Jogo dos Discos. Módulo I. - UFSCar

dm.ufscar.br

Jogo dos Discos. Módulo I. - UFSCar

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Universidade Aberta do Brasil

Fernando Haddad Ministro da Educação

Carlos Eduardo Bielschowsky Secretário SEED/MEC

Celso Costa Diretor da UAB

Maria Lúcia Cavalli Neder Reitora UFMT

Francisco José Dutra Souto Vice-Reitor

Valéria Calmon Cerisara Pró-Reitora Administrativa

Elizabete Furtado de Mendonça Pró-Reitora de Planejamento

Luis Fabrício Cirillo de Carvalho Pró-Reitor de Cultura, Extensão e Vivência

Myrian Thereza de Moura Serra Pró-Reitora de Ensino e Graduação

Leny Caselli Anzai Pró-Reitora de Pós-Graduação

Adnauer Tarquínio Daltro Pró-Reitor de Pesquisa

Carlos Rinaldi Coordenador UAB/UFMT

Ozerina Victor Oliveira Diretora do Instituto de Educação


Matem@tica

na Pr@tica

Curso de Especialização para

professores do Ensino Médio de Matemática


Ministério da Educação – MEC

Plano de Desenvolvimento da Educação – PDE

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Capes

Matem@tica

na Pr@tica

Curso de Especialização para

professores do Ensino Médio de Matemática

Módulo I

Jogo dos Discos

Paulo Antonio Silvani Caetano

Roberto Ribeiro Paterlini


Curso de Especialização para Professores do Ensino Médio de Matemática

Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática

Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)

Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar),

Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar),

Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM- UFRJ)

Desenvolvimento Instrucional

Coordenação: Cristine Costa Barreto

Designers instrucionais: Juliana Silva Bezerra, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff

Responsáveis por este fascículo

Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini.

Leitores: Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo.

Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff

Revisão: Paulo Alves

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Caetano, Paulo Antonio Silvani

Jogo dos discos : módulo I. -- Cuiabá, MT :

Central de Texto, 2010. -- (Matem@tica na

pr@tica. Curso de especialização para

professores do ensino médio de matemática)

Bibliografia.

ISBN 978-85-88696-90-7

1. Matemática - Estudo e ensino 2. Matemática -

Formação de professores 3. Prática de ensino

I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título.

III. Série.

10-11743 CDD-370.71

Índices para catálogo sistemático:

1. Professores de matemática : Formação :

Educação 370.71

Produção Editorial - Central de Texto

Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo

Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo

Projeto gráfico: Helton Bastos

Paginação: Ronaldo Guarim Taques

Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini


Apresentação

O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização para Professores do Ensino Mé-

dio de Matemática na modalidade de Educação à Distância, que está inserido no Plano de

Ações Articuladas do Ministério da Educação. Esse plano tem como um de seus objetivos

promover uma importante atividade de formação continuada dirigida a você, professor

do ensino básico, incentivando a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos

para que você possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus

estudantes e colegas de trabalho.

O primeiro módulo de nosso curso consiste em três atividades práticas sobre temas

que trazem importantes significados para a Matemática do ensino básico. Em seguida, você

terá a oportunidade de refletir sobre essas atividades para, depois, dedicar-se à aplicação

de uma delas em sua sala de aula.

Neste fascículo, apresentamos a atividade prática denominada “jogo dos discos”, que é

um experimento muito atraente para os estudantes envolvendo o lançamento aleatório de

discos em um quadriculado. O jogo dos discos aborda o tema probabilidade geométrica

e constitui uma oportunidade para o estudante refletir sobre conceitos de probabilidade,

obtenção de dados a partir de um experimento, ajuste de curvas e modelagem de dados

através de uma função.

Seja bem-vindo ao jogo dos discos!

Equipe do Matem@tica na Pr@tica

Abril, 2010


Sumário

Ciclo I - Experimentando o Jogo dos Discos 9

1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11

2. A probabilidade em nosso cotidiano 14

3. E o improviso virou Matemática 16

4. Estudo do jogo dos discos 17

5. Da cartolina para o chão da escola 30


Ciclo II - Explorando o Jogo dos Discos 33

1. Recapitulando 35

2. O que há de novo neste Ciclo? 37

3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39

4. Probabilidade geométrica 42

5. Probabilidade experimental

versus probabilidade teórica 46

6. Nem tudo são parábolas 52

7. Lucrando com o jogo dos discos 54

8. Abordando outras situações

específicas no jogo dos discos 56

Conclusão 59

Resumo 59

Orientações sobre avaliação 60

Encerramento 60

Referências 61


Ciclo I

Experimentando

o Jogo dos Discos

▹ Como utilizar jogos para estudar

probabilidade?

▹ Qual a influência das regras no

favorecimento de um jogador?

▹ Como o modelo matemático do

jogo ajuda a fazer previsões?

Svilen Milev / SXC


1. Um dia de cão... É possível prever ou não?

MEIAS... PRECISO DE MINHAS MEIAS DE LÃ. MORRO DE FRIO NAQUELA

SALA DE REUNIÕES, SEMPRE COM O AR-CONDICIONADO NO MÁXIMO.

MEIAS NA GAVETA DE MEIAS, CONFORME ESPERADO. VISTO A PRIMEIRA

ROUPA QUE VEJO, CORRO PARA A SALA, PEGO MINHA BOLSA E

PENDURO NO PESCOÇO O PEN-DRIVE (NÃO POSSO ESQUECER

A APRESENTAÇÃO EM SLIDES QUE PASSEI A MADRUGADA

PREPARANDO PARA ABRIR A REUNIÃO). BUSCO,

FRENETICAMENTE, MEU GUARDA-CHUVA! ONDE DEIXEI

MESMO? NOSSA, PODE ESTAR EM QUALQUER

LUGAR DA CASA! POR QUE DEIXO O GUARDA-

CHUVA CADA DIA EM UM LUGAR DIFERENTE?

ABRO OS OLHOS ASSUSTADA E ME DOU CONTA DE

QUE PERDI A HORA. TENHO MENOS DE 10 MINUTOS

PARA SAIR DE CASA. PULO DA CAMA, PENSANDO NA

REUNIÃO MARCADA HÁ SEMANAS POR MEU CHEFE,

QUE NÃO VAI COM A MINHA CARA. SE ME ATRASAR,

PERCO MEU EMPREGO! OLHO PELA JANELA E NUVENS

CINZAS NO CÉU SUGEREM FRIO E CHUVA.

DEIXA PRA LÁ, VOU ARRISCAR SAIR ASSIM MESMO.

TOMARA QUE NÃO CHOVA LOGO... ABRO A PORTA DE

CASA E TROPEÇO NO JORNAL. MESMO ATRASADA, LEIO

A MANCHETE E FICO CHOCADA COM A NOTÍCIA SOBRE

UM AVIÃO QUE CAIU, NO MEIO DO ATLÂNTICO, COM MAIS

DE 200 PASSAGEIROS A BORDO. QUE TRAGÉDIA! AINDA

ATORDOADA COM O DESASTRE, OLHO O RELÓGIO E ME

DOU CONTA DE QUE TENHO QUE CORRER PARA O PONTO

DE ÔNIBUS E QUE, SE O DANADO ATRASAR MAIS DE

CINCO MINUTOS, EU NÃO CHEGO NO TRABALHO A TEMPO.

COM A CHUVA COMEÇANDO A CAIR, AGORA MESMO É QUE

A CONDUÇÃO NÃO TEM HORA PRA PASSAR...

1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11

1. Um dia de cão... É possível prever ou não?


MIRACULOSAMENTE, O ÔNIBUS CHEGA. SUBO OS

DEGRAUS VOANDO E SENTO NO ÚLTIMO LUGAR

VAGO. NO MEIO DO CAMINHO, CEDO MEU LUGAR

PARA UMA MULHER GRÁVIDA, IMAGINANDO SE O

BEBÊ QUE ELA CARREGA É MENINO OU MENINA. VOU

PARA O CORREDOR DO ÔNIBUS. QUE CONFUSÃO!

SUBO AS ESCADAS APRESSADA E LOGO ENCONTRO

UM COLEGA, SAINDO DA SALA DE REUNIÕES, COM UMA

EXPRESSÃO DE INCREDULIDADE NO ROSTO. PENSO: FUI

DEMITIDA! MEU COLEGA OLHA PRA MIM E DIZ, COM A VOZ

FALHA: VOCÊ NÃO VAI ACREDITAR... O CHEFE GANHOU

SOZINHO NA LOTERIA... DESCOBRIU HOJE, ASSIM QUE

ENTROU NA SALA... SUBIU NA MESA DE REUNIÃO, DANÇOU

UM TANGO COM O VENTILADOR DE PÉ, E PEDIU DEMISSÃO!

FOI DIRETO PRO AEROPORTO, PEGAR O PRÓXIMO VOO PARA

O EGITO. DISSE QUE QUERIA CONVERSAR COM A ESFINGE, E

QUE VOCÊ SERIA A NOVA CHEFE...

12 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

CHEGO NO TRABALHO E A CHUVA APERTA. PERCEBO QUE PERDI

O PEN-DRIVE NO EMPURRA-EMPURRA DO ÔNIBUS E, COM ELE, A

APRESENTAÇÃO DA REUNIÃO, O EMPREGO, O ALUGUEL, AS FÉRIAS,

TUDO... QUE DIA DE CÃO! ENSOPADA, ATRASADA E DESOLADA.


Atividade 1 O que é e o que não pode ser

Na história em quadrinhos, diversos acontecimentos

dão-se ao longo de uma tumultuada manhã. Do ponto de

vista da personagem, selecione um acontecimento que você

considera ser previsível e um acontecimento que você considera

ser não previsível ou aleatório. Justifique sua resposta.

1 Acontecimento previsível

Justificativa

2 Acontecimento não previsível ou aleatório

Justificativa

Resposta comentada

O significado dos termos previsível e aleatório tem a ver com a noção de incerteza.

Quanto maior a chance de ocorrência de um evento, maior nossa certeza em relação a

ele. É o caso de chover em um dia nublado, de o ônibus atrasar em dias de chuva, com

tráfego intenso, ...

Dentre os possíveis acontecimentos que a personagem

poderia prever, você pode ter identificado:

A perda do emprego devido à sua chegada atrasada

na reunião, justificada pelo conhecimento das políticas

da empresa e da personalidade de seu chefe;

O dia ser chuvoso e frio, justificado pelas nuvens

cinzentas;

Ter facilidade para encontrar as meias e dificuldade

para encontrar o guarda-chuva, justificado por haver

um lugar específico onde ela guarda suas meias.

Dentre os acontecimentos aleatórios que a personagem

não poderia prever, você pode ter identificado:

O sexo do bebê, pois as chances são iguais para

menino ou menina;

A manchete do jornal sobre a queda do avião, por se

tratar de um evento raro, não esperado.

O ônibus ter chegado rápido, por se tratar de um dia

chuvoso e horário de tráfego intenso;

O chefe ter ganho sozinho na loteria, pois se trata de

um acontecimento extremamente raro, de natureza

imprevisível.

A promoção para o cargo de chefia, pois dependeu

do fato de o chefe ter ganho sozinho na loteria.

1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 13


Figura 1: Como avaliar uma

incerteza?

Figura 2: Alguns procedimentos

cobertos por planos de saúde

14 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

Eva Schuster / SXC

Na atividade anterior, refletimos sobre o termo aleatório, relacionado com eventos

ocorridos em uma conturbada manhã. Esperamos que você tenha entendido melhor o

que é um evento aleatório.

Saiba Mais O que é evento aleatório?

É um acontecimento com resultado imprevisível. Por exemplo, se lançamos para cima uma

moeda qualquer e a deixamos cair em um piso duro, não temos como prever qual a posição

em que ela vai ficar, após cessar seu movimento. É quase certo que ela fique sobre uma de suas

faces, mas não temos como prever qual.

A chance de ocorrência de um evento aleatório é medida através de uma probabilidade.

Um dos objetivos desta atividade é compreender ainda melhor este conceito e buscar

novas maneiras de apresentá-lo em sala de aula.

2. A probabilidade em nosso cotidiano

A probabilidade aparece em nosso dia a dia de um jeito que nem nos damos conta. Por

exemplo, hoje em dia muitas pessoas pagam um plano de saúde e o valor da mensalidade

envolve cálculos de probabilidades. A empresa que oferece o plano de saúde recebe mensalidades

de diferentes usuários, desde crianças recém-nascidas até pessoas idosas. Com

os recursos recolhidos mensalmente, a empresa tem de pagar as despesas de consultas,

operações e procedimentos diversos solicitados por eles.

