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Estruturas Metálicas - Universidade Fernando Pessoa

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<strong>Estruturas</strong><br />

<strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Parte 1.1 / Volume IV<br />

Série ESTRUTURAS<br />

joão guerra martins 4.ª edição / 2011


Prefácio<br />

Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de<br />

Engenharia Civil da <strong>Universidade</strong> <strong>Fernando</strong> <strong>Pessoa</strong>, vindo a ser gradualmente melhorado e<br />

actualizado.<br />

Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto,<br />

completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno<br />

de Engenharia Civil.<br />

Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer<br />

à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se<br />

ao que se pensa omitido.<br />

Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos<br />

que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.<br />

De notar que este texto tem apenas fins pedagógicos, sem nenhum interesse comercial e de<br />

acesso gratuito e livre.<br />

Por outro lado, a consulta e estudo da bibliografia que ajudou a criar este texto é<br />

indispensável para a consolidação dos conhecimentos aqui contidos, não podendo este<br />

documentos de apoio, de qualquer forma, substituir-se à mesma.<br />

João Guerra Martins<br />

II


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

ÍNDICE GERAL<br />

ÍNDICE GERAL ......................................................................................................................... I<br />

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................ III<br />

ÍNDICE DE QUADROS ........................................................................................................... V<br />

1. Introdução ............................................................................................................................... 1<br />

1.1. Generalidades .................................................................................................................. 1<br />

1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas ............................................................ 1<br />

1.1.2. Modelos de cálculo ................................................................................................... 1<br />

1.1.3. Classificação de secções ........................................................................................... 3<br />

1.1.4. Comprimento de encurvadura .................................................................................. 6<br />

2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão ......................................................... 8<br />

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos ................................................. 12<br />

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão:<br />

encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler) ............................ 12<br />

2.1.2. Elementos uniformes .............................................................................................. 16<br />

2.1.3. Elementos não uniformes ....................................................................................... 29<br />

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção .................................. 29<br />

2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral<br />

.......................................................................................................................................... 43<br />

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial<br />

.......................................................................................................................................... 47<br />

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento<br />

segundo o eixo fraco (zz’s) .............................................................................................. 47<br />

2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas ............................ 48<br />

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 50<br />

Kz=Kw ............................................................................................................................. 50<br />

Kw=1 ................................................................................................................................ 51<br />

Segundo o quadro da página 71 ....................................................................................... 51<br />

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 52<br />

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 54<br />

2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída ....................... 57<br />

2.2.7. Viga em consola ..................................................................................................... 64<br />

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / I


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2.4. Flexão composta com compressão ................................................................................ 68<br />

2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral .................................. 72<br />

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral .............................. 74<br />

2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3 ............................. 82<br />

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas<br />

comparações ................................................................................................................... 101<br />

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 131<br />

ANEXO I – Encurvadura Lateral (incluindo o Anexo F do EC3 de 1993) ........................... 132<br />

ANEXO II – Tabelas .............................................................................................................. 146<br />

ANEXO III – Encurvadura (em inglês) ................................................................................. 149<br />

Types of instability at the sectional level ....................................................................... 156<br />

Instability at the joints/nodes/connections level ............................................................. 158<br />

Buckling domains (global, element, sectional and nodes) ............................................. 159<br />

Material properties during the buckling process ................................................................ 161<br />

Structural stability of frames in standard (EC3) ................................................................. 162<br />

Final remarks & recommendations .................................................................................... 162<br />

II


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

ÍNDICE DE FIGURAS<br />

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico ................................................................................ 2<br />

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico ................................................................................ 2<br />

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito ................................................................... 3<br />

Figura 4 – Comportamento de secções à flexão ......................................................................... 4<br />

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços ...................................... 5<br />

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura ................... 5<br />

Figura 6A – Secções transversais da classe 4 ............................................................................ 6<br />

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L .............. 7<br />

Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira. .... 9<br />

Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas<br />

.......................................................................................................................................... 10<br />

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos<br />

das vigas ........................................................................................................................... 10<br />

Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares ........................................................................ 11<br />

Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler ........................................................................... 13<br />

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado ........................... 15<br />

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida,<br />

irreal dado que não contém imperfeições. ........................................................................ 17<br />

Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais. .. 18<br />

Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada ....................... 19<br />

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler .................................... 19<br />

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de<br />

vigas – esquema ............................................................................................................... 30<br />

Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem .................. 30<br />

Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial<br />

segundo o eixo dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura<br />

com flexão lateral (deslocamento “u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção<br />

(rotação “ϕ”). .................................................................................................................... 31<br />

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada . 31<br />

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido<br />

.......................................................................................................................................... 31<br />

III


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em<br />

bambeamento (encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral) ............................ 32<br />

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte<br />

flexo-torsionada ................................................................................................................ 32<br />

Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada .. 33<br />

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis<br />

.......................................................................................................................................... 33<br />

Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais<br />

.......................................................................................................................................... 34<br />

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça .. 39<br />

Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza ... 40<br />

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento ............ 40<br />

Figura 12 D - Redução entro Mcr e λLT nornalizado................................................................. 40<br />

Figura F.1.1 – Convenção de sinais para a determinação de Zj ............................................. 138<br />

IV


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

ÍNDICE DE QUADROS<br />

Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo ..................... 7<br />

Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais ................................................................... 12<br />

Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 –<br />

Cap. 6.3.1.2) ..................................................................................................................... 20<br />

Quadro 4 – Factores de redução ............................................................................................... 20<br />

Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal ...................... 21<br />

Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura<br />

lateral ................................................................................................................................ 35<br />

Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais ............... 36<br />

Quadro 8 – Factores de correcção Kc ....................................................................................... 37<br />

Quadro 9 - Valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed (EC3). ................................................ 69<br />

Quadro F.1.1 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K –<br />

Momentos nos apoios ..................................................................................................... 136<br />

Quadro F.1.2 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K –<br />

cargas nos vãos ............................................................................................................... 137<br />

Quadro A1.1 - Factores para o cálculo do momento crítico em tramos de vigas com<br />

comprimento L e secção duplamente simétrica (Simões, 2005) .................................... 145<br />

Quadro A2.1 - Centro de Corte e Módulo de Torção ............................................................. 147<br />

Quadro A2.2 - Tensões tangenciais e constante de torção em secções correntes (Simões,<br />

2005) ............................................................................................................................... 147<br />

Quadro A2.3 - Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2005) ............... 148<br />

V


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

1. Introdução<br />

1.1. Generalidades<br />

1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas<br />

Embora se tenha consciência que os próximos pontos já foram anteriormente abordados, mas<br />

atendendo a um eventual estudo desfasado e dada a importância dos conceitos envolvidos,<br />

julga-se pertinente a sua reapreciação. Em caso destes princípios estarem ainda presentes, será<br />

de ir directamente para o ponto 5.5.2.<br />

Devido às propriedades físicas e mecânicas do aço, a pesquisa neste campo conduziu ao<br />

desenvolvimento de estruturas metálicas (correntes e em particular porticadas) caracterizadas<br />

cada vez mais por elementos lineares de esbelteza considerável.<br />

Assim, a verificação da segurança ocupa um papel fundamental no cálculo e<br />

dimensionamento das mesmas com o intuito de salvaguardar pessoas e bens através do estudo<br />

físico, tanto de fenómenos intrínsecos (tensões, ligações, etc), como extrínsecos (vento,<br />

sismo, etc.). Relativamente à verificação da segurança no respeitante a estruturas de aço, o<br />

EC3 preconiza os seguintes critérios gerais:<br />

• Estado-limite último – estado associado ao colapso da estrutura com risco da<br />

segurança de pessoas e bens. Na generalidade consideram-se os estados limites de<br />

resistência, de estabilidade e de perda de equilíbrio (raramente a fadiga em estruturas<br />

metálicas de Construção Civil).<br />

• Estado-limite de utilização – devem ser definidos de acordo com as<br />

condições particulares de utilização de cada estrutura. Sendo um estado limite, as suas<br />

condições específicas de utilização deixam de ser verificadas. Na generalidade das<br />

estruturas metálicas consideram-se os estados limites de deformação e de vibração.<br />

1.1.2. Modelos de cálculo<br />

Em termos de dimensionamento, deverá prever-se que nenhum estado limite relevante seja<br />

excedido. Para tal dever-se-ão considerar todas as situações do projecto onde constem cargas<br />

aplicadas importantes para a estabilidade da estrutura, bem como possíveis desvios<br />

direccionais ou posicionais das acções consideradas. Jamais as acções destabilizantes poderão<br />

ser maiores que as acções estabilizantes, sob risco de colapso e/ou deformação da estrutura.<br />

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / 1


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Em termos do número de vínculos de uma estrutura temos duas situações:<br />

• Estrutura isostática: Sempre recorrendo a uma Análise Global Elástica, os esforços de<br />

uma estrutura isostática devem ser determinados através da aplicação das regras de<br />

equilíbrio estático.<br />

• Estrutura hiperestática: O cálculo dos esforços pode ser determinado segundo duas<br />

variantes:<br />

Análise global elástica – é baseada na linearidade das relações entre tensão e a deformação do material<br />

em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja a tensão actuante. Existindo uma tensão actuante logo<br />

deverá existir uma deformação no material, inter-reagindo em proporcionalidade uma em relação à outra;<br />

Análise global plástica (comportamento rígido-plástico, elasto-plástico ou elasto-plástico perfeito) – é<br />

baseada na plastificação de algumas zonas da estrutura (formação de rótulas plásticas) só podendo ser<br />

efectuada se a mesma verificar determinados requisitos relativos à estabilidade global estrutural e do próprio<br />

material. No comportamento rígido-plástico (fig. 1) desprezam-se as deformações elásticas do material.<br />

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico<br />

No comportamento elasto-plástico (fig. 2) admite-se que a secção se mantém perfeitamente<br />

elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto A).<br />

No comportamento elasto-plástico perfeito, admite-se que a secção se mantém perfeitamente<br />

elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto B), tornando-se a seguir<br />

perfeitamente plástica (fig. 3).<br />

fy<br />

A<br />

fase elástica<br />

fase elastoplástica<br />

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico<br />

EC3 – Volume IV 2


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

fy<br />

B<br />

fase elástica<br />

fase elastoplástica perfeita<br />

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito<br />

Segundo o EC3, a escolha do tipo de análise a efectuar a uma estrutura (em particular aos<br />

elementos estruturais e ligações) depende das condições que se passam a apresentar.<br />

Para uma análise global plástica:<br />

• Aços com ductilidade suficiente, verificando os requisitos estabelecidos no<br />

subcapítulo 3.2.2.2 do EC3;<br />

• As secções transversais onde se formem rótulas plásticas devem possuir capacidade de<br />

rotação suficiente. No caso de as rotações requeridas não serem calculadas, as secções<br />

devem ser da classe 1;<br />

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem ser simétricas em relação ao plano<br />

de acção;<br />

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem estar contraventadas lateralmente.<br />

Para uma análise global elástica:<br />

• As secções transversais podem ser de qualquer classe. Se forem das classes 1 ou 2,<br />

pode ser considerada no seu cálculo orgânico a sua resistência plástica. Se forem das<br />

classes 3 ou 4, deve ser considerada a resistência elástica, considerando uma área<br />

efectiva reduzida no caso de serem da classe 4 (ver fig. 4 e 5).<br />

• Pode ser considerada a redistribuição de momentos, até ao máximo de 15%, desde que<br />

os esforços internos continuem em equilíbrio com os carregamentos actuantes e as<br />

secções dos membros onde se considera a redistribuição sejam das classses 1 ou 2.<br />

1.1.3. Classificação de secções<br />

Com base nisto, assume assim importante destaque a classificação das secções transversais<br />

dos elementos estruturais metálicos a utilizar no processo de cálculo e dimensionamento.<br />

EC3 – Volume IV 3


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Tendo em conta as suas capacidades de rotação e de formação de rótulas plásticas, as secções<br />

transversais podem classificar em:<br />

• Classe 1 – são aquelas secções em que se pode formar uma rótula plástica com a<br />

capacidade de rotação requerida por uma análise plástica;<br />

• Classe 2 – são aquelas secções em que é possível atingir o momento plástico, mas<br />

que possuem uma capacidade de rotação limitada;<br />

• Classe 3 – são aquelas secções em que a tensão da fibra externa mais comprimida<br />

do elemento de aço pode atingir o valor da tensão de cedência, mas em que o<br />

momento plástico poderá não ser atingido, devido à encurvadura local;<br />

• Classe 4 – são aquelas secções em que é necessário ter em conta, explicitamente, os<br />

efeitos da encurvadura local na determinação da sua resistência à flexão ou<br />

compressão. A redução da resistência é efectuada através do cálculo de uma secção<br />

efectiva reduzida.<br />

Podemos resumir graficamente (fig. 4) a classificação atrás apresentada relativa ao<br />

comportamento à flexão de secções da seguinte forma:<br />

Sendo:<br />

<br />

<br />

M<br />

Mp<br />

Me<br />

e M – Momento elástico.<br />

M p – Momento plástico.<br />

classe 3<br />

classe 4<br />

classe 2<br />

Figura 4 – Comportamento de secções à flexão<br />

classe 1<br />

No respeitante à máxima distribuição possível de tensões (óptimo rendimento do material), a<br />

situação é a traduzida na figura 5, sendo visível que a configuração mais favorável será para<br />

EC3 – Volume IV 4<br />

Ø


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

um aproveitamento do domínio plástico, possível nas classes 1 e 2, e a pior a respeitante à<br />

classe 4, em que nem é possível atingir o limite elástico na fibra mais esforçada.<br />

fy<br />

classe 1 e 2<br />

fy<br />

fy<br />

classe 3<br />

f < fy<br />

classe 4<br />

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços<br />

Segundo a definição da Classe 3, as proporções do elemento de chapa, representadas pela<br />

relação b/t, devem ser tais que σcr exceda a resistência limite elástica, ou de plastificação, do<br />

material, fy, de modo que a plastificação ocorra antes da encurvadura dos elementos de chapa<br />

da secção. O comportamento ideal elasto-plástico de um elemento de chapa perfeito,<br />

submetido a compressão uniforme, pode-se representar por um diagrama carga-esbelteza<br />

normalizado, em que a carga de rotura normalizada:<br />

E a esbelteza normalizada (também designada por reduzida):<br />

Se podem colocar em ordenadas e abcissas, conforme figura 6.<br />

f < fy<br />

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura<br />

EC3 – Volume IV 5<br />

fy


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

No que respeita à classe 4, mais frequente em secções enformadas a frio ou soldadas, admitese<br />

a existência de fenómenos de instabilidade local que impedem que se desenvolva toda a<br />

capacidade elástica resistente da secção (analisar fig. 3). O EC3 preconiza que a avaliação da<br />

resistência seja efectuada com base numa secção efectiva reduzida, descontando, nesta<br />

análise, as zonas susceptíveis de instabilizar localmente (fig.6A).<br />

No caso de numa peça existirem elementos de classes diferentes, a classe da secção da mesma<br />

será sempre dada pela maior classe dos elementos comprimidos (a mais desfavorável).<br />

eixo neutro<br />

eM<br />

zona não efectiva<br />

eixo neutro da<br />

secção efectiva<br />

Secção Transversal Bruta Secção Transversal Efectiva<br />

Figura 6A – Secções transversais da classe 4<br />

Define-se assim uma área efectiva, havendo a necessidade de deslocar o eixo neutro da peça<br />

devido à supressão de parte da massa (zona não efectiva). Este conceito envolve dois<br />

aspectos: o cálculo da largura efectiva e a sua localização na secção.<br />

1.1.4. Comprimento de encurvadura<br />

No caso genérico da instabilidade de uma estrutura, normalmente estuda-se o comportamento<br />

de uma barra comparando-a coma sua congénere articulada nos seus extremos, de secção<br />

constante e com uma carga axial também constante aplicada em toda a sua longitude, da qual<br />

se conhece bem o seu comportamento. Na prática, salvo raras excepções, não é possível<br />

encontrar esta situação teórica que serve de padrão. Além disso, com a variação da carga ao<br />

longo da peça (p.e. devido às suas imperfeições de fabrico ou de aplicação no local) esta pode<br />

ser de secção transversal variável.<br />

Para uma barra isolada, de secção constante e com apoios perfeitos, considera-se o<br />

comprimento de encurvadura como o comprimento de uma barra fictícia, bi-rotulada nos<br />

extremos, sujeita a uma determinada carga axial, constante ao longo de todo o seu<br />

comprimento.<br />

De uma forma geral:<br />

• Pórtico de nós fixos: o comprimento de encurvadura é inferior ao comprimento real da<br />

EC3 – Volume IV 6


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

peça – sendo, no máximo, o da peça;<br />

• Pórtico de nós móveis: o comprimento de encurvadura é superior ao comprimento real<br />

da peça – sendo, no mínimo, o da peça.<br />

0.5 0.7 1.0 1.0 2.0 2.0<br />

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L<br />

Nos tipos de secções transversais normalmente usadas em elementos comprimidos (pilares)<br />

laminados a quente, a encurvadura relevante é geralmente a encurvadura por flexão de peça e<br />

utiliza-se o termo encurvadura por “varejamento”.<br />

Resumindo e associando a análise global material (ou física) com a classificação das secções<br />

podemos construir, sinteticamente, a tabela 1.<br />

Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo<br />

Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo<br />

Modelo<br />

Método de análise global (cálculo de esforços<br />

internos e momentos)<br />

I Plástico Plástico (Classe 1)<br />

Cálculo da resistência da secção da peça<br />

II Elástico Plástico (Classe 1 e 2)<br />

III Elástico Elástico (Classe 3)<br />

IV Elástico Elástico com encurvadura (Classe 4)<br />

EC3 – Volume IV 7


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão<br />

Devido às elevadas tensões resistentes do aço, o cálculo e o dimensionamento de estruturas<br />

metálicas correntes, e em particular de estruturas porticadas, tende a ser condicionado pelos<br />

fenómenos de (i) instabilidade global, (ii) ao nível do elemento (especialmente dos pilares),<br />

(iii) da secção (local) ou (iv) das ligações. A avaliação do comportamento de um pórtico, em<br />

termos de estabilidade global, é condicionada pelo facto de ter deslocamentos laterais<br />

significativos (nós móveis) ou não (nós fixos).<br />

Genericamente, no caso de não existirem deslocamentos globais laterais expressivos da<br />

estrutura (pórticos de nós fixos), a verificação da segurança do pórtico em termos de<br />

estabilidade passa por verificar a encurvadura por:<br />

Varejamento (também designada de encurvadura por flexão, já que a compressão gera flexão<br />

segundo o eixo de menor inércia, com um deslocamento lateral perpendicular à acção da<br />

força, que é aplicada segundo o eixo longitudinal da peça) das barras comprimidas (em geral<br />

dos pilares), no plano do pórtico ou perpendicularmente a este (para fora do plano);<br />

Bambeamento, ou a encurvadura lateral (ou flexo-torsional) de barras submetidas a esforços<br />

de flexão.<br />

Ou seja, estuda-se unicamente possíveis fenómenos de instabilidade local.<br />

Em pórticos de nós móveis terá que se verificar a sua estabilidade global, concomitantemente,<br />

sem prejuízo que face à mobilidade própria destas estruturas, com deslocamentos laterais não<br />

desprezáveis, os efeitos locais serem agravados (a encurvadura local é mais gravosa).<br />

A verificação da segurança dos elementos depende essencialmente de uma correcta definição<br />

dos comprimentos de encurvadura, no caso de elementos à compressão, e dos comprimentos<br />

entre secções contraventadas lateralmente, no caso de elementos submetidos à flexão.<br />

A possibilidade de instabilidade de partes da secção terá que ter sido em conta naquelas que<br />

se classificam na classe 4, devendo ser removidas do cálculo da sua resistência as porções que<br />

potencialmente empenem.<br />

Nas secções da classe 3 apenas podemos efectuar um aproveitamento elástico do material.<br />

Nas secções da classe 1 e 2 podemos efectuar um aproveitamento plástico do material.<br />

Segue-se a apresentação de algumas situações que traduzem problemas de instabilidades por<br />

encurvadura, bem como a apresentação de imagens de peças em pós-encurvadura.<br />

EC3 – Volume IV 8


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira.<br />

EC3 – Volume IV 9


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas<br />

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos das vigas<br />

EC3 – Volume IV 10


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares<br />

Numa súmula que se antecipa o estudo a efectuar, podemos adiantar:<br />

Os aspectos mais destacados da encurvadura de elementos estruturais resumem-se no Quadro<br />

2;<br />

A estabilidade de pórticos sem deslocamentos laterais horizontais está controlada pela<br />

estabilidade de cada uma das colunas individualmente;<br />

A estabilidade de um pórtico com deslocamentos horizontais está controlada pela rigidez à<br />

flexão das colunas e das vigas, bem como da rigidez das ligações das vigas-coluna (e de todos<br />

os elementos em geral, ainda que mais importante nos elementos citados).<br />

A forma mais eficaz de melhorar a resistência à encurvadura é incrementar as dimensões das<br />

secções transversais, introduzir reforços ou restrições de apoio adequadas para modificar o<br />

modo de encurvadura para valores de energia mais elevados.<br />

EC3 – Volume IV 11


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais<br />

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos<br />

O comprimento de encurvadura de um elemento uniforme, ou seja, com secção transversal<br />

constante, integrado num pórtico, pode ser definido como o comprimento de uma barra<br />

fictícia, bi-rotulada, que, para um dado carregamento, instabilizaria em simultâneo o pórtico.<br />

Considera-se que na ausência de qualquer esforço o eixo da peça é perfeitamente rectilíneo.<br />

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão:<br />

encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler)<br />

Leonhard Euler estabeleceu a carga crítica de encurvadura de uma peça comprimida<br />

axialmente (fig. 8A) quando se verificam as seguintes condições.<br />

• As deformações são suficientemente pequenas (teoria das tensões de segunda ordem);<br />

• O material cumpre infinitamente a lei de Hooke, bem como as hipóteses de Navier;<br />

• O eixo da peça é perfeitamente recto e a carga axial Ν de compressão está<br />

exactamente centrada no seu eixo;<br />

EC3 – Volume IV 12


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

• Os extremos da peça são perfeitamente articulados e os deslocamentos encontram-se<br />

suprimidos na direcção perpendicular à directriz da barra, sendo a sua secção<br />

constante em todo o seu desenvolvimento longitudinal;<br />

• A peça encontra-se num estado tensional neutro, sem tenções residuais ou de qualquer<br />

outro tipo.<br />

l<br />

N<br />

N<br />

fmáx.<br />

f=fmáx. sen<br />

l<br />

Z<br />

Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler<br />

Tendo em conta as condições de Euler, considera-se a carga crítica de Euler, NE, como:<br />

Com:<br />

• NE – carga crítica de Euler<br />

• E – módulo de elasticidade<br />

• I – momento de inércia da secção<br />

N E<br />

2<br />

π E<br />

= 2<br />

l<br />

l – comprimento de encurvadura da peça<br />

A barra poderá permanecer recta conservando a sua forma primitiva, ou adoptar uma posição<br />

definida pela equação:<br />

Sendo “f”a deformada/excentricidade da barra.<br />

À carga axial, NE, corresponde a tensão σE:<br />

EC3 – Volume IV 13<br />

I<br />

π . z<br />

f = A.<br />

sen<br />

l<br />

x<br />

z<br />

y


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Com:<br />

σ = Ν E E<br />

A - Área da secção transversal da barra;<br />

σE - Tensão crítica de Euler.<br />

Ao aproximar “N” do valor de “NE” a peça pode permanecer recta, se não existir causa que a<br />

demova desta posição, ou iniciar a sua encurvadura, se existir alguma causa que altere o seu<br />

equilíbrio (imperfeições da sua forma, excentricidade da carga aplicada, etc.).<br />

Quando o esforço axial é acompanhado de uma flexão,<br />

máxima máx σ<br />

definida pela expressão:<br />

Com:<br />

σ<br />

máx<br />

N - Esforço axial de compressão<br />

vmáx - Flecha no centro da coluna<br />

A - Área de secção transversal<br />

EC3 – Volume IV 14<br />

Α<br />

N.<br />

f<br />

= +<br />

A w<br />

N máx<br />

N. vmáx<br />

, criando-se uma tensão<br />

w- Módulo de elasticidade da secção no plano em que se dá a flexão da barra.<br />

fmáx - Flecha máxima da barra.<br />

Para valores de “N” ligeiramente superiores a “NE”, a flecha máxima “fmáx” deduz-se da<br />

seguinte expressão:<br />

Com:<br />

f ≅ 0.<br />

9.<br />

l.<br />

ΔN<br />

máx<br />

ΔN<br />

= N −<br />

Na realidade a peça encurvará antes de se atingir “NE”, já que as suposições teóricas são, na<br />

prática, impossíveis de cumprir (por exemplo, não há peças com eixo perfeitamente recto,<br />

verticalidade absoluta ou carga completamente centradas), dadas as imperfeições existentes.<br />

Na figura 8A pode-se observar uma peça que, sujeita a uma flexão “Me=N×e” provocada pela<br />

carga “N”, possui já uma deformada inicial que produz também o, consequente, momentoflector<br />

com essa excentricidade eo: Meo=N×eo.<br />

N E<br />

N<br />

E


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Daqui surge uma tensão de flexão máxima σB, Figura 8 B a), que somada a N e à tensão<br />

residual σR origina a distribuição de tensões que se apresenta na figura 8 B b). Se σmax é maior<br />

que a tensão de cedência (limite elástico), a distribuição final de tensões será parcialmente<br />

plástica e uma parte do elemento entraria em cedência por compressão, como se vê na figura 8<br />

B c).<br />

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado<br />

No caso de elementos comprimidos axialmente a capacidade de resistência desta peça deduzse<br />

da seguinte expressão (EC3 - Cap 6.3.1.1):<br />

Secções de classe 1, 2 ou 3<br />

N<br />

b,<br />

Rd<br />

χ × A×<br />

f<br />

=<br />

γ<br />

EC3 – Volume IV 15<br />

M 1<br />

Secções de classe 4<br />

N<br />

b,<br />

Rd<br />

χ × Aeff<br />

× f<br />

=<br />

γ<br />

M 1<br />

y<br />

y


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Com:<br />

f y - Tensão de cedência do aço<br />

A – Área total da secção<br />

Aeff – Área efectiva da secção transversal de classe 4<br />

Aeff - Área da secção efectiva da peça e A área total da secção.<br />

χ - É o factor de redução para o modo de encurvadura relevante.<br />

<br />

γ M 1 - Coeficiente de segurança.<br />

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).<br />

2.1.2. Elementos uniformes<br />

Se considerarmos o elemento uniforme, ou seja, com secção constante ao longo de todo o seu<br />

desenvolvimento (secções transversais constantes), sujeito a uma compressão axial também<br />

constante, o valor do factor de redução para o modo de encurvadura relevante:<br />

Que corresponde à esbelteza adimensional, reduzida ou normalizada:<br />

E pode-se determinar a partir da expressão:<br />

Mas com χ ≤ 1 (EC3 - Cap 56.3.1.1).<br />

Em que:<br />

<br />

⎡ _<br />

_ 2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

φ = 0, 5⎢1<br />

+ α⎜<br />

λ − 0,<br />

2⎟<br />

+ λ ⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

χ<br />

_<br />

λ<br />

1<br />

χ =<br />

_ 2 ⎡ ⎤ 2<br />

φ + ⎢φ<br />

−λ<br />

⎥<br />

⎣ ⎦<br />

α = factor de imperfeição – ver quadro 1;<br />

λ – Coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional.<br />

;<br />

Este coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional pode ser identificado como:<br />

•<br />

A f y λ L 1 f<br />

Cr y LCr<br />

1<br />

λ = = =<br />

= - Secções de classe 1, 2 ou 3<br />

N λ i π E i λ<br />

cr<br />

1<br />

1<br />

EC3 – Volume IV 16<br />

0,<br />

5


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

•<br />

Em que:<br />

λ =<br />

A λ<br />

1<br />

A / A<br />

eff f y Aeff<br />

L A f<br />

Cr eff y LCr<br />

eff<br />

= =<br />

=<br />

Ncr<br />

λ1<br />

A i π A E i λ1<br />

- Secções de classe 4<br />

NCr – Carga crítica elástica (carga critica de Euler)<br />

<br />

<br />

E<br />

λ1 = π = 93,<br />

3ε<br />

f<br />

λ = l<br />

i<br />

y<br />

ε = Factor em função do tipo de aço calculado a partir da expressão:<br />

<br />

⎛ 235 ⎞<br />

ε = ⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ f y ⎠<br />

0,<br />

5<br />

, com “fy” em N/mm2.<br />

A relação entre estas grandezas pode ser apreciada na Figura 8C, sendo usado “LE”<br />

