Combinatória e Probabilidades - Escola Secundária da Póvoa de ...

ESCOLA SECUNDÁRIA DA PÓVOA DE LANHOSO
MATEMÁTICA – 12º ANO
FICHA DE TRABALHO n.º 1: Combinatória e Probabilidades
1. Um homem tem oportunidade de jogar, no máximo, cinco vezes na roleta. Em cada jogada,
ele ganha ou perde um euro. Começa com um euro e parará de jogar antes das cinco vezes se
perder todo o seu dinheiro ou se ganhar três euros, isto é, ao ficar com quatro euros.
1.1. De quantas maneiras diferentes se pode desenvolver o jogo?
1.2. Em quantos casos pode ele parar antes das cinco vezes?
2. Durante o lançamento de um foguetão, existe um sistema de computadores constituído por
um computador principal e dois auxiliares que funcionam independentemente uns dos outros
de modo que uma avaria num deles não se reflecte nos outros. Considere a experiência
aleatória seguinte: “operacionalidade deste sistema no momento do lançamento”.
Referente à experiência anterior, considere os seguintes acontecimentos:
A: o computador principal está a funcionar.
B: o 1º computador está a funcionar.
C: o 2º computador está a funcionar.
D: pelo menos um dos computadores está a funcionar.
2.1. Diga qual o conjunto de resultados que corresponde à experiência aleatória referida.
2.2. Descreva os acontecimentos A, B, C e D em termos de acontecimentos elementares.
2.3. Será possível calcular as probabilidades dos acontecimentos anteriores, tendo em conta a
definição clássica de probabilidade?
2.4. Admita que a fiabilidade (probabilidade de estar a funcionar) de cada um dos
computadores é de 90%. Calcule a probabilidade
2.4.1. dos três computadores estarem a funcionar ao mesmo tempo.
2.4.2. do acontecimento D.
3. Na análise de uma amostra de 100 empresas portuguesas de importação e exportação,
conclui-se que os países africanos de expressão portuguesa são os principais clientes dos
seus produtos. De facto, das empresas analisadas, 40 exportam para Angola, 50 para
Moçambique e 25 para ambos os países.
Qual a probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso exportar para
3.1. pelo menos um dos países. 3.2. nenhum dos países.
3.3. Angola, mas não para Moçambique. 3.4. somente um dos países.
4. Num concurso televisivo, um concorrente pode ganhar um automóvel se retirar bolas de cor
diferente de uma urna contendo 3 bolas vermelhas, 2 azuis e 1 branca. O concorrente, ao
retirar três bolas, uma a uma, pode optar por uma de duas estratégias – retirar as bolas sem
reposição ou retirar as bolas com reposição. Qual a estratégia que lhe dará maior garantia de
êxito?
5. Baralharam-se as vinte e oito peças de um dominó e retirou-se, ao acaso, uma delas.
Determine a probabilidade de
5.1. tirar um doble. 5.2. obter sete pontos.
5.3. obter quatro ou seis pontos. 5.4. obter um número de pontos não inferior a dez.
6. Extrai-se uma carta de um baralho de 40 cartas. Determine a probabilidade de ser
6.1. uma copa. 6.2. um rei ou um ás. 6.3. um rei ou uma copa
Matemática – 12º Ano – FICHA DE TRABALHO N.º 1 1 / 8

7. Numa turma, 70% dos alunos praticam ginástica, 10% jogam futebol e 6% praticam ginástica
e jogam futebol. Escolhe-se um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ele praticar ginástica
ou jogar futebol?
8. Numa turma do 12º ano, 68% dos alunos declararam gostar de música clássica, 22% de
telenovelas e 15% de telenovelas e música clássica. Encontrou-se um aluno da turma. Qual a
probabilidade de
8.1. gostar de música clássica, mas não de telenovelas.
8.2. gostar de telenovelas, mas não de música clássica.
8.3. não gostar nem de telenovelas, nem de música clássica.
9. O Luís tem no bolso duas moedas de cinquenta cêntimos, três moedas de um euro e uma
moeda de dois euros. Calcule a probabilidade do Luís tirar, ao acaso, uma moeda
9.1. de cinquenta cêntimos. 9.2. que não seja de cinquenta cêntimos.
9.3. de valor de pelo menos um euro.
9.4. cujo valor seja suficiente para pagar uma compra que custou menos de um euro.
10. Num saco, há fichas verdes, azuis e vermelhas. Extrai-se, ao acaso, uma bola do saco.
1 1
Sabe-se que a probabilidade de sair uma ficha verde é e de sair uma ficha azul é . Há 38
5
6
fichas vermelhas. Quantas fichas há no saco?