Além disso, precisa sustentar sua estrutura operacional, como funcionários, prédios,

veículos, impostos, etc. Os donos da empresa também querem que, no final do mês, sobre

um lucro para eles mesmos.

Fotos: Ricardo Miguel Carrión Carracedo

Fotos: Fernando Audibert – Julie Elliott-Abshire –

Jeinny Solis S. / SXC


Fotos: Amr Safey – Jean Scheijen – Jeinny Solis

S. / SXC – Ricardo Miguel Carrión Carracedo

Como calcular a mensalidade a ser cobrada dos clientes de modo que esse recurso

seja suficiente para a empresa pagar suas despesas? Como a empresa pode prever quantos

clientes vão ter um determinado problema de saúde, quantas consultas vão solicitar,

exames clínicos, operações, etc?

Ao fazer esses cálculos, a empresa usa a teoria das probabilidades para estimar a

ocorrência de problemas e necessidades de saúde na população. Calculando essas probabilidades,

e conhecendo o perfil de seus clientes, a empresa pode saber qual a provável

despesa que terá em um determinado mês. Por exemplo, não faz sentido esperar que um

homem faça uma operação de ligadura de trompas, nem que uma mulher tenha câncer

de próstata. Também é pouco provável que uma criança utilize os serviços relacionados a

doenças do coração e que moradores de cidades pacatas tenham problemas de estresse.

Como você já deve ter percebido, a probabilidade está presente em nossas vidas e

possui importância na sociedade atual, justificando a escolha deste tema como abertura

do primeiro módulo do curso Matem@tica na Pr@tica.

Antes de prosseguirmos, reflita sobre a seguinte pergunta: quais são os recursos e

métodos que você mais utiliza para ensinar probabilidade em sala de aula?

Diria que há uma grande chance de você ter respondido que usa dados, dominó ou

cartas. Estes instrumentos são muito importantes e bastante úteis. Mas será que podemos

ir mais além? Que tal construir um jogo diferente que envolva os conceitos de probabilidade,

polígonos regulares, funções quadráticas e gráficos?

A seguir, apresentamos um jogo que vai proporcionar a você, professor, uma oportunidade

de mobilizar os estudantes de sua sala de aula em uma atividade em grupo muito

interessante.

Janela Pedagógica Documentos de referência e probabilidade

A aprendizagem da probabilidade é fundamental para a compreensão de

fenômenos naturais e do cotidiano. O documento Matriz de Referência para

o Enem-2009 indica que, ao término do Ensino Médio, o aluno deve ter

desenvolvido a seguinte competência: “Compreender o caráter aleatório e

não determinístico dos fenômenos naturais e sociais, e utilizar instrumentos

adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade

para interpretar informações de variáveis, apresentadas em uma

distribuição estatística”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem que o

Figura 3: O valor da mensalidade

de um plano de saúde é

determinado pela probabilidade

de utilização de seus serviços,

variando de acordo com a

localidade, idade, sexo, etc. de

seus clientes.

Figura 4: Estes objetos sempre

marcam presença nas aulas de

probabilidade

desenvolvimento da temática probabilidade seja abordado através de situações

de aprendizagem que orientem os estudantes a coletar, organizar e analisar

informações. No Caderno do SAEB 2009 encontramos o dado de que apenas

24% dos estudantes conseguem compreender o cálculo da probabilidade de

um evento. Tal fato indica que os professores precisam trabalhar mais fortemente

essa habilidade, principalmente para atender às demandas da matriz

de referência para o Enem-2009.

Vangelis Thomaidis / SXC

2. A probabilidade em nosso cotidiano 15


Figura 5: O Jogo dos Discos

ganha quem lançar o disco no

interior de um ladrilho, sem tocar

nenhuma de suas bordas.

16 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

Dora Pete / SXC

3. E o improviso virou Matemática

Na França, no século XVIII, era moda ladrilhar pisos de castelos e jardins.

As crianças não perderam tempo e logo fizeram desses ladrilhos um grande tabuleiro.

Inventaram o jogo dos discos, lançando moedas aleatoriamente no piso e apostando na

parada da moeda no interior de um ladrilho.

Mas que fatores contribuíam para uma criança ganhar a aposta e ver sua moeda inteiramente

dentro de um ladrilho, num lançamento aleatório, sem tocar nenhuma de suas

bordas? As crianças mais espertas logo perceberam que o diâmetro da moeda e o tamanho

dos ladrilhos influenciavam, e muito, na probabilidade de ganho deste jogo.

Saiba Mais Probabilidade e Geometria,

um casamento perfeito

A imagem é do naturalista e matemático Georges Louis Leclerc, o Conde de Buffon

(1707–1788). Ele discutiu a probabilidade de ganho no jogo dos discos, num livro em

1777, juntamente com o famoso problema da agulha. Diz a História que este livro é o

primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geométrica.

As crianças gostam de jogos que envolvam lançamentos de objetos em pisos quadriculados.

O jogo dos discos pode ser praticado por nossas crianças e, ainda por cima, ajudar

nossos estudantes a aprender Matemática. Não acredita? Então, leia o texto a seguir, onde

é feita uma proposta de atividade com esse jogo para o ensino da Matemática.

Formandos antenados!

Na festa anual, promovida por sua escola, os estudantes do terceiro ano do Ensino

Médio resolveram montar uma barraca para arrecadar fundos para a realização da tão

sonhada festa de formatura. Alguns estudantes queriam montar uma barraca de doces,

outros queriam vender refrigerantes e salgados, mas a maior parte da turma pensou em

bolar um jogo de apostas. Só faltava saber qual seria o jogo, que deveria ser simples e

interessante.

Depois de muita discussão e nenhuma definição, a turma resolveu pedir

ajuda ao professor de Matemática. O professor, lembrando-se do

Conde de Buffon, levou a turma para o pátio da escola

e mostrou o piso quadriculado, com ladrilhos

quadrados de 30 cm de lado. Neste momento,

o professor fez a seguinte sugestão:

Que tal construir discos com um certo diâmetro

para serem comprados pelos convidados e jogados

“aleatoriamente” no piso? Se o disco, depois


Fotos: Marcelo dos Santos –

Michaela Maslarska – Valber Cortez / SXC


de parar, ficar inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar ou interceptar as linhas de

separação do ladrilhamento, o convidado receberá um prêmio.

Figura 6: Regra básica para o jogo dos discos

Posições favoráveis ao jogador Posições favoráveis aos formandos

Os alunos adoraram a ideia e, na mesma hora, começaram a pensar qual seria o melhor

diâmetro para os discos. Claro que quanto maior melhor, pensaram...

O professor completou:

Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos, pois

os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm chance

de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual seria o diâmetro ideal? Vamos resolver este

problema em sala de aula?

Então, você gostou da sugestão do professor? Ele foi bem esperto, não acha? Conseguiu

motivar os estudantes para suas aulas e ainda propôs o ensino de probabilidade de forma

lúdica, agradável e significativa.

Você também pode propor esse jogo para os seus estudantes. Mas para que essa atividade

dê certo, você precisa dominar todo o processo de construção do conhecimento

proporcionado por ele. Como? Estudando e experimentando.

E vamos começar agora!

4. Estudo do jogo dos discos

Nosso primeiro objetivo é determinar qual é a influência do diâmetro do disco e do

tamanho dos lados dos ladrilhos na probabilidade de o jogador ganhar com lançamentos

aleatórios no jogo dos discos.

Para estudar os conceitos matemáticos envolvidos, vamos fazer vários experimentos

considerando discos de diâmetros variados. Faremos muitos lançamentos aleatórios e

anotaremos tudo, para comparar as jogadas vencedoras com o total delas.

Podemos sair por aí e procurar pisos ladrilhados para fazer os lançamentos. Mas fica

mais prático se adotarmos algumas simplificações, principalmente se quisermos executar

os lançamentos em sala de aula. Nossa sugestão é construir um quadriculado, com quadrados

de 3 cm de lado, desenhados em papel cartolina de 42 cm 42 cm. O lado de 3 cm

combina bem com moedas pequenas e botões de camisa.

4. Estudo do jogo dos discos 17


Material cartolina já recortada em 42 cm x 42 cm; régua; par de esquadros; fita adesiva e lápis

Antes de tudo fixar a folha na mesa com uma fita adesiva, para evitar que ela se mova e prejudique a construção

1 Marque, com o auxílio da régua,

pontos distantes 3 cm um do outro, ao

longo de duas bordas da folha (uma

horizontal e outra vertical).

Fotos: Afonso Lima / SXC

18 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

2 Com o auxílio da régua e um esquadro (ou

utilizando um par de esquadros), comece a construir o

quadriculado, traçando segmentos de reta verticais e

horizontais, partindo dos pontos marcados na folha.

Uma vez construído o quadriculado, vamos inicialmente lançar moedas de 10 centavos

como discos. O inconveniente das moedas é que, embora existam muitos tipos, elas não

têm grande variação no diâmetro. Por isto, mais adiante, será preciso lançar também botões

de camisa com diâmetros variados, para explorar diversas possibilidades em nossos

lançamentos.

Mas, por ora, vamos colocar a cartolina quadriculada em uma mesa e lançar, aleatoriamente,

moedas de 10 centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2

cm de diâmetro.

Você pode lançar mais de uma moeda ao mesmo tempo. Veja na Figura 7 um

exemplo de lançamento de cinco moedas de 10 centavos em um quadriculado com

quadrados de 3 cm de lado.

Como vimos nas regras do jogo, um lançamento (também denominado evento) é

favorável se a moeda cair inteiramente dentro de um quadrado, e não favorável se tocar

ou interceptar alguma linha do quadriculado. Como você pode ver na figura a seguir, os

eventos C e D são favoráveis, e os eventos A, B e E são não favoráveis.

Figura 7: Quadriculado com

cinco lançamentos, sendo

dois favoráveis e três não

favoráveis

A

B

C D

E

3 Após realizar os passos anteriores,

está pronto o quadriculado formado por

quadrados de 3 cm de lado.

Fotos: Afonso Lima / SXC

Fotos: Paulo Vasques de Miranda


Fotos: Mohamed Aly – Julio Cezar – Zsuzsanna Kilian – Sanja Gjenero / SXC

Multimídia Multimíd

Em 1998, o Banco Central lançou a

2ª família de moedas do Real. Em vez

do aço inoxidável, que reveste a 1ª

família, as moedas da 2ª família são

feitas de aço carbono, revestidas de

cobre ou latão, com exceção da moeda

de 50 centavos, que é feita com

uma liga de cobre-níquel. A 2ª família

de moedas tem cores, formatos e

tamanhos diferentes das moedas da

família anterior.

Veja, nas tabelas ao lado, as características

técnicas que diferenciam

essas duas famílias de moedas.

Para obter mais informações, você

pode acessar o site:


Antes de iniciarmos os lançamentos, é importante fazermos algumas reflexões. Faça a atividade a seguir e pense nas

questões propostas.

1ª Família de Moedas do Real

2ª Família de Moedas do Real

* ORDEM E PROGRESSO BRASIL

Fonte: Banco Central do Brasil

Atividade 2 Algumas questões para pensar

1 Como proceder com os lançamentos para

que sejam aleatórios?

2 Um jogador, ao lançar uma moeda, chega bem perto e

mira no centro de um quadrado. Seu lançamento é aleatório?

3 O que acontece se fizermos 1.000

lançamentos com uma moeda cujo diâ-

metro é maior do que o lado do quadrado

do quadriculado?

Valor Facial

(R$)

Diâmetro

(mm)

Peso

(g)

Espessura

(mm)

Bordo Material

0,01 20,00 2,96 1,20 Liso Aço inoxidável

0,05 21,00 3,27 1,20 Liso Aço inoxidável

0,10 22,00 3,59 1,20 Liso Aço inoxidável

0,25 23,50 4,78 1,40 Liso Aço inoxidável

0,50 23,00 3,92 1,20 Liso Aço inoxidável

1,00 24,00 4,27 1,20 Liso Aço inoxidável

0,01 17,00 2,43 1,65 Liso Aço revestido de cobre

0,05 22,00 4,10 1,65 Liso Aço revestido de cobre

0,10 20,00 4,80 2,23 Serrilhado Aço revestido de bronze

0,25 25,00 7,55 2,25 Serrilhado Aço revestido de bronze

0,50

(1998 a 2001)

23,00 9,25 2,85 Legenda* Cuproníquel

0,50

(2002 em diante) 23,00 6,80 2,85 Legenda* Aço inoxidável

1,00

(1998 a 2001) 27,00 7,84 1,95

1,00

(2002 em diante) 27,00 7,00 1,95

Serrilha

intermitente

Serrilha

intermitente

Cuproníquel (núcleo)

e Alpaca (anel)

Aço inoxidável (núcleo)

e Aço revestido

de bronze (anel)

4 Um estudante, ao desenhar um quadriculado, usou um

pincel de ponta grossa, que faz linhas de 3 mm. O que muda?

