Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc
Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc
Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc
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Módulo 06<br />
<strong>Transformações</strong><br />
<strong>Lineares</strong> <strong>de</strong> R n <strong>em</strong> R m<br />
[Poole 209 a 223]<br />
<strong>Transformações</strong> lineares.<br />
Matriz da transformação.<br />
<strong>Transformações</strong> lineares el<strong>em</strong>entares <strong>em</strong> R2<br />
Projecção ortogonal.<br />
Reflexão.<br />
Rotação.<br />
Expansão.<br />
Contracção.<br />
<strong>Transformações</strong> lineares el<strong>em</strong>entares <strong>em</strong> R3<br />
Projecção ortogonal.<br />
Reflexão.<br />
Rotação.<br />
Expansão.<br />
Contracção.<br />
Composição <strong>de</strong> transformações lineares.<br />
Transformação linear inversa.<br />
<strong>Transformações</strong> afins<br />
Translação<br />
Matriz <strong>de</strong> rotação sobre um eixo arbitrário.<br />
Note b<strong>em</strong>, a leitura <strong>de</strong>stes<br />
apontamentos não dispensa <strong>de</strong> modo<br />
algum a leitura atenta da bibliografia<br />
principal da ca<strong>de</strong>ira<br />
Chama-se à atenção para a<br />
importância do trabalho pessoal a<br />
realizar pelo aluno resolvendo os<br />
probl<strong>em</strong>as apresentados na bibliografia,<br />
s<strong>em</strong> consulta prévia das soluções<br />
propostas, análise comparativa entre as<br />
suas resposta e a respostas propostas, e<br />
posterior exposição junto do docente <strong>de</strong><br />
todas as dúvidas associadas.
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
Transformação Linear. Matriz da Transformação.<br />
<br />
Ex<strong>em</strong>plo 1.<br />
n m<br />
1. Uma função T : R → R é uma transformação linear (ou<br />
uma função linear) se<br />
1. T( α u) = α T(<br />
u)<br />
, ou seja,<br />
, para todos os u e<br />
2. T ( u + v)<br />
= T(<br />
u)<br />
+ T(<br />
v)<br />
T( α u + βv)<br />
= α T(<br />
u)<br />
+ β T(<br />
v)<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 2 12-11-2007<br />
n<br />
v ∈ R e todos os escalares α e β .<br />
n<br />
2. Sendo A uma matriz m × n e u ∈ R , a transformação matricial<br />
n m<br />
T : R → R<br />
w = T ( u)<br />
= Au<br />
é uma transformação linear.<br />
n m<br />
3. Sendo T : R → R uma transformação linear e<br />
n<br />
u = u1 e1<br />
+ u2e2<br />
+ L + unen<br />
∈ R , existe uma (e só uma) matriz<br />
A = ( a ij)<br />
m×<br />
n tal que<br />
T( u ) = Au , ∀u<br />
∈ R<br />
, chamada matriz (canónica) da transformação, dada por<br />
A = [ T( e1)<br />
M T(<br />
e2)<br />
M L M T(<br />
en)<br />
] , <strong>em</strong> que T( e j)<br />
são matrizes<br />
coluna, resultantes da aplicação da transformação T a cada um<br />
n<br />
dos versores da base canónica <strong>de</strong> R , e j .<br />
1. A transformação w = T ( u)<br />
= Au é uma transformação linear, dado que<br />
os escalares α e β .<br />
T(<br />
αu<br />
+ βv)<br />
= A(<br />
αu<br />
+ βv)<br />
= A(<br />
αu)<br />
+ A(<br />
βv)<br />
= α(<br />
Au)<br />
+ β(<br />
Av)<br />
= α T(<br />
u)<br />
+ β T(<br />
v)<br />
⎡− 1 0⎤<br />
⎡1⎤<br />
⎡3⎤<br />
Por ex<strong>em</strong>plo, sendo A = ⎢ ⎥ u =<br />
⎣ 2 3<br />
⎢ ⎥ , v =<br />
⎦ ⎣2<br />
⎢ ⎥ , α = −1<br />
e β = 4 , t<strong>em</strong>os<br />
⎦ ⎣0⎦<br />
⎡− 1<br />
T(<br />
αu<br />
+ βv)<br />
= A(<br />
αu<br />
+ βv)<br />
= ⎢<br />
⎣ 2<br />
⎡− 1<br />
= ⎢<br />
⎣ 2<br />
⎡− 11⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣ 16⎦<br />
0⎤⎛<br />
⎡−<br />
1⎤<br />
⎡12⎤⎞<br />
⎡− 1<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
+ =<br />
3<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟<br />
⎢<br />
⎦⎝<br />
⎣−<br />
2⎦<br />
⎣ 0 ⎦⎠<br />
⎣ 2<br />
0⎤<br />
⎡ 11⎤<br />
3<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣−<br />
2⎦<br />
⎡− 1<br />
α T(<br />
u)<br />
+ β T(<br />
v)<br />
= αAu<br />
+ βAv<br />
= −1⎢<br />
⎣ 2<br />
0⎤⎡1⎤<br />
⎡− 1<br />
⎥⎢<br />
⎥ + 4<br />
3<br />
⎢<br />
⎦⎣2⎦<br />
⎣ 2<br />
0⎤⎡3⎤<br />
3<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎦⎣0⎦<br />
⎡− 1⎤<br />
⎡− 3⎤<br />
⎡ 1⎤<br />
⎡− 12⎤<br />
= −1⎢<br />
⎥ + 4⎢<br />
⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥<br />
⎣ 8⎦<br />
⎣ 6⎦<br />
⎣−<br />
8⎦<br />
⎣ 24⎦<br />
⎡− 11⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣ 16⎦<br />
n<br />
0⎤<br />
⎛ ⎡1⎤<br />
⎡3⎤<br />
⎞<br />
⎥<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
− 1 ⎢ ⎥ + 4<br />
3<br />
⎢ ⎥⎟<br />
⎦ ⎝ ⎣2⎦<br />
⎣0⎦<br />
⎠<br />
n<br />
u, R e todos<br />
∀ v ∈
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
2. Seja ( 1, 2)<br />
x x f =<br />
2 3<br />
w uma função <strong>de</strong> R → R , tal que<br />
w<br />
w<br />
w<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= x<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 3 12-11-2007<br />
1<br />
= 2x<br />
1<br />
= 3x<br />
1<br />
− x<br />
2<br />
+ 4x<br />
Adoptando a notação matricial, po<strong>de</strong>mos escrever<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡1<br />
0⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡x1<br />
⎤<br />
⎢<br />
w2<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
2 − 1<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣x2<br />
⎦<br />
⎣w3<br />
⎦ ⎣3<br />
4⎦<br />
e ainda<br />
w = Ax<br />
A função ( 1, 2)<br />
x x f = w consi<strong>de</strong>rada, sendo uma transformação matricial, é uma transformação<br />
linear, w = T ( x)<br />
= Ax , sendo a matriz da transformação<br />
⎡1<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
3<br />
2 3<br />
3. Em R e R é possível fazer uma representação geométrica simples do efeito da aplicação<br />
<strong>de</strong> uma transformação linear, quer se consi<strong>de</strong>re que os pares ou ternos or<strong>de</strong>nados são<br />
n<br />
representativos <strong>de</strong> pontos ou <strong>de</strong> vectores. Em R a interpretação do resultado da aplicação <strong>de</strong><br />
uma transformação linear é idêntica, <strong>em</strong>bora a sua representação geométrica não seja possível.<br />
2 2<br />
1. Seja T : R → R a transformação linear, w = T(<br />
x,<br />
y)<br />
T<strong>em</strong>os então<br />
0⎤<br />
− 1<br />
⎥<br />
⎥<br />
4⎥⎦<br />
2<br />
w = Au<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡1<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎣w2<br />
⎦ ⎣0<br />
w<br />
w<br />
1<br />
2<br />
0⎤⎡x⎤<br />
− 1<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎦⎣y<br />
⎦<br />
= T(<br />
x)<br />
= x<br />
= T(<br />
y)<br />
= −y<br />
Da aplicação da matriz da transformação<br />
⎡1<br />
A = ⎢<br />
⎣0<br />
0⎤<br />
− 1<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
a qualquer objecto <strong>de</strong> R resulta uma imag<strong>em</strong> que correspon<strong>de</strong> ao seu<br />
simétrico relativamente ao eixo dos xx<br />
2. Seja<br />
2<br />
2<br />
T( x,<br />
y)<br />
= ( x,<br />
− y)<br />
T : R → R a transformação linear, w = T(<br />
x,<br />
y)<br />
w = Au<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡cos(<br />
θ)<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎣w2<br />
⎦ ⎣sen(<br />
θ)<br />
<strong>em</strong> que θ é um ângulo medido no sentido directo.<br />
− sen( θ)<br />
⎤⎡x⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎦⎣y⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
Cada uma das colunas da matriz <strong>de</strong> transformação resulta<br />
da aplicação da transformação a cada um dos versores da<br />
2<br />
base canónica <strong>de</strong> R , e x e e y ,<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎤<br />
A = ⎢<br />
= x M<br />
sen( ) cos( )<br />
⎥<br />
⎣ θ θ ⎦<br />
T<strong>em</strong>os assim que<br />
e<br />
[ T( e ) T(<br />
e ) ]<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎤ ⎡1⎤<br />
T( ex)<br />
= ⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
cos( θ)<br />
⎦ ⎣0⎦<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
⎦<br />
T( ey<br />
)<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
= ⎢<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
⎡−<br />
=<br />
sen( θ)<br />
⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥<br />
⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 4 12-11-2007<br />
⎢<br />
⎣<br />
− sen( θ)<br />
⎤ ⎡0⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣1⎦<br />
Ambos os versores <strong>de</strong> 2<br />
R sofr<strong>em</strong> uma rotação <strong>de</strong> θ no<br />
sentido directo.<br />
Em resultado da aplicação <strong>de</strong> uma transformação com<br />
