11.05.2013 Views

Lajes Vigadas - Universidade Fernando Pessoa

Lajes Vigadas - Universidade Fernando Pessoa

Lajes Vigadas - Universidade Fernando Pessoa

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

Betão Armado<br />

LAJES VIGADAS<br />

joão guerra martins<br />

série ESTRUTURAS<br />

2.ª edição / 2009<br />

(Provisório)


Prefácio<br />

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de<br />

Engenharia Civil da <strong>Universidade</strong> <strong>Fernando</strong> <strong>Pessoa</strong>, vindo a ser gradualmente melhorado e<br />

actualizado.<br />

Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto,<br />

completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno<br />

de engenharia civil, quer para a prática do projecto de estruturas correntes.<br />

Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer<br />

à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se<br />

ao que se pensa omitido.<br />

Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos<br />

que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.<br />

João Guerra Martins


LAJES VIGADAS<br />

Introdução – <strong>Lajes</strong> Tipos e classificações<br />

A classificação das lajes pode ser apresentada de diferentes formas. Uma sistematização<br />

possível é indicada de seguida:<br />

1. Quanto ao tipo de apoio:<br />

a) <strong>Lajes</strong> vigadas - apoiadas em vigas;<br />

b) <strong>Lajes</strong> fungiformes - apoiadas directamente em pilares - sem ou com capitel;<br />

c) Apoiadas numa superfície deformável - lajes de pavimento apoiadas no solo de<br />

fundação.<br />

2. Quanto à constituição:<br />

a) <strong>Lajes</strong> só em betão armado:<br />

• Maciças - com uma espessura constante ou de variação contínua;<br />

• Aligeiradas ou nervuradas - com um peso inferior ao de uma laje maciça com a<br />

mesma espessura. A redução de peso é obtida através da introdução de blocos de<br />

cofragem recuperáveis ou perdidos, que formam nervuras dispostas numa só<br />

direcção ou em duas direcções perpendiculares, solidarizadas por uma lajeta de<br />

compressão. Quando recuperáveis são, em geral, de plástico colocando-se junto<br />

à face inferior da laje e dando origem a uma superfície inferior descontínua. Os<br />

blocos perdidos (de argamassa de cimento, cerâmicos, de poliestireno expandido<br />

ou de cartão) se forem colocados no interior da laje produzem uma superfície<br />

inferior contínua em betão. Durante a betonagem são requeridos cuidados<br />

especiais na execução da laje, de modo a impedir que a posição dos blocos e das<br />

1


LAJES VIGADAS<br />

armaduras não se modifique, bem como a garantir que só espaço entre os<br />

blocos e a cofragem seja completamente preenchido pelo betão. Os blocos de<br />

argamassa de cimento, ou cerâmicos, podem também ser colocados junto da face<br />

inferior, dando origem a uma superfície inferior lisa mas não homogénea;<br />

b) <strong>Lajes</strong> de vigotas pré-esforçadas - a laje é constituída por vigotas pré-esforçadas<br />

nas quais se apoiam blocos de cofragem (abobadilhas ou "tijoleiras") cerâmicos<br />

ou de argamassa de cimento, os quais são solidarizados por uma lajeta de betão;<br />

c) <strong>Lajes</strong> mistas - constituídas por perfis metálicos, em geral de secção I, que<br />

suportam as forças de tracção, ligados através de conectores metálicos a uma<br />

lajeta de betão que absorve as forças de compressão.<br />

3. Quanto ao modo de flexão dominante:<br />

a) <strong>Lajes</strong> armadas numa direcção - os esforços nessa direcção são bastante<br />

superiores aos da direcção perpendicular;<br />

b) <strong>Lajes</strong> armadas em duas direcções ou em cruz - os esforços existentes nas duas<br />

direcções principais de flexão são da mesma ordem de grandeza.<br />

4. Quanto à caracterização do comportamento:<br />

a) <strong>Lajes</strong> finas - quando a espessura é inferior a 1 /10 do vão. No cálculo deste tipo<br />

de lajes, que correspondem às situações correntes, é possível desprezar a<br />

contribuição do esforço transverso para a deformação da laje e admitir a hipótese<br />

de as fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e<br />

perpendiculares à superfície média deformada;<br />

b) <strong>Lajes</strong> espessas - não são válidas as simplificações atrás apresentadas;<br />

2


LAJES VIGADAS<br />

c) <strong>Lajes</strong> isotrópicas - formadas por material homogéneo e de comportamento<br />

elástico linear. Devido à sua geometria apresentam um comportamento<br />

ortotrópico. Por ex: lajes nervuradas.<br />

5. Quanto ao modo de fabrico:<br />

a) Betonadas no local;<br />

b) Pré-fabricação total: a laje é colocada sobre vigas sendo solidarizada localmente;<br />

c) Pré-fabricação parcial: só uma parte da laje é pré-fabricada (normalmente a<br />

inferior e já com armaduras), sendo o volume restante betonado localmente e<br />

constituindo a pré-fabricada a cofragem de oportunidade.<br />

3


LAJES VIGADAS<br />

CAPÍTULO 1 – ANÁLISE DO REBAP<br />

1. Disposições Gerais<br />

1.1. Critérios Gerais de Segurança<br />

Verificação da segurança<br />

A verificação da segurança das estruturas de betão armado e pré-esforçado deve ser<br />

efectuada de acordo com os critérios gerais estabelecidos no RSA e tendo em conta as<br />

disposições do REBAP.<br />

O RSA quantifica as acções e estabelece os critérios gerais a ter em conta na verificação<br />

da segurança das estruturas, independentemente dos materiais que as constituem. Para as<br />

estruturas de betão armado e pré-esforçado será, portanto, necessário objectivar os diversos<br />

parâmetros específicos destes materiais, que interessam ao dimensionamento. Haverá, assim,<br />

que definir os estados limites, os coeficientes de segurança, certas acções específicas e ainda<br />

as propriedades dos materiais, as teorias de comportamento estrutural, as disposições<br />

construtivas e as regras de execução.<br />

Note-se que as teorias de comportamento podem ser complementadas, em certos casos,<br />

substituídas por ensaios de modelos ou de protótipos. No caso da aplicação de tais processos<br />

experimentais se limitar à determinação dos esforços em regime linear, não se levantam em<br />

geral dificuldades quanto à sua interpretação no quadro dos critérios de segurança adoptados.<br />

No caso, porém, de esses processos serem conduzidos com vista à determinação directa de<br />

capacidades resistentes dos elementos ou das estruturas, o problema da sua interpretação é<br />

delicado, pois os valores assim determinados não podem ser considerados como valores de<br />

cálculo. Neste caso há a necessidade de quantificar devidamente os coeficientes de segurança<br />

a adoptar, de modo a conseguir neste dimensionamento segurança equivalente à que se<br />

obteria utilizando os processos analíticos.<br />

4


1.1.1. Estados limites<br />

LAJES VIGADAS<br />

Um estado limite é um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica total<br />

ou parcialmente prejudicada na sua capacidade para desempenhar as funções que lhe são<br />

atribuídas.<br />

O REBAP classificam os estados limites em 2 tipos:<br />

• Estados limites últimos;<br />

• Estados limites de utilização.<br />

Os Estados Limites Últimos são os de cuja ocorrência resultam prejuízos à estrutura.<br />

Podem classificar-se em:<br />

• Estados limites últimos de resistência – Rotura, ou deformação excessiva, em<br />

secções dos elementos da estrutura, envolvendo ou não fadiga;<br />

• Estados limites últimos de encurvadura – Instabilidade de elementos da estrutura<br />

ou do seu conjunto;<br />

• Estados limites últimos de equilíbrio – Perda de equilíbrio de parte da estrutura<br />

ou do seu conjunto (corpo rígido).<br />

Os Estados Limites de Utilização são os de cuja ocorrência resultam prejuízos pouco<br />

severos.<br />

Podem classificar-se quanto ao tipo em:<br />

• Estados limites de fendilhação:<br />

- Estado limite de descompressão - anulamento da tensão normal de compressão<br />

devida ao pré-esforço, e a outros, esforços normais de compressão, numa fibra<br />

especificada da secção, sendo em geral, que a fibra em causa é a extrema que, sem<br />

considerar a actuação do pré-esforço, ficaria mais traccionada (ou menos<br />

comprimida) por acção dos restantes esforços;<br />

- Estado limite de largura de fendas - ocorrência de fendas cujas larguras, a um<br />

dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em<br />

geral, o nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação<br />

de acções em consideração, ficam mais traccionadas.<br />

5


LAJES VIGADAS<br />

• Estados limites de deformação a considerar são:<br />

- Estado limite de deformação - correspondem à ocorrência de deformações na<br />

estrutura que prejudiquem o desempenho das funções que lhe são atribuídas.<br />

As verificações dos estados limites de utilização são necessárias por razões distintas<br />

das regras de verificação dos estados limites últimos. Para estes, há que garantir à estrutura<br />

uma dada capacidade resistente, com determinados coeficientes de segurança, em relação a<br />

possíveis situações de rotura ou danos excessivos. Pelo contrário, para os estados limites de<br />

utilização o objectivo é a garantia de um funcionamento adequado para as funções previstas e<br />

durante o período de vida da estrutura.<br />

A definição do que é entendido por “bom” ou “aceitável” como comportamento nas<br />

condições normais de serviço é, em muitas situações, muito subjectiva.<br />

1.2. Acções<br />

As acções que actuam sobre uma estrutura podem ser classificadas em:<br />

• Permanentes – praticamente de valor constante durante toda a vida da estrutura.<br />

Como exemplo temos o peso próprio da estrutura, equipamentos fixos, impulsos<br />

de terras, retracção, fluência e pré-esforço;<br />

• Variáveis – variam durante a vida da estrutura. Como exemplo temos as<br />

sobrecargas, vento, sismos e variações de temperatura;<br />

• Acidentais – muita fraca probabilidade de ocorrência durante a vida da<br />

estrutura. Como exemplo temos as explosões, os choques e os incêndios (em<br />

alguns regulamentos o sismo é considerado uma acção de acidente).<br />

A quantificação das acções faz-se pelos seguintes valores:<br />

• Fk – Valores característicos das acções<br />

• ΨFk – Valores reduzidos para efeitos de combinações:<br />

Ψ0 – Valor de combinação;<br />

Ψ1 – Valor frequente;<br />

Ψ2 – Valor quase permanente.<br />

6


Fm – Valores médios<br />

Fn – Valores nominais<br />

Fserv – Valor de serviço<br />

1.2.1. Combinações de Acções<br />

LAJES VIGADAS<br />

Para a verificação da segurança em relação aos diferentes estados limites devem ser<br />

consideradas as combinações das acções cuja actuação simultânea seja plausível e que<br />

produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis.<br />

Não se considera plausível a actuação simultânea no mesmo elemento das sobrecargas<br />

que sejam fundamentalmente devidas à concentração de pessoas (ou das sobrecargas em<br />

coberturas ordinárias) com as acções da neve ou do vento.<br />

As acções permanentes devem figurar em todas as combinações e ser tomadas com os<br />

seus valores característicos superiores ou inferiores, conforme for mais desfavorável; as<br />

acções variáveis apenas devem figurar nas combinações quando os seus efeitos forem<br />

desfavoráveis para a estrutura.<br />

Em relação às combinações de acções, o REBAP, para efeitos de verificação da<br />

segurança, definem as seguintes combinações:<br />

a) Estados limites últimos<br />

• Combinações Fundamentais onde intervêm:<br />

Acções Permanentes<br />

Acções Variáveis<br />

• Combinações Acidentais onde intervêm:<br />

Acções Permanentes<br />

Acções Variáveis<br />

7


Acção Acidental<br />

b) Estados limites de utilização<br />

LAJES VIGADAS<br />

• Combinações Raras onde intervêm:<br />

Os estados limites de muita curta duração;<br />

• Combinações Frequentes onde intervêm:<br />

Os estados limites de curta duração;<br />

• Combinações Quase Permanentes onde intervêm:<br />

Os estados limites de longa duração.<br />

1. 3 - Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos Resistência<br />

1. 3.1- Regras de Verificação da Segurança em termos de esforços<br />

Segundo o REBAP, a verificação da segurança em relação aos estados limites<br />

últimos de resistência que não envolvem fadiga deve, em geral, ser feita em termos de<br />

esforços. No caso das lajes, quando seja utilizada a análise plástica (teoria das linhas de<br />

rotura), a verificação da segurança deve, em princípio, ser formulada em termos de acções.<br />

A verificação da segurança em termos de esforços consiste em satisfazer a seguinte<br />

condição:<br />

em que :<br />

Sd ≤ Rd<br />

Sd - é o valor de cálculo do esforço actuante ;<br />

Rd - é o valor de cálculo do esforço resistente.<br />

A verificação de segurança aos Estados limites últimos deve ser feita para dois tipos<br />

de combinações:<br />

8


característico;<br />

• Combinações Fundamentais<br />

Em geral :<br />

LAJES VIGADAS<br />

Sd = Σ γgi SGik + γq [SQ1k + Σ ψ0j SQjk]<br />

No caso de a acção variável de base ser a acção sísmica:<br />

Sd = Σ SGik + γq SEk + Σ ψ2j SQjk , se Q1 é acção sísmica<br />

• Combinações Acidentais<br />

Sd = Σ SGik + SFa + Σ ψ2j SQjk<br />

em que:<br />

SGik – esforço resultante de uma acção permanente, tomada com o seu valor<br />

SQ1k – esforço resultante de uma acção variável considerada como acção de base da<br />

combinação, tomada com o seu valor característico (SEk no caso da acção sísmica);<br />

SQjk – esforço resultante de uma acção variável distinta da acção de base, tomada<br />

com o seu valor característico;<br />

rigor;<br />

SFa – esforço resultante de uma acção acidente, tomada com o seu valor nominal;<br />

γgi – coeficiente de segurança relativo às acções permanentes;<br />

γq – coeficiente de segurança relativo às acções variáveis;<br />

ψ0j , ψ2j – coeficientes ψ correspondentes à acção variável de ordem j;<br />

γg = 1,5 ou 1,2 no caso da acção permanente em causa ter efeito desfavorável<br />

ou<br />

γg = 1,35 para as acções permanentes cujos valores possam ser previstas com muito<br />

γq = 1,5 para acções variáveis;<br />

Nota: Se uma acção variável é favorável, ela não figura na combinação.<br />

9


LAJES VIGADAS<br />

Para o cálculo do esforço resistente Rd adoptam-se coeficientes minorativos das<br />

propriedades dos materiais com os seguintes valores:<br />

consideração:<br />

γc = 1,58 ( betão)<br />

γs = 1,15 (aço)<br />

Os coeficientes minorativos das propriedades dos materiais, γm, pretendem ter em<br />

• Possibilidade de desvio desfavorável das propriedades dos materiais em relação<br />

ao valor característico;<br />

• Diferença de resistência do material na estrutura comparada com a resistência<br />

nos provetes de ensaio;<br />

• Redução da resistência do material resultante do processo construtivo;<br />

• Imperfeições na construção.<br />

Se para o cálculo dos esforços resistentes e relações constitutivas for utilizada uma<br />

análise não linear deverão adoptar-se coeficientes minorativos γm = 1,0. Só na secção crítica o<br />

valor dos esforços últimos deverá ser obtido com os valores de γc = 1,5 e γs = 1,15.<br />

No caso das lajes, quando seja utilizada análise plástica, a verificação da segurança<br />

[2] consiste em satisfazer a condição de o valor de cálculo das acções ser inferior ao valor de<br />

cálculo da resistência expressa em termos de acções.<br />

Contudo, segundo o REBAP, devem ser respeitadas as condições seguintes:<br />

a) Em qualquer ponto e em qualquer direcção, a percentagem de armadura de<br />

tracção da laje não deve exceder a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25,<br />

sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção;<br />

b) Se a determinação for feita por um método estático, a distribuição de momentos<br />

considerada não deve diferir sensivelmente da distribuição de momentos<br />

elástica; os momentos nos apoios devem ser, pelo menos, metade dos valores<br />

dos momentos elásticos, não podendo também ultrapassá-los em mais de 25%;<br />

c) Se a determinação for feita por um método cinemático, a relação entre os<br />

momentos no apoio e no vão de lajes encastradas ou contínuas deve apresentar,<br />

em módulo, um valor compreendido entre 0,5 e 2,0.<br />

10


1.3.2 - Esforços Actuantes<br />

LAJES VIGADAS<br />

O REBAP, através do artigo 50º, estabelece que a determinação dos esforços<br />

actuantes nas lajes deve ser feita tendo em conta as condições de equilíbrio e as de<br />

compatibilidade das deformações, podendo, em geral, admitir-se que estas se produzem em<br />

regime de elasticidade perfeita e sem ter em conta a presença das armaduras.<br />

No caso de lajes contínuas pode proceder-se a uma redistribuição dos esforços<br />

obtidos, na hipótese de comportamento elástico perfeito, aumentando ou diminuindo, no<br />

máximo de 25%, os momentos nos apoios e numa largura apropriada, desde que os<br />

momentos médios no vão, interessando essa mesma largura, sejam ajustados de modo a<br />

satisfazer as condições de equilíbrio.<br />

Este artigo visa fundamentalmente as lajes maciças; o critérios expostos podem no<br />

entanto ser também aplicados às lajes aligeiradas, desde que o seu comportamento global seja<br />

sensivelmente análogo ao daquelas lajes.<br />

1.3.3 - Esforços Resistentes<br />

1.3.3.1 - Esforços Normais e de Flexão<br />

Segundo o REBAP, a determinação do valor de cálculo dos esforços resistentes das<br />

secções de elementos sujeitos a tracção, compressão e flexão simples ou, ainda, a flexão<br />

composta ou desviada deve ser feita admitindo as seguintes hipóteses:<br />

• As secções mantêm-se planas na deformação;<br />

• O betão não resiste à tracção;<br />

• As relações tensões - extensões de cálculo a adoptar para o betão e para as<br />

armaduras ordinárias são as indicadas nas figuras 1.1 e 1.2, respectivamente;<br />

• A extensão máxima de encurtamento no betão é limitada a 3,5X10 -3 , excepto<br />

quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão, situação em que tal<br />

valor limite variará gradualmente entre 3,5X10 -3 e 2X10 -3 , correspondendo este<br />

