Esquemas Essencialmente Não-Oscilatórios de ... - Marcos Castro

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Esquemas Essencialmente Não-Oscilatórios de
Alta Precisão para Leis de Conservação
Hiperbólicas
Marcos Castro
Rio de Janeiro
Novembro de 2009

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Esquemas Essencialmente Não-Oscilatórios de Alta Precisão
para Leis de Conservação Hiperbólicas
Marcos Castro C. T. de Azevedo
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática
Aplicada, Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ),
como parte dos requisitos necessários obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.
Orientador: Prof. Bruno Alexandre Soares da Costa.
Rio de Janeiro
Novembro de 2009

ii
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Esquemas Essencialmente Não-Oscilatórios de Alta Precisão
para Leis de Conservação Hiperbólicas
Marcos Castro C. T. de Azevedo
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática
Aplicada, Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ),
como parte dos requisitos necessários obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.
Aprovada por:
———————————————————
Presidente, Prof. Bruno Alexandre Soares da Costa
———————————————————
Prof. Wai Sun Don
———————————————————
Prof. Marco Aurélio Palumbo Cabral
Rio de Janeiro
Novembro de 2009

Castro, Marcos.
Esquemas Essencialmente Não-Oscilatórios de
Alta Precisão para Leis de Conservação Hiperbólicas / Marcos
Castro. – Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 2009.
viii, 132f.:il.; 29,7 cm.
Orientador: Bruno Alexandre Soares da Costa.
Dissertação (Mestrado) — UFRJ/ IM/ Programa de
Pós-graduação em Matemática Aplicada, 2009.
Referências Bibliográficas: f. 131-132 .
1. Método WENO. 2. Leis de
Conservação. 3. Métodos Numéricos
I. Costa, Bruno Alexandre Soares.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Instituto de Matemática. III. Esquemas Essencialmente
Não-Oscilatórios de Alta Precisão para Leis
de Conservação Hiperbólicas.
iii

iv
Dedicado à minha famlia.

Agradecimentos
Aos meus pais e família, aqueles que tornaram tudo isto possível.
A Luciana, por todo o carinho e apoio, pelos quais não tenho como agradecer através
de palavras.
Ao meu orientador, Bruno Costa, pelos ensinamentos, paciência e compreensão durante
este trabalho e os anos que o precederam.
Ao professor Marco Cabral, um dos meus primeiros professores e um dos grandes responsáveis
para que eu seguisse este caminho.
Ao professor Wai Sun Don, que, assim como o professor Marco Cabral, prontamente
aceitou o convite para compor a banca avaliadora.
Aos meus amigos e colegas, que contribuíram de diversas maneiras para que eu chegasse
até aqui. Não os citarei nominalmente para não cometer injustiças e não me alongar.
v
Marcos Castro
Novembro de 2009

vi
“Não existe um caminho para a
paz. A paz é o caminho."
Mahatma Gandhi
Líder espiritual e pacifista indiano

Resumo
Esquemas Essencialmente Não-Oscilatórios de Alta Precisão para Leis de
Conservação Hiperbólicas
Marcos Castro
Resumo da dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-graduação em
Matemática Aplicada, Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro
(UFRJ), como parte dos requisitos necessrios obtenção do título de Mestre em Matemática
Aplicada.
Resumo: Nesta dissertação desenvolvemos um novo esquema essencialmente
não-oscilatório ponderado (WENO) de quinta ordem adicionando um indicador
de suavidade de alta ordem, obtido por uma simples combinação linear
(e de baixo custo computacional) dos indicadores de suavidade já existentes.
Este novo esquema, denominado WENO-Z, tem um custo computacional equivalente
ao clássico WENO-JS e consideravelmente menor do que o mapeado
(WENO-M), uma vez que não há nenhum mapeamento envolvido. Também
observamos mais de perto as expansões de Taylor dos polinômios de Lagrange
dos subestênceis WENO e as simetrias herdadas dos indicadores de suavidade
de ordem menor para obter uma fórmula geral para os indicadores de suavidade
de alta ordem, permitindo a extensão do método WENO-Z para todas as
ordens (ímpares) de aproximação. Observamos também a boa aproximação do
WENO-Z em pontos críticos de soluções suaves tal como suas características
numéricas diferenciadas, derivadas do novo conjunto de pesos não-linares e
também mostramos que em relação à dissipação numérica weno-Z ocupa uma
posição intermediária entre WENO-JS e WENO-M.
Palavras–chave., WENO, Leis de Conservação, Indicadores de Suavidade, Pesos Não-
Lineares.
Rio de Janeiro
Novembro de 2009
vii

viii
Abstract
High Order Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic
Conservation Laws
Marcos Castro
Abstract da dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-graduao em Matemática
Aplicada, Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro
(UFRJ), como parte dos requisitos necessários obtenção do título de Mestre em Matemática
Aplicada.
Abstract: In this work we design a new fifth order WENO finite-difference
scheme by adding a higher order smoothness indicator which is obtained as
a simple and inexpensive linear combination of the already existing low order
smoothness indicators. Moreover, this new scheme, dubbed as WENO-Z, has a
CPU cost which is equivalent to the one of the classical WENO-JS and significantly
lower than that of the mapped WENO-M„ since it involves no mapping
of the nonlinear weights. We also take a closer look at Taylor expansions of
the Lagrangian polynomials of the WENO substencils and the related inherited
symmetries of the classical lower order smoothness indicators to obtain
a general formula for the higher order smoothness indicators that allows the
extension of the WENO-Z scheme to all (odd) orders of accuracy. We further
investigate the improved accuracy of the WENO-Z schemes at critical points
of smooth solutions as well as their distinct numerical features as a result of
the new sets of nonlinear weights and we show that regarding the numerical
dissipation WENO-Z occupies an intermediary position between WENO-JS
and WENO-M.
Keywords.WENO, Conservation Laws, Smoothness Indicators, Non-linear Weights.
Rio de Janeiro
Novembro 2009

Sumário
1 Introdução 3
2 Tópicos introdutórios 11
2.1 Aproximação por polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Interpolação via polinômios de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Indicadores de suavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Um exemplo: a medida da variação total . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Leis de conservação hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Resolução numérica de leis de conservação . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 Aproximação por estêncil fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 O que torna um método conservativo? . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Oscilações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Métodos essencialmente não-oscilatórios 39
3.1 O método ENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Esquemas WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Pesos ideais e comparação com upstream central . . . . . . . . . . . 47
1

SUMÁRIO SUMÁRIO
3.2.2 WENO clássico: os pesos de Jiang-Shu . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.4 WENO mapeado: corrigindo algumas falhas . . . . . . . . . . . . . 60
4 O método WENO-Z 65
4.1 Uma nova fórmula para os pesos do WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1 Generalização para todo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1 Representação dos polinômios ˆ f k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Ordem dos indicadores de suavidades βk . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Existência de τn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Ordem máxima de τn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Uma alternativa para obter ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Resultados numéricos 109
5.1 Análise dos pesos WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.1 Ordens mais altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2 Tempo de execução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3 Equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1 Comparação entre os esquemas WENO . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.2 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2

Capítulo 1
Introdução
Uma equação de lei de conservação hiperbólica é uma equação da forma
∂u
∂t
onde F é definido como o fluxo conservado.
+∇·F(u) = 0,
Sem perda de generalidade, restringiremos nossa discussão ao caso unidimensional,
∂ ∂
u(x,t)+ f(u(x,t)) = 0. (1.1)
∂t ∂x
O nome lei de conservação se deve ao seguinte fato: considere u(x,t) a densidade de uma
certa grandeza, de modo que
x2
x1
u(x,t)dx
represente a quantidade desta grandeza no intervalo [x1,x2] no tempo t. Integrando (1.1)
em [x1,x2]×[t1,t2] chegamos à fórmula conservativa
x2
x1
u(x,t2)dx =
x2
x1
u(x,t1)dx+
t2
t1
3
f(u(x1,t))dx−
t2
t1
f(u(x2,t))dx

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Informalmente, a quantidade da grandeza no instante t2 > t1 é igual à quantidade no
instante t1 mais o que entra pela extremidade x1 e menos o que sai pela extremidade x2.
Por isto, a função f recebe o nome de fluxo.
As equações de leis de conservação frequentemente aparecem na física quando lidamos
com quantidades que se conservam. Algumas das equações mais famosas são a equação
do transporte
a equação de Burgers
ut +
e o sistema de equações de Euler
ut +αux = 0,
2 u
t
2
x
= ut +uux = 0
⎡ ⎤ ⎡
⎢
ρ
⎥ ⎢
ρv
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ρv ⎥ + ⎢ ρv
⎣ ⎦ ⎣
E
2 ⎤
⎥
+p ⎥
⎦
v(E +p)
As equações de Euler têm aplicação na dinâmica de fluidos, especialmente sobre fluidos
em alta velocidade. A variável ρ representa a densidade de massa, v é a velocidade, E
é a energia total e p é a pressão, geralmente uma função das três primeiras variáveis. A
primeira linha do sistema corresponde à conservação de massa, a segunda à conservação
de momento e a terceira à conservação de energia.
As equações de leis de conservação não-lineares em geral não possuem uma solução
analítica explícita. Por este motivo métodos numéricos são frequentemente utilizados para
obter soluções. Porém, pela natureza das leis de conservação, alguns cuidados têm que ser
tomados. Uma equação de lei de conservação pode ter uma solução u(x,t) descontínua
mesmo quando a condição inicial u0(x) é C ∞ . Estas soluções descontínuas, mais apropri-
4
x
= 0

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
adamente chamadas de soluções fracas, em geral não são únicas para um dado problema,
apesar de haver apenas uma solução fisicamente relevante (aquela que satisfaz condições
de entropia, adicionais ao problema). Isto torna mais complicada a tarefa de achar uma
solução numérica.
Primeiramente, para obtermos a solução fraca fisicamente relevante o método numérico
deve ser conservativo e as soluções por ele obtidas devem satisfazer a condições de entropia.
Não entraremos em detalhes sobre este importante tópico. Uma boa referência se encontra
em [6, cap. 12].
Em segundo lugar, o método numérico que vamos usar deve se comportar bem diante
de descontinuidades. Em geral, um método comum baseado em volumes ou diferenças
finitas é dissipativo (suavizando as descontinuidades) se sua ordem é 1 ou dispersivo
(com oscilações parecidas com o fenômeno de Gibbs) se a ordem é maior ou igual a 2.
Estas oscilações tornam estes métodos instáveis e as soluções são qualitativamente ruins.
Entretanto, as dissipações geradas por métodos de ordem 1 são severas, de maneira que
muitos pontos são necessários para se obter uma solução confiável.
Se quisermos soluções de ordem alta (de 2 em diante) então precisamos usar métodos
especiais para não gerarmos oscilações. Uma classe de métodos que não são dispersivos
mas sim dissipativos mesmo em ordens altas é a dos chamados métodos Essencialmente
Não-Oscilatórios. O nome se deve ao método denominado essentially non-oscillatory
schemes (conhecido também por sua abreviatura ENO), proposto no artigo [1] de Harten,
Enquist, Osher e Chakravarthy. Mais tarde, outros métodos baseados no ENO surgiram.
O mais importante deles foi o esquema essencialmente não-oscilatório ponderado (WENO,
do original em inglês weighted essentially non-oscillatory), desenvolvido nos artigos [2] de
Liu, Osher e Chan e [4] de Jiang e Shu. Recentemente, o artigo [3] de Henrick, Aslam e
Powers lançou uma nova luz sobre o WENO, com o desenvolvimento do WENO mapeado.
Há ainda outras modificações, como por exemplo oo ENO geométrico [8] e o power ENO
5

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.1: Solução numérica da equação do transporte obtida com um método de estêncil
fixo de ordem 1. Note como o método é dissipativo
[7]. O estudo dos esquemas essencialmente não-oscilatórios, em especial o ENO e os
esquemas baseados no WENO, será o assunto principal deste texto.
O esquema ENO se baseia numa escolha: para cada ponto, há r conjuntos de r pontos
adjacentes (chamados de estênceis) que são candidatos a serem usados para aproximar
f ′ . Usando medidores de suavidade, o algoritmo escolhe qual dentre os estênceis é o mais
suave e o utiliza para aproximar f ′ , evitando as oscilações.
Entretanto, em regiões onde a solução é suave tem um inconveniente: desprezamos
informação útil sobre a função quando usamos 1 estêncil na aproximação e descartamos os
outros r−1. Se usássemos todos os estênceis, teríamos uma quantidade maior de pontos
(2r − 1, para ser mais preciso) disponíveis para a aproximação e, consequentemente,
aumentaríamos a ordem de convergência do método. O esquema WENO faz isto ao
atribuir pesos a cada estêncil. A aproximação final é obtida pela soma ponderada da
aproximação em cada um dos estênceis. Os pesos foram desenvolvidos de tal forma que
um estêncil onde a função é descontínua recebe peso praticamente nulo. Deste modo, o
6

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.2: Solução numérica da equação do transporte obtida com um método de estêncil
fixo de ordem 5. As oscilações vistas são comuns em métodos alta ordem
WENO emula o comportamento do ENO nas vizinhanças de descontinuidades, evitando
assim oscilações na solução. Ao mesmo tempo, em regiões contínuas todos os estênceis
são levados em conta, permitindo um ganho em termos de ordem de convergência. Os
métodos essencialmente não-oscilatórios se encontram em uma página recente da história
da matemática (o artigo pioneiro [1]desenvolvido neste campo data de 1987).
No capítulo 2 apresentaremos tópicos preliminares, necessários para o entendimento
dos métodos ENO. Na primeira seção deste capítulo estudaremos a aproximação polino-
mial, através da interpolação de Lagrange. Os métodos de diferença finita que veremos,
incluindo os essencialmente não-oscilatórios, utilizam este tipo de aproximação polinomial
em suas fórmulas.
Na segunda seção do capítulo 2 entraremos em detalhes sobre os medidores de suavi-
7

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
dade - outra peça fundamental para os esquemas ENO. Definiremos o que é um medidor
de suavidade; informalmente falando, trata-se de um operador que associa um valor a um
conjunto de valores pontuais de uma função. A magnitude deste valor indica o grau de
suavidade de uma função: quanto menor for o valor, mais suave será a função no domínio
da medição. Existem diversos tipos de medidores de suavidade, mas estudaremos apenas
a medida da variação total, que será o medidor utilizado nos esquemas ENO.
Na terceira seção do capítulo 2 abordaremos uma importante propriedade das leis de
conservação hiperbólicas, que é a possibilidade de diagonalizar o sistema de equações, de
modo a desacoplar as variáveis, isto é, fazer com que cada equação dependa de apenas
uma variável. Veremos que esta propriedade é fundamental para a resolução de certas
equações, como o sistema de equações de Euler, por exemplo.
Na quarta seção do capítulo 2 veremos questões relevantes a esquemas numéricos
de resolução de leis de conservação, como as condições para estabilidade e a propriedade
conservativa de um método. Nesta seção, veremos ainda os chamados esquemas de estêncil
fixo e mostraremos seu comportamento oscilatório. Os esquemas de estêncil fixo recebem
esta terminologia devido ao fato de que o estêncil utilizado não varia em função do ponto
da malha onde se faz a aproximação. Estes esquemas são bem simples de se implementar;
porém, eles geram oscilações significativas nas proximidades de uma descontinuidade.
Apesar deste mal comportamento diante deste tipo de problema, o estudo dos esquemas
de estêncil fixo se faz necessário, já que o ENO pode ser entendido como uma modificação
deste tipo de esquema.
No capítulo 3 estudaremos alguns tipos de métodos ENO: o ENO original [1], o WENO
clássico com os pesos de Jiang-Shu [4] e o WENO mapeado, proposto em [3] para contornar
problemas encontrados em vizinhanças de pontos críticos (isto é, pontos de derivada zero).
O nome WENO mapeado se deve ao fato de que um mapeamento é aplicado aos pesos de
Jiang-Shu de modo a corrigir estes problemas observados. Além disso, este mapeamento
8

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
faz com que os pesos calculados perto das descontinuidades ganhem mais importância,
tornando o método menos dissipativo. No entanto, vemos que o mapeamento acaba por
deixar o esquema mais caro computacionalmente.
No capítulo 4 introduziremos o método WENO-Z [13], que introduz um novo cálculo
para os pesos de Jiang-Shu: a ideia é inserir na formulação dos pesos um medidor de
suavidade global que contém informações sobre todos os r estênceis. Observamos que o
WENO-Z sempre alcança ordem ótima em regiões contínuas afastadas de pontos críticos
e que, em ordens mais altas, a optimalidade ainda é alcançada mesmo com a presença
destes pontos críticos.
Finalmente, no capítulo 5 mostraremos soluções numéricas de alguns exemplos clássi-
cos, como a equação do transporte e o sistema de equações de Euler, comparando os três
tipos de WENO vistos neste texto. Os resultados encontrados confirmaram que o WENO
mapeado é o menos dissipativo dentre os três esquemas, seguido do WENO-Z e por fim
o WENO clássico. Em termos de desempenho computacional, o WENO-Z, por sua vez,
apresentou vantagens em relação ao WENO mapeado.
9

10
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Capítulo 2
Tópicos introdutórios
Antes de iniciarmos o estudo sobre esquemas ENO será preciso examinar dois assuntos
importantes, ainda que relativamente simples. O primeiro deles surge no processo de
aproximação dos esquemas de diferença finita. Neste processo, em um dado momento
estamos interessados em obter coeficientes c−l,c−l+1,...,ck que servirão para obtermos
uma aproximação para f ′ (xi),, de ordem r, usando os valores de f em um conjunto de r
pontos que inclui xi,
onde
A aproximação assume a forma
S = {xi−l,xi−l+1,...,xi,...,xi+k}, r = k +l+1,
xi+j = xi +j∆x.
k
j=−l cjf(xi+j)− k
j=−l cjf(xi+j−1)
∆x
11
= f ′ (xi)+O(∆x r ). (2.1)

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
Há uma formulação equivalente para este problema, na qual é mais simples encontrar
estes coeficientes. Considere o fluxo numérico h definido implicitamente como
Esta função satisfaz
f(x) = 1
∆x
x+ 2
∆x x− ∆x
h(ξ)dξ. (2.2)
2
∂f
∂x
x=xi
Pode-se mostrar (vide [5]) que os coeficientes que satisfazem
k
j=−l
= hi+ 1 −h 1
i− 2 2.
(2.3)
∆x
cjf(xi+j) = h(x 1
i+ )+O(∆x
2
r ) (2.4)
são os mesmos que satisfazem (2.1). Destacamos que para cada j o valor f(xi+j) é
uma média celular de h no intervalo [x 1
i+j− ,x 1
i+j+ ]. Portanto, o problema que estamos
2 2
resolvendo é
Problema 1. Dado os valoresf(xi+j) das médias celulares deh, ache coeficientesc−l,c−l+1,...,ck
que satisfazem (2.4).
Este problema é facilmente resolvido através da interpolação polinomial. Veremos a
solução na seção seguinte, via polinômios de Lagrange.
O segundo assunto deste capítulo se refere aos chamados medidores de suavidade. Ba-
sicamente, um medidor de suavidade é um operador capaz de determinar a suavidade de
uma função f em um dado intervalo [x0,xr] a partir de um conjunto de valores pontuais
f(x0),f(x1),...,f(xr),xi ∈ [x0,xr]. Por causa desta propriedade, os medidores de suavi-
dade são empregados nos esquemas baseados no ENO. Estes esquemas determinam uma
região onde a função é contínua e a utilizam para realizar a aproximação de f ′ (xi). Dentre
12

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.1. APROXIMAÇÃO POR POLINÔMIOS
diversos exemplos de medidores de suavidade, veremos a medida de variação total, um
medidor introduzido em [4] que é bastante utilizado nos esquemas WENO.
Finalmente, na terceira seção deste capítulo estudaremos os rudimentos da resolução
numérica de equações de leis de conservação. Veremos as condições que o método ne-
cessariamente precisa satisfazer para que tenhamos uma solução correta: a condição de
Courant-Friedrichs-Lax (CFL). Veremos também um método numérico de resolução de
leis de conservação bastante simples. Este esquema, ainda que oscilatório, constitui uma
base da qual os métodos essencialmente não-oscilatórios são uma modificação.
2.1 Aproximação por polinômios
Considere uma função f e uma malha de pontos
S = {x0,...,xk}, x0 < x1 < ... < xk. (2.5)
Vamos supor que saibamos o valor de f nos pontos da malha
f(xi) = fi, i = 0,...,k
mas que não saibamos, ou não queiramos calcular, o valor de f em nenhum outro ponto.
Porém, estamos interessados em obter um valor aproximado de f(x) para x ∈ (x0,xk).
Uma maneira muito natural de se fazer isto é achar o polinômio p(x) que interpola f na
malha S, isto é, o polinômio que satisfaz
p(xi) = fi, i = 0,...,k (2.6)
A partir daí, usamos p(x) como uma aproximação para f(x) no intervalor (x0,xk).
13

2.1. APROXIMAÇÃO POR POLINÔMIOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
A escolha do grau de p é muito importante. Se o grau for pequeno pode ser impossível
achar p que satisfaça (2.6). Por outro lado, se o grau for grande demais então pode existir
mais de um polinômio que satisfaça (2.6), e neste caso a aproximação fica igualmente
indeterminada. Felizmente há um fato que nos ajudará a resolver esta questão (omitiremos
a demonstração, apesar de ser relativamente simples).
Teorema 1. Considere uma malha de pontos e uma função f definidas como acima.
Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a k tal que p(xi) = f(xi) para
i = 0,...,k.
Algo também importante é a ordem do erro que obtemos com a aproximação. O
teorema a seguir nos dá esta informação:
Teorema 2. Seja p o único polinômio de grau menor ou igual a k que interpola f na
malha S. Além disto, vamos definir
Se f ∈ C k [x0,xk] então
para todo x ∈ [x0,xk].
∆x ≡ max
1≤i≤k xi −xi−1.
f(x)−p(x) = O(∆x k+1 )
2.1.1 Interpolação via polinômios de Lagrange
(2.7)
Há uma maneira bastante simples de calcular o polinômio interpolante p(x). Considere
a família de polinômios li(x) de grau k que é definida como
li(x) =
k
j=0
j=i
x−xj
, i = 0,...,k
xi −xj
14

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.1. APROXIMAÇÃO POR POLINÔMIOS
Os polinômios li(x) são bem definidos desde que a malha só contenha pontos distintos,
o que é o caso de (2.5).
Observe que, por definição,
⎧
⎪⎨ 0, se i = j
li(xj) =
⎪⎩ 1, se i = j
Daí segue um fato interessante a respeito destes polinómios:
Teorema 3. k
i=0 li(x) = 1 para todo x ∈ R.
Demonstração. Vamos chamar q(x) = k
i=0 li(x). Usando (2.8) podemos ver que
q(xj) =
k
li(xj) = 1, j = 0,...,k.
i=0
(2.8)
Portanto, o polinomio r(x) = 1 interpolaq(x) nos pontos x0,...,xk. Por outro lado, q(x) é
um polinômio de grau no máximo k e, obviamente, ele também se interpola em x0,...,xk.
Pelo Teorema 1, existe um único polinômio de grau no máximo k que interpola q(x) em
x0,...,xk. Logo k
i=0 li(x) ≡ r(x) ≡ 1.
Vejamos como podemos usar os polinomios li(x) para acharmos uma fórmula para o
polinomio interpolante p(x). Usando (2.8), verifica-se facilmente que k
i=0 fili(xj) = fj.
Daí segue imediatamente que
p(x) =
k
fili(x) =
i=0
k
i=0
fi
k
j=0
j=i
x−xj
xi −xj
(2.9)
é o polinomio que procurávamos. Note que p(x) é uma soma de polinomios de ordem k
e que, por isto, o grau de p(x) é menor ou igual a k. Assim, acabamos de demonstrar a
parte da existência do polinomio interpolante do teorema 1.
15