5 Um estudante foi solicitado pelo professor a fazer 200

lançamentos de uma determinada moeda. Teve a seguinte

ideia para acelerar a contagem: arrumou dez moedas iguais

e lançava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20

lançamentos, mas contou 200. Isso pode?

6 Se for válido o lançamento de várias moedas de

uma vez, para acelerar acelerar a contagem, o que fazer se, em

um determinado lançamento, duas moedas ficarem sosobrepostas? 4. Estudo do jogo dos discos 19

Fotos: Ricardo Miguel Carrión Carracedo – http://www.bcb.gov.br/?RECOLHEMOEDA


Resposta comentada

Sentiu alguma dificuldade para responder às questões

anteriores? Então preste atenção nas explicações a seguir.

Perceba que, se a moeda for lançada horizontalmente e a

certa distância do tabuleiro, pode-se praticamente assegurar

que o lançamento é aleatório. A distância não precisa ser

muito grande. Deve-se evitar “mirar” em um quadrado, ou

“deixar cair” verticalmente a moeda. É preferível que não sejam

colocados obstáculos nos lados

do quadriculado e nem colocar o

quadriculado junto a paredes.

Observe também que, ao lançar

20 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

Fotos: Afonso Lima / SXC

As questões que você acabou de responder têm a ver com aspectos comumente levan-

tados por alunos envolvidos no estudo de probabilidade, e é sempre bom refletir sobre

elas antes de iniciar o desenvolvimento deste conteúdo. Além destes aspectos, há ainda

alguns pontos que desejamos relembrar com você, antes de iniciarmos nosso experimento

propriamente dito. Vamos lá?

Você sabe que, para estimar uma probabilidade, devemos contar os casos favoráveis e

dividir esse número por todos os casos possíveis.

No caso do jogo dos discos, para se estimar a probabilidade de ganho com um determinado

disco, devemos realizar um grande número de lançamentos com este disco, contar

quantas vezes o disco parou inteiramente dentro de um quadrado (lançamento favorável)

e dividir esse número de lançamentos favoráveis pelo número total de lançamentos realizados.

O resultado dessa divisão é uma estimativa aproximada da probabilidade de ganho

com o disco em questão.

Por exemplo, a figura ilustra um lançamento aleatório de 5 moedas idênticas de 10 centavos

num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Nesta situação, podemos estimar

a probabilidade de ganho com a moeda de 10 centavos,

B

calculando a razão entre os lançamentos favoráveis (C e D)

A

e o total de lançamentos (A, B, C, D e E).

Na situação da figura acima, a probabilidade aproxima-

C D da de ganho com a moeda de 10 centavos é:

E

uma moeda ou um disco com diâmetro maior do que o lado

dos quadrados do quadriculado, ele sempre tocará algum

lado de um quadrado. Neste caso, o jogador nunca ganha.

É importante que a espessura das linhas do quadriculado

seja a mais fina possível, caso contrário o tamanho dessa

espessura pode influenciar na probabilidade de ganho do

jogador. No Ciclo 2, esta questão será tratada com maior

profundidade.

Para acelerar a contagem, você pode lançar várias moedas

ou discos idênticos de uma só vez, desde que haja um

razoável espalhamento. Se dois discos caírem sobrepostos,

pode-se retirar o de cima e fazer novo lançamento apenas

com ele.

lançamentos favoráveis 2

p = = = 0,4% ou 40%

total de lançamentos 5

A probabilidade de ganho com um disco depende do

seu diâmetro. Indicando o diâmetro por d (em cm), a probabilidade de ganho p será uma

função de d, e, assim, escrevemos p( d ) .


Considerando que a moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, na situação da

Figura 7 temos p( 2) ≈ 40% .

Mas será que essa informação corresponde à realidade? Em breve, você irá descobrir.

Para prosseguir com nosso experimento, precisamos obter estimativas de p( d ) para

outros valores de d. Deste modo, você pode fazer outros lançamentos com moedas de 25

centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2,5 cm de diâmetro,

com botões idênticos de camisa, com cerca de 1,1 cm de diâmetro, e com botões

idênticos de roupinhas de bebê, com cerca de 0,8 cm de diâmetro.

Agora sim! Na atividade a seguir, você vai fazer o experimento por completo. Faça

a atividade com cuidado e atenção. Não se esqueça que tudo deve ser registrado.

A atividade experimental de lançamentos de moedas e botões em uma cartolina

quadriculada, com quadrados de 3 cm de lado, também foi realizada pela equipe

do Matem@tica na Pr@tica.

Atividade 3 Costurando conhecimento

Com o quadriculado sugerido anteriormente (com quadrados

de 3 cm de lado, desenhado em papel cartolina de 42

cm x 42 cm), faça 200 lançamentos com cada um dos quatro

tipos de discos indicados (moedas de 25 centavos, moedas

de 10 centavos, botões idênticos de camisa e botões idênticos

de roupinhas de bebê).

Com isso, você irá estabelecer a relação existente entre

o diâmetro do disco e a probabilidade de o jogador ganhar,

lançando aleatoriamente esse disco em quadrados de 3 cm

de lado.

Lembre-se de que, ao lançarmos 200 vezes um disco de

diâmetro d, a probabilidade estimada p( d ) de ganho com o

disco é:

( )

p d ≈

número de lançamentos favoráveis

200

Deste modo, siga as instruções passo a passo:

1º passo Realize um lançamento com dez moedas de 10

centavos simultaneamente (discos de 2,0 cm de diâmetro).

Repita esse procedimento 20 vezes.

Sugerimos, para esse início do experimento, organizar

os dados na tabela a seguir. Após registrar os dados obtidos,

calcule a probabilidade de ganho com essa moeda.

Tabela 1: Dados obtidos no lançamento das moedas de 10 centavos

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100

L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis

Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas

Wagner Meira Beff

4. Estudo do jogo dos discos 21

Fotos: Daniel Wildman – John Nettleship – Slavomir Ulicny – Troy Newell – Fausto Giliberti – Pam Roth / SXC – Paulo Vasques de Miranda – Wagner Meira Beff – Ricardo Miguel Carrión Carracedo


2º passo Prossiga a experiência, fazendo lançamentos

simultâneos com dez moedas de 25 centavos (discos de 2,5

cm de diâmetros).

Continue registrando os dados obtidos na tabela a seguir

e não se esqueça de calcular a probabilidade de ganho com

essa moeda.

Tabela 2: Dados obtidos no lançamento das moedas de 25 centavos

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100

L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis

Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas

22 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

3º passo Faça agora lançamentos simultâneos, utilizando

dez botões de camisa idênticos (discos com cerca de 1,1 cm

de diâmetro).

Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de

ganho com esse botão.

Tabela 3: Dados obtidos no lançamento dos botões de camisa

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100

L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis

Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas


4º passo Finalmente, faça lançamentos simultâneos, utili-

zando dez botões de roupinha de bebê idênticos (discos com

cerca de 0,8 cm de diâmetro).

Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de

ganho com esse botão.

Tabela 4: Dados obtidos no lançamento dos

botões de roupinhas de bebê

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100

L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis

Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas

Imaginamos que você, professor, realizou todos os passos

indicados anteriormente. Sugerimos, então, organizar os

dados em outra tabela, como a que está a seguir:

Tabela 5: Organizando os dados obtidos com lançamentos

experimentais de discos com diâmetros variados

Tipo

de disco

Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm

Diâmetro

(cm)

Agora, responda:

Quant. de

lançamentos

Eventos

favoráveis

Probabilidade

de ganho

1 Qual foi a probabilidade encontrada no lançamento de

200 moedas de 10 centavos? Compare este valor com o valor

encontrado no exemplo da Figura 7. Os dois resultados estão

muito diferentes? Por que isso aconteceu?

2 Como você pode decidir se 200 lançamentos são suficientes

para obter uma precisão de uma casa decimal no

valor de p( d ) ? Não seriam necessários mais lançamentos?

Será que 100 lançamentos não seriam suficientes?

4. Estudo do jogo dos discos 23


3 Imagine que você está realizando esse experimento

Uma conjectura é

uma ideia baseada

em suposições, com

fundamento não verificado,

ou seja, não

foi provada como

verdadeira.

em sala de aula. Um dos seus estudantes, ao

lançar os discos no tabuleiro, conjecturou que

essa probabilidade seria a razão entre a área

da superfície do disco pela área do quadrado.

Com os conhecimentos obtidos até o momento,

como será possível ver se o estudante fez uma

boa conjectura?

4 Que dificuldades podemos encontrar para medir o

diâmetro de uma moeda ou de botões, usando uma régua?

Verifique qual a melhor forma de obter essa medida. Você

pode fazer uma estimativa para o erro em seu método de

medição?

24 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

5 Você deve ter observado que o texto dá a entender

que, ao lançar discos em um quadriculado com quadrados

de 3 cm de lado, é melhor escolher discos com diâmetros

espalhados no intervalo [0,3]. Por que isso?

6 Considerando que a probabilidade é um quociente,

qual o menor valor que ela pode atingir e qual o maior valor?

Resposta comentada

Agora, vamos responder às questões propostas:

1▹ O valor encontrado com o lançamento de 200 moedas

provavelmente foi diferente daquele encontrado

na situação da Figura 7, com apenas 5 moedas. Dificilmente,

com 5 lançamentos, você obtém uma boa

estimativa da probabilidade em questão.

2▹ Como não conhecemos o valor exato da probabilidade,

não temos como precisar quantas casas decimais


exatas encontramos com 200 lançamentos. Quanto

mais lançamentos fizermos com discos de um determinado

diâmetro d, maiores serão as chances

de obtermos uma estimativa melhor de p( d ) . Esta

experiência, com grupos de estudantes que realizaram

essa atividade, sugere que 200 lançamentos é

uma quantidade adequada. Você, professor, também

pode investigar isto.

3▹ Os experimentos não confirmam essa conjectura. Por

exemplo, no caso da moeda de 10 centavos, com raio

r = 1 cm e quadrados de lado ℓ = 3 cm, pela conjec-

2

tura do estudante teríamos πr π

p(

2) = = ≈ 0,349,

2

ℓ 9

mas nos experimentos obtivemos p(2) ≈ 0,135.

4▹ Uma boa forma de medir diâmetros de discos é usar

um paquímetro. Se usarmos uma régua numerada

com centímetros, a precisão obtida será de 1 mm,

Os dados obtidos pela equipe estão organizados nas tabelas a seguir.

Tabela 6: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica com moedas de 10 centavos

L Q F L Q F

1 10 4 11 10 3

2 10 1 12 10 1

3 10 2 13 10 2

4 10 1 14 10 0

5 10 1 15 10 1

6 10 1 16 10 2

7 10 0 17 10 2

8 10 0 18 10 0

9 10 3 19 10 2

10 10 1 20 10 0

T 100 14 T 100 13

L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis

Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas

isto se a régua foi bem fabricada. Uma

forma de melhorar essa precisão é enfileirar

dez discos, colocando-os bem

alinhados, medir o total dos diâmetros

Paquímetro é um

e dividir por 10. Isto dá uma precisão instrumento de precisão

para medição

de 0,1 mm.

de espessuras, diâ-

5▹ Geralmente, o conhecimento dos vametros e pequenas

distâncias.

lores assumidos por uma função em

pontos bem espalhados em seu domínio

fornece uma boa ideia da função.

6▹ Revendo a definição de probabilidade dada nesse

texto, vemos que ela é um quociente em que o numerador

é sempre menor que ou igual ao denominador.

Portanto, o maior valor possível da probabilidade é 1.

A probabilidade pode ser zero se não houver eventos

favoráveis, pois nesse caso o numerador é zero.