11


Tensões<br />

0,85 fcd<br />

LAJES VIGADAS<br />

último valor ao caso em que as extensões, logo as supressões, são uniformes<br />

em toda a secção;<br />

• A extensão máxima de alongamento das armaduras é limitada a 10X10 -3 .<br />

σc<br />

s<br />

BETÃO<br />

Extensões<br />

12<br />

Classe de<br />

Betão<br />

Fig. 1.1 – Relação Tensão–Extensão do Betão<br />

AÇO<br />

εc<br />

0,85 fcd<br />

MPa


Tensões<br />

σs<br />

α<br />

1.3.3.2 - Esforço Transverso<br />

LAJES VIGADAS<br />

13<br />

α<br />

Extensões<br />

Fig. 1.2 – Relação Tensão–Extensão do aço<br />

Áços<br />

fsyd<br />

MPa<br />

Com base no artigo 53º do REBAP, a determinação do valor de cálculo do esforço<br />

transverso resistente de elementos sujeitos a flexão simples ou composta (também aplicável a<br />

lajes) deve ser efectuada com base na teoria da treliça de Morsch, convenientemente<br />

corrigida.<br />

Esta teoria pressupõe a possibilidade de formação de, pelo menos, uma treliça de<br />

banzos paralelos e com bielas comprimidas de betão inclinadas a 45º, o que obriga a que o<br />

espaçamento das armaduras de esforço transverso seja, no máximo, 0,9 d (1 + cotg α),<br />

condição esta que corresponde a que qualquer possível fenda a 45º seja atravessada por<br />

armadura. Daqui resulta que, para estribos verticais, deverá ser s


LAJES VIGADAS<br />

em que :<br />

Vcd - é o termo corrector da teoria de Morsch :<br />

Vwd - traduz a resistência das armaduras de esforço transverso segundo a<br />

mesma teoria.<br />

O valor Vcd deve ser determinado do modo seguinte:<br />

a) Em geral:<br />

em que:<br />

Vcd = τ1 bw d<br />

τ1 - é a tensão cujo valor é dado no quadro 1.1;<br />

bw - é a largura da alma da secção; no caso de esta não ser constante, dever-se-á<br />

tomar para valor de bw a menor largura existente numa altura de ¾ da altura útil da secção,<br />

contada a partir da armadura longitudinal de tracção;<br />

d - é altura útil da secção.<br />

Nas zonas junto dos apoios e numa distância igual a 2 d, contada a partir do eixo do<br />

apoio, o valor de Vcd a considerar pode obter-se a partir do valor definido anteriormente,<br />

multiplicando-o pelo factor:<br />

em que:<br />

Vsd<br />

Vsd,<br />

red<br />

Vsd - é o valor de cálculo do esforço transverso actuante;<br />

Vsd,red - é o valor de cálculo do esforço transverso reduzido, considerando que, na<br />

zona em causa, as cargas são minoradas na proporção de a/2d, sendo a a distância<br />

de cada carga ao eixo de apoio.<br />

14


LAJES VIGADAS<br />

QUADRO 1.1<br />

Esforço transverso<br />

Valores da tensão τ1<br />

15<br />

(MPa)<br />

Classe do<br />

Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55<br />

τ1<br />

0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15<br />

Esta correcção, que tem interesse no caso da existência de fortes cargas<br />

concentradas, só pode ser utilizada se as cargas são aplicadas de modo a formar biela de<br />

compressão diagonal com a reacção de apoio. Além disso, no caso de apoios extremos com<br />

liberdade de rotação (ou fraco grau de encastramento), a armadura longitudinal de tracção<br />

necessária na secção de aplicação das cargas deve ser prolongada até ao apoio e<br />

convenientemente amarrada. No caso de apoios intermédios de elementos contínuos, a<br />

armadura de tracção necessária na secção do apoio deve ser prolongada até à secção de<br />

aplicação das cargas e amarrada para além dessa secção.<br />

b) No caso de lajes sem armadura de esforço transverso, os valores de Vcd<br />

devem ser obtidos multiplicando os valores determinados segundo a alínea a) pelo factor:<br />

0,6 (1,6-d)<br />

em que d representa a altura útil, expressa em metros, não devendo, em qualquer caso, este<br />

factor ser considerado com valor inferior a 0,6.<br />

c) No caso de elementos sujeitos a esforços de tracção significativos o termo Vcd<br />

deve ser tomado igual a 0, já que não há garantias do contributo das faces de fissura de betão<br />

para a absorção desse esforço.<br />

O valor de Vwd deve ser determinado pela expressão:


em que :<br />

d - é a altura útil da secção;<br />

LAJES VIGADAS<br />

Asw<br />

Vwd = 0,9 d ( ) fsyd ( 1+ cotgα) sinα<br />

S<br />

Asw - é a área da secção da armadura de esforço transverso (no caso de estribos,<br />

compreende os vários ramos do estribo);<br />

S - é o espaçamento das armaduras de esforço transverso;<br />

fsyd - é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de<br />

proporcionalidade a 0,2% do aço das armaduras de esforço transverso;<br />

α- é o ângulo formado pelas armaduras de esforço transverso com o eixo do<br />

elemento (45º≤α≤90º).<br />

O valor de cálculo do esforço transverso resistente, determinado de acordo com o<br />

descrito anteriormente, deve satisfazer a seguinte condição:<br />

VRd ≤ τ2 bw d<br />

em que τ2 é uma tensão cujo valor é indicado no quadro 1.2<br />

QUADRO 1.2<br />

Esforço transverso<br />

Valores da tensão τ2<br />

16<br />

(MPa)<br />

Classe do<br />

Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55<br />

τ2<br />

2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0


LAJES VIGADAS<br />

Para o cômputo do valor de bw, o caso da alma da secção conter, a dado nível,<br />

varões ou cabos com diâmetro superior a um oitavo da largura da secção a esse nível, deve<br />

considerar-se a largura, a esse nível, reduzida de metade da soma dos diâmetros de tais<br />

armaduras.<br />

Os resultados experimentais [2] mostram que a utilização de estribos (verticais ou<br />

inclinados) confere aos elementos melhor comportamento, quer em serviço quer na rotura, do<br />

que o emprego de varões inclinados. Tal facto é principalmente devido a que os estribos<br />

permitem melhor distribuição da armadura de esforço transverso e asseguram a cintagem e a<br />

ligação eficaz da zona comprimida e da zona traccionada do elemento, que constituem os<br />

banzos da treliça de Morsch. Devem, portanto, utilizar-se preferencialmente estribos e, se for<br />

necessário empregar varões inclinados, é sempre conveniente absorver por estribos uma<br />

fracção apreciável do esforço transverso atribuído às armaduras.<br />

1.3.3.3 - Punçoamento<br />

O punçoamento é especialmente relevante nas lajes em que actuem cargas<br />

concentradas de valor elevado.<br />

O estado último de punçoamento está associado à formação de um tronco de cone<br />

[8] que tem tendência para desligar-se do resto da laje (figura 1.3) e resulta da interacção de<br />

efeitos de corte e flexão na zona da laje próxima do pilar. Trata-se de um mecanismo de<br />

colapso local associado a uma rotura frágil (sem aviso prévio notório) e que pode gerar um<br />

colapso progressivo da estrutura, pois a rotura junto a um pilar implica um incremento da<br />

carga em pilares vizinhos.<br />

Este tipo de rotura tem-se verificado em algumas construções, em especial devido à<br />

acção sísmica, tendo como origem cálculos incorrectos ou inexistentes, má betonagem e<br />

realização de aberturas não consideradas em projecto.<br />

17


Superficie de<br />

LAJES VIGADAS<br />

PILAR<br />

LAJE LAJE<br />

18<br />

Fendas de flexão que<br />

surgem para um nivel de<br />

carga baixa<br />

Fig. 1.3 – Mecanismo de rotura por punçoamento de um pavimento de laje<br />

O artigo 54º do REBAP estabelece que a determinação do valor de cálculo do<br />

esforço resistente de punçoamento de lajes sujeitas a forças concentradas pode ser efectuada<br />

de acordo com as regras a seguir enunciadas, desde que: 1) as forças não actuem em zonas da<br />

laje em que o esforço transverso, devido a outras acções tenha valor importante; 2) nem<br />

actuem na proximidade de outras forças concentradas; 3) desde que a área carregada não<br />

diste menos de 5 d de um bordo livre (ou do bordo de uma abertura), sendo d a altura útil da<br />

laje.<br />

O valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento, VRd, no caso de não<br />

existirem armaduras específicas para resistir a este esforço, é dado por:<br />

em que:<br />

sendo:<br />

VRd = vrd μ<br />

vrd = η σ1 d<br />

vrd- o valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento por unidade de<br />

comprimento do contorno crítico de punçoamento;


LAJES VIGADAS<br />

μ- é o perímetro do contorno crítico de punçoamento, definido por uma linha fechada<br />

envolvendo a área carregada a uma distância não inferior a d/2 e cujo o perímetro é<br />

mínimo;<br />

η -é o coeficiente cujo o valor é dado por 1,6 – d, com d expresso em metros, e<br />

que não deve ser tomado inferior à unidade;<br />

σ1 - é a tensão cujo valor é indicado no quadro 1.1.<br />

No caso da existência de armaduras específicas de punçoamento, o valor de<br />

cálculo do esforço resistente poderá considerar-se igual a quatro terços da componente,<br />

normal ao plano da laje, da força resistente de cálculo da armadura (correspondente à tensão<br />

fsyd, mas não excedendo 350 MPa). Porém, em caso algum, o valor do esforço resistente<br />

assim obtido poderá exceder 1,6 vezes o valor obtido pelas expressões anteriores.<br />

A verificação da segurança ao punçoamento consistirá em satisfazer, ao longo do<br />

contorno crítico, a condição VRd ≥ Vsd, em que Vsd – valor de cálculo do esforço actuante de<br />

punçoamento por unidade de comprimento do contorno crítico – deve ser determinado<br />

atendendo às indicações que se seguem.<br />

No caso da força de punçoamento vsd actuar sem excentricidade relativamente ao<br />

baricentro da área carregada, vsd pode ser considerado constante ao longo do contorno crítico<br />

com o valor:<br />

Vsd<br />

vsd =<br />

μ<br />

em que μ é o perímetro daquele contorno.<br />

Se, porém , a força vsd actuar excentricamente, o valor de vsd é variável ao longo do<br />

contorno crítico de punçoamento, podendo considerar-se os seguintes valores para a<br />

verificação da segurança:<br />

Área carregada de contorno circular (ou assimilável):<br />

Vsd 2 e<br />

vsd = (1+ )<br />

μ d0<br />

19


y);<br />

LAJES VIGADAS<br />

Área carregada de contorno rectangular:<br />

Vsd<br />

vsd = (1+1,5 (<br />

μ<br />

20<br />

ex<br />

+ ey<br />

))<br />

( bxby)<br />

Nestas expressões os símbolos têm o seguinte significado:<br />

e – excentricidade de vsd (ex e ey são as componentes segundo as direcções x e<br />

d0 – diâmetro do contorno crítico (soma da altura útil com o diâmetro da área<br />

carregada);<br />

bx, by – dimensões do contorno critico medidas segundo as direcções x e y paralelas<br />

aos lados da área carregada.<br />

Chama-se ainda a atenção para que só haverá em geral que considerar o problema<br />

do punçoamento nos seguintes casos:<br />

• Se a área carregada é circular, o seu diâmetro não excede 3,5 d;<br />

• Se a área carregada é rectangular, o seu perímetro não excede 11 d, nem excede 2<br />

vezes a relação entre o seu comprimento e a sua largura;<br />

• Se a área carregada tem outras formas, as suas dimensões não excedem limites<br />

obtidos por analogia com os casos anteriores.<br />

Fora dos limites indicados haverá em geral que considerar, ao longo do contorno<br />

crítico, zonas em que a verificação da segurança deve ser feita pelas regras correspondentes<br />

ao punçoamento e zonas em que tal verificação deve seguir as regras especificadas para o<br />

esforço transverso. Assim, por exemplo, no caso da área carregada ter forma rectangular<br />

muito alongada, pode considerar-se que as zonas de punçoamento se situam apenas junto aos<br />

cantos, interessando troços de contorno crítico com um comprimento total que não deverá ser<br />

superior a 11 d nem a 6 a + 3 d, sendo a a menor dimensão da área carregada.


d/2<br />

LAJES VIGADAS<br />

d/2 d/2 d/2<br />

Areas carregadas correntes<br />

y<br />

Areas rectangulares alongadas<br />

21<br />

a<br />

Punçoamento<br />

x Esforço transverso simples<br />

Fig. 1.4 – Contornos críticos de áreas carregadas correntes e de áreas rectangulares<br />

alongadas<br />

Por outro lado, a actuação de forças concentradas em zonas próximas de bordos<br />

livres ou de aberturas deve ser cuidadosamente analisada, considerando contornos críticos de<br />

punçoamento.<br />

O método utilizado é o método da superfície crítica sendo a verificação da<br />

segurança estabelecida por Vsd ≤ VRd, com os esforços actuantes e os esforços resistentes<br />

definidos na superfície crítica de punçoamento.<br />

As diferenças mais salientes que se verificam em relação às disposições do REBAP<br />

surgem na definição da superfície crítica, à distância de 1,5 d das faces do pilar, e também<br />

nos valores da tensão de referência para a determinação dos esforços resistentes.<br />

Quanto ao problema do punçoamento excêntrico, de difícil abordagem, verifica-se<br />

que a aplicação do articulado do REBAP aponta para resultados conservadores sendo, no<br />

entanto, omisso nas disposições de armadura para as situações de pilares de canto ou de<br />

bordo.<br />

b<br />

a<br />

x ≤ ; ≤ b; ≤ 1,4 d<br />

2<br />

≤ b ≤ 14d


LAJES VIGADAS<br />

1.4 - Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização<br />

Segundo o REBAP (artigo 65º), para verificação aos estados limites de utilização<br />

(fendilhação e deformação) interessa considerar, de acordo com o RSA [1], estados limites<br />

de muita curta duração, de curta duração e de longa duração. A estes tipos de estados limites<br />

correspondem, respectivamente, os seguintes tipos de combinações de acções: combinações<br />

raras, combinações frequentes e combinações quase-permanentes.<br />

A verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização deve em<br />

geral, ser efectuada em termos dos parâmetros que definem esses estados limites, devendo os<br />

valores atribuídos a tais parâmetros ser iguais ou superiores aos valores que eles assumem<br />

devido às acções, combinadas e quantificadas.<br />

Observe-se que, de acordo com o RSA [1], para os estados limites de utilização os<br />

coeficientes de segurança γf, relativos às acções (permanentes e variáveis), e os coeficientes<br />

de segurança γm, relativos às propriedades dos materiais, devem ser considerados iguais à<br />

unidade.<br />

1.4.1- Estados Limites de Fendilhação<br />

Para a escolha dos estados limites de fendilhação, em relação aos quais há que<br />

verificar a segurança, interessa considerar a agressividade do ambiente e a sensibilidade das<br />

armaduras à corrosão.<br />

O REBAP, em relação à agressividade, dá-nos três classificações possíveis:<br />

• Ambientes pouco agressivos: ambientes em que a humidade relativa é<br />

habitualmente baixa e em que não é de esperar a presença de agentes corrosivos<br />

(interiores de edifícios de habitação, de escritórios, etc);<br />

• Ambientes moderadamente agressivos: ambientes interiores em que a<br />

humidade relativa é habitualmente elevada ou em que é de esperar a presença<br />

temporária de agentes corrosivos; ambientes exteriores sem concentração<br />

especial de agentes corrosivos; águas e solos não especialmente agressivos;<br />

22


LAJES VIGADAS<br />

• Ambientes muito agressivos: ambientes com forte concentração habitual<br />

de agentes corrosivos; líquidos agressivos (águas muito puras, águas salinas,<br />

etc); solos especialmente agressivos.<br />

Do ponto de vista da sensibilidade das armaduras à corrosão [2], consideram-se,<br />

geralmente, como muito sensíveis à corrosão as armaduras com diâmetro inferior a 3 mm e,<br />

independentemente do diâmetro, as armaduras de aço endurecido a frio quando submetido<br />

permanentemente a tensões de tracção de valor superior a 400 Mpa.<br />

De uma maneira geral, podemos considerar como muito sensíveis as armaduras de<br />

pré-esforço e como pouco sensíveis as armaduras ordinárias.<br />

O artigo 68º do REBAP define os estados limites de fendilhação a considerar para<br />

assegurar a conveniente durabilidade das estruturas. Para tal, devem ser escolhidos em<br />

relação a cada tipo de combinações de acções (raras, frequentes ou quase-permanentes),<br />

tendo em conta a agressividade do ambiente e a sensibilidade das armaduras à corrosão.<br />

Os estados limites de fendilhação a considerar podem ser o estado limite de<br />

descompressão e o estado limite de largura de fendas.<br />

O estado limite de descompressão é o anulamento da tensão normal de compressão<br />

devida ao pré-esforço e a outros esforços normais de compressão numa fibra especificada da<br />

secção. Em geral, a fibra em causa é a fibra extrema, que, sem considerar a actuação do préesforço,<br />

ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços.<br />

O estado limite de largura de fendas é a ocorrência de fendas cujas larguras, a um<br />

dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em geral, o<br />

nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação de acções em<br />

consideração, ficam mais traccionadas.<br />

No nosso caso, na análise de armaduras ordinárias, o estado limite a considerar é o<br />

de largura de fendas, nas condições indicadas no quadro 1.3.<br />

A verificação da segurança em relação à fendilhação em estruturas de betão armado<br />

destina-se, fundamentalmente, a garantir que, durante a vida da obra, as armaduras não<br />

sofram corrosão que comprometa significativamente a sua resistência. Trata-se, portanto,<br />

basicamente, de um problema de durabilidade.<br />

Compreende-se por isso a dependência entre os estados limites de fendilhação a<br />

considerar e a agressividade do ambiente, a sensibilidade das armaduras à corrosão e a<br />

permanência das acções que provocam a fendilhação.<br />

23


LAJES VIGADAS<br />

Além da quantificação dos estados limites, outras exigências devem ser<br />

respeitadas, tais como a espessura dos recobrimentos e a composição do betão.<br />

O problema da fendilhação pode estar ligado apenas ao tipo de utilização que vai ser<br />

dada à estrutura. Note-se que os estados limites de fendilhação considerados dizem<br />

fundamentalmente respeito a fendilhação transversal às armaduras de elementos sujeitos a<br />

esforços normais e de flexão. A limitação da fendilhação de outros tipos, como, por exemplo,<br />

a devida a esforços transversos e de torção, e a que se desenvolve paralelamente às<br />

armaduras longitudinais, é assegurada por disposições construtivas apropriadas.<br />

As exigências estipuladas relativamente aos estados limites de fendilhação devem,<br />

obviamente, ser consideradas como mínimas, podendo justificar-se em muitos casos, até por<br />

razões de ordem económica, a imposição de exigências mais severas.<br />

Ambiente<br />

QUADRO 1.3<br />

Estados limites de fendilhação<br />

Armaduras ordinárias<br />

Combinações<br />

de acções<br />

Pouco agressivo Frequentes<br />

Moderadamente<br />

Agressivo<br />

Frequentes<br />

Muito agressivo Raras<br />

24<br />

Estado limite<br />

Largura de fendas,<br />

w = 0,3 mm<br />

Largura de fendas,<br />

w = 0,2 mm<br />

Largura de fendas,<br />

w = 0,1 mm<br />

A segurança em relação ao estado limite de largura de fendas considera-se satisfeita<br />

se o valor característico da largura das fendas, ao nível das armaduras mais traccionadas, não<br />

exceder o valor de w.