11. Utilize os conhecimentos das leis de De Morgan para resolver o seguinte problema: no
universo S, os acontecimentos A e B são incompatíveis. Sabe-se que p(B)=0,1 e
p( A ∩ B )=0,6. Determine p(A).
12. Determine a probabilidade de um acontecimento B, sabendo que p(B).p( B ) = 0,16.
13. Seja S um espaço amostral A e B dois acontecimentos de S. Sabendo que p(A) = 0,6,
p(B)=0,7 e p( A ∪ B ) – p( A ∩ B)
= 0,2, calcule p( A ∪ B ) e p( A ∩ B)
.
14. Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois
acontecimentos desse espaço.
Prove que p( A)
+ p(
B)
+ p(
A ∩ B)
= 1+
p(
A ∩ B)
15. Sabendo que p(A) = 0,5 e que p( A ∪ B ) = 0,7, determine p(B) de modo que
15.1. A e B sejam acontecimentos incompatíveis.
15.2. A e B sejam acontecimentos independentes.
15.3. p ( A ! B ) = 0,5.
16. O Jorge comprou camisas, camisolas e calças e colocou uma etiqueta em cada peça ( 3
camisas – a1, a2, a3 -; 2 camisolas – b1, b2 -; 3 pares de calças – c1, c2, c3).
16.1. Quantas toilletes possíveis pode ele usar?
16.2. Se o Jorge escolher, ao acaso, a sua roupa, qual a probabilidade de vestir
16.2.1. as três peças com o mesmo índice? 16.2.2. as calças c3?
16.2.3. as calças c3 e a camisa a1?
17. Com as 23 letras do alfabeto, de quantos modos se pode escolher o segredo de um cofre,
com 5 dessas letras,
17.1. sem repetir nenhuma delas? 17.2. podendo repetir letras?
Matemática – 12º Ano – FICHA DE TRABALHO N.º 1 2 / 8

18. Num jogo com um baralho de 40 cartas, é distribuída uma mão de 10 cartas, a cada um
dos jogadores.
18.1. Quantas mãos distintas poderão aparecer?
18.2. Quantas delas têm
18.2.1. apenas duas cartas de paus? 18.2.2. só cartas vermelhas?
18.2.3. cinco cartas pretas? 18.2.4. pelo menos 8 cartas pretas?
18.2.5. três cartas de ouros e quatro de copas? 18.2.6. seis cartas de espadas e 4 de copas?
19. Considere duas rectas estritamente paralelas, r e s, sete pontos em r e oito pontos em s.
19.1. Qual o número de rectas distintas que os quinze pontos definem?
19.2. Quantos triângulos distintos são definidos pelos pontos dados?
20. Um saco contém uma bola azul, uma verde, uma amarela, uma vermelha, uma branca,
uma preta e uma castanha. Retiraram-se, uma a uma, todas as bolas do saco e vão-se
colocando sobre a mesa, em linha, ordenadamente.
20.1. Quantas sequências distintas é possível obter?
20.2. Quantas delas têm a bola vermelha em primeiro lugar?
20.3. E quantas têm as bolas branca e preta juntas?
21.Sabendo que uma diagonal de um polígono une dois dos seus vértices não consecutivos,
determina o número de diagonais de um polígono convexo com
21.1. 8 lados. 21.2. n lados.
22. A Mariana e a Margarida, utilizando os símbolos ⊥ , ∃,
∀,
θ e X, resolveram inventar um
código para comunicarem entre si.
22.1. Quantas palavras distintas de 5 símbolos diferentes podem escrever?
22.2. E se repetirem os símbolos?
22.3. Quantas palavras diferentes com 3 sinais, sem se repetirem, é possível formar?
23. É dado o conjunto T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
23.1. Quantos subconjuntos de T é possível formar com 5 elementos?
23.2. Quantos subconjuntos com pelo menos 7 elementos é possível definir de modo que
estejam contidos em T?
23.3. Quantos números pares de 3 algarismos diferentes é possível escrever com os
elementos de T?
23.4. Quantos dos números de 23.3. são superiores a 200?
24. Pretende-se constituir um júri de cinco elementos para apreciar um concurso, escolhendo
entre doze pessoas, das quais três têm a mesma profissão. Qual é a probabilidade de,
escolhido um júri ao acaso, ele ser formado por pessoas de profissões diferentes?
