Lista de Exercícios da Área 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ENG 01201 – MECÂNICA ESTRUTURAL I
QUESTÕES DE PROVAS
QUESTÕES APROFUNDADAS
ISOSTÁTICA
Prof. Eduardo Bittencourt
Prof. João Ricardo Masuero
Porto Alegre
Outubro de 1998

A-1) Calcular as reações vinculares:
QUESTÕES DE PROVAS
4 m
A-2) Calcular as reações vinculares:
4 m
30 kN/m
A
60 kN/m
A
B C
D
80 kNm
3 m 2 m 2 m 3 m
B
C
50 kNm
A-3) Calcular as reações externas no pórtico abaixo:
10KN/m
A
4m
D
3 m 2 m 2 m 3 m
B C
80 KNm
3m
E
E
20KN/m
2m
D
F
30KN/m
30 kN/m
F
30 kN/m
A-4) Calcular as reaçoes do pórtico abaixo, incluindo as reaçoes da rótula interna B.
100KN
45 o
A
B
200KN
20KN/m
2m 5m 3m
C
D
50KN/m
2m
1m
2m
4m

A-5) Calcular as reações do pórtico ao lado.
3 m
50 kN/m
A-6) Calcular as reações do pórtico ao lado.
4 m
B
A
300 kNm
100 kN
B
A
200 kNm
9 m
6 m
C
C
4 m
50 kN/m
3 m
D
D
30 kN/m
40 kN/m

B-1) Escrever as equações das funções solicitações para o trecho BC:
A B
6 m
15 kNm
3 m
18 kN/m
B-2) Escrever as equações das solicitações Esforço Cortante e Momento Fletor da viga abaixo:
A
B-3) Escrever as equações das solicitações Esforço Cortante e Momento Fletor da viga abaixo:
10 kN/m
C
30 kN/m
A 3m B 3m C 3m D 2m
15 kN
B-4) Escrever as equações das solicitações Esforço Cortante e Momento Fletor da viga abaixo:
20 kN/m
100 KN
B
20 kN/m
E
3m
D 3m C
4m
B
2m
A
B-5) Escrever as equações das solicitações da viga abaixo
C
q = 50 KN/m
0.5 m 0.5 m 1 m 1 m 1 m
R = 108,33 KN R = 41,66 KN
D
E
15 kNm
E

A
A
30 kN/m
60 kN
B C D
4 m 2 m 3 m 2 m
13,33 kN 120,67 kN 16 kN
B-6) Calcular as reações vinculares e escrever as equações das funções
solicitações para os trechos BC e CD
28 KN/m
30 KN
B C D
4m 3m 6m
10 KN/m
B-7) Calcular as reações vinculares e escrever as equações das funções solicitações para os trechos BC e
CD
A
28 KN/m
50 KNm
B C D
3 m 1,5 m 4,5 m
10 KN/m
B-8) Calcular as reações vinculares e escrever as equações das funções solicitações para os trechos BC e
CD
A
10 KN/m
40 KNm
B C D
3m 2m 4m
37 KN/m
B-9) Esboçar os diagramas de solicitações para a viga ao lado, indicando os pontos de momento máximo e
momento nulo:
40 kN/m
A B C
D
2 m 4 m 2m 2m 2m
113,3 kN
30 kN/m
250 kN
568,4 kN
200 kN
2m
E
2 m
143,4 kNm
71,7 kN
F
E

B-10) Esboçar os diagramas de solicitações para a viga ao lado, indicando os pontos de momento máximo e
momento nulo:
50 kN/m 100 kN
150 kN
A B C
D
2 m 3 m 2 m 2 m 3 m
103,3 kN 427,6 kN
B-11) Esbocaçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor.
q
M1 M2
M1>M2
q
4 m
30 kN/m
E
2 m
50,9 kN
P 1
161,8 kNm
F
P1> P2
B-12) Quantas seções(quantos trechos) seriam necessárias para escrever as funções solicitações para a
viga abaixo. Indicar o grau da função do cortante e do fletor em cada trecho. Escrever as funções
cortante e fletor para a seção S.
200KN 30KN/m
x
70KN/m
200KNm
3m 6m 4m
S
P 2

