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Aula 8 - Escola de Engenharia de São Carlos

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Da Eq. 13:<br />

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO<br />

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS<br />

Núcleo <strong>de</strong> <strong>Engenharia</strong> Térmica e Fluidos<br />

Mecânica Mecânica dos dos Fluidos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M.H. Rodriguez<br />

Equações Constitutivas para Fluidos<br />

Newtonianos - Eqs. <strong>de</strong> Navier- Stokes (cont.):<br />

Para fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional à taxa<br />

<strong>de</strong> <strong>de</strong>formação angular); para coor<strong>de</strong>nadas retangulares:<br />

Obs.: para placas planas,<br />

paralelas, infinitas, a superior<br />

movendo-se com velocida<strong>de</strong><br />

constante:<br />

du<br />

τ yx = µ<br />

dy<br />

Obs.: Num sistema<br />

hidrostático, ou seja, o<br />

fluido estando em<br />

<strong>de</strong>scanso:<br />

σ<br />

= σ = σ<br />

xx yy zz<br />

sendo p a pressão<br />

termodinâmica<br />

= − p<br />

As eqs. acima constituem uma afirmação geral da Lei <strong>de</strong><br />

Newton da Viscosida<strong>de</strong>, aplicadas para situações <strong>de</strong><br />

escoamento complexas com o fluido escoando em todas as<br />

direções


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Mecânica Mecânica dos dos Fluidos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M.H. Rodriguez<br />

Exemplo: Placas planas, paralelas, infinitas, a superior<br />

movendo-se com velocida<strong>de</strong> constante.<br />

τ<br />

A tensão cisalhante aplicada ao elemento <strong>de</strong> fluido é dada por:<br />

τ<br />

yx<br />

yx<br />

=<br />

δF<br />

Lim<br />

x<br />

δAy →0 δAy<br />

Taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação<br />

=<br />

dF<br />

dA<br />

x<br />

y<br />

δα<br />

Lim =<br />

δt<br />

δt<br />

= →0<br />

dα<br />

dt<br />

Problema: como expressar a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação em termos<br />

facilmente mensuráveis?<br />

δl = δuδt<br />

ou δl<br />

= δyδα<br />

(para ângulos pequenos)<br />

Igualando as expressões acima e aplicando o limite em<br />

ambos os lados, tem-se:<br />

d α<br />

=<br />

dt<br />

Assim, o elemento <strong>de</strong> fluido da fig. Acima, quando sujeito à tensão<br />

cisalhante, τ<br />

, experimenta uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação dada por du/dy.<br />

yx<br />

du<br />

dy


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Mecânica Mecânica dos dos Fluidos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M.H. Rodriguez<br />

Fluidos nos quais a tensão cisalhante é diretamente<br />

proporcional à taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação são chamados fluidos<br />

Newtonianos. Assim:<br />

τ yx ∝<br />

du<br />

dy<br />

A cte. <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong> é a viscosida<strong>de</strong> dinâmica, µ.<br />

Lei <strong>de</strong> Newton da viscosida<strong>de</strong>:<br />

du<br />

µ<br />

dy<br />

(escoamento<br />

τ yx = unidimensional)<br />

A viscosida<strong>de</strong> dinâmica po<strong>de</strong> ser imaginada como sendo a<br />

“a<strong>de</strong>rência” interna <strong>de</strong> um fluido; é uma das proprieda<strong>de</strong>s que<br />

influência a potência necessária para mover um aerofólio através da<br />

atmosfera, é responsável pelas perdas <strong>de</strong> energia associadas ao<br />

transporte <strong>de</strong> fluidos em dutos, canais e tubulações, e tem um papel<br />

primário na geração <strong>de</strong> turbulência.<br />

Obs.: note que,<br />

τ<br />

τ<br />

τ<br />

xy<br />

xx<br />

yz<br />

= τ<br />

= τ<br />

= τ<br />

yx<br />

yy<br />

zyy<br />

⎛ ∂u<br />

⎞<br />

= µ ⎜⎜<br />

⎟⎟<br />

⎝ ∂y<br />

⎠<br />

= τ = − p<br />

= τ<br />

zz<br />

xz<br />

= τ<br />

zx<br />

=<br />

0<br />

Quadro negro


Da Eq. 19:<br />

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Substituindo as expressões para as tensões na equação<br />

diferencial da quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> movimento, temos:<br />

Estas são as equações gerais diferenciais da quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

movimento para fluido Newtoniano ou Equações <strong>de</strong> Navier-<br />

Stokes com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e viscosida<strong>de</strong> variáveis<br />

Estas equações, juntamente com a equação da continuida<strong>de</strong>,<br />

a equação <strong>de</strong> estado, a equação da energia e conhecendo-se<br />

a lei empírica da viscosida<strong>de</strong> e as condições <strong>de</strong> contorno e<br />

condições iniciais, <strong>de</strong>terminam completamente a pressão,<br />

<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>, temperatura, viscosida<strong>de</strong> e componentes da<br />

velocida<strong>de</strong> em um escoamento <strong>de</strong> um fluido (7 eqs. para 7<br />

incógnitas: u, v, w, p, ρ, T, µ).