LAJES VIGADAS<br />

A determinação daquele valor característico, wk, pode ser efectuada pelas<br />

expressões seguintes:<br />

em que:<br />

wk = 1,7 wm<br />

wm = Sr m Es m<br />

wm -é o valor médio da largura das fendas;<br />

Sr m - é a distância média entre fendas;<br />

Esm - é extensão média da armadura.<br />

No caso de elementos sujeitos a tracção ou a flexão, simples ou composta, a<br />

distância média entre fendas e a extensão média da armadura podem ser calculadas do modo<br />

a seguir indicado:<br />

a) Distância média entre fendas:<br />

s<br />

Srm = 2 (c + ) + η1 η2<br />

10<br />

em que:<br />

c - é o recobrimento da armadura;<br />

em que:<br />

s - é o espaçamento dos varões da armadura e deve ser considerado a 15φ<br />

quando o espaçamento exceder este limite;<br />

η1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões,<br />

que deve ser tomado igual a 0,4 para varões de alta aderência e igual 0,8<br />

para varões de aderência normal. Contudo, para este efeito, os varões de aço<br />

A 400 EL e as redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser<br />

considerados como de alta aderência;<br />

η2 - é o coeficiente dependente da distribuição de tensões de tracção na<br />

secção, dado por:<br />

ε1<br />

+ ε<br />

η2 = 0,25 (<br />

2ε1<br />

ε1 e ε2 - são, respectivamente, as extensões aos níveis inferior e superior da área do<br />

betão envolvente da armadura, calculadas em secção fendilhada;<br />

25<br />

2<br />

)<br />

φ<br />

ρr


LAJES VIGADAS<br />

φ - é o diâmetro dos varões da armadura;<br />

As<br />

ρr - é a relação , em que As é a área da secção da armadura (excluindo as<br />

Ac,<br />

r<br />

armaduras pós-tensionadas);<br />

Ac,r - é a área da secção do betão traccionado envolvente da armadura, sendo a área<br />

Ac,r definida como o somatório das áreas de influência de cada varão e com lado igual, no<br />

máximo, a 15φ e deve ser limitada pelo contorno da secção, não devendo sobrepor-se às<br />

áreas de influência de varões contíguos e, além disso, as áreas de influência devem situar-se<br />

totalmente na zona traccionada da secção (figura 1.5).<br />

h-x<br />

7,5 Ø<br />

Ac1,r Ac2,r Ac3,r<br />

7,5 Ø 15 Ø<br />

7,5 Ø<br />

h - altura da secção<br />

x - profundidade da linha neutra<br />

calculada em secção fendilhada<br />

Fig. 1.5 – Área Ac,r<br />

b) Extensão média das armaduras traccionadas:<br />

em que:<br />

σ s<br />

εsm = ( ) [1 - β1β2 (<br />

Es<br />

σ<br />

26<br />

σ sr 2<br />

) ]<br />

s<br />

ε<br />

ε<br />

Ac,r = Σ Aci,r<br />

σs - é a tensão de tracção na armadura, correspondente ao esforço resultante da<br />

combinação de acções em causa, devendo esta tensão ser calculada em secção fendilhada;


LAJES VIGADAS<br />

Es - é o módulo de elasticidade do aço;<br />

σsr - é a tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada,<br />

correspondente ao esforço que provoca o início da fendilhação e este esforço é o que, em<br />

secção não fendilhada, conduz a uma tensão de tracção máxima no betão de valor fctm;<br />

β1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões da<br />

armadura, que deve ser tomado igual à unidade para varões de alta aderência e igual a 0,5<br />

para varões de aderência normal, contudo, para este efeito, os varões de aço A 400 EL e as<br />

redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser considerados como de alta aderência;<br />

β2- é o coeficiente dependente da permanência ou da repetição das acções, que deve<br />

ser tomado igual a 0,5 no caso de combinações frequentes ou quase permanentes e igual a<br />

1,0 no caso de combinações raras de acções.<br />

Considera-se satisfeita a verificação da segurança em relação ao estado limite de<br />

largura de fendas, quando se trate de armaduras ordinárias e de ambientes pouco agressivos<br />

ou moderadamente agressivos, desde que se cumpra o espaçamento máximo dos varões,<br />

conforme tabela do REBAP.<br />

Uma análise mais profunda das formulações apresentadas, encontra-se desenvolvido<br />

na sebenta de vigas, sendo a sua aplicação ao caso de lajes legitima.<br />

1.4.2 - Estados Limites de Deformação<br />

Com base no artigo 72º do REBAP, conseguimos definir os estados limites de<br />

deformação a considerar. Estes valores limites dependem do tipo de estrutura e das condições<br />

da sua utilização, devendo, portanto, ser convenientemente estabelecidos em cada caso.<br />

27


LAJES VIGADAS<br />

Nos casos correntes de lajes de edifícios, a verificação da segurança poderá<br />

limitar-se à consideração de um estado limite definido por uma flecha igual a 1/400 do vão<br />

para combinações frequentes. Porém, se a deformação do elemento afectar paredes<br />

divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja contrariada por medidas<br />

adequadas, aquela flecha não deve ser tomada com valor superior a 1,5 cm.<br />

Esta verificação encontra-se satisfeita, de uma maneira geral, se se cumprir a<br />

seguinte condição:<br />

li<br />

≤ 30η<br />

h<br />

em que : h a espessura da laje; li como o vão equivalente da laje, sendo li=α.l em<br />

que o l é o vão teórico (no caso de lajes armadas em duas direcções deverá tomar-se para l o<br />

menor vão) e α um coeficiente cujos valores se apresentam no quadro 1.5 para os casos mais<br />

frequentes; e η como um coeficiente que depende do aço utilizado e cujos valores se<br />

apresentam no quadro 1.4.<br />

No caso de lajes cuja deformação afecte paredes divisórias, a menos que a<br />

fendilhação dessas paredes seja contrariada por outras medidas adequadas, além da condição<br />

dada pela expressão anterior, deverá ser respeitada a relação:<br />

li 180<br />

≤ ( ).η<br />

h li<br />

em que li e h são expressos em metros.<br />

QUADRO 1.4<br />

Valores do coeficiente η<br />

Tipo de Aço Valor de η<br />

28


LAJES VIGADAS<br />

A235 1,4<br />

A400 1,0<br />

A500 0,8<br />

QUADRO 1.5<br />

Espessura mínima das lajes<br />

Valores do coeficiente α<br />

Tipo de Laje α<br />

Simplesmente apoiada, armada numa só<br />

direcção 1,0<br />

Duplamente encastrada, armada numa só<br />

direcção 0,6<br />

Apoiada num bordo e encastrada no outro,<br />

armada numa só direcção 0,8<br />

Em consola (sem rotação no apoio), armada<br />

numa só direcção 2,4<br />

Simplesmente apoiada, armada em duas<br />

direcções 0,7<br />

Duplamente encastrada, armada em duas<br />

direcções 0,5<br />

No Quadro 1.5 indicam-se os valores máximos de l/h para lajes armadas numa<br />

direcção e em cruz. Verifica-se que estes valores são excessivos, não garantindo em algumas<br />

29


LAJES VIGADAS<br />

situações correntes a limitação da deformação a l/400 para as combinações frequentes<br />

de acções [2].<br />

Alguma bibliografia [6] indica que na fórmula apresentado o valor de 30<br />

deverá ser substituído por 21, para se assegurar uma limitação de deformação.<br />

Fig. 1.6 – Laje armada numa e em duas direcções: representação esquemática<br />

No caso de lajes que estão sujeitas à actuação de cargas concentradas intensas, a<br />

espessura destas é por vezes condicionada por problemas de punçoamento.<br />

Na determinação das curvaturas necessárias ao cálculo das rotações e das flechas de<br />

lajes sujeitas a flexão simples ou composta, devem ser devidamente considerados os<br />

comportamentos em fase fendilhada e não fendilhada.<br />

30


LAJES VIGADAS<br />

A fase fendilhada pode, convencionalmente, considerar-se como tendo início<br />

para um valor da tensão de tracção no betão igual ao valor médio da tensão de rotura por<br />

tracção, fctm, definidos no artigo 16º do REBAP e quadro 1.6 que se apresenta. Na fase<br />

fendilhada deve ser tida em conta a contribuição do betão entre fendas através da<br />

consideração de uma extensão média das armaduras calculada através da seguinte expressão:<br />

σ s<br />

εsm = ( ) [1 - β1β2 (<br />

Es<br />

σ<br />

31<br />

σ sr 2<br />

) ]<br />

QUADRO 1.6<br />

Valores médios da tensão de rotura do betão<br />

à tracção simples, fctm<br />

(Mpa)<br />

Classe<br />

do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55<br />

fctm<br />

1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4,0<br />

Na determinação das curvaturas correspondentes a acções que se exercem durante<br />

intervalos de tempo relativamente longos, devem considerar-se devidamente os efeitos da<br />

fluência e da retracção do betão.<br />

em que :<br />

As curvaturas 1/r são definidas pela expressão:<br />

ε −<br />

1<br />

=<br />

r d<br />

c εs<br />

s


LAJES VIGADAS<br />

εc e εs- são, respectivamente, a extensão no betão ao nível da fibra mais<br />

comprimida da secção e a extensão na armadura mais traccionada (ou menos comprimida),<br />

consideradas com os respectivos sinais.<br />

Nas zonas não fendilhadas, aquelas extensões são determinadas admitindo que o<br />

comportamento dos materiais é elástico perfeito e que o betão resiste à tracção. Nas zonas<br />

fendilhadas, admitir-se-á também comportamento elástico perfeito dos materiais, desprezar-<br />

se-á a resistência à tracção do betão e a extensão εs será tomada com o valor εsm.<br />

A curvatura total ao fim do tempo t, devida a acções permanentes e variáveis, pode<br />

ser calculada pela soma da curvatura elástica (correspondente ao instante em que são<br />

aplicadas as acções) e das curvaturas devidas à fluência e à retracção do betão.<br />

A determinação da curvatura devida à fluência apresenta, contudo, dificuldades<br />

decorrentes não só do deficiente conhecimento dos efeitos dos numerosos parâmetros que<br />

condicionam a fluência do betão simples mas também devido aos efeitos resultantes da<br />

presença de armaduras. Porém, nos casos correntes, esta parcela da curvatura pode ser<br />

determinada, de modo simplificado, pela diferença entre a curvatura ao fim do tempo t<br />

devida apenas à parte permanente das acções e à curvatura elástica correspondente a esta<br />

mesma parte das acções.<br />

No que respeita à curvatura devida à retracção, a considerar nos casos em que tal<br />

seja pertinente, deve ter-se em conta não só a retracção livre do betão mas também os efeitos<br />

devidos à presença de armaduras aderentes (traccionadas e comprimidas).<br />

É interessante chamar ainda a atenção para o facto de os valores calculados das<br />

deformações poderem diferir sensivelmente dos valores reais, particularmente nos casos em<br />

que os valores dos momentos actuantes são vizinhos dos momentos de fendilhação. O desvio<br />

entre o valor calculado e o valor real depende, entre outros factores, da dispersão das<br />

características dos materiais, do meio ambiente e das condições e história da aplicação das<br />

acções.<br />

32


LAJES VIGADAS<br />

Também aqui, um estudo mais completo sobre a problemática da deformação<br />

em peças de betão poderá ser encontrada na sebenta de vigas. Contudo, neste caso dever-se-á<br />

aplicar as devidas alterações para lajes, sobretudo quando estas forem armaduras em mais do<br />

que uma direcção. De facto, não será propriamente da laje ser armada em mais do que uma<br />

direcção o factor importante, a relevância esta na situação do tipo de apoio ser em mais de<br />

dois bordos, perdendo-se a aproximação ao efeito de viga. De qualquer modo, assemelhar<br />

comportamento de uma laje de uma viga resulta sempre em valores conservativos, do lado da<br />

segurança, portanto.<br />

33


2.1-Generalidades<br />

LAJES VIGADAS<br />

CAPITULO 2 – LAJES MACIÇAS<br />

Consideram-se como lajes os elementos laminares planos sujeitos a acção dirigidas<br />

principalmente na normal ao plano médio, causando flexão transversal, e com largura b<br />

excedendo 5 vezes a sua espessura (b > 5h).<br />

Neste capítulo irá se referir as regras referentes fundamentalmente a lajes<br />

rectangulares de espessura constante, armadas numa só direcção ou em duas direcções<br />

ortogonais, e sujeitas predominantemente a cargas distribuídas; mediante adequadas<br />

adaptações, poderão também estas regras ser aplicadas a lajes com outras características.<br />

A conveniência da armação (numa ou em duas direcções) das lajes está<br />

directamente relacionada com a proporção entre os vãos, as condições de apoio e o tipo de<br />

carga aplicada. Contudo, em condições correntes, é recomendável que as lajes cujo vão<br />

maior não exceda duas vezes o vão menor (apoiadas em 4, 3 ou 2 bordos adjacentes) sejam<br />

armadas em duas direcções.<br />

2.2- Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo<br />

As condições de apoio correntes são habitualmente representadas<br />

esquematicamente (figura 2.1). Refira-se que o bordo com continuidade não é rigorosamente<br />

encastrado, obviamente, apresentando uma relativa rigidez à flexão.<br />

7


LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.1 – Representação esquemática das condições de apoio (representação de cálculo)<br />

8


LAJES VIGADAS<br />

Relativamente à simbologia de cálculo é usual, nas lajes, designar-se por momento<br />

mx o esforço que produz tensões normais de flexão segundo o eixo x (figura 2.2) e não<br />

aquele cujo vector tem a orientação desse eixo (convenção adoptada pela resistência de<br />

materiais).<br />

Fig. 2.2 – Convenção para o momento flector numa laje<br />

As lajes podem estar sujeitas a cargas concentradas, a cargas de faca e a cargas<br />

distribuídas (figura 2.3), sendo os esforços internos, momentos e esforços transversos,<br />

medidos por unidade de largura. Pelo facto de serem esforços distribuídos por unidade de<br />

comprimento são, em geral, representados por letras minúsculas (por exemplo, mx e vx).<br />

A diferença fundamental de comportamento entre uma peça linear e uma laje devese<br />

ao efeito bidimensional que as segundas apresentam, conforme se ilustra na figura 2.4<br />

para uma laje rectangular simplesmente apoiada em todo o contorno. Enquanto na viga as<br />

9


LAJES VIGADAS<br />

cargas são transmitidas aos apoios apenas numa direcção, na laje essa transmissão pode ser<br />

feita em duas direcções.<br />

Fig. 2.3 – Carga concentrada de faca e distribuída<br />

Fig. 2.4 – Ilustração dos comportamentos uni e bidimensional de uma viga e de uma laje<br />

10


LAJES VIGADAS<br />

1. Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra<br />

A laje fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico (curvatura nula segundo a<br />

direcção y, figura 2.5) sendo o seu comportamento semelhante ao de uma viga com o<br />

mesmo vão.<br />

Fig. 2.5 – Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra<br />

11


LAJES VIGADAS<br />

Na figura 2.6 está representada a deformação da secção transversal de uma viga<br />

submetida a um momento flector positivo. Podendo a laje ser entendida como um conjunto<br />

de vigas ou “faixas” justapostas lateralmente. A deformação transversal, εt, de cada faixa é<br />

impedida pelas faixas adjacentes, figura 2.7, dando origem a tensões σt segundo a direcção<br />

ao vão; isto é :<br />

Encurtamento<br />

Alongamento<br />

Encurtamento<br />

Alongamento<br />

ε a t - ε a t = 0 - ν εl – σt / E = 0 σt = ν σl<br />

Deformação longitudinal de uma viga flectida<br />

Deformação transversal de uma viga flectida<br />

Fig. 2.6 – Deformação transversal da secção de uma viga sujeita a um momento<br />

12


LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.7 – Ilustração do efeito dos esforços na direcção principal e na direcção<br />

transversal<br />

Estas tensões produzem um momento flector na direcção perpendicular ao vão<br />

My = ν Mx<br />

fazendo com que a laje tenha uma rigidez maior do que um conjunto equivalente de vigas<br />

justapostas de igual altura, bem como, a possibilidade de distribuir esforços lateralmente.<br />

2. Laje apoiada nos quatro bordos com um lado muito maior que o outro<br />

A zona central fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico, existindo uma<br />

perturbação, que, em geral, não é significativa, nas extremidades A e C, devido à influência<br />

dos apoios, como podemos verificar na figura 2.8.<br />

13


LAJES VIGADAS<br />

Flexão proporcional na direcção<br />

de X e Y da laje<br />

14<br />

Momento em X (vão menor) é<br />

mais elevado do que o momento<br />

em Y (vão maior)<br />

Fig. 2.8 – Laje apoiada em todo o contorno com um vão muito maior que o outro<br />

3. Laje apoiada nos quatro bordos com lados de comprimento semelhante<br />

O comportamento qualitativo deste tipo de laje pode ser compreendido a partir da<br />

analogia com uma grelha (figura 2.9). A compatibilização dos deslocamentos verticais no<br />

ponto de intersecção das vigas (E), implica que a parcela da carga P absorvida pela viga de<br />

menor vão AB, seja superior à absorvida pela viga CD, uma vez que a rigidez vertical desta<br />

é inferior à da viga AB. Esta conclusão pode também ser obtida tendo em conta que, sendo<br />

as curvaturas da barra AB maiores, também o serão os momentos (M = EI.1/R). De facto,<br />

numa laje rectangular apoiada em todo o contorno, os maiores esforços surgem segundo a<br />

direcção do menor vão. Esta circunstância está na base do “método das bandas”, que efectua<br />

uma distribuição da carga para cada direcção da laje, em função da relação entre vãos e<br />

condições dos seus apoios.


aje<br />

secção das Vigas<br />

ocamentos Verticais<br />

ly<br />

lx<br />

lx < ly Grelha<br />

LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.9 – Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha<br />

A observação experimental constitui a melhor forma de verificação do<br />

comportamento dos elementos estruturais de betão armado, permitindo a aferição e<br />

determinação dos limites de validade dos modelos analíticos utilizados.<br />

Na figura 2.10 indica-se, esquematicamente, o comportamento de uma laje até à<br />

rotura, podendo distinguir-se várias fases:<br />

a) Fase elástica – Estado I – o modelo elástico linear do comportamento da laje<br />

é exacto;<br />

15<br />

ly


LAJES VIGADAS<br />

b) Fase fendilhada – Estado II – o modelo elástico é válido, embora não exacto,<br />

para o cálculo dos esforços, devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na deformação;<br />

c) Fase de plastificação – as fendas concentram-se em bandas (charneiras<br />

plásticas), podendo a distribuição de esforços afastar-se significativamente da distribuição<br />

elástica;<br />

d) Fase de rotura – deformação por rotação em torno das charneiras plásticas (ou<br />

linhas de rotura) e esmagamento do betão – válida a Teoria da Plasticidade.<br />