2.2. INDICADORES DE SUAVIDADECAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
Esta maneira de escrever o polinomio interpolante é conhecida como fórmula interpola-
dora de Lagrange. Há outras maneiras de se calcular o polinômio interpolante, como pela
fórmula de Newton (não abordaremos este assunto aqui). Porém a fórmula de Lagrange
será mais conveniente para nós neste momento. Vejamos o porquê.
Neste texto, em vários momentos, estaremos interessados em obter uma expressão
para a aproximação polinomial de f(x) em termos dos valores conhecidos f0,...,fk. Em
outras palavras, vamos querer achar os coeficientes c0,...,ck que satisfaçam
f(x) ≈ p(x) =
Podemos ver, por (2.9), que no contexto atual
ci = li(x) =
k
j=0
j=i
2.2 Indicadores de suavidade
k
i=0
cifi
x−xj
.
xi −xj
(2.10)
Como saber se uma função f é contínua? Esta pergunta, aparentemente inocente, es-
conde um problema dos mais relevantes. Claro, quando sabemos a definição da função(f(x) =
sin(x) ou f(x) = 1/(x+3), por exemplo), a resposta é mais fácil. Mas e se não tivermos
tanta informação sobre a função? Na prática, quando lidamos com funções num compu-
tador raramente sabemos a definição delas, a não ser que estejamos usando um programa
de matemática simbólica, como o Maple. Por exemplo, em geral não sabemos nada sobre
a solução de uma EDP. Ao invés disto, quando a resolvemos numericamente o que temos
são apenas avaliações pontuais da solução u (uma aproximação dela, na verdade) em um
conjunto finito e discreto de pontos {x0,...,xk}. Será que conhecendo apenas estes va-
lores pontuais é possível afirmar algo a respeito da continuidade de u? Ou, formulando
16

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS2.2. INDICADORES DE SUAVIDADE
melhor,é possível dizer se uma função f(x) é contínua conhecendo-se apenas um conjunto
discreto de valores f(x0),f(x1),...,f(xk))? Ou simplesmente, é possível dizer se uma
função f(x) é contínua apenas olhando para o seu gráfico? Qualquer um responderia
ao problema acima dizendo que sim, é possível dizer se uma função é contínua ou não
só olhando para seu gráfico. Isto porque o cérebro humano é equipado com um “sensor
de continuidade” que faz toda a tarefa de detectar descontinuidades automaticamente.
Sabemos quando uma função é suave e quando ela dá saltos. Um olho mais treinado é
capaz até de detectar descontinuidades na segunda derivada de uma função só de olhar
para o seu gráfico.
Mas acontece que no mundo real em que vivemos é impossível representar exatamente
o gráfico de uma função cujo domínio é um conjunto denso. Por exemplo, nunca consegui-
remos desenhar perfeitamente uma reta densa, aquela em que entre dois pontos quaisquer
sempre existe mais um ponto. Isto porque quando desenhamos um gráfico com um lápis,
a linha que parece cheia é na verdade uma cadeia discreta de moléculas de grafite. Ou
então quando desenhamos o gráfico no computador, usamos um conjunto finito de pixels,
e assim por diante. Porém, quando olhamos para um gráfico, nosso cérebro não é capaz
de detectar os buracos entre uma molécula e outra (ou entre um pixel e outro), criando
a ilusão de que vemos de fato uma reta densa. E por causa disto que o nosso “sensor de
continuidade” ainda funciona mesmo nestes gráficos que não representam tão exatamente
a função.
Observe que o gráfico def(x) na verdade ilustra a avaliação def em um conjunto finito
e discreto de pontos. Por este motivo, os dois problemas acima são semelhantes. Logo,
já que a nossa mente consegue olhar para um gráfico esburacado e dizer se uma função é
contínua, então pode haver alguma maneira de se fazer o mesmo matematicamente. E há
uma maneira, de fato: usando-se os medidores de suavidade, que definimos a seguir:
17

2.2. INDICADORES DE SUAVIDADECAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
Definição 1. Considere uma malha de pontos x0 < x1 < ... < xk tal que ∆x =
max1≤i≤kxi − xi−1 < 1. Além disto, considere uma função f : D ⊂ R −→ R con-
tínua por partes em (x0,xk) tal que, para todo x ∈ D, temos f(x) = limt→x +f(t) ou
f(x) = limt→x −f(t). Seja f(xi) = fi,i = 0,...,k. Um medidor de suavidade β é um
operador que, a partir dos valores f0,f1,...,fk, é capaz de avaliar a suavidade de f em
(x0,xk) no seguinte sentido:
• Se f é contínua em (x0,xk) então β(f0,f1,...,fk) = O(∆x p ) para algum p ≥ 1;
• Se f é descontínua em (x0,xk) então β(f0,f1,...,fk) = O( 1
∆x q) para algum q ≥ 0;
O nome "medidor de suavidade"vem do fato de que quanto mais suave forf em(x0,xk)
em geral menores serão os valores de β(f0,f1,...,fk). Deste modo é possível detectar a
presença de descontinuidades em f num domínio apenas olhando para a magnitude de β.
Podemos ver que nesta definição é exigido que f seja contínua por partes. Vejamos o
porquê. Para uma função f descontínua em um conjunto de medida não-nula pode ser
impossível desenharmos seu gráfico. Seria preciso que utilizássemos um instrumento com
resolução infinita, capaz de realizar a impossível tarefa de mostrar o valor da função em
todos os pontos onde há descontinuidade. Do mesmo modo, seria preciso um ∆x infini-
tesimalmente pequeno para que pudéssemos captar todas as nuances de f neste conjunto
de medida não-nula, o que é impossível neste universo em que vivemos. Além do mais,
nas aplicações com maior interesse prático é muito incomum lidarmos com funções que
não sejam contínuas por partes, fato que torna esta imposição algo nem tanto restritivo.
Mas ainda há outro problema. Considere a função
⎧
⎪⎨ 1, se x = 0
g(x) =
⎪⎩ 0, se x = 0
18
(2.11)

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS2.2. INDICADORES DE SUAVIDADE
Neste caso, qualquer medidor de suavidade definido numa malha que não contenha o
ponto x = 0 não será capaz de detectar a descontinuidade de g(x), apesar de g(x) ser
contínua por partes. Por causa de casos assim é que exigimos que f(x) = limt→x +f(t) ou
f(x) = limt→x−f(t) para todo x ∈ D.
A definição (1) é genérica o suficiente para englobar várias classes de medidores de
suavidade. De fato, há medidores de suavidade baseados na interpolação polinomial,
como a comparação com a aproximação polinomial e as diferenças divididas de Newton;
há a medida da variação total, que, como o nome diz, usa a variação total da função; há
também os medidores que se utilizam das séries de Fourier da função [10], [11] e medidores
de suavidade que se baseiam em outros artifícios matemáticos (por exemplo, [12]). Por
brevidade, apenas abordaremos a medida de variação total.
2.2.1 Um exemplo: a medida da variação total
Introduzida por Jiang e Shu [4], a medida de variação total é o medidor de suavidade
padrão para o WENO. Ela é baseada no conceito de variação total, ou TV. A variação
total de uma função f no intervalo [a,b], é definida como
TV[f] = sup
P
i|xi,xi+1∈P
|f(xi+1)−f(xi)|,
onde P = {a = x0 < x1 < ... < xN = b} é uma partição de [a,b]. Pode-se mostrar que,
se f é contínua por partes em [a,b], então
TV[f] =
b
|f
a
′ (x)|dx = f ′ (x)L1 .
19

2.2. INDICADORES DE SUAVIDADECAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
Aqui vamos usar a versão L 2 da variação total,
Considere o estêncil
TV L 2[f] =
b
a
(f ′ (x)) 2 dx = f ′ (x) 2
L 2.
Sk = {xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k}, k = 0,1,...,r −1
e seja pk(x) o polinômio (de ordem até r−1) que interpola f em Sk. A medida de variação
total de ordem r de f em Sk é definida como
βk =
=
r−1
∆x
n=1
2n−1 TVL2[p (n)
k ]
r−1
xi+ 1
2
∆x
n=1 x
i−1 2
2n−1
p (n)
k (x)
2 dx,
onde p (n)
k denota a n-ésima derivada de pk(x). Ou seja, βk é em essência uma aproximação
da soma das variações totais das derivadas de f. O termo ∆x 2n−1 na integral é apenas
para remover termos dependentes de ∆x na n-ésima derivada de pk. No caso r = 3, a
expressão para βk fica
β0 = 13
12 (fi−2 −2fi−1 +fi) 2 + 1
4 (fi−2 −4fi−1 +3fi) 2
β1 = 13
12 (fi−1 −2fi +fi+1) 2 + 1
4 (fi−1 −fi+1) 2
β2 = 13
12 (fi −2fi−1 +fi+2) 2 + 1
4 (3i −4fi+1 +fi+2) 2 .
A medida da variação total tem ainda a seguinte propriedade, que provaremos na seção
4.2.2: se f é contínua no domínio de Sk e não contém pontos críticos (isto é, pontos
onde a derivada se anula), então βk = O(∆x 2 ). Outra propriedade é que se Sk contém
20

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS
alguma descontinuidade de f então βk = O(1). É isto que nos permite utilizar a medida
da variação total como um medidor de suavidade.
2.3 Leis de conservação hiperbólicas
Os métodos que desenvolveremos no capítulo 3, como o ENO e WENO, são desenvol-
vidos para aproximar problemas da forma
∂ ∂
u+ f(u(x,t)) = 0,
∂t ∂x
que possui apenas uma variável u. No entanto, como vimos no primeiro capítulo, muitos
dos modelos que queremos aproximar numericamente dependem de diversas variáveis,
como no caso do sistema de equações de Euler
⎡ ⎤ ⎡
⎢ ρ ⎥ ⎢ ρv
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ρv
⎥ + ⎢ ρv
⎣ ⎦ ⎣
E
2 ⎤
⎥
+p
⎥
⎦
v(E +p)
t
Observamos que cada linha do sistema depende de mais de uma variável, o que impede
que os métodos que definiremos a seguir sejam utilizados de maneira trivial. O que na
verdade desejamos é que cada linha possa conter informações de apenas uma variável, isto
é, que o sistema esteja desacoplado. Felizmente os sistemas lineares hiperbólicos podem
ser diagonalizados, de modo a reescrever o mesmo sistema com novas variáveis, estas por
sua vez desacopladas. Por esta razão é que o caráter hiperbólico das leis de conservação
é tão importante para a resolução deste tipo de problema.
21
x
= 0.

2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
Definição 2. Um sistema linear da forma
ut +Aux = 0, (2.12)
com u = (u1,u2,...,um) T , é dito hiperbólico se a matriz A = (aij) de dimensão m×m
é diagonalizável com autovalores reais. Se os autovalores forem todos distintos, o sitema
é dito estritamente hiperbólico.
Chamaremos u de vetor das variáveis conservadas, e denotaremos os autovalores por
λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λm.
A matriz é diagonalizável se existem vetores não-nulos r1,r2,...,rm ∈ R m , ditos os
autovetores de A, tais que
Arp = λprp, p = 1,...,m
e r1,r2,...,rm são linearmente independentes. Neste caso, a matriz
R = [r1|r2|...|rm]
é não-singular, e possui uma inversa R −1 . Temos então que
Λ = R −1 AR e A = RΛR −1 , (2.13)
22

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS
onde
⎡
⎢
Λ = ⎢
⎣
λ1
λ2
...
λm
⎤
⎥ ≡ diag(λ1,λ2,...,λm).
⎥
⎦
A importância desta representação da matriz A está no desacoplamento das variáveis.
Quando escrevemos a equação (2.12) linha por linha, isto é,
(u1) t +a11(u1) x +...+a1m(um) x = 0
(u2) t +a21(u1) x +...+a2m(um) x = 0
.
(um) t +am1(u1) x +...+amm(um) x = 0,
vemos que cada linha depende de mais de uma variável, a menos que a matriz A seja
diagonal. Exatamente por isto é que queremos fazer uma mudança de base, de modo que
matriz A seja "substituída" pela matriz diagonal Λ. Com efeito, fazendo uso das equações
(2.12) e (2.13),
ut +RΛR −1 ux = 0.
Multiplicando à esquerda por R −1 e definindo w = R −1 u,
0 = R −1 ut +R −1 RΛR −1 ux
= wt +Λwx.
Como Λ é diagonal, obtemos um sistema desacoplado de m variáveis, chamadas de variá-
23

2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
veis características,
(wp) t +λp(wp) x = 0, p = 1,...,m.
Observamos que como os autovalores λp são reais, as equações acima possuem sentido
físico.
Observação 1. Chamamos as novas variavéis w de características pois o sistema de equa-
ções acima formam um sistema de equações de advecção, cuja solução é uma combinação
linear de m ondas que viajam em velocidades características λ1,...,λm.
Até aqui consideramos A com coeficientes reais, mas podemos expandir toda a nossa
discussão para problemas da forma
com
e definindo A como o Jacobiano F ′ (u),
ut +F(u) x = 0, (2.14)
⎡ ⎤
⎢
f1(u)
⎥
⎢ ⎥
⎢ f2(u) ⎥
F(u) = ⎢ ⎥,
⎢ .
⎥
⎣ ⎦
fm(u)
⎡
A(u) = F ′ ⎢
(u) = ⎢
⎣
∂f1
∂u1
∂f2
∂u1
.
∂fm
∂u1
24
∂f1
∂u2
∂f2
∂u2
.
∂fm
∂u2
...
...
...
...
∂f1
∂um
∂f2
∂um
.
∂fm
∂um
⎤
⎥
⎦

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS
Fazendo uso da regra da cadeia,
obtemos
F(u) x = F ′ (u)u x ,
ut +A(u)u x = 0.
Como o sistema é hiperbólico, F ′ (u) possui m autovalores reais
λ1(u) ≤ λ2(u) ≤ ... ≤ λm(u)
e um conjunto completo de autovetores linearmente independentes
De maneira análoga a (2.13) podemos obter
r1(u),r2(u),...,rm(u).
Λ(u) = R −1 (u)A(u)R(u) e A(u) = R(u)Λ(u)R −1 (u),
e portanto, podemos diagonalizar o sistema (2.14), obtendo novamente
wt +Λwx = 0
25

2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
2.3.1 Equações de Euler
As equações de Euler são um sistema hiperbólico, e mostraremos aqui como podemos
realizar o desacoplamento. Relembrando mais uma vez,
⎡ ⎤ ⎡
⎢ ρ ⎥ ⎢ ρv
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ρv ⎥ + ⎢ ρv
⎣ ⎦ ⎣
E
2 ⎤
⎥
+p ⎥
⎦
v(E +p)
t
onde ρ é a densidade, p é a pressão, u é a velocidade e E é a energia total por unidade de
volume,
1
E = ρ
2 u2
+e ,
x
= 0
com e sendo a energia interna específica dada pela equação de estado
Para gases ideais sua expressão é dada por
e γ = cp
cv
som como
e = e(ρ,p).
e =
p
(γ −1)ρ ,
denota a razão de calor específico. Podemos também escrever a velocidade do
a =
γp
ρ .
26

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.3. LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS
Comparando as equações de Euler com (2.12), temos
⎡ ⎤
⎢ ρ ⎥
⎢ ⎥
u = ⎢ ρv
⎥
⎣ ⎦
E
=
⎡ ⎤
u1 ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ u2 ⎥
⎣ ⎦
u3
,
⎡ ⎤
f1 ⎢ ⎥
⎢ ⎥
F(u) = ⎢ ⎥
⎢ f2 ⎥
⎣ ⎦ =
⎡
⎢ ρu
⎢ ρv
⎣
2 ⎤
⎥
+p
⎥
⎦
v(E +p)
=
⎡
⎢
⎣
f3
e assim calculamos a matriz jacobiana, que é da forma
⎡
⎢
A(u) = ⎢
⎣
− γu2u3
u 2 1
u2
1
2 (3−γ)u2 2 +(γ −1)u3 u1
γ u2
u1 u3 − 1
2 (γ −1)u3 2
u 2 1
⎤
⎥
⎦ ,
0
2 u2
u1
3 γu3 +(γ −1)
1
u2 (3−γ) u1
⎤
0
⎥
γ −1 ⎥
2 ⎦
γ
.
−1(γ −3) 2
u2
u1
u1
3 − (γ −1) 2
Observação 2. Observamos também por inspeção que as equações de Euler com gás ideal
satisfazem a propriedade da homogeneidade, isto é,
F(u) = A(u)u.
u2
u1
Usando a expressão de A(u) e o polinômio característico, resolvemos
que leva a
|A−λI| = 0,
λ1 = u−a, λ2 = u, λ3 = u+a,
27
u2
u1

2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
com os autovetores correspondentes
r1 =
⎡ ⎤
⎢
1
⎥
⎢ ⎥
⎢ u−a ⎥
⎣ ⎦
H −ua
, r2
⎡
⎢
= ⎢
⎣
onde H é a entalpia e é definida como
2.4 Métodos numéricos
H =
1
u
1
2 u2
E +p
.
ρ
⎤
⎥
⎦ , r3
⎡ ⎤
⎢
1
⎥
⎢ ⎥
= ⎢ u+a ⎥
⎣ ⎦
H +ua
,
Nesta seção veremos uma maneira geral de se resolver numericamente equações de leis
de conservação em uma dimensão espacial. Começaremos estudando a forma geral destas
equações e mostrando que os esquemas vistos nesta dissertação usam a mesma ferramenta
para a integração temporal, o método de Runge-Kutta TVD de ordem 3, mas utilizam
estratégias diferentes para a parte espacial.
A seguir, veremos uma maneira bem simples de se aproximar a parte espacial, chamada
de aproximação por estêncil fixo. Apesar de ele gerar oscilações na solução numérica, o
estudo deste método é importante para introduzir alguns conceitos e notações que serão
usados no capítulo 3. Depois veremos algumas propriedades que um método deve possuir
para resolver adequadamente uma lei de conservação. Por fim, veremos a causa das
oscilações nas soluções numéricas obtidas pelos esquemas de estêncil fixo.
28

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS
2.4.1 Resolução numérica de leis de conservação
As equações de lei de conservação são da forma
∂ ∂
u(x,t)+ f(u(x,t)) = 0. (2.15)
∂t ∂x
com condição inicial e de fronteira definidas em cada problema. Na resolução numérica
desta equação vamos definir um espaçamento ∆x e trabalhar com uma malha de pontos
x0 < x1 < ... < xM
xi+1 = xi +∆x, i = 0,...,M.
Também será útil definir os pontos de interface
x i± 1
2
= xi ± ∆x
, i = 0,...,M.
2
Além disto vamos calcular a aproximação da solução u(x,t) somente em um conjunto
finito e discreto de instantes, não necessariamente uniformes,
t0 < t1 < ... < tN.
Na discussão desta seção não nos preocuparemos com implicações da condição de fronteira
na discretização.
Fixando a equação (2.15) em xi e tn, temos
du(x,t)
dt
x=xi,tn
= − ∂f(u(x,t))
∂x
29
x=xi,tn

2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
ou, em uma notação mais simples,
du
dt
t=tn
= − ∂f(u(x,tn))
∂x
x=xi
(2.16)
Os métodos vistos neste texto seguem a mesma receita para resolver (2.16). O membro
esquerdo da igualdade, a parte temporal, será resolvida usando-se o método de Runge-
Kutta de terceira ordem.
Notação 1. Chamaremos de L(u) o operador que aproxima a parte espacial de (2.16):
L(u(xi,tn)) = − ∂f(u(x,tn))
∂x
x=xi
+O(∆x r ) (2.17)
O método de Runge-Kutta funciona assim: a partir do tempo atual tn obtemos o
próximo estado u n+1 em três passos:
u(I) = u n +∆tL(u n ) (2.18)
u(II) = 3
4 un + 1
4 u(I) + 1
4 ∆tL(u(I)) (2.19)
u n+1 = 1
3 un + 2
3 u(I) + 2
3 ∆tL(u(II)) (2.20)
Desta maneira, temos uma forma de obter avanços no tempo independentemente do
método que usemos para aproximar a parte espacial de (2.16). Por causa disto, no restante
desta dissertação só nos preocuparemos com a parte espacial. É nela que reside a diferença
entre um método comum e um método essencialmente não-oscilatório.
2.4.2 Aproximação por estêncil fixo
Agora veremos uma maneira simples de se aproximar o lado direito de (2.17).
30

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS
Notação 2. Chamaremos
f(x,t) ≡ f(u(x,t)).
Quando fixarmos t e não houver confusão sobre seu valor, denotaremos simplesmente
e
f(x) ≡ f(x,t)
f(xi) ≡ fi
Assim, por (2.17), o que estamos querendo achar é um operador L(u) tal que
L(u(xi,tn)) = −f ′ (xi)+O(∆x r ), i = 0,...,M.
Toda a informação que temos são os valores pontuais
f0,f1,...,fi,...fM.
A partir deles, é possível criar uma aproximação polinomial para f ′ (xi). Para isto,
vamos usar uma função especial, chamada de fluxo numérico.
Definição 3. O fluxo numérico h(x) é a função que satisfaz
Denotaremos
f(x) = 1
∆x
x+ 2
∆x x− ∆x
h(ξ)dξ (2.21)
2
h(xi) ≡ hi. (2.22)
Em resumo,hédefinida de tal maneira quef ′ (xi) é a média dehno intervalo[x i− 1
2
31
x 1
i+ ]
2

2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
para todo i. Por causa disto, temos a interessante propriedade de que a derivada de f em
xi é exatamente (e não aproximadamente) uma diferença finita de h:
f ′ (xi) = hi+ 1 −h 1
i− 2 2.
(2.23)
∆x
Infelizmente, não sabemos nada sobre o valor h 1
i+ . Mas é fácil achar aproximações para
2
ele. O que faremos agora é obter uma aproximação polinomial para h 1
i+ , de ordem r, a
2
partir de r valores pontuais de f. Antes disto, iremos definir um objeto que será muito
útil de aqui por diante.
Definição 4. Um estêncil é um operador que associa um ponto a um conjunto de pontos.
Nesta dissertação, usaremos a seguinte família de estênceis:
S r,k,i+ 1
2
= {xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k}
Nesta notação, r é o número de pontos do estêncil, i+ 1
2
é o índice do ponto de referência
e k é o índice de deslocamento lateral do estêncil. Por vezes, apenas o índice k será usado
para identificar o estêncil.
É possível encontrar os coeficientes do polinômio que aproxima h 1
i+ usando os pontos
2
do estêncil S 1
r,k,i+ . Um pouco de cálculo usando os resultados da seção 2.1.1 (vide [5])
2
nos fornecem os coeficientes
que satisfazem
cr,k,j =
r
j=1
r
m=j
r
r
n=0,n=m p=0,p=n,m
r
n=0,n=m
(r−k −p)
(m−n)
cr,k,jv(xi+k−r+j) = h 1
i+ +O(∆x
2
r ).
32
(2.24)

