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Lajes Vigadas - Universidade Fernando Pessoa

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Betão Armado

LAJES VIGADAS

joão guerra martins

série ESTRUTURAS

2.ª edição / 2009

(Provisório)


Prefácio

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de

Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e

actualizado.

Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto,

completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno

de engenharia civil, quer para a prática do projecto de estruturas correntes.

Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer

à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se

ao que se pensa omitido.

Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos

que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.

João Guerra Martins


LAJES VIGADAS

Introdução – Lajes Tipos e classificações

A classificação das lajes pode ser apresentada de diferentes formas. Uma sistematização

possível é indicada de seguida:

1. Quanto ao tipo de apoio:

a) Lajes vigadas - apoiadas em vigas;

b) Lajes fungiformes - apoiadas directamente em pilares - sem ou com capitel;

c) Apoiadas numa superfície deformável - lajes de pavimento apoiadas no solo de

fundação.

2. Quanto à constituição:

a) Lajes só em betão armado:

• Maciças - com uma espessura constante ou de variação contínua;

• Aligeiradas ou nervuradas - com um peso inferior ao de uma laje maciça com a

mesma espessura. A redução de peso é obtida através da introdução de blocos de

cofragem recuperáveis ou perdidos, que formam nervuras dispostas numa só

direcção ou em duas direcções perpendiculares, solidarizadas por uma lajeta de

compressão. Quando recuperáveis são, em geral, de plástico colocando-se junto

à face inferior da laje e dando origem a uma superfície inferior descontínua. Os

blocos perdidos (de argamassa de cimento, cerâmicos, de poliestireno expandido

ou de cartão) se forem colocados no interior da laje produzem uma superfície

inferior contínua em betão. Durante a betonagem são requeridos cuidados

especiais na execução da laje, de modo a impedir que a posição dos blocos e das

1


LAJES VIGADAS

armaduras não se modifique, bem como a garantir que só espaço entre os

blocos e a cofragem seja completamente preenchido pelo betão. Os blocos de

argamassa de cimento, ou cerâmicos, podem também ser colocados junto da face

inferior, dando origem a uma superfície inferior lisa mas não homogénea;

b) Lajes de vigotas pré-esforçadas - a laje é constituída por vigotas pré-esforçadas

nas quais se apoiam blocos de cofragem (abobadilhas ou "tijoleiras") cerâmicos

ou de argamassa de cimento, os quais são solidarizados por uma lajeta de betão;

c) Lajes mistas - constituídas por perfis metálicos, em geral de secção I, que

suportam as forças de tracção, ligados através de conectores metálicos a uma

lajeta de betão que absorve as forças de compressão.

3. Quanto ao modo de flexão dominante:

a) Lajes armadas numa direcção - os esforços nessa direcção são bastante

superiores aos da direcção perpendicular;

b) Lajes armadas em duas direcções ou em cruz - os esforços existentes nas duas

direcções principais de flexão são da mesma ordem de grandeza.

4. Quanto à caracterização do comportamento:

a) Lajes finas - quando a espessura é inferior a 1 /10 do vão. No cálculo deste tipo

de lajes, que correspondem às situações correntes, é possível desprezar a

contribuição do esforço transverso para a deformação da laje e admitir a hipótese

de as fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e

perpendiculares à superfície média deformada;

b) Lajes espessas - não são válidas as simplificações atrás apresentadas;

2


LAJES VIGADAS

c) Lajes isotrópicas - formadas por material homogéneo e de comportamento

elástico linear. Devido à sua geometria apresentam um comportamento

ortotrópico. Por ex: lajes nervuradas.

5. Quanto ao modo de fabrico:

a) Betonadas no local;

b) Pré-fabricação total: a laje é colocada sobre vigas sendo solidarizada localmente;

c) Pré-fabricação parcial: só uma parte da laje é pré-fabricada (normalmente a

inferior e já com armaduras), sendo o volume restante betonado localmente e

constituindo a pré-fabricada a cofragem de oportunidade.

3


LAJES VIGADAS

CAPÍTULO 1 – ANÁLISE DO REBAP

1. Disposições Gerais

1.1. Critérios Gerais de Segurança

Verificação da segurança

A verificação da segurança das estruturas de betão armado e pré-esforçado deve ser

efectuada de acordo com os critérios gerais estabelecidos no RSA e tendo em conta as

disposições do REBAP.

O RSA quantifica as acções e estabelece os critérios gerais a ter em conta na verificação

da segurança das estruturas, independentemente dos materiais que as constituem. Para as

estruturas de betão armado e pré-esforçado será, portanto, necessário objectivar os diversos

parâmetros específicos destes materiais, que interessam ao dimensionamento. Haverá, assim,

que definir os estados limites, os coeficientes de segurança, certas acções específicas e ainda

as propriedades dos materiais, as teorias de comportamento estrutural, as disposições

construtivas e as regras de execução.

Note-se que as teorias de comportamento podem ser complementadas, em certos casos,

substituídas por ensaios de modelos ou de protótipos. No caso da aplicação de tais processos

experimentais se limitar à determinação dos esforços em regime linear, não se levantam em

geral dificuldades quanto à sua interpretação no quadro dos critérios de segurança adoptados.

No caso, porém, de esses processos serem conduzidos com vista à determinação directa de

capacidades resistentes dos elementos ou das estruturas, o problema da sua interpretação é

delicado, pois os valores assim determinados não podem ser considerados como valores de

cálculo. Neste caso há a necessidade de quantificar devidamente os coeficientes de segurança

a adoptar, de modo a conseguir neste dimensionamento segurança equivalente à que se

obteria utilizando os processos analíticos.

4


1.1.1. Estados limites

LAJES VIGADAS

Um estado limite é um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica total

ou parcialmente prejudicada na sua capacidade para desempenhar as funções que lhe são

atribuídas.

O REBAP classificam os estados limites em 2 tipos:

• Estados limites últimos;

• Estados limites de utilização.

Os Estados Limites Últimos são os de cuja ocorrência resultam prejuízos à estrutura.

Podem classificar-se em:

• Estados limites últimos de resistência – Rotura, ou deformação excessiva, em

secções dos elementos da estrutura, envolvendo ou não fadiga;

• Estados limites últimos de encurvadura – Instabilidade de elementos da estrutura

ou do seu conjunto;

• Estados limites últimos de equilíbrio – Perda de equilíbrio de parte da estrutura

ou do seu conjunto (corpo rígido).

Os Estados Limites de Utilização são os de cuja ocorrência resultam prejuízos pouco

severos.

Podem classificar-se quanto ao tipo em:

• Estados limites de fendilhação:

- Estado limite de descompressão - anulamento da tensão normal de compressão

devida ao pré-esforço, e a outros, esforços normais de compressão, numa fibra

especificada da secção, sendo em geral, que a fibra em causa é a extrema que, sem

considerar a actuação do pré-esforço, ficaria mais traccionada (ou menos

comprimida) por acção dos restantes esforços;

- Estado limite de largura de fendas - ocorrência de fendas cujas larguras, a um

dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em

geral, o nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação

de acções em consideração, ficam mais traccionadas.

5


LAJES VIGADAS

• Estados limites de deformação a considerar são:

- Estado limite de deformação - correspondem à ocorrência de deformações na

estrutura que prejudiquem o desempenho das funções que lhe são atribuídas.

As verificações dos estados limites de utilização são necessárias por razões distintas

das regras de verificação dos estados limites últimos. Para estes, há que garantir à estrutura

uma dada capacidade resistente, com determinados coeficientes de segurança, em relação a

possíveis situações de rotura ou danos excessivos. Pelo contrário, para os estados limites de

utilização o objectivo é a garantia de um funcionamento adequado para as funções previstas e

durante o período de vida da estrutura.

A definição do que é entendido por “bom” ou “aceitável” como comportamento nas

condições normais de serviço é, em muitas situações, muito subjectiva.

1.2. Acções

As acções que actuam sobre uma estrutura podem ser classificadas em:

• Permanentes – praticamente de valor constante durante toda a vida da estrutura.

Como exemplo temos o peso próprio da estrutura, equipamentos fixos, impulsos

de terras, retracção, fluência e pré-esforço;

• Variáveis – variam durante a vida da estrutura. Como exemplo temos as

sobrecargas, vento, sismos e variações de temperatura;

• Acidentais – muita fraca probabilidade de ocorrência durante a vida da

estrutura. Como exemplo temos as explosões, os choques e os incêndios (em

alguns regulamentos o sismo é considerado uma acção de acidente).

A quantificação das acções faz-se pelos seguintes valores:

• Fk – Valores característicos das acções

• ΨFk – Valores reduzidos para efeitos de combinações:

Ψ0 – Valor de combinação;

Ψ1 – Valor frequente;

Ψ2 – Valor quase permanente.

6


Fm – Valores médios

Fn – Valores nominais

Fserv – Valor de serviço

1.2.1. Combinações de Acções

LAJES VIGADAS

Para a verificação da segurança em relação aos diferentes estados limites devem ser

consideradas as combinações das acções cuja actuação simultânea seja plausível e que

produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis.

Não se considera plausível a actuação simultânea no mesmo elemento das sobrecargas

que sejam fundamentalmente devidas à concentração de pessoas (ou das sobrecargas em

coberturas ordinárias) com as acções da neve ou do vento.

As acções permanentes devem figurar em todas as combinações e ser tomadas com os

seus valores característicos superiores ou inferiores, conforme for mais desfavorável; as

acções variáveis apenas devem figurar nas combinações quando os seus efeitos forem

desfavoráveis para a estrutura.

Em relação às combinações de acções, o REBAP, para efeitos de verificação da

segurança, definem as seguintes combinações:

a) Estados limites últimos

• Combinações Fundamentais onde intervêm:

Acções Permanentes

Acções Variáveis

• Combinações Acidentais onde intervêm:

Acções Permanentes

Acções Variáveis

7


Acção Acidental

b) Estados limites de utilização

LAJES VIGADAS

• Combinações Raras onde intervêm:

Os estados limites de muita curta duração;

• Combinações Frequentes onde intervêm:

Os estados limites de curta duração;

• Combinações Quase Permanentes onde intervêm:

Os estados limites de longa duração.

1. 3 - Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos Resistência

1. 3.1- Regras de Verificação da Segurança em termos de esforços

Segundo o REBAP, a verificação da segurança em relação aos estados limites

últimos de resistência que não envolvem fadiga deve, em geral, ser feita em termos de

esforços. No caso das lajes, quando seja utilizada a análise plástica (teoria das linhas de

rotura), a verificação da segurança deve, em princípio, ser formulada em termos de acções.

A verificação da segurança em termos de esforços consiste em satisfazer a seguinte

condição:

em que :

Sd ≤ Rd

Sd - é o valor de cálculo do esforço actuante ;

Rd - é o valor de cálculo do esforço resistente.

A verificação de segurança aos Estados limites últimos deve ser feita para dois tipos

de combinações:

8


característico;

• Combinações Fundamentais

Em geral :

LAJES VIGADAS

Sd = Σ γgi SGik + γq [SQ1k + Σ ψ0j SQjk]

No caso de a acção variável de base ser a acção sísmica:

Sd = Σ SGik + γq SEk + Σ ψ2j SQjk , se Q1 é acção sísmica

• Combinações Acidentais

Sd = Σ SGik + SFa + Σ ψ2j SQjk

em que:

SGik – esforço resultante de uma acção permanente, tomada com o seu valor

SQ1k – esforço resultante de uma acção variável considerada como acção de base da

combinação, tomada com o seu valor característico (SEk no caso da acção sísmica);

SQjk – esforço resultante de uma acção variável distinta da acção de base, tomada

com o seu valor característico;

rigor;

SFa – esforço resultante de uma acção acidente, tomada com o seu valor nominal;

γgi – coeficiente de segurança relativo às acções permanentes;

γq – coeficiente de segurança relativo às acções variáveis;

ψ0j , ψ2j – coeficientes ψ correspondentes à acção variável de ordem j;

γg = 1,5 ou 1,2 no caso da acção permanente em causa ter efeito desfavorável

ou

γg = 1,35 para as acções permanentes cujos valores possam ser previstas com muito

γq = 1,5 para acções variáveis;

Nota: Se uma acção variável é favorável, ela não figura na combinação.

9


LAJES VIGADAS

Para o cálculo do esforço resistente Rd adoptam-se coeficientes minorativos das

propriedades dos materiais com os seguintes valores:

consideração:

γc = 1,58 ( betão)

γs = 1,15 (aço)

Os coeficientes minorativos das propriedades dos materiais, γm, pretendem ter em

• Possibilidade de desvio desfavorável das propriedades dos materiais em relação

ao valor característico;

• Diferença de resistência do material na estrutura comparada com a resistência

nos provetes de ensaio;

• Redução da resistência do material resultante do processo construtivo;

• Imperfeições na construção.

Se para o cálculo dos esforços resistentes e relações constitutivas for utilizada uma

análise não linear deverão adoptar-se coeficientes minorativos γm = 1,0. Só na secção crítica o

valor dos esforços últimos deverá ser obtido com os valores de γc = 1,5 e γs = 1,15.

No caso das lajes, quando seja utilizada análise plástica, a verificação da segurança

[2] consiste em satisfazer a condição de o valor de cálculo das acções ser inferior ao valor de

cálculo da resistência expressa em termos de acções.

Contudo, segundo o REBAP, devem ser respeitadas as condições seguintes:

a) Em qualquer ponto e em qualquer direcção, a percentagem de armadura de

tracção da laje não deve exceder a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25,

sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção;

b) Se a determinação for feita por um método estático, a distribuição de momentos

considerada não deve diferir sensivelmente da distribuição de momentos

elástica; os momentos nos apoios devem ser, pelo menos, metade dos valores

dos momentos elásticos, não podendo também ultrapassá-los em mais de 25%;

c) Se a determinação for feita por um método cinemático, a relação entre os

momentos no apoio e no vão de lajes encastradas ou contínuas deve apresentar,

em módulo, um valor compreendido entre 0,5 e 2,0.

10


1.3.2 - Esforços Actuantes

LAJES VIGADAS

O REBAP, através do artigo 50º, estabelece que a determinação dos esforços

actuantes nas lajes deve ser feita tendo em conta as condições de equilíbrio e as de

compatibilidade das deformações, podendo, em geral, admitir-se que estas se produzem em

regime de elasticidade perfeita e sem ter em conta a presença das armaduras.

No caso de lajes contínuas pode proceder-se a uma redistribuição dos esforços

obtidos, na hipótese de comportamento elástico perfeito, aumentando ou diminuindo, no

máximo de 25%, os momentos nos apoios e numa largura apropriada, desde que os

momentos médios no vão, interessando essa mesma largura, sejam ajustados de modo a

satisfazer as condições de equilíbrio.

Este artigo visa fundamentalmente as lajes maciças; o critérios expostos podem no

entanto ser também aplicados às lajes aligeiradas, desde que o seu comportamento global seja

sensivelmente análogo ao daquelas lajes.

1.3.3 - Esforços Resistentes

1.3.3.1 - Esforços Normais e de Flexão

Segundo o REBAP, a determinação do valor de cálculo dos esforços resistentes das

secções de elementos sujeitos a tracção, compressão e flexão simples ou, ainda, a flexão

composta ou desviada deve ser feita admitindo as seguintes hipóteses:

• As secções mantêm-se planas na deformação;

• O betão não resiste à tracção;

• As relações tensões - extensões de cálculo a adoptar para o betão e para as

armaduras ordinárias são as indicadas nas figuras 1.1 e 1.2, respectivamente;

• A extensão máxima de encurtamento no betão é limitada a 3,5X10 -3 , excepto

quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão, situação em que tal

valor limite variará gradualmente entre 3,5X10 -3 e 2X10 -3 , correspondendo este

11


Tensões

0,85 fcd

LAJES VIGADAS

último valor ao caso em que as extensões, logo as supressões, são uniformes

em toda a secção;

• A extensão máxima de alongamento das armaduras é limitada a 10X10 -3 .

