então, f0(y) = φ(y).
Consideram-se X1 e X2 como funções dependentes apenas de
Z, X1 = ρ1(Z) e X2 = ρ2(Z), a serem determinadas.

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Comparando os termos de ordem O(n−1/2 ) da expansão acima
e àqueles de (7)e (8), obtém-se
√
2
−φ(y)
3 H2(y) = −E{ρ1(Z)|Z = y}φ(y) = −ρ1(y)φ(y).
√
2 Logo, X1 = 3 (Z2 − 1). Analogamente, comparando os termos
de ordem O(n−1 ), obtém-se
−φ(y){ 1
2 H3(y) + 1
9 H5(y)} = −E{X2|Z = y}φ(y)
+ 1 ∂
2 ∂y {2
9 (y2 − 1) 2 φ(y)}
= −ρ2(y)φ(y) + 1
9 {−(y2 − 1) 2 y + 4y(y 2 − 1)}φ(y)
Assim,
ρ2(y) = 1
2 {H3(y) + 1
9 H5(y)} + 1
9 {−(y2 − 1) 2 y + 4y(y 2 − 1)}

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que pela substituição dos polinômios de Hermite reduz-se a
ρ2(y) = 1
18 (y3 − 7y). Finalmente, X2 = 1
18 (Z3 − 7Z) e a
fórmula (7) implica
√
2
Y = Z +
3 √ n (Z2 − 1) + 1
18n (Z3 − 7Z).
Este resultado é idêntico àquele obtido usando diretamente a
fórmula da inversão de Cornish-Fisher.

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Seja Y uma variável aleatória cuja função geratriz de
cumulantes K(t) é conhecida. A aproximação ponto de sela
para a função densidade fY (y) de Y é obtida como
1
fY (y) ˙=
2πK ′′ ( ˆ exp{K(ˆθ) − ˆθy}, (10)
θ)
em que ˆθ é determinado por K ′ (ˆθ) = y.
A função geratriz de cumulantes aparece naturalmente nos
modelos exponenciais uniparamétricos dados por
fY (y; θ) = exp{θy − b(θ) + h(y)}, (11)
sendo trivialmente obtida como K(t) = b(θ + t) − b(θ).

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A log-verossimilhança para θ dado y é ℓ(θ; y) = θy − b(θ) mais
uma constante arbitrária que não depende de θ. Assim, a
aproximação ponto de sela (10) para o modelo exponencial (11)
pode ser escrita como
1
fY (y; θ) ˙=
2πJ( ˆθ)
exp{ℓ(θ; y) − ℓ(ˆθ; y)}, (12)
em que ˆθ = ˆθ(y) é a EMV de θ decorrente da equação
K ′ (ˆθ) = b ′ (ˆθ) = y e
J(ˆθ) = − d2 ℓ(θ; y)
dθ 2 | θ=ˆθ
é a informação observada avaliada em ˆθ.

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A aproximação (12) pode agora ser transformada para obter a
aproximação correspondente da função densidade de ˆθ,
implicando
1
fˆθ (θ; y) ˙= √ J(ˆθ)
2π 1/2 exp{ℓ(θ; y) − ℓ(ˆθ; y)}. (13)
A equação (13) pode ser generalizada para o modelo
exponencial de ordem p, substituindo √ 2π por (2π) p/2 e J(ˆθ)
pelo determinante da matriz de informação observada em ˆθ,
isto é, |J(ˆθ)|, resultando em
fˆθ (y; θ) ˙=(2π)−p/2 |J(ˆθ)| 1/2 exp{ℓ(θ; y) − ℓ(ˆθ; y)}. (14)
A equação (14) é conhecida como aproximação de
Barndorff-Nielsen para a função densidade de ˆθ.