matiz <strong>de</strong> transformação<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
A = ⎢<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥<br />
⎦<br />
, todos os objectos do plano sofr<strong>em</strong> uma rotação <strong>de</strong> θ no sentido directo. A matriz é por isso<br />
2<br />
chamada matriz <strong>de</strong> rotação <strong>em</strong> R .<br />
y
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
<strong>Transformações</strong> <strong>Lineares</strong> El<strong>em</strong>entares <strong>em</strong> R 2 .<br />
4. Projecção ortogonal.<br />
Projecção ortogonal sobre o eixo dos xx.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
w2<br />
= 0<br />
Projecção ortogonal sobre o eixo dos yy.<br />
⎡1<br />
T = ⎢<br />
⎣0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= 0 ⎡0<br />
T =<br />
w2<br />
= y<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
5. Reflexão.<br />
1. Reflexão sobre o eixo dos xx.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
w2<br />
= −y<br />
⎡1<br />
T = ⎢<br />
⎣0<br />
0⎤<br />
− 1<br />
⎥<br />
⎦<br />
2. Reflexão sobre o eixo dos yy.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= −x<br />
w2<br />
= y<br />
⎡− 1<br />
T = ⎢<br />
⎣ 0<br />
0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
6. Rotação.<br />
Rotação <strong>de</strong> um ângulo θ no sentido directo.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x cos( θ)<br />
− y sen( θ)<br />
w2<br />
= x sen( θ)<br />
+ y cos( θ)<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
T = ⎢<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥<br />
⎦<br />
7. Contracção<br />
Contracção <strong>de</strong> um factor k ( 0 ≤ k < 1).<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= kx<br />
w2<br />
= ky<br />
⎡k<br />
T = ⎢<br />
⎣0<br />
0 ⎤<br />
k<br />
⎥<br />
⎦<br />
8. Expansão<br />
Expansão <strong>de</strong> um factor k ( k > 1).<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= kx<br />
w2<br />
= ky<br />
⎡k<br />
T = ⎢<br />
⎣0<br />
0<br />
⎤<br />
k<br />
⎥<br />
⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 5 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
<strong>Transformações</strong> <strong>Lineares</strong> El<strong>em</strong>entares <strong>em</strong> R 3 .<br />
9. Projecção ortogonal.<br />
Projecção ortogonal sobre plano xy.<br />
(Projecção ortogonal sobre o plano xz)<br />
(Reflexão sobre o plano xy)<br />
(Reflexão sobre o plano xz)<br />
(Rotação sobre o eixo dos xx, θ = 3π 4 )<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
w2<br />
= y<br />
w2<br />
= 0<br />
Projecção ortogonal sobre plano xz.<br />
⎡1<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥⎦<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
⎡1<br />
w2<br />
= 0<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
w2<br />
= z<br />
⎢⎣<br />
0<br />
Projecção ortogonal sobre plano yz.<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= 0<br />
w2<br />
= y<br />
w2<br />
= z<br />
10. Reflexão.<br />
Reflexão sobre o plano xy.<br />
⎡0<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
w2<br />
= y<br />
w2<br />
= −z<br />
⎡1<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
− 1⎥⎦<br />
Reflexão sobre o plano xz.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
w2<br />
= −y<br />
w2<br />
= z<br />
Reflexão sobre o plano yz.<br />
⎡1<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
− 1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= −x<br />
w2<br />
= y<br />
w2<br />
= z<br />
⎡− 1<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
11. Rotação.<br />
Rotação <strong>de</strong> um ângulo θ , no sentido directo, sobre o eixo dos xx.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x<br />
w2<br />
= y cos( θ)<br />
− z sen( θ)<br />
w3<br />
= y sen( θ)<br />
+ z cos( θ)<br />
⎡1<br />
T<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
cos( θ)<br />
sen( θ)<br />
0⎤<br />
− sen( θ)<br />
⎥<br />
⎥<br />
cos( θ)<br />
⎥⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 6 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
(Rotação sobre o eixo dos yy, θ = − π 4 )<br />
(Rotação sobre o eixo dos zz, θ = − 3π 4 )<br />
(Contracção, k = 0.<br />
5 )<br />
(Expansão, θ = 1.<br />
5 )<br />
Rotação <strong>de</strong> um ângulo θ , no sentido directo, sobre o eixo dos yy.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x cos( θ)<br />
+ z sen( θ)<br />
w2<br />
= y<br />
w3<br />
= −x<br />
sen( θ)<br />
+ z cos( θ)<br />
⎡ cos( θ)<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
− sen( θ)<br />
0<br />
1<br />
0<br />
sen( θ)<br />
⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
cos( θ)<br />
⎥⎦<br />
Rotação <strong>de</strong> um ângulo θ , no sentido directo, sobre o eixo dos zz.<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= x cos( θ)<br />
− y sen( θ)<br />
w2<br />
= x sen( θ)<br />
+ y cos( θ)<br />
w3<br />
= z<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
sen( θ)<br />
⎢⎣<br />
0<br />
− sen( θ)<br />
cos( θ)<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
12. Contracção<br />
Contracção <strong>de</strong> um factor k ( 0 ≤ k < 1).<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= kx<br />
w2<br />
= ky<br />
w2<br />
= kz<br />
⎡k<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
k<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
k⎥⎦<br />
13. Expansão<br />
Expansão <strong>de</strong> um factor k ( k > 1).<br />
Equações Matriz <strong>de</strong> Transformação<br />
w1<br />
= kx<br />
w2<br />
= ky<br />
w2<br />
= kz<br />
⎡k<br />
T =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
k<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
k⎥⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 7 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
Composição <strong>de</strong> <strong>Transformações</strong> <strong>Lineares</strong>.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 2.<br />
1. Sendo<br />
n<br />
14. Sendo T : R<br />
p<br />
p<br />
→ R e S : R<br />
m<br />
→ R transformações lineares, e<br />
n<br />
u ∈ R , a aplicação da transformação S à imag<strong>em</strong>,<br />
p<br />
∈ R ,<br />
n<br />
resultante da aplicação da transformação T a um objecto u ∈ R ,<br />
S ( T(<br />
u)) = ( S o T )( u)<br />
= ASAT<br />
u<br />
, é uma composição linear, chamada composta <strong>de</strong> S com T , cuja<br />
matriz <strong>de</strong> transformação é<br />
A So<br />
T = ASAT<br />
3 3<br />
T : R → R uma reflexão sobre o plano xz<br />
,<br />
3<br />
3<br />
⎡1<br />
w = T ( u)<br />
= A u =<br />
⎢<br />
T ⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 8 12-11-2007<br />
0<br />
− 1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
u<br />
1⎥⎦<br />
S : R → R uma rotação <strong>de</strong> θ = − π 2 sobre o eixo do zz<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
v = S ( w)<br />
= A w =<br />
⎢<br />
S ⎢<br />
sen( θ)<br />
⎢⎣<br />
0<br />
− sen( θ)<br />
cos( θ)<br />
3 3<br />
, U : R → R uma expansão <strong>de</strong> k = 1.<br />
5<br />
⎡1.<br />
5<br />
r = U<br />
( v)<br />
= A v =<br />
⎢<br />
U ⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1.<br />
5<br />
0⎤<br />
⎡ 0<br />
0<br />
⎥<br />
w =<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
− 1<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
v<br />
1.<br />
5⎥⎦<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
w<br />
1⎥⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
A composição <strong>de</strong> U com S com T , r = V ( u)<br />
= U(<br />
S(<br />
T(<br />
u))<br />
= ( U o S o T )( u)<br />
= AUAS<br />
AT<br />
u , é<br />
uma transformação linear, V<br />
3 3<br />
: R → R , com matriz <strong>de</strong> transformação<br />
AV<br />
= AUASA<br />
T<br />
⎡1.<br />
5<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1.<br />
5<br />
0<br />
0⎤⎡<br />
0<br />
0<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
− 1<br />
1.<br />
5⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0⎤⎡1<br />
0<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
0<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
− 1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1.<br />
5<br />
⎢⎣<br />
0<br />
− 1.<br />
5<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1.<br />
5⎥⎦<br />
, ou seja<br />
⎡ 0<br />
r = V ( u)<br />
= A u =<br />
⎢<br />
V ⎢<br />
− 1.<br />
5<br />
⎢⎣<br />
0<br />
− 1.<br />
5<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
u<br />
1.<br />
5⎥⎦<br />
Saliente-se que a composição <strong>de</strong> transformações lineares não é<br />
comutativa (basta aten<strong>de</strong>r ao facto <strong>de</strong> se tratar <strong>de</strong> um produto<br />