σc

s

BETÃO

Extensões

12

Classe de

Betão

Fig. 1.1 – Relação Tensão–Extensão do Betão

AÇO

εc

0,85 fcd

MPa


Tensões

σs

α

1.3.3.2 - Esforço Transverso

LAJES VIGADAS

13

α

Extensões

Fig. 1.2 – Relação Tensão–Extensão do aço

Áços

fsyd

MPa

Com base no artigo 53º do REBAP, a determinação do valor de cálculo do esforço

transverso resistente de elementos sujeitos a flexão simples ou composta (também aplicável a

lajes) deve ser efectuada com base na teoria da treliça de Morsch, convenientemente

corrigida.

Esta teoria pressupõe a possibilidade de formação de, pelo menos, uma treliça de

banzos paralelos e com bielas comprimidas de betão inclinadas a 45º, o que obriga a que o

espaçamento das armaduras de esforço transverso seja, no máximo, 0,9 d (1 + cotg α),

condição esta que corresponde a que qualquer possível fenda a 45º seja atravessada por

armadura. Daqui resulta que, para estribos verticais, deverá ser s


LAJES VIGADAS

em que :

Vcd - é o termo corrector da teoria de Morsch :

Vwd - traduz a resistência das armaduras de esforço transverso segundo a

mesma teoria.

O valor Vcd deve ser determinado do modo seguinte:

a) Em geral:

em que:

Vcd = τ1 bw d

τ1 - é a tensão cujo valor é dado no quadro 1.1;

bw - é a largura da alma da secção; no caso de esta não ser constante, dever-se-á

tomar para valor de bw a menor largura existente numa altura de ¾ da altura útil da secção,

contada a partir da armadura longitudinal de tracção;

d - é altura útil da secção.

Nas zonas junto dos apoios e numa distância igual a 2 d, contada a partir do eixo do

apoio, o valor de Vcd a considerar pode obter-se a partir do valor definido anteriormente,

multiplicando-o pelo factor:

em que:

Vsd

Vsd,

red

Vsd - é o valor de cálculo do esforço transverso actuante;

Vsd,red - é o valor de cálculo do esforço transverso reduzido, considerando que, na

zona em causa, as cargas são minoradas na proporção de a/2d, sendo a a distância

de cada carga ao eixo de apoio.

14


LAJES VIGADAS

QUADRO 1.1

Esforço transverso

Valores da tensão τ1

15

(MPa)

Classe do

Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

τ1

0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15

Esta correcção, que tem interesse no caso da existência de fortes cargas

concentradas, só pode ser utilizada se as cargas são aplicadas de modo a formar biela de

compressão diagonal com a reacção de apoio. Além disso, no caso de apoios extremos com

liberdade de rotação (ou fraco grau de encastramento), a armadura longitudinal de tracção

necessária na secção de aplicação das cargas deve ser prolongada até ao apoio e

convenientemente amarrada. No caso de apoios intermédios de elementos contínuos, a

armadura de tracção necessária na secção do apoio deve ser prolongada até à secção de

aplicação das cargas e amarrada para além dessa secção.

b) No caso de lajes sem armadura de esforço transverso, os valores de Vcd

devem ser obtidos multiplicando os valores determinados segundo a alínea a) pelo factor:

0,6 (1,6-d)

em que d representa a altura útil, expressa em metros, não devendo, em qualquer caso, este

factor ser considerado com valor inferior a 0,6.

c) No caso de elementos sujeitos a esforços de tracção significativos o termo Vcd

deve ser tomado igual a 0, já que não há garantias do contributo das faces de fissura de betão

para a absorção desse esforço.

O valor de Vwd deve ser determinado pela expressão:


em que :

d - é a altura útil da secção;

LAJES VIGADAS

Asw

Vwd = 0,9 d ( ) fsyd ( 1+ cotgα) sinα

S

Asw - é a área da secção da armadura de esforço transverso (no caso de estribos,

compreende os vários ramos do estribo);

S - é o espaçamento das armaduras de esforço transverso;

fsyd - é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,2% do aço das armaduras de esforço transverso;

α- é o ângulo formado pelas armaduras de esforço transverso com o eixo do

elemento (45º≤α≤90º).

O valor de cálculo do esforço transverso resistente, determinado de acordo com o

descrito anteriormente, deve satisfazer a seguinte condição:

VRd ≤ τ2 bw d

em que τ2 é uma tensão cujo valor é indicado no quadro 1.2

QUADRO 1.2

Esforço transverso

Valores da tensão τ2

16

(MPa)

Classe do

Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

τ2

2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0


LAJES VIGADAS

Para o cômputo do valor de bw, o caso da alma da secção conter, a dado nível,

varões ou cabos com diâmetro superior a um oitavo da largura da secção a esse nível, deve

considerar-se a largura, a esse nível, reduzida de metade da soma dos diâmetros de tais

armaduras.

Os resultados experimentais [2] mostram que a utilização de estribos (verticais ou

inclinados) confere aos elementos melhor comportamento, quer em serviço quer na rotura, do

que o emprego de varões inclinados. Tal facto é principalmente devido a que os estribos

permitem melhor distribuição da armadura de esforço transverso e asseguram a cintagem e a

ligação eficaz da zona comprimida e da zona traccionada do elemento, que constituem os

banzos da treliça de Morsch. Devem, portanto, utilizar-se preferencialmente estribos e, se for

necessário empregar varões inclinados, é sempre conveniente absorver por estribos uma

fracção apreciável do esforço transverso atribuído às armaduras.

1.3.3.3 - Punçoamento

O punçoamento é especialmente relevante nas lajes em que actuem cargas

concentradas de valor elevado.

O estado último de punçoamento está associado à formação de um tronco de cone

[8] que tem tendência para desligar-se do resto da laje (figura 1.3) e resulta da interacção de

efeitos de corte e flexão na zona da laje próxima do pilar. Trata-se de um mecanismo de

colapso local associado a uma rotura frágil (sem aviso prévio notório) e que pode gerar um

colapso progressivo da estrutura, pois a rotura junto a um pilar implica um incremento da

carga em pilares vizinhos.

Este tipo de rotura tem-se verificado em algumas construções, em especial devido à

acção sísmica, tendo como origem cálculos incorrectos ou inexistentes, má betonagem e

realização de aberturas não consideradas em projecto.

17


Superficie de

LAJES VIGADAS

PILAR

LAJE LAJE

18

Fendas de flexão que

surgem para um nivel de

carga baixa

Fig. 1.3 – Mecanismo de rotura por punçoamento de um pavimento de laje

O artigo 54º do REBAP estabelece que a determinação do valor de cálculo do

esforço resistente de punçoamento de lajes sujeitas a forças concentradas pode ser efectuada

de acordo com as regras a seguir enunciadas, desde que: 1) as forças não actuem em zonas da

laje em que o esforço transverso, devido a outras acções tenha valor importante; 2) nem

actuem na proximidade de outras forças concentradas; 3) desde que a área carregada não

diste menos de 5 d de um bordo livre (ou do bordo de uma abertura), sendo d a altura útil da

laje.

O valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento, VRd, no caso de não

existirem armaduras específicas para resistir a este esforço, é dado por:

em que:

sendo:

VRd = vrd μ

vrd = η σ1 d

vrd- o valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento por unidade de

comprimento do contorno crítico de punçoamento;


LAJES VIGADAS

μ- é o perímetro do contorno crítico de punçoamento, definido por uma linha fechada

envolvendo a área carregada a uma distância não inferior a d/2 e cujo o perímetro é

mínimo;

η -é o coeficiente cujo o valor é dado por 1,6 – d, com d expresso em metros, e

que não deve ser tomado inferior à unidade;

σ1 - é a tensão cujo valor é indicado no quadro 1.1.

No caso da existência de armaduras específicas de punçoamento, o valor de

cálculo do esforço resistente poderá considerar-se igual a quatro terços da componente,

normal ao plano da laje, da força resistente de cálculo da armadura (correspondente à tensão

fsyd, mas não excedendo 350 MPa). Porém, em caso algum, o valor do esforço resistente

assim obtido poderá exceder 1,6 vezes o valor obtido pelas expressões anteriores.

A verificação da segurança ao punçoamento consistirá em satisfazer, ao longo do

contorno crítico, a condição VRd ≥ Vsd, em que Vsd – valor de cálculo do esforço actuante de

punçoamento por unidade de comprimento do contorno crítico – deve ser determinado

atendendo às indicações que se seguem.

No caso da força de punçoamento vsd actuar sem excentricidade relativamente ao

baricentro da área carregada, vsd pode ser considerado constante ao longo do contorno crítico

com o valor:

Vsd

vsd =

μ

em que μ é o perímetro daquele contorno.

Se, porém , a força vsd actuar excentricamente, o valor de vsd é variável ao longo do

contorno crítico de punçoamento, podendo considerar-se os seguintes valores para a

verificação da segurança:

Área carregada de contorno circular (ou assimilável):

Vsd 2 e

vsd = (1+ )

μ d0

19


y);

LAJES VIGADAS

Área carregada de contorno rectangular:

Vsd

vsd = (1+1,5 (

μ

20

ex

+ ey

))

( bxby)

Nestas expressões os símbolos têm o seguinte significado:

e – excentricidade de vsd (ex e ey são as componentes segundo as direcções x e

d0 – diâmetro do contorno crítico (soma da altura útil com o diâmetro da área

carregada);

bx, by – dimensões do contorno critico medidas segundo as direcções x e y paralelas

aos lados da área carregada.

Chama-se ainda a atenção para que só haverá em geral que considerar o problema

do punçoamento nos seguintes casos:

• Se a área carregada é circular, o seu diâmetro não excede 3,5 d;

• Se a área carregada é rectangular, o seu perímetro não excede 11 d, nem excede 2

vezes a relação entre o seu comprimento e a sua largura;

• Se a área carregada tem outras formas, as suas dimensões não excedem limites

obtidos por analogia com os casos anteriores.

Fora dos limites indicados haverá em geral que considerar, ao longo do contorno

crítico, zonas em que a verificação da segurança deve ser feita pelas regras correspondentes

ao punçoamento e zonas em que tal verificação deve seguir as regras especificadas para o

esforço transverso. Assim, por exemplo, no caso da área carregada ter forma rectangular

muito alongada, pode considerar-se que as zonas de punçoamento se situam apenas junto aos

cantos, interessando troços de contorno crítico com um comprimento total que não deverá ser

superior a 11 d nem a 6 a + 3 d, sendo a a menor dimensão da área carregada.


d/2

LAJES VIGADAS

d/2 d/2 d/2

Areas carregadas correntes

y

Areas rectangulares alongadas

21

a

Punçoamento

x Esforço transverso simples

Fig. 1.4 – Contornos críticos de áreas carregadas correntes e de áreas rectangulares

alongadas

Por outro lado, a actuação de forças concentradas em zonas próximas de bordos

livres ou de aberturas deve ser cuidadosamente analisada, considerando contornos críticos de

punçoamento.

O método utilizado é o método da superfície crítica sendo a verificação da

segurança estabelecida por Vsd ≤ VRd, com os esforços actuantes e os esforços resistentes

definidos na superfície crítica de punçoamento.

As diferenças mais salientes que se verificam em relação às disposições do REBAP

surgem na definição da superfície crítica, à distância de 1,5 d das faces do pilar, e também

nos valores da tensão de referência para a determinação dos esforços resistentes.

Quanto ao problema do punçoamento excêntrico, de difícil abordagem, verifica-se

que a aplicação do articulado do REBAP aponta para resultados conservadores sendo, no

entanto, omisso nas disposições de armadura para as situações de pilares de canto ou de

bordo.

b

a

x ≤ ; ≤ b; ≤ 1,4 d

2

≤ b ≤ 14d


LAJES VIGADAS

1.4 - Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização

Segundo o REBAP (artigo 65º), para verificação aos estados limites de utilização

(fendilhação e deformação) interessa considerar, de acordo com o RSA [1], estados limites

de muita curta duração, de curta duração e de longa duração. A estes tipos de estados limites

correspondem, respectivamente, os seguintes tipos de combinações de acções: combinações

raras, combinações frequentes e combinações quase-permanentes.

A verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização deve em

geral, ser efectuada em termos dos parâmetros que definem esses estados limites, devendo os

valores atribuídos a tais parâmetros ser iguais ou superiores aos valores que eles assumem

devido às acções, combinadas e quantificadas.

Observe-se que, de acordo com o RSA [1], para os estados limites de utilização os

coeficientes de segurança γf, relativos às acções (permanentes e variáveis), e os coeficientes

de segurança γm, relativos às propriedades dos materiais, devem ser considerados iguais à

unidade.

1.4.1- Estados Limites de Fendilhação

Para a escolha dos estados limites de fendilhação, em relação aos quais há que

verificar a segurança, interessa considerar a agressividade do ambiente e a sensibilidade das

armaduras à corrosão.

O REBAP, em relação à agressividade, dá-nos três classificações possíveis:

• Ambientes pouco agressivos: ambientes em que a humidade relativa é

habitualmente baixa e em que não é de esperar a presença de agentes corrosivos

(interiores de edifícios de habitação, de escritórios, etc);

• Ambientes moderadamente agressivos: ambientes interiores em que a

humidade relativa é habitualmente elevada ou em que é de esperar a presença

temporária de agentes corrosivos; ambientes exteriores sem concentração

especial de agentes corrosivos; águas e solos não especialmente agressivos;

22


LAJES VIGADAS

• Ambientes muito agressivos: ambientes com forte concentração habitual

de agentes corrosivos; líquidos agressivos (águas muito puras, águas salinas,

etc); solos especialmente agressivos.

Do ponto de vista da sensibilidade das armaduras à corrosão [2], consideram-se,

geralmente, como muito sensíveis à corrosão as armaduras com diâmetro inferior a 3 mm e,

independentemente do diâmetro, as armaduras de aço endurecido a frio quando submetido

permanentemente a tensões de tracção de valor superior a 400 Mpa.

De uma maneira geral, podemos considerar como muito sensíveis as armaduras de

pré-esforço e como pouco sensíveis as armaduras ordinárias.

O artigo 68º do REBAP define os estados limites de fendilhação a considerar para

assegurar a conveniente durabilidade das estruturas. Para tal, devem ser escolhidos em

relação a cada tipo de combinações de acções (raras, frequentes ou quase-permanentes),

tendo em conta a agressividade do ambiente e a sensibilidade das armaduras à corrosão.

Os estados limites de fendilhação a considerar podem ser o estado limite de

descompressão e o estado limite de largura de fendas.

O estado limite de descompressão é o anulamento da tensão normal de compressão

devida ao pré-esforço e a outros esforços normais de compressão numa fibra especificada da

secção. Em geral, a fibra em causa é a fibra extrema, que, sem considerar a actuação do préesforço,

ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços.

O estado limite de largura de fendas é a ocorrência de fendas cujas larguras, a um

dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em geral, o

nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação de acções em

consideração, ficam mais traccionadas.

No nosso caso, na análise de armaduras ordinárias, o estado limite a considerar é o

de largura de fendas, nas condições indicadas no quadro 1.3.

A verificação da segurança em relação à fendilhação em estruturas de betão armado

destina-se, fundamentalmente, a garantir que, durante a vida da obra, as armaduras não

sofram corrosão que comprometa significativamente a sua resistência. Trata-se, portanto,

basicamente, de um problema de durabilidade.

Compreende-se por isso a dependência entre os estados limites de fendilhação a

considerar e a agressividade do ambiente, a sensibilidade das armaduras à corrosão e a

permanência das acções que provocam a fendilhação.

23


LAJES VIGADAS

Além da quantificação dos estados limites, outras exigências devem ser

respeitadas, tais como a espessura dos recobrimentos e a composição do betão.

O problema da fendilhação pode estar ligado apenas ao tipo de utilização que vai ser

dada à estrutura. Note-se que os estados limites de fendilhação considerados dizem

fundamentalmente respeito a fendilhação transversal às armaduras de elementos sujeitos a

esforços normais e de flexão. A limitação da fendilhação de outros tipos, como, por exemplo,

a devida a esforços transversos e de torção, e a que se desenvolve paralelamente às

armaduras longitudinais, é assegurada por disposições construtivas apropriadas.

As exigências estipuladas relativamente aos estados limites de fendilhação devem,

obviamente, ser consideradas como mínimas, podendo justificar-se em muitos casos, até por

razões de ordem económica, a imposição de exigências mais severas.

