CONTROLE ADAPTATIVO ROBUSTO APLICADO A UM ... - Fei

X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
CONTROLE ADAPTATIVO ROBUSTO APLICADO A UM CIRCUITO CAÓTICO
Samaherni M. Dias ∗ , Aldayr D. de Araujo ∗ , Allan de M. Martins ∗ , Kurios I. P. de M.
Queiroz ∗
∗ Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Engenharia Elétrica, Laboratório de
Acionamento, Controle e Instrumentação (LACI), Natal, RN, Brazil
Emails: sama@dca.ufrn.br, aldayr@dca.ufrn.br, allan@dee.ufrn.br, kurios@dee.ufrn.br
Abstract— Many practical systems (for example: robotic systems, power system and electronic circuits) are
multiple-input multiple-output nonlinear systems and some of them have coupled relations between inputs and
outputs. Besides all that, these systems can suffer from plant uncertainties and external disturbances. Any control
techniques to be applied to these systems are complex. This work proposes a new control structure, based on the
union between the variable structure model reference adaptive control and a decoupling left-inverse technique, to
transform the nonlinear multiple-input multiple-output system into a number of single-input single-output linear
systems. In that case each input affects only one output and with a desired closed-loop performance.
Keywords— Robust control; Model reference adaptive control; Sliding mode control; Decoupling; Chattering.
Resumo— Muitos sistemas práticos (por exemplo: sistemas robóticos, sistemas de potência e circuitos eletrônicos)
são não-lineares com múltiplas-entradas e múltiplas saídas. Alguns destes sistemas possuem acoplamento
entre suas entradas e saídas. Além do acoplamento estes sistemas podem apresentar incertezas paramétricas e
distúrbios externos. Qualquer técnica de controle aplicada a estes sistemas é complexa. Este trabalho propõe
uma nova estrutura de controle, baseada na união entre o controlador adaptativo por modelo de referência e estrutura
variável e uma técnica de desacoplamento, para transformar o sistema não-linear com múltiplas-entradas
e múltiplas saídas em um conjunto de sistemas lineares com uma entrada e uma saída. Neste caso, cada entrada
afeta apenas uma única saída com sua performance em malha fechada definida pelo projetista.
Palavras-chave— Controle robusto; Controle adaptativo por modelo de referência; Controle por modos deslizantes;
Sistemas desacoplados; Chattering.
1 Introdução
Atualmente, há um crescente interesse em aplicar
técnicas de controle em processos industriais.
Entretanto, muitos destes processos são sistemas
MIMO (Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas)
não lineares e alguns deles apresentam um forte
acoplamento entre as entradas e as saídas. Além
de tudo isso, estes sistemas podem apresentar incertezas
paramétricas e distúrbios externos. Qualquer
técnica de controle aplicada a um sistema
como esse será complexa. Este trabalho propõe
desacoplar o sistema não linear MIMO em um
conjunto de sistemas lineares SISO (Uma Entrada
Uma Saída), nos quais cada entrada afeta apenas
uma saída com sua performance em malha fechada
definida pelo projetista.
Alguns trabalhos nesta área podem ser destacados
por suas contribuições, como o trabalho
de Hirschorn (1979), no qual ele provou a condição
suficiente para a existência de uma classe de
sistemas não lineares (sistemas de fase mínima)
inversos à esquerda. Em Singh (1981) o algoritmo
da construção de sistemas inversos proposto por
Hirschorn foi modificado ampliando a classe de
sistemas não lineares inversos à esquerda. Li et
al (1987) generalizou o método de inversão de sistemas
provando a condição necessária e suficiente
para a inversão de um sistema não linear genérico.
Recentemente, a aplicação de métodos de
controle não linear desacoplado tem sido proposta
(Gang e Lina, 2010; Ahmed et al., 2009; Li
et al., 2009; Dias et al., 2007). Muitas destas aplicações
estão direcionadas a motores de indução e
sistemas robóticos. A aplicação apresentada aqui
está relacionada com circuitos eletrônicos.
Será utilizado um algoritmo modificado de
construção de sistemas inversos, proposto por
Hirschorn, associado com uma técnica de controle
por modos deslizantes para desacoplar o circuito
de Chua modificado, o qual é um circuito eletrônico
simples que exibe um comportamento caótico.
O circuito de Chua modificado é muito sensível
a variações em seus componentes e tem um
forte acoplamento entre suas entradas e saídas.
Por estas características, o circuito de Chua foi
escolhido para testar a técnica proposta.