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS
Definição 5. Definimos a aproximação pelo estêncil S 1
r,k,i+ ,
2
ˆ fk r,i+ 1
2
ˆf k
r,i+ 1
2
=
r
j=1
cr,k,jvi+k−r+j.
, como
O índice r indica a ordem da aproximação, k indica o deslocamento lateral e i+ 1
2 denota
que esta é uma aproximação para h 1
i+ .
2
Note que como os coeficientes cr,k,j não dependem de i (por (2.24)), usamos os mesmos
coeficientes para obter ˆ f k
r,i− 1
2
:
ˆf k
r,i− 1
2
=
r
j=1
cr,k,jfi+k−r+j−1.
Agora já possuímos conhecimento o suficiente para construir o operador L(u). Primei-
ramente fixamos um deslocamento k entre 0 e r −1, para que xi sempre esteja presente
no estêncil S 1
r,k,i+ . Depois fazemos
2
L(u(xi,tn) = −
Podemos verificar que L(u) assim definida satisfaz
L(u(xi,tn) = −
ˆf k
r,i+ 1 −
2
ˆ fk r,i− 1
2,
i = 0,...,M.
∆x
h 1
i+ +O(∆x
2
r
) − h 1
i− +O(∆x
2
r
)
∆x
(2.25)
= −f ′ (xi)+O(∆x r ). (2.26)
Observação 3. Pela dedução que fizemos, era para a expressão (2.25) ser apenas da
ordem de ∆x r−1 devido ao denominador ∆x. No entanto, como estamos usando o mesmo
33

2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
deslocamento k nas duas aproximações, temos um cancelamento que faz com que
k = r
2
ˆf k
r,i+ 1 −
2
ˆ f k
r,i− 1
2
= f ′ (xi)∆x+O(∆x r+1 )
Certas escolhas de k recebem nomes especiais. Quando r é par, a aproximação com
é chamada de aproximação central. Quando r é ímpar, a aproximação com k = r−1
2
é chamada de aproximação upstream central.
2.4.3 O que torna um método conservativo?
Falaremos agora sobre duas peculiaridades das leis de conservação que impõem restri-
ções aos esquemas numéricos a serem usados. Não as discutiremos a fundo; para isto, [6]
é uma boa referência.
Primeiramente, quando uma equação de lei de conservação possui uma solução fraca
u, pode ser que um método numérico obtenha uma solução numérica que não é uma
aproximação de u. Para que possamos garantir que toda solução numérica obtida por
um método seja uma aproximação de uma solução analítica, devemos nos assegurar que
o método é conservativo.
Definição 6. Um esquema de diferenças finitas é dito conservativo se existe uma função
g : W −→ R Lipschitz contínua tal que:
1. O operador L(u) pode ser escrito na forma conservativa
L(u) = − g(xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k)−g(xi+k−r,xi+k−r+1,...,xi+k−1)
∆x
2. g é consistente com v, isto é,
(2.27)
g(x,x,...,x) ≡ f(x) (2.28)
34

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS
Podemos verificar que os esquemas de estêncil fixo que vimos são conservativos. Basta
fazermos
g(ξ1,ξ2,...,ξr) =
r
j=1
cr,k,jf(ξj).
Como os mesmos coeficientes cr,k,j são usados para obter ˆv r,k,i+ 1
2
L(u) = −
ˆf k
r,i+ 1 −
2
ˆ fk r,i− 1
2
∆x
e ˆv 1
r,k,i− , é fácil ver que
2
= − g(xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k)−g(xi+k−r,xi+k−r+1,...,xi+k−1)
.
∆x
Em segundo lugar, as equações de leis de conservação não-lineares podem ter mais de
uma solução fraca para um dado problema. Entretanto, há apenas uma única solução
fraca fisicamente relevante. Trata-se da solução-limite da equação
ut +f(u)x = −κuxx
quando κ −→ 0 (isto é, quando o termo viscoso −κuxx vai a zero). Esta solução-limite
é chamada de solução fraca entropicamente correta. Uma maneira de se garantir que
um método só obtenha soluções fisicamente relevantes é estabelecer condições adicionais
ao problema, chamadas de condições de entropia, das quais apenas citamos a existência.
É possível verificar que todos os esquemas vistos nesta dissertação são entropicamente
corretos, graças à partição de fluxo de Lax-Friedrichs, conforme a indicação em [5].
2.4.4 Oscilações
O método de diferenças finitas de estêncil fixo visto aqui funciona bem quando não há
descontinuidades na solução. Caso contrário, o presente método gera oscilações numéricas.
Vejamos o seguinte exemplo, que ilustrará este fato.
35

2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
Exemplo 1. A equação do transporte
ut +ux = 0 (2.29)
(que é uma equação da forma (2.15) com f(u) = u) com condição incial dada pela função
de salto
tem como solução exata a função
Portanto, em t = 2,
⎧
⎪⎨ 0, se x < 0
u0(x) =
⎪⎩ 1, se x ≥ 0
u(x,t) = u0(x−t).
⎧
⎪⎨ 0, se x < 2
u(x,2) = u0(x−2) =
⎪⎩ 1, se x ≥ 2
(2.30)
Esta mesma equação foi resolvida numericamente usanto-se o esquema upstream central
de quinta ordem (r = 5 e k = 2). Usamos ∆x = 1
128
domínio [−1,3]. A solução obtida em t = 2 é mostrada na figura abaixo.
(FIGURA)
e condição de fronteira fixa no
Como podemos ver, nas proximidades de x = 2, onde seria a posição do choque por
(2.30), a solução apresenta oscilações significativas, com um pico de aproximadamente
0,1 que é bem grande se comparado a ∆x ≃ 0,008.
Estas oscilações são devidas ao fenômeno de Gibbs dos métodos espectrais. Elas
ocorrem porque, devido ao estêncil ser fixo, inevitavelmente interpolamos a função em um
domínio que contém a descontinuidade. Pelo teorema seguinte vemos que a interpolação
36

CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS 2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS
em um domínio com uma descontinuidade gera erros da ordem do tamanho do salto da
função.
Teorema 4. Seja ∆x definido como em (2.7). Seja p o maior valor tal que f ∈ C p [x0,xk]
(considere que p = −1 se f é descontínua e que p = ∞ se f ∈ C ∞ [x0,xk]). Então
para todo x ∈ [x0,xk].
⎧
⎪⎨ O
f(x)−p(x) =
⎪⎩
∆xp+1 [f (p+1) ] , se −1 ≤ p ≤ k −1
O ∆xk+1 max f
x0≤ξ≤xk
(k+1)
(ξ) , se p ≥ k
A demonstração deste teorema é uma aplicação direta de séries de Taylor. Veja indi-
cação em [9].
Portanto, para que não tenhamos soluções oscilatórias devemos evitar interpolações
em estênceis descontínuos. No próximo capítulo veremos os esquemas essencialmente
não-oscilatórios e como eles conseguem evitar o uso de estênceis descontínuos.
37

2.4. MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 2. TÓPICOS INTRODUTÓRIOS
38

Capítulo 3
Métodos essencialmente
não-oscilatórios
No capítulo anterior, vimos que o método para resolução numérica para leis de con-
servação unidimensional que utilizava aproximações de estêncil fixo gerava oscilações nas
vizinhanças da descontinuidade. Para lidarmos corretamente com soluções descontínuas
é necessário adotar uma outra estratégia: ao invés de usarmos sempre o mesmo estêncil
para aproximarh i+ 1
2
em toda a malha {xi}, podemos imaginar um esquema que adaptasse
o estêncil em função da localização das descontinuidades.
A adaptabilidade dos estênceis é a principal característica da classe de métodos cha-
mada de esquemas essencialmente não-oscilatórios. O nome se deve ao método deno-
minado essentially non-oscillatory schemes (ENO), proposto no artigo [1] de Harten,
Enquist, Osher e Chakravarthy. Mais tarde, outros métodos baseados no ENO surgiram.
O mais importante deles foi o esquema não-oscilatório ponderado (WENO, do original em
inglês weighted essentially non-oscillatory), desenvolvidos nos artigos [2] de Liu, Osher e
Chan e [4] de Jiang e Shu. Por sua importância e pioneirismo na história dos esque-
39

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
mas essencialmente não-oscilatórios, chamaremos o WENO desenvolvido com os pesos de
Jiang-Shu [4] de WENO clássico ou WENO-JS. Recentemente, o artigo [3] de Henrick,
Aslam e Powers lançou uma nova luz sobre o WENO, com o desenvolvimento do WENO
mapeado ou simplesmente WENO-M.
Na primeira seção deste capítulo, descreveremos o método ENO. Este método escolhe
o estêncil onde a função é mais regular, dentre todos os estênceis disponíveis no domínio, e
o utiliza na aproximação de h 1
i+ . Deste modo, evita-se a interpolação através de estênceis
2
descontínuos, o que impede que haja oscilações na solução numérica.
Na seção seguinte, veremos dois métodos, o WENO clássico e o WENO mapeado.
Mostraremos como WENO consegue aumentar a ordem de convergência em relação ao
ENO, ao fazer uma combinação das aproximações em cada um dos estênceis do domínio
ao invés de utilizar apenas um estêncil na aproximação. A combinação das aproximações
nos estênceis é feita atribuindo pesos a elas fazendo uma soma poderada. Estes pesos
são construídos de maneira a ficarem muito próximos, num domínio contínuo, dos pesos
ideais - nome dado às constantes que permitem que uma combinação de aproximações em
r estênceis consecutivos de r pontos dê uma aproximação de ordem n = 2r−1. Por outro
lado, o peso relacionado a um estêncil descontínuo deve ser bem próximo de zero, para que
se emule o comportamento do ENO em vizinhanças de descontinuidades. Deste modo,
enquanto o método ENO, que utiliza r estênceis na escolha, é de ordem r, o WENO, que
utiliza os mesmos r estênceis na aproximação, é de ordem 2r −1.
Estudaremos o WENO clássico, e mostraremos duas falhas na construção dos pesos
que provocam perdas de ordens de convergência. A primeira delas está nas condições
impostas aos pesos, que não são suficientes para garantir a ordem ótima ao esquema em
domínios suaves. A segunda falha está no medidor de suavidade utilizado pelo WENO,
que está intimamente ligado ao valor dos pesos. Em pontos críticos, i.e., em pontos
onde a derivada se anula, os indicadores de suavidade não possuem uma propriedade
40

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.1. O MÉTODO ENO
necessária para garantir a ordem ótima naquela vizinhança. Uma análise das séries de
Taylor do valor dos medidores de suavidade nos mostra esse resultado e, além disto, indica
que, quanto maior for a ordem do ponto crítico, i.e., quanto mais derivadas se anulem
simultaneamente), piores serão os pesos obtidos.
O WENO mapeado, visto logo em seguida, introduz uma modificação ao esquema
clássico que corrige a primeira falha em todos os pontos e a segunda em boa parte dos
pontos críticos, excetuando-se aqueles em que a ordem do ponto crítico é maior ou igual
que r −1.
Na terceira seção, veremos um novo esquema, denominado WENO-Z. Este WENO
utiliza uma fórmula diferente da fórmula clássica de Jiang-Shu. A fórmula do WENO-Z
não possui a primeira falha do esquema clássico, e garante a ordem ótima em regiões
contínuas de derivada não-nula sem a necessidade de um mapeamento, o que o torna mais
eficiente em termos computacionais. Além disto, mostraremos que o WENO-Z atribui
um peso relativamente maior aos estênceis descontínuos, acarretando um método menos
dissipativo. Os resultados preliminares para o WENO-Z se mostraram superiores aos
do WENO clássico e comparáveis ao WENO mapeado, ganhando do último com uma
vantagem estreita na maior parte dos casos.
3.1 O método ENO
No capítulo anterior vimos que um esquema de estêncil fixo de ordem r escolhe um
estêncil Sk,
Sk = {xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k}, (3.1)
41

3.1. O MÉTODO CAPÍTULO ENO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
com 0 ≤ k ≤ r−1, e para todo xi utiliza sempre a aproximação polimonial
ˆf k
i+ 1
2
r−1
= ckjfi−k+j, (3.2)
j=1
L(ui) = −
ˆf k
i+ 1 −
2
ˆ fk i− 1
2.
∆x
Isto implica que se acaso a função f for descontínua então certamente realizamos uma
interpolação através de um estêncil descontínuo. Como vimos, esta é a causa da oscilação
das soluções descontínuas obtidas pelos métodos de estêncil fixo.
O método ENO também se baseia nas aproximações polinomiais como em (3.2). A
diferença é que o ENO possui uma maneira de se adaptar aos estênceis em função das
descontinuidades. Partimos do princípio de que, para cada ponto xi da malha há r
estênceis possíveis que podemos escolher para obtermos L(ui) :
S0,S1,...,Sr−1.
Então o que fazemos é escolher o melhor dentre os r candidatos. Mas como fazemos
para saber qual é o melhor. Podemos, por exemplo, aplicar um medidor de suavidade em
cada um dos estênceis e escolher o que proporcionar o menor valor absoluto no medidor.
Isto é quase o que o método ENO faz.
Na verdade, o ENO faz o seguinte: começamos com um estêncil de um ponto, S 1 =
(xi). Daí usamos o medidor de suavidade nos estênceis (xi−1,xi) e (xi,xi+1). Se
|M(xi−1,xi)| ≤ |M(xi,xi+1)|,
42

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.1. O MÉTODO ENO
então definimos o estêncil de 2 pontos como S 2 = (xi=1,xi). Caso contrário, se
|M(xi−1,xi)| > |M(xi,xi+1)|,
fazemos S 2 = (xi,xi+1). Repetimos o processo até o j-ésimo passo, quando temos um
estêncil dej pontos S j = (xi−l,...,xi+m). Daí obtemos um estêncil d n+1 pontos fazendo
⎧
⎪⎨
⎪⎩
|M(xi−l−1,...,xi+m)| ≤ |M(xi−l,...,xi+m+1)| =⇒ S j+1 = (xi−l−1,...,xi+m)
|M(xi−l−1,...,xi+m)| > |M(xi−l,...,xi+m+1)| =⇒ S j+1 = (xi−l,...,xi+m+1)
(3.3)
Prosseguiremos assim até que tenhamos construído o estêncil S r . Depois usamos a apro-
ximação do estêncil Sr para obtermos ˆ f 1
i+ .
2
O ENO original utiliza como medidor de suavidade as diferenças divididas por causa
de sua eficiência computacional (não entraremos em detalhes sobre este medidor), mas
em tese qualquer outro medidor poderia ser utilizado.
Vamos agora mostrar algumas propriedades do método ENO. ConsidereIi = [x 1
i− ,x 1
i+ ]
2 2
e o polinômio definido como
pi(x) =
r
cki,jf(x+(j +ki −r)∆x),
j=1
onde ki é tal que pi(xi) = ˆ f 1
i+ . Se f é contínua no intervalo Ii, podemos dizer que
2
pi(x) = h(x)+O(∆x r ), x ∈ Ii.
Caso contrário, se f for descontínua no intervalo Ii, podemos dizer que pi(x) é monótona
43

3.1. O MÉTODO CAPÍTULO ENO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
em Ii. Além, disso, pi(x) é de variação total limitada, i.e.,
onde P = {x i− 1
2
TV[pi] = sup
P
j|xj,xj+1∈P
|pi(xj+1)−pi(xj)| < ∞
= x0 < x1 < ... < xN = x 1
i+ } é uma partição de Ii. Em outras palavras,
2
existe uma função z(x) que satisfaz
em toda célula Ii tal que
z(x) = pi(x)+O(∆x r ), x ∈ Ii
TV[z] ≤ TV[f].
Em outras palavras, a propriedade acima nos diz que o esquema ENO é de variação total
limitada, o que justifica a ausência de oscilações significativas nas suas soluções e é a razão
do nome "essencialmente não-oscilatório".
Procuramos investigar o caráter conservativo do ENO, mas uma dúvida persiste. Por
construção, o ENO pode utilizar estênceis diferentes para obter ˆ f i+ 1
2
e ˆ f 1
i− . Neste caso,
2
o esquema ainda é conservativo? Se for, isto quer dizer que para qualquer 0 ≤ k ≤ r −1
existe uma função g tal que
e
ˆf 1
i+ −
2
ˆ f 1
i−2 ∆x
= g(xi−r+1,...,xi+r−1)−g(xi−r,...,xi+r−2)
∆x
g(x,x,...,x) = v(x).
Embora tenhamos motivos para acreditar que o ENO seja conservativo (até porque
não conseguimos até agora construir nenhum contra-exemplo), não encontramos nenhuma
44

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
referência contendo a prova desta afirmação.
3.2 Esquemas WENO
O método ENO tem como característica a boa adaptação em relação às descontinui-
dades, mas ainda possui alguns pontos que precisam ser melhorados. O principal ponto
em questão é que na escolha do melhor estêncil são levados em conta r candidatos
S0,S1,...,Sr−1,
mas apenas um estêncil é escolhido. Em termos de pontos, temos um conjunto total de
2r −1 pontos no domínio
{xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k},
mas usamos apenas r pontos na aproximação. Claramente existe um desperdício de
informação, já que se fossem utilizados todos os 2r − 1 pontos poderíamos obter uma
aproximação de ordem 2r−1 ao invés da ordem r que obtemos com o ENO.
Algumas modificações foram desenvolvidas para realizar melhorias no ENO, mas den-
tre todas as opções o método WENO foi a mais bem-sucedida. Atualmente há várias
versões do WENO, mas todas elas seguem a mesma ideia básica: em vez de usarmos ape-
nas um estêncil Sk para obtermos a aproximação ˆ f 1
i+ , vamos fazer uma combinação das
2
aproximações ˆ f k
i+ 1
2
, atribuindo um peso ωk a cada uma delas:
ˆf i+ 1
2
r−1
=
k=0
45
ωk ˆ f k
i+ 1
2
(3.4)

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
Os pesos devem satisfazer a algumas condições básicas. Primeiramente, por consis-
tência e estabilidade,
Condição 1 (convexidade). Os pesos devem satisfazer às condições de convexidade
ωk ≥ 0,
r−1
ωk = 1.
k=0
Além disto, para que este método seja tão adaptável a descontinuidades quanto o ENO,
gostaríamos de atribuir peso praticamente nulo às aproximações obtidas em estênceis com
descontinuidade. Isto evitaria que usássemos na soma (3.4) uma parcela que tivesse sido
obtida sob a influência do fenômeno de Gibbs. Portanto,
Condição 2 (emulação do ENO). Se o k-ésimo estêncil é descontínuo (e há pelo menos
um estêncil contínuo), então
ωk ≈ 0.
A última condição é a que garante um ganho em termos de ordem de convergência.
Estipulamos que
Condição 3 (optimalidade). Em regiões contínuas,
ˆf 1
i+ −
2
ˆ f 1
i−2 ∆x
=
r−1
k=0
ω +
k ˆ f k
i+ 1
2
− r−1
∆x
k=0
ω −
k ˆ f k
i− 1
2
onde ω ±
k denota os pesos usados na construção de ˆ f 1
i± .
= f ′ (xi)+O(∆x 2r−1 ),
A construção dos pesos ωk geralmente passa pelo uso dos chamados pesos ideais, nome
dado às constantes que satisfazem às condições (1) e (3). Por causa disto, os pesos ideais
serão o assunto da seção a seguir.
46
2

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
3.2.1 Pesos ideais e comparação com upstream central
Para satisfazer a condição (3), precisamos utilizar informações de todos os 2r − 1
pontos. Em outras palavras, queremos que em regiões contínuas, a escolha dos pesos
ideais seja feita de forma que ela exerça o mesmo papel que um interpolador de grau
2r −1, em um estêncil maior S n = {xi+k−r+1,xi+k−r+2,...,xi+k}, formado pelos 2r −1
pontos em questão. Chamaremos este interpolador de ˆ F 1
i+ .
2
Afirmamos que sempre é possível realizar uma combinação das aproximações ˆ f0 i+ 1,...,
2
ˆ f r−1
i+ 1
2
que resulta na aproximação upstream central ˆ F 1
i+ . Em outras palavras, existem constan-
2
tes dk, chamadas de pesos ideais, que satisfazem
r−1
k=0
dk ˆ f k
i+ 1
2
= ˆ F 1
i+ . (3.5)
2
Observação 4. Não encontramos nenhuma prova deste fato nas referências, embora ele
seja largamente utilizado. De qualquer forma, uma demonstração não parece difícil de se
obter.
Observação 5. Os pesos ideais dk dependem da ordem do método, ou seja, dk = dr,k. No
entanto, por praticidade, omitiremos a variável r na maioria dos casos.
Como dito anteriormente, supondo as condições anteriores como verdadeiras, temos
que os pesos ideais serviriam perfeitamente para o WENO numa região contínua. Em
outras palavras, deseja-se que os pesos do WENO estejam bem próximos dos pesos ideais
numa região contínua para que a aproximação do WENO fique próxima da aproximação
upstream central. Veremos algumas maneiras de se garantir esta proximidade na próxima
seção e seguintes.
Vamos mostrar como se calcula os pesos ideais de ordem r = 3. Os pesos de outras
ordens apenas explicitaremos. Para tal, considere o seguinte problema:
47

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
Problema 2. Encontre os pesos ideais de ordem 3, isto é, as constantes d0, d1 e d2 tais
que
Usando a definição de aproximação
obtemos
ˆf 0
i+ 1
2
ˆf 1
i+ 1
2
ˆf 2
i+ 1
2
ˆF i+ 1
2
d0 ˆ f 0
i+ 1 +d1
2
ˆ f 1
i+ 1 +d2
2
ˆ f 2
i+ 1
2
ˆf k
i+ 1
2
=
r
j=1
ckjfi+k−r+j,
= 1
6 (2fi−2 −7fi−1 +11fi),
= 1
6 (−fi−1 +5fi +2fi+1),
= 1
6 (2fi +5fi+1 −fi+2),
Deste modo, temos o seguinte sistema:
= ˆ F i+ 1
2
= 1
60 (2fi−2 −13fi−1 +47fi +27fi+1 −3fi+2).
1
6
⎡ ⎤
2 0 0
⎢ ⎥⎡
⎢ ⎥
⎢
−7 −1 0 ⎥
⎥⎢
⎢ ⎥⎢
⎢
⎢11
5 2 ⎥⎢
⎥⎢
⎢ ⎥⎣
⎢ ⎥
⎢ 0 2 5 ⎥
⎣ ⎦
0 0 −1
d0
d1
d2
⎤
⎥
⎦
= 1
60
⎡ ⎤
2
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
−13 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 47 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 27 ⎥
⎣ ⎦
−3
Apesar de este ser um sistema sobredeterminado, ele possui uma solução, que é
d0 = 1
10 , d1 = 6
10 , d2 = 3
10 .
48

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
A tabela a seguir mostra o valor dos pesos ideais para r = 1,2,3,4,5 e 6 .
Pesos ideais para r = 1,2,3,4,5e 6
r dr,0 dr,1 dr,2 dr,3 dr,4 dr,5
1 1
2 1
3
3 1
10
4 1
35
5 1
126
6 1
462
2
3
6
10
12
35
20
126
30
462
3
10
18
35
60
126
150
462
4
35
40
126
200
462
5
126
75
462
6
462
Agora estamos prontos para estudar os esquemas WENO.
3.2.2 WENO clássico: os pesos de Jiang-Shu
Na versão original do WENO [2], a condição de optimalidade ainda não havia estipu-
lada daquela maneira. Em vez dela, tínhamos
ˆf i+ 1
2
r−1
=
k=0
ωk ˆ f k
i+ 1
2
= h 1
i+ +O(∆x
2
r+1 ).
Note o termo O(∆x r+1 ) nesta expressão. Isto quer dizer que, no máximo, o WENO
original obtinha apenas ordem máxima de r + 1, um ganho de somente uma ordem em
relação ao ENO.
Os primeiros a notar que o WENO poderia obter um ganho maior, de ordem até 2r−1,
foram G.-S. Jiang e C.-W. Shu. No artigo [4], eles propõem uma outra maneira de se cal-
cular os pesos, baseados num novo medidor de suavidade: a medida de variação total. Os
pesos são obtidos como uma função racional dos medidores de suavidade. O uso de uma
49