C-1) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo:
20 kN
30 kNm
B
A
C
5 kN/m
4 m 3 m
C-2) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo. V D =34,15 KN:
30 kN
2 m
40 kNm
B
A
C
D
D
10 kN/m
4 m 4 m
C-3) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo.
2 m
50 kNm
B
A
60 kN
C
20 kN/m
4 m 4 m
C-4) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo:
4 m
30 kN
30 kNm
B
A
C
D
5 m 3 m
D
4 m
3 m
3 m
10 kN/m

C-5) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos de
máximo. V A = -12,5 kN, H A =179,375 kN, M A =-667,5 kNm, R D =165,625 kN. Sentidos positivos das reações:
direita, para cima e anti-horário.
2 m
2 m
60 kN
B
50 kNm
A
2 m
80 kNm
C
2 m
3 m
D
20 kN/m
C-6) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos de
máximo. V A = -71,24 kN, H A =293,44 kN, M A =-1213,76 kNm, R D =289,06 kN. Sentidos positivos das reações:
direita, para cima e anti-horário:
90 kNm
2 m
2 m
B
40 kNm
A
70 kN
C
2 m 2 m 3 m
D
30 kN/m
C-7) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos de
máximo. V A = 68,54 kN, H A =38,9 kN, M A =-6,7 kNm, R D =51,83 kN. Sentidos positivos das reações: direita,
para cima e anti-horário:
50 kNm
1,5 m
1,5 m
B
40 kN
A
70 kN
C
2 m 2 m 4 m
D
10 kN/m

C-8) Calcular as reações e solicitações para o caso abaixo:
q = 20 KN/m
q = 40 KN/m
2 m 3 m
C-9) Desenhar os diagramas de solicitações do pórtico plano abaixo:
4 m
10 kN/m
A
B
100 kNm
3 m 4 m 3 m
C-10) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo:
67,5 kN
50
KNm
100 kN
45 kN
2 m
2 m
140 kNm
10 kN/m
2 m 5 m 2 m
C
60 kNm
50 kN/m
D
45 kN
2 m
2 m
32,5 kN

D-1) Desenhar os diagramas da Grelha abaixo:
5 m 50kNm
D-2) Desenhar os diagramas da Grelha abaixo
6 m
y
60 kNm
y
z
z
80kNm
x
15 kN
60 kNm
D-3) Esboçar os diagramas de solicitações para a grelha abaixo:
3 m
A
10 kN/m
3 m
B
15 kN
D-4) Esboçar os diagramas de solicitações para a grelha abaixo:
3 m
A
10 kN
E
20 kN/m
B
5 m
D
10 kN
D
x
F
40kN
2 m
20 kN
3 m
C
C
4 m
30 kNm
4 m
20 kNm
3 m
2 m

D-5) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos de
máximo
y
z
4m
x
A
4m
20KN/m
B
150KNm
80KN
50KN
D-6) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos de
máximo.
y
z
4m
x
4m
D
30KN/m
D-7) Esboçar os diagramas de solicitações para a grelha abaixo :
80 KNm
3 m
3 m
80 KN/m
F
A
200 KNm
B
2 m
F
E
C
3m
80KN
50KN
E
100 KN
C
D
3m
2m
2m
260KNm
2m

D-8) Desenhar os diagramas de solicitações da grelha abaixo, calculando possíveis valores de máximo
90 kNm
100 kNm
A
C
3 m 4 m
20 kN/m
D-9) Desenhar os diagramas de solicitações da grelha abaixo.
B C
100KNm
4m
A
30KN/m
B
50KN/m
D
60 kNm
80 kNm
5m
5 m
D

E-1) Calcular as solicitações nas barras pontilhadas na treliça abaixo:
2m
2m
2m
20 KN
E-2) Calcular as solicitações nas barras 2-10, 4-5, 4-13, 7-15, 8-16, 12-13 e 15-16
5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
E-3) Calcular as solicitações nas barras 2-10, 4-5, 4-13, 7-15, 8-16, 12-13 e 15-16
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 15 16
14
5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN
E-4) Encontrar as solicitações das barras 4, 7, 11, 14, 17, 19, 22, 28 e 29
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
15 16 17 18 19
50 KN
2m 2m
2m
100 KN
5 kN 5 kN 5 kN 5 kN
20 21 22 23
24 25 26 27
9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16
2m
2m
2m
2 m
2 m
28 29
20 kN