(comprimento de encurvadura segundo o conceito de carga crítica de Euler, no qual não<br />

existem imperfeições).<br />

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida, irreal dado<br />

que não contém imperfeições.<br />

Na realidade, e uma vez que existem imperfeições, ensaios experimentar reais ficam abaixo<br />

da linha que traduz a carga crítica de Euler para cada valor da esbelteza normalizada,<br />

conforme círculos da Figura 8D.<br />

Através do coeficiente de encurvadura, χ , que vem em função de esbelteza adimensional, o<br />

Eurocódigo 3 (EC3) minora a resistência do aço em compressão axial (ver quadro 2).<br />

O factor de imperfeição (α) depende da curva de encurvadura da peça, relacionada entre χ e<br />

λ .<br />

EC3 – Volume IV 17


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais.<br />

Conforme a figura 9A e 9B e o quadro 4.<br />

As curvas têm o seguinte significado:<br />

• A curva a0 (a defenir)<br />

• A curva a representa formas quase perfeitas, perfiles I laminados a quente (h/b ><br />

1,2) com banzos delgados (tf


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada<br />

Importa fazer notar que as curvas de encurvadura fixaram-se para elementos articulados<br />

carregados axialmente num extremo, se as condições forem diversas corrigir o comprimento<br />

de encurvadura.<br />

1,0<br />

0,8<br />

0,6<br />

0,4<br />

0,2<br />

0<br />

0<br />

0,2<br />

d<br />

c<br />

b<br />

a<br />

EULER<br />

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8<br />

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler<br />

Curvas de Encurvadura<br />

(Eurocódigo)<br />

Assim, o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura e pode ser obtido através<br />

do quadro 3.<br />

EC3 – Volume IV 19<br />

2,0


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 – Cap. 6.3.1.2)<br />

Factores de imperfeição α<br />

Curva de encurvadura a0 a b c d<br />

Factor de imperfeição α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76<br />

O factor de redução da encurvadura poderá ser obtido directamente ou por interpolação<br />

através dos valores do quadro 4, em função da curva de encurvadura e da esbelteza<br />

normalizada.<br />

Factores de redução χ<br />

_<br />

λ<br />

0,2<br />

0,3<br />

0,4<br />

0,5<br />

0,6<br />

0,7<br />

0,8<br />

0,9<br />

1,0<br />

1,1<br />

1,2<br />

1,3<br />

1,4<br />

1,5<br />

1,6<br />

1,7<br />

1,8<br />

1,9<br />

2,0<br />

2,1<br />

2,2<br />

2,3<br />

2,4<br />

2,5<br />

2,6<br />

2,7<br />

2,8<br />

2,9<br />

3,0<br />

Curva de encurvadura<br />

Quadro 4 – Factores de redução<br />

a b c d<br />

1,0000<br />

0,9775<br />

0,9528<br />

0,9243<br />

0,8900<br />

0,8477<br />

0,7957<br />

0,7339<br />

0,6656<br />

0,5960<br />

0,5300<br />

0,4703<br />

0,4179<br />

0,3724<br />

0,3332<br />

0,2994<br />

0,2702<br />

0,2449<br />

0,2229<br />

0,2036<br />

0,1867<br />

0,1717<br />

0,1585<br />

0,1467<br />

0,1362<br />

0,1267<br />

0,1182<br />

0,1105<br />

0,1036<br />

1,0000<br />

0,9641<br />

0,9261<br />

0,8842<br />

0,8371<br />

0,7837<br />

0,7245<br />

0,6612<br />

0,5970<br />

0,5352<br />

0,4781<br />

0,4269<br />

0,3817<br />

0,3422<br />

0,3079<br />

0,2781<br />

0,2521<br />

0,2294<br />

0,2095<br />

0,1920<br />

0,1765<br />

0,1628<br />

0,1506<br />

0,1397<br />

0,1299<br />

0,1211<br />

0,1132<br />

0,1060<br />

0,0994<br />

1,0000<br />

0,9491<br />

0,8973<br />

0,8430<br />

0,7854<br />

0,7247<br />

0,6622<br />

0,5998<br />

0,5399<br />

0,4842<br />

0,4338<br />

0,3888<br />

0,3492<br />

0,3145<br />

0,2842<br />

0,2577<br />

0,2345<br />

0,2141<br />

0,1962<br />

0,1803<br />

0,1662<br />

0,1537<br />

0,1425<br />

0,1325<br />

0,1234<br />

0,1153<br />

0,1079<br />

0,1012<br />

0,0951<br />

1,0000<br />

0,9235<br />

0,8504<br />

0,7793<br />

0,7100<br />

0,6431<br />

0,5797<br />

0,5208<br />

0,4671<br />

0,4189<br />

0,3762<br />

0,3385<br />

0,3055<br />

0,2766<br />

0,2512<br />

0,2289<br />

0,2093<br />

0,1920<br />

0,1766<br />

0,1630<br />

0,1508<br />

0,1399<br />

0,1302<br />

0,1214<br />

0,1134<br />

0,1062<br />

0,0997<br />

0,0937<br />

0,0882<br />

Poderemos saber, assim, de uma forma expedita a percentagem da secção que é aproveitada<br />

mediante os esforços aplicados.<br />

EC3 – Volume IV 20


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Em termos do EC3, quando ocorre a encurvadura por flexão (varejamento) de uma peça, a<br />

curva de encurvadura apropriada pode ser determinada através do quadro 5.<br />

Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal<br />

Quando se tratem de secções que não estejam classificadas neste quadro, deverão ser<br />

consideradas de forma análoga às nele classificadas. As curvas de encurvadura apresentadas<br />

EC3 – Volume IV 21


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

neste quadro tipificam um comportamento padronizado que reflecte a relação entre a<br />

esbelteza da peça e o seu próprio comprimento de encurvadura.<br />

A tabela 5 ajuda a seleccionar a curva de encurvadura conveniente em função do tipo de<br />

secção, seus limites dimensionais e o eixo pelo qual pode ocorrer a encurvadura. Em secções<br />

tubulares conformadas a quente, fyb é a resistência plástica à tracção e fya é a resistência média<br />

plástica. Se a secção em estudo não é idêntica às descritas, deve classificar-se analogamente.<br />

2.1.2.1. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 sem contraventamento<br />

Dados:<br />

• fy = 235 (MPa ou N/mm 2 )<br />

•<br />

ε<br />

= y<br />

235 / f = 1<br />

Verifique a resistência para Nx,Ed= 2800 kN admitindo um pilar com 10m de vão encastrado<br />

na base, não contraventado, logo com possibilidade de encurvar livremente.<br />

EC3 – Volume IV 22


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Não existem contraventamos, nem segundo o eixo dos yy’s (eixo forte), nem segundo o eixo<br />

fraco (que corresponde a o eixo do zz’s).<br />

- Perfil HEA 500.<br />

- NxEd= 2800 kN.<br />

- S235 (fy=235 MPa)<br />

λ<br />

l<br />

l<br />

2×<br />

10<br />

=<br />

2,<br />

74×<br />

10<br />

0 0<br />

= ⇒ λz<br />

=<br />

= −2<br />

i iz<br />

A esbelteza “λz” corresponde ao eixo fraco (zz’s), bem como “iz” corresponde ao raio de<br />

giração segundo este eixo (zz’s).<br />

O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.<br />

ε =<br />

235<br />

=<br />

fy<br />

λ<br />

= 93,<br />

3×<br />

ε =<br />

1<br />

235<br />

235<br />

EC3 – Volume IV 23<br />

= 1<br />

93,<br />

3×<br />

1 = 93,<br />

3<br />

276


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada:<br />

λ<br />

λ = =<br />

λ<br />

Para escolher a curva de encurvadura europeia:<br />

h<br />

b<br />

=<br />

1<br />

500<br />

300<br />

276<br />

93,<br />

9<br />

=<br />

2,<br />

94<br />

EC3 – Volume IV 24<br />

=<br />

1,<br />

67<br />

≥<br />

1,<br />

2<br />

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “b”.<br />

Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução):<br />

1º) Pelo gráfico:<br />

χ ≈ 0.10<br />

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor<br />

da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “b”.


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:<br />

3º) Através da utilização da expressão:<br />

Em que:<br />

⎡ _<br />

_ 2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

φ = 0, 5⎢1<br />

+ α⎜<br />

λ − 0,<br />

2⎟<br />

+ λ ⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

Sendo “α” factor de imperfeição.<br />

χ =<br />

φ +<br />

Aplicação das fórmulas apresentadas:<br />

Pois:<br />

Já que:<br />

χ =<br />

φ +<br />

1<br />

2 2<br />

φ − λ<br />

φ =<br />

0,<br />

5<br />

=<br />

χ ≈ 0,<br />

103<br />

1<br />

2 2<br />

φ − λ<br />

5,<br />

29<br />

+<br />

5,<br />

29<br />

, mas χ ≤1<br />

− 2,<br />

94<br />

⎡ _<br />

_ 2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

φ = 0, 5⎢1<br />

+ α⎜<br />

λ − 0,<br />

2⎟<br />

+ λ ⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

EC3 – Volume IV 25<br />

1<br />

2 [ 1+<br />

0,<br />

34(<br />

2,<br />

94 − 0,<br />

2)<br />

+ 2,<br />

94 ] = 5,<br />

29<br />

2<br />

2<br />

= 0,<br />

103 ≤1,<br />

Ok!<br />

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à<br />

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):<br />

N<br />

b,<br />

Rd<br />

χ × A×<br />

f<br />

=<br />

γ<br />

M1<br />

y<br />

−4<br />

3<br />

0,<br />

103×<br />

197,<br />

5×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

=<br />

= 478kN<br />

1<br />

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 2800 kN.


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2.1.2.2. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento<br />

total segundo o eixo fraco (zz’s)<br />

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado segundo<br />

o eixo fraco (zz´s).<br />

Neste exercício contraventamos o eixo dos zz’s (eixo fraco), só podendo existir encurvadura<br />

segundo o eixo forte (que corresponde a o eixo do yy’s).<br />

- Perfil HEA 500.<br />

- NxEd= 2800 kN.<br />

- S235 (fy=235 MPa)<br />

λ<br />

l<br />

l<br />

2×<br />

10<br />

=<br />

21×<br />

10<br />

0 0<br />

= ⇒ λy<br />

=<br />

= −2<br />

i iy<br />

95,<br />

23<br />

A esbelteza “λy” corresponde ao eixo forte (yy’s), bem como “iy” corresponde ao raio de<br />

giração segundo este eixo (yy’s).<br />

O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.<br />

ε =<br />

235<br />

=<br />

fy<br />

λ = 93,<br />

3×<br />

ε =<br />

1<br />

235<br />

235<br />

EC3 – Volume IV 26<br />

= 1<br />

93,<br />

3×<br />

1 = 93,<br />

3<br />

Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada.


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

λ 95,<br />

53<br />

λ = = = 1,<br />

01<br />

λ 93,<br />

9<br />

1<br />

Para escolher a curva de encurvadura europeia temos a mesma relação que a anterior: h/b>1,2.<br />

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “a”.<br />

Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução):<br />

1º) Pelo gráfico:<br />

χ ≈ 0.67<br />

A azul destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor da<br />

esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”.<br />

2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:<br />

EC3 – Volume IV 27


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

3º) Através da utilização da expressão:<br />

Em que:<br />

Sendo “α” factor de imperfeição.<br />

χ =<br />

φ +<br />

Aplicação das fórmulas apresentadas:<br />

Pois:<br />

Já que:<br />

χ =<br />

φ +<br />

1<br />

χ ≈ 0,<br />

67<br />

2 2<br />

φ − λ<br />

, mas χ ≤1<br />

⎡ _<br />

_ 2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

φ = 0, 5⎢1<br />

+ α⎜<br />

λ − 0,<br />

2⎟<br />

+ λ ⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

1<br />

=<br />

2 2<br />

φ − λ 1,<br />

084 +<br />

φ =<br />

1,<br />

084<br />

−1,<br />

01<br />

⎡ _<br />

_ 2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

φ = 0, 5⎢1<br />

+ α⎜<br />

λ − 0,<br />

2⎟<br />

+ λ ⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

67<br />

≤1,<br />

Ok!<br />

EC3 – Volume IV 28<br />

1<br />

2 [ 1+<br />

0,<br />

21(<br />

1,<br />

01−<br />

0,<br />

2)<br />

+ 1,<br />

01 ] = 1,<br />

084<br />

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à<br />

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):<br />

N<br />

b,<br />

Rd<br />

χ × A×<br />

f<br />

=<br />

γ<br />

M 1<br />

y<br />

=<br />

0,<br />

67<br />

2<br />

−4<br />

3<br />

× 197,<br />

5×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

= 3091kN<br />

1<br />

Ou seja, este perfil com contraventamento verifica um esforço axial de 2800 kN.<br />

2.1.2.3. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento<br />

parcial segundo o eixo fraco (zz’s)<br />

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado,<br />

parcialmente, segundo o eixo fraco (zz´s):<br />

2<br />

=


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

A meio da sua altura, por espias ao solo;<br />

A meio e no seu topo, por espias ao solo.<br />

A solução seria idêntica ao exercício 2.1.2.1., mas em que:<br />

A meio da sua altura, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de:<br />

l = 2×<br />

5 = 10m<br />

0<br />

• Uma vez que a partir de meio do pilar este pode varejar livremente, estando<br />

simplesmente apoiado nas espias a meio do seu vão mas livre acima destas.<br />

A meio e no seu topo, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de:<br />

l = 1×<br />

5 = 5m<br />

0<br />

• Uma vez que até meio do pilar e a partir de meio deste, o mesmo só pode varejar entre<br />

os pontos de contraventamento (ligação às espias), estando simplesmente apoiado nas<br />

mesmas.<br />

2.1.3. Elementos não uniformes<br />

Para os elementos cuja secção transversal pode variar ao longo do seu comprimento (não<br />

uniformes), a resistência à encurvadura pode ser determinada através de uma análise de<br />

segunda ordem, a qual deve incluir uma imperfeição inicial. Deste modo, considera-se a peça<br />

já deformada (devido às imperfeições) antes da aplicação de qualquer esforço, ou seja, o seu<br />

eixo não é perfeitamente recto.<br />

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção<br />

Suponha-se uma viga nas condições da figura 10. Esta viga é suportada em dois apoios que<br />

impedem os deslocamentos e as rotações no plano da secção e submetida a uma flexão<br />

constante provocada por dois momentos flectores “M” aplicados nos seus extremos.<br />

Assim, a parte superior da viga encontra-se comprimida e, ao mesmo tempo, a parte inferior<br />

permanece traccionada.<br />

Esta compressão na zona superior pode provocar, quando o momento-flector alcança um<br />

determinado valor, Momento Crítico - “MCr”, um fenómeno de instabilidade denominado<br />

bambeamento (ou encurvadura lateral ou, ainda, encurvadura por flexo-torção), que consiste<br />

em deformações transversais acompanhadas de rotações que as diferentes secções da viga<br />

sofrem. A peça instabiliza quando a sua zona comprimida atinge tensões que ultrapassam a<br />

sua capacidade resistente flexo-torsora, fugindo lateralmente da sua posição de equilíbrio e<br />

EC3 – Volume IV 29


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

sofrendo torção (dado o banzo comprimido tender a deslocar a secção lateralmente – para fora<br />

do seu eixo longitudinal inicial, enquanto o traccionado a tenta manter na sua posição inicial).<br />

Para efeitos de cálculo, o comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as<br />

duas extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente, pode, pelo lado da segurança, ser<br />

considerado igual ao seu comprimento nominal.<br />

Por outro lado, poderá também ser determinado através de esquema informativo do<br />

Eurocódigo 3, conforme volume anterior sobre este assunto.<br />

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de vigas – esquema<br />

h<br />

M<br />

tracções<br />

compressões<br />

Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem<br />

EC3 – Volume IV 30<br />

yy


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial segundo o eixo<br />

dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura com flexão lateral (deslocamento<br />

“u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção (rotação “ϕ”).<br />

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada<br />

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido<br />

EC3 – Volume IV 31


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em bambeamento<br />

(encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral)<br />

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte flexotorsionada<br />

EC3 – Volume IV 32


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada<br />

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis<br />

EC3 – Volume IV 33


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais<br />

Tendo em conta que a viga não está contraventada lateralmente (senão não se daria o<br />

fenómeno de bambeamento ou encurvadura lateral), o valor de cálculo do momento resistente<br />

à encurvadura lateral é dado pela expressão:<br />

Método Geral:<br />

M<br />

b,<br />

Rd<br />

= χ<br />

Wy = Wpl,y em secções de classes 1 e 2<br />

Wy = Wel,y em secções de classe 3<br />

Wy = Weff,y em secções de classe 4<br />

<br />

LT<br />

EC3 – Volume IV 34<br />

W<br />

y<br />

χ LT = Factor de redução para a encurvadura lateral correspondente à esbelteza<br />

normalizada λ LT .<br />

O factor de redução para a encurvadura lateral:<br />

Pode ser determinado a partir da expressão:<br />

Mas com χ ≤ 1.<br />

χ<br />

LT<br />

=<br />

φ<br />

LT<br />

χ LT<br />

+<br />

φ<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

γ<br />

f<br />

y<br />

M 1<br />

− λ<br />

2<br />

LT


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Em que:<br />

Correspondente à esbelteza normalizada:<br />

φ<br />

LT<br />

_ ⎡ ⎛ ⎞ −2 ⎤<br />

= 0, 5⎢1<br />

+ α LT . ⎜λLT<br />

− 0,<br />

2⎟<br />

+ λLT<br />

⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ,<br />

λ<br />

LT<br />

Wy<br />

f<br />

M<br />

E “Mcr” é o momento elástico crítico relativo à encurvadura lateral de uma viga.<br />

No caso desta viga ser de secção transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, nas<br />

condições padrão de restrições nos apoios, submetida a uma carga no eixo da sua alma e a um<br />

momento uniforme, este momento elástico crítico é dado por:<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

E π ⎛ π EI ⎞ w π ⎛ π EI ⎞ w π EI ⎛ z π EI ⎞ w<br />

MCR = C1 GITEIz⎜1+ C 2 ⎟ = 1 GI 1<br />

2 T EIz⎜ + C 2 ⎟ = 1 GI 2 ⎜ T + 2 ⎟<br />

L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L ⎠<br />

Ou:<br />

2 2 2 2 2<br />

2<br />

E π EI ⎛ z π EI ⎞ w π EI z π EI z L ⎛ π EI ⎞ w<br />

MCR = C1 GI 2 ⎜ T + C 2 ⎟ = 1<br />

GI<br />

2 2 2 ⎜ T + 2 ⎟<br />

L ⎝ L ⎠ L L π EIz⎝ L ⎠<br />

2 2<br />

2<br />

π EI z L ⎛ π EI ⎞ w<br />

1 2 2 ⎜ T 2 ⎟<br />

L π EIzL = C GI +<br />

⎝ ⎠<br />

π EI<br />

= C<br />

L<br />

GI L<br />

EI<br />

I<br />

+<br />

I<br />

2 2<br />

z T w<br />

1 2 2<br />

π z z<br />

Com “C1=1”. Sendo “C1” uma constante que pode ser obtida no Anexo I deste texto e<br />

depende de várias condições (apoio, carregamento, etc.) e “αLT” é o factor de imperfeição<br />

dependente da curva de encurvadura, conforme Quadro 6.<br />

Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral<br />

Em geral, com o parâmetro de imperfeição “αLT” igual a 0,21 relativamente a secções<br />

laminadas, e igual a 0,49 quando se tratar de secções soldadas.<br />

EC3 – Volume IV 35<br />

=<br />

cr<br />

y


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

As curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais para este método<br />

alternativo apresentam-se no quadro 7.<br />

Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais<br />

Secção Limites Curva da encurvadura<br />

Secções I ou H laminadas<br />

Secções I ou H soldadas<br />

h/b≤2 a<br />

h/b>2 b<br />

h/b≤2 c<br />

h/b>2 d<br />

Outras secções - d<br />

Como método alternativo aplicável a secções laminadas ou soldadas equivalentes:<br />

Com:<br />

χ<br />

LT<br />

=<br />

φ<br />

LT<br />

⎪ ⎧χ<br />

⎪<br />

⎨<br />

χ<br />

⎩<br />

+<br />

LT<br />

LT<br />

EC3 – Volume IV 36<br />

φ<br />

≤<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

≤ 1<br />

λ<br />

1<br />

− βλ<br />

2<br />

LT<br />

2<br />

LT<br />

2<br />

[ 1+<br />

α ( λ − λ ) β λ ]<br />

φ LT = 0, 5 LT LT + LT<br />

Em que λ , 0 e β são parâmetros a definir pelos Anexos Nacionais do EC3, sendo<br />

LT<br />

recomendados actualmente os seguintes valores limites:<br />

<br />

⎧λLT<br />

, 0 ≤ 0,<br />

4<br />

⎨ ;<br />

⎩β<br />

≥ 0,<br />

75<br />

α LT é o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura;<br />

λ LT é o coeficiente de esbelteza normalizada, obtido da mesma forma<br />

que no método geral;<br />

Mcr é o momento crítico elástico.<br />

Para este tipo de secções (laminadas ou soldadas equivalentes) temos um valor mais<br />

favorável para o valor inicial da esbelteza normalizada que corresponde ao começo da<br />

instabilidade elástica (0,4 em vez de 0,2).<br />

LT , o


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

De acordo com esta segunda metodologia, a forma do diagrama de momentos flectores ao<br />

longo do elemento, entre secções contraventadas, pode ser tida em conta modificando o<br />

coeficiente de redução χLT para:<br />

χ<br />

χ =<br />

f<br />

LT<br />

LT , mod , mas χ LT , mod ≤ 1.<br />

0<br />

Os valores de f serão definidos nos Anexos Nacionais do EC3; actualmente, no EC3-1-1 é<br />

proposta a seguinte expressão para o cálculo deste factor:<br />

2<br />

[ 1−<br />

2.<br />

0(<br />

0.<br />

8)<br />

]<br />

f = 1− 0.<br />

5(<br />

1−<br />

K ) λ LT − , mas f ≤ 1.0<br />

Sendo kc um factor de correcção, definido de acordo com o quadro 8.<br />

c<br />

Quadro 8 – Factores de correcção Kc<br />

A verificação da encurvadura lateral, segundo o método alternativo proposto no EC3-1-1,<br />

pode ser dispensada se for verificada pelo menos uma das seguintes condições:<br />

EC3 – Volume IV 37


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

λ LT ≤ 0.<br />

4 ou M / ≤ 0.<br />

16<br />

Considerando-se:<br />

Ed M cr<br />

_<br />

EC3 – Volume IV 38<br />

_<br />

λ = λ<br />

LT<br />

χ = χ LT<br />

Os valores do factor de redução para a encurvadura lateral (correspondente à esbelteza<br />

normalizada) pode ser obtido através do quadro 4 tendo em conta que:<br />

• Para secções laminadas com α = 0,<br />

21 - curva a;<br />

• Para secções soldadas com α = 0,<br />

49 - curva c.<br />

Para consulta do quadro 4, que determina o valor do factor de redução, é necessário calcular o<br />

valor da esbelteza normalizada a partir da expressão:<br />

Em que:<br />

Sendo:<br />

⎛ 235 ⎞<br />

λ1<br />

= 93,<br />

9.<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ f y ⎠<br />

0,<br />

5<br />

ou<br />

λ = 93, 9.<br />

ε<br />

1<br />

⎛ 235 ⎞<br />

ε = ⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ f y ⎠<br />

Analogamente, λ LT pode-se calcular também pela expressão:<br />

•<br />

W<br />

f<br />

y y<br />

λ LT = , Secções de classe 1, 2 ou 3<br />

M cr<br />

W y,<br />

eff f y<br />

• λ LT = = , Secções de classe 4<br />

M<br />

Também pode ser relacionado por:<br />

Com:<br />

_<br />

λ = λ<br />

cr<br />

λ . βw<br />

0,<br />

5<br />

LT ( ) • LT 1<br />

0,<br />

5<br />

λ 1 = π . ( E f y ) = 93,<br />

9.<br />

ε<br />

<br />

( ) 5 , 0<br />

ε = 235 f y<br />

<br />

<br />

f y (com em N/mm2)<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

5<br />

β w = 1 para secções transversais das classes 1 e 2<br />

β =<br />

w<br />

W el.<br />

y Wpl.<br />

y<br />

Para secções transversais da classe 3<br />

2<br />

( em N mm )<br />

f y


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

<br />

β =<br />

w<br />

W eff . y Wpl.<br />

y<br />

Para secções transversais da classe 4<br />

Esta expressão é equivalente à apresentada neste subcapítulo para cálculo de λ (encurvadura<br />

por varejamento ou flexão).<br />

Por outro lado, o valor da esbelteza normal para a encurvadura lateral, relativo a todas as<br />

secções transversais, pode ser aproximado por:<br />

λ =<br />

LT<br />

( ) 5 , 0<br />

2<br />

π E.<br />

W M<br />

. cr<br />

pl.<br />

y<br />

A informação necessária para o cálculo directo de M Cr ou de λ LT encontra-se em bibliografia<br />

da especialidade.<br />

Há, no entanto e conforme figuras 12A a 12C, duas situações possíveis:<br />

• Quando a λ ≤ λ1 (ou λ ≤ 4 laminadas ou soldadas equivalentes ou λ ≤ 2 em geral)<br />

LT<br />

não é necessário considerar a encurvadura lateral, dada a rotura ser plástica (por razões<br />

de colapso do material e não de geometria da peça);<br />

• Uma viga perfeitamente contraventada não necessita de ser verificada relativamente à<br />

encurvadura lateral. Inclui-se neste caso uma viga que suporte uma laje, dado que esta<br />

última dá-lhe estabilidade suficiente desde que impeça os movimentos do banzo<br />

comprimido da viga (de notar que no caso de momentos negativos, situação normal<br />

nos apoios de continuidade, o travamento deverá ser efectuado no banzo inferior, por<br />

exemplo através de varões oblíquos que partem da base da alma para as madres ou<br />

laje).<br />

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça<br />

EC3 – Volume IV 39<br />

LT


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza<br />

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento<br />

Figura 12 D - Redução entro Mcr e λLT nornalizado<br />

EC3 – Volume IV 40


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Diga-se que, em geral e para casos de flexão em vigas com secções I e H laminadas, o factor<br />

λLT pode ser determinado pela expressão (expressão F.20 do antigo Anexo F do EC3 de<br />

1993):<br />

λ<br />

LT<br />

=<br />

( C )<br />

1<br />

0,<br />

5<br />

⎡<br />

⎢1<br />

+<br />

⎢<br />

⎣<br />

0,<br />

9L<br />

/ i<br />

EC3 – Volume IV 41<br />

1<br />

20<br />

z<br />

2<br />

⎛ / ⎞ ⎤<br />

⎜<br />

L iz<br />

⎟ ⎥<br />

⎜ / ⎟<br />

⎝ h t f ⎠ ⎥<br />

⎦<br />

Também o factor C1 (Quadro F.1.2. do antigo Anexo F do EC3 de 1993) varia pouco, para<br />

cargas distribuídas (e mesmo concentradas), independentemente das condições de apoio da<br />

viga (segundo o eixo dos yy’s e dos zz’s), podendo tomar-se o valor unitário (C1=1), em geral<br />

e para as situações correntes.<br />

De notar que este factor é colocado sob raiz quadrada na fórmula de λLT, o que ainda mais faz<br />

tender para 1 a sua dispersão em torno deste valor. Por outro lado, considerar C1=1 é, em<br />

geral, conservativo, portanto seguro (verificar tabela F.1.1 e F.1.2 do antigo Anexo F do EC3<br />

de 1993).<br />

Contudo, no caso de trechos de barras sem carregamentos, e com variação de momentos<br />

significativa, esta simplificação, embora possa ser aplicada, por ser igualmente segura, é um<br />

tanto menos económica (consultar-se a tabela respectiva F.1.2 do antigo – 1993 – Anexo F do<br />