Ambiente

QUADRO 1.3

Estados limites de fendilhação

Armaduras ordinárias

Combinações

de acções

Pouco agressivo Frequentes

Moderadamente

Agressivo

Frequentes

Muito agressivo Raras

24

Estado limite

Largura de fendas,

w = 0,3 mm

Largura de fendas,

w = 0,2 mm

Largura de fendas,

w = 0,1 mm

A segurança em relação ao estado limite de largura de fendas considera-se satisfeita

se o valor característico da largura das fendas, ao nível das armaduras mais traccionadas, não

exceder o valor de w.


LAJES VIGADAS

A determinação daquele valor característico, wk, pode ser efectuada pelas

expressões seguintes:

em que:

wk = 1,7 wm

wm = Sr m Es m

wm -é o valor médio da largura das fendas;

Sr m - é a distância média entre fendas;

Esm - é extensão média da armadura.

No caso de elementos sujeitos a tracção ou a flexão, simples ou composta, a

distância média entre fendas e a extensão média da armadura podem ser calculadas do modo

a seguir indicado:

a) Distância média entre fendas:

s

Srm = 2 (c + ) + η1 η2

10

em que:

c - é o recobrimento da armadura;

em que:

s - é o espaçamento dos varões da armadura e deve ser considerado a 15φ

quando o espaçamento exceder este limite;

η1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões,

que deve ser tomado igual a 0,4 para varões de alta aderência e igual 0,8

para varões de aderência normal. Contudo, para este efeito, os varões de aço

A 400 EL e as redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser

considerados como de alta aderência;

η2 - é o coeficiente dependente da distribuição de tensões de tracção na

secção, dado por:

ε1

+ ε

η2 = 0,25 (

2ε1

ε1 e ε2 - são, respectivamente, as extensões aos níveis inferior e superior da área do

betão envolvente da armadura, calculadas em secção fendilhada;

25

2

)

φ

ρr


LAJES VIGADAS

φ - é o diâmetro dos varões da armadura;

As

ρr - é a relação , em que As é a área da secção da armadura (excluindo as

Ac,

r

armaduras pós-tensionadas);

Ac,r - é a área da secção do betão traccionado envolvente da armadura, sendo a área

Ac,r definida como o somatório das áreas de influência de cada varão e com lado igual, no

máximo, a 15φ e deve ser limitada pelo contorno da secção, não devendo sobrepor-se às

áreas de influência de varões contíguos e, além disso, as áreas de influência devem situar-se

totalmente na zona traccionada da secção (figura 1.5).

h-x

7,5 Ø

Ac1,r Ac2,r Ac3,r

7,5 Ø 15 Ø

7,5 Ø

h - altura da secção

x - profundidade da linha neutra

calculada em secção fendilhada

Fig. 1.5 – Área Ac,r

b) Extensão média das armaduras traccionadas:

em que:

σ s

εsm = ( ) [1 - β1β2 (

Es

σ

26

σ sr 2

) ]

s

ε

ε

Ac,r = Σ Aci,r

σs - é a tensão de tracção na armadura, correspondente ao esforço resultante da

combinação de acções em causa, devendo esta tensão ser calculada em secção fendilhada;


LAJES VIGADAS

Es - é o módulo de elasticidade do aço;

σsr - é a tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada,

correspondente ao esforço que provoca o início da fendilhação e este esforço é o que, em

secção não fendilhada, conduz a uma tensão de tracção máxima no betão de valor fctm;

β1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões da

armadura, que deve ser tomado igual à unidade para varões de alta aderência e igual a 0,5

para varões de aderência normal, contudo, para este efeito, os varões de aço A 400 EL e as

redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser considerados como de alta aderência;

β2- é o coeficiente dependente da permanência ou da repetição das acções, que deve

ser tomado igual a 0,5 no caso de combinações frequentes ou quase permanentes e igual a

1,0 no caso de combinações raras de acções.

Considera-se satisfeita a verificação da segurança em relação ao estado limite de

largura de fendas, quando se trate de armaduras ordinárias e de ambientes pouco agressivos

ou moderadamente agressivos, desde que se cumpra o espaçamento máximo dos varões,

conforme tabela do REBAP.

Uma análise mais profunda das formulações apresentadas, encontra-se desenvolvido

na sebenta de vigas, sendo a sua aplicação ao caso de lajes legitima.

1.4.2 - Estados Limites de Deformação

Com base no artigo 72º do REBAP, conseguimos definir os estados limites de

deformação a considerar. Estes valores limites dependem do tipo de estrutura e das condições

da sua utilização, devendo, portanto, ser convenientemente estabelecidos em cada caso.

27


LAJES VIGADAS

Nos casos correntes de lajes de edifícios, a verificação da segurança poderá

limitar-se à consideração de um estado limite definido por uma flecha igual a 1/400 do vão

para combinações frequentes. Porém, se a deformação do elemento afectar paredes

divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja contrariada por medidas

adequadas, aquela flecha não deve ser tomada com valor superior a 1,5 cm.

Esta verificação encontra-se satisfeita, de uma maneira geral, se se cumprir a

seguinte condição:

li

≤ 30η

h

em que : h a espessura da laje; li como o vão equivalente da laje, sendo li=α.l em

que o l é o vão teórico (no caso de lajes armadas em duas direcções deverá tomar-se para l o

menor vão) e α um coeficiente cujos valores se apresentam no quadro 1.5 para os casos mais

frequentes; e η como um coeficiente que depende do aço utilizado e cujos valores se

apresentam no quadro 1.4.

No caso de lajes cuja deformação afecte paredes divisórias, a menos que a

fendilhação dessas paredes seja contrariada por outras medidas adequadas, além da condição

dada pela expressão anterior, deverá ser respeitada a relação:

li 180

≤ ( ).η

h li

em que li e h são expressos em metros.

QUADRO 1.4

Valores do coeficiente η

Tipo de Aço Valor de η

28


LAJES VIGADAS

A235 1,4

A400 1,0

A500 0,8

QUADRO 1.5

Espessura mínima das lajes

Valores do coeficiente α

Tipo de Laje α

Simplesmente apoiada, armada numa só

direcção 1,0

Duplamente encastrada, armada numa só

direcção 0,6

Apoiada num bordo e encastrada no outro,

armada numa só direcção 0,8

Em consola (sem rotação no apoio), armada

numa só direcção 2,4

Simplesmente apoiada, armada em duas

direcções 0,7

Duplamente encastrada, armada em duas

direcções 0,5

No Quadro 1.5 indicam-se os valores máximos de l/h para lajes armadas numa

direcção e em cruz. Verifica-se que estes valores são excessivos, não garantindo em algumas

29


LAJES VIGADAS

situações correntes a limitação da deformação a l/400 para as combinações frequentes

de acções [2].

Alguma bibliografia [6] indica que na fórmula apresentado o valor de 30

deverá ser substituído por 21, para se assegurar uma limitação de deformação.

Fig. 1.6 – Laje armada numa e em duas direcções: representação esquemática

No caso de lajes que estão sujeitas à actuação de cargas concentradas intensas, a

espessura destas é por vezes condicionada por problemas de punçoamento.

Na determinação das curvaturas necessárias ao cálculo das rotações e das flechas de

lajes sujeitas a flexão simples ou composta, devem ser devidamente considerados os

comportamentos em fase fendilhada e não fendilhada.

30


LAJES VIGADAS

A fase fendilhada pode, convencionalmente, considerar-se como tendo início

para um valor da tensão de tracção no betão igual ao valor médio da tensão de rotura por

tracção, fctm, definidos no artigo 16º do REBAP e quadro 1.6 que se apresenta. Na fase

fendilhada deve ser tida em conta a contribuição do betão entre fendas através da

consideração de uma extensão média das armaduras calculada através da seguinte expressão:

σ s

εsm = ( ) [1 - β1β2 (

Es

σ

31

σ sr 2

) ]

QUADRO 1.6

Valores médios da tensão de rotura do betão

à tracção simples, fctm

(Mpa)

Classe

do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

fctm

1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4,0

Na determinação das curvaturas correspondentes a acções que se exercem durante

intervalos de tempo relativamente longos, devem considerar-se devidamente os efeitos da

fluência e da retracção do betão.

em que :

As curvaturas 1/r são definidas pela expressão:

ε −

1

=

r d

c εs

s


LAJES VIGADAS

εc e εs- são, respectivamente, a extensão no betão ao nível da fibra mais

comprimida da secção e a extensão na armadura mais traccionada (ou menos comprimida),

consideradas com os respectivos sinais.

Nas zonas não fendilhadas, aquelas extensões são determinadas admitindo que o

comportamento dos materiais é elástico perfeito e que o betão resiste à tracção. Nas zonas

fendilhadas, admitir-se-á também comportamento elástico perfeito dos materiais, desprezar-

se-á a resistência à tracção do betão e a extensão εs será tomada com o valor εsm.

A curvatura total ao fim do tempo t, devida a acções permanentes e variáveis, pode

ser calculada pela soma da curvatura elástica (correspondente ao instante em que são

aplicadas as acções) e das curvaturas devidas à fluência e à retracção do betão.

A determinação da curvatura devida à fluência apresenta, contudo, dificuldades

decorrentes não só do deficiente conhecimento dos efeitos dos numerosos parâmetros que

condicionam a fluência do betão simples mas também devido aos efeitos resultantes da

presença de armaduras. Porém, nos casos correntes, esta parcela da curvatura pode ser

determinada, de modo simplificado, pela diferença entre a curvatura ao fim do tempo t

devida apenas à parte permanente das acções e à curvatura elástica correspondente a esta

mesma parte das acções.

No que respeita à curvatura devida à retracção, a considerar nos casos em que tal

seja pertinente, deve ter-se em conta não só a retracção livre do betão mas também os efeitos

devidos à presença de armaduras aderentes (traccionadas e comprimidas).

É interessante chamar ainda a atenção para o facto de os valores calculados das

deformações poderem diferir sensivelmente dos valores reais, particularmente nos casos em

que os valores dos momentos actuantes são vizinhos dos momentos de fendilhação. O desvio

entre o valor calculado e o valor real depende, entre outros factores, da dispersão das

características dos materiais, do meio ambiente e das condições e história da aplicação das

acções.

32


LAJES VIGADAS

Também aqui, um estudo mais completo sobre a problemática da deformação

em peças de betão poderá ser encontrada na sebenta de vigas. Contudo, neste caso dever-se-á

aplicar as devidas alterações para lajes, sobretudo quando estas forem armaduras em mais do

que uma direcção. De facto, não será propriamente da laje ser armada em mais do que uma

direcção o factor importante, a relevância esta na situação do tipo de apoio ser em mais de

dois bordos, perdendo-se a aproximação ao efeito de viga. De qualquer modo, assemelhar

comportamento de uma laje de uma viga resulta sempre em valores conservativos, do lado da

segurança, portanto.

33


2.1-Generalidades

LAJES VIGADAS

CAPITULO 2 – LAJES MACIÇAS

Consideram-se como lajes os elementos laminares planos sujeitos a acção dirigidas

principalmente na normal ao plano médio, causando flexão transversal, e com largura b

excedendo 5 vezes a sua espessura (b > 5h).

Neste capítulo irá se referir as regras referentes fundamentalmente a lajes

rectangulares de espessura constante, armadas numa só direcção ou em duas direcções

ortogonais, e sujeitas predominantemente a cargas distribuídas; mediante adequadas

adaptações, poderão também estas regras ser aplicadas a lajes com outras características.

A conveniência da armação (numa ou em duas direcções) das lajes está

directamente relacionada com a proporção entre os vãos, as condições de apoio e o tipo de

carga aplicada. Contudo, em condições correntes, é recomendável que as lajes cujo vão

maior não exceda duas vezes o vão menor (apoiadas em 4, 3 ou 2 bordos adjacentes) sejam

armadas em duas direcções.

2.2- Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo

As condições de apoio correntes são habitualmente representadas

esquematicamente (figura 2.1). Refira-se que o bordo com continuidade não é rigorosamente

encastrado, obviamente, apresentando uma relativa rigidez à flexão.

7


LAJES VIGADAS

Fig. 2.1 – Representação esquemática das condições de apoio (representação de cálculo)

8


LAJES VIGADAS

Relativamente à simbologia de cálculo é usual, nas lajes, designar-se por momento

mx o esforço que produz tensões normais de flexão segundo o eixo x (figura 2.2) e não

aquele cujo vector tem a orientação desse eixo (convenção adoptada pela resistência de

materiais).

Fig. 2.2 – Convenção para o momento flector numa laje

As lajes podem estar sujeitas a cargas concentradas, a cargas de faca e a cargas

distribuídas (figura 2.3), sendo os esforços internos, momentos e esforços transversos,

medidos por unidade de largura. Pelo facto de serem esforços distribuídos por unidade de

comprimento são, em geral, representados por letras minúsculas (por exemplo, mx e vx).

A diferença fundamental de comportamento entre uma peça linear e uma laje devese

ao efeito bidimensional que as segundas apresentam, conforme se ilustra na figura 2.4

para uma laje rectangular simplesmente apoiada em todo o contorno. Enquanto na viga as

9


LAJES VIGADAS

cargas são transmitidas aos apoios apenas numa direcção, na laje essa transmissão pode ser

feita em duas direcções.

Fig. 2.3 – Carga concentrada de faca e distribuída

Fig. 2.4 – Ilustração dos comportamentos uni e bidimensional de uma viga e de uma laje

10


LAJES VIGADAS

1. Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra

A laje fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico (curvatura nula segundo a

direcção y, figura 2.5) sendo o seu comportamento semelhante ao de uma viga com o

mesmo vão.

Fig. 2.5 – Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra

11


LAJES VIGADAS

Na figura 2.6 está representada a deformação da secção transversal de uma viga

submetida a um momento flector positivo. Podendo a laje ser entendida como um conjunto

de vigas ou “faixas” justapostas lateralmente. A deformação transversal, εt, de cada faixa é

impedida pelas faixas adjacentes, figura 2.7, dando origem a tensões σt segundo a direcção

ao vão; isto é :

Encurtamento

Alongamento

Encurtamento

Alongamento

ε a t - ε a t = 0 - ν εl – σt / E = 0 σt = ν σl

Deformação longitudinal de uma viga flectida

Deformação transversal de uma viga flectida

Fig. 2.6 – Deformação transversal da secção de uma viga sujeita a um momento

12


LAJES VIGADAS

Fig. 2.7 – Ilustração do efeito dos esforços na direcção principal e na direcção

transversal

Estas tensões produzem um momento flector na direcção perpendicular ao vão

My = ν Mx

fazendo com que a laje tenha uma rigidez maior do que um conjunto equivalente de vigas

justapostas de igual altura, bem como, a possibilidade de distribuir esforços lateralmente.

2. Laje apoiada nos quatro bordos com um lado muito maior que o outro

A zona central fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico, existindo uma

perturbação, que, em geral, não é significativa, nas extremidades A e C, devido à influência

dos apoios, como podemos verificar na figura 2.8.

13


LAJES VIGADAS

Flexão proporcional na direcção

de X e Y da laje

14

Momento em X (vão menor) é

mais elevado do que o momento

em Y (vão maior)

Fig. 2.8 – Laje apoiada em todo o contorno com um vão muito maior que o outro

3. Laje apoiada nos quatro bordos com lados de comprimento semelhante

O comportamento qualitativo deste tipo de laje pode ser compreendido a partir da

analogia com uma grelha (figura 2.9). A compatibilização dos deslocamentos verticais no

ponto de intersecção das vigas (E), implica que a parcela da carga P absorvida pela viga de

menor vão AB, seja superior à absorvida pela viga CD, uma vez que a rigidez vertical desta

é inferior à da viga AB. Esta conclusão pode também ser obtida tendo em conta que, sendo

as curvaturas da barra AB maiores, também o serão os momentos (M = EI.1/R). De facto,

numa laje rectangular apoiada em todo o contorno, os maiores esforços surgem segundo a

direcção do menor vão. Esta circunstância está na base do “método das bandas”, que efectua

uma distribuição da carga para cada direcção da laje, em função da relação entre vãos e

condições dos seus apoios.


aje

secção das Vigas

ocamentos Verticais

ly

lx

lx < ly Grelha

LAJES VIGADAS

Fig. 2.9 – Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha

A observação experimental constitui a melhor forma de verificação do

comportamento dos elementos estruturais de betão armado, permitindo a aferição e

determinação dos limites de validade dos modelos analíticos utilizados.