25. De um baralho com 52 cartas, tiraram-se, ao acaso, 11 cartas. Qual a probabilidade de
serem
25.1. quatro ases? 25.2. dois ases e cinco figuras?
25.3. pelo menos 9 copas? 25.4. no máximo 3 paus?
26. A partir da fórmula do binómio de Newton que estudou, obtenha uma outra semelhante
para o desenvolvimento de ( ) n
a − b .
y −1
.
27. Desenvolva o binómio ( ) 4
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x − x .
28. Considere a expressão ( ) 9
2
28.1. Quais são os valores de x possíveis na expressão?
28.2. Quantos termos tem o seu desenvolvimento?
6
28.3. Calcule o 5º termo e o termo em x .
29. Determine, se existir, o termo independente do desenvolvimento de
30. Determine x de modo que o sétimo termo do desenvolvimento de
igual a 840.
31. Considere o binómio
⎛
⎜
⎝
12
2 ⎞
x ,x 0
1
+ ⎟⎠
x
≠ , e determine
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⎛
⎜
⎝
1 ⎞
2 − ⎟ , x>0.
x ⎠
10
⎛ 1 ⎞
⎜ − x⎟
⎝ x ⎠
7
,x ≠ 0 , seja
31.1. o termo médio. 31.2. o penúltimo termo. 31.3. o termo constante.
⎛ 1 ⎞
32. Relativamente ao binómio ⎜ x + ⎟⎠ ,x ≠ 0 ,
⎝ x
32.1. calcule o quociente entre os terceiro e nono termos do desenvolvimento.
32.2. escreva o termo do desenvolvimento que é constante.
C + C é igual a
1997 1997
33. 100 101
1998 1996 1997 1998
(A) C 101
(B) C 100 (C) C 201 (D) C 201
10
34. Os quatro primeiros números de certa linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165;
então os três últimos números da linha seguinte são
(A) 36, 24 e 12 (B) 66, 12 e 1 (C) 220, 66 e 12 (D) 24, 12 e 1
35. Uma embalagem contém 10 iogurtes, dos quais 3 (e só 3) estão estragados. Escolhem-se
5 ao acaso. Qual a probabilidade de apenas 2 dos escolhidos estarem estragados?
36. Uma caixa tem 20 lâmpadas eléctricas das quais 5 são defeituosas. Tiram-se 3 ao acaso.
36.1. Qual a probabilidade de todas as 3 serem defeituosas?
36.2. Qual a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?
37. Colocam-se numa estante 5 livros, 3 de aventura e 2 de ficção. De quantas maneiras
diferentes podem ficar ordenados se ficarem agrupados por género?
(A) 24 (B) 12 (C) 120 (D) 36
38. Dos 100 candidatos que responderam a um anúncio para preencher as três vagas
existentes numa empresa, um quarto são mulheres. A probabilidade de serem seleccionadas
só duas mulheres é
100 75
25
25
75
C3 − C2
75.
C 2
C 2
C
2
(A)
(B)
(C)
(D)
100
100
100
100
C
C
C
C
3
3
3
3

39. Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três primeiros
9, 7 e 3 (não necessariamente por esta ordem). Quantos números de telefone, sem algarismos
repetidos, existem nesta região?
40. Todos os médicos que estão de serviço na urgência de um hospital cumprimentaram-se
com um aperto de mão. Sabendo que foram dados 45 apertos de mão, quantos médicos estão
de serviço?
41. Um cesto tem uma dúzia de ovos, seis dos quais estão estragados. Qual é a probabilidade
de uma pessoa retirar quatro dos ovos existentes no cesto e estarem todos estragados?
42. Sete amigos vão ao cinema e ficam em lugares consecutivos da mesma fila.
42.1. Determine o número de maneiras diferentes de se sentarem.
42.2. Se a Maria quiser ficar ao lado do Rui, no princípio ou no fim da fila, de quantas maneiras
diferentes se poderão sentar?
43. Sabendo que num grupo de 20 jovens há 12 meninas, a probabilidade de que, escolhidos
ao acaso dois representantes do grupo, estes sejam do mesmo sexo é cerca de
(A) 49% (B) 5% (C) 48% (D) 57%
44. A probabilidade de num sorteio do totoloto saírem 6 números consecutivos é
(A)
44
49
A (B)
49
49
6.
C (C)
P 6
49
A
44
(D)
49
C
6
6
45. Cada um de quatro professores elaborou dois exercícios para uma mesma prova de
exame. Dos oito exercícios, os alunos apenas respondem a dois à sua escolha. Admitindo que
um aluno escolhe ao acaso os exercícios que vai resolver, calcule a probabilidade de que os
exercícios tenham sido propostos pelo mesmo professor.
