Estruturas Metálicas - Universidade Fernando Pessoa

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Estruturas Metálicas - Universidade Fernando Pessoa

Estruturas

Metálicas

EC3 – Parte 1.1 / Volume IV

Série ESTRUTURAS

joão guerra martins 4.ª edição / 2011


Prefácio

Série Estruturas Estruturas Metálicas

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de

Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e

actualizado.

Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto,

completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno

de Engenharia Civil.

Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer

à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se

ao que se pensa omitido.

Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos

que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.

De notar que este texto tem apenas fins pedagógicos, sem nenhum interesse comercial e de

acesso gratuito e livre.

Por outro lado, a consulta e estudo da bibliografia que ajudou a criar este texto é

indispensável para a consolidação dos conhecimentos aqui contidos, não podendo este

documentos de apoio, de qualquer forma, substituir-se à mesma.

João Guerra Martins

II


Série Estruturas Estruturas Metálicas

ÍNDICE GERAL

ÍNDICE GERAL ......................................................................................................................... I

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................ III

ÍNDICE DE QUADROS ........................................................................................................... V

1. Introdução ............................................................................................................................... 1

1.1. Generalidades .................................................................................................................. 1

1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas ............................................................ 1

1.1.2. Modelos de cálculo ................................................................................................... 1

1.1.3. Classificação de secções ........................................................................................... 3

1.1.4. Comprimento de encurvadura .................................................................................. 6

2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão ......................................................... 8

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos ................................................. 12

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão:

encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler) ............................ 12

2.1.2. Elementos uniformes .............................................................................................. 16

2.1.3. Elementos não uniformes ....................................................................................... 29

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção .................................. 29

2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral

.......................................................................................................................................... 43

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial

.......................................................................................................................................... 47

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento

segundo o eixo fraco (zz’s) .............................................................................................. 47

2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas ............................ 48

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 50

Kz=Kw ............................................................................................................................. 50

Kw=1 ................................................................................................................................ 51

Segundo o quadro da página 71 ....................................................................................... 51

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 52

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 54

2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída ....................... 57

2.2.7. Viga em consola ..................................................................................................... 64

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / I


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2.4. Flexão composta com compressão ................................................................................ 68

2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral .................................. 72

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral .............................. 74

2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3 ............................. 82

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas

comparações ................................................................................................................... 101

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 131

ANEXO I – Encurvadura Lateral (incluindo o Anexo F do EC3 de 1993) ........................... 132

ANEXO II – Tabelas .............................................................................................................. 146

ANEXO III – Encurvadura (em inglês) ................................................................................. 149

Types of instability at the sectional level ....................................................................... 156

Instability at the joints/nodes/connections level ............................................................. 158

Buckling domains (global, element, sectional and nodes) ............................................. 159

Material properties during the buckling process ................................................................ 161

Structural stability of frames in standard (EC3) ................................................................. 162

Final remarks & recommendations .................................................................................... 162

II


Série Estruturas Estruturas Metálicas

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico ................................................................................ 2

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico ................................................................................ 2

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito ................................................................... 3

Figura 4 – Comportamento de secções à flexão ......................................................................... 4

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços ...................................... 5

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura ................... 5

Figura 6A – Secções transversais da classe 4 ............................................................................ 6

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L .............. 7

Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira. .... 9

Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas

.......................................................................................................................................... 10

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos

das vigas ........................................................................................................................... 10

Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares ........................................................................ 11

Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler ........................................................................... 13

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado ........................... 15

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida,

irreal dado que não contém imperfeições. ........................................................................ 17

Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais. .. 18

Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada ....................... 19

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler .................................... 19

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de

vigas – esquema ............................................................................................................... 30

Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem .................. 30

Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial

segundo o eixo dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura

com flexão lateral (deslocamento “u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção

(rotação “ϕ”). .................................................................................................................... 31

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada . 31

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido

.......................................................................................................................................... 31

III


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em

bambeamento (encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral) ............................ 32

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte

flexo-torsionada ................................................................................................................ 32

Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada .. 33

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis

.......................................................................................................................................... 33

Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais

.......................................................................................................................................... 34

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça .. 39

Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza ... 40

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento ............ 40

Figura 12 D - Redução entro Mcr e λLT nornalizado................................................................. 40

Figura F.1.1 – Convenção de sinais para a determinação de Zj ............................................. 138

IV


Série Estruturas Estruturas Metálicas

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo ..................... 7

Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais ................................................................... 12

Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 –

Cap. 6.3.1.2) ..................................................................................................................... 20

Quadro 4 – Factores de redução ............................................................................................... 20

Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal ...................... 21

Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura

lateral ................................................................................................................................ 35

Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais ............... 36

Quadro 8 – Factores de correcção Kc ....................................................................................... 37

Quadro 9 - Valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed (EC3). ................................................ 69

Quadro F.1.1 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K –

Momentos nos apoios ..................................................................................................... 136

Quadro F.1.2 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K –

cargas nos vãos ............................................................................................................... 137

Quadro A1.1 - Factores para o cálculo do momento crítico em tramos de vigas com

comprimento L e secção duplamente simétrica (Simões, 2005) .................................... 145

Quadro A2.1 - Centro de Corte e Módulo de Torção ............................................................. 147

Quadro A2.2 - Tensões tangenciais e constante de torção em secções correntes (Simões,

2005) ............................................................................................................................... 147

Quadro A2.3 - Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2005) ............... 148

V


Série Estruturas Estruturas Metálicas

1. Introdução

1.1. Generalidades

1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas

Embora se tenha consciência que os próximos pontos já foram anteriormente abordados, mas

atendendo a um eventual estudo desfasado e dada a importância dos conceitos envolvidos,

julga-se pertinente a sua reapreciação. Em caso destes princípios estarem ainda presentes, será

de ir directamente para o ponto 5.5.2.

Devido às propriedades físicas e mecânicas do aço, a pesquisa neste campo conduziu ao

desenvolvimento de estruturas metálicas (correntes e em particular porticadas) caracterizadas

cada vez mais por elementos lineares de esbelteza considerável.

Assim, a verificação da segurança ocupa um papel fundamental no cálculo e

dimensionamento das mesmas com o intuito de salvaguardar pessoas e bens através do estudo

físico, tanto de fenómenos intrínsecos (tensões, ligações, etc), como extrínsecos (vento,

sismo, etc.). Relativamente à verificação da segurança no respeitante a estruturas de aço, o

EC3 preconiza os seguintes critérios gerais:

• Estado-limite último – estado associado ao colapso da estrutura com risco da

segurança de pessoas e bens. Na generalidade consideram-se os estados limites de

resistência, de estabilidade e de perda de equilíbrio (raramente a fadiga em estruturas

metálicas de Construção Civil).

• Estado-limite de utilização – devem ser definidos de acordo com as

condições particulares de utilização de cada estrutura. Sendo um estado limite, as suas

condições específicas de utilização deixam de ser verificadas. Na generalidade das

estruturas metálicas consideram-se os estados limites de deformação e de vibração.

1.1.2. Modelos de cálculo

Em termos de dimensionamento, deverá prever-se que nenhum estado limite relevante seja

excedido. Para tal dever-se-ão considerar todas as situações do projecto onde constem cargas

aplicadas importantes para a estabilidade da estrutura, bem como possíveis desvios

direccionais ou posicionais das acções consideradas. Jamais as acções destabilizantes poderão

ser maiores que as acções estabilizantes, sob risco de colapso e/ou deformação da estrutura.

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / 1


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Em termos do número de vínculos de uma estrutura temos duas situações:

• Estrutura isostática: Sempre recorrendo a uma Análise Global Elástica, os esforços de

uma estrutura isostática devem ser determinados através da aplicação das regras de

equilíbrio estático.

• Estrutura hiperestática: O cálculo dos esforços pode ser determinado segundo duas

variantes:

Análise global elástica – é baseada na linearidade das relações entre tensão e a deformação do material

em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja a tensão actuante. Existindo uma tensão actuante logo

deverá existir uma deformação no material, inter-reagindo em proporcionalidade uma em relação à outra;

Análise global plástica (comportamento rígido-plástico, elasto-plástico ou elasto-plástico perfeito) – é

baseada na plastificação de algumas zonas da estrutura (formação de rótulas plásticas) só podendo ser

efectuada se a mesma verificar determinados requisitos relativos à estabilidade global estrutural e do próprio

material. No comportamento rígido-plástico (fig. 1) desprezam-se as deformações elásticas do material.

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico

No comportamento elasto-plástico (fig. 2) admite-se que a secção se mantém perfeitamente

elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto A).

No comportamento elasto-plástico perfeito, admite-se que a secção se mantém perfeitamente

elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto B), tornando-se a seguir

perfeitamente plástica (fig. 3).

fy

A

fase elástica

fase elastoplástica

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico

EC3 – Volume IV 2


Série Estruturas Estruturas Metálicas

fy

B

fase elástica

fase elastoplástica perfeita

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito

Segundo o EC3, a escolha do tipo de análise a efectuar a uma estrutura (em particular aos

elementos estruturais e ligações) depende das condições que se passam a apresentar.

Para uma análise global plástica:

• Aços com ductilidade suficiente, verificando os requisitos estabelecidos no

subcapítulo 3.2.2.2 do EC3;

• As secções transversais onde se formem rótulas plásticas devem possuir capacidade de

rotação suficiente. No caso de as rotações requeridas não serem calculadas, as secções

devem ser da classe 1;

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem ser simétricas em relação ao plano

de acção;

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem estar contraventadas lateralmente.

Para uma análise global elástica:

• As secções transversais podem ser de qualquer classe. Se forem das classes 1 ou 2,

pode ser considerada no seu cálculo orgânico a sua resistência plástica. Se forem das

classes 3 ou 4, deve ser considerada a resistência elástica, considerando uma área

efectiva reduzida no caso de serem da classe 4 (ver fig. 4 e 5).

• Pode ser considerada a redistribuição de momentos, até ao máximo de 15%, desde que

os esforços internos continuem em equilíbrio com os carregamentos actuantes e as

secções dos membros onde se considera a redistribuição sejam das classses 1 ou 2.

1.1.3. Classificação de secções

Com base nisto, assume assim importante destaque a classificação das secções transversais

dos elementos estruturais metálicos a utilizar no processo de cálculo e dimensionamento.

EC3 – Volume IV 3


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Tendo em conta as suas capacidades de rotação e de formação de rótulas plásticas, as secções

transversais podem classificar em:

• Classe 1 – são aquelas secções em que se pode formar uma rótula plástica com a

capacidade de rotação requerida por uma análise plástica;

• Classe 2 – são aquelas secções em que é possível atingir o momento plástico, mas

que possuem uma capacidade de rotação limitada;

• Classe 3 – são aquelas secções em que a tensão da fibra externa mais comprimida

do elemento de aço pode atingir o valor da tensão de cedência, mas em que o

momento plástico poderá não ser atingido, devido à encurvadura local;

• Classe 4 – são aquelas secções em que é necessário ter em conta, explicitamente, os

efeitos da encurvadura local na determinação da sua resistência à flexão ou

compressão. A redução da resistência é efectuada através do cálculo de uma secção

efectiva reduzida.

Podemos resumir graficamente (fig. 4) a classificação atrás apresentada relativa ao

comportamento à flexão de secções da seguinte forma:

Sendo:



M

Mp

Me

e M – Momento elástico.

M p – Momento plástico.

classe 3

classe 4

classe 2

Figura 4 – Comportamento de secções à flexão

classe 1

No respeitante à máxima distribuição possível de tensões (óptimo rendimento do material), a

situação é a traduzida na figura 5, sendo visível que a configuração mais favorável será para

EC3 – Volume IV 4

Ø


Série Estruturas Estruturas Metálicas

um aproveitamento do domínio plástico, possível nas classes 1 e 2, e a pior a respeitante à

classe 4, em que nem é possível atingir o limite elástico na fibra mais esforçada.

fy

classe 1 e 2

fy

fy

classe 3

f < fy

classe 4

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços

Segundo a definição da Classe 3, as proporções do elemento de chapa, representadas pela

relação b/t, devem ser tais que σcr exceda a resistência limite elástica, ou de plastificação, do

material, fy, de modo que a plastificação ocorra antes da encurvadura dos elementos de chapa

da secção. O comportamento ideal elasto-plástico de um elemento de chapa perfeito,

submetido a compressão uniforme, pode-se representar por um diagrama carga-esbelteza

normalizado, em que a carga de rotura normalizada:

E a esbelteza normalizada (também designada por reduzida):

Se podem colocar em ordenadas e abcissas, conforme figura 6.

f < fy

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura

EC3 – Volume IV 5

fy


Série Estruturas Estruturas Metálicas

No que respeita à classe 4, mais frequente em secções enformadas a frio ou soldadas, admitese

a existência de fenómenos de instabilidade local que impedem que se desenvolva toda a

capacidade elástica resistente da secção (analisar fig. 3). O EC3 preconiza que a avaliação da

resistência seja efectuada com base numa secção efectiva reduzida, descontando, nesta

análise, as zonas susceptíveis de instabilizar localmente (fig.6A).

No caso de numa peça existirem elementos de classes diferentes, a classe da secção da mesma

será sempre dada pela maior classe dos elementos comprimidos (a mais desfavorável).

eixo neutro

eM

zona não efectiva

eixo neutro da

secção efectiva

Secção Transversal Bruta Secção Transversal Efectiva

Figura 6A – Secções transversais da classe 4

Define-se assim uma área efectiva, havendo a necessidade de deslocar o eixo neutro da peça

devido à supressão de parte da massa (zona não efectiva). Este conceito envolve dois

aspectos: o cálculo da largura efectiva e a sua localização na secção.

1.1.4. Comprimento de encurvadura

No caso genérico da instabilidade de uma estrutura, normalmente estuda-se o comportamento

de uma barra comparando-a coma sua congénere articulada nos seus extremos, de secção

constante e com uma carga axial também constante aplicada em toda a sua longitude, da qual

se conhece bem o seu comportamento. Na prática, salvo raras excepções, não é possível

encontrar esta situação teórica que serve de padrão. Além disso, com a variação da carga ao

longo da peça (p.e. devido às suas imperfeições de fabrico ou de aplicação no local) esta pode

ser de secção transversal variável.

Para uma barra isolada, de secção constante e com apoios perfeitos, considera-se o

comprimento de encurvadura como o comprimento de uma barra fictícia, bi-rotulada nos

extremos, sujeita a uma determinada carga axial, constante ao longo de todo o seu

comprimento.

De uma forma geral:

• Pórtico de nós fixos: o comprimento de encurvadura é inferior ao comprimento real da

EC3 – Volume IV 6


Série Estruturas Estruturas Metálicas

peça – sendo, no máximo, o da peça;

• Pórtico de nós móveis: o comprimento de encurvadura é superior ao comprimento real

da peça – sendo, no mínimo, o da peça.

0.5 0.7 1.0 1.0 2.0 2.0

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L

Nos tipos de secções transversais normalmente usadas em elementos comprimidos (pilares)

laminados a quente, a encurvadura relevante é geralmente a encurvadura por flexão de peça e

utiliza-se o termo encurvadura por “varejamento”.

Resumindo e associando a análise global material (ou física) com a classificação das secções

podemos construir, sinteticamente, a tabela 1.

Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo

Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo

Modelo

Método de análise global (cálculo de esforços

internos e momentos)

I Plástico Plástico (Classe 1)

Cálculo da resistência da secção da peça

II Elástico Plástico (Classe 1 e 2)

III Elástico Elástico (Classe 3)

IV Elástico Elástico com encurvadura (Classe 4)

EC3 – Volume IV 7


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão

Devido às elevadas tensões resistentes do aço, o cálculo e o dimensionamento de estruturas

metálicas correntes, e em particular de estruturas porticadas, tende a ser condicionado pelos

fenómenos de (i) instabilidade global, (ii) ao nível do elemento (especialmente dos pilares),

(iii) da secção (local) ou (iv) das ligações. A avaliação do comportamento de um pórtico, em

termos de estabilidade global, é condicionada pelo facto de ter deslocamentos laterais

significativos (nós móveis) ou não (nós fixos).

Genericamente, no caso de não existirem deslocamentos globais laterais expressivos da

estrutura (pórticos de nós fixos), a verificação da segurança do pórtico em termos de

estabilidade passa por verificar a encurvadura por:

Varejamento (também designada de encurvadura por flexão, já que a compressão gera flexão

segundo o eixo de menor inércia, com um deslocamento lateral perpendicular à acção da

força, que é aplicada segundo o eixo longitudinal da peça) das barras comprimidas (em geral

dos pilares), no plano do pórtico ou perpendicularmente a este (para fora do plano);

Bambeamento, ou a encurvadura lateral (ou flexo-torsional) de barras submetidas a esforços

de flexão.

Ou seja, estuda-se unicamente possíveis fenómenos de instabilidade local.

Em pórticos de nós móveis terá que se verificar a sua estabilidade global, concomitantemente,

sem prejuízo que face à mobilidade própria destas estruturas, com deslocamentos laterais não

desprezáveis, os efeitos locais serem agravados (a encurvadura local é mais gravosa).

A verificação da segurança dos elementos depende essencialmente de uma correcta definição

dos comprimentos de encurvadura, no caso de elementos à compressão, e dos comprimentos

entre secções contraventadas lateralmente, no caso de elementos submetidos à flexão.

A possibilidade de instabilidade de partes da secção terá que ter sido em conta naquelas que

se classificam na classe 4, devendo ser removidas do cálculo da sua resistência as porções que

potencialmente empenem.

Nas secções da classe 3 apenas podemos efectuar um aproveitamento elástico do material.

Nas secções da classe 1 e 2 podemos efectuar um aproveitamento plástico do material.

Segue-se a apresentação de algumas situações que traduzem problemas de instabilidades por

encurvadura, bem como a apresentação de imagens de peças em pós-encurvadura.

EC3 – Volume IV 8


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira.

EC3 – Volume IV 9


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos das vigas

EC3 – Volume IV 10


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares

Numa súmula que se antecipa o estudo a efectuar, podemos adiantar:

Os aspectos mais destacados da encurvadura de elementos estruturais resumem-se no Quadro

2;

A estabilidade de pórticos sem deslocamentos laterais horizontais está controlada pela

estabilidade de cada uma das colunas individualmente;

A estabilidade de um pórtico com deslocamentos horizontais está controlada pela rigidez à

flexão das colunas e das vigas, bem como da rigidez das ligações das vigas-coluna (e de todos

os elementos em geral, ainda que mais importante nos elementos citados).

A forma mais eficaz de melhorar a resistência à encurvadura é incrementar as dimensões das

secções transversais, introduzir reforços ou restrições de apoio adequadas para modificar o

modo de encurvadura para valores de energia mais elevados.

EC3 – Volume IV 11


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos

O comprimento de encurvadura de um elemento uniforme, ou seja, com secção transversal

constante, integrado num pórtico, pode ser definido como o comprimento de uma barra

fictícia, bi-rotulada, que, para um dado carregamento, instabilizaria em simultâneo o pórtico.

Considera-se que na ausência de qualquer esforço o eixo da peça é perfeitamente rectilíneo.

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão:

encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler)

Leonhard Euler estabeleceu a carga crítica de encurvadura de uma peça comprimida

axialmente (fig. 8A) quando se verificam as seguintes condições.

• As deformações são suficientemente pequenas (teoria das tensões de segunda ordem);

• O material cumpre infinitamente a lei de Hooke, bem como as hipóteses de Navier;

• O eixo da peça é perfeitamente recto e a carga axial Ν de compressão está

exactamente centrada no seu eixo;

EC3 – Volume IV 12


Série Estruturas Estruturas Metálicas

• Os extremos da peça são perfeitamente articulados e os deslocamentos encontram-se

suprimidos na direcção perpendicular à directriz da barra, sendo a sua secção

constante em todo o seu desenvolvimento longitudinal;

• A peça encontra-se num estado tensional neutro, sem tenções residuais ou de qualquer

outro tipo.

l

N

N

fmáx.

f=fmáx. sen

l

Z

Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler

Tendo em conta as condições de Euler, considera-se a carga crítica de Euler, NE, como:

Com:

• NE – carga crítica de Euler

• E – módulo de elasticidade

• I – momento de inércia da secção

N E

2

π E

= 2

l

l – comprimento de encurvadura da peça

A barra poderá permanecer recta conservando a sua forma primitiva, ou adoptar uma posição

definida pela equação:

Sendo “f”a deformada/excentricidade da barra.

À carga axial, NE, corresponde a tensão σE:

EC3 – Volume IV 13

I

π . z

f = A.

sen

l

x

z

y


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Com:

σ = Ν E E

A - Área da secção transversal da barra;

σE - Tensão crítica de Euler.

Ao aproximar “N” do valor de “NE” a peça pode permanecer recta, se não existir causa que a

demova desta posição, ou iniciar a sua encurvadura, se existir alguma causa que altere o seu

equilíbrio (imperfeições da sua forma, excentricidade da carga aplicada, etc.).

Quando o esforço axial é acompanhado de uma flexão,

máxima máx σ

definida pela expressão:

Com:

σ

máx

N - Esforço axial de compressão

vmáx - Flecha no centro da coluna

A - Área de secção transversal

EC3 – Volume IV 14

Α

N.

f

= +

A w

N máx

N. vmáx

, criando-se uma tensão

w- Módulo de elasticidade da secção no plano em que se dá a flexão da barra.

fmáx - Flecha máxima da barra.