matricial).<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 9 12-11-2007<br />
0<br />
0
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
Transformação Linear Inversa.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 3.<br />
1. Sendo<br />
3<br />
3<br />
15. Sejam<br />
n<br />
T : R<br />
n<br />
→ R e<br />
n<br />
S : R<br />
n<br />
→ R duas transformações<br />
lineares. Diz<strong>em</strong>os que S e T são transformações inversas<br />
(uma da outra) se<br />
S o T = T o S = In<br />
−1<br />
, e escrev<strong>em</strong>os S = T e T<br />
−1<br />
= S .<br />
n<br />
16. Sendo T : R<br />
n<br />
→ R uma transformação linear invertível (i.e.<br />
−1 −1<br />
∃T<br />
: T T = In<br />
), a sua matiz <strong>de</strong> transformação é uma matriz<br />
invertível, e a matriz da transformação inversa é igual à inversa da<br />
matriz da transformação<br />
A −1 T<br />
−1<br />
= AT<br />
T : R → R uma rotação <strong>de</strong> θ = − π 2 sobre o eixo do zz<br />
w = T(<br />
u)<br />
= AT<br />
u<br />
⎡cos(<br />
− π 2)<br />
− sen( − π 2)<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
sen( − π 2)<br />
⎢⎣<br />
0<br />
cos( − π 2)<br />
0<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1<br />
⎢⎣<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
u<br />
1⎥⎦<br />
, a sua transformação inversa t<strong>em</strong> matriz <strong>de</strong> transformação<br />
u = T<br />
−1<br />
( w)<br />
= A<br />
−1<br />
−1<br />
w = A<br />
T<br />
T<br />
−1<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1<br />
⎢⎣<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
w<br />
⎡0 =<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
0<br />
− 1<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
w<br />
1⎥⎦<br />
⎡cos(<br />
π 2)<br />
− sen( π 2)<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
sen( π 2)<br />
⎢⎣<br />
0<br />
cos( π 2)<br />
0<br />
ou seja, como seria <strong>de</strong> esperar, uma rotação <strong>de</strong> θ = π 2 .<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 10 12-11-2007<br />
w<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
u<br />
1⎥⎦<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
w<br />
1⎥⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
<strong>Transformações</strong> Afins. Translação.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 4.<br />
1. A transformação afim<br />
17. Chamamos transformação afim <strong>de</strong><br />
transformação da forma<br />
S ( u ) = T(<br />
u)<br />
+ k<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 11 12-11-2007<br />
n<br />
m<br />
R → R a uma<br />
n m<br />
m<br />
, <strong>em</strong> que T é uma transformação linear <strong>de</strong> R → R e k ∈ R é<br />
um vector constante.<br />
(note b<strong>em</strong>: uma transformação afim não é uma transformação<br />
linear.)<br />
n n<br />
18. Uma transformação afim T : R → R da forma<br />
T ( u ) = Inu<br />
+ k<br />
, <strong>em</strong> que k = [ k 1,<br />
k2,<br />
L,<br />
kn<br />
] correspon<strong>de</strong> a uma translação <strong>de</strong> k i<br />
n<br />
unida<strong>de</strong>s segundo cada um dos versores, e i , <strong>de</strong> R .<br />
2<br />
T : R → R<br />
2<br />
⎡1<br />
0⎤<br />
⎡1⎤<br />
T ( u)<br />
= ⎢ ⎥u<br />
+ ⎢ ⎥<br />
⎣0<br />
1⎦<br />
⎣2⎦<br />
correspon<strong>de</strong> a uma translação <strong>de</strong> uma unida<strong>de</strong> segundo e x e <strong>de</strong> 2 unida<strong>de</strong>s segundo e y<br />
2. A transformação afim<br />
2<br />
T : R → R<br />
2<br />
⎡− 1 0⎤<br />
⎡0⎤<br />
T ( u)<br />
= ⎢ ⎥u<br />
+ ⎢ ⎥<br />
⎣ 0 1⎦<br />
⎣2⎦<br />
correspon<strong>de</strong> a uma reflexão sobre o eixo dos yy seguida <strong>de</strong> uma<br />
translação <strong>de</strong> 2 unida<strong>de</strong>s segundo e y .<br />
Por ex<strong>em</strong>plo, para o ponto ( 2,<br />
2)<br />
t<strong>em</strong>os<br />
⎡− 1 0⎤<br />
⎡2⎤<br />
⎡0⎤<br />
T(u)<br />
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥<br />
⎣ 0 1⎦<br />
⎣2⎦<br />
⎣2⎦<br />
⎡− 2⎤<br />
⎡0⎤<br />
= ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥<br />
⎣ 2⎦<br />
⎣2⎦<br />
⎡− 2⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣ 4⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
Exercícios.<br />
CALCULAR A IMAGEM DADA A MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO E O OBJECTO.<br />
1. Sendo<br />
a matriz da transformação linear<br />
T<strong>em</strong>os<br />
<br />
<br />
2<br />
⎡ 2<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1<br />
⎢⎣<br />
2<br />
3<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 12 12-11-2007<br />
2⎤<br />
− 1<br />
⎥<br />
⎥<br />
3⎥⎦<br />
T : R → R , <strong>de</strong>termine T (( 1,<br />
2))<br />
.<br />
⎡ 2<br />
w = Au =<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1<br />
⎢⎣<br />
2<br />
2⎤<br />
⎡ 6⎤<br />
⎥ ⎡1⎤<br />
− 1 =<br />
⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
− 3<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎣2<br />
3<br />
⎦<br />
⎦ ⎢⎣<br />
8⎥⎦<br />
A imag<strong>em</strong> do vector u = e1<br />
+ 2e2<br />
é o vector w = T ( u)<br />
= 6e1<br />
− 3e2<br />
+ 8e3<br />
.<br />
2. Sendo<br />
a matriz da transformação linear<br />
T<strong>em</strong>os<br />
>> A=[2 2; -1 -1;2 3];<br />
>> u=[1 2]';<br />
>> w=A*u<br />
w =<br />
6<br />
-3<br />
8<br />
3<br />
⎡−<br />
2<br />
A = ⎢<br />
⎣−<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎦<br />
T : R → R , <strong>de</strong>termine T (( 1,<br />
2,<br />
3))<br />
.<br />
⎡−<br />
2<br />
w = Au = ⎢<br />
⎣−<br />
1<br />
1<br />
2<br />
⎡1⎤<br />
2⎤<br />
⎢ ⎥ ⎡ 6 ⎤<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
⎥<br />
=<br />
3<br />
⎢ ⎥<br />
⎦<br />
⎢ ⎥<br />
⎣12⎦<br />
⎣3⎦<br />
A imag<strong>em</strong> do vector u = e1<br />
+ 2e2 + 3e3<br />
é o vector w = T ( u)<br />
= 6e1<br />
+ 12e2<br />
.<br />
3. Sendo<br />
a matriz da transformação linear<br />
>> A=[-2 1 2; -1 2 3];<br />
>> u=[1 2 3]';<br />
>> w=A*u<br />
w =<br />
6<br />
12<br />
3<br />
⎡−<br />
2<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1<br />
⎢⎣<br />
− 1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
T : R → R , <strong>de</strong>termine T (( 1,<br />
2,<br />
1))<br />
.
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
T<strong>em</strong>os<br />
<br />
<br />
⎡−<br />
2<br />
w = Au =<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 1<br />
⎢⎣<br />
− 1<br />
2⎤<br />
⎡1⎤<br />
⎡ 2⎤<br />
3<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
6<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
− 2⎥⎦<br />
A imag<strong>em</strong> do vector u = e1<br />
+ 2e2 + e3<br />
é o vector w = T ( u)<br />
= 2e1<br />
+ 6e2<br />
− 2e3<br />
.<br />
>> A=[-2 1 2; -1 2 3;-1 0 -1];<br />
>> u=[1 2 1]';<br />
>> w=A*u<br />
w =<br />
2<br />
6<br />
-2<br />
2 2<br />
4. Dada a transformação linear T : R → R , que consiste numa reflexão sobre o eixo do yy,<br />
seguida duma rotação <strong>de</strong> π 2 (no sentido directo) e duma projecção ortogonal sobre o eixo dos<br />
yy, <strong>de</strong>termine T (( 2,<br />
2))<br />
.<br />
Como vimos, a uma reflexão sobre o eixo dos yy correspon<strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong> transformação<br />
A 1<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 13 12-11-2007<br />
1<br />
2<br />
0<br />
⎡− 1<br />
= ⎢<br />
⎣ 0<br />
, a uma rotação <strong>de</strong> um ângulo θ no sentido directo correspon<strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong> transformação<br />
A 2<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
= ⎢<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
− sen( θ)<br />
⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥<br />
⎦<br />
, e a uma projecção ortogonal sobre o eixo dos yy correspon<strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong> transformação<br />
A 3<br />
⎡0<br />
= ⎢<br />
⎣0<br />
Sendo a transformação T uma composição das 3 transformações el<strong>em</strong>entares, t<strong>em</strong>os<br />
0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
w = T(<br />
u)<br />
= A3A2A1u<br />
⎡0<br />
= ⎢<br />
⎣0<br />
0⎤<br />
⎡cos(<br />
π 2)<br />
1<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣sen(<br />
π 2)<br />
− sen( π 2)<br />
⎤ ⎡− 1<br />
cos( π 2)<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ 0<br />
⎡0<br />
= ⎢<br />
⎣0<br />
0⎤<br />
⎡0 1<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣1<br />
− 1⎤<br />
⎡− 1<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ 0<br />
0⎤<br />
⎡2⎤<br />
1<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣2⎦<br />
⎡ 0<br />
= ⎢<br />
⎣−<br />
1<br />
⎡ 0⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣−<br />