Zona em serviço<br />

mais utilizada<br />

Início da fendilhação<br />

Laje<br />

Cedência das armaduras<br />

Fase fendilhada - (Estado II)<br />

Fase elástica - (Estado I)<br />

16<br />

Fase de rotura<br />

Fase de plastificação<br />

(t=0)<br />

P - Variação das cargas aplicadas à laje<br />

(t=0) - Variação da tensão provocada pela laje<br />

Fig. 2.10 – Comportamento de uma laje até à rotura


LAJES VIGADAS<br />

2 3. - Comportamento resistente de lajes armadas numa direcção<br />

O comportamento resistente da lajes como amostra a figura 2.11 pretende ilustrar o<br />

comportamento resistente e esquema de rotura de lajes, que em geral não têm armaduras de<br />

esforço transverso. Surgem no início do estado II as primeiras fendas de flexão<br />

perpendiculares ao plano da laje. Com o aumento das cargas estas fendas de flexão na zona<br />

onde existe esforço transverso de corte começam-se a inclinar e a rotura atinge-se com a<br />

formação de uma fenda muito inclinada (quase horizontal) que partindo de próximo do<br />

apoio vai reduzir acentuadamente o banzo comprimido (figura 2.11 a). Vemos assim que<br />

aquando da rotura o esforço tracção no banzo traccionado aumenta muito até à proximidade<br />

do apoio (figura 2.11 b). Compreende-se a vantagem de no caso de lajes sem armaduras de<br />

corte prolongar até aos apoios uma parte considerável das armaduras no vão ( ver esquema<br />

de rotura, tipo arco atirantado, figura 2.1 c).<br />

A translação do diagrama de momentos é tomada neste caso (artº 106 do REBAP)<br />

igual a 1,5 vezes a altura útil:<br />

a)<br />

b)<br />

17


c) ZA,U<br />

d)<br />

LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.11 – Comportamento resistente e esquema de rotura de lajes sem armadura<br />

de corte.<br />

2.4 - Comportamento resistente de lajes rectangulares armadas em duas<br />

direcções<br />

As lajes apoiadas em duas direcções transmitem as cargas aos apoios pelo caminho<br />

mais curto, através da flexão em duas direcções. O comportamento resistente depende muito<br />

da relação entre os lados da laje e das condições de apoio como é ilustrado na figura 2.10<br />

para lajes rectangulares apoiadas no contorno. As linhas de direcção dos momentos<br />

principais (para o estado não fendilhado), representados na figura determinam muito<br />

aproximadamente o desenvolvimento das fendas nas lajes. Nas regiões dos cantos, estas<br />

linhas desenvolvem-se ao longo das bissectrizes dos ângulos (45º - momentos negativos) e<br />

na direcção perpendicular (135º - momentos positivos).<br />

18


LAJES VIGADAS<br />

______________ Momentos Principais positivos (tracção na face inferior da laje)<br />

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _Momentos Principais negativos (tracção na face superior da laje)<br />

_ . _ . _ . _ . _ . _ . Mudança de sinal dos momentos principais<br />

Figura 2.12 – Direcções dos momentos principais de lajes rectangulares com cargas<br />

distribuídas: a) apoiada no contorno b) encastrada no contorno<br />

19


2.5 - Vão teórico<br />

LAJES VIGADAS<br />

O artigo 101º do REBAP, define que o vão teórico a considerar no<br />

dimensionamento das lajes maciças deve ser o menor dos seguintes valores: o vão livre<br />

acrescido de 1/3 da largura de cada apoio ou o vão livre aumentado da altura útil da laje,<br />

para lajes simplesmente apoiadas; a distância entre eixos dos apoios ou o vão livre<br />

aumentado da altura útil da laje, para lajes encastradas; a distância entre eixos dos apoios,<br />

para lajes contínuas.<br />

2.6 – Espessura<br />

A espessura das lajes depende, em geral, mais das condições de utilização, como as<br />

que se referem aos problemas de deformação impostas pelas paredes de enchimento e<br />

revestimentos frágeis, do que das verificações de resistência. A título indicativo a espessura<br />

de uma laje varia em geral nos limites:<br />

• <strong>Lajes</strong> armadas numa só direcção<br />

h/ℓ = (1/20) ÷ (1/30)<br />

• Paineis rectangulares com ℓy ≥ 2 ℓx<br />

h/ℓ = (1/30) ÷ (1/35)<br />

ℓy<br />

• Painéis aproximadamente quadrados de lajes armadas em cruz ℓy = ℓx<br />

h/ℓ = (1/40) ÷ (1/50)<br />

20<br />

ℓx


2.6.1 - Espessuras mínimas<br />

LAJES VIGADAS<br />

ℓy<br />

As lajes, em geral, elementos esbeltos, têm a sua espessura condicionada por razões<br />

construtivas, pela garantia de capacidade resistente, pela deformabilidade e pelo isolamento<br />

acústico.<br />

O REBAP, através do artigo 102º, dá-nos valores mínimos, ou seja:<br />

• 5 cm, no caso de lajes de terraços não acessíveis, ou seja, coberturas que,<br />

embora formadas por elementos de construção que constituem habitualmente<br />

pavimento, têm a sua acessibilidade condicionada a fins de reparação;<br />

• 7 cm, no caso de lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas;<br />

• 10 cm, no caso de lajes submetidas a cargas concentradas relativamente<br />

importantes;<br />

• 12 cm, no caso de lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes;<br />

• 15 cm, no caso de lajes apoiadas directamente em pilares.<br />

Para além disto, o cálculo da espessura da laje deve basear-se em dois conceitos:<br />

Fendilhação e, sobretudo, Deformação.<br />

2.6.2 - Espessuras mínimas face à deformação<br />

21<br />

ℓx


LAJES VIGADAS<br />

A menos que se proceda à verificação ao estado limite de deformação (ARTº 72º,<br />

73º) a espessura das lajes, h, deve satisfazer às condições a seguir indicadas que resultam<br />

duma limitação de relação flecha-vão a/ℓ = 1/400 e ainda de uma limitação da flecha<br />

máxima de 1,5 cm quando a deformação da laje afecte paredes divisórias.<br />

a) Em geral:<br />

ℓi/h ≤ 30 η<br />

em que: h – espessura da laje<br />

valores:<br />

ℓi = α ℓ - vão equivalente<br />

a – flecha<br />

ℓ - vão teórico (o menor vão no caso de lajes armadas em cruz)<br />

α – coeficiente dependendo das condições de apoio e armação<br />

η – coeficiente que, consoante o tipo de aço utilizado, toma os seguintes<br />

A235........................................η = 1,4<br />

A400........................................η = 1,0<br />

A500........................................η = 0,8<br />

A aplicação desta expressão resulta nos valores limites da relação ℓ/h mostrados<br />

pelo Quadro 2.1<br />

QUADRO 2.1<br />

Tipo de<br />

Laje<br />

Tipo<br />

de Aço<br />

A235<br />

A400<br />

A500<br />

(a = 1.0)<br />

42<br />

30<br />

24<br />

,<br />

Armadura numa só direcção Armadura em duas direcções<br />

(a = 0.8)<br />

52<br />

38<br />

30<br />

Bordo apoiado<br />

(a = 0.6)<br />

70<br />

50<br />

40<br />

(a = 2.4)<br />

18<br />

12<br />

10<br />

22<br />

60<br />

43<br />

34<br />

Bordo encastrado<br />

(a = 0.7) (a = 0.5) (a = 2.4)<br />

84<br />

60<br />

48<br />

18<br />

12<br />

10<br />

Bordo livre


LAJES VIGADAS<br />

i) No caso das lajes pré-esforçadas os valores a adoptar podem ser duplos dos<br />

correspondentes ao do aço A500.<br />

ii) No caso de lajes com vão equivalente, ℓi = α ℓ, superior a 6m, e cujo deformação<br />

afecte paredes divisórias os valores limites serão os do quadro multiplicados por<br />

6/ℓi (ℓi em metros).<br />

Quadro 2.1 – Valores máximos da relação ℓ/h em lajes para ter em conta a deformação.<br />

2.6.3- Espessuras face aos esforços<br />

Os esforços actuantes são fundamentalmente o momento flector M e o esforço<br />

transverso, V. No que diz respeito ao momento flector, M , a laje é em geral dimensionada<br />

admitindo que a rotura se inicia para uma extensão na armadura de tracção próxima do<br />

limite, εs = 8 ÷ 10%, o que corresponde a um valor de momento reduzido μ ≤ 0,20. A título<br />

indicativo tomando μ = 0,15<br />

μ = Msd / bd 2 f cd com, b = 1 m e μ = 0,15<br />

d ≥ (Msd / 0,15 fcd) e h ≈ d + 3 cm<br />

No que se refere ao esforço transverso, V , procura-se em geral atribuir à laje uma<br />

espessura, h , de forma a não ser necessário utilizar armaduras de esforço transverso. Assim<br />

a altura útil, d , teria que ser condicionada pela relação:<br />

d ≥ (Vsd / 0,6 τ1(1,6 – d)) com, Vsd por faixa de 1m de largura e<br />

0,6 τ1(1,6 – d) ≥ 0,6 τ1, d é a altura útil em m.<br />

23


LAJES VIGADAS<br />

QUADRO 2.2<br />

τ1 Valores da Tensão<br />

Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55<br />

τ1 0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15<br />

2.7 - Armadura de flexão<br />

Quadro 2.2 -Valores da tensão τ1<br />

As armaduras de flexão entende-se por aquelas que resistem aos efeitos de cargas<br />

normais (M e N) e que são colocadas paralelamente ao plano da laje. Distinguem-se assim<br />

das armaduras de esforço transverso e punçoamento.<br />

2.7.1 - Armadura principal mínima<br />

A área mínima da armadura principal deve ser tida em conta de forma a garantir<br />

uma reserva suficiente de resistência após a fendilhação.<br />

A armadura principal das lajes, segundo o REBAP, não deve ter percentagem (ρ)<br />

inferior à apresentada no quadro 2.3.<br />

Esta percentagem é definida pela relação:<br />

ρ = As/(bt d) x 100<br />

em que As é a área da secção de armadura; bt é a largura média da zona traccionada<br />

da secção; e d é a altura útil da secção.<br />

Nas lajes armadas em duas direcções, este condicionamento aplica-se a cada uma<br />

das armaduras. A área da armadura longitudinal de tracção ou de compressão não deve<br />

exceder 4% da área total da secção da laje, no somatório das duas direcções (se for armada<br />

em ambas).<br />

24


LAJES VIGADAS<br />

QUADRO 2.3<br />

Percentagem mínima (ρ)<br />

Tipo de Aço Valor de ρ (%)<br />

A235 0,25 %<br />

A400 0,15 %<br />

A500 0,12 %<br />

Quadro 2.3 - Percentagem mínima de armadura<br />

Quanto à armadura de distribuição, o REBAP não impõe uma percentagem<br />

mínima. Para evitar fissuração não prevista, aconselha-se para esse caso um ρmin = 0,10 %.<br />

2.7.2 - Espaçamentos Máximos dos Varões da Armadura Principal<br />

Os espaçamentos das armaduras não devem ter valores excessivamente grandes.<br />

Esta limitação tem a ver com o controlo da fendilhação e com a garantia de uma resistência<br />

local mínima, em particular para as cargas concentradas.<br />

Do ponto de vista do funcionamento da laje, quanto menor for o espaçamento das<br />

armaduras melhor esta se comporta. Por outro lado, espaçamentos muito reduzidos podem<br />

dificultar a betonagem, opondo-se a que o betão preencha todos os espaços vazios e<br />

provocando a separação dos inertes do betão. Obviamente que em termos de execução,<br />

aquando da montagem das armaduras na laje, quanto menores forem os espaçamentos maior<br />

é o número de varões a colocar, tornando esta operação mais trabalhosa, de mais difícil<br />

execução e mais dispendiosa.<br />

Segundo o REBAP, artigo 104, inerentes às armaduras ordinárias, o espaçamento<br />

máximo dos varões da armadura principal não deve ser superior a 1,5 vezes a espessura da<br />

laje, com um máximo de 35 cm. Para além destas condições, o espaçamento máximo dos<br />

varões não deve também, nos casos correntes, ser superior ao apresentado no quadro 2.4.<br />

A verificação da abertura de fendas é dispensada se na armadura principal os<br />

espaçamentos não forem superiores aos indicados no quadro 1.9. No entanto, para ambientes<br />

muito agressivos, nunca é dispensada a verificação da abertura de fendas.<br />

25


LAJES VIGADAS<br />

QUADRO 2.4<br />

Espaçamento máximo dos varões da armadura longitudinal de lajes (cm)<br />

Ambiente<br />

Pouco agressivo (w = 0,3 mm)<br />

Moderadamente agressivo (w = 0,2 mm)<br />

Muito agressivo (b)<br />

26<br />

Tipo de Aço<br />

A235 A400 A500<br />

_ (a)<br />

_ (a)<br />

_ (a)<br />

25 20<br />

15 10<br />

Estimativa da<br />

abertura de fendas<br />

obrigatória<br />

Quadro 2.4 – Espaçamento máximo dos varões da armadura longitudinal da lajes<br />

(a) – Para lajes com aço A235 o controlo indirecto da fendilhação não requer um limite no<br />

espaçamento das armaduras, para além dos limites gerais anteriormente indicados (não há<br />

condicionamento).<br />

(b) – Ambiente muito agressivo terá que ser verificado o estado limite de fendilhação.<br />

Nota: Os espaçamentos que no caso de respeitados, dispensam a verificação do estado<br />

limite de abertura de fendas, excepto em ambientes muito agressivos.<br />

Estes valores foram obtidos admitindo que, para a combinação frequente de<br />

acções, a tensão nas armaduras é de 0,5 f syd.<br />

Para lajes com aço A235, o controlo indirecto da fendilhação não requer um limite<br />

no espaçamento das armaduras, para além dos limites gerais anteriormente indicados.<br />

2.7.3 - Interrupção da Amadura Principal. Armadura nos Apoios.<br />

Uma laje resiste às cargas aplicadas por efeito de arco e flexão. Nas lajes, a<br />

resistência ao esforço transverso é, em parte, garantida pelo “efeito de arco”, como<br />

esquematizado na figura 2.13. Representa-se também a evolução das forças nas armaduras<br />

com o aumento da carga.


LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.13 – Efeito de arco na resistência ao esforço transverso das lajes<br />

De notar que na rotura, a força necessária junto ao apoio é pouco inferior à<br />

requerida a meio vão. Verificou-se, experimentalmente, que é necessária uma translação de<br />

al = 1,5 d, do diagrama de forças na armadura devidas à flexão, para evitar uma rotura<br />

prematura (antes de esgotada a capacidade última à flexão). No REBAP, é imposto este<br />

mesmo valor de translação. Também no respeitante à percentagem de armadura que é<br />

necessário prolongar até aos apoios, a necessidade de atirantar o “arco” impõe que, pelo<br />

menos metade da armadura do vão, tenha de ser levada até aos apoios.<br />

27


LAJES VIGADAS<br />

O critério a respeitar para a interrupção das armaduras principais das lajes maciças<br />

e para o prolongamento de armaduras até aos apoios e sua amarração é idêntico aos<br />

estipulados para as vigas nos artigos 92º e 93º do REBAP, respectivamente.<br />

É de referir que o comportamento das lajes na rotura é muitas vezes difícil de<br />

avaliar, tanto mais que importantes efeitos de membrana (esforços axiais no plano da laje)<br />

podem ocorrer (sendo que, no caso de existir armadura e/ou betão suficientes –<br />

respectivamente, para poderem ser mobilizados esforços de tracção e/ou compressão, esta<br />

funciona como uma casca).<br />

Como exemplo, cita-se o caso de uma laje simplesmente apoiada nos quatro bordos<br />

e aproximadamente de forma quadrangular que, perto do colapso e com a zona central<br />

fortemente fissurada por efeito das cargas a que está sujeita, adquire uma resistência última<br />

suplementar dado a armadura traccionada (nas duas direcções) puxar o betão circundante à<br />

zona central, formando este um verdadeiro anel de compressão.<br />

Segundo o artigo 92º do REBAP, a armadura longitudinal de tracção só pode ser<br />

interrompida desde que garanta a absorção das forças de tracção correspondentes a um<br />

diagrama obtido por translação, paralela ao eixo da laje, do diagrama de Msd/z, em que Msd é<br />

o valor de cálculo do momento actuante numa dada secção e z é o braço do binário das<br />

forças interiores na mesma secção.<br />

Fig. 2.14 – Diagramas Msd/z e forças de tracção<br />

28


LAJES VIGADAS<br />

O valor da translação, al, depende do valor de cálculo do esforço transverso<br />

actuante, Vsd, e do tipo de armadura de esforço transverso, de acordo com o que a seguir é<br />

indicado:<br />

• Nas zonas em que Vsd ≤ 2/3 σ2 bw d:<br />

al = d – no caso de estribos verticais;<br />

al = 0,75 d – no caso de estribos verticais associados a varões inclinados a 45º;<br />

al = 0,5 d – no caso de estribos inclinados a 45º;<br />

• Nas zonas em que Vsd> 2/3 σ2 bw d<br />

Os valores indicados anteriormente para al poderão ser diminuídos de 0,25 d.<br />

Nestas expressões; bw representa a largura da alma da secção, no caso de esta não<br />

ser constante, dever-se-á tomar para valor de bw a menor largura existente numa altura de<br />

três quartos da altura útil da secção, contada a partir da armadura longitudinal de tracção; d<br />

caracteriza a altura útil da secção; τ2 toma o valor que é indicado no quadro seguinte.<br />

QUADRO 2.5<br />

τ2 Valores da Tensão<br />

Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55<br />

τ 2 2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0<br />

Quadro 2.5 -Valores da tensão τ2<br />

Os varões da armadura podem ser dispensados à medida que o diagrama ( b ) da<br />

figura 2.14 o permita, devendo ser prolongados, para além dele, dos comprimentos de<br />

amarração, respectivamente para armaduras ordinárias em geral e para redes<br />

electrossoldadas.<br />

A finalidade dos comprimentos de amarração é fixar as armaduras ao betão. Esta<br />

amarração pode ser realizada por prolongamento recto ou curvo dos varões, por laços ou por<br />

dispositivos mecânicos especiais. A utilização das amarrações por prolongamento dos<br />

varões, que, quando curvo, pode incluir gancho ou cotovelo com as características<br />

29


LAJES VIGADAS<br />

geométricas indicadas na figura 2.15, depende da capacidade de aderência dos varões ao<br />

betão e do tipo de esforços a que estão submetidos. Assim, tratando-se de varões de<br />

aderência normal devem utilizar-se apenas amarrações com ganchos, excepto se os varões<br />

estiverem sempre sujeitos a compressão, caso em que convirá usar amarrações rectas. Para<br />

os varões de alta aderência devem-se usar amarrações rectas, excepto se os varões estiverem<br />

sempre sujeitos a tracção, caso em que se permite a utilização de ganchos ou cotovelos.<br />

Os comprimentos da amarração, lb,net (figura 1.8), são definidos pela expressão:<br />

em que:<br />

lb,net = lb (As,cal/As,ef) α1<br />

lb = (φ/4) (fsyd/fbd)<br />

não devendo, porém, em caso algum, ser tomados inferiores a qualquer dos<br />

seguintes valores: 10φ; 100 mm; 0,3 lb, no caso de varões traccionados; 0,6 lb, no caso de<br />

varões comprimidos.<br />

As,cal é a secção da armadura requerida pelo cálculo; As,ef é secção da armadura<br />

efectivamente adoptada; α1 é coeficiente que toma o valor de 0,7, no caso de amarrações<br />

curvas em tracção, e é igual à unidade nos restantes casos; φ é o diâmetro do varão ou<br />

diâmetro equivalente do agrupamento; fsyd é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da<br />

tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,2% do aço; e fbd é o valor de cálculo da<br />

tensão de rotura da aderência, que toma os valores apresentados no quadro 2.4.<br />

