UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO ...

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO 

ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL 

Andre Luiz Bedendo 

MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA LINEAR DE 

MEMS BASEADOS EM DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 

E AÇÃO ELETROSTÁTICA 

Ijuí 

2012

Andre Luiz Bedendo 




Dissertação apresentada ao Programa de Pós- 

Graduação em Modelagem Matemática da 

Universidade Regional do Noroeste do Estado do 

Rio Grande do Sul - UNIJUÍ, como requisito parcial 

para a obtenção do título de Mestre em Modelagem 

Matemática. 

Orientador: Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold 

Ijuí 

2012

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO 

GRANDE DO SUL 

DCEEng - DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS 

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTU SENSU 

EM MODELAGEM MATEMÁTICA 

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, homologa a Dissertação: 




Elaborada por 

ANDRE LUIZ BEDENDO 

Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática 

Comissão Examinadora 

Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold – UNIJUÍ (Orientador) 

Prof. Drª. Airam Teresa Zago Romcy Sausen – UNIJUÍ (Co-orientadora) 

Prof. Dr. Gideon Villar Leandro – UFPR 

Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia - UNIJUÍ 

Ijuí, 30 de março de 2012.

A meus pais, Dorvalino e Elsa, e a minha 

irmã Andréia, pelo incentivo, carinho e 

confiança, lhes dedico este trabalho.

DEUS 

AGRADECIMENTOS 

Onipresente em todos os momentos de minha vida, especialmente em situações de frustrações 

e impaciência, dando-me coragem e ânimo para continuar minha caminhada. 

FAMÍLIA 

Aos meus pais Dorvalino e Elsa, os quais não mediram esforços para proporcionar minha 

formação moral e acadêmica. Obrigado pela confiança, pelo incentivo, coragem e paciência. 

Obrigado por terem acreditado no meu ideal. Por terem acreditado na minha persistência que 

chegaria ao final e por acreditarem que ainda chegarei a ser mais do que sonhamos. A minha 

irmã Andréia. Sem a sua ajuda, sem o seu incentivo eu não conseguiria retirar as pedras do 

caminho. Por isso dedico a você a minha conquista, quero lhe agradecer e compartilhar 

contigo minha alegria. A alegria da realização de um sonho. 

PROFESSORES 

Ao professor Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold (Manolo). Não foram apenas dois anos de 

orientação acadêmica. Seus ensinamentos, sua motivação, seus ideais serviram-me como 

exemplo profissional, mas acima de tudo o caráter humano a ser seguido para a vida toda. 

Con su permiso, como o senhor sempre diz: “Companheiro, vamos que vamos.” 

A Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, e demais professores 

do Mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUÍ que contribuíram com minha formação. 

Em especial a professora Drª. Airam Sausen pela co-orientação. 

Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pela bolsa de 

estudos concedida para realização desta pesquisa. 

COLEGAS E AMIGOS 

Aos colegas e acima de tudo amigos. Não é um adeus, muito menos uma despedida, apenas 

até breve. Muitas histórias, muito estudo e conversas quase sempre na saudosa sala 519 da 

FIDENE. Em especial, aos colegas Cléber, Marília e Alan, o agradecimento pelo 

companheirismo, pelas ideias trocadas e amizade. Fica na lembrança os bons, divertidos e 

preocupantes momentos e situações que convivemos. Ao “nash” Cléber, pelas nossas viagens, 

congressos, discussões de artigos e muitas horas de boa conversa. A secretaria do mestrado, 

em especial à Geni pela amizade, atenção e disposição sempre prontamente a nos atender. 

A TODOS, MUITO OBRIGADO.

“O melhor resultado acontece quando 

todos em um grupo fazem o melhor por 

si próprios e pelo grupo." 

(John Nash)

RESUMO 

MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) é uma tecnologia emergente, desafiadora por 

sua multidisciplinaridade e promissora para atender às necessidades da sociedade moderna. 

Seu desempenho, confiabilidade, invisibilidade e economia de energia são suas principais 

virtudes. MEMS desperta elevado interesse industrial e agrega investimentos significativos. A 

caracterização precoce destes, assegurando sua qualidade por intermédio de testes, diminuição 

do tempo e custos da produção são as exigências principais da indústria. Consequentemente, 

este trabalho propõe obter modelos matemáticos que descrevam o desempenho 

comportamental de microtransdutores MEMS, baseados em deformação elástica e ação 

eletrostática. Para isso utilizou-se a modelagem matemática e técnicas de Identificação de 

Sistemas, especificamente a modelagem “caixa-cinza”. Esta metodologia consiste na seleção 

da forma do modelo, o qual deve estar adaptado ás representações de dados comportamentais 

de entrada e saída e respectivamente, obtidos a partir de simulações desenvolvidas 

no software ANSYS. Aliado a isso, utiliza-se o conhecimento a priori das microestruturas. O 

sinal teste utilizado para excitar o sistema e gerar o conjunto de dados, consiste em um degrau 

de força. Quando contaminado com ruído, os dados experimentais permitem obter o modelo 

comportamental estocástico. Caso contrário o modelo é determinístico. São utilizados 

modelos matemáticos autoregressivos, com entradas exógenas e entradas exógenas com 

média móvel. Seus parâmetros são estimados usando o método de mínimos quadrados 

clássico e estendidos. Concomitantemente são investigados e avaliados métodos de 

discretização de forma que a transformação do modelo analógico em discreto seja exata. Os 

resultados obtidos demonstram a necessidade da combinação de elementos da modelagem 

para que os modelos estimados apresentem uma dinâmica compatível com a dinâmica real. O 

processo de discretização é um fator preponderante na forma em que os dados são 

aproximados durante a transformação analógico/digital. A precisão alcançada nos resultados é 

satisfatória. Os modelos determinísticos e estocásticos identificados apresentaram 

desempenho eficiente, especialmente quando discretizados por intermédio do método de 

Tustin. Estes resultados são validados pelo desempenho comportamental compatível, erro 

mínimo de resposta, validação cruzada e critérios estatísticos. Logo, as técnicas utilizadas se 

mostram práticas eficientes, não invasivas e válidas na identificação do modelo de 

dispositivos microscópicos. 

Palavras chave: Identificação de Sistemas. Caixa-cinza. Elastomassas. Comb-drive. Discreto.

ABSTRACT 

MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) is a emergent technology, challenging by its 

multidisciplinarity and promising by meet the needs of modern society. Its performance, trust, 

invisibility and energy economy are the main strengths. MEMS arouses high industrial 

interests and adds significant investments. The early characterization of these, assuring its 

quality through testing, to decrease the time and costs of production are the main requirements 

of the industry. Consequently, this study proposes to obtain mathematical models that 

describe the behavioral performance of microtransducers MEMS, based in elastic deformation 

and electrostatic action. For this it was used mathematical modeling and system identification 

techniques to meet this demand. Specifically, the “gray-box” modeling was used. This 

methodology consists in selecting the form of the model, which must be adapted to the 

representations of behavioral data, input and output, e respectively, obtained from 

simulations developed in ANSYS software. Along with that, it uses a priori knowledge of 

microstructures. The test signal used to excite the system and generate the set of data, consists 

of a step of electromechanical force. When contaminated with noise, the experimental data 

allow obtaining the stochastic behavioral model. Otherwise the model is deterministic. 

Mathematical models autoregressive are used, with exogenous inputs and exogenous inputs 

with moving average. Its parameters are estimated using the classical and extended method of 

least squares. Concomitantly are investigated and evaluated methods of discretization so the 

transformation of the analog to discrete is accurate. The obtained results demonstrate the 

necessity of a combination of modeling elements for the estimated models have a compatible 

dynamic with the real dynamics. The discretization process is a major factor in how data are 

approximate during the analog/digital transformation. The accuracy achieved in the results is 

satisfactory. The deterministic and stochastic models identified were efficient performance, 

especially when discretized via method of Tustin. These results are validated by compatible 

behavioral performance, minimal error response, cross-validation and statistical criteria. Thus, 

the techniques used to show effective practices, non-invasive and valid in identification of 

microscopic devices model. 

Key Word: System Identification. Gray Box Model. Micro-Nucleus. Comb-drive. Discrete.

LISTA DE FIGURAS 

Figura 1- Estrutura física dos dispositivos MEMS ................................................................................................ 21 

Figura 2 - Blocos funcionais dos microssistemas integrados ................................................................................ 21 

Figura 3 - Primeiro dispositivo. (a) transistor em germânio; (b) circuito integrado; (c) circuito integrado lógico 22 

Figura 4 - Tecnologias envolvidas e aplicações típicas de MEMS........................................................................ 24 

Figura 5 - Aplicações dos MEMS em um automóvel ............................................................................................ 25 

Figura 6 - CARDIOMEMS - sensores de pressão sem fio implantado no corpo humano .................................... 26 

Figura 7 - BIOMEMS. (a) cauterizador; (b) microagulha; (c) protótipo de microrrobô MEMS ........................... 27 

Figura 8 - Insetos Cyborg. (a) traça Pupa mais chip MEMS; (b) sistema de estimulação sobre o dorso do inseto28 

Figura 9 - Previsão do mercado de MEMS ........................................................................................................... 29 

Figura 10 - Conversão de sinais em sensores eletrônicos ...................................................................................... 34 

Figura 11 - Fluxo de energia e estímulo/resposta do sensor transdutor ................................................................. 35 

Figura 12 - Diagrama de fluxo de energia em MEMS. (a) atuador; (b) sensor ..................................................... 36 

Figura 13 - Formas de deformação dos corpos. Linhas tracejadas representam a forma antes, e linhas sólidas, 

após a deformação. (a) Deformação normal por alongamento; (b) Deformação normal por compreensão; (c) 

Deformação por cisalhamento; (d) Deformação por torção .................................................................................. 38 

Figura 14 - Atuador eletromecânico em diagrama de blocos ................................................................................ 39 

Figura 15 - Viga engastada ou em balanço, microcantilever ................................................................................. 41 

Figura 16 - Topologias de elastomassas. (a) formato em U; (b) crab; (c) ponte dupla; (d) dobradiça; (e) ponte 

simples; (f) serpentina ........................................................................................................................................... 41 

Figura 17 - Capacitor de placas paralelas .............................................................................................................. 42 

Figura 18 - Topologias de dedos capacitivos. (a) reto; (b) grosso-oval; (c) copa fina; (d) copa grossa; (e) alfinete; 

(f) serra .................................................................................................................................................................. 43 

Figura 19 - Estrutura comb-drive........................................................................................................................... 43 

Figura 20 - Tipos de comb-drive. (a) translação; (b) rotação ................................................................................ 44 

Figura 21 - Direção de deslocamentos do comb-drive translacional. (a) longitudinal; (b) lateral; (c) vertical ...... 45 

Figura 22 - Representação pictórica das dificuldades de cada classe de modelos ................................................. 48 

Figura 23 - Concepção do modelo analítico dos atuadores eletrostáticos MEMS ................................................. 53 

Figura 24 - Atuador eletrostático MEMS. (a) parâmetros concentrados; (b) corpo livre ...................................... 54 

Figura 25 - Identificação de sistemas .................................................................................................................... 56 

Figura 26 - Geometria do elemento SOLID45 ...................................................................................................... 58

Figura 27 - TRANS126. (a) banco capacitivo; (b) símbolo; (c) equivalente mecânico......................................... 58 

Figura 28 - Características do TRANS126. (a) capacitância x deslocamento; (b) repulsão eletromecânica ......... 59 

Figura 29 - Tipos de sinais. (a) contínuo; (b) contínuo quantizado; (c) discretizado; (d) discretizado quantizado 61 

Figura 30 – Discretização no tempo de um sinal contínuo .................................................................................... 62 

Figura 31 - Mapeamento exponencial entre e .................................................................................................. 63 

Figura 32 - Sinal amostrado com segurador ZOH ................................................................................................. 68 

Figura 33 - Representação esquemática do modelo ARX. (a) equivalente à equação (46); (b) representada em 

novo formato após algumas operações matemáticas ............................................................................................. 69 

Figura 34 - Representação esquemática do modelo ARMAX. (a) equivalente à equação (49); (b) representada em 

novo formato após algumas operações matemáticas ............................................................................................. 71 

Figura 35 - Elastomassas. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça ........................................................ 82 

Figura 36 - Atuadores eletrostáticos. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça ....................................... 83 

Figura 37 - Dinâmica real/experimental as elastomassas sem ruído: Sinal Degrau. (a) ponte simples; (b) ponte 

dupla; (c) dobradiça. Sinal Sinusoidal. (d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça ..................................... 84 

Figura 38 - Dinâmica real/experimental as elastomassas com ruído: Sinal Degrau. (a) ponte simples; (b) ponte 

dupla; (c) dobradiça. Sinal Sinusoidal. (d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça ..................................... 85 

Figura 39 - Dinâmica real/experimental do microatuador: Sinal Degrau sem ruído. (a) ponte simples; (b) ponte 

dupla; (c) dobradiça. Sinal Degrau com ruído. (d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça ........................ 86 

Figura 40 - Interface gráfica do programa desenvolvido ....................................................................................... 87 

Figura 41 - Fluxograma do algoritmo .................................................................................................................... 88 

Figura 42 - Vetor de regressores obtidos por cada processo de discretização ....................................................... 89 

Figura 43 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) de 

elastomassas MEMS: Discretizador MII. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. 

(d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça .................................................................................................. 91 

Figura 44 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) de elastomassas 

MEMS: Discretizador MII. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 

simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça .................................................................................................................. 92 

Figura 45 - Respostas de ambos os modelos ARX (sem ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 

sinusoidal: Discretizador MII. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 

simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça .................................................................................................................. 94 

Figura 46 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) de 

elastomassas MEMS: Discretizador ZOH. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. 

(d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça .................................................................................................. 96 

Figura 47 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) de elastomassas 

MEMS: Discretizador ZOH. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 

simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça .................................................................................................................. 97

Figura 48 - Respostas de ambos os modelos ARX (com ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 

sinusoidal: Discretizador ZOH. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 

simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça ................................................................................................................ 100 

Figura 49 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARMAX (sem ruído) de 


(d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça ................................................................................................ 102 

Figura 50 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARMAX (sem ruído) de elastomassas 



Figura 51 - Resposta de ambos os modelos ARMAX (sem ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 



Figura 52 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) de 


(d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça ................................................................................................ 107 

Figura 53 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) de elastomassas 



Figura 54 - Resposta de ambos os modelos ARMAX (com ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 



Figura 55 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) do atuador 

MEMS: Discretizador BwD. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 


Figura 56 – Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) do atuador MEMS: 

Discretizador BwD. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte simples; (e) 

ponte dupla; (f) dobradiça ................................................................................................................................... 113 

Figura 57 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) do atuador 



Figura 58 – Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) do atuador MEMS: 

Discretizador ZOH. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte simples; (e) 

ponte dupla; (f) dobradiça ................................................................................................................................... 117 

Figura 59 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) do atuador 



Figura 60 – Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) do atuador 



Figura 61 - Combinação das melhores estimativas dos modelos matemáticos .................................................. 124

LISTA DE TABELAS 

Tabela 1 - Representações de modelos discretos utilizando Identificação de Sistemas ........................................ 53 

Tabela 2 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa sem ruído) com discretizador MII .................... 90 

Tabela 3 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa sem ruído) com discretizador Tustin ................ 90 

Tabela 4 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico de elastomassas MEMS ............... 93 

Tabela 5 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico de elastomassas MEMS ................... 94 

Tabela 6 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa com ruído) com discretizador ZOH .................. 95 

Tabela 7 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa com ruído) com discretizador Tustin ................ 96 

Tabela 8 - Valores do para avaliação do modelo ARX estocástico de elastomassas MEMS .................... 99 

Tabela 9 - Valores do para avaliação do modelo ARX estocástico de elastomassas MEMS ........................ 99 

Tabela 10 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa sem ruído) com discretizador ZOH ........ 101 

Tabela 11 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa sem ruído) com discretizador Tustin ...... 101 

Tabela 12 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX determinístico de elastomassas MEMS ..... 104 

Tabela 13 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX determinístico de elastomassas MEMS ......... 105 

Tabela 14 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa com ruído) com discretizador ZOH ....... 106 

Tabela 15 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa com ruído) com discretizador Tustin ..... 106 

Tabela 16 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico de elastomassas MEMS .......... 109 

Tabela 17 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico de elastomassas MEMS .............. 110 

Tabela 18 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARX de elastomassas MEMS ....... 111 

Tabela 19 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARMAX de elastomassas MEMS . 111 

Tabela 20 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador sem ruído) com discretizador BwD ..................... 112 

Tabela 21 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador sem ruído) com discretizador Tustin ................... 112 

Tabela 22 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico do atuador MEMS.................... 115 

Tabela 23 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico do atuador MEMS ........................ 115 

Tabela 24 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador com ruído) com discretizador ZOH ..................... 115 

Tabela 25 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador com ruído) com discretizador Tustin ................... 115 

Tabela 26 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico do atuador MEMS.................... 118 

Tabela 27 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico do atuador MEMS ........................ 118 

Tabela 28 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (atuador com ruído) com discretizador ZOH .............. 119

Tabela 29 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (atuador com ruído) com discretizador Tustin ............ 119 

Tabela 30 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico do atuador MEMS .................. 122 

Tabela 31 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico do atuador MEMS ...................... 123 

Tabela 32 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARX do atuador MEMS ................ 123 

Tabela 33 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARMAX do atuador MEMS ......... 123

ABS Antilock Broking System 

LISTA DE ABREVIATURAS 

AIC Critério de Informação de Akaike (Akaike Information Criterion) 

ANSYS Analisys System 

AR Autoregressivo (Autoregressive) 

ARARMAX Ruído Autoregressivo em modelo Autoregressivo de Entradas Exógenas 

(Autoregressive Noise Autoregressive Moving Average with Exogenous 

inputs) 

ARARX Ruído Autoregressivo em modelo Autoregressivo de Entradas Exógenas 

(Autoregressive Noise Autoregressive with Exogeneous inputs) 

ARMA Autoregressivo de Média Móvel (Autoregressive Moving Average) 

ARMAX Autoregressivo de Média Móvel com Entradas Exógenas (Autoregressive 

Noise Autoregressive Moving Average with Exogenous inputs) 

ARX Autoregressivo com Entradas Exógenas (Autoregressive with Exogenous 

inputs) 

BEM Método de Elementos de Fronteira (Boundary Element Method) 

BIOMEMS Sistemas Microeletromecânicos Biológicos (Biological 

BJ Box-Jenkins 

microelectromechanical systems) 

BwD Backward Difference 

CA Corrente alternada (alternating current) 

CADMEMS (Computer Aids Design for MEMS) 

CC Corrente Contínua (direct current) 

CIs Circuitos Integrados (Integrat Circuits) 

CR Corpo Rígido 

DARPA Agência de Projetos de Pesquisa Avançada de Defesa (Defense Advanced 

Research Projects Agency) 

DNA Ácido desoxirribonucleico (Deoxyribonucleic acid) 

DP Desvio padrão (Standard deviation) 

FEM Método de Elementos Finitos (Finite Element Method) 

FIR Resposta ao impulso finito (Finite Impulse Response) 

FT Função de transferência (Trasnfer function)

FwD Forward Difference 

HI-MEMS (Híbrid Insect Microelectromechanical Systems) 

IEEE Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (Institute of Electrical 

and Electronics Engineers) 

MEMS Sistemas microeletromecânicos (Microelectromechanical Systems) 

MII Método da invariância ao Impulso (Impulse invariance method) 

MIMO Multientradas, multisaídas (Multiple Inputs, Multiple Outputs) 

MISO Multientradas, uma saída (Multiple Inputs, Single Output) 

MQ Mínimos quadrados (Least Square LS) 

MQE Mínimos quadrados estendidos (Extended Least Square ELS) 

MQR Mínimos quadrados recursivos (Recursive Least Square RLS) 

NEMS Sistemas nanoeletromecânicos (Nanoelectromechanical systems) 

NEW-MEMS Novos MEMS 

ODEs Equações diferenciais ordinárias (Ordinary Differential Equations) 

OE Erro na Saída (Output Error) 

PDEs Equações Diferenciais Parciais (Partial Differential Equations) 

PRBS Sinal binário pseudo-aleatório (pseudo-random binary signal) 

RF Rádio Frequência (Radio Frequency) 

RMSE Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio (Root Mean Square Error) 

SIMO Uma entrada, multisaídas (Single Input, Multiple Outputs) 

SISO Uma entrada e uma saída (Single Input, Single Output) 

SoCs Sistemas em um chip (Systems on a chip) 

ZOH Retentor de Ordem Zero (Zero Order Hold)

Germânio 

Preço, peso, performance 

LISTA DE SÍMBOLOS 

Frequência de oscilação do sistema 

Frequência natural 

Frequência de ressonância 

Carga elétrica 

Potencial elétrico 

Capacitância elétrica 

Massa 

Coeficiente de elasticidade 

Coeficiente de amortecimento 

Ordem da derivada do sinal de saída 

Ordem da derivada do sinal de entrada 

Variável dinâmica de saída 

Variável dinâmica de entrada 

Transformada de Laplace 

Função de transferência do processo 

Função de transferência do ruído 

Operador de atraso, 

Máximo atraso entre os regressores da entrada 

Máximo atraso entre os regressores da saída 

Máximo atraso entre os regressores do ruído 

Instante de tempo 

Intervalo de tempo 

Operador diferencial discreto 

Permissividade do meio 

Distância entre as placas ou “dedos” 

Espessura dos “dedos” 

Deslocamento dos dedos 

Energia eletrostática 

Diferença de potencial

Frequência com amortecimento 

Período de amostragem 

Sinal de entrada no instante 

Sinal de saída no instante 

Frequência de amostragem 

Frequência do sinal a ser amostrado 

Frequência complexa em tempo contínuo 

Transformada 

Transformada de Fourier 

Frequência complexa em tempo discreto 

Função temporal contínua 

Função discreta de 

Função de transferência do sistema contínuo 

Função de transferência do sistema discreto 

Erro no instante 

Vetor de regressores 

̂ Vetor de parâmetros a ser estimado 

Erro no modelo 

Resíduos (diferença entre valores observados e respectivas estimativas) 

Função custo minimizada pelo método de MQ 

Vetor de regressores que contém observações até o instante 

Matriz de covariância 

Matriz de ganho 

Número de atrasos do processo 

Número de atrasos do ruído 

Erro relativo percentual 

Valor real da saída do sistema no instante 

̂ Estimativa do valor previsto pelo modelo do sistema no instante 

Número de amostras 

Verossimilhança maximizada 

Número de parâmetros do modelo 

Intervalo de tempo 

Operador delta

SUMÁRIO 

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 19 

1.1 Considerações iniciais ...................................................................................................... 19 

1.2 Sistemas microeletromecânicos (MEMS) ....................................................................... 20 

1.3 Evolução dos MEMS ........................................................................................................ 21 

1.4 Aplicações .......................................................................................................................... 24 

1.4.1 Aplicações automotivas ................................................................................................. 24 

1.4.2 Aplicações em telecomunicações .................................................................................. 25 

1.4.3 Aplicações médicas e biomédicas ................................................................................. 26 

1.4.4 Aplicações militares ....................................................................................................... 27 

1.5 Mercado ............................................................................................................................. 28 

1.6 Motivação .......................................................................................................................... 30 

1.7 Objetivos ............................................................................................................................ 33 

1.8 Estrutura da dissertação .................................................................................................. 33 

2 ATUADORES MEMS ......................................................................................................... 34 

2.1 Transdução ou conversão de energia .............................................................................. 34 

2.1.1 Conceitos de dinâmica e cinemática ............................................................................ 36 

2.1.2 Movimento elástico ........................................................................................................ 37 

2.2 Atuadores eletromecânicos .............................................................................................. 39 

2.3 Microestruturas elásticas suspensas e elastomassas ...................................................... 40 

2.4 Estrutura comb-drive ........................................................................................................ 42 

3 MODELAGEM MATEMÁTICA ...................................................................................... 46 

3.1 Identificação de sistemas .................................................................................................. 46 

3.2 Classificação dos modelos dinâmicos .............................................................................. 48 

3.3 Representação linear de sistemas dinâmicos.................................................................. 51 

3.3.1 Representações discretas ............................................................................................... 52 

3.4 Modelo linear dos atuadores MEMS .............................................................................. 53 

3.5 Modelagem caixa-cinza .................................................................................................... 56 

3.5.1 Seleção de testes dinâmicos e coleta de dados ............................................................. 57 

3.5.1.1 Plataforma de teste ..................................................................................................... 57 

3.5.1.2 Experimentação do sistema ....................................................................................... 59 

3.5.1.3 Tempo de amostragem ............................................................................................... 60 

3.5.2 Discretizadores ............................................................................................................... 60

3.5.2.1 Forward Difference ..................................................................................................... 64 

3.5.2.2 Backward Difference ................................................................................................... 65 

3.5.2.3 Tustin ........................................................................................................................... 66 

3.5.2.4 Invariância ao impulso ............................................................................................... 67 

3.5.2.5 Zero Order Hold .......................................................................................................... 68 

3.5.3 Escolha da representação matemática ......................................................................... 68 

3.5.3.1 Representação ARX ................................................................................................... 69 

3.5.3.2 Representação ARMAX ............................................................................................. 70 

3.5.4 Determinação da Estrutura do Modelo ....................................................................... 71 

3.5.5 Estimação dos parâmetros ............................................................................................ 71 

3.5.5.1 Estimador de mínimos quadrados ............................................................................ 72 

3.6.4.2 Estimador de mínimos quadrados estendidos ......................................................... 77 

3.5.6 Validação dos modelos .................................................................................................. 80 

4 METODOLOGIA E RESULTADOS ................................................................................ 82 

4.1 Metodologia ....................................................................................................................... 82 

4.2 Resultados e discussões .................................................................................................... 89 

4.2.1.1 Resultados para modelo ARX de elastomassas ........................................................ 90 

4.2.1.2 Resultados para o modelo ARMAX de elastomassas ............................................ 101 

4.2.2.1 Resultados para modelo ARX do atuador eletrostático ........................................ 112 

4.2.2.2 Resultados para modelo ARMAX do atuador eletrostático ................................. 119 

5 CONCLUSÕES .................................................................................................................. 126 

5.1 Considerações finais ....................................................................................................... 126 

5.2 Propostas de trabalho ..................................................................................................... 128 

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 130 

APÊNDICE A - Relação do vetor de regressores com os parâmetros característicos ... 135 

ANEXO A – Topologias e dimensões das elastomassas .................................................... 146

1 INTRODUÇÃO 

Este capítulo apresenta os conceitos e a contextualização teórica dos diversos aspectos 

e fundamentos que caracterizam os MEMS. O capítulo visa também descrever a evolução 

desta tecnologia, bem como, a estreita ligação existente com a microeletrônica. Com ênfase 

nas potenciais aplicações destes microdispositivos são apresentados alguns dos segmentos 

industriais com destaque na utilização de MEMS. Também são expostas as projeções de 

mercado. Em seguida, apresenta-se a motivação para a realização do trabalho e o objetivo a 

ser alcançado. Por fim é apresentada a estrutura desta dissertação. 