EC3).<br />

No que trata ao momento crítico de uma secção, de que atrás se apresentou a sua fórmula<br />

genérica:<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

E π ⎛ π EI ⎞ w π ⎛ π EI ⎞ w π EI ⎛ z π EI ⎞ w<br />

MCR = C1 GITEIz⎜1+ C 2 ⎟ = 1 GI 1<br />

2 T EIz⎜ + C 2 ⎟ = 1 GI 2 ⎜ T + 2 ⎟<br />

L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L ⎠<br />

Estamos em presença de uma grandeza extremamente importante na aferição da estabilidade<br />

da peça, verificando-se que este momento crítico de um elemento submetido a flexão depende<br />

de diversos factores, como sejam (Simões, 2005):<br />

0,<br />

25<br />

• Carregamento (forma do diagrama de momentos flectores);<br />

• Condições de apoio;<br />

• Ponto de aplicação da carga em relação ao centro de corte da secção;<br />

• Comprimento do elemento entre secções lateralmente contraventadas;<br />

• Rigidez de flexão lateral;<br />

• Rigidez de torção;


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

• Rigidez de empenamento.<br />

De facto, a resistência de um elemento à encurvadura lateral depende, principalment,e do<br />

valor do momento crítico. Sendo complexa e pouco exequível a dedução de uma expressão<br />

exacta para avaliação do momento crítico em cada caso, adoptam-se, em geral, fórmulas<br />

aproximadas.<br />

Por outro lado, o comportamento de elementos à flexão, no que respeita aos fenómenos de<br />

encurvadura lateral, é análogo ao verificado em elementos à compressão, tendo em conta a<br />

analogia entre Ncr e Mcr, do que:<br />

• A capacidade resistente de elementos pouco esbeltos (muito estáveis) é condicionada<br />

pelo valor do momento plástico da sua secção transversal (Mpl);<br />

• A capacidade resistente de elementos muito esbeltos (pouco estáveis) é condicionada<br />

pelo valor do momento crítico associado à encurvadura lateral (Mcr);<br />

• A capacidade resistente de elementos de esbelteza intermédia é condicionada pelos<br />

valores de Mpl e Mcr (interacção entre fenómenos de plasticidade e instabilidade -<br />

eslasticidade).<br />

O comportamento de uma peça em relação à encurvadura lateral pode ser melhorado de várias<br />

formas, tais como (Simões, 2005):<br />

• Aumentando a rigidez de flexão lateral e/ou torção, aumentando a secção ou passando<br />

de perfis menos estáveis, ou mais esbeltos (tipo IPE) para outros mais estáveis, ou<br />

menos esbeltos (tipo HEA ou HEB) ou ainda para secções tubulares (quadradas,<br />

rectangulares ou circulares);<br />

• Contraventando lateralmente a parte comprimida da secção (banzo comprimido no<br />

caso de secções em I ou H) passível de instabilizar.<br />

Comummente, a segunda solução é mais económica, embora por vezes não seja viável. Os<br />

componentes de contraventamento devem ligar a zona comprimida das secções a pontos com<br />

deslocamento lateral nulo ou muito atenuado, como apoios exteriores ou zonas traccionadas<br />

de perfis adjacentes. Sendo habitual considerar-se estes elementos para resistir a uma<br />

percentagem não inferior a 1% da força máxima de compressão que se pode desenvolver no<br />

elemento a contraventar, o valor de 2.5% será mais recomendável.<br />

Como é óbvio, não é necessário verificar a encurvadura lateral no dimensionamento de<br />

elementos à flexão (Simões, 2005):<br />

EC3 – Volume IV 42


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

• Secções em I ou H flectidas em torno do eixo de menor inércia (a secção jamais<br />

poderá instabilizar segundo o eixo forte);<br />

• Viga contraventada lateralmente por meio de elementos metálicos ou por uma laje em<br />

betão (neste último caso para momentos positivos);<br />

• Secções com elevada rigidez de flexão lateral com torção, como as secções fechadas<br />

ocas (secções com momento crítico muito elevado).<br />

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).<br />

2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral<br />

Dados:<br />

• fy = 235 (MPa ou N/mm 2 ).<br />

•<br />

Verifique a resistência para uma viga com 10m de vão, simplesmente apoiada, com carga<br />

distribuída e momento máximo a meio vão de My,Ed= 600 kNm, não contraventada, logo com<br />

impossibilidade de encurvar livremente.<br />

- Perfil HEA 500, sendo da Classe 1 em flexão pura, conforme tabela acima.<br />

EC3 – Volume IV 43


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

- My,Ed= 600 kNm.<br />

- S235 (fy=235 MPa)<br />

ε =<br />

235<br />

=<br />

fy<br />

λ = 93,<br />

3×<br />

ε =<br />

1<br />

235<br />

235<br />

EC3 – Volume IV 44<br />

= 1<br />

93,<br />

3×<br />

1 = 93,<br />

3<br />

Sendo que “ λ LT ” corresponde a esbelteza normalizada:<br />

Ou:<br />

λ<br />

λ<br />

LT<br />

=<br />

W y,<br />

eff<br />

M<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

5<br />

( λ / λ ) β = ( λ / 93,<br />

3)<br />

× 1<br />

cr<br />

LT = LT 1 w LT<br />

Calculando a esbelteza de forma aproximada por:<br />

0,<br />

9L<br />

/ iz<br />

0,<br />

9×<br />

10 /<br />

λ LT =<br />

=<br />

2<br />

0,<br />

25<br />

⎡<br />

1 ⎛ / ⎞ ⎤ ⎡ 1 ⎛ 10 / ×<br />

0,<br />

5<br />

( ) ⎢1<br />

⎜<br />

L iz<br />

C<br />

⎥ 1×<br />

⎢1<br />

+<br />

1 + ⎟<br />

20 /<br />

⎢ 20 ⎜<br />

⎢ ⎜ ⎟ ⎥<br />

0,<br />

5 / 0,<br />

023<br />

⎣ ⎝<br />

⎣ ⎝ h t f ⎠ ⎦<br />

f<br />

y<br />

−2<br />

( 7,<br />

24×<br />

10 )<br />

−2<br />

( 7,<br />

24 10 )<br />

2<br />

⎞ ⎤<br />

⎟ ⎥<br />

⎠ ⎥⎦<br />

0,<br />

25<br />

=<br />

124<br />

1,<br />

037<br />

=<br />

119,<br />

6<br />

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C1=1,132.<br />

Temos:<br />

λ<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

5<br />

( λ / λ ) β = ( λ / 93,<br />

3)<br />

× 1 = 119,<br />

6 / 93,<br />

3 = 1,<br />

28<br />

LT = LT 1 w LT<br />

Para escolher a curva de encurvadura europeia (em flexão lateral):<br />

h<br />

b<br />

=<br />

500<br />

300<br />

=<br />

1,<br />

67<br />

< 2<br />

Secção Limites Curva da encurvadura<br />

Secções I ou H laminadas<br />

h/b≤2 a<br />

h/b>2 b<br />

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia (em flexão lateral) “a”.<br />

Métodos para calcular o valor de χLT (factor de redução):


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

1º) Pelo gráfico:<br />

χLT ≈ 0.48<br />

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor<br />

da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”.<br />

2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:<br />

3º) Através da utilização da expressão:<br />

Em que:<br />

Sendo “αLT” o factor de imperfeição.<br />

Aplicação das fórmulas apresentadas:<br />

Pois:<br />

χ<br />

LT<br />

=<br />

φ<br />

LT<br />

+<br />

χ<br />

LT<br />

φ<br />

φ<br />

χ LT<br />

2<br />

LT<br />

≈ 0,<br />

48<br />

=<br />

1<br />

, mas com χ ≤ 1.<br />

φ + φ − λ<br />

1<br />

LT<br />

2<br />

LT<br />

LT<br />

EC3 – Volume IV 45<br />

2<br />

LT<br />

_ ⎡ ⎛ ⎞ −2 ⎤<br />

= 0, 5⎢1<br />

+ α LT . ⎜λLT<br />

− 0,<br />

2⎟<br />

+ λLT<br />

⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

− λ<br />

2<br />

LT<br />

=<br />

1,<br />

43+<br />

1<br />

=<br />

2 2<br />

1,<br />

43 −1,<br />

28<br />

0,<br />

484<br />

≤1,<br />

Ok!


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

φ LT<br />

φ<br />

LT<br />

= 0,<br />

5<br />

_ ⎡ ⎛ ⎞ −2 ⎤<br />

= 0, 5⎢1<br />

+ α LT . ⎜λLT<br />

− 0,<br />

2⎟<br />

+ λLT<br />

⎥<br />

⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />

2 [ 1+<br />

0,<br />

21(<br />

1,<br />

28 − 0,<br />

2)<br />

+ 1,<br />

28 ] = 1,<br />

43<br />

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à<br />

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):<br />

N<br />

b,<br />

Rd<br />

χ<br />

=<br />

LT<br />

× Wy<br />

× f<br />

γ<br />

M 1<br />

y<br />

χ<br />

=<br />

LT<br />

× W<br />

γ<br />

y,<br />

pl<br />

M 1<br />

× f<br />

y<br />

−6<br />

3<br />

0,<br />

484×<br />

3949×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

=<br />

= 449kNm<br />

1<br />

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 600 kNm, segundo<br />

esta metodologia.<br />

Se optasse-mos por determinar a esbelteza normalizada através da expressão:<br />

Aproximadamente:<br />

π<br />

M C GI EI<br />

E<br />

CR = 1<br />

L<br />

T z<br />

2<br />

w 1+<br />

2<br />

LGIT<br />

λ<br />

⎛ π EI ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

LT<br />

=<br />

W y,<br />

eff<br />

EC3 – Volume IV 46<br />

M<br />

cr<br />

f<br />

y<br />

2<br />

⎛ × 210E6× 5643E−9⎞ ⎜ 2<br />

⎟<br />

π<br />

= 1<br />

10<br />

π<br />

80,8E6× 309,3E− 8× 210E6× 10370E− 8 1+<br />

⎝ 10 × 80,8E6× 309,3E−8⎠ π<br />

=<br />

10<br />

π<br />

5437107× ( 1,47) =<br />

10<br />

7984096 = 887kNm<br />

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C1=1,132 (de<br />

notar que se utilizou um valor conservativo para “C1”, mas tal foi o critério utilizado nos 2<br />

métodos, não surgindo daí conflito numérico).<br />

Do que:<br />

λ<br />

LT<br />

=<br />

W<br />

M<br />

y,<br />

pl<br />

cr<br />

f<br />

y<br />

=<br />

−6<br />

3949×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

887<br />

3<br />

=<br />

928<br />

887<br />

=<br />

1,<br />

05<br />

= 1,<br />

025<br />

O que surge como um valor inferior ao calculado pelo outro processo e do qual surgiria um<br />

momento resistente superior (≈ 613kNm, para χLT ≈ 0.65) e satisfatório.<br />

De reparar que esta disparidade não é de estranhar, dado a forma como chegamos ao factor de<br />

redução (χLT) é bastante diferente.


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

De reparar que se aproveitássemos o método alternativo, aplicável a secções laminadas ou<br />

soldadas equivalentes, surgiria:<br />

LT<br />

2<br />

[ 1+<br />

α ( λ −λ<br />

) β λ ]<br />

φ =<br />

+<br />

0, 5 LT LT LT , o LT<br />

Em que são recomendados actualmente os seguintes valores limites:<br />

⎧λLT<br />

, 0 ≤ 0,<br />

4<br />

• ⎨<br />

⎩β<br />

≥ 0,<br />

75<br />

Então, por exemplo, com:<br />

•<br />

Teríamos:<br />

φ<br />

LT<br />

⎧λLT<br />

, 0 = 0,<br />

4<br />

⎨<br />

⎩β<br />

= 0,<br />

86<br />

2<br />

[ 1+<br />

α ( λ − λ ) + β λ ] = 0,<br />

51<br />

+ 0,<br />

21(<br />

1,<br />

28 − 0,<br />

4)<br />

+ 0,<br />

86×<br />

( 1,<br />

28)<br />

= 0,<br />

5 LT LT LT , o LT<br />

χ<br />

LT<br />

=<br />

φ<br />

LT<br />

+<br />

φ<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

− λ<br />

2<br />

LT<br />

=<br />

1,<br />

3+<br />

2<br />

[ ] = 1,<br />

3<br />

1<br />

=<br />

2 2<br />

1,<br />

3 −1,<br />

28<br />

0,<br />

65<br />

≤1,<br />

Ok!<br />

Ou seja, o momento crítico elástico em consideração corresponde à viga ser de secção<br />

transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, o que é caso, pelo que é correcto utilizar o<br />

método alternativo. É normal que, por processos diferentes mas igualmente legítimos e<br />

normativos, se chegue a variações que podem chegar a 20 a 30%.<br />

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial<br />

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada a um<br />

terço do vão, segundo o eixo fraco (zz´s).<br />

O raciocínio seria o mesmo, contudo o comprimento de encurvadura (LCr) cairia para<br />

10m×(2/3), dado o travamento ser a 1/3, restando 2/3 do vão sem contraventamento.<br />

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento segundo<br />

o eixo fraco (zz’s)<br />

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada segundo<br />

o eixo fraco (zz´s), em toda a sua extensão.<br />

Neste caso estaríamos na presença de χLT ≈ 1, ou seja, não haveria possibilidade de<br />

encurvadura lateral (ou bambeamento).<br />

EC3 – Volume IV 47


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas<br />

Averiguar a estabilidade lateral de uma viga de ponte grua formada por uma secção de 750 x<br />

222 x 222 (IPE) com um perfil em Ou de 400 x 110 x 71,8 unido ao banzo superior, com aço<br />

S235.<br />

Os pontos de encastramento efectivo lateral e contraventamento estão a intervalos de 10 m e o<br />

momento de rotura de cálculo é 2000 kNm.<br />

Propriedades das secções:<br />

Secções em U Secções em I<br />

Secções compostas:<br />

EC3 – Volume IV 48


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Para calcular é necessário calcular antes o momento elástico crítico Mcr.<br />

Então, para um valor de kw = 1,0 e k = 1:<br />

(Note-se que C2 não faz falta)<br />

Já que o eixo neutro plástico (PNA) está na viga, o módulo plástico pode-se calcular deste<br />

modo:<br />

EC3 – Volume IV 49


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Área abaixo do diagrama<br />

(Ver diagrama) = Área abaixo do PNA - Área abaixo da linha central<br />

Portanto:<br />

Modulo plástico da viga carril:<br />

Sendo:<br />

Aplicando a curva (a) 5.5.2 do Eurocódigo 3<br />

Que supera o valor de “Msd” de 2000 kN.<br />

Adopta-se esta secção.<br />

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas<br />

Kz=Kw<br />

1<br />

EC3 – Volume IV 50


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Kw=1<br />

⎧C1<br />

= 1,<br />

35<br />

⎪<br />

⎨C2<br />

= 0,<br />

59 Segundo o quadro da página 71<br />

⎪<br />

⎩C3<br />

= 0,<br />

411<br />

M<br />

cr<br />

M cr<br />

= C<br />

1<br />

⎡⎡<br />

2 ⎢ ⎛<br />

π × E × Iz ⎢⎜<br />

×<br />

× 2 ⎢⎢⎣<br />

⎝<br />

( Kz × l)<br />

⎢<br />

⎢⎣<br />

−<br />

2<br />

3<br />

π × 210×<br />

10 × 29954×<br />

10<br />

= 1,<br />

35 ×<br />

2<br />

12000<br />

= 16974,<br />

7KNm<br />

Ou, pela expressão genérica:<br />

( ) ( )<br />

( )<br />

( ) ⎥ ⎥⎥⎥<br />

2<br />

0.<br />

5<br />

2<br />

2<br />

Kz ⎞ Iw Kz × l Kz × l × G × i<br />

⎤<br />

t<br />

2<br />

⎟ × + +<br />

+ C2zg<br />

− C3zj<br />

2<br />

⎥<br />

Kw ⎠ Iz Iz H × E × Iz<br />

⎥⎦<br />

C2zj<br />

− C3zj<br />

4<br />

⎡<br />

12<br />

⎡ 2 2340,<br />

6×<br />

10<br />

⎢⎢1<br />

×<br />

+ 4<br />

⎢⎢<br />

29954×<br />

10<br />

⎢<br />

2<br />

⎢ 12000 × 81000 × 686,<br />

6×<br />

10<br />

⎢⎢+<br />

2<br />

3<br />

× ⎢ π × 210×<br />

10 × 29954×<br />

10<br />

⎢<br />

⎢⎢<br />

⎢⎢<br />

⎢⎣<br />

⎢<br />

⎣−<br />

( )<br />

( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥<br />

2<br />

+ 0,<br />

59 − 0,<br />

411×<br />

236,<br />

2 ⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

0,<br />

59 − 0,<br />

411×<br />

236,<br />

2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

E π ⎛ π EI ⎞ w π ⎛ π EI ⎞ w π EI ⎛ z π EI ⎞ w<br />

MCR = C1 GITEIz⎜1+ C 2 ⎟ = 1 GI 1<br />

2 T EIz⎜ + C 2 ⎟ = 1 GI 2 ⎜ T + 2 ⎟<br />

L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L GIT ⎠ L ⎝ L ⎠<br />

M<br />

E<br />

CR<br />

E<br />

M CR<br />

M<br />

λ<br />

cr<br />

LT<br />

2<br />

6<br />

12<br />

π<br />

6<br />

4<br />

3<br />

4 ⎛ π 210×<br />

10 × 2340,<br />

6×<br />

10 I ⎞ w<br />

= 81×<br />

10 × 686,<br />

6×<br />

10 × 210×<br />

10 × 29954×<br />

10<br />

⎜<br />

⎜1+<br />

⎟<br />

2<br />

4<br />

4<br />

⎝ 12000 × 81000×<br />

686,<br />

6×<br />

10 ⎠<br />

= 12150,<br />

7<br />

= α × M<br />

=<br />

m<br />

W<br />

M<br />

pl,<br />

y<br />

CR<br />

E<br />

CR<br />

f<br />

y<br />

= 1 , 35×<br />

12150,<br />

7 = 16403,<br />

4KNm<br />

=<br />

−6<br />

10438×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

16403,<br />

4<br />

2<br />

[ 1+<br />

α LT ( λLT<br />

− 0,<br />

2)<br />

λ ]<br />

φ LT = 0, 5<br />

+ LT<br />

φ<br />

LT<br />

= 0,<br />

5<br />

2 [ 1+<br />

0,<br />

21(<br />

0,<br />

39 − 0,<br />

2)<br />

+ 0,<br />

39 ] = 0,<br />

60<br />

3<br />

=<br />

0,<br />

39<br />

EC3 – Volume IV 51<br />

4<br />

4<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

+ ⎥<br />

⎥<br />

0.<br />

5<br />

⎤<br />

⎦<br />

⎤<br />


χ<br />

Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

LT<br />

χ LT<br />

M<br />

=<br />

=<br />

d , Rd<br />

φ<br />

LT<br />

0,<br />

6<br />

+<br />

+<br />

= χ W<br />

LT<br />

φ<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

1<br />

0,<br />

6<br />

2<br />

PL,<br />

Y<br />

− β λ<br />

−<br />

γ<br />

f<br />

LT<br />

0,<br />

39<br />

y<br />

M 1<br />

2<br />

2<br />

=<br />

0,<br />

95<br />

= 0.<br />

95×<br />

8225×<br />

10<br />

−6<br />

235×<br />

10<br />

×<br />

1<br />

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas<br />

EC3 – Volume IV 52<br />

3<br />

= 1836,<br />

23<br />

Uma viga de 9,8 m de vão está carregada por vigas transversais situadas a 4,3 m e 6,6 m do<br />

extremo esquerdo. Ambos extremos da viga, e os dois pontos onde incide a carga, podem<br />

considerar-se totalmente restringidos lateralmente à torção.<br />

A composição de momentos na viga é:<br />

A - Extremo esquerdo: M = 130 kNm<br />

B - Ponto 1ª da viga: M = 260 kNm<br />

C - Ponto 2ª viga: M = 208 kNm<br />

D - Extremo direito: M = 0 kNm<br />

Verificar se uma secção de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço S235 satisfaz. Todos os momentos<br />

correspondem a carga de rotura. A viga e o diagrama de momentos:


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Há que comprovar a estabilidade lateral dos segmentos AB, BC e CD.<br />

Propriedades da secção:<br />

Segundo a tabela F.1, notando que k = 1<br />

Aplicando a curva (a), tabela 5.5.2 do Eurocódigo 3<br />

EC3 – Volume IV 53


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Já que a resistência à encurvadura é maior do que o momento aplicado em cada segmento,<br />

adopte-se a secção 500 x 200 x 90, 7 IPE.<br />

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas<br />

Comprovar a capacidade de uma peça de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço Fe360 para suportar<br />

uma sobrecarrega de 24 kN repartida uniformemente num vão de 6 m.<br />

EC3 – Volume IV 54


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Os extremos estão unidos pela alma aos banzos dos pilares, mediante eixos duplos,<br />

simplesmente apoiada.<br />

Com os extremos restringidos deste modo, é razoável supor que a viga trabalha como se<br />

estivesse simplesmente apoiada, num plano vertical e com restrição total contra a flexão<br />

lateral e a torção nestes pontos. Para simplificar este primeiro problema, presume-se que a<br />

carga incide à altura do centro de corte (que coincide com o centróide ou centro de<br />

gravidade). Pode incluir-se carga no banzo superior para o cálculo de λLT.<br />

Classificação da secção:<br />

→ A secção escolhida é da classe 1.<br />

EC3 – Volume IV 55


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Segundo a Tabela F.1.2, para carga repartida e vendo que não há restrição presente aos<br />

extremos e que k = 1,0:<br />

Sendo:<br />

Para um vão de 6m, simplesmente apoiado:<br />

Como o momento de resistência supera este valor, a secção verifica.<br />

Adopte-se: 500 x 200 x 90,7 (IPE).<br />

EC3 – Volume IV 56


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída<br />

A viga representada na figura abaixo é simplesmente apoiada. Para um carregamento<br />

constituído por uma carga uniformemente distribuída de 25 kN/m, (já majorada), seleccione a<br />

viga económica e segura utilizando um perfil HEA, em aço S355 (E = 210 GPa e G = 81<br />

GPa), segundo o EC3-1-1, 2010 (versão portuguesa). Despreze-se a restrição à flexão vertical<br />

(em torno de y), à flexão lateral (em torno de z) e ao empenamento nas secções fora dos<br />

apoios. Considere, no entanto, que o tipo de ligação utilizada impede a rotação das secções de<br />

apoio em torno do eixo da viga (eixo x), nos apoios.<br />

i) Diagrama de esforços<br />

Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída<br />

Para o carregamento indicado, considerado a verificação do estado limite último de<br />

resistência, obtém-se os diagramas de esforços indicados na figura abaixo. Como a viga não é<br />

restringida lateralmente, o seu dimensionamento é condicionado pela verificação da<br />

resistência das secções mais esforçadas, mas também pela possibilidade de encurvar, bem<br />

como pela verificação do estado limite de deformação.<br />

Diagramas de esforços<br />

EC3 – Volume IV 57


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Analisando os diagramas de esforços, verificam-se MEd = 200.0 kNm e VEd = 100.0 kN,<br />

dado a secção se meio vão ser a mais esforçada e com igual possibilidade de encurvar.<br />

Na verificação da estabilidade da viga considera-se a possibilidade de não ser contraventada<br />

lateralmente nas secções de aplicação das cargas.<br />

ii) Pré-dimensionamento à flexão – efectuando um pré-dimensionamento à flexão, admitindo<br />

uma secção de classe 1 ou 2, obtém-se a seguinte solução:<br />

=<br />

≤<br />

×<br />

×<br />

⇒<br />

3<br />

−6<br />

3<br />

3<br />

M Ed 200. 0 Wpl,<br />

y 355 10 / 1.<br />

0 Wpl,<br />

y 563.<br />

4 10 m 563.<br />

4cm<br />

HEA 240 (Wpl,y = 744.6 cm3 ).<br />

iii) Verificação da classe da secção (Quadro 5.2 do EC3-1-1)<br />

Secção de Classe1:<br />

Alma à flexão,<br />

Banzo à compressão,<br />

c<br />

t<br />

Secção de Classe 2:<br />

Banzo à compressão,<br />

Secção de Classe 2:<br />

Banzo à compressão,<br />

c<br />

t<br />

164<br />

= = 21.<br />

9 < 72ε<br />

= 72×<br />

0.<br />

81 =<br />

7.<br />

5<br />

EC3 – Volume IV 58<br />

≥<br />

58.<br />

3<br />

240 / 2 − 7.<br />

5/<br />

2 − 21<br />

= = 7.<br />

9 < 9ε<br />

= 9×<br />

0.<br />

81 =<br />

12<br />

×<br />

7.<br />

3<br />

c 240 / 2 − 7.<br />

5 / 2 − 21<br />

= = 7.<br />

9 < 10ε<br />

= 10×<br />

0.<br />

81 = 8.<br />

1<br />

t 12<br />

c 240 / 2 − 7.<br />

5 / 2 − 21<br />

= = 7.<br />

9 < 10ε<br />

= 10×<br />

0.<br />

81 = 8.<br />

1<br />

t 12<br />

OK!<br />

=<br />

KO!<br />

OK!<br />

OK!