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Suponha que n observações iid sejam obtidas da distribuição
exponencial com média µ. A log-verossimilhança para µ é dada
por ℓ(µ; y) = −n log µ − nˆµ/µ, em que ˆµ = y e J(µ) = n/µ 2 é
a informação observada para µ. A aproximação para a função
densidade de ˆµ segue de (13) como
fˆµ(µ; y) ˙=Γ(n) −1
n−1 ˆµ 1
µ µ e−nˆµ/µ , (15)
em que Γ(n) = (2π) 1/2 n n−0,5 e −n é a aproximação de Stirling
para Γ(n). Em especial, pode-se demonstrar que normalizando
(15) obtém-se a função densidade exata de ˆµ.
Se o parâmetro ρ = µ −1 é usado para especificar a distribuição
exponencial, tem-se ˆρ = y −1 e, com uma simples mudança de
notação, vem ℓ(ρ; y) = n log ρ − nρ/ˆρ e J(ρ) = n/ρ 2 . Assim, a
aproximação (13) para a função densidade de ˆρ fica de acordo
com (15), ilustrando a propriedade de invariância.

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Considere a distribuição Gaussiana inversa com parâmetros
θ > 0 e α > 0, supondo α conhecido, cuja função densidade é
dada por
θ
fY (y; α, θ) =
2π e
√
αθy −3/2
exp − 1
θ
+ αy .
2 y
Considere uma amostra de n observações iid desta distribuicão.
Demonstra-se, usando (13), que a função densidade de ˆθ é
dada por
fˆθ (θ; y, α) = n
ˆθ
− 2 −1
(1 + αˆθ/2) 1/2 ×
exp[− n
αˆθ −
2
n
2
θ
ˆθ
(1 + αˆθ)],
em que ˆθ = 4{(α + 4n −1 Σy −1
i ) 1/2 − √ α} −2 .

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Considere a função densidade da gama com parâmetros µ
(média) e ν (índice) desconhecidos. Tem-se
fY (y; µ, ν) =
ν ν
y
µ
ν−1 e −νy/µ /Γ(ν).
Considere n observações iid desta distribuição. A EMV de
θ = (µ, ν) T é deduzida de ˆµ = y e log ˆν − ψ(ˆν) = log(y/˜y),
em que y e ˜y são as médias aritmética e geométrica dos dados.
Com alguma álgebra, demonstra-se através de (14) que a função
densidade fˆθ (µ, ν; y) de ˆθ = (ˆµ, ˆν) T admite a decomposição
em que
fˆ θ (µ, ν; y) = f1ˆµ(µ; ν, y)f2ˆν(ν; y),

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Referências
e
f1ˆµ(µ; ν, y) =
nν ν
ˆµ
µ
nν−1 exp(−nνˆµ/µ)
f2ˆν(ν; y) = {Γ(ˆν)Γ(ν)} n ×
{ˆνψ ′ (ˆν) − 1} 1/2 exp[n{(ˆν − ν)ψ(ˆν) + ˆν − ν log ˆν}].
Esta decomposição revela que as EMV ˆµ e ˆν são independentes
até a ordem considerada pela aproximação (14).
Adicionalmente, a aproximação f1ˆµ(µ; ν, y) para a função
densidade de ˆµ é exata após renormalização.

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Referências
Barndorff-Nielsen e Cox, D.R. (1994). Inference and Asymptotics.
Chapman and Hall, London.
Barndorff-Nielsen e Cox, D.R. (1989). Asymptotic Techniques for Use in
Statistics. Chapman and Hall, London.
Cordeiro, G.M. (1999). Introdução à teoria assintótica. 22o Colóquio
Brasileiro de Matemática, IMPA, 70–77.
Cordeiro, G.M. (1992). Introdução à teoria da verossimilhança. Livro
Texto do 9o SINAPE, ABE.
Goutis, C. e Casella, G. (1999) Explaining the Saddlepoint
Approximation. The American Satistician, 53, n. 3,
216–224.

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Referências
Referências
Hinkley, D. V., Reid, N. e Snell, E. J. (1990). Statistical Theory and
Modelling. In honour of Sir David Cox, FRS. Chapman
and Hall.
Lugannani, R. e Rice, S. (1980). Saddle Point Approximation for The
Distribution of The Sum of Independent Random
Variables. Adv. Appl. Prob., 12, 475–490.