1.1 Considerações iniciais 

Ao longo dos anos, a sociedade tem sido testemunha da constante evolução 

tecnológica desenvolvida pelo homem. No rastro desta evolução, alguns marcos foram 

essências para este crescimento tecnológico. A partir da metade do século XX, intitulado 

período pós-guerra, as investigações nos processos bélicos não eram mais o foco de interesse 

científico. A prioridade voltou-se as necessidades de avanços e estudos em materiais 

semicondutores. Conforme Swart (2000) o descobrimento do efeito “transistor” (transfer 

resistor) no final da década de 50 e o desenvolvimento da eletrônica promoveram inúmeros 

avanços científicos a partir deste período ocasionando, desta forma, o despertar para a ciência 

moderna. 

Esta descoberta permitiu ao homem uma constante miniaturização e integração de 

componentes eletrônicos em larga escala. Em seguida, o surgimento e o desenvolvimento do 

processo planar para a fabricação dos Circuitos Integrados (CIs), (integrated circuit), 

possibilitou o nascimento de um novo campo revolucionário, a Microeletrônica, a qual 

proporcionou uma revolução econômica mundial. Todavia, a busca por novas tecnologias foi 

uma consequência natural. O anseio em aperfeiçoar e produzir mecanismos inovadores 

tornou-se uma constante a cerca do desenvolvimento de modernas tecnologias. 

Nos dias atuais, uma nova revolução fundamentada nas micro e nanotecnologias 

encontra-se em plena ascensão. A sociedade vive agora o que é chamado de “era da 

informação”. Seu interesse está voltado aos bens de consumo e dispositivos de dimensões 

mínimas. Estes por sua vez, que apresentem características de portabilidade, confiabilidade, 

economia quanto ao consumo de energia e preço acessível. A maioria das atividades humanas 

depende de forma crescente nestas novas tecnologias. 

19

Neste sentido, o homem segue como parte integrante e atuante neste cenário de 

intensas mudanças tecnológicas. Na área da Microeletrônica, despertou-se o interesse na 

projeção e fabricação de dispositivos e mecanismos que combinassem, além dos componentes 

elétricos, outras estruturas. Segundo Ferreira e Fernandes (2003) unificadas com partes 

mecânicas, magnéticas, fluídicas, ópticas entre outras. Desta forma, os microdispositivos são 

integrados como sistema completo em um chip, (SoCs – Systems-on-a-Chip). Estes 

dispositivos ganharam caráter interativo em escala cada vez mais reduzida possibilitando a 

sua integração em nível de microssistemas. 

1.2 Sistemas microeletromecânicos (MEMS) 

A tecnologia dos microssistemas torna-se interessante devido as suas características 

micrométricas e versáteis vinculadas a produtos inteligentes. Um segmento emergente destes 

microssistemas são os Sistemas Microeletromecânicos (Micro-Electro-Mechanical Systems), 

ou MEMS. Esta tecnologia está ganhando crescente interesse tanto científico como industrial. 

MEMS encontra-se presente nas engenharias, física, matemática, computação, química, 

biologia entre outras ciências. Logo, se caracteriza por uma tecnologia desafiadora pela sua 

multidisciplinaridade e promissora por atender às necessidades da sociedade moderna. 

Segundo Maluf e Willians (2004) MEMS são definidos como microtransdutores que 

desempenham funções como sensoriamento e atuação. Estas funções gerenciadas por 

algoritmos matemáticos tornam estes microssistemas atrativos em inúmeras aplicações 

industriais e bens de consumo de dimensões micrométricas. Estes por sua vez, apresentam 

desempenho satisfatório, funcionalidades inteligentes e preço acessível. Reimbold (2008) 

define MEMS como, 

[...] um microssistema de princípio invasivo com capacidade de intermediação e 

interação que resulta da combinação das capacidades de sensação, atuação, 

autonomia, transporte e adaptação ao meio, pré-determinadas através de 

processamento computacional, condicionamento de sinal, transferência de dados. 

Estes gerenciados por algoritmos matemáticos que imitam o pensamento humano 

tornam o comportamento dos MEMS inteligente, versátil e eficiente. 

Fisicamente a concepção dos dispositivos MEMS consiste na integração de 

microssensores, microatuadores e microeletrônica. Estes microdispositivos são implantados 

em um único chip, em escala micrométrica, através de técnicas de microusinagem. De forma 

geral, os microssensores detectam os sinais das grandezas físicas, cujos sinais aos serem 

20

microprocessados geram comandos que ordenam ao microatuador executar determinadas 

funções de forma precisa e oferecem recursos superiores em economia de energia. A Figura 1 

exemplifica a integração da estrutura dos microcomponentes MEMS. 

Figura 1- Estrutura física dos dispositivos MEMS 

Fonte: Elaborada pelo autor 

Ribas (2000) define, de uma forma mais compacta, a tecnologia MEMS como 

sistemas miniaturizados compostos por três blocos fundamentais: (i) o sensor (e/ou atuador) 

responsável pela atuação com o meio externo; (ii) a interface analógica para a aquisição, 

transmissão e amplificação dos sinais provindos do sensor (e/ou atuador): (iii) e a parte de 

controle digital e processamento numérico, conforme apresentados na Figura 2. 

1.3 Evolução dos MEMS 

Figura 2 - Blocos funcionais dos microssistemas integrados 


As raízes da tecnologia dos microssistemas no geral provêm da evolução tecnológica 

que acompanha a Segunda Guerra Mundial. Com o período pós-guerra, a economia mundial 

21

investigava novas necessidades uma vez que equipamentos bélicos não eram mais a 

prioridade. Em particular, o desenvolvimento do radar estimulou pesquisas na síntese de 

materiais semicondutores. O silício puro se tornaria a essência dos CIs e posteriormente a 

moderna tecnologia dos sistemas microeletromecânicos, de modo que os MEMS se tornaram 

produtos derivados diretamente das técnicas utilizadas na microeletrônica. 

Em um primeiro momento os processadores se consolidaram. Segundo Silva e 

Ibrahim (2009) somente em meados do século XX com a invenção do transistor usando 

material semicondutor é que houve um impulso significativo na área da eletrônica. Este fato 

foi marcado quando em 1947, os físicos William Shockley e Walter Brattain e o engenheiro 

eletricista John Bardeen, cientistas da Bell Telephone Laboratories, apresentaram o primeiro 

transistor em germânio (Ge) (Figura 3 (a)). Este fato valeu aos seus inventores o prêmio 

Nobel de Física de 1956 e foi citado na edição de janeiro de 1998 da revista Proceedings of 

the IEEE em edição comemorativa dos 50 anos do transistor como sendo "a invenção da 

engenharia elétrica mais revolucionária do século XX”. 

No entanto, apesar de representar um avanço importante na eletrônica essa fase ainda 

consistia em componentes dispostos individualmente, ou seja, utilizava componentes 

discretos. A invenção do transistor estimulou o desenvolvimento de circuitos eletrônicos cada 

vez mais complexos, o que culminou com a invenção dos CIs. O engenheiro Jack Kilby da 

Texas Instrument apresentou em 1958, o primeiro circuito integrado simples, (Figura 3 (b)). 

Este consistia em um oscilador de fase que convertia Corrente Contínua (CC), em Corrente 

Alternada (CA). 

Figura 3 - Primeiro dispositivo. (a) transistor em germânio; (b) circuito integrado; (c) circuito integrado lógico 

(a) 

(b) 

Fonte: Fruett (2010) 

Em 1959 na fábrica da Fairchild, Robert Noyce desenvolvia processos de 

interconexão dos microcomponentes dos CIs. Enquanto Kilby empregava pequenos fios nas 

conexões dos componentes, Noyce utilizava trilhas de alumínio ou ouro que podiam ser 

(c) 

22

aplicadas com ajuda de mascaras de litografia. Surgia então o primeiro circuito integrado 

lógico (Figura 3 (c)). Esse marco representa o aparecimento da microeletrônica, com 

mudanças significativas no processo de fabricação e montagem de circuitos eletroeletrônicos. 

Silva e Ibrahim (2009) destacam ainda que a redução do tamanho dos dispositivos 

eletrônicos tornou-se rápida seguindo a lei de Moore. Esta lei foi concebida por Gordon 

Moore um dos fundadores da Intel. Moore previu que a diminuição de tamanho dos 

dispositivos seria de aproximadamente uma ordem de magnitude a cada dois anos. Outro fato 

imprescindível neste desenvolvimento é concedido ao renomado e famoso físico 

norte-americano, Dr. Richard Phillips Feynman, considerado o pai da Nanotecnologia. 

Segundo Allen (2005), o Dr. Feynman apresentou uma palestra intitulada “There’s 

Plenty of Room at the Bottom” (Há mais espaços lá embaixo) em 29 de dezembro de 1959, na 

reunião anual da Sociedade Americana de Física no Instituto de Tecnologia da Califórnia 

(Caltech). Esta palestra é frequentemente citada como o início dos campos conceituais de 

MEMS e Nanotecnologia. O Dr. Feynman ofereceu alguns comentários esclarecedores sobre 

a escala de fenômenos físicos com tamanho reduzido. Na ocasião, ele ressaltou o fato de que 

as leis físicas permitem a fabricação de micro e nanomáquinas. Ele ainda destacou que um dia 

o homem conseguiria manipular objetos de dimensões atômicas e assim construir estruturas 

de dimensões micro e nanométricas segundo seu livre arbítrio. 

Conforme Melo e Pimenta (2004) ressaltam, esta previsão somente começou a tornar- 

se realidade no início da década de 80. Neste período, físicos europeus desenvolveram os 

chamados microscópios de varredura por sonda. Entre os quais, hoje incluem o microscópio 

de tunelamento e de força atômica. Segundo Tang (1989) no ano 1982, Robert T. Howe 

demonstrou a possibilidade de produzir vigas de silício cujo desfecho resultou no primeiro 

microatuador de índole eletrostática. Posteriormente foram construídas vigas biengastadas. 

Este fato marcou o despertar do interesse na consolidação dos primeiros MEMS. 

Segundo Allen (2005) desde meados dos anos de 1990 até os dias atuais tem-se 

assistido a uma mudança na ênfase de pesquisa em tecnologia MEMS. Segundo Ribas (2000), 

o crescente interesse do mercado mundial sobre os MEMS tem sido ocasionado pela 

“saturação” na evolução dos CIs. Os mesmos apresentam capacidades de integração e 

excelentes desempenhos, no entanto, é preciso um esforço cada vez maior para obter 

pequenos avanços. Por isso, passou-se a considerar a possibilidade de integrar sistemas 

completos dentro de um único chip, incluindo além da eletrônica outras estruturas físicas 

constituindo, assim, a tecnologia dos microssistemas. 

23

1.4 Aplicações 

O crescimento em aplicações que envolvem dispositivos MEMS está sendo 

impulsionada por tendências globais. Questões como o consumo de energia, meio ambiente e 

o bem-estar da população entre outros fatores, impulsiona o crescimento desta tecnologia. 

Aliado a isso, as características, tais como: tamanho compacto, peso leve, baixo custo de 

produção e fabricação em grandes quantidades, vinculado ao desempenho e confiabilidade na 

resposta deseja tornam os MEMS fundamentais na indústria de componentes miniaturizados. 

As aplicações para esta tecnologia são limitadas unicamente pela imaginação humana. 

A competência tecnológica e empresarial em MEMS compreende um ciclo composto 

pelos fatores de concepção, projeto, desenvolvimento, fabricação, testes e comercialização. O 

tamanho em nível micrométrico dos MEMS permite que eles se encaixem em uma ampla 

gama de produtos em diversos segmentos industriais. A Figura 4 ilustra a diversidade de 

tecnologias envolvidas em microssistemas e suas variadas aplicações. 

1.4.1 Aplicações automotivas 

Figura 4 - Tecnologias envolvidas e aplicações típicas de MEMS 


A demanda por produtos MEMS em aplicações automotivas foi o segmento industrial 

pioneiro na utilização destes microdispositivos. Como exemplo, pode-se citar os 

acelerômetros para implementação dos modernos sistemas de segurança contra impactos 

(airbags) e sensores de pressão para freios ABS (Antilock Braking System). 

24

Segundo Dixon e Bouchaud (2007) um dos fatores do crescimento significativo de 

MEMS é o setor automotivo, uma vez que, o uso de sensores no apoio às tecnologias de 

segurança obrigatória é exigido pela legislação norte-americana e alguns países europeus. 

Entre algumas dessas orientações destacam-se o controle eletrônico de estabilidade e sistemas 

de monitoramento da pressão dos pneus. Inúmeros dispositivos sensores MEMS automotivos 

estão sendo produzidos e inseridos no mercado. Os mais relevantes incluem o uso de sensores 

de gás para controlar qualidade do ar no interior do veículo, termopilhas infravermelho para 

monitorar a temperatura, microbolômetros para ajudar em sistemas de visão noturna e 

osciladores para impulsionar câmeras retrovisoras. Conforme ilustrado na Figura 5 são 

apresentadas outras funções desenvolvidas por esses microssistemas vinculadas ao setor 

automobilístico. 

1.4.2 Aplicações em telecomunicações 

Figura 5 - Aplicações dos MEMS em um automóvel 

Fonte: Adaptada de Pruthveen e Sharam (2008) 

A utilização de micromecanismos em dispositivos eletrônicos está diretamente 

presente nas telecomunicações. A chave RF (radio frequency) MEMS, por exemplo, permite a 

transmissão de imagens de vídeo via celular sem dificuldades. A troca de imagens de vídeo 

via celular se tornou um fenômeno comum em todo o mundo. No futuro, a demanda por 

transmissão de grande quantidade de dados em alta velocidade deverá crescer. 

25

O sucesso dos MEMS, em especial, os ressonadores e indutores, nas telecomunicações 

conforme destaca Reimbold (2008) é resultado da flexibilidade, alto desempenho, sintonia e 

ampla faixa de frequências de operação que os mesmos apresentam. Segundo Nguyen (1995) 

os sensores e os atuadores MEMS quando combinados e integrados constituem-se em um 

novo dispositivo, o qual desempenha uma nova função como: transformação, amplificação, 

filtragem, mixagem, entre outras funcionalidades aplicadas nas telecomunicações. 

1.4.3 Aplicações médicas e biomédicas 

O desenvolvimento de MEMS para aplicações biológicas e médicas tornou-se um 

novo campo de própria investigação conhecido como BioMEMS, sistemas 

microeletromecânicos biológicos (biological microelectromechanical systems). As 

características inerentes aos BioMEMS promete na produção de dispositivos miniaturizados, 

inteligentes e de baixo custo para aplicações biomédicas. Conforme Bhansali ([s.d]) esses 

dispositivos destacam-se pela atuação eficiente dos medicamentos sobre a doença, 

substituindo os convencionais e longos tratamentos. Entre alguns dispositivos, destacam-se 

funções como neuroestimulação implantável e monitoramento cardíaco por intermédio dos 

CARDIOMEMS, conforme apresentado na Figura 6. 

Figura 6 - CARDIOMEMS - sensores de pressão sem fio implantado no corpo humano 

Fonte: Adaptada de Dolan (2010) 

Nas aplicações hospitalares, produtos MEMS mostram-se promissores em diversas 

aplicações como: diagnóstico, monitoração da pressão arterial, microagulhas, micropinças, 

26

dispositivos microfluídicos entre outros (Figura 7 (a) e (b)). Segundo Bhansali ([s.d.]) a 

inserção de microdispositivos capazes de agir diretamente dentro do organismo é a grande 

vantagem destes dispositivos. Os microrrobôs implantáveis nas veias e artérias são excelentes 

alternativas. Problemas de saúde que surgem com o acúmulo de substâncias orgânicas 

indesejáveis que interferem com as funções normais do corpo, tais como: tumores, coágulos 

sanguíneos, acúmulo de tecido cicatricial, obstrução arterial dentre outras, são diagnosticados 

e corrigidos pela ação destes microdispositivos, atuando diretamente no ponto doente. A 

capacidade de miniaturizar sistemas biomédicos, com o auxílio da tecnologia MEMS prevê 

significativa redução nos custos e aumento da qualidade da gestão de saúde. 

Figura 7 - BIOMEMS. (a) cauterizador; (b) microagulha; (c) protótipo de microrrobô MEMS 

1.4.4 Aplicações militares 

(a) (b) (c) 

Fonte: (a), (b) Sandia International Laboratories (2011), (c) Bhansali ([s.d]) 

As aplicações militares usando dispositivos na escala micrométrica têm amplo 

incentivo financeiro nas pesquisas, essencialmente, por parte do governo norte-americano. 

Um exemplo revolucionário de aplicações dos MEMS para fins militares é desenvolvido pela 

Agência de Projetos de Pesquisa Avançada de Defesa ou DARPA (Defense Advanced 

Research Projects Agency), que realiza pesquisas para controlar insetos através da 

microtecnologia. O projeto chamado Hibrid-Insect MEMS (HI-MEMS) prevê os chamados 

“insetos Cyborg”. 

A pesquisadora Dra. Judy ([s.d]) gerente do programa HI-MEMS, relata que este visa 

desenvolver interfaces acopladas entre máquina e insetos através da colocação de sistemas 

microeletromecânicos no seu interior durante as primeiras fases da metamorfose. O programa 

objetiva equipar os insetos com uma gama de sensores MEMS, tais como: câmeras de vídeo, 

microfones, áudio e agentes químicos, guiados remotamente por dispositivos sem fio. Usando 

implantes conectados no cérebro e músculos (Figura 8), é possível o controle sobre as 

27

funcionalidades como a decolagem, voo e aterrissagem dos insetos. Desta forma, em um 

possível cenário de conflito, através dos “insetos Cyborg” é possível executar missões de 

reconhecimento e ataque em território inimigo sem a exposição do homem. 

Figura 8 - Insetos Cyborg. (a) traça Pupa mais chip MEMS; (b) sistema de estimulação sobre o dorso do inseto 

(a) 

Fonte: DARPA (2010) 

Outras aplicações estão consolidadas na área militar como a utilização dos MEMS. 

Estas desempenham um papel vital em aplicações como controle aerodinâmico, 

processamento de sinais usando calor e radiação, medição de inércia e orientação, detecção 

biológica, identificação de toxinas, análise de DNA (Deoxyribonucleic acid), análise celular, 

preparação e uso de drogas. 

Outro projeto em desenvolvimento pelo DARPA, visto como algo visionário é a 

implantação de redes de monitoramento permanente. Nada irá fugir ao controle da tecnologia 

em um futuro próximo através dos chamados Smart dust ou poeira inteligente. Segundo o 

pesquisador Dr. Pister ([s.d]) da Universidade da Califórnia, Berkeley, pioneiro no estudo e 

desenvolvimento desta tecnologia, Smart dust é um conjunto de sistemas 

microeletromecânicos (MEMS). Estes incluem sensores, robôs e ou outros dispositivos, que 

podem detectar luz, temperatura, vibração, produtos químicos, etc. Liberados na atmosfera em 

nível de pó eles formam uma rede de sensores com conexão sem fio, monitorando 

praticamente tudo oque acontece nesta região. 

1.5 Mercado 

Com base nas inúmeras aplicações, o crescimento da tecnologia MEMS está em ampla 

ascensão. Consequentemente, o mercado de MEMS tende a evoluir em ritmo acelerado. A 

(b) 

28

demanda por preços baixos e confiabilidade nos produtos é o fator principal que motiva o 

interesse neste mercado. Interagindo sobre uma gama de questões que envolvem desde o 

aquecimento global até o envelhecimento da população e consequente o consumo de bens, o 

mercado de MEMS está definindo para um crescimento rápido com significativos e 

diversificados segmentos industriais. 

Conforme Nancy (2010) os dispositivos médicos para as ciências da vida e 

microfluídicos para a medicina são as aplicações de MEMS promissoras para o futuro. Além 

destes, os tradicionais segmentos da indústria automobilística, espacial, militar, 

telecomunicações entre outras tendem a representar altos investimentos e lucros na área de 

MEMS. No entanto, um novo ramo comercial denominado NEW MEMS voltados a 

dispositivos de consumo representará um amplo crescimento na receita deste mercado. 

Segundo a YOLE DEVELOPMENTS (2011) líder mundial na análise dos mercados 

de MEMS, estima-se um crescimento no mercado a partir de 2011. Relatórios projetam que 

este mercado alcance US$ 19,6 bilhões em 2016, e 15,8 bilhões de unidades produzidas. A 

perspectiva do mercado de MEMS por segmento de aplicação, para os próximos anos até 

2016 é apresentada na Figura 9. 

Xxx 

xxxx 

Figura 9 - Previsão do mercado de MEMS 

Fonte: Adaptada de YOLE DEVELOPMENTS (2011) 

29

1.6 Motivação 

Atribuir qualidade aos MEMS implica garantir sua adequação ao uso. A garantia para 

produtos inovadores de baixo custo e alta qualidade como os que podem ser produzidos pela 

Microtecnologia, em especial, os MEMS, reflete um longo caminho com inúmeros desafios. 

Alguns destes incluem a superação de expectativas de mercado, concepção, tecnologia, mão- 

de-obra e confiabilidade. Além disso, outras limitações devem ser avaliadas para que ideias 

cheguem a protótipos e virem produtos. 

O funcionamento básico de microtransdutores MEMS está associado ao conhecimento 

da sua frequência de ressonância. Logo, há dependência da forma geométrica e das 

propriedades do material que os constituem. Contudo, segundo Lin e Wang (2006) cabe 

considerar que as dimensões de ordem micrométrica, a espessura fina do dispositivo, a não 

compreensão dos efeitos físicos das forças intermoleculares sob essas dimensões, a mudança 

das propriedades dos materiais dos elementos quando reduzidos a pequenas escalas, são 

fatores que comprometem a qualidade operacional dos dispositivos como um todo. 

Desta forma, altos níveis de rendimento e confiabilidade são fundamentais para o 

sucesso da produção de qualquer dispositivo MEMS. Segundo Arft (2011) isso inclui otimizar 

todos os aspectos do produto, incluindo o projeto de MEMS, fabricação, montagem e testes. 