E-5) Encontrar as solicitações das barras 4, 7, 11, 14, 17, 19, 22, 28 e 29
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
15 16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29
9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16
20 kN
5 kN 5 kN 5 kN 5 kN
E-6) Indicar o valor do esforço normal nas barras 8, 10, 13. Calcular o esforço normal nas barras 3 e 9
usando o método dos nós. Calcular o esforço normal nas barras 2, 7 e 12 usando Método de Ritter.
4
100 KN 100 KN 100 KN
1 1 2 2 3 3 4
5
5
6
6m 3m 4m
6
7 8
7
9 10
E-7) Calcular as solicitações nas barras que unem os nós 1-2, 3-4 e 5-6
7
11
20 kN 10 kN
12
30 kN
3 4 5 6
1 2
3 m 3 m 3 m 3 m
13
8
40 kN
E-8) Calcular as solicitações nas barras que unem os nós 1-2, 3-4 e 5-6
7
40 kN
3
8
8
20 kN
4 5
100 kN
1 2
50 kN
3 m 3 m 3 m 3 m
6
9
2 m
30 kN
9
2 m
2 m
2 m
4m
4m

E-9) Calcular as solicitações nas barras indicadas
2m
2m
2 KN
2 KN
E-10) Calcular as solicitações nas barras indicadas
2m
2m
2
2 KN
7
5
6
2 KN
2 KN
4
2 KN
2 KN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
6
7
2 KN
5
3 KN
2 KN
3
3 KN
4
2 KN
3 KN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
1
3
2 KN
1
3 KN
2

F-1) Escrever as funções solicitações para o arco abaixo:
20 kN/m
30 kN/m 4 m
F-2) Escrever as funções solicitações para o arco abaixo:
30 kN/m
20 kN/m 4 m

Parâmetros A e B: A=2, B=5
QUESTÕES APROFUNDADAS
Esboçar os diagramas para as estruturas abaixo:
G-1)
G-2)
G-3)
G-4)
A
A
A
A
A.10 kN
100 kN/m
B.10 kN/m 20 kN/m
A.5 kN/m
2m
30 kN/m
3m
50 kN
B C D E F
6m
150 kNm
3m 4m 3m 2m 2m
B.15 kN
50 kN/m
B C D
(A+B).2 kN/m
5m
200 kNm
4m 2m 4m 2m 4m
120 kN
B
A.10 kN/m
C
E
200 kNm
F
30 kN/m
2m 5m 5m 4m
A.20 kN/m
B
100 +B*10 kNm
C
6m 6m 2m
D
D
45 kN
30 kN/m
50 kNm
G
1m
E
E

G-5)
G-6)
G-7)
B.10 kNm
80 kN/m
A.10 kNm
30 kN/m
A
A.5 kNm
40 kN/m
A
A
(A+B).10 kN
30 kN/m
B 60 C
o
A.10 kNm
6m 3m
(A+B).10 kN
50 kN/m
B 45 C
B.10 kNm
o
3m 2m 3m
(A+B).10 kN
30 kN/m
B 60 C
o
4m 3m 3m
D
D
90 kN/m
20 kN/m
D
40 kN/m
5m
5m
5m
60 kN/m

G-8)
G-9)
G-10)
G-11)
y
y
60 kN/m
90 kN/m
z
x
A
A
2m B 3m
C
B C
3m 4m
B
B.10 kNm
40 kN/m
4m 1m 3m
z
x
F
B.10 kNm
30kN/m
A
40kN/m
40kN/m
A
3m
A.10 kN/m
E
D
A.5 kN/m
E
D
E
100 kN
4m
5m
A.10 kNm
B C
50 kN/m
200 kN
A.15 kNm
F
E
3m 1m 2m 4m
C
3m
3m
B.10 kN/m
30kN/m
B.10 kN/m
40kN/m
D
3m
D