O controle por modos deslizantes usado neste
trabalho é o controle adaptativo por modelo de
referência e estrutura variável (VS-MRAC). Esta
estratégia de controle leva a um desempenho transitório
rápido e é robusta às incertezas paramétricas,
dinâmicas não modeladas e distúrbios externos
(Costa e Hsu, 1992). O VS-MRAC para plantas
lineares com grau relativo unitário foi proposto
em (Hsu, 1988), e em seguida, estendido para o
caso geral (Hsu, 1990). A aplicação de técnicas de
chaveamento em circuitos eletrônicos não é uma
novidade, e uma das mais importantes aplicações
é a fonte chaveada.
Inicialmente, o sistema não linear MIMO (circuito
de Chua) será desacoplado, utilizando o algoritmo
modificado proposto, em dois sistemas lineares
SISO e, então, para cada um dos sistemas
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 504

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SISO desacoplado será aplicado um controlador
VS-MRAC.
2 Inversão de sistemas não lineares
Baseado no algoritmo de construção de sistemas
inversos proposto por Hirschorn (1979), o qual
constrói uma sequência de sistemas, alterando o
mapeamento de saída até que se possa encontrar
uma solução para o vetor de entrada (u) em função
da saída (y), das derivadas da saída e do vetor de
estado (x). Assim, é possível obter-se um segundo
sistema não-linear que age como um sistema inverso
à esquerda para o sistema original. Para um
melhor entendimento faz-se necessário que o leitor
esteja familiarizado com a notação e os resultados
apresentados em (Hirschorn, 1979).
Considere o sistema
⎧
⎨
˙x = A(x) +
⎩
m
uibi(x); x ∈ M,
i=1
(1)
y = C(x)
onde A, b1, . . . , bm ∈ V (M → M) e C : M → R l é
um mapeamento analítico real. Então
dy
dt = y(1) = Ac(x) + D(x)u (2)
onde u denota o vetor em ℜ m cujos
componentes são u1, . . . , um e D(x) =
[b1c(x) b2c(x) · · · bmc(x)] é uma matriz l × m
para cada x ∈ M.
Agora, considere o sistema 1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
onde
˙x = A(x) + m
uibi(x); x ∈ M1,
i=1
z1 = C1(x) + D1(x)u
z1 = R0(x) dy
dt ,
C1 = R0(x)Ac(x),
D1 = R0(x)D(x).
(3)
(4)
Seja R0(x) uma matriz com a propriedade de
reordenar as linhas de D(x) e
R0(x)D(x) =
D11(x)
, (5)
0
onde D11(x) é uma matriz r1 × m de posto r1
para todo x ∈ M1 e r1 = maxx∈M {rank D(x)}
é chamado de índice de inversibilidade do sistema
(1).
Seja o Sistema J
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙x = A(x) + m
uibi(x); x ∈ MJ,
i=1
zJ = CJ(x) + DJ(x)u
(6)
onde MJ é um subconjunto de M, CJ(x) e DJ(x)
são matrizes l × l e l × m, respectivamente, cujas
entradas são funções analíticas reais em MJ, e
DJ(x) =
DJ1(x)
, (7)
0
com DJ1(x) uma matriz rJ × m de posto rJ para
todo x ∈ MJ.
Por construção
0 r1 r2 r3 . . . m (8)
onde m é o número de entradas. Desta forma,
existe pelo menos um número positivo inteiro J
tal que rJ é máximo.
Baseado em (Hirschorn, 1979), suponha que
um sistema da forma (1) tem ordem relativa α <
∞. Desta forma, o α-ésimo sistema será
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 505
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙x = A(x) + m
uibi(x); x ∈ Mα,
i=1
zα = Cα(x) + Dα(x)u
e por construção
Dα(x) =
Dα1(x)
0
(9)
(10)
onde para todo x ∈ Mα, Dα1(x) é uma matriz
rα × m de posto rα = m (para α < ∞) e é uma
matriz inversível. Seja zα e cα os primeiros m
componentes de zα e cα, respectivamente. Então
zα = cα(x) + Dα1(x)u. (11)
Se x0 ∈ Mα então existe uma matriz Hα(x)
(m×αl) cujas entradas são funções analíticas reais
em Mα tal que
⎡
y
⎢
zα(t) = Hα(x(t)) ⎣
(1) (t)
.
y (α) ⎤
⎥
⎦ (12)
(t)
e o sistema
˙x = A(x) + B(x)u; x0 = x0 ∈ Mα,
onde
y = C(x) + D(x)u
(13)
A(x) = A(x) − b1(x) . . . bm(x) D −1
α1 (x)cα(x)
B(x) = b1(x) . . . bm(x) D −1
α1 (x)Hα(x)
C(x) = −D −1
α1 (x)cα(x)
D(x) = D −1
α1 (x)Hα(x)
(14)
age como um sistema inverso à esquerda para o
sistema (1).