Neste sentido, conforme destaca Song et al., (2011) as pesquisas na área de dispositivos 

MEMS visam diminuir custos e confirmar a qualidade dos mesmos. Estes fatores têm sido 

garantidos na produção em lote (batch), onde milhões de componentes são fabricados em uma 

única lâmina (ou wafer) e testados por amostragem. No entanto, conforme destaca Cigada, 

Leo e Vanalli (2006), é de fundamental importância testar cada um dos dispositivos 

fabricados, no menor tempo possível. Portanto, testes para detecção dos defeitos e falhas 

devem ser otimizados quanto ao tempo de duração e confiabilidade. 

A proliferação de dispositivos MEMS e as necessidades dos fabricantes em testar os 

produtos antes de liberá-los no mercado, coloca importância acrescida em equipamentos de 

testes automatizados. Conforme destaca MEMS Investor Journal (2011) testes em MEMS 

representam de a dos custos de produção total dos dispositivos. Embora estes testes 

sejam semelhantes aos testes de CIs na indústria de semicondutores, dispositivos MEMS 

apresentam novos desafios. Além das propriedades elétricas, partes mecânicas também devem 

ser testadas. Esta etapa, consiste em uma extensa caracterização dos dispositivos, visando 

acelerar a produção e otimizar o rendimento contra defeitos. Assim, o fator preponderante e 

de maior contribuição é o tempo despendido nesta etapa. 

30

Segundo Revel (2011) dispositivos MEMS requerem testes em várias fases do nível de 

produção. Os métodos e tipos de testes são geralmente definidos pela aplicação final do 

sistema e dependem de padrões diferentes. Um dos principais desafios para testar MEMS é 

desenvolver plataformas de avalição precisa para estes dispositivos. Isso se aplica tanto para o 

desenvolvimento de produtos, quanto aos testes de produção. Nesse sentido, fica claro a 

exigência da indústria em atender o chamado requisito 3P. O trinômio “preço, peso e 

performance (desempenho)” exige que, cada transdutor MEMS produzido seja verificado. 

Para isso se faz necessário otimizar o tempo de duração dos testes sem perder a 

confiabilidade. 

Com base nisso, a modelagem matemática é uma das alternativas que poderá atender 

essa demanda. Com o crescimento e interesse em MEMS, a modelagem e simulação destes 

microdispositivos tornam-se uma área emergente que vem ganhando interesse. No entanto, o 

conhecimento de todos os fenômenos que se manifestam nos MEMS não é trivial. Desafios 

em etapas de modelagem, manipulação e análise das características dinâmicas destes 

microssistemas torna-se um campo de ampla investigação. 

A descrição preliminar destes fenômenos a partir da construção e interpretação de 

modelos matemáticos, que representem o sistema físico real é fundamental. Este caminho 

torna-se uma alternativa viável no sentido de superar as dificuldades impostas na 

representação do desempenho comportamental e das características dinâmicas dos MEMS. 

Logo, a modelagem matemática e sua investigação ganha importância primordial nesta área. 

De acordo com Kerschen et. al., (2005) a “modelagem matemática se refere ao uso da 

linguagem matemática para simular o comportamento de um "mundo real" do sistema 

(prático). Seu papel é proporcionar uma melhor compreensão e caracterização do sistema”. 

Neste sentido, representar fenômenos observáveis através de dados com a informação 

da dinâmica do sistema físico, por intermédio de modelos matemáticos, torna-se uma 

tendência promissora como auxílio na análise e entendimento do funcionamento dos sistemas 

em investigação. Segundo Coelho A. e Coelho L. (2004) “A utilização de um modelo para 

simular um sistema real constitui um procedimento de baixo custo e seguro para experimentar 

o sistema. Entretanto, a validade (adequação) dos resultados de simulação depende 

completamente da qualidade do modelo matemático do sistema”. 

Conforme Chuang et al., (2010) para estes microssistemas, em um primeiro momento 

isto é possível através da utilização de CADMEMS (Computer Aids Design for MEMS). No 

entanto, este é ainda um trabalho em andamento. Reimbold (2008) destaca que a integração 

do computador no projeto de MEMS propicia a modelagem computacional. A partir dela, 

31

investiga-se a forma de desenvolver modelos analíticos e numéricos que ao serem 

implementados no computador permitem examinar gráficos e visualizar o dispositivo de 

forma facilitada. 

Segundo Ljung (1999) outra alternativa é a utilização de técnicas de Identificação de 

Sistemas, como procedimentos para a formulação de modelos matemáticos computacionais 

confiáveis. Este processo é fundamental na concepção e análise preliminar do desempenho da 

dinâmica de sistemas como um todo. Desta forma, sua utilização em nível de sistemas 

microscópicos pode tornar-se uma alternativa válida quanto às dificuldades impostas na 

análise de seu comportamento. 

Para Aguirre (2004) a Identificação de Sistemas “é uma área do conhecimento que 

estuda maneiras de modelar e analisar sistemas a partir de observações, ou seja, dados”. 

Contudo, o tratamento computacional destas observações requer seu armazenamento em 

quantidades finitas. Assim, a transformação do desempenho analógico para o desempenho 

discretizado, utilizando o computador é um fator adicional que dificulta a obtenção do modelo 

matemático comportamental de MEMS. 

O comportamento dinâmico de estruturas mecânicas de MEMS tem influência sobre 

as respostas elétricas através de princípio de transdução de energia. Portanto, a determinação 

de parâmetros mecânicos, tais como rigidez de elasticidade, o amortecimento e a massa das 

estruturas são de grande importância tecnológica para a caracterização e otimização destes 

dispositivos. A obtenção dos parâmetros físicos dos MEMS torna-se importante, ao passo que 

os mesmos contêm informações das propriedades dos materiais e geometrias utilizados para a 

construção dos próprios dispositivos. 

Desta forma, a inserção destes parâmetros tanto na modelagem matemática como na 

simulação possibilita desenvolver métodos eficientes, que permitam ao projetista de MEMS 

agilidade nos cálculos, pensamento rápido, análise de seu desempenho e inserção em nível de 

sistema. Logo, a concepção destes modelos se tornam procedimentos práticos, eficientes, não 

invasivos e válidos na obtenção do modelo de dispositivos microscópicos. 

Nesse sentido, a caracterização precoce de dispositivos MEMS, por meio da 

modelagem matemática, em uma faixa de frequência estreita e em um intervalo de tempo 

reduzido, assegurando a qualidade e o baixo custo é fundamental. Além disso, a avaliação do 

desempenho comportamental estimado em relação ao desempenho real é uma forma prática e 

eficiente de identificar possíveis alterações funcionais nos dispositivos. Com este pressuposto, 

este trabalho visa investigar uma proposta de aliar qualidade, precisão e interatividade do 

projeto, sob o desempenho comportamental de dispositivos MEMS. 

32

1.7 Objetivos 

Propor através das técnicas de Identificação de Sistemas, modelos matemáticos que 

descrevam o desempenho comportamental linear, de microtransdutores MEMS baseados em 

deformação elástica (elastomassas), e força eletrostática (estrutura comb-drive). Para que o 

objetivo principal seja alcançado, os seguintes objetivos específicos foram traçados: 

Investigar o princípio de funcionamento dos atuadores MEMS; 

Pesquisar os modelos matemáticos mais usados na obtenção do desempenho 

comportamental; 

Estudar alternativas que tenham sido propostas recentemente e possam contribuir na 

modelagem matemática de MEMS; 

Aplicar, comparar, e estabelecer a melhor combinação de critérios necessários para a 

identificação dos modelos matemáticos; 

A expectativa é reproduzir o desempenho comportamental dos microtransdutores 

MEMS em relação processo experimental com qualidade, precisão e menor tempo possível. 

1.8 Estrutura da dissertação 

Esta dissertação esta organizada em cinco capítulos. Cada um dos quais apresentam os 

aspectos essenciais para o desenvolvimento deste estudo. 

O Capítulo 2 é composto pela abordagem dos aspectos e conceitos inerentes aos 

atuadores MEMS e seu funcionamento. O estudo é dirigido aos dispositivos baseados em 

deformação elástica e atuação eletrostática, formas de atuação e topologias. 

O Capítulo 3 apresenta as técnicas de identificação e suas características, assim como, 

uma importante classificação dos modelos matemáticos. Ao mesmo tempo, é descrita 

formulação matemática do modelo físico que descreve o processo em estudo. Em seguida, o 

mesmo destaca a técnica de modelagem utilizada, onde cada etapa do processo é exposta. 

O Capítulo 4 é dividido em duas partes. Inicialmente é descrita de forma sucinta a 

metodologia desenvolvida durante o trabalho. Na segunda parte são apresentados os 

resultados obtidos através das simulações computacionais, com seus respectivos comentários 

decorrentes dos ensaios realizados sobre as topologias das estruturas selecionadas. 

Finalmente, no Capítulo 5, estão expostas as conclusões e comentários ao 

desenvolvimento do trabalho. Posteriormente, propõem-se as sugestões para novos trabalhos 

que consolidem e propiciem a continuidade desta investigação. 

33

2 ATUADORES MEMS 

Neste capítulo são abordados conceitos inerentes aos atuadores MEMS baseados em 

deformação elástica e ação eletrostática. O capítulo visa também, destacar o princípio de 

transdução eletrostático. De forma concomitante, é ressaltado a constituição destes 

dispositivos através das diferentes topologias baseadas deformação elástica (elastomassas) e 

estruturas comb-drive, bem como, o princípio de funcionamento. A ênfase é dada os 

dispositivos com um grau de liberdade e a estrutura comb-drive translacional de ação 

longitudinal. 

2.1 Transdução ou conversão de energia 

A energia, nas suas mais diversas formas, é extremamente necessária à sobrevivência 

do homem. Sua principal característica é a conservação, o que implica na impossibilidade de 

criá-la ou destruí-la. Consequentemente resta monitorá-la, transformá-la e utilizá-la de forma 

conveniente. Desta forma, conforme esta influencie as propriedades dos materiais e os 

parâmetros geométricos e transmitam seus resultados a um sistema de controle ou medida. Na 

Figura 10 são ilustrados estímulos de diferentes domínios de energia convertidos a sistemas 

de sensoriamento elétrico. 

Figura 10 - Conversão de sinais em sensores eletrônicos 

Fonte: Fruett (2010) 

O comportamento da energia é monitorado por meio de sistemas denominados de 

sensores, cuja nomenclatura deriva do latim sentire, que significa perceber. Os sensores são 

34

sistemas desenvolvidos para responder aos estímulos de determinadas formas de energia, 

como apresentada na Figura 10. Conforme Reimbold (2008) 

Os sensores são classificados obedecendo a vários aspectos considerados na 

“Análise de Sistemas”. Entre eles, alimentação para operação, energia de entrada 

versus energia de saída, características dos sinais de entrada, de perturbação e de 

saída, mensuração, parâmetros característicos, número de entradas e saídas e ligação 

externa entre entrada e saída. 

Ao analisar unicamente o aspecto energia de entrada versus energia de saída, é 

possível conceituar os termos, transdutor, atuador, gerador e motor. Estes conceitos são 

fundamentais quando se trata de conversão de energia. Os atuadores podem ser considerados 

mecanismos de ativação de equipamentos de controle de processo por uso de hidráulica, 

pneumática ou eletrônica de sinais. 

Conforme Allen (2005) sensores e atuadores são formas de transdutores. Basicamente 

a sua função consiste em transformar a energia de uma forma para outra. Um sensor é um 

transdutor 1 de entrada que detecta um sinal de entrada de energia (ou seja, mecânica, química, 

térmica, etc) e, na maioria dos casos, transforma-a em energia elétrica, o que facilita a 

integração de sistemas. Alternativamente, um atuador é um transdutor de saída que, na maior 

parte, transforma uma forma de energia em uma saída mecânica. Na Figura 11 é apresentado 

um esquema da forma de transdução de energia. 

Figura 11 - Fluxo de energia e estímulo/resposta do sensor transdutor 

Fonte: Adaptada de Reimbold (2008) 

Particularmente, quando os estímulos são provenientes de energia mecânica e energia 

elétrica, o transdutor ou conversor de energia é denominado de transdutor eletromecânico. Se 

o transdutor recebe energia elétrica e a transforma em energia mecânica ele é denominado de 

atuador ou motor, caso contrário, é definido simplesmente como um sensor ou gerador. Estes 

termos que definem inúmeros dispositivos conhecidos na escala macroscópica referenciam-se 

também, mantendo-se as devidas características, aos elementos que constituem os 

1 Termo que deriva do latim transducere, que significa “levar através”. 

35

microssistemas. Assim, esses transdutores, quando construídos com técnicas de 

miniaturização e integração utilizando os processos de fabricação da microeletrônica 

consolidam os MEMS. Um sensor e um atuador MEMS obedecem ao esquema de diagrama 

de blocos, conforme apresentado na Figura 12. 

Figura 12 - Diagrama de fluxo de energia em MEMS. (a) atuador; (b) sensor 

(a) 


Segundo os autores Dorey e Morre (1995), Muller (2000) e Senturia (2003) a partir do 

princípio mostrado na Figura 12, vários dispositivos MEMS podem ser concebidos, 

projetados e construídos, levando em consideração as mais diversas aplicações e tecnologias 

desenvolvidas até o presente momento. Nos microssistemas, a trandução essencialmente se dá 

através do seguintes princípios: mecânicos; eletrostáticos; térmicos; piezoelétrico e fluídico. 

2.1.1 Conceitos de dinâmica e cinemática 

As teorias fundamentais básicas para o entendimento e estudos dos sistemas 

microeletromecânicos, são a mecânica clássica newtoniana e o eletromagnetismo. Nesse 

sentido, alguns conceitos e relações são vitais quanto ao estudo dos MEMS. Entre estes 

conceitos, a classificação entre corpos rígidos e não rígidos é essencial. Desta forma, 

conforme destaca Pesce (2004) 

[...] um Corpo Rígido (CR) pode ser definido como um corpo material que guarda a 

propriedade de invariância de distância relativa entre quaisquer pontos que o 

constituam. Esta é a propriedade fundamental de um CR. Trata-se, obviamente, de 

uma idealização, um modelo da realidade, porquanto inexistem, senso estrito, corpos 

materiais totalmente indeformáveis. 

Entre os movimentos possíveis, um CR realiza basicamente, duas formas de 

movimentação. O movimento de translação, quando a direção de qualquer segmento que une 

duas de suas partículas não se altera durante o movimento. Nesta situação, todos os pontos 

percorrem trajetórias paralelas. 

(b) 

36

Conforme destaca Reimbold (2008) 

Todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de 

tempo, de modo que todas possuem em qualquer instante a mesma velocidade e 

aceleração. A direção das forças aplicadas define dois tipos de translação: 

longitudinal e transversal. É denominada “longitudinal” quando o movimento é 

paralelo à direção da força, e, caso o seja perpendicular á direção desta, o 

movimento de translação é dito “transversal”. 

Em contrapartida, o movimento é dito rotacional quando todos os pontos materiais do 

corpo percorrem trajetórias circulares em relação a outro ponto qualquer do mesmo corpo. 

Para um corpo sólido livre, as interferências destes movimentos estão suscetíveis a sofrer 

alguns deslocamentos, ou seja, descrever determinadas trajetórias denominadas de graus de 

liberdades. No plano, um corpo sólido tem três graus de liberdade, sendo duas translações, 

segundo duas direções ortogonais e uma rotação, em torno da direção perpendicular ao plano. 

Considerando o espaço, um corpo sólido tem seis graus de liberdade, sendo três translações, 

segundo três direções ortogonais e três rotações, em torno das mesmas direções ortogonais. A 

combinação de translação e rotação produz o movimento roto-translacional. Conforme 

destaca Tavares e Barbosa (2002) o movimento não rígido ou deformável pode ser 

classificado em apenas três classes: articulado, elástico ou fluídico. Com base nisso Reimbold 

(2008) afirma que, 

2.1.2 Movimento elástico 

O movimento articulado ocorre se as partes rígidas do corpo se movem 

independentemente das restantes. O movimento elástico caracteriza-se pelo 

movimento não rígido com algum grau de continuidade e suavidade de maneira a 

modificar a forma do corpo, os parâmetros geométricos e as propriedades intrínsecas 

do material. O movimento fluídico é um movimento não rígido que não satisfaz a 

restrição de continuidade, podendo envolver variações topológicas e deformações 

turbulentas. 

Todo corpo material sofre alguma deformação quando submetido à ação de forças. 

Desta forma, nenhum corpo é perfeitamente rígido. Estas forças podem causar tanto 

mudanças na forma ou mesmo no volume do corpo. Segundo Portela e Silva (1996) a posição 

oferecida a essas mudanças e o retorno à sua forma, ou volume inicial, quando retirada as 

forças é caracterizado como propriedade elástica dos corpos. 

Entre as formas de deformação mais relevantes vale destacar a deformação normal, 

cisalhante e de torque. A deformação normal, segundo Silva e Ibrahim (2009) “se refere, mais 

especificadamente, à variação percentual de comprimento num material solicitado por um 

37

esforço de tração ou compressão”. Ou de forma mais genérica, pode-se considerar a 

deformação cujo resultado físico é a alteração do volume do corpo sem modificar a forma 

quando a este é aplicada uma força perpendicular. Em contrapartida, a deformação cisalhante 

causa uma distorção angular, ou seja, a variação do ângulo de uma fibra em relação ao plano. 

Ou ainda, é o resultado físico da alteração da forma sem modificar o volume quando ao corpo 

é aplicada uma força tangencial. E por fim, a deformação por torção. Para Silva e Ibrahim 

(2009) esta, “é caracterizada por uma rotação em torno do eixo longitudinal devido a um 

momento de torção”. Na Figura 13 são ilustradas estas deformações nos materiais. 

Figura 13 - Formas de deformação dos corpos. Linhas tracejadas representam a forma antes, e linhas sólidas, 

após a deformação. (a) Deformação normal por alongamento; (b) Deformação normal por compreensão; (c) 

Deformação por cisalhamento; (d) Deformação por torção 

Fonte: Callister (2001) 

Qualquer material elástico ao sofrer uma deformação longitudinal, também sofre uma 

deformação transversal, proporcional á deformação longitudinal aplicada. A relação destas 

duas deformações, normal e cisalhante, obedece à expressão conhecida como razão de 

Poisson, definida pela equação (1). A razão de Poisson é fundamental para relacionar 

diferentes deformações, 

| 

Conforme afirma Silva e Ibrahim (2009) “os movimentos em MEMS não são 

transmitidos e controlados pelo uso de articulações (juntas), como nos mecanismos 

convencionais. Nos MEMS os movimentos, normalmente são obtidos por flexões de partes 

estruturais mais finas”. Ainda, de acordo com estes autores, os MEMS utilizam mecanismos 

compliantes, ou seja, flexíveis e sujeitos a grandes deflexões elásticas durante sua operação 

para substituir estes mecanismos convencionais. O intuito é assegurar as partes estruturais 

| 

38 

(1)

destes dispositivos aliando o comportamento elástico, semelhante a uma mola. Desta forma, é 

possível associar as deformações (deslocamentos) com as forças atuantes. 

2.2 Atuadores eletromecânicos 

Os atuadores eletromecânicos são transdutores que convertem energia elétrica em 

energia mecânica. Nise (2002) afirma que, “um motor é um componente eletromecânico que 

fornece um deslocamento de saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica 

gerada por uma entrada elétrica”. Esta relação entre os sinais de entrada e saída para a 

concepção de qualquer atuador eletromecânico demanda dois blocos funcionais e uma função 

unívoca, conforme apresentado na Figura 14. 

Figura 14 - Atuador eletromecânico em diagrama de blocos 

Conforme destaca Reimbold (2008), 


O bloco denominado de acionador, idealmente desempenha duas funções, 

monitoração e geração de força, sendo constituído por dois blocos: um sensor e um 

“gerador fenomenológico”. O bloco “meio” tem como finalidade canalizar a 

manifestação da força através do movimento. Dependendo da cinemática este bloco 

pode conter outros (corpo rígido ou/e corpo não rígido) de forma a aperfeiçoar o 

desempenho mecânico. 

De fato, como cita Reimbold (2008) “a ressonância e o limite de elasticidade são os 

parâmetros que definem a função unívoca na maior parte dos atuadores eletromecânicos 

baseados em deformação elástica”. A ressonância é um fenômeno físico produzido quando a 

frequência de vibração natural de um sistema coincide com a frequência de forças externas. 

Neste caso, há uma transferência de energia entre um sistema oscilante para outro sistema que 

entrará em regime de oscilação ou vibração, com amplitude cada vez maior. Este fenômeno 

pode ainda ser classificado como destrutivo ou não destrutivo. 

39

Com relação a esta classificação Reimbold (2008) relata que, 

O princípio não-destrutivo consiste em igualar a frequência do sistema oscilatório 

( ) à frequência natural ( ) do sistema vibratório, de forma que as propriedades 

intrínsecas desse não sejam alterados. Quando isto acontece à frequência do sistema 

é denominada de frequência de ressonância ( ). A ideia fundamental consiste em 

aumentar a amplitude de vibração respeitando os limites de elasticidade do sistema 

vibratório de forma que este atinja maiores deslocamentos dos que possuía em 

estado natural. A frequência natural como parâmetro é necessária para comparar o 

desempenho entre atuadores eletromecânicos. 

A indústria apresenta inúmeros atuadores eletromecânicos baseados, principalmente, 

nas formas de índole eletroquímica, eletromagnéticos, eletrorresistritivos e eletrostáticos. 

Cada uma destas formas apresenta vantagens e desvantagens quando comparadas suas 

funcionalidades. Em especial, os atuadores eletrostáticos são amplamente utilizados na 

concepção de dispositivos MEMS. Este fato é justificado por apresentarem facilidade de 

integração, respostas rápidas e beneficiaram-se dos processos de fabricação compatíveis com 

os processos dos CIs. 

Atuação eletrostática é baseada na força de Coulomb atrativa existente entre cargas 

opostas. Conforme Reimbold (2008) destaca, “[...] são poucos afetados pela temperatura 

ambiente e são altamente eficientes na atuação devido ao baixo consumo que apresentam. 

Estes podem gerar grandes forças, mas são limitados por deslocamentos curtos”. Allen (2005) 

destaca alguns dispositivos MEMS de sucesso baseados no princípio eletrostático, como: 

microbombas, microinterruptores, microespelhos, micro e nanopinças, entre outros. 

2.3 Microestruturas elásticas suspensas e elastomassas 

Microestruturas suspensas ou vigas em balanço são as estruturas usuais nos sistemas 

microeletromecânicos. Em síntese, são formas de arranjos constituídas de partes móveis sobre 

bases fixas. Conforme Reimbold et al., (2008) as elastomassas MEMS, também denominadas 

de micronúcleos elásticos, são constituídas de forma geral, utilizando-se de vigas e colunas, 

como elementos não rígidos, e de âncoras ou engastes e massa, como elementos rígidos. 

Segundo os autores, a viga é o elemento formado por uma barra de eixo plana submetida a 

esforços contidos no mesmo plano. Destacam-se duas importantes formas de vigas para a 

construção de elastomassas: vigas hiperestáticas e isostáticas. A diferença básica encontra-se 

unicamente nas formas de seus engastes. Outro elemento importante são as colunas, que 

suportam as forças de tensão ou compressão submetidas no eixo longitudinal. 

40

O cantilever é outro componente amplamente utilizado nos atuadores eletrostáticos. 

Esta microestrutura elementar permite a partir de sua flexibilidade e versatilidade torná-la um 

componente essencial em uma variedade de dispositivos MEMS. Aplicações de sucesso têm 

utilizado esta microestrutura, como acelerômetros e giroscópios. Sua estrutura consiste em 

uma microviga em balanço onde uma de suas extremidades está engastada, e a outra 

permanece livre, conforme apresentado na Figura 15. 

Figura 15 - Viga engastada ou em balanço, microcantilever 


A aplicação específica define a melhor forma geométrica do cantilever e o material de 

que ela deve ser feita. Estes dois parâmetros definem as características da estrutura, como a 

rigidez (constante da mola). Conforme destaca Reimbold (2008), “as diferentes combinações 

do microcantilever podem gerar outras microestruturas suspensas, as quais permitem 

conceber variadas topologias de molas, cujo princípio se baseia em deformação elástica”. 

A integração de diferentes geometrias combinadas com micromolas e massas 

vibratórias permitem obter inúmeras topologias de massas elásticas, conhecidas como 

elastomassas. Estas, por sua vez, são responsáveis pela frequência de ressonância. Estas 

topologias podem apresentar determinados graus de liberdades. Algumas destas formas são 

apresentadas na Figura 16. 