QUADRO 2.6<br />

Valores de cálculo da tensão de rotura da aderência, fbd,<br />

30


Características<br />

de Aderência<br />

Dos Varões<br />

LAJES VIGADAS<br />

de armaduras ordinárias (1)<br />

(Mpa)<br />

Classe do Betão<br />

B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55<br />

Aderência<br />

Normal 0,8 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7<br />

Alta<br />

Aderência 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,2<br />

Quadro 2.6 - Valores da calculo da tensão de rotura da aderência<br />

(1) Os valores indicados referem-se a varões betonados em condições de boa aderência; para<br />

outras com dições de aderência, estes valores devem ser multiplicados por 0,7.<br />

Amarrações com terminações rectas<br />

- em varões à compressão, quer de aderência normal quer de alta aderência (solução<br />

obrigatória);<br />

- em varões à tracção de alta aderência (solução adoptada em geral)<br />

Amarrações com terminações curvas<br />

- em varões à tracção de aderência normal (solução obrigatória, mas não são<br />

admissíveis cotovelos);<br />

- em varões à tracção de alta aderência (solução possível quando se queira diminuir o<br />

comprimento de amarração);<br />

31


Amarração com<br />

terminação<br />

recta<br />

Amarração com<br />

terminação<br />

curvas<br />

<br />

θ<br />

θ <br />

LAJES VIGADAS<br />

θ<br />

32<br />

<br />

< θ <br />

Fig. 2.15 – Tipos de amarração por aderência<br />

θ<br />

< θ <br />

No quadro 2.7 figuram os comprimentos de amarração a que se é conduzido nos<br />

casos correntes, considerando As,cal = As,ef.<br />

Tipo<br />

de<br />

Aço<br />

A235 NL<br />

Tipo<br />

de<br />

Amarração<br />

A235 NR Recta<br />

400 NR<br />

A400 ER<br />

A400 EL<br />

QUADRO 2.7<br />

Valores do comprimento de amarração, lb,net<br />

Classes do Betão e Condições de Aderência<br />

B20 B25 B30 B35<br />

A B A B A B A B<br />

Com<br />

Gancho 35 φ 500 φ 300 φ 45 φ 300 φ 455 φ 255 φ 40 φ<br />

Recta<br />

A500 NR Recta<br />

25 φ 35 φ 20 φ 30 φ 20 φ 25 φ 15 φ 25 φ<br />

40 φ 60 φ 35 φ 50 φ 30 φ 45 φ 30 φ 40 φ<br />

Com<br />

Gancho 60 φ 85 φ 55 φ 80 φ 50 φ 75 φ 45 φ 65 φ


LAJES VIGADAS<br />

A500 ER 50 φ 75 φ 45 φ 65 φ 40 φ 60 φ 35 φ 50 φ<br />

Quadro 2.7 -Valores de comprimento de amarração<br />

A – Condições de boa aderência<br />

B – Outras condições de aderência<br />

Segundo o REBAP deve ser mantido até aos apoios das lajes, pelo menos, metade<br />

da armadura máxima de tracção correspondente ao momento no vão, tanto para os apoios<br />

com liberdade de rotação (ou com fraco grau de encastramento) como para os apoios de<br />

encastramento ou de continuidade. Por outro lado, no caso de lajes sem armaduras de<br />

esforço transverso, a translação al referida anteriormente como deve ser tomada igual a 1,5<br />

d.<br />

A amarração desta armadura, segundo o REBAP, deve poder suportar uma força de<br />

tracção igual a:<br />

Fs = Vsd . al/d<br />

em que Vsd é o valor de cálculo do esforço transverso actuante no apoio.<br />

Contudo, tratando-se de apoios directos, os comprimentos de amarração assim<br />

determinados podem ser reduzidos de 1/3, mantendo-se, porém, os mínimos especificados<br />

anteriormente.<br />

2.7.4 - Armadura de Esforço Transverso<br />

As armaduras de esforço transverso podem ser constituídas por varões inclinados<br />

ou por estribos, podendo estes ser inclinados segundo o eixo do elemento ou normais a<br />

estes.<br />

A literatura da especialidade é unanime em evidênciar as vantagens de utilização de<br />

estribos (verticais ou inclinados) em vez de varões inclinados, o que se justifica não só<br />

porque os estribos permitem uma melhor distribuição de armadura como asseguram a<br />

cintagem e a ligação eficaz dos banzos traccionado e comprimido de treliça de Morsch.<br />

Muitos regulamentos fixam mesmo uma percentagem mínima do esforço<br />

transverso que deve ser absorvido por estribos no caso em se utilizam conjuntamente<br />

33


LAJES VIGADAS<br />

estribos e varões inclinados. O REBAP embora não quantifique tal percentagem sugere<br />

também que se dê preferência à utilização de estribos.<br />

Em geral, uma laje deve ser dimensionada de modo a que não sejam necessárias<br />

armaduras de esforço transverso. Contudo, nos casos em que tal armadura é necessária, com<br />

base no artigo 107º do REBAP, a percentagem de tal armadura não deve ser inferior aos<br />

valores indicados no quadro 2.8, podendo incluir varões inclinados.<br />

Esta percentagem é definida pela relação:<br />

em que:<br />

ρw= Asw/ (bw s sin α) x 100<br />

Asw - é a área total da secção transversal dos vários ramos do estribo;<br />

bw - é a largura da alma da secção;<br />

s - é o espaçamento dos estribos;<br />

α - é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da laje (45º≤α≤90º).<br />

QUADRO 2.8<br />

Percentagem mínima, ρw<br />

Tipo de Aço ρw<br />

A235 0,16<br />

A400 0,10<br />

A500 0,08<br />

Quadro 2.8 – Percentagem mínima de armadura de esforço transverso<br />

A armadura de esforço transverso pode ser realizada totalmente por varões<br />

inclinados nas zonas em o esforço transverso actuante por unidade de largura, Vsd, não<br />

exceda 1/3 τ2 d (quadro 2.5). Porém, nas zonas em que Vsd exceda aquele valor, deverá<br />

realizar-se com estribos uma parte da armadura de esforço transverso que corresponda, pelo<br />

menos, à percentagem mínima anteriormente referida.<br />

Os estribos devem abranger a totalidade da altura da laje, devem envolver as<br />

armaduras longitudinais e, nas suas extremidades, devem existir ganchos ou, pelo menos,<br />

34


LAJES VIGADAS<br />

cotovelos no caso de varões de alta aderência; recomenda-se além disso, para valores<br />

elevados de esforço transverso, o emprego de estribos fechados.<br />

As distâncias entre os varões da armadura de esforço transverso devem, no<br />

máximo, ser as seguintes:<br />

QUADRO 2.9<br />

Tipo de Armadura<br />

Distâncias máximas entre varões de armadura de corte<br />

Na direcção do vão Na direcção transversal ao vão<br />

Varões inclinados a 45º 1,2 d 1,5 d; com o máximo de 60 cm<br />

Estribos verticais 0,6 d 1,5 d; com o máximo de 60 cm<br />

Quadro 2.9 – Distâncias máximas entre varões da armadura de esforço transverso em laje.<br />

A armadura de esforço transverso deve obedecer aos seguintes condicionamentos:<br />

● Se Vsd ≤ 1/3 τ2 d : Armadura pode ser realizada somente com varões inclinados.<br />

● Se Vsd ≥ 1/3 τ2 d : Pelo menos a armadura mínima deve ser realizada com estribos.<br />

Em que:<br />

Vsd – esforço transverso actuante por unidade de largura.<br />

τ2 – valores referidos atrás (Quadro 2.5)<br />

Indicam-se na figura 2.14 as disposições de armaduras que incluem a<br />

pormenorização para varões inclinados e para estribos.<br />

35


o de corte moderada<br />

1,2 d<br />

nados ( direcção do vão)<br />

LAJES VIGADAS<br />

d<br />

1,5 d<br />

60 cm<br />

(τ ≤ 1/3 τ2)<br />

(τ > 1/3 τ2)<br />

Fig. 2.16 – Solicitação de corte moderada<br />

36<br />

Escalonamento da armadur<br />

x<br />

x<br />

2 x<br />

2 d - Tensões de cort<br />

x d - Tensões de corte


) Solicitação de corte elevada<br />

Planta<br />

± 4h<br />

LAJES VIGADAS<br />

ex 0.6d<br />

Estribos Verticais ( direcção transversal do vão)<br />

37<br />

<br />

2 Ramos consecutivos<br />

Corte<br />

Fig. 2.17 – Disposições a respeitar na distribuição de armaduras de esforço transverso em<br />

lajes


LAJES VIGADAS<br />

Quando forem necessárias armaduras de esforço transverso, tais armaduras deverão<br />

corresponder pelo menos aos valores indicados no quadro 1.8. A fórmula de cálculo de ρw é<br />

idêntica à do REBAP.<br />

Nas lajes, se Vsd ≤ 1/3 VRd2, a armadura de esforço transverso poderá ser<br />

constituída exclusivamente por varões inclinados ou ligadores para esforço transverso.<br />

VRd2 = τ2 bw d<br />

O espaçamento longitudinal máximo de cintas ou estribos é:<br />

• Se Vsd ≤ 1/5 VRd2 : Smáx = 0,8 d<br />

• Se 1/5 VRd2 < Vsd ≤ 2/3 VRd2 : Smáx = 0,6 d<br />

• Se Vsd > 2/3 VRd2 : Smáx = 0,3 d<br />

O espaçamento longitudinal máximo para varões inclinados é: Smáx = d.<br />

2.7.5 - Armadura de Distribuição das <strong>Lajes</strong> Armadas Numa Só Direcção<br />

Perpendicularmente às armaduras principais deve ser colocada uma armadura de<br />

distribuição. Esta armadura, que não é necessária para a verificação dos estados limites<br />

últimos, tem por função principal controlar a abertura da fendas nas condições de serviço.<br />

Serve também para posicionar as armaduras principais durante a fase de montagem de<br />

armaduras e de betonagem da laje (formando, em conjunto com as armaduras principais,<br />

uma malha ortogonal com rigidez). Esta armadura de distribuição tem ainda a função de<br />

garantir uma certa resistência da laje a cargas concentradas.<br />

Nestas lajes maciças armadas numa só direcção devem ser colocadas armaduras de<br />

distribuição adequadas, constituídas por varões não espaçados de mais de 35 cm, segundo o<br />

REBAP.<br />

Na face da laje oposta à da aplicação das cargas, tal armadura deve ser disposta<br />

transversalmente ao vão e a sua secção deve, localmente, ser pelo menos igual a 20% da<br />

secção da armadura principal aí existente. No caso, porém, de lajes em consola, aquela<br />

percentagem deve ser referida à secção da armadura principal no encastramento, devendo,<br />

além disso, dispor-se junto àquela mesma face uma armadura na direcção do vão.<br />

38


LAJES VIGADAS<br />

Na face de aplicação das cargas, caso exista armadura principal, deve dispor-se<br />

ainda uma armadura de distribuição, colocada transversalmente àquela, e que respeite a<br />

condição geral de espaçamento anteriormente referida.<br />

No caso de existirem apoios de encastramento ou de continuidade, paralelos à<br />

armadura principal da laje (não considerados nas hipóteses de dimensionamento), deve<br />

dispor-se sobre esses apoios, em direcção transversal e junto à face superior da laje, uma<br />

armadura adequada para resistir aos esforços aí desenvolvidos. Esta armadura deve<br />

entender-se a partir do apoio, de um comprimento pelo menos igual a ¼ do vão teórico<br />

correspondente à armadura principal.<br />

A percentagem mínima de armadura de distribuição definida pelo REBAP é de<br />

20%. O espaçamento máximo deste varões, segundo o mesmo regulamento é de 35 cm.<br />

As armaduras principais devem ficar sempre colocadas de modo a funcionarem<br />

com o maior braço. As armaduras de distribuição são colocadas interiormente às principais.<br />

Momentos Positivos Momentos Negativos<br />

As+ As dist.<br />

As- As dist.<br />

Fig 2.18 - Posição relativa da armadura principal e da armadura de distribuição<br />

A disposição de armaduras a adoptar é determinada tendo sobretudo em conta a<br />

distribuição de esforços em que se baseia o dimensionamento da laje.<br />

As dispensas de armaduras são efectuadas de acordo com as regras indicadas no<br />

REBAP. A secção onde a armadura é dispensada é determinada de modo semelhante ao das<br />

vigas: procede-se à translação do diagrama de momentos flectores e prolonga-se a armadura<br />

do comprimento de amarração a partir da secção onde esta deixa de ser necessária para a<br />

verificação do estado limite último de flexão.<br />

39


LAJES VIGADAS<br />

Para lajes com condições de apoio correntes e sujeitas a cargas distribuídas<br />

uniformes, é possível indicar disposições de armadura tipo, as quais dispensam a<br />

necessidade de determinação da distribuição de armaduras com base no cálculo (em especial<br />

os pontos onde se dispensam armaduras).<br />

Em qualquer laje, sempre que exista uma armadura numa direcção, deve ser<br />

colocada na direcção perpendicular pelo menos a armadura de distribuição.<br />

2.7.6 - Armadura nos Bordos Livres<br />

Quando numa laje existe um bordo livre devem dispor-se armaduras que melhorem<br />

a resistência dessa zona, evitando a danificação das arestas e eventual descasque do betão<br />

devido a acções concentradas.<br />

FORÇA CONCENTRADA<br />

Destacamento do betão devido a acções concentradas<br />

Fig 2.19 – Destacamento do betão<br />

O REBAP prevê que ao longo dos bordos livres das lajes deve dispor-se uma<br />

armadura constituída, no mínimo, por 2 varões, um junto da cada aresta, e uma armadura<br />

transversal ao bordo, envolvendo a primeira e prolongando-se para o interior da laje, junto<br />

de ambas as faces, de um comprimento igual, pelo menos, a 2 vezes a espessura da laje.<br />

40


LAJES VIGADAS<br />

A área da secção desta armadura transversal, em cada face, expressa em<br />

centímetros quadrados por metro, não deve ser inferior a 0,05 d para o aço A235 e a 0,025 d<br />

para os aços A400 e A500, sendo d a altura útil da laje, expressa em centímetros. O<br />

espaçamento dos varões desta armadura não deve exceder 35 cm. Mas, para efeitos de<br />

constituição das armaduras de bordo podem ser tidas em conta outras armaduras existentes.<br />

A armadura transversal pode ser constituída por elementos com a forma indicada na<br />

figura 2.15 a) , ou pelo prolongamento da armadura de uma das faces da laje para a face<br />

oposta conforme indicado nas figuras 31 b) e c).<br />

Ast (cm²/m)<br />

0.05 d para o aço A235<br />

0.025 d para os aços A400 e A500<br />

d em centimetros<br />

s (espaçamento dos varões transversais) 35 cm<br />

41<br />

s (espaçamento dos varões transversais) 35 cm<br />

Fig. 2.20 – Armadura transversal


Armadura<br />

transversal<br />

– bordo livre<br />

Armadura<br />

transversal mínima<br />

em cada face Asb<br />

(cm 2 /m)<br />

Assim<br />

LAJES VIGADAS<br />

Armadura longitudinal<br />

42<br />

2h<br />

Asb<br />

ou assim Asb<br />

Fig. 2.21 – Disposições da armadura de bordo livre.<br />

A 235<br />

0.05 d<br />

QUADRO 2.10<br />

h<br />

Tipo de Aço<br />

A 400<br />

0.025 d<br />

Quadro 2.10 - Área de armadura transversal mínima<br />

- a armadura corrente da laje pode constituir armadura de bordo.<br />

A 500<br />

0.025 d


2.7.7 - Armadura de Canto<br />

LAJES VIGADAS<br />

Indica-se na figura 2.22 a), a deformação de um painel de laje apoiado no contorno<br />

no caso de não estar impedido o levantamento da laje.<br />

P<br />

a)<br />

Ro<br />

43<br />

Ro<br />

P<br />

b)<br />

Fig 2.22 – Levantamento da laje<br />

Nas situações usuais, o deslocamento dos cantos está impedido (pelas vigas ou<br />

pelas paredes). Da compatibilização da deformação livre surgem forças de reacção no canto<br />

Ro (figura 2.22 b)) associadas a momentos torsores nas direcções dos bordos,<br />

Mxy = Ro/2 .<br />

A acção deste esforço produz uma superfície torsa com curvatura nas duas<br />

direcções de sinais contrários (tipo “sela de cavalo”) figura 2.23.<br />

Ro<br />

Ro


LAJES VIGADAS<br />

Fig 2.23 – Curvatura tipo “cela de cavalo”<br />

Na figura 2.24 a) indica-se a deformação de um canto de uma laje apoiada no<br />

contorno. A acção da reacção no canto produz uma curvatura negativa segundo a<br />

direcçaoAA’. A carga distribuída vertical provoca uma curvatura positiva segundo a<br />

direcção BB’. Este efeito corresponde a momentos flectores principais, positivo e negativo,<br />

de valores iguais ao momento torsor e a actuarem com direcção que fazem um ângilo de 45º<br />

com os bordos laterais. Na figura 2.25 b) representam-se estes esforços num elemento de<br />

canto com dois bordos simplesmente apoiados. O tipo eventual fendilhação devido a este<br />

efeito é indicado na figura 2.26 c).<br />

B<br />

A<br />

44<br />

a)<br />

Fig. 2.24 - Deformação de um canto de uma laje apoiada no contorno<br />

A'<br />

B'


M'xy<br />

M'xy<br />

M'xy<br />

M'xy<br />

My<br />

Mx<br />

LAJES VIGADAS<br />

b)<br />

Mx<br />

My<br />

x, y - direcções principais<br />

45<br />

y<br />

My<br />

Mij<br />

M'xy<br />

M'xy<br />

M'xy = Mx = My<br />

Fig. 2.25- Esforços num elemento de canto com dois bordos simplesmente apoiados.<br />

M<br />

Face inferior<br />

c)<br />

M<br />

Face superior<br />

Fig. 2.26 – Tipo de fendilhação eventual devido a este efeito<br />

Junto a um canto de uma laje, em que pelo menos um dos lados é apoiado,<br />

desenvolvem-se momentos torsores. Para absorver as tracções devidas a este esforço e evitar<br />

que a fendilhação seja elevada é necessário colocar armaduras junto às duas faces da laje<br />

(armadura de canto), segundo as direcções das tensões de tracção (figura 2.27).<br />

Mx


lx<br />

0.4 lx<br />

Face inferior<br />

LAJES VIGADAS<br />

0.4 lx<br />

46<br />

Face superior<br />

Fig. 2.27 – Modo mais eficaz de colocação da armadura para o momento torsor<br />

Na prática é mais usual a colocação de uma malha ortogonal por ser a mais simples<br />