4. Estudo do jogo dos discos 25


26 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

Note que a equipe do Matem@tica na Pr@tica fez 200 lançamentos com moedas de

10 centavos, dos quais 14 + 13 = 27 foram favoráveis, obtendo uma estimativa para a pro-

babilidade de ganho com esta moeda de:

número de eventos favoráveis

número total de eventos

27

= = 0,135 = 13,5%

200

Considerando que uma moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, a equipe do

Matem@tica na Pr@tica obteve

p(2) ≈ 0,135

O experimento prosseguiu com moedas de 25 centavos, que têm 2,5 cm de diâmetro,

com botões de camisa de 1,1 cm de diâmetro e com botões de roupinha de bebê de 0,8

cm de diâmetro. Foram feitos 200 lançamentos para cada tipo de disco, e os resultados

obtidos estão dispostos na tabela a seguir.

Tipo

de disco

Tabela 7: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica.

Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm

Diâmetro

(cm)

Quant. de

lançamentos

Eventos

favoráveis

Probabilidade

de ganho

Botãozinho 0,8 200 117 0,585 = 58,5%

Botão 1,1 200 78 0,39 = 39%

Moeda

R$ 0,10

Moeda

R$ 0,25

2,0 200 27 0,135 = 13,5%

2,5 200 10 0,05 = 5%

Em resumo, para um quadriculado com quadrados de lado de 3 cm, a equipe do Matem@tica

na Pr@tica obteve as seguintes estimativas:

p(0,8) ≈ 0,585

p(1,1) ≈ 0,39

p(2) ≈ 0,135

p(2,5) ≈ 0,05

Retomando nosso estudo...

Agora que você já percebeu que existe uma relação entre o diâmetro do disco e a probabilidade

de ganho com este disco, podemos caminhar na direção da questão levantada

pelo professor de Matemática para os formandos da escola:

“Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos,

pois os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm

chance de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual será o diâmetro ideal? Vamos resolver

este problema em sala de aula?”


Nesta direção, vamos considerar inicialmente um jogo justo, em que a

probabilidade de ganho é de 50%, num quadriculado com quadrados de

3 cm de lado. Qual deve ser o diâmetro do disco ?

Já sabemos que devem ser considerados apenas diâmetros entre 0 cm e 3 cm, correspondentes

a probabilidades de ganho entre 0% e 100%. Já que 50% é ponto médio entre

0% e 100%, a primeira ideia para o cálculo desse diâmetro é considerar o ponto médio de

0 cm e 3 cm, não acha professor? Sendo assim, o diâmetro do disco que ofereceria uma

probabilidade de ganho de 50% seria de 1,5 cm. Será que esta consideração está correta?

Os experimentos feitos até agora são suficientes para decidir isto?

Examinando a Tabela 7, é fácil perceber que não. Os valores tabelados indicam que

o diâmetro procurado deve ser algo entre 0,8 cm e 1,1 cm. Para obter uma informação

mais precisa, você pode fazer lançamentos com discos de diâmetros intermediários, por

exemplo 0,9 cm e 1,0 cm. Recursos computacionais podem ajudar nesse refinamento.

Existe outra forma de obter essa informação. Que tal fazer um gráfico? É isso mesmo,

podemos plotar os pontos ( d; p( d )) que já temos em um gráfico. Supondo que o gráfico da

função p( d ) seja uma curva contínua, podemos desenhar uma curva que melhor se ajuste

aos pontos plotados. Vamos fazer?

Atividade 4 Visualizando probabilidades

Utilize os eixos a seguir para plotar os dados que você

obteve na Tabela 5.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

p(d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

d

Resposta comentada

Seguem abaixo os dados plotados pela equipe do Matem@tica

na Pr@tica, conforme Tabela 7.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

p(d)

Adam Ciesielski / SXC

Plotar significa desenhar,

especialmente

um gráfico, baseando-se

em informações

fornecidas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Observe que o eixo horizontal deste gráfico refere-se ao

diâmetro d dos discos. Como nosso quadriculado é feito de

quadrados de 3 cm de lado, indicamos a abscissa de 0 a 3.

O eixo vertical deste gráfico refere-se à probabilidade p( d ) ,

d

4. Estudo do jogo dos discos 27


que pode assumir valores de 0 a 1 (ou de 0 a 100%, se for

expresso em porcentagem).

O gráfico mostra-nos os pontos obtidos nos experimentos

(ver Tabela 7). Percebeu que existem dois pontos no gráfico

que não foram obtidos no experimento? A explicação é

simples. Observe que, se um disco tiver 3 cm de diâmetro, a

probabilidade de ganho do jogador é 0. Por isto. acrescenta-

Atividade 5

Utilize os eixos a seguir para fazer um esboço da curva

p( d ) que melhor se ajusta aos valores obtidos pela equipe

do Matem@tica na Pr@tica.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

p(d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Agora, responda:

1 Qual deve ser o diâmetro aproximado do disco, para

uma probabilidade de acerto de 0,5 ou 50%?

28 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

mos o ponto (3,0). Acrescentamos ainda o ponto (0,1), admitindo

que se o disco tem diâmetro 0, então a probabilidade

de ganho é total (é igual a 1). Portanto, no gráfico mostrado

anteriormente foram marcados os pontos:

(0;1) (0,8;0,58) (1,1;0,39) (2;0,135) (2,5;0,05) (3;0)

O próximo passo é desenhar a curva contínua que melhor se ajusta a esses pontos.

Depois de traçar a curva, e isso nós vamos deixar por sua conta, você vai observar que ela

não é uma reta, parecendo ser parte de uma parábola com vértice em (3;0). A partir daí,

fica fácil descobrir o diâmetro ideal dos discos para que o jogo seja justo.

d

2

2 Você se lembra de que as funções p( d) = ad + bd + c

são as que possuem gráfico na forma de uma parábola?

Vamos supor que o gráfico seja, de fato, uma parábola, com

vértice no ponto (3;0). Nestas circunstâncias, encontre os

valores dos coeficientes a, b e c.

Resposta comentada

A curva ajustada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica

é apresentada a seguir:


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

p(d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

7▹ Usando o gráfico, podemos resolver o problema,

pensando de forma inversa, isto é, qual deve ser a

abscissa que corresponde a uma ordenada de 0,5.

Observe que podemos traçar uma linha horizontal

com ordenada 0,5 (essa é a probabilidade de ganho

que desejamos). Ela toca o gráfico em um ponto A.

Deste ponto, traçamos uma linha vertical, que intercepta

o eixo das abscissas no ponto 0,9.

Veja:

1

0.8

0.6

0.5

0.4

0.2

0

-0.2

p(d)

A

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

d

d

1

0.8

0.6

0.5

0.4

0.2

p(d)

A

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0.9

Portanto, será preciso um disco com 0,9 cm de diâmetro

para obter uma probabilidade de 50%. Lembre-se de que esta

é uma solução aproximada.

8▹ Precisamos, agora, descobrir os coeficientes da fun-

2

ção p( d) = ad + bd + c.

Assumindo que (0;3) é o

vértice da parábola, segue que d = 3 é uma raiz dupla

e a expressão de p( d ) se simplifica na forma

2 2

p( d) = a( d − 3) = a d − 6a d + 9a.

Como o gráfico

passa pelo ponto (0;1), segue que 9a = 1 e, conse-

1 2

quentemente, a = , b = − e c = 1.

9 3

SERÁ QUE ESSE JOGO PODE

SERVIR DE TRANSIÇÃO ENTRE

O ESTUDO DE FUNÇÕES

LINEARES E FUNÇÕES

QUADRÁTICAS?

d

4. Estudo do jogo dos discos 29


Figura 9: Os anéis de vedação de

canos de esgoto são ótimos discos

para o nosso jogo

30 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I

Paulo Vasques de Miranda

5. Da cartolina para o chão da escola

Professor, vamos agora variar nosso experimento?

Figura 8: CDs ou argolas também são boas opções de discos para tabuleiros de grandes dimensões

Os lançamentos no jogo dos discos também podem ser realizados no chão da escola,

em pisos ladrilhados com quadrados. Um piso muito comum em áreas públicas são aqueles

feitos com quadrados de 30 cm de lado. Para a experiência com esses pisos, podem ser

construídos discos de vários diâmetros. Uma forma cômoda é comprar anéis de vedação

de canos de esgoto, disponíveis em lojas de material de construção em vários diâmetros.

Saiba Mais

Suponha que o jogo dos discos aconteça em um quadriculado com os

quadrados de 3 cm de lado, deslocados como na Figura à direita. Você

acha que essa disposição acarreta resultados diferentes dos anteriores?

Como se pode verificar isso?

Uma forma de verificar é fazer experimentos com esse novo quadriculado

e comparar os resultados com o quadriculado anterior. Naturalmente, os

quadrados de ambos os quadriculados devem ter o mesmo lado.

Mas, vamos pensar...

Imagine que a posição do disco, depois de lançado, depende apenas de seu centro. Isso é bem razoável, pois é

bastante provável que o disco caia “deitado”. Assim, quando o disco é lançado, podemos imaginar que seu centro

“escolhe” um quadrado onde cair (se o quadriculado for suficientemente grande, ele tem de escolher um quadrado).

Então não importa se o quadrado escolhido estiver deslocado em relação ao que está abaixo ou acima.

No Ciclo 2, vamos aplicar uma certa teoria e isto vai ficar mais claro.

Fotos: Miguel Ugalde – Hazel Moore / SXC


Conclusão

Você gostou da escolha do jogo dos discos como uma das atividades deste curso?

Entendemos que o jogo dos discos é uma atividade prática que aproxima os conteúdos

acadêmicos do “chão da escola”. Trata-se de uma atividade simples e motivadora para os

estudantes, facilmente aplicável pelo professor em sala de aula.

Existem muitos problemas envolvendo probabilidade geométrica. O jogo dos discos,

que acabamos de experimentar, é apenas um exemplo. Você pode pesquisar outros problemas

interessantes, relacionados ao tema, criar algumas atividades e aplicá-las com os

seus alunos.

No decorrer deste módulo, você também poderá fazer uma interação do jogo dos

discos com o desafio dos polígonos regulares.

Com isso, terminamos a primeira parte de nossa apresentação do jogo dos discos.

Esperamos que você tenha gostado da nossa proposta.

Até a próxima!

Resumo

Durante este Ciclo:

▹ Experimentamos o jogo dos discos, que consiste em lançar aleatoriamente discos

em um quadriculado e observar se o disco fica inteiramente dentro de um dos quadrados

do quadriculado;

▹ Vimos que, neste jogo, a probabilidade do disco ficar inteiramente dentro de um

quadrado depende do lado do quadrado e do diâmetro do disco;

▹ Construímos um gráfico com os pontos obtidos no experimento e chegamos a um

traço que indica ser um pedaço de parábola.

▹ Por fim, através do gráfico que representa a probabilidade em função do diâmetro

do disco, vimos que é possível determinar a chance de o jogador realizar uma jogada

favorável.

Informações para o próximo ciclo

Professor, no Ciclo 2 retomaremos o estudo do jogo dos discos. Ali faremos uma abordagem

mais teórica e obteremos uma expressão exata para a função p(d).

Paulo Vasques de Miranda

Figura 10: Imagine só como ficaria

interessante o jogo dos discos em

um ladrilhamento hexagonal.

5. Da cartolina para o chão da escola 31


Ciclo II

Explorando

o Jogo dos Discos

Bem-vindo, professor, ao Ciclo 2 do jogo dos discos.

No Ciclo 1 você experimentou o jogo dos discos e percebeu

como ele pode ajudá-lo a pensar sobre probabilidade e a

trabalhar com este conceito na sua sala de aula. Neste Ciclo

vamos desenvolver uma abordagem mais teórica para o jogo

dos discos, explorando questões ligadas à probabilidade

geométrica.

Para começar, reflita sobre as seguintes questões:

▹ Como podemos construir uma análise matemática mais

elaborada para o jogo dos discos?

▹ Como podemos obter uma expressão algébrica para a

probabilidade envolvida no jogo dos discos a partir da

geometria de seus elementos?

▹ De que forma a articulação entre uma abordagem

experimental e uma abordagem teórica pode enriquecer

suas aulas de probabilidade?

Svilen Milev / SXC


1. Recapitulando

OI, MEU NOME É JOSÉ

E EU TAMBÉM ESTOU

FAZENDO MATEM@TICA

NA PR@TICA.