Figura 16 - Topologias de elastomassas. (a) formato em U; (b) crab; (c) ponte dupla; (d) dobradiça; (e) ponte 

simples; (f) serpentina 

Fonte: Baidya, Gupta e Mukherjee (2002) 

41

2.4 Estrutura comb-drive 

Os principais atuadores eletromecânicos MEMS, utilizam-se essencialmente da 

atuação eletrostática ou capacitiva. Um atuador eletrostático simples disponível 

comercialmente, mais conhecido é o capacitor de placas paralelas. Este dispositivo tem a 

função de armazenar energia elétrica no campo elétrico existente em seu interior. Ao fornecer 

uma carga a um condutor, ele adquire um potencial elétrico . Verifica-se que o potencial 

elétrico é diretamente proporcional à quantidade de carga. Logo, a razão entre a quantidade de 

carga e o potencial elétrico , define a grandeza denominada capacitância, ou capacidade 

elétrica ( ) representada pela equação (2), 

Em síntese, a capacitância é a habilidade de armazenar cargas elétricas por unidade de 

potencial elétrico. O capacitor de placas paralelas é composto por duas placas condutoras 

paralelas ou eletrodos separadas por um material dielétrico de espessura uniforme, conforme 

apresentado na Figura 17. O valor da capacitância depende diretamente da geometria das 

placas, da distância entre ambas e também do material dielétrico. 

Figura 17 - Capacitor de placas paralelas 


Quando o capacitor é submetido a variações na diferença de potencial aplicada em 

seus terminais, variação dos parâmetros geométricos e diferentes formas de movimentação 

das placas, este dispositivo apresenta a funcionalidade de gerar forças eletrostáticas. Esta 

possibilidade desperta o interesse na construção de diferentes formas de capacitores. Segundo 

Reimbold (2008) uma destas formas consiste na estrutura digital (inter-digited), nomeada pela 

forma análoga aos dedos. Na Figura 18 são apresentadas algumas destas estruturas. 

42 

(2)

Figura 18 - Topologias de dedos capacitivos. (a) reto; (b) grosso-oval; (c) copa fina; (d) copa grossa; (e) alfinete; 

(f) serra 

(a) (b) (c) (d) (e) (f) 


Uma estrutura baseada nas topologias de dedos capacitivos que veem despertando 

interesse é a estrutura comb-drive. Este micromecanismo autopropulsor funciona como 

transdutor eletromecânico. Seu princípio de funcionamento relaciona energia mecânica com 

energia elétrica, regido pelas leis físicas destes dois domínios. Em geral, apresentam resposta 

rápida, baixa potência de consumo e facilidade de integração com circuitos eletrônicos. Sua 

concepção é a base para a nova era da robótica. Neste sentido, estes atuadores MEMS são 

importantes para operação de vários manipuladores robóticos. Sua capacidade precisa de 

posicionar, orientar objetos micrométricos e realizar movimentos com alta resolução e 

confiabilidade garante a eficiência do sistema robótico. 

Sua estrutura é constituída normalmente por dois combs, um fixo, enquanto que outro 

é suspenso por molas de flexão e pode se movimentar. Eles se caracterizam por uma série de 

eletrodos (dedos) dispostos lado a lado, formando um conjunto semelhante a um “pente”, 

conforme apresentado na Figura 19. 

Figura 19 - Estrutura comb-drive 


43

Ao se aplicar uma diferença de potencial entre os dois combs, é gerado um efeito 

capacitivo entre os “dedos” adjacentes devido à concentração de cargas opostas nas 

superfícies dos mesmos. Pequenas variações da diferença de potencial aplicada geram forças 

elétricas de atração e repulsão entre os combs, resultando em pequenos deslocamentos do 

comb móvel. Este se encaixa, porém sem contato físico, com o comb fixo. A amplitude dos 

deslocamentos gerados depende da frequência e da variação de diferença de potencial 

aplicada. 

Conforme Chavarette et al., (2009) para que o movimento ocasionado pela 

deformação aconteça, uma força de natureza eletrostática ou puramente mecânica é aplicada 

ao dispositivo. Este fato permite explorar o dispositivo tanto como sensor ou atuador. 

Aplicando-se uma tensão alternada entre os combs obtém-se como resposta um deslocamento 

do comb. Assim, a estrutura se comporta como um atuador e este deslocamento pode ser 

utilizado para acionar outros mecanismos do sistema. Por outro lado, medindo-se a variação 

de capacitância devido a algum movimento relativo entre os pentes observa-se que a estrutura 

se comporta como um sensor de deslocamento. Estas funções necessitam da interação e da 

integração de dois dispositivos, um móvel ou deformável o qual é denominado comumente de 

mola e outro de índole eletrostática, ou seja, a estrutura comb-drive. Estes dispositivos são 

constituídos, basicamente, de vigas, colunas, âncoras ou engates e massa. Os comb-drives 

podem apresentar tanto movimentos de translação como de rotação, dependendo da sua 

topologia, conforme apresentado na Figura 20. 

Figura 20 - Tipos de comb-drive. (a) translação; (b) rotação 

(a) 

Fonte: Sandia National Laboratories (2011) 

O comb-drive de movimento translacional pode ainda ser dividido em três formas de 

atuação conforme a direção de seu deslocamento: ação longitudinal, ação lateral e ação 

vertical. As três formas são apresentadas na Figura 21. 

(b) 

44

Figura 21 - Direção de deslocamentos do comb-drive translacional. (a) longitudinal; (b) lateral; (c) vertical 

(a) 

(b) 

Fonte: Sandia National Laboratories (2011) 

O funcionamento básico destes microdispositivos está associado ao conhecimento da 

frequência de ressonância dos mesmos, a qual é definida pelas propriedades dos materiais e 

sua forma geométrica. O desempenho ótimo da força aplicada versus o deslocamento depende 

do conhecimento preciso dos valores da massa ( ), do coeficiente de elasticidade (rigidez) da 

mola ( ) associado ao amortecimento do ambiente ( ) no qual está inserido. 

Segundo Chavarette et al., (2009) na indústria estes dispositivos quando disposto 

convenientemente como microssensores e microatuadores, possibilitam a integração como 

relés, pinças, osciladores, filtros, transformadores, giroscópios, acelerômetros, entre outros 

dispositivos micrométricos. Observa-se que as áreas de instrumentação, controle de processos, 

aeronáutica, agricultura de precisão e automação industrial veem nestes micromecanismos 

uma forma de desenvolver sensores e atuadores para aplicações antes limitadas pelo tamanho 

dos dispositivos. 

Com base nisso, neste trabalho o foco de interesse volta-se ao comb-drive de ação 

longitudinal. Esta escolha é baseada na topologia simples, polarização unipolar e 

funcionamento de fácil compreensão. No entanto, esta estrutura apresenta algumas 

desvantagens, como a utilização de altos níveis de potencial elétrico para reproduzir pequenos 

deslocamentos e a instabilidade gerada pela arquitetura das elastomassas e comprimentos dos 

eletrodos do comb-drive. 

(c) 

45

3 MODELAGEM MATEMÁTICA 

A necessidade em aprimorar as técnicas de modelagem e simulação de microestruturas 

MEMS mostra-se como um amplo campo de investigação. Etapas como a construção, análise, 

técnicas utilizadas, e interpretação dos modelos matemáticos destes microssistemas é 

fundamental no auxílio do projeto e otimização dos MEMS. Para o caso específico dos 

dispositivos baseados em deformação elástica e força eletrostática estas etapas são destacadas 

neste capítulo. Este capítulo, também ressalta as técnicas de identificação de Sistemas, 

especificamente, a modelagem caixa cinza. Além disso, os dados amostrados conforme 

Nyquist resultam da transformação de tempo continuo em discreto. Logo, os processos de 

discretização são abordados como fator fundamental na modelagem destes microssistemas. 

Neste sentido, este capítulo é uma contribuição científica quanto à modelagem matemática 

destes atuadores MEMS. 

3.1 Identificação de sistemas 

Conforme Monteiro (2002) um sistema pode ser definido como “um conjunto de 

objetos agrupados por alguma interação ou interdependência, de modo que existam relações 

de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos deste conjunto”. Para Ogata 

(1995) sistema é “uma combinação de componentes que atuam em conjunto e realizam um 

certo objetivo”. 

Uma forma de descrever as relações entre as variáveis e elementos dos sistemas é 

através de modelos. Em consequência disso, a modelagem matemática visa estudar maneiras 

de desenvolver e implementar modelos matemáticos adequados a estes sistemas reais. Esta 

prática torna-se uma alternativa para descrever as características de um sistema. Esta forma de 

modelagem simula saídas para o sistema conforme os estímulos (entradas) são aplicados, 

permitindo, desta forma, a descrição do comportamento dinâmico do sistema. 

A complexidade de um modelo matemático dependerá da aplicação visada. No 

entanto, o levantamento e a formulação matemática de todos os aspectos e fenômenos que 

afetam o comportamento do sistema não é uma tarefa simples. Logo, torna-se praticamente 

impossível reproduzir por intermédios de modelos matemáticos o comportamento exato do 

sistema real. Neste sentido, os modelos matemáticos devem ser capazes de reproduzir o 

comportamento original do sistema da melhor forma possível. Basicamente, existem três 

grupos de técnicas usadas para a obtenção de modelos matemáticos. 

46

O primeiro grupo é denominado modelagem pela física do processo, também 

conhecida como modelagem caixa-branca. Segundo Garcia (1997) todo o processo de 

obtenção do modelo se baseia em leis e princípios físicos. Desta forma, todos os parâmetros 

são conhecidos ou previamente determinados. Os dados de entrada e saída do sistema, quando 

disponíveis, são usados unicamente para validar o modelo. Nesta forma de identificação, os 

termos da estrutura e seus parâmetros detêm um sentido físico. Portanto, a principal vantagem 

é exatamente este significado físico do modelo obtido. No entanto, Corrêa e Aguirre (2004) 

reconhecem a dificuldade na obtenção de modelos por intermédio da modelagem caixa- 

branca. Segundo estes autores, a complexidade nas equações físicas envolvidas e por vezes, o 

desconhecimento das mesmas, assim como seus parâmetros e o tempo despendido em suas 

análises, são as principais desvantagens desta técnica. 

O segundo grupo é referenciado como modelagem empírica, também conhecida como 

modelagem (identificação) caixa-preta. Conforme Sjöberg et al., (1996) este procedimento 

normalmente não pressupõe qualquer conhecimento prévio do sistema. Neste caso, apenas os 

dados de entrada e saída do processo são usados durante a identificação. Desta forma, não 

existe nenhuma relação óbvia entre a estrutura e seus parâmetros com os aspectos físicos do 

sistema sendo identificado. Para Pottmann e Pearson (1998) este fator, aliado a dificuldade 

para a seleção dos modelos e, em alguns casos o número excessivo de parâmetros são as 

principais desvantagens desta técnica. Por outro lado, a relativa facilidade na obtenção e a 

possibilidade em escolher estruturas mais adequadas para o projeto de sistemas de controle, 

apresentam-se como vantagens nesta técnica de modelagem. 

Estes dois grupos podem ser interpretados como os dois extremos das técnicas de 

modelagem. No entanto, conforme Lindslong e Ljung (1994) ressaltam um avanço no 

interesse em desenvolver e aprimorar métodos de identificação que permitam incorporar 

informações adicionais que se tenha sobre o sistema durante sua investigação, e não apenas 

dados. Sobre isso Aguirre, Rodrigues e Jacomé (1998) afirmam que, 

Procedimentos com esta característica são denominados métodos de “identificação 

caixa-cinza” e são especialmente interessantes porque não exigem do usuário um 

profundo conhecimento “a priori” do processo, mas permitem a utilização de 

conhecimento prévio. Isso normalmente resulta em melhores modelos e, 

principalmente, modelos fisicamente mais significativos. 

Neste sentido, este tipo de informação a priori auxilia na obtenção de modelos mais 

concisos. Este tipo de informação varia conforme o caso, o que permite quantificar a 

47

identificação caixa-cinza em métodos claros e escuros. Uma síntese das vantagens e 

desvantagens de cada técnica de identificação é apresentada na Figura 22. 

Figura 22 - Representação pictórica das dificuldades de cada classe de modelos 

3.2 Classificação dos modelos dinâmicos 

Fonte: Corrêa e Aguirre (2004) 

Um modelo de um sistema dinâmico consiste em uma representação por elementos e 

operadores matemáticos que permitam analisar e prever com certo grau de precisão o seu 

48

comportamento futuro. A dinâmica consiste na existência de propriedades que relacionem 

valores passados e futuros, de variáveis de saída e entrada. Ou seja, relacionam variáveis que 

levam em consideração a sua dependência temporal. Segundo Aguirre (2004) todo o sistema 

real é dinâmico. No entanto, quando a sua dinâmica (variações no tempo) não for relevante, 

tais modelos podem ser descritos por sistemas estáticos. 

Conforme Ljung (1999) e Aguirre (2004) os modelos dinâmicos podem ser 

classificados de várias formas. Para sua distinção pode-se citar algumas características. Desta 

forma, uma possível classificação pode ser considerada como: 

Modelos Lineares e Modelos Não-Lineares: modelos lineares satisfazem o princípio 

da superposição (princípio da homogeneidade mais o princípio da aditividade). Estes 

modelos apresentam ainda a mesma forma de comportamento independente do ponto 

de operação. Sistemas lineares são mais simples de serem tratados. No entanto, a 

negligência de certas não-linearidades presentes pode comprometer a análise do 

sistema. Caso os modelos não satisfazem o princípio da superposição, os mesmos são 

classificados como não-lineares. Nesta situação é possível verificar inúmeros 

fenômenos específicos em virtude das não-linearidades presentes. Em síntese, todo o 

sistema é em princípio não-linear. No entanto, em inúmeros casos é possível linearizar 

estes sistemas em torno de um ponto de operação, aproximando-o a um sistema linear. 

Modelos Contínuos e Modelos Discretos: esta classificação é baseada nas 

características da variável independente temporal. Para modelos cuja sua evolução é 

observada continuamente, para qualquer intervalo de tempo são denominados como 

modelos contínuos. Estes são modelados por equações diferenciais. Modelos discretos 

tendem a sua evolução há instantes isolados de tempo devido a sua observação, 

intervalos de tempo ou eventos discretos (amostragem). Na natureza quase todos os 

processos são contínuos, porém em várias situações é interessante a discretização. 

Estes modelos são representados por equações a diferenças. Estas equações são mais 

fáceis de resolver em computador, pois podem ser calculadas recursivamente, ou seja, 

solução obtida numericamente. 

Modelos de Parâmetros Concentrados e Modelos de Parâmetros Distribuídos: O 

primeiro caso consiste em modelos de sistemas onde seu comportamento varia 

unicamente em função do tempo, sendo seus parâmetros constantes. Estes sistemas 

são descritos por equações diferenciais ditas ordinárias (ODE – Ordinary Differential 

49

Equations). No segundo caso, existe mais de uma variável independente como a 

posição espacial ( ). Se os parâmetros mudam de acordo com a variação destas 

coordenadas este modelo é dito de parâmetros distribuídos e representado por um 

conjunto de equações diferenciais parciais (PDE – Parcial Differential Equations). 

Modelos Paramétricos e Modelos Não-Paramétricos: modelos que relacionam a 

entrada e a saída por intermédio de um conjunto de parâmetros (números ou 

coeficientes) são denominados modelos paramétricos. Em contrapartida, os métodos 

não-paramétricos objetivam representações gráficas de um sistema. 

Modelos Determinísticos e Modelos Estocásticos: esta classificação é baseada quanto 

às incertezas presentes no contexto de um problema real. Modelos determinísticos 

possuem certeza nos dados de seu comportamento. No entanto, modelos estocásticos 

possuem certo nível de incerteza, na forma de variáveis aleatórias na saída do sistema. 

Modelos Autônomos e Modelos Não-Autônomos: modelos que não dependem 

explicitamente do tempo, ou ainda, sistemas que não apresentam sinais de entrada de 

forma explícita são denominados de modelos autônomos. Caso contrário, modelos que 

apresentam entradas e saídas bem definidas são caracterizados como não-autônomos. 

Modelos Monovariáveis e Modelos Multivariáveis: modelos que apresentam relação 

(causa e efeito) em um par de variáveis, ou seja, uma única entrada e saída são ditos 

como monovariáveis. Estes são conhecidos pela sigla SISO (single input, single 

output). Os modelos multivariáveis podem ser classificados conforme o número de 

entradas e saídas. A sigla MISO (multiple inputs, single output) refere-se a modelos 

com múltiplas entradas e uma saída. SIMO (single input, multiple outputs) para 

modelos com uma única entrada e várias saídas. E por fim, MIMO (multiple input, 

multiple outputs) para modelos com várias entradas e saídas. 

Modelos Causais e Modelos Antecipativos: um modelo é dito causal, quando o 

sistema dinâmico começa a responder a uma excitação no momento em que esta é 

efetivamente aplicada ao sistema. Em contrapartida, um sistema antecipativo (ou não- 

causal) é capaz de responder antes da aplicação dos sinais de entrada. Ainda que possa 

ser possível representar matematicamente modelos não-causais, nenhum sistema físico 

tem esta capacidade. Assim, todo o sistema físico real na natureza é causal. 

50

Modelos Variantes e Invariantes no Tempo: para o caso dos parâmetros de um 

modelo, sejam eles, concentrados ou distribuídos serem constantes ao longo do tempo, 

o modelo é denominado como invariante. Por outro lado, se os parâmetros são funções 

temporais o mesmo é considerado variante no tempo. 

3.3 Representação linear de sistemas dinâmicos 

Conforme ressalta Aguirre (2004) existem várias formas de representar os modelos 

matemáticos. As principais representações são a resposta ao impulso, à resposta em 

frequência, à Função de Transferência (FT), a representação no espaço de estados e as 

representações discretas. O autor afirma que “uma destas representações mais importantes na 

modelagem de sistemas dinâmicos lineares é a função de transferência”. 

De forma geral, um sistema dinâmico linear contínuo e invariante no tempo é descrito 

por equações diferenciais ordinárias lineares na forma representada pela equação (3) 

sendo a ordem da derivada do sinal de saída e entrada respectivamente, a variável 

dinâmica de saída, e de entrada, ou seja, o sinal de excitação. Os coeficientes e 

relacionam os sinais de entrada e saída, ou seja, os parâmetros físicos do sistema. 

Segundo Aguirre (2004) “funções de transferência são funções que modelam o 

comportamento dinâmico de um par, entrada-saída de um sistema, ou seja, descrevem como 

uma determinada entrada é dinamicamente “transferida” para a saída do sistema”. Por 

definição, a FT de um sistema contínuo é a Transformada de Laplace da sua 

resposta ao impulso do sistema conforme a representação dada pela equação (4) 

∫ 

ou ainda, a FT é definida como a relação das transformadas de Laplace da saída e da entrada 

quando todas as condições iniciais são nulas. Assim, a FT da equação (3) é dada conforme (5) 

51 

(3) 

(4)

As raízes do polinômio são denominados de zeros e são dados por 

valores são dados por 

3.3.1 Representações discretas 

. Em contrapartida, as raízes do polinômio são chamados de pólos e seus 

As representações matemáticas são voltadas essencialmente à identificação de 

sistemas usando algoritmos para a estimação de parâmetros. Neste caso, a classe de modelos é 

denominada de modelos paramétricos. Dado um vetor de observações de entrada e saída do 

processo, objetiva-se obter os parâmetros do modelo que melhor descrevem o processo. 

Conforme Aguirre (2004) a estrutura geral de modelos paramétricos pode ser definida 

pelo conjunto de equações a seguir: 

onde é a FT do processo e , a FT do ruído, e ruído branco (variável aleatória). 

Considerando que os polinômios e são definidos como: 

sendo o operador de atraso, de forma que , e são 

as ordens dos respectivos polinômios. corresponde aos pólos comuns entre a modelagem 

52 

(5) 

(6) 

(7) 

(8) 

(9)

da dinâmica do sistema e a modelagem do ruído (útil nos casos que se assume que o ruído 

entra no sistema junto com a entrada). representam pólos e zeros que afetam 

somente a entrada, e os pólos e zeros que afetam somente o ruído. Desta forma, 

é possível elaborar uma família de modelos discretos lineares, conforme apresentado na 

Tabela 1. A forma estrutural depende dos polinômios na expressão (6) serem iguais a um. 

Tabela 1 - Representações de modelos discretos utilizando Identificação de Sistemas 

Polinômio no 

Modelo Geral 

Fonte: Ljung (1999) 

3.4 Modelo linear dos atuadores MEMS 

Nome do Modelo 

FIR (Resposta ao impulso finito) 

AR (Autoregressivo) 

ARX (Autoregressivo com Entradas Exógenas) 

ARMAX (Autoregressivo com Média Móvel e Entradas Exógenas) 

ARMA (Autoregressivo com Média Móvel) 

ARARX (Ruído Autoregressivo em um modelo ARX) 

ARARMAX (Ruído Autoregressivo em um modelo ARMAX) 

OE (Erro na saída) 

BJ (Box-Jenkins) 

Neste trabalho o modelo matemático proposto baseia-se no modelo analítico clássico 

que descreve o comportamento do microtransdutor eletromecânico MEMS proposto por Tang, 

Nguyen e Howe (1989). Este modelo relaciona o conjugado, força aplicada versus 

deslocamento obtido, que pode ser representado na forma de diagrama de blocos, conforme 

apresenta a Figura 23. 

Figura 23 - Concepção do modelo analítico dos atuadores eletrostáticos MEMS 


53

Os três blocos da Figura 23 representam as três equações embarcadas no próprio 

modelo. Uma das equações descreve o comportamento elétrico e a outra mostra o 

desempenho mecânico. A terceira faz o acoplamento entre as duas primeiras, ou, entre as 

diferentes formas de energia. A relação estabelecida entre os fluxos de energia, elétrico e 

mecânico da Figura 23, também é representada através de um diagrama de corpo livre, 

resultado da aplicação da Segunda Lei de Newton, conforme pode ser visto na Figura 24. 

Figura 24 - Atuador eletrostático MEMS. (a) parâmetros concentrados; (b) corpo livre 

(a) (b) 

Fonte: Adaptado de Reimbold (2008) 

Através da análise da Figura 24, pode-se observar que o comportamento mecânico é 

descrito pela inércia do corpo „ ‟, o amortecimento „ ‟ e a rigidez ou elasticidade „ ‟ da 

estrutura, à qual é aplicada uma força de índole eletrostática. Portanto, o modelo matemático 

que decorre da análise do corpo livre e que a literatura técnica atribui é uma ODE de segunda 

ordem, linear e de parâmetros invariantes no tempo e não-homogênea. Esta representação tem 

sido atribuída indiferentemente a sensores ou atuadores. As expressões (10) e (11) definem o 

modelo para o domínio de tempo contínuo e discreto respectivamente, onde „ ‟ são os 

instantes de tempo e „ ‟ são os intervalos. 

Esse modelo proposto é válido para sistemas que incorporam o atuador e o sensor 

simultaneamente. A vibração ou movimento imposto ao comb-drive é consequência da 

aplicação de um campo elétrico. Conforme destaca Schmidt et al., (2004) as não-linearidades 

54 

(10) 

(11)

são inerentes a maioria destas microestruturas. No entanto, o capacitor de atuação longitudinal 

mostra-se como uma exceção a regra. Conforme apresentado na equação (12), a capacitância 

é diretamente proporcional ao deslocamento da estrutura. 

onde 

representa a capacitância em função do deslocamento; 

a permissividade do meio; 

a distância entre as placas, ou “dedos”; 

é o valor da espessura dos “dedos”; 

deslocamento dos “dedos”; 

O "2" na equação é (12) é devido à capacitância das placas fixadas em ambos os lados. 

A energia eletrostática armazenada em um capacitor pela aplicação de uma 

diferença de potencial é dada pela expressão (13) 

e a força eletrostática entre as placas ou conjunto de “dedos” interdigitados pode ser 

determinada através da diferenciação da função de energia em relação a coordenada da 

direção da força, da seguinte forma e expressa pela equação (14) 

( 

. 

A partir da solução da equação (10) pode-se obter tanto a frequência natural do 

sistema , como a frequência com amortecimento , definidas através das expressões (15) e 

(16), 

) 

/ 

55 

(12) 

(13) 

(14)

√ 

√ 

assim, analisando a equação (15) verifica-se que a frequência natural do sistema depende, das 

características geométricas e das propriedades dos materiais que formam a estrutura. Neste 

sentido, torna-se importante a determinação dos parâmetros físicos para estabelecer o 

comportamento destes atuadores, bem como, a avaliação coerente de seu funcionamento. 

