Cálculo do VaR para Títulos de Renda Fixa

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A gerência de risco vem ocupando grande espaço entre os praticantes do mercado financeiro especialmente devido as demandas das autoridades financeiras. Desde 1993, vários problemas no mercado de derivativos geraram preocupação entre as autoridades monetárias norte-americanas. Houve pressão para uma regulamentação mais rigorosa sobre os derivativos, mas o próprio mercado respondeu com a liberação gratuita do sistema riskmetrics do banco JPMorgan. Daí também o surgimento dentro das instituições financeiras, da área de gerência de riscos, conhecido entre praticantes como middle office, que cuida de avaliar o risco da variação de valor dos investimentos financeiros. O risco costuma ser separado em risco de mercado, de crédito, operacional e de liquidez. E uma medida de risco de mercado que ficou muito popular entre os gestores de risco é o Valor ao Risco- VaR. Mostramos nesse trabalho um modelo geral para o cálculo do VaR de instrumentos de renda fixa prefixados e indexados. 1 Calculo do VaR O VaR tenta resumir em um único número a perda esperada máxima dentro de certo prazo e com certo grau de confiança estatística. Ele avalia a variação esperada do PL (Profit & Loss ou lucro/prejuízo em português) sendo função da distribuição do PL. Torna-se um número de fácil leitura e entendimento que depende do prazo e do grau de confiança desejado. Por ser um instrumento quantitativo, o VaR permite que se avalie sem preconceito todas as possibilidades para o valor de uma carteira, pois mesmo certos cenários considerados quase impossíveis eventualmente acontecem. Além de uma medida de risco, o VaR pode ser um instrumento para limitar o risco de investimentos e traz várias vantagens em relação a simples limitação do tipo de ativo que certo trader pode adquirir. Por exemplo, é muito comum a proibição de uso de derivativos para impedir a assunção de riscos maiores com a alavancagem proporcionada por esses ativos, mas isso impede que eventualmente se diminua o risco de uma carteira através de uma operação hedge. O VaR permite que se avalie imediatamente se o derivativo esta aumentando ou diminuindo o risco da carteira, logo, com a limitação do risco por VaR pode ser dar liberdade para o gestor de investimento usar derivativos sem o risco dele tomar posições com risco além do limite estabelecido. VaR paramétrico O VaR paramétrico parte de uma distribuição de probabilidade suposta válida para o retorno da carteira de investimento em análise. Uma vez definida a distribuição correta, estimamos seus parâmetros (no caso da normal apenas a média e o desvio-padrão), definimos o horizonte de investimento e o nível de confiança (x%). Com esses dados calculamos com x% de probabilidade qual o pior retorno que essa carteira pode gerar. Esse pior retorno para o valor da carteira é o Valor ao Risco - VaR. É conveniente (e comum) usar a distribuição normal para descrever a distribuição do retorno, devido a facilidade operacional e teórica em se obter seus parâmetros e manipular essa distribuíção. Apesar disso, em alguns casos, como em carteiras que contém opções, a suposição de distribuição normal pode gerar uma enorme distorção no calculo de VaR, sendo necessário o uso de outra distribuição de probabilidade. O PL de uma carteira nada mais é do que a variação do seu valor da carteira (∆C). Supondo que essa variação é normalmente distribuída, podemos simplesmente tomar a aproximação de uma normal pela normal padrão para calcular o valor de corte com (1-x%) de área à esquerda. VaR ∆ 1 − x% = −α x% σ ∆C + µ C (1) onde: αx% é o valor de corte numa distribuição normal-padrão com (1-x%) de probabilidade à esquerda, σ∆C é volatilidade da variação do valor carteira e, µ ∆C é a média da variação do valor da carteira. Por simplicidade é comum fazer µ∆C igual a zero. VaR para títulos indexados 2
No caso de títulos de renda fixa, aproximamos a distribuição da variação do valor da carteira pela distribuição da variação das taxas de juros e da duração da carteira. Isso irá facilitar enormemente todas as contas a serem feitas. Também para facilitar as contas, usaremos taxas de juros contínuas ao invés de taxas discretas na modelagem financeira. O próprio BCB utilizou esse formato de taxa na criação do modelo padrão de risco de juros prefixado publicado na circular 2972. Com esse procedimento a aproximação da volatilidade do preço pela volatilidade da taxa fica mais simples. Nesse caso o preço de um título prefixado com valor final 1, é dado por onde r é a taxa de juros no formato contínuo. VaR para títulos indexados 3 −rt A volatilidade da variação do preço pode ser aproximada i por P = e (2) dP = t P dr ⇒ σ = t Pσ (3) Tendo a volatilidade da variação das taxas contínuas, pode-se por (3) obter a volatilidade corrente do preço multiplicando-se esta pelo seu prazo. Como a volatilidade é relativamente estável com o prazo dos títulos, o trabalho de avaliação da volatilidade de uma carteira pode ser reduzido à preocupação com a volatilidade da taxa (onde basta uma) e não a volatilidade do retorno de cada título. Para se aplicar (1) e calcular o VaR de um título de renda fixa, basta calcularmos a volatilidade da taxa de juros contínua e a duração do título. Para se estimar a volatilidade vários métodos estão disponíveis na literatura. Métodos estatísticos tais como máxima verossimilhança, suavização exponencial ou X-GARCH, que se baseiam no retorno passado ou métodos baseados na volatilidade implícita em opções. Um ótimo resumo com aplicação para o mercado brasileiro esta em Duarte (1996). Uma questão prática importante no trato da volatilidade, é a transformação do seu prazo. Supondo que os retornos (no nosso caso é a variação da taxa de juros contínua) são independentes e identicamente distribuídos (iid), pode-se passar da volatilidade de um prazo maior para prazo menor dividindo-se pelo número períodos menores contidos no período maior (np). σ = prazo _ menor σ prazo _ maior np Por exemplo, para transformar uma volatilidade anual em diária basta fazer a seguinte conta: σ dia = σ ano 252 VaR de uma carteira de renda fixa Vimos acima o calculo do VaR de um título de renda fixa e agora estendemos esse resultado para uma carteira de títulos prefixados. Novamente a dificuldade esta no cálculo da volatilidade da carteira, superado isso o VaR é obtido pela simples aplicação de (1). Representamos abaixo uma carteira com m títulos de diferentes vencimentos: P n P n C + + + = L 1 1 2 2 m m P n dP dr
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