ACHO QUE VOU

APROVEITAR ESSA

IDEIA E CRIAR UM

PROJETO SOBRE O

DESAFIO DO JOGO

DOS DISCOS LÁ NA

ESCOLA

MAS, QUE TAL

RELEMBRARMOS

RAPIDAMENTE O

QUE FIZEMOS NO

DEPOIS, COM OS

DADOS OBTIDOS,

CICLO 1?

CONSTRUÍMOS O GRÁFICO

DA PROBABILIDADE EM

FUNÇÃO DO DIÂMETRO

DO DISCO.

COM ESSE GRÁFICO

CONSEGUIMOS

DETERMINAR O DIÂMETRO

APROXIMADO DO DISCO

PARA UMA

PROBABILIDADE

DE 50%.

MAS... E AGORA?

O QUE SERÁ QUE

NOS ESPERA

PARA O CICLO 2?

O QUE VOCÊ ACHOU DO

CICLO 1 DO JOGO DOS DISCOS?

EU ADOREI ESSA PROPOSTA

DE ENSINAR MATEMÁTICA

ATRAVÉS DE

EXPERIEMENTOS.

lEMBRA QUE CONSTRUÍMOS

UM QUADRICULADO COM 3 CM DE

LADO? DEPOIS FIZEMOS VÁRIOS

LANÇAMENTOS COM MOEDAS E

BOTÕES DE DIVERSOS

DIÂMETROS?

ESSA ATIVIDADE

FOI BEM LEGAL!

DETERMINAMOS A

PROBABILIDADE APROXIMADA DAS

MOEDAS E BOTÕES FICAREM DENTRO

DE UM QUADRADO EM LANÇAMENTOS

ALEATÓRIOS NO QUADRICULADO.

1. Recapitulando 35


36 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

A história em quadrinhos nos ajudou a lembrar brevemente a experimentação do

jogo dos discos realizada no primeiro Ciclo. Vamos pensar agora em algumas questões

específicas que foram trabalhadas?

Estas questões nos ajudarão a refletir sobre os conceitos que iremos desenvolver neste

Ciclo 2.

No Ciclo 1 vimos a história de uma turma de formandos do terceiro ano do Ensino

Médio que precisava arrecadar fundos para a realização da sua festa de formatura e pediu

ajuda ao professor de Matemática da escola... Você lembra qual foi a sugestão do professor

para a turma de formandos?

Ele sugeriu aos estudantes o uso do jogo dos discos para arrecadar fundos na festa

da escola. Nesse jogo, os participantes comprariam lançamentos de discos e receberiam

prêmios pelos lançamentos favoráveis.

Mas você lembra o que é um lançamento favorável?

No jogo dos discos, um lançamento é considerado favorável quando o disco, lançado

aleatoriamente em um plano quadriculado, para inteiramente dentro de um quadrado sem

tocar ou ficar sobreposto às linhas do quadriculado.

Figura 1: A imagem do lançamento de CDs em um piso quadriculado mostra dois exemplos: jogadas favoráveis

(indicadas por setas), onde os discos estão inteiramente dentro do quadrado, sem encostar nas bordas, e

jogadas não favoráveis, onde os CDs estão sobrepostos à borda do ladrilhamento

Assim, na história dos formandos, se o participante fizesse um lançamento favorável,

ele lucraria. Se, ao contrário, não conseguisse fazer este tipo de lançamento, os formandos

lucrariam. Com esse lucro, os estudantes ganhariam dinheiro para a festa de formatura.

O professor, ao propor o uso do jogo dos discos aos formandos, levou a turma para o

pátio e mostrou que o chão era todo ladrilhado com quadrados de 30 cm de lado. Desse

modo, a turma só precisaria construir os discos.

Mas qual o diâmetro ideal para esses discos? Esse era o problema que os estudantes

teriam que resolver. No Ciclo 1 propusemos que você resolvesse essa mesma questão dos

estudantes formandos...

Miguel Ugalde / SXC – Equipe do Matem@tica na Pr@tica


... e para resolver você fez vários experimentos lançando discos de diâmetros varia-

dos em um plano quadriculado. Ao comparar esses lançamentos, foi possível entender,

experimentalmente, como o diâmetro do disco influencia na probabilidade de ele cair

inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado.

No Ciclo 1 percebemos ainda que a probabilidade de o disco cair dentro de um dos

quadrados de um quadriculado depende não só do diâmetro do disco, mas também do

lado do quadrado.

Todo esse conhecimento adquirido no Ciclo 1 será de grande importância na nova abordagem

que iremos construir neste Ciclo 2. Por isso começamos com esta recapitulação!

Aqui, neste segundo Ciclo, vamos dar um tratamento algébrico ao jogo dos discos,

resgatando sempre os experimentos realizados anteriormente.

Agora que nossa memória foi atiçada, vamos pensar sobre a nova abordagem que

iremos desenvolver no Ciclo 2?

2. O que há de novo neste Ciclo?

Neste Ciclo iremos determinar precisamente a probabilidade de um lançamento ser

favorável no jogo dos discos, utilizando o conceito de Probabilidade Geométrica.

No Ciclo 1 você obteve, através de experimentos, estimativas para a probabilidade de

lançamento favorável no jogo dos discos em função do diâmetro. Neste Ciclo iremos fazer

uma abordagem teórica para obter uma fórmula algébrica exata para essa função ( p( d )) .

Você deve estar se perguntando: por que fazer uma abordagem teórica se já resolvemos

o problema experimentalmente?

A abordagem teórica irá fornecer uma expressão exata para a função probabilidade, e

não estimada, como no método experimental. Além disso, a teoria pode evitar a necessidade

da construção do experimento. Não é o nosso caso, mas um experimento pode ser

muito custoso. Lembramos que a expressão exata pode conter parâmetros (como o lado

variável do quadrado do quadriculado), permitindo, assim, estabelecer a probabilidade do

jogo dos discos em qualquer quadriculado.

Mas como faremos isso?

Já que temos um problema para resolver, iremos adotar a seguinte estratégia de resolução,

que você também pode adotar com seus estudantes.

ETAPA 1

Para resolução do problema

2. O que há de novo neste Ciclo? 37

Wagner Meira Beff

Deniz Ongar / SXC


Guillermo Alvarez / SXC

Miguel Ugalde / SXC

Harrison Keely / SXC

38 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

Estratégia para resolução de problemas

Identificar o problema e formular o que desejamos saber.

Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema.

Verificar se existem teorias que podem ser aplicadas.

Aplicar a teoria e interpretar o problema através de linguagem

adequada (funções, fórmulas, gráficos, tabelas, etc.)

Validar a interpretação recorrendo a informações conhecidas.

Utilizar o modelo construído para explicar, fazer previsões, etc.

p(d)

1

08

06

04

02

0

P

1

0

0 10 20 30

L

d

Deniz Ongar / SXC

Ove Tøpfer / SXC


Essa foi a estratégia que escolhemos para resolver o desafio de expressar algebrica-

mente a probabilidade do jogo dos discos. Esperamos que você se identifique com ela!

Ao longo desse desafio, você encontrará as imagens acima nas margens de algumas

páginas. Essas imagens indicarão as etapas da resolução do problema pela qual você estará

passando. A primeira imagem, que representa a etapa de identificação e formulação do

problema, já apareceu... Volte algumas páginas e a encontre. Ela está mostrando exatamente

qual o problema que iremos resolver!

Então, vamos começar a pensar sobre este problema?

3. Posicionamento dos discos no quadriculado

Você deve estar lembrado de que no Ciclo 1 realizamos todos os experimentos em um

quadriculado com quadrados de 3 cm de lado que nós mesmos construímos. No entanto,

na sugestão do professor de Matemática para a turma de formandos, o quadriculado era

o próprio piso da escola, formado por quadrados de 30 cm de lado.

Como podemos passar do caso estudado no Ciclo 1, com o quadriculado formado por

quadrados de 3 cm de lado, para um caso mais geral, sem especificar o valor do lado dos

quadrados do quadriculado? Isto é, como podemos generalizar a probabilidade do jogo

dos discos?

A generalização em Matemática é fundamental quando pretendemos validar os dados

obtidos a partir de um determinado experimento. Este é um aspecto muito importante da

Matemática que merece ser trabalhado com os alunos da Educação Básica, você não acha?

Neste Ciclo buscaremos essa generalização. Ou seja, mais uma novidade desta abordagem!

Esperamos que você consiga aproveitá-la em sua sala de aula.

Mas vamos por partes...

Inicialmente, vamos supor que a brincadeira ocorrerá em um plano quadriculado com

quadrados, todos de mesmo lado L.

3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39

Fotos: Paulo Vasques Miranda


Figura 3: Impossível fazer

uma cesta com uma bola

maior do que o aro

40 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

Michael Faes / SXC

Figura 2: Ao generalizar nosso

estudo, L pode ter qualquer valor

Vamos refletir sobre a relação entre o tamanho do lado

do quadrado L e o diâmetro do disco lançado d?

L

Para entendermos a probabilidade de lançamentos favoráveis em um quadriculado

qualquer, precisamos pensar no diâmetro do disco que será lançado. A probabilidade p

de um lançamento aleatório ser favorável é uma função do diâmetro d do disco que está

sendo lançado e depende também do tamanho L dos quadrados do quadriculado. Indicaremos

esta função probabilidade por p( d ) .

O tamanho L, neste caso, funciona como um parâmetro da função p( d ) .

Uma informação obtida com os experimentos do Ciclo 1 diz respeito aos discos com

diâmetros maiores ou iguais ao lado dos quadrados do quadriculado. Discos com essa

característica nunca proporcionarão jogadas favoráveis em lançamentos aleatórios, pois

sempre tocarão as linhas do quadriculado. Na lógica matemática, esse fato é representado

pela seguinte sentença:

L

se d ≥ L,

então p( d ) = 0

Fica claro, então, que os valores interessantes para o diâmetro d estão no intervalo

0 ≤ d < L.

Lembre-se de que, quando d = L,

a jogada nunca é favorável, e, portanto, ( ) 0 p L = .

Então, professor, qual é a condição geométrica para que um disco de diâmetro d esteja

contido num quadrado de lado L?

Para responder a essa pergunta vamos considerar somente a geometria do problema,

sem nos preocuparmos se o lançamento é ou não favorável.

Imagine a figura de um disco que foi lançado e está parando sobre um dos quadrados

Maarten Uilenbroek / SXC


do quadriculado. Pense no disco confinado nesse quadrado, em todas as posições possíveis,

tocando ou não as bordas do quadrado.

Figura 4: Exemplos de discos de

diâmetro d confinados em um

quadrado de lado L. d/2

Observando a Figura 4, você consegue visualizar que a localização do centro de um

disco confinado no quadrado determina a posição desse disco no quadrado?

Em nossa abordagem teórica, podemos considerar que lançar um disco em um quadriculado

é o mesmo que lançar um ponto (que é o centro do disco) em qualquer um dos

quadrados do quadriculado.

Ainda observando a Figura 4, e considerando um grande número desses discos lançados

no interior do quadrado do quadriculado, você consegue observar que seus centros

geram tanto a borda quanto o interior de um outro quadrado menor?

Você saberia deduzir o lado do quadrado menor formado em função do lado L do

quadrado do quadriculado e do diâmetro d do disco?

L

ETAPA 2

Para resolução do problema

3. Posicionamento dos discos no quadriculado 41

Guillermo Alvarez / SXC


Atividade 1 Que quadrado menor é esse?

Observe a figura ao lado e deduza o tamanho do lado

do quadrado menor formado pelos centros dos discos de

diâmetro d confinados no quadrado de lado L.

Resposta comentada

d/2

L

A figura mostra o quadrado gerado pelos centros dos

discos de diâmetro d confinados em um quadrado de lado

L do quadriculado. Certamente o lado desse novo quadrado

é menor do que L.

Fotos: Henry Hingst – Lars Sundstrom / SXC

42 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

d

— 2

d/2

L-d

L

Note que a distância entre o lado do quadrado menor e

o lado paralelo mais próximo do quadrado maior tem a

d

mesma medida do raio do disco, que é , e, portanto, o lado

2

d d

do quadrado menor é L − − = L − d.

2 2

Você já conseguiu vislumbrar como a geometria dos quadrados da atividade anterior

pode nos ajudar a resolver o problema de probabilidade do jogo dos discos? Vamos juntos

pensar sobre isso...

4. Probabilidade geométrica

Para discutirmos a relação entre geometria e probabilidade, vamos usar o conceito de

probabilidade geométrica. Você o conhece?

