Matemática - Etapa

QUESTÕES DISCURSIVAS
Questão 1
Um estudante tinha de calcular a área do
triângulo ABC, mas um pedaço da folha do
caderno rasgou-se. Ele, então, traçou o segmento
A’C’ paralelo a AC, a altura C’H do
triângulo A’BC’ e, com uma régua, obteve estas
medidas:
CH ’ = 1,2 cm,
AB ’ = 1,4cme AB = 4,2 cm.
a) Use essas medidas e calcule a área do
triângulo ABC.
b) Com a régua, ele mediu também o lado
A’C’ e obteve AC ’ ’ = 1,5 cm.
Se as medidas em graus dos ângulos agudos
 e B são respectivamente a e b, calcule o valor
de sen(a − b).
Resposta
a) Como A’C’ // AC, ΔA’C’ B ~ ΔACB
(caso AA)
1,4 1
com razão k = = . Assim, a razão entre
4,2 3
2 1 (1,4 ⋅1,2)/2
1
suas áreas é k = ⇔
= ⇔
9 área (ABC) 9
⇔ área (ABC) = 7,56 cm 2 .
b) Por Pitágoras nos triângulos A’HC’ e BHC’,
2 2 2 2
(A’C’ ) = (C’H) + (A’H) ⇔ (1,5) =
2 2
= (1,2) + (A’H) ⇔ A’H = 0,9 cm e (BC’) 2 =
2 2 2 2
= (C’H) + (HB) ⇔ (BC’ ) = (1,2) +
2
+ (1,4 −0,9) ⇔ BC’ = 1,3 cm.
Assim,
sen(a − b) = sen a ⋅cos b − sen b ⋅cos a ⇔
1,2 0,5
⇔ sen(a − b) = ⋅
1,5 1,3
1,2 0,9
− ⋅ =
1,3 1,5
0,48
=−
1,95
=−0,2462.
Questão 2
Um meteorito foi detectado por astrônomos
nas proximidades da Terra e cálculos feitos
mostraram que ele deveria atingir a superfície
em uma região deserta, com a forma de
um retângulo ABCD. Sabe-se que a área da
região S, que tem a forma de um trapézio retângulo,
mede 7 km 2 .
Expresse, em porcentagem, a probabilidade de
o meteorito cair na região R ou na região T.
Resposta
A região R é um trapézio retângulo de bases
menor e maior, respectivamente, iguais a
x −
2x
−
3
x
=
6
x
6
e x −
2x x
− =
3 8
5x
,ealtura
24
4. Logo sua área é
⎛ x 5x ⎞
⎜ + ⎟ ⋅ 4
⎝ 6 24 ⎠
2
= 3x
4 .
A região T é um retângulo de lados 2x
e 4, e sua
3
área é 2x 8x
⋅ 4 = .
3 3
A área do retângulo ABCD é 4 ⋅ x.
Assim, a probabilidade de o meteorito cair na região
R ou na região T é:
3x 8x
+
4 3
4x
=
41
= 0,8542 = 85,42%
48

Questão 3
A onça-pintada, também conhecida por jaguar
ou jaguaretê, costuma ser encontrada
em reservas florestais e matas cerradas, mas,
atualmente, é um dos carnívoros brasileiros
que corre perigo de extinção. Suponha que,
em determinada região, a população de onças-pintadas,
P(t), daqui a t anos, será esti-
005 ,
mada pela função: P(t) = 60( 1 + )
− t
e .Onúmero
e pode ser calculado com tanta precisão
quanto se queira, mas, nesta questão, aproxime-o,
quando necessário, para 2,7.
a) Faça uma estimativa da população de onças-pintadas
que habitarão essa região daqui
a vinte anos. Aproxime a resposta para o número
inteiro mais próximo.
b) Se mantiver esse decrescimento, daqui a
quantosanosseráatingidoopontoemquea
extinção é inevitável, considerada pelos biólogos
em cem indivíduos? Utilize esses valoresparaoslogaritmosneperianosde2e3:
ln2 = 069 , ;ln3 = 1,10.
Resposta
a) Daqui a vinte anos a população de onças-pinta-
−0,05 ⋅20
das será P(20) = 60(1 + e ) =
⎛ 1 ⎞
= 60⎜1 + ⎟ ≅ 82 indivíduos.