(figura 2.28 a))<br />

F<br />

As<br />

a)<br />

As (cm²/m)<br />

F<br />

F<br />

Fig. 2.28 – Malha ortogonal<br />

b)<br />

As (cm²/m)<br />

Esta malha com uma área de armadura As distribuída em cada direcção (figura 2.28<br />

a)) tem uma resistência segundo a direcção diagonal igual à de uma armadura com igual<br />

área distribuída segundo essa diagonal (figura 2.28 b)).<br />

É de salientar que os cantos das lajes são sensíveis aos efeitos de restrição, que os<br />

pilares e vigas de contorno oferecem à deformação por retracção do betão, ou a variações de<br />

temperatura, podendo verificar-se fendilhação nestas zonas com direcções diferentes das<br />

F


LAJES VIGADAS<br />

mencionadas. A distribuição de armaduras ortogonais indicada na figura 2.28 a) é também<br />

conveniente para o controlo da fendilhação, devido a estes efeitos.<br />

Numa laje quadrada, apoiada em todo o contorno, o valor do momento torsor é da<br />

ordem de grandeza do momento flector positivo no vão (mx = 0,042 ql 2 , mxy = 0,04 ql 2 ).<br />

Para lajes armadas em duas direcções junto aos cantos formados por dois bordos<br />

apoiados é recomendada uma armadura, com uma área igual à da maior armadura de<br />

momentos positivos, disposta numa área quadrada de lado igual a 1/4 do menor vão. Nos<br />

cantos em que apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor, razão pela qual<br />

se coloca, nestes casos, uma quantidade de armadura inferior. Se os dois bordos são<br />

encastrados não existe momentos torsor. Indica-se nas figuras a seguir indicadas as<br />

armaduras de canto que são usualmente dispostas para os casos mais correntes de condições<br />

de apoio.<br />

0.25 lx<br />

0.25 lx<br />

Painel isolado<br />

lx < ly<br />

0.25 lx 0.25 lx<br />

Asx<br />

Asx<br />

Asx<br />

Asx<br />

ly<br />

Face superior<br />

47<br />

Asx<br />

Asx<br />

Asx<br />

Asx<br />

Fig. 2.29 - Painel isolado<br />

Painel de canto<br />

lx


0.25 lx<br />

0.25 lx<br />

Asx<br />

0.25 lx<br />

Asx/2<br />

Fig. 2.30 - Painel de canto<br />

0.25 lx<br />

0.25 lx<br />

Asx<br />

Asx/2<br />

Asx/2<br />

LAJES VIGADAS<br />

ly<br />

Face superior<br />

Painel de bordo<br />

ly<br />

Face superior<br />

48<br />

Asx/2<br />

0.25 lx<br />

Fig. 2.31 - Painel de bordo<br />

Painel com três bordos apoiados e um bordo livre<br />

lx<br />

lx


LAJES VIGADAS<br />

Indica-se na figura ???????? as trajectórias principais dos esforços neste tipo<br />

de laje.<br />

lx<br />

ly/lx = 2<br />

ly<br />

y<br />

49<br />

x<br />

m2<br />

lx<br />

ly/lx = 1<br />

lx<br />

m1<br />

ly/lx = 0.5<br />

Fig. 2.32 – Trajectórias principais dos momentos em lajes simplesmente apoiadas com um<br />

bordo livre.<br />

Pode verificar-se que para relações de vãos ly/lx ≥ 1.0 poderá adoptar-se a<br />

distribuição usual de armaduras de canto:<br />

ly<br />

ly


0.25 lx<br />

0.25 lx<br />

0.25 lx<br />

LAJES VIGADAS<br />

ly<br />

Face superior<br />

50<br />

Asx<br />

Asx<br />

ly/lx 1<br />

Fig. 2.33 – Relações de vãos<br />

Por outro lado, para relações ly/lx pequenas, os momentos principais oblíquos são<br />

fundamentais para o funcionamento da laje, havendo necessidade, nestes casos, de dispor de<br />

uma importante armadura de canto com uma eficiente ancoragem da reacção Ro. Na figura<br />

2.34 está representada a distribuição de armadura de canto mais eficaz para os momentos<br />

actuantes neste tipo de lajes.<br />

lx


Face inferior<br />

LAJES VIGADAS<br />

Armadura de canto Ancorar com segurança<br />

51<br />

Face superior<br />

Fig. 2.34 – Distribuição da armadura de canto<br />

Quando ly/lx ≤ 1.0 a armadura dos cantos e sua distribuição deve ser obtida com<br />

base no cálculo, através da distribuição de momentos.<br />

Na face inferior da laje, se não for dispensada a armadura principal junto aos<br />

apoios, não se torna necessário nenhum reforço de armadura junto ao canto.<br />

Nos cantos em que os dois lados são apoiados a laje tende a desligar-se do apoio<br />

(levantamento do canto). Se não existir uma força de compressão (parede ou pilar) é<br />

necessário garantir a ligação da laje ao apoio através de uma conveniente pormenorização de<br />

armaduras. Esta ligação pode ser efectuada através da amarração da armadura de canto no<br />

elemento de suporte. Pode também ser realizada com estribos se o apoio for uma viga.


LAJES VIGADAS<br />

a a'<br />

Plantas<br />

0.25 lx<br />

52<br />

R<br />

laje<br />

apoio<br />

0.25 lx


LAJES VIGADAS<br />

lb, net<br />

junta de<br />

betonagem<br />

Parede<br />

varão de "espera" lb, net<br />

Viga<br />

53<br />

Cortes<br />

Fig. 2.35 – Disposições para absorção das forças de canto numa laje<br />

2.7.8 - Armadura de Punçoamento


LAJES VIGADAS<br />

O punçoamento é um tipo de rotura que pode surgir quando uma laje está<br />

submetida seja a uma carga concentrada seja à reacção dum apoio (pilar). A rotura produzse<br />

com um movimento predominante vertical por formação de uma superfície de rotura<br />

(inclinada aproximadamente de 30º sobre o plano da laje) à volta da carga ou da reacção<br />

segundo o esquema indicado na figura 2.36.<br />

Fig. 2.36 - Roturas por punçoamento sob uma carga concentrada ou na vizinhança de um<br />

apoio.<br />

É importante referir que, em termos de concepção, todas as soluções com vista a<br />

evitar a necessidade deste tipo de armadura devem ser tentadas, em particular com recurso a:<br />

● aumento da espessura da laje através de um capitel ( Fig. 2.37 )<br />

● alargamento do pilar<br />

a1)<br />

54


2)<br />

LAJES VIGADAS<br />

1:6 a 1:8<br />

> ou = b + 5d<br />

55<br />

d<br />

d<br />

2 a 5 cm<br />

Fig. 2.37 - Soluções estruturais que poderão evitar a necessidade do dimensionamento de<br />

armaduras próprias de punçoamento.


LAJES VIGADAS<br />

Caso não seja possivel encontrar uma outra solução aceitável, que não necessite de<br />

armadura transversal própria para o punçoamento, aconselha-se a utilização de estribos,<br />

pois:<br />

● dispostos verticalmente encontram-se melhor aproveitados para resistir ao<br />

punçoamento;<br />

● aumentam a cintagem da zona comprimida com correspondente aumento da<br />

resistência e ductilidade.<br />

Há que, de qualquer modo, garantir uma boa amarração à armadura de<br />

punçoamento.<br />

Na figura a seguir representada, exemplifica-se a pormenorização de soluções com<br />

estribos e varões inclinados de punçoamento, indicando-se o seu posicionamento e<br />

afastamentos máximos de acordo com o artº 110 do REBAP.<br />

SOLUÇÂO COM ESTRIBOS<br />

~ d<br />

Zona de armadura<br />

56<br />

a<br />

~ d d/2<br />

Zona de armadura<br />

d/2 ~ d<br />

a = 30 a 35°


ou = 0,25d<br />

SOLUÇÂO COM VARÕES INCLINADOS<br />

LAJES VIGADAS<br />

57<br />

< ou = 0,75d<br />


LAJES VIGADAS<br />

2.7.9 - <strong>Lajes</strong> armadas numa só direcção sujeitas a cargas concentradas<br />

Segundo o artigo 103º do REBAP, é analisado o cálculo dos esforços de<br />

dimensionamento e a pormenorização das armaduras em zonas sujeitas a cargas<br />

concentradas. Se se tratar de uma laje armada numa só direcção e se a carga for<br />

suficientemente afastada dos bordos paralelos à direcção do vão, o cálculo é feito<br />

assimilando a laje a uma viga com os mesmos vãos, condições de apoio e espessura da laje e<br />

considerando uma faixa de largura bm = b + b1 (largura efectiva). Esta é definida de forma a<br />

que o esforço máximo na laje seja obtido pela divisão do momento da viga por aquele valor<br />

(figura 2.39). A parcela b1 da largura deve ser calculada de acordo com o quadro 2.11 e<br />

depende do esforço que se pretende calcular (momento flector positivo ou negativo ou<br />

esforço transverso).<br />

A zona de distribuição da carga concentrada obtém-se, supondo uma degradação<br />

segundo linhas a 45º, a partir do contorno da área carregada até ao plano situado a meio da<br />

altura útil da laje; numa dada direcção, a dimensão b de distribuição será:<br />

b = a + 2h1 + d<br />

em que: a - é a dimensão da área carregada na direcção considerada;<br />

h1- é a espessura do revestimento sob a área carregada;<br />

d - é a altura útil da laje.<br />

58


ax<br />

lx<br />

ESFORÇO<br />

b1/2<br />

bx<br />

bm<br />

by<br />

LAJES VIGADAS<br />

b1/2<br />

Fig. 2.39 - Definição da largura equivalente<br />

59<br />

x<br />

h1<br />

d<br />

ax<br />

bx<br />

b = a +2h1 + d<br />

bx = ax +2h1 + d<br />

by = ay +2h1 + d<br />

bm = by + b1<br />

QUADRO 2.11<br />

Largura de distribuição de cargas concentradas em lajes<br />

Valores de b1<br />

CONDIÇÕES<br />

DE APOIO<br />

revestimento<br />

rigido<br />

laje<br />

LIMITES<br />

DE<br />

VALIDADE<br />

Quadro 2.11 – Largura de distribuição de cargas concentradas em lajes. Valores de b1


lx<br />

a<br />

by<br />

bm<br />

LAJES VIGADAS<br />

60<br />

a<br />

x<br />

by<br />

bm reduzido<br />

bx<br />

bordo da laje<br />

Fig. 2.40 - Largura de distribuição bm em função da distância ao apoio ou um bordo livre<br />

A armadura principal adicional (Ax,p) determinada a partir do momento máximo,<br />

Mx,p, devido à carga concentrada e com base na largura bm, deve ser disposta numa faixa<br />

de largura igual a 0.5 bm, mas não menor que a largura by (figura 2.42)<br />

A armadura de distribuição transversal com área,<br />

Ay,p = 0,6 × Ax,p<br />

60 % da armadura principal, deve ser distribuída numa faixa da largura 0.5 bm mas não<br />

menor que bx. Os varões desta armadura devem estender-se ao longo do comprimento bm e<br />

serem prolongados para um e outro lado dos respectivos comprimentos de amarração (ver<br />

figura 2.42).<br />

A verificação das tensões de corte na zona de influência da carga concentrada deve<br />

ser feita tendo em conta o esforço transverso devido à carga concentrada e à carga<br />

distribuída correspondente à largura de distribuição, bm, obtida no quadro 2.11, que toma<br />

valores diferentes dos utilizados na determinação dos momentos,<br />

V = Vp + ‘Vp (na largura bm – quadro 2.3)


a)<br />

Secção segundo o<br />

eixo dos y<br />

mx Mx<br />

=<br />

bm<br />

____<br />

segundo y<br />

x<br />

LAJES VIGADAS<br />

my<br />

Variação de mx<br />

61<br />

Secção segundo o eixo dos x<br />

bm segundo x<br />

y<br />

Mx<br />

____<br />

=<br />

Pl<br />

4<br />

Fig. 2.41 – Esforços elásticos devido a uma carga concentrada. Processo simplificado de<br />

determinação de uma “largura de cálculo”<br />

b)<br />

Revestimento<br />

45º<br />

by<br />

P<br />

bm +2 = lb,net<br />

0.5 bm<br />

(< by)<br />

Armadura principal<br />

reforçada, Ax, P<br />

Armadura principal<br />

lx<br />

0.5 bm (< bx)<br />

P<br />

Armadura adicional, no caso de<br />

cargas concentradas elevadas<br />

Armadura principal<br />

reforçada (comprimento<br />

bm + 2 lb,net)<br />

Fig. 2.42 - Laje armada numa direcção e sujeita a carga concentrada: a) distribuição de<br />

esforços; b) disposição de armadura


LAJES VIGADAS<br />

No caso particular de lajes em consola, o valor de 60 % que define a secção da<br />

armadura transversal de distribuição deve ser referida à secção de armadura principal, no<br />

encastramento, devido à carga concentrada:<br />

Ay,p = 0.6 × Ax,p (máx)<br />

Deverá ainda dispor-se, na face oposta à de aplicação da carga, uma armadura<br />

longitudinal, A’xd ≈ 0.3 Ax,p numa faixa de largura ℓ/3 (na figura está representedo po<br />

ℓ→1) para resistir aos momentos que se desemvolvem localmente nessa direcção ( ver<br />

figura 2.43).<br />

a)<br />

mx<br />

b)<br />

x<br />

y<br />

bm<br />

by<br />

Ay, P = 0.6 Ax, P<br />

0.5 bm<br />

(< by)<br />

x<br />

A'xd, P = 0.3 Ax, P<br />

( numa largura de l/3)<br />

62<br />

Variação do momento de<br />

encastramento<br />

Fig. 2.43 – <strong>Lajes</strong> em consola sujeitas a carga concentrada: a) variação dos momentos;<br />

b) disposição de armadura<br />

P<br />

l


LAJES VIGADAS<br />

Nas lajes armadas numa só direcção, sujeitas a cargas concentradas, toda a<br />

armadura principal respeitante a estas cargas, quando determinada tendo em conta os<br />

critérios anteriormente enunciados, deve ser disposta, segundo o REBAP, numa faixa cy de<br />

largura igual a 0,5 bm, mas não menor que a largura by considerada para a distribuição da<br />

carga. Deve dispor-se também, a menos de uma determinação mais rigorosa, uma armadura<br />

de distribuição transversal à anterior, colocada junto à face oposta à da aplicação da carga,<br />

totalizando a sua secção 60% da secção da armadura principal de flexão respeitante à carga<br />

na zona em que esta actua, e distribuída numa faixa cx de largura igual a 0,5 bm mas não<br />

menor que bx. Os varões desta armadura devem estender-se ao longo do comprimento bm e<br />

ser prolongados para um e outro lado dos respectivos comprimentos de amarração (figura<br />

2.16).<br />

bx<br />

bm - Assimilação de um trecho de<br />

laje a uma viga (largura equivalente)<br />

Armadura principal disposya<br />

segundo o REBAP<br />

bx<br />

b1/2<br />

by<br />

63<br />

b1/2<br />

bm = cy + b1<br />

b - (by, bx)<br />

Armadura de distribuição<br />

transversal à principal,<br />

colocada junta da face oposta<br />

à da aplicação das carga.<br />

Fig. 2.44 – Distribuição de armaduras para uma carga concentrada numa laje armada numa<br />

só direcção


LAJES VIGADAS<br />

No caso particular de lajes em consola, o valor de 60% que define a secção desta<br />

armadura de distribuição deve ser referido à secção da armadura principal exigida no<br />

encastramento por acção da carga (figura 2.17).<br />

Se esta actuar em zona afastada do bordo extremo da consola, deverá dispor-se<br />

ainda, e também junto à face oposta à de aplicação da carga, uma armadura longitudinal<br />

para resistir aos momentos que se desenvolvem localmente nessa direcção.<br />

64<br />

mx - devido a uma carga<br />

concentrada<br />

Corte<br />

Fig. 2.45 – Distribuição de armadura para uma carga concentrada numa consola


LAJES VIGADAS<br />

O dimensionamento e distribuição de armaduras, no caso de lajes armadas em cruz,<br />

submetidas a cargas concentradas, pode ser analisado considerando-se uma “grelha” de<br />

faixas perpendiculares.<br />

Para o dimensionamento das faixas admite-se que uma resiste a uma carga de valor<br />

αP e a outra a (1 - α) P (método estático de análise plástica). O valor de α deve ter em conta<br />

as condições de apoio e o vão de cada faixa. No entanto, a armadura numa direcção nunca<br />

deverá ser inferior a 60% da armadura na outra direcção, isto é, a armadura de distribuição<br />

não pode ser inferior a 60% da armadura principal [2].<br />

As armaduras de cálculo deverão, então, ser distribuídas em metade das faixas<br />

(figura 2.18), exactamente como no caso anterior.<br />

Esquema estático (grelha)<br />

de determinação de esforços<br />

65<br />

Distribuição das armaduras<br />

Fig. 2.46 – Dimensionamento e distribuição de armaduras no caso de lajes armadas em cruz<br />

Em casos em que a acção de cargas concentradas é muito importante, o<br />

dimensionamento da laje deverá basear-se na determinação dos esforços obtidos por uma<br />

análise elástica linear. As superfícies de influência de esforços em lajes facilitam estes<br />

cálculos, em especial quando se tratam de cargas móveis.


LAJES VIGADAS<br />

2.7.10 - Aberturas em <strong>Lajes</strong> Maciças<br />

A análise da capacidade resistente de uma laje com aberturas pode tornar-se<br />

bastante complicada. O seu comportamento depende muito da posição, forma e dimensão da<br />

abertura.<br />

Quando as dimensões das aberturas não excedem determinados limites, podem<br />

adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das aberturas.<br />

Indicam-se a seguir os limites máximos a partir dos quais não é aconselhável utilizar regras<br />

simplificadas.<br />

Abertura isolada<br />

Laje armada numa direcção<br />

b <<br />

L1<br />

5<br />

b<br />

L2<br />

b <<br />

4<br />

L2<br />

Fig. 2.47 – Laje armada numa direcção – Abertura isolada<br />

66<br />

L1


LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.48 – Laje armada em duas direcções<br />

Podemos distinguir, do ponto de vista do projectista, dois tipos de aberturas nas<br />

lajes: aberturas de detalhe e aberturas de cálculo. As primeiras referem-se a pequenas<br />

aberturas de dimensões em geral não maiores que 1/5 do vão que não tem interferência<br />

significativa no cálculo dos esforços tendo apenas de receber uma pormenorização adequada<br />

de armadura. Quando existam aberturas maiores, aberturas de cálculo, estas terão de ser<br />

tidas em conta na análise estrutural.<br />

Em geral, no caso de aberturas de detalhe, basta dispor os varões da armadura<br />

resistente, que teoricamente cairiam na abertura (ver fluxo de forças – Fig. 2.49 a)), como<br />

armadura adicional nos bordos da abertura (Fig. 2.49 b)). Os picos de tensão que surgem nos<br />

cantos, conduzem geralmente ao aparecimento de fendas, que são mantidas com pequena<br />

abertura por meio de uma armadura adicional, inclinada a 45º com bordos de abertura.<br />

A FIG 2hjdhjdj mostra com maior detalhe a pormenorização de armadura para o<br />

caso de uma laje armada numa só direcção em que alguns varões tiveram de ser<br />

interrompidos para dar lugar a uma abertura. Três varões (1) são cortados e quatro varões<br />

extra (2) são colocados como compensação para restabelecer a capacidade de carga da laje.<br />

67


LAJES VIGADAS<br />

Armadura transversal (3) deve ser colocada de forma a controlar a fendilhação. Se<br />

não for de aceitar uma diminuição de rigidez devido à presença da abertura, deve então ser<br />

adicionada armadura de compressão. Recomenda-se que seja colocado, neste caso, mais<br />

armadura de compressão do que armadura de tracção extra. Na figura foram usadas 4 varões<br />

extra traccionados e 6 varões comprimidos (4).<br />

a) b)<br />

Direcção resistente principal<br />

Lx<br />

68<br />

Armadura originalmentedistribuida<br />

de maneira<br />

uniforme<br />

Armadura<br />

transversal<br />

adicional<br />

Fig. 2.49 - Armadura em lajes com pequenas aberturas rectangulares<br />

É conveniente uma disposição de armadura nos bordos da abertura do tipo da<br />

especificada para bordos livres.