2⎦<br />
0⎤<br />
⎡2⎤<br />
0<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣2⎦<br />
0⎤<br />
⎡2⎤<br />
1<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣2⎦<br />
>> A1=[-1 0;0 1];<br />
>> teta=pi/2;<br />
>> A2=[cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)];<br />
>> A3=[0 0;0 1];
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
>> A=A3*A2*A1<br />
A =<br />
0 0<br />
-1.0000 0.0000<br />
>> u=[2 2]';<br />
>> w=A*u<br />
w =<br />
0<br />
-2.0000<br />
5. Consi<strong>de</strong>re a seguinte matriz dos vértices <strong>de</strong> um triângulo <strong>em</strong><br />
T r<br />
⎡1<br />
= ⎢<br />
⎣2<br />
Determine a imag<strong>em</strong> final (os vértices) do triângulo quando é reflectido sobre o eixo do yy, e<br />
<strong>de</strong>pois rodado <strong>de</strong> π 2 no sentido directo.<br />
Dado que a uma reflexão sobre o eixo dos yy correspon<strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong> transformação<br />
A 1<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 14 12-11-2007<br />
3<br />
3<br />
⎡− 1<br />
= ⎢<br />
⎣ 0<br />
, e a uma rotação <strong>de</strong> um ângulo π 2 no sentido directo correspon<strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong><br />
transformação<br />
A matriz da transformação é<br />
A 2<br />
A = A2A1<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
= ⎢<br />
⎣sen(<br />
θ)<br />
2⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
− sen( θ)<br />
⎤ ⎡0 − 1⎤<br />
⎥ =<br />
cos( θ)<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣1<br />
0⎦<br />
⎡0 − 1⎤<br />
⎡− 1<br />
= ⎢ ⎥ ⎢<br />
⎣1<br />
0⎦<br />
⎣ 0<br />
0⎤<br />
⎡ 0<br />
⎥ =<br />
1<br />
⎢<br />
⎦ ⎣−<br />
1<br />
Dado que os vértices do triângulo correspon<strong>de</strong>m a vectores coluna correspon<strong>de</strong>ntes a cada uma<br />
das colunas da matriz r T<br />
T r<br />
⎡⎡v1⎤<br />
⎡v2⎤<br />
⎡v3⎤⎤<br />
= ⎢⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥<br />
⎣⎣<br />
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦<br />
, resulta que ao produto AT r correspon<strong>de</strong> uma matriz<br />
⎡ 0<br />
ATr<br />
= ⎢<br />
⎣−<br />
1<br />
− 1⎤<br />
⎡⎡v1⎤<br />
⎢<br />
0<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣⎣<br />
⎦<br />
⎡v2⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡v3⎤⎤<br />
⎢ ⎥⎥<br />
⎣ ⎦⎦<br />
⎡<br />
⎢<br />
= ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡v1⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡v1⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡v2⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡v2⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡ ⎡v1⎤<br />
= ⎢A⎢<br />
⎥<br />
⎣ ⎣ ⎦<br />
⎡v2⎤<br />
A⎢<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡v3⎤⎤<br />
A⎢<br />
⎥⎥<br />
⎣ ⎦⎦<br />
⎡⎡w1⎤<br />
= ⎢⎢<br />
⎥<br />
⎣⎣<br />
⎦<br />
⎡w2⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎡w3⎤⎤<br />
⎢ ⎥⎥<br />
⎣ ⎦⎦<br />
2<br />
R<br />
− 1⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
[ 0 − 1]<br />
[ 0 − 1]<br />
[ 0 − 1]<br />
[ − 1 0]<br />
[ − 1 0]<br />
[ − 1 0]<br />
⎡v3⎤⎤<br />
⎢ ⎥⎥<br />
⎣ ⎦⎥<br />
⎡v3⎤⎥<br />
⎢ ⎥⎥<br />
⎣ ⎦⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<strong>em</strong> que cada uma das colunas correspon<strong>de</strong> à imag<strong>em</strong> <strong>de</strong> cada um dos vértices do triângulo<br />
<br />
ATr<br />
⎡ 0<br />
= ⎢<br />
⎣−<br />
1<br />
⎡−<br />
2<br />
= ⎢<br />
⎣−<br />
1<br />
− 1⎤<br />
⎡1<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣2<br />
3<br />
3<br />
− 3<br />
− 3<br />
− 1⎤<br />
− 2<br />
⎥<br />
⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 15 12-11-2007<br />
2⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
>> teta=pi/2;<br />
>> A2=[cos(teta) -sin(teta);...<br />
sin(teta) cos(teta)];<br />
>> A=A2*A1;<br />
>> Tr=[1 3 2;2 3 1];<br />
>> A*Tr<br />
ans =<br />
-2.0000 -3.0000 -1.0000<br />
-1.0000 -3.0000 -2.0000<br />
VERIFICAR SE UMA IMAGEM PODE RESULTAR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR.<br />
6. Sendo<br />
⎡1<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
2<br />
a matriz da transformação linear<br />
2<br />
T : R<br />
3<br />
→ R , verifique se os vectores w 1 = ( 4,<br />
− 10,<br />
8)<br />
,<br />
2 ( 0,<br />
0)<br />
= w , ) 8 , 2 , 8 ( w 3 = − − , 4 ( 0,<br />
0,<br />
0)<br />
= w e ) 1 , 2 , 3 ( 5 = w pertenc<strong>em</strong> à imag<strong>em</strong> (ou<br />
contradomínio) <strong>de</strong> T .<br />
O vector 2 ( 0,<br />
0)<br />
=<br />
2<br />
w não pertence à imag<strong>em</strong> <strong>de</strong> T , dado que 2 R ∈ w e o contradomínio <strong>de</strong> T<br />
está contido <strong>em</strong><br />
3<br />
R . O vector 4 ( 0,<br />
0,<br />
0)<br />
= w pertence, dado que, para toda a transformação<br />
linear, a imag<strong>em</strong> do vector nulo é o vector nulo ( 0 = A0 ).<br />
Quanto aos vectores w 1 , 3 w e w 5 po<strong>de</strong>mos verificar se pertenc<strong>em</strong> à imag<strong>em</strong> <strong>de</strong> T <strong>de</strong><br />
diversos modos. Por ex<strong>em</strong>plo, e dado que A é a matriz a transformação, tendo <strong>em</strong> atenção que<br />
t<strong>em</strong>os<br />
⎡1<br />
w = Au =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
2<br />
− 3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
− 4⎥⎦<br />
− 3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
u<br />
− 4⎥⎦<br />
⎡1<br />
w<br />
⎢<br />
1 =<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
2<br />
− 3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
u1<br />
− 4⎥⎦<br />
⎡ 4⎤<br />
⎡1<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 10<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
8⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
2<br />
− 3⎤<br />
⎥ ⎡u1<br />
⎤<br />
3<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
− ⎥<br />
⎣u2<br />
4<br />
⎦<br />
⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
Resolvendo o sist<strong>em</strong>a<br />
<br />
>> A=[1 -3;2 3;0 -4];<br />
>> B=[4 -10 8]';<br />
>> rref([A B])<br />
ans =<br />
1 0 -2<br />
0 1 -2<br />
0 0 0<br />
, concluímos que o sist<strong>em</strong>a é possível, pelo que w 1 é uma imag<strong>em</strong> da transformação. Aliás<br />
(dado que o sist<strong>em</strong>a é possível e <strong>de</strong>terminado) po<strong>de</strong>mos mesmo concluir que u 1 = ( −2,<br />
− 2)<br />
é o<br />
objecto cuja imag<strong>em</strong> é w 1 .<br />
De modo idêntico t<strong>em</strong>os<br />
Resolvendo o sist<strong>em</strong>a<br />
<br />
<br />
⎡1<br />
w<br />
⎢<br />
3 =<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
2<br />
− 3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
u3<br />
− 4⎥⎦<br />
⎡−<br />
8⎤<br />
⎡1<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
− 8⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
2<br />
− 3⎤<br />
⎥ ⎡u1<br />
⎤<br />
3<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
− ⎥<br />
⎣u2<br />
4<br />
⎦<br />
⎦<br />
>> A=[1 -3;2 3;0 -4];<br />
>> B=[-8 2 -8]';<br />
>> rref([A B])<br />
ans =<br />
1 0 -2<br />
0 1 2<br />
0 0 0<br />
, concluímos que o sist<strong>em</strong>a é possível, pelo que w 3 é uma imag<strong>em</strong> da transformação<br />
( u 3 = ( −2,<br />
2)<br />
é o objecto cuja imag<strong>em</strong> é w 3 ).<br />
Por último, t<strong>em</strong>os<br />
Resolvendo o sist<strong>em</strong>a<br />
⎡1<br />
w<br />
⎢<br />
5 =<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
2<br />
⎡3⎤<br />
⎡1<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
2<br />
>> A=[1 -3;2 3;0 -4];<br />
>> B=[3 2 1]';<br />
− 3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
u5<br />
− 4⎥⎦<br />
− 3⎤<br />
⎥ ⎡u1<br />
⎤<br />
3<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
− ⎥<br />
⎣u2<br />
4<br />
⎦<br />
⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 16 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
>> rref([A B])<br />
ans =<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
, concluímos que o sist<strong>em</strong>a é impossível, pelo que w 3 não é uma imag<strong>em</strong> da transformação.<br />
Outro modo <strong>de</strong> abordar a questão seria <strong>de</strong>terminar o subespaço <strong>de</strong><br />
3<br />
R gerado pelas<br />
colunas da matriz da transformação. Ou seja, sendo 1 ( 1,<br />
2,<br />
2)<br />
= a e ) 4 , 3 , 3 ( a 2 = − − os<br />
vectores correspon<strong>de</strong>ntes às colunas da matriz da transformação, uma imag<strong>em</strong>, ( 1, 2)<br />
w w = w ,<br />
não é mais do que uma combinação linear <strong>de</strong>stes vectores, sendo os coeficientes as<br />