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
fórmula racional para obter os pesos - e não um algoritmo que usasse estruturas condici-
onais, por exemplo - deveu-se a questões de eficiência computacional.[5, p.16, §3 e p.18,
§4]. Na época (1996) as estruturas condicionais eram ineficientes em supercomputadores
com o CRAY, e, por isto, o uso de tais estruturas era evitado a qualquer custo.
Vale também ressaltar que, ao invés de usar a condição de optmalidade (3), foi utilizada
outra, mais fraca:
Condição 4 (Jiang-Shu). Em regiões contínuas,
ˆf i+ 1
2
r−1
=
k=0
ωk ˆ f k
i+ 1
2
= h 1
i+ +O(∆x
2
2r−1 ).
Note que esta condição não é suficiente para garantir a optimalidade do esquema:
supondo esta condição como válida, em geral temos apenas
ˆf 1
i+ −
2
ˆ f 1
i−2 ∆x
=
h 1
i+ +O(∆x
2
2r−1
) − h 1
i− +O(∆x
2
2r−1
)
∆x
= f ′ (xi)+O(∆x 2r−2 ).
Mesmo assim, os pesos de Jiang-Shu merecem um estudo mais profundo. Primeiro, porque
a condição de optimalidade é satisfeita às vezes, especialmente com∆x pequeno. Segundo,
porque os pesos de Jiang-Shu são a base da maioria dos esquemas WENO que vieram
depois.
Vejamos então os pesos de Jiang-Shu. A fórmula dos pesos é
ωk =
αk
r−1 j=0αj , αk =
dk
(βk +ǫ) p
(3.6)
onde ǫ > 0 é um valor teoricamente utilizado apenas para evitar que o denominador se
anule na segunda equação, p é uma potência inteira e βk é a medida de variação total. Os
valores mais geralmente utilizados para estes parâmetros são p = 2 e ǫ = 10 −6 .
50

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
Notação 3. Onde houver confusão sobre o tipo do peso, denotaremos os pesos de Jiang-
Shu como ω (JS)
k .
Vejamos como os pesos de Jiang-Shu satisfazem às condições do WENO. Trivialmente
a condição de convexidade é satisfeita, já que
e
r−1
k=0
ωk =
r−1
αk
r−1 k=0 k=0αk =
r−1
k=0 αk
r−1
k=0 αk
dk ≥ 0, (βk +ǫ) p > 0.
A condição (2) também é facilmente verificável. Suponha que o estêncil m é descontí-
nuo e o estêncil n é contínuo. Afirmamos que βm = O(1) e βn = O(∆x 2 ). Não provaremos
a primeira afirmação, enquanto que a segunda será provada na seção 4.2.2. Então
ωm =
=
≤
dm
(βm+ǫ) p
dm
(βm+ǫ) p + dn
(βn+ǫ) p + r−1 dk
k=0 (βk+ǫ)
k=m,n
p
dm +
dm
O(1)
(O(∆x2 )+ǫ) p + r−1 k=0
k=m,n
O(1)
(βk+ǫ) p
= 1
dm
dm +O( 1
C p)+O(1) = O(Cp ), C = max{∆x 2 ,ǫ}
A condição de Jiang-Shu (4) pode ser satisfeita da seguinte maneira: usando-se a
51

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
propriedade dos pesos ideais (3.5) e a condição (1), temos
r−1
k=0
ωk ˆ f k
i+ 1
2
=
=
=
=
Assim, se tivermos
r−1
k=0
r−1
dk ˆ f k
i+ 1
r−1
+
2
(ωk −dk)
k=0
h i+ 1
2
r−1
k=0
k=0
(ω ±
k −dk) ˆ f k
i+ 1
2
h 1
i+ +O(∆x
2
r )
+
h 1
i+ +O(∆x
2
2r−1
)
r−1
r−1
(ωk −dk)+ (ωk −dk)O(∆x r
) +
k=0
k=0
(ωk −dk)O(∆x r )+h i+ 1
2
a condição (4) é imediatamente satisfeita.
ωk −dk = O(∆x r−1 ), 0 ≤ k ≤ r−1,
h 1
i+ +O(∆x
2
2r−1
)
+O(∆x 2r−1 ) (3.7)
O próximo teorema nos mostrará que o medidor de suavidade baseado na medida de
variação total faz com que os pesos de Jiang-Shu atendam à condição acima:
Teorema 5. Seja β0,...,βr−1 os medidores de suavidade baseados na medida de variação
total e d0,...,dr−1os pesos ideais de ordem r. Considere também os pesos de Jiang-Shu
ω0,...,ωr−1 dados pela fórmula
ωk =
dk
(βk+ǫ) p
r−1
k=0
dj
(βj+ǫ) p
, k = 0,...,r −1
com 0 < ǫ ≪ 1 e p inteiro maior ou igual a 1. Agora suopnha que para qualquer 0 ≤ k ≤
r−1, possamos escrever βk na forma
βk = D(1+O(∆x q ))
52

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
onde D é uma constante não-nula independente de j e q ≥ 1. Então
ωk −dk = O(∆x q ).
Demonstração. Usando a equação (3.6) e tomando ǫ = 0 para efeito de simplificação,
obtemos
αk =
dk
(D(1+O(∆x q dk
=
))) p Dp q 2q p dk
1+O(∆x )+O(∆x )+... =
Dp(1+O(∆xq )).
Somando todos os termos,
r−1
αk = 1
Dp(1+O(∆xq )),
k=0
levando em conta que os pesos ideais somam 1, pela condição (1). Com isso,
Consequentemente,
como queríamos.
ωk =
dk
Dp(1+O(∆x q ))
1
Dp(1+O(∆x q )) = dk(1+O(∆x q )).
ωk −dk = O(∆x q ),
Corolário 1. Se βk = D(1+O(∆x r−1 )), a condição (4) é imediatamente satisfeita.
Neste momento, vamos deter a nossa análise ao medidor de suavidade βk para verifi-
carmos a condição (4). Consideremos a análise de βk no caso r = 3. A expressão para βk
53

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
é
β0 = 13
12 (fi−2 −2fi−1 +fi) 2 + 1
4 (fi−2 −4fi−1 +3fi) 2
β1 = 13
12 (fi−1 −2fi +fi+1) 2 + 1
4 (fi−1 −fi+1) 2
β2 = 13
12 (fi −2fi−1 +fi+2) 2 + 1
4 (3i −4fi+1 +fi+2) 2 .
Expandindo as equações acima em séries de Taylor em torno de xi, temos
β0 = (f ′ ∆x) 2 +
13
12 f′′2 − 2
13
12 f′′2 + 1
3 f′ f ′′′
β1 = (f ′ ∆x) 2 +
3 f′ f ′′′
β2 = (f ′ ∆x) 2
13
+
12 f′′2 − 2
3 f′ f ′′′
∆x 4 +
− 13
6 f′′ f ′′′ + 1
2 f′ f (4)
∆x 5 +O(∆x 6 (3.8) ),
∆x 4 +O(∆x 6 ),
∆x 4 +
13
6 f′′ f ′′′ − 1
2 f′ f (4)
∆x 5 +O(∆x 6 ).
Vamos supor inicialmente que f ′ = 0. Se fizermos D = (f ′ ∆x) 2 , podemos ver, usando as
equações acima, que
β0 = D
β1 = D
β2 = D
1+
1+
1+
13
12 f′′2 − 2
3 f′ f ′′′ ∆x 4 +O(∆x 5 )
(f ′ ∆x) 2
13
12 f′′2 + 1
3 f′ f ′′′ ∆x 4 +O(∆x 6 )
(f ′ ∆x) 2
13
12 f′′2 − 2
3 f′ f ′′′ ∆x 4 +O(∆x 5 )
(f ′ ∆x) 2
= D(1+O(∆x 2 ),
= D(1+O(∆x 2 ),
= D(1+O(∆x 2 ).
Portanto, temos βk = D(1+O(∆x r−1 )) e a condição (4) é imediatamente satisfeita.
Agora vamos supor que f ′ = 0 e f ′′ = 0. Expandindo novamente em séries de Taylor,
temos agora
54

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
β0 = 13
12 f′′2 ∆x 4 − 13
6 f′′ f ′′′ ∆x 5 +O(∆x 6 ),
β1 = 13
12 f′′2 ∆x 4 +O(∆x 6 ),
β2 = 13
12 f′′2 ∆x 4 + 13
6 f′′ f ′′′ ∆x 5 +O(∆x 6 ).
Se fizermos D assumir o valor do único termo que não varia nestas três expansões, ou
seja,
o melhor que conseguimos é
β0 = D 1−
β1 = D
β2 = D 1+
D = 13
12 f′′2 ∆x 4
13
6 f′′ f ′′′ ∆x5 +O(∆x6 )
13
12f′′2∆x4 1+ O(∆x6 )
13
12 f′′2 ∆x 4
a nçao ser que f ′′′ = 0 o que nos daria
= D(1+O(∆x)),
= D(1+O(∆x 2 )) = D(1+O(∆x)),
13
6 f′′ f ′′′ ∆x 5 +O(∆x 6 )
13
12 f′′2 ∆x 4
= D(1+O(∆x)),
βk = D(1+O(∆x 2 )), k = 0,1,2
Deste modo, a condição (4) só é assegurada quando f ′′′ se anula. Do contrário, pelo
teorema 5 temos apenas
ωk −dk = O(∆x), k = 0,1,2
55

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
e assim a condição (4) não é necessariamente satisfeita. Na verdade, por (3.7), teríamos,
r−1
k=0
ωk ˆ f k
i+ 1
2
= h 1
i+ +O(∆x
2
2r−2 ),
o que já representa uma queda na ordem de convergência do WENO.
Jiang e Shu não perceberam as duas falhas que o WENO com seus pesos possui, que
causam queda na ordem ótima 2r −1: a condição (4), que não garante a optimalidade;
e os seus pesos que, em geral, não satisfazem à própria condição (4) em pontos críticos.
As falhas não foram percebidas porque o valor utilizado para ǫ (10 −6 ) é relativamente
alto em comparação ao valor de βk em regiões contínuas, fazendo com que, por (3.6), os
pesos ficassem próximos dos pesos ideais o suficiente para que ambas as falhas não fossem
notadas. Além disto, a série de Taylor de βk não havia sido feita até os termos mais
importantes (faltaram os termos da ordem de ∆x 5 ) e a função utilizada para teste era
uma senóide com descontinuidade, na qual f ′ e f ′′′ se anulavam simultaneamente [4, pp.
9-10]. Por isto não foi verificado que os pesos não satisfaziam à condição de Jiang-Shu
em pontos críticos mais gerais.
As duas falhas de projeto só foram documentadas na literatura quase uma década
depois do trabalho de Jiang e Shu, no artigo de A. Henrick, T. Aslam & J. Powers [3].
Este artigo estabelece uma relação empírica entre a ordem do WENO na vizinhança de
um ponto crítico e a chamada ordem do ponto crítico, que indica quantas derivadas se
anulam simultaneamente. O estudo desta relação será o assunto da próxima seção.
3.2.3 Pontos críticos
Em [3] é sugerida uma relação direta entre o comportamento de βk nas vizinhanças
de pontos críticos com o número de derivadas que se anulam simultaneamente. Para ser
56

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
mais preciso, vamos usar a seguinte definição:
Definição 7. A ordem ncp de um ponto crítico xi é o valor tal que
f ′ (xi) = ... = f (ncp) (xi) = 0, f (ncp+1) (xi) = 0. (3.9)
Caso todas as derivadas se anulem em xi, dizemos que este é um ponto crítico de ordem
infinita.
Através de uma série de experimentos numéricos, foi estabelecida uma relação entre
a ordem do ponto crítico e a ordem do WENO clássico na vizinhança do ponto crítico.
Apesar de não ter sido fornecida uma prova para o caso geral, séries de Taylor para βk
de ordem 3 até 6 confirmam o resultado empírico obtido em [3]. Algumas das expressões
destas séries podem ser encontradas na seção 4.3.
Nestes termos, vamos estabelecer uma conjectura prevista, de um modo um pouco
diferente, por Henrick, Aslam e Powers em [3].
Conjectura 1 (Henrick-Aslam-Powers). Seja f uma função contínua por partes com
um ponto crítico xi de ordem ncp e βk o indicador de suavidade de ordem r de f, com
espaçamento ∆x. Então βk avaliada em uma vizinhança de xi assume a forma
βk = D(1+O(∆x q )), k = 0,...,r −1,
com D independente de k e com a potência q dada por
q = max(r−1−ncp,0).
57

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
Recorrendo a (3.7)
ˆf i+ 1
2
r−1
=
k=0
ωk ˆ f k
i+ 1
2
r−1
= h 1
i+ +
2
k=0
e ao teorema 5, temos o seguinte corolário da conjectura 1 :
(ωk −dk) ˆ f k
i+ 1 +O(∆x
2
2r−1 )
Corolário 2. Seja xi um ponto crítico de f com ordem ncp. Considere
ˆf j+ 1
2
r−1
=
k=0
ω (JS)
k
Então, para um xj vizinho a xi, a ordem rc de convergência do WENO clássico
é dado por
ˆf 1
j+ −
2
ˆ f 1
j−2 ∆x
ˆf k
j+ 1
2
= f ′ (xj)+O(∆x rc )
rc = max(2r −2−nc,nc).
Demonstração. Supomos a conjectura 1 como sendo válida. Usando o teorema 5, temos
ω (JS)
k = dk +O(∆x p ), p = max(r−1−nc,0).
Vamos dividir o problema em dois casos:
Caso 1 (Caso 1). nc < r −1
Neste caso, p = r −1−nc e 2r −2−nc > nc. Por (3.7),
ˆf j+ 1
2
r−1
=
k=0
ω (JS)
k
ˆf k
j+ 1
2
58
.
= h 1
j+ +O(∆x
2
r+p ).

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
Logo,
ˆf 1
j+ −
2
ˆ f 1
j−2 ∆x
Caso 2 (Caso 2). nc ≥ r−1
=
h 1
j+ +O(∆x
2
r+p
) − h 1
j+ +O(∆x
2
r+p
)
∆x
= f ′ (xj)+O(∆x r+p−1 )
= f ′ (xj)+O(∆x 2r−2−nc ).
Agora temos p = 0 e nc ≥ 2r −2−nc. Como as nc primeiras derivadas de v se anulam
simultaneamente, a aproximação polinomial ˆ f k
j+ 1
2
mente r:
ˆf k
j+ 1
2
= h 1
j+ +O(∆x
2
nc+1 ), k = 0,...,r.
é de ordem nc +1 ao invés de simples-
Com isto, não importando o valor dos pesos, o resultado da combinação é
Assim,
como queríamos.
ˆf j+ 1
2
=
=
=
=
r−1
k=0
r−1
k=0
ω (JS)
k
ˆf k
j+ 1
2
ω (JS)
k h 1
j+ +O(∆x
2
nc+1
)
h 1
j+ +O(∆x
2
nc+1 r−1 ) ω
k=0
(JS)
k
h 1
j+ +O(∆x
2
nc+1
) .
ˆf 1
j+ −
2
ˆ f 1
j−2 ∆x
= f ′ (xj)+O(∆x nc ),
59

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
O corolário nos informa que há uma ordem do ponto crítico que faz o WENO clássico
gerar os piores resultados. Isto acontece quando
o que dá
nc = r−1,
rc = r −1.
Na seção seguinte, veremos uma maneira de se obter resultados melhores em pontos
críticos.
3.2.4 WENO mapeado: corrigindo algumas falhas
Além do estudo sobre as falhas do WENO clássico, [3] contém também uma correção
para elas, sob a forma de uma função mapeadora. O mapeamento nos pesos de Jiang-Shu,
sob certas condições, os aproximam dos pesos ideais, de modo a satisfazer a condição de
optimalidade 3
Em [3] primeiramente é sugerido um critério suficiente aos pesos de modo a satisfazer
a condição 3. Expandindo a expressão
ˆf 1
i+ −
2
ˆ f 1
i−2 ∆x
60
(3.10)

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
temos
ˆf 1
i+ −
2
ˆ f 1
i−2 ∆x
=
=
=
r−1
k=0
r−1
k=0
ω +
k ˆ f k
i+ 1
2
− r−1
k=0
k=0
ω −
k ˆ f k
i− 1
2
∆x
d +
k ˆ fk i+ 1 −
2
r−1
d −
k ˆ fk i− 1
2
∆x
ˆF 1
i+ −
2
ˆ F 1
i−2 ∆x
r−1
(ω +
k=0
k −dk)
+
h 1
i+ +O(∆x
2
r )
= f ′ (xi)+O(∆x 2r−1 k=0
)+
r−1
(ω
k=0
+
+
k −dk) ˆ fk
(ω −
− r−1
k=0
i+ 1 −
2
r−1
k=0
∆x
k −dk)
(ω −
k −dk) ˆ fk i− 1
2
h 1
i+ +O(∆x
2
r
)
∆x
r−1
(ω +
k −dk)O(∆xr )− r−1
(ω −
k −dk)O(∆xr )
Portanto, uma condição suficiente para garantir a optimalidade é que
ω ±
k = dk +O(∆x r ), k = 0,...,r −1. (3.11)
A partir daí foi construída uma função mapeadora que, aplicada aos pesos de Jiang-Shu,
os faz satisfazer (3.11).
A função mapeadora gk(ω) é definida como
∆x
k=0
gk(ω) = ω(dk −d2 k −3dkω +ω2 )
d2 k +ω(1−2dk)
, k = 0,...,r −1.
Esta função tem as seguintes propriedades:
· gk é monótona crescente.
· 0 ≤ gk(ω) ≤ 1, gk(0) = 0 e gk(1) = 1.
· gk(ω) ≈ 0 se ω ≈ 0, gk(ω) ≈ 0 se ω ≈ 0.
61

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
k=0
k=1
k=2
Identidade
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 3.1: Funções de mapeamento usados no WENO mapeado de ordem r = 3 para
k = 0, 1 e 2
· gk(dk) = dk, g ′ k (dk) = g ′′
k (dk) = 0.
· gk(ωk) = dk +O(∆x 3p ) se ωk = dk +O(∆x p ).
Vamos provar a última propriedade. Suponha que ωk = dk +O(∆x p ). Então
gk(ωk) = gk(dk)+g ′ k(dk)(ωk −dk)+ g′′
k (dk)
= dk + g′′′ k (dk)
(ωk −dk)
6
3 +...
= dk +O(∆x 3 ).
2
(ωk −dk) 2 + g′′′ k (dk)
(ωk −dk)
6
3 +...
Vejamos como podemos usar a função gk para melhorar os pesos de Jiang-Shu. Suponha
que usamos (3.6) para obtermos os pesos ω (JS)
0 ,...,ω (JS)
r−1 . Se o estêncil Sk é descontínuo
então, como vimos, ω (JS)
k
forem contínuos e se
≈ 0. Assim, gk(ω (JS)
k ) ≈ 0. Por outro lado, se todos os estênceis
ω (JS)
k = dk +O(∆x p )
62

CAPÍTULO 3. MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS 3.2. ESQUEMAS WENO
para algum p ≥ 1,k = 0,...,r−1, então gk aproxima ainda mais o peso ω (JS)
k em direção
a dk, fazendo
para k = 0,...,r −1.
gk(ω (JS)
k ) = dk +O(∆x 3p ),
A condição (3.11) pode ser satisfeita através de repetidas aplicações de Jiang-Shu. Se
p ≥ 1. então temos
ω (JS)
k
ω ⌈log 3 r⌉
k
= dk +O(∆x)
ω 1 k = gk(ω (JS)
k ) = dk +O(∆x 3 )
ω 2 k = gk(ω 1 k) = dk +O(∆x 9 )
.
= gk(ω ⌈log3r⌉ k ) = dk +O(∆x r ).
Portanto, ⌈log 3r⌉ aplicações sucessivas do mapeamento gk são capazes de corrigir a ordem
do esquema. Como geralmente as implementações usam r ≤ 6, duas aplicações de gk já
bastam para corrigir o problema, enquanto que para r = 3 apenas uma aplicação já é
suficiente.
Quando p = 0, contudo, o mapeamento não é capaz de fazer nenhuma correção, pois
gk(dk +O(1)) = dk +O(1).
Vimos na seção 3.2.3 que p = 0 na vizinhança de qualquer ponto crítico de ordem nc ≥
r −1. Portanto, o mapeamento nos pesos não é capaz de garantir a optimalidade nestas
regiões contínuas. Isto não chega a ser um grande problema, já que não é comum em
aplicações práticas lidar com funções com pontos críticos de ordens altas.
63

3.2. ESQUEMAS CAPÍTULO WENO3.
MÉTODOS ESSENCIALMENTE NÃO-OSCILATÓRIOS
O WENO mapeado apresenta melhores resultados que o WENO clássico mesmo quando
não há a influência de pontos críticos. No próximo capítulo veremos um novo método pro-
posto, chamado WENO-Z.
64

Capítulo 4
O método WENO-Z
No capítulo anterior apresentamos os esquemas essencialmente não oscilatórios (ENO)
e os ponderados (WENO). Vimos que enquanto o método ENO pode alcançar ordem de
convergência de até r, o método WENO, por utilizar informações de todos os r estênceis
candidatos, pode chegar a ordem 2r − 1 de convergência. Mas, para isso, tornou-se
necessário o uso de um mapeamento, pois o WENO clássico proposto por [4] não conseguia
alcançar a optimalidade. Este mapeamento foi proposto em [3] (dando o nome de WENO
mapeado), e em casos onde a ordem do ponto crítico é menor do que r−1 (o que abrange
uma grande quantidade dos problemas que resolvemos), é sempre possível alcançar a
optimalidade. No entanto, este mapeamento é computacionalmente caro, e se diversas
iterações forem realizadas, o esquema pode se tornar muito lento.
Neste capítulo, introduziremos uma nova maneira de se obter os pesos do WENO, sem
a necessidade de um mapeamento, e que também garante a optimalidade em determinadas
condições. A ideia fundamental é que utilizamos um medidor de suavidade global, que
utiliza informações de todos os 2r − 1 pontos também no medidor de suavidade. Este
medidor de suavidade global, chamado de τn, nada mais é do que uma combinação linear
dos indicadores de suavidade βk, construídos usando a medida de variação total.
65