Para valores de “N” ligeiramente superiores a “NE”, a flecha máxima “fmáx” deduz-se da

seguinte expressão:

Com:

f ≅ 0.

9.

l.

ΔN

máx

ΔN

= N −

Na realidade a peça encurvará antes de se atingir “NE”, já que as suposições teóricas são, na

prática, impossíveis de cumprir (por exemplo, não há peças com eixo perfeitamente recto,

verticalidade absoluta ou carga completamente centradas), dadas as imperfeições existentes.

Na figura 8A pode-se observar uma peça que, sujeita a uma flexão “Me=N×e” provocada pela

carga “N”, possui já uma deformada inicial que produz também o, consequente, momentoflector

com essa excentricidade eo: Meo=N×eo.

N E

N

E


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Daqui surge uma tensão de flexão máxima σB, Figura 8 B a), que somada a N e à tensão

residual σR origina a distribuição de tensões que se apresenta na figura 8 B b). Se σmax é maior

que a tensão de cedência (limite elástico), a distribuição final de tensões será parcialmente

plástica e uma parte do elemento entraria em cedência por compressão, como se vê na figura 8

B c).

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado

No caso de elementos comprimidos axialmente a capacidade de resistência desta peça deduzse

da seguinte expressão (EC3 - Cap 6.3.1.1):

Secções de classe 1, 2 ou 3

N

b,

Rd

χ × A×

f

=

γ

EC3 – Volume IV 15

M 1

Secções de classe 4

N

b,

Rd

χ × Aeff

× f

=

γ

M 1

y

y


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Com:

f y - Tensão de cedência do aço

A – Área total da secção

Aeff – Área efectiva da secção transversal de classe 4

Aeff - Área da secção efectiva da peça e A área total da secção.

χ - É o factor de redução para o modo de encurvadura relevante.


γ M 1 - Coeficiente de segurança.

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).

2.1.2. Elementos uniformes

Se considerarmos o elemento uniforme, ou seja, com secção constante ao longo de todo o seu

desenvolvimento (secções transversais constantes), sujeito a uma compressão axial também

constante, o valor do factor de redução para o modo de encurvadura relevante:

Que corresponde à esbelteza adimensional, reduzida ou normalizada:

E pode-se determinar a partir da expressão:

Mas com χ ≤ 1 (EC3 - Cap 56.3.1.1).

Em que:


⎡ _

_ 2

⎛ ⎞ ⎤

φ = 0, 5⎢1

+ α⎜

λ − 0,

2⎟

+ λ ⎥

⎣ ⎝ ⎠ ⎦

χ

_

λ

1

χ =

_ 2 ⎡ ⎤ 2

φ + ⎢φ

−λ


⎣ ⎦

α = factor de imperfeição – ver quadro 1;

λ – Coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional.

;

Este coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional pode ser identificado como:


A f y λ L 1 f

Cr y LCr

1

λ = = =

= - Secções de classe 1, 2 ou 3

N λ i π E i λ

cr

1

1

EC3 – Volume IV 16

0,

5


Série Estruturas Estruturas Metálicas


Em que:

λ =

A λ

1

A / A

eff f y Aeff

L A f

Cr eff y LCr

eff

= =

=

Ncr

λ1

A i π A E i λ1

- Secções de classe 4

NCr – Carga crítica elástica (carga critica de Euler)



E

λ1 = π = 93,


f

λ = l

i

y

ε = Factor em função do tipo de aço calculado a partir da expressão:


⎛ 235 ⎞

ε = ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ f y ⎠

0,

5

, com “fy” em N/mm2.

A relação entre estas grandezas pode ser apreciada na Figura 8C, sendo usado “LE”

(comprimento de encurvadura segundo o conceito de carga crítica de Euler, no qual não

existem imperfeições).

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida, irreal dado

que não contém imperfeições.

Na realidade, e uma vez que existem imperfeições, ensaios experimentar reais ficam abaixo

da linha que traduz a carga crítica de Euler para cada valor da esbelteza normalizada,

conforme círculos da Figura 8D.

Através do coeficiente de encurvadura, χ , que vem em função de esbelteza adimensional, o

Eurocódigo 3 (EC3) minora a resistência do aço em compressão axial (ver quadro 2).

O factor de imperfeição (α) depende da curva de encurvadura da peça, relacionada entre χ e

λ .

EC3 – Volume IV 17


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais.

Conforme a figura 9A e 9B e o quadro 4.

As curvas têm o seguinte significado:

• A curva a0 (a defenir)

• A curva a representa formas quase perfeitas, perfiles I laminados a quente (h/b >

1,2) com banzos delgados (tf


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada

Importa fazer notar que as curvas de encurvadura fixaram-se para elementos articulados

carregados axialmente num extremo, se as condições forem diversas corrigir o comprimento

de encurvadura.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0

0,2

d

c

b

a

EULER

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler

Curvas de Encurvadura

(Eurocódigo)

Assim, o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura e pode ser obtido através

do quadro 3.

EC3 – Volume IV 19

2,0


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 – Cap. 6.3.1.2)

Factores de imperfeição α

Curva de encurvadura a0 a b c d

Factor de imperfeição α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

O factor de redução da encurvadura poderá ser obtido directamente ou por interpolação

através dos valores do quadro 4, em função da curva de encurvadura e da esbelteza

normalizada.

Factores de redução χ

_

λ

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

Curva de encurvadura

Quadro 4 – Factores de redução

a b c d

1,0000

0,9775

0,9528

0,9243

0,8900

0,8477

0,7957

0,7339

0,6656

0,5960

0,5300

0,4703

0,4179

0,3724

0,3332

0,2994

0,2702

0,2449

0,2229

0,2036

0,1867

0,1717

0,1585

0,1467

0,1362

0,1267

0,1182

0,1105

0,1036

1,0000

0,9641

0,9261

0,8842

0,8371

0,7837

0,7245

0,6612

0,5970

0,5352

0,4781

0,4269

0,3817

0,3422

0,3079

0,2781

0,2521

0,2294

0,2095

0,1920

0,1765

0,1628

0,1506

0,1397

0,1299

0,1211

0,1132

0,1060

0,0994

1,0000

0,9491

0,8973

0,8430

0,7854

0,7247

0,6622

0,5998

0,5399

0,4842

0,4338

0,3888

0,3492

0,3145

0,2842

0,2577

0,2345

0,2141

0,1962

0,1803

0,1662

0,1537

0,1425

0,1325

0,1234

0,1153

0,1079

0,1012

0,0951

1,0000

0,9235

0,8504

0,7793

0,7100

0,6431

0,5797

0,5208

0,4671

0,4189

0,3762

0,3385

0,3055

0,2766

0,2512

0,2289

0,2093

0,1920

0,1766

0,1630

0,1508

0,1399

0,1302

0,1214

0,1134

0,1062

0,0997

0,0937

0,0882

Poderemos saber, assim, de uma forma expedita a percentagem da secção que é aproveitada

mediante os esforços aplicados.

EC3 – Volume IV 20


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Em termos do EC3, quando ocorre a encurvadura por flexão (varejamento) de uma peça, a

curva de encurvadura apropriada pode ser determinada através do quadro 5.

Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal

Quando se tratem de secções que não estejam classificadas neste quadro, deverão ser

consideradas de forma análoga às nele classificadas. As curvas de encurvadura apresentadas

EC3 – Volume IV 21


Série Estruturas Estruturas Metálicas

neste quadro tipificam um comportamento padronizado que reflecte a relação entre a

esbelteza da peça e o seu próprio comprimento de encurvadura.

A tabela 5 ajuda a seleccionar a curva de encurvadura conveniente em função do tipo de

secção, seus limites dimensionais e o eixo pelo qual pode ocorrer a encurvadura. Em secções

tubulares conformadas a quente, fyb é a resistência plástica à tracção e fya é a resistência média

plástica. Se a secção em estudo não é idêntica às descritas, deve classificar-se analogamente.

2.1.2.1. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 sem contraventamento

Dados:

• fy = 235 (MPa ou N/mm 2 )


ε

= y

235 / f = 1

Verifique a resistência para Nx,Ed= 2800 kN admitindo um pilar com 10m de vão encastrado

na base, não contraventado, logo com possibilidade de encurvar livremente.

EC3 – Volume IV 22


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Não existem contraventamos, nem segundo o eixo dos yy’s (eixo forte), nem segundo o eixo

fraco (que corresponde a o eixo do zz’s).

- Perfil HEA 500.

- NxEd= 2800 kN.

- S235 (fy=235 MPa)

λ

l

l


10

=

2,

74×

10

0 0

= ⇒ λz

=

= −2

i iz

A esbelteza “λz” corresponde ao eixo fraco (zz’s), bem como “iz” corresponde ao raio de

giração segundo este eixo (zz’s).

O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.

ε =

235

=

fy

λ

= 93,


ε =

1

235

235

EC3 – Volume IV 23

= 1

93,


1 = 93,

3

276


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada:

λ

λ = =

λ

Para escolher a curva de encurvadura europeia:

h

b

=

1

500

300

276

93,

9

=

2,

94

EC3 – Volume IV 24

=

1,

67


1,

2

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “b”.

Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução):

1º) Pelo gráfico:

χ ≈ 0.10

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor

da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “b”.


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:

3º) Através da utilização da expressão:

Em que:

⎡ _

_ 2

⎛ ⎞ ⎤

φ = 0, 5⎢1

+ α⎜

λ − 0,

2⎟

+ λ ⎥

⎣ ⎝ ⎠ ⎦

Sendo “α” factor de imperfeição.

χ =

φ +

Aplicação das fórmulas apresentadas:

Pois:

Já que:

χ =

φ +

1

2 2

φ − λ

φ =

0,

5

=

χ ≈ 0,

103

1

2 2

φ − λ

5,

29

+

5,

29

, mas χ ≤1

− 2,

94

⎡ _

_ 2

⎛ ⎞ ⎤

φ = 0, 5⎢1

+ α⎜

λ − 0,

2⎟

+ λ ⎥

⎣ ⎝ ⎠ ⎦

EC3 – Volume IV 25

1

2 [ 1+

0,

34(

2,

94 − 0,

2)

+ 2,

94 ] = 5,

29

2

2

= 0,

103 ≤1,

Ok!

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):

N

b,

Rd

χ × A×

f

=

γ

M1

y

−4

3

0,

103×

197,


10 × 235×

10

=

= 478kN

1

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 2800 kN.


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2.1.2.2. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento

total segundo o eixo fraco (zz’s)

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado segundo

o eixo fraco (zz´s).

Neste exercício contraventamos o eixo dos zz’s (eixo fraco), só podendo existir encurvadura

segundo o eixo forte (que corresponde a o eixo do yy’s).

- Perfil HEA 500.

- NxEd= 2800 kN.

- S235 (fy=235 MPa)

λ

l

l


10

=

21×

10

0 0

= ⇒ λy

=

= −2

i iy

95,

23

A esbelteza “λy” corresponde ao eixo forte (yy’s), bem como “iy” corresponde ao raio de

giração segundo este eixo (yy’s).

O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.

ε =

235

=

fy

λ = 93,


ε =

1

235

235

EC3 – Volume IV 26

= 1

93,


1 = 93,

3

Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada.


Série Estruturas Estruturas Metálicas

λ 95,

53

λ = = = 1,

01

λ 93,

9

1

Para escolher a curva de encurvadura europeia temos a mesma relação que a anterior: h/b>1,2.

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “a”.

Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução):

1º) Pelo gráfico:

χ ≈ 0.67

A azul destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor da

esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”.

2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:

EC3 – Volume IV 27


Série Estruturas Estruturas Metálicas

3º) Através da utilização da expressão:

Em que:

Sendo “α” factor de imperfeição.

χ =

φ +

Aplicação das fórmulas apresentadas:

Pois:

Já que:

χ =

φ +

1

χ ≈ 0,

67

2 2

φ − λ

, mas χ ≤1

⎡ _

_ 2

⎛ ⎞ ⎤

φ = 0, 5⎢1

+ α⎜

λ − 0,

2⎟

+ λ ⎥

⎣ ⎝ ⎠ ⎦

1

=

2 2

φ − λ 1,

084 +

φ =

1,

084

−1,

01

⎡ _

_ 2

⎛ ⎞ ⎤

φ = 0, 5⎢1

+ α⎜

λ − 0,

2⎟

+ λ ⎥

⎣ ⎝ ⎠ ⎦

0,

5

0,

67

≤1,

Ok!

EC3 – Volume IV 28

1

2 [ 1+

0,

21(

1,

01−

0,

2)

+ 1,

01 ] = 1,

084

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):

N

b,

Rd

χ × A×

f

=

γ

M 1

y

=

0,

67

2

−4

3

× 197,


10 × 235×

10

= 3091kN

1

Ou seja, este perfil com contraventamento verifica um esforço axial de 2800 kN.

2.1.2.3. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento

parcial segundo o eixo fraco (zz’s)

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado,

parcialmente, segundo o eixo fraco (zz´s):

2

=


Série Estruturas Estruturas Metálicas

A meio da sua altura, por espias ao solo;

A meio e no seu topo, por espias ao solo.

A solução seria idêntica ao exercício 2.1.2.1., mas em que:

A meio da sua altura, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de:

l = 2×

5 = 10m

0

• Uma vez que a partir de meio do pilar este pode varejar livremente, estando

simplesmente apoiado nas espias a meio do seu vão mas livre acima destas.

A meio e no seu topo, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de:

l = 1×

5 = 5m

0

• Uma vez que até meio do pilar e a partir de meio deste, o mesmo só pode varejar entre

os pontos de contraventamento (ligação às espias), estando simplesmente apoiado nas

mesmas.

2.1.3. Elementos não uniformes

Para os elementos cuja secção transversal pode variar ao longo do seu comprimento (não

uniformes), a resistência à encurvadura pode ser determinada através de uma análise de

segunda ordem, a qual deve incluir uma imperfeição inicial. Deste modo, considera-se a peça

já deformada (devido às imperfeições) antes da aplicação de qualquer esforço, ou seja, o seu

eixo não é perfeitamente recto.

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção

Suponha-se uma viga nas condições da figura 10. Esta viga é suportada em dois apoios que

impedem os deslocamentos e as rotações no plano da secção e submetida a uma flexão

constante provocada por dois momentos flectores “M” aplicados nos seus extremos.

Assim, a parte superior da viga encontra-se comprimida e, ao mesmo tempo, a parte inferior

permanece traccionada.

Esta compressão na zona superior pode provocar, quando o momento-flector alcança um

determinado valor, Momento Crítico - “MCr”, um fenómeno de instabilidade denominado

bambeamento (ou encurvadura lateral ou, ainda, encurvadura por flexo-torção), que consiste

em deformações transversais acompanhadas de rotações que as diferentes secções da viga

sofrem. A peça instabiliza quando a sua zona comprimida atinge tensões que ultrapassam a

sua capacidade resistente flexo-torsora, fugindo lateralmente da sua posição de equilíbrio e

EC3 – Volume IV 29


Série Estruturas Estruturas Metálicas

sofrendo torção (dado o banzo comprimido tender a deslocar a secção lateralmente – para fora

do seu eixo longitudinal inicial, enquanto o traccionado a tenta manter na sua posição inicial).

Para efeitos de cálculo, o comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as

duas extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente, pode, pelo lado da segurança, ser

considerado igual ao seu comprimento nominal.

Por outro lado, poderá também ser determinado através de esquema informativo do

Eurocódigo 3, conforme volume anterior sobre este assunto.

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de vigas – esquema

h

M

tracções

compressões

Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem

EC3 – Volume IV 30

yy


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial segundo o eixo

dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura com flexão lateral (deslocamento

“u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção (rotação “ϕ”).

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido

EC3 – Volume IV 31


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em bambeamento

(encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral)

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte flexotorsionada

EC3 – Volume IV 32


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis

EC3 – Volume IV 33


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais

Tendo em conta que a viga não está contraventada lateralmente (senão não se daria o

fenómeno de bambeamento ou encurvadura lateral), o valor de cálculo do momento resistente

à encurvadura lateral é dado pela expressão:

Método Geral:

M

b,

Rd

= χ

Wy = Wpl,y em secções de classes 1 e 2

Wy = Wel,y em secções de classe 3

Wy = Weff,y em secções de classe 4


LT

EC3 – Volume IV 34

W

y

χ LT = Factor de redução para a encurvadura lateral correspondente à esbelteza

normalizada λ LT .

O factor de redução para a encurvadura lateral:

Pode ser determinado a partir da expressão:

Mas com χ ≤ 1.

χ

LT

=

φ

LT

χ LT

+

φ

1

2

LT

γ

f

y

M 1

− λ

2

LT


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Em que:

Correspondente à esbelteza normalizada:

φ

LT

_ ⎡ ⎛ ⎞ −2 ⎤

= 0, 5⎢1

+ α LT . ⎜λLT

− 0,

2⎟

+ λLT


⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ,

λ

LT

Wy

f

M

E “Mcr” é o momento elástico crítico relativo à encurvadura lateral de uma viga.

No caso desta viga ser de secção transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, nas

condições padrão de restrições nos apoios, submetida a uma carga no eixo da sua alma e a um

momento uniforme, este momento elástico crítico é dado por:

2 2

2 2

2

E π ⎛ π EI ⎞ w π ⎛ π EI ⎞ w π EI ⎛ z π EI ⎞ w

MCR = C1 GITEIz⎜1+ C 2 ⎟ = 1 GI 1

2 T EIz⎜ + C 2 ⎟ = 1 GI 2 ⎜ T + 2 ⎟

L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L ⎠

Ou:

2 2 2 2 2

2

E π EI ⎛ z π EI ⎞ w π EI z π EI z L ⎛ π EI ⎞ w

MCR = C1 GI 2 ⎜ T + C 2 ⎟ = 1

GI

2 2 2 ⎜ T + 2 ⎟

L ⎝ L ⎠ L L π EIz⎝ L ⎠

2 2

2

π EI z L ⎛ π EI ⎞ w

1 2 2 ⎜ T 2 ⎟

L π EIzL = C GI +

⎝ ⎠

π EI

= C

L

GI L

EI

I

+

I

2 2

z T w

1 2 2

π z z

Com “C1=1”. Sendo “C1” uma constante que pode ser obtida no Anexo I deste texto e

depende de várias condições (apoio, carregamento, etc.) e “αLT” é o factor de imperfeição

dependente da curva de encurvadura, conforme Quadro 6.

Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral

Em geral, com o parâmetro de imperfeição “αLT” igual a 0,21 relativamente a secções

laminadas, e igual a 0,49 quando se tratar de secções soldadas.

EC3 – Volume IV 35

=

cr

y


Série Estruturas Estruturas Metálicas

As curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais para este método

alternativo apresentam-se no quadro 7.

Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais

Secção Limites Curva da encurvadura

Secções I ou H laminadas

Secções I ou H soldadas

h/b≤2 a

h/b>2 b

h/b≤2 c

h/b>2 d

Outras secções - d

Como método alternativo aplicável a secções laminadas ou soldadas equivalentes:

Com:

χ

LT

=

φ

LT

⎪ ⎧χ



χ


+

LT

LT

EC3 – Volume IV 36

φ


1

2

LT

≤ 1

λ

1

− βλ

2

LT

2

LT

2

[ 1+

α ( λ − λ ) β λ ]

φ LT = 0, 5 LT LT + LT

Em que λ , 0 e β são parâmetros a definir pelos Anexos Nacionais do EC3, sendo

LT

recomendados actualmente os seguintes valores limites:


⎧λLT

, 0 ≤ 0,

4

⎨ ;

⎩β

≥ 0,

75

α LT é o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura;

λ LT é o coeficiente de esbelteza normalizada, obtido da mesma forma

que no método geral;

Mcr é o momento crítico elástico.

Para este tipo de secções (laminadas ou soldadas equivalentes) temos um valor mais

favorável para o valor inicial da esbelteza normalizada que corresponde ao começo da

instabilidade elástica (0,4 em vez de 0,2).

LT , o


Série Estruturas Estruturas Metálicas

De acordo com esta segunda metodologia, a forma do diagrama de momentos flectores ao

longo do elemento, entre secções contraventadas, pode ser tida em conta modificando o

coeficiente de redução χLT para:

χ

χ =

f

LT

LT , mod , mas χ LT , mod ≤ 1.

0

Os valores de f serão definidos nos Anexos Nacionais do EC3; actualmente, no EC3-1-1 é

proposta a seguinte expressão para o cálculo deste factor:

2

[ 1−

2.

0(

0.

8)

]

f = 1− 0.

5(

1−

K ) λ LT − , mas f ≤ 1.0

Sendo kc um factor de correcção, definido de acordo com o quadro 8.

c

Quadro 8 – Factores de correcção Kc

A verificação da encurvadura lateral, segundo o método alternativo proposto no EC3-1-1,

pode ser dispensada se for verificada pelo menos uma das seguintes condições:

EC3 – Volume IV 37


Série Estruturas Estruturas Metálicas

λ LT ≤ 0.

4 ou M / ≤ 0.

16

Considerando-se:

Ed M cr

_

EC3 – Volume IV 38

_

λ = λ

LT

χ = χ LT

Os valores do factor de redução para a encurvadura lateral (correspondente à esbelteza

normalizada) pode ser obtido através do quadro 4 tendo em conta que:

• Para secções laminadas com α = 0,

21 - curva a;

• Para secções soldadas com α = 0,

49 - curva c.