coor<strong>de</strong>nadas do objecto que lhe dá orig<strong>em</strong> ( 1, 2)<br />
u u = u<br />
w = u1a1<br />
+ u2a1<br />
⎡1<br />
− 3⎤<br />
⎡ ⎤<br />
w<br />
⎢ ⎥ u1<br />
=<br />
⎢<br />
2 3<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣u2<br />
⎦<br />
⎣2<br />
− 4⎦<br />
= Au<br />
O probl<strong>em</strong>a po<strong>de</strong> assim ser interpretado como um probl<strong>em</strong>a <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminação <strong>de</strong> um subespaço<br />
gerado por um conjunto <strong>de</strong> vectores. Resolvendo o sist<strong>em</strong>a<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡1<br />
− 3⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡u1<br />
⎤<br />
⎢<br />
w1<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
2 3<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣u2<br />
⎦<br />
⎣w1<br />
⎦ ⎣2<br />
− 4⎦<br />
, recorrendo ao método <strong>de</strong> Gauss-Jordan, resulta<br />
<br />
>> >> A=[1 -3;2 3;0 -4];<br />
>> B=[w1 w2 w3].'<br />
>> escalonar([ A B])<br />
[ 1, -3, w1]<br />
[ 2, 3, w2]<br />
[ 0, -4, w3]<br />
Passo 1:<br />
(-2)*L1 + L2 => L2<br />
[ 1, -3, w1]<br />
[ 0, 9, w2-2*w1]<br />
[ 0, -4, w3]<br />
Passo 2:<br />
(1/9)*L2 => L2<br />
[ 1, -3, w1]<br />
[ 0, 1, 1/9*w2-2/9*w1]<br />
[ 0, -4, w3]<br />
Passo 3:<br />
(3)*L2 + L1 ==> L1<br />
(4)*L2 + L3 ==> L3<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 17 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
[ 1, 0, 1/3*w1+1/3*w2]<br />
[ 0, 1, 1/9*w2-2/9*w1]<br />
[ 0, 0, w3+4/9*w2-8/9*w1]<br />
Concluímos que, para que o sist<strong>em</strong>a seja possível, <strong>de</strong>verá ser<br />
4 8<br />
w 3 + w2<br />
− w1<br />
9 9<br />
= 0 ⇔ 8w1<br />
− 4w2<br />
− 9w3<br />
= 0<br />
Fica assim <strong>de</strong>terminada a restrição do subespaço das imagens. Po<strong>de</strong>mos verificar que<br />
w = ( 4,<br />
− 10,<br />
8)<br />
e w = ( −8,<br />
2,<br />
− 8)<br />
verificam a restrição ( 8 × 4 − 4 × ( −10)<br />
− 9 × 8 = 0 e<br />
1<br />
3<br />
× ( −8)<br />
− 4 × 2 − 9 × ( −8)<br />
0 , e portanto pertenc<strong>em</strong> à imag<strong>em</strong> da transformação, mas<br />
8 =<br />
w ( 3,<br />
2,<br />
1)<br />
não verifica ( 0 1 9 2 4 3 8 ≠ × − × − × ), e portanto não pertence à imag<strong>em</strong>.<br />
5 =<br />
DETERMINAR A MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO DADOS UM CONJUNTO DE OBJECTOS E IMAGENS<br />
7. Determine as matrizes das transformações<br />
T1( x1,<br />
x2)<br />
= ( 2x1<br />
− x2,<br />
x1<br />
− 3x2)<br />
T2( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
= ( x1<br />
+ x2<br />
+ 2x3,<br />
x1<br />
− x2,<br />
x2<br />
− x3)<br />
T3( x1,<br />
x2,<br />
x3,<br />
x4)<br />
= ( x1<br />
+ 2x3,<br />
x1<br />
− x4,<br />
x2<br />
− x3,<br />
x1<br />
− 3x4)<br />
Conhecida a expressão analítica da transformação a <strong>de</strong>terminação da matriz da transformação é<br />
imediata. Para ( w1, w2)<br />
= T1(<br />
x1,<br />
x2)<br />
= ( 2x1<br />
− x2,<br />
x1<br />
− 3x2)<br />
t<strong>em</strong>os<br />
⎧w1<br />
= 2x1<br />
− x2<br />
⎨<br />
⎩w2<br />
= x1<br />
− 3x2<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡2<br />
− 1⎤<br />
⎡x1<br />
⎤<br />
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣w2<br />
⎦ ⎣1<br />
− 3⎦<br />
⎣x2<br />
⎦<br />
logo<br />
⎡2<br />
− 1⎤<br />
A 1 = ⎢ ⎥<br />
⎣1<br />
− 3⎦<br />
Proce<strong>de</strong>ndo <strong>de</strong> modo análogo, t<strong>em</strong>os para T2( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
= ( x1<br />
+ x2<br />
+ 2x3,<br />
x1<br />
− x2,<br />
x2<br />
− x3)<br />
⎡1<br />
1 2⎤<br />
A<br />
⎢ ⎥<br />
2 =<br />
⎢<br />
1 − 1 0<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
0 1 − 1⎥⎦<br />
e para T3( x1,<br />
x2,<br />
x3,<br />
x4)<br />
= ( x1<br />
+ 2x3,<br />
x1<br />
− x4,<br />
x2<br />
− x3,<br />
x1<br />
− 3x4)<br />
A<br />
3<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
=<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣1<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 18 12-11-2007<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
0<br />
− 1<br />
0<br />
0⎤<br />
− 1<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
− 3⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
2 3<br />
8. Dada a transformação linear T : R → R tal que T ( e1)<br />
= ( −1,<br />
2,<br />
0)<br />
e T ( e2)<br />
= ( 0,<br />
2,<br />
− 1)<br />
escreva a matriz da transformação.<br />
Sendo a matriz da transformação dada por A [ T e ) T(<br />
e ) ]<br />
a)<br />
b) c)<br />
d) e)<br />
= ( 1 2 , t<strong>em</strong>os <strong>de</strong> imediato<br />
⎡−<br />
1<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
− 1⎥⎦<br />
9. Diga quais das imagens, <strong>de</strong> b) a d), são compatíveis com uma transformação linear do<br />
objecto da figura a) e <strong>de</strong>termine as transformações lineares correspon<strong>de</strong>ntes.<br />
Dados um vector u e um vector v com a mesma direcção <strong>de</strong><br />
u , v = ku<br />
, e sendo a imag<strong>em</strong> <strong>de</strong> u o vector w = Au ,<br />
t<strong>em</strong>os<br />
z = Av<br />
= Aku<br />
= kAu<br />
= kw<br />
n n<br />
Numa transformação linear T : R → R , vectores<br />
paralelos têm por imag<strong>em</strong> vectores paralelos, pelo que é<br />
imediato reconhecer que a imag<strong>em</strong> b) não resulta duma<br />
transformação linear do objecto a).<br />
n n<br />
Numa transformação linear T : R → R a imag<strong>em</strong> do<br />
vector nulo é o vector nulo, w = A0 = 0 , pelo que é<br />
imediato reconhecer que as imagens c) e d) não resultam<br />
duma transformação linear do objecto a).<br />
Aten<strong>de</strong>ndo à imag<strong>em</strong> e), dado que<br />
T(<br />
e1)<br />
= T(<br />
1,<br />
0)<br />
= T(<br />
2,<br />
1)<br />
T(<br />
e ) = T(<br />
0,<br />
1)<br />
= T(<br />
−1,<br />
2)<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 19 12-11-2007<br />
2<br />
2 2<br />
, e sendo a matriz da transformação linear T : R → R dada<br />
por A = [ T(<br />
e1)<br />
T(<br />
e2)<br />
] , t<strong>em</strong>os <strong>de</strong> imediato<br />
⎡2 − 1⎤<br />
A = ⎢ ⎥<br />
⎣1<br />
2⎦<br />
A transformação linear <strong>em</strong> causa é, portanto,<br />
T ( x1,<br />
x2)<br />
= ( 2x1<br />
− x2,<br />
x1<br />
+ 2x2)<br />
Por ex<strong>em</strong>plo, para a diagonal do quadrado, t<strong>em</strong>os<br />
w<br />
= Au<br />
⎡2 − 1⎤<br />
⎡1⎤<br />
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣1<br />
2⎦<br />
⎣1⎦<br />
⎡1⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣3⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
2 2<br />
10. Consi<strong>de</strong>re a transformação linear T : R → R que transforma o paralelogramo da figura<br />
a) no paralelogramo da figura b). Qual das seguintes matrizes po<strong>de</strong> ser a matriz da<br />
transformação <strong>em</strong> causa<br />
a)<br />
b)<br />
⎡ 2 3 0⎤<br />
⎡2<br />
− 1 2⎤<br />
⎡1<br />
− 1 3⎤<br />
⎡2<br />
3 − 1 3⎤<br />
A 1 = ⎢ ⎥ A 2 =<br />
⎣−<br />
1 3 − 1<br />
⎢ ⎥ A 3 =<br />
⎦ ⎣3<br />
− 3 2<br />
⎢ ⎥ A 4 =<br />
⎦ ⎣2<br />
− 4 3<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣ 0 − 1⎦<br />
<br />
Basta aten<strong>de</strong>r a que<br />
T ( 0,<br />
2)<br />
= T(<br />
−1,<br />
−<br />
Ora, sendo<br />
⎡0⎤<br />
⎡0⎤<br />
⎡−<br />
1⎤<br />
T ( 0,<br />
2)<br />
= A ⎢ ⎥ = A 2 ⎢ ⎥ = A 2e2<br />
= 2Ae2<br />
= 2T(<br />
e2)<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣2⎦<br />
⎣1⎦<br />
⎣−<br />
3⎦<br />
, t<strong>em</strong>os<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 20 12-11-2007<br />
3)<br />
⎡−<br />
1 2⎤<br />
T ( e2)<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣−<br />
3 2⎦<br />
, pelo que, das matrizes candidatas a única que po<strong>de</strong> ser a matriz da<br />
transformação <strong>em</strong> causa é a matriz A 2 .<br />
Escolhendo dois vectores linearmente in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, por ex<strong>em</strong>plo,<br />
1 ( 0,<br />
2)<br />
= u e ) 4 , 2 ( 2 = u , t<strong>em</strong>os ) 3 , 1 ( ) ( w1 , pelo que, sendo<br />
= T u1<br />
= − − e w2 = T ( u2)<br />
= ( 2,<br />
0)<br />
Genericamente<br />
⎡−<br />
1<br />
⎢<br />
⎣−<br />
3<br />
>> u1=[0 2]';<br />
>> u2=[2 4]';<br />
>> w1=[-1 -3]';<br />
>> w2=[ 2 0]';<br />
>> A=[w1 w2]*inv([u1 u2])<br />
A =<br />
2 -1/2<br />
3 -3/2<br />
w = Au<br />
[ w w ] = A[<br />
u u ]<br />
1<br />
⎡−<br />
1<br />
⎢<br />
⎣−<br />
3<br />
2⎤<br />
⎡0<br />
= A<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣2<br />
2⎤<br />
⎡0<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣2<br />
−1<br />
2⎤<br />
⎥ = A<br />
4⎦<br />
⎡2<br />
⎢<br />