G-12)
y
z
x
30kN/m
B.15 kNm
A
200 kN
B C
5m
5m
F
3m 1m 2m 4m
E
40 kN/m
A.5 kNm
3m
20kN/m
G-13) Esboçar os diagramas de solicitações do poste de sinalização rodoviária abaixo, considerando a ação
do vento e do peso próprio sobre a placa e sobre os tubos, sendo a ação do vento sobre estes últimos tomada
pela área em projeção. Massa específica do Aço: 7850 kg/m 3 .
Diam. ext.=100mm
Diam. int.=85mm
Espessura: 5mm
Diam. ext.=150mm
Diam. int.=130mm
4m
4m
2m
Diam. ext.=50mm
Diam. int.=40mm
4m
Área em
Projeção
Pressão do Vento
Variação da pressão do vento com
a altura em relação nível do chão
z
Nível do chão
D
q =A.10.z kN/m 2

Respostas - Área 1
A-1) Ax = 36,4 KN → Ay = 93,5 KN ↑ Fx = 0 KN Fy = 41,6 KN ↑ Dx = - 23,5 KN ←
A-2) Ax = 40,1 KN → Ay = 113,5 KN ↑ Fx = 43,7 KN → Fy = 66,77 KN ↑ Dx = - 36 KN ←
A-3) Ax = 55,53 KN → Ay = 76,7 KN ↑ MA = - 60,3 KNm H Dx = - 4,47 KN ← Dy = 53,3 KN ↑
A-4) Ax = 339 KN → Ay = - 165 KN ↑ MA = 2538 KNm H D = 515 KN Bx = 409 KN By = 236 KN
A-5) Ax = 404,3 KN → Ay = 108,6 KN ↑ MA = 1515,8 KNm H D = 394,1 KN
A-6) Ax = 387,5 KN → Ay = 66,66 KN ↑ MA = 1750 KNm H D = 379,17 KN
B-1) Q = - x² +12 M = -x³/3 +12x +15
B-2) Trecho AB: Q = 108,33 KN M = 108,33x KNm
Trecho BC: Q = 8,33 KN M = 108,33x – 100(x – 0,5) KNm
Trecho CD: Q = 8,33 – (25(x -1)²)/2 KN M = 108,33x – 100(x - 0,5) – 25(x -1)³/6 KNm
Trecho DE: Q = - 41,66 KN M = 41,66x KNm
B-3) Trecho AC: Q = - 10x +15 KN M = - 5x² +15x KNm
TrechoCD: Q = - 5(x - 6)² + 35 KN M = 15x – 60(x - 3) + 80(x - 6) – 10(x - 6)³ / 6
Trecho DE: Q = 15 KN M = - 15x KNm
B-4) Trecho AB: Q = 0 M = - 15 KNm
Trecho BC: Q = - 21,25 + 20(x -2) KN M = -15 + 21,25(x -2) – 10(x -2)² KNm
Trecho CE: Q = - 35 + 1,67(x - 6)² M = -15 +21,25(x - 2) - 80(x - 4) + 93,75(x - 6) - 0,55(x-6)³ KNm
B-5) Trecho AC: Q = - 2,5x² +13 KN M = - 13,33x + 0,83x³ KNm
Trecho CD: Q = 44 KN M = 16x - 60(x - 2) KNm
Trecho DE: Q = - 16 KN M = 16x KNm
B-6) Ay = 16,7 KN ↑ Dx = 0 Dy = 184,3 KN ↑ M = 853,9 KNm H
Trecho CD: Q = -184,3 + 10x +x² KN M = -853,9 + 184,3x – 5x² - 0,33x³ KNm
Trecho BC: Q = x² +10x – 154,3 KN M = -x³/3 – 5x² + 154,3x – 673,9 KNm
B-7) Ay = 17,74 KN ↑ Dy = 96,26 KN ← M = 286,34 KNm H
Trecho DC: Q = 1,5x² +10x - 96,26 KN M = -286,34 + 96,26x –5x² - 0,5x³ KNm
Trecho BC: Q = 1,5x² + 10x - 96,26 KN M = -0,5x³ - 5x² + 96,26 x - 236,34 KNm
B-8) Ay = 5,2 KN Dy = 135,8 KN M = 335,2 KNm
Trecho BC: Q = 5,2 - 10(x - 3) - 2,25(x - 3)² KN M = 5,2x - 5(x - 3)² - 0,75(x - 3)³ KNm
Trecho CD: Q = 5,2 - 10(x - 3) - 2,25(x - 3)² KN M = - 40 + 5,2x -5(x - 3)² - 0,75(x - 3)³ KNm
B-9)
Q(KN)
2
M(KNm)
-40 KN
73,3 KN
2,44
-93
-46,67 KN
271,7 KN
1,56 2 2 2
-297,7 KN
-686,8
71,7 KN
4
-143,4
X (m)