Na figura 2.10 indica-se, esquematicamente, o comportamento de uma laje até à

rotura, podendo distinguir-se várias fases:

a) Fase elástica – Estado I – o modelo elástico linear do comportamento da laje

é exacto;

15

ly


LAJES VIGADAS

b) Fase fendilhada – Estado II – o modelo elástico é válido, embora não exacto,

para o cálculo dos esforços, devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na deformação;

c) Fase de plastificação – as fendas concentram-se em bandas (charneiras

plásticas), podendo a distribuição de esforços afastar-se significativamente da distribuição

elástica;

d) Fase de rotura – deformação por rotação em torno das charneiras plásticas (ou

linhas de rotura) e esmagamento do betão – válida a Teoria da Plasticidade.

Zona em serviço

mais utilizada

Início da fendilhação

Laje

Cedência das armaduras

Fase fendilhada - (Estado II)

Fase elástica - (Estado I)

16

Fase de rotura

Fase de plastificação

(t=0)

P - Variação das cargas aplicadas à laje

(t=0) - Variação da tensão provocada pela laje

Fig. 2.10 – Comportamento de uma laje até à rotura


LAJES VIGADAS

2 3. - Comportamento resistente de lajes armadas numa direcção

O comportamento resistente da lajes como amostra a figura 2.11 pretende ilustrar o

comportamento resistente e esquema de rotura de lajes, que em geral não têm armaduras de

esforço transverso. Surgem no início do estado II as primeiras fendas de flexão

perpendiculares ao plano da laje. Com o aumento das cargas estas fendas de flexão na zona

onde existe esforço transverso de corte começam-se a inclinar e a rotura atinge-se com a

formação de uma fenda muito inclinada (quase horizontal) que partindo de próximo do

apoio vai reduzir acentuadamente o banzo comprimido (figura 2.11 a). Vemos assim que

aquando da rotura o esforço tracção no banzo traccionado aumenta muito até à proximidade

do apoio (figura 2.11 b). Compreende-se a vantagem de no caso de lajes sem armaduras de

corte prolongar até aos apoios uma parte considerável das armaduras no vão ( ver esquema

de rotura, tipo arco atirantado, figura 2.1 c).

A translação do diagrama de momentos é tomada neste caso (artº 106 do REBAP)

igual a 1,5 vezes a altura útil:

a)

b)

17


c) ZA,U

d)

LAJES VIGADAS

Fig. 2.11 – Comportamento resistente e esquema de rotura de lajes sem armadura

de corte.

2.4 - Comportamento resistente de lajes rectangulares armadas em duas

direcções

As lajes apoiadas em duas direcções transmitem as cargas aos apoios pelo caminho

mais curto, através da flexão em duas direcções. O comportamento resistente depende muito

da relação entre os lados da laje e das condições de apoio como é ilustrado na figura 2.10

para lajes rectangulares apoiadas no contorno. As linhas de direcção dos momentos

principais (para o estado não fendilhado), representados na figura determinam muito

aproximadamente o desenvolvimento das fendas nas lajes. Nas regiões dos cantos, estas

linhas desenvolvem-se ao longo das bissectrizes dos ângulos (45º - momentos negativos) e

na direcção perpendicular (135º - momentos positivos).

18


LAJES VIGADAS

______________ Momentos Principais positivos (tracção na face inferior da laje)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _Momentos Principais negativos (tracção na face superior da laje)

_ . _ . _ . _ . _ . _ . Mudança de sinal dos momentos principais

Figura 2.12 – Direcções dos momentos principais de lajes rectangulares com cargas

distribuídas: a) apoiada no contorno b) encastrada no contorno

19


2.5 - Vão teórico

LAJES VIGADAS

O artigo 101º do REBAP, define que o vão teórico a considerar no

dimensionamento das lajes maciças deve ser o menor dos seguintes valores: o vão livre

acrescido de 1/3 da largura de cada apoio ou o vão livre aumentado da altura útil da laje,

para lajes simplesmente apoiadas; a distância entre eixos dos apoios ou o vão livre

aumentado da altura útil da laje, para lajes encastradas; a distância entre eixos dos apoios,

para lajes contínuas.

2.6 – Espessura

A espessura das lajes depende, em geral, mais das condições de utilização, como as

que se referem aos problemas de deformação impostas pelas paredes de enchimento e

revestimentos frágeis, do que das verificações de resistência. A título indicativo a espessura

de uma laje varia em geral nos limites:

Lajes armadas numa só direcção

h/ℓ = (1/20) ÷ (1/30)

• Paineis rectangulares com ℓy ≥ 2 ℓx

h/ℓ = (1/30) ÷ (1/35)

ℓy

• Painéis aproximadamente quadrados de lajes armadas em cruz ℓy = ℓx

h/ℓ = (1/40) ÷ (1/50)

20

ℓx


2.6.1 - Espessuras mínimas

LAJES VIGADAS

ℓy

As lajes, em geral, elementos esbeltos, têm a sua espessura condicionada por razões

construtivas, pela garantia de capacidade resistente, pela deformabilidade e pelo isolamento

acústico.

O REBAP, através do artigo 102º, dá-nos valores mínimos, ou seja:

• 5 cm, no caso de lajes de terraços não acessíveis, ou seja, coberturas que,

embora formadas por elementos de construção que constituem habitualmente

pavimento, têm a sua acessibilidade condicionada a fins de reparação;

• 7 cm, no caso de lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas;

• 10 cm, no caso de lajes submetidas a cargas concentradas relativamente

importantes;

• 12 cm, no caso de lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes;

• 15 cm, no caso de lajes apoiadas directamente em pilares.

Para além disto, o cálculo da espessura da laje deve basear-se em dois conceitos:

Fendilhação e, sobretudo, Deformação.

2.6.2 - Espessuras mínimas face à deformação

21

ℓx


LAJES VIGADAS

A menos que se proceda à verificação ao estado limite de deformação (ARTº 72º,

73º) a espessura das lajes, h, deve satisfazer às condições a seguir indicadas que resultam

duma limitação de relação flecha-vão a/ℓ = 1/400 e ainda de uma limitação da flecha

máxima de 1,5 cm quando a deformação da laje afecte paredes divisórias.

a) Em geral:

ℓi/h ≤ 30 η

em que: h – espessura da laje

valores:

ℓi = α ℓ - vão equivalente

a – flecha

ℓ - vão teórico (o menor vão no caso de lajes armadas em cruz)

α – coeficiente dependendo das condições de apoio e armação

η – coeficiente que, consoante o tipo de aço utilizado, toma os seguintes

A235........................................η = 1,4

A400........................................η = 1,0

A500........................................η = 0,8

A aplicação desta expressão resulta nos valores limites da relação ℓ/h mostrados

pelo Quadro 2.1

QUADRO 2.1

Tipo de

Laje

Tipo

de Aço

A235

A400

A500

(a = 1.0)

42

30

24

,

Armadura numa só direcção Armadura em duas direcções

(a = 0.8)

52

38

30

Bordo apoiado

(a = 0.6)

70

50

40

(a = 2.4)

18

12

10

22

60

43

34

Bordo encastrado

(a = 0.7) (a = 0.5) (a = 2.4)

84

60

48

18

12

10

Bordo livre


LAJES VIGADAS

i) No caso das lajes pré-esforçadas os valores a adoptar podem ser duplos dos

correspondentes ao do aço A500.

ii) No caso de lajes com vão equivalente, ℓi = α ℓ, superior a 6m, e cujo deformação

afecte paredes divisórias os valores limites serão os do quadro multiplicados por

6/ℓi (ℓi em metros).

Quadro 2.1 – Valores máximos da relação ℓ/h em lajes para ter em conta a deformação.

2.6.3- Espessuras face aos esforços

Os esforços actuantes são fundamentalmente o momento flector M e o esforço

transverso, V. No que diz respeito ao momento flector, M , a laje é em geral dimensionada

admitindo que a rotura se inicia para uma extensão na armadura de tracção próxima do

limite, εs = 8 ÷ 10%, o que corresponde a um valor de momento reduzido μ ≤ 0,20. A título

indicativo tomando μ = 0,15

μ = Msd / bd 2 f cd com, b = 1 m e μ = 0,15

d ≥ (Msd / 0,15 fcd) e h ≈ d + 3 cm

No que se refere ao esforço transverso, V , procura-se em geral atribuir à laje uma

espessura, h , de forma a não ser necessário utilizar armaduras de esforço transverso. Assim

a altura útil, d , teria que ser condicionada pela relação:

d ≥ (Vsd / 0,6 τ1(1,6 – d)) com, Vsd por faixa de 1m de largura e

0,6 τ1(1,6 – d) ≥ 0,6 τ1, d é a altura útil em m.

23


LAJES VIGADAS

QUADRO 2.2

τ1 Valores da Tensão

Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

τ1 0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15

2.7 - Armadura de flexão

Quadro 2.2 -Valores da tensão τ1

As armaduras de flexão entende-se por aquelas que resistem aos efeitos de cargas

normais (M e N) e que são colocadas paralelamente ao plano da laje. Distinguem-se assim

das armaduras de esforço transverso e punçoamento.

2.7.1 - Armadura principal mínima

A área mínima da armadura principal deve ser tida em conta de forma a garantir

uma reserva suficiente de resistência após a fendilhação.

A armadura principal das lajes, segundo o REBAP, não deve ter percentagem (ρ)

inferior à apresentada no quadro 2.3.

Esta percentagem é definida pela relação:

ρ = As/(bt d) x 100

em que As é a área da secção de armadura; bt é a largura média da zona traccionada

da secção; e d é a altura útil da secção.

Nas lajes armadas em duas direcções, este condicionamento aplica-se a cada uma

das armaduras. A área da armadura longitudinal de tracção ou de compressão não deve

exceder 4% da área total da secção da laje, no somatório das duas direcções (se for armada

em ambas).

24


LAJES VIGADAS

QUADRO 2.3

Percentagem mínima (ρ)

Tipo de Aço Valor de ρ (%)

A235 0,25 %

A400 0,15 %

A500 0,12 %

Quadro 2.3 - Percentagem mínima de armadura

Quanto à armadura de distribuição, o REBAP não impõe uma percentagem

mínima. Para evitar fissuração não prevista, aconselha-se para esse caso um ρmin = 0,10 %.

2.7.2 - Espaçamentos Máximos dos Varões da Armadura Principal

Os espaçamentos das armaduras não devem ter valores excessivamente grandes.

Esta limitação tem a ver com o controlo da fendilhação e com a garantia de uma resistência

local mínima, em particular para as cargas concentradas.

Do ponto de vista do funcionamento da laje, quanto menor for o espaçamento das

armaduras melhor esta se comporta. Por outro lado, espaçamentos muito reduzidos podem

dificultar a betonagem, opondo-se a que o betão preencha todos os espaços vazios e

provocando a separação dos inertes do betão. Obviamente que em termos de execução,

aquando da montagem das armaduras na laje, quanto menores forem os espaçamentos maior

é o número de varões a colocar, tornando esta operação mais trabalhosa, de mais difícil

execução e mais dispendiosa.

Segundo o REBAP, artigo 104, inerentes às armaduras ordinárias, o espaçamento

máximo dos varões da armadura principal não deve ser superior a 1,5 vezes a espessura da

laje, com um máximo de 35 cm. Para além destas condições, o espaçamento máximo dos

varões não deve também, nos casos correntes, ser superior ao apresentado no quadro 2.4.

A verificação da abertura de fendas é dispensada se na armadura principal os

espaçamentos não forem superiores aos indicados no quadro 1.9. No entanto, para ambientes

muito agressivos, nunca é dispensada a verificação da abertura de fendas.

25


LAJES VIGADAS

QUADRO 2.4

Espaçamento máximo dos varões da armadura longitudinal de lajes (cm)

Ambiente

Pouco agressivo (w = 0,3 mm)

Moderadamente agressivo (w = 0,2 mm)

Muito agressivo (b)

26

Tipo de Aço

A235 A400 A500

_ (a)

_ (a)

_ (a)

25 20

15 10

Estimativa da

abertura de fendas

obrigatória

Quadro 2.4 – Espaçamento máximo dos varões da armadura longitudinal da lajes

(a) – Para lajes com aço A235 o controlo indirecto da fendilhação não requer um limite no

espaçamento das armaduras, para além dos limites gerais anteriormente indicados (não há

condicionamento).

(b) – Ambiente muito agressivo terá que ser verificado o estado limite de fendilhação.

Nota: Os espaçamentos que no caso de respeitados, dispensam a verificação do estado

limite de abertura de fendas, excepto em ambientes muito agressivos.

Estes valores foram obtidos admitindo que, para a combinação frequente de

acções, a tensão nas armaduras é de 0,5 f syd.

Para lajes com aço A235, o controlo indirecto da fendilhação não requer um limite

no espaçamento das armaduras, para além dos limites gerais anteriormente indicados.

2.7.3 - Interrupção da Amadura Principal. Armadura nos Apoios.

Uma laje resiste às cargas aplicadas por efeito de arco e flexão. Nas lajes, a

resistência ao esforço transverso é, em parte, garantida pelo “efeito de arco”, como

esquematizado na figura 2.13. Representa-se também a evolução das forças nas armaduras

com o aumento da carga.


LAJES VIGADAS

Fig. 2.13 – Efeito de arco na resistência ao esforço transverso das lajes

De notar que na rotura, a força necessária junto ao apoio é pouco inferior à

requerida a meio vão. Verificou-se, experimentalmente, que é necessária uma translação de

al = 1,5 d, do diagrama de forças na armadura devidas à flexão, para evitar uma rotura

prematura (antes de esgotada a capacidade última à flexão). No REBAP, é imposto este

mesmo valor de translação. Também no respeitante à percentagem de armadura que é

necessário prolongar até aos apoios, a necessidade de atirantar o “arco” impõe que, pelo

menos metade da armadura do vão, tenha de ser levada até aos apoios.

27


LAJES VIGADAS

O critério a respeitar para a interrupção das armaduras principais das lajes maciças

e para o prolongamento de armaduras até aos apoios e sua amarração é idêntico aos

estipulados para as vigas nos artigos 92º e 93º do REBAP, respectivamente.

É de referir que o comportamento das lajes na rotura é muitas vezes difícil de

avaliar, tanto mais que importantes efeitos de membrana (esforços axiais no plano da laje)

podem ocorrer (sendo que, no caso de existir armadura e/ou betão suficientes –

respectivamente, para poderem ser mobilizados esforços de tracção e/ou compressão, esta

funciona como uma casca).

Como exemplo, cita-se o caso de uma laje simplesmente apoiada nos quatro bordos

e aproximadamente de forma quadrangular que, perto do colapso e com a zona central

fortemente fissurada por efeito das cargas a que está sujeita, adquire uma resistência última

suplementar dado a armadura traccionada (nas duas direcções) puxar o betão circundante à

zona central, formando este um verdadeiro anel de compressão.

Segundo o artigo 92º do REBAP, a armadura longitudinal de tracção só pode ser

interrompida desde que garanta a absorção das forças de tracção correspondentes a um

diagrama obtido por translação, paralela ao eixo da laje, do diagrama de Msd/z, em que Msd é

o valor de cálculo do momento actuante numa dada secção e z é o braço do binário das

forças interiores na mesma secção.

Fig. 2.14 – Diagramas Msd/z e forças de tracção

28


LAJES VIGADAS

O valor da translação, al, depende do valor de cálculo do esforço transverso

actuante, Vsd, e do tipo de armadura de esforço transverso, de acordo com o que a seguir é

indicado:

• Nas zonas em que Vsd ≤ 2/3 σ2 bw d:

al = d – no caso de estribos verticais;

al = 0,75 d – no caso de estribos verticais associados a varões inclinados a 45º;

al = 0,5 d – no caso de estribos inclinados a 45º;

• Nas zonas em que Vsd> 2/3 σ2 bw d

Os valores indicados anteriormente para al poderão ser diminuídos de 0,25 d.

Nestas expressões; bw representa a largura da alma da secção, no caso de esta não

ser constante, dever-se-á tomar para valor de bw a menor largura existente numa altura de

três quartos da altura útil da secção, contada a partir da armadura longitudinal de tracção; d

caracteriza a altura útil da secção; τ2 toma o valor que é indicado no quadro seguinte.