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Logo, conforme os cálculos, a secção HEA 240 submetida a flexão, em aço S355, é de classe<br />

2.<br />

iv) Verificação do esforço transverso<br />

Sendo a área de corte da secção HEA 240 dada por por Av = 25.18 cm2, vem:<br />

Como<br />

h<br />

VEd = 100.<br />

0kN<br />

< Vc<br />

Rd = V pl Rd =<br />

,<br />

,<br />

25.<br />

18×<br />

10<br />

× 355×<br />

10<br />

1.<br />

0<br />

3<br />

= 516.<br />

1kN<br />

EC3 – Volume IV 59<br />

−4<br />

/ = 206 / 7.<br />

5 = 27.<br />

5 < 72ε<br />

/ η = 72×<br />

0.<br />

81/<br />

1 =<br />

w tw<br />

58.<br />

3<br />

= 1), não é necessário verificar a encurvadura por esforço transverso.<br />

3<br />

/<br />

(tomando conservativamente η<br />

Logo a secção HEA 240 verifica a segurança em relação ao esforço transverso.<br />

v) Interacção flexão – esforço transverso<br />

VEd = 100 . 0kN<br />

< 50%<br />

V pl,<br />

Rd = 258.<br />

1kN<br />

Como<br />

por causa do esforço transverso.<br />

vi) Verificação do estado limite de deformação<br />

, não é necessário reduzir o momento resistente<br />

A seguir verifica-se o estado limite imposto para a deformação vertical máxima, para uma<br />

viga simplesmente apoiada com o carregamento em análise, o deslocamento máximo, a meio<br />

vão, é dado por (para carga uniformemente distribuída):<br />

δ<br />

máx<br />

4<br />

5pl<br />

=<br />

384EI<br />

Sendo “EI” a rigidez de flexão da secção transversal da viga.<br />

Para a secção HEA 220, o deslocamento máximo é dado por:<br />

δ<br />

máx<br />

4<br />

4<br />

5pl<br />

5×<br />

100×<br />

8<br />

=<br />

6<br />

384EI<br />

384×<br />

210×<br />

10 × 7763×<br />

10<br />

= −8<br />

L<br />

= 0.<br />

327m<br />

= 327mm<br />

> = 26.<br />

7mm<br />

300


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Logo insuficiente.<br />

Passando à secção HEA 500, obtém-se:<br />

δ<br />

máx<br />

4<br />

4<br />

5pl<br />

5×<br />

100×<br />

8<br />

=<br />

6<br />

384EI<br />

384×<br />

210×<br />

10 × 86970×<br />

10<br />

= −8<br />

Também insuficiente. Passando à secção HEA 550, obtém-se:<br />

δ<br />

máx<br />

4<br />

4<br />

5pl<br />

5×<br />

100×<br />

8<br />

=<br />

6<br />

384EI<br />

384×<br />

210×<br />

10 × 111900×<br />

10<br />

= −8<br />

Logo a solução é a secção HEA 550 com<br />

W pl , y<br />

L<br />

= 0.<br />

0292m<br />

= 29.<br />

2mm<br />

> = 26.<br />

7mm<br />

300<br />

L<br />

= 0.<br />

0227m<br />

= 22.<br />

7mm<br />

< = 26.<br />

7mm<br />

300<br />

= 4622cm<br />

vii) Encurvadura lateral (sem contraventamentos intermédios)<br />

EC3 – Volume IV 60<br />

3<br />

e A = 83.72cm2 .<br />

Considerando um perfil da série HEA, tendo em conta o efeito da encurvadura lateral,<br />

agravado pelo facto do elemento não ter qualquer elemento de contraventamento lateral,<br />

adopta-se a secção HEA 550.<br />

As principais características geométricas desta secção são: Wpl,y = 4622 cm3 , Iy = 111900<br />

cm4 , Iz = 10820 cm4 , IT = 351.50 cm4 e IW = 7189×10–3 cm6 .<br />

As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G =<br />

81 GPa.<br />

De acordo com os dados fornecidos, as condições de apoio da viga em análise são<br />

semelhantes às do “caso padrão”, considerado no estudo da encurvadura lateral. Sendo o<br />

carregamento constituído por uma carga uniformemente distribuída, aplicada no banzo<br />

superior, o momento crítico pode ser obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto):<br />

M<br />

cr<br />

0.<br />

5<br />

2 ⎧ 2<br />

⎫<br />

⎪<br />

⎡<br />

2<br />

π EI ⎛ ⎞<br />

⎤<br />

z k z IW<br />

( k z L)<br />

GIT<br />

2<br />

⎪<br />

= C ⎨⎢<br />

⎜<br />

⎟<br />

1 + + ( C2<br />

z − 3 ) ⎥ − ( 2 − 3 )<br />

2<br />

2<br />

g C z j C z g C z j ⎬<br />

( k z L)<br />

⎪⎢<br />

⎥<br />

⎩⎣⎝<br />

k w ⎠ I z π EI z<br />

⎦<br />

⎪<br />

⎭<br />

Sendo L = 8.00 m, considerando kz = kw = 1.0, C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (obtidos<br />

no Anexo 1 deste texto):<br />

z g =<br />

( za<br />

− zs<br />

)


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em<br />

relação ao centro de gravidade da secção:<br />

z g<br />

⎡⎛<br />

540 ⎞ ⎛ 540 ⎞⎤<br />

= ⎢⎜<br />

⎟ − ⎜ ⎟ = 0<br />

2 2<br />

⎥<br />

⎣⎝<br />

⎠ ⎝ ⎠⎦<br />

Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y,<br />

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos<br />

iguais).<br />

M cr<br />

2<br />

6<br />

π 210 × 10 × 10820 × 10<br />

= 1.<br />

12<br />

2<br />

( 1×<br />

8)<br />

−8<br />

⎧ 2 ⎡<br />

−15<br />

2 6<br />

⎪ ⎛1<br />

⎞ 7189 × 10 ( 1×<br />

8)<br />

81×<br />

10 × 351.<br />

50 × 10<br />

⎢⎜<br />

⎟<br />

+ −8<br />

2<br />

6<br />

−8<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎢⎝1<br />

⎠ 10820 × 10 π 210 × 10 × 10820 × 10<br />

⎪<br />

⎢<br />

2<br />

⎣+<br />

( 0.<br />

45×<br />

0 − 0.<br />

525×<br />

0)<br />

⎪<br />

⎩−<br />

( 0.<br />

45×<br />

0 − 0.<br />

525×<br />

0)<br />

= 1118.<br />

7kNm<br />

M cr<br />

λ<br />

LT<br />

⎛W<br />

y f<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ M cr<br />

Wy = Wp,y em secções de classe 1 e 2; Wpl,y = 4622×10– 6 m3.<br />

λ<br />

LT<br />

⎛W<br />

y f<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ M cr<br />

y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

EC3 – Volume IV 61<br />

y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

−6<br />

⎛ 4622×<br />

10 × 355×<br />

10<br />

= ⎜<br />

⎝ 1118.<br />

7<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

= 1.<br />

21<br />

Sendo α LT = 0.<br />

21<br />

(curva a) - secção laminada em H, com h / b = 540/300 = 1.8 < 2<br />

2<br />

[ 1+<br />

α ( λ LT − 0.<br />

2)<br />

λ ]<br />

φ = 0. 5<br />

+ LT<br />

φ LT<br />

LT<br />

χ LT<br />

= 0.<br />

5<br />

χ<br />

=<br />

LT<br />

2 [ 1+<br />

0.<br />

21(<br />

1.<br />

21−<br />

0.<br />

2)<br />

+ 1.<br />

21 ] = 1.<br />

34<br />

LT<br />

=<br />

1.<br />

34<br />

φ<br />

+<br />

LT<br />

+ ( φ<br />

1<br />

2<br />

( 1.<br />

34<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

− λ<br />

−1.<br />

21<br />

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:<br />

2<br />

LT<br />

2<br />

)<br />

)<br />

0.<br />

5<br />

0.<br />

5<br />

=<br />

0.<br />

52<br />

3<br />

−6<br />

355×<br />

10<br />

M b,<br />

Rd = 0.<br />

52×<br />

4622×<br />

10 × = 853.<br />

2kNm<br />

> M Ed = 200.<br />

0kNm<br />

1.<br />

0<br />

−8<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

0.<br />

5<br />

⎫<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎬<br />

⎪<br />

⎪<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

A classe da secção HEA 550 é obtida com base na verificação das seguintes condições<br />

(Quadro 5.2 do EC3-1-1):<br />

• Alma à flexão,<br />

c<br />

t<br />

• Banzo à compressão,<br />

438<br />

= = 35.<br />

0 < 72ε<br />

= 72×<br />

0.<br />

81 =<br />

12.<br />

5<br />

c<br />

t<br />

Secção HEA 550 é de classe 1.<br />

58.<br />

3<br />

(Classe 1)<br />

300 / 2 −12.<br />

5/<br />

2 − 27<br />

= = 4.<br />

9 < 9ε<br />

= 9×<br />

0.<br />

81 =<br />

24<br />

viii) Encurvadura lateral (com contraventamentos intermédios)<br />

EC3 – Volume IV 62<br />

7.<br />

3<br />

(Classe 1)<br />

Se a viga for contraventada lateralmente a meio vão (através de uma viga secundária ou outro<br />

dispositivo que impeça os deslocamentos laterais do banzo comprimido e, consequentemente,<br />

as rotações dessas secções em torno do eixo da viga) o comportamento em relação à<br />

encurvadura lateral é beneficiado. O problema agora consiste em avaliar a resistência à<br />

encurvadura lateral do troço de viga com 4.00m de comprimento, submetido a um diagrama<br />

de momentos flectores constante (MEd = 200.0 kNm), como se ilustra na abaixo. O momento<br />

crítico da viga não é agravado pelo facto de a carga ser aplicada no banzo superior, pois são<br />

aplicadas em secções assumidas como lateralmente contraventadas.<br />

Viga contraventada lateralmente a meio vão


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Para o perfil HEA 550 em aço S 355, as principais características geométricas desta secção<br />

são: Wpl,y = 3949 cm3 , Iy = 86970 cm4 , Iz = 10370 cm4 , IT = 309.30 cm4 e IW =<br />

5643×10–3 cm6 .<br />

As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G =<br />

81 GPa.<br />

O momento crítico obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto):<br />

M<br />

cr<br />

0.<br />

5<br />

2 ⎧ 2<br />

⎫<br />

⎪<br />

⎡<br />

2<br />

π EI ⎛ ⎞<br />

⎤<br />

z k z IW<br />

( k z L)<br />

GIT<br />

2<br />

⎪<br />

= C ⎨⎢<br />

⎜<br />

⎟<br />

1 + + ( C2<br />

z − 3 ) ⎥ − ( 2 − 3 )<br />

2<br />

2<br />

g C z j C z g C z j ⎬<br />

( k z L)<br />

⎪⎢<br />

⎥<br />

⎩⎣⎝<br />

k w ⎠ I z π EI z<br />

⎦<br />

⎪<br />

⎭<br />

Sendo L = 4.00 m, considerando kz = kw = 1.0 , C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (Anexo 1<br />

deste texto);<br />

z g = ( za<br />

− zs<br />

)<br />

Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em<br />

relação ao centro de gravidade da secção:<br />

z g<br />

⎡⎛<br />

540 ⎞ ⎛ 540 ⎞⎤<br />

= ⎢⎜<br />

⎟ − ⎜ ⎟ = 0<br />

2 2<br />

⎥<br />

⎣⎝<br />

⎠ ⎝ ⎠⎦<br />

Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y,<br />

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos<br />

iguais).<br />

M cr<br />

2<br />

6<br />

π 210×<br />

10 × 10370 × 10<br />

= 1.<br />

12<br />

2<br />

( 1×<br />

4)<br />

−8<br />

⎧ 2 ⎡<br />

−15<br />

2 6<br />

⎪ ⎛1<br />

⎞ 5643×<br />

10 ( 1×<br />

4)<br />

81×<br />

10 × 309.<br />

3×<br />

10<br />

⎢⎜<br />

⎟<br />

+ −8<br />

2<br />

6<br />

−8<br />

⎪<br />

⎨<br />

⎢⎝1<br />

⎠ 10370 × 10 π 210 × 10 × 10370 × 10<br />

⎪<br />

⎢<br />

2<br />

⎣+<br />

( 0.<br />

45×<br />

0 − 0.<br />

525×<br />

0)<br />

⎪<br />

⎩−<br />

( 0.<br />

45×<br />

0 − 0.<br />

525×<br />

0)<br />

M cr<br />

λ<br />

LT<br />

= 2054.<br />

7kNm<br />

⎛W<br />

y f<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ M cr<br />

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 3949×10– 6 m3.<br />

λ<br />

LT<br />

⎛W<br />

y f<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ M cr<br />

y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

EC3 – Volume IV 63<br />

y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

−6<br />

⎛ 3949×<br />

10 × 355×<br />

10<br />

= ⎜<br />

⎝ 2054.<br />

7<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

=<br />

0.<br />

83<br />

Sendo α LT = 0.<br />

21<br />

(curva a) ; secção laminada em H, com h / b = 490/300 = 1.6 < 2<br />

−8<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

0.<br />

5<br />

⎫<br />

⎪<br />

⎪<br />

⎬<br />

⎪<br />

⎪<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

φ LT<br />

2<br />

[ 1+<br />

α ( λ LT − 0.<br />

2)<br />

λ ]<br />

φ = 0. 5<br />

+ LT<br />

LT<br />

= 0.<br />

5<br />

χ LT<br />

LT<br />

2 [ 1+<br />

0.<br />

21(<br />

0.<br />

83 − 0.<br />

2)<br />

+ 0.<br />

83 ] = 0.<br />

91<br />

χ<br />

LT<br />

=<br />

φ<br />

LT<br />

+ ( φ<br />

EC3 – Volume IV 64<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

− λ<br />

2<br />

LT<br />

1<br />

=<br />

2 2<br />

0.<br />

91+<br />

( 0.<br />

91 − 0.<br />

83 )<br />

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:<br />

)<br />

0.<br />

5<br />

0.<br />

5<br />

=<br />

0.<br />

78<br />

3<br />

−6<br />

355×<br />

10<br />

M b,<br />

Rd = 0.<br />

78×<br />

3949×<br />

10 × = 1093.<br />

5kNm<br />

> M Ed = 200.<br />

0kNm<br />

1.<br />

0<br />

Logo o perfil HEA 500 em aço S 355 é a solução. A secção submetida a flexão pertence à<br />

classe 1.<br />

2.2.7. Viga em consola<br />

Dimensione a viga em consola ilustrada na figura abaixo, utilizando uma secção IPE em aço<br />

S355 (E = 210 GPa e G = 81 GPa), para o carregamento indicado, aplicado no banzo superior<br />

do perfil. Verifique o estado limite último de resistência (γ = 1.50) e o estado limite de<br />

deformação (γ = 1.00), considerando um deslocamento máximo admissível de L/200.<br />

Viga em consola com uma carga uniformemente distribuida


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

i) Flexão e esforço transverso<br />

Diagramas de esforços<br />

Majorando as cargas com γ = 1.50, a viga fica submetida a um esforço transverso, com VA =<br />

62.50×1.5 = 93.8 kN e VB = 0.0 kN e a um momento flector, com MA = 78.13×1.5 = 117.2<br />

kNm e MB = 0.0 kN .<br />

Por conseguinte os esforços de dimensionamento são: VEd = 93.8 kN e MEd = 117.2 kN .<br />

Como se trata de uma viga em consola procede-se ao pré-dimensionamento da secção de<br />

forma a limitar a deformação máxima na secção de extremidade (estado limite de<br />

deformação), considerando uma carga dada por<br />

EC3 – Volume IV 65<br />

p Ed<br />

= 1 . 00×<br />

25 = 25kN<br />

/ m<br />

.<br />

Com base na fórmula de cálculo do deslocamento elástico na secção de extremidade de uma<br />

consola submetida a uma carga uniformemente distribuída, obtém-se:<br />

δ<br />

máx<br />

= δ<br />

B<br />

=<br />

p Ed<br />

L<br />

8EI<br />

4<br />

4<br />

25×<br />

2.<br />

5 L 2.<br />

5<br />

=<br />

≤ = = 0.<br />

0125m<br />

= 12.<br />

5mm<br />

6<br />

8×<br />

210×<br />

10 I 200 200<br />

⇒ I ≥<br />

=<br />

−5<br />

4<br />

4<br />

4. 6503×<br />

10 m 4650.<br />

3cm


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Consultando uma tabela de perfis da série IPE, obtém-se a secção IPE 270 com Iy = 5790<br />

cm4.<br />

Admitindo que a secção anterior pertence à classe 1 ou 2, o seu momento flector resistente é<br />

dado por:<br />

M c Rd = W pl y f y / γ MO = 484.<br />

0 × 10<br />

,<br />

,<br />

× 355×<br />

10<br />

Sendo a resistência à flexão verificada através da condição:<br />

/ 1.<br />

0<br />

EC3 – Volume IV 66<br />

−6<br />

M c,<br />

Rd = 171.<br />

8kNm<br />

> M Ed = 117.<br />

2kNm<br />

3<br />

= 171.<br />

8kNm<br />

,<br />

Sendo a área de corte dada por Av = 22.14 cm2, a resistência da secção ao esforço transverso<br />

é verificada através da seguinte condição:<br />

V<br />

Ed<br />

= 93.<br />

8kN<br />

< V<br />

pl,<br />

Rd<br />

=<br />

γ<br />

A<br />

v<br />

MO<br />

f<br />

y<br />

3<br />

=<br />

22.<br />

14×<br />

10<br />

1.<br />

0<br />

−4<br />

×<br />

× 355×<br />

10<br />

Para a alma não reforçada, considerando conservativamente η = 1, vem:<br />

h<br />

t<br />

w<br />

w<br />

=<br />

249.<br />

6<br />

6.<br />

6<br />

=<br />

37.<br />

8<br />

3<br />

ε 0.<br />

81<br />

< 72 = 72 × =<br />

η 1.<br />

0<br />

58.<br />

3<br />

3<br />

= 453.<br />

8kN<br />

Logo, segundo 6.2.6 (6) do EC3-1-1, é dispensada a verificação da encurvadura da alma por<br />

esforço transverso.<br />

A interacção entre o momento flector e o esforço transverso (segundo 6.2.8 do EC3-1-1) deve<br />

ser verificada na secção de encastramento.<br />

Como nessa secção:<br />

VEd pl Rd<br />

= 93 . 8kN<br />

< 0.<br />

50×<br />

V , = 0.<br />

50×<br />

453.<br />

8 = 226.<br />

9kN<br />

Não é necessário reduzir o momento flector resistente da secção.<br />

A verificação da classe da secção, segundo 5.5 do EC3-1-1, é efectuada com base nas<br />

seguintes condições:<br />

Alma do perfil à flexão,<br />

Banzo comprimido do perfil,<br />

c / t = 219.<br />

6 / 6.<br />

6 = 33.<br />

3 < 72ε<br />

= 72 × 0.<br />

81 =<br />

58.<br />

3


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

c<br />

t<br />

135/<br />

2 − 6.<br />

6 / 2 −15<br />

= = 4.<br />

8 < 9ε<br />

= 9×<br />

0.<br />

81 =<br />

10.<br />

2<br />

Como ambas as partes da secção são de classe 1, a secção é globalmente de classe 1, sendo<br />

válida a hipótese considerada na verificação da flexão.<br />

ii) Encurvadura lateral<br />

A secção pré-dimensionada (IPE 270) possui as seguintes propriedades geométricas: Iz =<br />

419.9 cm4 , IT = 15.94 cm4 , IW = 70.6×10–3 cm6 , Wpl,y = 484.4 cm3 .<br />

Para o material utilizado, as principais propriedades mecânicas são: E = 210 GPa , G = 81<br />

GPa e fy = 355 MPa .<br />

De acordo com Anexo 1 deste texto:<br />

M<br />

cr<br />

Onde:<br />

= 27<br />

EI<br />

z<br />

L<br />

GI<br />

T<br />

⎡<br />

⎢1<br />

+<br />

⎢⎣<br />

K<br />

1.<br />

4(<br />

ε − 0.<br />

1)<br />

1+<br />

1.<br />

96(<br />

ε − 0.<br />

1)<br />

π EI<br />

2<br />

⎤<br />

⎥ + 10(<br />

K − 2)<br />

⎥⎦<br />

EC3 – Volume IV 67<br />

EI<br />

z<br />

L<br />

GI<br />

2<br />

6<br />

−5<br />

π × 210×<br />

10 × 70.<br />

6×<br />

10<br />

6<br />

8<br />

81×<br />

10 × 15.<br />

94×<br />

10 × 2.<br />

5<br />

=<br />

2<br />

W<br />

2<br />

GIT<br />

L<br />

=<br />

−<br />

y Q<br />

2<br />

ε =<br />

h<br />

K 2×<br />

( 270 / 2)<br />

1.<br />

35<br />

=<br />

= 0.<br />

43<br />

π 270 π<br />

T<br />

2<br />

7.<br />

3<br />

⎡<br />

⎢1<br />

+<br />

⎢⎣<br />

= 1.<br />

35<br />

1.<br />

3(<br />

ε − 0.<br />

1)<br />

1+<br />

1.<br />

69(<br />

ε − 0.<br />

1)<br />

M cr = 27<br />

6<br />

−8<br />

6<br />

−8<br />

210×<br />

10 × 419.<br />

9×<br />

10 × 81×<br />

10 × 15.<br />

94×<br />

10 ⎡<br />

⎢1<br />

+<br />

2.<br />

5<br />

⎢⎣<br />

1.<br />

4(<br />

0.<br />

43 − 0.<br />

1)<br />

⎤<br />

⎥<br />

2<br />

1+<br />

1.<br />

96(<br />

0.<br />

43 − 0.<br />

1)<br />

⎥⎦<br />

+ 10(<br />

1.<br />

35 − 2)<br />

6<br />

−8<br />

6<br />

−8<br />

210×<br />

10 × 419.<br />

9×<br />

10 × 81×<br />

10 × 15.<br />

94×<br />

10 ⎡<br />

⎢1<br />

+<br />

2.<br />

5<br />

⎢⎣<br />

1.<br />

3(<br />

0.<br />

43 − 0.<br />

1)<br />

⎤<br />

⎥<br />

2<br />

1+<br />

1.<br />

69(<br />

0.<br />

43 − 0.<br />

1)<br />

⎥⎦<br />

M cr<br />

λ<br />

LT<br />

= 1632.<br />

4kNm<br />

⎛W<br />

y f<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ M cr<br />

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 484×10– 6 m3.<br />

λ<br />

LT<br />

⎛W<br />

y f<br />

=<br />

⎜<br />

⎝ M cr<br />

y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

−6<br />

⎛ 484×<br />

10 × 355×<br />

10<br />

= ⎜<br />

⎝ 1632.<br />

4<br />

3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0.<br />

5<br />

=<br />

0.<br />

32<br />

2<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥⎦


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Sendo α LT = 0.<br />

21<br />

(secção laminada em I, com h / b ≤ 2);<br />

φ LT<br />

2<br />

[ 1+<br />

α ( λ LT − 0.<br />

2)<br />

λ ]<br />

φ = 0. 5<br />

+ LT<br />

LT<br />

χ LT<br />

= 0.<br />

5<br />

χ<br />

=<br />

LT<br />

2 [ 1+<br />

0.<br />

21(<br />

0.<br />

32 − 0.<br />

2)<br />

+ 0.<br />

32 ] = 0.<br />

56<br />

LT<br />

=<br />

0.<br />

56<br />

φ<br />

+<br />

LT<br />

+ ( φ<br />

1<br />

2<br />

( 0.<br />

56<br />

EC3 – Volume IV 68<br />

1<br />

2<br />

LT<br />

−<br />

− λ<br />

0.<br />

32<br />

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:<br />

Como:<br />

M b,<br />

Rd<br />

=<br />

0.<br />

98<br />

× 484.<br />

4×<br />

10<br />

−6<br />

×<br />

2<br />

LT<br />

2<br />

)<br />

)<br />

0.<br />

5<br />

355×<br />

10<br />

1.<br />

0<br />

3<br />

0.<br />

5<br />

=<br />

0.<br />

98<br />

= 168.<br />

5kNm<br />

M b,<br />

Rd = 168.<br />

5kNm<br />

> M Ed = 117.<br />

2kNm<br />

É verificada a segurança em relação à encurvadura lateral, sendo a solução constituída por um<br />

perfil IPE 270 em aço S 355.<br />

2.4. Flexão composta com compressão<br />

O Eurocódigo 3, parte 1-1 (EC3-1-1), apresenta expressões gerais para a flexão composta com<br />

compressão, em que fenómenos de instabilidade sejam potencialmente condicionantes. Essas<br />

expressões, a seguir reproduzidas, correspondem fundamentalmente a expressões de<br />

interacção linearizadas em que cada termo estabelece a percentagem de utilização<br />

correspondente a cada um dos esforços relevantes (esforço axial, momento flector segundo a<br />

maior inércia e segundo a menor inércia).<br />

Onde:<br />

NEd, My,Ed e Mz,Ed são os valores de cálculo do esforço axial de compressão e dos<br />

momentos flectores máximos solicitantes em torno de y e z, respectivamente;


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

ΔMy,Ed e ΔMz,Ed são os momentos devidos à variação do centro de gravidade em<br />

secções de classe 4;<br />

χy e χz são os factores de redução devido à encurvadura por flexão (compressão<br />

simples) em torno de y e de z, respectivamente, avaliados de acordo com a<br />

cláusula 6.3.1 do EC3-1-1;<br />

χLT é o factor de redução devido à encurvadura lateral ou encurvadura por flexo-<br />

torção (flexão pura), avaliado de acordo com a cláusula 6.3.2 do EC3-1-1 (χLT =<br />

1.0 para elementos não susceptíveis de encurvar lateralmente);<br />

kyy, kyz, kzy e kzz são factores de interacção dependentes dos fenómenos de<br />

instabilidade e de plasticidade envolvidos, obtidos de acordo com o Anexo A do<br />

EC3-1-1 (Método 1) ou com o Anexo B (Método 2).<br />

Os valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed são avaliados de acordo com a tabela 9 (EC3),<br />

dependendo da classe da secção transversal do elemento em análise.<br />

A 1ª fórmula (em cima) traduz o efeito introduzido pelo momento na encurvadura em torno<br />

do eixo yy, enquanto que a 2ª fórmula (em baixo) representa o mesmo efeito mas agora em<br />

torno do eixo zz.<br />

Na realidade, o aumento do esforço axial de compressão amplifica os momentos de 2ª ordem<br />

em torno dos eixos “yy” e “zz”, resultando num comportamento em conjunto das<br />

instabilidades dos diferentes eixos.<br />

Quadro 9 - Valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed (EC3).<br />

No EC3-1-1 são apresentados dois métodos para o cálculo dos factores de interacção kyy, kyz,<br />

kzy e kzz:<br />

• O Método 1, desenvolvido por um grupo de investigadores Franco-Belga;<br />

• O Método 2, desenvolvido por um grupo de investigadores Austro-Alemão.<br />

EC3 – Volume IV 69


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

O EC3 estabelece ainda que nos Anexos Nacionais do Eurocódigo 3 poderão ser dadas<br />

indicações acerca do método a adoptar.<br />

Em elementos não susceptíveis de sofrer deformações de torção, assume-se que não existe<br />

o risco de ocorrer encurvadura lateral, sendo a estabilidade do elemento assegurada pela<br />

verificação da encurvadura por flexão em torno de “y” e em torno de “z”.<br />

Este procedimento consiste na aplicação da equações (1a) (encurvadura por flexão em torno<br />

de “y”) e (1b) (encurvadura por flexão em torno de “z”), respectivamente, considerando χLT<br />

= 1.0 e calculando os coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1,<br />

como pelo Método 2) para a situação de elementos não susceptíveis de sofrer deformações de<br />

torção.<br />

Em elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção assume-se que a encurvadura<br />

lateral é mais condicionante. Neste caso, devem aplicar-se as Equações (1a) e (1b),<br />

considerando χLT avaliado de acordo com 6.3.2 do EC3-1-1 e calculando os coeficientes de<br />

interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1, como pelo Método 2) para a situação<br />

de elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção.<br />

Uma explicação pormenorizada do procedimento para a determinação da resistência da flexão<br />

composta por compressão, a avaliação da susceptibilidade a deformações de torção e ainda a<br />

determinação dos coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz poderá ser consultada em<br />

“Simões, R. Manual de dimensionamento de estruturas metálicas, CMM Press, 2005”.<br />

O procedimento de cálculo dos factores de redução χ y e χ z não sofreu alterações, face à<br />

versão inicial do EC3 (1993).<br />

Para perfis das classes 1 e 2 os valores de ΔM y,Ed e ΔMz,Ed são iguais a zero. NRk , M y,Rk<br />

e M z,Rk são definidos de acordo com as expressões:<br />

NRk = A × fy , My,Rk =Wpl,y × fy , Mz,Rk =Wpl,z × fy<br />

Para valores reduzidos de esforço axial, a resistência à encurvadura dos elementos é similar à<br />

da secção à tracção, tornando-se assim necessária essa verificação. A nova proposta do<br />

Eurocódigo 3 refere que devem ser feitas as seguintes verificações:<br />

EC3 – Volume IV 70


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Em que os factores “n” e “a” são dados por:<br />

Os factores de interacção kyy ,kzy ,kyz e kzz , utilizados podem ser calculados de acordo com<br />

os dois métodos, que seguem as abordagens propostas pelos diferentes grupos de trabalho, tal<br />

como descrito anteriormente:<br />

• A proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000) denominada por “método 1” encontra-<br />

se no anexo A da parte 1-1do EC3;<br />

• A proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001) denominada por “método 2 “encontra-se no<br />

anexo B da parte 1-1 do Eurocódigo 3.<br />

O “método” 2 é uma abordagem do nível 1, ou seja, trata-se de um procedimento simples, de<br />

cálculo dos factores de interacção, para casos mais comuns. O “método” 1 trata-se de uma<br />

abordagem do nível 2, baseando-se numa análise mais precisa e compreensiva.<br />

Abordagens do nível 3 consistem em análises numéricas não lineares usando programas de<br />

elementos finitos.<br />

A versão inicial do EC3 (1993) também possuía duas fórmulas verificativas, mas efectuava<br />

uma distinção clara entre a encurvadura de viga-coluna (aqui designada de flexo-torsional) e<br />

de viga (aqui designada de lateral ou lateral-torsional).<br />

N ky⋅My, Sd kz⋅M Sd<br />

z, Sd<br />

Encurvadura flexo-torsional (flexural – torsional buckling) → + + ≤1<br />

A⋅ fy wy ⋅ fy wz⋅ fy<br />

χmin<br />

γ γ γ<br />

Encurvadura lateral (lateral – torsional buckling)<br />

M1 M1 M1<br />

N kLT ⋅ M<br />

Sd<br />

y, Sd kz⋅M z, Sd<br />

→ +<br />

A⋅fy wy<br />

⋅ fy wz⋅ fy<br />

χz χLT<br />

γ M1<br />

γM1 γM1<br />

+ ≤1<br />

EC3 – Volume IV 71


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral<br />

No caso de não existir possibilidade de encurvadura lateral a metodologia dos dois métodos é<br />

a seguir exposta.<br />

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).<br />

As fórmulas de estabilidade são apresentadas nos pontos 6.3.1. e 6.3.3. do EC3, sendo os três<br />

principais parâmetros:<br />

• O comprimento de encurvadura, L cr;<br />

• O momento máximo de flexão, Mmax;<br />

• O factor equivalente “C m” que caracteriza a forma de distribuição do momento<br />

flector.<br />

Método 1<br />

Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção para perfis das classes 1 e 2,<br />

através do “método 1” (proposta Franco-Belga, Villette et al., 2000), encontram-se descritos<br />

no Anexo A da nova proposta do Eurocódigo 3.<br />

Esta proposta foi desenvolvida com os objectivos de criar uma fórmula que fosse<br />

compreensível, onde todos os seus componentes tivessem significado físico, consistente com<br />

as outras fórmulas que se encontram nos regulamentos existentes, e conservativa e precisa em<br />

comparação com os resultados numéricos e experimentais disponíveis.<br />

São admitidas as condições gerais correspondentes a flexão composta com momentos<br />

segundo yy e/ou zz (My,Ed e/ou Mz,Ed ) e com esforço axial NEd , bem como a possibilidade<br />

de encurvadura por compressão (encurvadura por flexão) e a verificação de diferentes secções<br />