4.1. UMA NOVA FÓRMULA PARA OS PESOS CAPÍTULO DO WENO4.
O MÉTODO WENO-Z
Na primeira seção, mostraremos o WENO-Z para ordem r = 3 e os resultados en-
contrados, e sua generalização para ordem r. Na segunda seção mostraremos alguns
resultados auxiliares sobre a aproximação polinomial de h 1
i+ , denotada por
2
ˆ f 1
i+ , e os
2
indicadores de suavidade βk, Na terceira seção mostraremos uma fórmula geral para o
medidor de suavidade global τn que garante a optimalidade em situações em que não há
pontos críticos. Na quarta seção mostraremos, dentre as possíveis escolhas para se cons-
truir o medidor τn, qual é a que possui ordem máxima, ou seja, aquela que perde menos
ordem de convergência em problemas com pontos críticos. Veremos que em determinados
casos (com r relativamente grande), mesmo que haja a presença de pontos críticos, a opt-
malidade pode ser alcançada. Por fim, na última seção veremos uma fórmula alternativa
dos medidores de suavidade global que permite alcançar a optimalidade em casos em que
antes não era possível sem o mapeamento proposto no WENO mapeado.
4.1 Uma nova fórmula para os pesos do WENO
Nesta seção introduziremos um novo conjunto de pesos WENO. Para facilitar o en-
tendimento, iremos considerar inicialmente o caso de ordem r = 3, ou n = 2r −1 = 5.
Definição 8. Vamos definir o medidor de suavidade global τ5 como sendo
τ5 = |β0 −β2|.
Pelas expansões em séries de Taylor de β0 e β2,
β0 = (f ′ ∆x) 2 +
β2 = (f ′ ∆x) 2 +
13
12 f′′2 − 2
3 f′ f ′′′
13
12 f′′2 − 2
3 f′ f ′′′
∆x 4
+ − 13
∆x 4 +
66
6 f′′ f ′′′ + 1
2 f′ f (4)
13
6 f′′ f ′′′ − 1
2 f′ f (4)
∆x 5 +O(∆x 6 ),
∆x 5 +O(∆x 6 ),

CAPÍTULO 4. O MÉTODO 4.1. WENO-Z UMA NOVA FÓRMULA PARA OS PESOS DO WENO
podemos deduzir alguns resultados: se os estênceis S0, S1 e S2 são contínuos e afastados
de qualquer ponto crítico, então
τ5 = O(∆x 5 ).
Por outro lado, se um dentre os estênceis acima descritos for descontínuo, então
τ5 = O(1).
Propomos uma nova fórmula para os pesos que se utiliza da informação global dos
estênceis com o objetivo de obter uma melhor aproximação. A fórmula é a seguinte:
ω z k =
αz k
2 j=0αz , α
j
z k = dk
βz k
= dk
1+ τ5
, k = 0,1,2. (4.1)
βk +ǫ
Esta nova fórmula pode ser vista como uma modificação da fórmula de Jiang-Shu, com
p = 1 e
β z k =
βk
βk +τ5 +ǫ .
Ao contrário do WENO clássico, em que é crucial uma escolha relativamente alta para
ǫ (o valor sugerido é de ǫ = 10 −6 ), no WENO-Z podemos escolher um valor baixo, como
por exemplo, ǫ = 10 −40 .
Uma vantagem desta fórmula é que os pesos satisfazem imediatamente à condição
de optimalidade 3 (longe de pontos críticos), sem a necessidade de um mapeamento.
Recordando o que vimos no capítulo anterior (mais precisamente na equação (3.11)) uma
condição sobre os pesos suficiente para garantir a optimalidade é que
ωk = dk +O(∆x 3 ).
67

4.1. UMA NOVA FÓRMULA PARA OS PESOS CAPÍTULO DO WENO4.
O MÉTODO WENO-Z
Isto pode ser verificado diretamente pela fórmula (usando por praticidade ǫ = 0)
ω z k =
=
=
dk
r−1 j=0dj dk
r−1
j=0 dj
1+ τ5
βk
1+ τ5
βj
1+ O(∆x5 )
O(∆x2 )
1+ O(∆x5 )
O(∆x 2 )
dk(1+O(∆x 3 ))
(1+O(∆x 3 )) r−1
j=0 dj
= dk(1+O(∆x 3 ))
(1+O(∆x 3 ))
3 3
= dk 1+O(∆x ) 1+O(∆x ) = dk +O(∆x 3 ).
Note que estamos utilizando que βk = O(∆x 2 ), fato que ainda não provamos. Podemos
também verificar que a emulação do ENO 2 é preservada. Supondo-se o estêncil Sm
descontíuo e o estêncil Sn contínuo, temos
ω z m =
=
=
≤
dm
dm
1+ τ5
+dn βm
1+ O(1)
O(1)
dm
+dn
dmO(1)+dnO 1
∆x 2
O(1)+O 1
∆x 2
1+ τ5
βk
1+ τ5
βn
dm
+ r−1
1+ O(1)
O(1)
1+ O(1)
O(∆x 2 )
dmO(1)
r−1
+
j=0
j=m,n
dj
j=0
j=m,n
+ r−1
j=0
j=m,n
dj + r−1
j=0
j=m,n
1+ τ5
βj
dj
O(1)
O(1)
+(1−dm −dn) = O(∆x2 ).
βj
1+ O(1)
βj
Uma característica interessante desta nova fórmula é que o peso atribuído ao estêncil
68

CAPÍTULO 4. O MÉTODO 4.1. WENO-Z UMA NOVA FÓRMULA PARA OS PESOS DO WENO
descontínuo é maior do que o peso de Jiang-Shu para o mesmo estêncil. Isto é intuitivo,
já que o peso de Jiang-Shu para estênceis descontínuos é O(∆x 4 ). Podemos verificar este
fato da seguinte maneira: considere quaisquer estênceis Sm e Sn tais que βm ≥ βn. Então
ω z m
ω z n
=
dm
1+ τ5
βm
= dm
βm βm +τ5
dn 1+ τ5 dn βn βn +τ5
βn
= dm
2
βn βm βm +τ5
=
dn βm βn βn +τ5
= ω(JS) m
ω (JS)
βm βm +τ5
n
βn βn +τ5
≥ ω(JS) m
ω (JS)
n
.
Em particular, isto vale para Sm descontínuo. Isto, a princípio, pode parecer uma desvan-
tagem. Afinal, é perigoso atribuir um peso grande à aproximação do estêncil descontínuo,
pois isto pode levar a oscilações e instabilidade numérica. Parece, porém, que há um limite
em que se pode aumentar a contribuição do estêncil descontínuo sem que isto acarrete
problemas. E os pesos de Jiang-Shu estão abaixo deste limite.
Pelo que observamos, o WENO pode lucrar com este pequeno aumento no peso dos
estênceis descontínuos. Quanto mais peso se dá a eles, menos dissipativo é o esquema.
Infelizmente não existe uma estimativa do quanto se pode aumentar do peso sem que isto
gere instabilidade no sistema.
4.1.1 Generalização para todo r
Olhando como o medidor de suavidade global τ5 foi construído, precisamos agora cons-
truir um medidor de suavidade τn que seja uma generalização do caso n = 5, principal-
mente no que diz respeito à optimalidade em regiões contínuas sem pontos críticos. Para
isto, vamos definir os medidores de suavidade τn como o valor absoluto de combinações
69

4.1. UMA NOVA FÓRMULA PARA OS PESOS CAPÍTULO DO WENO4.
O MÉTODO WENO-Z
dos medidores βk,
τn =
r−1
k=0
ckβk
Queremos fazer uma escolha dos ck de modo que
pois, supondo por ora que,
temos então que
ω z k =
=
dk
r−1 j=0dj dk
r−1
j=0 dj
1+ τn
βk
.
(4.2)
τn = O(∆x r+2 ), (4.3)
βk = O(∆x 2 ), (4.4)
1+ τn
βj
1+ O(∆xr+2 )
O(∆x2 )
1+ O(∆xr+2 )
O(∆x 2 )
dk(1+O(∆x
=
r ))
(1+O(∆x r )) r−1 j=0dj = dk(1+O(∆x r ))
(1+O(∆x r ))
= dk(1+O(∆x r ))(1+O(∆x r )) = dk +O(∆x r ).
que é condição suficiente para a optimalidade.
Para manter o caráter global do medidor de suavidade τn, este por sua vez precisa
conter informações sobre todos os pontos de S0,...,Sr−1, ou seja,
c0 = 0, cr−1 = 0. (4.5)
Neste momento uma pergunta surge: é sempre possível encontrar coeficientesc0,...,cr−1
70

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
tais que τn = O(∆x r+2 )? Felizmente, a resposta é sim, e veremos este resultado traduzido
em teorema na seção 4.3. Para chegar a este resultado, precisamos antes de tudo encon-
trar alguns resultados auxiliares que nos guiarão à obtenção dos coeficientes que levam à
optimalidade.
4.2 Resultados auxiliares
Antes de entrarmos em detalhes sobre a convergência do método WENO-Z, como a
obtenção dos coeficientes ck em (4.2) de modo que (4.3) seja satisfeita, torna-se neces-
sário obter mais informações sobre os indicadores de suavidade βk. Relembrando por
conveniência a fórmula dos indicadores de suavidade βk,
βk =
r−1
l=1
∆x 2l−1
xi+ 1
2
x i− 1 2
d l
dx l ˆ f k (x)
2 dx,
vemos que para analisar, por exemplo, que βk = O(∆x 2 ), precisamos saber mais sobre
o comportamento dos polinômios ˆ f k que aproximam h no estêncil k. É a partir destes
polinômios é que podemos obter resultados significativos a respeito do método WENO-Z.
4.2.1 Representação dos polinômios ˆ f k
Por simplicidade, consideremos a partir de agora xi = 0. A partir da equação anterior
vemos que, para obter qualquer informação precisa a respeito dos indicadores βk, precisa-
mos antes de tudo estudar os polinômios ˆ f k . Na verdade queremos obter dois resultados
importantes, resumidos no teorema a seguir:
Teorema 6. Seja ρj = r−j−1 (j) (j) e f = f (0).Para todo x ∈
2
71
x 1,x1
− ,
2 2
ˆ fk pode ser

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
representado como
com os coeficientes ak,j expressos como
(a) (Independência)
ou como
(b) (Simetria)
onde
ak,j = 1
j!
No caso particular l ≤ ρj,
σk,j,l =
ˆf k (x) = r−1
j=0 ak,jx j , (4.6)
ρj
φ2δf (j+2δ) ∆x 2δ +O(∆x r−j ). (4.7)
δ=0
ak,j =
∞
l=0
σk,jlf (j+l) ∆x l , (4.8)
σk,j,l = (−1) l σr−1−k,jl
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1
j! φl mod (l,2) = 0
0 caso contrário.
(4.9)
, (4.10)
Antes de demonstrarmos, é necessário entender o que há por trás deste teorema.
Ele nos diz que ˆ f k é uma aproximação de h no estêncil k e seus coeficientes ak,j são
aproximações da j-ésima derivada de f no ponto xi. Além disso, expandindo ak,j, vemos
que os termos de ordem até ρj não dependem do estêncil, pois ρj 1
δ=0φ2δ j! f(j+2δ) ∆x2δ não depende de k. Quando δ > ρj, os coeficientes de ordem v passam a depender do
estêncil, mas ainda existe a possibilidade de relacioná-los com o seu estêncil simétrico.
A equações (4.8) e (4.9) traduzem o fato de que, ao expandirmos os coefieicentes ak,j
72

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
do polinômio ˆ f k em potências de ∆x, os coeficientes de ordem par serão iguais aos de
ar−1−k,j do polinômio ˆ f r−1−k , enquanto os de ordem ímpar terão sinais opostos. Todas
essas propriedades tornam-se fáceis de se visualizar uma vez que observamos a fórmula
explícita de ˆ f k para diversos casos. Por exemplo, para n = 5 e k = 0 vemos que
Para n = 7 e k = 0,
ˆf 0 (x) = 1
ˆf 0 (x) = 2
j=0 a0,jx j =
= 1
24 (fj−2 +2fj−1 +23fj)
+
+ 1
2
1
2 (fj−2 −4fj−1 +3fj)
∆x
x
(fj−2 −2fj−1 +fj)
∆x2 x 2
24 (fj−3 −4fj−2 +5fj−1 +22fj)
1
24 +
(−7fj−3 +33fj−2 −69fj−1 +43fj)
x
∆x
+ 1(−fj−3
+4fj−2 −5fj−1 +2fj)
2 ∆x2 x 2
+ 1 (fj−3 −3fj−2 +3fj−1 −1fj)
3! ∆x3 x 3 . (4.11)
73

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
Para n = 9 e k = 0,
ˆf 0 (x) =
1
1920 (−71fj−4 +364fj−3 −746fj−2 +684fj−1 +1689fj)
1
48 +
(−9fj−4 +50fj−3 −120fj−2 +174fj−1 −95fj)
x
∆x
+ 1
1
8
2
(7fj−4 −36fj−3 +74fj−2 −68fj−1 +23fj)
∆x2 x 2
+ 1
1
2
3!
(−3fj−4 +14fj−3 −24fj−2 +18fj−1 −5fj)
∆x3 x 3 ,
+ 1 (fj−4 −4fj−3 +6fj−2 −4fj−1 +fj)
4! ∆x4 x 4 . (4.12)
Expandindo os coeficientes ak,j em séries de Taylor em torno de 0, podemos observar
claramente que existe uma simetria entre a0,j e a2,j. Notamos também que como a1,j tem
simetria com ele mesmo, os termos de ordem ímpar se cancelam:
a0,0 = f − 1
24 f′′ ∆x 2 + 1
24 f′′′ ∆x 3 − 7
288 f(4) ∆x 4 + 1
96 f(5) ∆x 5
a0,1 = f ′ − 1
3 f′′′ ∆x 2 + 1
4 f(4) ∆x 3 − 7
60 f(5) ∆x 4
a0,2 = 1
2 f′′ − 1
2 f′′′ ∆x+ 7
24 f(4) ∆x 2 − 1
8 f(5) ∆x 3
a1,0 = f − 1
24 f′′ ∆x 2 − 1
288 f(4) ∆x 4
a1,1 = f ′ + 1
6 f′′′ ∆x 2 + 1
120 f(5) ∆x 4
a1,2 = 1
2 f′′ + 1
24 f(4) ∆x 2
74
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
a2,0 = f − 1
24 f′′ ∆x 2 − 1
24 f′′′ ∆x 3 − 7
288 f(4) ∆x 4 − 1
96 f(5) ∆x 5
a2,1 = f ′ − 1
3 f′′′ ∆x 2 − 1
4 f(4) ∆x 3 − 7
60 f(5) ∆x 4
a2,2 = 1
2 f′′ + 1
2 f′′′ ∆x+ 7
24 f(4) ∆x 2 + 1
8 f(5) ∆x 3
(4.19)
(4.20)
(4.21)
Com esta observação, podemos agora iniciar a demonstração do teorema, que utilizará
o resultado do seguinte lema:
Lema 1. Seja h definido em (2.2). Então
h(x) =
O Lema será provado ao final da demonstração do teorema.
∞
δ=0
φ2δf (2δ) (x)∆x 2δ , (4.22)
Demonstração (a). Lembramos também que ˆ f k é uma aproximação de h por um polinô-
mio de grau r, i.e.,
ˆf k (x) = h(x)+O(∆x r ). (4.23)
Combinando o resultado do Lema com a equação (4.23) e expandindo f (2δ) em séries de
Taylor em torno de xi, temos
ˆf k (x) =
=
=
∞
δ=0
φ2δ∆x 2δ f (2δ) (x)+O(∆x r )
∞
φ2δ∆x 2δ
δ=0
∞
∞
1
∞
j=0
1
j! f(j+2δ) (0)x j +O(∆x r )
φ2δ
j!
j=0 δ=0
f(j+2δ) (0)x j ∆x 2δ +O(∆x r ). (4.24)
75

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
Como x ∈ x 1,x1
− , x ≤ O(∆x),
2 2
1
φδ
j! f(j+2δ) (0)x j ∆x 2δ ≤ O(∆x j+2δ ).
Desta forma, paraj+2v > r−1, ou simplesmente paraδ > ρj = r−j−1
,φδ 2
1
j! f(j+2δ) (0)xj∆x2δ ≤
O(∆x r ), e portanto
O(∆x r )+
∞
j=0
Combinando (4.24) e (4.25),
ˆf k (x) =
∞
δ=ρj
δ≥0
∞
ρj
j=0 δ=0
1
φ2δ
j! f(j+2δ) (0)x j ∆x 2δ
1
φ2δ
j! f(j+2δ) (0)x j ∆x 2δ
= O(∆x r ). (4.25)
+O(∆x r ). (4.26)
Observamos também que se j > r−1, obviamente j +2δ > r −1, e com isso,
De (4.26) e (4.27),
O(∆x r )+
∞
j=r
ˆf k r−1
(x) =
j=0
∞
δ=0
ρj
1
φ2δ
j! f(j+2δ) (0)x j ∆x 2δ
1
φ2δ
j!
δ=0
f(j+2δ) (0)x j ∆x 2δ
Colocando x j em evidência no somatório em j,
como queríamos.
ˆf k r−1
(x) =
j=0
ρj
1
= O(∆x r ). (4.27)
φ2δ
j!
δ=0
f(j+2δ) (0)∆x 2δ +O(∆x r−j )
76
+O(∆x r ) (4.28)
x j ,

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
Demonstração (b). Nosso objetivo é construir aproximações polinomiais de h de grau
(r − 1) nos estênceis Sk e Sr−1−k. Para tal utilizaremos as funções Fk e Gk definidas
abaixo como
A partir daí obtemos
Fk(x 1
i+ ) =
2
=
Fk(x) =
x
x [k−(r−1)]− 1 2
x[(r−1)−k]+
1
2
Gk(x) = −
x
xi+ 1 2
x [k−(r−1)]− 1 2
i
s=k−(r−1)
h(ξ)dξ =
h(ξ)dξ,
h(ξ)dξ.
i
s=k−(r−1)
xs+ 1 2
x s− 1 2
fs∆x, i ∈ {k −(r−1),...,k}
x[(r−1)−k]+ 1
2
Gk(x 1
i+ ) = − h(ξ)dξ = −
2
x
i+ 1
2
(r−1)−k
s=i+1
xs+ 1 2
x s− 1 2
(r−1)−k
= − fs∆x, i ∈ {−k,...,(r −1)−k}
s=i+1
h(ξ)dξ (4.29)
h(ξ)dξ (4.30)
Seja PF k (x) o único polinômio de grau r que interpola Fk(x) nos r + 1 pontos x 1
i+ ,
2
i ∈ {k−r,...,k}. Da mesma forma, seja PG k (x) o único polinômio de grau menor ou igual
a r que interpola Gk(x) nos pontos x 1
i+ ,i ∈ {−k−1,...,(r−1)−k}. É possível mostrar
2
que
h(x) = F ′ k(x) = P F k
h(x) = G ′ k(x) = P G k
′(x)+O(∆x r ), x ∈ [x[k−(r−1)]− 1
2
′(x)+O(∆x r ), x ∈ [x−k− 1
2
77
,x 1
k+ ],
2
,x 1
(r−1)−k+ ],
2

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
e, desta forma,
ˆf k (x) = P F k
ˆf (r−1)−k (x) = P G k
′(x), x ∈ [x[k−(r−1)]− 1
2
′(x), x ∈ [x−k− 1
2
,x 1
k+ ],
2
,x 1
(r−1)−k+ ],
2
são as aproximações que queremos. De fato, usando a fórmula de interpolação de Lagrange
adaptada ao nosso contexto,
com
P F k (x) =
P G k (x) =
Usando (4.29) e (4.30), obtemos
P F k (x) =
P G k (x) =
=
=
=
k
i=k−r
(r−1)−k
i=−k−1
Lk,i(x) =
k
Fk(x 1
i+ )Lk,i(x),
2
Gk(x 1
i+ )L(r−1)−k,i(x),
2
k
s=k−r
s=i
i
i=k−r s=k−(r−1)
(r−1)−k
i=−k−1
(r−1)−k
i=−k−1
k+1
(r−1)−k
s=i+1
(r−1)−k
s=i+1
i∗ =k−(r−1) s=−i∗ +1
k
i=k−r
(r−1)−k
s=−i
x−x 1
s+ 2
x 1
i+ −x 1
s+ 2 2
(r−1)−k
78
.
fs∆xLk,i(x)
−fs∆xL(r−1)−k,i(x)
−fs∆xLk,−i−1(−x)
−fs∆xLk,i ∗ −1(−x)
−fs∆xLk,i(−x)

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
Por outro lado,
Logo
Lk,i(x) =
=
=
P F k (x) =
P G k (x) =
k
k
x−x 1
s+ 2 =
x 1
s=k−r i+ −x 1
s+ 2 2 s=k−r
s=i
s=i
k
1
s=k−r,s=i x−(s+ 2 )∆x
r
j=0
=
Derivando as igualdades acima,
ˆf k (x) =
ˆf (r−1)−k (x) =
k
s=k−r,s=i (i−s)∆x
ck,i,j∆x −j x j
k
i
i=k−r s=k−(r−1)
k
i=k−r
k
(r−1)−k
s=−i
fs
−fs
i=k−r s=k−(r−1)
k
i
r
j=0
r
j=0
−f−s
i=k−r s=k−(r−1) j=0
k
i
i
r
r
i=k−r s=k−(r−1) j=0
79
x−(s+ 1
2 )∆x
(i−s)∆x
=
r
j=0 c1 k,i,j ∆xr−j x j
c 2 k,i,j ∆xr
ck,i,j∆x −(j−1) x j
ck,i,j∆x −(j−1) (−x) j
r
j=0
ck,i,j∆x −(j−1) (−x) j
fsck,i,j∆x −(j−1) jx j−1
−f−sck,i,j∆x −(j−1) (−1) j jx j−1

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
Fazendo Ck,i,j = jck,i,j, usando que (−1) j+1 = (−1) j−1 e reorganizando os índices,
Desta forma,
ˆf k (x) =
ˆf (r−1)−k (x) =
ak,j=
⎛
r−1
k k
s=k−(r−1) i=s
⎝
j=0
Ck,i,j
∆xj ⎛
r−1
k k
s=k−(r−1) i=s
⎝
Ck,i,j
∆xj j=0
k k
s=k−(r−1) i=sCk,i,j
fs
a(r−1)−k,j=
∆x j
k
s=k−(r−1)
k
∆x j
i=s Ck,i,j
⎞
fs
⎠x j
f−s
f−s
(−1) j
(−1) j
⎞
⎠x j
Expandindo fs em séries de Taylor em torno da origem, e usando que (−1) j = (−1) −j ,
ak,j=
k k
s=k−(r−1) i=sCk,i,j ∞ δ=0
a(r−1)−k,j=
k
s=k−(r−1)
k
∆x j
i=s Ck,i,j
Organizando os coeficientes em termos de ∆x,
ak,j=
⎛
∞
⎝
δ=0
a(r−1)−k,j=
k
s=k−(r−1)
⎛
∞
⎝
δ=0
k
k
i=s
s=k−(r−1)
Ck,i,j
k
i=s
80
1
δ! f(δ) (0)s δ ∆x δ
∞
∆x j
1
δ=0
δ! f(δ) (0)s δ
Ck,i,j
1
,
1
δ! f(δ) (0)(−1) δ s δ ∆x δ
⎞
⎠∆x δ−j ,
δ! f(δ) (0)(−1) δ−j s δ
⎞
(−1) j .
⎠∆x δ−j .