⎝ 2,7 ⎠
matemática 2
b) Mantido esse decrescimento, daqui a t anos a
população será de 100 indivíduos. Portanto
−0,05t
P(t) = 100 ⇔ 100 = 60(1 + e ) ⇔
−t
−0,05t
⇔100 = 60 + 60e ⇔ 2 = 3e
20 ⇔
−
⇔ n2 = n(3e ) ⇔ n2 = n3− t
⇔
20 ne
t
20
⇔ t = 20( n3− n2).
Utilizando os valores do enunciado t =
= 20(1,10 − 0,69) = 8,2 anos.
Questão 4
Uma editora decidiu disponibilizar o lançamento
de um novo livro em duas versões:
uma mais elaborada, com capa dura, e outra,
popular, com capa de papelão. Uma pesquisa
contratada pela editora registrou que,
no dia do lançamento, o lucro da editora poderia
ser estimado pela função:
2
L = ( 25 − 0, 5x) x+ ( 30 − y) y − ( 50 − 0, 5x
− y)
em que x é o preço do exemplar de capa dura
e y, o preço do exemplar com capa de papelão,
em reais. O departamento de produção da
editora decidiu que o exemplar de capa dura
deveria custar o dobro do preço do exemplar
de capa de papelão. Buscando obter o maior
lucro possível, o diretor de vendas estabeleceu
estes preços para as duas versões:
capa dura → R$ 50,00
capa de papelão → R$ 25,00
Foi correta a decisão do diretor de vendas?
Por quê?
Resposta
Devido à decisão do departamento de produção
x = 2y e, assim, o lucro da editora pode ser estimado
por L(y) = (25 − 0,5(2y))(2y) +
+ (30 − y)y − (50 −0,5 ⋅ (2y) − y) ⇔
2
2
⇔ L(y) = − 7y + 280y − 2 500.
Logo, para obter o maior lucro possível, deve-se ter
b 280
y = 20
2a 2( 7)
−
= −
= , ou seja, o preço y do exem-
−
plar de capa de papelão deve ser R$ 20,00 eopreço
x = 2y do exemplar de capa dura, R$ 40,00.
Considerando o raciocínio anterior, podemos afirmar
que a decisão do diretor de vendas não foi
correta.

Questão 5
Uma empresa recebeu uma verba de
R$ 1 600,00 que deve ser utilizada integralmente
para fabricar bolas de tênis. A empresa
possui máquinas, cada uma das quais é capaz
de produzir, automaticamente, vinte bolas
por hora. O custo de preparar e programar
as máquinas é de R$ 80,00 por máquina,
para qualquer tempo de utilização. Além disso,
são necessários dois trabalhadores para
supervisionar todas as máquinas, cada um
dos quais recebe R$ 20,00 por hora. Quantas
máquinas devem ser usadas para produzir o
maior número de bolas possível? Quantas bolas
de tênis serão produzidas com essa verba?
Resposta
O custo de utilização de M máquinas em H horas
é 80M + 2 ⋅ 20H = 80M + 40H e o número de bolas
produzidas é N = 20MH.
Como a empresa pretende utilizar integralmente
R$ 1.600,00, temos80M + 40H = 1600 ⇔
⇔ H = 40 − 2M e N = 20M(40 − 2M) ⇔
⇔ N = 800M − 40M 2 .
O maior número de bolas produzidas (Nmáx.) ocor-
b
re quando M =
2a
− 800
, ou seja, M =
2( 40)
−
=
−
= 10 máquinas e Nmáx. = 800 10 40 10 2
⋅ − ⋅ ⇔
⇔ Nmáx. = 4 000 bolas.
Questão 6
a) Determine a e b de forma que a matriz
A =
a b
⎡ 1 1 ⎤
2
⎢ ⎥ verifique que A = 2Aedepois
⎣2
05 , ⎦
calcule A 11 .
b) Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu
as mesmas quantidades de açúcar, arroz
e feijão em um mesmo supermercado,
mas os preços sofreram uma leve alteração:
Preço
por quilo
Abril Maio
Açúcar R$ 1,00 R$ 1,20
Arroz R$ 2,50 R$ 2,00
Feijão R$ 3,00 R$ 3,00
matemática 3
Quantidade de pacotes de 1 kg
Açúcar Arroz Feijão
4 5 6
Mediante um produto de matrizes, expresse,
por meio de uma matriz, quanto a família
gastou em cada mês.
