visualizando geometria projetiva 2D - LCG

intro geometria projetiva 

Processamento de Imagens 

CPS755 

aula 03 - visualizando a geometria projetiva planar 

Antonio Oliveira 

Ricardo Marroquim 

1 / 40


laboratório de processamento de imagens 

tópicos 

visualizando a geometria projetiva planar 

discussão dos primeiros 2 trabalhos 

2 / 40


geometria projetiva 

questões para refletir 

porque estudamos geometria projetiva? 

como ela está associada à visão computacional? 

o que representa os espaços (projetivo, afim, similaridade e 

Euclideano)? 

3 / 40



modelo de câmera pinhole 

4 / 40



modelo de câmera pinhole 

todos os raios de luz que refletem no mundo e passam pelo 

buraco (centro da câmera) e são projetados no fundo da caixa 

(plano da imagem) 

note que a relação entre pontos da imagem e raios é 

um-para-um 

cada raio define apenas um ponto na imagem 

um ponto da imagem é definido por um raio 

logo, todos os pontos em um raio, são projetados no mesmo 

ponto na imagem 

em coordenadas homogêneas: 

(a, b, 1) = k(a, b, 1) = (ka, kb, k) 

5 / 40



projeção central 

o centro da câmera define o conjunto de raios que formam a 

imagem 

todas imagens tiradas de uma câmera com mesmo centro são 

projetivamente equivalentes 

ou seja, uma pode ser mapeada na outra sem informações 

sobre os pontos 3D ou posição do centro 

6 / 40



projeção central 

7 / 40



modelo projetivo 

x 1 

ideal 

point 

O 

x 

2 

x 

l 

π 

x 3 

8 / 40



modelo projetivo 

reta no infinito (0, 0, 1) 

define o plano no infinito z = 0 

contém todos pontos ideais (a, b, 0) 

definem todas retas que estão no plano no infinito 

atenção com a representação do (0, 0, 0) 

9 / 40



modelo projetivo - pontos e retas 

elementos geradores e elementos no plano z = 1 

z=1 

z=0 

z=0 

z=1 

10 / 40




a interseção com o plano z = 0 define a direção da reta 

z=1 

z=0 

11 / 40




planos geradores das retas se intersectam em uma reta em R 3 

que passa pela origem (0, 0, 0) 

z=1 

z=0 

12 / 40




(0,0,0) 

z=1 

z=0 

13 / 40




retas paralelas definem a mesma direção 

a interseção dos planos geradores é uma reta em z = 0 (reta 

no infinito) 

z=1 

z=0 

14 / 40




(0,0,0) 

z=1 

z=0 

15 / 40


invariantes 

Euclideana 

comprimento, área 

similaridade 

razão entre comprimentos, ângulos, pontos circulares 

afim 

paralelismo, razão entre áreas, razão ente comprimentos entre 

retas paralelas (ponto médio), combinação linear de vetores 

(centroide), reta no infinito (l∞) 

projetiva 

colinearidade, razão entre razão de comprimentos 

16 / 40


decomposição 

decomposição de uma transformação projetiva 

podemos decompor a transformação projetiva em uma cadeia 

de transformações hierárquicas 

H = 

sR t 

0 T 1 

H = HSHAHP 

K 0 

0 T 1 

I 0 

v T v 

 

= 

A t 

v T v 

 

17 / 40




passa ideia de acertos para 

voltar à geometria 

Euclideana 

qual as transformações 

necessárias para levar um 

sistema de coordenadas a 

outro? 

18 / 40




retificação projetiva: 

encontra o alinhamento do 

plano da imagem 

retificação afim: encontra 

a correspondência entre os 

eixos do plano 

retificação de 

similaridade: encontra a 

rotação, translação e escala 

dos eixos 

19 / 40



retificação projetiva - afim 

vimos que podemos remover a distorção perspectiva 

identificando a reta no infinito na imagem l = (l1, l2, l3) 

e descobrindo qual transformação leva l em l∞ = (0, 0, 1) 

o que estamos fazendo exatamente? 

20 / 40




podemos pensar na foto como uma projeção central 

21 / 40




no caso do exemplo 

22 / 40




no exercício encontrávamos dois pontos de fuga, que definiam 

a reta l 

23 / 40




a reta l é gerada por um plano que passa pela origem 

24 / 40




o plano gerador encontrado é perpendicular ao plano que 

contém o retângulo 

ou seja, estamos encontrando a normal do plano! 