3.5 Modelagem caixa-cinza 

Para os MEMS, inicialmente, Tang, Nguyen e Howe (1990) no projeto do comb-drive 

utilizou-se da modelagem caixa branca, ou modelagem pela física. Por outro lado, 

Wolfram et al., (2005) destacou a utilização das técnicas de modelagem caixa preta, 

manipulação de dados, como alternativa para a modelagem de MEMS. Entretanto, 

combinando as vantagens destas duas formas de modelagem, têm-se conseguido progressos 

no sentido de melhorar a maneira de obter-se o modelo comportamental destes dispositivos. 

Assim, na identificação caixa cinza, além dos dados de entrada e saída obtidos do 

sistema, algum outro tipo de informação a priori são usados na extração do modelo 

matemático, conforme mostrado na Figura 25. Segundo Corrêa e Aguirre (2004) os principais 

pontos a favor desta forma de identificação na literatura técnica são: (i) diminuição do número 

de parâmetros nos modelos, (ii) maior capacidade de reproduzir características fora dos dados 

de identificação, (iii) maior robustez, e (iv) maior adequação para o desenvolvimento de 

sistemas de controle. 

Figura 25 - Identificação de sistemas 

Fonte: Reimbold (2008) 

56 

(15) 

(16)

Segundo Aguirre (2004) o processo de modelagem caixa preta é dividido em cinco 

etapas principais que são aplicadas à modelagem caixa cinza. Estas etapas são: testes 

dinâmicos e coleta de dados, escolha da representação matemática a ser usada, determinação 

da estrutura do modelo, estimação dos parâmetros e validação do modelo. Neste trabalho 

investigativo, as elastomassas são consideradas como um sistema linear, o que permite 

estudar seu desempenho em uma faixa relativamente estreita de operação. 

3.5.1 Seleção de testes dinâmicos e coleta de dados 

Os dados utilizados para identificar os sistemas dinâmicos são chamados de dados de 

identificação. Estes são gerados a partir de medições da resposta de sistema, de acordo com o 

sinal (excitação) pré-estabelecido em sua entrada. Eles devem conter a informação necessária 

sobre o sistema a ser modelado. Logo, espera-se que exista uma correlação significativa entre 

as variáveis que explique a relação causa e efeito presente nos dados. Conforme cita Aguirre, 

Rodrigues e Jacomé (1998) “o sinal de excitação deve apresentar espectro suficientemente 

amplo de frequência e amplitude de tal forma que excursione o sistema pelos regimes 

dinâmicos de interesse”. 

Segundo Aguirre (2004) nesta etapa alguns aspectos fundamentais devem ser 

observados. A realização dos testes dinâmicos e especificação dos ensaios envolve a definição 

dos sinais a serem medidos e ambiente de manipulação, caracterização dos sinais de excitação 

e a escolha do intervalo de amostragem são itens que devem ser criteriosamente analisados. 

3.5.1.1 Plataforma de teste 

A coleta de dados é realizada a partir da plataforma de testes desenvolvida no 

aplicativo ANSYS (Analysis System). Esta ferramenta computacional permite fazer diferentes 

tipos de análises pelo método de Elementos Finitos (FEM – Finite Element Method) e 

Elementos de Fronteira (BEM – Boundary Element Method). Segundo Swanson (1998) dentre 

estas análises destacam-se: Estática, Modal, Harmônica, Espectral, Dinâmica Transiente e 

análise de Flambagem. 

O aplicativo ANSYS apresenta uma ampla gama de capacidades de simulação de 

engenharia. O ambiente de plataformas de simulação unificada e personalizável permite que 

engenheiros realizem de forma eficiente simulações complexas que envolvem a interação de 

múltiplos domínios. Desta forma, o software de simulação é utilizado para prever como se 

57

comportará projetos de produtos, e como processos de fabricação serão operados em 

ambientes do mundo real. O mesmo fornece a qualidade para analisar os projetos no menor 

tempo possível e ter a certeza de resultados precisos. Seu prestígio a nível acadêmico garante 

caracterizar as simulações desenvolvidas como sendo a parte experimental do trabalho. 

Para a simulação de deformação de sólidos dispõe-se de elementos como o SOLID45 

e o SOLID95, entre outros. O SOLID45 é um elemento que tem plasticidade, dilatação, 

rigidez, estresse, deflexões e deformação. A simulação da elastomassa MEMS no aplicativo 

ANSYS, bem como, a geometria, a localização dos nodos e o sistema de coordenadas de cada 

elemento são apresentados respectivamente na Figura 26. 

Figura 26 - Geometria do elemento SOLID45 

Fonte: Adaptada de Swanson (1998) 

Para a estrutura comb-drive seguindo o proposto por Reimbold (2008) o dispositivo 

pode ser implementado utilizando-se diferentes soluções que envolvem forças eletrostáticas e 

estruturas mecânicas. No entanto, neste trabalho o elemento utilizado é o TRANS126. 

Segundo ANSYS o elemento é adequado para simular a resposta eletromecânica de 

dispositivos MEMS. Na Figura 27 é apresentado o elemento, onde e são as 

nomenclaturas dadas aos nodos, e . Estes nodos representam os capacitores, 

gap a distância entre as placas do capacitor e por fim, a rigidez do dispositivo. 

Figura 27 - TRANS126. (a) banco capacitivo; (b) símbolo; (c) equivalente mecânico 

(a) (b) (c) 


58

O TRANS126 é um elemento concentrado o qual converte energia eletrostática de seu 

domínio em um domínio estrutural e vice-versa e ao mesmo tempo, permite o armazenamento 

de energia. Em síntese, o TRANS126 representa a resposta capacitiva do dispositivo ao 

movimento em uma direção. As forças eletrostáticas são obtidas da derivada da capacitância 

como função da distância, cuja análise pode ser realizada a partir da Figura 28. 

Figura 28 - Características do TRANS126. (a) capacitância x deslocamento; (b) repulsão eletromecânica 

(a) (b) 

Fonte: Adaptada de ANSYS ([s.d]) 

A capacitância do elemento TRANS126 do ANSYS é definida por meio da expressão 

(17). Logo, a força eletrostática é calculada através da equação (18) 

3.5.1.2 Experimentação do sistema 

[ 

Os sinais de excitação aplicados ao sistema devem ser projetados para satisfazer o 

melhor conjunto de propriedades que garantirão a adequabilidade dos dados obtidos. Segundo 

Leontaritis e Billings (1987) na prática os sinais utilizados para excitar os sistemas são sinais 

binários pseudo-aleatórios (PRBS), especialmente para sistemas lineares. Ondas quadráticas e 

ruído branco, que contém um espectro de frequência relativamente largo também podem ser 

utilizados. Além destes, pode-se citar os sinais sinusoidal, degrau e impulso. 

A amplitude do sinal de teste é também um fator extremamente importante nesta 

etapa. Este é o responsável por levar o sistema a diferentes regiões de operação. No caso dos 

sistemas lineares, deseja-se aplicar uma amplitude que seja a menor possível para não excitar 

] 

59 

(17) 

(18)

as não-linearidades dos sistema. No entanto, ao mesmo tempo, seu valor deve ser 

suficientemente grande para garantir uma boa relação sinal-ruído. As propriedades dos dados 

selecionados na fase de testes e utilizados em seguida na estimação dos parâmetros são 

relevantes para garantir a qualidade do modelo estimado. 

3.5.1.3 Tempo de amostragem 

A escolha da realização dos testes é um problema relacionado além dos sinais de 

excitação, ao tempo de amostragem. A forma de modelagem computacional requer uma 

quantidade finita de amostras. Logo, torna-se necessário registrar as variáveis contínuas do 

sistema na forma discreta no tempo. Portanto, tais variáveis devem ser amostradas. 

Segundo Aguirre (2004) “o período entre duas amostras é chamado de período ou 

tempo de amostragem, ”. Esta importância quanto ao é devida ao fato em que tempos de 

amostragem diferentes, geram modelos diferentes. Se for demasiadamente curto, tende-se a 

obter dados superamostrados. Desta forma, as sucessivas medições tendem a estar 

correlacionadas, as quais poderá tornar a estimação dos parâmetros mal condicionada. Por 

outro lado, caso a obtenção dos dados torna-se subamostrados pode-se levar a uma perda de 

informação dinâmica entre uma amostra e outra. Em consequência disso, tem-se uma redução 

na qualidade do modelo estimado. 

Para os sinais amostrados, e reter as características fundamentais do sinal 

original, é necessário que o seja suficientemente curto. Uma forma de estabelecer este 

critério é obedecer ao teorema de Shannon/Nyquist definido através da equação (19) 

onde: é a frequência de amostragem, e é a frequência do sinal a ser amostrado. Assim, 

conforme Shannon (1949) deve-se garantir que a frequência de amostragem seja maior que o 

dobro da maior frequência do sinal original para evitar o falseamento do sinal amostrado. 

3.5.2 Discretizadores 

A transformação do desempenho analógico para o discretizado, através de 

processadores digitais é fundamental na obtenção do modelo matemático comportamental dos 

MEMS. Logo, sua importância é relevante em todo o processo de identificação. A formação 

60 

(19)

do vetor de regressores , necessário à estimação dos parâmetros do modelo matemático 

está diretamente vinculada ao método de discretização utilizado no processamento dos dados. 

Portanto, a eficácia do modelo proposto está relacionada à escolha do melhor discretizador. 

A discretização ou amostragem do sinal de um sistema consiste na transformação de 

uma representação no domínio de tempo contínuo para o tempo discreto. Esta é realizada por 

meio de amostragem de tempo e da quantização em amplitude, passíveis de serem tratadas por 

computadores digitais. Por outro lado, a passagem do tempo discreto para o domínio contínuo 

é denominada de reconstrução do sinal. 

Entre as formas de sinais disponíveis Ogata (1995) cita os sinais analógicos em 

tempos contínuos definidos para qualquer instante de tempo, cuja amplitude varia 

continuamente. Sinais em tempo contínuo quantizado, onde a amplitude somente pode 

assumir valor pré-determinados. Sinais discretizados que assumem valor em instantes de 

tempo determinados. E por fim, discretizados quantizados, que são sinais discretizados que 

unicamente podem assumir determinados valores de amplitude. Estas formas de sinais são 

apresentadas na Figura 29. 

Figura 29 - Tipos de sinais. (a) contínuo; (b) contínuo quantizado; (c) discretizado; (d) discretizado quantizado 

(a) (b) 

(c) (d) 

Fonte: Adaptada de Ogata (1995) 

61

Na análise de sistemas em tempo contínuo uma das ferramentas matemáticas uteis é a 

utilização da Transformada de Laplace com o uso da frequência complexa . De forma 

análoga, em sistemas discretos, a alternativa frequentemente utilizada na análise destes 

sistemas é a Transformada . E ambas relacionadas à Transformada de Fourier . 

Semelhantemente a , a utiliza-se da frequência complexa que neste caso é . No entanto, 

são baseadas em séries de potência, nas „Séries de Laurent‟, ou seja, uma representação de um 

sinal por séries de potência generalizando a conhecida expansão em séries de Taylor. A 

utilização da é vital para o desenvolvimento dos modernos sistemas de controle discretos, 

em especial, em processos de amostragem, processamento de sinais digitais e discretização de 

sistemas e controladores. 

Seja uma função temporal contínua e seu correspondente sinal discreto , 

conforme apresentado na Figura 30, 

Figura 30 – Discretização no tempo de um sinal contínuo 


onde é a soma de todas as amostras impulsivas conforme equação (20) 

desta forma, 

∑ 

Aplicando a em (20), e sabendo-se que a do delta de Dirac é dado por 

{ { }} ∫ 

{ ( )} {∑ 

} 

62 

(20) 

(21) 

(22)

{ ( )} ∑ { } 

{ ( )} ∑ 

Segundo Ogata (1995) com um simples ajuste na notação, tomando , a de 

uma função temporal contínua definida positivamente, ou de uma sequência de valores 

, tendo para valores inteiros positivos, e o período de amostragem é definido pela 

equação (25), conhecida como unilateral, 

uma variável complexa e indica no momento em que ocorre a amplitude . Assim, 

a transforma uma sequência em uma função da variável complexa . 

A expressão estabelece um mapeamento biunívoco entre os espaços das 

funções contínuas e discretas, conforme apresentado na Figura 31. Sendo uma função de 

variável complexa, é conveniente representá-la no plano complexo . Neste plano, a região 

| | corresponde ao círculo de raio unitário. Os valores de para os quais existe a , ou a 

série converge são chamados Região de Convergência. A partir deste plano é possível entre 

outros fatores verificar a estabilidade do sistema discreto. Além disso, de forma similar ao 

processo de obtenção da FT de uma função no domínio contínuo através da , a FT para 

∑ 

o tempo discreto é obtida a partir da utilização da . 

Figura 31 - Mapeamento exponencial entre e 


63 

(23) 

(24) 

(25)

Conforme apresenta Soares (1996) existem vários métodos que facilitam a 

discretização, de forma que a transformação de contínuo para o discreto seja a mais exata 

possível. Cada método apresenta uma forma distinta do tipo de aproximação numérica 

utilizada. Neste trabalho são utilizados os métodos: Forward Difference (FwD), Backward 

Difference (BwD), Invariância ao Impulso (MII), o método de retentores de ordem zero (Zero 

Order Hold - ZOH) e o método de Tustin. 

Cada um destes discretizam a FT do sistema analógico com diferentes números de 

fatores de regressão e tempos de atraso. A escolha destes métodos é baseada nas técnicas 

clássicas de discretização disponíveis na literatura. Sua escolha também está relacionada com 

a facilidade da implementação computacional. Para efeito de comparação e escolha do melhor 

método, deve-se levar em conta o que se espera do algoritmo de sistema discretizado em 

comparação com o desempenho do sistema analógico. Nas subseções seguintes será 

apresentada a formulação matemática dos métodos de discretização utilizados neste trabalho. 

3.5.2.1 Forward Difference 

Este método, também conhecido como método de Euler consiste em aproximar a 

derivada do sistema contínuo , 

pela equação (26) 

64 

por uma aproximação à equação de diferenças dada 

onde corresponde ao período de amostragem dos dados. Considerando um sistema 

contínuo na seguinte forma, 

cuja transformada de Laplace fornece a FT representa pela equação (28), 

A aproximação discreta substituindo (26) em (27) é dada por 

(26) 

(27) 

(28)

de onde tem-se que 

organizando a equação (31) chega-se em, 

comparando (28) com (32), para obter a FT discreta a partir de , basta fazer a 

substituição de variáveis dos planos e , conforme apresentado na equação (33) 

[ 

No entanto, Soares (1996) ressalta que “a simplicidade deste método contrasta com a 

possibilidade que o mesmo introduz de transformar um sistema contínuo estável, em um 

sistema discreto instável”. 

3.5.2.2 Backward Difference 

] 

De forma análoga ao método anterior, este processo também conhecido como método 

diferencial permite aproximar a derivada do sistema contínuo dado pela equação (27), por 

uma aproximação discreta que obedece a relação representada pela equação (34), 

Aplicando a transformada em (34) e considerando o domínio discreto e o 

domínio contínuo, de modo que , é possível realizar a substituição da variável 

65 

(29) 

(30) 

(31) 

(32) 

(33) 

(34)

pela variável na FT contínua , conforme a expressão apresentada na equação (35), 

permitindo a obtenção da FT discreta , 

[ 

] 

A proximidade com método anterior é aparente do ponto de vista da forma como é 

obtido e tratar-se de uma simples substituição das variáveis e . No entanto, neste caso, se o 

sistema contínuo é estável, a aplicação do BwD tornará o sistema discreto também estável. 

3.5.2.3 Tustin 

A aproximação de , também conhecida como método bilinear é baseado na 

aproximação numérica de integração na forma trapezoidal. Semelhante aos processos 

anteriores, este consiste também em um mapeamento entre os domínios e . Considerando 

um sistema de primeira ordem, dado por (27) e obedece a FT dada por (28), a aproximação 

discreta pelo método de Tustin para sistema é dado pela equação a diferenças conforme a 

equação (36) 

a versão amostrada para (27), é dada pela representação (37), 

ou atrasado no tempo 

Substituindo (38) e (37) em (36) resulta 

66 

(35) 

(36) 

(37) 

(38)

de onde tem-se aplicando a 

e portanto 

( 

comparando (28), com (41), para obter a partir de , basta fazer a substituição nas 

variáveis, conforme a equação (42), 

3.5.2.4 Invariância ao impulso 

[ 

) 

67 

(39) 

(40) 

(41) 

] (42) 

Segundo Smith (2007) dada uma FT , sua forma equivalente em tempo discreto 

é obtida pelo Método de Invariância ao Impulso (MII), de forma que as respostas ao 

impulso nos instantes de amostragem sejam equivalentes à resposta ao impulso do sistema 

contínuo conforme a equação (43) 

[ ] { } (43)

3.5.2.5 Zero Order Hold 

A aproximação pelo segurador de ordem zero “Zero Order Hold” é também conhecido 

como método da invariância ao degrau. A FT discreta equivalente ao sistema contínuo 

descrito por , cuja FT é dada por é matematicamente obtida de acordo com a 

equação (44), e segue a representação como apresentado na Figura 32, 

{ { 

Figura 32 - Sinal amostrado com segurador ZOH 

}| 


A função do segurador de ordem zero consiste em reter o último valor amostrado de 

. Sendo o sinal amostrado ideal representado por uma sequência de funções delta, o 

ZOH fornece uma aproximação em escada para . A saída do sistema é uma sequência de 

funções degrau cuja amplitude é no instante de amostragem, ou seja, . 

3.5.3 Escolha da representação matemática 

A escolha da representação matemática de um modelo recai sobre inúmeras 

possibilidades existentes na literatura, e algumas destas apresentadas na subseção 3.3.1. 

Considerando a identificação de sistemas lineares, para as microestruturas MEMS, 

prevalecerá a escolha do modelo que possibilite uma melhor representação do sistema em 

estudo. Neste sentido, as representações ARX (Autoregressive with Exogenous Inputs), e 

ARMAX (Autoregressive Moving Avarege with Exogenous Inputs) são as que melhor se 

adequam ao modelo. Ambas consideram o erro na equação, passivo de acontecer em 

estruturas cujas dimensões são de ordem micrométrica. 

} 

68 

(44)

3.5.3.1 Representação ARX 

A representação ARX é obtida a partir da equação do modelo geral (6), tomando 

. Seu modelo matemático obedece à expressão (45). O mesmo pode 

ser visualizado por meio de diagrama de blocos, conforme apresentado na Figura 33. 

ou reescrita conforme as equações (46) ou (47) 

onde em (47), 

é a saída do processo no instante ; 

é a entrada do processo no instante ; 

é o erro do processo no instante ; 

são os coeficientes do polinômio que relacionam a saída no instante atual com 

as saídas anteriores; 

são os coeficientes do polinômio que relacionam a saída no instante atual com 

as entradas anteriores. 

Figura 33 - Representação esquemática do modelo ARX. (a) equivalente à equação (46); (b) representada em 

novo formato após algumas operações matemáticas 

(a) (b) 

Fonte: Adaptada de Aguirre (2004) 

69 

(45) 

(46) 

(47)

Pela equação (46) percebe-se que o modelo ARX é adequado para representar uma FT 

entre a entrada e a saída perturbada por uma variável exógena entrando no 

sistema (Figura 33 (a)). Esta variável visa representar o erro de representação do modelo. O 

ruído que atua sobre o sistema que é adicionado na saída não é mais 

branco, pois o ruído branco original atuante sobre o sistema passa pelo filtro 

autoregressivo , com pólos idênticos aos do processo, que são as raízes do polinômio 

. 

3.5.3.2 Representação ARMAX 

O modelo autoregressivo com média móvel e entradas exógenas, de forma análoga ao 

modelo ARX a partir da representação geral discreta (6), tomando-se e . No 

entanto, neste caso há a inserção do polinômio arbitrário , além dos existentes e 

nos modelos ARX. Desta forma, o modelo matemático ARMAX considera a 

modelagem do ruído correlacionado, e obedece á expressão (48), 

ou reescrito conforme (49) ou (50) 

onde 

c q c q C 

1 

( ) 1 

representa o polinômio que contém os pólos e zeros que 

1 

nv 

nvq 

afetam o ruído. Desta forma, O modelo ARMAX fornece uma flexibilidade extra para a 

modelagem do ruído em relação ao modelo ARX. A atuação da variável exógena no modelo é 

realizada através de um processo autoregressivo e média móvel. A representação ARMAX 

torna-se mais genérica, uma vez que considera o erro na equação modelado com um processo 

de média móvel para a determinação do estado futuro. Além disso, o ruído adicionado a saída, 

, é modelado como ruído branco filtrado pelo filtro ARMA, , assim 

, conforme apresentado na forma de diagrama de blocos, na Figura 34, 

70 

(48) 

(49) 

(50)

Figura 34 - Representação esquemática do modelo ARMAX. (a) equivalente à equação (49); (b) representada em 

novo formato após algumas operações matemáticas 

(a) (b) 

Fonte: Adaptada de Aguirre (2004) 

3.5.4 Determinação da Estrutura do Modelo 

Nesta fase é escolhido o valor da ordem do modelo proposto. Esta escolha é 

extremamente importante para adequada estimação dos parâmetros. A escolha equivocada da 

ordem do modelo pode não representar a sua complexidade estrutural, bem como, torná-la 

mal condicionada. No caso deste trabalho, esta escolha é baseada no conhecimento a priori do 

modelo analítico dos atuadores eletrostáticos da expressão (10), ou seja, o conhecimento 

físico do processo. Conforme cita Aguirre (2004) “no caso de modelos lineares, a escolha da 

sua estrutura se restringe, basicamente, à escolha do número de pólos e zeros”. 

3.5.5 Estimação dos parâmetros 

Esta etapa do processo de identificação de sistemas consiste em estimar (determinar), 

os parâmetros que compõem a representação do modelo matemático. O processo de estimar 

os parâmetros tende a estabelecer a associação entre a realidade física de um conjunto de 

dados (observações), sinais de entrada e saída, e a concepção abstrata do modelo. Em síntese 

o processo de estimação consiste em um problema de otimização. Pretende-se determinar um 

conjunto de parâmetros que minimize certa função custo. 

Conforme Ljung (1999) os parâmetros destas estruturas matemáticas são ajustados por 

algoritmos de estimação a partir dos dados medidos. A literatura específica dispõe de 

inúmeros métodos, algoritmos e técnicas de estimação de parâmetros. Cada um com suas 

especificações, vantagens e desvantagens quanto à eficácia no processo de estimação. 

Segundo o autor pode-se citar os métodos de mínimos quadrados e suas extensões, máxima 

verossimilhança e filtro de Kalman. Neste trabalho, será adotado o método de Mínimos 

71

Quadrados Clássico (MQ), também conhecido como ordinário, do inglês (Ordinary Lest 

Square - OLS), além da versão estendida, método de Mínimos Quadrados Estendido (MQE) 

(Extended Least Square – ELS). Para ambos os algoritmos, será aplicada as versões em 

batelada (batch) e recursiva para a estimação dos parâmetros dos modelos discretos das 

microestruturas MEMS. 

O método dos MQ é um dos mais conhecidos e utilizados processos de estimação. A 

partir de sua concepção proposta pelo matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss 

(1777 – 1855), inúmeros outros estimadores forem concebidos. A escolha por este método se 

justifica pela relação linear entre a entrada e saída, além da facilidade de implementação e 

eficiência na estimação de parâmetros de sistemas lineares. Este processo, pode ainda, ser 

estendido a representação não-lineares, levando em conta algumas especificações. 

3.5.5.1 Estimador de mínimos quadrados 

Considerando um sistema físico caracterizado por uma entrada, , e uma saída, 

, conforme a Figura 25. Supondo-se que o sistema possa ser modelado cuja representação 

por equações a diferenças é dada pela equação (51) 

( ) 

o mesmo pode ser escrito de uma forma mais compacta conforme a equação (52), 

72 

(51) 

̂ (52) 

onde é o vetor de regressores que obedece ao discretizador utilizado, e ̂ é o vetor que 

contém os parâmetros a serem identificados, dados respectivamente pelas expressões (53) e 

(54). A dimensão do vetor de parâmetros é dada por . E ainda considera-se 

como o erro do modelo assumido de média nula. 

[ ( )] 

ou ainda, em termos de ̂, conforme (55) 

̂ 

(53) 

(54)

̂ [ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (55) 

Admitindo que sejam realizadas medidas, suficientes para estimar o conjunto de 

elementos do vetor ̂, tem-se a equação representada por (56) 

[ 

] 

[ 

] 

[ ̂] 

O método dos MQ tem por objetivo estimar ̂ de modo a minimizar a função custo 

dado pela equação (58). Ou seja, representa somatório do quadrado das diferenças entre os 

valores observados, e as respectivas estimativas. Estas diferenças são chamadas de resíduos, 

conforme a equação (57), 

a qual pode ser expressa por (59) e (60) 

̂ 

∑( ̂) 

( ̂) ( ̂) 

̂ ̂ ̂ ̂ 

onde , a fim de minimizar a função custo em relação a ̂, é necessário resolver 

Logo, tem-se as expressões (61) e (62) 

̂ ̂ 

̂ ̂ 

[ 

] 

̂ . 