(I, H e tubulares).<br />

Segundo o “método 1” deve-se determinar os factores de interacção através das expressões:<br />

EC3 – Volume IV 72


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Nestas expressões dos factores de interacção é possível reconhecer os conceitos familiares de<br />

factor de momento equivalente “cmi” (segundo o eixo yy e zz), e de factor de amplificação k,<br />

devido aos efeitos de 2ª ordem.<br />

Em que:<br />

Para se simplificar o cálculo do coeficiente de momento equivalente “cm”, foram propostas<br />

várias fórmulas aproximadas. Estas fórmulas, geralmente, têm em conta apenas a variação do<br />

diagrama de momentos de primeira ordem.<br />

Os coeficientes μy e μz são dados pelas expressões:<br />

EC3 – Volume IV 73


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por meio de calibração numérica e<br />

representam a interacção elasto-plástica, entre os momentos de 1ª ordem e o esforço axial.<br />

Acresce que este coeficientes (cyy, cyz, czy e czz) dependem das esbeltezas adimensionais,<br />

sendo que os elementos mais esbeltos não conseguem desenvolver a mesma interacção entre<br />

esforço axial e momento flector, que os menos esbeltos. De facto, devido aos efeitos de<br />

instabilidade, o comportamento pode variar significativamente em função do tipo da secção.<br />

Estes coeficientes também dependem do factor de momento equivalente “cmi”, dado que o<br />

elemento não desenvolve a mesma resistência elasto-plástica para diferentes tipos de<br />

carregamento.<br />

A metodologia deste método de cálculo é baseada na teoria elástica de 2ª ordem no plano, e<br />

foi estendida para 3D. O formato teórico mantém-se o máximo possível, de forma a que os<br />

coeficientes dêem explicitamente uma ideia do significado físico. Quando não foi possível<br />

manter esse formato teórico, foram usados resultados de análises numéricas por elementos<br />

finitos para calibrar localmente alguns destes factores.<br />

Método 2<br />

Tal como referido anteriormente, o “método 2”, preconizado na parte 1-1 do Eurocódigo 3 de<br />

2010, corresponde à proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001). Os objectivos essenciais desta<br />

proposta foram desenvolver fórmulas simples e de fácil aplicação no dimensionamento de<br />

vigas-coluna, e a obtenção de uma boa precisão e adequada economia na avaliação das<br />

capacidades resistentes dos casos mais comuns.<br />

Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção através do “método 2”<br />

encontram-se descritos no anexo B da nova proposta do Eurocódigo (2010, em português ).<br />

Os casos analisados no desenvolvimento desta proposta incluem: secções em I e secções<br />

tubulares rectangulares; secções duplamente simétricas; e flexão composta com flexão plana.<br />

Os restantes casos de secções simétricas apenas numa direcção e para a flexão desviada com<br />

compressão são tratados nesta análise de forma mais conservativa e não tão precisa.<br />

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral<br />

Em relação às expressões para o caso em que não existe encurvadura lateral, as principais<br />

diferenças são a introdução do factor de redução à encurvadura lateral “χLT”, e o cálculo dos<br />

factores de interacção kyy , kzy , kyz e kzz . As expressões a usar na verificação da segurança,<br />

no caso de existir encurvadura lateral, já foram apresentadas:<br />

EC3 – Volume IV 74


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Os dois métodos propostos, para a verificação da segurança de vigas-coluna, de acordo com o<br />

Eurocódigo 3, têm em consideração a possibilidade de existir encurvadura lateral, e para isso<br />

propõem diferentes formulações, para ter em consideração este fenómeno de encurvadura no<br />

cálculo dos factores de interacção. Estas formulações, de acordo com o “método 1” e “método<br />

2”, são resumidamente apresentadas nos pontos seguintes.<br />

Método 1<br />

Na proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000), a filosofia geral foi mantida em relação ao<br />

proposto para o caso de não existir encurvadura lateral.<br />

Os factores de interacção modificados, para ter em conta a encurvadura lateral, são o kyy e<br />

kzy, onde é agora introduzido o factor “cmLT” (coeficiente de momento equivalente para a<br />

encurvadura lateral). Os restantes factores de interacção, kyz e kzz, mantém o significado<br />

anteriormente exposto.<br />

O coeficiente de momento equivalente cmy é calculado de acordo com a expressão:<br />

O factor “cmLT” é calculado de acordo com a seguinte expressão:<br />

EC3 – Volume IV 75


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

O cálculo do coeficiente de momento equivalente, segundo o eixo zz (cmz) é feito da mesma<br />

forma que para o caso em que não existe encurvadura lateral, ou seja, através da fórmula:<br />

O coeficiente “aLT” permite uma transição suave entre as respostas para secções abertas e<br />

tubulares, e é calculado de acordo com a expressão:<br />

Para perfis das classes 1 e 2 “εy” é dado pela expressão:<br />

Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por calibração numérica.<br />

Os factores constantes no Anexo A do EC3 são apresentados a seguir, para o Método 1.<br />

EC3 – Volume IV 76


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 77


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 78


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Método 2<br />

No “método 2” (proposta Austro-Alemã) a única diferença que existe, entre os casos em que<br />

há e não há encurvadura latera,l é o procedimento de determinação do factor de interacção<br />

kzy, que é efectuado, para o caso de haver encurvadura lateral, de acordo com a expressão:<br />

EC3 – Volume IV 79


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Em que “cmLT” é o factor de momento uniforme equivalente, correspondente à encurvadura<br />

lateral, e que se determina através do diagrama de momentos em torno do eixo yy, ou seja é<br />

igual ao “cmy”. Os factores constantes no Anexo B do EC3 são:<br />

EC3 – Volume IV 80


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 81


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3<br />

Seguem-se exemplos baseados em “Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background<br />

documentation and design guidelines, ECCS, 2006”.<br />

2.4.3.1. Exemplo Prático 1 - comportamento plano.<br />

Este primeiro exemplo trata de comportamento plano, sem possibilidade de encurvadura para<br />

fora do plano do eixo da peça. A viga-coluna é submetida à compressão e a momento de<br />

flexão triangular no eixo principal. O elemento tem, pois, os deslocamentos de flexão e torção<br />

laterais impedidos.<br />

Características da secção Transversal (IPE 200)<br />

Comprimento de encurvadura L = 3,5m<br />

Dimensões dos banzos e alma bf = 100mm = 0,1m<br />

tf = 8,5mm = 0,0085m<br />

Área A = 28,48cm 2 = 2,848·10 -3 m 2<br />

Inércias Iy = 1943cm 4 = 19,43·10 -6 m 4<br />

Iz = 142,4cm 4 = 1,424·10 -6 m 4<br />

Módulos de flexão plásticos Wpl,y = 220,6cm 3 = 220,6·10 -6 m 3<br />

Wpl,z = 44,6cm 3 = 44,6·10 -6 m 3<br />

Módulos de flexão elásticos Wel,y = 194,3cm 3 = 194,3·10 -6 m 3<br />

Wel,z = 28,5cm 3 = 28,5·10 -6 m 3<br />

Raios de giração iy = 8,26cm = 82,6·10 -3 m<br />

iz = 220,24cm = 22,4·10 -3 m<br />

hw = 183mm = 0,183m<br />

tw = 5,6mm = 0,0056m<br />

EC3 – Volume IV 82


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Inércia torsional (torção uniforme, Saint-Venant)<br />

e de empenamento (torção não uniforme)<br />

Solicitações<br />

Esforço axial de compressão NEd = 210 KN<br />

Momentos de flexão, eixo forte (yy’s) My,Ed,direito = 0 KN.m My,Ed,esquerdo = 43 KN.m<br />

Propriedades dos Materiais<br />

Módulos Elásticos E = 210000x10 6 N/m 2 G = 8070x10 6 N/m 2<br />

Características do aço Fy = 235x10 6 N/m 2<br />

Factores parciais de segurança γ Mo = 1,0 γ M1 = 1,0<br />

Definições das curvas de Flexão:<br />

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21<br />

• O perfil IPE200 feito de S235 é Classe 1 em compressão, e por conseguinte também<br />

Classe 1 em compressão e flexão.<br />

Classificação das Secções Transversais:<br />

- Alma em compressão combinada com flexão:<br />

Limite da Classe: ε = 33<br />

c<br />

t<br />

⇒ Alma em compressão é Classe 1.<br />

- Parte do banzo em compressão:<br />

c<br />

t<br />

Limite da Classe: ε = 9<br />

⇒ Banzo é da Classe 1.<br />

0,<br />

5(<br />

b − t<br />

t<br />

−3<br />

d 183×<br />

10 m<br />

=<br />

= 32,<br />

7<br />

5,<br />

6×<br />

10 m<br />

= −3<br />

tw<br />

−3<br />

− 2r)<br />

0,<br />

5(<br />

100×<br />

10 m − 2,<br />

12×<br />

10<br />

=<br />

3<br />

8,<br />

5×<br />

10 m<br />

w = −<br />

f<br />

It = 6,98cm 4 = 69800·10 -12 m 4<br />

Iw = 12,988·10 3 cm 6 = 12988·10 -12 m 6<br />

Logo temos Classe 1 na classificação da secção transversal.<br />

m)<br />

=<br />

EC3 – Volume IV 83<br />

−3<br />

4,<br />

1


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

• Verificação de Estabilidade:<br />

Verificação de acordo com o Método 1<br />

- Factor de redução para a compressão e flexão:<br />

N<br />

cr,<br />

y<br />

λ =<br />

y<br />

2<br />

π EI<br />

= 2<br />

L<br />

cr,<br />

y<br />

χ y =<br />

φ +<br />

=<br />

1<br />

2<br />

y<br />

6 N<br />

π × 210000×<br />

10 × 19,<br />

43×<br />

10<br />

2<br />

=<br />

m<br />

2 2<br />

( 3,<br />

5m<br />

)<br />

2<br />

y<br />

=<br />

2<br />

y<br />

φ = 0,<br />

5[<br />

1+<br />

α ( λ − 0,<br />

2)<br />

+ λ ] = 0,<br />

5[<br />

1+<br />

y<br />

Af<br />

N<br />

- Termos auxiliares:<br />

- Factor Cm0:<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

−3<br />

2<br />

6 N<br />

2,<br />

848×<br />

10 m × 235×<br />

10 2<br />

m<br />

3<br />

3287×<br />

10 N<br />

y<br />

φ − λ<br />

0,<br />

628<br />

N Ed 1−<br />

Ncr,<br />

μ y =<br />

N<br />

1−<br />

χ y<br />

N<br />

W<br />

y<br />

M<br />

=<br />

M<br />

pl,<br />

y<br />

el,<br />

y<br />

y<br />

Ed<br />

cr,<br />

y<br />

+<br />

1<br />

0,<br />

628<br />

−6<br />

220,<br />

6×<br />

10 m<br />

=<br />

−6<br />

194,<br />

3×<br />

10 m<br />

0,<br />

21(<br />

0,<br />

451<br />

− 0,<br />

451<br />

0,<br />

451<br />

= 328kN<br />

0,<br />

2)<br />

0,<br />

939<br />

2<br />

+ 0,<br />

451 ] =<br />

EC3 – Volume IV 84<br />

2<br />

3<br />

3<br />

=<br />

2<br />

−6<br />

=<br />

m<br />

−<br />

3<br />

210×<br />

10 N<br />

1−<br />

3<br />

= 3287×<br />

10 N = 3<br />

210×<br />

10 N<br />

1−<br />

0,<br />

939<br />

3<br />

3287×<br />

10 N<br />

4<br />

= 1,<br />

135 ≤1,<br />

5<br />

≤1<br />

0,<br />

996<br />

A fórmula dos momentos flectores linearmente distribuídos é usada aqui.<br />

M<br />

ϕ y =<br />

M<br />

C<br />

=<br />

my,<br />

0<br />

=<br />

0,<br />

79<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

y,<br />

Ed , esquerdo<br />

0,<br />

79<br />

+ 0,<br />

21ϕ<br />

+ 0,<br />

36(<br />

ϕ −<br />

+ 0,<br />

21×<br />

0 +<br />

0<br />

=<br />

= 0<br />

3<br />

43×<br />

10 Nm<br />

y<br />

0,<br />

36(<br />

0<br />

−<br />

y<br />

0,<br />

33)<br />

0,<br />

33)<br />

N<br />

N<br />

Ed<br />

cr,<br />

y<br />

3<br />

210×<br />

10 N<br />

= 3<br />

3287×<br />

10 N<br />

0,<br />

782<br />

Sendo que Cmy=0, porque a torção por flexão lateral não é susceptível de ocorrer.<br />

0,<br />

628


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 85<br />

- Resistência axial elástico-plástica:<br />

kN<br />

m<br />

N<br />

f<br />

A<br />

N y<br />

Rk<br />

c<br />

669<br />

10<br />

235<br />

10<br />

848<br />

,<br />

2 2<br />

3<br />

3<br />

,<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

×<br />

=<br />

−<br />

−<br />

881<br />

,<br />

0<br />

10<br />

6<br />

,<br />

220<br />

10<br />

3<br />

,<br />

194<br />

061<br />

,<br />

1<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

669<br />

10<br />

210<br />

451<br />

,<br />

0<br />

782<br />

,<br />

0<br />

135<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

451<br />

,<br />

0<br />

782<br />

,<br />

0<br />

135<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

2<br />

)<br />

1<br />

135<br />

,<br />

1<br />

(<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

2<br />

)<br />

1<br />

(<br />

1<br />

3<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

,<br />

2<br />

2<br />

2<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

≥<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

×<br />

×<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

−<br />

×<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

−<br />

m<br />

m<br />

W<br />

W<br />

N<br />

N<br />

b<br />

N<br />

N<br />

C<br />

C<br />

w<br />

w<br />

C<br />

y<br />

pl<br />

y<br />

el<br />

LT<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

Ed<br />

y<br />

my<br />

y<br />

my<br />

y<br />

y<br />

yy<br />

γ<br />

λ<br />

λ<br />

Sendo bLT = 0 porque a torção por flexão lateral é impedida, de modo que αLT = 0.<br />

881<br />

,<br />

0<br />

10<br />

6<br />

,<br />

220<br />

10<br />

3<br />

,<br />

194<br />

061<br />

,<br />

1<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

669<br />

10<br />

210<br />

451<br />

,<br />

0<br />

782<br />

,<br />

0<br />

135<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

451<br />

,<br />

0<br />

782<br />

,<br />

0<br />

135<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

2<br />

)<br />

1<br />

135<br />

,<br />

1<br />

(<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

2<br />

)<br />

1<br />

(<br />

1<br />

3<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

,<br />

2<br />

2<br />

2<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

≥<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

×<br />

×<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

−<br />

×<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

−<br />

m<br />

m<br />

W<br />

W<br />

N<br />

N<br />

b<br />

N<br />

N<br />

C<br />

C<br />

w<br />

w<br />

C<br />

y<br />

pl<br />

y<br />

el<br />

LT<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

Ed<br />

y<br />

my<br />

y<br />

my<br />

y<br />

y<br />

yy<br />

γ<br />

λ<br />

λ<br />

- Verificação:<br />

kNm<br />

m<br />

N<br />

m<br />

f<br />

W<br />

M y<br />

y<br />

pl<br />

Rk<br />

y<br />

pl<br />

8<br />

,<br />

51<br />

10<br />

235<br />

10<br />

6<br />

,<br />

220 2<br />

6<br />

3<br />

3<br />

,<br />

,<br />

,<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

−<br />

−<br />

1<br />

985<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

8<br />

,<br />

51<br />

061<br />

,<br />

1<br />

10<br />

3287<br />

10<br />

210<br />

1<br />

10<br />

43<br />

782<br />

,<br />

0<br />

996<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

669<br />

939<br />

,<br />

0<br />

10<br />

210<br />

1<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

1<br />

,<br />

,<br />

,<br />

,<br />

,<br />

1<br />

,<br />

≤<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

×<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

×<br />

−<br />

×<br />

×<br />

+<br />

×<br />

×<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

+<br />

Nm<br />

N<br />

N<br />

Nm<br />

N<br />

N<br />

M<br />

C<br />

N<br />

N<br />

M<br />

C<br />

N<br />

N<br />

M<br />

Rk<br />

y<br />

pl<br />

yy<br />

y<br />

cr<br />

Ed<br />

direito<br />

Ed<br />

y<br />

my<br />

y<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

y<br />

Ed<br />

γ<br />

μ<br />

γ<br />

χ


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

⇒ Satisfatório.<br />

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9)<br />

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:<br />

V<br />

A<br />

V<br />

V<br />

y,<br />

Ed<br />

Vy<br />

y,<br />

Ed<br />

M<br />

=<br />

= A − 2bt<br />

= 2,<br />

848×<br />

10<br />

= 1,<br />

40×<br />

10<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

−3<br />

f<br />

−3<br />

m<br />

+ ( t<br />

m<br />

2<br />

− M<br />

L<br />

≥ h t<br />

M 0<br />

w<br />

+ 2r)<br />

t<br />

= 12,<br />

3KN<br />

≤ 0,<br />

5xV<br />

2<br />

AVy<br />

f y<br />

=<br />

3 γ<br />

− 2×<br />

0,<br />

1m<br />

× 0,<br />

0085m<br />

+ ( 0,<br />

0056m<br />

+ 2×<br />

0,<br />

012m)<br />

w w<br />

=<br />

y,<br />

Ed , esquerdo<br />

f<br />

= 0,<br />

183m<br />

× 5,<br />

6×<br />

10<br />

1,<br />

02×<br />

10<br />

3<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

−3<br />

m<br />

3<br />

43×<br />

10 Nm − 0<br />

=<br />

= 12,<br />

3KN<br />

3,<br />

5m<br />

235×<br />

10<br />

m = 1,<br />

02×<br />

10<br />

= 139KN<br />

EC3 – Volume IV 86<br />

2<br />

−3<br />

1,<br />

0<br />

6<br />

N<br />

m<br />

= 0,<br />

5×<br />

139KN<br />

= 69,<br />

5KN<br />

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em<br />

conta (Vsd < 50% Vrd).<br />

N<br />

n =<br />

N<br />

γ<br />

Ed<br />

c,<br />

Rk<br />

M 0<br />

3<br />

210×<br />

10 N<br />

=<br />

3<br />

669×<br />

10 N<br />

1,<br />

0<br />

n<br />

w<br />

=<br />

0,<br />

314<br />

≥<br />

0,<br />

25<br />

3<br />

NEd<br />

× γ M 0 210×<br />

10 N × 1,<br />

0<br />

= =<br />

= 0,<br />

872 ≥<br />

h × ×<br />

−3<br />

6 N<br />

w tw<br />

f y 0,<br />

183m<br />

× 5,<br />

6×<br />

10 m×<br />

235×<br />

10 2<br />

m<br />

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente precisa de ser tido em conta.<br />

α<br />

M<br />

−3<br />

2<br />

( A − 2bf<br />

t f ) 2,<br />

848×<br />

10 m − 2×<br />

0,<br />

1m<br />

× 8,<br />

5×<br />

10<br />

=<br />

3 2<br />

A<br />

2,<br />

848×<br />

10 m<br />

= −<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

M<br />

≤<br />

γ<br />

M<br />

M<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

1−<br />

n M pl,<br />

=<br />

1−<br />

0,<br />

5α<br />

γ<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

3<br />

51,<br />

8×<br />

10 Nm<br />

3<br />

=<br />

= 51,<br />

8x10<br />

Nm<br />

1,<br />

0<br />

3<br />

43×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 3<br />

44,<br />

7×<br />

10 Nm<br />

0,<br />

965<br />

≤1<br />

2<br />

−3<br />

m<br />

=<br />

−3<br />

m<br />

2<br />

0,<br />

403<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

5<br />

3<br />

1−<br />

0,<br />

314 51,<br />

8×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 44,<br />

7KN.<br />

m<br />

1−<br />

0,<br />

5×<br />

0,<br />

403 1,<br />

0<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

⇒ Satisfatório.<br />

De notar que só a extremidade direita tem de ser verificada, uma vez que possui uma<br />

solicitação superior à da extremidade esquerda (My,Ed = 0).<br />

• Verificação da Estabilidade:<br />

Verificação de acordo com o Método 2<br />

- Factor de redução para a compressão e flexão:<br />

λ = π<br />

1<br />

L<br />

λy<br />

=<br />

i<br />

χ y =<br />

φ +<br />

1 3,<br />

5m<br />

=<br />

λ 82,<br />

6×<br />

10<br />

1<br />

6 N<br />

210000×<br />

10<br />

= π<br />

m<br />

6 N<br />

235×<br />

10 2<br />

m<br />

1<br />

2<br />

y<br />

2<br />

y<br />

=<br />

−3<br />

1<br />

93,<br />

9<br />

2<br />

y<br />

0,<br />

628<br />

+<br />

2<br />

0,<br />

451<br />

1<br />

93,<br />

9<br />

φ = 0,<br />

5[<br />

1+<br />

α ( λ − 0,<br />

2)<br />

+ λ ] = 0,<br />

5[<br />

1+<br />

y<br />

cr<br />

y<br />

y<br />

E<br />

f<br />

y<br />

y<br />

y<br />

φ − λ<br />

- Momento Uniforme Equivalente Cm:<br />

- Factores de Interacção:<br />

N<br />

n<br />

c,<br />

Rk<br />

y<br />

λ ≤ 1:<br />

K<br />

y<br />

= Af<br />

yy<br />

y<br />

N Ed<br />

=<br />

N<br />

χ<br />

y<br />

γ<br />

c,<br />

Rk<br />

M 1<br />

= 2,<br />

848×<br />

10<br />

= C<br />

M<br />

ϕ y =<br />

M<br />

C<br />

−3<br />

my<br />

=<br />

m<br />

0,<br />

6<br />

× 235×<br />

10<br />

3<br />

210 × 10 N<br />

=<br />

3<br />

669 × 10 N<br />

0,<br />

939<br />

1,<br />

0<br />

my<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

=<br />

y,<br />

Ed , esquerdo<br />

=<br />

+ 0,<br />

4ϕ<br />

=<br />

−3<br />

=<br />

y<br />

0,<br />

334<br />

0,<br />

628<br />

0,<br />

6<br />

0,<br />

21(<br />

0,<br />

451<br />

− 0,<br />

451<br />

0,<br />

2)<br />

0,<br />

939<br />

2<br />

+ 0,<br />

451 ] =<br />

EC3 – Volume IV 87<br />

2<br />

0 3<br />

2<br />

=<br />

−<br />

=<br />

= 0<br />

43×<br />

10 Nm<br />

= 669KN<br />

+ 0,<br />

4×<br />

0 = 0,<br />

6 ≥<br />

[ 1+<br />

( λ − 0,<br />

2)<br />

n ] = 0,<br />

600 1+<br />

( 0,<br />

451−<br />

0,<br />

2)<br />

y<br />

y<br />

N<br />

m<br />

2<br />

0,<br />

4<br />

≤1<br />

[ 0,<br />

334]<br />

= 0,<br />

650<br />

0,<br />

628


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

- Verificação:<br />

M<br />

n<br />

y<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

=<br />

= W<br />

NEd<br />

N<br />

χ y<br />

γ<br />

c,<br />

Rk<br />

M 1<br />

pl,<br />

y<br />

⇒ Satisfatório.<br />

−3<br />

3<br />

f = 220,<br />

6×<br />

10 m × 235×<br />

10<br />

y<br />

+ k<br />

yy<br />

M<br />

M<br />

y,<br />

Ed<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

γ<br />

M 1<br />

−6<br />

3<br />

210×<br />

10 N<br />

=<br />

3<br />

669×<br />

10 N<br />

0,<br />

939<br />

1,<br />

0<br />

N<br />

m<br />

= 51,<br />

8kNm<br />

0,<br />

650<br />

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9):<br />

0,<br />

874<br />

EC3 – Volume IV 88<br />

2<br />

+<br />

3<br />

43×<br />

10 Nm<br />

= 3<br />

51,<br />

8×<br />

10 Nm<br />

1,<br />

0<br />

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:<br />

V<br />

A<br />

V<br />

V<br />

y,<br />

Ed<br />

Vy<br />

y,<br />

Ed<br />

M<br />

=<br />

= A − 2bt<br />

= 2,<br />

848×<br />

10<br />

= 1,<br />

40×<br />

10<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

−3<br />

f<br />

−3<br />

m<br />

+ ( t<br />

m<br />

− M<br />

L<br />

− 2×<br />

0,<br />

1m<br />

× 0,<br />

0085m<br />

+ ( 0,<br />

0056m<br />

+ 2×<br />

0,<br />

012m)<br />

≥ h t<br />

M 0<br />

w<br />

+ 2r)<br />

t<br />

w w<br />

= 12,<br />

3KN<br />

≤ 0,<br />

5<br />

2<br />

2<br />

AVy<br />

f y<br />

=<br />

3 γ<br />

=<br />

= 0,<br />

183m<br />

× 5,<br />

6×<br />

10<br />

xV<br />

y,<br />

Ed , esquerdo<br />

1,<br />

02×<br />

10<br />

3<br />

f<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

−3<br />

=<br />

m<br />

3<br />

43×<br />

10 Nm − 0<br />

=<br />

= 12,<br />

3kN<br />

3,<br />

5m<br />

2<br />

−3<br />

235×<br />

10<br />

1,<br />

0<br />

m = 1,<br />

02×<br />

10<br />

6<br />

N<br />

m<br />

= 139kN<br />

0,<br />

5×<br />

139KN<br />

= 69,<br />

5kN<br />

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em<br />

conta (Vsd < 50% Vrd).<br />

n<br />

w<br />

N<br />

n =<br />

N<br />

γ<br />

Ed<br />

c,<br />

Rk<br />

M 0<br />

3<br />

210×<br />

10 N<br />

=<br />

3<br />

669×<br />

10 N<br />

1,<br />

0<br />

=<br />

0,<br />

314<br />

2<br />

≥<br />

0,<br />

25<br />

3<br />

NEd<br />

× γ M 0 210×<br />

10 N × 1,<br />

0<br />

= =<br />

= 0,<br />

872 ≥<br />

h × ×<br />

−3<br />

6 N<br />

w tw<br />

f y 0,<br />

183m<br />

× 5,<br />

6×<br />

10 m×<br />

235×<br />

10 2<br />

m<br />

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente plástico precisa de ser tido em<br />

conta.<br />

−3<br />

m<br />

2<br />

≤1<br />

0,<br />

5


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

α<br />

M<br />

−3<br />

2<br />

( A − 2bf<br />

t f ) 2,<br />

848×<br />

10 m − 2×<br />

0,<br />

1m<br />

× 8,<br />

5×<br />

10<br />

=<br />

3 2<br />

A<br />

2,<br />

848×<br />

10 m<br />

= −<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

M<br />

≤<br />

γ<br />

M<br />

M<br />

⇒ Satisfatório.<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

1−<br />

n M pl,<br />

=<br />

1−<br />

0,<br />

5α<br />

γ<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

3<br />

51,<br />

8×<br />

10 Nm<br />

3<br />

=<br />

= 51,<br />

8×<br />

10 Nm<br />

1,<br />

0<br />

3<br />

43×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 3<br />

44,<br />

7×<br />

10 Nm<br />

3<br />

1−<br />

0,<br />

314 51,<br />

8×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 44,<br />

7kNm<br />

1−<br />

0,<br />

5×<br />

0,<br />

403 1,<br />

0<br />

0,<br />

965<br />

≤1<br />

0,<br />

403<br />

EC3 – Volume IV 89<br />

−3<br />

m<br />

=<br />

Só a extremidade direita final tem de ser verificada porque tem um momento superior face à<br />

extremidade esquerda My,Ed = 0.<br />

2.4.3.2. Exemplo Prático 2 - comportamento espacial com encurvadura lateral<br />

Este segundo exemplo trata de comportamento espacial. A viga-coluna é submetida à<br />

compressão e forças transversas causando uma significativa flexão. A flexão lateral e a torção<br />

não estão impedidas, podendo ocorrer.<br />

Características da secção Transversal (IPE 500)<br />

Comprimento de encurvadura L = 3,5m<br />

LLT = 3,5m<br />

Dimensões dos banzos e alma bf = 200mm = 0,2m<br />

tf = 16mm = 0,016m<br />

≤<br />

0,<br />

5<br />

hw = 468mm = 0,468m<br />

tw = 10,2mm = 0,0102m


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Área A = 115,5cm 2 = 11,55·10 -3 m 2<br />