⎣3<br />
− 1 2⎤<br />
⎥ = A<br />
− 3 2⎦<br />
2<br />
1<br />
2⎤<br />
4<br />
⎥<br />
⎦<br />
[ ][ ] 1 −<br />
w w u<br />
A = u<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
MatLab. <strong>Transformações</strong> <strong>Lineares</strong> <strong>em</strong> R 2 e R 3 .<br />
TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM 2D<br />
1. Vamos começar por ver alguns procedimentos gráficos básicos.<br />
Representação do ponto ( x , y)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
figure(1);clf<br />
x=[2 2];<br />
plot(x(1),x(2),'*k');<br />
Representação do conjunto <strong>de</strong> pontos ( x 1 , y1)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
,<br />
( x 2 , y2)<br />
= ( 2,<br />
3)<br />
, ( x 3 , y3)<br />
= ( 3,<br />
3)<br />
, ( x 4 , y4<br />
) = ( 3,<br />
2)<br />
figure(2);clf<br />
x1=[2 2];<br />
x2=[2 3];<br />
x3=[3 3];<br />
x4=[3 2];<br />
X=[x1;x2;x3;x4]<br />
plot(X(:,1),X(:,2),'*k');<br />
axis([ -1 4 -1 4])<br />
axis square<br />
Representação do conjunto <strong>de</strong> pontos no interior do quadrado <strong>de</strong><br />
vértices ( x 1 , y1)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
, ( x 2 , y2)<br />
= ( 2,<br />
3)<br />
, ( x 3 , y3)<br />
= ( 3,<br />
3)<br />
,<br />
( x 4 , y4<br />
) = ( 3,<br />
2)<br />
figure(3);clf<br />
x1=[2 2]; x2=[2 3]; x3=[3 3]; x4=[3 2];<br />
X=[x1;x2;x3;x4]<br />
patch(X(:,1), X(:,2),[0.48 0.79 0.88]);<br />
axis([ -1 4 -1 4])<br />
grid on<br />
axis square<br />
Representação do conjunto <strong>de</strong> pontos no interior da circunferência<br />
<strong>de</strong> centro ( x , y)<br />
= ( 1.<br />
5,<br />
2)<br />
e raio 0 . 5<br />
figure(4);clf<br />
U = scircle1(1.5,2,0.5);<br />
patch(U(:,1), U(:,2),'r');<br />
axis([ -1 4 -1 4])<br />
grid on<br />
axis square<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 21 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
2. Como vimos, da aplicação da transformação linear,<br />
a qualquer objecto <strong>de</strong><br />
ao eixo dos yy<br />
w = Ax<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡− 1<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎣w2<br />
⎦ ⎣ 0<br />
0⎤⎡x⎤<br />
1<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎦⎣y<br />
⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 22 12-11-2007<br />
2<br />
2<br />
T : R → R , w = T(<br />
x,<br />
y)<br />
2<br />
R resulta uma imag<strong>em</strong> que correspon<strong>de</strong> ao seu simétrico relativamente<br />
w = T( x,<br />
y)<br />
= ( −x,<br />
y)<br />
Aplicando a transformação ao ponto x = ( x,<br />
y)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
, resulta a imag<strong>em</strong> w = ( w,<br />
z)<br />
= ( −2,<br />
2)<br />
[ ] T<br />
2 2<br />
figure(5);clf<br />
x=[2 2]'<br />
A = [-1 0; 0 1] % REFLEXÃO Y<br />
w=A*x<br />
hold on<br />
plot(x(1),x(2),'*k');<br />
plot(w(1),w(2),'*r');<br />
hold off<br />
axis([ -4 4 -4 4])<br />
Note que o ponto é representado por uma matriz coluna,<br />
x = , resultando, por aplicação da transformação, a imag<strong>em</strong><br />
⎡− 2⎤<br />
⎡− 1 0⎤<br />
⎡2⎤<br />
w = Ax = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣ 2⎦<br />
⎣ 0 1⎦<br />
⎣2⎦<br />
Aplicando a transformação ao conjunto <strong>de</strong> pontos ( x 1 , y1)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
, ( x 2 , y2)<br />
= ( 2,<br />
3)<br />
,<br />
( x 3 , y3)<br />
= ( 3,<br />
3)<br />
, ( x 4 , y4<br />
) = ( 3,<br />
2)<br />
, resulta o conjunto <strong>de</strong> imagens ( w 1,<br />
z1)<br />
= ( −2,<br />
2)<br />
,<br />
( w 2,<br />
z2)<br />
= ( −2,<br />
3)<br />
, ( w 3,<br />
z3<br />
) = ( −3,<br />
3)<br />
, ( w 4,<br />
z4<br />
) = ( −3,<br />
2)<br />
,<br />
figure(6);clf<br />
x1=[2 2]'; x2=[2 3]'; x3=[3 3]'; x4=[3 2]';<br />
X=[x1 x2 x3 x4]<br />
T = [-1 0; 0 1] %REFLEXÃO Y<br />
W=T*X<br />
hold on<br />
plot(X(1,:),X(2,:),'*k');<br />
plot(W(1,:),W(2,:),'*r');<br />
axis([ -4 4 -4 4])<br />
hold off<br />
Note que cada um dos pontos foi representado por uma matriz coluna [ ] T<br />
x i = xi<br />
yi<br />
. A matriz<br />
X é uma matriz <strong>de</strong> 2 × 4 <strong>em</strong> que cada uma colunas correspon<strong>de</strong> a cada um dos pontos objecto.<br />
Por aplicação da transformação, obt<strong>em</strong>os a matriz W , 2 × 4 , <strong>em</strong> que cada uma das colunas<br />
correspon<strong>de</strong> a cada um dos pontos imag<strong>em</strong><br />
w<br />
1<br />
⎡− 2 − 2 − 3 − 3⎤<br />
⎡− 1<br />
= ⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎣ 2 3 3 2⎦<br />
⎣ 0<br />
0⎤<br />
⎡2<br />
1<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
3. Como vimos, resulta da aplicação da transformação linear,<br />
w = Ax<br />
⎡w1<br />
⎤ ⎡cos(<br />
θ)<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎣w2<br />
⎦ ⎣sen(<br />
θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎤⎡x⎤<br />
cos( θ)<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎦⎣y<br />
⎦<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 23 12-11-2007<br />
2<br />
2<br />
T : R → R , w = T(<br />
x,<br />
y)<br />
que todos os objectos do plano sofr<strong>em</strong> uma rotação <strong>de</strong> θ no sentido directo.<br />
Consi<strong>de</strong>rando, por ex<strong>em</strong>plo, θ = π 4 , e aplicando a transformação ao ponto x = ( x,<br />
y)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
,<br />
resulta a imag<strong>em</strong><br />
w = Ax<br />
⎡cos(<br />
π 4)<br />
− sen( π 4)<br />
⎤ ⎡− 2⎤<br />
= ⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣sen(<br />
π 4)<br />
cos( π 4)<br />
⎦ ⎣ 2⎦<br />
⎡ 2 2 − 2 2⎤<br />
⎡2⎤<br />
⎡1 − 1⎤<br />
⎡2⎤<br />
⎡0⎤<br />
= ⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ = 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 2 2 ⎢ ⎥<br />
⎣ 2 2 2 2⎦<br />
⎣2⎦<br />
⎣1<br />
1⎦<br />
⎣2⎦<br />
⎣4⎦<br />
⎡ 0 ⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣2<br />
2⎦<br />
figure(7);clf<br />
x=[2 2]'<br />
teta=pi/4;<br />
A = [cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)];<br />
w=A*x<br />
hold on<br />
plot(x(1),x(2),'*k');<br />
plot(w(1),w(2),'*r');<br />
axis([ -1 4 -1 4])<br />
hold off<br />
Na aplicação da transformação ao conjunto <strong>de</strong> pontos ( x 1 , y1)<br />
= ( 2,<br />
2)<br />
, ( x 2 , y2)<br />
= ( 2,<br />
3)<br />
,<br />
( x 3 , y3)<br />
= ( 3,<br />
3)<br />
, ( x 4 , y4<br />
) = ( 3,<br />
2)<br />
figure(8);clf<br />
x1=[2 2]'; x2=[2 3]'; x3=[3 3]'; x4=[3 2]';<br />
X=[x1 x2 x3 x4]<br />
teta=pi/4;<br />
A = [cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)];<br />
W=A*X<br />
hold on<br />
plot(X(1,:),X(2,:),'*k');<br />
plot(W(1,:),W(2,:),'*r');<br />
axis square; axis equal<br />
axis([ -1 4 0 5]); hold off<br />
, ou a qualquer outro conjunto <strong>de</strong> pontos - consi<strong>de</strong>r<strong>em</strong>os por ex<strong>em</strong>plo o caso do quadrado
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
figure(9); clf<br />
x1=[2 2]'; x2=[2 3]'; x3=[3 3]'; x4=[3 2]';<br />
X=[x1 x2 x3 x4]<br />
teta=pi/4;<br />
A = [cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)]<br />
W=A*X<br />
hold on<br />
patch(X(1,:), X(2,:),'c');<br />
patch(W(1,:), W(2,:),'r');<br />
axis([ -1 4 0 5]); axis square; axis equal<br />
hold off<br />
e do círculo, visto anteriormente,<br />
figure(10);clf<br />
X = scircle1(1.5,2,0.5);<br />
X=X'<br />
teta=pi/4;<br />
A = [cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)]<br />
W=A*X<br />
hold on<br />
patch(X(1,:), X(2,:),'c');<br />
patch(W(1,:), W(2,:),'r');<br />
axis([ -2 3 -1 4]);axis square; hold off<br />
O princípio a seguir é o mesmo:<br />
A matriz dos objectos, X , é uma matriz <strong>de</strong> 2 × n <strong>em</strong> que cada uma colunas correspon<strong>de</strong> a cada<br />
um dos pontos objecto, ( i, i)<br />
y x . Por aplicação da transformação , W = AX , obt<strong>em</strong>os a matriz<br />
W , 2 × n , <strong>em</strong> que cada uma das colunas correspon<strong>de</strong> a cada um dos pontos imag<strong>em</strong>, ( i, i)<br />
z w ,<br />
w<br />
1<br />
⎡w<br />
= ⎢<br />
⎣z<br />
1<br />
1<br />
w<br />
z<br />
2<br />
1<br />
L<br />
L<br />
wn<br />
⎤ ⎡cos(<br />
θ)<br />
⎥ =<br />
z<br />
⎢<br />
n ⎦ ⎣sen(<br />
θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎤ ⎡x<br />
cos( θ)<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣y<br />
4. A aplicação <strong>de</strong> sucessivas transformações lineares a um <strong>de</strong>terminado objecto é trivial, dado<br />
que, como vimos, consiste na sucessiva multiplicação das imagens pelas matrizes das<br />
transformações.<br />