Resposta
1 1
a) Se A =
2a 0,5b
⎡ ⎤
⎢ ⎥ , então
⎣ ⎦
2 ⎡ 1 + 2a 1 + 0,5b ⎤
A = ⎢
2
⎣2a
+ ab 2a + 0,25b
⎥
⎦
.
2 ⎡ + + ⎤
Assim A = 2A
⇔ ⎢
⎣ + +
⎥
⎦
=
1 2a 1 0,5b
2a ab 2a 0,25b 2
= ⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⇔
2 2
4a b
1 + 2a = 2
1 + 0,5b = 2
⇔ a = 0,5 e b = 2.
2a + ab = 4a
2
2a + 0,25b = b
2
Multiplicando a equação A = 2A por A temos
3 2 2
A = 2A = 2(2A) = 2 A.
De fato, indutivamente,
multiplicando essa equação por A sucessivas
n n−1 vezes, temos A = 2 A,
para n natural maior
11 10 ⎡1
1⎤
que 1. Isto é, A = 2 A = 1 024 ⎢
⎣1
1
⎥
⎦
.
b) A família gastou, no mês de abril, 4 ⋅ 1,00 +
+ 5 ⋅ 2,50 + 6 ⋅3,00
reais e no mês de maio,
4 ⋅ 1,20 + 5 ⋅ 2,00 + 6 ⋅3,00 reais.
Podemos escrever esse gasto como o seguinte
produto de matrizes:
⎡1,00
1,20 ⎤
[ 4 5 6]
⋅
⎢
2,50 2,00
⎥
= [ 34,5 22,8]
⎢
⎥
⎣⎢
3,00 3,00 ⎦⎥
Questão 7
A História da Matemática apresenta muitos
problemas para resolver mediante sistemas
de equações, mas cujos enunciados indicam
que as soluções são números naturais. Resolva
este antigo problema:
Dois viajantes encontraram uma bolsa que
continha entre 150 e 200 moedas de ouro. O
primeiro disse para o segundo: “Se eu ficar
com metade do dinheiro que há na bolsa, vou
me tornar o dobro de rico que você, se não
contar o dinheiro que levo comigo”.

O segundo disse para o primeiro: “Se eu ficar
com dois terços do dinheiro da bolsa, eu terei,
com o que levo, o triplo da quantia que você
leva consigo”.
Quantas moedas de ouro continha a bolsa?
Que quantia levava cada um dos amigos?
Resposta
Sejam x o número de moedas do primeiro viajante,
y o número de moedas do segundo e z onúmero
de moedas da bolsa. Tem-se que x, y e z
são números naturais e150 < z < 200.
Tem-se ainda que, pelas condições dadas:
1
⋅ z = 2 ⋅ y
2
z = 4y
⇔
2
11y = 9x
⋅ z + y = 3 ⋅ x
3
Como mdc (11, 9) = 1, considerando a fatoração
em primos de x e y, existe t natural tal que
x = 11t,
y = 9t e, portanto, z = 4(9t) = 36t. Consequentemente,150
< 36t < 200 ⇔
150 200
⇔ < t < ⇔ t = 5.
36 36
Logo a bolsa continha z = 36t = 180 moedas, enquanto
os amigos levavam, respectivamente,
x = 11t = 55 moedas e y = 9t = 45 moedas.
Questão 8
Em uma festa de final de ano, dez funcionários
de uma pequena empresa de consultoria
se reúnem para participar do “amigo secreto”.
Cada um traz um presente que é distribuído,
ao acaso, entre os dez.
a) Quantas possibilidades há de distribuir os
presentes?
b) Qual é a probabilidade de certo funcionário
receber exatamente o presente que trouxe?
Resposta
a) O número de possibilidades de distribuir os
10 presentes corresponde ao número de permutações
de 10 objetos, isto é, 10!.
b) Sejam f 1,f 2, ,f10 os dez funcionários, sendo f1 o funcionário em questão.
Considere os eventos Ei : o funcionário f1 recebe o
presente que trouxe o funcionário fi , 1 ≤ i ≤ 10.