Inércias Iy = 48199cm 4 = 481,99·10 -6 m 4<br />

Iz = 2142cm 4 = 21,42·10 -6 m 4<br />

Módulos de flexão plásticos Wpl,y = 2194cm 3 = 2194·10 -6 m 3<br />

Wpl,z = 335,9cm 3 = 335,9·10 -6 m 3<br />

Módulos de flexão elásticos Wel,y = 1927,9cm 3 = 1927,9·10 -6 m 3<br />

Wel,z = 214,2cm 3 = 214,2·10 -6 m 3<br />

Raios de giração iy = 20,43cm = 204,3·10 -3 m<br />

Inércia torsional (torção uniforme, Saint-<br />

Venant) e de empenamento (torção não<br />

uniforme)<br />

iz = 4,31cm = 43,1·10 -3 m<br />

It = 89,2871cm 4 = 892871·10 -12 m 4<br />

Iw = 1249·10 3 cm 6 = 1,249·10 -6 m 6<br />

Solicitações<br />

Forças de Compressão NEd = 800 KN<br />

Distribuição do momento de flexão, eixo forte My,Ed,direito = 350 KN.m My,Ed,esquerdo = 0 KN.m<br />

Distribuição do momento de flexão, eixo fraco Mz,Ed = 0 KN.m<br />

Propriedades dos Materiais<br />

Módulos Elásticos E = 210000x10 6 N/m 2 G = 80770x10 6 N/m 2<br />

Características do rendimento forte Fy = 235x10 6 N/m 2<br />

Factores parciais de segurança γ Mo = 1,0 γ M1 = 1,0<br />

Definições das curvas de Flexão:<br />

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21<br />

• Factor de Imperfeição para eixo fraco: α z = 0,34<br />

Factor de imperfeição na flexão lateral com torção:<br />

EC3 – Volume IV 90


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

• α LT = 0,34 se o “caso geral” for escolhido;<br />

• α LT = 0,49, se for escolhido o caso de “secções laminadas ou as secções equivalentes<br />

soldadas”.<br />

Classificação da Secção Transversal:<br />

- Alma em compressão composta com flexão:<br />

c<br />

t<br />

−3<br />

d 426×<br />

10 m<br />

=<br />

= 41,<br />

8<br />

10,<br />

2×<br />

10 m<br />

= −3<br />

tw<br />

Se considerarmos uma distribuição plástica:<br />

0,<br />

5N<br />

α c = 0,<br />

5d<br />

+<br />

t f<br />

w<br />

y<br />

Ed<br />

Deste modo α = 0,892 > 0,5<br />

3<br />

−3<br />

0,<br />

5×<br />

800×<br />

10 m<br />

= 0,<br />

5×<br />

426×<br />

10 m +<br />

= 379,<br />

8×<br />

10<br />

−3<br />

6 N<br />

10,<br />

2×<br />

10 m×<br />

235×<br />

10 2<br />

m<br />

Classe 2 quando combinando flexão e compressão:<br />

456ε<br />

456×<br />

1<br />

=<br />

=<br />

13α<br />

−1<br />

13×<br />

0,<br />

892 −1<br />

43,<br />

0<br />

⇒ Alma em compressão combinada com flexão é da Classe 2.<br />

- Banzo em compressão:<br />

c<br />

t<br />

0,<br />

5(<br />

b − t<br />

t<br />

− 2r)<br />

0,<br />

5(<br />

200×<br />

10<br />

=<br />

−3<br />

= w<br />

−<br />

Limite da Classe 1: 9ε = 9<br />

⇒ Banzo é da Classe 1.<br />

⇒ Secção transversal é da Classe 1.<br />

• Verificação de Estabilidade:<br />

f<br />

−3<br />

m −10,<br />

2×<br />

10 m − 2,<br />

12×<br />

10<br />

3<br />

16×<br />

10 m<br />

Verificação de acordo com o Método 1<br />

- Factor de redução para a compressão e flexão:<br />

m)<br />

=<br />

EC3 – Volume IV 91<br />

−3<br />

4,<br />

6<br />

−3<br />

m


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 92<br />

1<br />

683<br />

,<br />

0<br />

865<br />

,<br />

0<br />

988<br />

,<br />

0<br />

988<br />

,<br />

0<br />

1<br />

1<br />

988<br />

,<br />

0<br />

]<br />

865<br />

,<br />

0<br />

)<br />

2<br />

,<br />

0<br />

865<br />

,<br />

0<br />

(<br />

34<br />

,<br />

0<br />

1<br />

[<br />

5<br />

,<br />

0<br />

]<br />

)<br />

2<br />

,<br />

0<br />

(<br />

1<br />

[<br />

5<br />

,<br />

0<br />

865<br />

,<br />

0<br />

10<br />

3624<br />

10<br />

235<br />

10<br />

55<br />

,<br />

11<br />

3624<br />

)<br />

5<br />

,<br />

3<br />

(<br />

10<br />

42<br />

,<br />

21<br />

10<br />

210000<br />

000<br />

,<br />

1<br />

200<br />

,<br />

0<br />

182<br />

,<br />

0<br />

10<br />

81549<br />

10<br />

235<br />

10<br />

552<br />

,<br />

11<br />

81549<br />

)<br />

5<br />

,<br />

3<br />

(<br />

10<br />

99<br />

,<br />

481<br />

10<br />

210000<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

6<br />

2<br />

3<br />

,<br />

2<br />

2<br />

4<br />

6<br />

2<br />

6<br />

2<br />

2<br />

2<br />

,<br />

3<br />

2<br />

6<br />

2<br />

3<br />

,<br />

2<br />

2<br />

4<br />

6<br />

2<br />

6<br />

2<br />

2<br />

2<br />

,<br />

≤<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

→<br />

≤<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

cr<br />

y<br />

y<br />

z<br />

cr<br />

y<br />

y<br />

cr<br />

y<br />

y<br />

y<br />

cr<br />

N<br />

m<br />

N<br />

m<br />

N<br />

Af<br />

KN<br />

m<br />

m<br />

m<br />

N<br />

L<br />

EI<br />

N<br />

N<br />

m<br />

N<br />

m<br />

N<br />

Af<br />

kN<br />

m<br />

m<br />

m<br />

N<br />

L<br />

EI<br />

N<br />

λ<br />

φ<br />

φ<br />

χ<br />

λ<br />

λ<br />

α<br />

φ<br />

λ<br />

π<br />

π<br />

χ<br />

λ<br />

π<br />

π<br />

- Termos Auxiliares:<br />

5<br />

,<br />

1<br />

5<br />

,<br />

1<br />

568<br />

,<br />

1<br />

10<br />

2<br />

,<br />

214<br />

10<br />

9<br />

,<br />

335<br />

918<br />

,<br />

0<br />

10<br />

3624<br />

10<br />

800<br />

683<br />

,<br />

0<br />

1<br />

10<br />

3624<br />

10<br />

800<br />

1<br />

1<br />

1<br />

5<br />

,<br />

1<br />

138<br />

,<br />

1<br />

10<br />

9<br />

,<br />

1927<br />

10<br />

2194<br />

000<br />

,<br />

1<br />

10<br />

81549<br />

10<br />

800<br />

1<br />

1<br />

10<br />

81549<br />

10<br />

800<br />

1<br />

1<br />

1<br />

3<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

,<br />

,<br />

3<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

,<br />

,<br />

=<br />

→<br />

≤<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

−<br />

×<br />

×<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

=<br />

≤<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

−<br />

×<br />

×<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

z<br />

z<br />

el<br />

z<br />

pl<br />

z<br />

z<br />

cr<br />

Ed<br />

y<br />

z<br />

cr<br />

Ed<br />

z<br />

y<br />

el<br />

y<br />

pl<br />

y<br />

y<br />

cr<br />

Ed<br />

y<br />

y<br />

cr<br />

Ed<br />

y<br />

W<br />

m<br />

m<br />

M<br />

M<br />

W<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

m<br />

m<br />

M<br />

M<br />

W<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

χ<br />

μ<br />

χ<br />

μ<br />

- Factor Cm0:


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Assume-se aqui que o momento de flexão no eixo maior é quase linear, assim, a fórmula da<br />

flexão com momento linear é usada.<br />

M<br />

ϕ y =<br />

M<br />

C<br />

=<br />

my,<br />

0<br />

=<br />

0,<br />

79<br />

y,<br />

Ed , esquerdo<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

0,<br />

79<br />

+ 0,<br />

21ϕ<br />

+ 0,<br />

36(<br />

ϕ −<br />

+ 0,<br />

21×<br />

0 +<br />

- Resistência à flexão lateral com torção:<br />

0<br />

=<br />

= 0<br />

3<br />

350×<br />

10 Nm<br />

y<br />

0,<br />

36(<br />

0<br />

−<br />

0,<br />

33)<br />

0,<br />

33)<br />

0,<br />

789<br />

EC3 – Volume IV 93<br />

y<br />

N<br />

N<br />

Ed<br />

cr,<br />

y<br />

3<br />

800×<br />

10 N<br />

= 3<br />

81549×<br />

10 N<br />

Porque It = 892871×10 -12 m 4 < Iy = 481,99×10 -6 m 4 , a forma da secção transversal é tal que o<br />

elemento pode ser propenso a flexão lateral com torção.<br />

As condições de apoio asseguram que o comprimento de encurvadura é igual ao comprimento<br />

da barra LLT = L.<br />

M<br />

=<br />

0<br />

cr,<br />

0<br />

λ =<br />

=<br />

2<br />

π × 210000×<br />

10<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜80770×<br />

10<br />

⎜<br />

⎝<br />

N<br />

W<br />

M<br />

cr,<br />

T<br />

2<br />

2<br />

π EI ⎛<br />

⎞<br />

z π EIw<br />

2 ⎜<br />

⎜GI<br />

+ 2 ⎟<br />

t<br />

LLT<br />

⎝ LLT<br />

⎠<br />

pl,<br />

y<br />

f<br />

cr,<br />

0<br />

y<br />

6<br />

=<br />

6<br />

N<br />

m<br />

2<br />

( 3,<br />

5m)<br />

21,<br />

42×<br />

10<br />

N<br />

892871×<br />

10<br />

2<br />

m<br />

2<br />

−12<br />

−6<br />

m<br />

−6<br />

3<br />

6 N<br />

2194x10<br />

m × 235×<br />

10 2<br />

m<br />

3<br />

1014×<br />

10 Nm<br />

⎛<br />

⎜<br />

6 N<br />

× ⎜80770×<br />

10 892871×<br />

10<br />

2<br />

⎜ m<br />

⎜<br />

⎝<br />

−12<br />

4<br />

m<br />

4<br />

×<br />

2<br />

π × 210000×<br />

10<br />

+<br />

m<br />

4<br />

=<br />

0,<br />

713<br />

6<br />

N<br />

m<br />

2<br />

( 3,<br />

5m)<br />

2<br />

−3<br />

2<br />

A ⎛ π EI ⎞ w<br />

11,<br />

552×<br />

10 m<br />

= GIt<br />

I y I ⎜ + 2<br />

6 4<br />

z L ⎟ =<br />

−<br />

+ ⎝<br />

LT ⎠ 481,<br />

99×<br />

10 m + 21,<br />

42×<br />

10<br />

2<br />

π × 210000×<br />

10<br />

+<br />

6<br />

1,<br />

249×<br />

10<br />

2<br />

N<br />

m<br />

2<br />

( 3,<br />

5m)<br />

m<br />

−6<br />

1,<br />

249×<br />

10<br />

2<br />

−6<br />

4<br />

×<br />

= 1014<br />

6 ⎞<br />

m ⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

−6<br />

6 ⎞<br />

m ⎟<br />

⎟ = 6503KN<br />

⎟<br />

⎠<br />

Com C1 = 2,15 (determinado pelas tabelas fornecidas no Anexo I deste documento).


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 94<br />

267<br />

,<br />

0<br />

10<br />

6503<br />

10<br />

800<br />

1<br />

10<br />

3624<br />

10<br />

800<br />

1<br />

15<br />

,<br />

2<br />

2<br />

,<br />

0<br />

1<br />

1<br />

2<br />

,<br />

0<br />

4<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

4<br />

,<br />

,<br />

1<br />

lim<br />

.<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

×<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

×<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

=<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

C<br />

T<br />

cr<br />

Ed<br />

z<br />

cr<br />

Ed<br />

o<br />

λ<br />

⇒<br />

=<br />

≥<br />

= 267<br />

,<br />

0<br />

713<br />

,<br />

0 lim<br />

.<br />

o<br />

o<br />

λ<br />

λ A flexão lateral com torção tem de ser tida em conta.<br />

621<br />

,<br />

2<br />

10<br />

9<br />

,<br />

1927<br />

10<br />

552<br />

,<br />

11<br />

10<br />

800<br />

10<br />

350<br />

0<br />

998<br />

,<br />

0<br />

10<br />

99<br />

,<br />

481<br />

10<br />

892871<br />

1<br />

1<br />

3<br />

6<br />

2<br />

3<br />

3<br />

3<br />

,<br />

,<br />

,<br />

4<br />

12<br />

4<br />

12<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

≥<br />

=<br />

×<br />

×<br />

−<br />

=<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

m<br />

m<br />

N<br />

Nm<br />

W<br />

A<br />

N<br />

M<br />

m<br />

m<br />

I<br />

I<br />

y<br />

el<br />

Ed<br />

direito<br />

Ed<br />

y<br />

y<br />

y<br />

t<br />

LT<br />

ε<br />

α<br />

( )<br />

( )<br />

486<br />

,<br />

0<br />

10<br />

2179<br />

10<br />

235<br />

10<br />

2194<br />

.<br />

2179<br />

5<br />

,<br />

3<br />

10<br />

249<br />

,<br />

1<br />

10<br />

210000<br />

10<br />

892871<br />

10<br />

80770<br />

5<br />

,<br />

3<br />

10<br />

42<br />

,<br />

21<br />

10<br />

210000<br />

5<br />

,<br />

21<br />

1<br />

020<br />

,<br />

1<br />

10<br />

6503<br />

10<br />

800<br />

1<br />

10<br />

3624<br />

10<br />

800<br />

1<br />

998<br />

,<br />

0<br />

919<br />

,<br />

0<br />

1<br />

1<br />

919<br />

,<br />

0<br />

998<br />

,<br />

0<br />

621<br />

,<br />

2<br />

1<br />

621<br />

,<br />

2<br />

998<br />

,<br />

0<br />

)<br />

789<br />

,<br />

0<br />

1<br />

(<br />

789<br />

,<br />

0<br />

1<br />

)<br />

1<br />

(<br />

3<br />

2<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

2<br />

6<br />

6<br />

2<br />

6<br />

2<br />

4<br />

12<br />

2<br />

6<br />

2<br />

4<br />

6<br />

2<br />

6<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

2<br />

,<br />

,<br />

2<br />

0<br />

,<br />

0<br />

,<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

×<br />

×<br />

+<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

=<br />

≥<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

×<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

×<br />

−<br />

=<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

=<br />

=<br />

×<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

Nm<br />

m<br />

N<br />

m<br />

M<br />

f<br />

W<br />

m<br />

KN<br />

m<br />

m<br />

m<br />

N<br />

m<br />

m<br />

N<br />

x<br />

m<br />

m<br />

m<br />

N<br />

L<br />

EI<br />

GI<br />

L<br />

EI<br />

C<br />

M<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

C<br />

K<br />

C<br />

C<br />

C<br />

cr<br />

y<br />

y<br />

pl<br />

LT<br />

LT<br />

w<br />

t<br />

LT<br />

z<br />

cr<br />

T<br />

cr<br />

Ed<br />

z<br />

cr<br />

Ed<br />

LT<br />

my<br />

LT<br />

LT<br />

y<br />

y<br />

LT<br />

my<br />

my<br />

my<br />

λ<br />

π<br />

π<br />

π<br />

π<br />

α<br />

α<br />

ε<br />

ε<br />

α<br />

O “caso geral” é o método escolhido aqui.<br />

667<br />

,<br />

0<br />

]<br />

486<br />

,<br />

0<br />

)<br />

2<br />

,<br />

0<br />

486<br />

,<br />

0<br />

(<br />

34<br />

,<br />

0<br />

1<br />

[<br />

5<br />

,<br />

0<br />

]<br />

)<br />

2<br />

,<br />

0<br />

(<br />

1<br />

[<br />

5<br />

,<br />

0<br />

2<br />

2<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

= LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

λ<br />

λ<br />

α<br />

φ<br />

1<br />

890<br />

,<br />

0<br />

486<br />

,<br />

0<br />

667<br />

,<br />

0<br />

667<br />

,<br />

0<br />

1<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

≤<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

λ<br />

φ<br />

φ<br />

χ


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 95<br />

Com Kc = 0,653 (valores obtidos pelo Anexo I deste documento).<br />

0<br />

,<br />

1<br />

861<br />

,<br />

0<br />

]<br />

)<br />

8<br />

,<br />

0<br />

486<br />

,<br />

0<br />

(<br />

2<br />

1<br />

)[<br />

653<br />

,<br />

0<br />

1<br />

(<br />

5<br />

,<br />

0<br />

1<br />

]<br />

)<br />

8<br />

,<br />

0<br />

(<br />

2<br />

1<br />

)[<br />

1<br />

(<br />

5<br />

,<br />

0<br />

1<br />

2<br />

2<br />

≤<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

= LT<br />

c<br />

k<br />

f λ<br />

000<br />

,<br />

1<br />

034<br />

,<br />

1<br />

861<br />

,<br />

0<br />

890<br />

,<br />

0<br />

mod<br />

,<br />

mod<br />

,<br />

=<br />

→<br />

=<br />

=<br />

= LT<br />

LT<br />

LT<br />

f<br />

χ<br />

χ<br />

χ<br />

- Resistência à compressão elástico-plástica:<br />

865<br />

,<br />

0<br />

2714<br />

10<br />

235<br />

10<br />

552<br />

,<br />

11<br />

max<br />

2<br />

3<br />

3<br />

,<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

−<br />

−<br />

z<br />

y<br />

Rk<br />

c<br />

KN<br />

m<br />

N<br />

x<br />

Af<br />

N<br />

λ<br />

λ<br />

Sendo bLT = 0 porque MZ,Ed = 0.<br />

879<br />

,<br />

0<br />

10<br />

2194<br />

10<br />

9<br />

,<br />

1927<br />

061<br />

,<br />

1<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

2714<br />

10<br />

800<br />

865<br />

,<br />

0<br />

919<br />

,<br />

0<br />

138<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

865<br />

,<br />

0<br />

919<br />

,<br />

0<br />

138<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

2<br />

)<br />

1<br />

138<br />

,<br />

1<br />

(<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

1<br />

2<br />

)<br />

1<br />

(<br />

1<br />

3<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

,<br />

2<br />

max<br />

2<br />

max<br />

2<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

≥<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

×<br />

×<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

×<br />

−<br />

×<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

−<br />

m<br />

m<br />

W<br />

W<br />

N<br />

N<br />

b<br />

N<br />

N<br />

C<br />

w<br />

C<br />

w<br />

w<br />

C<br />

y<br />

pl<br />

y<br />

el<br />

LT<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

Ed<br />

my<br />

y<br />

my<br />

y<br />

y<br />

yy<br />

γ<br />

λ<br />

λ<br />

Sendo dLT = 0 porque MZ,Ed = 0.<br />

459<br />

,<br />

0<br />

10<br />

2194<br />

10<br />

9<br />

,<br />

1927<br />

5<br />

,<br />

1<br />

138<br />

,<br />

1<br />

6<br />

,<br />

0<br />

6<br />

,<br />

0<br />

893<br />

,<br />

0<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

2714<br />

10<br />

800<br />

138<br />

,<br />

1<br />

865<br />

,<br />

0<br />

919<br />

,<br />

0<br />

14<br />

2<br />

)<br />

1<br />

138<br />

,<br />

1<br />

(<br />

1<br />

14<br />

2<br />

)<br />

1<br />

(<br />

1<br />

3<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

3<br />

3<br />

5<br />

2<br />

2<br />

1<br />

,<br />

5<br />

2<br />

max<br />

2<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

≥<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

×<br />

×<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ ×<br />

−<br />

−<br />

+<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

−<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛ −<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

−<br />

m<br />

m<br />

W<br />

W<br />

w<br />

w<br />

N<br />

N<br />

d<br />

N<br />

N<br />

w<br />

C<br />

w<br />

C<br />

y<br />

pl<br />

y<br />

el<br />

z<br />

y<br />

LT<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

Ed<br />

y<br />

my<br />

y<br />

zy<br />

γ<br />

λ<br />

- Verificação:<br />

m<br />

KN<br />

m<br />

N<br />

m<br />

f<br />

W<br />

M y<br />

y<br />

pl<br />

Rk<br />

y<br />

pl<br />

.<br />

516<br />

10<br />

235<br />

10<br />

2194 2<br />

6<br />

3<br />

3<br />

,<br />

,<br />

,<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

−<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

⎡<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎥<br />

N ⎢ C M<br />

Ed<br />

my y,<br />

Ed , direito ⎥<br />

+ μ y N ⎢<br />

⎥<br />

c,<br />

Rk ⎛ ⎞<br />

χ ⎢<br />

, ,<br />

⎜<br />

N M<br />

Ed<br />

pl y Rk<br />

y<br />

1−<br />

⎟C<br />

⎥<br />

γ 1 ⎢⎜<br />

⎟ yy<br />

M<br />

⎥<br />

⎣⎝<br />

Ncr,<br />

y ⎠ γ M1<br />

⎦<br />

⎡<br />

⎤<br />

3 ⎢<br />

3<br />

⎥<br />

800×<br />

10 N<br />

0,<br />

919 350 10<br />

1⎢<br />

× × Nm<br />

=<br />

+<br />

⎥<br />

3<br />

3<br />

3<br />

2714×<br />

10 N ⎢⎛<br />

800×<br />

10 N ⎞ 516×<br />

10 Nm ⎥<br />

1<br />

⎢ 1<br />

1,<br />

033<br />

3<br />

⎥<br />

1,<br />

0 ⎜ −<br />

⎣ 81549 10 ⎟<br />

⎝ × N ⎠ 1,<br />

0 ⎦<br />

= 0,<br />

936 ≤1<br />

⎡<br />

⎢<br />

NEd<br />

⎢<br />

+ μz<br />

0,<br />

6<br />

N ⎢<br />

c,<br />

Rk<br />

χ z ⎢<br />

γ M 1 ⎢<br />

⎣<br />

wy<br />

wz<br />

kLT<br />

χLT<br />

,<br />

⎡<br />

3 ⎢<br />

800×<br />

10 N<br />

=<br />

+ 0,<br />

918⎢0,<br />

6<br />

3<br />

2714×<br />

10 N ⎢<br />

1<br />

⎢<br />

1,<br />

0<br />

⎣<br />

= 0,<br />

777 ≤1<br />

⇒ Satisfatório.<br />

mod<br />

⎛<br />

⎜<br />

N<br />

⎜<br />

1−<br />

⎝ N<br />

1,<br />

138<br />

1,<br />

5<br />

C<br />

my<br />

Ed<br />

M<br />

cr,<br />

z<br />

1,<br />

020<br />

1,<br />

000<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

⎞<br />

⎟<br />

C<br />

⎠<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

⎤<br />

3<br />

⎥<br />

0,<br />

919×<br />

350×<br />

10 Nm ⎥<br />

3<br />

3<br />

⎛ 800×<br />

10 N ⎞ 516×<br />

10 Nm ⎥<br />

⎜<br />

⎜1−<br />

0,<br />

893<br />

3<br />

⎥<br />

81549 10 ⎟<br />

⎝ × N ⎠ 1,<br />

0 ⎦<br />

EC3 – Volume IV 96<br />

zy<br />

M<br />

γ<br />

M 1<br />

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9):<br />

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:<br />

A força máxima de corte nas extremidades do elementos é Vy,Ed = 106,4 KN, na extremidade<br />

esquerda.<br />

A<br />

=<br />

V<br />

V<br />

Vy<br />

y,<br />

Ed<br />

= A − 2bt<br />

5,<br />

99×<br />

10<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

−3<br />

f<br />

m<br />

+ ( t<br />

≥ h t<br />

M 0<br />

w<br />

+ 2r)<br />

t<br />

w w<br />

= 152,<br />

5KN<br />

≤ 0,<br />

5<br />

2<br />

AVy<br />

f y<br />

=<br />

3 γ<br />

= 0,<br />

468m×<br />

10,<br />

2×<br />

10<br />

4,<br />

77 × 10<br />

=<br />

3<br />

xV<br />

f<br />

−3<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

= 11,<br />

55×<br />

10<br />

m<br />

=<br />

2<br />

−3<br />

m<br />

235×<br />

10<br />

1,<br />

0<br />

2<br />

−3<br />

6<br />

N<br />

m<br />

= 648KN<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

− 2×<br />

0,<br />

2m<br />

× 0,<br />

016m<br />

+ ( 0,<br />

0102m<br />

+ 2×<br />

0,<br />

021m)<br />

m = 4,<br />

77 × 10<br />

0,<br />

5×<br />

648KN<br />

= 324KN<br />

⇒ O efeito do corte sobre o momento resistente plástico não precisa de ser tido em conta<br />

(Vsd < 50% Vrd).<br />

2<br />

−3<br />

m<br />

2


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

N<br />

n =<br />

N<br />

n<br />

w<br />

γ<br />

Ed<br />

c,<br />

Rk<br />

M 0<br />

NEdγ<br />

=<br />

h t f<br />

w w<br />

3<br />

800×<br />

10 N<br />

=<br />

= 3<br />

2714×<br />

10 N<br />

1,<br />

0<br />

M 0<br />

y<br />

0,<br />

295<br />

0,<br />

25<br />

3<br />

800×<br />

10 N × 1,<br />

0<br />

=<br />

−3<br />

6 N<br />

0,<br />

468m<br />

× 10,<br />

2×<br />

10 m×<br />

235×<br />

10<br />

m<br />

0,<br />

713<br />

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico precisa de ser tido em conta.<br />

α<br />

M<br />

−3<br />

2<br />

( A − 2bf<br />

t f ) 11,<br />

552×<br />

10 m − 2×<br />

0,<br />

2m<br />

× 0,<br />

016m<br />

=<br />

= 0,<br />

446 ≤<br />

3 2<br />

A<br />

11,<br />

552×<br />

10 m<br />

= −<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

M<br />

≤<br />

γ<br />

M<br />

M<br />

⇒ Satisfatório.<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

1−<br />

n M pl,<br />

=<br />

1−<br />

0,<br />

5α<br />

γ<br />

• Verificação da Estabilidade:<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