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
Fazendo l = δ −j, e constatando através de (4.7) que δ −j ≥ 0,
Logo
ak,j=
⎛
∞
⎝
l=0
a(r−1)−k,j=
k
s=k−(r−1)
⎛
∞
⎝
l=0
com σk,jl = (−1) l σr−1−k,jl.
σk,j,l =
σk,j,l =
k
k
i=s
s=k−(r−1)
Ck,i,j
k
k
i=s
sj+l j +l! f(j+l) ⎞
(0) ⎠∆x l ,
Ck,i,j
k
s=k−(r−1) i=s
k
k
s=k−(r−1) i=s
Ck,i,j
Ck,i,j
s j+l
(j +l)! f(j+l) (0)(−1) l
sj+l j +l!
sj+l j +l! (−1)l
Demonstração do Lema. Usando (2.3), e expandindo h(x±∆x) em x,
Integrando ambos os lados,
Derivando (4.31),
⎞
⎠∆x l .
f ′ (x) = h ′ (x)+ ∆x2
4.3! h′′′ (x)+ ∆x3
16.5! h(5) (x)+... (4.31)
f(x) = h(x)+ ∆x2
4.3! h′′ (x)+ ∆x3
16.5! h(4) (x)+... (4.32)
f (2) (x) = h (2) (x)+ ∆x2
24 h(4) (x)+... (4.33)
f (4) (x) = h (4) (x)+ ∆x2
24 h(6) (x)+... (4.34)
81

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
Substituindo h (2) e h (4) em (4.32),
e, portanto,
f = h+ ∆x2
24
= h+ ∆x2
24 f(2) −
f (2) − ∆x2
24 h(4)
+ ∆x5
16.5! h(4) +... (4.35)
4 1 1 ∆x
−
242 16.5! 24 f(4) +... (4.36)
= h+ 1
24 f(2) ∆x 2 − 7
5760 f(4) ∆x 4 +... (4.37)
h(x) = f(x)− 1
24 f(2) ∆x 2 + 7
5760 f(4) ∆x 4 −...
Repetindo o processo indefinidamente para ordens maiores de ∆x, obtemos (4.22).
Estes resultados nos dão a partir de agora a possibilidade de analisar a expansão de
ˆf k em potências de ∆x.
4.2.2 Ordem dos indicadores de suavidades βk
Nesta seção veremos um pouco mais a fundo como os indicadores de suavidade βk são
construídos. Para isto, fazemos uso das equações (4.7) e (4.6):
βk =
=
=
=
r−1
m=1
∆x 2m−1
1
2∆x m=1 − 1
2∆x r−1
∆x 2m−1
1
2∆x r−1
m=1
r−1
m=1
− 1
2 ∆x
∆x 2m−1
1
2∆x r−1−m
j1=0
r−1−m
j2=0
− 1
2 ∆x
2 ˆf k(m)
(x) dx
r−1−m
j1=0
r−1−m
j1=0
(j1 +m)!
ak,m+j1x
j1!
j1
r−1−m
j2=0
r−1−m
j2=0
(j1 +m)!
j1!
Cm,j1,j2ak,m+j1ak,m+j2∆x j1+j2+2m
82
(j2 +m)!
ak,m+j2x
j2!
j2
dx
(j2 +m)!
ak,m+j1ak,m+j2x
j2!
j1+j2dx (4.38)

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
com
Cm,j1,j2 =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(j1+m)!(j2+m)!
j1!j2!
2 −(j 1 +j 2 )
(j1+j2+1) mod (j1 +j2,2) = 0
0 mod (j1 +j2,2) = 1
, j = 0,...,r −1, l = 0,...,r −1.
Definição 9. Para facilitar a notação do próximo teorema, usaremos a seguinte definição:
Usando (4.9), obtemos a simetria
E(k,m,j1,j2,l1,l2) = Cm,j1,j2σk,m+j1,l1σk,m+j2,l2,
E(k,m,j1,j2,l1,l2) = (−1) l1+l2 E(r −1−k,m,j1,j2,l1,l2).
Teorema 7. 4.40βk pode ser escrito como
com
βk =
∞
M=2
⌊ M
2 ⌋
j=1
Ak,M,jf (j) f (M−j) ∆x M , (4.39)
Ak,M,j = (−1) M A(r−1)−k,M,j. (4.40)
Além disso, se j < r e M −j < r, Ak,M,j for independente de k, i.e., então
A0,M,j = A1,M,j... = Ar−1,M,j.
Demonstração. Usando a definição de ak,j em (4.8), obtemos
ak,m+j1ak,m+j2 =
∞
∞
l1=0 l2=0
σk,m+j1,l1σk,m+j2,l2f (m+j1+l1) f (m+j2+l2) ∆x l1+l2 .
83

4.2. RESULTADOS AUXILIARES CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
Substituindo na equação (4.38),
βk =
r−1
r−1−m
∞
m=1 j1,j2=0 l1,l2=0
E(k,m,j1,j2,l1,l2)f (m+j1+l1) f (m+j2+l2) ∆x j1+j2+2m+l1+l2 .
Fixando M1 = m+j1 +l1 e M2 = m+j2 +l2, é possível organizar a soma como
onde
e
βk =
∞
∞
M1=1 M2=1 ΩM1 ,M2 E(k,m,j1,j2,l1,l2)f (M1) f (M2) ∆x M1+M2 ,
ΩM1,M2 = {(m,j1,j2,l1,l2) ∈ Ψ1 ∪...∪Ψr−1 | m+j1 +l1 = M1 e m+j2 +l2 = M2},
Chamando M = M1 +M2,
βk =
Ψm = {1,...,r −1}×{1,...,r −1−m} 2 ×N 2
∞
M=2
M−1
j=1
Ωj,M−j
E(k,m,j1,j2,l1,l2)f (j) f (M−j) ∆x M ,
Como f (j) f (M−j) = f (M−j) f (M−(M−j)) , novamente reorganizamos a soma, obtendo
Se
βk =
∞
M=2
⌊ M
2 ⌋
j=1
Ωj,M−j ∪ ΩM−j,j
Ak,M,j =
Ωj,M−j ∪ ΩM−j,j
E(k,m,j1,j2,l1,l2)f (j) f (M−j) ∆x M .
84
E(k,m,j1,j2,l1,l2),

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.2. RESULTADOS AUXILIARES
nós temos
βk =
∞
M=2
⌊ M
2 ⌋
j=1
Ak,M,jf (j) f (M−j) ∆x M .
Como E(k,m,j1,j2,l1,l2) = (−1) l1+l2 E(r − 1 − k,m,j1,j2,l1,l2) e j1 + j2 é sempre par
(caso contrário Cm,j1,j2 = 0), temos que
Ωj,M−j ∪ ΩM−j,j
e portanto
E(k,m,j1,j2,l1,l2) =
=
=
Ωj,M−j ∪ ΩM−j,j
Ωj,M−j ∪ ΩM−j,j
Ωj,M−j ∪ ΩM−j,j
Ak,M,j = (−1) M A(r−1)−k,M,j.
(−1) l1+l2 E(r−1−k,m,j1,j2,l1,l2)
(−1) 2m+j1+j2+l1+l2 E(r−1−k,m,j1,j2,l1,l2)
(−1) M E(r−1−k,m,j1,j2,l1,l2)
Podemos ver também que se j < r e M −j < r, Ak,M,j independe de k. De fato, usando
(4.38) e (4.7),
βk =
r−1
r−1−m
m=1 j1,j2=0
Cm,j1,j2
ρm+j 1
δ1=0
ρm+j 2
δ2=0
O(∆x r−max(j1,j2)
) ∆x j1+j2+2m
φ2δ1φ2δ2∆x 2δ1+2δ2
(m+j1)!(m+j2)! f(m+j1+2δ1) f (m+j2+2δ2) +
A fórmula acima mostra que os coeficientes associados a f (m+j1+2δ1) f (m+j2+2δ2) são inde-
pendentes de k. Desta forma, o maior valor possível para m+j1+2δ1 (e para m+j2+2δ2)
85

4.3. EXISTÊNCIA DE τN
é
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
r −(m+j1)−1
m+j1 +2ρm+j1 = m+j 1 +2
2
⎧
⎪⎨ r−1, se r −(m+j1) for ímpar,
=
⎪⎩ r−2, caso contrário.
Sendo assim, se j < r e M −j < r, o coeficiente Ak,M,j independe do estêncil k.
Corolário 3. Se M ≤ r, Ak,M,j é independente de k para todo j ∈ {1,...,
M }. 2
Teorema 8.
Corolário 4. Seja xi um ponto crítico de ordem ncp = 0. Então βk = O(∆x 2 ).
4.3 Existência de τn
Relembrando a formulação do método WENO-Z o início deste capítulo, vemos que,
para garantir a convergência de ordem n (descrita em (3.11)), é necessário que, dado
uma combinação linear τn = r−1
k=0 ckβk, seja satisfeita a τn = O(∆x r+2 ). Devemos agora
encontrar uma combinação dos ck que satisfaça tal propriedade. Em outras palavras,
expandindo βk em potências de ∆x, queremos que todos os termos de ordem até r+1 se
anulem. Fixemos r. Usando (4.39), isto é equivalente a dizer que
r−1
k=0
ck
⎛
⎜r+1
⎝
M=2
⌊ M
2 ⌋
j=1
Ak,M,jf (j) f (M−j) ∆x M
86
⎞
⎟
⎠ = 0. (4.41)

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.3. EXISTÊNCIA DE τN
A partir daí,
0 =
=
r−1
k=0
r+1
M=2
ck
⎛
⎜
r+1
⎝
⌊M 2
⌋
j=1
M=2
r−1
k=0
⌊ M
2 ⌋
j=1
Ak,M,jf (j) f (M−j) ∆x M
ckAk,M,j
⎞
⎟
⎠
f (j) f (M−j) ∆x M .
Uma condição suficiente para que a equação anterior seja válida é r−1
k=0 ckAk,M,j = 0 para
M = 2,...,r +1 e j = 1,..., M
2
A0,M,j A1,M,j ··· Ar−1,M,j
, então a equação acima é válida. Em outras palavras,
⎛
⎜
. ⎜
⎝
c0
.
cr−1
⎞
⎟ = 0,
⎠
M = 2,...,r +1,
j = 1,...,
M . 2
(4.42)
Fixemos M ≥ 2 (note que podemos definir M > r +1; isto será importante na próxima
seção). Se para todo j a equação anterior for verdadeira, podemos transformar o sistema
de equações em uma multiplicação matricial, com o auxílio da matriz
⎛
⎜
Br(M) = ⎜
⎝
e, portanto, reescrever (4.42) como
⎜
Br(M). ⎜
⎝
A0,(M−1),1 A1,(M−1),1 ··· Ar−1,(M−1),1
A0,(M−1),1 A1,(M−1),1 ··· Ar−1,(M−1),1
.
.
A 0,(M−1),⌊ M
2 ⌋ A 1,(M−1),⌊ M
2 ⌋ ··· A r−1,(M−1),⌊ M
2 ⌋
⎛
c0
.
cr−1
. ..
⎞
⎟
⎠ =
⎛ ⎞
⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ .
⎟
⎟,
⎝ ⎠
0
M = 2,...,r +1,
87
.
⎞
⎟
⎠

4.3. EXISTÊNCIA DE τN
Juntando todas as matrizes Br(M) em bloco, e construindo
Podemos novamente reescrever (4.42) como
⎛ ⎞
⎜
Br(3)
⎟
⎜ ⎟
Ar(M) = ⎜ .
⎟
⎝ ⎠
Br(M)
,
⎛
⎜
Ar(r+2). ⎜
⎝
c0
.
cr−1
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
⎞
⎟
⎠ =
⎛ ⎞
⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ ⎠
0
.
Em outras palavras, a equação acima é válida se (c0,...,cr−1) T for um elemento do
núcleo de Ar(r+2). Na verdade apenas nos interessa um elemento não-trivial do núcleo,
caso contrário τn = 0. Por construção, como os elementos de Ar(r+2) não dependem de
f e suas derivadas, os valores ck também não dependerão.
Observação 6. Uma condição necessária e suficiente para garantir a existência de um
elemento não-trivial da base de Ar(r+2) é que seu posto seja estritamente menor do que
r. De fato, veremos que isto sempre será satisfeito.
Observação 7. Por simplicidade, escreveremos Ar(M) = A(M) e Br(M) = B(M); no
entanto, é importante lembrar que a construção destas matrizes dependem intrinsicamente
da ordem do método WENO-Z utilizado, ou seja, do valor de r. Além disso,
Vamos a alguns exemplos:
Exemplo 2. n = 5(r = 3)
Vimos anteriormente em (3.8) os valores de βk para r = 3. Escolhemos ck da seguinte
88

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.3. EXISTÊNCIA DE τN
forma:
implicando em
ou simplesmente
τ5 =
c0 = 1, c1 = 0, c2 = −1,
13
τ5 = |β0 −β2|, (4.43)
3 f′′ f ′′′ −f ′ f (4)
∆x5 +O(∆x 6 ).
Vemos claramente que a equação acima satisfaz (4.3) e (4.5).
Exemplo 3. n = 7(r = 4)
Em outro exemplo, para r = 4, obtemos os seguintes valores de βk:
β0 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 − 1
2 f′ f (4) ∆x 5 +O(∆x 6 ),
β1 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 + 1
6 f′ f (4) ∆x 5 +O(∆x 6 ),
β2 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 − 1
6 f′ f (4) ∆x 5 +O(∆x 6 ),
β3 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 + 1
2 f′ f (4) ∆x 5 +O(∆x 6 ).
Daí obtemos um bom candidato para τ7, que é
e, consequentemente,
τ7 = |β0 −β1 −β2 +β3|, (4.45)
τ7 = O(∆x 6 ).
Note que essa não é a única escolha que satisfaz a equação acima; podemos também
89

4.3. EXISTÊNCIA DE τN
escolher
Poderíamos também escolher
mas violaríamos a condição (4.5).
τ7 = |2β0 −3β2 +β3|.
τ7 = β 7 0 +β 7 1 −2β 7 2
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
Uma análise mais detalhada das possíveis escolhas para τ7 pode ser feita através da
matriz A(7) (com as linhas nulas omitidas) que, neste caso, tem a forma
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1
13
12
− 1
2
13
12
13
12
1
6 −1
6
13
12
1
2
⎞
⎟
⎠ .
⎛
⎜
⎝
c0
c2
c3
c4
,
⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜
0
⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ = ⎜ ⎟.
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0
⎟
⎠ ⎝ ⎠
0
Podemos encontrar uma base {ρ1,ρ2} para o seu núcleo, que é dada por
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞⎫
⎜
2
⎟ ⎜
1
⎟
⎪⎨
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ 1 ⎟⎪⎬
⎟
⎜ ⎟,
⎜ ⎟ .
⎜ −3
⎟ ⎜
⎟ ⎜ −2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎪⎩ ⎪⎭ 1 0
Qualquer (c0,...,cr−1) T que seja uma combinação linear destes elementos satisfaz τn =
O(∆x r+2 ); resta apenas encontrarmos uma combinação que também satisfaça c0 = 0 e
cr−1 = 0. Neste caso, uma combinação que atende aos requisitos é (c0,...,cr−1) T = ρ1−ρ2.
Exemplo 4. n = 9(r = 5)
Repetindo o mesmo processo,
90

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.3. EXISTÊNCIA DE τN
β0 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4
+
β1 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β2 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β3 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β4 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
− 1
− 1
− 1
− 1
360 f′′ f (4) + 781
360 f′′ f (4) + 781
360 f′′ f (4) + 781
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2 − 2
720 f′′′2 + 1
720 f′′′2 − 1
720 f′′′2 + 1
5 f′ f (5)
∆x 6 +O(∆x 7 ),
10 f′ f (5)
15 f′ f (5)
10 f′ f (5)
− 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2 − 2
5 f′ f (5)
Neste caso é bem fácil de ver diretamente um candidato para τ9,
∆x 6 +O(∆x 7 ),
∆x 6 +O(∆x 7 ),
∆x 6 +O(∆x 7 ),
∆x 6 +O(∆x 7 ).
τ9 = |β0 −β4|, (4.47)
mas como nem sempre é possível, é interessante olharmos para o núcleo de A(9):
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
0 −1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎪⎨ ⎜ −1 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ 0
⎟
⎟,
⎜ 0
⎟
⎟,
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎪⎩
0 1
− 1
3
− 2
3
1
0
0
⎞⎫
⎟
⎟⎪⎬
⎟ .
⎟
⎠
⎪⎭
Observamos que a dimensão do núcleo cresce à medida que r aumenta. De fato, é
possível observar que para cada r, a dimensão do núcleo de A(r + 2) é r − 2, e que,
portanto, sempre existirá uma combinação que satisfaça τn = O(∆x r+2 ). Este fato será
provado no teorema que virá a seguir, mas antes vamos observar mais um caso:
Exemplo 5. n = 11(r = 6)
91

4.3. EXISTÊNCIA DE τN
β0 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4
+
β1 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β2 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β3 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β4 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
β5 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2 ∆x 4 +
e um candidato para τ11 é
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
∆x 6 − 1
3 f′ f (6) ∆x 7 +O(∆x 8 ),
∆x 6 + 1
15 f′ f (6) ∆x 7 +O(∆x 8 ),
∆x 6 − 1
30 f′ f (6) ∆x 7 +O(∆x 8 ),
∆x 6 + 1
30 f′ f (6) ∆x 7 +O(∆x 8 ),
∆x 6 − 1
15 f′ f (6) ∆x 7 +O(∆x 8 ),
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
− 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
∆x 6 + 1
3 f′ f (6) ∆x 7 +O(∆x 8 ),
τ11 = |β0 −β1 −β4 +β5|. (4.49)
Olhando mais atentamente para (4.43) e (4.47), vemos que τ5 e τ9 têm formas muito
similares. Além disso, olhando para (4.45) e (4.49), verificamos que τ7 e τ11 também
apresentam uma forma parecida. Por trás deste fato reside uma propriedade ainda mais
geral que pode ser resumida no seguinte teorema:
Teorema 9. Seja n = 2r − 1 a ordem da reconstrução WENO. Então o indicador de
suavidade de alta ordem
τn =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
é tal que τn = O(∆x r+2 ).
|β0 −βr−1| mod (r,2) = 1,
|β0 −β1 −βr−2 +βr−1| mod (r,2) = 0
92

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.3. EXISTÊNCIA DE τN
Demonstração. A ideia principal é usar a simetria geométrica e a antissimetria entre ˆ f k
e ˆ f r−1−k de forma a obter uma relação entre seus coeficientes ak,j and ar−1−k,j.
Usando a definição de βk em (4.39) e a simetria em (4.40), obtemos
β0 =
β1 =
βr−2 =
βr−1 =
∞
M=2
∞
M=2
∞
M=2
∞
M=2
⌊ M
2 ⌋
j=1
⌊ M
2 ⌋
j=1
⌊ M
2 ⌋
j=1
⌊ M
2 ⌋
j=1
A0,M,jf (j) f (M−j) ∆x M ,
A1,M,jf (j) f (M−j) ∆x M ,
A1,M,jf (j) f (M−j) ∆x M (−1) M ,
A0,M,jf (j) f (M−j) ∆x M (−1) M .
Queremos encontrar uma combinação linear dos βk acima de forma que a soma de
todos os termos de ordem O(∆x k ) sejam nulos para k < r + 2. Em outras palavras,
procuramos constantes não-triviais c0,c1,cr−2,cr−1 tais que
c0β0 +c1β1 +cr−2βr−2 +cr−1βr−1 = 0,
para todos os termos de ordem até O(∆x r+1 ). Com isso, obteremos τ = O(∆x r+2 ).
Usando o Corolário (3), todos os coeficientes de βk associados aos termos ∆x M ,M < r
são iguais.
• Supondor ímpar, r+1 é par, e os coeficientes deβ0 eβr−1 associados ao termo∆x r+1
são iguais. Além disso, os coeficientes β0 e βr−1 associados aos termos ∆x M ,M ≤
r+1 são iguais, e portanto
β0 −βr−1 = O(∆x r+2 ).
93

4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
• Supondor par, r+1 é ímpar, e o coeficiente associado ao termo∆x r+1 deβk+βr−1−k
é nulo (devido à simetria encontrada em (4.40)), e para M < r + 1, o coeficiente
de ∆x M ⌊M 2 ⌋
é igual a 2 j=1 Ak,M,jf (j) f (M−j) . Isto significa que os coeficientes de
(β0 +βr−1)−(β1 +βr−2) de ordem ∆x M ,M ≤ r+1 são nulos, proporcionando
4.4 Ordem máxima de τn
β0 −β1 −βr−2 +βr−1 = O(∆x r+2 ).
Até este ponto, vimos que é possível encontrar τn = O(∆x r+2 ) de modo a garantir
que a derivada no método WENO-Z seja aproximada com ordem n, desde que βk =
O(∆x 2 ), i.e., que ncp = 0, com ncp definido em (3.9). No entanto, se ncp = 1, temos
pelo primeiro resultado do Teorema 7, que, na vizinhança do ponto crítico, βk = O(∆x 4 ),
e, consequentemente, ω ±
k − dk = O(∆x r−2 ), que não é condição suficiente para garantir
ordem n no método. Além disso, se r > 3 , por exemplo, e ncp = 2, βk = O(∆x 6 ) e
portanto, ω ±
k −dk = O(∆x r−4 ). A partir deste fato e relembrando a discussão da seção
4.2.2, vemos que à medida que o valor dencp aumenta, a ordem de convergência do WENO
(não importando se é o WENO clássico ou WENO-Z) deixará de atender a condição de
optimalidade. Em outras palavras, τn = O(∆x r+2 ) não é mais uma condição que atende
ω ±
k − dk = O(∆x r ) em regiões com pontos críticos. Para contornar este problema, uma
solução é encontrar τn = O(∆x m ), m ≥ r +2 que compense o aumento da ordem de βk.
Desta forma, o que podemos é, para cada r, encontrar M2r−1 = Mn, o maior valor possível
de m tal que existam coeficientes {c0,...,cr−1} que gerem τn = O(∆x Mn ) = 0.
Da mesma forma que fizemos na seção anterior, podemos reescrever τn = O(∆x m )
94

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
como
r−1
k=0
ck
⎛
m−1
⎜
⎝
M=2
⌊ M
2 ⌋
j=1
Ak,M,jf (j) f (M−j) ∆x M
⎞
⎟
⎠ = 0.
e estabelecer uma condição suficiente para que a equação acima seja válida:
⎛
⎜
A(m). ⎜
⎝
c0
.
cr−1
⎞
⎟
⎠ =
⎛ ⎞
⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ ⎠
0
, (c0,...,cr−1) T = 0
Em outras palavras, o que queremos é encontrar o maior valor possível de m tal que a
matriz A(m) ainda tenha uma base não-trivial, i.e., tal que seu posto seja menor do que
r.
Observamos que à medida que o valor de m aumenta, o valor do posto de A(m),
rank(A(m)), também aumenta. Queremos encontrar uma fórmula para esse aumento e
a partir daí uma fórmula fechada para rank(A(m)).
Nossa estratégia se baseia em encontrar rank(A(m + 1)) a partir de rank(A(m)).
Desta forma, para encontrar A(m+1), basta adicionar a A(m) as linhas de B(m+1):
A(m+1) =
⎛
⎜
⎝ A(m)
B(m+1)
Observação 8. As linhas que serão adicionadas terão impacto direto no aumento do
posto de A(m + 1). No caso em que a linha formada pelos elementos Ak,M,j depende
de k, iremos supor que, ao tomarmos quaisquer duas linhas com essa propriedade, estas
serão linearmente independentes dois a dois. Não provaremos esta suposição, mas ela
parece ser verdadeira, pois não encontramos nenhum contra-exemplo até agora. De fato,
95
⎞
⎟
⎠.