Para consulta do quadro 4, que determina o valor do factor de redução, é necessário calcular o

valor da esbelteza normalizada a partir da expressão:

Em que:

Sendo:

⎛ 235 ⎞

λ1

= 93,

9.

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ f y ⎠

0,

5

ou

λ = 93, 9.

ε

1

⎛ 235 ⎞

ε = ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ f y ⎠

Analogamente, λ LT pode-se calcular também pela expressão:


W

f

y y

λ LT = , Secções de classe 1, 2 ou 3

M cr

W y,

eff f y

• λ LT = = , Secções de classe 4

M

Também pode ser relacionado por:

Com:

_

λ = λ

cr

λ . βw

0,

5

LT ( ) • LT 1

0,

5

λ 1 = π . ( E f y ) = 93,

9.

ε


( ) 5 , 0

ε = 235 f y



f y (com em N/mm2)

0,

5

0,

5

β w = 1 para secções transversais das classes 1 e 2

β =

w

W el.

y Wpl.

y

Para secções transversais da classe 3

2

( em N mm )

f y


Série Estruturas Estruturas Metálicas


β =

w

W eff . y Wpl.

y

Para secções transversais da classe 4

Esta expressão é equivalente à apresentada neste subcapítulo para cálculo de λ (encurvadura

por varejamento ou flexão).

Por outro lado, o valor da esbelteza normal para a encurvadura lateral, relativo a todas as

secções transversais, pode ser aproximado por:

λ =

LT

( ) 5 , 0

2

π E.

W M

. cr

pl.

y

A informação necessária para o cálculo directo de M Cr ou de λ LT encontra-se em bibliografia

da especialidade.

Há, no entanto e conforme figuras 12A a 12C, duas situações possíveis:

• Quando a λ ≤ λ1 (ou λ ≤ 4 laminadas ou soldadas equivalentes ou λ ≤ 2 em geral)

LT

não é necessário considerar a encurvadura lateral, dada a rotura ser plástica (por razões

de colapso do material e não de geometria da peça);

• Uma viga perfeitamente contraventada não necessita de ser verificada relativamente à

encurvadura lateral. Inclui-se neste caso uma viga que suporte uma laje, dado que esta

última dá-lhe estabilidade suficiente desde que impeça os movimentos do banzo

comprimido da viga (de notar que no caso de momentos negativos, situação normal

nos apoios de continuidade, o travamento deverá ser efectuado no banzo inferior, por

exemplo através de varões oblíquos que partem da base da alma para as madres ou

laje).

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça

EC3 – Volume IV 39

LT


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento

Figura 12 D - Redução entro Mcr e λLT nornalizado

EC3 – Volume IV 40


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Diga-se que, em geral e para casos de flexão em vigas com secções I e H laminadas, o factor

λLT pode ser determinado pela expressão (expressão F.20 do antigo Anexo F do EC3 de

1993):

λ

LT

=

( C )

1

0,

5


⎢1

+



0,

9L

/ i

EC3 – Volume IV 41

1

20

z

2

⎛ / ⎞ ⎤


L iz

⎟ ⎥

⎜ / ⎟

⎝ h t f ⎠ ⎥


Também o factor C1 (Quadro F.1.2. do antigo Anexo F do EC3 de 1993) varia pouco, para

cargas distribuídas (e mesmo concentradas), independentemente das condições de apoio da

viga (segundo o eixo dos yy’s e dos zz’s), podendo tomar-se o valor unitário (C1=1), em geral

e para as situações correntes.

De notar que este factor é colocado sob raiz quadrada na fórmula de λLT, o que ainda mais faz

tender para 1 a sua dispersão em torno deste valor. Por outro lado, considerar C1=1 é, em

geral, conservativo, portanto seguro (verificar tabela F.1.1 e F.1.2 do antigo Anexo F do EC3

de 1993).

Contudo, no caso de trechos de barras sem carregamentos, e com variação de momentos

significativa, esta simplificação, embora possa ser aplicada, por ser igualmente segura, é um

tanto menos económica (consultar-se a tabela respectiva F.1.2 do antigo – 1993 – Anexo F do

EC3).

No que trata ao momento crítico de uma secção, de que atrás se apresentou a sua fórmula

genérica:

2 2

2 2

2

E π ⎛ π EI ⎞ w π ⎛ π EI ⎞ w π EI ⎛ z π EI ⎞ w

MCR = C1 GITEIz⎜1+ C 2 ⎟ = 1 GI 1

2 T EIz⎜ + C 2 ⎟ = 1 GI 2 ⎜ T + 2 ⎟

L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L ⎠

Estamos em presença de uma grandeza extremamente importante na aferição da estabilidade

da peça, verificando-se que este momento crítico de um elemento submetido a flexão depende

de diversos factores, como sejam (Simões, 2005):

0,

25

• Carregamento (forma do diagrama de momentos flectores);

• Condições de apoio;

• Ponto de aplicação da carga em relação ao centro de corte da secção;

• Comprimento do elemento entre secções lateralmente contraventadas;

• Rigidez de flexão lateral;

• Rigidez de torção;


Série Estruturas Estruturas Metálicas

• Rigidez de empenamento.

De facto, a resistência de um elemento à encurvadura lateral depende, principalment,e do

valor do momento crítico. Sendo complexa e pouco exequível a dedução de uma expressão

exacta para avaliação do momento crítico em cada caso, adoptam-se, em geral, fórmulas

aproximadas.

Por outro lado, o comportamento de elementos à flexão, no que respeita aos fenómenos de

encurvadura lateral, é análogo ao verificado em elementos à compressão, tendo em conta a

analogia entre Ncr e Mcr, do que:

• A capacidade resistente de elementos pouco esbeltos (muito estáveis) é condicionada

pelo valor do momento plástico da sua secção transversal (Mpl);

• A capacidade resistente de elementos muito esbeltos (pouco estáveis) é condicionada

pelo valor do momento crítico associado à encurvadura lateral (Mcr);

• A capacidade resistente de elementos de esbelteza intermédia é condicionada pelos

valores de Mpl e Mcr (interacção entre fenómenos de plasticidade e instabilidade -

eslasticidade).

O comportamento de uma peça em relação à encurvadura lateral pode ser melhorado de várias

formas, tais como (Simões, 2005):

• Aumentando a rigidez de flexão lateral e/ou torção, aumentando a secção ou passando

de perfis menos estáveis, ou mais esbeltos (tipo IPE) para outros mais estáveis, ou

menos esbeltos (tipo HEA ou HEB) ou ainda para secções tubulares (quadradas,

rectangulares ou circulares);

• Contraventando lateralmente a parte comprimida da secção (banzo comprimido no

caso de secções em I ou H) passível de instabilizar.

Comummente, a segunda solução é mais económica, embora por vezes não seja viável. Os

componentes de contraventamento devem ligar a zona comprimida das secções a pontos com

deslocamento lateral nulo ou muito atenuado, como apoios exteriores ou zonas traccionadas

de perfis adjacentes. Sendo habitual considerar-se estes elementos para resistir a uma

percentagem não inferior a 1% da força máxima de compressão que se pode desenvolver no

elemento a contraventar, o valor de 2.5% será mais recomendável.

Como é óbvio, não é necessário verificar a encurvadura lateral no dimensionamento de

elementos à flexão (Simões, 2005):

EC3 – Volume IV 42


Série Estruturas Estruturas Metálicas

• Secções em I ou H flectidas em torno do eixo de menor inércia (a secção jamais

poderá instabilizar segundo o eixo forte);

• Viga contraventada lateralmente por meio de elementos metálicos ou por uma laje em

betão (neste último caso para momentos positivos);

• Secções com elevada rigidez de flexão lateral com torção, como as secções fechadas

ocas (secções com momento crítico muito elevado).

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).

2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral

Dados:

• fy = 235 (MPa ou N/mm 2 ).


Verifique a resistência para uma viga com 10m de vão, simplesmente apoiada, com carga

distribuída e momento máximo a meio vão de My,Ed= 600 kNm, não contraventada, logo com

impossibilidade de encurvar livremente.

- Perfil HEA 500, sendo da Classe 1 em flexão pura, conforme tabela acima.

EC3 – Volume IV 43


Série Estruturas Estruturas Metálicas

- My,Ed= 600 kNm.

- S235 (fy=235 MPa)

ε =

235

=

fy

λ = 93,


ε =

1

235

235

EC3 – Volume IV 44

= 1

93,


1 = 93,

3

Sendo que “ λ LT ” corresponde a esbelteza normalizada:

Ou:

λ

λ

LT

=

W y,

eff

M

0,

5

0,

5

( λ / λ ) β = ( λ / 93,

3)

× 1

cr

LT = LT 1 w LT

Calculando a esbelteza de forma aproximada por:

0,

9L

/ iz

0,


10 /

λ LT =

=

2

0,

25


1 ⎛ / ⎞ ⎤ ⎡ 1 ⎛ 10 / ×

0,

5

( ) ⎢1


L iz

C

⎥ 1×

⎢1

+

1 + ⎟

20 /

⎢ 20 ⎜

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

0,

5 / 0,

023

⎣ ⎝

⎣ ⎝ h t f ⎠ ⎦

f

y

−2

( 7,

24×

10 )

−2

( 7,

24 10 )

2

⎞ ⎤

⎟ ⎥

⎠ ⎥⎦

0,

25

=

124

1,

037

=

119,

6

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C1=1,132.

Temos:

λ

0,

5

0,

5

( λ / λ ) β = ( λ / 93,

3)

× 1 = 119,

6 / 93,

3 = 1,

28

LT = LT 1 w LT

Para escolher a curva de encurvadura europeia (em flexão lateral):

h

b

=

500

300

=

1,

67

< 2

Secção Limites Curva da encurvadura

Secções I ou H laminadas

h/b≤2 a

h/b>2 b

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia (em flexão lateral) “a”.

Métodos para calcular o valor de χLT (factor de redução):


Série Estruturas Estruturas Metálicas

1º) Pelo gráfico:

χLT ≈ 0.48

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor

da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”.

2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:

3º) Através da utilização da expressão:

Em que:

Sendo “αLT” o factor de imperfeição.

Aplicação das fórmulas apresentadas:

Pois:

χ

LT

=

φ

LT

+

χ

LT

φ

φ

χ LT

2

LT

≈ 0,

48

=

1

, mas com χ ≤ 1.

φ + φ − λ

1

LT

2

LT

LT

EC3 – Volume IV 45

2

LT

_ ⎡ ⎛ ⎞ −2 ⎤

= 0, 5⎢1

+ α LT . ⎜λLT

− 0,

2⎟

+ λLT


⎣ ⎝ ⎠ ⎦

− λ

2

LT

=

1,

43+

1

=

2 2

1,

43 −1,

28

0,

484

≤1,

Ok!


Série Estruturas Estruturas Metálicas

φ LT

φ

LT

= 0,

5

_ ⎡ ⎛ ⎞ −2 ⎤

= 0, 5⎢1

+ α LT . ⎜λLT

− 0,

2⎟

+ λLT


⎣ ⎝ ⎠ ⎦

2 [ 1+

0,

21(

1,

28 − 0,

2)

+ 1,

28 ] = 1,

43

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):

N

b,

Rd

χ

=

LT

× Wy

× f

γ

M 1

y

χ

=

LT

× W

γ

y,

pl

M 1

× f

y

−6

3

0,

484×

3949×

10 × 235×

10

=

= 449kNm

1

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 600 kNm, segundo

esta metodologia.

Se optasse-mos por determinar a esbelteza normalizada através da expressão:

Aproximadamente:

π

M C GI EI

E

CR = 1

L

T z

2

w 1+

2

LGIT

λ

⎛ π EI ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

LT

=

W y,

eff

EC3 – Volume IV 46

M

cr

f

y

2

⎛ × 210E6× 5643E−9⎞ ⎜ 2


π

= 1

10

π

80,8E6× 309,3E− 8× 210E6× 10370E− 8 1+

⎝ 10 × 80,8E6× 309,3E−8⎠ π

=

10

π

5437107× ( 1,47) =

10

7984096 = 887kNm

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C1=1,132 (de

notar que se utilizou um valor conservativo para “C1”, mas tal foi o critério utilizado nos 2

métodos, não surgindo daí conflito numérico).

Do que:

λ

LT

=

W

M

y,

pl

cr

f

y

=

−6

3949×

10 × 235×

10

887

3

=

928

887

=

1,

05

= 1,

025

O que surge como um valor inferior ao calculado pelo outro processo e do qual surgiria um

momento resistente superior (≈ 613kNm, para χLT ≈ 0.65) e satisfatório.

De reparar que esta disparidade não é de estranhar, dado a forma como chegamos ao factor de

redução (χLT) é bastante diferente.


Série Estruturas Estruturas Metálicas

De reparar que se aproveitássemos o método alternativo, aplicável a secções laminadas ou

soldadas equivalentes, surgiria:

LT

2

[ 1+

α ( λ −λ

) β λ ]

φ =

+

0, 5 LT LT LT , o LT

Em que são recomendados actualmente os seguintes valores limites:

⎧λLT

, 0 ≤ 0,

4

• ⎨

⎩β

≥ 0,

75

Então, por exemplo, com:


Teríamos:

φ

LT

⎧λLT

, 0 = 0,

4


⎩β

= 0,

86

2

[ 1+

α ( λ − λ ) + β λ ] = 0,

51

+ 0,

21(

1,

28 − 0,

4)

+ 0,

86×

( 1,

28)

= 0,

5 LT LT LT , o LT

χ

LT

=

φ

LT

+

φ

1

2

LT

− λ

2

LT

=

1,

3+

2

[ ] = 1,

3

1

=

2 2

1,

3 −1,

28

0,

65

≤1,

Ok!

Ou seja, o momento crítico elástico em consideração corresponde à viga ser de secção

transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, o que é caso, pelo que é correcto utilizar o

método alternativo. É normal que, por processos diferentes mas igualmente legítimos e

normativos, se chegue a variações que podem chegar a 20 a 30%.

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada a um

terço do vão, segundo o eixo fraco (zz´s).

O raciocínio seria o mesmo, contudo o comprimento de encurvadura (LCr) cairia para

10m×(2/3), dado o travamento ser a 1/3, restando 2/3 do vão sem contraventamento.

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento segundo

o eixo fraco (zz’s)

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada segundo

o eixo fraco (zz´s), em toda a sua extensão.

Neste caso estaríamos na presença de χLT ≈ 1, ou seja, não haveria possibilidade de

encurvadura lateral (ou bambeamento).

EC3 – Volume IV 47


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas

Averiguar a estabilidade lateral de uma viga de ponte grua formada por uma secção de 750 x

222 x 222 (IPE) com um perfil em Ou de 400 x 110 x 71,8 unido ao banzo superior, com aço

S235.

Os pontos de encastramento efectivo lateral e contraventamento estão a intervalos de 10 m e o

momento de rotura de cálculo é 2000 kNm.

Propriedades das secções:

Secções em U Secções em I

Secções compostas:

EC3 – Volume IV 48


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Para calcular é necessário calcular antes o momento elástico crítico Mcr.

Então, para um valor de kw = 1,0 e k = 1:

(Note-se que C2 não faz falta)

Já que o eixo neutro plástico (PNA) está na viga, o módulo plástico pode-se calcular deste

modo:

EC3 – Volume IV 49


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Área abaixo do diagrama

(Ver diagrama) = Área abaixo do PNA - Área abaixo da linha central

Portanto:

Modulo plástico da viga carril:

Sendo:

Aplicando a curva (a) 5.5.2 do Eurocódigo 3

Que supera o valor de “Msd” de 2000 kN.

Adopta-se esta secção.

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas

Kz=Kw

1

EC3 – Volume IV 50


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Kw=1

⎧C1

= 1,

35


⎨C2

= 0,

59 Segundo o quadro da página 71


⎩C3

= 0,

411

M

cr

M cr

= C

1

⎡⎡

2 ⎢ ⎛

π × E × Iz ⎢⎜

×

× 2 ⎢⎢⎣


( Kz × l)


⎢⎣


2

3

π × 210×

10 × 29954×

10

= 1,

35 ×

2

12000

= 16974,

7KNm

Ou, pela expressão genérica:

( ) ( )

( )

( ) ⎥ ⎥⎥⎥

2

0.

5

2

2

Kz ⎞ Iw Kz × l Kz × l × G × i


t

2

⎟ × + +

+ C2zg

− C3zj

2


Kw ⎠ Iz Iz H × E × Iz

⎥⎦

C2zj

− C3zj

4


12

⎡ 2 2340,


10

⎢⎢1

×

+ 4

⎢⎢

29954×

10


2

⎢ 12000 × 81000 × 686,


10

⎢⎢+

2

3

× ⎢ π × 210×

10 × 29954×

10


⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣


⎣−

( )

( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2

+ 0,

59 − 0,

411×

236,

2 ⎥



0,

59 − 0,

411×

236,

2

2 2

2 2

2

E π ⎛ π EI ⎞ w π ⎛ π EI ⎞ w π EI ⎛ z π EI ⎞ w

MCR = C1 GITEIz⎜1+ C 2 ⎟ = 1 GI 1

2 T EIz⎜ + C 2 ⎟ = 1 GI 2 ⎜ T + 2 ⎟

L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L ⎠

M

E

CR

E

M CR

M

λ

cr

LT

2

6

12

π

6

4

3

4 ⎛ π 210×

10 × 2340,


10 I ⎞ w

= 81×

10 × 686,


10 × 210×

10 × 29954×

10


⎜1+


2

4

4

⎝ 12000 × 81000×

686,


10 ⎠

= 12150,

7

= α × M

=

m

W

M

pl,

y

CR

E

CR

f

y

= 1 , 35×

12150,

7 = 16403,

4KNm

=

−6

10438×

10 × 235×

10

16403,

4

2

[ 1+

α LT ( λLT

− 0,

2)

λ ]

φ LT = 0, 5

+ LT

φ

LT

= 0,

5

2 [ 1+

0,

21(

0,

39 − 0,

2)

+ 0,

39 ] = 0,

60

3

=

0,

39

EC3 – Volume IV 51

4

4





+ ⎥


0.

5





χ

Série Estruturas Estruturas Metálicas

LT

χ LT

M

=

=

d , Rd

φ

LT

0,

6

+

+

= χ W

LT

φ

1

2

LT

1

0,

6

2

PL,

Y

− β λ


γ

f

LT

0,

39

y

M 1

2

2

=

0,

95

= 0.

95×

8225×

10

−6

235×

10

×

1

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas

EC3 – Volume IV 52

3

= 1836,

23

Uma viga de 9,8 m de vão está carregada por vigas transversais situadas a 4,3 m e 6,6 m do

extremo esquerdo. Ambos extremos da viga, e os dois pontos onde incide a carga, podem

considerar-se totalmente restringidos lateralmente à torção.

A composição de momentos na viga é:

A - Extremo esquerdo: M = 130 kNm

B - Ponto 1ª da viga: M = 260 kNm

C - Ponto 2ª viga: M = 208 kNm

D - Extremo direito: M = 0 kNm

Verificar se uma secção de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço S235 satisfaz. Todos os momentos

correspondem a carga de rotura. A viga e o diagrama de momentos:


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Há que comprovar a estabilidade lateral dos segmentos AB, BC e CD.

Propriedades da secção:

Segundo a tabela F.1, notando que k = 1

Aplicando a curva (a), tabela 5.5.2 do Eurocódigo 3

EC3 – Volume IV 53


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Já que a resistência à encurvadura é maior do que o momento aplicado em cada segmento,

adopte-se a secção 500 x 200 x 90, 7 IPE.

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas

Comprovar a capacidade de uma peça de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço Fe360 para suportar

uma sobrecarrega de 24 kN repartida uniformemente num vão de 6 m.

EC3 – Volume IV 54


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Os extremos estão unidos pela alma aos banzos dos pilares, mediante eixos duplos,

simplesmente apoiada.

Com os extremos restringidos deste modo, é razoável supor que a viga trabalha como se

estivesse simplesmente apoiada, num plano vertical e com restrição total contra a flexão

lateral e a torção nestes pontos. Para simplificar este primeiro problema, presume-se que a

carga incide à altura do centro de corte (que coincide com o centróide ou centro de

gravidade). Pode incluir-se carga no banzo superior para o cálculo de λLT.

Classificação da secção:

→ A secção escolhida é da classe 1.

EC3 – Volume IV 55


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Segundo a Tabela F.1.2, para carga repartida e vendo que não há restrição presente aos

extremos e que k = 1,0:

Sendo:

Para um vão de 6m, simplesmente apoiado:

Como o momento de resistência supera este valor, a secção verifica.

Adopte-se: 500 x 200 x 90,7 (IPE).

EC3 – Volume IV 56


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída

A viga representada na figura abaixo é simplesmente apoiada. Para um carregamento

constituído por uma carga uniformemente distribuída de 25 kN/m, (já majorada), seleccione a

viga económica e segura utilizando um perfil HEA, em aço S355 (E = 210 GPa e G = 81

GPa), segundo o EC3-1-1, 2010 (versão portuguesa). Despreze-se a restrição à flexão vertical

(em torno de y), à flexão lateral (em torno de z) e ao empenamento nas secções fora dos

apoios. Considere, no entanto, que o tipo de ligação utilizada impede a rotação das secções de

apoio em torno do eixo da viga (eixo x), nos apoios.

i) Diagrama de esforços

Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída

Para o carregamento indicado, considerado a verificação do estado limite último de

resistência, obtém-se os diagramas de esforços indicados na figura abaixo. Como a viga não é

restringida lateralmente, o seu dimensionamento é condicionado pela verificação da

resistência das secções mais esforçadas, mas também pela possibilidade de encurvar, bem

como pela verificação do estado limite de deformação.