3<br />

516×<br />

10 Nm<br />

3<br />

=<br />

= 516x10<br />

Nm<br />

1,<br />

0<br />

3<br />

350×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 3<br />

468×<br />

10 Nm<br />

0,<br />

748<br />

EC3 – Volume IV 97<br />

≥<br />

≤1<br />

2<br />

=<br />

≥<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

5<br />

3<br />

1−<br />

0,<br />

295 516×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 468KN.<br />

m<br />

1−<br />

0,<br />

5×<br />

0,<br />

446 1,<br />

0<br />

Verificação de acordo com o Método 2<br />

- Factor de redução para a compressão e flexão:<br />

λ<br />

= π<br />

1<br />

L<br />

λy<br />

=<br />

i<br />

L<br />

λz<br />

=<br />

i<br />

cr<br />

y<br />

cr<br />

y<br />

E<br />

f<br />

y<br />

1 3,<br />

5m<br />

=<br />

λ 204,<br />

3×<br />

10<br />

1<br />

1 3,<br />

5m<br />

=<br />

λ 43,<br />

1×<br />

10<br />

1<br />

6 N<br />

210000×<br />

10<br />

= π<br />

m<br />

6 N<br />

235×<br />

10 2<br />

m<br />

−3<br />

−3<br />

m<br />

m<br />

1<br />

93,<br />

9<br />

1<br />

93,<br />

9<br />

=<br />

2<br />

=<br />

=<br />

93,<br />

9<br />

0,<br />

182<br />

0,<br />

866<br />

≤<br />

0,<br />

200<br />

→ χ = 1,<br />

000<br />

y


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

χ z =<br />

φ +<br />

1<br />

2<br />

z<br />

2<br />

z<br />

=<br />

2<br />

z<br />

2<br />

φ = 0,<br />

5[<br />

1+<br />

α ( λ − 0,<br />

2)<br />

+ λ ] = 0,<br />

5[<br />

1+<br />

0,<br />

34(<br />

0,<br />

866 − 0,<br />

2)<br />

+ 0,<br />

866 ] = 0,<br />

988<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

φ − λ<br />

0,<br />

988<br />

+<br />

1<br />

0,<br />

988<br />

- Momento Uniforme Equivalente Cm:<br />

M<br />

ϕ y =<br />

M<br />

M<br />

M<br />

s<br />

h<br />

M<br />

αs<br />

=<br />

M<br />

0 ≤ α =<br />

C<br />

C<br />

my<br />

=<br />

m.<br />

LT<br />

= M<br />

= M<br />

s<br />

y,<br />

Ed , esquerdo<br />

0,<br />

2<br />

= C<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

y,<br />

Ed , mid −span<br />

s<br />

h<br />

y,<br />

Ed , direito<br />

129,<br />

06<br />

= =<br />

350<br />

0,<br />

369<br />

≤1<br />

+ 0,<br />

8α<br />

=<br />

my<br />

=<br />

= 350KN.<br />

m<br />

s<br />

0,<br />

495<br />

0<br />

=<br />

= 0<br />

3<br />

350×<br />

10 Nm<br />

= 129,<br />

06KN.<br />

m<br />

0,<br />

369<br />

0,<br />

2<br />

+<br />

0,<br />

8<br />

×<br />

0,<br />

369<br />

=<br />

2<br />

− 0,<br />

866<br />

0,<br />

495<br />

- Resistência à flexão lateral com torção:<br />

k<br />

p<br />

=<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢<br />

1 +<br />

⎢<br />

⎢⎣<br />

1<br />

20<br />

0,<br />

9<br />

2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

⎜ ⎟ ⎥<br />

⎜ λz<br />

⎟ ⎥<br />

⎜ h ⎟ ⎥<br />

⎜<br />

⎟ ⎥<br />

⎝ t f ⎠ ⎥⎦<br />

0,<br />

25<br />

=<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎢1<br />

+<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

1<br />

20<br />

0,<br />

9<br />

≥<br />

2<br />

0,<br />

4<br />

2<br />

⎛ ⎞ ⎤<br />

⎜ ⎟ ⎥<br />

⎜ 81,<br />

3 ⎟ ⎥<br />

⎜ 0,<br />

5m<br />

⎟ ⎥<br />

⎜ ⎟<br />

0,<br />

016<br />

⎥<br />

⎝ m ⎠ ⎦<br />

0,<br />

683 ≤1<br />

EC3 – Volume IV 98<br />

=<br />

0,<br />

25<br />

=<br />

0,<br />

837<br />

Com Kc=0,653 (valores obtidos pelas tabelas do Anexo I).<br />

λ<br />

_<br />

_<br />

LT = c p z<br />

K × K × λ =<br />

0,<br />

653<br />

×<br />

0,<br />

837<br />

×<br />

0,<br />

866<br />

=<br />

0,<br />

473<br />

O factor de torção lateral λLT também pode ser calculado da forma habitual, utilizando Mcr.<br />

β = 0,75


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 99<br />

000<br />

,<br />

1<br />

110<br />

,<br />

1<br />

864<br />

,<br />

0<br />

959<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

864<br />

,<br />

0<br />

]<br />

)<br />

8<br />

,<br />

0<br />

473<br />

,<br />

0<br />

(<br />

2<br />

1<br />

)[<br />

653<br />

,<br />

0<br />

1<br />

(<br />

5<br />

,<br />

0<br />

1<br />

]<br />

)<br />

8<br />

,<br />

0<br />

(<br />

2<br />

1<br />

)[<br />

1<br />

(<br />

5<br />

,<br />

0<br />

1<br />

1<br />

959<br />

,<br />

0<br />

473<br />

,<br />

0<br />

75<br />

,<br />

0<br />

602<br />

,<br />

0<br />

602<br />

,<br />

0<br />

1<br />

1<br />

602<br />

,<br />

0<br />

]<br />

473<br />

,<br />

0<br />

)<br />

4<br />

,<br />

0<br />

473<br />

,<br />

0<br />

(<br />

49<br />

,<br />

0<br />

1<br />

[<br />

5<br />

,<br />

0<br />

]<br />

)<br />

4<br />

,<br />

0<br />

(<br />

1<br />

[<br />

5<br />

,<br />

0<br />

mod<br />

,<br />

mod<br />

,<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

=<br />

→<br />

=<br />

=<br />

=<br />

≤<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

−<br />

−<br />

=<br />

≤<br />

=<br />

×<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

c<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

f<br />

k<br />

f<br />

χ<br />

χ<br />

χ<br />

λ<br />

λ<br />

β<br />

φ<br />

φ<br />

χ<br />

λ<br />

λ<br />

α<br />

φ<br />

- Factores de Interacção:<br />

( )<br />

[ ] ( )<br />

[ ]<br />

847<br />

,<br />

0<br />

25<br />

,<br />

0<br />

495<br />

,<br />

0<br />

432<br />

,<br />

0<br />

866<br />

,<br />

0<br />

1<br />

,<br />

0<br />

1<br />

25<br />

,<br />

0<br />

1<br />

,<br />

0<br />

1<br />

:<br />

1<br />

4<br />

,<br />

0<br />

492<br />

,<br />

0<br />

295<br />

,<br />

0<br />

2<br />

,<br />

0<br />

182<br />

,<br />

0<br />

1<br />

495<br />

,<br />

0<br />

2<br />

,<br />

0<br />

1<br />

:<br />

1<br />

432<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

2714<br />

683<br />

,<br />

0<br />

10<br />

800<br />

295<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

2714<br />

000<br />

,<br />

1<br />

10<br />

800<br />

2714<br />

10<br />

235<br />

10<br />

552<br />

,<br />

11<br />

3<br />

3<br />

1<br />

,<br />

3<br />

3<br />

1<br />

,<br />

2<br />

3<br />

3<br />

,<br />

=<br />

−<br />

×<br />

×<br />

−<br />

=<br />

−<br />

−<br />

=<br />

≤<br />

≤<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

−<br />

+<br />

=<br />

≤<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

−<br />

−<br />

mLT<br />

z<br />

z<br />

LT<br />

z<br />

y<br />

y<br />

my<br />

yy<br />

y<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

z<br />

Ed<br />

z<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

y<br />

Ed<br />

y<br />

y<br />

Rk<br />

c<br />

C<br />

n<br />

k<br />

n<br />

C<br />

K<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

n<br />

N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

n<br />

KN<br />

m<br />

N<br />

Af<br />

N<br />

λ<br />

λ<br />

λ<br />

λ<br />

γ<br />

χ<br />

γ<br />

χ<br />

- Verificação:<br />

1<br />

628<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

516<br />

000<br />

,<br />

1<br />

10<br />

350<br />

492<br />

,<br />

0<br />

0<br />

,<br />

1<br />

10<br />

2714<br />

000<br />

,<br />

1<br />

10<br />

800<br />

516<br />

10<br />

235<br />

10<br />

2194<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

1<br />

,<br />

,<br />

mod<br />

,<br />

,<br />

1<br />

,<br />

2<br />

6<br />

3<br />

6<br />

,<br />

,<br />

,<br />

≤<br />

=<br />

×<br />

×<br />

+<br />

×<br />

×<br />

=<br />

+<br />

=<br />

×<br />

×<br />

×<br />

=<br />

=<br />

−<br />

Nm<br />

Nm<br />

N<br />

N<br />

M<br />

M<br />

k<br />

N<br />

N<br />

kNm<br />

m<br />

N<br />

m<br />

f<br />

W<br />

M<br />

M<br />

Rk<br />

y<br />

pl<br />

LT<br />

Ed<br />

y<br />

yy<br />

M<br />

Rk<br />

c<br />

y<br />

Ed<br />

y<br />

y<br />

pl<br />

Rk<br />

y<br />

pl<br />

γ<br />

χ<br />

γ<br />

χ


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

NEd<br />

N<br />

χ z<br />

γ<br />

Rk<br />

M 1<br />

+ k<br />

LT<br />

χ<br />

LT , mod<br />

⇒ Não Satisfatório<br />

M<br />

M<br />

y,<br />

Ed<br />

pl,<br />

y,<br />

Rk<br />

γ<br />

M 1<br />

3<br />

800×<br />

10 N<br />

=<br />

3<br />

2714×<br />

10 N<br />

0,<br />

683<br />

1,<br />

0<br />

• Secção transversal de verificação (EN 1993-1-1, 6.2.9)<br />

3<br />

350×<br />

10 Nm<br />

0,<br />

847<br />

3<br />

516×<br />

10 Nm<br />

1,<br />

000<br />

1,<br />

0<br />

1,<br />

006<br />

O máximo de corte nas extremidades do elemento é Vy,Ed = 106,4 KN, na extremidade<br />

esquerda.<br />

A<br />

=<br />

V<br />

V<br />

Vy<br />

y,<br />

Ed<br />

= A − 2bt<br />

= 11,<br />

55×<br />

10<br />

5,<br />

99×<br />

10<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

−3<br />

−3<br />

f<br />

m<br />

m<br />

+ ( t<br />

2<br />

− 2×<br />

0,<br />

2m<br />

× 0,<br />

016m<br />

+ ( 0,<br />

0102m<br />

+ 2×<br />

0,<br />

021m)<br />

≥ h t<br />

M 0<br />

w<br />

+ 2r)<br />

t<br />

w w<br />

= 152,<br />

5KN<br />

≤ 0,<br />

5×<br />

V<br />

2<br />

AVy<br />

f y<br />

=<br />

3 γ<br />

f<br />

= 0,<br />

468m<br />

× 10,<br />

2x10<br />

4,<br />

77×<br />

10<br />

=<br />

3<br />

−3<br />

pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

m<br />

=<br />

2<br />

235×<br />

10<br />

1,<br />

0<br />

−3<br />

N<br />

m<br />

EC3 – Volume IV 100<br />

+<br />

m = 4,<br />

77x10<br />

6<br />

= 648KN<br />

0,<br />

5×<br />

648KN<br />

= 324KN<br />

2<br />

⇒ O efeito do corte sobre o momento plástico de resistência não necessita de ser tomado em<br />

consideração.<br />

N<br />

n =<br />

N<br />

n<br />

w<br />

γ<br />

Ed<br />

c,<br />

Rk<br />

M 0<br />

NEdγ<br />

=<br />

h t f<br />

w w<br />

3<br />

800×<br />

10 N<br />

=<br />

= 3<br />

2714×<br />

10 N<br />

1,<br />

0<br />

M 0<br />

y<br />

0,<br />

295<br />

0,<br />

25<br />

3<br />

800×<br />

10 N × 1,<br />

0<br />

=<br />

−3<br />

6 N<br />

0,<br />

468m×<br />

10,<br />

2×<br />

10 m×<br />

235×<br />

10<br />

m<br />

≥<br />

2<br />

=<br />

−3<br />

m<br />

2<br />

0,<br />

713<br />

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico necessita de ser tomado em<br />

consideração.<br />

−3<br />

2<br />

( A − 2bf<br />

t f ) 11,<br />

552×<br />

10 m − 2×<br />

0,<br />

2m<br />

× 80,<br />

016m<br />

α<br />

= =<br />

= 0,<br />

446 ≤ 0,<br />

5<br />

−3<br />

2<br />

A<br />

11,<br />

552×<br />

10 m<br />

M<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

M pl,<br />

≤<br />

γ<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

1−<br />

n M pl,<br />

=<br />

1−<br />

0,<br />

5α<br />

γ<br />

y,<br />

Rk<br />

M 0<br />

3<br />

516×<br />

10 Nm<br />

3<br />

=<br />

= 516x10<br />

Nm<br />

1,<br />

0<br />

≥<br />

0,<br />

5<br />

3<br />

1−<br />

0,<br />

295 516×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 468KN.<br />

m<br />

1−<br />

0,<br />

5×<br />

0,<br />

446 1,<br />

0<br />

=<br />

≥1


M<br />

M<br />

Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

y,<br />

Ed , direito<br />

N , pl,<br />

y,<br />

Rd<br />

⇒ Satisfatório.<br />

3<br />

350×<br />

10 Nm<br />

=<br />

= 3<br />

468×<br />

10 Nm<br />

0,<br />

748<br />

≤1<br />

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas comparações<br />

Seguem-se alguns exemplos utilizando a versão inicial do EC3, de 1993, em que a<br />

encurvadura lateral é mais fácil de verificar, embora com valores mais conservativos e menos<br />

económicos. Em certos exemplos também é incluída a resolução pela versão actual do EC3<br />

(2010), para comparação. Contudo, a solução pela versão actual do EC3 (2010) precisa de<br />

revisão, podendo existir erros.<br />

Os exemplos foram retirados da versão espanhola do ESDEP.<br />

2.4.4.1. Exemplo de momento simples e esforço axial, sendo o momento segundo z<br />

(menor inércia)<br />

Mostre que quando o perfil da figura é usado como pilar de uma estrutura com uma altura de<br />

4 m., sujeito a um esforço axial Nsd=250 kN pode ser, sem prejuízo da sua estabilidade,<br />

sujeito a um momento segundo o eixo de menor inércia (zz) no valor de 6kNm (constante ao<br />

longo de todo o pilar). Este pilar tem os seus extremos simplesmente apoiados sem<br />

possibilidade de ocorrência de translação (nós fixos).<br />

Dados:<br />

<br />

HEA160<br />

z<br />

y<br />

Mz.Sd<br />

EC3 – Volume IV 101<br />

Nsd<br />

y<br />

z


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Altura útil da alma, d = 104 mm<br />

Altura, h = 152 mm<br />

Largura do banzo, b = 160mm<br />

t f<br />

Espessura do banzo, = 9 mm<br />

Raio de giração, iy = 6,75 cm<br />

Raio de giração, iz = 3,98 cm<br />

Espessura da alma, tw = 6 mm<br />

Módulo de flexão elástica,<br />

Módulo de flexão elástica,<br />

Módulo de flexão plástica,<br />

Módulo de flexão plástica,<br />

<br />

Fe<br />

Resolução<br />

wel . y =<br />

wel . z =<br />

wpl . y =<br />

wpl . z =<br />

220 cm<br />

EC3 – Volume IV 102<br />

3<br />

76, 9 cm<br />

245cm<br />

118cm<br />

360<br />

f y = 235 MPa<br />

(com a tensão de cedência<br />

).<br />

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993<br />

Nota: O comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as duas<br />

extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente (ver esquema), pode,<br />

conservativamente, ser considerado igual ao seu comprimento nominal.<br />

Devemos calcular em primeira instância a classe do perfil. Calculando separadamente as<br />

classes da alma e do banzo. A classe da peça será a mais alta existente entre estas duas (em<br />

termos numéricos das classes).<br />

Tendo em conta a sua tensão de cedência fy=235 MPa para S235:<br />

ε =<br />

235<br />

f<br />

y<br />

=<br />

3<br />

3<br />

3<br />

235<br />

= 1<br />

235<br />

Quanto à classe da alma, uma vez que está sujeita à compressão, temos:<br />

Com:<br />

d/tw


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Assim:<br />

Logo:<br />

d = altura útil entre banzos<br />

tw = espessura da alma<br />

<br />

<br />

104 mm 6 mm = 17,<br />

33mm<br />

17, 33mm<br />

≤ 33⋅<br />

ε , com ε = 1,<br />

(já calculado)<br />

Assumindo que, conforme calculado:<br />

<br />

d<br />

/ tw<br />

≤ 33.<br />

ε<br />

, sabemos que a alma da peça é da classe 1.<br />

Analogamente, para o banzo vem:<br />

Com:<br />

Assim:<br />

c = metade da largura do banzo<br />

tf = espessura do banzo<br />

80 mm/9 mm = 8,88 mm<br />

<br />

8, 88mm<br />

≤10.<br />

ε , com<br />

Assumindo que, conforme calculado:<br />

<br />

c/tf<br />

ε = 1<br />

(já calculado)<br />

c / t f ≤10.<br />

ε<br />

, sabemos que os banzos da peça são da classe 1.<br />

Finalmente sabemos que a peça pertence à classe 1.<br />

Para a classe 1 a área efectiva tem o mesmo valor que a área total da peça (não existem partes<br />

da secção capazes de instabilizá-la localmente).<br />

A esbelteza para o modo de encurvadura apropriado ( 1 λ ) é dada por:<br />

Logo:<br />

λ 93,<br />

9.<br />

ε<br />

1 =<br />

λ<br />

= 93,<br />

9.<br />

ε × 1=<br />

93,<br />

9<br />

1<br />

EC3 – Volume IV 103


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Dos dados iniciais do problema depreendemos que o raio de giração da peça relativamente ao<br />

eixo z (iz) é menor que o mesmo relativamente ao eixo y, ou seja, iz < iy.<br />

O factor de redução para o modo de encurvadura relevante, χ , tomará o menor valor dos<br />

χ y<br />

factores de redução e χ z .<br />

Portanto min χ χ y<br />

será igual ao menor valor de e χ z .<br />

Os elementos com secções transversais da classe 1 sujeitos a uma compressão devem<br />

satisfazer a seguinte condição:<br />

Com:<br />

N<br />

f y = Tensão de cedência<br />

<br />

Sd<br />

z z.<br />

( χ A.<br />

f γ ) ( w . f )<br />

γ M 1 = Coeficiente de segurança<br />

Kz = Coeficiente de rigidez<br />

<br />

<br />

M z.<br />

Sd = Momento-flector actuante<br />

w pl.<br />

z = Módulo de flexão plástico<br />

+<br />

EC3 – Volume IV 104<br />

K<br />

. M<br />

min . y M 1 pl.<br />

z y<br />

Sd<br />

γ M 1<br />

Vamos calcular as incógnitas em falta para analisarmos a relação anterior e fazer as<br />

verificações necessárias.<br />

Por definição sabemos que a esbelteza normalizada para o eixo z, λ z , é igual a:<br />

λ<br />

λ =<br />

λ1<br />

≤1<br />

Em que λ é a esbelteza para o modo de encurvadura apropriado) e:<br />

<br />

l<br />

λ =<br />

iz<br />

Assim virá:<br />

λ =<br />

4000<br />

= 100,<br />

5<br />

39,<br />

8<br />

_ 5<br />

λz<br />

= × 1<br />

93,<br />

9<br />

100, 0,<br />

5<br />

(sendo l o comprimento da peça e i o seu raio de giração segundo o eixo de menor inércia z-z)<br />

= 1,<br />

0703<br />

_


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Através da consulta podemos seleccionar a curva de encurvadura de secção transversal da<br />

nossa peça, do seguinte modo:<br />

Tratando-se de um perfil laminado, calculamos a razão entre<br />

um resultado de 0,95, verificamos que<br />

0, 95 ≤<br />

1,<br />

2<br />

h b<br />

, sendo abrangido no limite<br />

h<br />

(dados iniciais do problema). Com<br />

b ≤ 1,<br />

2<br />

Seguidamente verificamos que a espessura do banzo “tf” dada inicialmente é de 9 mm, e logo,<br />

fica abrangido nos limites tf < 100mm.<br />

Tendo em conta que pretendemos a curva de encurvadura relativa ao eixo dos z-z, sabemos<br />

então que é a curva c.<br />

Para cálculo do factor de redução χ para a encurvadura, sabendo que a esbelteza calculada λ z<br />

é 1,0703 e que a nossa curva de encurvadura é a “c” podemos calcular directamente ou<br />

interpolando o valor correcto para χ. No nosso caso concreto χ=0.5 (Quadro 4 – Factores de<br />

redução).<br />

Como se assume o momento constante ao longo de toda a peça, o nosso coeficiente de<br />

redução ψ é igual a 1. Tendo em conta o quadro 6 (cap. 5.5.6.1, EC3, 1993), ψ situa-se nos<br />

limites entre<br />

−1≤ψ ≤1<br />

β Mψ , e logo, o coeficiente de equivalência a momentos uniformes será<br />

igual a<br />

1, 8 − 0,<br />

7ψ<br />

.<br />

Então vem:<br />

β ψ<br />

M<br />

= 1 , 8 − 0,<br />

7.<br />

ψ = 1,<br />

8 − 0,<br />

7×<br />

1=<br />

1,<br />

1<br />

Falta-nos verificar os valores de cálculo dos coeficientes μ z e z K .<br />

O primeiro pode ser calculado da seguinte forma:<br />

Com:<br />

<br />

<br />

<br />

μ = λ<br />

z<br />

z<br />

_<br />

⎡w − w<br />

⎢<br />

⎣ wel.<br />

z<br />

pl.<br />

z el.<br />

z<br />

( 2.<br />

β − 4)<br />

+<br />

≤ 0,<br />

90<br />

Mz<br />

w el.<br />

z = Módulo de flexão elástico<br />

β MZ = Factor de momento uniforme equivalente correspondente à encurvadura<br />

por varejamento (compressão).<br />

w pl.<br />

z = Módulo de flexão plástico<br />

EC3 – Volume IV 105<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

.<br />

_


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:<br />

Pelo que verifica!<br />

μ = 1,<br />

0703.<br />

z<br />

μ = −1,<br />

392<br />

z<br />

( 2×<br />

1,<br />

1−<br />

4 ) )<br />

≤<br />

0,<br />

90<br />

O segundo pode ser calculado através da expressão:<br />

Com:<br />

A = área do perfil utilizado (m2)<br />

<br />

F<br />

fy = tensão de cedência do e 360 ( Pa<br />

)<br />

NSd = esforço axial na peça (N)<br />

K<br />

z<br />

⎡118 − 76,<br />

9⎤<br />

+ ⎢ ≤ 0,<br />

90<br />

76,<br />

9 ⎥<br />

⎣ ⎦<br />

μ z . N Sd<br />

= 1− ≤<br />

χ . A.<br />

f<br />

Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:<br />

Não verifica!<br />

K<br />

K<br />

= 1,<br />

763<br />

Z<br />

4 ( 38,<br />

8 × 10 )<br />

1,<br />

5<br />

EC3 – Volume IV 106<br />

y<br />

1,<br />

5<br />

3<br />

−1,<br />

392×<br />

250 × 10<br />

−<br />

0,<br />

5<br />

235 × 10<br />

z = 1 −<br />

6<br />

Neste caso vamos utilizar o valor máximo de:<br />

<br />

K z = 1,<br />

5<br />

Verificação de todos os dados na expressão:<br />

Vem:<br />

Verifica!<br />

z<br />

N<br />

≤<br />

. M<br />

Sd<br />

z z.<br />

Sd<br />

( χ A.<br />

f γ ) ( w . f γ )<br />

+<br />

K<br />

min . y M 1 pl.<br />

z y M 1<br />

3<br />

250×<br />

10<br />

−4<br />

6<br />

0,<br />

5×<br />

38,<br />

8×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

1<br />

0, 8728 ≤<br />

≤ 1,<br />

5<br />

≤ 1<br />

3<br />

1,<br />

5×<br />

6×<br />

10<br />

+<br />

−6<br />

6<br />

118×<br />

10 × 235×<br />

10<br />

1<br />

1<br />

≤ 1


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Conclusão final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços<br />

pretendidos.<br />

Classificação da secção:<br />

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010.<br />

i =<br />

σ compressão<br />

σ tracção<br />

I<br />

A<br />

σ compressão<br />

σ tracção<br />

α =<br />

σ<br />

N ed M zed ⎛ − h<br />

= + × ⎜ −3<br />

A I ⎝ 2 × 10<br />

N ed M zed ⎛ h<br />

= + × ⎜ −3<br />

A I ⎝ 2 × 10<br />

⇔ 3.98 =<br />

250<br />

38.<br />

8×<br />

10<br />

EC3 – Volume IV 107<br />

z<br />

z<br />

I<br />

38.<br />

8<br />

6<br />

+<br />

23847 × 10<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⇔ I = 23847 cm 4<br />