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3 Controlador VS-MRAC
O controlador VS-MRAC (Figura 1) foi proposto
em (Hsu, 1988). O objetivo do VS-MRAC é encontrar
uma lei de controle que modifique a estrutura
e a dinâmica da planta, de maneira que seu
conjunto entrada/saída seja exatamente o mesmo
de um modelo de referência.
Considere uma planta linear SISO e invariante
no tempo com função de transferência estritamente
própria
np(s) kp
W (s) = kp = ,
dp(s) s + ap
com entrada u e saída y. O modelo de referência
é caracterizado pela função de transferência estritamente
própria
nm(s) km
M(s) = km = ,
dm(s) s + am
com entrada yr e saída ym.
O propósito é encontrar um lei de controle
u(t), utilizando somente medidas de entrada e
saída da planta, tal que o erro de saída
e0 = y − ym (15)
tenda a zero assintoticamente para condições iniciais
arbitrárias e sinal de referência yr(t) contínuo
por partes e uniformemente limitado.
+
+
θ2
yr
u
Modelo
M(s)
Planta
W (s)
θ1
ym
y
-
+
θ2 = −θ2 sgn(e0 · yr)
e0
Relé
Relé
θ2
θ1
θ1 = −θ1 sgn(e0 · y)
Figura 1: Diagrama de blocos do controlador
adaptativo por modelo de referência e estrutura
variável (VS-MRAC)
onde
Considere
θ ∗ 1 = ap − am
kp
u = θ ∗T ω (16)
, θ ∗ 2 = km
kp
. (17)
o sinal de controle para a planta (W (s)) seguir
exatamente o modelo de referência (M(s)), isto
é, a função de transferência da planta em malha
fechada, de yr para y, é M(s). Claro que θ ∗T só
pode ser conhecido se W (s) é conhecido. Quando
este não for o caso, o sinal de controle será
u = θ T ω, (18)
onde θ T = [θ1 θ2] é o vetor de parâmetros adaptativos
(para sinais persistentemente excitantes
θ → θ ∗ ) e
ω = T y yr , (19)
é definido como o vetor “regressor”.
As seguintes hipóteses são assumidas:
1. o grau relativo n ∗ da planta W (s) é conhecido
e o modelo de referência M(s) tem o mesmo
grau relativo da planta;
2. somente sinais de entrada e saída da planta
são utilizados para gerar o sinal de controle
u;
3. a ordem (n) da planta é conhecida, isto é,
dp(s) é mônico e de ordem n;
4. a planta e o modelo são observáveis e controláveis
(os pares de polinômios mônicos
(np, dp) e (nm, dm) são co-primos);
5. Os sinais de kp e km são os “ganhos de alta
frequência” e possuem o mesmo sinal;
6. W (s) é de fase mínima.
Assim, a lei de adaptação dos parâmetros é
θi = −θi sgn(e0ωi)
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 506
onde
θi > |θ ∗ i |, i = 1, 2
4 Estrutura do controlador
Este trabalho propõe, utilizando uma modificação
do método de inversão de sistemas proposto por
Hirschorn, desacoplar o sistema MIMO não linear
em um conjunto de sistemas SISO lineares (ver Figuras
2 e 3), nas quais cada entrada afeta somente
uma saída. A Figura 2 apresenta um diagrama de
blocos do método de Hischorn para inversão de
sistemas. É importante observar que o número de
sistemas SISO desacoplados é ξ, onde ξ ≤ m.
ur1
u1
. urξ
Sistema
Inverso .
à es- .
um
querda
Sistema
MIMO
y1
. yl
⇒
ur1
urξ
s −α
.
s −α
Figura 2: Diagrama de blocos do método de Hirschorn
de inversão de sistemas
A modificação no método de Hirschorn proposta
(ver Figura 3) aqui é obtida pela modificação
de A(x) (sistema 13). A idéia principal por
trás desta modificação é a modificação da função
de transferência de s −α para
W (s) =
bwn−αsn−α + · · · + bw1s + bw0
sn + awn−1sn−1 + · · · + aw1s + aw0
com grau relativo α
y1
yξ

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ur1
u1
. urξ
Sistema
Inverso .
à es- .
um
querda
Sistema
MIMO
y1
. yl
⇒
ur1
urξ
W1(s)
.
Wm(s)
Figura 3: Diagrama de blocos do método modificado
de Hirschorn para inversão de sistemas
O método modificado de Hirschorn para inversão
de sistemas irá desacoplar um sistema não
linear MIMO em um conjunto de sistemas lineares
SISO com Wi(s) como a função linear desacoplada.