Diagramas de esforços

EC3 – Volume IV 57


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Analisando os diagramas de esforços, verificam-se MEd = 200.0 kNm e VEd = 100.0 kN,

dado a secção se meio vão ser a mais esforçada e com igual possibilidade de encurvar.

Na verificação da estabilidade da viga considera-se a possibilidade de não ser contraventada

lateralmente nas secções de aplicação das cargas.

ii) Pré-dimensionamento à flexão – efectuando um pré-dimensionamento à flexão, admitindo

uma secção de classe 1 ou 2, obtém-se a seguinte solução:

=


×

×


3

−6

3

3

M Ed 200. 0 Wpl,

y 355 10 / 1.

0 Wpl,

y 563.

4 10 m 563.

4cm

HEA 240 (Wpl,y = 744.6 cm3 ).

iii) Verificação da classe da secção (Quadro 5.2 do EC3-1-1)

Secção de Classe1:

Alma à flexão,

Banzo à compressão,

c

t

Secção de Classe 2:

Banzo à compressão,

Secção de Classe 2:

Banzo à compressão,

c

t

164

= = 21.

9 < 72ε

= 72×

0.

81 =

7.

5

EC3 – Volume IV 58


58.

3

240 / 2 − 7.

5/

2 − 21

= = 7.

9 < 9ε

= 9×

0.

81 =

12

×

7.

3

c 240 / 2 − 7.

5 / 2 − 21

= = 7.

9 < 10ε

= 10×

0.

81 = 8.

1

t 12

c 240 / 2 − 7.

5 / 2 − 21

= = 7.

9 < 10ε

= 10×

0.

81 = 8.

1

t 12

OK!

=

KO!

OK!

OK!


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Logo, conforme os cálculos, a secção HEA 240 submetida a flexão, em aço S355, é de classe

2.

iv) Verificação do esforço transverso

Sendo a área de corte da secção HEA 240 dada por por Av = 25.18 cm2, vem:

Como

h

VEd = 100.

0kN

< Vc

Rd = V pl Rd =

,

,

25.

18×

10

× 355×

10

1.

0

3

= 516.

1kN

EC3 – Volume IV 59

−4

/ = 206 / 7.

5 = 27.

5 < 72ε

/ η = 72×

0.

81/

1 =

w tw

58.

3

= 1), não é necessário verificar a encurvadura por esforço transverso.

3

/

(tomando conservativamente η

Logo a secção HEA 240 verifica a segurança em relação ao esforço transverso.

v) Interacção flexão – esforço transverso

VEd = 100 . 0kN

< 50%

V pl,

Rd = 258.

1kN

Como

por causa do esforço transverso.

vi) Verificação do estado limite de deformação

, não é necessário reduzir o momento resistente

A seguir verifica-se o estado limite imposto para a deformação vertical máxima, para uma

viga simplesmente apoiada com o carregamento em análise, o deslocamento máximo, a meio

vão, é dado por (para carga uniformemente distribuída):

δ

máx

4

5pl

=

384EI

Sendo “EI” a rigidez de flexão da secção transversal da viga.

Para a secção HEA 220, o deslocamento máximo é dado por:

δ

máx

4

4

5pl


100×

8

=

6

384EI

384×

210×

10 × 7763×

10

= −8

L

= 0.

327m

= 327mm

> = 26.

7mm

300


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Logo insuficiente.

Passando à secção HEA 500, obtém-se:

δ

máx

4

4

5pl


100×

8

=

6

384EI

384×

210×

10 × 86970×

10

= −8

Também insuficiente. Passando à secção HEA 550, obtém-se:

δ

máx

4

4

5pl


100×

8

=

6

384EI

384×

210×

10 × 111900×

10

= −8

Logo a solução é a secção HEA 550 com

W pl , y

L

= 0.

0292m

= 29.

2mm

> = 26.

7mm

300

L

= 0.

0227m

= 22.

7mm

< = 26.

7mm

300

= 4622cm

vii) Encurvadura lateral (sem contraventamentos intermédios)

EC3 – Volume IV 60

3

e A = 83.72cm2 .

Considerando um perfil da série HEA, tendo em conta o efeito da encurvadura lateral,

agravado pelo facto do elemento não ter qualquer elemento de contraventamento lateral,

adopta-se a secção HEA 550.

As principais características geométricas desta secção são: Wpl,y = 4622 cm3 , Iy = 111900

cm4 , Iz = 10820 cm4 , IT = 351.50 cm4 e IW = 7189×10–3 cm6 .

As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G =

81 GPa.

De acordo com os dados fornecidos, as condições de apoio da viga em análise são

semelhantes às do “caso padrão”, considerado no estudo da encurvadura lateral. Sendo o

carregamento constituído por uma carga uniformemente distribuída, aplicada no banzo

superior, o momento crítico pode ser obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto):

M

cr

0.

5

2 ⎧ 2




2

π EI ⎛ ⎞


z k z IW

( k z L)

GIT

2


= C ⎨⎢



1 + + ( C2

z − 3 ) ⎥ − ( 2 − 3 )

2

2

g C z j C z g C z j ⎬

( k z L)

⎪⎢


⎩⎣⎝

k w ⎠ I z π EI z




Sendo L = 8.00 m, considerando kz = kw = 1.0, C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (obtidos

no Anexo 1 deste texto):

z g =

( za

− zs

)


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em

relação ao centro de gravidade da secção:

z g

⎡⎛

540 ⎞ ⎛ 540 ⎞⎤

= ⎢⎜

⎟ − ⎜ ⎟ = 0

2 2


⎣⎝

⎠ ⎝ ⎠⎦

Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y,

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos

iguais).

M cr

2

6

π 210 × 10 × 10820 × 10

= 1.

12

2

( 1×

8)

−8

⎧ 2 ⎡

−15

2 6

⎪ ⎛1

⎞ 7189 × 10 ( 1×

8)

81×

10 × 351.

50 × 10

⎢⎜


+ −8

2

6

−8



⎢⎝1

⎠ 10820 × 10 π 210 × 10 × 10820 × 10



2

⎣+

( 0.

45×

0 − 0.

525×

0)


⎩−

( 0.

45×

0 − 0.

525×

0)

= 1118.

7kNm

M cr

λ

LT

⎛W

y f

=


⎝ M cr

Wy = Wp,y em secções de classe 1 e 2; Wpl,y = 4622×10– 6 m3.

λ

LT

⎛W

y f

=


⎝ M cr

y




0.

5

EC3 – Volume IV 61

y




0.

5

−6

⎛ 4622×

10 × 355×

10

= ⎜

⎝ 1118.

7

3




0.

5

= 1.

21

Sendo α LT = 0.

21

(curva a) - secção laminada em H, com h / b = 540/300 = 1.8 < 2

2

[ 1+

α ( λ LT − 0.

2)

λ ]

φ = 0. 5

+ LT

φ LT

LT

χ LT

= 0.

5

χ

=

LT

2 [ 1+

0.

21(

1.

21−

0.

2)

+ 1.

21 ] = 1.

34

LT

=

1.

34

φ

+

LT

+ ( φ

1

2

( 1.

34

1

2

LT

− λ

−1.

21

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:

2

LT

2

)

)

0.

5

0.

5

=

0.

52

3

−6

355×

10

M b,

Rd = 0.

52×

4622×

10 × = 853.

2kNm

> M Ed = 200.

0kNm

1.

0

−8






0.

5








Série Estruturas Estruturas Metálicas

A classe da secção HEA 550 é obtida com base na verificação das seguintes condições

(Quadro 5.2 do EC3-1-1):

• Alma à flexão,

c

t

• Banzo à compressão,

438

= = 35.

0 < 72ε

= 72×

0.

81 =

12.

5

c

t

Secção HEA 550 é de classe 1.

58.

3

(Classe 1)

300 / 2 −12.

5/

2 − 27

= = 4.

9 < 9ε

= 9×

0.

81 =

24

viii) Encurvadura lateral (com contraventamentos intermédios)

EC3 – Volume IV 62

7.

3

(Classe 1)

Se a viga for contraventada lateralmente a meio vão (através de uma viga secundária ou outro

dispositivo que impeça os deslocamentos laterais do banzo comprimido e, consequentemente,

as rotações dessas secções em torno do eixo da viga) o comportamento em relação à

encurvadura lateral é beneficiado. O problema agora consiste em avaliar a resistência à

encurvadura lateral do troço de viga com 4.00m de comprimento, submetido a um diagrama

de momentos flectores constante (MEd = 200.0 kNm), como se ilustra na abaixo. O momento

crítico da viga não é agravado pelo facto de a carga ser aplicada no banzo superior, pois são

aplicadas em secções assumidas como lateralmente contraventadas.

Viga contraventada lateralmente a meio vão


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Para o perfil HEA 550 em aço S 355, as principais características geométricas desta secção

são: Wpl,y = 3949 cm3 , Iy = 86970 cm4 , Iz = 10370 cm4 , IT = 309.30 cm4 e IW =

5643×10–3 cm6 .

As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G =

81 GPa.

O momento crítico obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto):

M

cr

0.

5

2 ⎧ 2




2

π EI ⎛ ⎞


z k z IW

( k z L)

GIT

2


= C ⎨⎢



1 + + ( C2

z − 3 ) ⎥ − ( 2 − 3 )

2

2

g C z j C z g C z j ⎬

( k z L)

⎪⎢


⎩⎣⎝

k w ⎠ I z π EI z




Sendo L = 4.00 m, considerando kz = kw = 1.0 , C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (Anexo 1

deste texto);

z g = ( za

− zs

)

Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em

relação ao centro de gravidade da secção:

z g

⎡⎛

540 ⎞ ⎛ 540 ⎞⎤

= ⎢⎜

⎟ − ⎜ ⎟ = 0

2 2


⎣⎝

⎠ ⎝ ⎠⎦

Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y,

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos

iguais).

M cr

2

6

π 210×

10 × 10370 × 10

= 1.

12

2

( 1×

4)

−8

⎧ 2 ⎡

−15

2 6

⎪ ⎛1

⎞ 5643×

10 ( 1×

4)

81×

10 × 309.


10

⎢⎜


+ −8

2

6

−8



⎢⎝1

⎠ 10370 × 10 π 210 × 10 × 10370 × 10



2

⎣+

( 0.

45×

0 − 0.

525×

0)


⎩−

( 0.

45×

0 − 0.

525×

0)

M cr

λ

LT

= 2054.

7kNm

⎛W

y f

=


⎝ M cr

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 3949×10– 6 m3.

λ

LT

⎛W

y f

=


⎝ M cr

y




0.

5

EC3 – Volume IV 63

y




0.

5

−6

⎛ 3949×

10 × 355×

10

= ⎜

⎝ 2054.

7

3




0.

5

=

0.

83

Sendo α LT = 0.

21

(curva a) ; secção laminada em H, com h / b = 490/300 = 1.6 < 2

−8






0.

5








Série Estruturas Estruturas Metálicas

φ LT

2

[ 1+

α ( λ LT − 0.

2)

λ ]

φ = 0. 5

+ LT

LT

= 0.

5

χ LT

LT

2 [ 1+

0.

21(

0.

83 − 0.

2)

+ 0.

83 ] = 0.

91

χ

LT

=

φ

LT

+ ( φ

EC3 – Volume IV 64

1

2

LT

− λ

2

LT

1

=

2 2

0.

91+

( 0.

91 − 0.

83 )

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:

)

0.

5

0.

5

=

0.

78

3

−6

355×

10

M b,

Rd = 0.

78×

3949×

10 × = 1093.

5kNm

> M Ed = 200.

0kNm

1.

0

Logo o perfil HEA 500 em aço S 355 é a solução. A secção submetida a flexão pertence à

classe 1.

2.2.7. Viga em consola

Dimensione a viga em consola ilustrada na figura abaixo, utilizando uma secção IPE em aço

S355 (E = 210 GPa e G = 81 GPa), para o carregamento indicado, aplicado no banzo superior

do perfil. Verifique o estado limite último de resistência (γ = 1.50) e o estado limite de

deformação (γ = 1.00), considerando um deslocamento máximo admissível de L/200.

Viga em consola com uma carga uniformemente distribuida


Série Estruturas Estruturas Metálicas

i) Flexão e esforço transverso

Diagramas de esforços

Majorando as cargas com γ = 1.50, a viga fica submetida a um esforço transverso, com VA =

62.50×1.5 = 93.8 kN e VB = 0.0 kN e a um momento flector, com MA = 78.13×1.5 = 117.2

kNm e MB = 0.0 kN .

Por conseguinte os esforços de dimensionamento são: VEd = 93.8 kN e MEd = 117.2 kN .

Como se trata de uma viga em consola procede-se ao pré-dimensionamento da secção de

forma a limitar a deformação máxima na secção de extremidade (estado limite de

deformação), considerando uma carga dada por

EC3 – Volume IV 65

p Ed

= 1 . 00×

25 = 25kN

/ m

.

Com base na fórmula de cálculo do deslocamento elástico na secção de extremidade de uma

consola submetida a uma carga uniformemente distribuída, obtém-se:

δ

máx

= δ

B

=

p Ed

L

8EI

4

4

25×

2.

5 L 2.

5

=

≤ = = 0.

0125m

= 12.

5mm

6


210×

10 I 200 200

⇒ I ≥

=

−5

4

4

4. 6503×

10 m 4650.

3cm


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Consultando uma tabela de perfis da série IPE, obtém-se a secção IPE 270 com Iy = 5790

cm4.

Admitindo que a secção anterior pertence à classe 1 ou 2, o seu momento flector resistente é

dado por:

M c Rd = W pl y f y / γ MO = 484.

0 × 10

,

,

× 355×

10

Sendo a resistência à flexão verificada através da condição:

/ 1.

0

EC3 – Volume IV 66

−6

M c,

Rd = 171.

8kNm

> M Ed = 117.

2kNm

3

= 171.

8kNm

,

Sendo a área de corte dada por Av = 22.14 cm2, a resistência da secção ao esforço transverso

é verificada através da seguinte condição:

V

Ed

= 93.

8kN

< V

pl,

Rd

=

γ

A

v

MO

f

y

3

=

22.

14×

10

1.

0

−4

×

× 355×

10

Para a alma não reforçada, considerando conservativamente η = 1, vem:

h

t

w

w

=

249.

6

6.

6

=

37.

8

3

ε 0.

81

< 72 = 72 × =

η 1.

0

58.

3

3

= 453.

8kN

Logo, segundo 6.2.6 (6) do EC3-1-1, é dispensada a verificação da encurvadura da alma por

esforço transverso.

A interacção entre o momento flector e o esforço transverso (segundo 6.2.8 do EC3-1-1) deve

ser verificada na secção de encastramento.

Como nessa secção:

VEd pl Rd

= 93 . 8kN

< 0.

50×

V , = 0.

50×

453.

8 = 226.

9kN

Não é necessário reduzir o momento flector resistente da secção.

A verificação da classe da secção, segundo 5.5 do EC3-1-1, é efectuada com base nas

seguintes condições:

Alma do perfil à flexão,

Banzo comprimido do perfil,

c / t = 219.

6 / 6.

6 = 33.

3 < 72ε

= 72 × 0.

81 =

58.

3


Série Estruturas Estruturas Metálicas

c

t

135/

2 − 6.

6 / 2 −15

= = 4.

8 < 9ε

= 9×

0.

81 =

10.

2

Como ambas as partes da secção são de classe 1, a secção é globalmente de classe 1, sendo

válida a hipótese considerada na verificação da flexão.

ii) Encurvadura lateral

A secção pré-dimensionada (IPE 270) possui as seguintes propriedades geométricas: Iz =

419.9 cm4 , IT = 15.94 cm4 , IW = 70.6×10–3 cm6 , Wpl,y = 484.4 cm3 .

Para o material utilizado, as principais propriedades mecânicas são: E = 210 GPa , G = 81

GPa e fy = 355 MPa .

De acordo com Anexo 1 deste texto:

M

cr

Onde:

= 27

EI

z

L

GI

T


⎢1

+

⎢⎣

K

1.

4(

ε − 0.

1)

1+

1.

96(

ε − 0.

1)

π EI

2


⎥ + 10(

K − 2)

⎥⎦

EC3 – Volume IV 67

EI

z

L

GI

2

6

−5

π × 210×

10 × 70.


10

6

8

81×

10 × 15.

94×

10 × 2.

5

=

2

W

2

GIT

L

=


y Q

2

ε =

h

K 2×

( 270 / 2)

1.

35

=

= 0.

43

π 270 π

T

2

7.

3


⎢1

+

⎢⎣

= 1.

35

1.

3(

ε − 0.

1)

1+

1.

69(

ε − 0.

1)

M cr = 27

6

−8

6

−8

210×

10 × 419.


10 × 81×

10 × 15.

94×

10 ⎡

⎢1

+

2.

5

⎢⎣

1.

4(

0.

43 − 0.

1)



2

1+

1.

96(

0.

43 − 0.

1)

⎥⎦

+ 10(

1.

35 − 2)

6

−8

6

−8

210×

10 × 419.


10 × 81×

10 × 15.

94×

10 ⎡

⎢1

+

2.

5

⎢⎣

1.

3(

0.

43 − 0.

1)



2

1+

1.

69(

0.

43 − 0.

1)

⎥⎦

M cr

λ

LT

= 1632.

4kNm

⎛W

y f

=


⎝ M cr

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 484×10– 6 m3.

λ

LT

⎛W

y f

=


⎝ M cr

y




0.

5

y




0.

5

−6

⎛ 484×

10 × 355×

10

= ⎜

⎝ 1632.

4

3




0.

5

=

0.

32

2



⎥⎦


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Sendo α LT = 0.

21

(secção laminada em I, com h / b ≤ 2);

φ LT

2

[ 1+

α ( λ LT − 0.

2)

λ ]

φ = 0. 5

+ LT

LT

χ LT

= 0.

5

χ

=

LT

2 [ 1+

0.

21(

0.

32 − 0.

2)

+ 0.

32 ] = 0.

56

LT

=

0.

56

φ

+

LT

+ ( φ

1

2

( 0.

56

EC3 – Volume IV 68

1

2

LT


− λ

0.

32

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:

Como:

M b,

Rd

=

0.

98

× 484.


10

−6

×

2

LT

2

)

)

0.

5

355×

10

1.

0

3

0.

5

=

0.

98

= 168.

5kNm

M b,

Rd = 168.

5kNm

> M Ed = 117.

2kNm

É verificada a segurança em relação à encurvadura lateral, sendo a solução constituída por um

perfil IPE 270 em aço S 355.

2.4. Flexão composta com compressão

O Eurocódigo 3, parte 1-1 (EC3-1-1), apresenta expressões gerais para a flexão composta com

compressão, em que fenómenos de instabilidade sejam potencialmente condicionantes. Essas

expressões, a seguir reproduzidas, correspondem fundamentalmente a expressões de

interacção linearizadas em que cada termo estabelece a percentagem de utilização

correspondente a cada um dos esforços relevantes (esforço axial, momento flector segundo a

maior inércia e segundo a menor inércia).

Onde:

NEd, My,Ed e Mz,Ed são os valores de cálculo do esforço axial de compressão e dos

momentos flectores máximos solicitantes em torno de y e z, respectivamente;


Série Estruturas Estruturas Metálicas

ΔMy,Ed e ΔMz,Ed são os momentos devidos à variação do centro de gravidade em

secções de classe 4;

χy e χz são os factores de redução devido à encurvadura por flexão (compressão

simples) em torno de y e de z, respectivamente, avaliados de acordo com a

cláusula 6.3.1 do EC3-1-1;

χLT é o factor de redução devido à encurvadura lateral ou encurvadura por flexo-

torção (flexão pura), avaliado de acordo com a cláusula 6.3.2 do EC3-1-1 (χLT =

1.0 para elementos não susceptíveis de encurvar lateralmente);

kyy, kyz, kzy e kzz são factores de interacção dependentes dos fenómenos de

instabilidade e de plasticidade envolvidos, obtidos de acordo com o Anexo A do

EC3-1-1 (Método 1) ou com o Anexo B (Método 2).

Os valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed são avaliados de acordo com a tabela 9 (EC3),

dependendo da classe da secção transversal do elemento em análise.

A 1ª fórmula (em cima) traduz o efeito introduzido pelo momento na encurvadura em torno

do eixo yy, enquanto que a 2ª fórmula (em baixo) representa o mesmo efeito mas agora em

torno do eixo zz.

Na realidade, o aumento do esforço axial de compressão amplifica os momentos de 2ª ordem

em torno dos eixos “yy” e “zz”, resultando num comportamento em conjunto das

instabilidades dos diferentes eixos.

Quadro 9 - Valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed (EC3).

No EC3-1-1 são apresentados dois métodos para o cálculo dos factores de interacção kyy, kyz,

kzy e kzz:

• O Método 1, desenvolvido por um grupo de investigadores Franco-Belga;

• O Método 2, desenvolvido por um grupo de investigadores Austro-Alemão.

EC3 – Volume IV 69


Série Estruturas Estruturas Metálicas

O EC3 estabelece ainda que nos Anexos Nacionais do Eurocódigo 3 poderão ser dadas

indicações acerca do método a adoptar.