⎛ −152<br />

× ⎜<br />

⎝ 2 × 10<br />

= −4 −8<br />

−3<br />

250<br />

38.<br />

8×<br />

10<br />

= -191.23 MPa<br />

6<br />

+<br />

23847 × 10<br />

⎛ 152<br />

× ⎜<br />

⎝ 2 × 10<br />

= −4 −8<br />

−3<br />

comp<br />

σ<br />

comp<br />

+ σ<br />

tracção<br />

→ Para a alma do perfil em flexão composta:<br />

→ Banzo Comprimido:<br />

C<br />

T<br />

= 191.21 MPa<br />

=<br />

191.<br />

23<br />

191.<br />

23<br />

+<br />

191.<br />

21<br />

b − 3t<br />

160 − 3×<br />

9<br />

= = = 22.<br />

17 ≤<br />

T 6<br />

C<br />

T<br />

36ε<br />

36 × 1<br />

= = = 72<br />

α 0.<br />

50<br />

22.17 ≤ 72 Classe 1<br />

⎛160<br />

6 ⎞<br />

⎜ −<br />

− 15.<br />

2⎟<br />

⎝ 2 2 ⎠<br />

=<br />

9<br />

6.<br />

86<br />

= 0.<br />

50<br />

72ε<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Logo é classe 1<br />

ii) Verificação da resistência da secção transversal<br />

Cap. 6.1 do EC3, 2010.<br />

fyA<br />

Npl,<br />

Rd =<br />

λ<br />

M 0<br />

Npl,<br />

Rd =<br />

C<br />

T<br />

≤ 9 ε =<br />

6.86 ≤ 9 Classe 1<br />

3 −4<br />

( 235 × 10 ) × ( 38.<br />

8 × 10 )<br />

EC3 – Volume IV 108<br />

1<br />

Ned = 250 KN ≤ 0.25 Npl,Rd<br />

9<br />

≤ 911.8 × 0.25<br />

≤ 227.95 kN KO<br />

fy<br />

0.<br />

5 × hw × Tw ×<br />

Ned = 250 KN ≤<br />

γ M 0<br />

−3<br />

−3<br />

−3<br />

≤ 0.<br />

5 × ( 152 × 10 − 3 × 9 × 10 ) × ( 6 × 10 )<br />

É necessário verificar a resistência à flexão:<br />

Mplz,<br />

Rd =<br />

iii) Verificação da estabilidade do elemento<br />

N RK<br />

= A × fy =<br />

Mz RK = Wpla z ×<br />

≤ 88.125 kN KO<br />

Mplz, Rd Wplaz<br />

× =<br />

( 118<br />

× 10<br />

−6<br />

= 27.73 kNm<br />

fy<br />

γ<br />

0<br />

235 × 10<br />

) ×<br />

1<br />

⎧γ<br />

⎪<br />

⎨γ<br />

⎪<br />

⎩γ<br />

= 911.8 KN<br />

−4<br />

3<br />

( 38.<br />

8 × 10 ) × ( 235 × 10 ) = 911.<br />

8kN<br />

fy<br />

= ( ) ( ) kNm<br />

3<br />

M 0<br />

M 1<br />

M 2<br />

235 × 10<br />

×<br />

1<br />

73 . 27 10 235 10 118<br />

−6<br />

3<br />

× × × =<br />

= 1<br />

= 1<br />

= 1<br />

3


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

λ z<br />

L<br />

1<br />

× =<br />

λ<br />

E,<br />

Z<br />

= −<br />

iz<br />

1<br />

Com λ 1 da página 63 do Eurocódigo 3, 2010.<br />

χ<br />

Z<br />

b<br />

h<br />

=<br />

4<br />

2 ( 3.<br />

98 × 10 )<br />

152<br />

160<br />

=<br />

0.<br />

95<br />

1<br />

× = 1.<br />

07<br />

93.<br />

9 × 1<br />

≤ 1.<br />

2<br />

α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1)<br />

φ = 0.<br />

5 × α<br />

=<br />

φ +<br />

λ y<br />

L<br />

1<br />

2 [ 1 + × ( 1.<br />

07 − 0.<br />

2)<br />

+ 1.<br />

07 ] = 1.<br />

29<br />

2<br />

2<br />

φ − λ<br />

=<br />

1<br />

× =<br />

λ<br />

1.<br />

29<br />

4<br />

1.<br />

29<br />

0.<br />

50<br />

EC3 – Volume IV 109<br />

+<br />

E,<br />

y<br />

= −<br />

i y 1<br />

α = 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1)<br />

χ<br />

y<br />

φ = 0.<br />

5 × α<br />

=<br />

φ +<br />

Cálculo do momento crítico:<br />

M<br />

E<br />

CR<br />

1<br />

2 ( 6.<br />

75 × 10 )<br />

1<br />

2<br />

− 1.<br />

07<br />

2<br />

=<br />

1<br />

× = 0.<br />

63<br />

93.<br />

9 × 1<br />

2 [ 1 + × ( 0.<br />

63 − 0.<br />

2)<br />

+ 0.<br />

63 ] = 0.<br />

77<br />

2<br />

2<br />

φ − λ<br />

=<br />

=<br />

L<br />

π<br />

0.<br />

77<br />

+<br />

1<br />

0.<br />

77<br />

2<br />

2 ⎛ EI<br />

⎜<br />

⎜1+<br />

⎝ L GI<br />

π<br />

E<br />

M CR GIT<br />

EI z 2<br />

− 0.<br />

63<br />

w<br />

T<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

=<br />

0.<br />

82<br />

2<br />

6<br />

−10<br />

π<br />

6<br />

−12<br />

6<br />

−8<br />

⎛ π 210×<br />

10 × 13862×<br />

10 I<br />

= 81×<br />

10 × 84599,<br />

9×<br />

10 × 210×<br />

10 × 23847 × 10<br />

⎜<br />

⎜1+<br />

2<br />

6<br />

−<br />

4<br />

⎝ 4 × 81×<br />

10 × 84599,<br />

9×<br />

10<br />

λ<br />

LT<br />

M = α × M<br />

cr<br />

m<br />

⎡ Wz × fy ⎤<br />

= ⎢ ⎥<br />

⎣ M CR ⎦<br />

0.<br />

5<br />

E<br />

M CR<br />

E<br />

CR<br />

= 2399,<br />

72<br />

= 1 , 35×<br />

2399,<br />

72 =<br />

−6<br />

⎡ ( 118 × 10 ) × ×<br />

⎢<br />

3239.<br />

63<br />

= ⎣<br />

3239,<br />

63<br />

3<br />

0.<br />

5<br />

( 235 10 ) ⎤<br />

= 0.<br />

093<br />

Sendo α LT = 0.<br />

49<br />

(Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando:<br />

φ<br />

LT<br />

λ LT , 0 = 0.<br />

4<br />

e β = 0.73, obtém-se:<br />

2<br />

[ 1 + α × ( λ LT − λ LT , 0 ) + β × λ ] = 0.<br />

43<br />

= 0.<br />

5 ×<br />

LT<br />

LT<br />

⎥<br />

⎦<br />

w<br />

12<br />

⎞<br />

⎟<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

χ LT<br />

=<br />

χ<br />

LT<br />

0.<br />

43<br />

=<br />

+<br />

φ<br />

LT<br />

+<br />

0.<br />

43<br />

2<br />

φ<br />

2<br />

LT<br />

EC3 – Volume IV 110<br />

1<br />

− β × λ<br />

2<br />

LT<br />

1<br />

= 1.<br />

17<br />

2<br />

− 0.<br />

73 × 0.<br />

093<br />

2<br />

[ ]<br />

( 1 − Kc)<br />

× 1 − 2.<br />

0 × ( 0.<br />

8)<br />

f = 1 − 0.<br />

5 ×<br />

λ LT −<br />

, Com f ≤ 1<br />

Kc = 0.86 (Segundo quadro 6.6 EC3)<br />

Δ<br />

M z,<br />

Ed<br />

CmLT<br />

f = 1 − 0.<br />

5 ×<br />

2 [ ] = 0.<br />

999<br />

( 1 − 0.<br />

85)<br />

× 1 − 2.<br />

0 × ( 0.<br />

093 − 0.<br />

8)<br />

χ<br />

LT , mod<br />

χ<br />

=<br />

f<br />

LT<br />

1.<br />

17<br />

= = 1.<br />

17<br />

0.<br />

999<br />

OK<br />

= 0.<br />

6 + 0.<br />

4Ψ<br />

≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3)<br />

k zz<br />

k<br />

zz<br />

= 0.6 + 0.4 ×0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK<br />

= C<br />

mz<br />

⎡<br />

⎢<br />

× ⎢1<br />

+<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

Cmy = 0.9<br />

Cmz = 0.9<br />

( 2λ<br />

z − 0.<br />

6)<br />

N Ed<br />

×<br />

N<br />

χ z ×<br />

γ<br />

RK<br />

M 1<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎡<br />

⎢<br />

= 0 . 9 × ⎢1<br />

+<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎢⎣<br />

0.<br />

50<br />

911.<br />

8<br />

×<br />

1<br />

⎤<br />

⎥<br />

=<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

0 . 6 × k ⇔ 0.<br />

6 × 1.<br />

23 = 0.<br />

74<br />

k yz<br />

N Ed<br />

χ × N<br />

y<br />

γ<br />

M 1<br />

250<br />

( 2 × 0.<br />

63 − 0.<br />

6)<br />

×<br />

⎥ 1.<br />

23<br />

= zz<br />

RK<br />

250<br />

0.<br />

82 × 911.<br />

8<br />

1<br />

+ k<br />

+<br />

yz<br />

0.<br />

74<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜ M<br />

×<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

z,<br />

Ed<br />

+ ΔM<br />

M<br />

γ<br />

z,<br />

RK<br />

M 1<br />

z,<br />

Ed<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

≤ 1<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎜<br />

6 + 0<br />

× ⎟ =<br />

⎜ 27.<br />

73 ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 1 ⎠ 0.49 ≤ 1 OK<br />

: Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7)


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

0.<br />

50<br />

N Ed<br />

χ z × N<br />

γ<br />

M 1<br />

RK<br />

250<br />

× 911.<br />

8<br />

1<br />

+ k<br />

+<br />

zz<br />

1.<br />

23<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜ M<br />

×<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎟<br />

≤ 1<br />

⎟<br />

⎠<br />

EC3 – Volume IV 111<br />

z,<br />

Ed<br />

+ ΔM<br />

M<br />

γ<br />

z,<br />

RK<br />

M 1<br />

⎛ ⎞<br />

⎜<br />

6 + 0<br />

⎟<br />

× ⎜ ⎟ =<br />

⎜ 27.<br />

73 ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 1 ⎠<br />

z,<br />

Ed<br />

0.<br />

81<br />

≤ 1 OK<br />

Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a<br />

segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1, 2010.<br />

2.4.4.2. Exemplo de compressão com momento simples e esforço axial, sendo o momento<br />

segundo y (maior inércia)<br />

Mostre que a secção do problema anterior pode também suportar um momento-flector de 15<br />

kNm segundo o eixo de maior inércia (yy), assumindo que este momento produz uma flexão<br />

ao longo do comprimento da peça.<br />

Resolução<br />

y<br />

My.Sd<br />

NSd<br />

z y<br />

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993<br />

Mantêm-se as restantes condições do exemplo anterior.<br />

y<br />

Considera-se a peça da classe 1, conforme o exemplo visto e, analogamente, λ = 93,9.<br />

z<br />

_


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

y<br />

Deve-se proceder de novo ao cálculo da esbelteza normalizada λ , desta feita segundo o eixo<br />

dos yy, uma vez que o momento-flector actua neste mesmo eixo.<br />

<br />

Assim virá:<br />

1 93,<br />

9 = λ (já calculado)<br />

_<br />

λ y =<br />

λ =<br />

67,<br />

5<br />

93,<br />

5<br />

λ<br />

λ =<br />

λ1<br />

l<br />

iz<br />

=<br />

4000 0,<br />

5<br />

× 1<br />

4000<br />

67,<br />

5<br />

0,<br />

633<br />

A curva de encurvadura da secção transversal será a “b” (cálculo conforme o exemplo<br />

anterior).<br />

y<br />

Com a designação do tipo de curva de encurvadura e com o valor de λ já calculado, com<br />

χ y = 0,<br />

8204<br />

recurso ao quadro respectivo (), calculamos o valor de<br />

(Quadro 4 – Factores de<br />

redução).<br />

Assumindo novamente momento-flector constante ao longo de toda a peça, o nosso<br />

coeficiente de redução ψ será igual à unidade.<br />

Deste modo, recuperamos a expressão<br />

intervalo<br />

−1 ≤ ψ ≤ 1<br />

.<br />

Chegaremos ao valor de<br />

β M . Y =<br />

1,<br />

1<br />

.<br />

EC3 – Volume IV 112<br />

=<br />

_<br />

β M . Y = 1,<br />

8 − 0,<br />

7.<br />

ψ<br />

, uma vez que ψ se situa no<br />

Considerando, conforme se afirmou no início deste exemplo, a peça pertencer à classe 1,<br />

vamos verificar os valores de y μ K y e de (subcapítulo 5.5.6.1. do EC3, 1993) para esta<br />

situação.<br />

Substituindo os valores vem:<br />

_<br />

_<br />

μ = λ y . β<br />

y<br />

⎛ w − w<br />

⎜<br />

⎝ wel.<br />

y<br />

pl.<br />

y el , y<br />

( 2 . − 4)<br />

+ ⎜ ⎟ ≤ 0,<br />

90<br />

M . Y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

_


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

E logo:<br />

Verifica!<br />

Substituindo os valores vem:<br />

E logo:<br />

Não verifica!<br />

Neste caso vamos utilizar<br />

⎛ 245 − 220 ⎞<br />

μ y = 0 , 6333 .<br />

⎜ ⎟ ,<br />

⎝ 220 ⎠<br />

μ y = −1,<br />

025 ≤<br />

K<br />

( 2 × 1,<br />

1 − 4)<br />

+<br />

≤ 0 90<br />

y<br />

0,<br />

90<br />

μ z . N Sd<br />

= 1− ≤ 1,<br />

5<br />

χ . A.<br />

f<br />

3<br />

−1,<br />

025×<br />

250 × 10<br />

−<br />

0,<br />

5.<br />

235×<br />

10<br />

K y = 1 −<br />

6<br />

K y = 1, 562 ≤ 1,<br />

5<br />

K y<br />

= 1,<br />

5<br />

4 ( 38,<br />

8×<br />

10 )<br />

Verificação de todos os dados na expressão:<br />

Substituindo vem:<br />

Verifica!<br />

0,<br />

8204<br />

.<br />

(valor máximo)<br />

Sd<br />

( χ . A.<br />

f γ ) ( w . f γ )<br />

min.<br />

N<br />

250×<br />

10<br />

y<br />

M 1<br />

z<br />

+<br />

−4<br />

6<br />

( 38,<br />

8×<br />

10 ) . ( 235×<br />

10 )<br />

1<br />

3<br />

EC3 – Volume IV 113<br />

+<br />

0, 8114 ≤<br />

y<br />

K<br />

y<br />

pl.<br />

y<br />

. M<br />

y<br />

y<br />

. Sd<br />

M 1<br />

≤<br />

1,<br />

5<br />

≤ 1<br />

3<br />

1,<br />

5.<br />

( 15×<br />

10 )<br />

−6<br />

6<br />

( 118×<br />

10 ) . ( 235×<br />

10 )<br />

Como a peça está submetida a um esforço axial NSd e a um momento flector My.Sd em torno<br />

do eixo dos yy, é necessário verificar se existe ou não a possibilidade de ocorrer a<br />

encurvadura lateral, ou seja, o bambeamento, dado que sendo a flexão segundo este eixo, yy,<br />

de maior inércia, esta pode instabilizar lateralmente. Se a flexão fosse segundo zz, eixo de<br />

menor inércia (exemplo anterior), não seria necessário este estudo, pois que a<br />

1<br />

1<br />

≤ 1


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

instabilidade/encurvadura nunca se daria pelo eixo de maior inércia, yy, mais<br />

resistente/estável que zz.<br />

Neste caso concreto, o esforço axial vai gerar um efeito negativo, ajudando a ocorrência de<br />

encurvadura lateral.<br />

N<br />

χ . A.<br />

f<br />

z<br />

Sd<br />

y<br />

γ<br />

M 1<br />

+<br />

χ<br />

LT<br />

K<br />

EC3 – Volume IV 114<br />

LT<br />

. M<br />

Considerando o cálculo já efectuado de 1 93,<br />

9 = λ e de<br />

β w = 1,<br />

0<br />

, consultando o Anexo F<br />

(capítulo 6) sabemos que para secções I ou H, a esbelteza relativa à encurvadura lateral virá<br />

segundo a expressão:<br />

λ<br />

LT<br />

=<br />

( c )<br />

1<br />

0,<br />

5<br />

0,<br />

9<br />

. M<br />

pl.<br />

y<br />

L<br />

i<br />

y<br />

. f<br />

⎡ ⎛ L<br />

⎢ 1 ⎜ i<br />

. ⎢1<br />

+ . ⎜<br />

⎢ 20 ⎜ h<br />

⎢⎣<br />

⎝ t<br />

Com c1 derivado das condições de fronteira da barra em questão (ANEXO F ou outra<br />

bibliografia).<br />

Sabemos ainda que:<br />

<br />

<br />

<br />

Com:<br />

<br />

<br />

K<br />

μ<br />

χ<br />

LT<br />

μLT<br />

. N Sd<br />

= 1− ≤ 1<br />

χ . A.<br />

f<br />

z<br />

0 , 15.<br />

λ . β . − 0,<br />

15 ≤<br />

LT = z M LT<br />

LT<br />

=<br />

φ<br />

LT<br />

⎛<br />

+ ⎜<br />

⎜φ<br />

⎝<br />

2<br />

LT<br />

1<br />

y<br />

− λ<br />

_<br />

2<br />

LT<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

0,<br />

5<br />

≤1<br />

0,<br />

9<br />

⎡<br />

_<br />

_ 2<br />

⎛ ⎞<br />

φL<br />

= 0, 5.<br />

⎢1+<br />

α LT . ⎜λ<br />

LT − 0,<br />

2⎟<br />

+ λ LT<br />

⎣ ⎝ ⎠<br />

_ lz<br />

λ z =<br />

i .λ<br />

z<br />

1<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

z<br />

. Sd<br />

y<br />

z<br />

f<br />

γ<br />

⎟<br />

⎟<br />

M 1<br />

2<br />

⎞ ⎤<br />

⎟ ⎥<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎠ ⎥⎦<br />

0,<br />

25<br />

≤<br />

(subcapítulo 5.5.6.1, EC3, 1993)<br />

1<br />

(subcapítulo 5.5.6.1, 1993)<br />

(subcapítulo 5.5.4, 1993)<br />

(subcapítulo 5.5.2.1, 1993)<br />

Como estamos em presença de uma secção laminada a quente,<br />

ANEXO F retiramos a expressão relativa a:<br />

α LT = 0,<br />

21<br />

, através do


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

EC3 – Volume IV 115<br />

( )<br />

25<br />

0<br />

2<br />

5<br />

0<br />

1<br />

20<br />

1<br />

1<br />

9<br />

0<br />

,<br />

f<br />

z<br />

,<br />

LT<br />

t<br />

h<br />

i<br />

L<br />

.<br />

.<br />

c<br />

iz<br />

L<br />

,<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

=<br />

λ<br />

Substituindo vem:<br />

25<br />

0<br />

2<br />

5<br />

0<br />

9<br />

152<br />

8<br />

39<br />

4000<br />

20<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

8<br />

39<br />

4000<br />

9<br />

0<br />

,<br />

,<br />

LT<br />

,<br />

.<br />

.<br />

,<br />

,<br />

,<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

+<br />

×<br />

=<br />

λ<br />

11<br />

,<br />

70<br />

=<br />

LT<br />

λ<br />

Podemos então calcular:<br />

( )<br />

( ) ( )<br />

746<br />

0<br />

1<br />

9<br />

93<br />

11<br />

70<br />

5<br />

0<br />

5<br />

0<br />

1<br />

,<br />

.<br />

,<br />

,<br />

.<br />

LT<br />

_<br />

,<br />

LT<br />

_<br />

,<br />

W<br />

LT<br />

LT<br />

_<br />

=<br />

=<br />

=<br />

λ<br />

λ<br />

β<br />

λ<br />

λ<br />

λ<br />

Ainda:<br />

( )<br />

[ ]<br />

836<br />

,<br />

0<br />

746<br />

,<br />

0<br />

2<br />

,<br />

0<br />

746<br />

,<br />

0<br />

.<br />

21<br />

,<br />

0<br />

1<br />

5<br />

,<br />

0<br />

2<br />

,<br />

0<br />

.<br />

1<br />

5<br />

,<br />

0<br />

2<br />

2<br />

_<br />

_<br />

=<br />

+<br />

−<br />

+<br />

=<br />

⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

+<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

+<br />

=<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

φ<br />

φ<br />

λ<br />

λ<br />

α<br />

φ<br />

Podemos verificar o valor da expressão:<br />

1<br />

1<br />

5<br />

,<br />

0<br />

2<br />

_<br />

2<br />

≤<br />

⎟<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

−<br />

+<br />

=<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

λ<br />

φ<br />

φ<br />

χ<br />

( )<br />

1<br />

824<br />

,<br />

0<br />

1<br />

746<br />

,<br />

0<br />

836<br />

,<br />

0<br />

836<br />

,<br />

0<br />

1<br />

5<br />

,<br />

0<br />

2<br />

2<br />

≤<br />

=<br />

≤<br />

−<br />

+<br />

=<br />

LT<br />

LT<br />

χ<br />

χ<br />

Verifica!<br />

Calculando:


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

E sabendo que mais uma vez:<br />

Vem:<br />

Verifica!<br />

Calculando:<br />

K<br />

K<br />

K<br />

β M . LT = β Mψ<br />

μ<br />

μ<br />

μ<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

LT<br />

lz<br />

λz<br />

=<br />

iz . λ1<br />

4000<br />

λz<br />

=<br />

39,<br />

8×<br />

93,<br />

9<br />

λ = 1,<br />

07<br />

z<br />

= 0,<br />

15.<br />

λ . β<br />

= 0,<br />

026<br />

= 1,<br />

8 − 0,<br />

7 = 1,<br />

1<br />

_<br />

M . LT<br />

= 0,<br />

15×<br />

1,<br />

07×<br />

1,<br />

1−<br />

0,<br />

15≤<br />

0,<br />

9<br />

= 0,<br />

014<br />

≤<br />

μz<br />

. N Sd<br />

= 1−<br />

χ . A.<br />

f<br />

z<br />

EC3 – Volume IV 116<br />

0,<br />

9<br />

− 0,<br />

15≤<br />

0,<br />

9<br />

0,<br />

026×<br />

250×<br />

10<br />

= 1−<br />

0,<br />

5.<br />

y<br />

−4<br />

6<br />

( 38,<br />

8×<br />

10 ) . ( 235×<br />

10 )<br />

≤<br />

1,<br />

0<br />

Sendo que χ z foi calculado para o exemplo atrás.<br />

Verifica!<br />

Finalmente podemos verificar a condição:<br />

Substituindo vem:<br />

0,<br />

5.<br />

N<br />

χ . A.<br />

f<br />

z<br />

250×<br />

10<br />

Sd<br />

y<br />

γ<br />

M 1<br />

−4<br />

6<br />

( 38,<br />

8×<br />

10 ) . ( 235×<br />

10 )<br />

1<br />

3<br />

0, 55≤1,<br />

0<br />

+<br />

χ<br />

+<br />

LT<br />

K<br />

≤1,<br />

0<br />

LT<br />

. M<br />

0,<br />

824<br />

. M<br />

pl.<br />

y<br />

.<br />

y<br />

. f<br />

. Sd<br />

y<br />

γ<br />

3<br />

M 1<br />

≤<br />

1<br />

3<br />

0,<br />

014.<br />

( 15×<br />

10 )<br />

−6<br />

6<br />

( 245×<br />

10 ) . ( 235×<br />

10 )<br />

1<br />

≤<br />

1,<br />

0


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Verifica!<br />

Conclusão Final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços<br />

pretendidos.<br />

i) Classificação da secção<br />

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010<br />

σ compressão<br />

σ tracção<br />

I<br />

i = ⇔ 6.75 =<br />

A<br />

σ compressão<br />

σ tracção<br />

N M<br />

ed<br />

yed ⎛ − h<br />

= + × ⎜ −3<br />

A I ⎝ 2×<br />

10<br />

N M<br />

ed<br />

yed ⎛ h<br />

= + × ⎜ −3<br />

A I ⎝ 2×<br />

10<br />

250<br />

38.<br />

8×<br />

10<br />

EC3 – Volume IV 117<br />

y<br />

I<br />

38.<br />

8<br />

y<br />

15<br />

+<br />

1767.<br />

83×<br />

10<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⇔ I = 1767.83 cm 4<br />

⎛ −152<br />

× ⎜<br />

⎝ 2 × 10<br />

= −4 −8<br />

−3<br />

250<br />

38.<br />

8×<br />

10<br />

= -644.86 MPa<br />

15<br />

+<br />

1767.<br />

83×<br />

10<br />

⎛ 152<br />

× ⎜<br />

⎝ 2×<br />

10<br />

= −4 −8<br />

−3<br />

σ comp<br />

α = =<br />

σ + σ<br />

comp<br />

tracção<br />

→ Para a alma do perfil em flexão composta<br />

→ Banzo Comprimido<br />

C<br />

T<br />

= 644.86 MPa<br />

644.<br />

86<br />

644.<br />

86<br />

+<br />

644.<br />

86<br />

b − 3t<br />

160 − 3×<br />

9<br />

= = = 22.<br />

17 ≤<br />

T 6<br />

C<br />

T<br />

36ε<br />

36 × 1<br />

= = = 72<br />

α 0.<br />

50<br />

= 0.<br />

50<br />

72ε<br />

22.17 ≤ 72 OK. Classe 1<br />

⎛160<br />

6 ⎞<br />

⎜ −<br />

− 15.<br />

2⎟<br />

⎝ 2 2 ⎠<br />

=<br />

9<br />

6.<br />

86<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

⎞<br />

⎟<br />


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

Logo é classe 1<br />

ii) Verificação da resistência da secção transversal<br />

Cap. 6.1 do EC3, 2010.<br />

C<br />

T<br />

≤ 9 ε =<br />

6.86 ≤ 9 Classe 1<br />

fyA<br />

Npl,<br />

Rd =<br />

λ<br />

⎧γ<br />

⎪<br />

⎨γ<br />

⎪<br />

⎩γ<br />

M 0<br />

M 1<br />

M 2<br />

EC3 – Volume IV 118<br />

= 1<br />

= 1<br />

= 1<br />

M 0<br />

3 −4<br />

( 235 × 10 ) × ( 38.<br />

8 × 10 )<br />

Npl , Rd =<br />

= 911.8 KN<br />

1<br />

Ned = 250 KN ≤ 6.25 Npl,Rd<br />

Ned = 250 KN ≤<br />

9<br />

≤ 911.8 × 0.25<br />

≤ 227.95 kN, KO!<br />

0.<br />

5<br />

fy<br />

× hw × Tw ×<br />

γ<br />

−3<br />

−3<br />

−3<br />

≤ 0.<br />

5 × ( 152 × 10 − 3 × 9 × 10 ) × ( 6 × 10 )<br />

É necessário verificar a resistência à flexão:<br />

≤ 88.125 kN KO<br />

Mply, Rd Wpla y × =<br />

Mply , Rd =<br />

iii) Verificação da estabilidade do elemento.<br />

N RK<br />

= A × fy =<br />

( 245<br />

× 10<br />

−6<br />

= 57.56 kNm<br />

fy<br />

γ<br />

0<br />

M 0<br />

235 × 10<br />

) ×<br />

1<br />

−4<br />

3<br />

( 38.<br />

8 × 10 ) × ( 235 × 10 ) = 911.<br />

8kN<br />

235 × 10<br />

×<br />

1<br />

−6<br />

3<br />

= Wpla × fy = ( 245 × 10 ) × ( 235 × 10 ) = 57.<br />

58 kNm<br />

MyRK y<br />

3<br />

3


Série <strong>Estruturas</strong> <strong>Estruturas</strong> <strong>Metálicas</strong><br />

λ z<br />

L<br />

1<br />

× =<br />

λ<br />

E,<br />

Z<br />

= −<br />

iz<br />

1<br />

4<br />

2 ( 3.<br />

98 × 10 )<br />

Sendo λ1 lido na página 63 do Eurocódigo 3, 2010.<br />

b<br />

h<br />

=<br />

152<br />

160<br />

α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1).<br />

φ = 0.<br />

5 × α<br />

=<br />

0.<br />

95<br />

1<br />

× = 1.<br />

07<br />

93.<br />

9 × 1<br />

≤ 1.<br />

2<br />

2 [ 1 + × ( 1.<br />

07 − 0.<br />

2)<br />

+ 1.<br />

07 ] = 1.<br />

29<br />

1<br />

1<br />

χ Z =<br />

= = 0.<br />

50<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

φ + φ − λ 1.<br />

29 + 1.<br />

29 − 1.<br />

07<br />

λ y<br />

L<br />

1<br />

× =<br />

λ<br />

E,<br />

y<br />

= −<br />

i y 1<br />

α = 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1).<br />

Cálculo do momento crítico:<br />

M<br />

E<br />

CR<br />

φ = 0.<br />

5 × α<br />

4<br />

2 ( 6.<br />

75 × 10 )<br />

1<br />

× = 0.<br />

63<br />

93.<br />

9 × 1<br />

2 [ 1 + × ( 0.<br />

63 − 0.<br />

2)<br />

+ 0.<br />

63 ] = 0.<br />

77<br />

1<br />

1<br />

χ y =<br />

= = 0.<br />

82<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

φ + φ − λ 0.<br />

77 + 0.<br />

77 − 0.<br />

63<br />

=<br />

L<br />

π<br />

2 ⎛ EI<br />

⎜<br />

⎜1+<br />

⎝ L GI<br />

π<br />

E<br />

M CR GIT<br />

EI z 2<br />

2<br />

6<br />

−10<br />

π<br />

6<br />

−12<br />

6<br />

−8<br />

⎛ π 210×<br />

10 × 13862×<br />

10 I<br />

= 81×<br />

10 × 84599,<br />

9×<br />

10 × 210×<br />

10 × 23847 × 10<br />

⎜<br />

⎜1+<br />

2<br />

6<br />

−<br />

4<br />

⎝ 4 × 81×<br />

10 × 84599,<br />

9×<br />

10<br />

λ<br />

LT<br />

M = α × M<br />

cr<br />

m<br />

⎡ Wy × fy ⎤<br />

= ⎢ ⎥<br />

⎣ M CR ⎦<br />

0.<br />

5<br />

E<br />

M CR<br />

E<br />

CR<br />

= 2399,<br />

72<br />

= 1 , 35×<br />

2399,<br />

72 =<br />

−6<br />

⎡ ( 245 × 10 ) × ×<br />

⎢<br />

3239.<br />

63<br />

= ⎣<br />

EC3 – Volume IV 119<br />

w<br />

T<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

3239,<br />

63<br />

3<br />

0.<br />

5<br />

( 235 10 ) ⎤<br />

= 0.<br />

133<br />

Sendo α = 0.<br />

49 (Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando<br />

LT<br />

λ LT , 0 = 0.<br />

4 e β = 0.73, obtém-se:<br />

φ<br />

LT<br />

2<br />

[ 1 + α × ( λ LT − λ LT , 0 ) + β × λ ] = 0.<br />

44<br />

= 0.<br />

5 ×<br />

LT<br />

LT<br />

⎥<br />

⎦<br />

w<br />

12<br />

⎞<br />

⎟<br />