46. Numa roleta de feira com 1m de raio, os três sectores em que se encontra dividida não são
todas iguais:
- o sector A tem de área
4 m
π
2
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6
- o sector B corresponde a um ângulo ao centro de rad
46.1. Qual o acontecimento mais provável?
46.2. Qual a probabilidade de o ponteiro da roleta não apontar C?
47. Num determinado país, as matrículas são constituídas por duas letras indicativas da região
seguidas de três algarismos. Como estão prestes a esgotar-se as matrículas possíveis, decidiu-
-se acrescentar uma letra ao final da matrícula (ficando todas as existentes com a letra A no
final). Como se prevê, a médio prazo, a necessidade de 20 000 matrículas por região, diga se
será suficiente esta medida, indicando exactamente quantas matrículas se obterão por região
(o alfabeto deste país é constituído por 23 letras).
48. Os alunos de uma turma de 12º ano pretendem realizar um passeio de finalistas, mas não
conseguem chegar a acordo acerca do destino. Na pré-inscrição, 20 inscreveram-se no
passeio a Londres, 12 no passeio a Paris e 10 inscreveram-se nos dois destinos. Todos os
alunos se inscreveram pelo menos num destino.
48.1. Quantos alunos tem a turma?
48.2. Decidiu-se formar uma comissão com dois alunos da turma para decidir o destino da
viagem. De quantas maneiras se pode formar a comissão?
48.3. Qual a probabilidade de, escolhida aleatoriamente a comissão, os alunos que a formam
se entendam?
6
2π
3

49. Um alvo é composto por um quadrado de lado 1cm com um círculo inscrito no quadrado.
Qual a probabilidade de, colocado o alvo na horizontal, e deixando cair sobre ele um alfinete de
dimensões desprezíveis, o bico cair fora do círculo?
50. Numa caixa estão 12 bolas de berlim de igual aspecto exterior. No entanto, 5 não têm
creme. Retirando da caixa três desses bolos ao acaso, qual a probabilidade de que apenas um
deles tenha creme?
51. Uma das provas de um campeonato de atletismo é a estafeta 4x100 metros planos em que
cada equipa participa com 4 atletas. O clube “Pés Voadores” vai participar na prova, dispondo
de 10 atletas para formar a equipa da estafeta.
51.1. Quantos conjuntos diferentes é possível constituir para formar a equipa da estafeta deste
clube?
51.2. Formada a equipa, é necessário estabelecer a ordem de participação dos atletas. Por
razões tácticas, escolheu-se o João Rui para iniciar a prova, podendo os restantes atletas da
equipa participar em qualquer posição. De quantas formas diferentes se pode organizar esta
equipa?
51.3. Ao todo vão competir na prova 6 equipas de clubes diferentes. A colocação das equipas
pelas oito pistas é feita por sorteio. Qual a probabilidade de que a equipa dos “Pés Voadores”
corra na pista 1 não ficando nenhuma equipa na pista 2?
52. No bar de uma escola, estão à venda cinco tipos de pastéis (laranja, feijão, nata, coco e
amêndoa). Quatro amigos - a Maria, o João, o Afonso, o Paulo e o Rui – decidem comprar um
pastel cada um. O João escolhe pastel de nata ou de feijão. A Maria não escolhe pastel de
nata. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os pastéis?
53. Num saco, estão quatro bolas de igual tamanho numeradas de 1 a 4. Tiram-se ,
sucessivamente, sem reposição, as quatro bolas do saco. Qual é a probabilidade de saírem por
ordem crescente de numeração?
54. Um comerciante foi informado de que tem 4 embalagens premiadas entre as 20 que
adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20 embalagens em fila, na
montra, por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as embalagens premiadas
fiquem todas juntas no início ou no fim da fila?
55. Três rapazes e duas meninas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer dos cinco jovens
pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os lugares, dois à frente e três atrás, de
modo a que o condutor seja uma menina e a seu lado viaje um rapaz?
(A) 36 (B) 120 (C) 12 (D) 72 (Prova 135 – 2000)
56. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Qual é a
probabilidade de sair face 6 em exactamente um dos dois lançamentos?
1 5 1
(A) (B) (C) (D)
36 36 18 18
5 (Prova 135 – 2000)
57. Quantas capicuas existem com cinco algarismos, sendo o primeiro algarismo ímpar?
(A) 300 (B) 400 (C) 500 (D) 600 (1ª F, 1ª Ch – 2001)
58. Considere:
- uma caixa com nove bolas, indiferenciáveis ao tacto, numeradas de 1 a 9;
- um dado equilibrado, com faces numeradas de 1 a 6.