Tais eventos são equiprováveis e, portanto, a probabilidade
de cada um ocorrer é 1
. Assim, a
10
probabilidade do funcionário receber exatamente
o presente que trouxe é 1
10 .
matemática 4
Questão 9
a) Determine o comprimento do lado de um
quadrado, sabendo que um de seus lados
está contido no lado AB de um triângulo
equilátero ABC, e os outros dois vértices pertencem
aos lados AC e BC. Dados: A(0,0),
B(36,0), e o terceiro vértice, C, estáno1ºquadrante.
Considere as medidas dos lados do
triângulo expressas em metros.
b) Um engenheiro pretende construir uma
piscina em seu sítio, dentro de um terreno
que tem a forma de um triângulo equilátero e
a mesma área do triângulo do item A desta
mesma questão. A piscina deve ter cerca de
1,5 m de profundidade, deve ocupar a maior
área possível, e a borda deve ter a forma de
uma circunferência.
De quantos litros de água, aproximadamente,
ele vai necessitar, para encher completamente
a piscina?
Se necessário, utilize o valor 3,14 para π.
Resposta
a) Considere a figura na qual RSTU é o quadrado
em questão.
36 ⋅ 3
O triângulo equilátero ABC tem altura
2
= 18 3 m. Logo C = (18; 18 3 ) .
=
Seja o lado do quadrado RSTU. Como
ΔCRS ~ ΔCAB
(caso AA), temos
36 =
18 3 −
=
⇔ 3 = 36 3 − 2
⇔
18 3
⇔ (2+ 3) = 36 3 ⇔ = 36 3(2− 3).

) Como a piscina tem a borda na forma de uma
circunferência e será construída num terreno na
forma de um triângulo equilátero, para que a área
ocupada pela piscina seja máxima devemos tomar
a circunferência inscrita no triângulo equilátero
de lado 36 m. Como o raio da circunferência
inscrita é um terço da altura do triângulo equilátero,
esse raio vale 1
⋅ 18 3 = 6 3 m.
3
Devemos então calcular o volume de um cilindro
reto de raio da base 6 3 m e altura 1,5 m, que é
2 3
π ⋅ (6 3 ) ⋅ 1,5 = 162 π m .
Usando a aproximação de 3,14 para π, o volume
3
é162 ⋅ 3,14 = 508,68 m = 508.680 .
Questão 10
O conhecimento que temos da matemática na
Antiguidade vem, em boa parte, de textos
matemáticos redigidos por escribas, propondo
problemas para os alunos ou outros escribas
resolverem. Leia com atenção esta adaptação
do texto “Sou o escriba, o chefe dos trabalhadores”,
e resolva o problema que o autor propõe
como um desafio a outro escriba:
a) Temos de resolver um problema e calcular
certa taxa de juro. Um velho mercador emprestou
um capital de 8 moedas de ouro, a
certa taxa anual de juro composto, durante
três anos. Passado esse tempo, o velho mercador
ficou muito contente: somente de juros, ele
recebeu 19 moedas de ouro!
matemática 5
Os escribas estarão todos reunidos para descobrir
a taxa de juro da aplicação, mas nenhum
saberá como fazê-lo. Voltar-se-ão para
ti e te dirão: “Tu és um escriba hábil, meu
amigo! Responde rápido para nós, honra tua
reputação, para que não se possa dizer que
existe alguma coisa que o chefe dos escribas
não saiba: a que taxa anual de juro composto
o mercador aplicou o seu dinheiro?”
b) Para encontrar a taxa de juro, você resolveu
uma equação polinomial do terceiro grau.
Quais são as outras duas raízes dessa equação?
Resposta
a) Aplicando 8 moedas, em 3 anos, o mercador
recebeu 19 moedas de juros. Sendo x a taxa de
juros aplicada, temos:
3 3
8(1 + x) = 19 + 8 ⇔ (1 + x) =
27
8
⇔
3
⇔ 1 + x =
2
⇔ x =
1
2
ou 50% ao ano.
b) Sabendo que
1
2
é raiz da equação
3
8(1 + x)
3
= 27 ⇔ 8x
2
+ 24x + 24x − 19 = 0,
aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:
1
2
8 24 24 −19
8 28 38 0
Assim, as 2 raízes restantes são raízes da equa-
2 2
ção 8x + 28x + 38 = 0 ⇔4x + 14x + 19 = 0 ⇔
−7 −3i
3
⇔ x = ou x =
4
− +
7 3i 3
.
4