Para entender esse conceito, vejamos o caso de um meteorito que cai na Terra e atinge

a superfície S do planeta em um ponto aleatório.

d

— 2


Como sabemos que aproximadamente 3 / 4 da superfície terrestre é formada pelos

oceanos, podemos estimar que a probabilidade deste meteorito cair em terra firme é:

1

S

superfície terrestre formada por terra firme 4 1

≈ =

superfície total da Terra S 4

Com esta ideia chegamos ao conceito de probabilidade geométrica.

Como você pode ver na figura ao lado, se tivermos uma região B do plano contida em

uma região A, e se for escolhido ao acaso um ponto de A, a probabilidade de que esse

ponto pertença a B é:

área de B

p =

área de A

Este conceito de probabilidade geométrica se aplica mesmo quando a área de região

B for nula, como no caso de pontos, segmentos, arcos, etc.

Assim, considerando o caso do meteorito, a probabilidade dele cair em terra firme de-

pende apenas da área da superfície do planeta coberta por terra e da área total do planeta.

O conceito de Probabilidade Geométrica é pouco trabalhado no Ensino Médio. Na

escola, frequentemente o ensino de probabilidade se restringe apenas à contagem de

casos favoráveis e casos possíveis. Porém, o trabalho com Probabilidade Geométrica pode

ser muito interessante para que os alunos associem estudos de probabilidade e conhecimentos

geométricos.

Considerando este conceito, você consegue deduzir qual seria a

Probabilidade Geométrica de um lançamento favorável?

Aplicando o conceito de probabilidade geométrica ao jogo dos discos para 0 ≤ d < L , a

região A corresponde a um dos quadrados de lado L do quadriculado, e a região B corresponde

ao interior do quadrado de lado L − d,

ou seja, à região dos lançamentos favoráveis.

Quando d = 0,

o disco é um ponto qualquer do interior do quadrado de lado L , que nesse

caso corresponde à região B.

Observando que a área de um quadrado é igual à área de seu interior, vemos que a

probabilidade de um lançamento ser favorável é:

Maarten Uilenbroek / SXC

ETAPA 3

Para resolução do problema

A

B

4. Probabilidade geométrica 43

Ove Tøpfer / SXC


Atividade 2 Descobrindo a expressão

polinomial da função p (d)

Você acabou de descobrir que os centros dos discos de

diâmetro d, no interior de um quadrado de lado L, onde

d < L,

geram outro quadrado de lado L − d.

Utilizando essa informação e o conceito de probabilida-

de geométrica, obtemos:

área do quadrado de lado L − d ( L − d)

p( d)

= = 2

área do quadrado de lado L L

Agora desenvolva ao máximo essa fórmula e tente des-

cobrir a expressão polinomial da função p( d ) .

44 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

2

área do quadrado de lado L − d

p( d)

=

área do quadrado de lado L

Nessa fórmula, L é um parâmetro que corresponde ao lado do quadrado do quadricu-

lado, e d é uma variável que corresponde ao diâmetro do disco lançado, como explicamos.

Quer ver mais claramente que tipo de função é p( d ) ?

Resposta comentada

Desenvolvendo p( d ) , temos:

2 2 2 2

( L − d) L − 2 L d + d L 2L 1 2 2 1 2

= = − d + d = 1−

d + d

2 2 2 2 2 2

L L L L L L L

daí,

1 2

L L

2

p(d)= d - d +1

2

ETAPA 4

Para resolução do problema

Portanto, p( d ) é uma função quadrática da forma

2

p( d) = ad + bd + c,

com 1

a = , 2

b = − e c = 1.

2

L L

Adam Ciesielski / SXC

Miguel Ugalde / SXC


Com essa atividade, pudemos perceber que p( d ) é uma função quadrática. Esse tipo de

função é trabalhado com frequência no Ensino Médio. O jogo dos discos é uma ferramen-

ta interessante para você desenvolver esse tipo de função com seus estudantes de forma

contextualizada e significativa.

No jogo dos discos, temos uma função quadrática na variável d:

com p (0) = 1 e p( L ) = 0.

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

p

1 2 1

p( d) = d − d + 1 = ( L − d)

L L L

2 2

2 2

Note que d = L é uma raiz dupla dessa função. Assim, o gráfico de p( d ) é parte de uma

parábola com concavidade voltada para cima e tangente ao eixo horizontal na abscissa

d = L.

Figura 5: Gráfico de p( d ) .

Já vimos o formato dessa curva no Ciclo 1, quando você construiu um gráfico como este

a partir do lançamento de discos com diâmetros variados, lembra? Repetimos na figura

anterior sua forma geral. A forma exata depende de atribuirmos a L um valor determinado.

Agora que você conhece a expressão polinomial da função p( d ) , que nesse caso é uma

função quadrática, vamos resgatar os dados experimentais obtidos no Ciclo 1 para discos

de vários diâmetros e comparar com os valores assumidos pela função p( d ) para esses

mesmos diâmetros.

L

d

4. Probabilidade geométrica 45


Adam Ciesielski - Afonso Lima / SXC

Atividade 3 Valores exatos

para a probabilidade

Vamos retomar o Ciclo 1, onde fizemos experi-

mentos com um quadriculado com quadrados de

3 cm de lado ( L = 3) . Nossos primeiros lançamentos

foram feitos com uma moeda de dez centavos,

com diâmetro de 2 cm ( d = 2) .

Expresse a função p( d ) nesse caso e calcule o valor exato

da probabilidade de uma jogada favorável para d = 2.

46 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

Resposta comentada

Utilizando a expressão polinomial que deduzimos anteriormente

e considerando L = 3,

obtemos:

1 2 1 2

p d d d d d

L L 9 3

2 2

( ) = − + 1 = − + 1

2

Calculando o valor assumido por p( d ) quando d = 2,

obtemos:

1 2 1

p (2) = ⋅ 4 − ⋅ 2 + 1 = ≈ 0,111

9 3 9

Portanto, para um disco com diâmetro de 2 cm e um

quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, a probabilidade

de uma jogada favorável é exatamente 1

(a cada 9

9

lançamentos, temos a probabilidade de 1 ser favorável), ou,

aproximadamente, 0,11. Em porcentagem, a probabilidade

é de aproximadamente 11%.

Agora que já encontramos a probabilidade exata de uma jogada favorável a partir de

uma abordagem teórica, vamos entender como ela se diferencia da probabilidade experimental

obtida no Ciclo 1.

5. Probabilidade experimental versus probabilidade

teórica

A atividade anterior nos lembra o que fizemos no Ciclo 1, quando calculamos experimentalmente

a probabilidade de um lançamento favorável de uma moeda de 2 cm de

diâmetro lançada em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado.


Figura 6: Alguns lançamentos de moedas no quadriculado desenvolvido no Ciclo 1.

Você lembra que a probabilidade experimental é:

quantidade de lançamentos favoráveis

p( d)

=

quantidade total de lançamentos

Lá fizemos 200 lançamentos com a moeda e obtivemos 27 lançamentos favoráveis,

resultando numa probabilidade estimada de

27

p(2) ≈ = 0,135.

200

Neste Ciclo, através da probabilidade teórica ou geométrica, obtivemos, por meio da

função quadrática, o valor exato:

p (2) = 1/ 9 ≈ 0,111

Comparando os dois valores obtidos, podemos observar que existe um erro a ser

considerado. Este erro pode ser calculado pela diferença positiva entre o valor exato e o

experimental, ou seja:

Nesse caso:

E = p( d) − p( d)

experimental exato

1

E = 135 − ≈ 0,0238

9

Fotos: Afonso Lima / SXC

5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 47

Ilker / SXC


Fotos: Terri-Ann Hanlon – David Siqueira / SXC

p(d)

1

08

06

04

02

0

P

1

ETAPA 5

0

0 10 20 30

Para resolução do problema

L

Atividade 4 Calculando erros

A Preencha as duas primeiras colunas da Tabela (i) com os

dados que você obteve no Ciclo 1 ao lançar moedas e botões

no quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Em seguida,

assumindo L = 3 na expressão exata de p( d ) , preencha

a próxima coluna com os valores exatos da probabilidade.

Compare os resultados e preencha a coluna dos erros.

48 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

d

Ou seja, temos um erro menor do que 3%.

Professor, por que existe essa diferença?

O método experimental resulta em um valor aproximado para a probabilidade, pois

leva em conta uma quantidade finita de possibilidades, que é dada pelo número de lançamentos

que fizemos. Já o conceito de probabilidade geométrica considera como possibilidades

um conjunto infinito de pontos, que é medido pela sua área, servindo como

referência para o valor exato da probabilidade em questão.

Agora você já é capaz de comparar a probabilidade exata de uma jogada favorável com

a probabilidade experimental encontrada usando como referência a expressão polinomial

de p( d ) . Com isto, você pode validar ou não a abordagem teórica, utilizando os

resultados já conhecidos e analisando o erro existente entre essas duas abordagens.

A atividade a seguir é bem simples e pode ser usada em sua sala de aula com seus

alunos. Nela, você pode calcular a probabilidade exata para lançamentos de discos de diferentes

diâmetros em um quadriculado com 3 cm de lado ( L = 3) . E ainda pode comparar

com os resultados obtidos no Ciclo 1, analisando o erro entre a probabilidade experimental

e a probabilidade exata.

Tabela (i): Comparando a probabilidade experimental

com a probabilidade exata e estimando o erro

Tipo

de disco

Botão de

roupinha de

bebê

Botão camisa

Moeda

R$ 0,10

Moeda

R$ 0,25

Diâmetro

cm

Probabilidade

experimental

Probabilidade

exata

Erro


Damion Morgan / SXC

B Em uma escola, o desafio do jogo dos discos foi apli-

cado em seu piso, formado por peças quadradas de 30

cm de lado. Os estudantes lançaram discos de borracha

de vários diâmetros e obtiveram as probabilidades dispostas

na tabela (ii).

Sua tarefa é completar essa tabela, comparando a

probabilidade exata com a experimental e calculando

o erro.

Tabela (ii): Analisando as probabilidades obtidas em uma sala de aula

Diâmetro

(cm)

Probabilidade

experimental

4 0,755 = 75,5%

6 0,685 = 68,5%

8 0,62 = 62%

10 0,5 = 50%

12 0,38 = 38%

14 0,32 = 32%

Probabilidade

exata

Erro

Resposta comentada

A Para completar a tabela (i), vamos em primeiro lugar

descobrir qual é o valor da probabilidade exata para

cada um dos discos, certo? Para isso, lembre-se de que:

1 2 2

p( d) = d − d + 1.

Como o lado do quadriculado é

2

L L

igual a 3 cm ( L = 3) , a expressão da probabilidade exata

é:

1 2 1 2

p d d d d d

(3) (3) 9 3

2 2

( ) = − + 1 = − + 1

2

Imaginando um botão de roupinha de bebê de

0,8 cm de diâmetro, o valor exato é determinado da

seguinte forma:

1 2 1 2

p d d d

9 3 9 3

2 2

( ) = − + 1 = (0,8) − (0,8) + 1 = 0,53777...

Para esse mesmo botão, a equipe do Matem@tica

na Pr@tica obteve nos experimentos do Ciclo 1 uma

probabilidade de 0,585. Repare que o valor que você

obteve pode ter sido um pouco diferente!

Agora já podemos comparar as duas probabilidades

para o botão de 0,8 cm, calculando o valor do erro.

Neste caso, o erro aproximado é:

E = p( d) − p( d)

≈ 0,585 − 0,538 = 0,047 ≈ 0,05

experimental exato

SXC /

Novamente, repare que a sua probabilidade experi-

Ciesielski

mental pode ter sido diferente e, então, seu erro será Adam

5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 49

versus


também um pouco diferente, já que ele depende da

probabilidade experimental!

Seguindo esse mesmo raciocínio, preenchemos a

tabela (i) com os valores encontrados pela equipe do

Matem@tica na Pr@tica da seguinte forma:

Tipo de

disco

Botão de

roupinha

de bebê

Botão de

camisa

Moeda de

R$ 0,10

Moeda de

R$ 0,25

Diâmetro

cm

Probabilidade

experimental

Probabilidade

exata

Erro

0,8 0,585 0,538 0,05

1,1 0,39 0,401 0,01

2,0 0,135 0,111 0,02

2,5 0,05 0,027 0,02

B O raciocínio desta resposta é bem parecido com o

anterior. O que muda em relação ao item (a) é que o

piso da escola é formado por quadrados de 30 cm de

lado. Logo, se L = 30,

a expressão exata da probabilidade

é diferente da que foi encontrada no item (a), pois:

1 2 1 1

p d d d d d

(30) (30) 900 15

2 2

( ) = − + 1 = − + 1

2

50 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

Considerando um disco de 4 cm de diâmetro, o valor

exato da probabilidade pode ser calculado de forma

análoga ao anterior:

1 1 169

p ( ) = − + = =

900 15 225

2

4 (4) (4) 1 0,75111...