4<br />

3 2<br />

LAJES VIGADAS<br />

1<br />

1 3<br />

2<br />

4<br />

69<br />

SECÇÃO<br />

FACE EM TRACÇÃO<br />

Lb,net<br />

Lb,net<br />

FACE EM COMPRESSÃO<br />

Fig. 2.50 - Laje armada numa direcção com uma abertura


LAJES VIGADAS<br />

2.8 Dimensionamento de <strong>Lajes</strong> <strong>Vigadas</strong><br />

2.8.1 - Modelos de Cálculo<br />

Existe dois grandes modelos de cálculo de esforços nas lajes que possibilitam o<br />

dimensionamento das mesmas. Estes são designados por métodos clássicos e métodos de<br />

rotura.<br />

2.8.1.1 - Métodos Clássicos<br />

Os métodos clássicos são baseados na Teoria da Elasticidade (cálculo linear) e<br />

presumem que o material é elástico, homogéneo e isótropo.<br />

σ<br />

70<br />

ε<br />

Material elasto-plástico<br />

Há inúmeros modelos baseados nesta Teoria, no entanto, julga-se conveniente referir<br />

os de maior interesse:<br />

i método dos elementos finitos<br />

ii tabelas para cálculo de esforços<br />

iii método de Marcus


LAJES VIGADAS<br />

2.8.1.1 - Métodos de Rotura<br />

Os métodos de rotura são baseados na Teoria da Plasticidade (cálculo não linear) e<br />

presumem que o material se comporta como um corpo rígido-plástico perfeito<br />

σ<br />

ε<br />

Material rígido-plástico<br />

Existe também uma diversidade de modelos baseados nesta Teoria, no entanto é de<br />

referir os de maior interesse:<br />

i método dos trabalhos virtuais<br />

ii método das Bandas<br />

2.8.2 - Combinação de Acções para Lages Contínuas (fig.2.21)<br />

1) Na determinação dos momentos negativos<br />

Os momentos negativos que surgem nos bordos da lage com continuidade são<br />

máximos se a sobrecarga actuar, simultaneamente, nos dois painéis adjacentes a esse bordo<br />

(fig. 2.22).<br />

71


LAJES VIGADAS<br />

Fig. 2.51 - <strong>Lajes</strong> contínuas armadas em duas direcções<br />

Fig. 2.52 - Distribuição da sobrecarga mais desfavorável para cálculo de momentos<br />

negativos<br />

2) Na determinação dos momentos positivos<br />

72


LAJES VIGADAS<br />

A distribuição de sobrecargas que produz um momento flector máximo no painel<br />

central está indicado na figura 2.23; e nos painéis de canto, de bordo e interior na figura<br />

2.24.<br />

Fig. 2.53 - Distribuição da sobrecarga mais desfavorável para momentos positivos no painel<br />

central<br />

Fig. 2.54 - Distribuição da sobrecarga para cálculo de momentos positivos nos painéis de<br />

canto, de bordo e interior<br />

73


LAJES VIGADAS<br />

Na figura seguinte, fig. 2.25, apresenta-se o modelo de cálculo para determinação<br />

dos momentos mais desfavoráveis numa lage com bordo livre.<br />

P/ M (-) P/ M (+)<br />

Fig. 2.55 - Laje com bordo livre<br />

2.8.3 - Método de Marcus (método clássico)<br />

É um método simplificado que foi muito utilizado antes do aparecimento dos<br />

programas de cálculo automático.<br />

Dada uma lage armada em cruz (duas direcções), o método consiste em considerar<br />

duas faixas de largura unitária, uma em cada direcção. A carga que actua sobre a laje deve<br />

repartir-se pelas duas faixas de forma a que as respectivas flechas sejam iguais no ponto em<br />

que se cruzam.<br />

Assim, por exemplo, no caso de uma lage rectangular de dimensões Lx = 2 Ly,<br />

simplesmente apoiada em todo o seu contorno, e submetida a uma carga uniformemente<br />

distribuída, q, resulta:<br />

74


LAJES VIGADAS<br />

4<br />

4<br />

5 5 EI<br />

EI<br />

a = × qx × Lx = × qy × Ly ;<br />

384<br />

384<br />

sendo: qx + qy = q<br />

q 1 q<br />

donde: qx = ; Mx = × × 4 ×<br />

17 8 17<br />

75<br />

2<br />

Ly<br />

q 1 q<br />

e qy = 16 × ; My = × 16 × ×<br />

17 8 17<br />

Fig. 2.56 - Método de Marcus<br />

Este resultado mostra que as lages apoiadas nos quatro bordos trabalham quase<br />

exclusivamente na direcção mais curta, a partir de uma relação de dimensões da ordem de 2,<br />

ou seja: Lx / Ly >= 2.<br />

2<br />

Ly


Aplicações Práticas<br />

LAJES VIGADAS<br />

1º Dimensione uma lage rectangular de (4,00 * 10,00) m 2 , apoiada em todo o seu<br />

contorno numa parede de 30 cm de espessura, utilizando B25 e A400 NR e considerando as<br />

seguintes acções:<br />

1. Peso próprio, revestimento de 1,5 KN/m2;<br />

2. Sobrecarga de utilização de 2,0 KN/m2 (ψ2 = 0)<br />

Desenhe uma planta das armaduras à escala 1/50 e um corte transversal à escala 1/20..<br />

2 Considere o pavimento constituído por lages maciças de betão armado, abaixo<br />

- revestimento 0,7 KN/m2<br />

- paredes divisórias 1,5 KN/m2 representado.<br />

Efectue o dimensionamento do painel assinalado, sabendo que se utiliza o B25 e o<br />

A400 ER, considerando as seguintes acções, para além do peso próprio:<br />

- sobrecarga 6,0 KN/m2<br />

76


Resolução da primeira aplicação prática<br />

LAJES VIGADAS<br />

1º Sendo a relação entre o vão maior e o menor igual a<br />

dimensionada como armada numa só direcção.<br />

1. GEOMETRIA<br />

77<br />

10.<br />

00<br />

4.<br />

00<br />

= 2.50 > 2.00, esta lage é<br />

Tratando-se de uma lage simplesmente apoiada, tem-se:<br />

Vão teórico é o menor valor de<br />

1<br />

- vão livre acrescido de da largura de cada<br />

3<br />

apoio; ou<br />

- vão livre acrescido da altura útil da lage.<br />

VÃO LIVRE<br />

O vão livre da lage é a distância (à face) entre as vigas de bordadura perpendiculares<br />

à direcção da armadura principal.<br />

Atendendo à geometria da lage, consideram-se duas faixas de largura unitária em<br />

cada direcção. A compatibilização de deslocamentos a meio vão (porque a continuidade da<br />

peça a isso o obriga) implica a existência de curvaturas mais acentuadas segundo o menor<br />

vão, pelo que é segundo este que se irão desenvolver os maiores esforços, havendo assim<br />

que colocar a armadura principal com essa direcção. Pode assim concluir-se que, para lages<br />

armadas numa só direcção, esta coincide com o menor vão.<br />

Assim, deve-se considerar o vão livre igual a 4.00 m.<br />

1.2. VÃO TEÓRICO<br />

Para o cálculo do vão teórico é necessário o conhecimento da altura útil.<br />

Adopte-se d = 12 cm


LAJES VIGADAS<br />

O vão teórico é o menor dos seguintes valores:<br />

1<br />

4.00 + 2 × × 0.30 = 4.20<br />

3<br />

ou<br />

4.00 + 0.12 = 4.12 ;<br />

portanto deve considerar-se o vão teórico igual a 4.12 m.<br />

De acordo com o REBAP (artº 102.2), a verificação do estado limite de deformação<br />

nas lages é dispensada se, uma vez verificada a segurança ao estado limite último e as<br />

restantes disposições regulamentares, a sua espessura for superior ao valor dado pela<br />

expressão<br />

li<br />

h ≥<br />

30η<br />

com li = α l, sendo l (vão teórico) = 4.12 m<br />

α (laje simplesmente apoiada armada numa só direcção) = 1.0<br />

e η = 1.0 (A 400)<br />

4.<br />

12×<br />

1.<br />

0<br />

Então h ≥ h ≥ 0.137 m; como h = 0.15 m, verifica.<br />

30×<br />

1.<br />

0<br />

No entanto, na prática verifica-se que, em algumas situações correntes, a limitação<br />

l<br />

da deformação a para as combinações frequentes de acções não é garantida com os<br />

400<br />

li<br />

valores obtidos por esta expressão. É recomendável utilizar a seguinte expressão: h ≥<br />

21η<br />

4.<br />

12<br />

pelo que h ≥ h ≥ 0.196 m, não se verificando esta condição com h = 0.15 m (seria<br />

21<br />

preferível, tendo em vista a limitação da deformação adoptar uma espessura da ordem de h =<br />

0.20m. Nesta resolução optou-se por escolher h = 0.15 m e proceder ao cálculo da flecha,<br />

permitindo assim uma melhor análise do atrás exposto).<br />

2. ACÇÕES<br />

2.1 Cargas permanentes<br />

78<br />

;


2.2 . Sobrecargas<br />

2. Cálculo dos Esforços<br />

LAJES VIGADAS<br />

Peso próprio ....................................... 25 × 0.15 = 3.75 KN/m2<br />

Revestimento ........................................ 1.50 KN/m2<br />

79<br />

CP = 5.25KN/m2<br />

Sobrecarga de utilização ......................... 2.00 KN/m2<br />

SC = 2.00 KN/m2<br />

Os esforços são calculados para uma banda de lage de largura unitária, com as<br />

mesmas condições de apoio e actuada pelas acções atrás determinadas.<br />

Donde:<br />

2<br />

4.<br />

12<br />

MCP = 5.25 × = 11.1 KNm/m<br />

8<br />

2<br />

4.<br />

12<br />

MSC = 2.00 × = 4.2 KNm/m<br />

8<br />

VCP = 5.25 ×<br />

VSC = 2.00 ×<br />

4.<br />

12<br />

2<br />

4.<br />

12<br />

2<br />

= 10.8 KN/m<br />

= 4.1 KN/m


LAJES VIGADAS<br />

MSd = 1.5 ( MCP + MSC ) = 1.5 ( 11.1 + 4.2 ) = 23.0 KNm/m<br />

VSd = 1.5 ( VCP + VSC ) = 1.5 ( 10.8 + 4.1 ) = 22.4 KN/m<br />

4. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos<br />

4.1 Flexão<br />

MSd = 23.0 KNm/m<br />

μ =<br />

Msd<br />

2<br />

b × d × f<br />

cd<br />

d = h – rec - φ/2 = 0.15 – 0.025 – 0.01/2 = 0.12<br />

23.<br />

0<br />

1.<br />

0×<br />

0.<br />

12 × 13.<br />

3×<br />

10<br />

= 2<br />

3<br />

= 0.120<br />

μ = 0.120; β = 0; ω = 0.131 (valores tabelados)<br />

As = ω × b × d ×<br />

f<br />

f<br />

cd<br />

syd<br />

Verificação da Armadura<br />

ρmin = 0.15 (A 400) => As,min =<br />

13.<br />

3×<br />

10<br />

= 0.131 × 1.0 × 0.12 ×<br />

348<br />

0.<br />

15<br />

4<br />

× 1.<br />

0×<br />

0.<br />

12×<br />

10<br />

100<br />

Sendo As > As,min adopta-se φ10 // 0.125 (6.28 cm2 /m)<br />

4.2 Esforço Transverso<br />

80<br />

4<br />

= 6.00 cm2 /m<br />

= 1.8 cm2 /m


LAJES VIGADAS<br />

VSd = 22.4 KN/m<br />

As lages são os únicos elementos estruturais que podem não apresentar armaduras<br />

transversais. Nelas não é válida a hipótese de formação de um mecanismo de treliça,<br />

sendo a resistência ao esforço transverso garantida pela resistência à tracção do betão.<br />

Essa resistência, em termos de cálculo, é quantificada pela expressão simplificada:<br />

Vcd = 0.6 (1.6 – d) τ1 bw d com 1.6 – d ≥ 1.0<br />

Assim:<br />

τ1 = 0.65 Mpa<br />

d = 0.12 m<br />

bw = 1.0 m<br />

1.6 – d = 1.6 – 0.12 = 1.48 >= 1.0, pelo que<br />

Vcd = 0.6 (1.6 – 0.12) × 0.65 × 10^3 × 1.0 × 0.12 = 69.3 KN/m<br />

Como Vcd > Vsd, não é necessária armadura de esforço transverso.<br />

5. Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização<br />

Deformação<br />

li<br />

Tendo-se cumprido a condição h ≥ , não seria necessária, de acordo com o<br />

30η<br />

REBAP, o cálculo da deformação. Vai, no entanto, calcular-se a flecha a meio vão:<br />

5 ql<br />

ac = ×<br />

384 EI<br />

4<br />

Considerando ψ1 = 0, tem-se q = CP + ψ1 × SC = 5.25 KN/m2<br />

3<br />

b × h h<br />

I = =<br />

12 12<br />

3<br />

0.<br />

15<br />

(b= 1.0 m); I =<br />

12<br />

E = 29 Gpa; l = 4.12 m<br />

3<br />

81<br />

−4<br />

= ( 2.<br />

81×<br />

10 ) m4


LAJES VIGADAS<br />

4<br />

5 5.<br />

25×<br />

4.<br />

12<br />

Então, vem ac = × = 0.0024 m;<br />

6<br />

−4<br />

384 29×<br />

10 × 2.<br />

81×<br />

10<br />

Ou seja ac = 2.4 mm.<br />

d 0.<br />

12<br />

Para o cálculo da flecha a longo prazo, tem-se: = = 0.8;<br />

h 0.<br />

15<br />

ϕ = 2.5 (adoptado); β = 0;<br />

200<br />

α = = 6.9 e ρ =<br />

29<br />

então<br />

MD =<br />

As<br />

b × d<br />

=<br />

α × ρ = 6.9 × 0.0052 = 0.036<br />

5.<br />

25×<br />

4.<br />

12<br />

8<br />

2<br />

= 11.1 KNm/m<br />

6.<br />

28<br />

1.<br />

0<br />

82<br />

×<br />

×<br />

4<br />

10<br />

0.<br />

12<br />

h<br />

Mcr = fctm (flexão) ×<br />

6<br />

2<br />

; fctm (flexão) = fctm (tracção) × 0.6 ×<br />

Mcr = 2.7 ×<br />

3<br />

10 ×<br />

2<br />

0.<br />

15<br />

6<br />

= 10.1 KNm/m ; pelo que<br />

= 0.0052;<br />

0.<br />

4<br />

1<br />

4 h<br />

D<br />

=<br />

M cr<br />

=<br />

M<br />

3<br />

2 . 7 × 10 KN/m2<br />

10 . 1<br />

= 0.91<br />

11.<br />

1<br />

Assim: η = 1.0 e Kt = 6.25 e a(t=00) = η Kt ac = 1.0 × 6.25 × 2.4 = 15.0 mm<br />

l<br />

Pelo REBAP, amáx =<br />

400<br />

4.<br />

12×<br />

10<br />

=<br />

400<br />

3<br />

= 10.3 mm<br />

Demonstra-se assim o que se havia dito na parte inicial da resolução: Embora fosse<br />

dispensável a verificação da segurança ao estado limite de deformação, esta não é<br />

garantida. Se se tivesse adoptado h = 0.20 m (com consequente alteração da altura<br />

útil e peso próprio) obter-se-ia para a (t=00) o valor de 4.1 mm, que seria inferior ao<br />

l<br />

limite regulamentar, = 10 mm<br />

400


Fendilhação<br />

LAJES VIGADAS<br />

A dispensa da verificação ao estado limite de fendilhação é permitida desde que se<br />

cumpra a disposição regulamentar sobre o espaçamento máximo dos varões (Smáx =<br />

15 cm).<br />

Tendo-se adoptado φ10 // 0.125, a verificação do estado limite de fendilhação está<br />

garantido.<br />

Nota: o espaçamento máximo permitido para a armadura longitudinal é de:<br />

Smáx é o menor dos seguintes valores:<br />

1.5 × h = 1.5 × 15 = 22.5 cm<br />

35 cm<br />

2 × os valores indicados para vigas<br />

6. Armadura de Distribuição<br />

Para lages armadas numa só direcção, a armadura de distribuição deve ser, pelo<br />

menos, igual a 20 % da armadura principal (dispensa verificação ao E.L. Fendilhação).<br />

Sendo As = 6.28 cm2/m, tem-se: As (d) = 0.2 × 6.28 = 1.26 cm2/m<br />

φ6 // 0.20 (As (d) = 1.41 cm2/m)<br />

7. Armadura de Canto (só quando não há continuidade)<br />

Para ter em conta o efeito dos momentos flectores e torsores nos cantos da lage (os<br />

cantos têm tendência para levantarem) e para assim garantir um controlo da<br />

fendilhação e capacidade resistente há que colocar, tanto inferior como<br />

superiormente, uma malha ortogonal de armadura de comprimento igual a ¼ do vão<br />

teórico e de área igual a ½ da máxima armadura longitudinal de cálculo: As = ½ ×<br />

6.00 = 3.00 cm2/m<br />

Largura = 0.25 × 4.12 = 1.03 (aproximadamente igual a 1.00 m), a partir do eixo da<br />

viga.<br />

83


8. Armadura Superior<br />

LAJES VIGADAS<br />

Embora se adopte como modelo de cálculo para a determinação dos momentos de<br />

dimensionamento o modelo de viga simplesmente apoiada, em serviço aparecem<br />

momentos negativos nos apoios (uma vez que as vigas apresentam alguma<br />

resistência à torção).<br />

É assim conveniente para controlo da fendilhação, a colocação de uma armadura<br />

superior no<br />

bordo simplesmente apoiado igual à armadura mínima ou adoptando uma armadura<br />

igual à armadura de distribuição.<br />

Adopta-se φ6 // 0.20<br />

9. Interrupção da Armadura Longitudinal (dispensa de armaduras)<br />

Regularmente é necessário levar até ao apoio, pelo menos, metade da armadura<br />

máxima de tracção. Por outro lado, no caso de lages sem armadura de esforço<br />

transverso, a translação al do diagrama de momentos proposta no REBAP é de 1.5 ×<br />

d.<br />

Para uma lage simplesmente apoiada verifica-se que:<br />

ou seja, só é possível iniciar a dispensa de ½ da armadura máxima a 0.15 × L do<br />

apoio (havendo ainda que subtrair o valor de al e de lb,net).<br />

84


LAJES VIGADAS<br />

Para o exemplo, a dispensa de metade dos varões seria possível a uma<br />

distância dada por: x = 0.15 × L – al – lb,net; L = 4.12 m ; al = 1.5 × d = 1.5 × 0.12 =<br />