QUADRO 2.5

τ2 Valores da Tensão

Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

τ 2 2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Quadro 2.5 -Valores da tensão τ2

Os varões da armadura podem ser dispensados à medida que o diagrama ( b ) da

figura 2.14 o permita, devendo ser prolongados, para além dele, dos comprimentos de

amarração, respectivamente para armaduras ordinárias em geral e para redes

electrossoldadas.

A finalidade dos comprimentos de amarração é fixar as armaduras ao betão. Esta

amarração pode ser realizada por prolongamento recto ou curvo dos varões, por laços ou por

dispositivos mecânicos especiais. A utilização das amarrações por prolongamento dos

varões, que, quando curvo, pode incluir gancho ou cotovelo com as características

29


LAJES VIGADAS

geométricas indicadas na figura 2.15, depende da capacidade de aderência dos varões ao

betão e do tipo de esforços a que estão submetidos. Assim, tratando-se de varões de

aderência normal devem utilizar-se apenas amarrações com ganchos, excepto se os varões

estiverem sempre sujeitos a compressão, caso em que convirá usar amarrações rectas. Para

os varões de alta aderência devem-se usar amarrações rectas, excepto se os varões estiverem

sempre sujeitos a tracção, caso em que se permite a utilização de ganchos ou cotovelos.

Os comprimentos da amarração, lb,net (figura 1.8), são definidos pela expressão:

em que:

lb,net = lb (As,cal/As,ef) α1

lb = (φ/4) (fsyd/fbd)

não devendo, porém, em caso algum, ser tomados inferiores a qualquer dos

seguintes valores: 10φ; 100 mm; 0,3 lb, no caso de varões traccionados; 0,6 lb, no caso de

varões comprimidos.

As,cal é a secção da armadura requerida pelo cálculo; As,ef é secção da armadura

efectivamente adoptada; α1 é coeficiente que toma o valor de 0,7, no caso de amarrações

curvas em tracção, e é igual à unidade nos restantes casos; φ é o diâmetro do varão ou

diâmetro equivalente do agrupamento; fsyd é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da

tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,2% do aço; e fbd é o valor de cálculo da

tensão de rotura da aderência, que toma os valores apresentados no quadro 2.4.

QUADRO 2.6

Valores de cálculo da tensão de rotura da aderência, fbd,

30


Características

de Aderência

Dos Varões

LAJES VIGADAS

de armaduras ordinárias (1)

(Mpa)

Classe do Betão

B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

Aderência

Normal 0,8 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

Alta

Aderência 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,2

Quadro 2.6 - Valores da calculo da tensão de rotura da aderência

(1) Os valores indicados referem-se a varões betonados em condições de boa aderência; para

outras com dições de aderência, estes valores devem ser multiplicados por 0,7.

Amarrações com terminações rectas

- em varões à compressão, quer de aderência normal quer de alta aderência (solução

obrigatória);

- em varões à tracção de alta aderência (solução adoptada em geral)

Amarrações com terminações curvas

- em varões à tracção de aderência normal (solução obrigatória, mas não são

admissíveis cotovelos);

- em varões à tracção de alta aderência (solução possível quando se queira diminuir o

comprimento de amarração);

31


Amarração com

terminação

recta

Amarração com

terminação

curvas


θ

θ

LAJES VIGADAS

θ

32


< θ

Fig. 2.15 – Tipos de amarração por aderência

θ

< θ

No quadro 2.7 figuram os comprimentos de amarração a que se é conduzido nos

casos correntes, considerando As,cal = As,ef.

Tipo

de

Aço

A235 NL

Tipo

de

Amarração

A235 NR Recta

400 NR

A400 ER

A400 EL

QUADRO 2.7

Valores do comprimento de amarração, lb,net

Classes do Betão e Condições de Aderência

B20 B25 B30 B35

A B A B A B A B

Com

Gancho 35 φ 500 φ 300 φ 45 φ 300 φ 455 φ 255 φ 40 φ

Recta

A500 NR Recta

25 φ 35 φ 20 φ 30 φ 20 φ 25 φ 15 φ 25 φ

40 φ 60 φ 35 φ 50 φ 30 φ 45 φ 30 φ 40 φ

Com

Gancho 60 φ 85 φ 55 φ 80 φ 50 φ 75 φ 45 φ 65 φ


LAJES VIGADAS

A500 ER 50 φ 75 φ 45 φ 65 φ 40 φ 60 φ 35 φ 50 φ

Quadro 2.7 -Valores de comprimento de amarração

A – Condições de boa aderência

B – Outras condições de aderência

Segundo o REBAP deve ser mantido até aos apoios das lajes, pelo menos, metade

da armadura máxima de tracção correspondente ao momento no vão, tanto para os apoios

com liberdade de rotação (ou com fraco grau de encastramento) como para os apoios de

encastramento ou de continuidade. Por outro lado, no caso de lajes sem armaduras de

esforço transverso, a translação al referida anteriormente como deve ser tomada igual a 1,5

d.

A amarração desta armadura, segundo o REBAP, deve poder suportar uma força de

tracção igual a:

Fs = Vsd . al/d

em que Vsd é o valor de cálculo do esforço transverso actuante no apoio.

Contudo, tratando-se de apoios directos, os comprimentos de amarração assim

determinados podem ser reduzidos de 1/3, mantendo-se, porém, os mínimos especificados

anteriormente.

2.7.4 - Armadura de Esforço Transverso

As armaduras de esforço transverso podem ser constituídas por varões inclinados

ou por estribos, podendo estes ser inclinados segundo o eixo do elemento ou normais a

estes.

A literatura da especialidade é unanime em evidênciar as vantagens de utilização de

estribos (verticais ou inclinados) em vez de varões inclinados, o que se justifica não só

porque os estribos permitem uma melhor distribuição de armadura como asseguram a

cintagem e a ligação eficaz dos banzos traccionado e comprimido de treliça de Morsch.

Muitos regulamentos fixam mesmo uma percentagem mínima do esforço

transverso que deve ser absorvido por estribos no caso em se utilizam conjuntamente

33


LAJES VIGADAS

estribos e varões inclinados. O REBAP embora não quantifique tal percentagem sugere

também que se dê preferência à utilização de estribos.

Em geral, uma laje deve ser dimensionada de modo a que não sejam necessárias

armaduras de esforço transverso. Contudo, nos casos em que tal armadura é necessária, com

base no artigo 107º do REBAP, a percentagem de tal armadura não deve ser inferior aos

valores indicados no quadro 2.8, podendo incluir varões inclinados.

Esta percentagem é definida pela relação:

em que:

ρw= Asw/ (bw s sin α) x 100

Asw - é a área total da secção transversal dos vários ramos do estribo;

bw - é a largura da alma da secção;

s - é o espaçamento dos estribos;

α - é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da laje (45º≤α≤90º).

QUADRO 2.8

Percentagem mínima, ρw

Tipo de Aço ρw

A235 0,16

A400 0,10

A500 0,08

Quadro 2.8 – Percentagem mínima de armadura de esforço transverso

A armadura de esforço transverso pode ser realizada totalmente por varões

inclinados nas zonas em o esforço transverso actuante por unidade de largura, Vsd, não

exceda 1/3 τ2 d (quadro 2.5). Porém, nas zonas em que Vsd exceda aquele valor, deverá

realizar-se com estribos uma parte da armadura de esforço transverso que corresponda, pelo

menos, à percentagem mínima anteriormente referida.

Os estribos devem abranger a totalidade da altura da laje, devem envolver as

armaduras longitudinais e, nas suas extremidades, devem existir ganchos ou, pelo menos,

34


LAJES VIGADAS

cotovelos no caso de varões de alta aderência; recomenda-se além disso, para valores

elevados de esforço transverso, o emprego de estribos fechados.

As distâncias entre os varões da armadura de esforço transverso devem, no

máximo, ser as seguintes:

QUADRO 2.9

Tipo de Armadura

Distâncias máximas entre varões de armadura de corte

Na direcção do vão Na direcção transversal ao vão

Varões inclinados a 45º 1,2 d 1,5 d; com o máximo de 60 cm

Estribos verticais 0,6 d 1,5 d; com o máximo de 60 cm

Quadro 2.9 – Distâncias máximas entre varões da armadura de esforço transverso em laje.

A armadura de esforço transverso deve obedecer aos seguintes condicionamentos:

● Se Vsd ≤ 1/3 τ2 d : Armadura pode ser realizada somente com varões inclinados.

● Se Vsd ≥ 1/3 τ2 d : Pelo menos a armadura mínima deve ser realizada com estribos.

Em que:

Vsd – esforço transverso actuante por unidade de largura.

τ2 – valores referidos atrás (Quadro 2.5)

Indicam-se na figura 2.14 as disposições de armaduras que incluem a

pormenorização para varões inclinados e para estribos.

35


o de corte moderada

1,2 d

nados ( direcção do vão)

LAJES VIGADAS

d

1,5 d

60 cm

(τ ≤ 1/3 τ2)

(τ > 1/3 τ2)

Fig. 2.16 – Solicitação de corte moderada

36

Escalonamento da armadur

x

x

2 x

2 d - Tensões de cort

x d - Tensões de corte


) Solicitação de corte elevada

Planta

± 4h

LAJES VIGADAS

ex 0.6d

Estribos Verticais ( direcção transversal do vão)

37


2 Ramos consecutivos

Corte

Fig. 2.17 – Disposições a respeitar na distribuição de armaduras de esforço transverso em

lajes


LAJES VIGADAS

Quando forem necessárias armaduras de esforço transverso, tais armaduras deverão

corresponder pelo menos aos valores indicados no quadro 1.8. A fórmula de cálculo de ρw é

idêntica à do REBAP.

Nas lajes, se Vsd ≤ 1/3 VRd2, a armadura de esforço transverso poderá ser

constituída exclusivamente por varões inclinados ou ligadores para esforço transverso.

VRd2 = τ2 bw d

O espaçamento longitudinal máximo de cintas ou estribos é:

• Se Vsd ≤ 1/5 VRd2 : Smáx = 0,8 d

• Se 1/5 VRd2 < Vsd ≤ 2/3 VRd2 : Smáx = 0,6 d

• Se Vsd > 2/3 VRd2 : Smáx = 0,3 d

O espaçamento longitudinal máximo para varões inclinados é: Smáx = d.

2.7.5 - Armadura de Distribuição das Lajes Armadas Numa Só Direcção

Perpendicularmente às armaduras principais deve ser colocada uma armadura de

distribuição. Esta armadura, que não é necessária para a verificação dos estados limites

últimos, tem por função principal controlar a abertura da fendas nas condições de serviço.

Serve também para posicionar as armaduras principais durante a fase de montagem de

armaduras e de betonagem da laje (formando, em conjunto com as armaduras principais,

uma malha ortogonal com rigidez). Esta armadura de distribuição tem ainda a função de

garantir uma certa resistência da laje a cargas concentradas.

Nestas lajes maciças armadas numa só direcção devem ser colocadas armaduras de

distribuição adequadas, constituídas por varões não espaçados de mais de 35 cm, segundo o

REBAP.

Na face da laje oposta à da aplicação das cargas, tal armadura deve ser disposta

transversalmente ao vão e a sua secção deve, localmente, ser pelo menos igual a 20% da

secção da armadura principal aí existente. No caso, porém, de lajes em consola, aquela

percentagem deve ser referida à secção da armadura principal no encastramento, devendo,

além disso, dispor-se junto àquela mesma face uma armadura na direcção do vão.

38


LAJES VIGADAS

Na face de aplicação das cargas, caso exista armadura principal, deve dispor-se

ainda uma armadura de distribuição, colocada transversalmente àquela, e que respeite a

condição geral de espaçamento anteriormente referida.

No caso de existirem apoios de encastramento ou de continuidade, paralelos à

armadura principal da laje (não considerados nas hipóteses de dimensionamento), deve

dispor-se sobre esses apoios, em direcção transversal e junto à face superior da laje, uma

armadura adequada para resistir aos esforços aí desenvolvidos. Esta armadura deve

entender-se a partir do apoio, de um comprimento pelo menos igual a ¼ do vão teórico

correspondente à armadura principal.

A percentagem mínima de armadura de distribuição definida pelo REBAP é de

20%. O espaçamento máximo deste varões, segundo o mesmo regulamento é de 35 cm.

As armaduras principais devem ficar sempre colocadas de modo a funcionarem

com o maior braço. As armaduras de distribuição são colocadas interiormente às principais.

Momentos Positivos Momentos Negativos

As+ As dist.

As- As dist.

Fig 2.18 - Posição relativa da armadura principal e da armadura de distribuição

A disposição de armaduras a adoptar é determinada tendo sobretudo em conta a

distribuição de esforços em que se baseia o dimensionamento da laje.

As dispensas de armaduras são efectuadas de acordo com as regras indicadas no

REBAP. A secção onde a armadura é dispensada é determinada de modo semelhante ao das

vigas: procede-se à translação do diagrama de momentos flectores e prolonga-se a armadura

do comprimento de amarração a partir da secção onde esta deixa de ser necessária para a

verificação do estado limite último de flexão.

39


LAJES VIGADAS

Para lajes com condições de apoio correntes e sujeitas a cargas distribuídas

uniformes, é possível indicar disposições de armadura tipo, as quais dispensam a

necessidade de determinação da distribuição de armaduras com base no cálculo (em especial

os pontos onde se dispensam armaduras).

Em qualquer laje, sempre que exista uma armadura numa direcção, deve ser

colocada na direcção perpendicular pelo menos a armadura de distribuição.

2.7.6 - Armadura nos Bordos Livres

Quando numa laje existe um bordo livre devem dispor-se armaduras que melhorem

a resistência dessa zona, evitando a danificação das arestas e eventual descasque do betão

devido a acções concentradas.

FORÇA CONCENTRADA

Destacamento do betão devido a acções concentradas

Fig 2.19 – Destacamento do betão

O REBAP prevê que ao longo dos bordos livres das lajes deve dispor-se uma

armadura constituída, no mínimo, por 2 varões, um junto da cada aresta, e uma armadura

transversal ao bordo, envolvendo a primeira e prolongando-se para o interior da laje, junto

de ambas as faces, de um comprimento igual, pelo menos, a 2 vezes a espessura da laje.

40


LAJES VIGADAS

A área da secção desta armadura transversal, em cada face, expressa em

centímetros quadrados por metro, não deve ser inferior a 0,05 d para o aço A235 e a 0,025 d

para os aços A400 e A500, sendo d a altura útil da laje, expressa em centímetros. O

espaçamento dos varões desta armadura não deve exceder 35 cm. Mas, para efeitos de

constituição das armaduras de bordo podem ser tidas em conta outras armaduras existentes.

A armadura transversal pode ser constituída por elementos com a forma indicada na

figura 2.15 a) , ou pelo prolongamento da armadura de uma das faces da laje para a face

oposta conforme indicado nas figuras 31 b) e c).

Ast (cm²/m)

0.05 d para o aço A235

0.025 d para os aços A400 e A500

d em centimetros

s (espaçamento dos varões transversais) 35 cm

41

s (espaçamento dos varões transversais) 35 cm

Fig. 2.20 – Armadura transversal


Armadura

transversal

– bordo livre

Armadura

transversal mínima

em cada face Asb

(cm 2 /m)

Assim

LAJES VIGADAS

Armadura longitudinal

42

2h

Asb

ou assim Asb

Fig. 2.21 – Disposições da armadura de bordo livre.

A 235

0.05 d

QUADRO 2.10

h

Tipo de Aço

A 400

0.025 d

Quadro 2.10 - Área de armadura transversal mínima

- a armadura corrente da laje pode constituir armadura de bordo.

A 500

0.025 d


2.7.7 - Armadura de Canto

LAJES VIGADAS

Indica-se na figura 2.22 a), a deformação de um painel de laje apoiado no contorno

no caso de não estar impedido o levantamento da laje.

P

a)

Ro

43

Ro

P

b)

Fig 2.22 – Levantamento da laje

Nas situações usuais, o deslocamento dos cantos está impedido (pelas vigas ou

pelas paredes). Da compatibilização da deformação livre surgem forças de reacção no canto

Ro (figura 2.22 b)) associadas a momentos torsores nas direcções dos bordos,

Mxy = Ro/2 .