Em elementos não susceptíveis de sofrer deformações de torção, assume-se que não existe

o risco de ocorrer encurvadura lateral, sendo a estabilidade do elemento assegurada pela

verificação da encurvadura por flexão em torno de “y” e em torno de “z”.

Este procedimento consiste na aplicação da equações (1a) (encurvadura por flexão em torno

de “y”) e (1b) (encurvadura por flexão em torno de “z”), respectivamente, considerando χLT

= 1.0 e calculando os coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1,

como pelo Método 2) para a situação de elementos não susceptíveis de sofrer deformações de

torção.

Em elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção assume-se que a encurvadura

lateral é mais condicionante. Neste caso, devem aplicar-se as Equações (1a) e (1b),

considerando χLT avaliado de acordo com 6.3.2 do EC3-1-1 e calculando os coeficientes de

interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1, como pelo Método 2) para a situação

de elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção.

Uma explicação pormenorizada do procedimento para a determinação da resistência da flexão

composta por compressão, a avaliação da susceptibilidade a deformações de torção e ainda a

determinação dos coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz poderá ser consultada em

“Simões, R. Manual de dimensionamento de estruturas metálicas, CMM Press, 2005”.

O procedimento de cálculo dos factores de redução χ y e χ z não sofreu alterações, face à

versão inicial do EC3 (1993).

Para perfis das classes 1 e 2 os valores de ΔM y,Ed e ΔMz,Ed são iguais a zero. NRk , M y,Rk

e M z,Rk são definidos de acordo com as expressões:

NRk = A × fy , My,Rk =Wpl,y × fy , Mz,Rk =Wpl,z × fy

Para valores reduzidos de esforço axial, a resistência à encurvadura dos elementos é similar à

da secção à tracção, tornando-se assim necessária essa verificação. A nova proposta do

Eurocódigo 3 refere que devem ser feitas as seguintes verificações:

EC3 – Volume IV 70


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Em que os factores “n” e “a” são dados por:

Os factores de interacção kyy ,kzy ,kyz e kzz , utilizados podem ser calculados de acordo com

os dois métodos, que seguem as abordagens propostas pelos diferentes grupos de trabalho, tal

como descrito anteriormente:

• A proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000) denominada por “método 1” encontra-

se no anexo A da parte 1-1do EC3;

• A proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001) denominada por “método 2 “encontra-se no

anexo B da parte 1-1 do Eurocódigo 3.

O “método” 2 é uma abordagem do nível 1, ou seja, trata-se de um procedimento simples, de

cálculo dos factores de interacção, para casos mais comuns. O “método” 1 trata-se de uma

abordagem do nível 2, baseando-se numa análise mais precisa e compreensiva.

Abordagens do nível 3 consistem em análises numéricas não lineares usando programas de

elementos finitos.

A versão inicial do EC3 (1993) também possuía duas fórmulas verificativas, mas efectuava

uma distinção clara entre a encurvadura de viga-coluna (aqui designada de flexo-torsional) e

de viga (aqui designada de lateral ou lateral-torsional).

N ky⋅My, Sd kz⋅M Sd

z, Sd

Encurvadura flexo-torsional (flexural – torsional buckling) → + + ≤1

A⋅ fy wy ⋅ fy wz⋅ fy

χmin

γ γ γ

Encurvadura lateral (lateral – torsional buckling)

M1 M1 M1

N kLT ⋅ M

Sd

y, Sd kz⋅M z, Sd

→ +

A⋅fy wy

⋅ fy wz⋅ fy

χz χLT

γ M1

γM1 γM1

+ ≤1

EC3 – Volume IV 71


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral

No caso de não existir possibilidade de encurvadura lateral a metodologia dos dois métodos é

a seguir exposta.

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).

As fórmulas de estabilidade são apresentadas nos pontos 6.3.1. e 6.3.3. do EC3, sendo os três

principais parâmetros:

• O comprimento de encurvadura, L cr;

• O momento máximo de flexão, Mmax;

• O factor equivalente “C m” que caracteriza a forma de distribuição do momento

flector.

Método 1

Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção para perfis das classes 1 e 2,

através do “método 1” (proposta Franco-Belga, Villette et al., 2000), encontram-se descritos

no Anexo A da nova proposta do Eurocódigo 3.

Esta proposta foi desenvolvida com os objectivos de criar uma fórmula que fosse

compreensível, onde todos os seus componentes tivessem significado físico, consistente com

as outras fórmulas que se encontram nos regulamentos existentes, e conservativa e precisa em

comparação com os resultados numéricos e experimentais disponíveis.

São admitidas as condições gerais correspondentes a flexão composta com momentos

segundo yy e/ou zz (My,Ed e/ou Mz,Ed ) e com esforço axial NEd , bem como a possibilidade

de encurvadura por compressão (encurvadura por flexão) e a verificação de diferentes secções

(I, H e tubulares).

Segundo o “método 1” deve-se determinar os factores de interacção através das expressões:

EC3 – Volume IV 72


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Nestas expressões dos factores de interacção é possível reconhecer os conceitos familiares de

factor de momento equivalente “cmi” (segundo o eixo yy e zz), e de factor de amplificação k,

devido aos efeitos de 2ª ordem.

Em que:

Para se simplificar o cálculo do coeficiente de momento equivalente “cm”, foram propostas

várias fórmulas aproximadas. Estas fórmulas, geralmente, têm em conta apenas a variação do

diagrama de momentos de primeira ordem.

Os coeficientes μy e μz são dados pelas expressões:

EC3 – Volume IV 73


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por meio de calibração numérica e

representam a interacção elasto-plástica, entre os momentos de 1ª ordem e o esforço axial.

Acresce que este coeficientes (cyy, cyz, czy e czz) dependem das esbeltezas adimensionais,

sendo que os elementos mais esbeltos não conseguem desenvolver a mesma interacção entre

esforço axial e momento flector, que os menos esbeltos. De facto, devido aos efeitos de

instabilidade, o comportamento pode variar significativamente em função do tipo da secção.

Estes coeficientes também dependem do factor de momento equivalente “cmi”, dado que o

elemento não desenvolve a mesma resistência elasto-plástica para diferentes tipos de

carregamento.

A metodologia deste método de cálculo é baseada na teoria elástica de 2ª ordem no plano, e

foi estendida para 3D. O formato teórico mantém-se o máximo possível, de forma a que os

coeficientes dêem explicitamente uma ideia do significado físico. Quando não foi possível

manter esse formato teórico, foram usados resultados de análises numéricas por elementos

finitos para calibrar localmente alguns destes factores.

Método 2

Tal como referido anteriormente, o “método 2”, preconizado na parte 1-1 do Eurocódigo 3 de

2010, corresponde à proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001). Os objectivos essenciais desta

proposta foram desenvolver fórmulas simples e de fácil aplicação no dimensionamento de

vigas-coluna, e a obtenção de uma boa precisão e adequada economia na avaliação das

capacidades resistentes dos casos mais comuns.

Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção através do “método 2”

encontram-se descritos no anexo B da nova proposta do Eurocódigo (2010, em português ).

Os casos analisados no desenvolvimento desta proposta incluem: secções em I e secções

tubulares rectangulares; secções duplamente simétricas; e flexão composta com flexão plana.

Os restantes casos de secções simétricas apenas numa direcção e para a flexão desviada com

compressão são tratados nesta análise de forma mais conservativa e não tão precisa.

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral

Em relação às expressões para o caso em que não existe encurvadura lateral, as principais

diferenças são a introdução do factor de redução à encurvadura lateral “χLT”, e o cálculo dos

factores de interacção kyy , kzy , kyz e kzz . As expressões a usar na verificação da segurança,

no caso de existir encurvadura lateral, já foram apresentadas:

EC3 – Volume IV 74


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Os dois métodos propostos, para a verificação da segurança de vigas-coluna, de acordo com o

Eurocódigo 3, têm em consideração a possibilidade de existir encurvadura lateral, e para isso

propõem diferentes formulações, para ter em consideração este fenómeno de encurvadura no

cálculo dos factores de interacção. Estas formulações, de acordo com o “método 1” e “método

2”, são resumidamente apresentadas nos pontos seguintes.

Método 1

Na proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000), a filosofia geral foi mantida em relação ao

proposto para o caso de não existir encurvadura lateral.

Os factores de interacção modificados, para ter em conta a encurvadura lateral, são o kyy e

kzy, onde é agora introduzido o factor “cmLT” (coeficiente de momento equivalente para a

encurvadura lateral). Os restantes factores de interacção, kyz e kzz, mantém o significado

anteriormente exposto.

O coeficiente de momento equivalente cmy é calculado de acordo com a expressão:

O factor “cmLT” é calculado de acordo com a seguinte expressão:

EC3 – Volume IV 75


Série Estruturas Estruturas Metálicas

O cálculo do coeficiente de momento equivalente, segundo o eixo zz (cmz) é feito da mesma

forma que para o caso em que não existe encurvadura lateral, ou seja, através da fórmula:

O coeficiente “aLT” permite uma transição suave entre as respostas para secções abertas e

tubulares, e é calculado de acordo com a expressão:

Para perfis das classes 1 e 2 “εy” é dado pela expressão:

Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por calibração numérica.

Os factores constantes no Anexo A do EC3 são apresentados a seguir, para o Método 1.

EC3 – Volume IV 76


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 77


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 78


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Método 2

No “método 2” (proposta Austro-Alemã) a única diferença que existe, entre os casos em que

há e não há encurvadura latera,l é o procedimento de determinação do factor de interacção

kzy, que é efectuado, para o caso de haver encurvadura lateral, de acordo com a expressão:

EC3 – Volume IV 79


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Em que “cmLT” é o factor de momento uniforme equivalente, correspondente à encurvadura

lateral, e que se determina através do diagrama de momentos em torno do eixo yy, ou seja é

igual ao “cmy”. Os factores constantes no Anexo B do EC3 são:

EC3 – Volume IV 80


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 81


Série Estruturas Estruturas Metálicas

2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3

Seguem-se exemplos baseados em “Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background

documentation and design guidelines, ECCS, 2006”.

2.4.3.1. Exemplo Prático 1 - comportamento plano.

Este primeiro exemplo trata de comportamento plano, sem possibilidade de encurvadura para

fora do plano do eixo da peça. A viga-coluna é submetida à compressão e a momento de

flexão triangular no eixo principal. O elemento tem, pois, os deslocamentos de flexão e torção

laterais impedidos.

Características da secção Transversal (IPE 200)

Comprimento de encurvadura L = 3,5m

Dimensões dos banzos e alma bf = 100mm = 0,1m

tf = 8,5mm = 0,0085m

Área A = 28,48cm 2 = 2,848·10 -3 m 2

Inércias Iy = 1943cm 4 = 19,43·10 -6 m 4

Iz = 142,4cm 4 = 1,424·10 -6 m 4

Módulos de flexão plásticos Wpl,y = 220,6cm 3 = 220,6·10 -6 m 3

Wpl,z = 44,6cm 3 = 44,6·10 -6 m 3

Módulos de flexão elásticos Wel,y = 194,3cm 3 = 194,3·10 -6 m 3

Wel,z = 28,5cm 3 = 28,5·10 -6 m 3

Raios de giração iy = 8,26cm = 82,6·10 -3 m

iz = 220,24cm = 22,4·10 -3 m

hw = 183mm = 0,183m

tw = 5,6mm = 0,0056m

EC3 – Volume IV 82


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Inércia torsional (torção uniforme, Saint-Venant)

e de empenamento (torção não uniforme)

Solicitações

Esforço axial de compressão NEd = 210 KN

Momentos de flexão, eixo forte (yy’s) My,Ed,direito = 0 KN.m My,Ed,esquerdo = 43 KN.m

Propriedades dos Materiais

Módulos Elásticos E = 210000x10 6 N/m 2 G = 8070x10 6 N/m 2

Características do aço Fy = 235x10 6 N/m 2

Factores parciais de segurança γ Mo = 1,0 γ M1 = 1,0

Definições das curvas de Flexão:

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21

• O perfil IPE200 feito de S235 é Classe 1 em compressão, e por conseguinte também

Classe 1 em compressão e flexão.

Classificação das Secções Transversais:

- Alma em compressão combinada com flexão:

Limite da Classe: ε = 33

c

t

⇒ Alma em compressão é Classe 1.

- Parte do banzo em compressão:

c

t

Limite da Classe: ε = 9

⇒ Banzo é da Classe 1.

0,

5(

b − t

t

−3

d 183×

10 m

=

= 32,

7

5,


10 m

= −3

tw

−3

− 2r)

0,

5(

100×

10 m − 2,

12×

10

=

3

8,


10 m

w = −

f

It = 6,98cm 4 = 69800·10 -12 m 4

Iw = 12,988·10 3 cm 6 = 12988·10 -12 m 6

Logo temos Classe 1 na classificação da secção transversal.

m)

=

EC3 – Volume IV 83

−3

4,

1


Série Estruturas Estruturas Metálicas

• Verificação de Estabilidade:

Verificação de acordo com o Método 1

- Factor de redução para a compressão e flexão:

N

cr,

y

λ =

y

2

π EI

= 2

L

cr,

y

χ y =

φ +

=

1

2

y

6 N

π × 210000×

10 × 19,

43×

10

2

=

m

2 2

( 3,

5m

)

2

y

=

2

y

φ = 0,

5[

1+

α ( λ − 0,

2)

+ λ ] = 0,

5[

1+

y

Af

N

- Termos auxiliares:

- Factor Cm0:

y

y

y

y

−3

2

6 N

2,

848×

10 m × 235×

10 2

m

3

3287×

10 N

y

φ − λ

0,

628

N Ed 1−

Ncr,

μ y =

N

1−

χ y

N

W

y

M

=

M

pl,

y

el,

y

y

Ed

cr,

y

+

1

0,

628

−6

220,


10 m

=

−6

194,


10 m

0,

21(

0,

451

− 0,

451

0,

451

= 328kN

0,

2)

0,

939

2

+ 0,

451 ] =

EC3 – Volume IV 84

2

3

3

=

2

−6

=

m


3

210×

10 N

1−

3

= 3287×

10 N = 3

210×

10 N

1−

0,

939

3

3287×

10 N

4

= 1,

135 ≤1,

5

≤1

0,

996

A fórmula dos momentos flectores linearmente distribuídos é usada aqui.

M

ϕ y =

M

C

=

my,

0

=

0,

79

y,

Ed , direito

y,

Ed , esquerdo

0,

79

+ 0,

21ϕ

+ 0,

36(

ϕ −

+ 0,

21×

0 +

0

=

= 0

3

43×

10 Nm

y

0,

36(

0


y

0,

33)

0,

33)

N

N

Ed

cr,

y

3

210×

10 N

= 3

3287×

10 N

0,

782

Sendo que Cmy=0, porque a torção por flexão lateral não é susceptível de ocorrer.

0,

628


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 85

- Resistência axial elástico-plástica:

kN

m

N

f

A

N y

Rk

c

669

10

235

10

848

,

2 2

3

3

,

=

×

×

×

=

×

=



881

,

0

10

6

,

220

10

3

,

194

061

,

1

0

0

,

1

10

669

10

210

451

,

0

782

,

0

135

,

1

6

,

1

451

,

0

782

,

0

135

,

1

6

,

1

2

)

1

135

,

1

(

1

6

,

1

2

)

1

(

1

3

6

3

6

,

,

3

3

2

2

2

1

,

2

2

2

=

×

×

=


=














×

×







×


×



+

=

























+

=



m

m

W

W

N

N

b

N

N

C

C

w

w

C

y

pl

y

el

LT

M

Rk

c

Ed

y

my

y

my

y

y

yy

γ

λ

λ

Sendo bLT = 0 porque a torção por flexão lateral é impedida, de modo que αLT = 0.

881

,

0

10

6

,

220

10

3

,

194

061

,

1

0

0

,

1

10

669

10

210

451

,

0

782

,

0

135

,

1

6

,

1

451

,

0

782

,

0

135

,

1

6

,

1

2

)

1

135

,

1

(

1

6

,

1

2

)

1

(

1

3

6

3

6

,

,

3

3

2

2

2

1

,

2

2

2

=

×

×

=


=














×

×







×


×



+

=

























+

=



m

m

W

W

N

N

b

N

N

C

C

w

w

C

y

pl

y

el

LT

M

Rk

c

Ed

y

my

y

my

y

y

yy

γ

λ

λ

- Verificação:

kNm

m

N

m

f

W

M y

y

pl

Rk

y

pl

8

,

51

10

235

10

6

,

220 2

6

3

3

,

,

,

=

×

×

×

=

=



1

985

,

0

0

,

1

10

8

,

51

061

,

1

10

3287

10

210

1

10

43

782

,

0

996

,

0

0

,

1

10

669

939

,

0

10

210

1

3

3

3

3

3

3

1

,

,

,

,

,

1

,


=













×









×

×


×

×

+

×

×

=






















⎛ −

+

Nm

N

N

Nm

N

N

M

C

N

N

M

C

N

N

M

Rk

y

pl

yy

y

cr

Ed

direito

Ed

y

my

y

M

Rk

c

y

Ed

γ

μ

γ

χ


Série Estruturas Estruturas Metálicas

⇒ Satisfatório.

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9)

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:

V

A

V

V

y,

Ed

Vy

y,

Ed

M

=

= A − 2bt

= 2,

848×

10

= 1,

40×

10

pl,

y,

Rd

y,

Ed , direito

−3

f

−3

m

+ ( t

m

2

− M

L

≥ h t

M 0

w

+ 2r)

t

= 12,

3KN

≤ 0,

5xV

2

AVy

f y

=

3 γ

− 2×

0,

1m

× 0,

0085m

+ ( 0,

0056m

+ 2×

0,

012m)

w w

=

y,

Ed , esquerdo

f

= 0,

183m

× 5,


10

1,

02×

10

3

pl,

y,

Rd

−3

m

3

43×

10 Nm − 0

=

= 12,

3KN

3,

5m

235×

10

m = 1,

02×

10

= 139KN

EC3 – Volume IV 86

2

−3

1,

0

6

N

m

= 0,


139KN

= 69,

5KN

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em

conta (Vsd < 50% Vrd).

N

n =

N

γ

Ed

c,

Rk

M 0

3

210×

10 N

=

3

669×

10 N

1,

0

n

w

=

0,

314


0,

25

3

NEd

× γ M 0 210×

10 N × 1,

0

= =

= 0,

872 ≥

h × ×

−3

6 N

w tw

f y 0,

183m

× 5,


10 m×

235×

10 2

m

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente precisa de ser tido em conta.

α

M

−3

2

( A − 2bf

t f ) 2,

848×

10 m − 2×

0,

1m

× 8,


10

=

3 2

A

2,

848×

10 m

= −

N , pl,

y,

Rd

M


γ

M

M

pl,

y,

Rk

M 0

y,

Ed , direito

N , pl,

y,

Rd

1−

n M pl,

=

1−

0,


γ

y,

Rk

M 0

3

51,


10 Nm

3

=

= 51,

8x10

Nm

1,

0

3

43×

10 Nm

=

= 3

44,


10 Nm

0,

965

≤1

2

−3

m

=

−3

m

2

0,

403

0,

5

0,

5

3

1−

0,

314 51,


10 Nm

=

= 44,

7KN.

m

1−

0,


0,

403 1,

0


Série Estruturas Estruturas Metálicas

⇒ Satisfatório.

De notar que só a extremidade direita tem de ser verificada, uma vez que possui uma

solicitação superior à da extremidade esquerda (My,Ed = 0).

• Verificação da Estabilidade:

Verificação de acordo com o Método 2

- Factor de redução para a compressão e flexão:

λ = π

1

L

λy

=

i

χ y =

φ +

1 3,

5m

=

λ 82,


10

1

6 N

210000×

10

= π

m

6 N

235×

10 2

m

1

2

y

2

y

=

−3

1

93,

9

2

y

0,

628

+

2

0,

451

1

93,

9

φ = 0,

5[

1+

α ( λ − 0,

2)

+ λ ] = 0,

5[

1+

y

cr

y

y

E

f

y

y

y

φ − λ

- Momento Uniforme Equivalente Cm:

- Factores de Interacção:

N

n

c,

Rk

y

λ ≤ 1:

K

y

= Af

yy

y

N Ed

=

N

χ

y

γ

c,

Rk

M 1

= 2,

848×

10

= C

M

ϕ y =

M

C

−3

my

=

m

0,

6

× 235×

10

3

210 × 10 N

=

3

669 × 10 N

0,

939

1,

0

my

y,

Ed , direito

=

y,

Ed , esquerdo

=

+ 0,


=

−3

=

y

0,

334

0,

628

0,

6

0,

21(

0,

451

− 0,

451

0,

2)

0,

939

2

+ 0,

451 ] =

EC3 – Volume IV 87

2

0 3

2

=


=

= 0

43×

10 Nm

= 669KN

+ 0,


0 = 0,

6 ≥

[ 1+

( λ − 0,

2)

n ] = 0,

600 1+

( 0,

451−

0,

2)

y

y

N

m

2

0,

4

≤1

[ 0,

334]

= 0,

650

0,

628


Série Estruturas Estruturas Metálicas

- Verificação:

M

n

y

pl,

y,

Rk

=

= W

NEd

N

χ y

γ

c,

Rk

M 1

pl,

y

⇒ Satisfatório.