4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
a afirmação é válida para r ≤ 20. Se por acaso existir algum contra-exemplo em ordens
maiores que 20, o que poderá acontecer é que para alguns valores de r, o valor encontrado
de M2r−1 será ligeiramente maior, ou seja, um caso melhor do que esperávamos.
Para facilitar, vamos a um exemplo numérico. Com r = 5 , escrevemos os indicadores
de suavidade βk, k = 0,...,4, explicitando os termos até ordem 8:
β0 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4 +
2
+
+
− 2
5 f′ f (5) − 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
∆x 6
∆x 7
3 f′ f (6) − 9
5 f′′ f (5)
− 13
21 f′ f (7) + 1235
432 f′′ f (6) − 5467
1440 f′′′ f (5) + 32803
30240 f(4)2
1
∆x 8 +O(∆x 9 ),
∆x 6
β1 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4 +
10 f′ f (5) − 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
+ − 1
12 f′ f (6) + 11
60 f′′ f (5)
∆x 7
1
+
21 f′ f (7) − 251
2160 f′′ f (6) − 781
1440 f′′′ f (5) + 32803
30240 f(4)2
∆x 8 +O(∆x 9 ),
∆x 6
β2 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4
+ − 1
15 f′ f (5) − 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
+ − 1
126 f′ f (7) − 53
2160 f′′ f (6) + 781
1440 f′′′ f (5) + 32803
30240 f(4)2
∆x 8 +O(∆x 9 ),
β3 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4 +
1
+
+
1
10 f′ f (5) − 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
∆x 7
∆x 6
12 f′ f (6) − 11
60 f′′ f (5)
1
21 f′ f (7) − 251
2160 f′′ f (6) − 781
1440 f′′′ f (5) + 32803
30240 f(4)2
∆x 8 +O(∆x 9 ),
96

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
β4 = (f ′ ∆x) 2 + 13
12 f′′2∆x 4 +
+ − 2
+
− 2
5 f′ f (5) − 1
360 f′′ f (4) + 781
720 f′′′2
∆x 7
∆x 6
3 f′ f (6) + 9
5 f′′ f (5)
− 13
21 f′ f (7) + 1235
432 f′′ f (6) − 5467
1440 f′′′ f (5) + 32803
30240 f(4)2
∆x 8 +O(∆x 9 ),
Com base nas equações acima, escrevemos as matrizes A(m) (com as linhas de valor nulo
omitidas) como
A(6) =
⎛
⎜
A(7) = ⎜
⎝
⎛
⎜
A(8) = ⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
⎞
⎟
⎠,
1 1 1 1 1
13
12
− 2
5
− 1
360
781
720
13
12
13
12
1
10 − 1
15
− 1
360
781
720
− 1
360
781
720
13
12
13
12
1 − 10 2
5
− 1
360
781
720
− 1
360
781
720
1 1 1 1 1
13
12
− 2
5
− 1
360
781
720
13
12
13
12
1 − 10 1
15
− 1
360
781
720
− 1
360
781
720
13
12
13
12
1 − 10 2
5
− 1
360
781
720
− 1
360
781
720
2 − 3 1 1 0 − 12 12 2
3
− 9
5
11 0 − 60 11
60
97
9
5
⎞
⎟
⎟,
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟,
⎟
⎠

4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
⎛
⎜
A(9) = ⎜
⎝
1 1 1 1 1
13
12
− 2
5
− 1
360
781
720
2
3
− 9
5
− 13
21
1235
432
− 5467
1440
32803
30240
13
12
1
10
− 1
360
781
720
13
12
− 1
15
− 1
360
781
720
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
13
12
1
10
− 1
360
781
720
− 1
12 0 1
12
11 0 − 60 11
60
1 − 21 1
126
− 251
2160
− 781
1440
32803
30240
− 53
2160
781
1440
32803
30240
1
21
− 251
2160
13
12
− 2
5
− 1
360
781
720
− 2
3
9
5
− 13
21
1235
432
− 781
1440 −5467
1440
32803
30240
Observamos que o posto de cada uma das matrizes é
e neste caso, portanto, M9 = 8.
rank(A(6)) = 1,
rank(A(7)) = 2,
rank(A(8)) = 4,
rank(A(9)) = 5,
32803
30240
Podemos agora discutir como o posto de A(m) varia à medida que o valor de m
aumenta.
Primeiramente, é fácil ver que rank(A(r + 1)) = 1, pois pelo Corolário 3, A0,M,j =
... = Ar−1,M,j para M ≤ r, e, portanto, todas as linhas são linearmente dependentes.
Fixemos agora m > r + 1. Para cada m, queremos ver quantas linhas de B(m)
dependem de k. Estas linhas serão as responsáveis pelo aumento do posto de A(m).
98
⎞
⎟
⎟,
⎟
⎠

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
Pelo Teorema 7, os elementos que não dependem de k são da forma Ak,M,j, com j < r e
m−j < r. Logo o número de linhas novas que não dependem de k é a cardinalidade do
conjunto
m
j ∈ 1,...,
2
| j ≥ r ou m−j ≥ r ,
que é rank(B(m)) = m − r (observe que usamos fortemente a suposição contida na
observação [?]).
Em um primeiro momento poderíamos então imaginar querank(A(m+1)) = rank(A(m))+
rank(B(m+1)), mas isto não é verdade. Para entender melhor como o posto aumenta,
precisamos analisar as linhas de A(m).
Se r for ímpar, temos que as linhas são da forma
A0,m,j A1,m,j ··· Ar−1
2 ,m,j ··· Ar−2,m,j Ar−1,m,j
Com o auxílio da simetria em (2.1),
.
A0,m,j A1,m,j ··· Ar−1
2 ,m,j ··· (−1) m A1,m,j (−1) m A0,m,j
Considerando o espaço formado por estas linhas, vemos que as linhas contém
r variáveis 2
livres, A0,m,j,...,Ar−1
2 ,m,j se m for par e
r variáveis livres se m for ímpar, pois neste caso
2
Ar−1
2
,m,j = −Ar−1,m,j
= 0, excluindo esta variável livre. Se r for par, não existe termo
2
r
central Ar−1
,m,j, e portanto há sempre
2 2
m.
.
variáveis livres, independentemente do valor de
Ainda no contexto dos espaços formados pelas linhas, vemos através do termo (−1) m
que o k-ésimo elemento de cada linha pode ser igual ou simétrico ao (r − 1 − k)-ésimo
elemento. Essa dualidade nos perimite construir dois espaços distintos, V + eV − , definidos
99

4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
por
V + =
V − =
a0 a1 ··· ar−1
a0 a1 ··· ar−1
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
∈ R r
| ak = ar−1−k, k = 0,...,r −1 ,
∈ R r
| ak = −ar−1−k, k = 0,...,r −1 ,
com dimensões
r r e respectivamente (note que com r par as dimensões são iguais).
2 2
Note que V + ∩ V − = 0. Se separarmos A(m) nestes dois espaços, formando duas
novas matrizes A + (m) e A − (m), que contém apenas linhas de V + e V − respectivamente,
temos que
rank(A(m)) = rank(A + (m))+rank(A − (m)).
Observação 9. Aproveitemos para observar que rank(A + (r + 1)) = 1 e rank(A − (r +
1)) = 0, uma vez que os elementos Ak,m,j independem do estêncil k (vide Corolário 3) e,
portanto, todas as linhas de A(m) são linearmente dependentes e pertencentes a V + .
Com esta separação podemos agora definirrank(A(m+1)) em termos derank(A(m)).
Com efeito, adicionando as linhas de B(m+1), vemos que se m for par, apenas o posto
de A + (m + 1) aumentará, pois B(m + 1) ⊂ V + , enquanto que se m for ímpar, apenas
o posto de A − (m + 1) aumentará, pois B(m + 1) ⊂ V − . Por outro lado, esse aumento
está limitado em r
2
para rank(A + (m+1)) e r
2
dimensão dos espaços. Desta forma,
rank(A + (m+1)) =
rank(A − (m+1)) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
para rank(A − (m+1)), por conta da
min rank(A + (m))+rank(B(m+1)),
r , m par 2
rank(A + (m)), m ímpar
rank(A− (m)), m par
, m ímpar
min rank(A − (m))+rank(B(m+1)), r
2
100

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
Combinando as duas equações acima,
⎧
⎪⎨
rank(A(m+1)) =
⎪⎩
min rank(A + (m))+rank(B(m+1)),
r − +rank(A (m)), m par
2
rank(A + (m))+min rank(A − (m))+rank(B(m+1)), r
2
, m ímpar
A partir deste resultado obtemos uma relação de recorrência para rank(A(m)), com
condições iniciais rank(A + (r + 1)) = 1 e rank(A − (r + 1)) = 0. A partir do resultado
acima podemos chegar à seguinte conclusão:
Teorema 10. O posto de A(m+1), m ≥ r, possui a seguinte forma fechada:
com
rank(A(m+1)) = max ρ + (m+1),
r
+max ρ
2
− (m+1),
ρ + ⎧
⎪⎨ 1+
(m+1) =
⎪⎩
m−r 2,
r ímpar,
2
1+
m−r m−r +1 , r par,
2 2
ρ − ⎧
⎪⎨
m−r m−r +1 , r ímpar,
2 2
(m+1) =
⎪⎩
2, r par.
m−r
2
r
,
2
Demonstração. Usaremos o fato de que rank(A + (r + 1)) = 1, rank(A − (r + 1)) = 0 e
rank(B(m)) = m − r. Para cada caso (r par e r ímpar), veremos como os postos de
A + (r +1) e A − (r +1) aumentarão.
Considere inicialmente r ímpar. Usando as relações de recorrência para rank(A + (m+
1)) e rank(A − (m+1)), e lembrando que r+1 é par,
rank A + (r +2)
r
= min 1+1, ,
2
rank A − (r +2) = rank A − (r +1) = 0.
101

4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
De maneira análoga,
rank A + (r +3) = rank A + (r +2)
= min
rank A − (r +3) = min
0+2,
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
r
2
.
Usando que min(min(a,b)+c,b)) = min(a+c,b) para a,b,c ≥ 0,
1+1,
r
,
2
rank A + (r +4)
r
r
= min min 1+1, +3,
2 2
r
= min 1+1+3, ,
2
rank A − (r +4) = rank A − (r +3)
r
= min 0+2, .
2
rank A + (r +5) = rank A + (r +4)
r
= min 1+1+3, ,
2
rank A − (r +5)
r
r
= min min 0+2, +4,
2 2
r
= min 0+2+4, .
2
Podemos ver que para k ≥ 1, rank(A ± (r +k)) assume a forma rank(A + (r+k)) =
min ρ + (r+k),
r − − r
e rank(A (r+k)) = min ρ (r +k), . Basta-nos agora encon-
2
2
trar os valores de ρ ± (k). Com efeito, organizando os valores encontrados acima na tabela
abaixo, vemos claramente o padrão que se forma:
r+1 r+2 r+3 r+4 r+5 r+6
ρ + (r +k) 1 1+1 1+1 1+(1+3) 1+(1+3) 1+(1+3+5)
ρ − (r +k) 0 0 0+2 0+2 0+(2+4) 0+(2+4)
Fica evidente que o valor de ρ ± (k) aumenta como uma soma de progressão aritmética a
102

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
cada vez que k é acrescido em 2. Desta forma,
ρ + ⌊
(r+k) = 1+
k
2⌋
(2i−1) = 1+
ρ − (r+k) =
i=1
⌊k−1 2 ⌋
i=1
2i =
1+
2 k
2
k −1 k −1
Escrevendo r+k = m+1, substituindo nas equações acima,
Logo, obtemos
ρ + 2 2 m−r+1 m−r
(m+1) = 1+ = 1+
2 2
ρ −
m−r m−r
(m+1) = 1+
2 2
rank A + (m+1) 2 m−r
r
= min 1+ ,
2 2
,
rank A − (m+1)
m−r m−r
r
= min +1 ,
2 2 2
,
como desejado. Agora consideremos agora o caso r par. Obtemos de forma análoga
A + (r+2) = A + (r+1) = 1,
− r
A (r+2) = min 0+1,
2
+ r
A (r +3) = min 1+2, ,
2
A − (r +3) = A − (r+2) = min
103
2
2
r
0+1,
2

4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z
+ + r
A (r +4) = A (r +3) = min 1+2, ,
2
− r
r
A (r +4) = min min 0+1, +3,
2 2
r
= min 0+1+3, ,
2
+ r
r
A (r+5) = min min 1+2, +4, ,
2 2
r
= min 1+2+4,
2
− − r
A (r+5) = A (r+4) = min 0+1+3, .
2
Construindo novamente a tabela,
obtemos
r+1 r+2 r+3 r+4 r+5 r+6
ρ + (r +k) 1 1 1+2 1+2 1+(2+4) 1+(2+4)
ρ − (r +k) 0 0+1 0+1 0+(1+3) 0+(1+3) 0+(1+3+5)
ρ + (r+k) = 1+
ρ − (r+k) =
⌊ k−1
2 ⌋
i=1
2i = 1+
1+
⌊k 2⌋
2 k −1
(2i−1) =
2
Escrevendo r+k = m+1, substituindo nas equações acima,
i=1
k −1 k −1
ρ +
m−r m−r
(m+1) = 1+ 1+
2 2
ρ − 2 2 m−r+1 m−r
(m+1) = =
2 2
104
2
2

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.4. ORDEM MÁXIMA DE τN
como queremos.
+
A (m+1) = min 1+
A − (m+1) = min
1+
m−r
2
m−r m−r
r
,
2 2 2
,
2
r
,
2
,
A partir do valor obtido para rank(A(m)) podemos encontrar Mn, que é simplesmente
o maior valor possível de m tal que rank(A(m)) < r.
A tabela a seguir contém, para cada n, o valor de Mn:
r n Mn r n Mn
3 5 5 12 23 17
4 7 7 13 25 18
5 9 8 14 27 19
6 11 9 15 29 21
7 13 11 16 31 22
8 15 12 17 33 23
9 17 13 18 35 24
10 19 15 19 37 25
11 21 16 20 39 27
A partir da tabela acima podemos ver que quanto maior for r, a diferença Mn − r,
aumenta, isto é, à medida quer aumenta, existe ainda a possibilidade do esquema garantir
a optimalidade mesmo com a presença de pontos críticos. Por exemplo, quando r = 7,
temos que se ncp = 1, então βk = O(∆x 4 ) e ω ±
k −dk = O(∆x 13−4 ) = O(∆x 9 ), que ainda
é suficiente para garantir a optimalidade.
105

4.5. UMA ALTERNATIVA PARA OBTER ORDEM CAPÍTULO N 4. O MÉTODO WENO-Z
Abaixo observamos os valores de τn encontrados até ordem 13:
τ5 = |β0 −β2|
τ7 = |β0 +3β1 −3β2 −β3|
τ9 = |β0 +2β1 −6β2 +2β3 +β4|
τ11 = |β0 −10β2 +10β3 −β5|
τ13 = |β0 +36β1 +135β2 +−135β4 −36β5 −β6|
Pela complexidade das fórmulas para obter estes valores, acreditamos que não existe
uma fórmula fechada que seja simples.
4.5 Uma alternativa para obter ordem n
Observamos nas seções anteriores que quando ncp ≥ 1, nem sempre atingimos a ordem
máxima. Isso ocorre porque à medida que ncp aumenta, a ordem de βk, (denominada
nesta seção por ¯ β) também aumenta, mas a ordem de τn continua sendo igual a Mn. Com
isso, a partir de (4.1), vemos que
ω ±
k −dk = O(∆x Mn−¯ β ).
ou seja, Mn − ¯ β diminui à medida que ncp aumenta. Se Mn − ¯ β < r, a condição (3.11)
não é satisfeita e portanto o método não convergirá. Para evitar que isto aconteça, uma
solução aceitável se torna aumentar a ordem de τn, elevando a uma potência p suficiente
para que pMn − ¯ β ≥ r. Este valor de p deve ser escolhido o menor possível, pois quanto
maior o valor de p, mais dissipativo o método se tornará. De fato, seja h tal que exista
uma descontinuidade no estêncil Sh. Desta forma, usando β z k
106
como definido em (4.1), e

CAPÍTULO 4. O MÉTODO WENO-Z 4.5. UMA ALTERNATIVA PARA OBTER ORDEM N
tomando β z∗
k
como os medidores de suavidade com a razão τn
βk
βz k
βz h
= βh βh +τn +ǫ
βk βk +τn +ǫ
βh(βh)
<
βk
q +(τn) q +ǫ
(βk) q +(τn) q +ǫ
elevado a p, obtemos
βz∗ k
=
βz∗, ou seja, a importância relativa do estêncil Sh diminui à medida que q aumenta, o que em
outras palavras significa tornar o método mais dissipativo.
O valor de p deverá ser escolhido de acordo com o problema em questão. Por exemplo,
suponha r = 6 e ncp = 5. Temos portanto que ¯ β = 8 e Mn = 9. Logo
e com p = 14,
obtemos 9
p ≥ r + ¯ β
Mn
= 14
9 ,
ω ±
k −dk = O(∆x pMn−¯ β ) = O(∆x 6 ),
implicando em convergência de ordem n = 11,
ˆf 1
i+ −
2
ˆ f 1
i−2 ∆x
= f ′ (xi)+O(∆x 11 ).
Observação 10. Esta potência p pode ser compreendida de maneira análoga à potência
definida para os pesos do WENO clássico, isto é, enquanto no WENO clássico os pesos
são definidos como
ωk =
αk
r−1 j=0αj , αk =
no método WENO-Z definimos os pesos como
ω z k =
αk
r−1
j=0 αj
dk
(βk +ǫ) p,
, αk = dk
βz, β
k
z p τn
k = 1+
βk +ǫ
107
h

4.5. UMA ALTERNATIVA PARA OBTER ORDEM CAPÍTULO N 4. O MÉTODO WENO-Z
108

Capítulo 5
Resultados numéricos
No capítulo anterior discutimos sobre o WENO-Z, um esquema alternativo ao WENO
clássico e mapeado, abordados no capítulo 3. Vimos que, dada uma escolha correta do
indicador de suavidade globalτn, o método converge com ordem2r−1 em regiões contínuas
fora da vizinhança de um ponto crítico. Neste capítulo exibiremos o comportamento geral
do esquema WENO-Z em diversos problemas, e compará-los com o WENO clássico e o
WENO mapeado.
Para mostrar o bom comportamento do WENO-Z, em especial o caráter essencialmente
não-oscilatório, vamos utilizar a equação do transporte
com a condição inicial dada por
Utilizamos N = 200 pontos na malha e
ut +ux = 0,
u(x,0) = u0(x).
∆t = 8∆x 5
3
109

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
para que o Runge-Kutta de terceira ordem funcione efetivamente como um de quinta
ordem (em função de ∆x). Neste exemplo utilizaremos uma função descontínua que é
comumente empregada na literatura para este tipo de teste. Ela é a combinação de uma
gaussiana, uma onda quadrada, uma onda triangular e uma semi-elipse. A expressão para
a condição inicial é dada por
u0(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
G(x,β,z) = e −β(x−z)2
,
1 [G(x,β,z −δ)+4G(x,β,z)+G(x,β,z +δ)] , x ∈ [−0.8,−0.6]
6
1 , x ∈ [−0.4,−0.2]
1−[10(x−0.1)] , x ∈ [0,0.2]
1 [F(x,α,a−δ)+4F(x,α,a)+F(x,α,a+δ_)] , x ∈ [0.4,0.6]
6
F(x,α,a) = max(1−α 2 (x−a) 2 ,0),
0 , caso contrário,
onde as constantes são z = −0.7, δ = 0.005, β = log2
36δ 2, a = 0.5 e α = 10.
Calculamos a solução em T = 8 para o método WENO-Z de ordem 5 com p = 1 e 2
como mostra a figura 5.1:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Região 1
-1 -0.5 0 0.5 1
x
Sol. Analítica
WENO-Z (p=1)
WENO-Z (p=2)
1
0.98
0.96
0.94
0.92
-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2
x
Sol. Analítica
WENO-Z (p=1)
WENO-Z (p=2)
Figura 5.1: Solução da equação do transporte com t = 8 para WENO-Z de ordem 5 com
p = 1 e p = 2
110

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Observamos que comp = 1 o método é de fato menos dissipativo, aproximando-se mais
da solução analítica. Poderíamos então imaginar que é sempre melhor escolher p = 1, já
que o método é menos dissipativo. No entanto, em alguns casos, como veremos a seguir,
a escolha de um p pequeno pode acarretar a presença de oscilações. Veremos também em
exemplos posteriores que em ordens maiores esta característica não-oscilatória persistirá,
desde que seja feita uma escolha correta da potência p e do número N de pontos da malha.
Feito este primeiro teste, vamos agora verificar que o método WENO-Z de fato con-
verge com ordem2r−1 em regiões sem a presença de pontos críticos. Para tal, inicialmente
obtemos uma aproximação da derivada espacial de u em xi, denotada por U(xi). Sendo
u0(xi) a solução analítica de u no ponto xi, podemos medir o erro em xi como sendo
erro(xi) = U(xi)−u0(xi).
Definimos as normas L1, L2, L∞ do erro como
N 2
erro = |erro(xi)|;
L1 N
i=0
erroL2 =
2
N
(erro(xi))
N
2 ;
i=0
erro L∞ = max
i=0,...,N |erro(xi)|.
Para dois números diferentes de pontos na malha, N1 < N2, é possível obter uma estima-
tiva da ordem do esquema da seguinte maneira: sejam erro1 e erro2 o vetor de erros das
aproximações de um determinado método, usando-se N1 e N2 pontos, respectivamente.
Então a estimativa é dada por
log
erro1
erro2
log N2
N1
111
.