Para esse disco obtivemos em nossos experimentos

uma probabilidade de 0,755. Sendo assim, podemos

comparar as probabilidades calculando o valor do erro:

E ≈ 0,755 − 0,751 = 0,004

Seguindo esse mesmo raciocínio, você deve ter preenchido

a tabela (ii) da seguinte forma:

Diâmetro

(cm)

Probabilidade

experimental

Probabilidade

exata

Erro

4 0,755 = 75,5% 0,751 0,004

6 0,685 = 68,5% 0,640 0,045

8 0,62 = 62% 0,540 0,082

10 0,5 = 50%

0,450 0,050

12 0,38 = 38% 0,360 0,020

14 0,32 = 32% 0,284 0,036

Agora que já aprendemos a calcular a probabilidade de um lançamento favorável p( d )

a partir do diâmetro do disco e do lado do quadrado, podemos retomar a questão trazida

pelo professor de Matemática aos formandos da escola lá do Ciclo 1.

Você lembra que, na situação-problema de uso do jogo dos discos como forma de arrecadar

fundos para a festa de formatura, o objetivo era determinar o diâmetro do disco

em função de uma probabilidade adequada? Probabilidade esta que proporcionasse um

certo lucro para a turma sem desestimular os jogadores.

Ao retomar esta questão estaremos avançando em nossos estudos. Vamos utilizar todo

o conhecimento desenvolvido até agora neste Ciclo 2 para darmos uma abordagem teórica

a esta situação-problema trazida pelo professor. Vamos pensar sobre o conceito de Probabilidade

Geométrica e sobre a fórmula que desenvolvemos para encontrar a probabilidade

exata de lançamentos no jogo dos discos...

... e vamos relacionar este conhecimento à situação-problema levantada pelo professor

de Matemática.


Parece muita coisa de uma vez? Então, vamos devagar...

Vejamos o problema inverso, que consiste em encontrar o diâmetro d a partir de uma

dada probabilidade p. Note que a situação-problema levantada pelo professor da turma

de formandos inverte o que vínhamos fazendo, pois até agora sempre calculamos p a

partir de d.

Para resolvermos uma situação-problema como esta, temos que olhar a expressão

obtida para p( d ) :

1 2 2

p( d) = d − d + 1

2

L L

Isolando d nessa expressão, podemos encontrar o diâmetro do disco a partir de uma

dada probabilidade p. Esta conta fica mais fácil se partimos da definição de probabilidade

geométrica dada pelo quociente de áreas:

( L − d)

p = 2

L

Manipulando esta equação temos 2 2

2

p L = ( L − d)

. Extraindo a raiz quadrada em ambos

os lados, vamos encontrar L p = L − d.

Finalmente, isolando o diâmetro d obtemos:

( 1 )

d = L ⋅ − p

Esta é a fórmula do diâmetro do disco em função da probabilidade requerida, tendo

como parâmetro o lado L do quadriculado.

Por exemplo, fixado L = 3,

se quisermos uma probabilidade de 50%, isto é, p = 0,5,

o

diâmetro precisa ser:

d = 3( 1− 0,5 ) ≈ 0,88

Note que esse valor teórico e exato é muito próximo do valor experimental d ≈ 0,9

obtido para esta mesma situação, no Ciclo 1.

Usando este procedimento, você pode descobrir a medida ideal do diâmetro do disco

para a probabilidade de acerto que desejar. Essa probabilidade pode ser 20%, 25%, 60%,

80%... Enfim, é você quem decide a probabilidade de ganho do jogador. Considerando a

situação-problema da turma de formandos do Ciclo 1, por exemplo, essa probabilidade

deve ser alguma que proporcione lucro para os formandos e, ao mesmo tempo, encoraje

os jogadores a participar do jogo dos discos!

Com as informações e expressões encontradas até aqui, os formandos já poderiam

decidir o valor do diâmetro dos discos que utilizarão no jogo do pátio da escola.

ETAPA 6

Para resolução do problema

5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 51

Harrison Harrison Keely / SXC


Atividade 5 Um estudante esperto...

Imagine que, em uma aula de Matemática, na qual o

professor já vinha usando o jogo dos discos para explicar

o conceito de probabilidade, um estudante perguntou qual

seria o diâmetro do disco correspondente a uma probabilidade

de 40% para um lançamento favorável, em um piso com

quadrados de 30 centímetros de lado.

Antes mesmo que o professor pudesse falar, outro estudante

respondeu de bate-pronto, sem fazer contas: esse diâmetro

está entre 10 cm e 12 cm. Se você fosse esse professor,

como verificaria se essa resposta está correta?

Considere, em sua resposta, que na aula passada os

alunos construíram e copiaram em seu caderno a tabela a

seguir, após jogarem discos de diferentes diâmetros no piso

da sala.

Diâmetro (cm) Probabilidade experimental

4 0,755 = 75,5%

6 0,685 = 68,5%

8 0,62 = 62%

10 0,5 = 50%

12 0,38 = 38%

14 0,32 = 32%

52 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

Resposta comentada

Com o auxílio do conceito de Probabilidade Geométrica, podemos abordar outras

situações em que se queira realizar o jogo dos discos, variando inclusive o lado dos quadrados

do quadriculado.

Veremos isso na próxima seção.

6. Nem tudo são parábolas

Provavelmente, o estudante que respondeu de bate-

-pronto concluiu examinando rapidamente, em seu caderno,

a tabela feita na aula passada. E viu que o diâmetro estaria

entre os valores de 10 e 12 cm, correspondentes respectivamente

às probabilidades de 50% e 38%. Espertinho, não?

Como sabemos que os quadrados do piso da sala de aula

têm lados iguais a 30 cm, então o diâmetro d que resulta em

uma probabilidade de 40% é determinado por:

d = L 1−

p . Substituindo os valores da probabilidade e do

( )

lado, temos: d = 30( 1− 0,4 ) ≈ 11,03.

Esta é uma outra for-

ma de verificar que a resposta que o estudante deu está

correta.

Imagine a seguinte situação:

Em uma escola, os estudantes resolveram aplicar o jogo dos discos usando CDs comuns

de 12 cm de diâmetro. Decidiram, depois de muita discussão, que o jogo deve ter uma

Pam Roth / SXC


probabilidade de 40% para um lançamento favorável ao jogador. Depois disso, alguns

estudantes se dispuseram a desenhar um quadriculado para esse jogo.

Professor, qual deveria ser o valor do lado dos quadrados desse quadriculado?

Para responder isso, precisamos calcular a função que fornece a probabilidade de uma

jogada favorável tendo como variável o lado do quadrado do quadriculado.

A função que estamos procurando é obtida substituindo o valor d = 12 dos diâmetros

dos CDs na definição de probabilidade geométrica dada pelo quociente de áreas:

Com isso, temos:

Qual será a medida do lado dos

quadrados desse quadriculado para

resultar em uma probabilidade de

ganho de 40% favorável ao jogador?

( L − d)

p = 2

L

2

( L −12) 2

L − 24L + 144 1 1

2 2 2

p( L)

= = = 1− 24 ⋅ + 144 ⋅

L L L L

Note que essa função é bem definida para qualquer L ≠ 0.

Porém, não interessa o caso

em que o lado dos quadrados do quadriculado é menor do que o diâmetro dos CDs, certo?

Logo, não faz sentido para o problema valores L ≤ 12.

Diferentemente de p( d ) , a expressão p( L ) não é polinomial, e sim o quociente de duas

funções quadráticas. Você observou que, quanto maior for L, mais próximo de 1 estará

p? O gráfico a seguir, da função p( L ) , nos mostra esse fato. Note que esse gráfico não é

parte de uma parábola.

2

6. Nem tudo são parábolas 53


Afonso Lima / SXC

54 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

p

1

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Figura 7: Gráfico da probabilidade de uma jogada favorável em função do lado dos quadrados do quadriculado.

Para calcular o lado dos quadrados do quadriculado que resulta em uma probabilidade

de 40% favorável ao jogador, basta resolver a equação

2,

ou seja, 2 1 1 .

p( L ) = 0,4 = = 1− 24⋅ + 144⋅

2

5 5 L L

2

Multiplicando esta equação por 5L e cancelando os denominadores, obtemos a se-

2 2

guinte equação de segundo grau: 2L = 5L − 120L + 720.

Ou, equivalentemente,

2

L − 40L + 240 = 0

Esta equação apresenta as seguintes soluções:

L = 20 − 4 10 ≈ 7,35 e L = 20 + 4 10 ≈ 32,65

Descartamos a primeira solução por ela ser menor do que 12.

Assim, a partir desses cálculos, os alunos descobrem que poderiam utilizar um quadriculado

com quadrados de 32,6 cm de lado.

7. Lucrando com o jogo dos discos

Vamos retomar a situação do jogo dos discos apresentada no Ciclo 1, onde os estudantes

de uma turma decidiram montar uma barraquinha na festa da escola. O objetivo dessa

barraquinha era arrecadar fundos para a formatura da turma, a partir do jogo dos discos.

Já trabalhamos neste Ciclo com esta situação-problema para calcularmos o diâmetro do

disco a partir de uma determinada probabilidade. Agora vamos trabalhar com esta mesma

L


situação-problema, refletindo sobre o lucro dos estudantes.

Vamos imaginar que, no dia da festa na escola, na barraquinha dos formandos o jogador

pagaria R$ 1,00 para cada lançamento de disco, com 40% de chance de realizar uma

jogada favorável. Se sua jogada não fosse favorável, os formandos lucrariam R$ 1,00. Caso

contrário, os formandos pagariam ao jogador R$ 2,00 de prêmio.

Nesse caso, qual será o provável lucro da classe de formandos se 500

discos forem vendidos na festa?

Se a classe conseguisse vender 500 discos a R$ 1,00 cada, ela arrecadaria, a princípio,

R$ 500,00. Dessas 500 jogadas, é provável que 40% delas sejam favoráveis ao jogador, ou

seja, 40 ⋅ 500 = 200 jogadas. Com isso a classe vai ter que pagar R$ 400,00 de volta, já que,

100

quando o jogador ganha, ele recebe R$ 2,00. Assim, a turma de formandos ficaria com R$

100,00 de lucro.

Não podemos esquecer que o objetivo dos estudantes é arrecadar fundos para a festa

de formatura. Será que pagar R$ 2,00 de prêmio pelo lançamento favorável é um bom

negócio?

Atividade 6 Contabilizando...

Os estudantes resolveram encontrar uma função para

determinar qual seria o melhor prêmio a ser pago aos jogadores,

considerando a probabilidade de 40% de acerto e a

venda de 500 discos por R$ 1,00. Para isso eles resolveram

calcular alguns valores e montaram a seguinte tabela:

Prêmio Arrecadação

Devolução

provável

Lucro provável

R$ 3,00 R$ 500,00

R$ 2,50 R$ 500,00

R$ 2,00 R$ 500,00 R$ 400,00 R$ 100,00

R$ 1,50 R$ 500,00

Complete a tabela e encontre uma fórmula para o lucro

provável em função do prêmio pago, levando em considera-

ção que o objetivo dos formandos é arrecadar fundos para

a festa de formatura.

Resposta comentada

A classe conseguiu arrecadar, a princípio, R$ 500,00 com

a venda dos discos. Sabendo que os jogadores têm 40% de

chance de vencer em cada jogada, o total de chances de

vencer em 500 jogadas é igual a 40% de 500, ou seja,

40

× 500 = 200

100

Adam Ciesielski / SXC

Assumindo que o valor do prêmio seja x, então a devolução

provável será 200 x. Esta é a expressão que deve ser usada

para completar a coluna “Devolução provável” da tabela.

O lucro dos formandos será a diferença entre o valor

arrecadado com a venda dos discos e a devolução feita.

7. Lucrando com o jogo dos discos 55


Sendo assim, o lucro provável será dado por 500 − 200 x.

Esta

é a expressão que deve ser usada para completar a coluna

“Lucro provável” da tabela.