−3

3

f = 220,


10 m × 235×

10

y

+ k

yy

M

M

y,

Ed

pl,

y,

Rk

γ

M 1

−6

3

210×

10 N

=

3

669×

10 N

0,

939

1,

0

N

m

= 51,

8kNm

0,

650

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9):

0,

874

EC3 – Volume IV 88

2

+

3

43×

10 Nm

= 3

51,


10 Nm

1,

0

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:

V

A

V

V

y,

Ed

Vy

y,

Ed

M

=

= A − 2bt

= 2,

848×

10

= 1,

40×

10

pl,

y,

Rd

y,

Ed , direito

−3

f

−3

m

+ ( t

m

− M

L

− 2×

0,

1m

× 0,

0085m

+ ( 0,

0056m

+ 2×

0,

012m)

≥ h t

M 0

w

+ 2r)

t

w w

= 12,

3KN

≤ 0,

5

2

2

AVy

f y

=

3 γ

=

= 0,

183m

× 5,


10

xV

y,

Ed , esquerdo

1,

02×

10

3

f

pl,

y,

Rd

−3

=

m

3

43×

10 Nm − 0

=

= 12,

3kN

3,

5m

2

−3

235×

10

1,

0

m = 1,

02×

10

6

N

m

= 139kN

0,


139KN

= 69,

5kN

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em

conta (Vsd < 50% Vrd).

n

w

N

n =

N

γ

Ed

c,

Rk

M 0

3

210×

10 N

=

3

669×

10 N

1,

0

=

0,

314

2


0,

25

3

NEd

× γ M 0 210×

10 N × 1,

0

= =

= 0,

872 ≥

h × ×

−3

6 N

w tw

f y 0,

183m

× 5,


10 m×

235×

10 2

m

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente plástico precisa de ser tido em

conta.

−3

m

2

≤1

0,

5


Série Estruturas Estruturas Metálicas

α

M

−3

2

( A − 2bf

t f ) 2,

848×

10 m − 2×

0,

1m

× 8,


10

=

3 2

A

2,

848×

10 m

= −

N , pl,

y,

Rd

M


γ

M

M

⇒ Satisfatório.

pl,

y,

Rk

M 0

y,

Ed , direito

N , pl,

y,

Rd

1−

n M pl,

=

1−

0,


γ

y,

Rk

M 0

3

51,


10 Nm

3

=

= 51,


10 Nm

1,

0

3

43×

10 Nm

=

= 3

44,


10 Nm

3

1−

0,

314 51,


10 Nm

=

= 44,

7kNm

1−

0,


0,

403 1,

0

0,

965

≤1

0,

403

EC3 – Volume IV 89

−3

m

=

Só a extremidade direita final tem de ser verificada porque tem um momento superior face à

extremidade esquerda My,Ed = 0.

2.4.3.2. Exemplo Prático 2 - comportamento espacial com encurvadura lateral

Este segundo exemplo trata de comportamento espacial. A viga-coluna é submetida à

compressão e forças transversas causando uma significativa flexão. A flexão lateral e a torção

não estão impedidas, podendo ocorrer.

Características da secção Transversal (IPE 500)

Comprimento de encurvadura L = 3,5m

LLT = 3,5m

Dimensões dos banzos e alma bf = 200mm = 0,2m

tf = 16mm = 0,016m


0,

5

hw = 468mm = 0,468m

tw = 10,2mm = 0,0102m


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Área A = 115,5cm 2 = 11,55·10 -3 m 2

Inércias Iy = 48199cm 4 = 481,99·10 -6 m 4

Iz = 2142cm 4 = 21,42·10 -6 m 4

Módulos de flexão plásticos Wpl,y = 2194cm 3 = 2194·10 -6 m 3

Wpl,z = 335,9cm 3 = 335,9·10 -6 m 3

Módulos de flexão elásticos Wel,y = 1927,9cm 3 = 1927,9·10 -6 m 3

Wel,z = 214,2cm 3 = 214,2·10 -6 m 3

Raios de giração iy = 20,43cm = 204,3·10 -3 m

Inércia torsional (torção uniforme, Saint-

Venant) e de empenamento (torção não

uniforme)

iz = 4,31cm = 43,1·10 -3 m

It = 89,2871cm 4 = 892871·10 -12 m 4

Iw = 1249·10 3 cm 6 = 1,249·10 -6 m 6

Solicitações

Forças de Compressão NEd = 800 KN

Distribuição do momento de flexão, eixo forte My,Ed,direito = 350 KN.m My,Ed,esquerdo = 0 KN.m

Distribuição do momento de flexão, eixo fraco Mz,Ed = 0 KN.m

Propriedades dos Materiais

Módulos Elásticos E = 210000x10 6 N/m 2 G = 80770x10 6 N/m 2

Características do rendimento forte Fy = 235x10 6 N/m 2

Factores parciais de segurança γ Mo = 1,0 γ M1 = 1,0

Definições das curvas de Flexão:

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21

• Factor de Imperfeição para eixo fraco: α z = 0,34

Factor de imperfeição na flexão lateral com torção:

EC3 – Volume IV 90


Série Estruturas Estruturas Metálicas

• α LT = 0,34 se o “caso geral” for escolhido;

• α LT = 0,49, se for escolhido o caso de “secções laminadas ou as secções equivalentes

soldadas”.

Classificação da Secção Transversal:

- Alma em compressão composta com flexão:

c

t

−3

d 426×

10 m

=

= 41,

8

10,


10 m

= −3

tw

Se considerarmos uma distribuição plástica:

0,

5N

α c = 0,

5d

+

t f

w

y

Ed

Deste modo α = 0,892 > 0,5

3

−3

0,


800×

10 m

= 0,


426×

10 m +

= 379,


10

−3

6 N

10,


10 m×

235×

10 2

m

Classe 2 quando combinando flexão e compressão:

456ε

456×

1

=

=

13α

−1

13×

0,

892 −1

43,

0

⇒ Alma em compressão combinada com flexão é da Classe 2.

- Banzo em compressão:

c

t

0,

5(

b − t

t

− 2r)

0,

5(

200×

10

=

−3

= w


Limite da Classe 1: 9ε = 9

⇒ Banzo é da Classe 1.

⇒ Secção transversal é da Classe 1.

• Verificação de Estabilidade:

f

−3

m −10,


10 m − 2,

12×

10

3

16×

10 m

Verificação de acordo com o Método 1

- Factor de redução para a compressão e flexão:

m)

=

EC3 – Volume IV 91

−3

4,

6

−3

m


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 92

1

683

,

0

865

,

0

988

,

0

988

,

0

1

1

988

,

0

]

865

,

0

)

2

,

0

865

,

0

(

34

,

0

1

[

5

,

0

]

)

2

,

0

(

1

[

5

,

0

865

,

0

10

3624

10

235

10

55

,

11

3624

)

5

,

3

(

10

42

,

21

10

210000

000

,

1

200

,

0

182

,

0

10

81549

10

235

10

552

,

11

81549

)

5

,

3

(

10

99

,

481

10

210000

2

2

2

2

2

2

3

2

6

2

3

,

2

2

4

6

2

6

2

2

2

,

3

2

6

2

3

,

2

2

4

6

2

6

2

2

2

,


=


+

=


+

=

=

+


+

=

+


+

=

=

×

×

×

×

=

=

=

×

×

×

×

=

=

=



=

×

×

×

×

=

=

=

×

×

×

×

=

=





z

z

z

z

z

z

z

z

z

cr

y

y

z

cr

y

y

cr

y

y

y

cr

N

m

N

m

N

Af

KN

m

m

m

N

L

EI

N

N

m

N

m

N

Af

kN

m

m

m

N

L

EI

N

λ

φ

φ

χ

λ

λ

α

φ

λ

π

π

χ

λ

π

π

- Termos Auxiliares:

5

,

1

5

,

1

568

,

1

10

2

,

214

10

9

,

335

918

,

0

10

3624

10

800

683

,

0

1

10

3624

10

800

1

1

1

5

,

1

138

,

1

10

9

,

1927

10

2194

000

,

1

10

81549

10

800

1

1

10

81549

10

800

1

1

1

3

6

3

6

,

,

3

3

3

3

,

,

3

6

3

6

,

,

3

3

3

3

,

,

=



=

×

×

=

=

=

×

×


×

×


=



=


=

×

×

=

=

=

×

×


×

×


=



=





z

z

el

z

pl

z

z

cr

Ed

y

z

cr

Ed

z

y

el

y

pl

y

y

cr

Ed

y

y

cr

Ed

y

W

m

m

M

M

W

N

N

N

N

N

N

N

N

m

m

M

M

W

N

N

N

N

N

N

N

N

χ

μ

χ

μ

- Factor Cm0:


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Assume-se aqui que o momento de flexão no eixo maior é quase linear, assim, a fórmula da

flexão com momento linear é usada.

M

ϕ y =

M

C

=

my,

0

=

0,

79

y,

Ed , esquerdo

y,

Ed , direito

0,

79

+ 0,

21ϕ

+ 0,

36(

ϕ −

+ 0,

21×

0 +

- Resistência à flexão lateral com torção:

0

=

= 0

3

350×

10 Nm

y

0,

36(

0


0,

33)

0,

33)

0,

789

EC3 – Volume IV 93

y

N

N

Ed

cr,

y

3

800×

10 N

= 3

81549×

10 N

Porque It = 892871×10 -12 m 4 < Iy = 481,99×10 -6 m 4 , a forma da secção transversal é tal que o

elemento pode ser propenso a flexão lateral com torção.

As condições de apoio asseguram que o comprimento de encurvadura é igual ao comprimento

da barra LLT = L.

M

=

0

cr,

0

λ =

=

2

π × 210000×

10



⎜80770×

10



N

W

M

cr,

T

2

2

π EI ⎛


z π EIw

2 ⎜

⎜GI

+ 2 ⎟

t

LLT

⎝ LLT


pl,

y

f

cr,

0

y

6

=

6

N

m

2

( 3,

5m)

21,

42×

10

N

892871×

10

2

m

2

−12

−6

m

−6

3

6 N

2194x10

m × 235×

10 2

m

3

1014×

10 Nm



6 N

× ⎜80770×

10 892871×

10

2

⎜ m



−12

4

m

4

×

2

π × 210000×

10

+

m

4

=

0,

713

6

N

m

2

( 3,

5m)

2

−3

2

A ⎛ π EI ⎞ w

11,

552×

10 m

= GIt

I y I ⎜ + 2

6 4

z L ⎟ =


+ ⎝

LT ⎠ 481,

99×

10 m + 21,

42×

10

2

π × 210000×

10

+

6

1,

249×

10

2

N

m

2

( 3,

5m)

m

−6

1,

249×

10

2

−6

4

×

= 1014

6 ⎞

m ⎟




−6

6 ⎞

m ⎟

⎟ = 6503KN



Com C1 = 2,15 (determinado pelas tabelas fornecidas no Anexo I deste documento).


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 94

267

,

0

10

6503

10

800

1

10

3624

10

800

1

15

,

2

2

,

0

1

1

2

,

0

4

3

3

3

3

4

,

,

1

lim

.

=









×

×










×

×









⎛ −








⎛ −

=

N

N

N

N

N

N

N

N

C

T

cr

Ed

z

cr

Ed

o

λ


=


= 267

,

0

713

,

0 lim

.

o

o

λ

λ A flexão lateral com torção tem de ser tida em conta.

621

,

2

10

9

,

1927

10

552

,

11

10

800

10

350

0

998

,

0

10

99

,

481

10

892871

1

1

3

6

2

3

3

3

,

,

,

4

12

4

12

=

×

×

×

×

=

=


=

×

×


=


=





m

m

N

Nm

W

A

N

M

m

m

I

I

y

el

Ed

direito

Ed

y

y

y

t

LT

ε

α

( )

( )

486

,

0

10

2179

10

235

10

2194

.

2179

5

,

3

10

249

,

1

10

210000

10

892871

10

80770

5

,

3

10

42

,

21

10

210000

5

,

21

1

020

,

1

10

6503

10

800

1

10

3624

10

800

1

998

,

0

919

,

0

1

1

919

,

0

998

,

0

621

,

2

1

621

,

2

998

,

0

)

789

,

0

1

(

789

,

0

1

)

1

(

3

2

6

3

6

,

2

6

6

2

6

2

4

12

2

6

2

4

6

2

6

2

2

2

2

2

1

3

3

3

3

2

,

,

2

0

,

0

,

=

×

×

×

×

=

=

=













×

×

×

+

×

×

×

×

×

=









+

=


=









×

×










×

×


=








⎛ −








⎛ −

=

=

×

+


+

=

+


+

=





Nm

m

N

m

M

f

W

m

KN

m

m

m

N

m

m

N

x

m

m

m

N

L

EI

GI

L

EI

C

M

N

N

N

N

N

N

N

N

C

K

C

C

C

cr

y

y

pl

LT

LT

w

t

LT

z

cr

T

cr

Ed

z

cr

Ed

LT

my

LT

LT

y

y

LT

my

my

my

λ

π

π

π

π

α

α

ε

ε

α

O “caso geral” é o método escolhido aqui.

667

,

0

]

486

,

0

)

2

,

0

486

,

0

(

34

,

0

1

[

5

,

0

]

)

2

,

0

(

1

[

5

,

0

2

2

=

+


+

=

+


+

= LT

LT

LT

LT

λ

λ

α

φ

1

890

,

0

486

,

0

667

,

0

667

,

0

1

1

2

2

2

2


=


+

=


+

=

LT

LT

LT

LT

λ

φ

φ

χ


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 95

Com Kc = 0,653 (valores obtidos pelo Anexo I deste documento).

0

,

1

861

,

0

]

)

8

,

0

486

,

0

(

2

1

)[

653

,

0

1

(

5

,

0

1

]

)

8

,

0

(

2

1

)[

1

(

5

,

0

1

2

2


=





=





= LT

c

k

f λ

000

,

1

034

,

1

861

,

0

890

,

0

mod

,

mod

,

=


=

=

= LT

LT

LT

f

χ

χ

χ

- Resistência à compressão elástico-plástica:

865

,

0

2714

10

235

10

552

,

11

max

2

3

3

,

=

=

=

×

×

=

=



z

y

Rk

c

KN

m

N

x

Af

N

λ

λ

Sendo bLT = 0 porque MZ,Ed = 0.

879

,

0

10

2194

10

9

,

1927

061

,

1

0

0

,

1

10

2714

10

800

865

,

0

919

,

0

138

,

1

6

,

1

865

,

0

919

,

0

138

,

1

6

,

1

2

)

1

138

,

1

(

1

6

,

1

6

,

1

2

)

1

(

1

3

6

3

6

,

,

3

3

2

2

2

1

,

2

max

2

max

2

=

×

×

=


=














×

×







×


×



+

=

























+

=



m

m

W

W

N

N

b

N

N

C

w

C

w

w

C

y

pl

y

el

LT

M

Rk

c

Ed

my

y

my

y

y

yy

γ

λ

λ

Sendo dLT = 0 porque MZ,Ed = 0.

459

,

0

10

2194

10

9

,

1927

5

,

1

138

,

1

6

,

0

6

,

0

893

,

0

0

0

,

1

10

2714

10

800

138

,

1

865

,

0

919

,

0

14

2

)

1

138

,

1

(

1

14

2

)

1

(

1

3

6

3

6

,

,

3

3

5

2

2

1

,

5

2

max

2

=

×

×

=


=














×

×








⎛ ×



+

=





















⎛ −


+

=



m

m

W

W

w

w

N

N

d

N

N

w

C

w

C

y

pl

y

el

z

y

LT

M

Rk

c

Ed

y

my

y

zy

γ

λ

- Verificação:

m

KN

m

N

m

f

W

M y

y

pl

Rk

y

pl

.

516

10

235

10

2194 2

6

3

3

,

,

,

=

×

×

×

=

=



Série Estruturas Estruturas Metálicas





N ⎢ C M

Ed

my y,

Ed , direito ⎥

+ μ y N ⎢


c,

Rk ⎛ ⎞

χ ⎢

, ,


N M

Ed

pl y Rk

y

1−

⎟C


γ 1 ⎢⎜

⎟ yy

M


⎣⎝

Ncr,

y ⎠ γ M1




3 ⎢

3


800×

10 N

0,

919 350 10

1⎢

× × Nm

=

+


3

3

3

2714×

10 N ⎢⎛

800×

10 N ⎞ 516×

10 Nm ⎥

1

⎢ 1

1,

033

3


1,

0 ⎜ −

⎣ 81549 10 ⎟

⎝ × N ⎠ 1,

0 ⎦

= 0,

936 ≤1



NEd


+ μz

0,

6

N ⎢

c,

Rk

χ z ⎢

γ M 1 ⎢


wy

wz

kLT

χLT

,


3 ⎢

800×

10 N

=

+ 0,

918⎢0,

6

3

2714×

10 N ⎢

1


1,

0


= 0,

777 ≤1

⇒ Satisfatório.

mod



N


1−

⎝ N

1,

138

1,

5

C

my

Ed

M

cr,

z

1,

020

1,

000

y,

Ed , direito



C


pl,

y,

Rk


3


0,

919×

350×

10 Nm ⎥

3

3

⎛ 800×

10 N ⎞ 516×

10 Nm ⎥


⎜1−

0,

893

3


81549 10 ⎟

⎝ × N ⎠ 1,

0 ⎦

EC3 – Volume IV 96

zy

M

γ

M 1

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9):

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:

A força máxima de corte nas extremidades do elementos é Vy,Ed = 106,4 KN, na extremidade

esquerda.

A

=

V

V

Vy

y,

Ed

= A − 2bt

5,

99×

10

pl,

y,

Rd

−3

f

m

+ ( t

≥ h t

M 0

w

+ 2r)

t

w w

= 152,

5KN

≤ 0,

5

2

AVy

f y

=

3 γ

= 0,

468m×

10,


10

4,

77 × 10

=

3

xV

f

−3

pl,

y,

Rd

= 11,

55×

10

m

=

2

−3

m

235×

10

1,

0

2

−3

6

N

m

= 648KN








− 2×

0,

2m

× 0,

016m

+ ( 0,

0102m

+ 2×

0,

021m)

m = 4,

77 × 10

0,


648KN

= 324KN

⇒ O efeito do corte sobre o momento resistente plástico não precisa de ser tido em conta

(Vsd < 50% Vrd).

2

−3

m

2


Série Estruturas Estruturas Metálicas

N

n =

N

n

w

γ

Ed

c,

Rk

M 0

NEdγ

=

h t f

w w

3

800×

10 N

=

= 3

2714×

10 N

1,

0

M 0

y

0,

295

0,

25

3

800×

10 N × 1,

0

=

−3

6 N

0,

468m

× 10,


10 m×

235×

10

m

0,

713

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico precisa de ser tido em conta.

α

M

−3

2

( A − 2bf

t f ) 11,

552×

10 m − 2×

0,

2m

× 0,

016m

=

= 0,

446 ≤

3 2

A

11,

552×

10 m

= −

N , pl,

y,

Rd

M


γ

M

M

⇒ Satisfatório.

pl,

y,

Rk

M 0

y,

Ed , direito

N , pl,

y,

Rd

1−

n M pl,

=

1−

0,


γ

• Verificação da Estabilidade:

y,

Rk

M 0

3

516×

10 Nm

3

=

= 516x10

Nm

1,

0

3

350×

10 Nm

=

= 3

468×

10 Nm

0,

748

EC3 – Volume IV 97


≤1

2

=


0,

5

0,

5

3

1−

0,

295 516×

10 Nm

=

= 468KN.

m

1−

0,


0,

446 1,

0

Verificação de acordo com o Método 2

- Factor de redução para a compressão e flexão:

λ

= π

1

L

λy

=

i

L

λz

=

i

cr

y

cr

y

E

f

y

1 3,

5m

=

λ 204,


10

1

1 3,

5m

=

λ 43,


10

1

6 N

210000×

10

= π

m

6 N

235×

10 2

m

−3

−3

m

m

1

93,

9

1

93,

9

=

2

=

=

93,

9

0,

182

0,

866


0,

200

→ χ = 1,

000

y


Série Estruturas Estruturas Metálicas

χ z =

φ +

1

2

z

2

z

=

2

z

2

φ = 0,

5[

1+

α ( λ − 0,

2)

+ λ ] = 0,

5[

1+

0,

34(

0,

866 − 0,

2)

+ 0,

866 ] = 0,

988

z

z

z

z

φ − λ

0,

988

+

1

0,

988

- Momento Uniforme Equivalente Cm:

M

ϕ y =

M

M

M

s

h

M

αs

=

M

0 ≤ α =

C

C

my

=

m.

LT

= M

= M

s

y,

Ed , esquerdo

0,

2

= C

y,

Ed , direito

y,

Ed , mid −span

s

h

y,

Ed , direito

129,

06

= =

350

0,

369

≤1

+ 0,


=

my

=

= 350KN.

m

s

0,

495

0

=

= 0

3

350×

10 Nm

= 129,

06KN.

m

0,

369

0,

2

+

0,

8

×

0,

369

=

2

− 0,

866

0,

495

- Resistência à flexão lateral com torção:

k

p

=





1 +


⎢⎣

1

20

0,

9

2

⎛ ⎞ ⎤

⎜ ⎟ ⎥

⎜ λz

⎟ ⎥

⎜ h ⎟ ⎥


⎟ ⎥

⎝ t f ⎠ ⎥⎦

0,

25

=



⎢1

+




1

20

0,

9


2

0,

4

2

⎛ ⎞ ⎤

⎜ ⎟ ⎥

⎜ 81,

3 ⎟ ⎥

⎜ 0,

5m

⎟ ⎥

⎜ ⎟

0,

016


⎝ m ⎠ ⎦

0,

683 ≤1

EC3 – Volume IV 98

=

0,

25

=

0,

837

Com Kc=0,653 (valores obtidos pelas tabelas do Anexo I).