5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
No nosso exemplo vamos usar a função exponencial
f(x) = e x
restrita ao domínio [−1,1] e calcular sua derivada. Neste caso o erro é medido apenas por
erro(xi) = U(xi)−e xi .
As tabelas 5.1 a 5.4 mostram a convergência do método WENO-Z para ordens 5, 7, 9 e
11. Podemos ver que os dois esquemas tendem a convergir com ordem 2r−1.
Observação 11. Utilizamos um número pequeno de pontos para calcular a convergência
do WENO de ordens 9 e 11 devido ao rápido decaimento do erro. Se aumentássemos o
número de pontos da malha, perderíamos a informação da ordem de convergência, uma
vez que o erro se confundiria com o erro da máquina.
5.1 Análise dos pesos WENO
Na seção anterior observamos o caráter não-oscilatório do WENO-Z de ordem 5 através
da função teste, bem como que, em regiões sem pontos críticos, o método converge com
ordem 2r − 1. Precisamos agora comparar estes resultados com os esquemas WENO
clássico (WENO-JS) e WENO mapeado (WENO-M), de modo a verificar em quais casos
o método WENO-Z se torna a melhor opção. Para isso, torna-se necessário fazer uma
análise mais minuciosa dos pesos ωk, primeiramente definidos na seção 3.2.
112

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO
N L∞ ordem L2 ordem
110 0.21×10 −5 0.34×10 −6
140 0.55×10 −6 5.558 0.80×10 −7 5.737
170 0.22×10 −6 4.828 0.25×10 −7 5.655
200 0.97×10 −7 4.878 0.97×10 −8 5.568
230 0.49×10 −7 4.910 0.45×10 −8 5.284
Tabela 5.1: Ordem de convergência do esquema WENO-Z de ordem 5
N L∞ ordem L2 ordem
30 0.28×10 −10 0.18×10 −10
35 0.83×10 −11 7.994 0.61×10 −11 7.019
40 0.31×10 −11 7.328 0.24×10 −11 7.007
45 0.13×10 −11 7.521 0.10×10 −11 7.003
50 0.60×10 −12 7.126 0.50×10 −12 7.001
Tabela 5.2: Ordem de convergência do esquema WENO-Z de ordem 7
N L∞ ordem L2 ordem
14 0.38×10 −10 0.32×10 −10
15 0.20×10 −10 8.953 0.17×10 −10 8.985
16 0.10×10 −10 9.017 0.90×10 −11 8.986
17 0.59×10 −11 8.960 0.50×10 −11 8.988
18 0.34×10 −11 9.020 0.29×10 −11 8.990
Tabela 5.3: Ordem de convergência do esquema WENO-Z de ordem 9
N L∞ ordem L2 ordem
14 0.20×10 −12 0.17×10 −12
15 0.91×10 −13 10.92 0.77×10 −13 10.99
16 0.43×10 −13 10.86 0.36×10 −13 10.99
17 0.22×10 −13 10.36 0.18×10 −13 10.95
18 0.12×10 −13 10.83 0.91×10 −14 11.04
Tabela 5.4: Ordem de convergência do esquema WENO-Z de ordem 11
113

5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Consideramos a seguinte função:
g(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−sin(πx)− x3,
se −1 < x < 0
2
1−sin(πx)− x3,
se 0 ≤ x ≤ 1
2
g(x) = g(x−2),∀x ∈ R.
S0
S1
S2
Figura 5.2: Função g(x) no intervalo [-1,1]. Os pesos ω0, ω1 e ω2 para a reconstrução da
função na origem são calculados utilizando os estênceis S0, S1 e S2, respectivamente.
Notamos que g possui uma descontinuidade em x = 0, o que torna esta função inte-
ressante de ser analisada em termos do comportamento dos pesos.
Calculamos os pesos para obter a reconstrução de g(x) utilizando-se o WENO-JS,
WENO-M e WENO-Z, todos de ordem 5, utilizando p = 2. Os resultados podem ser
vistos na figura 5.3.
Podemos reparar que os pesos da parte descontínua (correspondendo aos seis pontos
próximos dex = 0) são ligeiramente maiores no WENO-M do que no WENO-JS e WENO-
Z.
Este resultado pode parecer contraditório para leitor, se comparado com o resultado
obtido em [13], no qual o método WENO-Z aparece com os maiores pesos. Na verdade
114
,

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10
−0.002 −0.001 0 0.001 0.002
−8
10 −7
10 −6
ω
0
ω
1
ω
2
x
(a) WENO-JS
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10
−0.002 −0.001 0 0.001 0.002
−8
10 −7
10 −6
ω
0
ω
1
ω
2
x
(b) WENO-M
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10
−0.002 −0.001 0 0.001 0.002
−8
10 −7
10 −6
ω
0
ω
1
ω
2
x
(c) WENO-Z
Figura 5.3: Pesos dos esquemas WENO de ordem 5 para o cálculo da função g(x) com
p = 2
o que acontece é que a comparação feita foi com o WENO clássico e o WENO mapeado
com p = 2, e WENO-Z com p = 1. Nestas condições o WENO-Z possui pesos maiores
- e consequentemente é menos disispativo. Com efeito, calculando os pesos com p = 1,
e checando o resultado na figura 5.4, vemos que nestas condições os pesos aumentam
significamente.
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10
−0.002 −0.001 0 0.001 0.002
−8
10 −7
10 −6
ω
0
ω
1
ω
2
x
(a) WENO-JS
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10
−0.002 −0.001 0 0.001 0.002
−8
10 −7
10 −6
ω
0
ω
1
ω
2
x
(b) WENO-M
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10
−0.002 −0.001 0 0.001 0.002
−8
10 −7
10 −6
ω
0
ω
1
ω
2
x
(c) WENO-Z
Figura 5.4: Pesos dos esquemas WENO de ordem 5 para o cálculo da função g(x) com
p = 1
Com este resultado, vemos na verdade que o WENO-M com p = 1 é menos dissipativo
do que o WENO-Z. O método WENO-JS ainda continua com os pesos menores, o que
torna o método mais dissipativo. Confirmamos este fato através das tabelas 5.5 e 5.6.
A tabela nos mostra que em x = −0.001 o estêncil S2 já detectou a descontinuidade
em x = 0, por ser o estêncil mais à direita; por essa razão é que o peso ω2 é bem menor do
que os outros, já que o indicador de suavidade β2 aumenta com a descontinuidade. Além
115

5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
disso em x = 0 observamos que o estêncil S2 já não detém informações a respeito do ponto
de descontinuidade, ao passo que os demais estênceis S0 e S1 detêm. Desta forma seus
pesos diminuem consideravelmente, tornando o peso ω2 maior (na verdade ω2 aumenta
pois é feita uma normalização, aumentando o peso relativo dado a ele).
Podemos também comparar os seis métodos de uma vez (WENO-JS, WENO-M e
WENO-Z para p = 1 e p = 2). A figura 5.5 confirma que a potência p tem grande
influência na dissipação da solução; basta observar que o WENO-JS com p = 1 é menos
dissipativo que WENO-M com p = 2.
u
1
0.99
0.98
0.97
Sol. Analítica
WENO-M (p=1)
WENO-Z (p=1)
WENO-JS (p=1)
WENO-M (p=2)
WENO-Z (p=2)
WENO-JS (p=2)
-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2
x
Figura 5.5: Função g(x) no intervalo [-1,1]. Os pesos ω0, ω1 e ω2 para a reconstrução da
função na origem são calculados utilizando os estênceis S0, S1 e S2, respectivamente.
5.1.1 Ordens mais altas
Podemos estender a discussão da seção anterior para ordens superiores; por exemplo,
para ordem 7, verificamos o seguinte comportamento, apresentado nas figuras 5.6 e 5.7, e
nas tabelas 5.7 e 5.8:
Pelos resultados, observamos novamente que o método WENO-M é o menos dissipativo
116

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO
x = −0.001 x = 0
WENO-JS WENO-M WENO-Z WENO-JS WENO-M WENO-Z
ω0 0.1427 0.1271 0.1427 6.5089×10 −5 7.1158×10 −4 1.3010×10 −4
ω1 0.8570 0.8717 0.8569 9.7229×10 −4 0.0026 0.0014
ω2 2.0045×10 −4 0.0011 4.0073×10 −4 0.9990 0.9967 0.9985
Tabela 5.5: Medida dos pesos do WENO de ordem 5 com p = 1
x = −0.001 x = 0
WENO-JS WENO-M WENO-Z WENO-JS WENO-M WENO-Z
ω0 0.1427 0.1272 0.1427 1.2736×10 −8 1.4009×10 −7 2.5477×10 −8
ω1 0.8573 0.8278 0.8573 4.7365×10 −7 1.2630×10 −6 5.5010×10 −7
ω2 9.3794×10 −8 5.1386×10 −7 1.8767×10 −7 0.9999 0.9999 0.9999
Tabela 5.6: Medida dos pesos do WENO de ordem 5 com p = 2
x = −0.001 x = 0
WENO-JS WENO-M WENO-Z WENO-JS WENO-M WENO-Z
ω0 0.0322 0.0322 0.0322 0.9944 0.9789 0.9947
ω1 0.3870 0.3867 0.3871 0.0034 0.0129 0.0209
ω2 0.5806 0.5807 0.5806 0.0019 0.0055 0.0283
ω3 3.6323×10 −5 3.9810×10 −4 7.2633×10 −5 2.9057×10 −4 0.0028 0.0062
Tabela 5.7: Medida dos pesos do WENO de ordem 7 com p = 1
x = −0.001 x = 0
WENO-JS WENO-M WENO-Z WENO-JS WENO-M WENO-Z
ω0 0.0322 0.0322 0.0322 0.9999 0.9999 0.9999
ω1 0.3870 0.3868 0.3871 9.5771×10 −7 3.7510×10 −6 3.0159×10 −5
ω2 0.5806 0.5810 0.5806 1.9902×10 −7 5.8602×10 −7 4.4002×10 −6
ω3 1.0226×10 −8 1.1237×10 −7 2.0457×10 −8 2.1343×10 −8 2.0810×10 −7 9.7553×10 −6
Tabela 5.8: Medida dos pesos do WENO de ordem 7 com p = 2
117

5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Pesos WENO−JS (p=1)
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10
−0.003 −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 0.003
−10
10 −9
10 −8
10 −7
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
x
i
(a) WENO-JS
Pesos WENO−M (p=1)
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10
−0.003 −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 0.003
−10
10 −9
10 −8
10 −7
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
x
i
(b) WENO-M
Pesos WENO−Z (p=1)
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10
−0.003 −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 0.003
−10
10 −9
10 −8
10 −7
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
x
i
(c) WENO-Z
Figura 5.6: Pesos dos esquemas WENO de ordem 7 para o cálculo da função g(x) com
p = 1
Pesos WENO−JS (p=2)
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10
−0.003 −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 0.003
−10
10 −9
10 −8
10 −7
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
x
i
(a) WENO-JS
Pesos WENO−M (p=2)
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10
−0.003 −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 0.003
−10
10 −9
10 −8
10 −7
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
x
i
(b) WENO-M
Pesos WENO−Z (p=2)
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10
−0.003 −0.002 −0.001 0 0.001 0.002 0.003
−10
10 −9
10 −8
10 −7
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
x
i
(c) WENO-Z
Figura 5.7: Pesos dos esquemas WENO de ordem 7 para o cálculo da função g(x) com
p = 2
dos três, e que a dissipação em cada método pode ser controlada pela potência p utilizada.
Apesar de termos utilizado até então p = 1 e p = 2, estes valores não precisam ser
inteiros. A única questão é que o uso depnão-inteiro torna o método computacionalmente
mais lento, como veremos mais adiante. Veremos também que, apesar do WENO-M ser
o menos dissipativo, o WENO-Z possui um tempo de execução menor que o WENO
mapeado.
Para ilustrar os resultados acima, vamos usar a função teste u0, definida no início deste
capítulo, e comparar os diferentes métodos. Primeiramente, vamos utilizar o WENO de
ordem 7, com N = 200 e p = 2.
Constatamos através do zoom dado na região 1 da figura 5.8 que de fato o WENO-M é
o esquema menos dissipativo dentre os três. Poderíamos diminiuir a potência p de modo
118

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Região 1
0
-1 -0.5 0
x
0.5 1
Sol. Analítica
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
1.02
1
0.98
0.96
0.94
0.92
Sol. Analítica
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2
x
Figura 5.8: Solução da equação do transporte com t = 8 para os métodos WENO de
ordem 7 com p = 2
a tornar o esquema menos dissipativo e, portanto, mais próximo da solução analítica.
Vejamos o que acontece se ao invés de p = 2, utilizarmos p = 1:
1.05
1
0.95
Sol. Analítica
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2
x
Figura 5.9: Zoom na onda retangular da solução da equação do transporte com t = 8
para WENO-Z de ordem 7 com p = 1
Ao diminuirmos o valor de p, a solução obtida pelo WENO mapeado apresentou os-
cilações indesejadas. Isto ocorre uma vez que os pesos no estêncil com descontinuidade
não foram pequenos o suficiente, gerando estas oscilações, conhecidas como o fenômeno
119

5.1. ANÁLISE DOS PESOS WENO CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
de Gibbs. Podemos, por outro lado, utilizar uma potência p intermediária.
1
0.995
0.99
-0.36 -0.35 -0.34 -0.33 -0.32 -0.31
x
Sol. Analítica
WENO-M (p=1)
WENO-M (p=1.2)
WENO-M (p=1.3)
WENO-M (p=1.5)
WENO-M (p=2)
Figura 5.10: Zoom na onda retangular da solução da equação do transporte em t = 8 do
WENO mapeado para diversos valores de p
Neste problema especificamente as oscilações não aparecem a partir de p = 1.3. Este
valor depende do problema e do esquema em questão, da ordem do método e quantos pon-
tos estão sendo utilizados na malha; não faz sentido procurar uma fórmula para encontrar
o melhor p. No entanto é fácil observar que, como o WENO mapeado é menos dissipativo
que o WENO clássico e o WENO-Z, se a potência p escolhida não gerar oscilações no
WENO-M, então não gerará oscilações nos outros dois esquemas.
A primeira impressão que temos é de que então é sempre interessante diminuir o valor
de p ao máximo possível sem gerar oscilações. Isto não é verdade. Utilizar potências
não-inteiras demandam um tempo computacional maior e, dependendo do tamanho do
problema, esta diferença de tempo pode ser crucial para a sua resolução.
120

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.2. TEMPO DE EXECUÇÃO
p = 1 p = 1.3 p = 1.5 p = 2
WENO-JS 33,21s 36,43s 35,40s 34,68s
WENO-M 41,66s 42,40s 44,91s 40,21s
WENO-Z 31,59s 38,44s 41,94s 34,30s
Tabela 5.9: Tempo de execução da solução do transporte até t = 8 para os esquemas
WENO com diferentes valores de p
5.2 Tempo de execução
Discutimos na seção anterior que em determinados casos torna-se interessante utilizar
valores de p não-inteiros, mas que isto demanda um tempo computacional maior. Vamos
confirmar este fato, utilizando para isto o mesmo exemplo da solução do transporte com
a função teste para os esquemas WENO de ordem 7, com N = 2000:
Os três métodos apresentaram um tempo de execução maior com a utilização de p não-
inteiro, mas é notório que o WENO-Z é o que apresentou a maior diferença de resultado
entre as potências. Observamos também uma vantagem do WENO-Z em relação ao
WENO-M em termos computacionais, chegando a ser em média 20% mais eficiente com
p inteiro, e 5% com p não-inteiro. Esta vantagem se deve ao fato do mapeamento feito
no WENO-M ter um alto custo computacional - basta notar que quase não há diferença
entre o WENO clássico e o WENO-Z, especialmente com p inteiro.
5.3 Equações de Euler
Nesta seção, implementaremos o sistema de equações de Euler
⎡ ⎤ ⎡
⎢ ρ ⎥ ⎢ ρv
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ρv ⎥ + ⎢ ρv
⎣ ⎦ ⎣
E
2 ⎤
⎥
+p ⎥
⎦
v(E +p)
t
121
x
= 0

5.3. EQUAÇÕES DE EULER CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
com os três esquemas WENO estudados. Neste sistema a variávelρrepresenta a densidade
de massa, v é a velocidade (ρv é o momento linear), E é a energia total e p é a pressão.
A equação de estado, que relaciona a pressão com as demais variáveis, para os próximos
problemas será dada por
E = p 1
+
γ −1 2 ρv2 ,
com γ sendo uma constante que depende do material do fluido (nestes problemas utiliza-
remos γ = 1,4). As equações de Euler constituem um sistema não-linear, o que as torna
difíceis de se resolver analiticamente e até numericamente. Além disto, estas equações
são bastante utilizadas na modelagem de fluidos em alta velocidade, onde os termos dis-
sipativos das equações de Navier-Stokes não influenciam muito no resultado. Estas duas
características das equações de Euler fazem delas um teste importante para qualquer
esquema numérico de equações de leis de conservação.
5.3.1 Comparação entre os esquemas WENO
Os próximos testes serão comparações entre os métodos WENO vistos até agora,
usando diferentes potências p. Como em geral não temos solução analítica para estes
problemas, utilizaremos como comparativo o método WENO-M com um número grande
de pontos.
122

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.3. EQUAÇÕES DE EULER
Interação entre duas blast waves
Este é um problema considerdo difícil na literatura, devido à situação de choques fortes
com ondas de rarefação. A condição inicial é dada por
⎧
⎪⎨
(1,0,1000) se 0 ≤ x ≤ 0.1,
(ρ,v,p) = (1,0,1000) se 0.1 ≤ x ≤ 0.9,
⎪⎩ (1,0,1000) se 0.9 ≤ x ≤ 1,
com condição de fronteira reflexiva em x = 0 e x = 1.
Calculamos as soluções para o WENO de ordem 9 e p = 5, com tempo final t = 0.038
e N = 300 pontos na malha, exibidas na figura 5.11. Temos duas regiões interessantes que
são analisadas nas figuras adiante. Os detalhes da figura 5.11 confirmam mais uma vez
que o WENO-M é menos dissipativo que o WENO-Z, que por sua vez é menos dissipativo
que o WENO-JS.
Observação 12. Utilizamos o valor p = 5 pois a solução com p = 2 explodiu quando
utilizados o WENO mapeado e o WENO-Z. Na verdade o valor escolhido não é o menor
encontrado de modo a gerar soluções estáveis para os métodos; para o WENO-M o valor
p = 3.3 foi suficiente para gerar uma solução estável, enquanto que para o WENO-Z o
valor de p = 3.9 foi encontrado. Ao contrário do que imaginávamos, o valor encontrado
para o WENO-Z foi maior do que o WENO-M. Deduzimos a partir deste resultado que tal
instabilidade não pode ser justificada somente pela pouca dissipação, mas por outros fatores
que ainda não inspecionamos. Observamos posteriormente que em ordem 7 poderíamos
facilmente utilizar p = 2, e que em ordem 11 nenhum p foi encontrado de modo a gerar
soluções estáveis. Uma alternativa para contornar este problema específico ficará para
trabalhos posteriores.
123

5.3. EQUAÇÕES DE EULER CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Rho
6
5
4
Rho
7
6
5
4
3
2
1
0
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
Região 1
Região 2
-1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
0.65 0.7 0.75 0.8
x
Rho
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9
x
Figura 5.11: Comparação entre os métodos WENO de ordem 9 no problema da interação
entre duas blast waves N = 300 pontos na malha
Problema de Riemann de Lax
Um problema de Riemann é um problema em que a condição inicial é dada por um
choque simples, isto é, há um valor xd tal que
⎧
⎪⎨ ul, se x ≤ xd,
u0(x) =
⎪⎩ ur, se x > xd.
124

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.3. EQUAÇÕES DE EULER
No problema de Riemman de Lax a condição inicial é dada por
⎧
⎪⎨ (0.445,0.698,3.528) se x ≤ 0,
(ρ,v,p) =
⎪⎩ (0.5,0,0.571) se x > 0.
Na figura 5.12 observamos um comparativo entre o método WENO-Z (p = 2) para
ordens 5, 7, 9 e 11 (ou r = 3, 4, 5 e 6, respectivamente). Observamos que à medida que a
ordem do método aumenta, começam a surgir oscilações nas regiões com descontinuidade
(vide região 1 da figura 5.12). Tentamos contornar este problema aumentando a dissi-
pação, isto é, aumentando a potência p, e refinando a malha, sem sucesso. Suspeitamos
que seja devido ao fato desta descontinuidade ser uma descontinuidade de contato, mas é
apenas uma suposição inicial. Esta discussão ficará para trabalhos futuros.
Interação entre um choque e uma onda de entropia
Neste problema a condição inicial é dada por
⎧
⎪⎨ (0.445,0.698,3.528) se x ≤ −4,
(ρ,v,p) =
⎪⎩ (0.5,0,0.571) se x > −4.
A seguir veremos um panorama geral das soluções obtidas pelo WENO mapeado e WENO-
Z de ordem 11 para a variável ρ, ambos com N = 400 pontos na malha e potência p = 2.
Os dois métodos apresentaram bom comportamento, apesar de não detectarem com
precisão os bicos à esquerda e à direita da oscilação destacada na região 1 da figura
5.13. Observamos também na região 2 que os dois esquemas apresentaram oscilações
indesejadas. Tentamos contornar este problema refinando a malha, como mostra a figura
5.14.
Ao refinarmos a malha, vemos que os dois métodos se aproximaram melhor da solução
125

5.3. EQUAÇÕES DE EULER CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Rho
1.36
1.34
1.32
1.3
1.28
1.26
1.24
Rho
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
WENO-Z (4000 pontos)
WENO-Z (r = 3)
WENO-Z (r = 4)
WENO-Z (r = 5)
WENO-Z (r = 6)
2 2.5 3
x
WENO-Z (4000 pontos)
WENO-Z (r = 3)
WENO-Z (r = 4)
WENO-Z (r = 5)
WENO-Z (r = 6)
Região 1
Região 2
-4 -2 0 2 4 6
x
Rho
0.51
0.5
WENO-Z (4000 pontos)
WENO-Z (r = 3)
WENO-Z (r = 4)
WENO-Z (r = 5)
WENO-Z (r = 6)
3.2 3.25 3.3 3.35 3.4
x
Figura 5.12: Método WENO-Z com diversas ordens de convergência para o problema de
Lax N = 400 pontos na malha
real. No entanto, a pouca dissipação do WENO mapeado não foi suficiente para evitar
algumas oscilações, como podemos ver nas regiões 2 e 3 da figura 5.14. Já o WENO-Z se
comportou bem nas três regiões apresentadas, sem apresentar nenhum tipo de oscilação
que destoe da solução desejada.
126

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.3. EQUAÇÕES DE EULER
Rho
4.5
4
3.5
3
Rho
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Região 2
WENO-M (2000 pontos)
WENO-M
WENO-Z
Região 1
-4 -2 0 2 4
x
WENO-M (200
WENO-M
WENO-Z
1 1.5 2 2.5
x
Rho
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
WENO-M (2000 pontos)
WENO-M
WENO-Z
-2.9 -2.85 -2.8 -2.75 -2.7 -2.65 -2.6 -2.55 -2.5 -2.45
x
Figura 5.13: Comparação entre os métodos WENO-M e WENO-Z de ordem 11 no problema
da interação entre um choque e uma onda de entropia com N = 400 pontos na
malha.
5.3.2 Conclusão
Nos testes exibidos nestas seções vimos que os resultados do WENO-Z foram muito
satisfatórios para diversos problemas clássicos. Em termos de dissipação, o WENO ma-
peado se mostrou o menos dissipativo, seguido do WENO-Z e por fim o WENO clássico.
Vimos também que a potência p utilizada no cálculo dos pesos WENO influi diretamente
127

5.3. EQUAÇÕES DE EULER CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Rho
Rho
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.95
0.9
Região 3
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
Região 2
Região 1
-4 -2 0 2 4
x
WENO-JS
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
2.38 2.4 2.42 2.44 2.46
x
Rho
Rho
3.35
3.3
3.25
3.2
3.15
3.1
3.05
3
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
2.3 2.35 2.4
x
WENO-M
WENO-Z
WENO-M (2000 pontos)
-2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5
x
Figura 5.14: Comparação entre os métodos WENO-M e WENO-Z de ordem 11 no problema
da interação entre um choque e uma onda de entropia com N = 800 pontos na
malha.
128

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 5.3. EQUAÇÕES DE EULER
na dissipação da solução, sendo em alguns casos imprescindível que este valor seja maior
que 1, principalmente em problemas de alta ordem. Em alguns exemplos se o valor de
p fosse pequeno, algumas oscilações indesejadas podem aparecer. Estas oscilações geral-
mente podem ser contornadas amentando esta potência p, ou simplesmente aumentando
o número de pontos da malha. Em outros casos o WENO-Z apresentou oscilações que
não se extinguiram nem com o refinamento da malha nem com o aumento da potência
p. Acreditamos que estas oscilações ocorrem pelo fato da descontinuidade em questão ser
uma descontinuidade de contato, mas é apenas uma suposição. Em termos computacio-
nais, o WENO-Z se mostrou mais rápido do que o WENO-M em média 20% quando p é
inteiro, e que essa melhora cai para 5%, caso contrário.
129

5.3. EQUAÇÕES DE EULER CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
130

Referências Bibliográficas
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Physics, [S.l.], v115, 1994, p. 200-212. 5, 39, 49
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putacional Physics, [S.l.], v207, 2005, p. 542-567 5, 8, 40, 56, 57, 60, 65
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nal of Computacional Physics, [S.l.], v126, 1996, p. 200-228. 5, 8, 13, 19, 39, 40, 49,
56, 65
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perbolic conservation laws. ICASE Report, Hampton, no. 97-65, 1997. 12, 32, 35,
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[6] LEVEQUE, R. J. Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser, 2 edition,
Basel, 1992, 232 p. 5, 34
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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tional harmonic analysis, v7, 1999, p. 101-135. 19
[12] KAMI, S.; KURGANOV, A.; PETROVA, G. A smoothness indicator for adaptative
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putational Physics, [S.l.], v227, 2008, p. 3191-3211. 9, 114
132