Lança-se um dado e tira-se, ao acaso, uma bola da caixa.
Qual é a probabilidade de os números saídos serem ambos menores que 4?
1 1 5 5
(A) (B) (C) (D) (2ª Fase – 2001)
6
9
54 27
Matemática – 12º Ano – FICHA DE TRABALHO N.º 1 6 / 8

59. Num certo país, existem três empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, B e C.
Independentemente do operador, os números de telemóvel têm nove algarismos. Os números
do operador A começam por 51, os do B por 52 e os do C por 53. Quantos números de
telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser atribuídos nesse país?
(A) 165 340 (B) 156 250 (C) 143 620 (D) 139 630 (2ª Fase – 2001)
60. Uma turma de 12º ano é constituída por 25 alunos (15 meninas e 10 meninos). Nessa
turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas. A comissão
será formada por três pessoas: presidente, tesoureiro e responsável pelas relações públicas.
60.1. Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo
ocupar qualquer um dos três cargos, quantas comissões distintas poderiam ser formadas?
60.2. Admita agora que o delegado pode, ou não, fazer parte da comissão.
60.2.1. Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas?
60.2.2. Suponha que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma:
Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As 25 folhas são dobradas e
introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel.
O primeiro nome a sair corresponde ao do presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o
terceiro, ao do responsável pelas relações públicas. Sejam A, B e C os acontecimentos:
A: “o presidente é uma menina”;
B: “o tesoureiro é uma menina”
C: “a comissão é formada só por meninas”.
Indique o valor da probabilidade condicionada p ( C ! ( A∩ B ) ) e, numa pequena composição,
com cerca de dez linhas, justifique a sua resposta.
Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar
exclusivamente da interpretação de p (C ! ( A ∩ B )), no contexto do problema.
(2ª Fase – 2001)
61. Um saco contém cinco cartões, numerados de 1 a 5. A Joana retira, sucessivamente, ao
acaso, os cinco cartões do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de saída,
de maneira a formar um número de cinco algarismos. Qual é a probabilidade de esse número
ser par e ter o algarismo das dezenas também par?
(A)
5
C 2
(B)
5
A2
5
C 2
(C)
5!
2x
3!
(D)
5
A
62. A tabela de distribuição de uma variável aleatória X é
x i 1 2 3 Qual o valor de a?
P ( X = x i ) a 2a a
2
2x 3!
(1ª F, 1ª Ch – 2002)
1 1 1 1
(A) (B) (C) (D) (1ª F, 1ª Ch – 2002)
5
4
3
2
Matemática – 12º Ano – FICHA DE TRABALHO N.º 1 7 / 8
5!

63. Três casais – os Nunes, os Martins e os Santos – vão ao cinema.
63.1. Ficou decidido que uma senhora, escolhida ao acaso de entre as três senhoras, paga três
bilhetes, e que um senhor, escolhido igualmente ao acaso de entre os três senhores, paga
outros três bilhetes. Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? Apresente
o resultado na forma de fracção.
63.2. Considere o seguinte problema:
Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares
consecutivos, as seis pessoas distribuem-se ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se
senta no lugar correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros
de cada casal ficarem juntos, com o casal Martins no meio?
Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, explique por que razão
uma resposta correcta a este problema.
Matemática – 12º Ano – FICHA DE TRABALHO N.º 1 8 / 8
2 4
6!
é
(1ª F, 2ª Ch – 2002)
64. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de um euro e quatro moedas de 50
cêntimos.
O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.
64.1. Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Construa a
tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na
forma de fracção irredutível.
64.2. Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que
elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual a
probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fracção
irredutível.
(1ª F – 2004)
65. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois
acontecimentos ( A ⊂ S e B ⊂ S ).
Sabe-se que
Qual o valor de p ( B )?
p ( A ) = 0,3 p ( A ∩ B ) = 0,1 p ( A ∪ B ) = 0,8
(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4
66. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
66.1. Considere os acontecimentos A e B:
A – “sai face par”;
B – “sai um número menor que 4”.
Indique o valor da probabilidade condicionada p ( B ! A ). Justifique a sua resposta.
(2ª F – 2004)
66.2. Considere agora que o dado é lançado três vezes.
Qual a probabilidade de a face 6 sair, pela primeira vez, precisamente no terceiro
lançamento?
Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às décimas.
(2ª F – 2004)