λ

_

_

LT = c p z

K × K × λ =

0,

653

×

0,

837

×

0,

866

=

0,

473

O factor de torção lateral λLT também pode ser calculado da forma habitual, utilizando Mcr.

β = 0,75


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 99

000

,

1

110

,

1

864

,

0

959

,

0

0

,

1

864

,

0

]

)

8

,

0

473

,

0

(

2

1

)[

653

,

0

1

(

5

,

0

1

]

)

8

,

0

(

2

1

)[

1

(

5

,

0

1

1

959

,

0

473

,

0

75

,

0

602

,

0

602

,

0

1

1

602

,

0

]

473

,

0

)

4

,

0

473

,

0

(

49

,

0

1

[

5

,

0

]

)

4

,

0

(

1

[

5

,

0

mod

,

mod

,

2

2

2

2

2

2

2

2

=


=

=

=


=





=





=


=

×


+

=


+

=

=

+


+

=

+


+

=

LT

LT

LT

LT

c

LT

LT

LT

LT

LT

LT

LT

LT

f

k

f

χ

χ

χ

λ

λ

β

φ

φ

χ

λ

λ

α

φ

- Factores de Interacção:

( )

[ ] ( )

[ ]

847

,

0

25

,

0

495

,

0

432

,

0

866

,

0

1

,

0

1

25

,

0

1

,

0

1

:

1

4

,

0

492

,

0

295

,

0

2

,

0

182

,

0

1

495

,

0

2

,

0

1

:

1

432

,

0

0

,

1

10

2714

683

,

0

10

800

295

,

0

0

,

1

10

2714

000

,

1

10

800

2714

10

235

10

552

,

11

3

3

1

,

3

3

1

,

2

3

3

,

=


×

×


=



=



=


+

=


+

=


=

×

×

=

=

=

×

×

=

=

=

×

×

×

=

=



mLT

z

z

LT

z

y

y

my

yy

y

M

Rk

c

z

Ed

z

M

Rk

c

y

Ed

y

y

Rk

c

C

n

k

n

C

K

N

N

N

N

n

N

N

N

N

n

KN

m

N

Af

N

λ

λ

λ

λ

γ

χ

γ

χ

- Verificação:

1

628

,

0

0

,

1

10

516

000

,

1

10

350

492

,

0

0

,

1

10

2714

000

,

1

10

800

516

10

235

10

2194

3

3

3

3

1

,

,

mod

,

,

1

,

2

6

3

6

,

,

,


=

×

×

+

×

×

=

+

=

×

×

×

=

=


Nm

Nm

N

N

M

M

k

N

N

kNm

m

N

m

f

W

M

M

Rk

y

pl

LT

Ed

y

yy

M

Rk

c

y

Ed

y

y

pl

Rk

y

pl

γ

χ

γ

χ


Série Estruturas Estruturas Metálicas

NEd

N

χ z

γ

Rk

M 1

+ k

LT

χ

LT , mod

⇒ Não Satisfatório

M

M

y,

Ed

pl,

y,

Rk

γ

M 1

3

800×

10 N

=

3

2714×

10 N

0,

683

1,

0

• Secção transversal de verificação (EN 1993-1-1, 6.2.9)

3

350×

10 Nm

0,

847

3

516×

10 Nm

1,

000

1,

0

1,

006

O máximo de corte nas extremidades do elemento é Vy,Ed = 106,4 KN, na extremidade

esquerda.

A

=

V

V

Vy

y,

Ed

= A − 2bt

= 11,

55×

10

5,

99×

10

pl,

y,

Rd

−3

−3

f

m

m

+ ( t

2

− 2×

0,

2m

× 0,

016m

+ ( 0,

0102m

+ 2×

0,

021m)

≥ h t

M 0

w

+ 2r)

t

w w

= 152,

5KN

≤ 0,


V

2

AVy

f y

=

3 γ

f

= 0,

468m

× 10,

2x10

4,

77×

10

=

3

−3

pl,

y,

Rd

m

=

2

235×

10

1,

0

−3

N

m

EC3 – Volume IV 100

+

m = 4,

77x10

6

= 648KN

0,


648KN

= 324KN

2

⇒ O efeito do corte sobre o momento plástico de resistência não necessita de ser tomado em

consideração.

N

n =

N

n

w

γ

Ed

c,

Rk

M 0

NEdγ

=

h t f

w w

3

800×

10 N

=

= 3

2714×

10 N

1,

0

M 0

y

0,

295

0,

25

3

800×

10 N × 1,

0

=

−3

6 N

0,

468m×

10,


10 m×

235×

10

m


2

=

−3

m

2

0,

713

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico necessita de ser tomado em

consideração.

−3

2

( A − 2bf

t f ) 11,

552×

10 m − 2×

0,

2m

× 80,

016m

α

= =

= 0,

446 ≤ 0,

5

−3

2

A

11,

552×

10 m

M

N , pl,

y,

Rd

M pl,


γ

y,

Rk

M 0

1−

n M pl,

=

1−

0,


γ

y,

Rk

M 0

3

516×

10 Nm

3

=

= 516x10

Nm

1,

0


0,

5

3

1−

0,

295 516×

10 Nm

=

= 468KN.

m

1−

0,


0,

446 1,

0

=

≥1


M

M

Série Estruturas Estruturas Metálicas

y,

Ed , direito

N , pl,

y,

Rd

⇒ Satisfatório.

3

350×

10 Nm

=

= 3

468×

10 Nm

0,

748

≤1

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas comparações

Seguem-se alguns exemplos utilizando a versão inicial do EC3, de 1993, em que a

encurvadura lateral é mais fácil de verificar, embora com valores mais conservativos e menos

económicos. Em certos exemplos também é incluída a resolução pela versão actual do EC3

(2010), para comparação. Contudo, a solução pela versão actual do EC3 (2010) precisa de

revisão, podendo existir erros.

Os exemplos foram retirados da versão espanhola do ESDEP.

2.4.4.1. Exemplo de momento simples e esforço axial, sendo o momento segundo z

(menor inércia)

Mostre que quando o perfil da figura é usado como pilar de uma estrutura com uma altura de

4 m., sujeito a um esforço axial Nsd=250 kN pode ser, sem prejuízo da sua estabilidade,

sujeito a um momento segundo o eixo de menor inércia (zz) no valor de 6kNm (constante ao

longo de todo o pilar). Este pilar tem os seus extremos simplesmente apoiados sem

possibilidade de ocorrência de translação (nós fixos).

Dados:


HEA160

z

y

Mz.Sd

EC3 – Volume IV 101

Nsd

y

z


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Altura útil da alma, d = 104 mm

Altura, h = 152 mm

Largura do banzo, b = 160mm

t f

Espessura do banzo, = 9 mm

Raio de giração, iy = 6,75 cm

Raio de giração, iz = 3,98 cm

Espessura da alma, tw = 6 mm

Módulo de flexão elástica,

Módulo de flexão elástica,

Módulo de flexão plástica,

Módulo de flexão plástica,


Fe

Resolução

wel . y =

wel . z =

wpl . y =

wpl . z =

220 cm

EC3 – Volume IV 102

3

76, 9 cm

245cm

118cm

360

f y = 235 MPa

(com a tensão de cedência

).

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993

Nota: O comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as duas

extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente (ver esquema), pode,

conservativamente, ser considerado igual ao seu comprimento nominal.

Devemos calcular em primeira instância a classe do perfil. Calculando separadamente as

classes da alma e do banzo. A classe da peça será a mais alta existente entre estas duas (em

termos numéricos das classes).

Tendo em conta a sua tensão de cedência fy=235 MPa para S235:

ε =

235

f

y

=

3

3

3

235

= 1

235

Quanto à classe da alma, uma vez que está sujeita à compressão, temos:

Com:

d/tw


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Assim:

Logo:

d = altura útil entre banzos

tw = espessura da alma



104 mm 6 mm = 17,

33mm

17, 33mm

≤ 33⋅

ε , com ε = 1,

(já calculado)

Assumindo que, conforme calculado:


d

/ tw

≤ 33.

ε

, sabemos que a alma da peça é da classe 1.

Analogamente, para o banzo vem:

Com:

Assim:

c = metade da largura do banzo

tf = espessura do banzo

80 mm/9 mm = 8,88 mm


8, 88mm

≤10.

ε , com

Assumindo que, conforme calculado:


c/tf

ε = 1

(já calculado)

c / t f ≤10.

ε

, sabemos que os banzos da peça são da classe 1.

Finalmente sabemos que a peça pertence à classe 1.

Para a classe 1 a área efectiva tem o mesmo valor que a área total da peça (não existem partes

da secção capazes de instabilizá-la localmente).

A esbelteza para o modo de encurvadura apropriado ( 1 λ ) é dada por:

Logo:

λ 93,

9.

ε

1 =

λ

= 93,

9.

ε × 1=

93,

9

1

EC3 – Volume IV 103


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Dos dados iniciais do problema depreendemos que o raio de giração da peça relativamente ao

eixo z (iz) é menor que o mesmo relativamente ao eixo y, ou seja, iz < iy.

O factor de redução para o modo de encurvadura relevante, χ , tomará o menor valor dos

χ y

factores de redução e χ z .

Portanto min χ χ y

será igual ao menor valor de e χ z .

Os elementos com secções transversais da classe 1 sujeitos a uma compressão devem

satisfazer a seguinte condição:

Com:

N

f y = Tensão de cedência


Sd

z z.

( χ A.

f γ ) ( w . f )

γ M 1 = Coeficiente de segurança

Kz = Coeficiente de rigidez



M z.

Sd = Momento-flector actuante

w pl.

z = Módulo de flexão plástico

+

EC3 – Volume IV 104

K

. M

min . y M 1 pl.

z y

Sd

γ M 1

Vamos calcular as incógnitas em falta para analisarmos a relação anterior e fazer as

verificações necessárias.

Por definição sabemos que a esbelteza normalizada para o eixo z, λ z , é igual a:

λ

λ =

λ1

≤1

Em que λ é a esbelteza para o modo de encurvadura apropriado) e:


l

λ =

iz

Assim virá:

λ =

4000

= 100,

5

39,

8

_ 5

λz

= × 1

93,

9

100, 0,

5

(sendo l o comprimento da peça e i o seu raio de giração segundo o eixo de menor inércia z-z)

= 1,

0703

_


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Através da consulta podemos seleccionar a curva de encurvadura de secção transversal da

nossa peça, do seguinte modo:

Tratando-se de um perfil laminado, calculamos a razão entre

um resultado de 0,95, verificamos que

0, 95 ≤

1,

2

h b

, sendo abrangido no limite

h

(dados iniciais do problema). Com

b ≤ 1,

2

Seguidamente verificamos que a espessura do banzo “tf” dada inicialmente é de 9 mm, e logo,

fica abrangido nos limites tf < 100mm.

Tendo em conta que pretendemos a curva de encurvadura relativa ao eixo dos z-z, sabemos

então que é a curva c.

Para cálculo do factor de redução χ para a encurvadura, sabendo que a esbelteza calculada λ z

é 1,0703 e que a nossa curva de encurvadura é a “c” podemos calcular directamente ou

interpolando o valor correcto para χ. No nosso caso concreto χ=0.5 (Quadro 4 – Factores de

redução).

Como se assume o momento constante ao longo de toda a peça, o nosso coeficiente de

redução ψ é igual a 1. Tendo em conta o quadro 6 (cap. 5.5.6.1, EC3, 1993), ψ situa-se nos

limites entre

−1≤ψ ≤1

β Mψ , e logo, o coeficiente de equivalência a momentos uniformes será

igual a

1, 8 − 0,


.

Então vem:

β ψ

M

= 1 , 8 − 0,

7.

ψ = 1,

8 − 0,


1=

1,

1

Falta-nos verificar os valores de cálculo dos coeficientes μ z e z K .

O primeiro pode ser calculado da seguinte forma:

Com:




μ = λ

z

z

_

⎡w − w


⎣ wel.

z

pl.

z el.

z

( 2.

β − 4)

+

≤ 0,

90

Mz

w el.

z = Módulo de flexão elástico

β MZ = Factor de momento uniforme equivalente correspondente à encurvadura

por varejamento (compressão).

w pl.

z = Módulo de flexão plástico

EC3 – Volume IV 105




.

_


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:

Pelo que verifica!

μ = 1,

0703.

z

μ = −1,

392

z

( 2×

1,

1−

4 ) )


0,

90

O segundo pode ser calculado através da expressão:

Com:

A = área do perfil utilizado (m2)


F

fy = tensão de cedência do e 360 ( Pa

)

NSd = esforço axial na peça (N)

K

z

⎡118 − 76,

9⎤

+ ⎢ ≤ 0,

90

76,

9 ⎥

⎣ ⎦

μ z . N Sd

= 1− ≤

χ . A.

f

Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:

Não verifica!

K

K

= 1,

763

Z

4 ( 38,

8 × 10 )

1,

5

EC3 – Volume IV 106

y

1,

5

3

−1,

392×

250 × 10


0,

5

235 × 10

z = 1 −

6

Neste caso vamos utilizar o valor máximo de:


K z = 1,

5

Verificação de todos os dados na expressão:

Vem:

Verifica!

z

N


. M

Sd

z z.

Sd

( χ A.

f γ ) ( w . f γ )

+

K

min . y M 1 pl.

z y M 1

3

250×

10

−4

6

0,


38,


10 × 235×

10

1

0, 8728 ≤

≤ 1,

5

≤ 1

3

1,



10

+

−6

6

118×

10 × 235×

10

1

1

≤ 1


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Conclusão final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços

pretendidos.

Classificação da secção:

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010.

i =

σ compressão

σ tracção

I

A

σ compressão

σ tracção

α =

σ

N ed M zed ⎛ − h

= + × ⎜ −3

A I ⎝ 2 × 10

N ed M zed ⎛ h

= + × ⎜ −3

A I ⎝ 2 × 10

⇔ 3.98 =

250

38.


10

EC3 – Volume IV 107

z

z

I

38.

8

6

+

23847 × 10







⇔ I = 23847 cm 4

⎛ −152

× ⎜

⎝ 2 × 10

= −4 −8

−3

250

38.


10

= -191.23 MPa

6

+

23847 × 10

⎛ 152

× ⎜

⎝ 2 × 10

= −4 −8

−3

comp

σ

comp

+ σ

tracção

→ Para a alma do perfil em flexão composta:

→ Banzo Comprimido:

C

T

= 191.21 MPa

=

191.

23

191.

23

+

191.

21

b − 3t

160 − 3×

9

= = = 22.

17 ≤

T 6

C

T

36ε

36 × 1

= = = 72

α 0.

50

22.17 ≤ 72 Classe 1

⎛160

6 ⎞

⎜ −

− 15.

2⎟

⎝ 2 2 ⎠

=

9

6.

86

= 0.

50

72ε







Série Estruturas Estruturas Metálicas

Logo é classe 1

ii) Verificação da resistência da secção transversal

Cap. 6.1 do EC3, 2010.

fyA

Npl,

Rd =

λ

M 0

Npl,

Rd =

C

T

≤ 9 ε =

6.86 ≤ 9 Classe 1

3 −4

( 235 × 10 ) × ( 38.

8 × 10 )

EC3 – Volume IV 108

1

Ned = 250 KN ≤ 0.25 Npl,Rd

9

≤ 911.8 × 0.25

≤ 227.95 kN KO

fy

0.

5 × hw × Tw ×

Ned = 250 KN ≤

γ M 0

−3

−3

−3

≤ 0.

5 × ( 152 × 10 − 3 × 9 × 10 ) × ( 6 × 10 )

É necessário verificar a resistência à flexão:

Mplz,

Rd =

iii) Verificação da estabilidade do elemento

N RK

= A × fy =

Mz RK = Wpla z ×

≤ 88.125 kN KO

Mplz, Rd Wplaz

× =

( 118

× 10

−6

= 27.73 kNm

fy

γ

0

235 × 10

) ×

1

⎧γ


⎨γ


⎩γ

= 911.8 KN

−4

3

( 38.

8 × 10 ) × ( 235 × 10 ) = 911.

8kN

fy

= ( ) ( ) kNm

3

M 0

M 1

M 2

235 × 10

×

1

73 . 27 10 235 10 118

−6

3

× × × =

= 1

= 1

= 1

3


Série Estruturas Estruturas Metálicas

λ z

L

1

× =

λ

E,

Z

= −

iz

1

Com λ 1 da página 63 do Eurocódigo 3, 2010.

χ

Z

b

h

=

4

2 ( 3.

98 × 10 )

152

160

=

0.

95

1

× = 1.

07

93.

9 × 1

≤ 1.

2

α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1)

φ = 0.

5 × α

=

φ +

λ y

L

1

2 [ 1 + × ( 1.

07 − 0.

2)

+ 1.

07 ] = 1.

29

2

2

φ − λ

=

1

× =

λ

1.

29

4

1.

29

0.

50

EC3 – Volume IV 109

+

E,

y

= −

i y 1

α = 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1)

χ

y

φ = 0.

5 × α

=

φ +

Cálculo do momento crítico:

M

E

CR

1

2 ( 6.

75 × 10 )

1

2

− 1.

07

2

=

1

× = 0.

63

93.

9 × 1

2 [ 1 + × ( 0.

63 − 0.

2)

+ 0.

63 ] = 0.

77

2

2

φ − λ

=

=

L

π

0.

77

+

1

0.

77

2

2 ⎛ EI


⎜1+

⎝ L GI

π

E

M CR GIT

EI z 2

− 0.

63

w

T




2

=

0.

82

2

6

−10

π

6

−12

6

−8

⎛ π 210×

10 × 13862×

10 I

= 81×

10 × 84599,


10 × 210×

10 × 23847 × 10


⎜1+

2

6


4

⎝ 4 × 81×

10 × 84599,


10

λ

LT

M = α × M

cr

m

⎡ Wz × fy ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ M CR ⎦

0.

5

E

M CR

E

CR

= 2399,

72

= 1 , 35×

2399,

72 =

−6

⎡ ( 118 × 10 ) × ×


3239.

63

= ⎣

3239,

63

3

0.

5

( 235 10 ) ⎤

= 0.

093

Sendo α LT = 0.

49

(Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando:

φ

LT

λ LT , 0 = 0.

4

e β = 0.73, obtém-se:

2

[ 1 + α × ( λ LT − λ LT , 0 ) + β × λ ] = 0.

43

= 0.

5 ×

LT

LT



w

12




Série Estruturas Estruturas Metálicas

χ LT

=

χ

LT

0.

43

=

+

φ

LT

+

0.

43

2

φ

2

LT

EC3 – Volume IV 110

1

− β × λ

2

LT

1

= 1.

17

2

− 0.

73 × 0.

093

2

[ ]

( 1 − Kc)

× 1 − 2.

0 × ( 0.

8)

f = 1 − 0.

5 ×

λ LT −

, Com f ≤ 1

Kc = 0.86 (Segundo quadro 6.6 EC3)

Δ

M z,

Ed

CmLT

f = 1 − 0.

5 ×

2 [ ] = 0.

999

( 1 − 0.

85)

× 1 − 2.

0 × ( 0.

093 − 0.

8)

χ

LT , mod

χ

=

f

LT

1.

17

= = 1.

17

0.

999

OK

= 0.

6 + 0.


≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3)

k zz

k

zz

= 0.6 + 0.4 ×0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK

= C

mz



× ⎢1

+




Cmy = 0.9

Cmz = 0.9

( 2λ

z − 0.

6)

N Ed

×

N

χ z ×

γ

RK

M 1









= 0 . 9 × ⎢1

+



⎢⎣

0.

50

911.

8

×

1



=



⎥⎦

0 . 6 × k ⇔ 0.

6 × 1.

23 = 0.

74

k yz

N Ed

χ × N

y

γ

M 1

250

( 2 × 0.

63 − 0.

6)

×

⎥ 1.

23

= zz

RK

250

0.

82 × 911.

8

1

+ k

+

yz

0.

74



⎜ M

×




z,

Ed

+ ΔM

M

γ

z,

RK

M 1

z,

Ed





≤ 1



⎛ ⎞

⎜ ⎟


6 + 0

× ⎟ =

⎜ 27.

73 ⎟

⎜ ⎟

⎝ 1 ⎠ 0.49 ≤ 1 OK

: Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7)


Série Estruturas Estruturas Metálicas

0.

50

N Ed

χ z × N

γ

M 1

RK

250

× 911.

8

1

+ k

+

zz

1.

23



⎜ M

×








≤ 1



EC3 – Volume IV 111

z,

Ed

+ ΔM

M

γ

z,

RK

M 1

⎛ ⎞


6 + 0


× ⎜ ⎟ =

⎜ 27.

73 ⎟

⎜ ⎟

⎝ 1 ⎠

z,

Ed

0.

81

≤ 1 OK

Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a

segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1, 2010.

2.4.4.2. Exemplo de compressão com momento simples e esforço axial, sendo o momento

segundo y (maior inércia)

Mostre que a secção do problema anterior pode também suportar um momento-flector de 15

kNm segundo o eixo de maior inércia (yy), assumindo que este momento produz uma flexão

ao longo do comprimento da peça.