Por ex<strong>em</strong>plo, consi<strong>de</strong>r<strong>em</strong>os o conjunto <strong>de</strong> pontos no interior da circunferência <strong>de</strong> centro<br />
( x , y)<br />
= ( 0,<br />
2)<br />
e raio 0 . 5 , e a transformação linear resultante da composição <strong>de</strong> 9 rotações com<br />
θ = π 5 . A figura mostra os sucessivos objectos imag<strong>em</strong> resultantes<br />
figure(11);clf<br />
X = scircle1(0,2,0.5);<br />
% Objectos<br />
X=X';<br />
patch(X(1,:), X(2,:),[0 0.79 0.88]);<br />
axis([ -3 3 -3 3]); axis square;<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 24 12-11-2007<br />
1<br />
1<br />
x<br />
y<br />
2<br />
1<br />
L<br />
L<br />
x<br />
y<br />
n<br />
n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
hold on<br />
teta=pi/5;<br />
T = [cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)];<br />
% Imagens resultantes da 1ª transformação<br />
Y=T*X;<br />
patch(Y(1,:), Y(2,:),[1/10 0.79 0.88]);<br />
for i=2:9<br />
% Imagens resultantes das sucessivas<br />
% transformações<br />
Y=T*Y;<br />
patch(Y(1,:), Y(2,:),[i/10 0.79 0.88]);<br />
end<br />
hold off<br />
5. Po<strong>de</strong>mos induzir facilmente a sensação <strong>de</strong> movimento <strong>de</strong> um objecto sobre o plano.<br />
Reproduza o código seguinte e observe o resultado.<br />
close all; figure(12);clf<br />
axis([ -3 3 -3 3]); axis off<br />
x = scircle1(0,2,0.5);<br />
x=x';<br />
teta=pi/100;<br />
T = [cos(teta) -sin(teta) ; ...<br />
sin(teta) cos(teta)];<br />
for i=0:1000<br />
x=T*x;<br />
h=patch(x(1,:), x(2,:),'r');<br />
pause(0.01);<br />
<strong>de</strong>lete(h);<br />
end<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 25 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM 3D<br />
6. Vamos começar por ver alguns procedimentos gráficos básicos.<br />
Representação do ponto ( x , y,<br />
z)<br />
= ( 2,<br />
0,<br />
2)<br />
figure(1);clf<br />
x = 2;<br />
y = 0;<br />
z = 2;<br />
plot3(x,y,z,'k*')<br />
axis([0 2 0 2 0 2]); grid on; view(126,16)<br />
Representação do conjunto <strong>de</strong> pontos ( x 1 , y1,<br />
z1)<br />
= ( 2,<br />
0,<br />
0)<br />
,<br />
( x 1 , y1,<br />
z1)<br />
= ( 2,<br />
0,<br />
2)<br />
, ( x 1 , y1,<br />
z1)<br />
= ( 0,<br />
2,<br />
0)<br />
e ( x 1 , y1,<br />
z1)<br />
= ( 0,<br />
2,<br />
2)<br />
.<br />
figure(2);clf<br />
x1=[2 0 0]'; x2=[2 0 2]'; x3=[0 2 0]'; x4=[0 2 2]';<br />
X=[x1 x2 x3 x4]<br />
plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'*k');<br />
axis([ 0 4 0 4 0 4]); axis square; grid on;<br />
view(135,30)<br />
Representação <strong>de</strong> uma esfera <strong>de</strong> raio unitário centrada na orig<strong>em</strong>.<br />
figure(3);clf; hold on<br />
[x,y,z] = sphere(20);<br />
h=surf(x,y,z,...<br />
'FaceColor','c',...<br />
'EdgeColor','k');<br />
axis([-1 1 -1 1 -1 1]); grid on; axis square<br />
view(112,27);<br />
ou<br />
figure(4);clf; hold on<br />
[x,y,z] = sphere(40);<br />
h=surf(x,y,z,...<br />
'FaceColor','c',...<br />
'EdgeColor','n');<br />
camlight; lighting gouraud;<br />
axis([-2 2 -2 2 -2 2]); grid on; axis square<br />
view(112,27)<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 26 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
Representação do conjunto <strong>de</strong> segmentos correspon<strong>de</strong>ntes às<br />
arestas <strong>de</strong> um cubo <strong>de</strong> volume unitário<br />
figure(5);clf<br />
x1=0; y1=0; z1=0;<br />
x2=1; y2=1; z2=1;<br />
C = [x1 x2 x2 x1 x1 x1 x2 x2 x1 x1 x2 x2 x2 x2 x1 x1 ;...<br />
y1 y1 y2 y2 y1 y1 y1 y2 y2 y1 y1 y1 y2 y2 y2 y2 ;...<br />
z1 z1 z1 z1 z1 z2 z2 z2 z2 z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1];<br />
plot3(C(1,:),C(2,:),C(3,:),'k','linewidth',2)<br />
grid on; view(128,30); ;axis equal; axis([0 2 0 2 0 2]);<br />
A matriz C contém o conjunto <strong>de</strong> ternos or<strong>de</strong>nados <strong>de</strong><br />
3<br />
R correspon<strong>de</strong>ntes aos vértices<br />
adjacentes do cubo.<br />
Definição <strong>de</strong> uma função (“cubeA”) que <strong>de</strong>volve os vértices e as faces <strong>de</strong> um cubo<br />
function [M N]=cubeA(coord,dim)<br />
x0=coord(1); y0=coord(2); z0=coord(3);<br />
dx=dim(1); dy=dim(2); dz=dim(3);<br />
M=[ [x0 y0 z0 ];<br />
[x0+dx y0 z0 ]; ...<br />
[x0+dx y0+dy z0 ]; ...<br />
[x0 y0+dy z0 ]; ...<br />
[x0 y0 z0+dz]; ...<br />
[x0+dx y0 z0+dz]; ...<br />
[x0+dx y0+dy z0+dz]; ...<br />
[x0 y0+dy z0+dz]];<br />
N=[ [1 2 6 5];...<br />
[2 3 7 6];...<br />
[3 4 8 7];...<br />
[4 1 5 8];...<br />
[1 2 3 4];...<br />
[5 6 7 8] ];<br />
Representação <strong>de</strong> um cubo, utilizando a função “cubeA”<br />
figure(6);clf; hold on<br />
axis([0 2 0 2 0 2]);axis square; grid on; view(125,30)<br />
fvc = [1 1 0;1 0 1;0 1 1;1 0 0;0 1 0;0 0 1];<br />
[M N]=cubeA([0 0 0],[1 1 1]);<br />
hc=patch('Vertices' ,M,...<br />
'Faces' ,N,...<br />
'FaceVertexCData',fvc,...<br />
'FaceColor','flat',...<br />
'FaceAlpha',0.7,...<br />
'EdgeColor','k',...<br />
'EdgeAlpha',1);<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 27 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
3 3<br />
7. Para po<strong>de</strong>rmos aplicar uma transformação linear T : R → R a um conjunto <strong>de</strong> pontos<br />
(ternos or<strong>de</strong>nados) <strong>de</strong>volvidos pelas funções 3D pré-<strong>de</strong>finidas <strong>em</strong> MatLab (como, por ex<strong>em</strong>plo,<br />
[x,y,z] = sphere(n) ), é necessária uma nota prévia sobre a estrutura dos dados.<br />
Consi<strong>de</strong>r<strong>em</strong>os por ex<strong>em</strong>plo a função R → R<br />
2<br />
f :<br />
z = f(<br />
x,<br />
y)<br />
= 3xe<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 28 12-11-2007<br />
2<br />
( −x<br />
−y<br />
Se pretendêss<strong>em</strong>os fazer a sua representação <strong>em</strong> MatLab seria necessário começar por<br />
x ∈ − 2,<br />
2 e<br />
especificar o domínio <strong>de</strong> variação das variáveis x e y . Seja, por ex<strong>em</strong>plo<br />
∈ [ − 2,<br />
2]<br />
[ ]<br />
y e cri<strong>em</strong>os, para cada uma das variáveis, um vector com 5 valores <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>stes<br />
intervalos<br />
>> x=-2:1:2<br />
x =<br />
-2 -1 0 1 2<br />
>> y=-2:1:2<br />
y =<br />
-2 -1 0 1 2<br />
De seguida, é necessário criar, com a função meshgrid(x,y), duas matrizes, que neste caso<br />
seriam 5x5, <strong>em</strong> que estes vectores são replicados, dando assim orig<strong>em</strong> a 25 pares or<strong>de</strong>nados<br />
equiespaçados no plano xy (a figura mostra um ex<strong>em</strong>plo com 21x21 pares or<strong>de</strong>nados)<br />
>> [X,Y] = meshgrid(x,y)<br />
X =<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-2 -1 0 1 2<br />
Y =<br />
-2 -2 -2 -2 -2<br />
-1 -1 -1 -1 -1<br />
0 0 0 0 0<br />
1 1 1 1 1<br />
2 2 2 2 2<br />
Note-se que os pares or<strong>de</strong>nados não estão dispostos numa matriz linha (ou coluna) como seria<br />
mais natural<br />
⎡x<br />
⎢<br />
⎣y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
y<br />
2<br />
2<br />
x<br />
y<br />
3<br />
3<br />
, mas sim sobre duas matrizes quadradas.<br />
Continuando com a representação da função z = f(<br />
x,<br />
y)<br />
, vamos agora fazer o cálculo do seu<br />
valor para cada um dos pares ( x , y)<br />
L<br />
L<br />
2<br />
)<br />
xn<br />
⎤<br />
y<br />
⎥<br />
n ⎦<br />
>> Z = 3*X .* exp(-X.^2 - Y.^2);<br />
>> Z =<br />
-0.0020 -0.0202 0 0.0202 0.0020<br />
-0.0404 -0.4060 0 0.4060 0.0404
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
-0.1099 -1.1036 0 1.1036 0.1099<br />
-0.0404 -0.4060 0 0.4060 0.0404<br />
-0.0020 -0.0202 0 0.0202 0.0020<br />
, ficando assim com o conjunto <strong>de</strong> ternos or<strong>de</strong>nados ( x , y,<br />
z)<br />
que nos<br />
permite fazer a representação 3D<br />
surf(X,Y,Z)<br />
Admita que se preten<strong>de</strong> aplicar uma transformação linear ao<br />
conjunto <strong>de</strong> pontos ( x , y,<br />
z)<br />
, por ex<strong>em</strong>plo, correspon<strong>de</strong>nte a uma simetria relativamente ao<br />
plano xy<br />
w = T(<br />
u)<br />
= Au<br />
⎡x′<br />
⎤ ⎡1<br />
0 0⎤<br />
⎡x⎤<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢<br />
y′<br />
⎥ ⎢<br />
0 1 0<br />
⎥ ⎢<br />
y<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
z′<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0 0 − 1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
z⎥⎦<br />
Para obtermos o conjunto <strong>de</strong> imagens é necessário reposicionar as coor<strong>de</strong>nadas dos pontos<br />
objecto, que estão distribuídas por 3 matrizes 5x5, numa matriz 3x25 <strong>em</strong> que cada coluna<br />
correspon<strong>de</strong> a terno or<strong>de</strong>nado<br />