73 

(56) 

(57) 

(58) 

(59) 

(60) 

(61) 

(62)

considerando que as relações (63) e (64) são verdadeiras, no caso de uma matriz e os 

vetores e , tem-se 

desta forma, determina-se a equação (65) 

74 

(63) 

(64) 

̂ (65) 

Conforme Aguirre (2004) pode-se garantir pela equação (65) obtém-se a estimativa 

para o vetor de parâmetros , uma vez que ela representa o mínimo da função custo , visto 

que satisfaz a relação (66), 

̂ (66) 

pois, é definida positiva por construção. Desta forma, a equação (65) é o estimador que 

fornece o valor de ̂ que minimiza o somatório dos quadrados dos erros. 

A descrição do algoritmo de estimação por MQ pode ser classificado quanto à forma 

em que o conjunto de dados são computados. A aplicação direta da equação (65) é conhecida 

como processo em batelada ou (batch). Neste processo os dados de entrada e saída são 

medidos, armazenados e processados de uma única vez, para obter os parâmetros desejados. 

Neste caso, como todo o processo é realizado de forma única, não a limitação do tempo de 

execução. Porém, este procedimento requer grande quantidade de memória e demanda um 

aumento no esforço computacional conforme o tempo de ensaio. 

Diferentemente da versão batch, o método de Mínimos Quadrados Recursivo (MQR) 

utilizam pouca memória e baixo nível de esforço computacional. O processo consiste em 

estimar de forma sequencial a cada período de amostragem um conjunto de parâmetros. Neste 

caso, a cada , novas medidas dos sinais de entrada e saída tornam-se disponíveis e são 

processadas. Assim, o algoritmo torna-se um processo interativo. Isso torna os métodos 

recursivos extremamente uteis, além da possibilidade de resolução de problemas numéricos 

cuja solução em batelada seria difícil.

Conforme cita Aguirre (2004), “os termos estimação recursiva e estimação em 

batelada dizem respeito ao algoritmo”. No entanto, estimação on-line e off-line são expressões 

designadas quanto à obtenção dos dados. Estes termos são comumente usados para indicar 

algoritmos executados em tempo real ou não. Aguirre (2004) ressalta que, 

[...] a denominação tempo real refere-se ao fato do processamento (que tanto pode 

ser recursivo como em batelada) ocorrer suficientemente rápido de maneira que o 

resultado esteja disponível para influenciar o processo sendo monitorado ou 

controlado. [...] algoritmos recursivos podem ser executados em tempo real, ou não. 

Semelhantemente, algoritmos de estimação em batelada podem, em princípio, ser 

executados tanto em tempo real ou não. 

A obtenção do estimador recursivo segue o desenvolvimento apresentado a partir de 

(65). No contexto de atualização recursiva, é interessante expressar ̂ em função do último 

valor estimado, ou seja, ̂ . Um modelo para o sistema pode ser escrito conforme (67), 

75 

̂ (67) 

sendo o vetor de regressores formado na interação com informação 

disponível até a interação . Nesse sentido, o estimador de mínimos quadrados pode ser 

reescrito de acordo com a equação (68), 

̂ [∑ 

] 

[∑ 

a partir deste ponto, será utilizada a seguinte notação para a matriz de covariância : 

[∑ 

[∑ 

] 

O princípio dos algoritmos recursivos consiste em expressar as grandezas em um 

determinado instante , em função dos valores em instantes passados. Logo, 

] 

] 

(68) 

(69)

̂ [∑ 

considerando o instante , a equação (70) pode ser apresentada por (71) 

[∑ 

] ̂ [∑ 

uma forma compacta de apresentar o lado esquerdo da equação (71) pode ser escrito como 

̂ Assim, substituindo esse resultado na equação (70), tem-se, 

̂ [ 

̂ ] 

̂ *( ) ̂ + 

̂ ̂ ̂ 

̂ ̂ [ ̂ ] 

̂ ̂ 

onde uma matriz de ganho determinada a partir da covariância da rotina de 

atualização recursiva. E ̂ a inovação no instante . A 

atualização da equação (69) torna-se evidente no algoritmo recursivo a cada nova interação, 

para o novo conjunto de parâmetros estimados. A aplicação direta da equação (69) implica 

sua inversão a cada interação do algoritmo. 

Segundo Aguirre (2004) uma forma de resolver esta dificuldade pode ser obtida 

aplicando-se a seguinte identidade: 

Logo, 

] 

] 

76 

(70) 

(71) 

(72)

onde, 

ou, alternativamente, 

; ; e . Desta forma, obtém-se 

{ } 

utilizando a expressão (73) obtém-se a matriz ganho, conforme a equação (74) 

Finalmente o conjunto de equações que são utilizadas no algoritmo de estimação de 

parâmetros por MQR, é apresentado conforme o conjunto de equações (75), 

̂ ̂ [ ̂ ] 

3.6.4.2 Estimador de mínimos quadrados estendidos 

O estimador de mínimos quadrados estendido assume que as estruturas dos modelos 

são da forma ARMAX, o qual considera o ruído adicionado a saída modelado por 

⁄ . Neste caso, a simples implementação através de MQ causaria a polarização dos 

parâmetros estimados. Desta forma, o vetor de resíduos apresentaria alguma dinâmica que não 

foi devidamente explicada pelo modelo. 

A polarização em MQ surge do fato de existir correlação no vetor de resíduos e 

existirem regressores da forma no modelo. Isso acaba correlacionando a matriz de 

regressores com . Neste caso, para evitar a polarização, uma alternativa consiste a partir 

da equação (65), estender tanto na matriz de regressores , quanto no vetor de parâmetros a 

serem estimados ̂, novos termos que consideram a modelagem do erro correlacionado. O 

primeiro passo, para estimar estes modelos, consiste na estimação dos parâmetros do modelo 

77 

(73) 

(74) 

(75)

ARX. A partir deste modelo são estendidos os regressores e o vetor de parâmetros de forma a 

incluir o erro. 

Considerando que os resíduos de identificação forem modelados como um processo de 

média móvel de acordo com a equação (76), e o sistema possa ser modelado cuja 

representação por equações a diferenças é dada pela equação (77) da seguinte forma, 

( ) 

sendo ruído branco, os termos podem ser incorporados à matriz de regressores 

e seus respectivos parâmetros. Logo, a equação matricial gerada por (77) pode ser reescrita 

conforme (78), 

onde 2 

ou 

, e 

[ 

̂ ̂ 

78 

(76) 

(77) 

̂ (78) 

] 

( ) 

onde, se o modelo a ser estimado possuir termos do processo e termos do ruído, então 

( ) e . Da equação (77), tem-se a expressão (81) 

2 * Indica a estimação de forma interativa pelo método de MQE 

(79) 

(80) 

̂ (81)

logo, 

[ 

Verifica-se que a parte parametrizada de (76) é inserida na matriz de regressores. 

Logo, é uma variável aleatória “branca”, de forma que em (76), não está correlacionado 

com . Como os termos não são medidos, estes precisam ser estimados. Logo, a 

partir deste ponto, a estimação do modelo ARMAX torna-se um processo interativo. Em 

Aguirre (2004) o autor descreve um algoritmo interativo para estimação de , divididos 

em seis passos, da seguinte maneira: 

1. a partir da equação de regressão ̂ e dos dados 

disponíveis, forma-se a equação matricial como no método de mínimos quadrados, 

e determina-se ̂ ; 

2. calcule-se o vetor de resíduos ̂; 

3. faça ( indica o número da interação); 

4. com , cria-se a matriz estendida de regressores, , e estima-se 

̂ ; 

5. determina-se o vetor de resíduos ̂ ; 

6. faça e volte ao passo 4. Repita até convergir. 

Conforme cita Aguirre (2004) “para verificar a convergência, pode-se monitorar a 

variância dos resíduos, 

] 

79 

(82) 

, ou o vetor de parâmetros ̂ . Na prática, é 

normalmente suficiente para atingir a convergência”. Além disso, o método MQE estima 

tanto o modelo do processo como o modelo ruído, ou seja, os parâmetros da equação (77). 

Logo, isso aponta para uma dificuldade em determinar a estrutura do modelo do ruído 

dado por (76). Se o objetivo da estimação do modelo do ruído for somente minimizar os 

efeitos de polarização, a estrutura e número de termos podem ser escolhidos o suficiente 

para garantir que os resíduos sejam brancos. Por fim, o modelo final deve conter apenas os 

termos do processo, e a parte estocástica deve ser desprezada.

3.5.6 Validação dos modelos 

A confiabilidade dos dados estimados e a necessidade de averiguar se um modelo 

proposto atende ao seu propósito, torna a validação dos modelos um processo extremamente 

importante. A validação consiste em verificar se os modelos estimados se comportam de 

forma aceitável dentro de seu domínio de aplicação. Ou seja, avalia-se a capacidade, 

habilidade de um dado modelo representar, ou reproduzir de forma adequada o 

comportamento dinâmico do sistema real. Entre as diversas técnicas de validação pode-se 

utilizar a comparação das respostas do sistema real com a do modelo estimado, ou investigar a 

magnitude de certos índices de desempenho. Estas técnicas são classificadas respectivamente 

em subjetivas e estatísticas. 

A forma mais usual de validar um modelo é comparar a simulação do modelo obtido 

com os dados experimentais. Conforme destaca Correa (2001) outra forma de validar a 

eficiência do modelo estimado consiste em verificar se este, responde da mesma forma que o 

modelo medido a diferentes dados daqueles utilizados na estimação. Este processo é 

conhecido como validação cruzada, e refere-se à capacidade de generalização do modelo. O 

resultado fornecido pelo modelo é comparado com os dados de saída reais, sendo realizada 

uma avaliação visual da capacidade do modelo acompanhar novas entradas. 

Outra forma, subjetiva, mas também quantitativa é a partir da avaliação comparativa 

visual dos erros entre os dados reais e as respectivas estimativas. O erro relativo percentual 

é a diferença entre o valor da estimativa ̂ prevista pelo modelo, e o valor real , cujo 

valor é dividido pelo próprio valor da estimativa ̂ , dado pela equação (83) 

Conforme cita Aguirre, Rodrigues e Jacomé (1998), 

| ̂ 

̂ 

| 

80 

(83) 

Uma vertente da validação de modelos dinâmicos utiliza funções de correlação para 

detectar possíveis dinâmicas não-modeladas nos resíduos de identificação. Tratandose 

de sistemas lineares, a validação deve verificar se os resíduos ξ(t) são brancos e 

não-correlacionados com a entrada. Esta verificação pode ser feita calculando-se as 

funções autocorrelação dos resíduos e correlação cruzada dos resíduos com a 

entrada. 

A validação estatística, entretanto utiliza os critérios de informação, ou índices de 

desempenho para avaliar a acurácia e performance do modelo proposto. Conforme apresenta

Fair (1986) existem diversos critérios e índices dispostos na literatura específica. Alguns 

indicadores são de precisão, outros de adequação relativa e alguns tentam capturar a 

capacidade de tendência de acerto dos modelos. 

Entre os critérios usuais pode-se destacar o Erro Quadrático Médio (Root Mean 

Square Error – ) como medida que consiste quantificar o erro obtido na previsão. O 

índice RMSE calcula os desvios em relação aos valores observados da variável Ou seja, as 

diferenças entre o valor de referência e sua respectiva estimativa ̂ prevista pelo modelo 

para a i-ésima amostra, sendo o número de amostras. Logo, representado pela 

equação (84) mede o erro em uma unidade de medida coerente com os dados reais. Quanto 

menor seu valor, melhor será considerado o modelo. 

√[∑ ̂ 

A eleição do modelo mais parcimonioso dentro de uma família modelos pode ser 

escolhida ainda através do Critério de Informação de Akaike (Akaike Information Criterion – 

AIC). Akaike (1974) estabeleceu uma relação entre a informação ou distância de Kullback- 

Leibler, que é uma medida de discrepância relativa entre dois modelos. Segundo Burnham e 

Anderson (2011) o critério AIC fornece uma medida da qualidade do modelo estimando 

através da distância relativa entre o modelo na sua verossimilhança máxima e o processo real. 

Valores menores indicam modelos mais próximos ou que possuem menor perda de 

informação em relação à realidade. A distância é uma medida de discrepância entre as linhas 

do modelo experimental e o modelo estimado. 

Conforme Burnham e Anderson (2004) o critério de AIC é definido pela equação (85) 

onde é a Verossimilhança Maximizada do modelo candidato, e é o número de parâmetros 

do modelo. Para os casos especiais da estimação de modelos por mínimos quadrados com 

resíduos com distribuição normal, a equação (85) pode ser reescrita conforme a equação (86), 

] ⁄ 

81 

(84) 

(85) 

(86)

4 METODOLOGIA E RESULTADOS 

Neste capítulo, inicialmente é destacada de forma sucinta a metodologia realizada 

durante o trabalho. Em seguida, a ênfase volta-se aos resultados obtidos nas simulações 

desenvolvidas no programa computacional desenvolvido para este fim. Finalmente, a 

comparação dos resultados quanto á eficácia e eficiência é apresentado, destacando o melhor 

conjunto na obtenção dos modelos mais parcimoniosos em relação ao desempenho 

comportamental real/experimental dos micronúcleos elásticos e dos atuadores MEMS. 

4.1 Metodologia 

O procedimento de identificação sistemas, neste caso, a técnica da modelagem caixa- 

cinza é baseada nas cinco etapas, descritas no capítulo anterior. Ela consiste na seleção da 

forma do modelo, o qual deve estar adaptado às representações dos dados comportamentais de 

entrada e saída, e respectivamente, obtidas através de simulações utilizando-se o 

software ANSYS e do conhecimento a priori das estruturas. A metodologia proposta neste 

trabalho tende a estabelecer a melhor combinação, da representação matemática, discretização 

e estimador de parâmetros para o modelo matemático que descreva o desempenho 

comportamental dos dispositivos MEMS. 

Na literatura, são identificadas três formas básicas de topologias de atuadores 

eletromecânicos MEMS baseados em deformação elástica e estrutura comb-drive. O conjunto 

de elastomassas, combinado com o comb-drive, as quais foram objeto de investigação neste 

trabalho são: Ponte Simples, Ponte Dupla e Dobradiça, conforme apresentados na Figura 35. 

Suas dimensões e propriedades geométricas encontram-se no Anexo A. 

Figura 35 - Elastomassas. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça 

(a) (b) (c) 

Fonte: Reimbold (2008) 

82

O critério de seleção das elastomassas baseia-se na simplicidade das estruturas. Elas 

apresentam apenas um grau de liberdade e acessibilidade ao modelo analítico. O atuador 

ponte simples é teórico, o que permite compreender o princípio de atuação. O mesmo pode 

ainda ser empregado na construção de simples interruptores. O atuador ponte dupla, é 

utilizados em dispositivos como: acelerômetros, indutores, pinças, sensores e interruptores. 

Por outro lado, o atuador baseado na estrutura dobradiça, tem vasta aplicação em 

telecomunicações, como amplificadores, mixers, transformadores, entre outros dispositivos, 

além de aplicações na medicina. As três formas de atuadores são apresentados na Figura 36. 

Figura 36 - Atuadores eletrostáticos. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça 

(a) (b) (c) 


A coleta de dados é realizada a partir da plataforma de testes desenvolvida no 

aplicativo computacional ANSYS. Utiliza-se a modelagem de elementos finitos e as 

propriedades e geometrias dos materiais de cada estrutura. Nesta plataforma aplicasse uma 

força e coletam-se os dados do deslocamento da estrutura. O sinal teste utilizado para excitar 

o sistema 3 e gerar o conjunto de dados, consiste em um degrau de força, aplicado no instante 

, com amplitude de para os micronúcleos elásticos e para o atuador 

MEMS. Estas amplitudes são selecionadas dentro de uma faixa de valores de forma que as 

estruturas não entrem em colapso quando aplicada a força. 

Os valores atribuídos à intensidade do sinal visam simplificar a expressão literal do 

modelo comportamental para facilitar a sua análise. Quando contaminado com ruído, os dados 

experimentais permitem obter o modelo comportamental estocástico. Caso contrário o modelo 

é determinístico. A amplitude do ruído é selecionada de forma a não despertar as não- 

linearidades de ambas as estruturas. A resposta a esses sinais permite obter a estabilidade, 

dinâmica assimétrica e fase mínima das estruturas. O utilizado que satisfaz as topologias 

3 Conjunto do atuador eletromecânico MEMS (elastomassas e estrutura comb-drive) 

83

de elastomassas e dos atuadores é de . A força versus o deslocamento são 

apresentadas na Figura 37 para as elastomassas. As mesmas descrevem a resposta transitória 

da simulação no aplicativo ANSYS, com dois sinais de excitação: degrau e sinusoidal. 

Figura 37 - Dinâmica real/experimental as elastomassas sem ruído: Sinal Degrau. (a) ponte simples; (b) ponte 

dupla; (c) dobradiça. Sinal Sinusoidal. (d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça 

(a) (d) 

(b) (e) 

(c) (f) 

84

Em seguida, os mesmos testes foram realizados com a presença de ruído junto ao sinal 

de excitação. Estas dinâmicas são apresentadas na Figura 38. Neste caso, os dados obtidos por 

intermédio da plataforma de testes possibilitaram a estimação dos modelos estocásticos. 

Figura 38 - Dinâmica real/experimental as elastomassas com ruído: Sinal Degrau. (a) ponte simples; (b) ponte 

dupla; (c) dobradiça. Sinal Sinusoidal. (d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça 

(a) (d) 

(b) (e) 

(c) (f) 

85

Alternativamente, o procedimento realizado anteriormente é realizado considerando as 

simulações do conjunto (elastomassas e comb-drive), caracterizando o microatuador MEMS. 

As respostas transientes para estas estruturas são apresentadas na Figura 39. 

Figura 39 - Dinâmica real/experimental do microatuador: Sinal Degrau sem ruído. (a) ponte simples; (b) ponte 

dupla; (c) dobradiça. Sinal Degrau com ruído. (d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça 

(a) (d) 

(b) (e) 

(c) (f) 

86

Finalizada a etapa dos testes dinâmicos e coleta de dados, os mesmos foram utilizados 

como um banco de dados, para construção de um programa computacional desenvolvido com 

o software MATLAB (MATriz LABoratory). O programa consiste em uma interface gráfica 

onde o usuário define a combinação desejada para a estimação do modelo matemático. 

O programa dispõe das seguintes opções de escolha: representação matemática (ARX 

ou ARMAX); estrutura do dispositivo (elastomassas/núcleos elásticos ou atuador); topologia 

da estrutura (ponte simples, ponte dupla ou dobradiça), sinal de excitação do sistema (degrau 

com/sem ruído e sinusoidal com/sem ruído); estimador de parâmetros (MMQ e MQE, 

batelada ou recursivo); e o processo de discretização (FwD, BwD, MII, ZOH e Tustin). A 

partir destas informações, fornecidas pelo o usuário, o programa realiza o processo de 

estimação/identificação, do modelo comportamental das microestruturas MEMS. Além disso, 

o programa fornece as representações gráficas e informações pertinentes para cada estrutura 

física avaliada. Na Figura 40 é apresentada a interface do programa desenvolvido com a 

ferramenta Guide do MATLAB. Na Figura 41 é apresentado o fluxograma do algoritmo 

desenvolvido para a estimação/identificação dos modelos matemáticos. 

Figura 40 - Interface gráfica do programa desenvolvido 


Em um primeiro momento foi constatada a eficácia do processo de identificação 

somente para os micronúcleos elásticos. Desta maneira, foi realizada todas as possíveis 

combinações de simulação para as representações ARX e ARMAX, tanto para o modelo 

determinístico, quanto para o estocástico. Em seguida, a mesma metodologia adotada para as 

elastomassas foram realizadas para o conjunto micronúcleos e comb-drive, caracterizado 

assim o atuador eletromêcanico MEMS baseado em deformação elástica e ação eletrostática. 

87

Figura 41 - Fluxograma do algoritmo 


88

4.2 Resultados e discussões 

A FT correspondente à equação (10) no domínio de tempo contínuo é dada pela 

equação (87). A partir desta, utilizando-se os métodos descritos, com a manipulação das 

variáveis nos planos e , é possível encontrar , correspondente para cada processo de 

discretização, conforme apresentado na Figura 42. Cada possui a informação dos diferentes 

instantes em que aconteceram os eventos favoráveis ao processo. A dedução detalhada do 

procedimento para encontrar os vetores regressores com a relação física entre os parâmetros 

característicos da estrutura está disponível no Apêndice A. 

Figura 42 - Vetor de regressores obtidos por cada processo de discretização 

⁄ 


Por meio do conjunto de elementos que formam o vetor de regressores, verifica-se em 

todos os métodos de discretização há presença de dois termos de atraso idênticos, 

incorporados aos dados vinculados à saída do processo. Logo, as possíveis diferenças entre a 

estimação e identificação dos modelos volta-se a forma de aproximação entre os domínios 

contínuo e discreto, e aos termos de atraso do modelo relacionados aos dados de entrada do 

sistema. 

89 

(87)

4.2.1.1 Resultados para modelo ARX de elastomassas 

Diante nas inúmeras possibilidades de simulação do comportamento das 

microestruturas, são apresentadas os dois modelos mais eficientes encontrados para cada 

situação em relação aos discretizadores. Em um primeiro momento, os valores dos parâmetros 

dos modelos estimados para as três topologias são para o modelo ARX sem ruído, cujos 

valores são apresentados nas Tabelas 2 e 3. 

Tabela 2 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa sem ruído) com discretizador MII 

Parâmetros estimados Ponte Simples Ponte Dupla Dobradiça 

̂ 

̂ 

̂ 

Tabela 3 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa sem ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Para os sinais amostrados, e , reter as características fundamentais do sinal 

original, sendo que o degrau é um sinal sem frequência e sem energia, a amostragem não 

segue os critérios de Nyquist. Ensaios realizados mostram a necessidade mínima de 300 

amostras para comparar a resposta do modelo estimado com a do modelo real. Este 

comparativo visual pode ser observado a partir da Figura 43. Verifica-se a presença de dois 

regimes de operação distintos: um regime transitório e outro permanente para ambas as 

topologias. Com o valor da força aplicada a partir do instante zero, sendo a posição inicial da 

elastomassa zero a partir do meio, o sinal de entrada na forma degrau gera um movimento 

oscilatório no início do deslocamento, caracterizando o regime transitório. Na medida em que 

os dados são computados instantaneamente no processo em batelada o movimento oscilatório 

tende e diminuir. Neste sentido, a estrutura tende a operar em regime de estabilidade 

caracterizando o regime de operação permanente. 

90

Figura 43 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) de 

elastomassas MEMS: Discretizador MII. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. 

(d) ponte simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça 

Deslocamento (m) 



4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

da elastomassa MEMS 

Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

(a) (d) 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

3.5 

2.5 

1.5 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

4 

3 

2 

1 


Original 

Estimado 

Força 

(b) (e) 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

(c) (f) 

Para avaliar de forma quantitativa as discrepâncias existentes em ambos os regimes, é 

necessário o comparativo dos erros entre a plataforma de teste e o modelo estimado a partir do 




4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


91 

Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

desempenho dos discretizadores, conforme apresentado na Figura 44. 

Figura 44 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) de elastomassas 

MEMS: Discretizador MII. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 

simples; (e) ponte dupla; (f) dobradiça 

Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

25 

20 

15 

10 

5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

25 

20 

15 

10 

5 

Erro (%) 

0.035 

0.025 

0.015 

0.005 

(a) (d) 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

25 

20 

15 

10 

5 

(b) (e) 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

(c) (f) 

Erro (%) 

Erro (%) 

0.04 

0.03 

0.02 

0.01 


92 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

x 10-3 

1 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Observa-se nas Figuras 43 (a), (b) e (c) que o modelo estimado via discretização por 

MII apresenta um desempenho comportamental satisfatório durante todo o período de 

simulação em relação à dinâmica real para as três topologias. No período inicial de 

processamento dos dados o modelo estimado apresentou oscilações mais dispersas em relação 

à dinâmica real. No entanto, mesmo na existência destes erros mais acentuados, os modelos 

estimados conseguem acompanhar a dinâmica do sistema real. À medida que o sistema 

converge para o regime permanente, o erro entre os modelos tende a zero. Este fato pode ser 

comprovado conforme apresentado nas Figuras 44 (a), (b) e (c). Verifica-se no regime 

transitório um índice de erro acentuado nos instantes iniciais atingindo a faixa de entre a 

dinâmica real e a estimada. Após estes instantes, o erro diminui consideravelmente. Para 

ambas as topologias, verifica-se que e erro atinge níveis inferiores a por volta de . 