Resolução

y

My.Sd

NSd

z y

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993

Mantêm-se as restantes condições do exemplo anterior.

y

Considera-se a peça da classe 1, conforme o exemplo visto e, analogamente, λ = 93,9.

z

_


Série Estruturas Estruturas Metálicas

y

Deve-se proceder de novo ao cálculo da esbelteza normalizada λ , desta feita segundo o eixo

dos yy, uma vez que o momento-flector actua neste mesmo eixo.


Assim virá:

1 93,

9 = λ (já calculado)

_

λ y =

λ =

67,

5

93,

5

λ

λ =

λ1

l

iz

=

4000 0,

5

× 1

4000

67,

5

0,

633

A curva de encurvadura da secção transversal será a “b” (cálculo conforme o exemplo

anterior).

y

Com a designação do tipo de curva de encurvadura e com o valor de λ já calculado, com

χ y = 0,

8204

recurso ao quadro respectivo (), calculamos o valor de

(Quadro 4 – Factores de

redução).

Assumindo novamente momento-flector constante ao longo de toda a peça, o nosso

coeficiente de redução ψ será igual à unidade.

Deste modo, recuperamos a expressão

intervalo

−1 ≤ ψ ≤ 1

.

Chegaremos ao valor de

β M . Y =

1,

1

.

EC3 – Volume IV 112

=

_

β M . Y = 1,

8 − 0,

7.

ψ

, uma vez que ψ se situa no

Considerando, conforme se afirmou no início deste exemplo, a peça pertencer à classe 1,

vamos verificar os valores de y μ K y e de (subcapítulo 5.5.6.1. do EC3, 1993) para esta

situação.

Substituindo os valores vem:

_

_

μ = λ y . β

y

⎛ w − w


⎝ wel.

y

pl.

y el , y

( 2 . − 4)

+ ⎜ ⎟ ≤ 0,

90

M . Y




_


Série Estruturas Estruturas Metálicas

E logo:

Verifica!

Substituindo os valores vem:

E logo:

Não verifica!

Neste caso vamos utilizar

⎛ 245 − 220 ⎞

μ y = 0 , 6333 .

⎜ ⎟ ,

⎝ 220 ⎠

μ y = −1,

025 ≤

K

( 2 × 1,

1 − 4)

+

≤ 0 90

y

0,

90

μ z . N Sd

= 1− ≤ 1,

5

χ . A.

f

3

−1,

025×

250 × 10


0,

5.

235×

10

K y = 1 −

6

K y = 1, 562 ≤ 1,

5

K y

= 1,

5

4 ( 38,


10 )

Verificação de todos os dados na expressão:

Substituindo vem:

Verifica!

0,

8204

.

(valor máximo)

Sd

( χ . A.

f γ ) ( w . f γ )

min.

N

250×

10

y

M 1

z

+

−4

6

( 38,


10 ) . ( 235×

10 )

1

3

EC3 – Volume IV 113

+

0, 8114 ≤

y

K

y

pl.

y

. M

y

y

. Sd

M 1


1,

5

≤ 1

3

1,

5.

( 15×

10 )

−6

6

( 118×

10 ) . ( 235×

10 )

Como a peça está submetida a um esforço axial NSd e a um momento flector My.Sd em torno

do eixo dos yy, é necessário verificar se existe ou não a possibilidade de ocorrer a

encurvadura lateral, ou seja, o bambeamento, dado que sendo a flexão segundo este eixo, yy,

de maior inércia, esta pode instabilizar lateralmente. Se a flexão fosse segundo zz, eixo de

menor inércia (exemplo anterior), não seria necessário este estudo, pois que a

1

1

≤ 1


Série Estruturas Estruturas Metálicas

instabilidade/encurvadura nunca se daria pelo eixo de maior inércia, yy, mais

resistente/estável que zz.

Neste caso concreto, o esforço axial vai gerar um efeito negativo, ajudando a ocorrência de

encurvadura lateral.

N

χ . A.

f

z

Sd

y

γ

M 1

+

χ

LT

K

EC3 – Volume IV 114

LT

. M

Considerando o cálculo já efectuado de 1 93,

9 = λ e de

β w = 1,

0

, consultando o Anexo F

(capítulo 6) sabemos que para secções I ou H, a esbelteza relativa à encurvadura lateral virá

segundo a expressão:

λ

LT

=

( c )

1

0,

5

0,

9

. M

pl.

y

L

i

y

. f

⎡ ⎛ L

⎢ 1 ⎜ i

. ⎢1

+ . ⎜

⎢ 20 ⎜ h

⎢⎣

⎝ t

Com c1 derivado das condições de fronteira da barra em questão (ANEXO F ou outra

bibliografia).

Sabemos ainda que:




Com:



K

μ

χ

LT

μLT

. N Sd

= 1− ≤ 1

χ . A.

f

z

0 , 15.

λ . β . − 0,

15 ≤

LT = z M LT

LT

=

φ

LT


+ ⎜

⎜φ


2

LT

1

y

− λ

_

2

LT




0,

5

≤1

0,

9


_

_ 2

⎛ ⎞

φL

= 0, 5.

⎢1+

α LT . ⎜λ

LT − 0,

2⎟

+ λ LT

⎣ ⎝ ⎠

_ lz

λ z =

i .λ

z

1




z

. Sd

y

z

f

γ



M 1

2

⎞ ⎤

⎟ ⎥



⎠ ⎥⎦

0,

25


(subcapítulo 5.5.6.1, EC3, 1993)

1

(subcapítulo 5.5.6.1, 1993)

(subcapítulo 5.5.4, 1993)

(subcapítulo 5.5.2.1, 1993)

Como estamos em presença de uma secção laminada a quente,

ANEXO F retiramos a expressão relativa a:

α LT = 0,

21

, através do


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 115

( )

25

0

2

5

0

1

20

1

1

9

0

,

f

z

,

LT

t

h

i

L

.

.

c

iz

L

,

















+

=

λ

Substituindo vem:

25

0

2

5

0

9

152

8

39

4000

20

1

1

0

1

8

39

4000

9

0

,

,

LT

,

.

.

,

,

,

















+

×

=

λ

11

,

70

=

LT

λ

Podemos então calcular:

( )

( ) ( )

746

0

1

9

93

11

70

5

0

5

0

1

,

.

,

,

.

LT

_

,

LT

_

,

W

LT

LT

_

=

=

=

λ

λ

β

λ

λ

λ

Ainda:

( )

[ ]

836

,

0

746

,

0

2

,

0

746

,

0

.

21

,

0

1

5

,

0

2

,

0

.

1

5

,

0

2

2

_

_

=

+


+

=







+








+

=

LT

LT

LT

LT

LT

LT

φ

φ

λ

λ

α

φ

Podemos verificar o valor da expressão:

1

1

5

,

0

2

_

2











+

=

LT

LT

LT

LT

λ

φ

φ

χ

( )

1

824

,

0

1

746

,

0

836

,

0

836

,

0

1

5

,

0

2

2


=



+

=

LT

LT

χ

χ

Verifica!

Calculando:


Série Estruturas Estruturas Metálicas

E sabendo que mais uma vez:

Vem:

Verifica!

Calculando:

K

K

K

β M . LT = β Mψ

μ

μ

μ

LT

LT

LT

LT

LT

LT

lz

λz

=

iz . λ1

4000

λz

=

39,


93,

9

λ = 1,

07

z

= 0,

15.

λ . β

= 0,

026

= 1,

8 − 0,

7 = 1,

1

_

M . LT

= 0,

15×

1,

07×

1,

1−

0,

15≤

0,

9

= 0,

014


μz

. N Sd

= 1−

χ . A.

f

z

EC3 – Volume IV 116

0,

9

− 0,

15≤

0,

9

0,

026×

250×

10

= 1−

0,

5.

y

−4

6

( 38,


10 ) . ( 235×

10 )


1,

0

Sendo que χ z foi calculado para o exemplo atrás.

Verifica!

Finalmente podemos verificar a condição:

Substituindo vem:

0,

5.

N

χ . A.

f

z

250×

10

Sd

y

γ

M 1

−4

6

( 38,


10 ) . ( 235×

10 )

1

3

0, 55≤1,

0

+

χ

+

LT

K

≤1,

0

LT

. M

0,

824

. M

pl.

y

.

y

. f

. Sd

y

γ

3

M 1


1

3

0,

014.

( 15×

10 )

−6

6

( 245×

10 ) . ( 235×

10 )

1


1,

0


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Verifica!

Conclusão Final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços

pretendidos.

i) Classificação da secção

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010

σ compressão

σ tracção

I

i = ⇔ 6.75 =

A

σ compressão

σ tracção

N M

ed

yed ⎛ − h

= + × ⎜ −3

A I ⎝ 2×

10

N M

ed

yed ⎛ h

= + × ⎜ −3

A I ⎝ 2×

10

250

38.


10

EC3 – Volume IV 117

y

I

38.

8

y

15

+

1767.

83×

10







⇔ I = 1767.83 cm 4

⎛ −152

× ⎜

⎝ 2 × 10

= −4 −8

−3

250

38.


10

= -644.86 MPa

15

+

1767.

83×

10

⎛ 152

× ⎜

⎝ 2×

10

= −4 −8

−3

σ comp

α = =

σ + σ

comp

tracção

→ Para a alma do perfil em flexão composta

→ Banzo Comprimido

C

T

= 644.86 MPa

644.

86

644.

86

+

644.

86

b − 3t

160 − 3×

9

= = = 22.

17 ≤

T 6

C

T

36ε

36 × 1

= = = 72

α 0.

50

= 0.

50

72ε

22.17 ≤ 72 OK. Classe 1

⎛160

6 ⎞

⎜ −

− 15.

2⎟

⎝ 2 2 ⎠

=

9

6.

86







Série Estruturas Estruturas Metálicas

Logo é classe 1

ii) Verificação da resistência da secção transversal

Cap. 6.1 do EC3, 2010.

C

T

≤ 9 ε =

6.86 ≤ 9 Classe 1

fyA

Npl,

Rd =

λ

⎧γ


⎨γ


⎩γ

M 0

M 1

M 2

EC3 – Volume IV 118

= 1

= 1

= 1

M 0

3 −4

( 235 × 10 ) × ( 38.

8 × 10 )

Npl , Rd =

= 911.8 KN

1

Ned = 250 KN ≤ 6.25 Npl,Rd

Ned = 250 KN ≤

9

≤ 911.8 × 0.25

≤ 227.95 kN, KO!

0.

5

fy

× hw × Tw ×

γ

−3

−3

−3

≤ 0.

5 × ( 152 × 10 − 3 × 9 × 10 ) × ( 6 × 10 )

É necessário verificar a resistência à flexão:

≤ 88.125 kN KO

Mply, Rd Wpla y × =

Mply , Rd =

iii) Verificação da estabilidade do elemento.

N RK

= A × fy =

( 245

× 10

−6

= 57.56 kNm

fy

γ

0

M 0

235 × 10

) ×

1

−4

3

( 38.

8 × 10 ) × ( 235 × 10 ) = 911.

8kN

235 × 10

×

1

−6

3

= Wpla × fy = ( 245 × 10 ) × ( 235 × 10 ) = 57.

58 kNm

MyRK y

3

3


Série Estruturas Estruturas Metálicas

λ z

L

1

× =

λ

E,

Z

= −

iz

1

4

2 ( 3.

98 × 10 )

Sendo λ1 lido na página 63 do Eurocódigo 3, 2010.

b

h

=

152

160

α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1).

φ = 0.

5 × α

=

0.

95

1

× = 1.

07

93.

9 × 1

≤ 1.

2

2 [ 1 + × ( 1.

07 − 0.

2)

+ 1.

07 ] = 1.

29

1

1

χ Z =

= = 0.

50

2

2

2

2

φ + φ − λ 1.

29 + 1.

29 − 1.

07

λ y

L

1

× =

λ

E,

y

= −

i y 1

α = 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1).

Cálculo do momento crítico:

M

E

CR

φ = 0.

5 × α

4

2 ( 6.

75 × 10 )

1

× = 0.

63

93.

9 × 1

2 [ 1 + × ( 0.

63 − 0.

2)

+ 0.

63 ] = 0.

77

1

1

χ y =

= = 0.

82

2

2

2

2

φ + φ − λ 0.

77 + 0.

77 − 0.

63

=

L

π

2 ⎛ EI


⎜1+

⎝ L GI

π

E

M CR GIT

EI z 2

2

6

−10

π

6

−12

6

−8

⎛ π 210×

10 × 13862×

10 I

= 81×

10 × 84599,


10 × 210×

10 × 23847 × 10


⎜1+

2

6


4

⎝ 4 × 81×

10 × 84599,


10

λ

LT

M = α × M

cr

m

⎡ Wy × fy ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ M CR ⎦

0.

5

E

M CR

E

CR

= 2399,

72

= 1 , 35×

2399,

72 =

−6

⎡ ( 245 × 10 ) × ×


3239.

63

= ⎣

EC3 – Volume IV 119

w

T




3239,

63

3

0.

5

( 235 10 ) ⎤

= 0.

133

Sendo α = 0.

49 (Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando

LT

λ LT , 0 = 0.

4 e β = 0.73, obtém-se:

φ

LT

2

[ 1 + α × ( λ LT − λ LT , 0 ) + β × λ ] = 0.

44

= 0.

5 ×

LT

LT



w

12




Série Estruturas Estruturas Metálicas

M z,

Ed

χ LT

=

χ

LT

0.

44

=

+

φ

LT

+

0.

44

2

φ

2

LT

EC3 – Volume IV 120

1

− β × λ

2

LT

1

= 1.

16

2

− 0.

73 × 0.

133

2

[ ]

( 1 − Kc)

× 1 − 2.

0 × ( 0.

8)

f = 1 − 0.

5 ×

λ LT − , Com f ≤ 1

Kc = 0.86 (Segundo quadro6.6 EC3)

2 [ ] = 0.

992

( 1 − 0.

85)

× 1 − 2.

0 × ( 0.

133 − 0.

8)

f = 1 − 0.

5 ×

OK

χ

LT , mod

χ

=

f

LT

1.

16

= = 1.

17

0.

992

Cm = 0.

6 + 0.


≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3)

LT

k zz

k

zz

= 0.6 + 0.4 ×0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK

= C

mz



× ⎢1

+




Cmy = 0.9

Cmz = 0.9

( 2λ

z − 0.

6)

N Ed

×

N

χ z ×

γ

RK

M 1











= 0 . 9 × ⎢1

+

=


911.

8 ⎥


0.

50 × ⎥

⎢⎣

1 ⎥⎦

k yz

N Ed

χ × N

y

γ

M 1

250

( 2 × 0.

63 − 0.

6)

×

⎥ 1.

23

= zz

0 . 6 × k ⇔ 0.

6 × 1.

23 =

RK

250

0.

82 × 911.

8

1

+ k

+

yz

0.

74



⎜ M

×




y,

Ed

M

+ ΔM

γ

y,

RK

M1

0.

74

y,

Ed





≤ 1



⎛ ⎞

⎜ ⎟


15 + 0

× ⎟ = 0.53 ≤ 1 OK

⎜ 57.

58 ⎟

⎜ ⎟

⎝ 1 ⎠

Δ : Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7)


Série Estruturas Estruturas Metálicas

0.

50

N Ed

χ z × N

γ

M 1

RK

250

× 911.

8

1

+ k

+

zz

1.

23



⎜ M

×




EC3 – Volume IV 121

y,

Ed

M

+ ΔM

γ

y,

RK

M 1

⎛ ⎞


15 0



+

× ⎟ =

⎜ 57.

58 ⎟

⎜ ⎟

⎝ 1 ⎠

y,

Ed

0.

87





≤ 1



≤ 1 OK

Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a

segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1 de 2010.

2.4.4.3. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial

Demonstrar que a secção do problema anterior pode resistir, sem

risco, uma compressão NSd de 250 kN e, ao mesmo tempo,

momentos no eixo maior e menor de My.Sd = 10 kNm e Mz.Sd =

2,7 kNm, supondo que ambos momentos produzem uma só curva

de flexão, sendo a altura de 4 m, como anteriormente.

Resolução

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993

Devem cumprir-se as condições de 5.5.4.(1) e 5.5.4.(2) do EC3, 1993.


Série Estruturas Estruturas Metálicas

Comprovar também a resistência da secção, conforme EC3 (1993) em 5.4.8.

Cumpre as condições de encurvadura e resistência local, pelo que se aceita esta secção.

My,sd=10KNm

MZ,sd=2,7KNm

Resolução segundo o novo Eurocódigo,, 2010

EC3 – Volume IV 122


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 123

0

,

1

1

,

,

1

,

,

1


+

+

M

Rk

Z

Ed

Z

yZ

M

RK

y

LT

Ed

y

yy

M

Rk

y

Ed

M

M

K

M

M

K

N

N

γ

γ

χ

γ

χ

0

,

1

1

,

,

1

,

,

1


+

+

M

Rk

Z

Ed

Z

ZZ

M

RK

y

LT

Ed

y

Zy

M

Rk

Z

Ed

M

M

K

M

M

K

N

N

γ

γ

χ

γ

χ

KN

Af

N y

Rk

8

,

911

10

235

10

8

,

38

3

4

=

×

×

×

=

=


58

,

57

10

235

10

245

3

6

,

=

×

×

×

=

=


y

y

pl

Rk

y

f

W

M

07

,

18

10

235

10

9

,

76

3

6

,

=

×

×

×

=

=


y

Z

pl

Rk

Z

f

W

M

Encurvadura em torno de y.

63

,

0

1

9

,

93

1

10

75

,

6

00

,

4

1

2

1

,

=

×

×

=

= −

λ

λ

y

y

E

y

i

L

2

,

1

95

,

0

160

152


=

=

h

b

Curva b.

( )

[ ]

2

2

,

0

1

5

,

0 y

y

λ

λ

α

φ +


+

=

( )

[ ] 77

,

0

63

,

0

2

,

0

63

,

0

34

,

0

1

5

,

0

2 =

+


+

=

φ

2

2

1

y

y

λ

φ

φ

χ


+

=

82

,

0

63

,

0

77

,

0

77

,

0

1

2

2

=


+

=

y

χ

Encurvadura em torno de z.

07

,

1

1

9

,

93

1

10

98

,

3

00

,

4

1

2

1

,

=

×

×

=

= −

λ

λ

z

z

E

z

i

L

Curva c - 49

,

0

=

α

( )

[ ]

2

2

,

0

1

5

,

0 y

y

λ

λ

α

φ +


+

=

( )

[ ] 29

,

1

07

,

1

2

,

0

07

,

1

49

,

0

1

5

,

0

2 =

+


+

=

φ

2

2

1

y

y

λ

φ

φ

χ


+

=


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 124

50

,

0

08

,

1

29

,

1

29

,

1

1

2

2

=


+

=

y

χ

( )

( ) 4

3

3

3

1

9

,

84599

9

160

2

6

9

104

3

1

3

1

mm

T

h

I

n

i

i

i

T

=

×

×

+

×


=

= ∑ =

( ) 6

6

3

2

3

2

10

13862

24

160

9

104

9

24

mm

b

h

t

I

f

w


=

×


×

=

=








⎛ +

=

T

w

z

T

E

CR

GI

L

EI

EI

GI

L

M 2

2

1 π

π









×

×

×

×

×

×

×

+

×

×

×

×

×

×

×

= −




12

6

2

10

6

2

8

6

12

6

10

9

,

84599

10

81

4

10

13862

10

210

1

10

23847

10

210

10

9

,

84599

10

81

4

w

E

CR

I

M

π

π

72

,

2399

=

E

CR

M

63

,

3239

72

,

2399

35

,

1 =

×

=

×

=

E

CR

m

cr

M

M α

13

,

0

63

,

3239

10

230

10

245

3

6

,

=

×

×

×

=

=


CR

y

y

pl

LT

M

f

W

λ

( )

[ ]

2

0

1

5

,

0 LT

LT

LT

LT

LT

λ

β

λ

λ

α

φ +


+

=

( )

[ ] 82

,

0

13

,

0

75

,

0

4

,

0

13

,

0

49

,

0

1

5

,

0

2 =

×

+


+

=

LT

φ

2

2

1

LT

LT

LT

LT

λ

β

φ

φ

χ


+

=

61

,

0

13

,

0

75

,

0

82

,

0

82

,

0

1

2

2

=

×


+

=

LT

χ

CmLT=0,8

Cmy=Cmz=0,9

( )













+















+

=

1

1

8

,

0

1

2

,

0

1

M

RK

y

Ed

my

M

RK

y

Ed

y

my

yy

N

N

C

N

N

C

K

γ

χ

γ

χ

λ

( )













×

+














×


+

=

1

8

,

911

82

,

0

250

8

,

0

1

9

,

0

1

8

,

911

82

,

0

250

2

,

0

63

,

0

1

9

,

0

yy

K

14

,

1

03

,

1 ≤

=

yy

K


Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 – Volume IV 125

Considera-se 1,03.

( )













+

>













×

×


+

×

=

1

1

4

,

1

1

6

.

0

2

1

M

RK

y

ED

mz

M

RK

z

Ed

z

mz

zz

N

N

C

N

N

C

k

γ

χ

γ

χ

λ

( ) ⎥ ⎦





×

+

>







×

×


×

+

×

=

8

,

911

82

,

0

250

4

,

1

1

9

,

0

8

,

911

5

,

0

250

6

.

0

07

,

1

2

1

9

,

0

zz

k

32

,

1

66

,

1 >

=

zz

k

Considera-se 1,32.

( ) ( )















<















=

1

1

25

,

0

1

,

0

1

25

,

0

1

,

0

1

M

RK

z

Ed

mLT

M

RK

z

Ed

mLT
<