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Escoamento incompressível e viscosida<strong>de</strong><br />

dinâmica constante<br />

As equações <strong>de</strong> Navier-Stokes (N-S) gerais po<strong>de</strong>m ser simplificadas<br />

quando ρρρρ = cte. ( ∇ ⋅ V = 0 ) e µµµµ = cte. (variação da viscosida<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>sprezível). Nestas condições as equações <strong>de</strong> N-S ficam sendo:<br />

(Obs.: juntamente com a continuida<strong>de</strong> são 4 eqs. para 4 incógnitas: u, v, w e p):<br />

Em notação vetorial, as equações <strong>de</strong> Navier-Stokes<br />

simplificadas assumem a seguinte forma:<br />

DV<br />

ρ<br />

Dt<br />

<br />

- massa por unida<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> volume vezes<br />

aceleração<br />

- termos convectivos<br />

ou <strong>de</strong> transporte<br />

<strong>de</strong> q.d.m.<br />

2<br />

=<br />

<br />

ρg<br />

− ∇<br />

<br />

p + µ ∇<br />

<br />

V<br />

- força <strong>de</strong> campo<br />

volume<br />

- força gravitacional<br />

por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

- força <strong>de</strong> superfície<br />

volume<br />

- força <strong>de</strong> pressão<br />

por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

- força <strong>de</strong> superfície<br />

- termo <strong>de</strong> difusão <strong>de</strong><br />

q.d.m.<br />

volume <strong>de</strong> unida<strong>de</strong><br />

- força viscosa por<br />

Para escoamentos invíscidos (µ = 0), chega-se à famosa<br />

equação <strong>de</strong> Euler, <strong>de</strong>rivada em 1755:<br />

DV<br />

ρ<br />

Dt<br />

= ρg<br />

− ∇p<br />

(quadro negro)


Da *<br />

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Análise Dimensional e Semelhança<br />

As equações diferenciais parciais da continuida<strong>de</strong> e da<br />

quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> movimento serão discutidas do ponto <strong>de</strong><br />

vista da análise dimensional.<br />

O <strong>de</strong>senvolvimento a seguir é limitado a sistemas <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> (ρρρρ) constante e viscosida<strong>de</strong> (µµµµ) constante.<br />

Tomemos, por exemplo, o caso <strong>de</strong> escoamento em<br />

tubos. O comprimento característico po<strong>de</strong> ser o diâmetro D, e<br />

V po<strong>de</strong> ser a velocida<strong>de</strong> média do escoamento. A seguir<br />

temos algumas variáveis adimensionais convenientes e<br />

operadores adimensionais:<br />

(1)


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Relembrando que as equações da continuida<strong>de</strong> e<br />

quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> movimento para fluidos Newtonianos <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e viscosida<strong>de</strong> constantes são, respectivamente:<br />

(Obs.: termos em negrito são vetores)<br />

Nos po<strong>de</strong>mos reescrever essas duas equações em termos<br />

das variáveis adimensionais apresentadas no sli<strong>de</strong> anterior<br />

fazendo v = v* V, (p - p o ) = p* ρ V 2 , etc.<br />

(2)<br />

(4)<br />

(3)<br />

(5)


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Multiplicando a Eq. (4) por D / V e a Eq. (5) por D / ρ V 2 ,<br />

temos:<br />

Estas são, respectivamente, as equações da conservação<br />

da massa e da quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> movimento adimensionais.<br />

Note que os “fatores <strong>de</strong> escala”, ou seja, as<br />

variáveis <strong>de</strong>screvendo a dimensão e velocida<strong>de</strong> global do<br />

sistema e suas proprieda<strong>de</strong>s físicas, estão concentrados<br />

em apenas dois grupos adimensionais:<br />

(6)<br />

(7)


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Semelhança Dinâmica<br />

1. Se em dois sistemas diferentes os “fatores <strong>de</strong> escala”<br />

são iguais, por exemplo os números <strong>de</strong> Frou<strong>de</strong> e<br />

Reynolds, então ambos sistemas são <strong>de</strong>scritos por<br />

equações diferenciais adimensionais idênticas.<br />

2. Se, em adição, as condições iniciais e condições <strong>de</strong><br />

contorno são as mesmas (o que é possível apenas se<br />

os dois sistemas diferentes são geometricamente<br />

semelhantes), então os dois sistemas são idênticos<br />

matematicamente; ou seja, v*(x*, y*, z*, t*) e p*(x*, y*,<br />

z*, t*) são os mesmos em ambos sistemas diferentes.<br />

3. Tais sistemas são, então, “dinamicamente<br />

semelhantes”<br />

Resumindo: “sistemas diferentes são dinamicamente<br />

semelhantes quando são geometricamente semelhantes,<br />

possuem as mesmas condições <strong>de</strong> contorno e iniciais e<br />

possuem os mesmos números adimensionais com valores<br />

idênticos.”


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Parâmetros Adimensionais comuns


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O significado físico <strong>de</strong> cada parâmetro po<strong>de</strong> ser<br />

<strong>de</strong>terminado observando que cada número adimensional<br />

po<strong>de</strong> ser escrito como a relação entre duas forças.<br />

Observe que as forças são:


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Assim, observamos que:


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A tabela a seguir resume esta seção:<br />

pgm1 (16:30)<br />

Parâmetros adimensionais comuns na mecânica dos Fluidos<br />

Quadro negro

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