Para os modelos obtidos por intermédio do discretizador de Tustin, (Figura 43 (d), (e) 

e (f)), verifica-se visualmente, a sobreposição da dinâmica do modelo estimado sobre á 

resposta real, ou seja, ela é perfeitamente compatível com a dinâmica real, tanto no regime 

transitório quanto no permanente. Este fato pode ser avaliado de forma quantitativa através do 

erro percentual entre dinâmica experimental da plataforma de testes em relação ao modelo 

estimado. Conforme apresentado na Figura 44 (d), (e) e (f), estes erros tendem a zero. Para o 

caso da dobradiça existe uma variação mais visível do erro em virtude da complexidade da 

estrutura, no entanto, ele é mínimo. Estas variações mínimas do erro próximas a zero 

resultaram em representações gráficas com escalas distintas para cada topologia. 

A técnica de identificação que culminou na escolha dos métodos de discretização MII 

e Tustin para o modelo ARX sem ruído deu-se através do processo de estimação dos dados 

em batelada. Uma maneira de avaliar de forma estatística a escolha destes resultados pode ser 

analisada pelo uso do conjunto de índices , e , cujos valores são apresentados 

respectivamente nas Tabelas 4 e 5. 

Tabela 4 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico de elastomassas MEMS 

Discretizadores Ponte Simples Ponte Dupla Dobradiça 

93

Tabela 5 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico de elastomassas MEMS 


Pela análise dos índices e critérios estatísticos apresentados, verifica-se a veracidade 

dos resultados gráficos quanto ao desempenho dos discretizadores. Para as três topologias 

constatam-se os métodos de discretização MII e Tustin como os mais eficazes na estimação 

do modelo ARX determinístico para os micronúcleos elásticos. De forma respectiva, os 

modelos obtidos por intermédio de Tustin e MII apresentam os menores valores de e 

, caracterizando os modelos estimados mais parcimoniosos em relação à dinâmica real. 

Outra forma de validar a eficiência dos modelos consiste em verificar se estes, 

respondem da mesma forma que o modelo medido a diferentes dados daqueles utilizados na 

estimação. Este processo é conhecido como validação cruzada. Desta forma, as respostas das 

elastomassas, sujeitas a um sinal sinusoidal com amplitude de , são 

apresentadas na Figura 46. Nesta é possível verificar que a aplicação do sinal sinusoidal as 

estruturas permite concluir que os valores preditos pelo modelo discreto e os valores 

experimentais demonstram que a representação encontrada por MII (Figura 45 (a), (b) e (c)), e 

Tustin (Figura 45 (d), (e) e (f)) prediz de forma satisfatória a dinâmica do processo. 

Figura 45 - Respostas de ambos os modelos ARX (sem ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 

sinusoidal: Discretizador MII. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 



x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

(a) (d) 


x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

cruzada 

94 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)



x 10-7 

Validação 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

(b) (e) 

(c) (f) 

Em um segundo momento, os parâmetros estimados para a representação ARX são 

referentes aos dados contaminados por ruído junto ao sinal de excitação. Neste caso, os 

modelos mais precisos foram obtidos respectivamente por intermédio dos discretizadores 

Tustin e ZOH. Estes são apresentados respectivamente nas Tabelas 6 e 7. 

Tabela 6 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa com ruído) com discretizador ZOH 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

cruzada 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 



x 10-7 

Validação 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

cruzada 

95 

Original 

Estimado 

Força 

-1.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)

Tabela 7 - Parâmetros estimados do modelo ARX (elastomassa com ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Os resultados encontrados apontam o processo de estimação em batelada como o mais 

eficiente para a estimação destes modelos. Novamente a partir da comparação visual entre as 

dinâmicas da plataforma de testes versus o modelo estimado, conforme apresentado na Figura 

46 é possível avaliar a eficácia do procedimento utilizado. 

Figura 46 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) de 





x 10-7 

Dinâmica 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

4.5 

(a) (d) 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 



(b) (e) 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


96 

Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)


4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

(c) (f) 

A avaliação por intermédio do erro relativo percentual é apresentado na Figura 47. 

Figura 47 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) de elastomassas 



Erro (%) 

Erro (%) 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


(a) (d) 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

Erro (%) 

(b) (e) 


Erro (%) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0.045 

0.04 

0.035 

0.03 

0.025 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


97 

Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Erro (%) 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

(c) (f) 

Nesta situação, diferentemente do caso determinístico, não é nítida a presença dos 

regimes encontrados no processo em que os dados não estavam sujeitos à presença de 

interferências. O uso de ZOH mostrou-se mais eficiente na medida em que foi comparado 

com MII. A presença de dados contaminados exigiu do discretizador a utilização de um termo 

adicional incorporado ao vetor de regressores. Logo, a estimação de quatro parâmetros, dois 

relacionados à saída e dois a entrada, resultaram em uma estimativa mais próxima a dinâmica 

real. Semelhantemente ao modelo determinístico, no período inicial de processamento dos 

dados percebe-se um movimento oscilatório mais acentuado. O mesmo mantem-se até em 

torno de (Figura 46 (a), (b) e (c)). Neste período o modelo estimado apresenta 

dificuldades em acompanhar a dinâmica real. Estes fatos são comprovados, inicialmente pelo 

elevado índice de erro no início do processo em torno de para ambas as topologias, 

conforme pode ser visualizado na Figura 47 (a), (b) e (c). No entanto, na medida em que os 

dados são computados, mesmo com variações acentuadas provocadas pelo ruído o modelo 

estimado acompanha a trajetória da dinâmica real, com o erro tendendo a estabilizar em níveis 

inferiores a . 


De forma semelhante aos modelos determinísticos, a utilização de Tustin apresentou-se 

como o método de discretização mais eficiente para a estimação dos parâmetros do modelo. 

Conforme apresentado na Figura 46 (d), (e) e (f), as estimativas dos desempenhos 

comportamentais dos micronúcleos elásticos reproduziram uma dinâmica perfeitamente 

compatível com a resposta real. Este resultado é validado de forma quantitativa através do 

erro relativo percentual (Figura 47 (d), (e) e (f)). Os mesmos apresentam índices próximos à 

zero para as topologias ponte simples e dupla, e em torno de para a estrutura dobradiça. 

Erro (%) 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 


98 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Além destas avaliações, a utilização do conjunto de índices e critérios estatísticos 

consolida a escolha destes discretizadores. Conforme análise dos dados expostos nas Tabelas 

8 e 9 os menores valores de e , caracterizam os modelos estimados por e 

, respectivamente como os mais equivalentes à resposta real. 

Tabela 8 - Valores do para avaliação do modelo ARX estocástico de elastomassas MEMS 


Tabela 9 - Valores do para avaliação do modelo ARX estocástico de elastomassas MEMS 


Além destas avaliações, na Figura 48 é apresentado o desempenho dos modelos sob a 

forma de validação cruzada. Conforme pode-se constatar, a utilização desta técnica para o 

modelo ARX estocástico mostrou-se valida quanto a fidelidade em acompanhar o formato da 

dinâmica do sinal original. No entanto, as respostas das elastomassas aplicadas ao sinal 

sinusoidal contaminado por ruído apresentam dinâmicas dispersas, conforme exposto na 

Figura 48. Este fato é caracterizado pela inserção de ruído com significativa faixa de 

amplitude. No entanto, este fato não inválida o processo de obtenção dos modelos. A 

alternativa viável para superar esta dificuldade é a coleta de um número mais expressivo de 

amostras e principalmente a determinação da maior frequência do sinal sinusoidal. 

99

Figura 48 - Respostas de ambos os modelos ARX (com ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 



X 

X 




x 10-7 

Validação 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

1.5 

0.5 

-0.5 

-1.5 

x 10-7 

Validação 

2 

1 

0 

-1 

x 10-7 

Validação 

4 

aaaaaa(a) aaaaaa(d) 

-2 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

aaaaaa (b) aaaaaa (e) 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

aaaaaa (c) aaaaaa (f) 




3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

100 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

x 10-7 

Validação 

2 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-2 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)

4.2.1.2 Resultados para o modelo ARMAX de elastomassas 

Os resultados para os modelos mais parcimoniosos estimados em relação à 

representação ARMAX para o caso determinístico são apresentados nas Tabelas 10 e 11. 

Conforme esta representação, a utilização do estimador de mínimos quadrados estendidos 

para a modelagem do erro correlacionado foi um fator preponderante para a eficácia dos 

resultados obtidos. Estes originaram-se do processamento dos dados na forma em batelada. 

Tabela 10 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa sem ruído) com discretizador ZOH 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Tabela 11 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa sem ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

O fato de incluir a modelagem do erro correlacionado no procedimento de estimação 

dos parâmetros e consequentemente a construção da matriz estendida ao vetor de regresssores 

torna a representação ARMAX eficiente. O objetivo desta matriz é realizar a modelagem do 

erro correlacionado, uma vez que este polariza o estimador de mínimos quadrados e gera erro 

nas estimativas. Como é necessário estimar estes erros, a escolha arbitrária de cinco termos 

para os parâmetros do erro é considerada suficiente. Como as estimativas ocorrem de forma 

interativa foi escolhido um número fixo de 100 interações. Devido às estimativas com valores 

na ordem micrométrica, os erros possuem magnitudes menores que estas. Sendo assim, este 

deve ser considerado pequeno para que o critério de convergência seja válido. Como o 

algoritmo desenvolvido apresenta excelente desempenho para aplicações off-line, constata-se 

que o número de 100 interações não é abusivo. A partir destes resultados é possível avaliar o 

101

desempenho comportamental dos modelos estimados em relação ao processo real, conforme 

apresentado na Figura 49. 

Figura 49 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARMAX (sem ruído) de 






4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

aaaaaa (a) aaaaaa (d) 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

3.5 

2.5 

1.5 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

4 

3 

2 

1 


Original 

Estimado 

Força 



Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 





4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


102 

Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Para avaliar as discrepâncias existentes entre as dinâmicas, o comparativo dos erros 

entre a plataforma de teste e o modelo estimado é fundamental. Estes resultados são 

apresentados na Figura 50. 

Figura 50 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARMAX (sem ruído) de elastomassas 



Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0.035 

0.025 

0.015 

0.005 



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

12 

10 

8 

6 

4 

2 



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

0.04 

0.03 

0.02 

0.01 


103 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

x 10-3 

1 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

O desempenho da dinâmica comportamental obtido por intermédio do modelo 

matemático estimado com o discretizador apresenta resultados satisfatórios. Conforme 

exposto na Figura 49 (a), (b) e (c), a estimativa do modelo representou tanto o regime 

transitório quanto o permanente. A dinâmica apresentada pelo modelo estimado para ambas as 

topologias consegue acompanhar a resposta transitória da plataforma de testes. Este fato é 

comprovado pela análise do erro entre a dinâmica real e estimado, de acordo com a avaliação 

através da Figura 50 (a), (b) e (c). Para as topologias ponte simples e dobradiça, no início de 

processamento dos dados, caracterizando o regime transitório o erro para estas topologias 

atingiu o nível máximo em torno de . No entanto, após estes valores encontram-se 

abaixo de tendendo a zero a medida que a dinâmica tende ao regime permanente. Para o 

caso da estrutura ponte dupla verifica-se erros mais acentuados no início do processo. Através 

de uma visualização criteriosa na Figura 49 (b) percebe-se a dinâmica do processo com 

estimativas dispersas a resposta real. Conforme apresentando na Figura 50 (b), os erros neste 

período inicial atingem valores próximos a , e níveis inferiores a em torno de . 

Este fato comprova a estabilidade atingida pela estrutura. 

Semelhantemente as representações ARX, os modelos obtidos por intermédio do 

discretizador Tustin apresenta-se como o mais eficaz para modelos do tipo ARMAX. Por 

meio da avaliação visual na Figura 49 (d), (e) e (f), constata-se uma dinâmica fiel à resposta 

experimental em ambos os regimes de operação. Aliado a isso, o erro relativo percentual entre 

estas dinâmicas, conforme apresentado na Figura 50 (d), (e) e (f), atinge o nível máximo de 

para a topologia dobradiça e valores tendendo a zero para as demais estruturas. Estas 

avaliações podem ser confirmadas pelas figuras de mérito, também conhecidas como índices e 

critérios estatísticos, e . Segundo os dados apresentados na Tabela 12 e 13, 

referentes a estes índices, comprova-se os menores valores obtidos pelos modelos estimados 

respectivamente via discretizador e . 

Tabela 12 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX determinístico de elastomassas MEMS 


104

Tabela 13 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX determinístico de elastomassas MEMS 


A generalização dos modelos estimados é validada quando os mesmos são submetidos 

a outro conjunto de dados, observado do mesmo sistema. A aplicação do sinal sinusoidal de 

de amplitude as estruturas permite concluir que os valores preditos pelos 

modelos discretos descrevem de forma satisfatória a dinâmica do processo. Este teste é 

apresentado na Figura 51 por meio da validação cruzada. 

Figura 51 - Resposta de ambos os modelos ARMAX (sem ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 





x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 


cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-1.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

2.5 




2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

cruzada 

105 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

x 10-7 

Validação 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-1.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)


x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 


Para o modelo ARMAX estocástico, os parâmetros estimados são apresentados 

respectivamente nas Tabelas 14 e 15. Os melhores resultados foram obtidos através dos 

discretizadores e , com o algoritmo de estimação em batelada. 

Tabela 14 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa com ruído) com discretizador ZOH 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Tabela 15 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (elastomassa com ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

A flexibilidade em modelar o erro correlacionado aos dados, em tese, faz da 

representação ARMAX indicada à identificação de modelos estocásticos. Este pressuposto é 

inicialmente verificado a partir da comparação entre o desempenho comportamental dos 

modelos estimados em relação aos dados reais, conforme apresentado na Figura 52. 


x 10-7 

Validação 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

cruzada 

106 

Original 

Estimado 

Força 

-2.5 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)

Figura 52 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) de 






x 10-7 

Dinâmica 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

4.5 

aaaaaa (a) aaaaaa (c) 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

3.5 

2.5 

1.5 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

4 

3 

2 

1 


Original 

Estimado 

Força 



Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


Por meio da verificação gráfica dos erros apresentados entre as dinâmicas estimada e 

real, verifica-se a validade dos modelos determinados. Estes são apresentados na Figura 53. 




4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


107 

Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

Força 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Figura 53 - Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) de elastomassas 



Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

24 

22 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

aaaaaa (c) aaaaaa (d) 

Sendo as representações gráficas apresentadas na Figura 52 (a), (b) e (c) os modelos 

ARMAX estimados, sob a influência de ruído aleatório, com o discretizador descrevem 

Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

0.045 

0.04 

0.035 

0.03 

0.025 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 


108 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

uma dinâmica compatível com o desempenho real. Novamente para estes modelos 

estocásticos não é possível distinguir os regimes transitório e permanente. Para as três 

topologias no início do processamento dos dados é verificada a dificuldade da resposta 

estimada acompanhar a dinâmica real. Este fato pode ser comprovado a partir dos valores do 

erro relativo percentual. Conforme apresentado na Figura 53 (a), (b) e (c), nos instantes 

iniciais os índices de erro atingem a faixa em torno de , superando desta forma o índice 

de erro em relação aos modelos sob as mesmas características, mas representado pelo modelo 

ARX. Estes por sua vez apresentaram valores máximos do erro de . Neste caso, esta 

situação é caracterizada pela aplicação de ruído com significativa faixa de amplitude. Outro 

fator a ser considerado deve ser vinculado à insuficiência computacional no tratamento dos 

dados numérico agregados a ordens de amplitude micrométricas. No entanto, desconsiderando 

este período inicial mínimo, o restante do processo comporta-se compatível com a resposta 

obtida através da representação ARX, estabilizando o erro em níveis de . 

Os resultados obtidos por meio do discretizador Tustin novamente são considerados 

ideais. O desempenho comportamental dos modelos estimados apresenta fidelidade à resposta 

da plataforma de testes durante todo o regime de operação, conforme exposto na Figura 52 

(c), (d) e (e). Esta eficiência é validada pelo percentual de erro entre as dinâmicas, segundo as 

representações gráficas da Figura 53 (a), (b) e (c), onde o erro percentual tende a zero. 

A utilização dos índices estatísticos validam quantitativamente as avaliações gráficas. 

De acordo com os dados apresentados nas Tabelas 16 e 17 referentes aos valores e 

, confirma os menores valores obtidos pelos modelos estimados, respectivamente, com os 

discretizadores e . Segundo a sua contextualização, estas ferramentas estatísticas 

garantem a estes modelos dentre os cinco estimados como sendo os mais precisos. 

Tabela 16 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico de elastomassas MEMS 


109

Tabela 17 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico de elastomassas MEMS 


A avaliação realizada para a representação ARX estocástico, quanto à utilização da 

técnica de validação cruzada, repete-se para o modelo ARMAX, conforme apresentado na 

Figura 54. No entanto, a técnica utilizada persiste como um procedimento eficiente. 

Figura 54 - Resposta de ambos os modelos ARMAX (com ruído) de elastomassas MEMS submetidos ao sinal 





x 10-7 

Validação 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

1.5 

0.5 

-0.5 

-1.5 

x 10-7 

Validação 

2 

1 

0 

-1 

x 10-7 

Validação 

4 

aaaaaa (a) aaaaaa (c) 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-2 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 




3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

110 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

x 10-7 

Validação 

2 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

-2 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)


x 10-7 

Validação 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s) 


Outro resultado importante em relação ao procedimento realizado é o tempo de 

execução do processo de identificação. Os valores apresentados nas Tabelas 18 e 19 são 

decorrentes ao período inicial de leitura dos dados, até a estimação dos parâmetros e 

representação do desempenho comportamental de cada elastomassa. 

Tabela 18 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARX de elastomassas MEMS 

Representação ARX sem ruído ARX com ruído 

Tempo/Discretizador 

Ponte Simples 

Ponte Dupla 

Dobradiça 

Tabela 19 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARMAX de elastomassas MEMS 

Representação ARMAX sem ruído ARMAX com ruído 


Ponte Simples 0,4 

Ponte Dupla 

Dobradiça 

cruzada 

Original 

Estimado 

Força 

De acordo com os dados expostos, pode-se estabelecer uma média de tempo de 

execução em torno de e , respectivamente para os modelos ARX e ARMAX. 

Entretanto, cabe destacar que as funções de monitoramento de tempo do software MATLAB 

levam em conta toda e qualquer ação adicional realizada pelo computador. Logo, o período de 

tempo real despendido somente para durante a execução do programa seria menor. 


x 10-7 

Validação 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

cruzada 

111 

Original 

Estimado 

Força 

-4 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 

Tempo (s)

4.2.2.1 Resultados para modelo ARX do atuador eletrostático 

Em um segundo momento as elastomassas analisadas anteriormente, foram acopladas 

ao comb-drive, resultando assim em três atuadores eletrostáticos MEMS (ver Figura 36). Os 

ensaios obedeceram aos mesmos procedimentos desenvolvidos nos micronúcleos elásticos. 

Os resultados obtidos para o modelo determinístico são apresentados nas Tabelas 20 e 21. A 

partir da dinâmica do desempenho comportamental do modelo estimado em relação à resposta 

real é possível analisar a sua eficiência. Estas avaliações são realizadas a partir da Figura 55. 

Tabela 20 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador sem ruído) com discretizador BwD 


̂ 

̂ 

̂ 

Tabela 21 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador sem ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Figura 55 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) do atuador 

MEMS: Discretizador BwD. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte 



4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

do atuador MEMS 

Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 



4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


112 

Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)



x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

3.5 

2.5 

1.5 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

4 

3 

2 

1 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


O erro relativo permite quantificar a relação da discrepância existente entre a dinâmica 

real e a estimada. Estes resultados são apresentados na Figura 56. 

Figura 56 – Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) do atuador MEMS: 

Discretizador BwD. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte simples; (e) 

ponte dupla; (f) dobradiça 

Erro (%) 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


Erro (%) 



2 

1.5 

1 

0.5 


113 

Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0.018 

0.016 

0.014 

0.012 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Erro (%) 

Erro (%) 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


Observa-se a partir da Figura 55 (a), (b) e (c) a eficiência do discretizador BwD quanto 

a resposta do desempenho comportamental do modelo estimado. O mesmo tende a 

acompanhar a reposta real durante todo o período de processamento dos dados, assegurando a 

confiabilidade em todos os regimes de operação. Este fato é validado por meio da avaliação 

do erro relativo existente entre as repostas. Cabe considerar que este erro diminuiu em 

amplitude para os atuadores em relação aos micronúcleos sob as mesmas condições de 

operação. Conforme exposto na Figura 56 (a), (b) e (c), o nível máximo de erro na faixa de 

acontece no início da simulação. Este é elevado devido à estimação iniciar-se no valor 

zero. Entretanto, na medida em que os dados são computados o erro tende a reduzir, atingindo 

a faixa de em e estabiliza-se em valores abaixo de . 

Apesar de apresentar desempenho satisfatório, o discretizador BwD é superado por 

Tustin. Conforme avaliação visual a partir da Figura 55 (c), (d) e (e) a resposta do modelo 

estimado por meio deste, coincide com a dinâmica real. Esta é comprovada pelo erro relativo 

tendendo a zero, conforme exposto na Figura 56 (c), (d) e (e). Além disso, a utilização dos 

Erro (%) 

Erro (%) 

x 10-3 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0.018 

0.016 

0.014 

0.012 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 


114 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

critérios e comprovam estas análises. Os menores valores apresentados nas 

Tabelas 22 e 23 são referentes aos modelos estimados respectivamente, com Tustin e BwD. 

Tabela 22 - Valores do para avaliação do modelo ARX determinístico do atuador MEMS 




Em seguida, os resultados expostos são decorrentes aos modelos ARX estocásticos 

para o atuador MEMS. Estes são apresentados nas Tabelas 24 e 25. 

Tabela 24 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador com ruído) com discretizador ZOH 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Tabela 25 - Parâmetros estimados do modelo ARX (atuador com ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

115

Com a estimação dos parâmetros é possível avaliar o desempenho comportamental do 

modelo. Esta é realizada através do comparativo entre as dinâmicas, a partir da Figura 57. 

Figura 57 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) do atuador 






4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

3.5 

2.5 

1.5 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

4 

3 

2 

1 


Original 

Estimado 



Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 





4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


116 

Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Além disso, é possível quantificar os níveis de erro entre estas dinâmicas por 

intermédio da analise do erro relativo percentual. Estes são apresentados na Figura 58. 

Figura 58 – Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (com ruído) do atuador MEMS: 

Discretizador ZOH. (a) ponte simples; (b) ponte dupla; (c) dobradiça. Discretizador Tustin. (d) ponte simples; (e) 

ponte dupla; (f) dobradiça 

Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

25 

20 

15 

10 

5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 


117 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Com os dados contaminados por ruído, observa-se que a resposta dos modelos 

estimados com a utilização do discretizador ZOH apresenta níveis acentuados de erro. Este 

fato é comprovado a partir do erro relativo percentual (Figura 58 (a), (b) e (c)). Para ambas as 

topologias, no período inicial o erro atinge níveis na faixa de . Este valor é resultado da 

amplitude do ruído presente nos dados, proporcional à utilizada nos testes das elastomassas. 

No entanto, na medida em que os dados são computados, o erro tende a reduzir, estabilizando 

em torno de e para as topologias ponte simples e dupla e para a dobradiça. 

Em relação ao discretizador Tustin, os resultados obtidos foram satisfatórios. No 

entanto, o mesmo não apresentou a excelente eficiência das demais estimativas. Ao final do 

processamento dos dados, a resposta dos modelos estimados apresentou dispersões em relação 

à reposta dos dados reais. Esta pode ser avaliada a partir da Figura 57 (d), (e) e (f). Conforme 

as discrepâncias entre estas dinâmicas apresentadas na Figura 58 (d), (e) e (f), verifica-se o 

erro em torno de a , conforme a topologia das elastomassas acoplados ao comb-drive. 

No entanto, na medida em que os dados foram computados o erro tende a aumentar, atingindo 

valores próximos a para as topologias ponte simples e dupla, e ao final da dinâmica 

para a estrutura dobradiça. Apesar disso, os resultados obtidos apresentam-se satisfatórios. 

A validação estatística vem ao encontro dos resultados expostos. Conforme 

apresentado nas Tabelas 26 e 27, os menores valores de e , e consequentemente as 

melhores estimativas são obtidas respectivamente por meio dos discretizadores Tustin e ZOH. 