25 / 40



cônicas 

26 / 40



cônicas 

z=1 

z=0 

z=1 

z=0 

27 / 40



cônica no infinito (degenerada) 

o dual de uma cônica formada por duas retas é uma cônica 

formada por dois pontos 

C ∗ ∞ é a cônica dual no infinito 

28 / 40


cônicas 

cônica dual 

note como é a matriz 

C ∗ ∞ = 

⎛ 

⎝ 

1 0 0 

0 1 0 

0 0 0 

ideia dos eixos x e y no plano z = 0 

ou seja, na sua forma canônica, C ∗ ∞ é formada pelo dual dos 

eixos x e y no plano no infinito 

⎞ 

⎠ 

29 / 40


cônicas 

ângulos no plano projetivo 

forma invariante à transformação projetiva 

cos θ = 

l T C ∗′ 

∞m 

(l T C ∗ ∞l)(m T C ∗ ∞m) 

ou seja, encontrando C ∗′ 

∞ no plano projetivo, podemos realizar 

medidas Euclideanas de ângulos 

conceito 

mas o que significa o produto de uma reta por uma cônica, 

seguido pelo produto com outra reta?? 

30 / 40


cônicas 

ângulos no espaço de similaridade 

sabemos fazer isso no espaço de similaridade 

cos θ = l T m = 

l1m1 + l2m2 

(l 2 1 + l 2 2 )(m2 1 + m2 2 ) 

então se queremos calcular o ângulo entre duas retas no 

espaço projetivo uma solução é 

trazer as retas para o espaço de similaridade e calcular o 

ângulo neste espaço 

31 / 40


cônicas 

ângulos no espaço de similaridade 

lembrando 

e consequentemente 

então a expressão l T m fica 

l ′ 

= H −T l 

l = H T l ′ 

cos θ = [H T l ′ 

] T H T m ′ 

cos θ = l ′ 

HH T m ′ 

32 / 40


cônicas 


podemos pensar na cônica degenerada como transformações 

“desfaçadas” 

ou como uma representação compacta de dois pontos ou duas 

retas; ou, ainda melhor, dois eixos 

fazendo: C ∗′ 

∞ = HH T 

chegamos a 

cos θ = 

l ′ T C ∗ ′ 

∞m ′ 

(l ′ T C ∗ ∞l ′ )(m ′ T C ∗ ′ 

∞m ‘ ) 

e quando C ∗ ∞ está na forma canônica : 

cos θ = l ′ T ∗ 

C∞m ′ 

= l ′ T ′ 

m 

33 / 40


cônicas 


identificando a cônica dual no infinito C ∗′ 

∞ na imagem, 

descobrimos qual transformação leva ela para sua forma 

canônica C ∗ ∞ 

essa transformação, por consequência, é a retificação para o 

espaço de similaridade 

34 / 40


cônicas 


a remoção da distorção perspectiva encontra o plano paralelo 

ao plano da imagem que passa pela origem 

linha no infinito na imagem 

inverte a divisão perspectiva, eixo z 

na decomposição, encontra a matriz HP 

H = HSHAHP = 

sR t 

0 T 1 

K 0 

0 T 1 

I 0 

v T 1 

 

35 / 40


cônicas 


a remoção da distorção afim encontra a transformação que 

leva os eixos x e y em uma posição canônica 

a cônica C∗′ ∞ é uma forma compacta de representar esses dois 

pontos 

na decomposição, encontra a matriz HA 

H = HSHAHP = 

sR t 

0 T 1 

K 0 

0 T 1 

I 0 

v T 1 

 

36 / 40


cônicas 

cônica dual aos pontos circulares 

lembrando que a cônica C ∗ ∞ é invariante a transformações de 

similaridade (assim como os pontos circulares) 

C ∗′ 

∞ = HSC ∗ ∞H T S = C ∗ ∞ 

C ∗′ 

 

I 0 

∞ = 

vT 

K 0 

1 0T 

C 

1 

∗ 

KT 0 

∞ 0T 1 

fazendo os produtos acima 

C ∗′ 

∞ = 

KK T KK T v 

v T KK T v T KK T v 

 

I v 

0 T 1 

 

37 / 40


cônicas 


no sentido inverso, de descobrirmos quem é C ∗′ 

∞ 

C ∗′ 

 

KKT KK 

∞ = 

Tv vT KKT vT KKTv podemos encontrar as matrizes 

 

K 0 

HA = 

0T 

1 

e 

HP = 

I 0 

v T 1 

o produto dessas duas matrizes é a transformação que leva do 

espaço projetivo para o espaço de similaridade 38 / 40


cônicas 


na aula passada vimos como encontrar C∗′ ∞ marcando ângulos 

retos na imagem e montando o sistema linear 

C ∗′ 

∞ = 

KK T KK T v 

v T KK T v T KK T v 

o último passo daquele trabalho é justamente extrair HA e HP 

 

39 / 40


cônicas 


encontrando H = HAHP e podemos gerar a imagem retificada 

essas transformações estão 

alinhando os planos: remoção da distorção perspectiva 

colocando os eixos na forma canônica: remoção da distorção 

afim 

mas não está 

alinhando os eixos: encontrando a rotação 

e transladando para origem 

por isso não se preocupe se sua imagem final estiver “torta” 

40 / 40

visualizando geometria projetiva 2D - LCG

Transforme seus PDFs em revista digital e aumente sua receita!

Delete template?

Save as template ?