Mas, quando há incertezas paramétricas
no sistema não linear MIMO, as funções lineares
desacopladas podem ser interpretadas como (ver
Figura 4)
onde
é um distúrbio de entrada,
yi = W xi(s)(uri + di) (20)
di = f(u1, · · · , um) (21)
W xi(s) = Wi(s) + △κ (22)
e △κ é uma dinâmica não modelada.
uri
+
di
+
W xi(s) yi
Figura 4: Funções lineares desacopladas quando
há incertezas paramétricas em sistemas MIMO
não lineares
Para garantir que o método modificado de
Hirschorn para inversão de sistemas irá desacoplar
o sistema MIMO não linear, será utilizado um controlador
VS-MRAC (Vi), para cada sistema linear
desacoplado (ver Figura 5). O controlador VS-
MRAC oferece excelente estabilidade e robustez
com respeito a incertezas paramétricas, dinâmicas
não modeladas e distúrbios externos.
yri
Vi
uri
+
di
+
W xi(s) yi
Figura 5: Controlador VS-MRAC aplicado ao sistema
obtido utilizando o método modificado de
Hirschorn para inversão de sistemas
O controlador proposto desacopla o sistema
MIMO não linear em um conjunto de sistemas lineares,
cada um com uma função de transferência
dada pelo modelo de referência Mi(s) associado
ao respectivo controlador VS-MRAC (ver Figura
6).
y1
yξ
ymi
Mi(s)
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 507
yri
Figura 6: Conjunto de funções lineares desacopladas
obtidas utilizando o controlador proposto
5 Resultados de simulação
Esta seção apresenta um exemplo que destaca o
desempenho do controlador proposto. Por esse
motivo, o controlador proposto é aplicado ao circuito
de Chua modificado, o qual é muito sensível
a variações nos seus componentes e tem um forte
acoplamento entre suas entradas e saídas. O circuito
de Chua modificado em variáveis de estado
é dado por
⎧
⎨ ˙y1 = k1(y2 − y1) − k2g(y1) + u1
˙y2 = k3(y1 − y2) + k4y3 + u2 (23)
⎩
˙y3 = −k5y2 + u2
onde
g(x) = Gbx+0, 5(Ga−Gb)[|x+Bp|−|x−Bp|] (24)
é uma função não linear e Ga, Gb, Bp, ki (i =
1, . . . , 5) são constantes auxiliares que dependem
dos componentes físicos do circuito.
5.1 Desacoplando o circuito de Chua modificado
O objetivo é desacoplar o sistema MIMO não linear
(23) em dois sistemas SISO lineares (ver Figura
7), um sistema linear para y1 e um outro
para y2, onde y1 e y2 representam a tensão em
dois capacitores diferentes do circuito.
ur1
ur2
Sistema
Inverso
à esquerda
u1
u2
Circuito
de Chua
Modificado
y1
y2
⇒
ur1
ur2
W1(s)
W2(s)
Figura 7: Diagrama de blocos do método modificado
de Hirschorn para inversão de sistemas
O sistema inverso à esquerda para (23), utilizando
o método proposto na seção 2, é dado por
com
˙y 1 = y1 + ur1
˙y 2 = y2 + ur2
˙y 3 = −k5y2
u1 = −k1(y2 − y1) + k2g(y1) + ur1
u2 = −k3(y1 − y2) − k4y3 + ur2
Se (25) for modificado para
˙y 1 = −kmy1 + kmur1
˙y 2 = −kmy2 + kmur2
˙y 3 = −k5y2
y1
y2
(25)
(26)
(27)
onde km é definido pelo modelo de referência do
controlador VS-MRAC, o sistema inverso modificado
é obtido.

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5.2 Projeto dos controladores VS-MRAC
Inicialmente, é necessário definir os modelos de
referência (M1(s), M2(s))
Mi(s) = ymi
yri
= km
s + km
O segundo passo é definir a lei de controle
para cada sistema linear desacoplado
onde
ur1 = θ T v1ω1
ur2 = θ T v2ω2
ω T i = [yi yri]
θ T vi = [θi 1 θi 2]
(28)
(29)
com i = 1, 2. Assim, a lei de atualização dos parâmetros
é
onde
5.3 Simulações
θ1 1 = −θ1 1 sgn(e0 1y1)
θ1 2 = −θ1 2 sgn(e0 1yr1)
θ2 1 = −θ2 1 sgn(e0 2y2)
θ2 2 = −θ2 2 sgn(e0 2yr2)
e0 i = yi − ymi
(30)
Considere o circuito de Chua modificado (sistema
23) com condições iniciais
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x(0) 0, 15264
⎣y(0)
⎦ = ⎣−0,
02281⎦
, (31)
z(0) 0, 38127
e
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k1 = 7
k2 = 10
k3 = 0, 35
k4 = 0, 5
k5 = 7
⎧
⎨
⎩
Bp = 1
Ga = 4
Gb = 0, 1
(32)
No projeto dos controladores VS-MRAC, os
modelos de referência foram escolhidos com km =
20 e
θ1 1 = 0, 3375
θ1 2 = 1, 4250
θ2 1 = 0, 2756
θ2 2 = 0, 3937
(33)
Outra informação importante é que todas as
simulações tem 400s e em t > 250s os valores dos
parâmetros do sistema irão mudar para
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k1 = 10
k2 = 12, 5
k3 = 0, 363
k4 = 0, 454
k5 = 8, 139
na simulação das Figuras (9-10).