A acção deste esforço produz uma superfície torsa com curvatura nas duas

direcções de sinais contrários (tipo “sela de cavalo”) figura 2.23.

Ro

Ro


LAJES VIGADAS

Fig 2.23 – Curvatura tipo “cela de cavalo”

Na figura 2.24 a) indica-se a deformação de um canto de uma laje apoiada no

contorno. A acção da reacção no canto produz uma curvatura negativa segundo a

direcçaoAA’. A carga distribuída vertical provoca uma curvatura positiva segundo a

direcção BB’. Este efeito corresponde a momentos flectores principais, positivo e negativo,

de valores iguais ao momento torsor e a actuarem com direcção que fazem um ângilo de 45º

com os bordos laterais. Na figura 2.25 b) representam-se estes esforços num elemento de

canto com dois bordos simplesmente apoiados. O tipo eventual fendilhação devido a este

efeito é indicado na figura 2.26 c).

B

A

44

a)

Fig. 2.24 - Deformação de um canto de uma laje apoiada no contorno

A'

B'


M'xy

M'xy

M'xy

M'xy

My

Mx

LAJES VIGADAS

b)

Mx

My

x, y - direcções principais

45

y

My

Mij

M'xy

M'xy

M'xy = Mx = My

Fig. 2.25- Esforços num elemento de canto com dois bordos simplesmente apoiados.

M

Face inferior

c)

M

Face superior

Fig. 2.26 – Tipo de fendilhação eventual devido a este efeito

Junto a um canto de uma laje, em que pelo menos um dos lados é apoiado,

desenvolvem-se momentos torsores. Para absorver as tracções devidas a este esforço e evitar

que a fendilhação seja elevada é necessário colocar armaduras junto às duas faces da laje

(armadura de canto), segundo as direcções das tensões de tracção (figura 2.27).

Mx


lx

0.4 lx

Face inferior

LAJES VIGADAS

0.4 lx

46

Face superior

Fig. 2.27 – Modo mais eficaz de colocação da armadura para o momento torsor

Na prática é mais usual a colocação de uma malha ortogonal por ser a mais simples

(figura 2.28 a))

F

As

a)

As (cm²/m)

F

F

Fig. 2.28 – Malha ortogonal

b)

As (cm²/m)

Esta malha com uma área de armadura As distribuída em cada direcção (figura 2.28

a)) tem uma resistência segundo a direcção diagonal igual à de uma armadura com igual

área distribuída segundo essa diagonal (figura 2.28 b)).

É de salientar que os cantos das lajes são sensíveis aos efeitos de restrição, que os

pilares e vigas de contorno oferecem à deformação por retracção do betão, ou a variações de

temperatura, podendo verificar-se fendilhação nestas zonas com direcções diferentes das

F


LAJES VIGADAS

mencionadas. A distribuição de armaduras ortogonais indicada na figura 2.28 a) é também

conveniente para o controlo da fendilhação, devido a estes efeitos.

Numa laje quadrada, apoiada em todo o contorno, o valor do momento torsor é da

ordem de grandeza do momento flector positivo no vão (mx = 0,042 ql 2 , mxy = 0,04 ql 2 ).

Para lajes armadas em duas direcções junto aos cantos formados por dois bordos

apoiados é recomendada uma armadura, com uma área igual à da maior armadura de

momentos positivos, disposta numa área quadrada de lado igual a 1/4 do menor vão. Nos

cantos em que apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor, razão pela qual

se coloca, nestes casos, uma quantidade de armadura inferior. Se os dois bordos são

encastrados não existe momentos torsor. Indica-se nas figuras a seguir indicadas as

armaduras de canto que são usualmente dispostas para os casos mais correntes de condições

de apoio.

0.25 lx

0.25 lx

Painel isolado

lx < ly

0.25 lx 0.25 lx

Asx

Asx

Asx

Asx

ly

Face superior

47

Asx

Asx

Asx

Asx

Fig. 2.29 - Painel isolado

Painel de canto

lx


0.25 lx

0.25 lx

Asx

0.25 lx

Asx/2

Fig. 2.30 - Painel de canto

0.25 lx

0.25 lx

Asx

Asx/2

Asx/2

LAJES VIGADAS

ly

Face superior

Painel de bordo

ly

Face superior

48

Asx/2

0.25 lx

Fig. 2.31 - Painel de bordo

Painel com três bordos apoiados e um bordo livre

lx

lx


LAJES VIGADAS

Indica-se na figura ???????? as trajectórias principais dos esforços neste tipo

de laje.

lx

ly/lx = 2

ly

y

49

x

m2

lx

ly/lx = 1

lx

m1

ly/lx = 0.5

Fig. 2.32 – Trajectórias principais dos momentos em lajes simplesmente apoiadas com um

bordo livre.

Pode verificar-se que para relações de vãos ly/lx ≥ 1.0 poderá adoptar-se a

distribuição usual de armaduras de canto:

ly

ly


0.25 lx

0.25 lx

0.25 lx

LAJES VIGADAS

ly

Face superior

50

Asx

Asx

ly/lx 1

Fig. 2.33 – Relações de vãos

Por outro lado, para relações ly/lx pequenas, os momentos principais oblíquos são

fundamentais para o funcionamento da laje, havendo necessidade, nestes casos, de dispor de

uma importante armadura de canto com uma eficiente ancoragem da reacção Ro. Na figura

2.34 está representada a distribuição de armadura de canto mais eficaz para os momentos

actuantes neste tipo de lajes.

lx


Face inferior

LAJES VIGADAS

Armadura de canto Ancorar com segurança

51

Face superior

Fig. 2.34 – Distribuição da armadura de canto

Quando ly/lx ≤ 1.0 a armadura dos cantos e sua distribuição deve ser obtida com

base no cálculo, através da distribuição de momentos.

Na face inferior da laje, se não for dispensada a armadura principal junto aos

apoios, não se torna necessário nenhum reforço de armadura junto ao canto.

Nos cantos em que os dois lados são apoiados a laje tende a desligar-se do apoio

(levantamento do canto). Se não existir uma força de compressão (parede ou pilar) é

necessário garantir a ligação da laje ao apoio através de uma conveniente pormenorização de

armaduras. Esta ligação pode ser efectuada através da amarração da armadura de canto no

elemento de suporte. Pode também ser realizada com estribos se o apoio for uma viga.


LAJES VIGADAS

a a'

Plantas

0.25 lx

52

R

laje

apoio

0.25 lx


LAJES VIGADAS

lb, net

junta de

betonagem

Parede

varão de "espera" lb, net

Viga

53

Cortes

Fig. 2.35 – Disposições para absorção das forças de canto numa laje

2.7.8 - Armadura de Punçoamento


LAJES VIGADAS

O punçoamento é um tipo de rotura que pode surgir quando uma laje está

submetida seja a uma carga concentrada seja à reacção dum apoio (pilar). A rotura produzse

com um movimento predominante vertical por formação de uma superfície de rotura

(inclinada aproximadamente de 30º sobre o plano da laje) à volta da carga ou da reacção

segundo o esquema indicado na figura 2.36.

Fig. 2.36 - Roturas por punçoamento sob uma carga concentrada ou na vizinhança de um

apoio.

É importante referir que, em termos de concepção, todas as soluções com vista a

evitar a necessidade deste tipo de armadura devem ser tentadas, em particular com recurso a:

● aumento da espessura da laje através de um capitel ( Fig. 2.37 )

● alargamento do pilar

a1)

54


2)

LAJES VIGADAS

1:6 a 1:8

> ou = b + 5d

55

d

d

2 a 5 cm

Fig. 2.37 - Soluções estruturais que poderão evitar a necessidade do dimensionamento de

armaduras próprias de punçoamento.


LAJES VIGADAS

Caso não seja possivel encontrar uma outra solução aceitável, que não necessite de

armadura transversal própria para o punçoamento, aconselha-se a utilização de estribos,

pois:

● dispostos verticalmente encontram-se melhor aproveitados para resistir ao

punçoamento;

● aumentam a cintagem da zona comprimida com correspondente aumento da

resistência e ductilidade.

Há que, de qualquer modo, garantir uma boa amarração à armadura de

punçoamento.

Na figura a seguir representada, exemplifica-se a pormenorização de soluções com

estribos e varões inclinados de punçoamento, indicando-se o seu posicionamento e

afastamentos máximos de acordo com o artº 110 do REBAP.

SOLUÇÂO COM ESTRIBOS

~ d

Zona de armadura

56

a

~ d d/2

Zona de armadura

d/2 ~ d

a = 30 a 35°


ou = 0,25d

SOLUÇÂO COM VARÕES INCLINADOS

LAJES VIGADAS

57

< ou = 0,75d


LAJES VIGADAS

2.7.9 - Lajes armadas numa só direcção sujeitas a cargas concentradas

Segundo o artigo 103º do REBAP, é analisado o cálculo dos esforços de

dimensionamento e a pormenorização das armaduras em zonas sujeitas a cargas

concentradas. Se se tratar de uma laje armada numa só direcção e se a carga for

suficientemente afastada dos bordos paralelos à direcção do vão, o cálculo é feito

assimilando a laje a uma viga com os mesmos vãos, condições de apoio e espessura da laje e

considerando uma faixa de largura bm = b + b1 (largura efectiva). Esta é definida de forma a

que o esforço máximo na laje seja obtido pela divisão do momento da viga por aquele valor

(figura 2.39). A parcela b1 da largura deve ser calculada de acordo com o quadro 2.11 e

depende do esforço que se pretende calcular (momento flector positivo ou negativo ou

esforço transverso).

A zona de distribuição da carga concentrada obtém-se, supondo uma degradação

segundo linhas a 45º, a partir do contorno da área carregada até ao plano situado a meio da

altura útil da laje; numa dada direcção, a dimensão b de distribuição será:

b = a + 2h1 + d

em que: a - é a dimensão da área carregada na direcção considerada;

h1- é a espessura do revestimento sob a área carregada;

d - é a altura útil da laje.

58


ax

lx

ESFORÇO

b1/2

bx

bm

by

LAJES VIGADAS

b1/2

Fig. 2.39 - Definição da largura equivalente

59

x

h1

d

ax

bx

b = a +2h1 + d

bx = ax +2h1 + d

by = ay +2h1 + d

bm = by + b1

QUADRO 2.11

Largura de distribuição de cargas concentradas em lajes

Valores de b1

CONDIÇÕES

DE APOIO

revestimento

rigido

laje

LIMITES

DE

VALIDADE

Quadro 2.11 – Largura de distribuição de cargas concentradas em lajes. Valores de b1


lx

a

by

bm

LAJES VIGADAS

60

a

x

by

bm reduzido

bx

bordo da laje

Fig. 2.40 - Largura de distribuição bm em função da distância ao apoio ou um bordo livre

A armadura principal adicional (Ax,p) determinada a partir do momento máximo,

Mx,p, devido à carga concentrada e com base na largura bm, deve ser disposta numa faixa

de largura igual a 0.5 bm, mas não menor que a largura by (figura 2.42)

A armadura de distribuição transversal com área,

Ay,p = 0,6 × Ax,p

60 % da armadura principal, deve ser distribuída numa faixa da largura 0.5 bm mas não

menor que bx. Os varões desta armadura devem estender-se ao longo do comprimento bm e

serem prolongados para um e outro lado dos respectivos comprimentos de amarração (ver

figura 2.42).

A verificação das tensões de corte na zona de influência da carga concentrada deve

ser feita tendo em conta o esforço transverso devido à carga concentrada e à carga

distribuída correspondente à largura de distribuição, bm, obtida no quadro 2.11, que toma

valores diferentes dos utilizados na determinação dos momentos,

V = Vp + ‘Vp (na largura bm – quadro 2.3)


a)

Secção segundo o

eixo dos y

mx Mx

=

bm

____

segundo y

x

LAJES VIGADAS

my

Variação de mx

61

Secção segundo o eixo dos x

bm segundo x

y

Mx

____

=

Pl

4

Fig. 2.41 – Esforços elásticos devido a uma carga concentrada. Processo simplificado de

determinação de uma “largura de cálculo”

b)

Revestimento

45º

by

P

bm +2 = lb,net

0.5 bm

(< by)

Armadura principal

reforçada, Ax, P

Armadura principal

lx

0.5 bm (< bx)

P

Armadura adicional, no caso de

cargas concentradas elevadas

Armadura principal

reforçada (comprimento

bm + 2 lb,net)

Fig. 2.42 - Laje armada numa direcção e sujeita a carga concentrada: a) distribuição de

esforços; b) disposição de armadura


LAJES VIGADAS

No caso particular de lajes em consola, o valor de 60 % que define a secção da

armadura transversal de distribuição deve ser referida à secção de armadura principal, no

encastramento, devido à carga concentrada:

Ay,p = 0.6 × Ax,p (máx)

Deverá ainda dispor-se, na face oposta à de aplicação da carga, uma armadura

longitudinal, A’xd ≈ 0.3 Ax,p numa faixa de largura ℓ/3 (na figura está representedo po

ℓ→1) para resistir aos momentos que se desemvolvem localmente nessa direcção ( ver

figura 2.43).

a)

mx

b)

x

y

bm

by

Ay, P = 0.6 Ax, P

0.5 bm

(< by)

x

A'xd, P = 0.3 Ax, P

( numa largura de l/3)

62

Variação do momento de

encastramento

Fig. 2.43 – Lajes em consola sujeitas a carga concentrada: a) variação dos momentos;

b) disposição de armadura

P

l


LAJES VIGADAS

Nas lajes armadas numa só direcção, sujeitas a cargas concentradas, toda a

armadura principal respeitante a estas cargas, quando determinada tendo em conta os

critérios anteriormente enunciados, deve ser disposta, segundo o REBAP, numa faixa cy de

largura igual a 0,5 bm, mas não menor que a largura by considerada para a distribuição da

carga. Deve dispor-se também, a menos de uma determinação mais rigorosa, uma armadura

de distribuição transversal à anterior, colocada junto à face oposta à da aplicação da carga,

totalizando a sua secção 60% da secção da armadura principal de flexão respeitante à carga

na zona em que esta actua, e distribuída numa faixa cx de largura igual a 0,5 bm mas não

menor que bx. Os varões desta armadura devem estender-se ao longo do comprimento bm e

ser prolongados para um e outro lado dos respectivos comprimentos de amarração (figura

2.16).

bx

bm - Assimilação de um trecho de

laje a uma viga (largura equivalente)

Armadura principal disposya

segundo o REBAP

bx

b1/2

by

63

b1/2

bm = cy + b1

b - (by, bx)

Armadura de distribuição

transversal à principal,

colocada junta da face oposta

à da aplicação das carga.

Fig. 2.44 – Distribuição de armaduras para uma carga concentrada numa laje armada numa

só direcção


LAJES VIGADAS

No caso particular de lajes em consola, o valor de 60% que define a secção desta

armadura de distribuição deve ser referido à secção da armadura principal exigida no

encastramento por acção da carga (figura 2.17).

Se esta actuar em zona afastada do bordo extremo da consola, deverá dispor-se

ainda, e também junto à face oposta à de aplicação da carga, uma armadura longitudinal

para resistir aos momentos que se desenvolvem localmente nessa direcção.

64

mx - devido a uma carga

concentrada

Corte

Fig. 2.45 – Distribuição de armadura para uma carga concentrada numa consola


LAJES VIGADAS

O dimensionamento e distribuição de armaduras, no caso de lajes armadas em cruz,

submetidas a cargas concentradas, pode ser analisado considerando-se uma “grelha” de

faixas perpendiculares.

Para o dimensionamento das faixas admite-se que uma resiste a uma carga de valor

αP e a outra a (1 - α) P (método estático de análise plástica). O valor de α deve ter em conta

as condições de apoio e o vão de cada faixa. No entanto, a armadura numa direcção nunca

deverá ser inferior a 60% da armadura na outra direcção, isto é, a armadura de distribuição

não pode ser inferior a 60% da armadura principal [2].

As armaduras de cálculo deverão, então, ser distribuídas em metade das faixas

(figura 2.18), exactamente como no caso anterior.