0.18 m<br />

Lb,net = 35 φ<br />

As,<br />

As,<br />

cal<br />

ef<br />

1 1<br />

= 35 φ × = 35 × 0.01 × = 0.175<br />

2<br />

2<br />

Ou seja x = 0.15 × 4.12 - 0.18 - 0.175 = 0.25 m<br />

Pode assim afirmar-se que não faz sentido dispensar-se armadura longitudinal<br />

perto de um bordo simplesmente apoiado (sem continuidade).<br />

85


Resolução da segunda aplicação prática<br />

LAJES VIGADAS<br />

Deve-se estudar, em primeiro lugar, a relação entre os vãos<br />

1. GEOMETRIA<br />

Ly 6.<br />

50<br />

Atendendo à razão entre os vãos, = = 1.3, trata-se de uma lage armada em<br />

Lx 5.<br />

00<br />

duas direcções. A escolha da altura da lage deve ser feita tendo em consideração a<br />

86


LAJES VIGADAS<br />

li<br />

necessidade de limitar a deformação. Pelo REBAP, tem-se h ≥ , sendo l (vão<br />

30η<br />

teórico) = lx = 5.0 m<br />

α (duplamente encastrada, armada em duas direcções) = 0.5; η (A 400) = 1.0, pelo que<br />

5.<br />

0×<br />

0.<br />

5<br />

h ≥ = 0.08, mas se considerar<br />

30×<br />

1.<br />

0<br />

li<br />

h ≥<br />

21η<br />

5.<br />

0×<br />

0.<br />

5<br />

, tem-se h ≥ = 0.12 m<br />

21×<br />

1.<br />

0<br />

l<br />

Assim, opta-se, neste caso, por h = 0.15 m ( = 33)<br />

h<br />

2. Acções<br />

Cargas permanentes<br />

Sobrecargas<br />

3. Cálculo dos Esforços<br />

Momentos Positivos<br />

Peso próprio ................................ 25 × 0.15 = 3.75 KN/m2<br />

Revestimentos .............................. 0.70 KN/m2<br />

Paredes divisórias ......................... 1.50 KN/m2<br />

87<br />

CP = 5.95 KN/m2<br />

Sobrecarga de utilização ................. 6.00 KN/m2<br />

SC = 6.00 KN/m2


LAJES VIGADAS<br />

O modelo de cálculo dos momentos positivos em lages vigadas com continuidade deve<br />

ter em consideração o facto de existir, ou não, a sobrecarga a actuar nos painéis de lage<br />

adjacentes ao painel em estudo.<br />

Actuando a carga permanente em toda a lage é realista considerar, para a obtenção dos<br />

esforços, o seguinte modelo:<br />

O momento máximo positivo é obtido quando a sobrecarga actua nos painéis<br />

assinalados:<br />

Para ter este efeito em consideração, momento máximo positivo devido à sobrecarga<br />

é calculado por sobreposição dos esforços dos seguintes modelos:<br />

88


LAJES VIGADAS<br />

Assim, para a determinação dos momentos máximos positivos num painel de lage<br />

vigada com continuidade, adopta-se o modelo:<br />

Recorrendo aos valores tabelados, tem-se:<br />

SC<br />

a) CP +<br />

2<br />

89


a 5 . 0<br />

γ = = = 0.77<br />

b 6.<br />

5<br />

μ = 0.15<br />

Mxs = 0.0306 × q ×<br />

Mys = 0.0105 × q ×<br />

2<br />

a<br />

2<br />

b<br />

LAJES VIGADAS<br />

90


SC<br />

b)<br />

2<br />

Mxs = 0.0644 × q ×<br />

Mys = 0.0244 × q ×<br />

2<br />

a<br />

2<br />

b<br />

LAJES VIGADAS<br />

Sendo a combinação de acções: Msd = 1.5 MCP + 1.5 MSC, vem<br />

SC<br />

Mxs, sd = 0.0306 × (1.5 CP + 1.5 ) ×<br />

2<br />

2<br />

5 . 0 + 0.0644 × (1.5<br />

2<br />

91<br />

SC 2<br />

) × 5 . 0 =<br />

6.<br />

00<br />

2<br />

6.<br />

00 2<br />

= 0.0306 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × ) × 5 . 0 + 0.0644 × 1.5 × × 5 . 0 =<br />

2<br />

2<br />

= 17.5 KNm/m<br />

2<br />

SC SC<br />

Mys, sd = 0.0105 × 5 . 0 × (1.5 CP + 1.5 ) + 0.0244 × (1.5 ) ×<br />

2<br />

2<br />

= 0.0105 ×<br />

= 10.6 KNm/m<br />

Momentos Negativos<br />

2<br />

6 . 5 × (1.5 × 5.95 + 1.5 ×<br />

2<br />

2<br />

6 . 5 =<br />

6.<br />

00<br />

6.<br />

00<br />

) + 0.0244 × 1.5 × ×<br />

2<br />

2<br />

6 . 5 =


LAJES VIGADAS<br />

O modelo de cálculo dos momentos negativos em lages vigadas com continuidade<br />

pretende simular a actuação da sobrecarga no painel em estudo e nos adjacentes, pelo<br />

que se tem:<br />

Mxvs = - 0.069 × q ×<br />

Assim:<br />

2<br />

a e Myvs = - 0.0336 × q ×<br />

2<br />

Mxvs, sd = - 0.069 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 5 . 0 = - 30.9 KNm / m<br />

2<br />

Myvs, sd = - 0.0336 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 5 . 0 = - 25.4 KNm / m<br />

O momento de cálculo, Msd, num apoio comum a dois painéis de lage é obtido pelo<br />

máximo valor verificado nas seguintes expressões:<br />

Msd 1 + sd2<br />

M<br />

2<br />

ou<br />

0.8 × (o maior valor entre Msd1 e Msd2)<br />

em que Msd1 e Msd2 são os valores de cálculo dos momentos no apoio comum calculados<br />

para cada painel.<br />

Tendo em consideração os painéis adjacentes, nesta situação, vem:<br />

92<br />

2<br />

b


LAJES VIGADAS<br />

Painel de lage 1 (encastrado em todos os bordos)<br />

a<br />

γ = = 0.77, Mx1 = - 0.069 × q ×<br />

b<br />

2<br />

a ; donde<br />

Mx1, sd = - 0.069 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) ×<br />

Mx1, sd = - 30.9 KNm / m<br />

2<br />

5 . 0<br />

Painel de lage 2 (apoiado num bordo e encastrado nos restantes)<br />

a<br />

γ = = 1.30, My2 = - 0.0341 × q ×<br />

b<br />

My2, sd = - 0.0341 × 1.5 × (5.95 + 6.0) ×<br />

2<br />

a ; donde<br />

2<br />

6<br />

. 5<br />

93


My2, sd = - 25.8 KNm / m<br />

Painel de lage 3 (idêntico ao painel 2)<br />

a<br />

γ = = 1.30 , Mx3 = - 0.0757 × q ×<br />

b<br />

Mx3, sd = - 0.0757 × 1.5 × (5.95 + 6.0) ×<br />

Mx3, sd = - 33.9 KNm / m<br />

LAJES VIGADAS<br />

2<br />

b ; donde<br />

2<br />

5 . 0<br />

Painel de lage 4 (apoiado em dois bordos e encastrado nos restantes)<br />

a<br />

γ = = 0.77 , My4 = - 0.0462 × q ×<br />

b<br />

My4, sd = - 0.0462 × 1.5 × (5.95 + 6.0) ×<br />

My4, sd = - 35.0 KNm / m<br />

2<br />

b ; donde<br />

2<br />

6 . 5<br />

Os momentos de dimensionamento nos diferentes bordos, virão:<br />

Bordo<br />

Esforço Transverso<br />

Mp Mi (Mp+Mm)/2 0,8 Mmáx Msd<br />

(KNm/m) (KNm/m) (KNm/m) (KNm/m) (KNm/m)<br />

1,0 -30,9 -30,9 -30,9 -24,7 -30,9<br />

2,0 -25,5 -25,8 -25,7 -20,6 -25,7<br />

3,0 -30,9 -33,9 -32,4 -27,1 -32,4<br />

4,0 -25,5 -35,0 -30,2 -28,0 -30,2<br />

94


LAJES VIGADAS<br />

A distribuição de carga pelos diferentes apoios de uma lage com condições de apoio<br />

idênticas às do painel em estudo é do tipo:<br />

Vsd = 2.5 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) = 44.8 KN / m<br />

4. Dimensionamento aos Estados Limites Ùltimos<br />

Flexão<br />

As armaduras são calculadas para uma faixa de lage de largura unitária,<br />

considerando uma altura útil média: d = h – rec - φ = 0.15 – 0.02 – 0.01 = 0.12 m<br />

Msd<br />

1.<br />

0×<br />

d × 13.<br />

3×<br />

10<br />

μsd = 2<br />

3<br />

Armadura minima:<br />

10<br />

As, min = 0.15 × 0.12 ×<br />

100<br />

4<br />

13 . 3<br />

=> ω => As = ω × 1.0 × d × ×<br />

348<br />

= 1.8 cm2 / m, donde<br />

95<br />

4<br />

10 −


ωmin = 1.8 ×<br />

Designação<br />

4<br />

10 − ×<br />

1.<br />

0<br />

×<br />

348<br />

0.<br />

12<br />

LAJES VIGADAS<br />

×<br />

13.<br />

3<br />

= 0.039<br />

M<br />

Armadura<br />

(KNm/m)<br />

μ ω<br />

cm2/m φ<br />

Mxs, sd 17,5 0,091 0,097 4,45 φ8 // 0,10<br />

Mys, sd 10,6 0,055 0,057 2,61 φ6 // 0,10<br />

1<br />

Mxvs, sd<br />

2<br />

Myvs, sd<br />

3<br />

Mxvs, sd<br />

4<br />

Myvs, sd<br />

Espaçamento máximo dos varões:<br />

-30,9 0,161 0,18 8,26 φ12 // 0,125<br />

-25,7 0,134 0,177 6,74 φ12 // 0,125<br />

-32,4 0,169 0,191 8,76 φ12 // 0,125<br />

-30,2 0,158 0,177 8,12 φ12 // 0,125<br />

Smáx é o menor dos seguintes valores<br />

1.5 h = 1.5 × 0.15 = 0.225<br />

ou<br />

0.35<br />

Portanto Smáx = 0.225 > S<br />

Esforço Transverso<br />

Vsd, máx = 44.8 KN / m<br />

Vcd = 0.6 × (1.6 – d) × τ1 × bw × d = 0.6 × (1.6 – 0.12) × 0.65 ×<br />

KN/m<br />

96<br />

3<br />

10 × 1.0 × 0.12 = 69.3


LAJES VIGADAS<br />

Como Vsd, máx < Vcd , não necessita de armadura de esforço transverso.<br />

5. Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização<br />

Deformação<br />

li<br />

Pela condição h ≥ , fica dispensada a verificação<br />

30η<br />

5.<br />

0×<br />

0.<br />

5<br />

h ≥ = 0.083 m<br />

30×<br />

1.<br />

0<br />

Fendilhação<br />

Tratando-se de um ambiente pouco agressivo, Smáx = 25 cm<br />

6. Armadura de Distribuição<br />

Para as armaduras negativas é necessária a colocação de armaduras de distribuição.<br />

Tendo-se em todos os bordos φ12 // 0.125 (9.05 cm2), vem:<br />

9.<br />

05<br />

As, dist = = 1.81 cm2/m ( φ6 // 0.15 )<br />

5<br />

Nota: Não é necessária armadura de canto.<br />

97


LAJES VIGADAS<br />

98


LAJES VIGADAS<br />

99


LAJES VIGADAS<br />

2.8.4 - Método das Bandas (método expedito, de rotura)<br />

O cálculo dos esforços pelo método das bandas é uma aplicação do método estático<br />

da Teoria da Plasticidade. Uma vez definido um "caminho de carga" que verifique o<br />

equilíbrio e em que nenhuma secção se ultrapasse o momento de cedência (solução<br />

estaticamente admissível), o teorema estático da análise plástica limite garante que a carga<br />

última da lage é igual ou superior à carga aplicada.<br />

Pode ser sempre aplicado, sendo habitualmente utilizado nos casos em que a<br />

determinação elástica dos esforços não é simples.<br />

A análise, por este método, pressupõe que a laje esteja armada em duas direcções<br />

ortogonais, x e y.<br />

Assim, se considerar Lx e Ly os vãos segundo as direcções x e y, respectivamente; e<br />

qx e qy as quantidades de carga que afectas a cada uma das direcções, tem-se que:<br />

Podendo-se expressar na relação:<br />

Como:<br />

qx + qy = q<br />

qx = α.q → qy = (1-α).q<br />

As flechas segundo os vãos ortogonais são iguais num mesmo ponto, assim:<br />

100<br />

4<br />

L<br />

f = η × q<br />

EI<br />

↓<br />

4<br />

y<br />

4 4<br />

x× qx× Lx = y× qy× Ly<br />

4<br />

y<br />

4<br />

L<br />

L<br />

x<br />

fx = ηx× q = fy = ηy×<br />

q<br />

EI EI<br />

↓<br />

4<br />

L L<br />

x ηx× qx = ηy×<br />

qy<br />

EI EI<br />

<br />

η η<br />

q= qx + qx<br />

∴<br />

q = α ⋅q ∧ q = (1 −α) ⋅q<br />

x x


Desenvolvendo:<br />

LAJES VIGADAS<br />

4 4<br />

x× qx× Lx = y× qy× Ly<br />

η η<br />

<br />

4 4<br />

x × ⋅ q× Lx = y× (1 − ) ⋅ q× Ly<br />

η α η α<br />

<br />

4 4<br />

x× × Lx = y× (1 − ) × Ly<br />

η α η α<br />

<br />

4 4 4<br />

x × × Lx = y× Ly − × y× Ly<br />

η α η α η<br />

<br />

4 4 4<br />

x × × Lx + × y× Ly = y× Ly<br />

η α α η η<br />

<br />

( )<br />

4 4 4<br />

x× Lx + y× Ly = y× Ly<br />

αη η η<br />

<br />

4<br />

η y× Ly<br />

4 4<br />

x× Lx + y× Ly<br />

α =<br />

η η<br />

∵<br />

qx= α ⋅q ⇒<br />

⇓<br />

qx<br />

α =<br />

q<br />

4<br />

η y× Ly<br />

x× 4<br />

x + y× 4<br />

y<br />

qx<br />

=<br />

q η L η L<br />

<br />

4<br />

η y× Ly<br />

4 4<br />

x× Lx + y× Ly<br />

qx<br />

= q<br />

η η<br />

q= q + q<br />

↓<br />

⇒ q = q−q Nota : Os valores são apresentados em tabela.<br />

x y y x<br />

101


Exemplo 1:<br />

a=5m; b=6m;<br />

y<br />

Encastrado<br />

q = 10KN / m<br />

2<br />

LAJES VIGADAS<br />

a<br />

Simplesmente Apoiado<br />

Simplesmente Apoiado<br />

102<br />

Encastrado<br />

10<br />

1<br />

× 5<br />

385<br />

= 0,<br />

88KN<br />

/ m<br />

× 6<br />

385<br />

+ × 5<br />

385<br />

4<br />

4<br />

η<br />

yl<br />

y<br />

qx = q ⇔ q<br />

q<br />

4 4 x = ×<br />

⇔ x<br />

η l l<br />

5 4 1<br />

x x + η y y<br />

4<br />

b<br />

x<br />

2


qy = q − qx<br />

⇔ qx<br />

= 10 − 0,<br />

88 = 9,<br />

12KN<br />

qx qy<br />

6 m<br />

LAJES VIGADAS<br />

5 4<br />

× 6<br />

Confirmação: qy = 10×<br />

385 = 9,<br />

12KN<br />

5 4 1 4<br />

× 6 + × 5<br />

385 385<br />

Exemplo 2:<br />

q = 10KN / m<br />

B2x<br />

B1x<br />

2<br />

Consola<br />

Consola<br />

Consola<br />

q<br />

x<br />

η l y y<br />

= q<br />

4<br />

η l + η l<br />

B1y B2y<br />

3 m<br />

LAJE 3<br />

LAJE 4<br />

LAJE 1 LAJE 2<br />

Encastrado<br />

x<br />

x<br />

Apoiado<br />

103<br />

4<br />

y<br />

6 m<br />

4<br />

y<br />

5 m<br />

Apoiado<br />

Apoiado<br />

Apoiado<br />

2m<br />

7 m


LAJES VIGADAS<br />

Banda 1X:<br />

1 4<br />

× 7<br />

1º tramo: L=3m<br />

B 168<br />

1x<br />

= 10 = 5,85 KN / m<br />

1 4 1 4<br />

× 3 + × 7<br />

8 168<br />

1 4<br />

× 7<br />

2º tramo: L=6m<br />

B 168<br />

1x<br />

= 10 = 6,49 KN / m<br />

1 4 1 4<br />

× 6 + × 7<br />

168 168<br />

B1x<br />

5,85 kN/m<br />

3 m<br />

6,49 kN/m<br />

6 m<br />

Banda 2X:<br />

1 4<br />

× 2<br />

1º tramo: L=3m<br />

B 385<br />

2x<br />

= 10 = 0,041≅0 KN / m<br />

1 4 1 4<br />

× 3 + × 2<br />

8 385<br />

1 4<br />

× 2<br />

1º tramo: L=7m<br />

B 385<br />

2x<br />

= 10 ≅0<br />

KN / m<br />

1 4 1 4<br />

× 6 + × 2<br />

168 385<br />

B2x<br />

Banda 1Y:<br />

0,00 kN/m 0,00 kN/m<br />

3 m<br />

1º tramo: L=7m<br />

y x<br />

6 m<br />

B1 = q− q = 10 − 5,85 = 4,15 KN / m<br />

2º tramo: L=2m<br />

y x<br />

B1 = q− q = 10 − 0 =<br />

10 KN / m<br />

104


B1y<br />

Banda 2Y:<br />

4,15kN/m<br />

LAJES VIGADAS<br />

7 m 2 m<br />

B / 1 = q − q = 10 − 6,<br />

49 = 3,<br />

51KN<br />

/ m<br />

x<br />

2 x<br />

B / 2 = q − q = 10 − 0 = 10KN<br />

/ m<br />

1 y<br />

x<br />

B2y<br />

7 m<br />

3,51 kN/m<br />

105<br />

10,00kN/m<br />

10,00 kN/m<br />

2 m

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!