O Número de Ouro na Natureza

Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
Disciplina de Matemática
Trabalho sobre o Número de Ouro na Natureza
Juliana Vidas nº 12 e Radassa Vedoveli nº 14
30 de Maio de 2005
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Índice
Pág.
Introdução...................................................................................... 4
Desenvolvimento........................................................................... 5
- O número de ouro (razão de Fibonacci)
- O número de ouro na natureza(curiosidades)
- A sucessão de Fibonacci na Natureza
- A espiral de Fibonacci
- Geometria na Natureza
Conclusão....................................................................................... 12
Construção elaborada no Sketchpad............................................... 12
Bibliografia..................................................................................... 13
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Introdução
Este trabalho tem como objectivo saber o que representa o número de ouro na
Natureza.
O número de ouro é um número irracional que nos surge numa grande
quantidade de elementos da Natureza, na forma de uma razão.
A designação adoptada para este número é a letra Φ (phi maiúsculo), é a inicial
do nome Fídias, escultor e arquitecto em Atenas e encarregado da construção do
Parthénon.
Desde a antiguidade que este número é conhecido. Por exemplo no Egipto as
Pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão
entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual
ao número de ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma razão sagrada que se
julga ser o Φ . Hoje sabemos que esta razão ou secção áurea pode ser obtida
por construção de figuras geométricas conhecidas por figuras de ouro.
G D
F
lado
diagonal
C
E
I
H
Dois pentágonos inscritos numa
circunferência.
Primeira estrelação do
decágono inscrito
numa circunferência.
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Desenvolvimento
O número de ouro (razão de Fibonacci)
Um dos grandes nomes da matemática que surge inevitavelmente quando se
fala da ligação da Matemática com a Natureza é o de Fibonacci.
Há relativamente pouco tempo começou-se a dar importância aos números de
Fibonacci e descobriu-se que são muito frequentes e podem ser usados para
caracterizar diversas propriedades na Natureza, sendo o seu aparecimento não
um acaso, mas o resultado de um processo físico de crescimento das plantas e
dos frutos.
Há números que nos surpreendem, um desses números é o chamado número de
ouro, também conhecido como rácio dourado ou proporção divina. È um
número irracional, dado pela dízima infinita não periódica 1,61803398... e
também pode ser representado pela metade da soma de 5 com a unidade.
Uma das ocorrências mais espantosas do número de ouro encontra-se na
disposição das pétalas das rosas. Elas separam-se por ângulos que são partes
fraccionárias de Φ e essa disposição permite "arranjar" as pétalas de forma
compacta e maximizar a sua exposição à luz.
O número de Ouro na Natureza (curiosidades)
O mistério e o encanto que está associado a este número ultrapassa todo o
horizonte do que é humano!
- No corpo humano
Uma das áreas que Leonardo da Vinci estudou foi as proporções do corpo
humano e aqui uma vez mais temos a razão de ouro:
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As proporções do corpo humano contêm a relação de ouro. Neste caso pode-se
ver a simetria na face de um homem.
Baseado na razão de ouro, nos números de Fibonacci e nas dimensões médias
humanas, o arquitecto Le Corbusier construiu, em 1946, um esquema de
proporções relativas ao corpo humano chamado “Modulor”.
Trata-se duma sequência de medidas que Le Corbusier usou para encontrar
harmonia nas suas composições.
Já Leonardo Da Vinci estudou exaustivamente as proporções da forma humana
de onde resultou o famoso desenho onde o corpo humano se encontra inserido
na forma ideal do circulo e nas perfeitas proporções do quadrado.
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Este esquema foi construído com base no número de ouro.
- Nas plantas
A presença da razão áurea pode ser directa ou encontrar-se camuflada ou ainda
associada à sucessão de Fibonacci.
Nos girassóis da família Compositae as sementes formam dois conjuntos de
espirais logarítmicas com sentidos diferentes.
Cada conjunto tem um número de sementes e os dois conjuntos tem dois
números de sementes que são consecutivos de Fibonacci.
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O mesmo acontece com as pinhas
Podemos afirmar que o modelo de desenvolvimento das plantas pode ser
relacionada com os números de Fibonacci.
Existe, por exemplo, uma planta de nome Euforbia, que tem duas sépalas
grandes, três pequenas, cinco pétalas e oito estames.
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A sucessão de Fibonacci na Natureza
Já reparou que muitas flores têm 5 pétalas, que nós temos 2 mãos, cada uma
com 5 dedos e cada dedo se divide em 3 partes?
...e que o ananás tem 8 diagonais num sentido e 13 noutro?
Porque será que as margaridas têm geralmente 34, 55 ou 89 pétalas?
Coincidência ou não todos estes números fazem parte da sucessão de Fibonacci
(1,1,2,3,5,8,13,34,55,89), sequência onde cada termo (a partir do segundo) é a
soma dos dois precedentes.
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Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas
propriedades na Natureza. O modo como as sementes estão dispostas no centro
de diversas flores é um desses exemplos.
A natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos, na forma mais
eficiente possível formando espirais que tanto curvam para a esquerda como
para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direcção são
quase sempre números de Fibonacci .
Se desenharmos um rectângulo cujos lados tenham uma razão entre si igual ao
número de ouro (rectângulo de ouro), este pode ser dividido num quadrado e
noutro rectângulo de ouro.
Se unirmos os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter
uma espiral, chamada espiral dourada.
Na natureza há á espirais como esta, relacionadas com o número de ouro, como,
por exemplo, nos moluscos náuticos ou numa simples couve –flor.
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Geometria na Natureza
Há muito tempo que as manifestações da geometria têm intrigado muitas
pessoas. Na regularidade do crescimento das árvores, nas proporções do corpo
humano e dos animais, na frequência do nas cimento de coelhos, na forma da
concha da Nautilus, na regularidade do girassol aparece a razão áurea.
Crescimento em espiral da concha está relacionado com o número de
ouro.
A regularidade na espiral da pinha está relacionada com o
número de ouro.
A razão entre o comprimento da falange mais falanginha e da
falanginha mais falangeta é o número de ouro.
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Conclusão
Após a realização deste trabalho, constatou-se que a existência do número de
ouro é constatada em muitos exemplos da Natureza. . O corpo humano é de
facto uma ilustração notável e obvia da presença da regra de ouro. E como
vimos , quer no reino animal quer animal a sua presença é constante. Muito
ficou por dizer , pois decerto que novas descobertas se farão futuramente.
Construção elaborada no Sketchpad
Construimos um triângulo isósceles [ABC] . Os ângulos internos de vértices A
e B têm cada um 72º de amplitude . Depois construimos novos triângulos no
interior da figura, todos eles com dois ãngulos internos com 72º de amplitude.
Por fim desenhamos a espiral equiangular
m ABC = 72°
m CA = 10,06 cm
m AB = 6,22 cm
( m CA)
( m AB)
= 1,618
A
E
C
B
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Eis a espiral dourada que obtemos após esconder os triângulos:
Bibliografia
www. Educ.fc.pt/icm/icm99/icm17/curiosidouro.htm
www.educ.fac.ul,pt./icm/icm2002/icm203/números.htm
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