Esquema estático (grelha)

de determinação de esforços

65

Distribuição das armaduras

Fig. 2.46 – Dimensionamento e distribuição de armaduras no caso de lajes armadas em cruz

Em casos em que a acção de cargas concentradas é muito importante, o

dimensionamento da laje deverá basear-se na determinação dos esforços obtidos por uma

análise elástica linear. As superfícies de influência de esforços em lajes facilitam estes

cálculos, em especial quando se tratam de cargas móveis.


LAJES VIGADAS

2.7.10 - Aberturas em Lajes Maciças

A análise da capacidade resistente de uma laje com aberturas pode tornar-se

bastante complicada. O seu comportamento depende muito da posição, forma e dimensão da

abertura.

Quando as dimensões das aberturas não excedem determinados limites, podem

adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das aberturas.

Indicam-se a seguir os limites máximos a partir dos quais não é aconselhável utilizar regras

simplificadas.

Abertura isolada

Laje armada numa direcção

b <

L1

5

b

L2

b <

4

L2

Fig. 2.47 – Laje armada numa direcção – Abertura isolada

66

L1


LAJES VIGADAS

Fig. 2.48 – Laje armada em duas direcções

Podemos distinguir, do ponto de vista do projectista, dois tipos de aberturas nas

lajes: aberturas de detalhe e aberturas de cálculo. As primeiras referem-se a pequenas

aberturas de dimensões em geral não maiores que 1/5 do vão que não tem interferência

significativa no cálculo dos esforços tendo apenas de receber uma pormenorização adequada

de armadura. Quando existam aberturas maiores, aberturas de cálculo, estas terão de ser

tidas em conta na análise estrutural.

Em geral, no caso de aberturas de detalhe, basta dispor os varões da armadura

resistente, que teoricamente cairiam na abertura (ver fluxo de forças – Fig. 2.49 a)), como

armadura adicional nos bordos da abertura (Fig. 2.49 b)). Os picos de tensão que surgem nos

cantos, conduzem geralmente ao aparecimento de fendas, que são mantidas com pequena

abertura por meio de uma armadura adicional, inclinada a 45º com bordos de abertura.

A FIG 2hjdhjdj mostra com maior detalhe a pormenorização de armadura para o

caso de uma laje armada numa só direcção em que alguns varões tiveram de ser

interrompidos para dar lugar a uma abertura. Três varões (1) são cortados e quatro varões

extra (2) são colocados como compensação para restabelecer a capacidade de carga da laje.

67


LAJES VIGADAS

Armadura transversal (3) deve ser colocada de forma a controlar a fendilhação. Se

não for de aceitar uma diminuição de rigidez devido à presença da abertura, deve então ser

adicionada armadura de compressão. Recomenda-se que seja colocado, neste caso, mais

armadura de compressão do que armadura de tracção extra. Na figura foram usadas 4 varões

extra traccionados e 6 varões comprimidos (4).

a) b)

Direcção resistente principal

Lx

68

Armadura originalmentedistribuida

de maneira

uniforme

Armadura

transversal

adicional

Fig. 2.49 - Armadura em lajes com pequenas aberturas rectangulares

É conveniente uma disposição de armadura nos bordos da abertura do tipo da

especificada para bordos livres.


4

3 2

LAJES VIGADAS

1

1 3

2

4

69

SECÇÃO

FACE EM TRACÇÃO

Lb,net

Lb,net

FACE EM COMPRESSÃO

Fig. 2.50 - Laje armada numa direcção com uma abertura


LAJES VIGADAS

2.8 Dimensionamento de Lajes Vigadas

2.8.1 - Modelos de Cálculo

Existe dois grandes modelos de cálculo de esforços nas lajes que possibilitam o

dimensionamento das mesmas. Estes são designados por métodos clássicos e métodos de

rotura.

2.8.1.1 - Métodos Clássicos

Os métodos clássicos são baseados na Teoria da Elasticidade (cálculo linear) e

presumem que o material é elástico, homogéneo e isótropo.

σ

70

ε

Material elasto-plástico

Há inúmeros modelos baseados nesta Teoria, no entanto, julga-se conveniente referir

os de maior interesse:

i método dos elementos finitos

ii tabelas para cálculo de esforços

iii método de Marcus


LAJES VIGADAS

2.8.1.1 - Métodos de Rotura

Os métodos de rotura são baseados na Teoria da Plasticidade (cálculo não linear) e

presumem que o material se comporta como um corpo rígido-plástico perfeito

σ

ε

Material rígido-plástico

Existe também uma diversidade de modelos baseados nesta Teoria, no entanto é de

referir os de maior interesse:

i método dos trabalhos virtuais

ii método das Bandas

2.8.2 - Combinação de Acções para Lages Contínuas (fig.2.21)

1) Na determinação dos momentos negativos

Os momentos negativos que surgem nos bordos da lage com continuidade são

máximos se a sobrecarga actuar, simultaneamente, nos dois painéis adjacentes a esse bordo

(fig. 2.22).

71


LAJES VIGADAS

Fig. 2.51 - Lajes contínuas armadas em duas direcções

Fig. 2.52 - Distribuição da sobrecarga mais desfavorável para cálculo de momentos

negativos

2) Na determinação dos momentos positivos

72


LAJES VIGADAS

A distribuição de sobrecargas que produz um momento flector máximo no painel

central está indicado na figura 2.23; e nos painéis de canto, de bordo e interior na figura

2.24.

Fig. 2.53 - Distribuição da sobrecarga mais desfavorável para momentos positivos no painel

central

Fig. 2.54 - Distribuição da sobrecarga para cálculo de momentos positivos nos painéis de

canto, de bordo e interior

73


LAJES VIGADAS

Na figura seguinte, fig. 2.25, apresenta-se o modelo de cálculo para determinação

dos momentos mais desfavoráveis numa lage com bordo livre.

P/ M (-) P/ M (+)

Fig. 2.55 - Laje com bordo livre

2.8.3 - Método de Marcus (método clássico)

É um método simplificado que foi muito utilizado antes do aparecimento dos

programas de cálculo automático.

Dada uma lage armada em cruz (duas direcções), o método consiste em considerar

duas faixas de largura unitária, uma em cada direcção. A carga que actua sobre a laje deve

repartir-se pelas duas faixas de forma a que as respectivas flechas sejam iguais no ponto em

que se cruzam.

Assim, por exemplo, no caso de uma lage rectangular de dimensões Lx = 2 Ly,

simplesmente apoiada em todo o seu contorno, e submetida a uma carga uniformemente

distribuída, q, resulta:

74


LAJES VIGADAS

4

4

5 5 EI

EI

a = × qx × Lx = × qy × Ly ;

384

384

sendo: qx + qy = q

q 1 q

donde: qx = ; Mx = × × 4 ×

17 8 17

75

2

Ly

q 1 q

e qy = 16 × ; My = × 16 × ×

17 8 17

Fig. 2.56 - Método de Marcus

Este resultado mostra que as lages apoiadas nos quatro bordos trabalham quase

exclusivamente na direcção mais curta, a partir de uma relação de dimensões da ordem de 2,

ou seja: Lx / Ly >= 2.

2

Ly


Aplicações Práticas

LAJES VIGADAS

1º Dimensione uma lage rectangular de (4,00 * 10,00) m 2 , apoiada em todo o seu

contorno numa parede de 30 cm de espessura, utilizando B25 e A400 NR e considerando as

seguintes acções:

1. Peso próprio, revestimento de 1,5 KN/m2;

2. Sobrecarga de utilização de 2,0 KN/m2 (ψ2 = 0)

Desenhe uma planta das armaduras à escala 1/50 e um corte transversal à escala 1/20..

2 Considere o pavimento constituído por lages maciças de betão armado, abaixo

- revestimento 0,7 KN/m2

- paredes divisórias 1,5 KN/m2 representado.

Efectue o dimensionamento do painel assinalado, sabendo que se utiliza o B25 e o

A400 ER, considerando as seguintes acções, para além do peso próprio:

- sobrecarga 6,0 KN/m2

76


Resolução da primeira aplicação prática

LAJES VIGADAS

1º Sendo a relação entre o vão maior e o menor igual a

dimensionada como armada numa só direcção.

1. GEOMETRIA

77

10.

00

4.

00

= 2.50 > 2.00, esta lage é

Tratando-se de uma lage simplesmente apoiada, tem-se:

Vão teórico é o menor valor de

1

- vão livre acrescido de da largura de cada

3

apoio; ou

- vão livre acrescido da altura útil da lage.

VÃO LIVRE

O vão livre da lage é a distância (à face) entre as vigas de bordadura perpendiculares

à direcção da armadura principal.

Atendendo à geometria da lage, consideram-se duas faixas de largura unitária em

cada direcção. A compatibilização de deslocamentos a meio vão (porque a continuidade da

peça a isso o obriga) implica a existência de curvaturas mais acentuadas segundo o menor

vão, pelo que é segundo este que se irão desenvolver os maiores esforços, havendo assim

que colocar a armadura principal com essa direcção. Pode assim concluir-se que, para lages

armadas numa só direcção, esta coincide com o menor vão.

Assim, deve-se considerar o vão livre igual a 4.00 m.

1.2. VÃO TEÓRICO

Para o cálculo do vão teórico é necessário o conhecimento da altura útil.

Adopte-se d = 12 cm


LAJES VIGADAS

O vão teórico é o menor dos seguintes valores:

1

4.00 + 2 × × 0.30 = 4.20

3

ou

4.00 + 0.12 = 4.12 ;

portanto deve considerar-se o vão teórico igual a 4.12 m.

De acordo com o REBAP (artº 102.2), a verificação do estado limite de deformação

nas lages é dispensada se, uma vez verificada a segurança ao estado limite último e as

restantes disposições regulamentares, a sua espessura for superior ao valor dado pela

expressão

li

h ≥

30η

com li = α l, sendo l (vão teórico) = 4.12 m

α (laje simplesmente apoiada armada numa só direcção) = 1.0

e η = 1.0 (A 400)

4.

12×

1.

0

Então h ≥ h ≥ 0.137 m; como h = 0.15 m, verifica.

30×

1.

0

No entanto, na prática verifica-se que, em algumas situações correntes, a limitação

l

da deformação a para as combinações frequentes de acções não é garantida com os

400

li

valores obtidos por esta expressão. É recomendável utilizar a seguinte expressão: h ≥

21η

4.

12

pelo que h ≥ h ≥ 0.196 m, não se verificando esta condição com h = 0.15 m (seria

21

preferível, tendo em vista a limitação da deformação adoptar uma espessura da ordem de h =

0.20m. Nesta resolução optou-se por escolher h = 0.15 m e proceder ao cálculo da flecha,

permitindo assim uma melhor análise do atrás exposto).

2. ACÇÕES

2.1 Cargas permanentes

78

;


2.2 . Sobrecargas

2. Cálculo dos Esforços

LAJES VIGADAS

Peso próprio ....................................... 25 × 0.15 = 3.75 KN/m2

Revestimento ........................................ 1.50 KN/m2

79

CP = 5.25KN/m2

Sobrecarga de utilização ......................... 2.00 KN/m2

SC = 2.00 KN/m2

Os esforços são calculados para uma banda de lage de largura unitária, com as

mesmas condições de apoio e actuada pelas acções atrás determinadas.

Donde:

2

4.

12

MCP = 5.25 × = 11.1 KNm/m

8

2

4.

12

MSC = 2.00 × = 4.2 KNm/m

8

VCP = 5.25 ×

VSC = 2.00 ×

4.

12

2

4.

12

2

= 10.8 KN/m

= 4.1 KN/m


LAJES VIGADAS

MSd = 1.5 ( MCP + MSC ) = 1.5 ( 11.1 + 4.2 ) = 23.0 KNm/m

VSd = 1.5 ( VCP + VSC ) = 1.5 ( 10.8 + 4.1 ) = 22.4 KN/m

4. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos

4.1 Flexão

MSd = 23.0 KNm/m

μ =

Msd

2

b × d × f

cd

d = h – rec - φ/2 = 0.15 – 0.025 – 0.01/2 = 0.12

23.

0

1.


0.

12 × 13.


10

= 2

3

= 0.120

μ = 0.120; β = 0; ω = 0.131 (valores tabelados)

As = ω × b × d ×

f

f

cd

syd

Verificação da Armadura

ρmin = 0.15 (A 400) => As,min =

13.


10

= 0.131 × 1.0 × 0.12 ×

348

0.

15

4

× 1.


0.

12×

10

100

Sendo As > As,min adopta-se φ10 // 0.125 (6.28 cm2 /m)

4.2 Esforço Transverso

80

4

= 6.00 cm2 /m

= 1.8 cm2 /m


LAJES VIGADAS

VSd = 22.4 KN/m

As lages são os únicos elementos estruturais que podem não apresentar armaduras

transversais. Nelas não é válida a hipótese de formação de um mecanismo de treliça,

sendo a resistência ao esforço transverso garantida pela resistência à tracção do betão.

Essa resistência, em termos de cálculo, é quantificada pela expressão simplificada:

Vcd = 0.6 (1.6 – d) τ1 bw d com 1.6 – d ≥ 1.0

Assim:

τ1 = 0.65 Mpa

d = 0.12 m

bw = 1.0 m

1.6 – d = 1.6 – 0.12 = 1.48 >= 1.0, pelo que

Vcd = 0.6 (1.6 – 0.12) × 0.65 × 10^3 × 1.0 × 0.12 = 69.3 KN/m

Como Vcd > Vsd, não é necessária armadura de esforço transverso.

5. Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização

Deformação

li

Tendo-se cumprido a condição h ≥ , não seria necessária, de acordo com o

30η

REBAP, o cálculo da deformação. Vai, no entanto, calcular-se a flecha a meio vão:

5 ql

ac = ×

384 EI

4

Considerando ψ1 = 0, tem-se q = CP + ψ1 × SC = 5.25 KN/m2

3

b × h h

I = =

12 12

3

0.

15

(b= 1.0 m); I =

12

E = 29 Gpa; l = 4.12 m

3

81

−4

= ( 2.

81×

10 ) m4


LAJES VIGADAS

4

5 5.

25×

4.

12

Então, vem ac = × = 0.0024 m;

6

−4

384 29×

10 × 2.

81×

10

Ou seja ac = 2.4 mm.

d 0.

12

Para o cálculo da flecha a longo prazo, tem-se: = = 0.8;

h 0.

15

ϕ = 2.5 (adoptado); β = 0;

200

α = = 6.9 e ρ =

29

então

MD =

As

b × d

=

α × ρ = 6.9 × 0.0052 = 0.036

5.

25×

4.

12

8

2

= 11.1 KNm/m

6.

28

1.

0

82

×

×

4

10

0.

12

h

Mcr = fctm (flexão) ×

6

2

; fctm (flexão) = fctm (tracção) × 0.6 ×

Mcr = 2.7 ×

3

10 ×

2

0.

15

6

= 10.1 KNm/m ; pelo que

= 0.0052;

0.

4

1

4 h

D

=

M cr

=

M

3

2 . 7 × 10 KN/m2

10 . 1

= 0.91

11.

1

Assim: η = 1.0 e Kt = 6.25 e a(t=00) = η Kt ac = 1.0 × 6.25 × 2.4 = 15.0 mm

l

Pelo REBAP, amáx =

400

4.

12×

10

=

400

3

= 10.3 mm

Demonstra-se assim o que se havia dito na parte inicial da resolução: Embora fosse

dispensável a verificação da segurança ao estado limite de deformação, esta não é

garantida. Se se tivesse adoptado h = 0.20 m (com consequente alteração da altura

útil e peso próprio) obter-se-ia para a (t=00) o valor de 4.1 mm, que seria inferior ao

l

limite regulamentar, = 10 mm

400


Fendilhação

LAJES VIGADAS

A dispensa da verificação ao estado limite de fendilhação é permitida desde que se

cumpra a disposição regulamentar sobre o espaçamento máximo dos varões (Smáx =

15 cm).

Tendo-se adoptado φ10 // 0.125, a verificação do estado limite de fendilhação está

garantido.

Nota: o espaçamento máximo permitido para a armadura longitudinal é de:

Smáx é o menor dos seguintes valores:

1.5 × h = 1.5 × 15 = 22.5 cm

35 cm

2 × os valores indicados para vigas

6. Armadura de Distribuição

Para lages armadas numa só direcção, a armadura de distribuição deve ser, pelo

menos, igual a 20 % da armadura principal (dispensa verificação ao E.L. Fendilhação).