Prêmio Arrecadação

Devolução

provável

R$ 3,00 R$ 500,00 R$ 600,00

Lucro

provável

- R$ 100,00

(prejuízo)

R$ 2,50 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 0,00

R$ 2,00 R$ 500,00 R$ 400,00 R$ 100,00

R$ 1,50 R$ 500,00 R$ 300,00 R$ 200,00

Maria Matos / SXC

Rejunte é um material

de construção

específico para

preenchimento das

juntas resultantes

da colocação, na parede

ou no piso, das

peças de cerâmica,

conhecidas como

azulejos. O rejunte

tem a função de

impermeabilizar as

laterais destas peças

e permitir sua

dilatação.

56 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

A tabela indica que um prêmio maior do que R$ 2,50 não

é lucrativo. A fórmula 500 − 200 x pode ser utilizada para calcular

o lucro provável para outros valores de prêmio que não

constam na tabela, por exemplo R$ 1,25. A decisão do valor

do prêmio deve considerar, além do lucro, o interesse do

jogador, não podendo ser menor do que ou igual a R$ 1,00.

Professor, e se o piso da escola utilizado pelos formandos tiver um rejunte com uma

espessura significativa? Ou se os ladrilhos estiverem deslocados? Como lidar com estas

situações?

8. Abordando outras situações

específicas no jogo dos discos

Até o momento, ao longo de nossos cálculos, desprezamos a espessura das linhas do

quadriculado ou do rejunte dos ladrilhos, supondo que essa espessura era muito fina.

Porém, podemos considerar outras situações...

Vamos considerar, por exemplo, o jogo dos discos em um ladrilhamento em que os

ladrilhos são quadrados de 30 cm e estejam separados por 2 cm de rejunte.

A espessura do rejunte constitui uma área de eventos possíveis, mas não favoráveis

ao jogador.

Nesta situação, dados dois quadrados lado a lado, repartimos a espessura do rejunte

meio a meio para cada quadrado. Então, os quadrados em que os eventos são possíveis

têm agora lado de 32 cm (1 cm adicional nas duas pontas de cada lado). Mas o quadrado

em que os eventos são favoráveis continua o mesmo que antes, isto é, tem lado 30 − d.

Assim, a função probabilidade tem agora a forma:

(30 − d)

p( d)

= 2

32

Neste caso, a relação entre os eventos favoráveis sobre os eventos possíveis diminui.

Assim, a probabilidade de acerto também diminui em comparação com o caso em que a espessura

entre os quadrados do quadriculado é desprezível! Na fórmula podemos verificar

isso pelo aumento do denominador, que causará uma diminuição no resultado da fração.

2


Figura 8: Ladrilhamento cinza com rejunte significativo. Os quadrados com lados pontilhados demarcam

a área de eventos possíveis, e os quadrados com lados tracejados demarcam a área de eventos favoráveis

Observe, professor, que se você fizer lançamentos de discos em um

ladrilhamento desse tipo, é importante que os ladrilhos e o rejunte

estejam no mesmo plano. O rejunte não pode constituir um obstáculo

ao movimento dos discos.

Outra questão que agora podemos retomar com mais profundidade diz respeito ao

quadriculado em que os quadrados estão deslocados. Esse tipo de piso é bastante comum

em pátios, calçadas e praças. Pode ser que este seja o caso do piso da escola dos

formandos...

Pensemos o seguinte: ao lançarmos um disco aleatoriamente, seu centro “escolhe”

um quadrado onde vai parar, e essa escolha independe se os quadrados estão deslocados

ou não. Logo a abordagem teórica realizada para o caso em que os quadrados não estão

deslocados também se aplica neste caso.

A possibilidade de pensarmos sobre diferentes tipos de ladrilhamentos pode ser

explorada no Ensino Médio, para que os alunos possam ter uma aprendizagem mais

significativa a partir de uma situação contextualizada de ensino. Refletir sobre diferentes

possibilidades ajuda a reforçar e entender o conceito de Probabilidade Geométrica e suas

várias aplicações.

Adam Ciesielski / SXC

8. Abordando outras situações específicas no jogo dos discos 57


58 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

Em nossas atividades consideramos o jogo dos discos somente em quadriculados com

quadrados de medidas variadas, jogando discos de diferentes diâmetros.

Mas não é só isso!!!

Se você quiser desenvolver ainda mais o conceito de Probabilidade Geométrica com

seus alunos, pode realizar atividades adicionais com o jogo dos discos em ladrilhamentos

que tenham formas geométricas variadas. Sua abordagem pode ser teórica ou experimental.

Veja a seguir alguns exemplos:

É claro que, com esses ladrilhamentos, as áreas envolvidas no cálculo da probabilidade

geométrica são diferentes das áreas de quadrados, gerando expressões mais complicadas

para p( d ) . Mas esta já é uma outra história...


Conclusão

Como você deve ter percebido, o desafio do jogo dos discos é uma atividade capaz de

estimular o estudante a realizar um trabalho investigativo muito interessante! Tal desafio

se diferencia de exercícios repetitivos e monótonos na medida em que valoriza a criatividade

e a estratégia para a resolução do problema. Por isso acreditamos que pode enriquecer

seu trabalho, fazendo diferença em sua sala de aula.

Vimos que o método teórico fornece valores exatos e, talvez por isso, muitos professores

de Matemática preferem trabalhar com uma abordagem teórica em suas aulas.

Porém, a abordagem experimental é muito significativa para os estudantes, pois permite

que eles coloquem a “mão na massa” e se sintam fazendo parte do processo de ensino-

-aprendizagem. Acreditamos que a abordagem teórica deve e precisa ser valorizada. Mas

também acreditamos que abordagens experimentais são importantes e devem ser trazidas

cada vez mais para as salas de aula das escolas.

Esperamos que após o estudo do jogo dos discos você se sinta estimulado a realizar

tanto a abordagem experimental quanto o aprofundamento teórico em suas aulas.

Resumo

Neste Ciclo desenvolvemos um tratamento algébrico para o problema do jogo dos

discos. Isto nos ajudou a:

▹ Descobrir que um disco de diâmetro d está inteiramente contido dentro do quadrado

de lado L se d < L e se o centro do disco estiver dentro do quadrado de lado L − d,

posicionado dentro do quadrado maior (quadrado de lado L);

▹ Conhecer o conceito de probabilidade geométrica: se existe uma região X do plano

contida em uma região Y, e se for escolhido ao acaso um ponto de Y, então a probabilidade

de que esse ponto pertença a X é área de X ,

p =

área de Y

▹ Desenvolver o conceito de probabilidade geométrica e obter uma expressão algébrica

exata para a função quadrática de probabilidade do jogo dos discos em

quadriculados:

2

área do quadrado de lado L − d ( L − d)

1 2 2

p( d) = = = d − d + 1;

2 2

área do quadrado de lado L L L L

▹ Comparar os valores exatos obtidos por meio desta função quadrática com os valores

aproximados obtidos experimentalmente no Ciclo anterior:

E = p( d) − p( d)

experimental exato

▹ Responder com exatidão ao problema inverso, no qual o diâmetro do disco é calculado

a partir de uma probabilidade desejada e do comprimento do lado dos quadra-

d = L 1 − p ;

dos do quadriculado: ( )

Resumo 59


60 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

▹ Entender como considerar a área do rejunte no cálculo da probabilidade envolven-

do um ladrilhamento com rejunte significativo. Nesta situação, a área dos eventos

possíveis deve incluir a área do rejunte;

▹ Entender que a probabilidade de lançamentos favoráveis em pisos quadriculados

independe de os quadrados estarem ou não deslocados.

Orientações sobre avaliação

Lembramos que estão à sua disposição, nos recursos do Ambiente Virtual do Matem@

tica na Pr@tica, atividades por meio das quais você poderá desenvolver e complementar

seus estudos. Sua participação ali é imprescindível, pois nesse recurso interativo está inserido

todo o registro de sua avaliação.

Com o propósito de orientar e fazer uma síntese, listamos os itens de conteúdo e habilidades

que fazem parte dessa avaliação.

Após ter realizado o jogo dos discos, você deverá ser capaz de:

▹ Reconhecer qual problema matemático está presente no jogo e de que forma as

técnicas matemáticas ajudam a estudá-lo;

▹ Construir o material didático necessário para investigar o problema proposto;

▹ Identificar a função matemática que aparece no jogo dos discos, reconhecer como

foi construído seu gráfico e por que este ajuda a entender o jogo e fazer previsões;

▹ Aplicar o conceito de probabilidade geométrica na resolução do problema do jogo

dos discos;

▹ Identificar as técnicas algébricas utilizadas para obter a equação que fornece a probabilidade

no jogo dos discos;

▹ Determinar por que interessa resolver o problema inverso no jogo dos discos;

▹ Comparar os resultados experimentais com os teóricos no jogo dos discos e reconhecer

os motivos das diferenças eventualmente encontradas;

▹ Adaptar as atividades propostas para sua realidade escolar e propor estratégias

criativas para essa transposição.

Lembramos que a avaliação não se destina apenas a aferir conhecimentos e participação.

Ela é importante para apontar novos caminhos e para a correção de rumos, tanto para

os próprios participantes como para as equipes aplicadoras e proponentes desse curso.

Encerramento

Chegamos ao final dos ciclos 1 e 2 do experimento “jogo dos discos”. Esperamos que

você tenha aproveitado todo o conhecimento desenvolvido para refletir sobre o ensino de

Matemática, bem como sobre seu trabalho cotidiano na sala de aula.


Ao longo deste estudo, abordamos importantes conceitos da Matemática com o obje-

tivo de mostrar que podemos contextualizar e repensar seu ensino na escola. Desejamos

que ele tenha sido apenas o início das suas reflexões e experimentações pedagógicas e

que você possa continuar o seu trabalho como professor criando e incorporando novas

propostas.

O “jogo dos discos” continua no Ciclo 3, em conjunto com os outros dois experimentos,

o modelo de despoluição e o desafio geométrico. Você está convidado a aplicar em sala

de aula um dos três experimentos. Para auxiliá-lo, disponibilizamos sugestões de aulas no

Portal do Professor do MEC. A apresentação do Portal do Professor será feita no Ciclo 3

e pode contribuir no seu trabalho de docência. Neste espaço do Portal do Professor, você

poderá buscar recursos e debater com outros professores, trocando e pensando constantemente

sobre o ensino de Matemática e sobre a educação no Brasil.

Mas nossos trabalhos não param por aqui! Continuaremos caminhando juntos e refletindo

sobre a melhoria do ensino de Matemática em nossas escolas.

Referências

Anézio Nucci Júnior; Djalma Simplício da Silva; Eliane Saliba Botta; Gracia Aparecida de Almeida

Sicheroli; Ione Aparecida Storti Rodrigues; Marco Antonio de Brito; Rosana de Fátima Prado; Vera

Lucia Camargo Nascimento, O Jogo dos Discos. Monografias apresentadas no Projeto Pró-Ciências –

Programa CAPES/FAPESP/ SEMTEC/SEE. São Carlos, SP: UFSCar, 2001.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999.

BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Ciências da natureza, matemática e suas tec-

nologias. V. 2. Brasília: Ministério da Educação, 2008.

BRASIL. Matriz de Referência para o Enem 2009. Disponível em: .

COURANT, R.; ROBBINS, H., O que é Matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.

HARUTA, M. E.; FLAHERTY; M., MCGIVNEY, J.; MCGIVNEY R. J. Coin Tossing. The Mathematics Teacher.

V. 89, n o 8, nov. 1996, p. 642-645.

LIMA, E. L. et alii. A Matemática do Ensino Médio. V. 1, 2 e 3. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

Matemática, 1996.

MORGADO, A. C. O. et alii. Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

PATERLINI, R. R., O problema do jogo dos discos. Revista do Professor de Matemática, n o 48. São Paulo:

Sociedade Brasileira de Matemática, 1 o quadrimestre de 2002. P. 13-19.

Referências 61


62 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II

_____. Aula sobre o problema do jogo dos discos. Disponível em: .

RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R., Cálculo numérico – Aspectos teóricos e computacionais. Rio de

Janeiro: Makron Books, 1988.

TUNALA, N., Determinação de Probabilidades por métodos geométricos. Revista do Professor de

Matemática, no 20. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1o quadrimestre de 1992. P. 16-22.

WAGNER, E. Probabilidade Geométrica. Revista do Professor de Matemática, no 34. São Paulo: Sociedade

Brasileira de Matemática, 2o quadrimestre de 1997. P. 28-35.


Formação Continuada

de Professores

especialização UAB - PAR

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