Lista 5

080047-B Álgebra Linear II
5 a Lista de Exercícios
1 Seja S(V ) o conjunto das formas bilineares simétricas em V . Mostre que:
(i) S(V ) é um subespaço de B(V ).
(ii) Se dim V = n, então dim S(V ) = 1
2n(n + 1).
2 Seja b a forma bilinear simétrica associada com a forma quadrática real q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 .
Mostre que:
(i) b é não-degenerada se, e somente se, b 2 − 4ac = 0.
(ii) b é definida positiva se, e somente se, a > 0 e b 2 − 4ac < 0.
3 Suponha que T : V → V seja linear. Mostre que cada um dos seguintes subespaços é invariante
por T .
(i) {0} (ii) V (iii) núcleo de T (iv) imagem de T .
4 Seja T ∈ L(V ) e f(t) ∈ K[t] um polinômio qualquer. Então o núcleo de f(T ) é invariante sob T .
5 Encontre todos os subespaços invariantes de A =
2 −5
1 −2
, encarado como um operador no R 2 .
6 Seja T ∈ L(V ). Suponha que para v ∈ V temos T k (v) = 0, mas T k−1 (v) = 0. Demonstre:
(i) O conjunto S = {v, T (v), T 2 (v), . . . , T k−1 (v)} é linearmente independente.
(ii) O subespaço W gerado por S é T -invariante.
(iii) A restrição ˆ T = T |W é nilpotente de índice k.
(iv) Em relação à base {T k−1 ⎛
0
⎜ 0
⎜
(v), . . . , T (v), v} de W , a matriz de T é da forma ⎜ .
⎝ 0
1
0
.
0
0
1
.
0
. . .
. . .
. ..
. . .
0
0
.
0
⎞
0
0 ⎟
. ⎟.
⎟
1 ⎠
0
Portanto a matriz quadrada k × k acima é nilpotente de índice k.
0 0 . . . 0 0
7 Seja T ∈ L(V ), U = kerT i e W = kerT i+1 . Mostre que:
(i) U ⊂ W (ii) T (W ) ⊂ U.
8 Determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador T ∈ L(V ), cujo
polinômio característico é p(t) = (t − 2) 3 (t − 5) 2 .
9 Determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz de ordem 5 cujo polinômio
mínimo é m(t) = (t − 2) 2 .
10 Seja V um espaço vetorial de dimensão 7 sobre R e seja T ∈ L(V ) um operador com polinômio
mínimo m(t) = (t 2 + 2)(t + 3) 3 . Encontre todas as formas canônicas racionais possíveis de T .

11 Suponha V = W1 ⊕· · ·⊕Wr. A projeção de V no seu subespaço Wk é a transformação E : V → V
definida por E(v) = wk, onde v = w1 + w2 + . . . + wr, wi ∈ Wi. Mostre que (i) E é linear, (ii) E 2 = E.
12 Suponha que E : V → V é linear e E 2 = E. Mostre que (i) E(u) = u para qualquer u ∈ Im(E),
isto é, a restrição de E a sua imagem é transformação identidade; (ii) V é a soma direta da imagem e
do núcleo de E; E = ker(E) ⊕ Im(E); (iii) E é a projeção de V na sua imagem.
Assim conforme o exercício 11 uma transformação linear T : V → V é uma projeção se, e somente
se, T 2 = T . Esta caracterização é freqüentemente usada como sua definição.
13 Suponha que W é invariante por T ∈ L(V ). Mostre que W é invariante por f(T ), para qualquer
polinômio f(t) ∈ K[t].
14 Seja T ∈ L(V ) e W o auto-espaço pertencente a um autovalor λ de T . Mostre que W é T -
invariante.
2 −4
15 Determine os subespaços invariantes por A =
encarado com um operador linear em
5 −2
(i) R2 , (ii) C2 .
16 Suponha que S e T são operadores nilpotentes que comutam, isto é, ST = T S. Mostre que S + T
e ST também são nilpotentes.
17 Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico
e mínimo são dados abaixo:
(i) p(t) = (t − 2) 4 (t − 3) 2 , m(t) = (t − 2) 2 (t − 3) 2 .
(ii) p(t) = (t − 7) 5 , m(t) = (t − 7) 2 .
(iii) p(t) = (t − 2) 7 , m(t) = (t − 2) 3 .
(iv) p(t) = (t − 3) 4 (t − 5) 4 , m(t) = (t − 3) 2 (t − 5) 2 .
18 Encontre todas as possíveis formas canônicas racionais possíveis para:
(i) matrizes 6 × 6, com polinômio mínimo m(t) = (t 2 + 3)(t + 1) 2 .
(ii) matrizes 6 × 6, com polinômio mínimo m(t) = (t + 1) 3 .
(iii) matrizes 8 × 8, com polinômio mínimo m(t) = (t 2 + 2) 2 (t + 3) 2 .
19 Seja A uma matriz 4 × 4 com polinômio mínimo m(t) = (t 2 + 1)(t 2 − 3). Encontre a forma
canônica racional para A, se A é uma matriz sobre (i) Q, (ii) R, (iii) C.
20 Encontre a forma canônica racional para o bloco de Jordan
⎛
⎜
⎝
λ 1 0 0
0 λ 1 0
0 0 λ 1
0 0 0 λ
21 Demonstre que duas matrizes 3 × 3 com os mesmos polinômios mínimo e característico são semelhantes.
⎞
⎟
⎠ .