118

4.2.2.2 Resultados para modelo ARMAX do atuador eletrostático 

Os resultados obtidos referentes ao modelo ARMAX determinístico para os atuadores 

MEMS apresentou a mesma dinâmica e desempenho idêntico à representação ARX. 

Consequentemente a utilização de Tustin e BwD, respectivamente, são os métodos de 

discretização mais eficientes. Esta semelhança nos resultados pode ser resultado da aplicação 

do sinal degrau sem energia, o qual manteve os sinais de entrada constante. Além disso, como 

alguns parâmetros estimados apresentam valores variando na faixa de e , a 

insuficiência computacional para a modelagem do erro correlacionado no processo interativo 

é incapaz de aprimorar os parâmetros relacionados aos termos de entrada e saída presentes no 

modelo. 

Em contrapartida, na presença de ruído incorporado aos dados, a representação 

ARMAX apresentou resultados satisfatórios em relação aos modelos ARX. Os resultados 

obtidos para o modelo estocástico são apresentados nas Tabelas 28 e 29. 

Tabela 28 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (atuador com ruído) com discretizador ZOH 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

Tabela 29 - Parâmetros estimados do modelo ARMAX (atuador com ruído) com discretizador Tustin 


̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

̂ 

A utilização dos discretizadores Tustin e ZOH, respectivamente, apresentaram 

novamente os melhores resultados para a estimação de modelos estocásticos. Neste caso, 

novamente a estimação em batelada apresentou melhor eficácia quando comparada ao 

119

processo recursivo. A partir da Figura 59 é possível verificar o desempenho comportamental 

da estimativa do modelo em relação à dinâmica real da plataforma de testes. 

Figura 59 - Comparativo entre as dinâmicas da plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) do atuador 






4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

3.5 

2.5 

1.5 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 

4 

3 

2 

1 


Original 

Estimado 



Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 





4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


120 

Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

x 10-7 

Dinâmica 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10-7 

Dinâmica 

5 


Original 

Estimado 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

Através do erro relativo percentual verifica-se quantitativamente a discrepância entre 

estas repostas. O mesmo é apresentado na Figura 60. 

Figura 60 – Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARMAX (com ruído) do atuador 



Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

15 

12.5 

10 

7.5 

5 

2.5 

12.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

10 

7.5 

5 

2.5 

12.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

10 

7.5 

5 

2.5 




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 


Erro (%) 

Erro (%) 

Erro (%) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 


121 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s) 

6 

5 

4 

3 

2 

1 


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

x 10 -3 

0 

Tempo (s)

A resposta do desempenho comportamental do modelo estimado com o discretizador 

ZOH apresenta dispersões acentuadas no início do processamento dos dados. Conforme 

apresentado na Figura 59 (a), (b) e (c), esta dinâmica ultrapassa a resposta real, elevando o 

índice de erro. Este é comprovado a partir da Figura 60 (a), (b) e (c). Nos instantes iniciais o 

erro varia de a conforme a estrutura elástica do dispositivo. A partir de , verifica- 

se que as estruturas tendem a operar em regime estável, com erro relativo abaixo de para 

as topologias ponte simples e dupla, e inferior a para dobradiça. Para a representação do 

modelo ARMAX estocástico, verifica-se uma melhora significativa quando comparado aos 

resultados referentes aos modelos ARX, sob as mesmas condições de operação. 

A superioridade do discretizador Tustin em relação à ZOH neste caso é referente à 

estabilidade durante todo o período de operação. Apesar de apresentarem resultados 

semelhantes ao final do processamento dos dados, os modelos obtidos por intermédio de 

Tustin apresentam maior compatibilidade em relação à dinâmica real, especialmente nos 

instantes iniciais de operação. Esta avaliação pode ser verificada a partir da Figura 59 (c), (d) 

e (f), e comprovada pelas discrepâncias entre as dinâmicas (Figura 60 (c), (d) e (e)). Durante 

todo o período de operação, os modelos estimados para as estruturas ponte dupla e dobradiça 

apresentaram respectivamente, erro abaixo de e . Em contrapartida, para a estrutura 

ponte simples o erro atingiu a faixa em torno de Estas diferenças do erro ao final do 

regime de operação dependem da adequabilidade dos dados influenciados pelo ruído em 

relação à topologia elástica. Apesar disso, os resultados obtidos são considerados satisfatórios. 

A validade dos resultados obtidos é confirmada através da análise dos critérios 

estatísticos e . A partir destes valores é comprovada a eficiência dos 

discretizadores Tustin e ZOH, respectivamente, para a identificação dos modelos matemáticos 

discretos ARMAX estocásticos mais parcimoniosos. Estes resultados são apresentados nas 

Tabelas 30 e 31. 

Tabela 30 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico do atuador MEMS 


122

Tabela 31 - Valores do para avaliação do modelo ARMAX estocástico do atuador MEMS 


Similar aos micronúcleos elásticos, outro resultado importante é tempo de execução 

para a estimação dos parâmetros, e a resposta do desempenho comportamental de cada 

atuador. Estes valores são apresentados nas Tabelas 32 e 33. 

Tabela 32 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARX do atuador MEMS 

Representação ARX sem ruído ARX com ruído 


Ponte Simples 

Ponte Dupla 

Dobradiça 

Tabela 33 – Tempo de execução em segundos da identificação do modelo ARMAX do atuador MEMS 

Representação ARMAX sem ruído ARMAX com ruído 


Ponte Simples 

Ponte Dupla 

Dobradiça 

De acordo com os dados apresentados nas Tabelas 32 e 33, pode-se estabelecer uma 

média de tempo semelhante para o atuador quando comparado as elastomassas MEMS. O 

rápido processamento das informações e consequentemente à resposta a estas, qualificam o 

procedimento realizado como um processo prático, a fim de aliar qualidade e eficiência para 

simulação e testes de dispositivos MEMS. Desta forma, o procedimento realizado satisfaz a 

premissa quanto à redução do tempo nos testes para estes dispositivos. 

Os melhores resultados obtidos para todas as combinações possíveis comprovam a 

necessidade de métodos apropriados para cada representação analisada. Na Figura 61 é 

apresentado um resumo da combinação necessária para obter a eficácia nos resultados. 

123

Figura 61 - Combinação das melhores estimativas dos modelos matemáticos 


124

Os resultados dos testes de validação dos modelos matemáticos identificados 

indicaram a capacidade de explicar a dinâmica linear contida nos dados, uma vez que não 

foram detectadas correlações acentuadas nos resíduos de identificação. Na medida em que se 

incorporou ruído ao sinal degrau, o desempenho comportamental dos modelos também 

manteve-se satisfatório. 

De forma geral, os modelos determinísticos para os micronúcleos elásticos 

apresentaram melhores resultados quando utilizada a representação ARMAX. Em 

contrapartida, os modelos estocásticos descreveram melhor desempenho quando modelados 

por intermédio do ARX. Alternativamente, para os atuadores MEMS, os modelos estimados 

sem a presença de ruídos e sob as representações discretas ARX e ARMAX apresentaram 

resultados semelhantes. No entanto, os modelos estocásticos estimados e representados por 

ARMAX proporcionaram maior adequabilidade e performance em relação a dinâmica 

experimental. Estas avaliações são validadas pela resposta comportamental, avaliações do 

erro relativo percentual, critérios estatísticos e quando possível por meio da validação 

cruzada. 

O processo de estimação dos parâmetros é consolidado pelos métodos de MQ e MQE. 

Estes por sua vez, sendo implementados em batelada. A eficiência deste quando comparado à 

estimação recursiva, neste trabalho está diretamente vinculada à obtenção dos dados em sua 

forma off-line. 

Além disso, a eficiência da dinâmica dos modelos esteve diretamente vinculada ao 

processo de conversão da FT do domínio contínuo para o discreto. Logo, a utilização do 

método de discretização adequado garantiu o melhor desempenho do modelo estimado em 

comparação com o desempenho real. Conforme os resultados expostos, cada situação avaliada 

atribui métodos mais adequados em comparação aos outros. A quantidade de termos 

vinculados ao vetor de regressores, necessariamente não representa o melhor discretizador, 

como o caso de modelos estimados com MII e BwD. O fator preponderante é a forma em que 

os dados são aproximados durante a transformação analógico/digital. Neste sentido, a eficácia 

do discretizador Tustin está diretamente relacionada à sua forma, baseado na aproximação 

numérica de integração trapezoidal, ou seja, em um formato de rampa. 

A escolha correta da combinação em cada situação analisada proporcionou a eficácia 

dos resultados. Consequentemente, com base nos resultados expostos, as expectativas da 

proposta neste trabalho são consideradas satisfatórias. 

125

5 CONCLUSÕES 

Este capítulo apresenta as considerações gerais sobre o trabalho desenvolvido. Além 

disso, é ressaltada a perspectiva de avanços na área de MEMS e nanotecnologia. Em seguida, 

são apresentadas sugestões e propostas de novos trabalhos a serem desenvolvidos, de forma 

que propiciem a continuidade desta investigação. 

5.1 Considerações finais 

Os avanços científicos desenvolvidos e aprimorados pelo homem crescem em ritmo 

acelerado. Atualmente, o resultado deste esforço inovador é direcionado a microtecnologia. 

Em especial, os MEMS são um segmento emergente. Esta tecnologia multidisciplinar e 

desafiadora tende a revolucionar e atender as necessidades do mundo moderno. MEMS utiliza 

tecnologia de semicondutores a fim de habilitar processamento em nível micrométrico. Este 

grau de precisão encontra-se além da compreensão humana. Baseados nestas características e 

funcionalidades inteligentes estes microdispositivos despertam elevado interesse comercial e 

agrega significativos investimentos e receita neste mercado. 

Entretanto, esta tecnologia inovadora requer pesquisa a fim de superar as dificuldades 

existentes nas etapas de projeto até comercialização. O desafio imediato da indústria de 

MEMS é garantir a qualidade dos dispositivos produzidos, aliados aos fatores de custos 

reduzidos e rapidez em sua caracterização. Com base nestas premissas, a proposta deste 

trabalho vem ao encontro destas exigências. Conforme os resultados expostos, o objetivo 

proposto neste estudo foi alcançado. 

A utilização da técnica de identificação de sistemas como alternativa para a 

modelagem e caracterização dos dispositivos MEMS tornou-se um procedimento eficiente e 

dinâmico. A modelagem caixa cinza permitiu combinar as vantagens dos procedimentos caixa 

preta e caixa branca. Neste sentido, a manipulação dos dados de sinais de entrada e saída 

obtidos na execução de testes sobre o protótipo de simulação, aliado ao conhecimento a priori 

das estruturas possibilitou obter novos modelos matemáticos. Estes apresentaram excelente 

desempenho comportamental e rapidez de resposta aliando desta forma, qualidade e baixo 

custo. A redução no custo é evidente, pois a demora na estimação e descrição do desempenho 

corresponde a intervalos de tempo variando entre e . Se os testes realizados forem 

executados na produção, a qualidade dos MEMS consolidar-se-á, tendo em vista que o teste 

em lote (batch) tende a ser substituindo pela verificação automática de cada unidade 

126

produzida. Logo, na melhor hipótese em um período de uma hora de testes pode ser avaliado 

em torno de 12000 dispositivos. 

As eficiências da dinâmica destes modelos estimados mostram dependência direta do 

processo de conversão da FT do domínio contínuo para o domínio discreto. Logo, a utilização 

do método de discretização adequado garante o melhor desempenho do modelo estimado em 

comparação com o desempenho real. 

No entanto, no contexto de identificação de sistemas, a literatura técnica em sua 

maioria não descreve todos os aspectos necessários a sua utilização. Verifica-se a inexistência 

de informações relevantes sob a etapa de discretização. A mesma, entretanto conforme 

exposta, com base nos resultados obtidos é essencialmente importante nesta etapa inicial da 

modelagem. Segundo o critério ou método adotado os resultados decorrentes do processo de 

estimação/identificação podem apresentar variações e erros acima do permitido para a análise 

do projeto, invalidando todo o procedimento. Neste sentido, os meios de discretização como 

forma de seleção e formação dos termos necessários ao vetor de regressores podem ser 

propostos como uma etapa adicional do processo de identificação de sistemas. Para estas 

estruturas micrométricas estudadas, consolida-se o método de discretização baseado na 

aproximação numérica de integração trapezoidal, conhecido como método de Tustin como o 

procedimento com melhor desempenho. Porém, este fato não pode ser generalizado para 

outras estruturas sem avaliações prévias. 

A experiência na realização do presente trabalho mostrou a necessidade de uma 

combinação adequada quanto à topologia dos dispositivos, representação matemática, 

discretização e estimação de parâmetros. A escolha correta destes fatores garante a 

identificação do modelo matemático e, o seu desempenho comportamental mais parcimonioso 

em relação à representação real/experimental. Para cada situação avaliada identificou-se um 

novo modelo matemático proposto com particularidades próprias para caracterizar o 

desempenho dos micronúcleos elásticos, bem como, para os atuadores eletromecânicos 

MEMS. Através destes, pode-se caracterizar a estrutura de projeto e verificar a funcionalidade 

dos mesmos, aliando a redução do tempo de testes e a diminuição dos custos de produção. 

Neste sentido, a escolha correta da representação do modelo, dos métodos de 

estimação e discretização são fatores preponderantes no desempenho da dinâmica destes 

modelos. Segundo Reimbold et al., (2008) a teoria da identificação estabelece que o modelo 

estimado é satisfatório quando apresenta uma precisão de 95%. Esta precisão é alcançada 

neste trabalho. Neste sentido, verificou-se a validade da técnica utilizada, mostrando-se 

interessante, uma vez que permite obter os modelos comportamentais sem alterar as 

127

propriedades intrínsecas das estruturas micrométricas e do meio em que se encontram 

inseridas. Portanto, é uma técnica não invasiva, prática e eficiente, uma vez que os parâmetros 

do modelo não são extraídos na plataforma de testes, e sim estimados através do tratamento 

dos dados dos sinais de entrada e saída. Desta forma, a precisão alcançada nos resultados 

deste trabalho é satisfatória. 

Por fim, conclui-se que dispositivos MEMS tendem a ser cada vez mais presentes na 

sociedade. Uma tecnologia real e viável por suas múltiplas funcionalidades. Como 

consequência dos benefícios que ela apresenta, constata-se a necessidade de ampla 

investigação. A tendência natural é sua expansão a níveis de escalas cada vez mais reduzidas. 

Estruturas moleculares, Nanocosmos, Nanomundo e Nanotecnologia são algumas das 

terminologias que definem sistemas nanoeletromecânicos (Nanoelectromechanical systems), 

ou simplesmente NEMS, como a nova fronteira para o desenvolvimento de sistemas 

eletromecânicos. 

5.2 Propostas de trabalho 

A investigação realizada e os fatos descritos motivam alguns direcionamentos de 

estudos em pesquisas futuras. Em seguida são apresentadas hipóteses, sugestões e propostas 

que propiciem a continuidade desta investigação. 

Implementar a plataforma computacional integrando ANSYS e MATLAB, a fim de 

obter, estimar e identificar os modelos e suas características em tempo real, ou seja, 

por intermédio da estimação on-line. A partir disso, pode-se verificar a eficiência de 

estimadores recursivos. Aliado a isso, implementar um microcontrolador com função 

de determinar o tempo exato despendido somente para a execução do programa. 

Inserir perturbações físicas como pressão, umidade e temperatura ao ambiente de 

operação dos dispositivos MEMS e avaliar seu desempenho sob estas interferências, 

utilizando-se da metodologia adotada neste trabalho. 

Aplicar outras representações matemáticas discretas como modelos de erro na saída, e 

outros estimadores como: variáveis instrumentais, kaczmarz, máxima verossimilhança 

e procura em rede. Além disso, investigar outros métodos de discretização, a fim de 

enriquecer o material técnico-científico disponibilizando para a obtenção do modelo 

linear de MEMS através da Identificação de Sistemas; 

128

Avaliar o desempenho do processo de identificação em malha fechada, 

consequentemente com a inserção de controlador, e processos de discretização 

compatíveis com este procedimento, como os métodos de Rattan, Kennedy e Evans, 

Keller e Anderson, entre outros. 

Nas representações discretas utilizou-se o operador de deslocamento unitário para 

estabelecer a relação da dependência temporal. Entretanto, este operador apresenta a 

desvantagem da inexistência de correspondência com o operador ( 

129 

). Nesse sentido, 

é proposto investigar a aplicação do operador delta , o qual apresenta melhor 

relação entre o tempo contínuo e o tempo discreto. 

Determinar a faixa de amplitude máxima do ruído presente nos dados que ainda 

caracterize o comportamento linear do sistema. Introduzir os conceitos da 

Transformada de Fourier a fim de estabelecer alternativas na identificação da máxima 

frequência contidas nos dados e consequentemente, estabelecer com exatidão a 

amostragem dos mesmos. 

Determinar os valores dos parâmetros característicos do modelo estimado a partir de 

todos os métodos de discretização. Desta forma, pretende-se aliar a qualidade e 

precisão também sob o desempenho fenomenológico dos dispositivos MEMS. 

Utilizar a Identificação de Sistemas para obter o modelo não-linear dos atuadores 

MEMS. Avaliar a eficiência das representações matemáticas NARX e NARMAX. A 

maior dificuldade está na construção do vetor de regressores. A solução é automatizar 

a escolha dos componentes dos sinais de entrada e saída que apresentam maior 

influência no comportamento não-linear dos atuadores eletrostáticos. 

Implementar a estrutura comb-drive com número maior de “dedos”, aliado a outras 

topologias a fim de avaliar o desempenho do conjugado força versus deslocamento. 

Ao mesmo tempo, propõe-se integrar um mecanismo em tempo real que avalie as 

condições de funcionamento do dispositivo, como o diagnóstico de defeitos, falhas e 

rupturas nas estruturas. 

Avaliar a eficiência da técnica utilizada neste trabalho para outras estruturas de 

microdispostivos como: giroscópios, acelerômetros, transformadores entre outros. 

Aprimorar o programa desenvolvido para a estimação/identificação de dispositivos 

MEMS. O objetivo é elaborar um amplo banco de dados com informações referentes a 

todos os dispositivos avaliados. Ao mesmo tempo, desenvolver o software livre da 

linguagem MATLAB, ou seja, uma arquitetura própria de CADMEMS.

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134

APÊNDICE A - Relação do vetor de regressores com os parâmetros característicos 

Seja o modelo matemático analítico do sistema em estudo representado pela equação 

(A.1), cuja FT descreve como o sinal de entrada do sistema é dinamicamente “transferido” 

para a saída dada pela expressão (A.2) 

Forward Difference 

⁄ 

135 

(A.1) 

(A.2) 

Para obter a FT discreta , e o , a partir de , basta fazer a substituição de 

variáveis dos planos e , substituindo a expressão (A.3) em (A.2) 

Considerando 

( 

( 

[ 

) 

) 

] 

⁄ 

( 

) 

(A.3) 

(A.4) 

(A.5)

Multiplicando, numerador e denominador por em (A.5) 

logo, o está relacionado com as seguintes temos, conforme a expressão (A.6) 

ou 

( 

Backward Difference 

) . 

/ 

136 

(A.6) 

(A.7) 

Para obter a FT discreta , e o , a partir de , basta fazer a substituição de 

variáveis dos planos e , conforme a expressão (A.8) em (A.2) 

. 

( 

[ 

) 

] 

⁄ 

( 

) 

/ 

(A.8)

Considerando 

. 

/ ( 

) 

137 

(A.9) 

(A.10) 

Multiplicando, numerador e denominador por em (A.10), o está relacionado com os 

seguintes termos, conforme expressão (A.11) ou (A.12), 

Tustin 

( 

. 

. 

/ 

) ( 

/ 

) 

(A.11) 

(A.12) 

Neste caso a FT discreta , e o , a partir de , é realizada a partir substituição 

de variáveis dos planos e , conforme a expressão (A.13) em (A.2) 

( 

) (A.13)

[ 

( 

Considerando 

[ 

[ 

. 

( 

( 

)/ 

] [ 

)] [ 

( 

⁄ 

) 

⁄ 

⁄ 

. 

( 

( 

] [ 

)] [ 

Multiplicando, numerador e denominador por em (A.15) 

, 

e 

)/ 

) 

( 

] 

] 

)] 

138 

(A.14) 

em (A.14), tem-se: 

(A.15)

logo, o está relacionado com as seguintes temos, conforme expressão (A.16) ou (A.17) 

[ ( 

Invariância ao Impulso 

) ( 

] ( 

) 

) 

139 

(A.16) 

(A.17) 

Neste caso, para obter a FT discreta e o a partir de , inicialmente 

encontra-se a de (A.2). Com o resultado obtido, basta determinar o correspondente valor 

da , conforme apresentado no procedimento a seguir: 

{ } , 

considerando as seguintes igualdades, 

{ } { 

{ } 

√ 

√ 

} 

( 

{ 

, 

( 

{ 

⁄ 

e 

√ 

) 

√ 

) 

- 

.√ 

, tem-se: 

.√ 

/ 

} 

/ 

} 

(A.18)

√ 

√ 

√ 

140 

(A.19) 

Realizando uma nova substituição de variáveis a fim de facilitar os cálculos, toma-se 

, e √ 

se a expressão (A.20) 

* 

multiplicando, numerador e denominador por em (A.20) 

( 

Aplicando a em (A.19) com as devidas substituições, obtém- 

) 

+ 

(A.20) 

(A.21) 

organizando (A.22), o está relacionado com as seguintes temos conforme (A.22) ou (A.23)

{ } , 

considerando as seguintes igualdades, 

por frações parciais, tem-se: 

{ 

} 

{ 

{ 

{ { 

{ } { 

} 

} , 

{ 

} 

[ 

{ 

} 

( 

, 

}| 

⁄ 

- , 

( 

{ 

[ { 

e 

) 

} 

) 

- 

, tem-se: 

141 

(A.24) 

(A.25) 

} (A.26) 

.√ 

- 

}] 

/ 

} ]

considerando 

{ 

} 

[ 

√ 

{ 

√ 

√ 

} 

( 

{ 

Aplicando a em (A.28) tem-se: 

, 

[ 

√ 

√ 

[ 

e √ 

* 

* 

) 

( 

{ 

√ 

√ 

√ 

.√ 

√ 

√ 

) 

√ 

√ 

/ 

.√ 

} 

em (A.29), tem-se: 

+ 

√ 

√ 

+ 

] 

/ 

} ] 

] 

142 

(A.27) 

(A.28) 

(A.29) 

(A.30)

expandindo (A.30) 

[ ( 

organizando (A.32), tem-se 

[ 

[ ( 

Tomando em (A.33), 

tem-se a expressão (A.34), 

logo, 

[ 

( 

( 

( 

( 

( 

, obtém-se a expressão (A.35) 

) 

) ( 

; 

) 

] 

) 

) 

) 

; 

)] 

] 

)] 

143 

(A.31) 

(A.32) 

(A.33) 

; , 

(A.34) 

(A.35)

( 

( 

( 

( 

) 

[ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

( 

( 

( 

) 

) 

) 

( 

) ( 

( 

) 

√ 

) 

√ 

( 

) 

( 

) 

) 

] ) 

) 

145 

(A.40)

ANEXO A – Topologias e dimensões das elastomassas 

Elastomassa Ponte Simples 

Dimensões da Ponte Simples 

Propriedades do Ambiente e do Material 

Propriedade Símbolo Valor Unidade 

Caminho médio das partículas 65x10 -9 

Módulo de Young do Polí sílicio 140x10 9 

Densidade do Polí silício 2,33x10 3 

Permissividade do vácuo 8,854x10 -12 

Permissividade relativa do ar 1,006 Adimensional 

Viscosidade absoluta do ar 1,8x10 -5 

Viscosidade cinemática do ar 1,5x10 -5 

Densidade do ar 1,22 

Propriedades Geométricas 

Espessura 2,1x10 -6 

Largura da viga 2x10 -6 

Comprimento da viga 200x10 -6 

Largura da massa 102x10 -6 

Comprimento da massa 102x10 -6 

Vão abaixo da viga 2x10 -6 

Vão acima da viga 2x10 -6 

146

Elastomassa Ponte Dupla 

Dimensões da Ponte Dupla 















Largura da massa 102x10 -6 




Separação entre as vigas 48x10 -6 

147

Elastomassa Dobradiça 

Dimensões da Dobradiça 















Largura da massa 86,66x10 -6 


Largura da massa lateral 130x10 -6 

Comprimento da massa lateral 20x10 -6 

Largura da coluna 11x10 -6 

Comprimento da coluna 100x10-6 



Separação entre as vigas 34x10 -6 

148

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