Sendo As = 6.28 cm2/m, tem-se: As (d) = 0.2 × 6.28 = 1.26 cm2/m

φ6 // 0.20 (As (d) = 1.41 cm2/m)

7. Armadura de Canto (só quando não há continuidade)

Para ter em conta o efeito dos momentos flectores e torsores nos cantos da lage (os

cantos têm tendência para levantarem) e para assim garantir um controlo da

fendilhação e capacidade resistente há que colocar, tanto inferior como

superiormente, uma malha ortogonal de armadura de comprimento igual a ¼ do vão

teórico e de área igual a ½ da máxima armadura longitudinal de cálculo: As = ½ ×

6.00 = 3.00 cm2/m

Largura = 0.25 × 4.12 = 1.03 (aproximadamente igual a 1.00 m), a partir do eixo da

viga.

83


8. Armadura Superior

LAJES VIGADAS

Embora se adopte como modelo de cálculo para a determinação dos momentos de

dimensionamento o modelo de viga simplesmente apoiada, em serviço aparecem

momentos negativos nos apoios (uma vez que as vigas apresentam alguma

resistência à torção).

É assim conveniente para controlo da fendilhação, a colocação de uma armadura

superior no

bordo simplesmente apoiado igual à armadura mínima ou adoptando uma armadura

igual à armadura de distribuição.

Adopta-se φ6 // 0.20

9. Interrupção da Armadura Longitudinal (dispensa de armaduras)

Regularmente é necessário levar até ao apoio, pelo menos, metade da armadura

máxima de tracção. Por outro lado, no caso de lages sem armadura de esforço

transverso, a translação al do diagrama de momentos proposta no REBAP é de 1.5 ×

d.

Para uma lage simplesmente apoiada verifica-se que:

ou seja, só é possível iniciar a dispensa de ½ da armadura máxima a 0.15 × L do

apoio (havendo ainda que subtrair o valor de al e de lb,net).

84


LAJES VIGADAS

Para o exemplo, a dispensa de metade dos varões seria possível a uma

distância dada por: x = 0.15 × L – al – lb,net; L = 4.12 m ; al = 1.5 × d = 1.5 × 0.12 =

0.18 m

Lb,net = 35 φ

As,

As,

cal

ef

1 1

= 35 φ × = 35 × 0.01 × = 0.175

2

2

Ou seja x = 0.15 × 4.12 - 0.18 - 0.175 = 0.25 m

Pode assim afirmar-se que não faz sentido dispensar-se armadura longitudinal

perto de um bordo simplesmente apoiado (sem continuidade).

85


Resolução da segunda aplicação prática

LAJES VIGADAS

Deve-se estudar, em primeiro lugar, a relação entre os vãos

1. GEOMETRIA

Ly 6.

50

Atendendo à razão entre os vãos, = = 1.3, trata-se de uma lage armada em

Lx 5.

00

duas direcções. A escolha da altura da lage deve ser feita tendo em consideração a

86


LAJES VIGADAS

li

necessidade de limitar a deformação. Pelo REBAP, tem-se h ≥ , sendo l (vão

30η

teórico) = lx = 5.0 m

α (duplamente encastrada, armada em duas direcções) = 0.5; η (A 400) = 1.0, pelo que

5.


0.

5

h ≥ = 0.08, mas se considerar

30×

1.

0

li

h ≥

21η

5.


0.

5

, tem-se h ≥ = 0.12 m

21×

1.

0

l

Assim, opta-se, neste caso, por h = 0.15 m ( = 33)

h

2. Acções

Cargas permanentes

Sobrecargas

3. Cálculo dos Esforços

Momentos Positivos

Peso próprio ................................ 25 × 0.15 = 3.75 KN/m2

Revestimentos .............................. 0.70 KN/m2

Paredes divisórias ......................... 1.50 KN/m2

87

CP = 5.95 KN/m2

Sobrecarga de utilização ................. 6.00 KN/m2

SC = 6.00 KN/m2


LAJES VIGADAS

O modelo de cálculo dos momentos positivos em lages vigadas com continuidade deve

ter em consideração o facto de existir, ou não, a sobrecarga a actuar nos painéis de lage

adjacentes ao painel em estudo.

Actuando a carga permanente em toda a lage é realista considerar, para a obtenção dos

esforços, o seguinte modelo:

O momento máximo positivo é obtido quando a sobrecarga actua nos painéis

assinalados:

Para ter este efeito em consideração, momento máximo positivo devido à sobrecarga

é calculado por sobreposição dos esforços dos seguintes modelos:

88


LAJES VIGADAS

Assim, para a determinação dos momentos máximos positivos num painel de lage

vigada com continuidade, adopta-se o modelo:

Recorrendo aos valores tabelados, tem-se:

SC

a) CP +

2

89


a 5 . 0

γ = = = 0.77

b 6.

5

μ = 0.15

Mxs = 0.0306 × q ×

Mys = 0.0105 × q ×

2

a

2

b

LAJES VIGADAS

90


SC

b)

2

Mxs = 0.0644 × q ×

Mys = 0.0244 × q ×

2

a

2

b

LAJES VIGADAS

Sendo a combinação de acções: Msd = 1.5 MCP + 1.5 MSC, vem

SC

Mxs, sd = 0.0306 × (1.5 CP + 1.5 ) ×

2

2

5 . 0 + 0.0644 × (1.5

2

91

SC 2

) × 5 . 0 =

6.

00

2

6.

00 2

= 0.0306 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × ) × 5 . 0 + 0.0644 × 1.5 × × 5 . 0 =

2

2

= 17.5 KNm/m

2

SC SC

Mys, sd = 0.0105 × 5 . 0 × (1.5 CP + 1.5 ) + 0.0244 × (1.5 ) ×

2

2

= 0.0105 ×

= 10.6 KNm/m

Momentos Negativos

2

6 . 5 × (1.5 × 5.95 + 1.5 ×

2

2

6 . 5 =

6.

00

6.

00

) + 0.0244 × 1.5 × ×

2

2

6 . 5 =


LAJES VIGADAS

O modelo de cálculo dos momentos negativos em lages vigadas com continuidade

pretende simular a actuação da sobrecarga no painel em estudo e nos adjacentes, pelo

que se tem:

Mxvs = - 0.069 × q ×

Assim:

2

a e Myvs = - 0.0336 × q ×

2

Mxvs, sd = - 0.069 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 5 . 0 = - 30.9 KNm / m

2

Myvs, sd = - 0.0336 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 5 . 0 = - 25.4 KNm / m

O momento de cálculo, Msd, num apoio comum a dois painéis de lage é obtido pelo

máximo valor verificado nas seguintes expressões:

Msd 1 + sd2

M

2

ou

0.8 × (o maior valor entre Msd1 e Msd2)

em que Msd1 e Msd2 são os valores de cálculo dos momentos no apoio comum calculados

para cada painel.

Tendo em consideração os painéis adjacentes, nesta situação, vem:

92

2

b


LAJES VIGADAS

Painel de lage 1 (encastrado em todos os bordos)

a

γ = = 0.77, Mx1 = - 0.069 × q ×

b

2

a ; donde

Mx1, sd = - 0.069 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) ×

Mx1, sd = - 30.9 KNm / m

2

5 . 0

Painel de lage 2 (apoiado num bordo e encastrado nos restantes)

a

γ = = 1.30, My2 = - 0.0341 × q ×

b

My2, sd = - 0.0341 × 1.5 × (5.95 + 6.0) ×

2

a ; donde

2

6

. 5

93


My2, sd = - 25.8 KNm / m

Painel de lage 3 (idêntico ao painel 2)

a

γ = = 1.30 , Mx3 = - 0.0757 × q ×

b

Mx3, sd = - 0.0757 × 1.5 × (5.95 + 6.0) ×

Mx3, sd = - 33.9 KNm / m

LAJES VIGADAS

2

b ; donde

2

5 . 0

Painel de lage 4 (apoiado em dois bordos e encastrado nos restantes)

a

γ = = 0.77 , My4 = - 0.0462 × q ×

b

My4, sd = - 0.0462 × 1.5 × (5.95 + 6.0) ×

My4, sd = - 35.0 KNm / m

2

b ; donde

2

6 . 5

Os momentos de dimensionamento nos diferentes bordos, virão:

Bordo

Esforço Transverso

Mp Mi (Mp+Mm)/2 0,8 Mmáx Msd

(KNm/m) (KNm/m) (KNm/m) (KNm/m) (KNm/m)

1,0 -30,9 -30,9 -30,9 -24,7 -30,9

2,0 -25,5 -25,8 -25,7 -20,6 -25,7

3,0 -30,9 -33,9 -32,4 -27,1 -32,4

4,0 -25,5 -35,0 -30,2 -28,0 -30,2

94


LAJES VIGADAS

A distribuição de carga pelos diferentes apoios de uma lage com condições de apoio

idênticas às do painel em estudo é do tipo:

Vsd = 2.5 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) = 44.8 KN / m

4. Dimensionamento aos Estados Limites Ùltimos

Flexão

As armaduras são calculadas para uma faixa de lage de largura unitária,

considerando uma altura útil média: d = h – rec - φ = 0.15 – 0.02 – 0.01 = 0.12 m

Msd

1.


d × 13.


10

μsd = 2

3

Armadura minima:

10

As, min = 0.15 × 0.12 ×

100

4

13 . 3

=> ω => As = ω × 1.0 × d × ×

348

= 1.8 cm2 / m, donde

95

4

10 −


ωmin = 1.8 ×

Designação

4

10 − ×

1.

0

×

348

0.

12

LAJES VIGADAS

×

13.

3

= 0.039

M

Armadura

(KNm/m)

μ ω

cm2/m φ

Mxs, sd 17,5 0,091 0,097 4,45 φ8 // 0,10

Mys, sd 10,6 0,055 0,057 2,61 φ6 // 0,10

1

Mxvs, sd

2

Myvs, sd

3

Mxvs, sd

4

Myvs, sd

Espaçamento máximo dos varões:

-30,9 0,161 0,18 8,26 φ12 // 0,125

-25,7 0,134 0,177 6,74 φ12 // 0,125

-32,4 0,169 0,191 8,76 φ12 // 0,125

-30,2 0,158 0,177 8,12 φ12 // 0,125

Smáx é o menor dos seguintes valores

1.5 h = 1.5 × 0.15 = 0.225

ou

0.35

Portanto Smáx = 0.225 > S

Esforço Transverso

Vsd, máx = 44.8 KN / m

Vcd = 0.6 × (1.6 – d) × τ1 × bw × d = 0.6 × (1.6 – 0.12) × 0.65 ×

KN/m

96

3

10 × 1.0 × 0.12 = 69.3


LAJES VIGADAS

Como Vsd, máx < Vcd , não necessita de armadura de esforço transverso.

5. Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização

Deformação

li

Pela condição h ≥ , fica dispensada a verificação

30η

5.


0.

5

h ≥ = 0.083 m

30×

1.

0

Fendilhação

Tratando-se de um ambiente pouco agressivo, Smáx = 25 cm

6. Armadura de Distribuição

Para as armaduras negativas é necessária a colocação de armaduras de distribuição.

Tendo-se em todos os bordos φ12 // 0.125 (9.05 cm2), vem:

9.

05

As, dist = = 1.81 cm2/m ( φ6 // 0.15 )

5

Nota: Não é necessária armadura de canto.

97


LAJES VIGADAS

98


LAJES VIGADAS

99


LAJES VIGADAS

2.8.4 - Método das Bandas (método expedito, de rotura)

O cálculo dos esforços pelo método das bandas é uma aplicação do método estático

da Teoria da Plasticidade. Uma vez definido um "caminho de carga" que verifique o

equilíbrio e em que nenhuma secção se ultrapasse o momento de cedência (solução

estaticamente admissível), o teorema estático da análise plástica limite garante que a carga

última da lage é igual ou superior à carga aplicada.

Pode ser sempre aplicado, sendo habitualmente utilizado nos casos em que a

determinação elástica dos esforços não é simples.

A análise, por este método, pressupõe que a laje esteja armada em duas direcções

ortogonais, x e y.

Assim, se considerar Lx e Ly os vãos segundo as direcções x e y, respectivamente; e

qx e qy as quantidades de carga que afectas a cada uma das direcções, tem-se que:

Podendo-se expressar na relação:

Como:

qx + qy = q

qx = α.q → qy = (1-α).q

As flechas segundo os vãos ortogonais são iguais num mesmo ponto, assim:

100

4

L

f = η × q

EI


4

y

4 4

x× qx× Lx = y× qy× Ly

4

y

4

L

L

x

fx = ηx× q = fy = ηy×

q

EI EI


4

L L

x ηx× qx = ηy×

qy

EI EI


η η

q= qx + qx


q = α ⋅q ∧ q = (1 −α) ⋅q

x x


Desenvolvendo:

LAJES VIGADAS

4 4

x× qx× Lx = y× qy× Ly

η η


4 4

x × ⋅ q× Lx = y× (1 − ) ⋅ q× Ly

η α η α


4 4

x× × Lx = y× (1 − ) × Ly

η α η α


4 4 4

x × × Lx = y× Ly − × y× Ly

η α η α η


4 4 4

x × × Lx + × y× Ly = y× Ly

η α α η η


( )

4 4 4

x× Lx + y× Ly = y× Ly

αη η η


4

η y× Ly

4 4

x× Lx + y× Ly

α =

η η


qx= α ⋅q ⇒


qx

α =

q

4

η y× Ly

x× 4

x + y× 4

y

qx

=

q η L η L


4

η y× Ly

4 4

x× Lx + y× Ly

qx

= q

η η

q= q + q


⇒ q = q−q Nota : Os valores são apresentados em tabela.

x y y x

101


Exemplo 1:

a=5m; b=6m;

y

Encastrado

q = 10KN / m

2

LAJES VIGADAS

a

Simplesmente Apoiado

Simplesmente Apoiado

102

Encastrado

10

1

× 5

385

= 0,

88KN

/ m

× 6

385

+ × 5

385

4

4

η

yl

y

qx = q ⇔ q

q

4 4 x = ×

⇔ x

η l l

5 4 1

x x + η y y

4

b

x

2


qy = q − qx

⇔ qx

= 10 − 0,

88 = 9,

12KN

qx qy

6 m

LAJES VIGADAS

5 4

× 6

Confirmação: qy = 10×

385 = 9,

12KN

5 4 1 4

× 6 + × 5

385 385

Exemplo 2:

q = 10KN / m

B2x

B1x

2

Consola

Consola

Consola

q

x

η l y y

= q

4

η l + η l

B1y B2y

3 m

LAJE 3

LAJE 4

LAJE 1 LAJE 2

Encastrado

x

x

Apoiado

103

4

y

6 m

4

y

5 m

Apoiado

Apoiado

Apoiado

2m

7 m


LAJES VIGADAS

Banda 1X:

1 4

× 7

1º tramo: L=3m

B 168

1x

= 10 = 5,85 KN / m

1 4 1 4

× 3 + × 7

8 168

1 4

× 7

2º tramo: L=6m

B 168

1x

= 10 = 6,49 KN / m

1 4 1 4

× 6 + × 7

168 168

B1x

5,85 kN/m

3 m

6,49 kN/m

6 m

Banda 2X:

1 4

× 2

1º tramo: L=3m

B 385

2x

= 10 = 0,041≅0 KN / m

1 4 1 4

× 3 + × 2

8 385

1 4

× 2

1º tramo: L=7m

B 385

2x

= 10 ≅0

KN / m

1 4 1 4

× 6 + × 2

168 385

B2x

Banda 1Y:

0,00 kN/m 0,00 kN/m

3 m

1º tramo: L=7m

y x

6 m

B1 = q− q = 10 − 5,85 = 4,15 KN / m

2º tramo: L=2m

y x

B1 = q− q = 10 − 0 =

10 KN / m

104


B1y

Banda 2Y:

4,15kN/m

LAJES VIGADAS

7 m 2 m

B / 1 = q − q = 10 − 6,

49 = 3,

51KN

/ m

x

2 x

B / 2 = q − q = 10 − 0 = 10KN

/ m

1 y

x

B2y

7 m

3,51 kN/m

105

10,00kN/m

10,00 kN/m

2 m

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