B-10)
Q(KN)
M(KNm)
C-2)
2
-50
-66,6
3
-46,7
20,49 93,3
53,3
-93,5
N(KN)
230,9
4 3
24
20,49
-196,7
50,49
6
12,68 161,8
-2,15
Q(KN)
-683,6
X(m)
50,9
X(m)
X(m)

C-3)
C-4)
C-5)
22
12,5
-54,4
19,2
-56,5
N(KN)
0,12
N(KN)
-51,5
N(KN)
-27,5
48
-165
-267,6
-217,6
-217,6
-286,8 M(KNm)
-205,2
-25
-56,5
-250
-170 Q(KN)
-26,50
359
668
309
80
-22
32
M(KNm)
-250

C-6)
C-7)
C-9)
-112
71,24
-68,54
-293,44
N(KN)
1,1
-88
N(KN)
N(KN)
66,6
-289,06
-51,65
-228,31
-299,71
-50
-293,44
137,8
134,15
6,7
M(KNm)
-71,24
Q(KN)
150
134,16
M(KNm)
80,2
-99,71

C-10)
D-1)
D-2)
D-3)
95
-45
Q(KN)
Q(KN)
65
-32.5
N(KN)
Q(KN)
20
-15
45
45
-40
15
-5
-70 -70
-140
-60
M(KNm)
20
200
-90
Mt(KNm)
31,25
M(KNm)
Mt(KNm)
60
60
30
-5
-65

D-4)
M(KNm)
D-6)
D-7)
Q(KN)
-15
-30 20
220
-90
-200
-730
Mt(KNm)
-280
130
-80
120
Mt(KNm)
Mt(KNm)
60
135
-160
M(KNm)
160
-200
200
30

D-8)
D-9)
370
Q(KN)
-370
52
82,7
Q(KN)
250
-52
-48
-1140
E-1) Barras:
AB = 14,42 KN CD = 50 KN FE = 0 HI = - 360 KN GH = -30 KN GJ = 466,69 KN
E-2) Barras:
(7 - 15) = -5 KN (10 - 2) = 0 (15 -6) = 0 (8 -16) = 0 (12 -13) = -50 KN (4 -5) = 30 KN
(4 -13) = 28,28 KN
E-3) Barras:
(2 -10) = 5 KN (4 - 5) = 30 KN (4 -13 ) = 28,28 KN (7 - 15 ) = 0 (8 - 16 ) = 5 KN
(12 - 13) = - 50 KN (15 -16) = 0
E-4) Barras:
4 = 0 7 = 5 KN 11 = -10 KN 14 = 20 KN 17 = 0 19 = 0 22 = 42,42 KN 28 = -7,07 KN
29 = 0
E-5) Barras:
4 = 70 KN 7 = 20 KN 11 = -50 KN 14 = 0 KN 17 = 0 19 = 0 22 = 42,42 KN
28 = - 28,28 KN 29 = 20 KN
E-6) Barras:
8 = -100 KN 10 = 0 13 = 0 3 = -100 KN 9 = -141,42 KN 2 = 3 = -100 KN 12 = -200 KN
E-7) Barras:
(! - 2) = -35 KN (3 - 4) = 0 (5 - 6) = 0
E-8) Barras:
(! - 2) = 6,25 KN (3 - 4) = 0 (5 - 6) = 0
E-9) Barras:
1 = 0 2 = 0 3 = 0 4 = 0 5 = 9 KN 6 = 10 KN 7 = -15 KN
E- 10) Barras:
1 = 3 KN 2 = 31,88 KN 3 = 3 KN 4 = 0 5 = 41,25 KN 6 = -18,75 KN
7 = -27 KN
308
Mt(KNm)
Mt(KNm)
-625