Condução de Experimentos Computacionais com Métodos ...

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Métodos Heurísticos CAPÍTULO 2 Uma grande variedade de problemas de otimização pertence à classe de problemas NP-Difíceis, isto é, não se sabe se existem algoritmos de complexidade de tempo polinomial para solucioná-los. Desta maneira, torna-se impraticável solucionar muitos problemas de forma exata, já que em muitos casos o tempo disponível para solucioná- los é razoavelmente curto. Por isto, existem algoritmos que não garantem uma solução ótima, porém, em geral dão uma solução “suficientemente boa”. Dessa forma, existem três possibilidades para se resolver tais problemas na prática [77]: 1. Algoritmos super-polinomiais: Em alguns casos existem algoritmos que são super-polinomiais e executam razoavelmente rápido na prática. Por exemplo, o Pro- blema da Mochila pertence à classe NP-Difícil mas é considerado fácil, já que existe um algoritmo “pseudo-polinomial” para este problema. Dentre as técnicas utiliza- das destacam-se o branch-and-bound e programação dinâmica. Um problema dessa abordagem é que poucos problemas são susceptíveis a essas técnicas. 2. Análise probabilística de heurísticas: Outra possibilidade é deixar a exigência de que uma solução para um problema atenda igualmente todas as restrições do mesmo. Na análise probabilística são assumidas hipóteses sobre a distribuição probabilística das entradas do algoritmo, e são derivados resultados analíticos sobre a saída do algoritmo. 3. Algoritmos de aproximação: Para diversos problemas, é possível relaxar o requi- sito de sempre encontrar uma solução ótima. Parece razoável implementar algoritmos que são realmente eficientes para resolver problemas NP-difíceis, com um custo de prover soluções que em todos os casos é garantida uma solução subótima. Em relação à essas três possibilidades, será abordada neste trabalho somente a segunda. O objetivo deste capítulo é oferecer uma revisão dos principais métodos heurísticos e metaheurísticos citados na literatura. Para isso, serão definidos algumas conceitos importantes relacionados à otimização descritos na Seção 2.1, definição de heurística e métodos na Seção 2.2, definição de metaheurística e métodos meta-heurísticos mais utilizados na Seção 2.3.
2.1 Definições Preliminares 20 2.1 Definições Preliminares Segundo Papadimitriou e Steiglitz [85], muitos problemas, tanto de interesse teó- rico quanto prático, preocupam-se com a escolha da “melhor” configuração ou conjunto de parâmetros para alcançar algum objetivo. Durante as últimas décadas surgiu uma hierarquia de problemas, juntamente com um conjunto de técnicas para resolução desses. De acordo com essa hierarquia, a classe que abrange a maior parte dos problemas é chamada de problemas de programação não linear, é definida da seguinte maneira: Encontrar x tal que: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ minimize f (x), sujeito a onde f , gi e h j são funções de R n em R. gi(x) ≥ 0, para i = 1,...,m, h j(x) = 0, para j = 1,..., p, Quando f é uma função convexa, gi é uma função côncava e h j é uma função linear, o problema é chamado de problema de programação convexa. Quando f , gi e h j são lineares, o problema é chamado de problema de programação linear. Nessa última classe de problemas, esses são chamados de combinatoriais, pois possuem um conjunto de possíveis soluções definidas por um conjunto de vértices de um poliedro definido por restrições lineares. A Figura 2.1 mostra de uma maneira simples como se relacionam as classes de problemas. A maior classe equivale aos problemas de programação não-linear. Já os problemas de programação convexa, programação inteira e linear são subconjuntos da classe de problemas de programação não-linear. A classe de problemas de programação linear é um subconjunto da classe de problemas convexos. Entre as classes de problemas de programação convexa e problemas de programação inteira estão alguns problemas como Fluxo em Redes e Matching.
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