(34)
O comportamento caótico do circuito de Chua
modificado é apresentado na Figura 8. As Figuras
(a-b) apresentam o comportamento do sistema
(23) quando as entradas u1 e u2 têm as formas
dadas pelas Figuras 8(c-d), respectivamente.
(a) y1 × y3
(b) y2 × y1
(c) u1 × t (d) u2 × t
Figura 8: Simulação do circuito de Chua modificado
com diferentes valores para as entradas u1 e
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 508
u2
A simulação das Figuras 8 (a-b) mostra que
o comportamento do circuito de Chua modificado
permanece caótico apesar dos sinais de entrada
diferente de zero.
A próxima simulação (Figura 9) apresenta o
comportamento do sistema (23) utilizando (26-27)
como sistema inverso à esquerda. Nesta simulação
é importante notar que qualquer valor constante
para ur2 leva o sistema à instabilidade 1 .
O comportamento do sistema utilizando o sistema
inverso à esquerda (Figura 9) é oscilatório e
apresenta erro de saída. Quando os parâmetros
do sistema mudam (t > 250s) o erro de saída aumenta.
Apesar da introdução do sistema inverso,
pode-se observar que ainda há um acoplamento
entre as entradas e as saídas do sistema. Um forte
acoplamento entre ur2 e y1, o qual torna o sistema
instável, e um acoplamento mais fraco entre ur1 e
y2.
A Figura 10 exibe o comportamento do sistema
(23) utilizando (26-27) como sistema inverso
à esquerda e os controladores VS-MRAC projetados
(seção 5.2).
Nesta simulação (Figura 10) o foco é o comportamento
do controlador proposto, o qual tem
um rápido transitório e um pequeno chattering 2
no sinal de saída. Um outro aspecto é que o con-
1 É importante ressaltar que o sistema inverso à esquerda
deveria desacoplar o sistema perfeitamente. O que não
ocorreu devido ao arredondamento nos parâmetros e da
sensibilidade do sistema caótico.
2 Chattering são oscilações de alta frequência presentes
em um sinal devido a utilização de relés reais.

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(a) (y1 e ur1) × t (b) (y2 e ur2) × t
(c) u1 × t (d) u2 × t
Figura 9: Simulação do circuito de Chua modificado
com sistema inverso à esquerda
(a) y1 × y3 e yr1 × yr3
(b) y2 × y1 e yr2 × yr1
(c) u1 × t (d) u2 × t
Figura 10: Simulação do circuito de Chua modificado
com sistema inverso à esquerda e controladores
VS-MRAC
trolador proposto é robusto a incertezas paramétricas
e distúrbios de entrada.
6 Conclusão
Neste trabalho, uma nova estrutura de controle,
baseada na união entre controladores VS-MRAC
e uma técnica de inversão de sistemas, foi proposta.
Esta estrutura utiliza somente medidas de
entrada/saída, melhora o comportamento transitório
(reduzindo o chattering no sinal de saída)
e, ainda, é robusto a incertezas paramétricas e
distúrbios. Todas estas características são demonstradas
pela simulação de um circuito eletrônico
que exibe comportamento caótico (circuito
de Chua). Esta estrutura pode ser utilizada por
sistemas SISO, linear ou não-linear, para suavizar
o sinal de controle e, desta forma, reduzir o
chattering no sinal de saída. Finalmente, este trabalho
apresenta uma aplicação em circuitos eletrônicos,
a qual pode ser expandida para outros
circuitos eletrônicos como fonte chaveada, moduladores,
conversores digital/analógico e etc.
Em trabalhos futuros, a análise de estabilidade,
a aplicação em ambientes industriais e o
uso de componentes embarcados (FPGAs, MCUs
e DSPs) serão discutidos.
Referências
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