⎡ x1<br />
⎢<br />
⎢<br />
xn+<br />
X =<br />
⎢ M<br />
⎢<br />
⎣ xm<br />
1<br />
x<br />
2<br />
O<br />
L<br />
L<br />
O<br />
x<br />
x<br />
n<br />
M<br />
m×<br />
n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡ y1<br />
y2<br />
L yn<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
= ⎢<br />
yn+<br />
1 O M<br />
Y ⎥ ⇒<br />
⎢ M O ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ ym<br />
L ym×<br />
n ⎦<br />
⎡ z1<br />
⎢<br />
⎢<br />
zn+<br />
Z =<br />
⎢ M<br />
⎢<br />
⎣ zm<br />
1<br />
z<br />
2<br />
O<br />
L<br />
L<br />
O<br />
z<br />
z<br />
n<br />
M<br />
m×<br />
n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡x<br />
U =<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢⎣<br />
z<br />
, isto po<strong>de</strong> ser feito facilmente recorrendo à função reshape(X,m,n). No nosso caso teríamos<br />
X=reshape(X,1,25);<br />
Y=reshape(Y,1,25);<br />
Z=reshape(Z,1,25);<br />
U=[X; Y; Z];<br />
Po<strong>de</strong>mos verificar a dimensão da nova matriz<br />
>> size(U)<br />
ans =<br />
3 25<br />
Proce<strong>de</strong>ndo à transformação,<br />
A=[1 0 0;0 1 0;0 0 -1];<br />
W=A*U;<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 29 12-11-2007<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x<br />
y<br />
z<br />
2<br />
2<br />
2<br />
L<br />
L<br />
L<br />
x<br />
y<br />
z<br />
m×<br />
n<br />
m×<br />
n<br />
m×<br />
n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
, obt<strong>em</strong>os a matriz 3x25 das imagens. É agora necessário reposicionar os ternos or<strong>de</strong>nados<br />
obtidos <strong>em</strong> 3 matrizes 5x5 <strong>de</strong> modo a obter <strong>de</strong> novo a estrutura <strong>de</strong> dados necessária ao MatLab<br />
para fazer a representação 3D<br />
⎡x1′<br />
x2′<br />
L xm′<br />
× n ⎤<br />
W =<br />
⎢<br />
′ ′ ′<br />
⎥<br />
⎢<br />
y1<br />
y2<br />
L ym×<br />
n ⎥<br />
⇒<br />
⎢⎣<br />
z1′<br />
z2′<br />
L zm′<br />
× n ⎥⎦<br />
X=W(1,:);<br />
Y=W(2,:);<br />
Z=W(3,:);<br />
X=reshape(X,5,5);<br />
Y=reshape(Y,5,5);<br />
Z=reshape(Z,5,5);<br />
surf(X,Y,Z)<br />
⎡ x1′<br />
⎢<br />
⎢<br />
xn′<br />
+ 1<br />
X =<br />
⎢ M<br />
⎢<br />
⎣ xm′<br />
⎡ y1′<br />
⎢<br />
⎢<br />
yn′<br />
+ 1<br />
Y =<br />
⎢ M<br />
⎢<br />
⎣ ym′<br />
⎡ z1′<br />
⎢<br />
⎢<br />
zn′<br />
+<br />
Z =<br />
⎢ M<br />
⎢<br />
⎣ zm′<br />
8. Criar uma esfera <strong>de</strong> raio unitário centrada <strong>em</strong> ( x , y,<br />
z)<br />
= ( 0,<br />
2,<br />
0)<br />
, aplicar uma transformação<br />
linear correspon<strong>de</strong>nte a uma rotação <strong>de</strong> θ = π no sentido directo <strong>em</strong> torno do eixo dos zz, e<br />
proce<strong>de</strong>r à representação 3D do objecto e da imag<strong>em</strong>.<br />
Começamos por criar uma esfera <strong>de</strong> raio unitário na orig<strong>em</strong><br />
figure(1); clf; hold on;<br />
[X,Y,Z] = sphere(40);<br />
As coor<strong>de</strong>nadas dos pontos ( x , y,<br />
z)<br />
estão distribuídas por 4 matrizes 41× 41 , correspon<strong>de</strong>ndo<br />
portanto a 1681 pontos. De seguida proce<strong>de</strong>mos a uma transformação afim, T ( u ) = Inu<br />
+ k ,<br />
correspon<strong>de</strong>nte a uma translação <strong>de</strong> duas unida<strong>de</strong>s segundo o eixo dos yy, <strong>de</strong> modo a centrar a<br />
esfera no ponto ( x , y,<br />
z)<br />
= ( 0,<br />
2,<br />
0)<br />
k=[0 2 0];<br />
X=X+k(1);<br />
Y=Y+k(2);<br />
Z=Z+k(3);<br />
,e faz<strong>em</strong>os a representação do objecto<br />
h=surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');<br />
De seguida criamos a matriz da transformação correspon<strong>de</strong>nte a uma rotação θ = π no sentido<br />
directo <strong>em</strong> torno do eixo dos zz,<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 30 12-11-2007<br />
1<br />
x′<br />
2<br />
O<br />
L<br />
y′<br />
2<br />
O<br />
L<br />
z′<br />
2<br />
O<br />
L<br />
L<br />
O<br />
L<br />
O<br />
L<br />
O<br />
x′<br />
x′<br />
y′<br />
n<br />
M<br />
m×<br />
n<br />
y′<br />
n<br />
M<br />
m×<br />
n<br />
z′<br />
z′<br />
n<br />
M<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
m×<br />
n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
⎡cos(<br />
θ)<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
sen( θ)<br />
⎢⎣<br />
0<br />
− sen( θ)<br />
cos( θ)<br />
teta=pi;<br />
A = [cos(teta) -sin(teta) 0 ; ...<br />
sin(teta) cos(teta) 0 ; ...<br />
0 0 1];<br />
, <strong>de</strong>terminamos a imag<strong>em</strong> resultante da tansformação<br />
[m,n] = size(X);<br />
X=reshape(X,1,m*n);<br />
Y=reshape(Y,1,m*n);<br />
Z=reshape(Z,1,m*n);<br />
U=[X; Y; Z];<br />
W=A*U;<br />
X=W(1,:);<br />
Y=W(2,:);<br />
Z=W(3,:);<br />
X=reshape(X,m,n);<br />
Y=reshape(Y,m,n);<br />
Z=reshape(Z,m,n);<br />
,e faz<strong>em</strong>os a representação da imag<strong>em</strong><br />
h=surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 31 12-11-2007<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
colormap(cool(100))<br />
set(gca, 'DataAspectRatio' , [1 1 1]);<br />
set(gcf, 'color', [1 1 1]);<br />
axis ([-3 3 -3 3 -1 1]);<br />
view(106,33); grid on<br />
camlight; lighting phong;<br />
9. Po<strong>de</strong>mos induzir facilmente a sensação <strong>de</strong> movimento <strong>de</strong> um objecto <strong>em</strong><br />
3<br />
R aplicando<br />
sucessivas transformações lineares. Reproduza o código seguinte e observe o resultado.<br />
figure(10); clf; hold on;<br />
[X,Y,Z] = sphere(40);<br />
k=[0 2 0]; X=X+k(1); Y=Y+k(2); Z=Z+k(3);<br />
teta=pi/100;<br />
A = [cos(teta) -sin(teta) 0; sin(teta) cos(teta) 0; 0 0 1];<br />
[m,n] = size(X);<br />
colormap(cool(100)); set(gca, 'DataAspectRatio' , [1 1 1]);<br />
axis ([-3 3 -3 3 -1 1]); view(106,33); grid on;<br />
camlight; lighting phong;
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
for i=1:1000<br />
X=reshape(X,1,m*n);<br />
Y=reshape(Y,1,m*n); Z=reshape(Z,1,m*n);<br />
U=[X; Y; Z];<br />
W=A*U;<br />
X=W(1,:); Y=W(2,:); Z=W(3,:);<br />
X=reshape(X,m,n); Y=reshape(Y,m,n); Z=reshape(Z,m,n);<br />
h=surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');<br />
pause(0.001)<br />
<strong>de</strong>lete(h)<br />
end<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 32 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D<br />
<br />
Matriz <strong>de</strong> Rotação Sobre um Eixo Arbitrário.<br />
19. Po<strong>de</strong> <strong>de</strong>duzir-se que a matriz da transformação correspon<strong>de</strong>nte<br />
a uma rotação <strong>em</strong> sentido directo <strong>de</strong> uma ângulo θ <strong>em</strong> torno <strong>de</strong><br />
um versor arbitrário u = ( ux,<br />
uy,<br />
uz)<br />
é<br />
⎡ 2<br />
c + u<br />
⎤<br />
x(<br />
1 − c)<br />
uxuy(<br />
1 − c)<br />
− uzs<br />
uxuz(<br />
1 − c)<br />
+ uys<br />
⎢<br />
2<br />
⎥<br />
A = ⎢uxuy(<br />
1 − c)<br />
+ uzs<br />
c + uy(<br />
1 − c)<br />
uyuz(<br />
1 − c)<br />
− uxs⎥<br />
⎢<br />
2<br />
u u ( 1 − c)<br />
− u s u u ( 1 − c)<br />
+ u s c + u ( 1 − c)<br />
⎥<br />
⎣ x z<br />
y y z<br />
x<br />
z ⎦<br />
, <strong>em</strong> que c = cos(θ)<br />
e s = sen(θ)<br />
.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 5.<br />
1. Se admitirmos que o versor arbitrário <strong>de</strong> rotação é, por ex<strong>em</strong>plo, o versor do eixo dos xx<br />
1 ( 1,<br />
0,<br />
0)<br />
= u = e , resulta<br />
⎡1<br />
0 0 ⎤ ⎡1<br />
0 0⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 c − s<br />
⎥ ⎢<br />
0 cos( θ)<br />
− sen( θ)<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
0 s c ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0 sen( θ)<br />
cos( θ)<br />
⎥⎦<br />
, como seria <strong>de</strong> esperar, dado que se trata <strong>de</strong> uma rotação sobre o eixo dos xx.<br />
2. Para qualquer versor u = ( ux,<br />
uy,<br />
uz)<br />
, com θ = 2 π resulta<br />
⎡1<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
ou seja, qualquer objecto é transformado nele mesmo.<br />
3. Para uma rotação <strong>de</strong> <strong>em</strong> torno do vector u = ( 1,<br />
1,<br />
1)<br />
resulta<br />
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 33 12-11-2007<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
⎡0<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
0<br />
A imag<strong>em</strong> do vector u = ( 1,<br />
1,<br />
0)<br />
é<br />
⎡0<br />
v<br />
= Au =<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥⎦<br />
1⎤<br />
⎡1⎤<br />
⎡0⎤<br />
0<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢<br />
1<br />
⎥ ⎢<br />
1<br />
⎥<br />
0⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1⎥⎦